Matematica Formule Utile - Clasele 5-8

Distr i l_ ' '_Te /F

. : .1.Emai

rrpress ro

rsaN 973-833$,8&X

ltillliltiililuilillltil

i1.\ l

EDIUNAtETE0[

PNESS

\x\.ir

DORU SAVULESCU roN Ro$u

MATEMATICAFORMULE UTILE

Dentru elevii claselor V-Vlll

MEIEllRI,JIIpnEssl i l l

LucraEa a lbsr rvizad de Minnrerul Edu.adei,cerrt ii.ltee.ului ti spoiului (t 2501427.01.2003)

penlru a fi nilizaln la pgttirca elevilo.in chsn si in a1a6 clasei

Melor Prcs, cdib.n acrdiratn d. C,N.C.S.[S.Cod 145/2011

Ct+ttt: ntlL Drrid Mqtaû

O 2d13, ncditd 2011 To.tc drcpturLlc aupn acsrei editiisunt sc(ar. edftlni METEOR PRESS

r-nail [email protected])

F mait snozi@deteorpes o

tedDiint

ALGEBRA

rul{mc. nudc.elor nrturale NN= 10, I ,2,1,4, 5, . . ) 5 iN*= {1,2, 3,4,5, . . . } .NuneBIe na$rale sc erupeuah:

a numere paE. caf se inpan exact la 2 $i se noteozt , = 2t tia numere impare, 4c nu se lnpad exact la 2 $ le noEm

Op..rlii c! nldere @runleAd@r@. DacN",, N rtunci a +, =. N.

Pm.rietdlile aduniriid conubrivibrm: a + b = , + a, (v) d, , N;a Asociativihtea: (a + ,) + .: = ! + (, + .), (V) a, ,, . Nlq Nun&ul 0 (4ro) csr. clcnnl neulru hlt de adunarc:

d+0=0+d=a,(V)a N.Sctdcra. a-, =., dacd ti nunî dncâ = b +..in 'nul l i rea. Dac! a, b N, aluncia 'b =. N

ll!!ris-!.isl!41!idic ConuBl iv iurei a , = , a.(V)a, ,Niq Asociar iv i r rea: (u 6) . : ! ( r . . ) . (v)2,r , .Nic Nunftd I es&elementncutrulaFdl.nullire:

, . l= l a=a,(V)aN:-

Disliibutilitatea lnnultnii fard d adunare Si scrdeE:a ( , ! . )=, ,1, . , (v)a. t .N.

e r . do =1, (V)aeN*c 2 tl .!'t = a"t+,\ , (v)_,nN. dN*:a 3 dD ut =trn-r , (V)n,nN. aN*, n>":. - 1 tvu) =r, ' ' . rvr , r rN. ,N1

-

6 (a: r)'=a' : d', (v),rcN, a.rN*Inplr f i r$ a: , =. , dact o = r ' .

Teorcna imptrfirii ctr rst in NOricde & li dour nunere naturale D, t, ntnire.leinpn4l 51.

6pectiv. i"En4iot, c! I + O exish ahe doua numere nanrdle cii n. nunitc .at $i .dsr, astfel inclr D = I t C + R, R < t.

Un numtr natural d este dttri.r't cu un nunar nalDral t dacrexiss un numrr mtudl ., aslfel incA\ a = b ..

,

Scricm a : , si citiF a se divid cu, su ,la $i ciim b ildivide pe d. Numrrul a se nunre$e t&!?1". iar , se nlmc5te

Prooriefti ale .elatici d divizibililale ln Na a: a pen$t otice a- refaitaledl-

Dacda:bt b l o, ^rDci

a=b-ant^ inet ia: ,

-

Dacaaibsi b 1c,^ttnci d : . - tru\itiitaka:.

-

Orie numrr natunl 6te divizlbil cu I i scrien a : l, (V)a Niq zro este diyizibil ctr orice nunr naturalr scrien 0 :ai

-

Dacd d: , ta . : r , dunci (z i . ) : r i? Dac. a: , a lunci (a. . ) l r , (V). Ni? Dacta ri z i.udrsi.sutpnmlnhelealunci d !(, .)

C.iterii de divizibilitateG un nunar narural cslc divizibil cu 2, dac! ti nufrai daci

ujtina cifri a num&uhi 4te cilia pard: 0, 2, 4, 6. 8c Un nuntr natual esre divizibil cu 5, daca $i nunai dact

ultina cif.. anundrului est 0 sd 5.

-

u. numsr narunl sre divizibil cu 10. dacd ti nunai dactlliima cifta a numirului este rro.

c Un numdr mtural 6t divizibil cu 3 (sau 9), deii.uma'dad suna cilElornumrrului 6te divizibiltcu 3 Ge 9).

-

*Un numar nanral este divizibil cu 4 dacd $ nunai dacanuntrul fomot de ultimeie doud cifte. in ordhea ln cdesu.l s(isc, estdivizibil cu 4.

-

.Un numrr natulal est divizibil cu 25 d.cI ti nunai dacanunirul format de ultinele doue cifft, in ordioea rn cdesunr sfise, estc divizibil cu 25.

Numere prin.9i nun.re co'r0rceI n numarcf f i dee\a. ldor dniar i (p( l ) ' I unrrul insu) i

nuniri si divizori improp i) se ntmeSte ntdb pnb,Un nuntr cm e nai mult de doi divi&t se nunc9te

nuhdt h.?nn sau Nnd. @htpus. Nunele 0 $i I nu sunl nici

Cel mi llrm dilimr conun (..n.nll..)Spuem despe u nunar nalural I ca eite c.m n.d c. al u.or

nunere naluiale, daca 6to divi4r @nun (divide fiecde drnnurerele rcsp*tivo !i ori@ al1 divizor mmun / rl acelornunre esr divizor pentu 4 notin d = (a. b) sN (a. b) ' d.

C.n.m.d.c. al unor nunere esle cel mai mrc di.lEelenentele intenclii nullimilor divizoilor numcrclor. Aceslase a1l5 folosind mtoda dsompunerii nundelor h prodn. d.f&lori tdmi ti limutind faclorii pini comuni I. pnterile @lendi nici la care li gsen ln descompuneri

90093

22. 5. t50q 2r jr 9c/i)=2..3". *. l l5 I 1500=2 J tJ j :

"..- a" = z-r fJ =:oo

(900,15m)=21 3 52 = 300Nurerc prim inrr ele:

Doua nunse 5e du,s. priu s iirje eie (sa| tuA p,ine),dact el nai nde divi@r comun al lor 61e 1.

