FORMULE MATEMATICA

MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 1

TESTAREA NA IONAL 2006

Matematic – Program

Defini ii i formule

Aritmetic i AlgebrMul imi

Mul imi: rela ii (apartenen , egalitate, incluziune); submul ime; opera ii cumul imi (reuniunea, intersec ia, diferen a, produsul cartezian). Mul imifinite, mul imi infinite.

A ∪ B = B ∪ A = { x | x∈ A sau x ∈ B } ReuniuneaA ∩ B = B ∩ A = { x | x∈ A i x ∈ B } Intersec iaA – B = { x | x∈ A i x ∉ B } Diferen aB – A = { x | x∈ B i x ∉ A } Diferen aA ∆ B = B ∆ A = ( A – B ) ∪ ( B – A ) Diferen a simetric( A ∪ B ) – ( A ∩ B ) = A ∆ B

A B

card ( A ) = nr. de elemente din A Cardinalcard ( Φ ) = 0card ( A ∪ B ) ≤ card ( A ) + card ( B )

A x B = { ( x ; y ) | x∈ A i y ∈ B ) Produs carteziancard ( A x B ) = card ( A ) x card ( B )

Dac : A = {1;2} B = {4,5,6}Atunci : A x B = {(1;4),(1;5),(1;6),(2;4),(2;5),(2;6)}card(A x B) = 2.3 = 6


Dac : A = [1; +∞) B = [2 ; 3]Atunci : A x B = {(x;y) | x∈ [1; +∞) i y ∈ [2 ; 3]}card(A x B) = ∞⋅∞ = ∞

Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n = 2)1n(n +⋅

Sn = Suma nr. naturale

Mul imi de numere : Naturale: NÎntregi : ZRa ionale : Q

Reale : RIra ionale : R-QRela ie : N⊂Z⊂Q⊂R.

N = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... , n , ...Z = ... –n , ... -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , ..., n , ...

Q = }0q Z,q,p|qp{ ≠∈

Scrierea numerelor naturale în baza zece, exemplu :n = 4.100 + 7.101 + 0.102 + 2.103 = 2074

Propozi ii adev rate i propozi ii false : (A) , (F).Împ irea cu rest a numerelor naturale. D = I . C + R

Divizibilitatea în N: defini ie, divizor, multiplu;Propriet i ale rela iei de divizibilitate;Criteriile de divizibilitate cu : 2, 5, 3, 9, 10 ;Numere prime au ca divizori doar pe 1 i pe el însu i :1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , …Numere compuse = 2.3 , 17. 23 , 29.32 .57 , ...Numere pare : 0 , 2 , 4 , 6 , ... , 2.k , ..... k ≥ 0Numere impare : 1 , 3 , 5 , 7 , ... , 2.k+1... k ≥ 0Numere prime între ele : Numere cu c.m.m.d.c. = 1Descompunerea unui num r natural în produs de puteri de numere prime :24 = 23 . 3 ; 162 = 2. 34 ; 2500 = 22 . 54 ; ....Cel mai mare divizor comun : Factori comuni la puterea cea mai mic .Cel mai mic multiplu comun : Factori comuni i necomuni la puterea cea mai mare.

y

x1

32


Divizibilitatea în Z: defini ie, divizor, multiplu.

Frac ie; frac ii subunitare, echiunitare, supraunitare; reprezent riechivalente ale frac iilor;Frac ii ireductibile : Frac ie care nu se mai poate simplifica.Scrierea unui num r ra ional sub form zecimal sau frac ionar .

Reprezentarea pe ax a numerelor reale.Compararea i ordonarea numerelor reale. x dac x>0Valoarea absolut (modul) : | x | = 0 dac x=0 – x dac x< 0Calcule cu modulul unei expresii:1. | ax + b | < c ⇔ – c < ax + b < c ⇔ – b – c < ax < – b + c2. |ax + b | > c ⇔ ax + b > c sau ax + b < – c (reuniune de intervale)Opusul unui num r este num rul cu semn schimbat : 25 cu – 25.

