Formule Matematica BAC M2

7/28/2019 Formule Matematica BAC M2

1/16

Formule de analiz matematic

Asimptote

Asimptote orizontalePentru a studia existena asimptotei orizontale spre + la graficul unei funcii se

calculeaz lim ( )x f x+ .

Cazul 1. Dac aceast limit nu exist sau este infinit atunci graficul nu are asimptot

orizontal spre + .Cazul 2. Dac aceast limit existi este finit,egal cu un numr real l,atunci graficul

are asimptot orizontal spre + dreapta de ecuaie y= l.Analog se studiaz existena asimptotei orizontale spre

Asimptote obliceAsimptota oblic spre + (dac exist) are ecuaia y=mx+n unde m i n se calculeaz cuformulele:

[ ]

( )lim

lim ( )

x

x

f xm

x

n f x m x

+

+

=

=

Analog se studiaz existena asimptotei oblice spre

Asimptote verticaleSe calculeaz

0

0

lim ( )x x

x x

f x

.

Dac una din aceste limite este infinit atunci graficul are asimptot vertical dreapta de

ecuaie 0x x= .

Derivata unei funcii intr-un punct:

0

0

0

0

( ) ( )

( ) limx xf x f x

f x x x

=

Tangenta la graficul unei funcii in punctul de abscis x0:

0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x =


2/16

Reguli de derivare:

2

( )

( )

( )

( )

f g f g

f g f g

c f c f

f g f g f g

f f g f g

g g

+ = +

=

=

= +

=

Tabel cu derivatele unor funcii uzuale Tabel cu derivatele funciilor compuse

( )

( )

( )

( )

2

3 2

4 3

1

2

0

1

( ) 2

( ) 3

( ) 4

( )

1 1

1

2

ln

n n

x x

x x

x x

c

x

x x

x x

x x

x n x

x x

xx

e e

e e

a a a

=

=

=

= =

=

=

=

=

=

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

1ln

1log

ln

sin cos

cos sin

1

cos

1

sin

1arcsin

1

1arccos

1

1

1

1

1

a

xx

xx a

x x

x x

tgxx

ctgxx

xx

xx

arctgxx

arcctgxx

=

=

=

=

=

=

=

=

=+

= +

( )

( )( )

( )

2

3 2

4 3

1

2

( ) 2

( ) 3

( ) 4( )

1

2

ln

n n

u u

u u

u u

u u u

u u u

u u u

u n u u

u

u u

uu

u

e e u

e e u

a a a u

=

=

= =

=

=

=

=

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

ln

logln

sin cos

cos sin

cos

sin

arcsin1

arccos1

1

1

a

uu

u

uu

u a

u u u

u u u

utgu

u

uctgu

u

uu

u

uu

u

uarctgu

u

uarcctgu

u

=

=

=

=

=

=

=

=

=+

= +


3/16

Tabel cu integrale nedefinite

2

32

43

1

1

2

3

4

1

1ln

ln

nn

x x

x x

xx

dx x C

xxdx C

xx dx C

xx dx C

xx dx C

n

dx x C x

e dx e C

e dx e C

aa dx C

a

+

= +

= +

= +

= +

= ++

= +

= +

= +

= +

( )

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

sin cos

cos sin

1

cos

1sin

1 1

1 1ln

2

1ln

1 ln

1arcsin

xdx x C

xdx x C

dx tgx C x

dx ctgx C x

xdx arctg C

x a a a

x adx C

x a a x a

dx x x a C x a

dx x x a C x a

xdx C

aa x

= +

= +

= +

= +

= ++

= +

+

= + + ++

= + +

= +

Formula de integrare prin pri pentru integrale nedefinite este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx =

Formula de integrare prin pri pentru integrale definite este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b

b

aa a

f x g x dx f x g x f x g x dx =

Aplicaii ale integralei definite

Aria subgraficului unei funciiDac : [ , ]f a b este o funcie continu pozitiv atunci avem:

( ) ( )b

fa

A f x dx = Volumul unui corp de rotaie

Dac : [ , ]f a b este o funcie continu atunci avem:

2( ) ( )b

fa

V C f x dx=


4/16

2

32

43

1

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2

( )( ) ( )3

( )( ) ( )

4

( )( ) ( )

1

( )ln ( )( )

( )

( )

( )ln

nn

u x u x

u x u x

u xu x

u x dx u x C

u xu x u x dx C

u xu x u x dx C

u xu x u x dx C

u xu x u x dx C

n

u xdx u x C u x

e u x dx e C

e u x dx e C

aa u x dx C

a

+

= +

= +

= +

= +

= ++

= +

= +

= +

= +

2

2

2 2

2 2

2

2 2

sin ( ) ( ) cos ( )

cos ( ) ( ) sin ( )

