Curs 10 - Distributii de Probabilitate
-
Upload
ella-lucescu -
Category
Documents
-
view
36 -
download
6
description
Transcript of Curs 10 - Distributii de Probabilitate
Legi de distribuţie (principalele distribuţii de
probabilitate)
Tudor Drugan
Introducere
In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite
pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se
cunosc.
Din punct de vedere practic se încearcă încadrarea
acestor distribuţii în unele legi teoretice care
constituie modele pentru aceste variabile statistice
Principalele legi de distribuţie
• variabile aleatoare discrete finite legea BINOMIALĂ
(BERNOULLI)
• variabile aleatoare discrete infinite legea POISSON
• variabile aleatoare continue legea normală sau legea
LAPLACE-GAUSS
• variabilă aleatoare continuă legea STUDENT (t)
• sume de pătrate a unor variabile independente normal distribuite
legea 2 a lui PEARSON
• comportarea câtului a două variabile cu distribuţie Hi-pătrat
legea F a lui FISHER.
LEGEA BINOMIALĂ SAU DISTRIBUŢIA LUI
BERNOULLI
Variabile aleatoare finite
Modelul legii binomiale este următorul:
Un experiment este alcătuit din repetarea unei încercări
elementare de n ori, n fiind un număr natural dat.
Rezultatele posibile ale fiecărei încercări elementare sunt
doar două evenimente numite de obicei: succes (S) şi
eşec (E).
Probabilităţile p de succes şi q = 1 - p de eşec sunt
constante de la o încercare la alta.
Cele n încercări repetate sunt independente una de
cealaltă
LEGEA BINOMIALĂ SAU DISTRIBUŢIA LUI
BERNOULLI Numărul de reuşite obţinute din cele n încercări
repetate este o variabilă aleatoare de tip binomial
care depinde de parametrii n şi p şi este de obicei
notată prin Bi(n,p).
Probabilitatea pentru X=K este:
Această variabilă aleatoare X poate să ia valorile 0,
1, 2, ..., n şi are următorul tabel de distribuţie:
:k k n kn
kX
C p q
Pr( X = k ) = k k n knC p q
)!!*(
!
knk
nC
k
n
LEGEA BINOMIALĂ SAU DISTRIBUŢIA LUI
BERNOULLI
speranţa matematică a legii binomiale este:
M(X) = n p,
iar variaţia:
Var(X) =n p q,
şi deci abaterea standard:
(X) = npq
Comportarea la limită a legii binomiale când n
este mare
Se poate arăta că atunci când np 10 şi nq 10,
distribuţia variabilei binomiale X (frecvenţa absolută
a succeselor) tinde să se apropie de o lege normală
, npqN np
Exemple
Presupunem că de regulă un vaccin contra
pojarului produce febră la15% din copii . Care este
probabilitatea ca din 6 copii vaccinaţi 4 să aibă o
reacţie în urma vaccinării? Faptul că am întalnit
aceasta situaţie este o întamplare sau un posibil
început de epidemie?
Răspuns: In acest caz avem n = 6, k = 4, p =0.15,
q = 1-p = 0.85 . Atunci
Această probabilitate fiind mai mică de 1% se poate
considera că această situaţie apare cu o şansă
foarte mică.
4 4 2
6Pr( X = 4) = (0.15) (0.85) 0.00549.C
Exemple
Presupunem că de regulă un anumit vaccin contra
pojarului produce o reacţie (febră) cu o probabilitate
p=0.5 . Care este probabilitatea ca din 600 copii
vaccinaţi cel putin 4 să aibă o reacţie în urma
vaccinării?
4 4 596
600Pr( X = 4) = (0.5) (0.5)C
LEGEA LUI POISSON
Variabila aleatoare POISSON este o variabilă
discretă care ia o infinitate numărabilă de valori:
0,1,2,...,k,... , care reprezintă numărul de realizări
într-un interval dat de timp sau spaţiu ale unui
eveniment
de exemplu
numărul de internări pe an într-un spital,
numărul de bacterii într-un mililitru de apă,
numărul de dezintegrări ale unei substanţe radioactive
într-un interval de timp T dat
LEGEA LUI POISSON
Această variabilă aleatoare X este caracterizată de
un parametru care reprezintă numărul mediu
teoretic (aşteptat) de realizări ale evenimentului în
intervalul considerat şi are următoarea lege de
distribuţie:
:
!
k
X ke
k
Pr( X = k ) = !
kek
LEGEA LUI POISSON
Despre variabila aleatoare de tip Poisson X se mai
spune că este de tipul Po().
Speranţa matematică şi variaţia în cazul legii lui
Poisson sunt egale ambele cu , adică :
M(X) = Var(X) = .
Exemple
Rata de mortalitate pentru o anumită boală este de 7 la 1000 de cazuri. Care este probabilitatea ca într-un grup de 400 de persoane această boală să cauzeze 5 decese?
Răspuns: Avem p =7/1000=0.007, m = np = 400 x 0.007= 2.8
2.8 5 2.8 5(2.8) (2.7183) (2.8)Pr(X=5) = 0.0872
5! 5!
e
Exemple
Rata de mortalitate pentru o vaccinul pentru cancerul de col uterin este de 10 la 20000000 de cazuri. Care este probabilitatea ca într-un grup de 200000 de persoane această boală să cauzeze 1 deces?
Răspuns: Avem p =10/ 20000000, m = np = 200000 x 10/ 20000000 = 0,1
P(X)=0,104
Exemple
Rata de mortalitate pentru o anumită boală este de 10 la 1000 de cazuri. Care este probabilitatea de a avea mai puţin de 7 decese într-un grup de 500 persoane? Care este probabilitatea de a avea 7 sau mai multe decese într-un grup de 500 persoane?