Num rul invers al num rului n este n1 : 25 cu 25

1

Parte întreag , parte frac ionar : [x] ∈ Z, {x} > 0 ∀ x ∈ R

[x] = x – {x}

Exemple :[2,64] = 2 = 2,64 – 0,64 > 0[– 2,64] = – 3 = (–2,64) – (1–0,64) < 0

{2,64} = 0,64 >0{– 2,64} = ( 1 – 0,64) = 0,36 >0

Rotunjirea i aproximarea unui num r real :

2,1542 ≈ 2,1543,5729 ≈ 3,573π ≈ 3,1415926 ≈ 3,14

2 ≈ 1,413 ≈ 1,73


Intervale în R: defini ie, reprezentare pe ax . Mul imea R are putereacontinuului : oric rui num r real îi corespunde un punct pe dreapta x`x ioric rui punct de pe dreapta x`x îi corespunde un num r real .Opera ii cu numere reale: adunarea, sc derea, înmul irea, ridicarea la puterecu exponent num r întreg:

am . an = am+n

am : an = am-n

(am)p = amp

a-n = 1 : an = a0 : an = a0-n =(am . bn)p = amp . bnp

cina p trat a unui num r natural p trat perfect:|x|x 2 =

Extragerea r cinii p trate dintr-un num r ra ional pozitiv; algoritmul deextragere a r cinii p trate; scrierea unui num r real pozitiv ca radical din

tratul s u. Ordinea efectu rii opera iilor i folosirea parantezelor.Factorul comun: 24412432)13(323232 12242434 ===+=+

Reguli de calcul cu radicali : abba = ,ba

ba

= cu b≠0

Introducerea factorilor sub radical: baba 2=

Scoaterea factorilor de sub radical: bcbcacba 2525134 =

Radicali suprapu i – formula de calcul:

2ca

2caba −

±+

=± cu bac 2 −=

Ra ionalizarea numitorului de forma )ba(;)ba( ± cu NZ ∈∈ ba *, .Media aritmetic i media aritmetic ponderat :

3zyxm a

++= unde p1 , p2 , p3 = ponderi

na1

321

321p ppp

zpypxpm

++++

=


Media geometric a dou numere reale pozitive se mai nume te i mediepropor ional :

abmg = ⇔ bm

ma g

g

=

Rapoarte i propor ii

Raport : Câtul neefectuat al dou numere : ba

Propor ie : Egalitatea a dou rapoarte : dc

ba

=

Proprietatea fundamental a propor iilor : ad = bc

Propor ii derivate: Cu aceea i termeni Cu termeni schimba i

Aflarea unui termen necunoscut dintr-o propor ie: dc

bx

= => dbcx =

ir de rapoarte egale : kdcbzyx

dz

cy

bx

=++++

===

x = bk y = ck z = dk

rimi direct propor ionale:

rimi invers propor ionale:

Regula de trei simpl :

m............................................an.............................................x_________________________

Dac : m,a i n,x sunt m rimi direct propor ionale => mna x

xa

nm

=⇒=

dz

cy

bx

==

d1z

c1y

b1x

==


Dac : m,a i n,x sunt m rimi invers propor ionale => amn x

x1a

n1m

=⇒=

Procente: Afla i 12% dintr-un num r real : 140 :

140................................100% x..................................12%

__________________________

Aflarea unui num r ra ional y, când cunoa tem c 15% din el este 12:

y..................................100%12....................................15%_________________________

Aflarea raportului procentual. Dac num rul n=150, cât la sut reprezintnum rul m=60 din num rul n ?

150…………………….100% 60……………………..x%

________________________

Rezolvarea problemelor în care intervin procente.

Calculul probabilit ii de realizare a unui eveniment utilizând raportul:num rul cazurilor favorabile = m / num rul cazurilor posibile = n.

8,16%100%1680

100%12%140x ==

⋅=

8015

1200%15

%10012y ==⋅

=

%40150

%6000150

%10060%x ==⋅

=

1nmp0 <=<


Calcul algebric

Calculul cu numere reprezentate prin litere: adunarea, sc derea, înmul irea,împ irea, ridicarea la putere cu exponent num r întreg.Formule de calcul prescurtat: ( a ± b )2 = a2 ± 2ab + b2

( a + b )( a – b ) = a2 – b2

( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

Descompunerea în factori: metoda factorului comun; utilizarea formulelorde calcul prescurtat; gruparea termenilor :Suma i diferen a de cuburi : a3 + b3 = ( a + b )(a2 ab + b2) a3 b3 = ( a b )(a2 + ab + b2)

Binomul la puterea a treia : ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

( a b )3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere:

