PROGRESII ARITMETICE

☻Def: Se numeste progresie aritmetica un sir de numere reale in

care fiecare termen se obtine din termenul anterior adunand o

constanta numita ratie (r)

☻Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie aritmetica daca b e

medie aritmetica intre a si c adica 2

a cb

☻an=a1+(n-1)r

☻Sn= 1(2 ( 1) )

2

n a n r unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an

PROGRESII GEOMETRICE

☻Def: Se numeste progresie geometrica un sir de numere reale in

care fiecare termen se obtine din termenul anterior inmultind cu o

constanta numita ratie (q).

☻Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie geometrica cu

termeni pozitivi daca b e medie geometrica intre a si c adica b ac

.

in general pentru o progresie geometica cu termeni oarecare a,b,c

sunt in progresie geometrica daca b2=ac

☻an=a1qn-1

☻Sn= 1

( 1)

1

nqa

q

unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an

PROBABILITATI

☻Probabilitatea=.

.

nr cazurifavorabile

nr cazuriposibile

LOGARITMI

☻ loga b =puterea la care il ridic pe a astfel incat sa dea pe b.

☻ loga b exista doar pentru 0, 0, 1a b a

☻ log b

a a b (cu ajutorul acestei formule orice numar real poate fi

scris ca log in orice baza vreau)

☻ loga b c revine la cb a

☻ logab+ logac= loga(bc)

☻logab- logac= loga(b

c)

☻logabp=p logab

☻1

log logp aab b

p

☻1

loglog

a

b

ba

☻ loga ba b

☻daca a>1 functia log e crescatoare adica logab> logac b>c

☻daca a<1 functia log e descrescatoare adica logab> logac b<c

EXPONENTIALA

☻x y x ya a a

☻

xx y

y

aa

a

☻ 1 x

xa

a

☻ y

x x ya a

COMBINARI

☻Permutari de n se noteaza Pn

Pn=n! si reprezinta numarul de multimi ordonate ce se pot forma

cu n elemente

☻Aranjamente de n luate cate k se noteaza k

nA

!

( )!

k

n

nA

n k

reprezinta nr de submultimi ordonate de cate k elemente

ce se pot forma dintr-o multime cu n elemente

☻Combinari de n luate cate k se noteaza k

nC

!

!( )!

k

n

nC

k n k

reprezinta nr de submultimi neordonate de cate k

elemente ce se pot forma dintr-o multime cu n elemente. 0 1 2 ... 2n n

n n n nC C C C

☻Numarul tuturor sumultimilor unei multimi cu n elemente este 2n

☻Numarul submultimilor cu cate k elemente ale unei multimi cu n

elemente este k

nC

FUNCTII

☻ Punctul A(a,b) se afla pe graficul functiei f daca f(a)=b

☻ Punctele de intersectie dintre graficele a doua functii f si g

se rezolva sistemul ( )

( )

y f x

y g x

Solutiile (x,y) reprezinta coordonatele punctelor de intersectie.

☻Inversa functiei f:

Daca ( )f x y atunci 1( )f y x

☻Intersectia cu Ox a graficului functiei f

se rezolva ecuatia f(x)=0

Daca x e o solutie a ecuatiei f(x)=0 .Punctul A(x,0) e un punct de

intersectie dintre axa Ox si graficul functiei f.

☻Intersectia cu Oy a graficului functiei f

Se calculeaza f(0) daca 0 e in domeniu de definitie.

Punctul B(0,f(0)) reprezinta intersectie dintre axa Oy si graficul

functiei f.

In cazul in care 0 nu se afla in domeniul de definitie al functiei ,

graficul functiei nu taie axa Oy.

FUNCTIA DE GRADUL DOI

☻Varful parabolei este ,2 4

bV

a a

-daca 0a varful este punct de minim

4a

este valoare minima iar

2

b

a

punct de minim

-daca a<0 varful este punct de maxim

4a

este valoare maxima iar

2

b

a

punct de maxim

☻Graficul functiei de gradul doi e tangent la axa Ox daca are

0 ☻Graficul functiei de gradul doi e situat deasupra axei Ox daca are

0

0a

☻Relatiile lui Viette

Pentru ecuatia de gradul doi cu radacini 1 2,x x au loc relatiile:

1 2

1 2

bx x

a

cx x

a

☻Observatie 2

22 2

1 2 1 2 1 22 2b c

x x x x x xa a

☻Ecuatia cu radacini 1 2,x x este 2 0x Sx P unde 1 2S x x iar

1 2P x x

☻

o Conditia ca 2 0a bx c x este 0, 0a

o Conditia ca 2 0a bx c x este 0, 0a

o Conditia ca 2 0a bx c x este 0, 0a

o Conditia ca 2 0a bx c x este 0, 0a

☻

Conditia ca ecuatia 2 0a bx c sa aibe doua solutii reale este 0

Conditia ca ecuatia 2 0a bx c sa aibe doua solutii egale este 0

Conditia ca ecuatia 2 0a bx c sa nu aibe solutii reale este 0

VECTORI IN PLAN

☻Modulul vectorului v a i b j este 2 2v a b

☻Produsul scalar a doi vectori v a i b j si w c i d j este

v w a c b d

☻Suma a doi vectori v a i b j si w c i d j este

( ) ( )v w a c i b d j

☻Conditia ca doi vectori sa fie coliniari doi vectori v si u sunt

coliniri daca exista a numar real astfel incat v a u

Daca vectorii sunt dati sub forma v a i b j si u c i d j conditia

de coliniaritate revine la a b

c d

☻Daca ( , )A AA x y si ( , )B BB x y atunci ( ) ( )B A B AAB x x i y y j

☻Daca ( , )A AA x y vectorul de pozitie al lui A este A AOA x i y j se

mai noteaza Ar

TRIGONOMETRIE

☻ sin(180 ) sino x x ☻ cos(180 ) coso x x

☻ sin(90 ) coso x x ☻ cos(90 ) sino x x

☻ 2 2sin cos 1x x oricare ar fi x real

☻sin

cos

xtgx

x

cos

sin

xctgx

x

x 0 π/6(30o) π/4(45o) π/3(60o) π/2(90o)

sinx 0 1

2 2

2

3

2

1

cos x 1 3

2

2

2

1

2 0

tgx 0 1

3 1 3 Nu

exista

ctgx Nu

exista 3 1 1

3 0

GEOMETRIE

☻Ecuatia dreptei AB :

1

1 0

1

A A

B B

x y

x y

x y

☻Panta dreptei AB

o daca stiu doua puncte panta este A BAB

A B

y ym

x x

o daca dreapta e data sub forma y=mx+n atunci m este panta

o daca ecuatia e sub forma ax+by+c=0 panta este

a

b

o Obs : dreptele verticale (x=a) nu au panta

☻Ecuatia unei drepte cand stiu un punct A si panta m este ( )A Ay y m x x

☻Conditia de paralelism a doua drepte 1 21 2 d dd d m m

☻Distanta dintre doua puncte 2 2| | ( ) ( )A B A BAB x x y y

☻mijlocul segmentului AB este ( , )2 2

A B A Bx x y yM

☻Conditia ca trei puncte A,B,C sa fie coliniare

1

1 0

1

A A

B B

C C

x y

x y

x y

☻Punctul de intersectie dintre doua drepte se determina rezolvand

sistemul facut de ecuatiile lor.

☻Aria triunghiului ABC este 2

ABCS

unde

1

1

1

A A

B B

C C

x y

x y

x y

☻Aria triunghiului 2

ABC

baza inaltimeaS

☻Aria triunghiului echilateral cu latura l este: 2 3

4

lS

☻In triunghiul dreptunghic mediana e jumatate din ipotenuza

☻Aria triunghiului ABC (Heron) ( )( )( )ABCS p p a p b p c unde

2

a b cp

☻Aria triunghiului ABC= sin

2

BC AC C =

sin

2

BC AB B =

sin

2

AB AC A

☻Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic b2+c2=a2

☻Teorema cosinusului 2 2 2 ˆ2 cos( )BC AC AB AB AC A 2 2 2 2 cos( )AC AB BC AB BC B 2 2 2 2 cos( )AB AC BC BC AC C

☻Teorema sinusurilor 2sin sin sin

BC AC ABR

A B C unde R raza cercului

circumscris triunghiului

☻Prima bisectoarea este bisectoarea cadranului 1 in reperul xOy si are

ecuatia y=x.

☻A doua bisectoarea este bisectoarea cadranului 2 in reperul xOy si

are ecuatia y=-x.

☻Mediana in trunghi este segmentul ce uneste un varf cu mijlocul

laturii opuse

☻Mediatoarea unui segment e perpendiculara pe mijlocul segmentului

☻Inaltimea in tringhi e perpendiculara din varf pe latura opusa

☻Bisectoarea este semidreapta care imparte un unghi in 2 unghiuri

congruente.

☻In trunghiul dreptunghic _

sinCateta opusa

ipotenuza

_cos

Cateta alaturata

ipotenuza

CONDITII DE EXISTENTA

☻ ( )E x ( ) 0E x

☻ 3 ( )E x exista oricare ar fi x real deci nu se pun conditii de existenta

☻ log ( )a E x ( ) 0E x 0a 1a

☻ daca avem numitor , avem conditia numitor diferit de 0.

☻ arcsin ( )E x 1 ( ) 1E x

☻ arccos ( )E x 1 ( ) 1E x

☻ ( )tgE x ( ) 22

E x k

☻ domeniul maxim de definitie se obtine din conditiile de existenta

ale expresiei care da functia.