( )

( )cos ( )

( )( )

sin ( )

( ) 1 ( )

( )

( ) 1 ( )ln

( ) 2 ( )

( ) ln ( ) ( )( )

u x u x dx u x C

u x u x dx u x C

u x

dx tgu x C u x

u xdx ctgu x C

u x

u x u xdx arctg C

u x a a a

u x u x adx C

u x a a u x a

u x dx u x u xu x a

= +

= +

= +

= +

= +

+

= +

+

= ++

( )2

2 2

2 2

2 2

( )ln ( ) ( )

( )

( ) ( )arcsin

( )

a C

u xdx u x u x a C

u x a

u x u xdx C

aa u x

+ +

= + +

= +


5/16

Formule de algebr

Ecuaia de gradul doi

Ecuaia 2 0ax bx c+ + = .Se calculeaz 2 4b ac = Dac 0 > atunci ecuaia de gradul doi are dou rdcini reale diferite date de formula

1 2,2

bx xa

=

Dac 0 = atunci ecuaia de gradul doi are dou rdcini reale egale date de formula1 2

2

bx x

a= =

Dac 0 < atunci ecuaia de gradul doi are dou rdcini complexe diferite date de formula1 2,

2

b ix x

a

=

2 1 2( )( )ax bx c a x x x x+ + = Relaiile lui Viete pentru ecuaia de gradul doi 2 0ax bx c+ + = :

1 2

1 2

bS x x

a

cP x x

a

= + =

= =

Alte formule folositoare la ecuaia de gradul doi:2 2 2

1 23 3 3

1 2

2

3

x x S P

x x S SP

+ =

+ =

Funcia de gradul doi

:f R R2( )f x ax bx c= + +

Graficul funciei de gradul doi este o parabol cu varful in punctul ,2 4

bV

a a

.

Dac a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minim a funciei este min4

fa

=

Dac a


6/16

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este:1( )

2

nn

n a aS

+=

Condiia ca trei numere a,b,c s fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:2

a cb

+=

Progresii geometrice

Formula termenului general:1

1

n

nb b q=

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este:1( 1)

1

n

n

b qS

q

=

Condiia ca trei numere a,b,c s fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este:2

b a c=

Numere complexe

z a bi= + este forma algebric a unui numr complex

( )cos sinz r i = + este forma trigonometric a unui numr complex unde:

2 2r a b= + este modulul numrului complex [0,2 ) este argumentul redus al numrului complex i se scoate din relaia btg

a =

2

2 2

1i

a bi a b

z a bi

= + = +

=

Formula lui Moivre

( ) ( )cos sin cos sinn

i n i n + = +

Elemente de combinatoric

! 1 2 3 ....!

!

( )!

!

!( )!

n

k

n

k

n

n nP n

nA

n k

nC

k n k

=

=

=

=

Binomul lui Newton:

Calculeaz numrul de submulimi ordonate cu k elemente ale unei mulimi cu n elemente

Calculeaz numrul de submulimi cu k elemente ale unei mulimi cu n elemente.


7/16

0 1 1 2 2 2( ) ... ...n n n n k n k k n nn n n n n

a b C a C a b C a b C a b C b + = + + + + + +

Formula termenului general din binomul lui Newton este 1k n k k

k nT C a b+ =

Formule cu logaritmi

loga b exist dac 0, 1, 0a a b> > log ca b c a b= = Aceast echivalen transform o egalitate cu logaritm intr-o egalitate fr logaritm

log 1 0

log 1

ln1 0

ln 1

lg1 0

lg10 1

log log log ( )

log log log

log log

loglog

log

1loglog

a

a

a a a

a a a

n

a a

ca

c

a

b

a

e

A B A B

AA B

B

A n A

bb

a

ba

=

=

=

=

=

=+ =

=

=

=

=

Probabilitatea unui eveniment

Se calculeaz cu formula:

.( )

.

nr cazuri favorabileP E

nr total cazuri posibile=

Legi de compoziie

Fie M o mulime nevid pe care s-a dat o lege de compoziie notat *.