Cel mt Fic nuldplu .ollu G.nnnc.)spunm ca un nlmtr naluEl nenul u esiE c.n m n c. d unor

nJmcr naruml., .lact 6re muhiplu comun al &elor num.re )iorice aI multith conun nennl d al felor rumE esle nulriplual lui ,r ti iolrn La,rl = r.

C.n.n.m.c. al undnun@ ene cel nai mic elenent.m!l aiinreBecliei nultnilor nubtlilor Glor nnn@. Aesla se anitolonnd descohpuner.a nun.rlor In podu' de faclor p',mr llinnullind ladoni prini conuni ti nemuii, scriti o singuri dat4la pulorilo cele mai nwi la ce li grsim ln dG@mpunerile

Dxenplu: Sa so afle [420,49s].42012 5 4951 34212 1651 32t 13 5sl 57l1 l l l ll l I

I!20,4951=22. 31 5.

(o, bJ Io, bl=o h

225=2\ 3 5 1165=32 5 l r

31 5 ? n

7. Il = 13860

Mulline, nuncrtlor intreeiz= | . . , n, . , . -3,-2,- I ,0, 1,2.1. . . . . , , . . . ) jz+ = z\ l0j.Nuhtrul divibrilor nrturdi ri nnui n!mrr natural

.Jr \unl numE p meesre datde fornura,=(or + D.(a? +l) . . . . . (dp + l ) .

Ex(mplu: \umarul ,=2' , : i , r r l -

r r ' I ' I I )=24

Obscrval'r: Numdrdl d \r&rilorhlre' ar rumdruluirnueg\u0i nunerc p.mer

sre t r -2. ior+l) (o:+l)- . . . (op+l) .

Opus!l utrui ntrmnr intrgOpuul unuj nuner inres a se noteazn

- a.

Sciem a > 0, pnlo a ardla ct nundrul htreg a esle pozniv.Scried a < 0. penh a arfta c, nunrnl lnttee a este oegati v.

ModtrluI unui num!.tutr.gD.liniti.. Disrula de la oiginc p6.a la ponctul e reprezinEnumnrul a. p. rxa .uneelor, se ntnelre nodulul s^n wLareaaAdlt a numtrulur a si se noteazd I a

aaf" a*a "ola l ={0. dacr r=0 eu dl=l_ -_:_ _ -

l - " . a*a , .0 | ' oaca '>u

-

la b1=1a1. b . Nq.bez:-

la l - -d l , wvezl-

l . l Lr l0).

Adumre nl|lMelor intftsiPontru a aduna doua numere inftgi. p@edan in modul

e dacl dunerele du @la5i semn, *!ien b izultat smul rornun $ .dunan lalorile obsolutei-

daci numerelc nu au acelati semn, eriem la sull2l sennulnDndrului cu valodea absolui! nai 6e sr scddn valoeaabelffi did di. valodea absoluta ne.

a Alociativitatea: o + (b +.) = (o + b)+.1a Conutotivitatea: a + b = b + ala Ele$eat f tut tu: a+0-0+o=a

Scdderer trun.r.lorlnlregiPenru . scadoa dou, nuheft lnlregi, adundn descrzutur cu

opusulscnzdbiului: a b = 4 + l- b).

innuln6 |llllcdor lnrsiPenlru a iinulti doua numere inlregi, procedlm in fehl

c dacd nureEl au acel.ri sem, s.ien la fzulial scnnul,rlut'(+) si inmullin valoile absoluie:'

daca nunoel nu au aelasi senn, sc mlaeultdsemnul,rinus" (-) qi inmullin valo'ilc alelul.

c Aso.iativitatea, a. (b .)=(a'b) .:.a canutati,itdea: a. b=b alc D4tibutieitateaJi4d de adunarc i vd.lerc:

a. (br . ) - a bla . :a Elenentt4uttu: a l=1 a=a,a a. (_r)=_a: {_a} (_l)= ( a)=a.Fractii

O sc.ieE d foru :, unde d,rN,, t 0, s nunette

fhctie. Nunrrul d se nunestc ,z,rdr&or $i sarn ctue pd4i esaleavn, iar, se numeste ,lDarr ti @1t h cate psrti egale a fost

Dac6 I l.ldcua,e num6resuDdnrlara ! avem ,>Dh

DacI ; = I, fiaclia sc nune$te ccfiiMitarl ii den a =,

DacI + < I , Ea4ia se nunegte subunilari 9i Nem a < ,.

si ; su {hivalenle (gale) $i s sc.ieDol. 6'e!i ;

. d&t i i numai daci d d=r ' . .

l0D&n tnnulio numrrttorol !i nunibnn Moi aa4u cu

ularinum narudlnoui. spunenca M @nplif@t ftzctin. idno@ taclie oblinuti 6te echivalchin on n&da daia_

Y2t t26Erorpr -

= -

Ddcd lnps4im nmdrtlorul ii numitorul uni na4ii .u undivi@ mnun spunm .t M ttlptifr.at nacfi4 id naqiaoblinuii es1o 4hivaldtA cu ftu1ia datl-48\Sllderu 54

=

t.

O fiaciie q Fnlruci( r,.l) I nm6le 'rcdudibila'h

DraEadi i letu eelsr nunibt ." ' . t . 9,1= ' I

Der lraqiil .u au eela{i nunitor, lvmlt c a.d + b.ci.7=-;.,r

Un@i, esle Nmtajos sa aducen fracfiile la Mlrti numitorCl nai nic nunilor conu ,l uor nacjii ste ..m.m.n.c alnunitoritor,

'd pentru a aduce tr&lrile la acesl nunitor

mtlificAtn liccm nacfie cu crlul dinfre c.m.m.n.c. al.umitorilor ti numitorul fiactiei Bp@tive

Eimlu: EiccLua[ adunalle :+-+=.N.c. = c.n.ms.c. I15,14,61= 2 3 5 ?=210210: l5=l4r 210: l4= l51 210:6=359iavml

ta ) u) ! r5 rs 45 . : r ls r . . . r l . : "0rs ' rq -

"

- : ro ?ro o , 'o - ro lo,

-

g."6ri";ta1". l!a1=bd

- "-",,"",","".

f ,r.)r!=!,(! , !).\b , t ) t h l t J)

a Nundnl nliddl 0 6te elennl nentru p6tu adunde:

+u=0+ = .mlmah (J

a . a I . \b d b I d)

?ertiu a ldnllti doul stu tui multe fnciii, lnnullin

numdl'torii r'nbt ei si nmitoni i6l!6 6; r; .6.iea a a=i:l,b t l bd

Psftu optini?ooa cahuhlor, s1e bine sa IMm sinplitciri.

