Formule matematice cls. v viii in doua pagini
2
Mulţimi de numere N-naturale ,... 3 , 2 , 1 , 0 : Z-întregi . 12 , 9 , 0 , 4 . : Q-raţionale: ) 4 ( , 3 ; 2 , 6 ; 3 ; 4 ; 5 3 R-reale: ) 4 ( , 3 ; 2 , 6 ; 3 ; 4 ; 5 3 ; 7 Numere iraţionale: ... ; 2 ; 7 N Z Q R -Număr par (cu soţ) 0,2,4,6,8,10,…;au forma 2k -Număr impar (fără soţ) 1,3,5,7,9,11,…au forma 2k+1 -Pătratul lui 7 este 7 2 =49; cubul lui 2 este 2 3 =8 -Pătrat perfect -este egal cu pătratul unui număr natural:0,1,4,9,16, -Cub perfect-este egal cu cubul unui număr natural:0,1,8,27,… -Număr prim-care se divide numai cu 1 şi cu el însuşi:2,3,5,7,11,… -Număr compus-care nu este prim: 4,6;8;9;15,16,… -Numere pozitive: +12;3;4,5; Numere negative: −23;−2,25;−0,(54) -Opusul lui 35 este −35 ; Inversul lui 35 este 35 1 y x xy 10 ; c b a abc 10 100 -Divizorii lui 18: 1,2,3,6,9,18 2│18 sau 3 18 -Multiplii lui 18: 0,18,36,54,… -Cel mai mare divizor comun (8,12)=4 -Cel mai mic multiplu comun [8,12]=24 -Dacă a=2 5 ·3·7 2 şi b=2 6 ·5·7,atunci a şi b au c.m.m.d.c. egal cu 2 5 ·7 ,iar c.m.m.m.c. 2 6 ·3·7 2 ·5 -câţi divizori naturali are un număr:dacă n=2 5 ·3·7 2 atunci nr.divizorilor lui n este (5+1) ·(1+1)·(2+1)=36 Criterii de divizibilitate: -cu 2:dacă numărul are ultima cifră 0,2,4,6 sau 8 -cu 3:dacă suma cifrelor se divide cu 3 -cu 4:dacă nr. format di n ultimele 2 cifre se divide cu 4 -cu 5:dacă numărul are ultima cifră 0 sau 5 -cu 9: dacă suma cifrelor se divide cu 9 -cu 10:dacă numărul are ultima cifră 0 -cu 25:dacă nr.format din ultimele 2 cifre se divide cu 25 Calcule elementare 5−8=−3; −4−3=−7; −7+2=−5; −7+9=2; −5−(−2)=−5+2=−3; −(a−b+c)=−a+b−c; 3·(−5)=−15; −4·(+2)=−8; (−2)·(−3)=6; 8 : (−4)=−2; (−8) :(−1)=8; (−3) 2 =9; (−3) 3 =−27; (−1) 7 =−1; (−1) 4 =1; 1 5 =1; 8 1 =8; (−7) 1 =−7; 3 0 =1; (−6) 0 =1; 0 7 =0; 2 17 ·2 3 =2 20 ; 5 13 :5 3 =5 10 ; (7 3 ) 4 =7 12 ; (2n) 3 =8n 3 ; −3n·2n 3 =−6n 4 ; 12 17 4 5 6 1 4 5 6 1 ) 3 ) 2 ; 24 35 4 5 6 7 ; 10 21 5 3 2 7 3 5 : 2 7 ; 5 5 5 3 2 3 2 ; 2 2 5 1 5 ; n n a a 1 ; 9 1 ) 3 ( 1 ) 3 ( 2 2 ; 7 49 ; 5 5 5 ; 6 2 3 ; 21 21 2 ; 5x+2x=7x; 2y−9y=−7y;−b+2b=b; −3n 2 −5n 2 =−8n 2 ; a+a=2a;c·c=c 2 ; Eliminări de paranteze +(−5+x−y)= −5+x−y; −(a−b+3)=−a+b−3 ; 3(2n -7)=6n−21; (a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd; (x 2 −3)(x−4)=x 3 −4x 2 −3x+12 Scoaterea factorilor de sub radical 7 3 7 9 63 Raţionalizarea numitorului 2 2 3 2 3 2 3 ) 2 ; 7 2 4 12 2 9 2 4 12 2 3 4 2 3 4 ) 2 3 Fracţii b a a-numărător,b-numitor -subunitare: 9 2 ; 13 1 ; 24 23 (numitorul>numărător ul) -supraunitare: 2 9 ; 1 13 ; 23 24 (numitorul<numărătorul) -echiunitare: 2 2 ; 13 13 ; 24 24 (numitorul=numărătorul) -ireductibile-care nu se pot simplifica 9 2 -reductibile-care se pot simplifica 30 25 se