173 3. Reducerea ecuaiei unei cuadrice la forma canonic Ecuaiaalgebricdegradulaldoilea(1.1),reprezintdinpunctde vedere geometric o suprafa dintre cele descrise n paragraful prcedent sau mulimeavid.Aceastcuadricestecaracterizatanaliticdereleia(1.1),ntr-unanumereperortonormatR(O;k j i , , ),dinspaiulpunctualeuclidianE3=(E3,V3,~).Pentruarecunoatesuprafaapecareoreprezit aceast ecuaie, vom efectua o transformare izometric n spaiuleuclidian tridimensionalE3,astfelnctcaracterizareaanaliticnnoulreper (repercanonic),saibceamaisimplform,numitformacanonic. Transformareaizometrict:E3E3,areperuluiortonormat R (O;k j i , , )n reperul ortonormat R (O; 3 2 1 , , e e e )(reper canonic), este perfectdeterminatdetranslaiaoriginiit(O)=Oideaplicaia ortogonal asociat T :V3 V3 , care transform baza ortonormat{ k j i , , } n baza ortonormat{ 3 2 1 , , e e e } . Fie cuadrica(E ) cE3 , caracterizat analittic n reperul cartezianR (O;k j i , , )de ecuaia : (E ) :a11 x2 +a22 y2 +a33 z2 +2a12 xy +2a23 yz +2a13xz + + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0 (3.1) Asociemcuadricei(E )matricele : |||.|

\|=|||||.|

\|=33 32 3123 22 2113 12 1144 43 42 4134 33 32 3124 23 22 2114 13 12 11a a aa a aa a aAa a a aa a a aa a a aa a a aAcu proprietateaaij = aji . MatriceasimetricAasuprafeei(3.1)determinnmodunic transformarealiniarsimetricT:V3V3pecareovomnumi transformarealiniarsimetricasociatsuprafeei(E).Ecuaiacaracte-ristic det( A- I3 ) = 0se poate scrie sub forma 3 - I2 + J -o= 0, unde(3.2) I = a11+a22+a33, J =22 2112 11a aa a+33 3113 11a aa a+33 3223 22a aa a , o = detA (3.3) 174 Conformrezultatelorstabiliten5,cap.7,valorileproprii1,2,3 ale ecuaiei (3.2) sunt reale,iar vectorii propricorespunztori { } 3 2 1 , , e e e sunt ortogonali.Inplus,trecereadelabaza{ k j i , , }labaza{ } 3 2 1 , , e e e