Legea * este asociativ dac ( ) ( )x y z x y z = , ,x y z M Legea * este comutativ dac x y y x = ,x y M Legea * are element neutru e dac x e e x x = = x M Un element x M se numete simetrizabil dac x M astfel inct x x x x e = =


8/16

Relaiile lui Viete pentru ecuaia de gradul trei

Dac3 2 0ax bx cx d + + + = are rdcinile 1 2 3, ,x x x atunci avem:

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

bx x x

a

cx x x x x x

a

dx x xa

+ + =

+ + =

=

Relaiile lui Viete pentru ecuaia de gradul patru

Dac4 3 2 0ax bx cx dx e+ + + + = are rdcinile 1 2 3 4, , ,x x x x atunci avem:

1 2 3 4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4

1 2 3 4

bx x x x

a

cx x x x x x x x x x x x

ad

x x x x x x x x x x x xa

ex x x x

a

+ + + =

+ + + + + =

+ + + = =


9/16

Formule de trigonometrie

[ ]

[ ]

2 2

2 2

2 2

sin cos 1

sin : 1,1

sin( ) sin

cos : 1,1

cos( ) cos

sin cos2

cos sin2

( )

( )

sin 2 2sin cos sin 2sin cos2 2

cos2 cos sin

1 cos2cos2 2cos 1 cos

2

cos2

x x

x x

x x

x x

x x

tg x tgx

ctg x ctgx

x xx x x x

x x x

xx x x

+ =

=

=

=

=

=

=

= =

=

+= =

( )

( )

2 2

2

2

1 cos21 2sin sin

2

sin 3 sin (3 4sin )

cos3 cos (4cos 3)

sin( ) sin cos sin cos

sin( ) sin cos sin cos

cos( ) cos cos sin sin

cos( ) cos cos sin sin

1

xx x x

x x x

x x x

a b a b b a

a b a b b a

a b a b a b

a b a b a b

tga tgbtg a btga tgb

tgatg a b

= =

=

=

+ = +

=

+ =

= +

++ =

=1

sin

cos

cos

sin

tgb

tga tgb

xtgx

x

xctgx

x

+

=

=

formula fundamental a trigonometriei

funcia sin este impar

funcia cos este par

Formule pentru transformarea sumelor in pr

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2sin cos

2 2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

p q p qp q

p q p qp q

p q p qp q

p q p qp q

+ + =

+ =

+ + =

+ =

Formule pentru transformarea produselor in

sin( ) sin( )sin cos

2cos( ) cos( )cos cos

2

cos( ) cos( )sin sin

2

x y x yx y

x y xx y

y

x y xx y

+ + =

+ + =

+ =

y


10/16

3

2

3

2

33

1 3

33

3 1

tgx tg xtg x

tg x

ctg x ctgxctg x

ctg x

=

=

2

2

2

2

2

2sin

1

1cos

1

2

1

1

2

tx

t

tx

t

ttgx

t

tctgx

t

= +

=

+ = =

unde2

xt tg=

2

2

2

2

2

2sin2

1

1cos21

22

1

12

2

tgxx

tg x

tg xxtg x

tgxtg x

tg x

tg xctg x

tgx

= +

= + =

=

Ecuaii trigonometrice fundamentale

1)Ecuaia sinx a= are soluii daci numai dac [ ]1,1a .In acest caz soluiile sunt

{ }( 1) arcsin /kx a k + k .2)Ecuaia cosx b= are soluii daci numai dac [ ]1,1b . In acest caz soluiile sunt

{ }arccos 2 /x b k k + .

3)Ecuaia are soluii .tgx c= c

Soluiile sunt { }arc /x tgc k k + .

4)Ecuaia are soluii .ctgx d = d

Soluiile sunt { }arc /x ctgd k k + .

[ ]2

2

sin(arcsin )

sin(arccos ) 11.1

cos(arccos )

cos(arcsin ) 1

x x

x xx

x x

x x

=

=

= =


11/16

Formule de geometrie

1) Teorema lui Pitagora

Intr-un triunghi dreptunghic are loc relaia:2 2 2cateta cateta ipotenuza+ =

2)Teorema lui Pitagora generalizat(teorema cosinusului)

Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaia:2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A= +

3)Aria unui triunghi echilateral de laturl este:2 3

4

lAria =

4)Aria unui triunghi oarecare(se aplic atunci cand se cunosc dou laturi si unghiul dintre ele):

sin

2

AB AC AAria

=

5)Aria unui triunghi oarecare(se aplic atunci cand se cunosc toate cele trei laturi):

( )( )( )S p p a p b p c= formula lui Heron

unde2

a b cp

+ += este semiperimetrul.

