Var Imprimare m1 Bac 2010

download Var Imprimare m1 Bac 2010

If you can't read please download the document

Transcript of Var Imprimare m1 Bac 2010

Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p1. S se determine numrul naturalxdin egalitatea 1 5 9 ... 231 x + + + + = . 5p 2. S se rezolve n mulimea numerelor reale inecuaia 22 5 3 0 x x + . 5p 3. S se determine inversa funciei bijective 2: (0, ) (1, ), ( ) 1 f f x x = + . 5p 4. Se consider mulimea{ } 1, 2, 3,...,10 A = . S se determine numrul submulimilor cu trei elemente alemulimii A, care conin elementul 1. 5p 5. S se determinem\, astfel nct distana dintre punctele(2, ) A mi( , 2) Bm s fie 4. 5p 6. S se calculeze 23cos sin12 12 . Varianta 1Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 ,1SUBIECTUL II (30p) Varianta 001 1.Se consider matricea a bAb a = , cu, ab\ i0 b . 5pa)S se arate c dac matricea 2( ) X M \verific relaiaAX XA = , atunci exist, uv\ , astfelnct u vXv u = . 5pb) S se arate c *n ` , ( ) ( ) ( ) ( ), unde , .2 2n n n nn n nn nn na b a b a b a b x yA x yy x+ + + = = = 5p c)S se rezolve n mulimea 2( ) M\ecuaia 32 11 2X = . 2.Se consider 7a]i polinomul[ ]67X X 5 X f a = + + ] .5pa)S se verifice c,pentru orice 7b] , 0 b , are loc relaia 61 b = . 5pb)S se arate c 6 3 37 5 ( 4)( 4), x x x x + = + ] . 5p c)S se demonstreze c pentru orice 7a] , polinomulfeste reductibil n[ ]7X ] . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 1SUBIECTUL III (30p) Varianta 001 1. Se consider numrul real0 a >i funcia: f \ \,( )xf x e ax = . 5pa) S se determine asimptota oblic la graficul funcieifctre . 5pb) S se determine punctele de extrem local ale funciei f. 5pc) S se determine(0, ) a , tiind c( ) 1, f x x \ . 2. Se consider funcia( )ln: 0, , ( )xf f xx = \ . 5pa) S se arate c funcia( ) ( ) : 0, , ( ) 2 ln 2 , F Fx x x = \este o primitiv a funciei f. 5p b) S se arate c orice primitivG a funcieifeste cresctoare pe[ ) 1, . 5pc) S se calculeze aria suprafeei plane cuprinse ntre graficul funciei f , axaOx i dreptele de ecuaii 1xe=i x e = .. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. SUBIECTUL I (30p) Varianta 002 5p1. S se arate c numrul( )241 i este real. 5p2. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 3 1 131 2 1x xx x ++ =+ . 5p3. S se determine inversa funciei bijective ( ) : 1, f \ , ( ) 1xf x e = + .5p 4. S se determine probabilitatea ca, alegnd un numrabdin mulimea numerelor naturale de dou cifre, s avema b . 5p5. S se calculeze lungimea medianei dinA a triunghiuluiABC , unde( 2, 1), (2, 0), (0, 6) A B C . 5p6. Fie vectorii3 u mi j = +G G G i( ) 2 v m i j = G G G. S se determine0 m >astfel nct vectoriiuG ivG s fie perpendiculari. Varianta 2Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 2SUBIECTUL II (30p) Varianta 002 1.Se consider matricea 2( ) AM\ , 2 21 1A = . 5p a)S se arate c exista\ astfel nct 2. A aA = 5pb)S se calculeze 2009( )tA A . 5p c)S se rezolve ecuaia( )52, X A X = \ M . 2.Pentru, a bdin mulimea[0, ) M = se definete operaialn( 1)a ba b e e = + .5p a)S se arate c dac, ab M , atuncia b M . 5pb)S se arate c legea de compoziieeste asociativ. 5pc)Pentrun`,2 n , s se determinea M astfel nct de ori... 2n aa a a a =

. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 2SUBIECTUL III (30p) Varianta 002 1. Se consider irul( ) *nna`dat de( )10,1 ai ( )*11 ,n n na a a n+= ` . 5pa) S se arate c( )*0,1 ,na n ` . 5p b) S se demonstreze c irul( ) *nna`este strict descresctor. 5p c) S se arate c irul *( )nnb`, dat de 2 2 2 *1 2... ,n nb a a a n = + + + ` , este mrginit superior de 1. a 2. Se consider funcia 21: , ( )1f f xx x =+ +\ \ . 5pa) S se arate c funcia 2 3 2 1: , ( ) arctg ,3 3xF Fx x+ = \ \ \ , este o primitiv a funciei f. 5pb) S se calculeze aria suprafeei delimitate de dreptele0, 1, x x Ox = =i graficul funciei: g \ \ , ( ) (2 1) ( ) gx x f x = + . 5p c) S se calculezelim ( )nnnf xdx, unde *n` . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 3 SUBIECTUL I (30p) Varianta 003 5p 1. S se ordoneze cresctor numerele 3 42, 4, 5 . 5p2. S se determine valoarea minim a funciei: f R R,( )24 8 1 f x x x = + . 5p3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaialg( 1) lg(6 5) 2 x x + = . 5p4. S se determine probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea numerelor naturale de dou cifre, acesta s fie ptrat perfect. 5p5. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctul (6, 4) Ai este perpendicular pe dreapta : 2 3 1 0 d x y + = .5p 6. tiind c 1sin3 = , s se calculezecos 2 . Varianta 3Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 003 1.Se consider matricea( )30 1 11 0 11 1 0A = \ M . 5pa)S se verifice egalitatea 232 A A I = . 5p b)S se calculeze 1A. 5pc)S se arate c( )2009 2008 200832 A A A I + = + . 2.Se consider cunoscut c( ) , , ] Deste un inel comutativ, unde3 x y x y = + i3 3 12 x y x y x y = + D ,, x y ]. 5pa)S se arate c elementul neutru al legii de compoziie D este 4. 5pb)S se determine, ab]astfel nct ntre inelele( ) , , ] Di( ) , , + ]s existe un izomorfism de forma: f ] ] ,( ) f x a x b = + . 5pc)S se rezolve n mulimea] ecuaia 2009de 2009 ori... 2 3xx x x = + D D D

. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 3SUBIECTUL III (30p) Varianta 003 1. Se consider funcia( ) ( )2: 0, , 18 ln . f f x x x = \5pa) S se determine intervalele de monotonie ale funciei f. 5p b) S se determinea\ pentru care( ) ( ) , 0, . f x a x 5p c) S se determine numrul de rdcini reale ale ecuaiei( ) f x m = , unde m este un parametru real. 2. Se consider funciile 1: , ( )3a af f xx a = +\ \ , undea\. 5pa) S se arate c, pentru oricea\, funcia afare primitive strict cresctoare pe\. 5p b) S se calculeze( )320f xdx. 5pc) S se calculeze ( )30limaaf xdx. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 4 SUBIECTUL I (30p) Varianta 004 5p1. S se arate c numrul 21 11 1 i i + este real. 5p2. S se arate c vrful parabolei 25 1 y x x = + +este situat n cadranul III. 5p 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia19 10 3 1 0x x + = . 5p4. S se determine probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea numerelor naturale de trei cifre,acesta s aib exact dou cifre egale. 5p 5. S se determinea\ pentru care vectorii( 1) u ai a j = + +G G G i(5 1) 2 v a i j = +G G G suntperpendiculari. 5p6. S se calculeze lungimea laturiiBC a triunghiului ascuitunghicABCtiind c6 AB = ,10 AC =ic aria triunghiuluiABCeste egal cu 15 3 . Varianta 4Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 4SUBIECTUL II (30p) Varianta 004 1.Se consider matricea 1 2 22 2 1A = . 5pa)S se calculeze rangul matricei A. 5pb)S se demonstreze cdet( ) 0tA A = . 5pc)S se determine o matrice nenul( )3,2B _ Mastfel nct 2AB O = . 2.Se tie c( , ) GDeste grup, unde(3, ) G = i( 3)( 3) 3 x y x y = + D . Se consider funcia : (0, ) f G ,( ) 3 f x x = + .5pa)S se calculeze4 5 6 D D . 5p b)S se demonstreze c funciafeste un izomorfism de grupuri, de la( ) (0, ), la( ) , GD . 5pc)S se demonstreze c dac H este un subgrup al lui G care conine toate numerele naturale4 k ,atunci H conine toate numerele raionale3 q > . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 4SUBIECTUL III (30p) Varianta 004 1. Se consider funcia{ } ( )( )222 1: \ 1, 0 , .1xf f xx x+ =+\ \5pa) S se determine asimptotele graficului funciei f. 5pb) S se demonstreze c funciaf nu are puncte de extrem local. 5pc) S se calculeze() ( ) ( ) ( ) ( )2lim 1 2 3 ...nnf f f f n+ + + + , unde *n` . 2. Se consider irul( ) *2*1, ,1nn nn nxI I dx nx= + `` . 5pa) S se calculeze 1I . 5pb) S se arate c *1,nI n ` . 5pc) S se calculezelimnnI. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. SUBIECTUL I (30p) Varianta 005 5p1. S se calculeze 1 11 2 1 2 i i++ . 5p 2. S se rezolve n] inecuaia 210 12 0 x x + . 5p 3. S se determine inversa funciei bijective( ) ( ) : 1, 0, f , 2( ) 3log f x x = . 5p 4. S se determine numrul funciilor{ } { } : 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 f cu proprietatea c (1) (4) f f = . 5p5. S se determine coordonatele vrfuluiD al paralelogramuluiABCDtiind c( 2, 9), (7, 4), (8, 3) A B C . 5p 6. TriunghiulABCare 3B=i lungimea razei cercului circumscris egal cu 1. S se calculezelungimea laturiiAC . Varianta 5Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 5SUBIECTUL II (30p) Varianta 005 1. Se consider punctele(0, 6), (1, 4), ( 1, 8) A B Ci matricea 1 1 1 10 1 16 4 8M ab = , unde, a b\. 5pa)S se arate c punctele, , ABCsunt coliniare. 5pb)S se determine rangul matricei M n cazul3, 0 a b = = . 5pc)S se arate c dac unul dintre minorii de ordin trei ai lui M , care conin ultima coloan, este nul, atuncirang( ) 2. M= 2.Pe mulimea] definim legea de compoziie5 6 6 6 x y xy x y = + + + . 5pa)S se arate c legea este asociativ. 5pb)S se determine elementele simetrizabile ale mulimii] n raport cu legea . 5pc)S se rezolve ecuaia de 2009 ori ... 1xx x x x =

. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 5SUBIECTUL III (30p) Varianta 005 1. Se consider funcia( ) ( )( ) 2 1: 0, , ln .1xf f x xx = +\5pa) S se calculeze derivata funciei f. 5pb) S se determine punctele graficului funcieifn care tangenta la grafic este paralel cu dreapta deecuaie9 2 y x = . 5pc) S se arate c, dac1 x > , atunci 2( 1)ln .1xxx+ 2. Se consider funcia( ) ( )21: 0, , f f xx = \i irul 1( ) , (1) (2) ... ( ).n n na a f f f n= + + + 5pa) S se arate c( ) ( ) ( )11 ( ), 0,kkf k f xdx f k k++ . 5pb) S se calculeze( )1lim ,nnf xdxn`. 5pc) S se arate c irul 1( )n na este convergent. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 6 SUBIECTUL I (30p) Varianta 006 5p1. S se calculeze suma tuturor numerelor naturale de dou cifre care se divid cu 11. 5p2. S se determine funcia f de gradul al doilea tiind c( 1) 1, (0) 1, (1) 3 f f f = = = . 5p3. S se rezolve n mulimea( ) 0,ecuaiasin3 sin x x = . 5p 4. Cte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elemente ale mulimii{ } 2, 4, 6,8 ? 5p5. Se consider triunghiulABCcu vrfurile n(1, 2) A , (2, 2) B i(4, 6) C . S se calculezecos B . 5p6. S se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiuluiABCtiind c 6C=i6 AB = . Varianta 6Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 6SUBIECTUL II (30p) Varianta 006 1. Se consider permutarea 51 2 3 4 53 1 2 5 4S = . 5p a)S se calculeze 2009 . 5pb)S se dea exemplu de o permutare 5S astfel ncte i( )2e = . 5pc)S se demonstreze c, pentru orice 5S , existp`astfel nct pe = . 2.Se considera^, 1x , 2x , 3x ^ rdcinile ecuaiei 3 22 2 0 x x x a + =i determinantul1 2 33 1 22 3 1x x xx x xx x x = . 5pa)Pentru 1 a = , s se determine 1 2, x xi 3x . 5pb)S se arate c, pentru oricea\, ecuaia are o singur rdcin real. 5pc)S se arate c valoarea determinantuluinu depinde de a. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 SUBIECTUL III (30p) Varianta 006 61. Se consider funcia( ) ( )ln: 0, , .x xf f x e = \5p a) S se arate c( ) ( )( ) 1 ln , 0. f x f x x x = + >5pb) S se determine valoarea minim a funciei f. 5p c) S se arate c funciafeste convex pe( ) 0, . 2. Se consider, pentru fiecaren` , funciile 2: ( 1, ) , ( )1nn nxf f xx =+\i: ( 1, )ng \, 2 3 2 1( ) 1 ... ( )nn ng x x x x x f x= + + + . 5pa) S se calculeze 120( ) g xdx. 5p b) S se arate c 1*010 ( ) ,2 1nf xdx nn +` . 5p c) S se calculeze 1 1 1 1 1lim 1 ... , .2 3 4 2 1 2 nnn n + + + ` Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 7 SUBIECTUL I (30p) Varianta 007 5p 1. S se calculeze modulul numrului complex 87 4izi+=. 5p2. S se determine valoarea maxim a funciei: f R R,( )26 9 f x x x = + . 5p 3. S se rezolve n mulimea[ ) 0, 2ecuaia 1sin2x = . 5p4. S se determinen`pentru care mulimea{ } 1, 2,..., nare exact 120 de submulimi cu dou elemente. 5p 5. Se tie c, n triunghiulABC , vectoriiAB AC +JJJG JJJG iAB AC JJJG JJJG au acelai modul. S se demonstreze c triunghiulABCeste dreptunghic. 5p6. S se calculeze lungimea razei cercului nscris n triunghiulABCcare are lungimile laturilor egale cu3, 4 i 5. Varianta 7Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 7SUBIECTUL II (30p) Varianta 007 1.Se consider matricele( )1 2 3 40 1 2 3 , 0 0 0 10 0 1 2A B| | |= = |\ . i sistemul 2 3 4 32 3 22 1x y z ty z tz t+ + + = + + =+ =. 5p a)S se determine rangul matricei A. 5p b)S se determine mulimea soluiilor sistemului. 5p c)S se demonstreze c ecuaiaXA B =nu are soluii( )1,3X M ^ . 2.Se consider mulimea 2 2( )2 2k kk kG A k k | | = = | ` | \ . )] , i pentru fiecaret ]notm cu( ){ }1tH Akt k = ] . Se admite faptul c( ) , Geste un grup, unde este nmulirea matricelor. 5p a)S se arate c, n p ] ,( ) ( ) ( 1) A n Ap A n p = + + . 5pb)S se demonstreze c, pentru oricet ] , tHeste un subgrup al grupului( , ) G . 5pc)S se demonstreze c grupurile( , ) G i( , ) + ] sunt izomorfe. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 7SUBIECTUL III (30p) Varianta 007 1. Se consider funcia: (0, ) , ( ) ln f f x x = \i irul **1 1 1( ) , 1 ... ln , .2 3n nnx x n nn= + + + + ``5pa) S se determine asimptotele graficului funciei f. 5pb) S se arate c, pentru orice0 k > ,( ) ( )1 111f k f kk k< + 5p 5. Fie hexagonul regulatABCDEFde latur4 . S se calculeze modulul vectoruluiAC BD + . 5p6. S se arate c 2 2 291sin 1 sin 2 ... sin 902+ + + =

Varianta 9Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar 9SUBIECTUL II (30p) Varianta 009 1.Fie( ) ( ) ( ) , , , , ,A A B B C CAx y Bx y Cx ytrei puncte din plan i matricea( )3111A AB BC Cx yM x yx y| | |= | |\ .\ M . 5pa)S se arate c, dac, , ABCse afl pe dreapta de ecuaie2 y x = , atunci( ) det 0 M = . 5p b)S se arate c, dac triunghiul ABC este dreptunghic i are catetele de lungime 1, atunci( ) det 1 M = . 5pc)S se arate c, dacmatriceaMeste inversabil, atunci suma elementelor matricei 1M este 1. 2.Se consider mulimea de matrice,3a bA a bb a | | = `| \ . )] . 5pa)S se arate c, dacX A iY A , atunciX Y A + . 5pb)S se arate c, dacX A , Y A i 2XY O = , atunci 2X O =sau 2Y O = . 5pc)Admitem cunoscut faptul c A este inel n raport cu adunarea i nmulirea matricelor. S se determine elementele inversabile ale acestui inel. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 9SUBIECTUL III (30p) Varianta 009 1.Se consider funcia( ) : , sin f f x x x = \ \ . 5pa) S se arate c funciafeste cresctoare. 5p b) Admitem c pentru fiecaren` ecuaia( ) f x n =are o soluie unic nx . S se arate c irul

*( )nnx` este nemrginit. 5pc) S se calculezelimnnxn , unde irul( )1nnx a fost definit la b). 2. Fie funciile [ )1, : 0,1 , ( ) , ( )1 1nn nxf g f x g xx x = = \ , unde *n` . 5p a) S se calculeze 1220( ( ) ( )) f x g x dx . 5pb) S se arate c1*2010 ( ) ,2nng xdx n ` . 5p c) S se arate c 2 31 1 1 1lim ... ln 21 22 2 3 2 2nnn + + + + = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 10 SUBIECTUL I (30p) Varianta 010 5p 1.tiind cz ^ i c 21 0 z z + + = , s se calculeze 441zz+ . 5p 2. S se determine funciafde gradul nti, pentru care( ) ( ) ( ) 2 1 f f x f x = + , oricare ar fix\. 5p3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia ( ) lg 1 lg9 1 lg x x + = . 5p4. S se determine numrul termenilor raionali din dezvoltarea ( )1033 3 + . 5p5. S se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiuluiABC , tiind c( 1, 0), (0, 2), (2, 1) A B C . 5p 6. S se arate c unghiul vectorilor5 4 u i j = G G G i2 3 v i j = +G G G este obtuz. Varianta 10Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 10SUBIECTUL II (30p) Varianta 010 1.Se consider permutrile 3, e S , 1 2 31 2 3e = , 1 2 33 1 2 = . 5p a)S se calculeze 3 . 5pb)S se rezolve ecuaia 2009x e = , 3x S . 5pc)S se demonstreze c, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutrilor din 3Seste permutare impar. 2.Fie inelul[ ] { }, i a bi a b = + ] ] . 5pa)S se dea exemplu de un numr complexzastfel nct[ ] z i ]i[ ]2z i ] . 5pb)S se determine elementele inversabile ale inelului[ ] i ] . 5pc)S se arate c mulimea( ) ( ) { }, H m n m ni m n = + + ]este parte stabil a lui[ ] i ]n raport cu nmulirea. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 10SUBIECTUL III (30p) Varianta 010 1. Se consider funcia: f \ \, ( )( )2arctg ln 1 f x x x x = + . 5pa) S se arate c funciafeste convex pe\. 5pb) S se arate c funcia' feste mrginit. 5pc) S se demonstreze c( ) 0, f x x \. 2. Se consider irul( )1*1 20, ,1nn nn nxI I dx nx= +` . 5pa) S se calculeze 1I . 5p b) S se arate c *1,1nI nn +` . 5pc) S se calculezelimnnI. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 11 SUBIECTUL I (30p) Varianta 011 5p1. S se determine, a b\ tiind c numerele2, , a bsunt n progresie geometric i2, 17, asunt n progresie aritmetic. 5p 2. S se rezolve ecuaia( ) ( ) 0 f f x = , tiind c : , ( ) 3 2 f f x x = + \ \ . 5p 3. S se rezolve n mulimea[ ) 0, 2ecuaiatg( ) 1 2tg . x x = 5p 4. S se determine numrul funciilor{ } { } : 0,1, 2 0,1, 2 f care verific relaia(2) 2 f = . 5p 5. Se consider triunghiulABCi punctele, DE astfel nct2 , 2 AD DB AE EC = =JJJG JJJG JJJG JJJG. S se arate c drepteleDEiBCsunt paralele. 5p6. S se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , dac,4A=6B=i6. AB = Varianta 11Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 11 SUBIECTUL II (30p) Varianta 011 1.Pentru, , , abcd \, se consider matricea a b c db a d cAc d a bd c b a = i matricea transpus.tA5p a)Pentru1 a c = =i0 b d = = , s se calculezedet ( ) A . 5p b)S se arate c 4tAA I = , unde 2 2 2 2a b c d = + + + . 5pc)S se demonstreze c dac 4A O , atunci A este inversabil. 2.Se consider, , abc\i polinomul 3 2, f X aX bX c = + + + cu rdcinile 1 2 3, , x x x ^, astfel nct 1 2 31, 1, 1. x x x 5pa)S se demonstreze c3. a5pb)S se arate c, dac0 c < , polinomul are cel puin o rdcin real n intervalul( ) 0, . 5pc)S se arate c, dac1, 1, a c = = atunci1. b = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 11SUBIECTUL III (30p) Varianta 011 1. Se consider funcia{ } ( )| |1: 2 , .2xf f x ex =+\ \5pa) S se studieze derivabilitatea funcieifn punctul 00 x = . 5pb) S se determine punctele de extrem local ale funcieif .5p c) S se determine numrul de rdcini reale ale ecuaiei( ) f x m = , unde m este un parametru real. 2. Se consider funciile( )3: , sin6xf f x x x = + \ \i( ] : 0,1 g \ ,( )1sinxtg x dtt=.Se admite cunoscut faptul c( ) 0, 0. f x x 5p a) S se calculeze 10( ) f x dx. 5pb) S se arate c funcia g este strict descresctoare. 5p c) S se arate c( )00lim 0,9xxg x>> . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 12 SUBIECTUL I (30p) Varianta 012 5p 1. S se calculeze 1 11 1 i i++ . 5p2. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 1 2 72 3 6x xx x+ ++ =+ + . 5p3. S se rezolve n mulimea[ ) 0, 2ecuaia 1cos 2 .2x = 5p4. S se determine0 a >tiind c termenul din mijloc al dezvoltrii 12341aa + este egal cu 1848.5p5. S se determine ecuaia simetricei dreptei: 2 3 1 0 d x y + =fa de punctul( 3, 4) A . 5p6. tiind cctg 3 x = , s se calculezectg2x . Varianta 12Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 12 SUBIECTUL II (30p) Varianta 012 1.Se consider polinoamele[ ] , f g X \ , 21 f X X = + + , cu rdcinile complexe 1 2, x xi

2g aX bX c = + + , cu0 a . Fie matricele( )3, A V M^ , c b aA a c bb a c = i 1 22 21 21 1 111V x xx x = . 5pa)S se arate c 2 1det ( ) 3( ) V x x = . 5p b)S se arate c 1 21 1 2 22 21 1 2 2(1) ( ) ( )(1) ( ) ( )(1) ( ) ( )g gx gxAV g x gx xgxg x gx x gx = . 5pc)S se arate cdet ( ) 0 A=dac i numai dac0 a b c + + =saua b c = = . 2.Se consider funcia 5 5: f ] ] , 4( ) 4 f x x x = + . 5pa)S se calculeze (0) fi (1) f . 5pb)S se arate c funcia fnu este surjectiv. 5p c)S se descompun polinomul 454 [ ] X X X + ]n factori ireductibili peste 5] . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 12SUBIECTUL III (30p) Varianta 012 5p 1. Se consider funcia( ) ( )( ) ln 1: 0, ,xf f xx+ = \ . a) S se arate c irul( )1nnx unde( )1 1 1 1 1 11 ...2 2 3 3nx f f f fn n = + + + + este divergent.5pb) S se calculezelim ( )xf x. 5pc) S se arate c funciafeste descresctoare. 5p 2. Se consider funcia( ) ( )110: 1, ,t xf f x e t dt =\ . a) S se calculeze(2) f . 5pb) S se demonstreze relaia 1( ) , 1 f x xx > . 5pc) S se demonstreze relaia( ) ( )11 , 1 f x xf x xe+ = > . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 13 SUBIECTUL I (30p) Varianta 013 5p 1. S se arate c numrul 2 2(1 3) (1 3) i i + + este numr ntreg. 5p2. S se rezolve n \ \ sistemul de ecuaii 43x yxy+ = =. 5p3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia ( )6 2 1 x x = . 5p4. S se determine termenul care nu conine pexdin dezvoltarea 921xx| |+ |\ .. 5p5. S se calculeze distana de la punctul(3, 0) Ala dreapta: 3 4 1 0 d x y + =. 5p 6. TriunghiulABCare4, 5 AB BC = =i6 CA = . S se arate c( ) ( ) 2 . m B m C = ) ) Varianta 13Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 13SUBIECTUL II (30p) Varianta 013 1.Se consider sistemul de ecuaii 133x y zx y zmx y z m + = + + =+ + =, undem\. Pentru fiecarem\, notm cu mSmulimea soluiilor reale ale sistemului. 5pa)S se determinem\ pentru care sistemul are soluie unic. 5pb)S se arate c pentru oricem\ sistemul este compatibil. 5p c)S se determine { }2 2 21min ( , , ) x y z x y z S + + . 2.Se consider matricele 0 11 0A| |= |\ ., 0 11 1B| |= |\ ., 21 00 1I| |= |\ .,C AB = i mulimea ( ) ( ){ } 2det 1 G X X = = M ^ . 5pa)S se verifice c 4 62. A B I = =5p b)S se arate c( ) , Geste un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile de ordin doi, cu elemente numere complexe. 5pc)S se demonstreze c 2nC I , pentru oricen` . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 13SUBIECTUL III (30p) Varianta 013 1. Se consider funcia: f \ \, ( )3 3 23 4, f x x x x = + \ . 5pa) S se determine asimptota oblic a graficului funciei f spre . 5p b) S se arate c( ) ( ) { }2 2' 2 , 2, 1 f x f x x x x = + \ . 5pc) S se determine derivatele laterale ale funcieifn punctul 02. x = 2. Pentru *n`se consider funcia( ) ( )0: 0, , , 0xn tn nF F x t e dt x = >\ . 5pa) S se calculeze( )1, 0 F x x > . 5pb) S se determine punctele de inflexiune ale graficului funciei nF . 5pc) S se calculeze 2lim ( )xF x. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 14 SUBIECTUL I (30p) Varianta 014 5p1. S se calculeze 1 2 3 99lg lg lg ... lg2 3 4 100+ + + + . 5p2. S se determinea\pentru care( )23 0 a x ax a < , oricare ar fix\. 5p3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 3 38 9 4 x x = . 5p4. S se determine numrul elementelor unei mulimi tiind c aceasta are exact 45 de submulimi cudou elemente. 5p5. S se determine ecuaia drepteiAB tiind c(2, 3) Ai( 5, 4) B . 5p6. TriunghiulABCascuitunghic are2 3 AC =i lungimea razei cercului circumscris egal cu 2. S se determine msura unghiului B. Varianta 14Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 14SUBIECTUL II (30p) Varianta 014 1.Se consider matricea2 2 23 3 3a b cA a b ca b c = , unde, , abc\ . 5pa)S se calculeze rangul matricei A. 5p b)S se arate c existd \ astfel nct 2A dA = . 5p c)S se arate c exist matricele( )3,1K M \i( )1,3L M \ astfel nctA K L = . 2.Se consider numrul3 a i = ^ i polinomul[ ] f X _ , 4 24 16 f X X = + . 5p a)S se arate c( ) 0. f a =5pb)S se determine rdcinile polinomului f. 5p c)S se arate c polinomul f este ireductibil n[ ] X _ . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 14SUBIECTUL III (30p) Varianta 014 1. Pentru *, 3 n n ` se consider funcia( ) : , sinnn nf f x x = \ \i se noteaz cu nxabscisapunctului de inflexiune din intervalul0,2 , al graficului funciei nf . 5p a) S se arate c( ) ( )2 2 ''1 sin sin , , 3n nnf x nn x n x n n = `ix\. 5pb) S se arate c 1sin , 3nnx nn= . 5pc) S se calculezelim ( )n nnf x. 2. Se considera\ i funciile, : f F \ \, ( ) ( )3 22 2 23 5, .( 1) 1 1x x a x axf x F xx x x + + += =+ + + 5pa) S se arate c funciaFeste o primitiv a funcieif . 5pb) Pentru2 a = , s se determine aria suprafeei plane cuprins ntre graficul functiei f, axaOxi dreptele1 x =i2 x = . 5pc) S se determineaastfel nct 2 00 2( ) ( ) 2 Fxdx Fxdx = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 15 SUBIECTUL I (30p) Varianta 015 5p1. S se calculeze ( ) ( ) 3 3 3log 5 7 log 5 7 log 2 + + . 5p 2. S se determine funcia de gradul al doilea al crei grafic este tangent la axa Ox n punctul(1, 0)i trece prin punctul(0, 2) . 5p 3. S se rezolve n mulimea[ ) 0, 2ecuaiasin cos 0 x x + = . 5p 4. Cte numere naturale de patru cifre se pot forma cu elemente ale mulimii{ } 1, 3, 5, 7, 9 ? 5p5. S se determine ecuaia dreptei care conine punctul( 2, 2) A i este paralel cu dreapta determinat de punctele(2,1) C , ( 1, 3) D . 5p6. Fie 3,2 astfel nct 5cos13 = . S se calculezesin . Varianta 15Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 15SUBIECTUL II (30p) Varianta 015 1.Fie, , abc]i matricea a b cA c a bb c a| | |= | |\ .. 5pa)S se calculeze( ) det A . 