3

Elev:

4

210 100= 221 441= 211 121= 222 484= 212 144= 223 529=

213 169= 224 576= 214 196= 225 625= 215 225= 226 676= 216 256= 227 729= 217 289= 228 784= 218 324= 229 841= 219 361= 230 900= 220 400= 231 961=

5

= reuniune ! = unic = intersecţie ∈ = aparţine ⊂ = cuprins ∉ = nu aparţine ⊃ = inclus ⇒ = implică ∨ = sau ⇔ = dacă şi numai dacă ∧ = şi ≥ = mai mare sau egal ∃ = există ≤ = mai mic sau egal ∀ = oricare ≠ = diferit = divizibil < = mai mic > = mai mare

6

= 0,1,2,....,+∞{ } = mulţimea numerelor naturale

∗ = 1,2,...,+∞{ } = \ 0{ }

{ },..., 2, 1,0,1, 2,...,= −∞ − − +∞ = mulţimea numerelor întregi

{ } { },... 2, 1,1, 2,..., \ 0∗ = −∞ − − +∞ =

=

mn

m,n ∈, n ≠ 0⎧⎨⎩

⎫⎬⎭ = mulţimea numerelor raţionale

= mulţimea numerelor reale

⊂ ⊂ ⊂

7

0 1a = ( )nm m na a ⋅= m n m na a a +⋅ =

:m n m na a a −= n

m n ma a=

1mma a= 11 a

a−=

1a a= 1 1n = 0 0n = 1 n

mm n

aa

−=

8

Suma primelor n numere naturale nS ( )11 2 ...2n

n nS n

+= + + + =

0 sau

00

aa b

b=⎧

⋅ = ⇒ ⎨ =⎩

( )2 2 22a b a ab b+ = + +

( )2 2 22a b a ab b− = − +

( )( )2 2a b a b a b+ = − + produsul sumei prin diferenţă 2 2a b+ = NU SE DESCOMPUNE ÎN

( ) ( )2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +

( ) ( )2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc− + = + + + − + −

( ) ( )2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc− − = + + + − − +

( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + +

( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + −

( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +

( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +

Factor comun ( )ab ac a b c+ = +

Divizibilitate → împărţire exactă fără rest (restul este 0) Teorema împărţirii cu rest.

Î 0Î

ÎD C R

R

⎧ ≠⎪= ⋅ + ⎨<⎪⎩

Deîmpărţitul se poate scrie ca produsul dintre împărţitor şi cât, plus restul. Împărţitorul trebuie să fie diferit de 0, pentru ca împărţirea să aibă sens, iar restul trebuie să fie mai mic decât împărţitorul, abia atunci sfârşindu-se împărţirea.

Împărţirea la 0 este operaţie lipsită de sens 0a

imposibil !

9

Reuniunea = mulţimea elementelor comune şi necomune celor două mulţimi considerate o singură dată

{ } s auA B x x A x B= ∈ ∈ .

Intersecţia = mulţimea elementelor comune celor două mulţimi considerate o singură dată

A B = x x ∈A{ şi

x∈B}

Produsul cartezian = mulţimea perechilor ordonate

AxB = a,b( ){ a ∈A şi

b∈B}

Nu este comutativ Complementara mulţimii A în raport cu mulţimea E

CE A = x ∈E{ x ∈E şi

x ∉A}

Cardinalul unei mulţimi = reprezintă numărul elementelor din mulţimea respectivă.

10

Criterii de divizibilitate Criteriul divizibilităţii cu = Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima cifră este pară . Criteriul divizibilităţii cu = Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor ce-l compun este un număr divizibil cu 3. Criteriul divizibilităţii cu 5 = Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5 . Criteriul divizibilităţii cu 10,100,1000,…= Un număr este divizibil cu 10, 100, 1000… dacă ultima cifră este 0 sau respectiv 00, sau 000… . Criteriul divizibilităţii cu 11 = Se adună cifrele ce compun numărul, plasate în poziţii cu soţ, separat cele de ordin făra soţ. Dacă diferenţa celor două sume este 0, 11 sau un număr divizibuil cu 11, atunci numărul iniţial este divizibil cu 11.