simplifică cu 5 -echivalente 6 4 3 2 ; se recunosc astfel:3 ·4=2·6 Fracţii etajate: 21 10 3 5 7 2 5 3 : 7 2 5 3 7 2 Transformarea fracţiilor zeci male în fracţii ordinare -finite 100 345 45 , 3 ; 1000 207 207 , 0 ; 10 7 7 , 0 -periodice simple 9 23 9 5 2 ) 5 ( , 2 ; 99 73 ) 73 ( , 0 -periodice mixte 900 1022 900 13 135 1 ) 5 ( 13 , 1 ; 990 724 990 7 731 ) 31 ( 7 , 0 Mulţimi -aparţine; -nu aparţine -inclusă ; -include Ф-mulţimea vidă -Cardinal al unei mulţimi -câte elemente are acea mulţime. -Mulţimi disjuncte-care nu au elemente comune Operaţii cu mulţimi Dacă A={1,2,3,4}şi B={3,4,5},atunci: -reuniunea AUB={1,2,3,4,5} -intersecţia A∩B= {3,4} -diferenţa A−B={1,2} -produsul cartezian AxB= {(1,1);(1,3)…} Procent 7 % din 300= 21 300 100 7 Raport Raportul dintre 2 şi 3 este 3 2 Proporţie Este o egalitate de două rapoarte. 6 4 3 2 .Numerele 2,3,4,6 se numesc termenii proporţiei.3 şi 4 sunt mezii, iar 2 şi 6 sunt extremii. Proprietatea fundamentală a unei proporţii:produsul mezilor este egal cu produ- sul extremilor. Formule de calcul (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 −ab+b 2 ) a 3 −b 3 =(a−b)(a 2 +ab+b 2 ) (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ac (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (a−b) 3 =a 3 −3a 2 b+3ab 2 −b 3 Medii - aritmetică 2 y x m a - armonică y x xy m h 2 -aritmetică ponderată a numerelor 10 şi 9,având ponderile 3 şi 5,este 5 3 5 9 3 10 - geometrică (proporţională) xy m g Inegalitatea mediilor a g h m m m Descompunerea expresiilor în factori a)Prin factor comun x 3 −5x 2 =x 2 (x-5) ; (n−4) 5 +(n−4) 4 =(n−4) 4 (n−4+1) b)Prin formule y 2 −25=(y−5)(y+5); 9x 2 −6x+1=(3x−1) 2 c)Prin grupări de termeni 2n 3 +2n 2 +7n+7=2n 2 (n+1)+7(n+1)=(n+1)( 2n 2 +7) x 2 +6x+8=x 2 +4x+2x+8=x(x+4)+2(x+4)=(x+4)(x+2) Comparări −9<−7 ; −5<2 ; −23<0 5 4 5 7 17 24 13 24 Sistem de axe y 5 x O −3 M Ox-axa absciselor Oy-axa ordonatelor M(5,−3) ; 5 şi −3 sunt coordonatele punctului M.Numărul 5 este abscisa, iar −3 este ordonata punctului M. Ecuaţia de gradul doi ax 2 +bx+c=0;se află Δ (delta), Δ=b 2 −4ac.Dacă Δ este negativ, ecuaţia nu are soluţii reale. Dacă Δ 0,soluţiile sunt a b x 2 1 a b x 2 2 Dacă x 1 şi x 2 sunt soluţiile ecuaţiei ax 2 +bx+c=0,atunci ax 2 +bx+c=a(x− x 1 )(x−x 2 ) Funcţii f:A→B (citim “funcţia f definită pe A cu valori în B”) A-domeniul de definiţie B-domeniul de valori -funcţie liniară (de gradul I) este o funcţie de forma f(x)=ax+b,de ex.f(x)=3x−5 Reprezentare grafică Fie f:R→R ,f(x)=3x−5 x 1 2 f(x) −2 1 y 1 1 2 x −2 -Coordonatele punctului de intersecţie a graficului cu axa Ox se află rezolvând ecuaţia f(x)=0, iar cu axa Oy calculând f(0). -Intersecţia graficelor a 2 funcţii f,g se află cu ecuaţia f(x)=g(x) Unităţi