* conbt iv idm: a.a=9.4,h. I l th

-

a,*,",,","* lg.rl.r =i-.! L.r).tb dl I b l . l f )

q Nunad ralional t sle elenffl reutu pmtu Jnnutne:_.r = r ._= _. oncJr rr h

--ev,

a Innullida este dislibutiyd fa{a de adund !i scedqe:

; " ; '

t2

al. .e\ a c a eb \ ,1 t ) b d b I

Inre.sul trnni nuntr netulSpunn cl invenul onui nuhtr a noul esre nun&ul ,, da.a

$nunaidacr a D- I l.vmul uui numrr, s noEaz, -.

ps,ruo; -=l

r . o d rJ -

t t2 3 35 1h d b , bt 5 l5 5l2 4

. I 5 l r 5t l2sli ) = b^ *""e* \i I =v= t4t

TrusforBrrcr unci fd.lii aciDllc ltr frr4i. otdiurjrF aclii aimale qacte (linite):

zs,tut =rffi sau 35,267 =-l:41rncfii acimal. periodice simplc:

t.osst=nffi '""

nrcxrZffi?

f - " 'o

$ a*oo'"r-r i " a

l3Fmqii rcidrl. pcriodice mixtcl

-^-_ -^. ^- 1628t 16

^-- .^ , 823628i-8216

99900 99900

M{llin.. nun.r.lor r.rl.Muldmea numerlor

lionale, impreund cu nunerelemt'Male (cd nu pot lr rrbo,ub font de ira.rie crnmrraroru! ti nunilo.ul nuncre inteBi), forneazd multineanumfelor Eale .oa1. R

Avm:NcZcQcR.t trvale de mrtEre rsle

Fiiod dat dout numere rcale d ri , cu a < , umnioarlenultimi l nmin inlryle:

{rlER ti z

r lF lat , .R2 JJ =,l; 1F. a.b>ol

- ' . [={ ,

" '0, , ,0,

* r. ali -,[E . o.b>o:

-

,QL=ff i " .o.

"

"xJi.1.!i +Jil

- - i : , i=

. l r - a>b . . . - Ia.4.b"

3 ndr, b)=lb o.a . . , " . , ,=La. o,r ,

-

" . ^* ( . ,u)='*u') '

u1 , non(o,b)="*b1"-bl

Modulul utrui numtrr retl, f i .d&a re l0.r '

-

r '=1_,.d." , "

i* . o)-

2 l r l -orqc. ! inumai dacd r=o;-

3 r=a,{VFR:-

a.l*. ' l=l ' . ' ,1,(v)',]e&

-

, l-:.]=!1,1eu.s ,n*.,l r l ' | l

-

6. l' * ]l < l' l+ ly l, {v),,}&a 1- l r lot-

3- l r l>aeE(*,-aluIa,+),cu a>0.

Crtul neGcllEr a dou.d nms a ii , .u , + 0, scfls surtt6tu

; , e NItr{.rE,qonut tllmrelor a ti r. Nunftle a ei D* a@ aewtii rqoidt, R@lrrtul inpr4nii se numegte

M.dir rdtudicn a r nMee red

M" a1+r2+ +a'

Mdi. rirb.dc! Fnd.nt a n nMde real zr, a:, ..., a cupddaile pr.r!...,p,ste

u qh+a2p2+.. .+a,p,-*- p.

-

pt .* p"M.dh g@n ti.:r (pmpo4ionala.) a dou, nmE ..alo p@ilive

M.di. .mod.l a dont nun@ Fale nenule este:

cr i f fd f i a>0. ,>0=-]=-

Un rapon cu nunitorul 100 se nrnel' tuport pwedual sar

scurt ,/oc,,, Notam -L = ,% 5t cr n p la tutit.

PenLru aana D pmcdtdint'un nuntu, innullim nundrul cuDPonll [email protected]:Sise ane 30% din ?0 m.

Sotulie:?On : =21m

I gal i rdeoaJuxtrapo*senuncttepopor lE ; -

Cel paru numre cat 'ome@a

o propo4,e sc .nme\ctm.nn Fopotliei. Nnrcrcle a ti d s nume .rrrott, jar , 5i .

Pmprieratea funddcnlahr In orice prcpo4i prcdusul n.zrlor

Ate esr cu Drcdusu I e\ teni lor . !=! o" d=b .

4le!4!!cql1:DinH Dropo4i puten oblino.oi pnpo4n. nunilePt"Pa.lt

l lschrmhind mezrr ,nbeei :=: e:=-,

2, $hidbind ertemi inteei :=- F ;=: ,

J) inleRlnd anbcle mpcn

t7

4lschimhin.t ur

l3Propriebte: Un Sn do .apoarte egale esr. egal cu rapdtul dmtEsuda de nudtdrori ii slna de nnmilori mspunzfton:

h d f ^

h+.t+J+^

Durini dir.ct pmporlionalDoui nrrimice depind una de alD !i in tinp e una creite

(scad.l dc on numtr de ori ri cealahd cE$e iscade) de acelrslnltntu de ati se n}mesc ndrini dire.t ptupo4ioahleEreDple:

-

rimpulii distanla parcnBe de un nobilin niScat;-

cantnaa de ntrla 5i costul 10rol.Dact numcrele ,, ), . sunt dtecl propo{ionale cu

Dolt n{rini cdc depind una de alta ri in tinp ce una crlteGcado dc un numir de ori. cealalr?l scade (cE re) de acelasinumar de ori se numesc rdri,! i,ra^ propo4ioanl4!rd|ple

" rdmeLde mur. i ror i s i r impr lpenh elrud Ln. i

q ntrmtuul de mbinete titimpuld ufrplerc aunui hui.Daca nuneile i, ), : . . sunl inrets ptopo4ionale cu

I l--l r-a b c 4h"

sau r . d=J. b=:. . : . . .

Regulr dc 1r.i simpli pentr! mrrini dirci prcporlionrl.15 ke dc nrcrc cost r20 000lei carosra ? kg de nere de

&,,&ticr Scrien pioblcma 6tfel lDcet nrtrimil de a.elati fel s, fieasczalc suh marimi de acelati fel:

' iff[.E'",T'"'t= T l2oooo =soooo t . '

Reguh de |reidnpln pcntru mlrini invers proporlion.lc15 nuncirori pot te.mina o ltrdde in 2l de /le. in ctu rinp

lermal' &cc4i lofaE. 7 muncitoritSoh4ie:

l5 muncitori . . . .:i: . .. 2l zile

'=15 21

=ts. : ;=15.; t .