)4x2x()3x()x(E

-2 x0)4x2x()2x()(C.)4x2x()2x(

)3x()2x(8x

6x5x)x(E

2

223

2

+−+

=

⇒≠⇒≠+−⋅+∃+−⋅+

+⋅+=

+++

=

Rezolvarea ecua iei : x2 + 5x + 6 = 0 a=1; b=5; c=6;∆ = b2 – 4ac∆ = 52 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1

3 x2 x2

152

15a2

bx 212,1 −=−=⇒±−

=±−

=∆±−

=

ax2 + bx + c ≡ a.(x – x1).(x – x2)

x2 + 5x + 6 ≡ 1.[x – (–2)].[x – (–3)] = (x+2)(x+3)

Simplificare. Opera ii cu rapoarte (adunare, sc dere, înmul ire, împ ire,ridicare la putere cu exponent num r întreg).


)3x)(3x(5x

)3x)(3x(2)3x(

)3x)(3x(2

)3x(1

9x2

)3x(1

2 +−+

=+−

++=

+−+

−=

−+

−

Diferen e de puteri :

x2 – 1 = ( x – 1 )( x + 1 )x3 – 1 = ( x – 1 )( x2 + x + 1 )x4 – 1 = ( x – 1 )( x3 + x2 + x + 1 )…………………………………..xn – 1 = ( x – 1 )( xn-1 + xn-2 + xn-3 + … + x + 1 )

Deci suma S = xn-1 + xn-2 + xn-3 + … + x + 1 se poate calcula =>

Rezolvarea ecua iei de gradul doi, forma incomplet : ax2 + bx = 0(c = 0)2x2 + 6x = 0 => 2x.(x + 3) = 0 => x1 = 0 x2 = – 3

–x2 + 4x = 0 => –x.(x – 4) = 0 => x1 = 0 x2 = 4

Rezolvarea ecua iei de gradul doi, forma incomplet : ax2 + c = 0(b = 0)3x2 + 5 = 0 => Suma a dou numere pozitive este pozitiv oricare ar fi x real, deci ecua ia 3x2 + 5 = 0 nu are r cini reale

–x2 + 5 = 0 => –x2 = –5 => x2 = 5 5x 2,1 ±=

–x2 + 5 = )5x)(5x( −+−

Sau :

4x2 – 25 = 0 => (2x+5)(2x–5) = 0 => 25 x

25x 21 =

−=

–x2 + 4 = 4 – x2 = ( 2 – x)( 2 + x)

)33x2)(

33x2()

31x2)(

31x2(

31x2 2 +−=+−=−⋅

1x1xS

n

−−

=


Func iiSistem de axe ortogonale: xx` ⊥ yy` i xx` ∩ yy` = {O}, O(0 ; 0)Reprezentarea punctelor în plan: A(1 ; 2) A∈ Cadran I B(–3 ; 5) B∈ Cadran II C(–7 ; –2) C∈ Cadran III D(8 ; –9) D∈ Cadran IVRezolvarea unor probleme de geometrie plan pornind de la reprezentareapunctelor într-un sistem de axe ortogonale.

No iunea de func ie; func ii de tipul ( ) ,baxxf,A:f +=→ R unde R∈ba, i Amul ime finit sau R=A ;Reprezentarea grafic a acestor func ii. Aflarea mul imii valorilor uneifunc ii de tipul ,)( baxxf,A:f +=→ R

Exemplu 1:f(x) = 2x 6 f(x) : R → RGf ∩ xx` y = 0 2x – 6 = 0 => A(3 ; 0)Gf ∩ yy` x = 0 y = –6 => B(0 ; –6)Trasez dreapta (d) prin cele dou puncte A, Bunde (d) = Gf ( graficul func iei f(x) )

Exemplu 2:R∈ba, i A mul ime finit .

f(x) = –3x + 9 f(x) : [–1 ; 2] → Rf(-1) = –3(–1) + 9 = 3 + 9 = 12 => A(–1 ; 12)f(2) = –3(2) + 9 = –6 + 9 = 3 => B(2 ; 3)Gf ∩ xx` y = 0 –3x + 9 = 0 => x = 3 ∉ [–1 ; 2]

Exemplu 3:g(x) = | x 2 | g(x) : R → R

x 2 dac x 2 > 0 x∈(2 ; +∞)g(x) = 0 dac x 2 = 0 x = 2 (x 2) dac x 2 < 0 x∈ ∞ ; 2)

Se reprezint grafic g(x) pe intervalele specificate mai sus.