de măsură Volum Capacitate Masă Timp Lungime Suprafaţă 5 m³=5000 dm³ 1 l=1 dm³ 4 kg=4000 g 1 oră=60 minute 3 m=30 dm 7 m²=700 dm² 0,03 cm³=30 mm³ 3 l=3000 ml 0,5 dag=5 g 1 minut=60 secunde 0,7 m=70 cm 0,05 m²=500 cm² 0,05 km³=50 hm³ 0,3 dal=3 l 7 cg=70 mg 1 deceniu=10 ani 2 km=2000 m 2 km²=200 hm² 1 dm³=1000 cm³ 0,2 hl=20 l 2 hg=200 g 1 secol=100 ani 3,5 cm=35 mm 1 ar=1 dam²=100 m² 1 m³=10 9 mm³ 125 ml=0,125 l 6,23 g=62,3 dg 1 mileniu=1000 ani 2,7 dam=0,27 hm 1 ha=1 hm²=100 ari 3 mm³=0,003 cm³ 0,07 kl=70 l 3 t=3000 kg ¼ ore=15 minute 1,3 mm=0,13 cm 0,02 ha =2 ari= 200 m² 0,25 dam³=250 m³ 3 cl=0,3 dl 34 dg=0,34 g ½ ore=30 minute Sisteme de ecuaţii a)Rezolvare cu metoda substituţiei 11 2 4 y x y x 11 ) 4 ( 2 4 y y y x 11 3 8 4 y y x 1 5 y x b) Rezolvare cu metoda reducerii 11 2 4 y x y x 15 3 x 1 5 y x
-
Upload
gherghescu-gabriel -
Category
Education
-
view
1.320 -
download
2
description
matematica
Transcript of Formule matematice cls. v viii in doua pagini
gfdgdfggdfgdfgdgggd
Mulţimi de numereN-naturale 3210Z-icircntregi 12904
Q-raţionale )4(326345
3
R-reale )4(326345
37
Numere iraţionale 27 N Z Q R
-Număr par (cu soţ) 0246810hellipau forma 2k-Număr impar (fără soţ) 1357911hellipau forma 2k+1-Pătratul lui 7 este 7
2=49 cubul lui 2 este 2
3=8
-Pătrat perfect-este egal cu pătratul unui număr natural014916-Cub perfect-este egal cu cubul unui număr natural01827hellip-Număr prim-care se divide numai cu 1 şi cu el icircnsuşi235711hellip-Număr compus-care nu este prim 46891516hellip-Numere pozitive +12345 Numere negative minus23minus225minus0(54)-Opusul lui 35 este minus35 Inversul lui 35 este
35
1
yxxy 10 cbaabc 10100
-Divizorii lui 18 1236918 218 sau 318 -Multiplii lui 18 0183654hellip-Cel mai mare divizor comun (812)=4-Cel mai mic multiplu comun [812]=24
-Dacă a=2537
2 şi b=2
657atunci a şi b au cmmdc
egal cu 25
7 iar cmmmc 2637
25
-cacircţi divizori naturali are un numărdacă n=25
372
atunci nrdivizorilor lui n este (5+1) (1+1)(2+1)=36Criterii de divizibilitate-cu 2dacă numărul are ultima cifră 0246 sau 8-cu 3dacă suma cifrelor se divide cu 3-cu 4dacă nr format din ultimele 2 cifre se divide cu 4-cu 5dacă numărul are ultima cifră 0 sau 5-cu 9 dacă suma cifrelor se divide cu 9-cu 10dacă numărul are ultima cifră 0-cu 25dacă nrformat din ultimele 2 cifre se divide cu 25
Calcule elementare 5minus8=minus3 minus4minus3=minus7 minus7+2=minus5 minus7+9=2 minus5minus(minus2)=minus5+2=minus3 minus(aminusb+c)=minusa+bminusc3(minus5)=minus15 minus4(+2)=minus8 (minus2)(minus3)=6 8 (minus4)=minus2 (minus8)(minus1)=8 (minus3)2
=9 (minus3)3=minus27 (minus1)7
=minus1 (minus1)4=1
15=1 8
1=8 (minus7)1
=minus7 30=1 (minus6)0
=1 07=0 2
1723=2
20 5
1353=5
10 (7
3)4=7
12 (2n)
3=8n