5p b)S se arate c dac 0 a b c + + iA nu este inversabil n( )3_ M , atuncia b c = = . 5pc)S se arate c sistemul de ecuaii liniare 121212ax by cz xcx ay bz ybx cy az z+ + =+ + =+ + = admite numai soluia0 x y z = = = . 2.Se consider polinomul[ ] f X \ , 4 25 5 f X X = + , cu rdcinile 1 2 3 4, , , x x x x ^. 5p a)S se calculeze 1 2 3 41 1 1 1x x x x+ + + . 5pb)S se arate c polinomul f are toate rdcinile reale. 5pc)S se arate c dac g este un polinom cu coeficieni reali care are proprietatea c pentru orice x real ( ) ( ) gx f x , atunci exist[ 1, 1] a astfel nct. g af = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 15SUBIECTUL III (30p) Varianta 015 1. Pentru fiecare, 3 n n ` , se consider funcia:[0, ) , ( ) 1nn nf f x x nx = + \ . 5p a) S se arate c nfeste strict descresctoare pe[ ] 0;1i strict cresctoare pe[ ) 1; . 5p b) S se arate c ecuaia( ) 0, 0nf x x = >are exact dou rdcini(0,1)na i(1, )nb . 5pc) S se calculezelimnna, unde nas-a definit la punctul b). 2. Se consider irul( )nnI`, unde 102011I dxx=+ i 1*20,1nnxI dx nx= +` . 5pa) S se arate c 0.4I=5pb) Sse arate c 2 2 21, , 22 1n nI I n nn= ` . 5pc) S se arate c( )101 1 1 1lim 1 ... 1 .3 5 7 2 1nnIn + + + = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 16 SUBIECTUL I (30p) Varianta 016 5p 1. S se calculeze modulul numrului complex 22izi=+. 5p 2. S se determinea\ pentru care 22 0, x ax + + oricare ar fi numrul realx . 5p3. S se rezolve n intervalul[ ] 1,1 ecuaia 1arcsin arcsin2 3x + = . 5p4. S se rezolve ecuaia 8 10n nC C = ,, 10 n n ` . 5p5. S se afle msura celui mai mare unghi al triunghiuluiABCtiind c( ) ( ) ( ) 2, 2 , 2, 3 , 2, 3 A B C . 5p6. Fie,2 astfel nct 3sin5 = . S se calculezesin 2 . Varianta 16Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 16SUBIECTUL II (30p) Varianta 016 1.Se consider mulimea, , 00 1a bG X ab a | | = = > `|\ . )\ . 5pa)S se arate c dac, A B G , atunciAB G . 5pb)S se gseasc dou matrice, CD G pentru careCD DC . 5pc)S se arate c dacA G , atunci 22I A A G + . 2.Se consider, , a b c_ i polinomul 3 2f X aX bX c = + + + . 5pa)S se determine, , abcastfel nct polinomul f s aib rdcinile 1 21 x x = =i 32 x = . 5p b)S se arate c dac f are rdcina2 , atunci f are o rdcin raional. 5pc)S se arate c dac, , abc], iar numerele(0) fi(1) fsunt impare, atunci polinomul f nu are rdcini ntregi. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 16SUBIECTUL III (30p) Varianta 016 1. Se consider funcia: f \ \,( ){}221sin , \ 00 , 0x xf xxx= =\. 5pa) S se arate c funciafeste derivabil pe\. 5pb) S se calculezelim '( ).xf x 5pc) S se demonstreze c funcia f este mrginit pe\. 2. Pentru fiecare *n`se consider funcia:[0,1] , ( ) (1 )nn nf f x x = \ . 5p a) S se calculeze 120( ) f xdx. 5p b) S se arate c 101( )( 1)( 2)nxf xdxn n=+ +, oricare ar fin` . 5p c) S se calculeze 10limnnxf dxn | | |\ .. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 17 SUBIECTUL I (30p) Varianta 017 5p 1.S se arate cnumrul ( )31 3 i +este ntreg. 5p 2.S se determine imaginea funciei 2: , ( ) 2 f f x x x = + \ \ . 5p3.S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2 1 5 x + = . 5p 4.S se determine probabilitatea ca, alegnd un numrabdin mulimea numerelor naturale de dou cifre, s avem 4 a b + = . 5p5. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctul( 1,1) A i este perpendicular pe dreapta : 5 4 1 0 d x y + = . 5p6.S se calculeze perimetrul triunghiuluiABCtiind c6 AB = ,4B=i 6C= . Varianta 17Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 17SUBIECTUL II (30p) Varianta 017 1.Se consider matricele 1 30 1A = i 3 81 3B = . 5p a)S se calculeze 2 2A B . 5pb)S se calculeze2 3 42det( ) I A A A A + + + + . 5pc)S se arate c ecuaia 22X I =are o infinitate de soluii n( )2M ] . 2.Se consider polinoamele[ ] , f g X _ , 4 3 21 f X X X X = + + + + , cu rdcinile 1 2 3 4, , , x x x x ^i 21 g X = . 5pa)S se determine restul mpririi polinomuluifla polinomul g. 5pb)S se calculeze( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 1 1 1 x x x x . 5p c)S se calculeze( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4g x g x g x g x . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 17SUBIECTUL III (30p) Varianta 017 1. Se consider irul ( ) *nnx`, unde( )10,1 xi 5*13,4n nnx xx n++= ` . 5p a) S se arate c( )*0,1 , .nx n `5p b) S se arate c irul( ) *nnx` este convergent. 5p c) S se arate c 29lim16nnnxx+= . 2. Se consider o funcie: f \ \, cu proprietatea c( ) sin , . xf x x x = \5pa) S se calculeze 20( ) . x f xdx 5pb) S se arate c funciafeste integrabil pe intervalul0,2 . 5pc) S se arate c( )12cos1 f x dx. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 18 SUBIECTUL I (30p) Varianta 018 5p 1. S se rezolve n mulimea numerelor complexe ecuaia 22 4 0 x x + = . 5p2. S se afle valoarea minim a funciei: f \ \,2( ) 3 2 f x x x = + . 5p3. S se rezolve n intervalul[ ] 1,1 ecuaia 1arcsin arccos2 2x+ = . 5p4. Care este probabilitatea ca, alegnd un numr k din mulimea{ } 0,1, 2,..., 7 , numrul 7kCs fie prim. 5p 5. S se determinea\ pentru care vectorii3 u ai j = +G G Gi( ) 4 4 v i a j = + +G G G sunt coliniari. 5p6. S se calculeze ( )AB AC BC +JJJG JJJG JJJG, tiind c( 3, 4) A , (4, 3) B i(1, 2) C . Varianta 18Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 18SUBIECTUL II (30p) Varianta 018 1.Se consider matricea 30 0 01 0 0 ( )1 1 0A = \ M . 5pa)S se calculeze 3A . 5pb)S se afle rangul matricei 3tI A A + + . 5pc)S se determine inversa matricei 3I A + . 2.Se consider, a b\ i polinomul 3 24 20 f X aX X b = + + + , cu rdcinile 1 2 3, , x x x ^ . 5pa)S se determine 1 2 3, , x x xn cazul2, 0 a b = = . 5p b)S se demonstreze c2 2 2 21 2 1 3 2 3( ) ( ) ( ) 8(4 15) x x x x x x a + + = . 5pc)S se determine, a bastfel nct polinomulfs aib o rdcin dubl egal cua . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 18SUBIECTUL III (30p) Varianta 018 1. Se consider funcia 2 1:[0, ) [0, ), ( )2xf f xx+ =+ i irul ( )n nx` dat de 0 12, ( ), .n nx x f x n+= = `5pa) S se determine asimptotele graficului funciei f. 5pb) S se arate c irul( )n nx`, are limita 1. 5pc) S se arate c irul( )n ny` dat de 0 1 2... ,n ny x x x x n = + + + + este convergent. 2. Se consider funciile: , ( ) 1 cos f f x x = + \ \i( ) ()0: ,xF F x x f t dt =\ \ . 5p a) S se calculeze 20( ) f xdx. 5pb) S se arate cFeste funcie par. 5pc) S se determine intervalele de monotonie ale funcieiF . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 19 SUBIECTUL I (30p) Varianta 019 5p 1. S se ordoneze cresctor numerele 3 43, 5, 8 . 5p 2. S se determine funcia: f \ \ tiind c graficul su i graficul funciei: g \ \ ,( ) 3 3 gx x = +sunt simetrice fa de dreapta1 x = . 5p 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2 1 13 10 3 27 0x x + + + = . 5p4. S se determine probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea numerelor naturale de trei cifre, acesta s aib toate cifrele pare. 5p5. S se determine ecuaia medianei duse din vrful A al triunghiului ABC , unde (1, 2) A , (2, 3) Bi(2, 5) C .5p6. S se arate c ctg1 tg1ctg 22= . Varianta 19Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 19SUBIECTUL II (30p) Varianta 019 1.Se consider sistemul 1000x y z tx y z tx y z tx y z t+ + + = + + =+ + = + + = iA matricea sistemului. 5pa)S se calculeze( ) det A . 5pb)S se rezolve sistemul. 5p c)S se determine 1A. 2.Fie polinomul[ ]4 3 22 2 1 f X X aX X X = + + + \i 1 2 3 4, , , x x x x ^ rdcinile sale. 5p a)S se calculeze 1 2 3 41 1 1 1x x x x+ + + . 5pb)S se arate c( )221 12 2 , f x x x x a xx x | | | |= + + + ||\ . \ . \ . 5pc)S se determinea\ pentru care toate rdcinile polinomului f sunt numere reale. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 19SUBIECTUL III (30p) Varianta 019 1. Se consider funcia( )2: 2, 2 , ( ) ln2xf f xx+ =\ . 5pa) S se determine asimptotele graficului funciei f. 5pb) S se determine punctele de inflexiune ale graficului funciei f. 5pc) S se calculeze 1lim ,axx fx unde a este un numr real. 2. Se consider funcia 3 222 5 8: , ( ) , .4x x xf f x xx + + = +\ \ \5pa) S se calculeze( )10 f xdx. 5p b) S se calculeze 421( ( ) 2) . x f x dx + 5pc) tiind c funciafeste bijectiv, s se calculeze( )2145f x dx. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 20 SUBIECTUL I (30p) Varianta 020 5p 1. S se arate c ( ) 32 log 4, 5 . 5p 2. S se rezolve n mulimea numerelor complexe ecuaia 22 2 0 x x + = . 5p3. S se rezolve n[0, 2 ) ecuaia sin cos 1 x x + = . 5p4. S se calculeze 4 4 44 5 6C C C + + . 5p5. Pe laturile AB i AC ale triunghiuluiABCse consider punctele M, respectiv N astfel nct 4 AM MB =JJJJG JJJG iMN BC . S se determinemR astfel nctCN mAC =JJJG JJJG.5p6. S se calculeze perimetrul triunghiului OAB , tiind c(0, 0) O ,( 1, 2) A i( 2, 3) B . Varianta 20Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 20SUBIECTUL II (30p) Varianta 020 1.Se consider triunghiul ABC, cu laturileAB c = ,BC a = ,CA b =i sistemul ay bx ccx az bbz cy a+ = + =+ =.5pa)S se rezolve sistemul n cazul3, 4, 5. a b c = = =5pb)S se demonstreze c, pentru orice triunghi, sistemul are soluie unic. 5pc)tiind c soluia sistemului este( )0 0 0, , x y z , s se demonstreze c( )0 0 0, , 1, 1 x y z . 2.Se consider mulimea 3,a bG a bb a | |= `|\ . )] . 5p a)S se determine numrul elementelor mulimii G. 5p b) S se arate cAB G , pentru orice, A B G . 5p c)S se determine numrul matricelor din mulimea G care au determinantul nul. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 20SUBIECTUL III (30p) Varianta 020 1. Se consider funcia( )2: , 2 3 2 5.xf f x e x x = + + \ \5p a) S se demonstreze c funcia f este strict cresctoare pe[ ) 0, . 5pb) S se arate c funciafnu este surjectiv . 5p c) S se calculeze ( )( )'limxf xf x . 2. Se consider funcia[ )2 31: 0, , ( )(1 )(1 )f f tt t =+ +\ . 5pa) S se calculeze 130( 1) ( ) t f t dt +. 5pb) S se arate c() ()1311, 0.xxf t dt t f t dt x = > 5pc) S se calculeze()1limxxxf t dt. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 21 SUBIECTUL I (30p) Varianta 021 5p1. S se rezolve n mulimea numerelor complexe ecuaia 28 25 0 x x + = . 5p 2. S se determinea\, pentru care graficul funciei: f \ \,( ) ( )2( ) 1 3 1 1 f x a x a x a = + + + ,intersecteaz axaOxn dou puncte distincte. 5p3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 8 6 1 1 x x + = .5p 4. S se calculeze 4 4 38 7 7C C C . 5p5. S se determine ecuaia perpendicularei duse din punctul(1, 2) Ape dreapta: 1 0 d x y + = . 5p 6. tiind c 1sin3x = , s se calculezecos 2x . Varianta 21Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 21SUBIECTUL II (30p) Varianta 021 1.Pentru , , abc\ , se consider sistemul ax by cz bcx ay bz abx cy az c+ + = + + =+ + = ,, , xyz \. 5pa)S se arate c determinantul sistemului este 2 2 2( )( ). a b c a b c ab ac bc = + + + + 5pb)S se rezolve sistemul n cazul n care este compatibil determinat.5pc)tiind c 2 2 20 a b c ab ac bc + + = , s se arate c sistemul are o infinitate de soluii( ) , , x y z ,astfel nct 2 21 x y z + = . 2.Se consider mulimea 4, ,0a bG a b cc | |= `|\ . )] . 5pa)S se determine numrul elementelor mulimii G. 5p b)S se dea un exemplu de matriceA G cu proprietatea c det 0 A i 2det 0 A = . 5pc)S se determine numrul soluiilor ecuaiei 2 1 0 0 0X| |= |\ .,X G . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 21SUBIECTUL III (30p) Varianta 021 1. Se consider funcia: f \ \,( ) ( 1)( 3)( 5)( 7) f x x x x x = . 5p a) S se calculeze ( )4limxf xx.5p b) S se calculeze( )1limxxf x. 5p c) S se arate c ecuaia( ) 0 f x =are exact trei rdcini reale. 2. Se consider funciile *2 21: , ( ) , .n nf f x nn x = +\ \ `5p a) S se calculeze aria suprafeei cuprinse ntre graficul funciei 1, faxele de coordonate i dreapta1. x = 5p b) S se calculeze( )1210( ) x f x dx. 5p c) S se arate c( ) lim (1) (2) (3) ... ( ) .4n n n nnn f f f f n+ + + + = Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 22 SUBIECTUL I (30p) Varianta 022 5p 1. S se calculeze 2 101 ... i i i + + + + . 5p2. Se consider funciile2, : , ( ) 3 2, ( ) 2 1 f g f x x x gx x = + = \ \ . S se rezolve ecuaia( )( ) 0 f g x = D . 5p3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia ( )2lg( 9) lg 7 3 1 lg( 9) x x x + + + = + +. 5p4. S se rezolve inecuaia 210nC < ,2 n , n natural. 5p5. Se consider dreptele paralele de ecuaii 1: 2 0 d x y =i 2:2 4 1 0 d x y = . S se calculeze distana dintre cele dou drepte. 5p6. S se calculezesin75 sin15 +D D. Varianta 22Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 22SUBIECTUL II (30p) Varianta 022 1.Fie sistemul 3 3 300 , cu, ,1x y zax by cz a b cax by cz+ + =+ + = + + =\, distincte dou cte dou i A matricea sistemului. 5p a)S se arate c( ) ( )( )( )( ) det A a b c c b c a b a = + + . 5pb)S se rezolve sistemul n cazul0 a b c + + . 5pc)S se demonstreze c dac 0 a b c + + = , atunci sistemul este incompatibil. 2.Se consider irul de numere reale( )n na`, cu 00 a =i 211n na a+= + ,n `i polinomul [ ] f X \ , cu(0) 0 f =i cu proprietatea c 2 2( 1) ( ( )) 1 f x f x + = + ,x \ . 5pa)S se calculeze( ) 5 f . 5pb)S se arate cn ` ,( )n nf a a = . 5p c)S se arate cf X = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 22SUBIECTUL III (30p) Varianta 022 1. Se consider funcia: f \ \, 4( )3xf xx=+. 5p a) S se calculeze( ), f x x \. 5pb) S se determine mulimea valorilor funciei f. 5p c) S se arate c( ) ( ) , , . f x f y x y x y \ 2. Se consider funcia 3: , ( ) 3 2 f f x x x = + \ \ . 5p a) S se calculeze 32( )1f xdxx . 5p b) S se calculeze 20113( )xdxf x. 5p c) S se determine punctele de extrem ale funciei 20: , ( ) ( )xtg gx f t e dt =\ \ . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 23 SUBIECTUL I (30p) Varianta 023 5p 1. S se calculeze suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice( )1nna, tiind c 4 24 a a = i

1 3 5 630 a a a a + + + = . 5p 2. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia2 3 12 2x xx x+ =+ . 5p3. S se calculeze 1tg arctg2 2 . 5p 4. S se determine probabilitatea ca, alegnd un element din mulimea { } 1, 2, 3,..., 40 , numrul 22 6n n + s fie ptrat perfect. 5p 5. S se calculeze coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC , dac( ) (5, 3), (2, 1), 0, 9 A B C .5p6. tiind ctg 2 = , s se calculezesin4 . Varianta 23Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 23SUBIECTUL II (30p) Varianta 023 1.Se consider matricea 0 51 0A| |= |\ . i mulimea( )5,a bCA X abb a | |= = `|\ . )^ . 5pa)S se arate c( ) X CA ,XA AX = . 5pb)S se arate c dac( ) Y C A i 22Y O = , atunci 2Y O = . 5p c)S se arate c dac( )2, Z C A Z O iZ are toate elementele raionale, atuncidet 0 Z . 2.Se consider 3a]i polinomul[ ]3 232 f X X a X = + + ] . 5pa)S se calculeze ( ) ( ) ( ) 0 1 2 f f f + + . 5pb)Pentru 2 a = , s se determine rdcinile din 3]ale polinomuluif . 5p c)S se determine 3a]pentru care polinomulfeste ireductibil n[ ]3X ] . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 23SUBIECTUL III (30p) Varianta 023 1. Se consider funcia: f \ \, 3( ) 1 f x x x = + + . 5pa) S se arate c, pentru oricen`, ecuaia( )131f xn= ++ are o unic soluie nx \. 5p b) S se arate clim 1nnx= , unde nxeste soluia real a ecuaiei( )131f xn= ++,n`. 5p c) S se determine( ) lim 1nnn x , unde nxeste soluia real a ecuaiei( )131f xn= ++,n`. 2. Se consider funcia[ )0sin: 0, , ( ) .1x tf f x dtt =+\5p a) S se arate c 01ln(1 ), 11adt a at= + > +. 5pb) S se arate c( ) ln(1 ), 0 f x x x < + > . 5pc) S se arate c( ) (2 ) f f > . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 24 SUBIECTUL I (30p) Varianta 024 5p 1. S se calculeze 1zz+pentru 1 32iz += . 5p2. S se determine funcia de gradul al doilea: f \ \ pentru care( 1) (1) 0, (2) 6 f f f = = = . 5p3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2 4 811log log log6x x x + + = . 5p4. S se demonstreze c dacx\ i1 x , atunci 2 2(1 ) (1 ) 4 x x + + . 5p5. S se determine ecuaia nlimii duse dinBn triunghiulABC , tiind c(0, 9) A ,(2, 1) B i(5, 3) C . 5p6. S se calculeze ( ) ( )2 5 3 4 i j i j + G G G G. Varianta 24Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 24SUBIECTUL II (30p) Varianta 024 1.Se consider o matrice( )3AM^ . Se noteaz cu tAtranspusa matricei A. 5pa)S se demonstreze cz ^,( )3X M^ ,( ) ( )3det det zX z X = . 5pb)S se demonstreze cdet ( ) 0tA A = . 5pc)tiind c tA A , s se demonstreze crang( ) 2tA A = . 2.Se consider polinomul[ ] f X _ , cu 4 25 4 f X X = + . 