Determinarea unei func ii de tipul ( ) baxxff +=→ ,: RR , unde R∈ba, , alrei grafic con ine dou puncte:

Fie A(1 ; 2) i B(2 ; -3). Se cere f(x) = ax + b al c rei grafic trece prinpunctele men ionate:f(1) = 2 = a.(1) + bf(2) = –3 = a.(2) + bSe rezolv sistemul de ecua ii a + b = 2 2a + b = 3=> a = 5 b = 7=> f(x) = 5x + 7

Exerci ii de investigare a coliniarit ii unor puncte cunoscând coordonateleacestora.Intersec iile graficului unei func ii liniare cu axele de coordonate.Intersec ia graficelor a dou func ii liniare:Fie f(x) = 3x 9 g(x) = x 5Se cere punctul de intersec ie al celor dou grafice Gf ∩ Gg =>Se rezolv sistemul de ecua ii :

y = 3x 9y = x 5 3x – 9 = –x – 5 4x = 4 x = 1, y = –6,

deci M(1 ; –6) = Gf ∩ GgDrepte perpendiculare : Gf ⊥ Gg cu f(x) = ax + b g(x) = cx + d ⇔

⇔

Exemplu : fie f(x) = 4x + 5 Atunci orice func ie

cu d orice num r real, are graficul, o dreapt perpendicular pe graficulfunc iei f(x).

Drepte paralele în planul xOy: Gf || Gg ⇔ dac coeficien ii lui x suntegali. Exemplu : f(x) = 3x+8 g(x) = 3x+11 Gf || Gg h(x) = 4x+7 k(x) = 4x 1 Gh || Gk

dx41)x(g +

−=

a1c −=


Ecua ii i inecua iiRezolvarea în R a ecua iilor de forma RR ∈∈=+ babax *,,0 .Ecua ii echivalente.Rezolvarea în R a ecua iilor de forma 002 ≠∈=++ acbacbxax ,,,, R .Dac a≠0 b≠0 c≠0 se rezolv forma complet a ecua iei de gradul II :Calculez ∆ = b2 4acDac ∆ ≥ 0 atunci calculez r cinile x1 i x2 astfel :i trinomul (ax2 + bx + c) se mai poate scrie astfel :

ax2 + bx + c = a.(x x1)(x x2) , form factorizat .

Rezolvarea în R x R a sistemelor de ecua ii de forma:

=+=+

222

111

cybxacybxa

, R∈212121 ccbbaa ,,,,, . Condi ie a1b2 a2b1 ≠ 0

-metoda reducerii, metoda substitu iei i metoda grafic de rezolvare.

Rezolvarea în R a inecua iilor de forma ( )>≥<≤+ ,,0bax , RR ∈∈ ba *, .x > a ⇔ x∈( a ; +∞)x ≥ a ⇔ x∈[ a ; +∞)x < a ⇔ x∈( ∞ ; a)x ≤ a ⇔ x∈( ∞ ; a]

Inegalitatea mediilor

Inecua ii simultane ( )>≥<≤+ ,,0bax 4.x – 2 > 0 x ∈ ( 2 ; +∞) 2.x + 6 > 0 x ∈ ( ∞ ; 3) ⇒ x∈(2 ; +∞) ∩ ( ∞ ; 3) = (2 ; 3) ;

Probleme cu caracter aplicativ care se rezolv cu ecua ii, inecua iii al sistemelor de ecua ii. Aplica ii în geometrie plan i în spa iu.

Utilizarea metodei algebric pentru rezolvarea unei probleme :

timp. tundedeplasare)deviteza(tsv

lucru);deviteza(normat

Lucrarencurgere);deviteza(debitt

Volq

==

==

a2

bababab0 ≤+

≤⋅≤⇒≤≤

a2bx 2,1

∆±−=


GEOMETRIE

surare i m suri (lungime, unghi, arie, volum):- transform ri (inclusiv 1dm3 = 1 litru).

1. Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul dedreapt , unghiul- Pozi ii relative, clasificare;- Paralelism i perpendicularitate în plan i în spa iu;- Axioma paralelelor : Printr-un punct exterior unei drepte se poate

duce o singur paralel la acea dreapt .- Unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente sau

suplementare.- Unghiul a dou drepte în spa iu se ob ine ducând o paralel la una din

drepte printr-un punct situat pe cealalt dreapt .- Dreptele perpendiculare au m sura unghiului dintre ele de 90°.- Dreapta perpendicular pe un plan : O dreapt este perpendicular pe

un plan dac este perpendicular pe dou drepte concurente din plan.- O dreapt este || cu un plan dac este || cu o dreapt con inut în plan.- Distan a de la un punct la un plan : Este lungimea segmentului de

dreapt , coborât din acel punct perpendicular pe plan.- Plane paralele; distan a dintre dou plane paralele;- Teorema celor trei perpendiculare T3P : Fie o dreapt d i planul α

a.î. d⊥α, d∩α=A, d1⊂α, d2 ⊂α, A∈d1, d1∩d2=B, d1⊥d2,Atunci oricare ar fi M∈d, segmentul MB⊥d2.

- Distan a de la un punct la o dreapt este lungimea segmentului dedreapt , coborât din acel punct perpendicular pe dreapta dat .

- Proiec ia ortogonal a unui punct, segment sau a unei drepte pe unplan;

- Unghiul unei drepte cu un plan este unghiul dintre dreapt i proiec iaei în acel plan.

- Lungimea proiec iei unui segment : Lp = L.cosϕ, unde L = lungimeasegmentului i ϕ este unghiul dintre segmentul de dreapt i plan.

- Unghi diedru: Este unghiul dintre dou plane. Este determinat de doudrepte, situate fiecare în câte un plan i perpendiculare în acela i punctM, pe dreapta de intersec ie dintre cele dou plane.


- Unghiul plan corespunz tor unui unghi diedru; m sura unghiului adou plane este m sura unghiului ascu it format de cele dou plane.

- Plane perpendiculare : α⊥β ⇔ m sura unghiului diedru este 90°.- Simetria fa de o dreapt în plan, simetria fa de un punct în plan;

2. Triunghiul- Perimetrul i aria : P∆ABC = a + b + c ; A = ; A = r . p ;

2hBazaA;

R4abcA ⋅

== unde 2Pp = r = raza cercului înscris ;

R = raza cercului circumscris ∆ ABC, a = BC, b = CA, c = AB. A = )cp)(bp)(ap(p −−− formula lui Heron- Suma m surilor unghiurilor unui triunghi este de 180°.- Unghi exterior unui triunghi are ca m sur suma unghiurilor neadiacente lui.- Linii importante în triunghi i concuren a lor:

In imea este perpendiculara coborât dintr-un vârf al ∆ ABC pe latura opus . In imile sunt concurente în punctul H, numit ortocentru.

Bisectoarea unui unghi al ∆ ABC este segmentul de dreapt ce împarte unghiul în dou p i congruente. Bisectoarele sunt concurente în punctul I, centrul cercului înscris în ∆ ABC.

Mediana este segmentul de dreapt ce une te un vârf al ∆ ABC cu mijlocul laturii opuse. Medianele sunt concurente în G, numit centrul de greutate al ∆ ABC. Punctul G este situat la o treime de baz i dou treimi de vârf, distan e m surate pe fiecare median .

Mediatoarea este perpendiculara ridicat pe mijlocul unei laturi al ∆ ABC. Mediatoarele sunt concurente în punctul O, centrul cecului circumscris ∆ ABC.- Linia mijlocie în triunghi une te mijloacele a dou laturi i este

paralelel cu a treia latur . Are lungimea egal cu jum tate dinlatura a treia a ∆ ABC.

- Triunghiul isoscel i triunghiul echilateral – propriet i;- Criteriile de congruen a triunghiurilor : LUL, ULU, LLL.- Triunghiul dreptunghic – Teorema în imii: Lungimea în imii AD este medie geometric (propor ional ), între lungimile segmentelor determinate de ea pe ipotenuz : h2 = BD.DC

2Csinab


Teorema catetei : Lungimea unei catete AB, este medie geometric (propor ional ) între lungimile iptenuzei i proiec ia ei pe ipotenuz : AB2 = BD.BC Teorema lui Pitagora i reciproca ei : BC2 = AB2 + AC2