3 minus3n2n3
=minus6n4
1217
45
61
45
61 )3)2
24
35
4
5
6
7
10
21
5
3
2
7
3
5
2
7
5
55
3
2
3
2
22
51
5 n
n
aa
1
9
1
)3(
1)3(
22
749 555 623 21212 5x+2x=7x 2yminus9y=minus7yminusb+2b=b minus3n2minus5n2=minus8n2
a+a=2acc=c2
Eliminări de paranteze +(minus5+xminusy)= minus5+xminusy minus(aminusb+3)=minusa+bminus3 3(2n -7)=6nminus21 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (x2minus3)(xminus4)=x3minus4x2minus3x+12
Scoaterea factorilor de sub radical 737963
Raţionalizarea numitorului2
23
2
3
2
3 )2
7
2412
29
2412
23
4
23
4 )23
Fracţiib
a a-numărătorb-numitor
-subunitare92
13
1 24
23 (numitorulgtnumărătorul)
-supraunitare2
9 1
13 23
24 (numitorulltnumărătorul)
-echiunitare2
2 13
13 24
24 (numitorul=numărătorul)
-ireductibile-care nu se pot simplifica92
-reductibile-care se pot simplifica30
25 se simplifică cu 5
-echivalente64
32
se recunosc astfel34=26
Fracţii etajate
21
10
3
5
7
2
5
3
7
2
5
37
2
Transformarea fracţiilor zeci male icircn fracţii ordinare-finite
100
345453
1000
2072070
10
770
-periodice simple9
23
9
52)5(2
99
73)73(0
-periodice mixte900
1022
900
131351)5(131
990
724
990
7731)31(70
Mulţimi -aparţine -nu aparţine -inclusă -includeФ-mulţimea vidă-Cardinal al unei mulţimi-cacircte elemente are acea mulţime-Mulţimi disjuncte-care nu au elemente comuneOperaţii cu mulţimiDacă A=1234şi B=345atunci
-reuniunea AUB=12345-intersecţia AcapB=34-diferenţa AminusB=12-produsul cartezian AxB=(11)(13)hellip
Procent
7 din 300= 213001007
RaportRaportul dintre 2 şi 3 este
32
ProporţieEste o egalitate de douărapoarte
64
32 Numerele
2346 se numesc termeniiproporţiei3 şi 4 sunt meziiiar 2 şi 6 sunt extremiiProprietatea fundamentală aunei proporţiiprodusulmezilor este egal cu produ-sul extremilor
Formule de calcul(a+b)
2=a
2+2ab+b
2
(aminusb)2=a
2minus2ab+b2
(a+b)(aminusb)=a2minusb2
a3+b
3=(a+b)(a
2minusab+b2)
a3minusb3
=(aminusb)(a2+ab+b
2)
(a+b+c)2=a
2+b
2+c
2+2ab+2bc+2ac
(a+b)3=a
3+3a
2b+3ab
2+b
3
(aminusb)3=a
3minus3a2b+3ab
2minusb3
Medii-aritmetică
2
yxma
-armonică
yx
xymh
2
-aritmetică ponderată a numerelor 10 şi 9avacircnd ponderile 3 şi 5este
53
59310
-geometrică (proporţională) xym g
Inegalitatea mediilor agh mmm
Descompunerea expresiilor icircn factoria)Prin factor comunx
3minus5x2=x
2(x-5) (nminus4)5
+(nminus4)4=(nminus4)4
(nminus4+1)b)Prin formuley
2minus25=(yminus5)(y+5) 9x2minus6x+1=(3xminus1)2
c)Prin grupări de termeni2n
3+2n
2+7n+7=2n
2(n+1)+7(n+1)=(n+1)( 2n
2+7)
x2+6x+8=x
2+4x+2x+8=x(x+4)+2(x+4)=(x+4)(x+2)
Comparăriminus9ltminus7 minus5lt2 minus23lt0
54
57
17
24
13
24
Sistem de axey
5 x O
minus3 MOx-axa absciselorOy-axa ordonatelorM(5minus3) 5 şi minus3 sunt coordonatelepunctului MNumărul 5 este abscisaiar minus3 este ordonata punctului M
Ecuaţia de gradul doiax