Regula de lrei compn$l0 caniane pol tnnspona I 500 ! efectuand cate 8

ransponuri pe zi tinp dc 15 zile. Catt harfl pot r.nsporta t5canr@ne etctuend ciic 6 |Iansportui pe zi iinp de 12 zile?Salutt!

r0.Jn. . . . ; r5o0r3-: : t .8 ' r r i l ' . . . r i4 ie'5.n. ! - -

, r . . . . l .or / / rH l . le,5 r .00 , r .=

Plodusul unui ntrmrr cu o sumlalq.brics so cfectue., innultindnu'nhur cu liecm IemEn al sunlci, liind cunoscut ti sub nunelede tli$nbai,narea irru\irii Iatn & t.lira.e ti rcaderc.

4a + b + t -d + . . . ) -n + \b + tu:-xd + . .Ptodusul dinlre dout sumc aluebrice se efectueazd nrmultindfiecare lermen al u.ci sunc cu fiecare temen al celeilalte sunc:(r + :! - .)(a -. D + r ) = rd . rb + \. +ta - tb + y - a +zh .(

Formle de calcul pqsIltelpd!!-del!4iri di&redr(o + b) la-b)=a'-b 'Parmtul binomului

ta + b)1 -'z

+ 2ab + b'z (pataul binomDlui suna)j(a-b)1

-a1 2.h+h2 (p^tart lbinonului difeEnld);!4l!!u]!!noo!l!l

\ i+ b+ c)z -a '+b'1+ct +2ub+2ac+2tc

lxmDlr 2(3r 5'y) = 6.t lO!;(2r+3r)(4r 5r-13; l0r :+ I2{v-1tr i(2r+3vx2r 3.l, = ar': g11. (2r+6!)2 =4x2 +24\+36!2:(3x-5 v)? =9r'z 3ora+2t.r?.

Alle fo@l d calol poorllt*1. la b)(u '1 + tu+b2)= u1-bi2. (d+ b)tu1 trh+hr=; +bi3. (a+ b)3

-ai +3o1h+3!h1+bl

4 l , r -b) t =ut )o2h+3.b2 -bl

D6compuftr.r in lrclori@rlqrur

Se aplici pr.prierale, dc dhiibuliviht a jnnullirii fald deadunare ii scadere: ll7,+a.=a(/,+()Exoph l5r:.v+ l&9'?=lrv(sr+ 6t) 3ry ractorconun

.r4'ij:!i,Es!j!:li!*1gllll 2lFoinulele de rcstrdnrerc d pAtnclor unui binom sau trinom

S. atlic, fomulle de calcul pscutul:o ' + 2ab+ b' =(u + bf . ,1 -2"b+b'z = ( .a -b) 'a, +b, +. , +2ub +2ac+2bc= G+ b+t)z

Exmpre 4)2 +4r+ I = (2r) 'z+ 2 (2r))+tx -Qx+\7:

4,2 lb o, : - r2. / : ) . r2rr ' r jv ,+ 'J ' ' r2r Jr"

Difernta de pakateaz

-b1 =(a+b) la-b)Dxemptu:36,2 25= (6r+t(6r t.Utilizdea combinara a fmu'elor

r rorr8 r- r2 r 'JrJ J r8-( ' rJ q 8-r , r , : . l -=(r+3+D(r+l l )= ( i+axx+2) s! t rr '? +6r+8=r 'z+4'+2rr8=ir+4)+2( '+4) = ( '+ 4Xr+ 2).

Ate fornde de d$ompure in facto.it . at b3 =(t ,b le| +rb+b'1)2. .t +br =

22

-

3 a+:>2, (VV(oi*) i

-

4. ,, : b. *,' '

,b+ b, + a.: , (v)a.b..E*

Dcualia de sr.dul I cu o necunoscutaPmpozitia d+b=0, a,r,ER, a r 0 se nune$te ecuali de

gradul I cu o necunoscut.Numtrul (numeEl) pento c@ propozitia esle addaras so

nume$e solulie pentru ecuatia datd.Ctsirea $luliei se nume eEhlvd:

u=O-b

"=;Numtrd

-q s runEre solulie a ecualioi date ii sercm

" I , l

" - l ; lEcuari. de eradul ll cu onecunosculd

Protozilia d2 +rJ+. =0, ab,..rR, o + O sc nunc$eecualie d gradulal ll ler co necunoscuta r.Ebele @olvlrii ecuatei d erldul ll cu o necunoscutd

2. DerA< 0. ndicalul nu m sens tiecuaianu are soluF toale.

D&r ^

> o ecuaria m solunrle r , =:jjla

23

Exemplu: Si se rzol* aualia r: 6r+3 -o,

reR.ld/r / , . a\em d I n 6.

-8 -A- '

0 ' 4 r d-, , 6t t6 6J2 6+2

1i=t-,=-=1)S=1214\_Inecurtis d errdul I cu o necunoscuit

Prcpozi l i ih dc foma: d+60, unde a,b,reR cu d + 0. s nunsc rre&4ti r'.sra.tul I .v 4urn6tuut x.

Soluliile inecurliilor strnt inleryalele:f A \

a +b>0- l rxl- : . - .d4d,>0.Lu )

1,. f _. a l .a*e, .0,\ d i

. . * o.o =,r , . l - - . 1] . o- . . '0,\ / j

21*[1.*) .a"a".0ta )

shteme dc donn cualii c, doul nummtDoni ecuatii de gradul I cu doua necunoscule formud un

sinn.le eeatii 4e etudut I u doud men6ek:ys+h!-c

Reblrar. prin neloda spbadtutieil r+2v=15 h=15 2r r=\5- 2r] r , . - , r - ] r , rs- : - i s r^*]a ' 6" ' .u js

l r -15 / r i r - l t / , . f r " l5 ) , [ t - l i 7 7* i

,=rr les- l "=

z '1,=z - ly=u

e] : -5= t(r 7rJ

ReblvaH prin retodr rcducrii)3,+2f-12 .(1) s ) 6 ' 4r- 24l2i+3r=l l l (3) 16r+9y=39

/ + 5) = 15 e, = 15:5 +y= 33r+2 3 = 12 e 3r= 12

-6 3r :6 er:6:3 3r:2s= (2,3)1.

Rczolvarca problcmclor cu rjtrtorul cu,liilor sau r.

sjsrem.lor de ecMliiln zlvaea unei poblcmc cu aiulorul mualiilor sau a

srstemelor vom parcurge umrlordo ct pe:l) Alcgcru nccuh6cDti (necrnoscutloi)i2) so8Ea ccualici (@urliilor) poblemeii3) Re@lvarea ocualki Gbtenului)ia) hterpeurc! solufei ecualiei Gn@hului).

Exemplo: Suna d dou, numere e$e 82. Sr se aile nunerele.itiind ca unul din ele inuece cu 2 lriplul eluilalt.