(matricea schimbrii de baz este ortogonal,O-1 =tO) invariazrang A ipolinomul caracteristic (3.2) . Dacefectumotranslaiet:E3E3 ,X=X+Xo,matriceaA, asociat cuadricei(3.1) , nu se modific. In consecin , dac pe spaiul euclidian E3efectum o transformare izometric , datdecompunereadintre o translaie i ocentro-izometrie, cuadrica (E ) va fi caracterizat de matricea Acu cantitile I,J,respectiv opentru care avem : 3.1Propoziie CantitileI,J,oirangAsuntinvarianiizometrici, adic I= I , J = J , o = o , rangA = rangA . ConsiderndacummatriceaA ,A=det A ,cuecuaiacaracteristic det ( A -I4 ) = 0, adic 4 -I 3 + L2 - K + A = 0 (3.4) itransformareasimetricT:E4E4,caracterizatdematriceaA ntr-o bazortonormatdinspaiulV3,rang A ipolinomulcaracteristicrmn neschimbatelaoschimbaredebaz,decicantitilerang A , I ,L,K,Asunt invariante trecnd de la o baz ortonormat la alt baz ortonormat. Deobservatcocentro-izometrieaspaiuluiE3caretransport baza{ k j i , , }nbaza{ } 3 2 1 , , e e e ,poatefignditcaocentro-izometriea spaiuluiE4,caretransportbaza{ k j i , , , l}nbaza{ } l e e e , , , 3 2 1 ,deci cantitilerangA,rang A ,I,J,o,A,K,L, I suntinvarianiaicuadricei(E)pentru centro-izomertiile spaiului E3 . Pentru anumite cuadricese demonstreaz invariana la translaii i a cantitilorLi K ,adicLiK sunt invariani la izometriile spaiului E3. InvarianiiI ,J, o, A, rangA, rang A determin complet toate claseleizometricede suprafee de ordinul al doilea. Din acest motiv, vom spune cacetiaformeazunsistemcompletdeinvarianipentrusuprafeelede ordinul al doilea . Dacdoucuadrice(E 1)i(E 1)suntcaracterizatedeaceeai invarianiizometrici,atunciexistoizometrieaspaiuluiE3carevava aplicapunct cu punctsuprafaa (E 1 )pe suprafaa (E 1 ) . 175 Snotmcuf(x,y,z)membrulstngalecuaiei(3.1)iforma ptratic din acest polinom prin: (x,y,z)= a11 x2 +a22 y2 +a33 z2 +2a12 xy +2a23 yz +2a13xz . (3.5) Dacfunciafar satisfacerelaiaf(-x,-y,-z) = f(x,y,z) , atunci , din punct de vedere geometric , cuadrica(E )ar admite origineaO(0,0,0)drept centrudesimetriepentrumulimeapunctelorsale.Astfel,nmodsimilar algoritmuluiaplicatlaconice,vomefectuaotranslaienspaiulE3,aa nct, n noul reper, expresia analitic a cuadricei (E )s nu conin termeni de gradul nti (atunci cnd este posibil) . Efecund translaia : + =+ =+ =oooz z zy y yx x x'''(3.6) ecuaia (3.1) se transformn (x,y,z )+2 ( 0 0 0 ' ' ' '' 'z y x f z f yf x+ +) + f (xo,yo,zo ) = 0(3.7) S considerm sistemul : 0 ' , 0 ' , 0 ' = = = o o o z y x f f f ,sau, scris explicit, + + =+ + =+ + =o o oo o oo o oz a y a x a zz a y a x a yz a y a x a x33 32 3133 22 2113 12 11 (3.8) cudeterminantulo.Vomreducelaformcanoniccuadrica(E)n cazurile: o = 0, repectivo = 0 . Cazulo=0.Inacestcazsistemul(3.8)admiteounicsoluie(xo,yo,zo) adic cuadrica (E )are centru unic, punctul O(xo,yo,zo),originea noului reper. Dupefectuareatranslaiei(3.6)npunctulOecuaiacuadricei(E)se scrie subforma (x,y,z ) + f (xo,yo,zo )= 0 (3.9) i folosind nvariana lui A, obinem f (xo,yo,zo )= oA . Formaptraticadmite forma canonic: (X,Y,Z ) = 1X2+ 2Y2 + 3Z2, nraportcureperulformatdinvectoriiproprii3 2 1 , , e e e ,corespunztori valorilor proprii1, 2, 3 , rdcinile ecuaiei caracteristice (3.2). Astfel, n reperulR(O;3 2 1 , , e e e )cuadrica (E )admite forma canonic : 176 1X 2+ 2Y 2 + 3 Z 2 + oA = 0(3.10) ReperulR(O;3 2 1 , , e e e )vafinumitrepercanonic,iarecuaia (3.10) va fi numit ecuaia redus . Ecuaia (3.10) reprezint pentru A = 0-elipsoiddac1, 2, 3 suntdeacelaisemn,contrarsemnului termenului liber oA - hiperboloid dac numai dou valori proprii au acelai semn-mulimea viddac1,2, 3, oA auacelaisemn A = 0 -condac1 2 3 < 0 -punct dubludac1, 2, 3au acelai semn Cazulo = 0 . In acest caz sistemul (3.8) poate fi incompatibil -cuadrica nu are centru, compatibil simplu nedeterminat -cuadrica are o dreapt de centre,saueste compatibil dublu nedetermint, caz n care cuadrica admite un plan de centre . Pentru a determina reperul canonic, vom efectua n spaiul E3 o centro-izometrie urmat de o translaie ,convenabil aleas. Daco =1 2 3 = 0iA= 0 , atunci ecuaia caracteristic are cel puin o rdcin egal cu zero.Spresupunemc3=0icelelaltediferitedezero.Ecuaia caracteristicsescriesubforma(2-I+J)=0,ncareJ=1 2=0. Ecuaia cuadricei, raportat la reperul ortonormat, format din vectorii proprii3 2 1 , , e e e corespunztori valorilor proprii 1, 2, 3 se scrie sub forma: 1x2 + 2y2 + 2a14x +2a24y + 2a34z + a44 = 0(3.11) Calculnd invariantul izometric Apentru aceast ecuaie obinem A = - (a34)2J, din care pentruA = 0rezulta34 =JA = 0 . S efectum n spaiul E3translaia : + =+ =+ =Z z zY y yX x xooo''' (3.12) atunci ecuaia (3.11) se scrie177 1X2 + 2Y2 + 2 a34 Z + 2(1 xo+a14)X +2(2yo+a24)Y + + 1xo2 +2yo2 +2a14xo+2a24yo+2a34zo+a44 = 0(3.13) Alegnd xo=114 'a, yo=224 'a, zo=34 ' 21a(1xo2+2yo2+2a14xo+2a24yo+2a34zo+a44) ecuaia (3.13)devine 1X2 + 2Y2 JA 2 Z= 0(3.14) ceeacereprezintunparaboloid,elipticsauparabolicdupcum12>0 sau 12 < 0. PentruA = 0, din calculul invariantului A n ecuaia (3.11), rezulta34 = 0 cazncareecuaia(3.11)sereducelaoecuaiedegraduldoindou nedeterminate, ce poate fi pus sub forma : ( )( )02'2''2''2''2241144422421141 = +|.|

