1

Formule si scheme clasice de probabilitate

Proprietati ale probabilitatilor

Probabilitatea unui eveniment A, pe care o notam prin P(A), are urmatoarele proprietati:

Regula de adunare a probabilitatilor

Fie A si B doua evenimente incompatibile intre ele avand respectiv probabilitatile p si q.

Probabilitatea ca s se ntmple cel puin unul dintre ele este p + q.

Evenimente independente

Fie A i B dou evenimente. Dac :

evenimentele A si B sunt, prin definitie, independente.

Cmp de probabilitate

Mulimea tuturor evenimentelor legate de o experien mpreun cu probabilitile respective formeaya un cmp de probabilitate.

Probabilitile calculate se refer la evenimente legate de experiene avnd un numr finit de cazuri posibile(evenimente elementare).

Formule pentru calcularea unor probabiliti

1.

2.

2

Scheme clasice de probabilitate

1.Schema lui Poisson

Se dau n urne U1, U2, U3, ..., Un care contin bile albe si negre in proportii date. Cunoastem, deci,

probabilitile pi (i=1, 2, ..., n) cu care este extrasa o bila alb din urna Ui. Se cere probabilitatea de a extrage k bile albe si n-k bile negre, atunci cand din fiecare urna se extrage

cate o bil.

Probabilitatea cutat va fi coeficientul lui xk in polinomul:

2. Schema lui Bernoulli

In schema lui Poisson peresupunem ca avem urnele identice. Atunci putem lua p1 = p2 = ... pn =

p si q1 = q2 = ... qn = q = 1 - p .

In acest caz, probabilitatea extragerii a k bile albe, va fi coeficientul lui xk din polinomul

,

adica va fi egala cu

.

PROBLEME

1. ntr-o urn se afl 49 de bile numerotate 1, 2,, 49. Se fac ase extrageri, fr

a pune napoi bila extras anterior.

S se determine probabilitatea ca patru dintre numerele extrase s fie 7, 26, 14,

8, 3 sau 22.

Rezolvare:

Vom aplica schema bilei nerevenite.

Asimilm cele 6 numere ctigtoare cu bile albe, iar restul de 43 de numere cu bile

negre.

Probabilitatea cerut este:

P(6:4,2)=C46C2

43C6

49=0,000968.

3

2. Trei bnci acord credite pentru finanarea studiilor cu probabilitile 0,8; 0,75,

respectiv 0,82, independent una de alta. Un student se adreseaz tuturor bncilor.

Cu ce probabilitate el va primi:

a) trei rspunsuri favorabile; b) exact dou rspunsuri favorabile; c) exact dou rspunsuri nefavorabile; d) nici un rspuns favorabil; e) cel mult dou rspunsuri favorabile .

Rezolvare:

Vom aplica schema lui Poisson.

Notm cu pi, respectiv q

i, probabilitile ca un client care se adreseaz bncii Bi sa

primeasca un raspuns favorabil,respectiv nefavorabil, i=1,3

Avem: p1= 0,8, p

2= 0,75, p

3= 0,82, q

1= 0,2, q

2= 0,25, q

3= 0,18.

Q(t)= (p1 t + q

1)(p

2 t + q

2)(p

3 t + q

3) = (0,8 t + 0,2)(0,75 t + 0,25)(0,82 t + 0,18).

a) P(3: 3, 0) = coeficientul lui t3

din polinomul Q(t); P(3:3,0)= p

1 p

2 p

3=0,80,750,82=0,492

b) P(3: 2, 1) = coeficientul lui t2

din polinomul Q(t); P(3:2,1)= p

1 p

2 q

3+ p1 q2 p3+ q1 p2 p3=0,80,750,18+0,80,250,82+0,20,750,82=0,395

c) P(3: 1, 2) = coeficientul lui t1 din polinomul Q(t);

P(3:1,2)= p1 q

2 q

3+ q1 p2 q3+ q1 q2 p3=0,80,250,18+0,20,750,18+0,20,250,82=0,104

d) P(3: 0, 3) = coeficientul lui t0

din polinomul Q(t); P(3:0,3)= q

1 q

2 q

3=0,20,250,18=0,003

e) Probabilitatea ca studentul s primeasc cel mult dou rspunsuri favorabile este:P(3:0,3)+P(3:1,2)+P(3:2,1)=1-P(3:3,0)=0,508

3. Se arunc un zar de cinci ori. Care este probabilitatea ca de dou ori s obinem

faa cu un punct, de dou ori faa cu 6 puncte i o dat nici una dintre aceste dou

fee?

Rezolvare:

n experiena ce const n aruncarea unui zar punem n eviden evenimentele:

A = "numrul de puncte de pe faa superioar a zarului este 1 "; B = "numrul de puncte de pe faa superioar a zarului este 6 "; C = "numrul de puncte de pe faa superioar a zarului nu este 1 sau 6 ".

4

Probabilitile producerii acestor evenimente sunt constante n orice prob: P(A) = p

1 =1/6, P(B) = p

2 =1/6 i P(C) = p

3 =4/6, prin urmare vom aplica schema multinomial.

Rezult:

P(5:2,2,1)=(5!\2!2!1!)(1\6)2(1\6)2(4\6)1=0,015

4. Un magazin i ndeplinete planul de desfacere a produselor pe o lun cu

probabilitatea 0,75. Se cere probabilitatea ca magazinul s-i ndeplineasc planul

n opt din cele 12 luni ale unui an.

Rezolvare:

Asimilm situaia din problem cu o experien avnd dou rezultate posibile:

A = "magazinul i ndeplinete planul" i A= "magazinul nu i ndeplinete planul". Deoarece probabilitatea ca evenimentul A s se realizeze ntr-o prob oarecare este constant, conform observaiei fcute n breviarul teoretic vom aplica schema

bilei revenite.

Avem c P(A)=p=0,75 si P(A)=q=0,25.

Aplicnd formula din breviarul teoretic, obinem:

P(12:8,4)=C812(0,75)8(0,25)4=0,193.

5. Se arunc dou zaruri de zece ori. S se determine probabilitatea de a se obine:

a) de exact patru ori suma 7; b) de cel puin opt ori suma 7. Rezolvare: n experiena ce const n aruncarea a dou zaruri punem n eviden evenimentele:

A = "suma punctelor aprute pe feele superioare ale zarurilor este 7" i A= "suma punctelor aprute pe feele superioare ale zarurilor este diferit de 7". Probabilitile producerii acestor evenimente sunt constante n orice prob:

P(A)=p=636=16 si P(A)=q=56 ,prin urmare vom aplica schema bilei revenite.

a) Probabilitatea de a obine de exact patru ori suma 7 este: P(10:4,6)=C410(1/6)

4(5/6)6=0,054

b) Probabilitatea de a se obine de cel puin opt ori suma 7 este: P(10:8,2)+P(10:9,1)+P(10:10,0)=C810(1/6)

8(5/6)2+C910(1/6)9(5/6)1+C1010(1/6)

10(5

/6)0=0,0019.

Elev:Stefanescu George-Viorel

Clasa:a X-a A