2) Numanlnm =-t+ 2i=l+(3a+ 2) = 82i3)r+ 3j+ 2 = 824,= 82 2e4r=803r=80i4ir=20.4) Nuoarul nic = 20; .umrrulmae6re 3 20+ 2 = 62.l) Numt ul n'c=rr nmriuldd.:)i2)r +, = 82 t i y=3r+2:-

f \ . , -82 l . r " : -81 f4, .82 2 l ,=)Ar)1

- ^e(

- ^

^ -

lLu l \ | I l . r ' l r '2 l ' .1,-2 l r 62

4) Nunrtrul mic-r=20: numtrul n&e=y=62

Fie,4 si a doun nulimi novido. Un ptuceder (o Eguld) princat fie(rru' elemenl drn nuldmea A ri corespunde un \in8ueloment din mullinoa a s oumeite/4rcl4. Sdie'. J : A J a $,citin

.,tun.1ia t dennitl pe multma A cu v.lon in nulfine. a'Mullrmea ,{ ,e numette mullrmea de defin{re a f ncl'ei

'audomeniu de defif,ilio, id mul$frea a se nune5i mullinea delalon sau doneniu de vabn san codomdru.

cr.ficul utrci tunc(ii li.iareMulfimea nnuror peNhilor de numqe de roma (I' t(r)) cu

G,4 t J(' a s nune*e snfiNl tuncliei J ti e noteaz Gri dci:a' = l(r,t(1)) E/, t(rEBl.

Re?Erendnd Comelric, inlr-u, sish de axe, puncrclcdetcrmin{e de pe.ahile d numerc dio G, von spune cd d ticulrepezentaer g@mctrict a sraficllui, id pentu sinnlinc,rcaa4li4lqii spuneto cd an Epraenlat Ctaficll tuncliei. se aEEperdh! srafic ftncria f.

Penlru o tuncl'e t: R+ Rde rmr JG) =d + r, plncrerecraficului sunr coliri@, pentru ac*su cqJsqE! sd spunm ca

Graficul unei functii f , R + R. ftt) = ar + ,2.a

J:Rr& t( I )= 2t+ IPenru a trdr Cratcul u.ei asife! de

functii. ftebuie sdlniocmim naiintei onBblou (numit hblou de auiorie):

t -z - l o +2

26Er.mplu: Repreantali grafic fun4ia

Exenplu RepRrnbti grafi c huclia:

dout penrru a putea desda o d6opld, pe c{ se vor aia Sjcnnc unei tunciii I : a+: .l J l- fG) = tu + t

Jr(- :2 l r& J(r)=2'- lI 0 +l +2

Reprednta@ clancuhi ac6tifunclii sle o smidroapti cu origin4in pnnctul d c@rddarc (2; 3).

Aialos, pentu fdcliileJ I , .+)- R i l )=,u + n

Exnplu: RpEantai craljc tuncliaJ: I -1,+31+R, J(r)= 2r r

, lN I o -rZZZfiN-rlZ

Crancol mci asdel de funofii esreun sgnent de drqprd cn caperele lnpunctele,a(a, :fta)) ri 3(r, J(r)).

cnlicll funqiei ahse a fost scemenlul cu capetele ln puncteleA(-l,

-3) ri ,(3, 5).@muhime tnilt ldkcret$ErerDplu: Reprezniali enno firotiaJ:{ 3, 2, r ,0,1,2}+R,J{ ' )=Zr+r

l

PDlro exnplul cmsidenl, gnficul

i ( -3, -5)r ( -2, -3) i ( -1,- l ) i (0, l ) : (1,3) i(2,5)1.Semul unei ftnctii lini.re

_.LI | - -

a + r ' ,emn coFar semnului lu i r 0 ,emul lu i ,

+ I l+ l l+5

GEOMETRIE PLANA SI iN SPATIU

Unirnf d. nnsrrl petrirn lnryine

Urittli dc nlsurt penlru $lnm

Unnnt d. nlsur! pentru nast

Uniltli de ntsurl pent.u tinpUnila&a Ddncipala pntu n sntra timpului de stMada (s).

Ajt unilitti: minulul (iir), I nin =60 sron o), I orA = 60 mi.iz iDa, I d=24h.

29

Prin;e iolnni intdlnit ln gcomrier sunt pmcteler' C!aiutorul lor se fomc6zs celelalte elemente geomerrice Puref,{njJe'a cr ouncle

'inul unui * \'jrlul unu' re'on bine

n(ur,L un bod d< mac clc. prr -.,t-7

- ' . -1 i

Or{crurie. Puoctele sc troleuA numa fl lrtet mdi H

Liniil dEprc suntmnllidid puncte supuse unoretriclii lnasude Liniile drefle se deseneaz. cu

bare-.r,. ocpRle zunl nflargrnrLe. adica le puLem prelu0gi

Dreptele lol ave. mxi mulle

II

O d4iu.e de dEapli linitald (m{reinih) la unul din capde

Lf l ," lh i i ! in,4,.n!d)

30

Ca ti dreptele, ehidrcptele pot ji daetute o zohtol. obli.e, wnical. Drcapta lk cbe lnce ptle o trdillreoqn tentutk lf44ra tuTna pattu yr&IrelrpLr rcspecliva.

Dberaru senidreptelor s face cu ajuiorul riglei.Doun senidEpie, kq inpmnA ou onginer, fornaz! o

&eapin s nmsc en"lr.pte opue s n tenid4pte ln

O po4tune de drcatn nAryi"ifi la Mbele .apete se iunqteMgne de dfeaptd Mu pe fun Pgnat

ABCD

SegDenlele cs au mrBnrile gale so numesc r4ddrrt@ngruente, 1i t4 pnq seEnentele @ngrudte au mtsurile ogale

IARI= IcDl e AB = cD.

Mijlocul unui seenfll st un Nnd situt pe segmli egald@Nnd de @petel segnentului (alrfel spus fomeazn cu eledous capete segmenL cors.uerle).

AMB

Mihmatic, saicm: M [Aa] ri [M,4] = lMsl sau M I,4Al ii

----L oAOB

l l

Iignn fomat! din dond semidreple re au reeari origine senunsle /rgri Cle doua senidrepte se nnmsc /rroil.,lrstu!tui id oriein ror comuna se ntneil@ ta{41 uLelillui.

Unehiul ah ctsi hnri suot,senideple in pelungrc sentrctre 44ghi dlucit (@eN cu ld&ril4 l4 p,.l44gir. eu!4griph). Mtrura oui uneli alugn $t de 180'.

Un mgl'i ce m lalunb enidEFc jdontice e nune$le/rgli r!r. Misun sa esh de 0'.