5pa)S se determine rdcinile polinomului f. 5pb)S se determine polinomul[ ] h X _ , pentru care(0) 1 h =i care are ca rdcini inverselerdcinilor polinomului f. 5p c)tiind c g este un polinom cu coeficieni ntregi, astfel nct( ) ( ) () ( ) 2 1 1 2 2 g g g g = = = = , s se arate c ecuaia( ) 0 g x =nu are soluii ntregi. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 24SUBIECTUL III (30p) Varianta 024 1. Se consider funcia: , ( ) sin f f x x x = \ \ . 5pa) S se arate c funciafeste strict cresctoare. 5pb) S se arate c graficul funciei nu are asimptote. 5p c) S se arate c funcia 3: , ( ) ( ) g gx f x = \ \este derivabil pe\. 2. Se consider funcia[ ) ( )2, 0: 0, , .1 , 0x xe exf f xxx > ==\ 5pa) S se arate c funciafare primitive pe[ ) 0, . 5p b) S se calculeze 10( ) xf xdx. 5pc) Folosind eventual inegalitatea1, ,xe x x + \s se arate c()00 1, 0.xf t dt x < > Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic informa- tic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - .informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 25 SUBIECTUL I (30p) Varianta 025 5p 1. S se calculeze( )( ) ( ) 1 1 2 3 2 i i i + . 5p2. S se arate c pentru oricarea\ , dreapta4 y x = +intersecteaz parabola( )22 1 y ax a x = + + . 5p3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2 12 3 2 8 0x x+ + = . 5p 4. S se determine probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea { } 10,11,12,..., 40 , suma cifrelor lui sfie divizibil cu 3. 5p 5. n triunghiul ABC punctele, , M N Psunt mijloacele laturilor. Fie H ortocentrul triunghiului MNP. Sse demonstreze c. AH BH CH = =5p 6. S se calculezesin sin6 4 6 4 + + . Varianta 25Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 25SUBIECTUL II (30p) Varianta 025 1.n mulimea 3Sa permutrilor de 3 elemente se consider permutarea 1 2 33 1 2 = . 5pa)S se verifice c permutarea este par. 5pb)S se determine toate permutrile 3x S , astfel nctx x = . 5pc)S se rezolve ecuaia 2x = , cu 3x S . 2.Se consider matricea 2 21 1A = i mulimea( ) { }{ } 2\ 1 G X a I aA a = = + \ . 5pa)S se arate c{ } , \ 1 ab \ ,( ) ( ) ( ) X a X b X ab a b = + + . 5pb)S se arate c( ) , Geste un grup abelian, unde ,, reprezint nmulirea matricelor. 5pc)S se determinet \astfel nct(1) (2)... (2009) ( 1) X X X Xt = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 25SUBIECTUL III (30p) Varianta 025 1. Se consider funcia( )21: (0, ) , ln2f f x x = \ . 5pa) S se arate c funcia este convex pe intervalul(0, ] e . 5pb) S se determine asimptotele graficului funciei. 5p c) S se arate c irul 3( )n na, dat de( )ln3 ln 4 ln5 ln...3 4 5nna f nn= + + + + , este descresctor. 2. Se consider funcia( ) : 0, , cos2f f x x = \ . 5pa) S se calculeze aria suprafeei cuprinse ntre graficul funcieifi axele de coordonate. 5pb) S se calculeze volumul corpului obinut prin rotirea graficului funciei f n jurul axeiOx . 5pc) S se calculeze 1 1 2 3lim 1 ... .nnf f f f fn n n n n| || | | | | | | | | | | | + + + + | ||||||\ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 26 SUBIECTUL I (30p) Varianta 026 5p 1. Fie 1zi 2zsoluiile complexe ale ecuaiei 22 50 0 z z + + = . S se calculeze 1 2z z + . 5p 2. Se consider funcia: f \ \,( ) 1 2 f x x = . S se arate c funciaf f f D Deste strictdescresctoare. 5p 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 3 9 2x x+ = . 5p 4. Fie mulimea{ } 2, 1, 0, 1, 2 A = i o funcie bijectiv: f A A . S se calculeze ( ) ( ) ( ) () ( ) 2 1 0 1 2 f f f f f + + + + . 5p 5. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele( ) 1, 3 Ai( ) 1, 1 B . S se determineecuaia mediatoarei segmentuluiAB.5p 6. Fie,2 cu 1sin3 = . S se calculezetg . Varianta 26Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 26SUBIECTUL II (30p) Varianta 026 1.Se consider matricele 0 11 0A = i cos sinsin cost tBt t = , cut \ . 5pa)S se arate c dac matricea 2( ) X M\verific relaiaAX XA = , atunci exist, ab\, astfel nct a bXb a = . 5pb)S se demonstreze c *n ` , cos sinsin cosnnt ntBnt nt = . 5pc)S se rezolve n mulimea 2( ) \ Mecuaia 2X A = . 2.Se considera\ i polinomul 4 3 23 2 1 [ ] f X X X aX X = + + \ . 5pa)S se calculeze 1 2 3 41 1 1 1x x x x+ + + , unde 1 2 3 4, , , x x x x ^ sunt rdcinile polinomului f . 5pb) S se determine restul mpririi polinomuluifla 2( 1) X . 5pc)S se demonstreze cfnu are toate rdcinile reale. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 26SUBIECTUL III (30p) Varianta 026 1. Fie funcia( ) : , arctg arcctg . f f x x x = R R5p a) S se determine asimptota la graficul funcieifspre . +5p b) S se arate c funciafeste strict cresctoare pe. R5p c) S se arate c irul( )1,nnx dat de( )1,n nx f x n+= Ni 10, x =este convergent .2. Fie funcia[ ] ( ) : 1, 1 , arcsin f f x x = R . 5p a) S se arate c funcia:[ 1,1] , ( ) ( ) g gx xf x = \are primitive, iar acestea sunt cresctoare. 5p b) S se calculeze 102( ) . f xdx 5p c) S se arate c 10( )4x f xdx. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. SUBIECTUL I (30p) Varianta 027 5p 1. S se calculeze modulul numrului complex2 3 61 z i i i i = + + + + + . 5p 2. S se determine valoarea maxim a funciei: f ,( )22 f x x x = + .5p 3. S se rezolve n intervalul( ) 0;ecuaia2lg 5lg 6 0 x x + = . 5p 4. S se determine numrul funciilor{ } { } : 0,1, 2, 3 0,1, 2, 3 f care au proprietatea( ) () 0 1 2 f f = = . 5p 5. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele( ) 0, 0 O , ( ) 1, 2 Ai( ) 3, 1 B . S sedetermine msura unghiuluiAOB . 5p 6. tiind c i c 1sin cos3 + = , s se calculezesin 2 . Varianta 27Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 27SUBIECTUL II (30p) Varianta 027 1.n mulimea( )' 2M ^ , se consider matricele 0 01 0A = i 21 00 1I = . 5pa)S se determine rangul matricei 2A I + . 5p b)S se demonstreze c dac( )' 2X M ^astfel nctAX XA = , atunci exist, x y ^ astfelnct 0 xXy x = . 5pc)S se demonstreze cecuaia 2Y A =nu are nicio soluie n mulimea( )' 2M ^ . 2.Pe mulimea\ se definete legea de compoziiex y x y xy = + + . 5p 5p a)S se arate c legea este asociativ. b)Fie funcia( ) : , 1 f f x x = + \ \ . S se verifice relaia( ) ( ) ( ), , f x y f x f y xy = \ . 5pc)S se calculeze 1 1 1 11 ...2 3 2008 2009 . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 27SUBIECTUL III (30p) Varianta 027 1. Fie funcia[ ] ( ) : 1, 1 , ( 1)arcsin . f f x x x = R 5p a) S se calculeze 20( )limxf xx x. 5p b) S se determine punctele n care funciafnu este derivabil.5p c) S se arate c funciafeste convex. 2. Se consider funciile: , f R R ( )2 3 41 f x x x x x = + + + +i: F \ \,( ) ()0.xF x f t dt = 5p a) S se arate c funciaFeste strict cresctoare pe. R5p b) S se arate c funciaFeste bijectiv.5p c) S se calculeze( )10,aF x dx unde 1F este inversa funcieiFi 1 1 1 11 .2 3 4 5a = + + + + Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 28 SUBIECTUL I (30p) Varianta 028 5p 1. S se calculeze( ) ( )10 101 1 i i + + . 5p2. Fie funcia: f \ \,( )26 3 f x x x = . S se ordoneze cresctor numerele ( ) ( )2 , 3 f fi( ) 2 f . 5p3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia2 1 3 x = . 5p 4. S se determine numrul funciilor{ } { } : 0,1, 2, 3 0,1, 2, 3 f care au proprietatea c( ) 0 feste numrimpar. 5p 5. Fie triunghiul ABC i( ) M BC astfel nct 13BMBC= . S se demonstreze c2 13 3AM AB AC = +JJJJG JJJG JJJG. 5p 6. tiind c,2 i c 3sin5 = , s se calculezetg . Varianta 28Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 28SUBIECTUL II (30p) Varianta 028 1.Se consider matricea 1 00 8A = . 5pa)S se rezolve ecuaia 2det( ) 0 A xI = . 5p b)S se arate c dac matricea( )2X ^ Mverific relaiaAX XA = , atunci exist, a b^ astfelnct 00aXb = 5pc)S se determine numrul de soluii ale ecuaiei 3X A = , 2( ) X ^ M . 2.Se consider mulimea de funcii( ){ }*, ,: , ,ab abG f f x ax b a b = = + \ \ \ \ . 5pa)S se calculeze 1, 2 1, 2f f D , unde D este compunerea funciilor. 5p b)S se demonstreze c( ) , GDeste un grup. 5pc)S se arate c grupul G conine o infinitate de elemente de ordin 2. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 28SUBIECTUL III (30p) Varianta 028 1. Fie funcia :[0, 3] , f R ( ) {} {} ( )1 , f x x x = unde{} xeste partea fracionar a numrului. x5p a) S se calculeze( )11lim .xxf x< 5p b) S se determine domeniul de continuitate al funciei. f5p c) S se determine punctele n care funciaf nu este derivabil. 2. Se consider funciile( )1: ,2 sinf f xx =R Ri [ ) ( )0: 0, , ( )xF F x f t dt + =R . 5p a) S se calculeze( )20cos . f x x dx