11

Concentraţia unei soluţii = 100mdCms

= ⋅

dm = masa substanţei dizolvate

sm = masa totală a substanţei Probabilitatea producerii unui eveniment

numãr cazuri favorabilenumãr cazuri posibileAP =

12

Simplificarea = prin simplificare se face împărţirea numărătorului şi numitorului prin aceeaşi cantitate diferită de 0. Reducerea = suma algebrică dintre un număr şi opusul său este 0 a a− 0= . Amplificarea = a amplifica înseamnă a înmulţi şi numărătorul şi numitorul unei fracţii prin aceeaşi cantutate diferită de 0. Raţionalizarea

Ex: 3 31

33= ;

( )( )1 2 1 211 2 1 2 1 2

+ += =− − +

1+ 21− 2

=1+ 2−1

= − 1+ 2( ) ;

3 2 3 21 3 23 23 2

+ += = +−−

.

Împărţirea a două fracţii A împărţi 2 fracţii înseamnă a o înmulţi pe prima cu a doua inversată .

Linie de fracţie principală

aa db

c b cd

= ⋅ .

13

Mărimi direct proporţionale Ex. { }, ,a b c sunt direct proporţionale cu { }3,4,5

3 4 5a b c k= = =

Mărimi invers proporţionale Ex. { }, ,a b c sunt invers proporţionale cu { }3,4,5

1 1 13 4 5

a b c k= = =

Raport: = raportul a două cantităţi este câtul celor două cantităţi

numãrãtor numitor 0

ab→→ ≠

Proporţie = egalitatea a două rapoarte

a cb d=

Proprietatea fundamentală a proporţiilor Produsul mezilor este egal cu cel al extremilor ab= c ad bcd⇒ =

Rădăcină pătrată (radical )

14239

523469

= 5400

37, 67

67x7=469

74 67

x 67

14

Modulul → este mereu o cantitate pozitivă ; 0

0; 0 ; 0

x xx x

x x

− <⎧⎪= =⎨⎪ >⎩

Ex: ∗ 3 8 11

3 83 8 5

x xx

x x− = =⎧ ⎧

− = ⇒ ⇒⎨ ⎨− = − = −⎩ ⎩

∗ x − 3 = −8→ ecuaţie imposibilă, S =∅

∗ 2 3 5

2 3 52 3 5x

xx− ≥⎧

− ≥ ⇒ ⎨ − ≤ −⎩

∗ 2 3 5

2 3 52 3 5x

xx− ≤⎧

− ≤ ⇒ ⎨ − ≥ −⎩ altfel scris 5 2 3 5x− ≤ − ≤

Media aritmetică

aM = raportul dintre suma numerelor şi numărul lor

1 2 ...a

na aM an

+ + +=

Media geometrică (proporţională) gM ab=

Media armonică 2 21 1R

aba b

a

M

b

Mα =++

= =

Media ponderată 7 4 6 7 2 9

7 6 2

elevi nota elevi nota elev

p

i nota

M ⋅ + ⋅ + ⋅=+ +

Inegalitatea mediilor g aM M Mα< <

15

Partea întreagă [ ]a

Partea fracţionară { }a

Ex. ∗ 2,8a = [ ] [ ]2,8 2a = =

{ } { }2,8 0,8a = =

∗ 2,8b = − [ ] [ ]2,8 3b = = −

{ } { } ( )2,8 2,8 3b = = − − =

32,8 0,2− =

[ ] { }a a a= +

Partea întreagă este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu numărul dat.

Număr periodic simplu ( ) 31617, 316 17999

=ii i

i i i

La numărător se scrie perioada, iar la numitor atâtea cifre de 9 câte cifre are partea periodică. Număr periodic mixt

( ) 31257 3117,31 257 1799900∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

−=ii

i i

La numărător se scrie partea neperiodică urmată de perioadă formând un număr din care se scade partea neperiodică . La numitor se trec atâtea cifre de 9 câte cifre are partea periodică urmate de atâtea zerouri câte cifre are partea neperiodică. Unităţi de măsură km-hm-dam-m-dm-cm-mm

1ha = 10.000m2 1ar = 100m2

1q = 100kg 1t = 100kg

1h = 60min = 3600sec

16

ECUAŢII CU PARAMETRU Parametrul este o cantitate reală necunoscută, variabilă, în funcţie de care discutăm soluţia ecuaţiei. Ex: ( )2 1 1m x m x+ = +

2 1m x mx m+ = + ∗ Se trec termenii cu necunoscute în membrul stâng , iar termenii liberii în membrul drept respectând regula semnelor.