UnEliuile cm nu sunr nici alsgite ci nule s nul6c

" -o'-'

BUnshidluneir Unshi lul Unsh DroDnu

n(/OB) = 180" m(AO!) = 0' n(AOB)=n"(0",180')Unsniuile cm au ndsurile egale se nunesc lrgri,t

cocUnghiuri dirce e Unghiuri adiacente

compEncn@Unghiurih cd au ndsura de 90". sc nun*c rrat!,i

drrlr. Un uighi dpr 6te congoe.r cu suplcmcntul sruUn l|nghi popriu ce are mhura nai mici dc 90', ssUn uneli plopriu c6rc are mdsura mai narc de 90', se

num.rB uugnl orttri. A, .

A\

ho\__lo----------li - B o BUnghi drcpt Urshrtscurit UnSliobLuz Inn

AA

nn, / \ / \

B/ \c 81 \cecnilar*dl isosct

in oice i'iunghi, la latura mi Dre se opune unghiul mai

a >, e n( n(

' Daca un tiungni art doua inalfimi coneruenre, atunci

' 6act un liuchi aE dout medid congruenF. atunci

-

DacI un triunghi are dout bisectoare congrume. aunct

-

Dacd un triunshi arc doul linii Dildii consruenrc. rtun''

Proprictnli.le iriunghiului (chilir.rNl-

f lunehrul ech. labml bre roar( propt icr , l lc t r ingh'uldl

-

Lrnshrudle unu' rriun8hr (hilakral \unl !onerrent ii au

-

int-un lriunchi echilaleral, bi sedoare a, lndll ime4 ned''n2si nedlatoarer oricarci laturi @incid

-

inu trn tiunChi cchilatrll, mediancle sunt conCrnmte'

-

lntr un liunehi echilaleral. insllinile sunt congruente.? Daca un riunChi are loate unelriuile coneruenle.

'l esle

c Dact intr.un tiDnchi dour medFnc sunt ti bisectoare al0nc'

' Daca int-un riuDghidola nediano sunt ii lnaltrnri, d'inc' el

e Daca inri-un ttunshidotrt bisEcloa@ sunt 9i in,llihi xnrn'i

-

Daca intr-un tiunghi nediancle sunr con8ruorc. anncr er

-

Dacn int un liunghi indltinile sunl congtuenle. at'ncr el

-

DacN un tiunchi isoscel ate un unshi de 60'. ltu'ci el esre

? Daca nn riuncni are roae liniilo niilocii congruenlc ah ci

31Proprielnf .le lriunghjului dreplunghic-

Modi&a corspunznoarc ipolenu&i ee lungina egal, cujumatate din lmgihea ipotolzi.c Cenrxl ceEului cirumcns kiunehiului esre mjl@ula careia ce se opune uoui ugni de 30". innun riunghidElnr8hic. m lu.ginq egald cujmdtar din longima ipohnue,e Dacd intr-un triunChi dEpturghic o catta ft lurgino egalacu jumbtat din lunginm iporenurci, dunci unghiul opus aceleicalole e n&ura dc 300.

Congruenl, triu.ghiurilor,Deltt& Dou, triuneniuri c{e au cele t6e elemente, respectiv@ngrunte doui cne dout sunl conSruote sc n:

-- - ^

(LADI lA 8), IAel rAcl , Bq=13.1.' .

33

IBcl=IB'c'll+ MBc= M'B c'

lalura !i dout lrcini de varl penllu fiecft modima.

a6=1 aa, 96=3 gs,66=3 cc,

A'a=+.AA: Bc=l BB, cc=+ cc.

Lipia miilocie. Samentul detdninat de oijldcele a dou, tatunalo unui riu.ghi se numelb &,, hijlocie d duryniahi.

Triundiul a trei linii A

Medi.lo.re Mcdi,roele lahriktrunur lriunghi se runesc rsdizr@r/e

Mdial(mle unui Eiunghi suntcdcurnie inb-m punct egal deptutatde vi.ldle tilnghiuluii el esre .c,rtul.erdhli citunrcris triunghiului ti s.

idhime. segnenrul cu uh c,pall.lru. varf al iiunghiului, id*ltlall capel in piciorulperpendicul&ei dusd din a@lvtrf pe drqpta supor a larudiopuse e nunetF ,zd4tr.a B cniun^ghi.lui.

lni\inilc unui rriunghi sunr concuien!e intr,un puncr, nunitonoentrul bituEhiului $i se norem^ cu E.!!g!!4!i!. Segnentul deteminal de un ven al unui riimghi !inijlocul ratuii opuse s nunetle mrliMd t triuaeni.tut_

Medianele u.ui triutrdi sunrconcunnte lotr-un purct nmirc.ntu d. greatalz al r.ianshiuluiGe bdi@nux) ri sre siluat pefiec@ nediand la o l.eimc de

Liniile nijlocii ale unDibiunghi sunt paalele cu lalurilaiunghiului ti au iungidile egalecujunfialealunginilorlaturilorcu Rcae sunt pdallc.

A,B,-1.A8: Ac,=L Ac Bc = L. Bc.27)

O paralelt la una din lauile unui hiungni detemint pcelelalte doud laiuri sau pe prlungtile lo., seemote

"- l ' | AE AF

c

BE CF BE C''AR AC AF

'F

42Teorenr rciprccn ! totunei luiThrl6

Daci o dreafla inpare doua lalui ale unui lritrtrCii in p54iproto4ioDale, arunci ea esle pdaleld cu cq de a trcia lal'ni q

Asenlmrea rnuqhiurilo.Doua liunghiuri ABC 9i ABC sunt 6enmca li se scne

AABC AA BC ddc, 5i nurnat da-a - .--.- riAB'BC'A(

MAC dptunghic cu m( < A) = 90' +r AC=A3r+,4(r s.u penrru cateEAa'= 8C

-AC: A(.= rC-AtsA

Ele|@t de lrigoDorefie cRaloriul didtc careia opusa uui

unChi 9i ipolsnoza se dumetle snlr,luneliulu! respecliv 9i scrim: A

AC ABlporenu/, BC Aa

Raporlul dinbe careia alrlunld unui unshi ti ipotenuz| senunc$te.oet 4s!lnnghiului rspctiv 9i notdnl

.drL ,ldtuatt AB , 4.lpoknzJ BC RC

R.ponul dinte careh opus, unui unghj ti cateta alatul' sonumeste ,a,gnta unghlului Fspecli! ii nol.n:

. AC . . ABAC

Rapotul dinrrc catcta altlurata lnui unghi Ti carela opusd senuneic c,ra,aenr4 unghiului respecliv 9i notiml

larcra alarurara lRcrSr{ d) =-: c lgta r t=- iobscnalii. sin(< d) = cc( < (90'-d),cos(

ahemc e{cmci cone$cnte

48

Un patdatr esie pdolelosdm dacdr-

aE laonle opue conStuenle:-

ae douilaturipa6le ri conctuslo;a are unghiurile opuse coryruenle:-

dilgonalle se injumatijesc:a oricm dour onghiuri ahtuat. sunl suPleme.btPerinetul paElelogamului: 2P = 244 + 2ACAria panlelogrmului: J = et I unde :,8 este o la&t,, itr rt este

Ddsinu 'Inallrmq coErpunTrtode. \au I :-: -- m'lcDtrd{ddiagoMlle p.nlclogamului iar t este nasura trneiiului forMtde diagmale. sau .l =,4r',4D si. A

r bate proprjesfile ptralelosranuluic t@re latu le snnt consuente:a diasonalel sunt bne.idre ale ^

-

dlgonalelcsDnt perpddiculae

Un paraiclogranr es rohb, daca:q dirgonrlele sunr pe.pendicutaicle ddgondele strm bnedoarc ,le unghnribr.Un FNIder cao !E rmre tduri te constuenrc esre ombPerimerulrcmbuluir 2p = 4{.A, i " - .burui

"-

9:4.aur ' : . 'nAt - l+"

&!!E!tl!rl.PJdleluBrrmdlcde6kdrpuneh, I Ii r romb. in a( lasir imp. s nunene/nrml.

. I l ,nroprierari-

ldle prcpne4rle pdaleloemrul i, dreprMghtutui ii ronrbutui.Perinclrul pAtrflruluir 2p = 41.

4nr prrdlulLi \ . , ' . ,u \ - : .de, te.una,md di iqomk,.

Tmpe?qt Pahlalerul cu doli laruri plratele 5i cetelalle dou!nepdiaEE se nune9rc ,urr.

tat$ite Daralele sa \wesc b@ete lmpezutui.Sgmcntul ce un! nijlmcel. latlntor nepantete se

ntnelre linia nijlocie 4 trupe.utui.

DlcpjusLiq!. PdaleloBrdll cu un

Prop.ictrti: D

-

tortpmpritafikladleloet@uluii-

toate ungniuile sunt dEpte:-

dirgonalele sum congruente. A

-

Un pdddoerd 6te dreFdghl dei & diag@alel dgo'nre

-

un panxlater eslc dEplugii. d a @ toal9 ughimte cdgoartePerinetrul d@prungiiului: 2p = 2L+ 2t = 2(L+ t).

A'-r dRDrunsh'utrr \ a vu S

-

urJe/Are

luhsimea diagonalei iat ! st niJura unehiului dlnltc diagon'le

Bqlqbd. Pdal.loermul cu doud latun @nsecul've congruenr' se

unelj drepl $ nuneste

e dehiuile al!tua& feca@i hnni ne@ralele sDt suplemdteln(

52 5l

Mnsura unui unghi varlul in cenaul ceEuluiesteeE lr cuntutrraarculri cuprins i!!I lalurile unehiului.

n(

Polilonl Fulat @, Iatui:4^16( l

, " -2Rsin:"" , a" - R 6' _+.

t : rs in_- --2

Frdleli.DlD spaliuDoua deDte sunr pdalele. dac, sul @pl4@ gr .u s

O drcapb este pdakln cn un plar! da.n nu i 6@'lc,za

Doua plde su pealelo, dacn nu au pucto om

Torene de prrrl.lhm i3 sp.litrI Daca o drepld (d) *t paraleld cu o drqptn (dt iNlusa

lnr-un plm ci, atinci a sle pdlda @ Pldtrl c4 s 6te ircl$,

2. D&e o drattd de m singur pmct @tun cu m p,m caatunci ea r uD siryu pudd conu cu dice plm F pmlel ctrplanul c.

3. D&l pldle d $i P sunt Pa6lele, oice pL! m ieinteneclee4 le int edeen dupa dEpte p8nlele.

4 DmaodRapt rd) 6F pMl.l, o u pld td',aruo dicedFaptt ps.lla cu (d) ti cm ile u ponct omm o (a), 6re

5. Dou, dEpte p@lol cn reea$i dreapr, smt pdalde lnt

Perpen di.!l$i trte ltr spt li uDola dr.pte d ii , sdi p.Fndiflle, daca pa6ld.le dde

p ntr'un punctd spalirhi,laa li,. $ pdpendidlm.O dieapll ee pe.rpeodicnlad p d pld, dei 4t

peaendiculard pe dm5 dEple cmc@nte din acel pl4

O dralra perpadiculart p u pl$ 6te perpmdicul&h peori@ drqpL din 4l pld.

Diotr-u pudn4se po* due o singu'a perpendiculara pe

ToM eror a !.rp@delrrei dlmeFie o u ple, (d) o dEa/, inclosa ln

planll a Ji Ae.( O d, Oe d Dac, AO1d,

&siq4e4-\ Fie d un plan ti dcd, Aecq Oed, Oed, Bd.Daci AOtd $i ABa4 aarsj OB-Ld.

&si@s2. I7e d M ptn, dcd ri Ac q O a. Oed, 86 d.tlacn AO1OB, AB.Ld ti OBa4 aluci AO_La,Tq'llE dc ptrpddicdd lb

l- D&: plaele d $ B surt perpmdiculm, rruncLFrp@didlas dinb un p!trcl Ao pe pl,r F esle co4in !nr

2- Doui dEpl pAendicnl@ pc @lati pld su pmtctc

3 Doua plme perpodialm pe aeasi dEapia sunt parolelc

4. D&n dreFlc 4 D sunt noplde, anuci *inn o dral,unidl e itrteEorert ce|l dout dcptc si oste t rpetrdiculel pc o

Dad A. B'sunr pore-r i i te puncleto ' A r i B pe un ptM o.tnrtri Ats

-

A! 6 I, uode t en. mAs@ unsnidui tomat deB

56

ABC face cu planuldun unghi d. n|3utaprciecliile puncElor A. B, C !e planul

Pirrnida resntstd

,e!,=r: tt = ../t + r/t I

T.unchiul dc sirrnidt,41 = perinchlc beelot

u=!@, t',"tzi

3

Notalii comune:

e$c!