5p b) S se demonstreze c funciaFeste strict cresctoare. 5p c) S se determinelim ( ).xFx Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 29 SUBIECTUL I (30p) Varianta 029 5p 1. S se demonstreze c numrul7 4 3 7 2 3 a = + + este numr natural. 5p 2. Se consider funcia: f \ \, 2( ) 2 5 2 f x x x = + . S se rezolve inecuaia( ) 2 0 f x . 5p3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia2 x x = . 5p4. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd o mulime din mulimea submulimilor nevide ale mulimii { } 1, 2, 3, 4, 5, 6 A = , aceasta s aib toate elementele impare. 5p 5. Fie punctele( ) ( ) 2, 0 , 1,1 A Bi( ) 3, 2 C . S se calculezesinC . 5p 6. tiind c0,2 i ctg ctg 2 + = , s se calculezesin 2 . Varianta 29Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 29SUBIECTUL II (30p) Varianta 029 1.Se consider sistemul 012 1x y zmx y z mx my z+ + = + + = + + = ,m\ i matricea 1 1 11 11 2A mm| | |= |\ .. 5pa)S se determinem\ pentru care( ) det 0 A= . 5pb)S se arate c pentru oricem\ sistemul este compatibil. 5pc)S se determinem\ tiind c sistemul are o soluie 0 0 0( , , ) x y zcu 02 z = . 2.Se consider mulimea( )2 3M ] , submulimea( )2 32 a bG X Xb a | | = = ` |\ . )M ]i matricele 2 0 0 0 0O| |= |\ . i 2 1 0 0 1I| |= |\ .. 5pa)S se verifice c dac 3, x y ] , atunci 2 20 x y + =dac i numai dac 0 x y = = . 5pb)S se arate c mulimea 2\{ } H G O =este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din( )2 3M ] . 5pc)S se rezolve ecuaia 22, X I X G = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 29SUBIECTUL III (30p) Varianta 029 1. Se consider *n`i funciile 2 3 2 1 2 2 1, : , ( ) 1 ... , ( ) 1.n n nn n n nf g f x x x x x x g x x + = + + + = + \ \ 5p a) S se verifice c 2( ) ( )( ) , \ { 1}.1( 1)n nng x g xf x xxx = ++\5p b) S se calculeze 1lim .2nnf 5p c) S se demonstreze c nfare exact un punct de extrem local. 2. Se consider irul( )nnIN definit prin 130, .1nnxI dx nx= +N 5p a) S se calculeze 2. I5p b) S se demonstreze c irul( )nnIN este strict descresctor .5p c) S se calculezelim .nnI Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 30 SUBIECTUL I (30p) Varianta 030 5p 1. S se demonstreze c numrul 1 1 1 11 2 2 3 3 4 99 100+ + + ++ + + +este natural. 5p2. Se consider funcia: f ,( )22 f x x mx = + . S se determine mulimea valorilor parametrului real m pentru care graficul funcieifintersecteaz axa Ox n dou puncte distincte. 5p 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia( ) ( )3 3log 1 log 3 1 x x + + + = . 5p4. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd o mulime din mulimea submulimilor nevide ale mulimii{ } 1, 2, 3, 4, 5 A = , aceasta s aib produsul elementelor 120. 5p 5. Se consider punctele( ) ( ) 0, 2 , 1, 1 A B i( ) 3, 4 C . S se calculeze coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC. 5p 6. S se demonstreze c 2 2sin8 2 = . Varianta 30Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 30 SUBIECTUL II (30p) Varianta 030 1.Se consider numerele reale, , abc , funcia 3: , ( ) 2 3 f f x x x = + + \ \i determinanii3 3 31 1 1A a b ca b c=i 1 1 1( ) ( ) ( )B a b cf a f b f c= . 5pa)S se arate c( )( )( )( ) A a b b c c a a b c = + + . 5pb)S se arate cA B = . 5pc)S se arate c, pentru orice trei puncte distincte, cu coordonate naturale, situate pe graficul funciei , faria triunghiului cu vrfurile n aceste puncte este un numr natural divizibil cu 3. 2.Se consider matricea 1 33 9A | |= |\ . i mulimea( ){ } 2G X a I aA a = = + \ . 5pa)S se arate c, a b \,( ) ( ) ( ) 0 X a X X a =i( ) ( ) ( 10 ). XaXb Xa b ab = + 5pb)S se arate c mulimea( )110H X a a = ` ` ) )\ \este parte stabil a lui( )2\ Mn raport cunmulirea matricelor. 5pc)S se rezolve ecuaia 22, X I X G = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 30SUBIECTUL III (30p) Varianta 030 1. Se consider funcia( )3: , sin .6xf f x x x = R R 5p a) S se determine( ) lim .xf x 5p b) S se calculeze derivata a doua a doua funciei f. 5p c) S se demonstreze c( ) 0, 0. f x x 2. Fie funcia: , f R R ( )211xf xx+=+. 5p a) S se arate c funcia: , F R R ( )( )21arctg ln 12F x x x = + +este o primitiv a funciei. f5p b) S se calculeze 10( ) f xdx. 5p c) S se arate c irul( )nnaN, definit de 2 21,nnkn kan k=+=+nN , este convergent . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 31 SUBIECTUL I (30p) Varianta 031 5p 1. tiind c 3log 2 a = , s se arate c161 3log 244aa+= . 5p 2. S se determine dou numere reale care au suma 1 i produsul1 . 5p 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2 1 22 2 160.x x + ++ =5p 4. ntr-o clas sunt 22 de elevi, dintre care 12 sunt fete. S se determine n cte moduri se poate alege uncomitet reprezentativ al clasei format din 3 fete i 2 biei. 5p 5. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele( ) 2, 1 A ,( ) 1, 1 Bi( ) 1, 3 C .S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctul C i este paralel cu dreapta AB. 5p6. S se arate csin6 0 < . Varianta 31Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 31SUBIECTUL II (30p) Varianta 031 1.Pentrux^se consider matricea( )221 1( )1 1x xAxx + = M ^ . 5pa)S se verifice c ( )2( ) 2 ( ). Ax xAx =5pb)S se determine toate numerele complexexpentru care( ) ( )4 22( ) ( ) . Ax Ax O + =5pc)S se arate c ecuaia( ) ( )220 , X A X M = ^nu are soluii. 2.Se consider polinomul[ ] f X ^ ,( ) ( )100 100f X i X i = + + , care are forma algebric 100 99100 99 1 0... f a X a X a X a = + + + + . 5pa)S se calculeze 100a +99a . 5p b)S se determinerestul mpririi polinomuluifla 21 X . 5pc)S se demonstreze c polinomulfare toate rdcinile reale. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 31SUBIECTUL III (30p) Varianta 031 1. Se consider funcia( )2: , . | | f f x x x = R R 5p a) S se arate c graficul funcieifadmite asimptot spre. 5p b) S se determine domeniul de derivabilitate al funciei. f5p c) S se determine punctele de extrem local ale funciei f. 2. Se consider irul( )nnIN dat de 120, .1nnxI dx nx= +N5p a) S se calculeze 2. I 5p b) S se verifice c 21, .1n nI I nn++ = +N 5p c) S se calculezelim .nnnI Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 32 SUBIECTUL I (30p) Varianta 032 5p 1. Se consider numrul real 2 3 20091 1 1 1122 2 2s = + + + + + . S se demonstreze c( ) 1; 2 s .5p 2. Se consider funciile( ) , : , 2 1 f g f x x = i( ) 4 1 g x x = + . S se determine coordonatele punctului de intersecie a graficelor celor dou funcii. 5p 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2sin 1 cos x x = + . 5p 4. Fie mulimea{ } 2, 1, 0, 1, 2 A = . S se determine numrul funciilor pare: f A A . 5p 5. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele( ) 2, 1 A ,( ) 1, 1 Bi( ) 1, 3 C .S se determine coordonatele punctului D tiind c patrulaterul ABCD este paralelogram. 5p 6. tiind c;2x i c 3sin5x = , s se calculezesin2x. Varianta 32Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 32SUBIECTUL II (30p) Varianta 032 1.Se consider n 3\sistemul 11ax y zx ay zx y az a+ + = + + =+ + =,a\. 5pa)S se arate c determinantul matricei sistemului are valoarea 2( 2)( 1) . a a + 5pb)S se rezolve sistemul n cazul n care este compatibil determinat. 5pc)S se rezolve sistemul n cazul2 a = . 2.Se consider mulimea( )2G M _ , 2 210, 10 1 |a bG ab , a bb a | |= = `|\ . )_ . 5p a)S se verifice c 19 606 19A G| |= |\ .. 5pb)S se arate c X Y G , pentru oricare, XY G . 5pc)S se demonstreze c mulimea G este infinit. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 32SUBIECTUL III (30p) Varianta 032 1. Se consider funcia( ) ( ) : , arctg 2 arctg . f f x x x = + R R5p a) S se calculeze( ), . f x x R5p b) S se demonstreze c( ) 0 , .2f x x< R 5p c) S se demonstreze c funcia 2( 1): , ( ) ( ) arctg2xg gx f x+ = + \ \este constant. 2. Se consider funciile( )3: , arctg3xf f x x x = + R Ri( ) : , arctg . g g x x = R R5p a) S se calculeze 21'( ).f xdxx 5p b) S se determine 301lim ( ) .xxf t dtx 5p c) S se calculeze aria suprafeei cuprinse ntre graficele celor dou funcii i dreptele0 x =i1 x = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 33 SUBIECTUL I (30p) Varianta 033 5p 1. S se arate c numrul 34 3log 16 log 9 27 + +este natural. 5p 2. S se determine valoarea minim a funciei 2: , ( ) 3 4 2 f f x x x = + + \ \ . 