2+bx+c=0se află Δ (delta)Δ=b2minus4acDacă Δ este negativecuaţia nu are soluţii realeDacă Δ 0soluţiile sunt
a
bx
21
a
bx
22
Dacă x1 şi x2 sunt soluţiileecuaţiei ax2
+bx+c=0atunci
ax2+bx+c=a(xminus x1)(xminusx2)
FuncţiifArarrB (citim ldquofuncţia fdefinită pe A cu valori icircn Brdquo)A-domeniul de definiţieB-domeniul de valori-funcţie liniară (de gradul I) esteo funcţie de forma f(x)=ax+bdeexf(x)=3xminus5Reprezentare graficăFie fRrarrR f(x)=3xminus5x 1 2
f(x) minus2 1
y 1
1 2 x
minus2
-Coordonatele punctului deintersecţie a graficului cu axa Oxse află rezolvacircnd ecuaţia f(x)=0iar cu axa Oy calculacircnd f(0)-Intersecţia graficelor a 2 funcţiifg se află cu ecuaţia f(x)=g(x)
Unităţi de măsură Volum Capacitate Masă TimpLungime Suprafaţă 5 msup3=5000 dmsup3 1 l=1 dmsup3 4 kg=4000 g 1 oră=60 minute3 m=30 dm 7 msup2=700 dmsup2 003 cmsup3=30 mmsup3 3 l=3000 ml 05 dag=5 g 1 minut=60 secunde07 m=70 cm 005 msup2=500 cmsup2 005 kmsup3=50 hmsup3 03 dal=3 l 7 cg=70 mg 1 deceniu=10 ani2 km=2000 m 2 kmsup2=200 hmsup2 1 dmsup3=1000 cmsup3 02 hl=20 l 2 hg=200 g 1 secol=100 ani35 cm=35 mm 1 ar=1 damsup2=100 msup2 1 msup3=10 9 mmsup3 125 ml=0125 l 623 g=623 dg 1 mileniu=1000 ani27 dam=027 hm 1 ha=1 hmsup2=100 ari 3 mmsup3=0003 cmsup3 007 kl=70 l 3 t=3000 kg frac14 ore=15 minute13 mm=013 cm 002 ha =2 ari= 200 msup2 025 damsup3=250 msup3 3 cl=03 dl 34 dg=034 g frac12 ore=30 minute
Sisteme de ecuaţiia)Rezolvare cu metoda substituţiei
112
4
yx
yx
11)4(2
4
yy
yx
1138
4
y
yx
1
5
y
x
b) Rezolvare cu metoda reducerii
112
4
yx
yx
153 x
1
5
y
x
Unghiuri-adiacente au acelaşi vacircrf şi o latură comună-opuse la vacircrf sunt congruente-complementare două unghiuri care au suma 90ordm
-complementul unghiului de 20ordmeste unghiul de 70ordm-suplementare două unghiuri care au suma 180ordm
-suplementul unghiului de 20ordmeste unghiul de 160ordm-unghi alungitcare are 180ordm-unghi nul care are 0ordm-unghiuri icircn jurul unui punct au suma 360ordm
-unghi propriucare nu este nici alungitnici nul-unghi ascuţit are măsura mai mică de 90 ordm-unghi drept are măsura 90ordm-unghi obtuz are măsura mai mare de 90ordm-unghiuri alterne interne1 şi 7 2 şi 8-unghiuri alterne externe3 şi 5 4 şi 6-unghiuri corespondente 1 şi 5 2 şi 63 şi 74 şi 8-Dacă dreptele sunt paraleleaceste perechi de unghiuri sunt congruente şi reciproc
Linii importante icircn triunghi1Bisectoarea-icircmparte un unghi icircn două unghiuri congruentesunt concurente icircn I centrul cercului icircnscris
2Mediatoarea-perpendiculară pe mijlocul unei laturi sunt concurente icircn Ocentrul cercului circumscris-la triunghiul obtuzunghicO este icircn exterior-la triunghiul dreptunghicO este icircn mijlocul
ipotenuzei