AB2 = BC2 AC2

- Trigonometrie : sinx, cosx, tgx, ctgx; Triunghiul dr. ABC.Fie ∆ ABC cu m(∠A) = α = 90° atunci m(∠B)+ m(∠C)= 90°m(∠B)=β i m(∠C)= δ ⇒

bcctg

cb tg

accos

absin ==== ββββ

sin2β + cos2β = 1 (β + δ) = 90°

ββ

ctg1tg = tg(90° β) = ctgβ

sin(90° β) = cosβ cos(90° β) = sinβ

α 0° 30° 45° 60° 90°

sinα 021

22

23 1

cosα 123

22

21 0

tgα 033 1 3 +∞

ctgα +∞ 3 133 0

Formule de calcul :ββ

ββ

ββ

α

ββββ

sincos

tg1ctg

cossin tg

sin1coscos1sin 22

===

−=−=

Teorema sinusurilor : (∆ ABC scalen)

R2Csin

cBsin

bAsin

a=== unde R = raza cerc circumscris

Teorema cosinusurilor : (∆ ABC scalen) a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cosA

A

B C

bc

aβ

α

δ


Teorema bisectoarei : Fie ∆ ABC scalen i AD bisectoarea ∠A,

Atunci exist egalitatea : CADC

BADB

=

- Teorema lui Thales i reciproca ei : O paralel la o latur a unui∆ ABC determin pe celelalte dou laturi segmente propor ionale.

Reciproca: Dac : NCAN

MBAM

= Atunci MN || BC

- Teorema fundamental a asem rii : Dac dou triunghiuri ABCi MNP sunt asemenea atunci triunghiurile au laturile propor ionalei unghiurile corespunz toare congruente :

PMCA

NPBC

MNAB

==

- Triunghiuri asemenea – criteriile de asem nare a triunghiurilor :dou triunghiuri sunt asemenea dac :

• au câte dou unghiuri congruente (I)• câte un unghi congruent i laturile ce formeaz acest unghi

sunt propor ionale (II)• au toate laturile propor ionale (III)

3. Patrulaterul convex- Paralelogramul : P = 2. (AB + CD)

A = AB.h 2sinBDACAABCD

α⋅⋅= , unde α este m sura unghiului

dintre diagonalele paralelogramului AC i BD i h este în imea.Paralelogramul – propriet i referitoare la laturi, unghiuri, diagonale:AB || CD, BC || DA, AB = CD, AD = BC, m(∠D)+m(∠A)=180°, Deoarece: sinα = sin(180° α) = sinβ

A∆AOD = 2sinDOAO α⋅⋅

⇒

A∆AOD = A∆AOB = A∆BOC = A∆COD

A

B C

M N

A B

CD

Oα

β=180°-αh

W


2sinBDACAABCD

α⋅⋅= , Diagonalele se înjum esc, m(∠D)=m(∠B)

m(∠A)=m(∠C)

- Dreptunghiul : P = 2. (AB + CD), A=AB.BC.

- Rombul : P = 2. (AB + CD), 2BDACA ⋅

= , AC ⊥ BD (diagonale).

- tratul : P = 4.L, A = L2, AC ⊥ BD (diagonale).

- Trapezul : P = AB + BC + CD + DA, hLA M ⋅= , 2bBLM

+=

LM = MN = linie mijlocie

ABCDABCD2

bBBb2RT

2ABCD

2bBPQ

+⋅⋅

=+

=

−=

−=

Lungimea segmentului RT este medie armonic între B i b. Trapeze particulare:

Isoscel: AC = BD , m(∠A)=m(∠B), m(∠C)=m(∠D) Dreptunghic : m(∠A)=m(∠C) = 90°

- Suma m surilor unghiurilor unui patrulater convex = 360°

4. Cercul- Centru O, raz R, diametru AB=CD,

LC = 2.π.R AC = π.R2

- Unghiul la centru : ϕ = m(GB) unde ϕ=m(∠GOB) i GB = arc

- LGB = o

o

180nR ⋅⋅π reprezint lungimea arcului de no.

- Sector de cerc = Suprafa a GOB => AGOB = o

o

360nR 2 ⋅⋅π

- Coarde i arce în cerc (la arce congruente corespund coardecongruente i reciproc);

- Proprietatea diametrului perpendicular pe o coard : Împarte coardaîn dou p i congruente.

A B

D C

M N

O

P Q

R T

C

BA

D

O

GR

ϕ


- Propr. arcelor cuprinse între dou coarde paralele: sunt congruente.- Proprietatea coardelor egal dep rtate de centru: sunt congruente.- sura unghiului înscris în cerc este egal cu m sura arcului cuprins între raze ( vezi mai sus unghiul ϕ )

- Pozi iile relative ale unei drepte fa de un cerc :- Exterioar cercului : nu intersecteaz cercul.