5p 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 16 3 4 4x x+ = . 5p4. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un element din mulimea { }| , 100 n n n < ` , acesta s fie numr raional. 5p 5. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele( ) 2, 1 A ,( ) 1, 1 B ,( ) 1, 3 Ci( ) , 4 Da , unde. a\S se determinea\ astfel nct dreptele AB i CD s fie paralele. 5p 6. tiind cx\ i c 1tg2x = , s se calculezetg + .3x Varianta 33Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 33SUBIECTUL II (30p) Varianta 033 1.Se consider matricele 31 0 00 1 00 0 1I = , 0 1 00 0 11 0 0B = i 23A aI bB cB = + + ,, , abc\. 5p a)S se calculeze 3B . 5p b)S se calculeze 1B. 5pc)S se demonstreze c, , abc \,( ) ( ) det 0 a b c A + + . 2.Se consider corpul( )7, , + ]i { }27H x x = ] . 5pa)S se arate c {0,1, 2, 4} H = . 5pb)S se arate c, pentru orice 7a]exist 7, xy ] astfel nct 2 2a x y = + . 5pc)S se arate c 20007{ | } x x H = ] . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 33SUBIECTUL III (30p) Varianta 033 1. Fie funcia( ) ( )1: 0, , f f xx+ = \i irul 1( ) ,n na1 1 1 1... , .1 2 2 3 3na nn n= + + + + `5p a) S se arate c funciaf este strict cresctoare pe intervalul( ) 0, . + 5p b) S se demonstreze c 1 1 1 1, .2( 1) 1 1 2kk k k k k k< < + + +N5p c) S se demonstreze c irul 1( )n na este convergent. 2. Se consider funciile [ ) ( )0: 0, , arctg , .xnn nf f x t t dt n+ = R N 5p a) S se arate c( )211arctg , 02 2x xf x x x+= . 5p b) S arate c()11 , 14 1nf nn +. 5p c) S se calculeze() lim 1 .nnnf Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 34 SUBIECTUL I (30p) Varianta 034 5p 1. S se calculeze modulul numrului complex 4(3 4 ) z i = + . 5p 2. S se arate c vrful parabolei asociate funciei 2: , ( ) 2 2 1 f f x x x = + + \ \se gsete pe dreapta de ecuaie0 x y + = . 5p3. S se determine numrul soluiilor ecuaieisin sin 2 x x =din intervalul[0, 2 ) . 5p4. Fie mulimea{1, 2, 3, 4, 5} A = . S se determine numrul funciilor bijective : f A A , cu proprietatea c() 1 2 f = . 5p5. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele(2, 1) A , ( 1,1) B , (1, 3) Ci( , 4) Da , a\. S se determinea\ pentru care dreptele AB i CD sunt perpendiculare. 5p6. Se consider triunghiul ascuitunghic ABC n care are loc relaiasin cos sin cos B B C C + = + .S se demonstreze c triunghiul ABC este isoscel. Varianta 34Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 34SUBIECTUL II (30p) Varianta 034 1.Se consider matricele( ) ( ) ( )1,3 3,141 2 3 , 56K M L M|||= = |\.\ \iA LK = . 5pa)S se calculeze suma elementelor matriceiA. 5p b)S se arate c 232 A A = . 5p c)S se arate c rangul matricei nAeste 1, oricare ar fin` . 2.Pe mulimea\ se consider legea de compoziie6 x y axy x y = + ,, x y \, unde a este o constant real. 5pa)Pentru 13a = , s se demonstreze c legea este asociativ. 5pb)S se arate c legea admite element neutru dac i numai dac 13a = . 5pc)S se arate c, dac intervalul[ ] 0, 6este parte stabil a lui\ n raport cu legea , atunci 1 1,6 3a . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 34SUBIECTUL III (30p) Varianta 034 1. Se consider funcia( ) : 0, , f + R ( )1 3 1ln + ln1 2 2f x x xx = + + + i irul( ) ,nnaN

1 1 11 ... ln ,2 2na nn = + + + + . nN5p a) S se demonstreze c funciafeste strict cresctoare pe intervalul( ) 0, . +5p b) S se arate c( ) 0, f x < ( ) 0, . x +5p c) S se demonstreze c irul( )nnaN este strict descresctor . 2. Se consider funciile[ ] : 0, 1 ,nf R ( )0arcsin ,xnnf x t t dt =. nN 5p a) S se calculeze derivata funciei 3f . 5p b) S se calculeze 11.2f 5p c) S se determine( )112lim .xxf x< Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 35 SUBIECTUL I (30p) Varianta 035 5p 1. S se calculeze modulul numrului( ) ( )3 32 2 i i + + . 5p2. Graficul unei funcii de gradul al doilea este o parabol care trece prin punctele(1, 3), A ( 1, 3) B , (0,1) C . S se calculeze valoarea funciei n punctul2 x = .5p 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia3 4 6 2 9x x x = . 5p 4. Se consider mulimea{ } 0,1, 2,..., 2009 A = . S se determine probabilitatea ca, alegnd un elementdin mulimea A, acesta s fie divizibil cu 5. 5p 5. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele( ) 0, 3 A i( ) 4, 0 B . S se calculezedistana de la punctul O la dreapta AB. 5p 6. S se calculeze aria unui paralelogramABCDcu6 AB = ,8 AD =i( ) 135 m ADC=D) . Varianta 35Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 35SUBIECTUL II (30p) Varianta 035 1. Se consider matricele 1 2 12 2 01 4 3A | | |= |\ . i 215B|||=|\.. 5p a) S se arate c ecuaiaAX B =are o infinitate de soluii( )3, 1X M ^ . 5pb) S se verifice c 310 A A = . 5p c) S se determine rangul matricei *A , adjuncta matricei. A 2.Se consider mulimea[ 2] { 2 , } a b ab = + ] ] , funcia: [ 2] f ] ], 2 2( 2) 2 f a b a b + = ,, a b ] i mulimea( ){ }2 1 A x f x = = ] . 5p a)S se arate c7 5 2 A + . 5p b)S se arate c, pentru orice, 2 xy ] ,( ) ( ) ( ) f xy f x f y = . 5pc) S se arate c mulimeaA este infinit. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 35SUBIECTUL III (30p) Varianta 035 1. Se consider funcia: , f R R ( ) ln( 1)xf x x e = + . 5p a) S se arate c funciaf este strict descresctoare pe. R 5p b) S se arate clim ( ) 0, .axx f x a= \5p c) S se determine asimptotele graficului funciei. f 2. Fie irul( )nnIN dat de 220(2 ) , .nnI x x dx n= `5p a) S se calculeze 1I . 5p b) S se demonstreze c( )12 1 2 , , 2.n nn I nI n n+ = N 5p c) S se arate c irul( )nnI` tinde descresctor ctre 0. Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 36 SUBIECTUL I (30p) Varianta 036 5p 1. Se consider numrul raional 17 scris sub form de fracie zecimal infinit 1 2 310, ...7a aa = .S se determine 60a . 5p 2. Fie funciile( ) ( ) , : , 2 , 3 2 f g f x x g x x = = + \ \ . S se calculeze( )( ) ( )( ). f g x g f x D D5p 3. S se demonstreze c funcia( )3: , 3 1 f f x x = + \ \este injectiv. 5p 4. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea numerelor naturale de trei cifre,acesta s fie divizibil cu 50. 5p 5. S se determinea\ pentru care punctele(1, 2) A , (4,1) Bi( 1, ) C a sunt coliniare. 5p6. FieABCun triunghi care are AB = 3, AC = 5 i BC = 7. S se calculezecos A. Varianta 36Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 36SUBIECTUL II (30p) Varianta 036 1. Se consider matricele 20 00 0O = i( )2a bAc d = M \ , cu proprietatea c 22A O = . 5pa) S se arate c0 a d + = . 5pb)S se arate c matricea 2I A +este inversabil. 5p c) S se arate c ecuaia 2AX O =are o infinitate de soluii n mulimea ( )2M \ . 2.Se consider polinomul 4 22 9 f X X = + , cu rdcinile 1 2 3 4, , , x x x x ^, numrul2 a i = + i mulimile( ) [ ] { }A g a g X = _i( ) [ ] ( ){ }, grad 3 B ha h X h = _ . 5pa)S se calculeze( ) f a . 5pb)S se calculeze 1 2 3 4| | | | | | | | x x x x + + + . 5pc)S se arate cA B = . Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 36SUBIECTUL III (30p) Varianta 036 1. Fie funcia 3 1: \ { 3} , ( )3xf f xx+ =\ \i irul 1( )n na definit prin 12, a =*1( ), .n na f a n+= `5p a) S se demonstreze c funciaf este strict cresctoare pe( , 3) i pe( 3, ). 5p b) S se determine asimptotele graficului funciei. f5p c) S se demonstreze c irul( )nnaN nu este convergent. 2. Se consider funciile( )21: , ( ) i : , ( ) .xxf f x e F F x f t dt = =\ \ \ \5p a) S se determine punctele de inflexiune ale graficului funciei. F5p b) S se calculeze 10( ) . xf xdx 5p c) S se calculeze 10( ) . Fxdx Ministerul Educaiei, Cercetrii i Inovrii Centrul Naional pentru Curriculum i Evaluare n nvmntul Preuniversitar BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT 2009 Prob scris la MATEMATIC - Proba D Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic. Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acord 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvri complete. 37 SUBIECTUL I (30p) Varianta 037 5p1. S se calculeze suma 1 4 7 ... 100 + + + + . 5p2. S se determine imaginea funciei( )2: , 1 f f x x x = + + \ \ .5p3. S se arate c numrul 1 3sin arcsin sin arccos2 2 + este natural. 5p4. S se determine numrul termenilor raionali din dezvoltarea binomului ( )52 1 + . 5p 5. Fie ABCD un ptrat de latur 1. S se calculeze lungimea vectoruluiA