3Icircnălţimea-perpendiculara dintr-un vacircrf pe latura opusăsunt concurente icircn H -la triunghiul obtuzunghicH este icircn exterior ortocentrul
4Mediana-uneşte un vacircrf cu mijlocul laturii opusesunt concurente icircn Gcentrul de greutate
-centrul de greutate este la 13 de bază şi 23 de vacircrf
Teoreme importante-suma unghiurilor unui triunghi este 180ordm-suma unghiurilor unui patrulater este 360ordm
-unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente-icircntr-un triunghi isoscelbisectoarea unghiului de la vacircrf este şi mediană icircnălţimemediatoare
-icircntr-un triunghi dreptunghic mediana din vacircrful unghiului drept este jumătate din ipote- nuză
-icircntr-un triunghi dreptunghic care are un unghi de 30ordmcateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză
Numai icircn Δ dreptunghic-teorema icircnălţimii
DCBDAD -teorema catetei
BCBDAB -teorema lui Pitagora
ABsup2+ACsup2=BCsup2
-teorema lui Thalesdacă EFBC
FC
AF
EB
AE
-teorema fundamentală a asemănării dacă EFBCatunci ΔAEF~ΔABC adică
BC
EF
AC
AF
AB
AE
-raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare
-teorema bisectoarei icircn orice Δdacă AD este bisectoare
DC
AC
BD
AB
-unghiul la centru ltAOB are măsura egală cu a arcului cuprins icircntre laturi-unghiul icircnscris icircn cerc ltAMB are măsura jumătate din a arcului cuprins icircntre laturi
-raza este perpendiculară pe tangentă-unghiul format de o tangentă cu o coardă este jumătate din arcul subacircntins de coardă-diametrul perpendicular pe o coardă icircnj umătăţeşte şi coarda şi arcul-unghiurile opuse ale unui patrulater inscriptibil suntsuplementare ltA+ltC=180ordmltB+ltD=180ordm-icircntr-un patrulater inscriptibilunghiul format de odiagonală cu o latură este congruent cu unghiul format decealaltă diagonală cu latura opusă
-teorema celor trei perpendiculare
dAB
dMBAM
-Cilindrul V=πRsup2h AL=2πRG AT=AL+2AB
-Conul3
2 hRV
AL=πRG AT=AL+AB
-unghiul sectorului obţinut prin desfăşurareG
Ru
360
-Trunchiul de con )(3
22 RrrRh
V
AL=πG(R+r) AT=AL+AB+Ab
-Sfera3
4 3RV
A=4πRsup2
Linia mijlocie icircn triunghi-uneşte mijloacele a două laturi Este paralelă cu a treia latură şi este jumătate din aceasta
Linia mijlocie icircn trapez-uneşte mijloacele laturilor neparalele Este paralelă cu bazele şi este egală cu media lor aritmetică
Trigonometriesinus=copipcosinus=caliptangenta=copcal cotangenta=calcop
sin 30ordm= 21 sin 45ordm= 22 sin 60ordm= 23
cos 30ordm= 23 cos 45ordm= 22 cos 60ordm= 21tg x=sin xcos x sinsup2x+cossup2x=1cos x=sin(90ordmminusx) ctg x=tg(90ordmminusx)
Ariivolume şi alte formule-Triunghi
2
hbA
2
sin uabA
formula lui Heron2
_))()((cba
pundecpbpappA
-triunghiul echilateral4
32aA
icircnălţimea triunghiului echilateral2
3ah