\|+ +|.|

\|+ a aaayax(3.15) Dacefectum translaiax' = X - 114 'a,224 '' =aY y,z' = Zi notm cu = 44 ' ' a( ) ( )2224121444' ''a aa,ecuaia (3.15) se scrie 1X2 + 2Y2 += 44 ' ' a 0(3.16) CalculndcantitileLiKpentruecuaiile(3.11)i(3.16)constatm invariana acestorai obinem K =12 44 ' ' a = J 44 ' ' a , adic = 44 ' ' aJK . In acest cazecuaia (3.16) reprezint: -pentruK=0,uncilindru(elipticdac12>0,hiperbolic dac 12 < 0) sau mulimea vid dac1,2, JK au acelai semn -pentruK=0,planesecantedac12 0 S presupunem c o = 1 2 3 = 0pentru2= 3 = 0i3 = 0, de unde rezultcJ = 0i3 = I . 178 nreperulR(O;3 2 1 , , e e e )determinatdevectoriiproprii corespunztori valorilor proprii1, 2 ,3ecuaia (3.1) se scrie sub forma: 1x2 + 2a14x +2a24y + 2a34z + a44 = 0(3.17) sau 12''114|.|

\|+ax+ 2a24y + 2a34z + a44 = 0(3.17) undea44 =a44 - ( )1214 'a. Efectund translaia 114 '' ' ' =ax x, y = y , z = z,n urma creia ecuaia (3.17) se scrie 1x2+2a24y + 2a34z + a44 = 0 (3.17) i centro-izometria : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )++=+==' ' ' '' '1' '' ' ' '' '1' '' ' '34 3423422434 24234224Z a Y aa azZ a Y aa ayX x,pentru ( ) ( ) 02'2' 34 24 = + a aobinem 1 X 2+ 2 k1Y + a44 = 0(3.18) undek1=( ) ( )234224 ' ' a a + .Infinal,translaia: 144 ' '' , 'kaY Y X X = = neconduce la forma canonic 1 X 2+ 2 k1Y = 0 .(3.19) InvarianaluiK=-(k1)2I=0lacentro-izometriiirespectivla translaii(sedemontreazdirect)neprocurk1= IK ,adicforma canonic (3.19) poate fi pus sub forma X 2 23IK Y = 0 (3.20) i reprezintun cilindru parabolic . 179 Pentru( ) ( ) 02'2' 34 24 = + a a a24=a34=0,rezultK=0i ecuaia (3.17)se reduce la 1x2+ a44 = 0(3.21) CalculndacumvaloarealuiLsegseteL=1a44=Ia''44,dincareobinema''44 = IL in deci ecuaia redusX 2 +2IL = 0(3.22) Carereprezintplaneparalele(confundate)pentruLs0,respectiv mulimea vid dac L > 0 . Rezultatele obinute reprezint clasificarea izometric a cuadricelor, pe careoconcentrm n urmtorul tabel: Ao Discuie A = 0 cuadrice nedegene-rate o = 0- cu centru elipsoizi,hiperboloizi sau mulimea vid o = 0-fr centru paraboloizi A = 0 cuadrice degenerate o = 0- cu centru conuri saupunct dublu o = 0 cu dr. de centre, cuplande centre sau fr centru J = 0 cu dreapt de centre K = 0 cilindrisaumulimea vid K = 0planesecantesauo dreapt dubl J = 0 cu plan de centre sau fr centru K = 0 cilindri parabolici K = 0Plane paralele (confundate)saumulimea vid