- Tangent cecului : intersecteaz cercul într-un singur punct în care raza i tangenta la cerc sunt ⊥. - Secant cercului : intersecteaz cercul în dou puncte .

- Cercul înscris într-un triunghi are centrul la intersec ia bisectoarelorunghiurilor triunghiului, notat I i raza r egal cu :

trulsemiperime2

cbap,AriaAundep

Ar ABCABC =

++=∆== ∆

∆

- Cercul circumscris unui triunghi are centrul la intersec ia media-toarelor, notat O, i raza R egal cu :

ABCLaturilecb,a,,AriaAundeA4

cbaR ∆=∆=⋅

⋅⋅= ∆

∆

Lungimea cercului = LC = 2.π.R- Aria discului = AC = π.R2 ( Aria cercului )

- Calculul elementelor în poligoane regulate: triunghi echilateral, p trat,hexagon regulat (Latur , Apotem , Perimetru, Arie, tiind raza: R).

L a P A

∆ ABC 3R ⋅2R

3R3 ⋅⋅4

3R3 2 ⋅⋅

Patrat 2R ⋅2

2R ⋅2R4 ⋅⋅ 2R2 ⋅

Hexagon R2

3R ⋅ 6.R2

3R3 2 ⋅⋅


5. Corpuri geometrice

Poliedre:

• Prisma dreapt cu baza triunghi echilateral, dreptunghi, p tratsau hexagon regulat;

• Cubul;• Piramida regulat (baza triunghi echilateral, p trat sau hexagon

regulat).• Trunchiul de piramid regulat (baza triunghi echilateral, p trat

sau hexagon reg.). Raport de asem nare liniar k, k2 pentru arii, k3 pentru volume.

- reprezentarea lor prin desen;- elementele lor (vârfuri, muchii, fe e laterale, baze, diagonale, în imi);- desf ur ri;- sec iuni paralele cu baza;- aria lateral , aria total , volumul.

Prisma AL = Pbazei. h

AT = AL + 2Abazei V = Abazei

. h d = 222 hlL ++ ( lungimea diagonalei paralelipipedului dr.)

Cubul AL = 4.a.a = 4.a2 ( latura cubului se noteaz a ) AT = 6.a2

V = a3

d = 3aa3 2 ⋅=⋅ ( lungimea diagonalei cubului )

Piramida regulat AL = piramideiapotemaaunde2

aPp

pbazei =⋅

AT = AL + Abazei

V = bazeiA3h

⋅


Trunchiul de piramid regulat AL = 2a)PP( .trbB ⋅+

AT = AL + AB + Ab

V = )AAAA(3

hbBbB

.tr ⋅++⋅

(aB – ab)2 + htr.2 = atr.

2

Corpuri rotunde:

• Cilindrul circular drept,• Conul circular drept,• Trunchiul de con circular drept

Raport de asem nare liniar k, k2 pt. arii, k3 pt. volume• Sfera.

- reprezentarea lor prin desen;- elementele lor (raze, generatoare, baze, în imi);- desf ur ri;- sec iuni paralele cu baza;- sec iuni axiale;- aria lateral , aria total , volumul.

Cilindrul circular drept AL = 2.π.R.G AT = 2.π.R.G + 2π.R2 = 2.π.R(G+R) V = Abazei

. h = π.R2.h

Conul circular drept AL = π.R.G AT = π.R.G + π.R2 = π.R(G+R)

V =2R

3h

⋅⋅π

o

o

o

o

o

o

360n

GRsinGR

360nGAR2

180nGL

2

sectarc ==⋅⋅=⋅⋅

=⋅⋅=⋅⋅

= αππ

ππ


Trunchiul de con circular drept AL = π.(R+r).G AT = π.(R+r).G + π.(R2+r2)

V = )rRrR(3h 22 ⋅++⋅⋅π

(R – r)2 + h2 = G2

Raport de asem nare liniar k, k2 pentru arii, k3 pentru volume.

Sfera AS = 4.π.R2

VS = 3R4 3⋅⋅π

OP = OV = OE = ON = OS = R

P = punct curent de pe sfer .

OK !

Succes la Examen ! 01.05.2006

[email protected]

P

N

EV

S

O

mailto:[email protected]

FORMULE MATEMATICA

Documents

Transcript of FORMULE MATEMATICA