Răspuns: Avem
p =10/1000=0.01, m = np = 500 x 0.01= 5
Probabilitatea de a avea mai puţin de 7 decese este:
Probabilitatea de a avea 7 sau mai multe decese este:
Pr(X7) = 1- Pr(X<7) = 0.2378
5 2 3 4 5 665
0
5 5 5 5 5 5Pr(X<7) = Pr(X 6) = (1 5 ) 0,7622
! 2 6 24 120 720
k
k
ee
k
Karl Friedrich Gauss
Scrierile lui Gauss (404 la număr, doar
178 publicate) sunt destinate mai multor
domenii, de la discipline ale matematicii,
fizicii şi până la geodezie, sau
astronomie.
Bestimmung der Genauigkeit der
Beobachtungen (1816) este o analiză
asupra eficienţei estimatorilor statistici
LEGEA NORMALĂ
Această lege de probabilitate a cărei funcţie de
probabilitate are o alură tipică de clopot numită
curba normală sau curba lui Gauss este un
model pentru multe variabile aleatoare continue
Această distribuţie depinde de doi parametri:
media m
abaterea standard
şi are densitatea de probabilitate următoare:
2)mx
(2
1
2
1f(x)
e
LEGEA NORMALĂ
Exemple
Distributia greutatii
corporale sau a
TAS in grupuri de
pacientii cu varste
cuprinse intre 35 si
44 de ani
LEGEA NORMALĂ
Dacă X satisface o lege normală de medie m şi
abatere standard atunci se spune că X este de
tipul N(m, ).
Pentru variabila normală X au loc:
M(X) = m
Var(X) = .
LEGEA NORMALĂ
LEGEA NORMALĂ REDUSĂ
Este evident că există o gamă infinită de legi
normale, care corespund câte unei perechi de
parametri (m, ).
Toate aceste distribuţii normale se pot reduce la
una singură, având media 0 şi abaterea standard 1,
cu ajutorul unei schimbări de variabilă:
mXZ
LEGEA NORMALĂ REDUSĂ
Aceasta este legea normală redusă cu densitatea
de probabilitate:
e x2
2
1
2
1f(x)
2)mx
(2
1
2
1f(x)
e
LEGEA NORMALĂ REDUSĂ
LEGEA STUDENT (T)
Variabila aleatoare Student t este o variabilă aleatoare
continuă care ia valori în intervalul (- , + ), a cărei funcţie
densitate de probabilitate depinde de un singur parametru,
numărul de grade de libertate.
Fie X0, X1, …, Xn variabile aleatoare independente care
toate urmează legea normală centrată redusă. Atunci
variabila aleatoare
urmează o lege de probabilitate Student cu n grade de
libertate.
n
i
i
n
X
nXT
1
2
0
LEGEA STUDENT (T)
Densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare
Student Tn este:
unde este funcţia Gamma definită astfel:
212
)1(
1
)(
)(
2
1)(
2
21
nn
nxn
n
T xf
0
1)2
1( dtten nt
LEGEA STUDENT (T)
Distribuţia acestei variabile aleatoare este simetrică
în raport cu originea şi are o formă de clopot:
Pr[ Tk < -x ] = Pr[ Tk > x].
Atunci când k tinde la , distribuţia Student tinde
către o distribuţie normală redusă.
Dacă n>30 legea lui Student şi legea normală sunt
foarte apropiate.
Această variabilă aleatoare este utilizată, în
anumite condiţii de normalitate, în testul de
comparaţie a mediilor numit şi testul Student sau
testul t.
LEGEA HI-PĂTRAT (PEARSON)
Distribuţia 2 descrie comportarea unei sume de pătrate a
unor variabile independente normal distribuite, fiecare având
o medie egală cu zero şi abatere standard egală cu 1. Astfel
variabila X, definită prin egalitatea
Unde Xi2 reprezintă pătratul unei observaţii selectate aleator
dintr-o populaţie normal distribuită având media zero şi
deviaţia standard 1, este 2 distribuită cu n grade de
libertate.
Densitatea de probabilitate a legii 2 este
22
2
2
1 ... nXXXX
)2
1(2
)(2
221
n
xexf
n
nx
X
LEGEA HI-PĂTRAT (PEARSON)
Forma acestei distribuţii depinde de numărul de
termeni Xi2 independenţi din sumă. Numărul de
termeni Xi2 independenţi se numeşte numărul de
grade de libertate .
Fiecărui nivel d al gradelor de libertate i se
asociază o distribuţie 2 distinctă. Media şi variaţia
unei distribuţii 2 sunt :
M(2) = d, Var(2 ) = 2 d,
unde d este numărul de grade de libertate.
LEGEA F (FISHER)
Distribuţia F introdusă de R. A. Fisher, este definită
pe intervalul [0,+) şi descrie comportarea câtului a
două variabile cu distribuţie Hi-pătrat, fiecare fiind
împărţită prin numărul gradelor sale de libertate.
Un membru al acestei clase de distribuţii este
determinat prin numărul de grade de libertate ale
numărătorului dn şi respectiv numărul de grade de
libertate ale numitorului dm, distribuţiile F distincte
fiind determinate de perechi (dn, dm) distincte.
LEGEA F (FISHER)
In general, pentru dn şi dm > 2 distribuţia F este
unimodală şi pozitiv asimetrică. Atunci când
numărul gradelor de libertate creşte distribuţia F se
apropie pe domeniul său de definiţie de o distribuţie
normală.
Această distribuţie este utilizată în testele de
comparaţie a variaţiilor şi ca aplicaţie a acestora în
testele ANOVA.
Distributie – Test statistic