-triunghiul dreptunghic2
21 ccA
icircnălţimea triunghiului dreptunghicip
cch 21
-raza cercului icircnscris icircn triunghip
Ar raza cercului circumscris triunghiului
A
abcR
4
-Paralelogram A=bh Dreptunghi A=Ll (sau bh) Romb2
dDA
(sau bh) pătrat A=lsup2
-diagonala pătratului 2ld Trapez2
)( hbBA
Cerc L=2πRA=πRsup2 πasymp314
-Poligon regulatapotema an=Rcos 180n latura ln=2Rsin 180n unghiul u=(nminus2)180n-Prisma V=ABh aria laterală=suma ariilor feţelor laterale AT=AL+2AB
-diagonala paralelipipedului dreptunghic 222 cbad diagonala cubului 3ld -Piramida
3
hAV B aria laterală=suma ariilor feţelor laterale AT=AL+AB
-apotemă=icircnălţimea unei feţe lat erale
-Trunchiul de piramidă )(3 bBbB AAAAh
V aria laterală=suma ariilor feţelor laterale
AT=AL+AB+Ab httpsorinborodiyeahostcom
Unghiuri-adiacente au acelaşi vacircrf şi o latură comună-opuse la vacircrf sunt congruente-complementare două unghiuri care au suma 90ordm
-complementul unghiului de 20ordmeste unghiul de 70ordm-suplementare două unghiuri care au suma 180ordm
-suplementul unghiului de 20ordmeste unghiul de 160ordm-unghi alungitcare are 180ordm-unghi nul care are 0ordm-unghiuri icircn jurul unui punct au suma 360ordm
-unghi propriucare nu este nici alungitnici nul-unghi ascuţit are măsura mai mică de 90 ordm-unghi drept are măsura 90ordm-unghi obtuz are măsura mai mare de 90ordm-unghiuri alterne interne1 şi 7 2 şi 8-unghiuri alterne externe3 şi 5 4 şi 6-unghiuri corespondente 1 şi 5 2 şi 63 şi 74 şi 8-Dacă dreptele sunt paraleleaceste perechi de unghiuri sunt congruente şi reciproc
Linii importante icircn triunghi1Bisectoarea-icircmparte un unghi icircn două unghiuri congruentesunt concurente icircn I centrul cercului icircnscris
2Mediatoarea-perpendiculară pe mijlocul unei laturi sunt concurente icircn Ocentrul cercului circumscris-la triunghiul obtuzunghicO este icircn exterior-la triunghiul dreptunghicO este icircn mijlocul
ipotenuzei
3Icircnălţimea-perpendiculara dintr-un vacircrf pe latura opusăsunt concurente icircn H -la triunghiul obtuzunghicH este icircn exterior ortocentrul
4Mediana-uneşte un vacircrf cu mijlocul laturii opusesunt concurente icircn Gcentrul de greutate
-centrul de greutate este la 13 de bază şi 23 de vacircrf
Teoreme importante-suma unghiurilor unui triunghi este 180ordm-suma unghiurilor unui patrulater este 360ordm
-unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente-icircntr-un triunghi isoscelbisectoarea unghiului de la vacircrf este şi mediană icircnălţimemediatoare
-icircntr-un triunghi dreptunghic mediana din vacircrful unghiului drept este jumătate din ipote- nuză
-icircntr-un triunghi dreptunghic care are un unghi de 30ordmcateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză
Numai icircn Δ dreptunghic-teorema icircnălţimii
DCBDAD -teorema catetei
BCBDAB -teorema lui Pitagora
ABsup2+ACsup2=BCsup2
-teorema lui Thalesdacă EFBC
FC
AF
EB
AE
-teorema fundamentală a asemănării dacă EFBCatunci ΔAEF~ΔABC adică
BC
EF
AC
AF
AB
AE
-raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare
-teorema bisectoarei icircn orice Δdacă AD este bisectoare
DC
AC
BD
AB
-unghiul la centru ltAOB are măsura egală cu a arcului cuprins icircntre laturi-unghiul icircnscris icircn cerc ltAMB are măsura jumătate din a arcului cuprins icircntre laturi
-raza este perpendiculară pe tangentă-unghiul format de o tangentă cu o coardă este jumătate din arcul subacircntins de coardă-diametrul perpendicular pe o coardă icircnj umătăţeşte şi coarda şi arcul-unghiurile opuse ale unui patrulater inscriptibil suntsuplementare ltA+ltC=180ordmltB+ltD=180ordm-icircntr-un patrulater inscriptibilunghiul format de odiagonală cu o latură este congruent cu unghiul format decealaltă diagonală cu latura opusă
-teorema celor trei perpendiculare
dAB
dMBAM
-Cilindrul V=πRsup2h AL=2πRG AT=AL+2AB
-Conul3
2 hRV
AL=πRG AT=AL+AB
-unghiul sectorului obţinut prin desfăşurareG
Ru
360
-Trunchiul de con )(3
22 RrrRh
V
AL=πG(R+r) AT=AL+AB+Ab
-Sfera3
4 3RV
A=4πRsup2
Linia mijlocie icircn triunghi-uneşte mijloacele a două laturi Este paralelă cu a treia latură şi este jumătate din aceasta
Linia mijlocie icircn trapez-uneşte mijloacele laturilor neparalele Este paralelă cu bazele şi este egală cu media lor aritmetică
Trigonometriesinus=copipcosinus=caliptangenta=copcal cotangenta=calcop
sin 30ordm= 21 sin 45ordm= 22 sin 60ordm= 23
cos 30ordm= 23 cos 45ordm= 22 cos 60ordm= 21tg x=sin xcos x sinsup2x+cossup2x=1cos x=sin(90ordmminusx) ctg x=tg(90ordmminusx)
Ariivolume şi alte formule-Triunghi
2
hbA
2
sin uabA
formula lui Heron2
_))()((cba
pundecpbpappA
-triunghiul echilateral4
32aA
icircnălţimea triunghiului echilateral2
3ah
-triunghiul dreptunghic2
21 ccA
icircnălţimea triunghiului dreptunghicip
cch 21
-raza cercului icircnscris icircn triunghip
Ar raza cercului circumscris triunghiului
A
abcR
4
-Paralelogram A=bh Dreptunghi A=Ll (sau bh) Romb2
dDA
(sau bh) pătrat A=lsup2
-diagonala pătratului 2ld Trapez2
)( hbBA
Cerc L=2πRA=πRsup2 πasymp314
-Poligon regulatapotema an=Rcos 180n latura ln=2Rsin 180n unghiul u=(nminus2)180n-Prisma V=ABh aria laterală=suma ariilor feţelor laterale AT=AL+2AB
-diagonala paralelipipedului dreptunghic 222 cbad diagonala cubului 3ld -Piramida
3
hAV B aria laterală=suma ariilor feţelor laterale AT=AL+AB
-apotemă=icircnălţimea unei feţe lat erale
-Trunchiul de piramidă )(3 bBbB AAAAh
V aria laterală=suma ariilor feţelor laterale
AT=AL+AB+Ab httpsorinborodiyeahostcom