2 1m x mx m− = − 2 1m x mx m− = −

∗ Dau factor comun necunoscuta ( )2 1x m m m− = −

( )1 1x m m m− = −⎡ ⎤⎣ ⎦

∗ Determinăm valorile pentru care coeficientul necunoscutei se anulează ( )1 0m m − = 1 0 1 0m m= ⋅ − = ⇒ 2 1m =

∗ Analizez cazurile posibile 0I m = ; ( )0 0 1 0 1x − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ;

0 1= − ec. imposibilă 0S =

1II m = ; ( )1 1 1x x − = − ;

0 0= ec. ndeterminată S =

III m ≠ 0; m ≠ 1 ; 1mx −=1m m −( )

1xm

= soluţie unică reală

17

Punct x A Dreapta – o infinitate de puncte, nelimitată la ambele capete ______________________ (d)

Semidreaptă deschisă

închisă Semidreapta este porţiune dintr-o dreaptă limitată la un capăt Segmentul de dreaptă

A B Porţiune din dreaptă mărginită la ambele capete. ∗ Două puncte determină unic o dreaptă ∗ Printr-un punct trece o infinitate de drepte

Punctele situate pe aceeaşi dreaptă se numesc coliniare POSTULATUL (AXIOMA) LUI EUCLID Printr-un punct exterior unei drepte se poate trasa o singură paralelă la dreapta dată .

1 2d d

18

Secante Secantele sunt drepte ce se intersectează într-un punct

Drepte perpendiculare

Formează unghiuri de 90 Unghiul 0 sau AOB

Unghiul = Porţiunea din plan mărginită de două semidrepte ce pornesc dintr-un punct comun, numit vârful unghiului

(( ,AO OB = laturile unghiului, O = vârful unghiului. Unghi obtuz Unghi drept

m AOB( ) > 90

m MNP( ) = 90

Unghi propriu =ascuţit

m AOB( ) < 90

19

Suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct de 360 Unghiuri complementare = unghiuri a căror măsuri însumate reprezintă 90

m AOB( ) + m BOC( ) = 90

Unghiuri suplementare = unghiuri a căror măsuri însumate reprezintă 180

m AOB( ) + m BOC( ) = 180 Unghi alungit = unghiul cu laturile în prelungire a cărui măsură este de 180

m AOB( ) = 180

Unghiuri adiacente = unghiuri ce au vârful şi o latură comune

20

∗ Unghiurile cu laturile respectiv paralele sunt fie congruente , fie suplementare

∗ Unghiurile cu laturile respectiv perpendiculare sunt fie congruente , fie suplementare

∗ 57 36 15 27′ ′′− 57 → 56 60′ → 56 59 60′ ′′

5736 15 27

⎫− ⎪→⎬′ ′′⎪⎭

56 59 6036 15 2720 44 33

′ ′′′ ′′′ ′′

Ughiuri opuse la vârf ∗ Au măsurile egale ∗ Au laturile în prelungire

21

TRIUNGHIUL

AB⎡⎣ ⎤⎦ , AC⎡⎣ ⎤⎦ , BC⎡⎣ ⎤⎦ = laturi

A, B, C = vârfuri

BAC, CBA, ACB = unghiuri ∗Triunghiul este figura geometrică formată din trei laturi, trei vârfuri şi trei unghiuri CLASIFICARE DUPĂ LATURI

oarecare – scalen isoscel [ ] [ ] [ ]AB BC AC≠ ≠ [ ] [ ]AB AC=

echilateral [ ] [ ] [ ]AB AC BC= =

22

CLASIFICARE DUPĂ MĂSURA UNGHIURILOR

ascuţit unghic obtuz unghic isoscel

m A( ) < 90

m A( ) > 90

m B( ) = m C( )

m B( ) < 90

m C( ) < 90

dreptunghic dreptunghic echilateral isoscel

m A( ) = 90

m A( ) = 90

m B( ) = m C( ) = 45

m A( ) = m B( ) == m C( ) = 60

∗ Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180

23

∗ ACM este unghi exterior ABCΔ

∗ m ACM( ) = m BAC( ) + m CBA( )