.t/b = rria buei: Jl = eia totaldl/= volunll r'= Pennelru buei

FIl: ,:yPamllipttedul drmtunehic

diaeon lr: d| =a!+ bz+ C '

Eiqls (dGapti)

Ariile ri volunl corpurilor rotundeNotatiiconune:

Cnindrul cir.ular dftot

J8

ge!!!d!eclc!-4!rDl A, "4='LRG / j \.d=rls(c + R) / l , 1nr=!vn\, / \c'=R'to' C:9

Trunchiul dr mo cimlar drol (-- -"-:'t

'J . - ' .c 'R-d / - - \ _. ,7=r./,+,4R'+A I ' i \"t ntn

- , -a ) . - -

( 1. . [ )/']..--\\-

slcre cK=!q:)D. /=4r.R' / \ iZ \t /=- R \ . ._*-- i ; : . -=-/

r E\::::j:_rF.u*:o* *

"",,.. V6liJ\

-^Zona stcricl' / l. \."/=),Rh I l ' \

k=::F:;rb-t

CUPRINSALGEBR]i

Mutinea nunmlor naturale NOpemlii cu numore .aruraleTeorend inpd4irii cu rsl in NDivinbilitar. Popriet4iCnlerii d divizibilitateNuneE prime 9j nuneE @mpuC.mnd.c. . . . . . . . . . . .C.n.n.n.c. . . . . . . . . .Mullinea numerelor inlresi ZOpusul unui numar lntresModulul nnui numft inlEAAduntreanumereloriniregi PloprieLfi ............,... ......SoIdeEa nunqelor intrgilnmuti.eanuneielorintresi Pioprie1i1i ......... .... ....Frac| i i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Adun&a li&liilor PropricgtiSctdqealiactilorInnullirea fractiilor ProDrieliliInvers!l unui nun,rlDp!4ircaEactiilorPulora unei lractiiTdsfomar! unei frelii zocinale in tiaclie oijinarr ...Multineadumerelof Fale . ... .... ...lntmde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Radicr l i . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

5556

88

l0

tz12t2t2t3t3t3

60Mudu'u, unur nltrdr r.tl taR

'Dodne . . . .

I (P"iente t6PrrDon.r ..

-

$t dc rapoane eeale . . .l7Mrrini iired Dtopo4ioialc . .. ... ... . . 18Resda de rEi s i f ro l t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l8R;ula de rrei co;tus! .... .. . .. .. . .... ltcdiLlalaebn-. FdmuhDesonpuda in fadori . .- 20,nesol t ra l . . . .

- -

2 lFd;fii d; sadul i cu o necunoscur;t .. .. . . .. .. . 22L.J, i i , de;ddulal l l h. ,u o necrnoscuu 22lnccuar , , ja sdul lc I osisEn; de ei laf i i . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Rdolvdea problonElor cu ajulorul ecualiilot

sau a shrcmelor deccualii .-. ufunct ia l in iarA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25ciaf i ;u luni luncl i i l innrc . . . . . . .25Sen.ur unei funciiliniare " ... .. .- 27

GEOMETRIEPunlte - 29D@pLSenidEaph.. . . . . . . . . . . . 29j'cgmnrul

. ..

Mi j l@ul unui segmmt . . . . . . . . . . . . . . " lotjnghiuri . ........MediareEa scgmentului . . . . . . . . . . . . . . . . . i lBisNtoarea ungliului

f r iungh,ul . . . l l

UtrEht "iriu' .. . .. .Pr.Ficla|ile biunAhru u, r"osc.lRcciprcce . . . . . . . . .

-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Protli rt;le t ulgh'ulur qnrtdrat

.. ...

Poprict tileriunehiului dreplurghc ......... ... .... ..... 3?Coieruentar l iunghiur i1or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3?caur i le de con eruonld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3?Czuriiedeconeoentaftiunghiuritordrcptughice

..... j8

Lini i inponanteinr iughi : bhslmid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39nredialoarea. iniltimca, mdiana . ..... . ...... ....... 40

Li l r i . m, l lo l . . . . . . . . . . . .

4 lTeoEnu lL' Thrle, R..

'p'&r .. ..TeoreDa fundmenkh a asemin|r i i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12A5eminarea xiunghiualor I i/Lnle de a.edalare .. .. 42Teorcmbn@toarci

. . . . . . . . . . . . . . . .43TeoFtu l fe.er . . . . . . . . 4 lTeorema inrllinrii

......... 43TeoEm.lui Piagor

...... ... ... .... 4lElemente d r igonomerr ic

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4tTormu.c ponrru !a lculul r"e LrunBnrtL 'Paralel ism$i pcrpsdiculdDte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Aroru lL' fu.lrd .. .. 45

DEpte pralele tEiate dc o secanr ........ .... .... .15Unghrun.L tJtor,e pr, l te . . . 4rLngh' l r i !u l i tunlpFrpe0ohut ln

. . . . . . . 46Pal'ulateE. .. ....

... ., .. ... ... 4jPd! |e logramu1.. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

DFplunghiul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Rombul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4a

Arc de cerc Sector d. ccrc Zoni ctrcnlai . . ... 'r'ahlatere insciiptibileTcoE na lui holeme!Ariile poligdnelor EgularcPdalelism in spali!. TcornePell endicdritale in sPalu

62

Piilraul liapaulCercut . . . . . . . . . . . . . - - - of.rr iednurt METEoR Pn Dss

com.nrlte, disrributia !t oFspondmt, s. fac pe adK!:sti Bahhinlui.i t,otr l,s.ulorut I,

Bu!r!ri, cB 4t-r23bm.tl: ed [email protected]

TetJtli: 02t_222,33,30e-hgil: [email protected]&$,ro

ESENTIALE

T.igonomekie ti Ceohetrio claselo IX XII-D,.tztva&rc! 88 pag. 9xl2cn l.5Olei

ADalizimatcbarici claset.XI-XII ASd,!tar.!,T. Deaconu. C- Drasohia N. Drasokti.

12pa9 9xt2 cm 3,50 tei

Fizicd clasele Vr XII O. Cncna\T Jatelt92 pas 9x l2 cm 5.(nlei

5l52535353

5555Tmrem celor rei pcrpendiculae

Teorenc de prpendicnlantare

Arii tivolume ...,Cubul . ... ... ......

-'- '.. - '.-

55565656

51515153535353

Paralelpipedul dreptu.gtucPirm , . . . . . . . . . . . . . . . .

- - - - -

PnamidaregulataTrunchiul de tinnidt .C,lindrul cncuhr dcp!Conul circulardpt'Irunchiul de c@ cncnhr dnPrSfcn Calotastrici ZonasEnci .. .. .. . ..

Geogralie Eu()pa. Rlimdn'a. Unruner Eun)pcanacl.aXll

^ C. Serban, N Brr."d

l20Dag. 9r l2 cn 5.(Jo le i

*\ - \

:'i\

i:\-)

. i' I

i l l tr l l I

:

\

1t't' )

t

; ,

\7r

ilIililtiltll

EOITURAmlMETE0n l( llPNESSLHI

\xc

Matematica Formule Utile - Clasele 5-8

Documents

Transcript of Matematica Formule Utile - Clasele 5-8