6)Aria triunghiului dreptunghic este:

2

cateta catetaAria

=

7)Teorema sinusurilor

Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaia:

2sin sin sin

a b cR

A B C= = =

unde a,b,c sunt laturile triunghiului

A,B,C sunt unghiurile triunghiului

R este raza cercului circumscris triunghiului

8)Distana dintre dou puncte(lungimea unui segment):Dac A(x1,y1) i B(x2,y2) sunt dou puncte in plan atunci distana dintre ele este:

2 2

2 1 2 1( ) ( )AB x x y y= +

9)Mijlocul unui segment:Dac A(x1,y1) i B(x2,y2) sunt dou puncte in plan atunci mijlocul segmentului AB este

1 2 1 2,2 2

x x y yM

+ +

10)Vectorul de poziie al unui punct:

Dac A(x,y) atunci OA x i y j= + uuur r ur


12/16

http://matematica.noads11)Dac A(x1,y1) i B(x2,y2) sunt dou puncte in plan atunci vectorul AB

uuureste dat de formula:

2 1 2 1( ) ( )AB x x i y y j= + uuur r r

12)Ecuaia unei drepte care trece prin dou puncte dateDac A(x1,y1) i B(x2,y2) sunt dou puncte in plan atunci ecuaia dreptei AB se poate afla cu formula:

1 1

2 1 2 1

x x y y

x x y y

=

sau cu formula:

1 1

2 2

1

1 0

1

x y

x y

x y

=

13)Ecuaia unei drepte care trece prin punctul 0 0( , )A x y i are panta dat m

Este dat de formula:

0 0( )y y m x x =

14)Condiia de coliniaritate a trei puncte in plan

Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan.Punctele A,B,C sunt coliniare daci numai dac

1 1

2 2

3 3

1

1 0

1

x y

x y

x y

=

15)Aria unui triunghiFie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan.Aria triunghiului ABC este dat de formula

1

2ABCA =

unde este urmtorul determinant1 1

2 2

3 3

1

1

1

x y

x y

x y

=

16)Distana de la un punct la o dreapt

Dac 0 0( , )A x y este un punct i : 0d ax by c+ + = este o dreapt in plan atunci distana de la punctul A la dreapta

este dat de formula:

0 0

2 2( , )

ax by cdist A d

a b

+ +=

+

17)Panta unei drepteDac A(x1,y1) i B(x2,y2) sunt dou puncte in plan atunci panta dreptei AB este dat de formula:

2 1

2 1

y ym

x x

=

18)Condiia de coliniaritate a doi vectori in plan:

Fie 1 1 1v a i b j= +ur r r

i 2 2 2v a i b j= +uur r r

doi vectori in plan.Condiia de coliniaritate a vectorilor 1vur

i 2vuur

este:

1 1

2 2

a b

a b=


13/16

19)Condiia de perpendicularitate a doi vectori in plan:

Fie 1 1 1v a i b j= +ur r r

i 2 2 2v a i b j= +uur r r

doi vectori in plan.Avem:

1 2 1 2 1 2 0v v a a b b + =ur uur

(produsul scalar este 0)

20)Condiia de paralelism a dou drepte in plan

Dou drepte 1d i 2d sunt paralele daci numai dac au aceeai pant adic:

1 21 2 d dd d m m =

Altfel,dac dreptele sunt date prin ecuaia generala: 1 1 1 1: 0d a x b y c+ + = i 2 2 2 2: 0d a x b y c+ + =

atunci dreptele sunt paralele dac 1 1

2 2

a b

a b= .

21)Condiia de perpendicularitate a dou drepte in plan

Dou drepte 1d i 2d sunt perpendiculare daci numai dac produsul pantelor este egal cu 1 adic:

1 21 21d dd d m m =


14/16

Funcia cosinus

cos:R [ 1;1]

Exemple:

1cos

3 2

cos 1

cos0 1

cos 02

=

=

=

=

3 2cos

4 2

3cos 0

2

cos2 1

7 3cos

6 2

=

=

=

=

2250=5

4

00

360-1

900=2

1

3150=7

4

3000=5

3

2700=3

2

2400=4

3

3300=11

6

2100=7

6

1800=

1500=5

6

1350=3

4

1200=2

3

600=

3

450=4

300=6

0

1

2 2

2

3

2

1

2 2

2

3

2


15/16

Funcia sinus

sin:R [ 1;1]

Exemple:

3sin

3 2

sin 0

sin0 0

sin 12

=

=

=

=

3 2sin

4 2

3sin 1

2

sin 2 0

7 1sin

6 2

=

=

=

=

00

3600=2

-1

900

= 2

1

3150=7

4

3000=5

3

2700=3

2

2400=4

3

2250=5

4

3300=11

6

2100=7

6

1800=

1500=5

6

1350=3

4

1200=2

3

60

0=

3

450=4

300=6

0

1

2

2

2

3

2

1

2

2

2

3

2


16/16

Formule Matematica BAC M2

Documents

Transcript of Formule Matematica BAC M2