∗ m ACM( ) + m ACB( ) = 180

∗ Suma lungimilor oricăror două laturi este mai mare decât a treia (condiţie de existenţă a unui triunghi) ∗ Un triunghi are doar un unghi de 90 sau mai mare decât 90

24

LINII IMPORTANTE ÎNTR-UN TRIUNHGI 1.BISECTOAREA = semidreapta care împarte unghiul din vârful căruia porneşte în două unghiuri de mărimi egale

∗ Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente în centrul cercului înscris în triunghi “I ”. TEOREMA BISECTOAREI

AD = bisectoare

m BAD( ) = m DAC( )

∗ Raportul segmentelor determinate de bisectoare pe latura opusă unghiului din vârful căruia porneşte este egal cu raportul laturilor ce determină unghiul.

DB ABDC AC

=

25

2. MEDIANA – este linia importantă în triunghi ce uneşte vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse ∗ Medianele se intersectează în centrul de greutate al triunghiului situat la 2/3 de vârf şi 1/3 de bază " "G

26

3. MEDIATOAREA – este dreapta perpendiculară pe mijlocul laturii unui triunghi ∗ Mediatoarele se intersectează în centrul cercului circumscris triunghiului în " "O .

27

4. ÎNĂLŢIMEA – este perpendiculara trasată din vârful unui triunghi pe latura opusă acestuia

∗ Înălţimile sunt concurente în ortocentrul triunghiului " "H .

28

5. LINIA MIJLOCIE = segmentul de dreaptă ce uneşte mijloacele a două laturi ale unui triunghi ∗ Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură. ∗ Linia mijlocie este egală ca lungime cu jumătate din lungimea laturii cu care este paralelă.

AM MB= AN NC= MN BC

2BCMN =

TEOREMA LUI THALES O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporţionale. B C BC′ ′

A ′B′B B

=A ′CC ′C

29

TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII O paralelă trasată la una dintre laturile unui triunghi determină cu celelalte două un triunghi asemenea cu cel dat. B C BC′ ′

AB C ABC′ ′Δ Δ

A ′BAB

=A ′CAC

= ′B ′CBC

m ′B( ) = m B( ) ;

m C( ) = m ′C( )

30

TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC [ ]AB ,[ ]AC → catete (determină unghiul de 90 )

[ ]BC → ipotenuză (se opune unghiului de 90 ) TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC ISOSCEL [ ] [ ]AB AC a= =

m B( ) = m C( ) = 45

2BC a= TEOREMA LUI PITAGORA Într-un triunghi dreptunghic suma lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

2 2 2a b c= + RECIPROCE 2 2 2b a c= − 2 2 2c a b= −

TEOREMA CATETEI CD = proiecţia catetei AC pe ipotenuză. DB = proiecţia catetei AB pe ipotenuză. Într-un triunghi dreptunghic cateta este medie proporţională (geometrică) între proecţia ei pe ipotenuză şi ipotenuză. AC CD BC= ⋅ sau 2AC CD BC= ⋅

31

TEOREMA ÎNALTIMII Într-un triunghi dreptunghic înălţimea ce porneşte din vârful unghiului drept este medie proporţională între proiecţiile catetelor pe ipotenuză. AD CD DB= ⋅ sau 2AD CD DB= ⋅

TEOREMA UNGHIULUI DE 30 În triunghiul dreptunghic cateta opusă unghiului de 30 este jmătate din lungimea ipotenuzei.

2BCAC =

TEOREMA MEDIANEI ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC Mediana care porneşte din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic este jumătate din lungimea ipotenuzei. AM MB MC= =

32

Teorema dreptunghiului înscris în semicerc Triunghiul dreptunghic se înscrie într-un semicerc, ipotenuza este diametrul, vârful drept se află pe cerc.

33

FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE ALE UNGHIULUI ASCUŢIT AL TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC cat.op.sin

ipotbBa

= =

cat.alãtcos

ipotcBa

= =

bsin b cat.op.a = =c cat.alãtcos

BtgB cB a= =

ccos c 1 cat.alãt.actg = =b cat.op.sin tg

BB bB Ba= = =

FORMULA FUNDAMENTALĂ A TRIGONOMETRIEI 2 2sin cos 1B B+ =

VALORI ALE FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE

Funcţia 30 45 60 sin x

1

2 2

2

3

2

cos x

3

2

22

1

2

sintg

cos

xx

x= 3

3

1

3

cosctg

sin

xx

x=

3

1

3

3

sin 90 1= sin 0 0= cos90 0= cos0 1=

34

CERCUL Cercul este mulţimea punctelor egal depărtate de un punct fix numit centrul cercului. Este un loc geometric, punctele sale bucurându-se de aceeaşi proprietate. MN este coardă, unind două puncte de pe cerc OA este rază, unind centrul cercului cu un punct de pe cerc OA = R BC este diametru, unind două puncte de pe cerc şi trecând prin centrul cercului. Este cea mai lunga coardă. Se poate trasa o infinitate de diametre BC = două raze = 2R

BC = semicerc MN = arc de cerc TANGENTE DINTR-UN PUNCT EXTERIOR AM AN= AM OM⊥ AN ON⊥ Tangenta la cerc este perpendiculară pe rază în punctul de contact

35

POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ CERCURI ∗ exterioare ∗ OO ' > R + r ∗ nu au puncte în comun ∗ tangente exterioare ∗ 00 R r′ = + ∗ au un singur punct comun ∗ secante ∗ 00 R r′ < + ∗ au două puncte comune ∗ concentrice ∗ 0 0′= au acelaşi centru ∗ nu au puncte comune ∗ tangente interioare ∗ au un singur punct comun

36

TANGENTE COMUNE A 2 CERCURI MN şi PR sunt tangente exterioare AB şi CD sunt tangente interioare

UNGHIURI ÎN CERC Unghiul cu vârful în centrul cercului şi laturile raze ale cercului au măsura egală cu măsura arcului subîntins de laturile sale.

m MON( ) = m MN( )

Unghiul cu vârful pe cerc şi laturile sale coarde ale cercului are măsura egală cu jumătate din măsura arcului subîntins.

m AMB( ) =

m AB( )2

Unghiul cu vârful în interiorul cercului are ca măsură semisuma arcelor. Unghiul cu vârful în afara cercului are ca măsură semidiferenţa arcelor.

37

Teoreme remarcabile referitoare la cerc ∗ Diametrul perpendicular pe o coardă a cercului împarte coarda şi arcele corespunzătoare în câte două părţi egale şi reciproc. ∗ În acelaşi cerc sau în cercuri egale la unghiuri la centru egale corespund arce şi coarde egale şi reciproc. ∗ În acelaşi cerc sau în cercuri egale la arce egale corespund coarde egale şi reciproc. ∗ Arcele cuprinse între două coarde paralele sunt egale. ∗ În acelaşi cerc sau în cercuri egale coardele egale sunt egal depărtate de centru şi reciproc.

38

CERCUL – formule uzuale

2cercL Rπ=

2

180arc cercR nL π=

2

cercA Rπ= 2

sec 360tor cercR nA π=

3,1415......π =

39

PATRULATER INSCRIPTIBIL Un patrulater este inscriptibil dacă vârfurile sale se găsesc pe cerc. Laturile sale sunt coarde ale cercului, iar unghiurile sale sunt unghiuri cu vârful pe cerc. ∗ unghiurile opuse sunt suplementare

m A( ) + m C( ) = 180

m B( ) + m D( ) = 180

∗ Unghiul format de o diagonală cu una dintre laturi este egal cu unghiul format de cealaltă diagonală cu latura opusă.

m DAC( ) = m DBC( )

∗ Produsul unghiurilor diagonalelor este egal cu suma produselor lungimilor laturilor opuse. (Ptolomeu) AC BD AD BC DC AB⋅ = ⋅ + ⋅

40

POLIGOANE REGULATE ÎNSCRISE ÎN CERC Laturile poligoanelor regulate înscrise în cerc sunt coarde ale cercului.

Nr. laturi Nume

3n = triunghi

POLIGON

Latura nl

3 3l R=

Apotema na 3 2Ra =

Aria nS funcţie de R

2

33 34RS =

Aria nS

funcţie de nl

2

334lS =

Nr. laturi Nume

4n = pătrat

POLIGON

Lautra nl 4 2l R=

Apotema na 4

22Ra =

Aria nS funcţie de R

2

4 2S R=

Aria nS

funcţie de nl

2

4S l=

41

Nr. laturi Nume

6n = hexagon

POLIGON

Latura nl 6l R=

Apotema na 6

32Ra =

Aria nS funcţie de R

2

63 32RS =

Aria nS

funcţie de nl S6 =

3l2 32

R = raza cercului circumscris poligonului na = apotemă – perpendiculara din centrul

cercului pe latura poligonului înscris Măsura unghiului unui poligon regulat

m x( ) = n − 2( )180

n n = nr. laturi

42

ARIA TRIUNGHIULUI BC baza a= = AD = înălţime h=

2 2ABCAD BC h aS ⋅ ⋅= = =

sin2

ab C

formula lui Heron:

SABC = p p − a( ) p − b( ) p − c( )

p =

a + b + c2

4ABCabcSR

= , cu R = rază cerc circumscris

triunghiului ABCS rp= , cu r = rază cerc înscris

Aria triunghiului dreptunghic – dublă exprimare

cat1 cat2 ipot înãl2 2BCAA ⋅ ⋅= = =

AB ⋅ AC2

Teorema de aditivitate a ariei SABC = SABM + SACM

43

PĂTRATUL

( )2 22

2 2ABCD

AC dS l= = =

Proprietăţi ∗ laturi egale [ ] [ ] [ ] [ ]AB BC DC AD= = =

∗ dreptunghiul cu 2 laturi succesive egale ∗ diagonalele se intersectează după segmente congruente ∗ diagonalele sunt perpendiculare ∗ diagonalele sunt axe de simetrie ∗ unghiuri egale 90=

m A( ) = m B( ) = m C( ) = m D( ) = 90

44

PARALELOGRAMUL

sinABCDS h a ab x= ⋅ =

Proprietăţi: ∗ laturile opuse sunt paralele şi egale ∗ unghiurile opuse sunt congruente ∗ unghiurile alăturate sunt suplementare ∗ diagonalele se taie după segmente egale

45

DREPTUNGHIUL

ABCDA AB BC L l= ⋅ = ⋅

Proprietăţi: ∗ laturile opuse sunt paralele şi egale

∗ m A( ) = m B( ) = m C( ) = m D( ) = 90

∗ diagonalele sunt congruente; AC BD= ∗ paralelogramul cu un unghi drept ∗ diagonalele se intersectează după segmente congruente; AO OC OD OB= = =

46

ROMBUL

2 sin2ABCD

AC DBS l x⋅= =

Proprietăţi: ∗ laturile sunt egale AB AD BC CO= = = ∗ unghiurile succesive sunt suplementere

m A( ) + m D( ) = 180

∗ unghiurile opuse sunt egale:

m A( ) = m C( ) şi

m D( ) = m B( )

∗ paralelogramul cu 2 laturi succesive congruente ∗ diagonalele se intersectează după de 90 şi segmente egale AO DB⊥ ; AO OC= ; DO OB= .

47

TRAPEZUL

( ) ( )22ABCD

AB CD B b hS

h⋅=

++=

ABCDS MN h= ⋅ linia mijlocie – MN ∗ uneşte mijloacele laturilor neparalele ale trapezului ∗ este paralelă cu bazele AB MN DC ∗ este egală cu semisuma bazelor

2 2

AB DC B bMN + += =

Proprietăţi: ∗ bazele sunt paralele, AB CD ∗ două unghiuri succesive sunt suplementare Trapezul isoscel AD BC=

m A( ) = m B( ) m D( ) = m C( )

Trapezul dreptunghic AD DC⊥ AD AB⊥

48

Drepte tăiate de o secantă Alterne interne ( )3 1,A B ;

A4, B2( )

Alterne externe ( )1 3,A B ;

A2, B4( )

Corespondente ( )1 1,A B ;

A2, B2( ) ;

A3, B3( ) şi

A4, B4( )

Drepte paralele = drepte coplanare distincte care nu au nici un punct comun. ______________ (d) ( ) ( )d g ______________ (g) T: Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne, alterne externe şi corespondente, respectiv congruente. T: Două drepte paralele determină pe alte două drepte paralele pe care le intersectează, segmente congruente.

49

PATRULATER CONVEX Un patrulater se numeşte convex dacă pentru oricare două puncte aflate în interiorul său segmentul ce le uneşte este inclus în interiorul patrulaterului. PATRULATER CONCAV Există două puncte în interiorul său astfel încât segmentul care le uneşte nu este inclus în interiorul patrulaterului. ∗ Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex 360= ∗ Patrulaterul cu diagonalele ⊥ este ortodiagonal. Cazuri de congruenţă ale triunghiului Două triunghiuri sunt congruente dacă fiecare latură a unuia dintre triunghiuri este congruentă cu o latură a celuilalt triunghi şi fiecare unghi al unuia din triunghiuri este congruent cu un unghi al celuilalt triunghi. Cazuri de congruenţă pentru triunghiul oarecare

I. L.U.L. II. L.L.L. III. U.L.U

Pentru triunghiurile dreptunghice

I. C.C. II. C.U. III. C.I. IV. I.U.

50

SIMETRIA FAŢĂ DE O DREAPTĂ Dacă o figură geometrică coincide cu simetrica ei faţă de o dreaptă, spunem că figura este simetrică faţă de dreapta dată, iar aceasta se numeşte axă de simetrie a figurii. Simetria unui punct axă de simetrie Simetria unei figuri

51

PRISMA Este corpul obţinut prin intersectarea unei suprafeţe prismatice cu două plane paralele. Prisma dreaptă ∗ Dacă generatoarea este perpendiculară pe planul bazei avem o prismă dreaptă

2 2BD d L l h′ = = + +

l bA P h= ⋅ hP = perimetrul bazei

At = Al + 2AB h = înălţimea piramidei

BV A h= ⋅ AB = aria bazei

Prismă triunghiulară Prismă oblică Cub

3d l=

At = 6l2 2 4lA l= ⋅

3V l= (l = latura cubului)

52

PIRAMIDA - Piramida regulată este piramida care are ca bază un poligon regulat şi înălţimea cade în centrul bazei. h = înălţimea piramidei

l bA P ap= ⋅

t l bA A A= + 13 bV A h= ⋅ ⋅

bP = semiperimetrul bazei ap = apotema piramidei ab = apotema bazei VT = apotema piramidei OT = apotema bazei TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂ - este corpul geometric obţinut prin intersectarea unei piramide cu un plan paralel cu baza şi depărtarea părţii de la vârf. 00 h′ = a trunchiului

02A BT′ ′′ ′ = = ap. bazei mici

2ABOT = = ap. bazei mari

( )

2l

B b hA

+ ⋅= ⋅ nr. feţelor

t lA A AB Ab= + +

( )3 B bhV AB Ab A A= + + ⋅

53

CILINDRUL CIRCULAR DREPT - se obţine prin înfăşurarea unui dreptunghi. Segmentul de pe lăţimea acestui dreptunghi determină prin identificare, o generatoare a cilindrului. AO R=

AA BB OO h G′ ′ ′= = = =

lA A= dreptunghiului AA BB′ ′

2lA RGπ=

( )2tA R R Gπ= +

54

CONUL Se obţine prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei catete. Astfel ipotenuza triunhgiului “generează” suprafaţa laterală a conului.

lA RGπ=

( )tA R R Gπ= +

213

V R hπ= ⋅ ⋅

2

3R hV π ⋅=

TRUNCHIUL DE CON - Se obţine prin secţionarea unui con circular drept cu un plan paralel cu baza conului. OA R= = raza bazei mari AA G′ = = generatoare O A r′ ′ = = raza bazei mici OO h′ = = înălţimea

( )lA G R rπ= +

( ) 2 2t l B bA A A A G R r R rπ π π= + + = + + +

( ) 2 2tA G R r R rπ π π+ + +

( )2 2

3hV R r R rπ ⋅= + + +

55

56