Fizica_IEI_an1_sem1

8/6/2019 Fizica_IEI_an1_sem1

1/108

Conf. dr. ANTOANETA ENE

FIZIC

2005


2/108

Tehnoredactare computerizat: ANTOANETA ENE

Grafica: ANTOANETA ENE

Control tiinific: Conf. dr. ALEXANDRINA NAT


3/108

Prefa

Prezenta lucrare este un curs de fizic general destinat

studenilor de la specializarea Inginerie economic industrial,

nvmnt superior tehnic cu frecven redus.

Scopul lucrrii este de a prezenta un ciclu de lecii care s

permit att nsuirea, de ctre studenii nceptori n studiul

ingineriei, a noiunilor de baz ale fizicii ca tiin a naturii ct i

formarea unor specialiti cu o gndire sistematic.

Din materialul bibliografic am selectat i dezvoltat acele

capitole care au strns

legtur

cu obiectele de specialitate,

innd cont i de poziia disciplinei fizic n planul de nvmnt

- anul I.

Capitolele n care este structurat cursul Mecanic fizic,

Oscilaii i unde elastice, Electricitate i magnetism nu

constituie uniti nchise, fiind legate unele de altele prin exemple

care se refer la fenomene ce urmeaz a fi prezentate sau prin

referiri la legi i noiuni discutate anterior. La sfritul fiecrui

capitol au fost incluse probleme propuse pentru rezolvare fiind

indicat rspunsul.

Dezvoltarea cursului se face din aproape n aproape, ntr-o

succesiune fireasc. Nivelul matematic este accesibil, redus la

strictul necesar, n centrul ateniei aflndu-se explicaia sensului

fizic al fenomenelor. Pentru a veni n sprijinul studenilor, am

expus n Anexa A1 a cursului principalele noiuni de analiz

matematic, aceste elemente fiind indispensabile n prezentarea

elevat a unor legi fizice.

Conf. dr. Antoaneta Ene


4/108

CAPITOLUL 1. MECANICFIZIC..............................................................................................1

1.1. MECANICA CLASIC A PUNCTULUI MATERIAL...........................................................11.1.1. Cinematica punctului material ........................... ...........................11.1.2. Dinamica clasic a punctului material ...............................................................3

1.1.2.1. Legile fundamentale ale mecanicii clasice a punctului material ........31.1.2.3. Teoremele generale ale dinamicii punctului material ......................................................4

1.2. ELEMENTE DE DINAMIC RELATIVIST............................................................91.2.1. Relaia dintre masi energie n dinamica relativist.......................................................91.2.2. Relaia dintre impuls i energie n dinamica relativist....................................................11

PROBLEME PROPUSE LA CAPITOLUL 1 ................................................................................................................11CAPITOLUL 2. OSCILAIII UNDE ELASTICE ...................................................................13

2.1. OSCILAII ELASTICE .........................................................132.1.1. Micarea oscilatorie armonic ........................................................ 132.1.2. Micarea oscilatorie amortizat .......................................................152.1.3. Micarea oscilatorie ntreinut (forat). Rezonana................................................................172.1.4. Compunerea oscilaiilor armonice .......................................................20

2.1.4.1. Compunerea oscilaiilor armonice paralele cu pulsaii egale..202.1.4.2. Compunerea a dou oscilaii paralele cu pulsaii puin diferite. Fenomenul de bti .....212.1.4.3. Compunerea oscilaiilor armonice perpendiculare cu pulsaii egale . ..222.1.4.4. Compunerea oscilaiilor perpendiculare de pulsaii oarecare ....24

2.2. UNDE ELASTICE ..........................................................262.2.1. Generaliti ......................................................... 262.2.2. Ecuaia undei plane monocromatice .........................................................272.2.3. Propagarea undelor longitudinale n solide ......................................................... 292.2.4. Propagarea undelor longitudinale n fluide ..........................................................312.2.5. Propagarea undelor transversale n solide ........................................................332.2.6. Ecuaia coardei vibrante ...................................... ................352.2.7. Ecuaia undelor ntr-un mediu ideal .................... ........................................36

2.2.7.1. Ecuaia diferenial a undelor .................................................. ....362.2.7.2. Unda plan .......................................................372.2.7.3. Unda sferic .....................................................40

2.2.8. Interferena undelor elastice. Unde staionare .........................................................422.2.9. Mrimi energetice .................................... ....................442.2.10. Ultraacustic ..........................................................45

PROBLEME PROPUSE LA CAPITOLUL 2 ...............................................................................................................47CAPITOLUL 3. ELECTRICITATEI MAGNETISM.............................................................................................49

3.1. ELECTROSTATIC .....................................................................493.1.1. Sarcina electric ...........................................................493.1.2. Cmpul electric. Intensitatea cmpului electric n vid..........................................................503.1.3. Fluxul electric. Legea lui Gauss n vid .........................................................513.1.4. Cmpul electric al unor distribuii de sarcin ...............................................................553.1.5. Potenialul electric ................................................... .........563.1.6. Dipolul electric ..................................................... ........59

3.1.6.1. Cmpul i potenialul electric creat de un dipol..........................................................603.1.6.2. Dipolul electric n cmp electrostatic ..................................................... .......603.1.6.3. Energia dipolului n cmp electrostatic ..........................................................62

3.1.7. Conductori n cmp electric .............................................................623.1.8. Dielectrici n cmp electric. Polarizarea dielectricilor...................................................... ....63

3.1.8.1. Tipuri de dielectrici i de polarizare ..............................................................633.1.8.2. Vectorul polarizare electric .............................................................64

3.1.9. Capacitatea electric. Condensatori .............................................................663.1.10. Definirea vectorului inducie electric ..............................................................67

3.1.10.1. Legtura dintre vectorii PiD,E

.............................................................67

3.1.10.2. Legea lui Gauss generalizat ...............................................................683.1.11. Energia cmpului electrostatic ..............................................................69

3.2. ELECTROCINETIC ....................................................................703.2.1. Curentul electric. Intensitatea curentului electric. Ecuaia de continuitate .........................713.2.2. Legea lui Ohm .............................................................733.2.3. Tensiunea electromotoare ................................................................743.2.4. Legea lui Joule .............................................................75

3.3. MAGNETOSTATIC ................................................................763.3.1. Cmpul magnetic constant. Inducia magnetic...............................................................763.3.2. Legea Biot-Savart-Laplace ................................................. .............773.3.3. Momentul dipolar magnetic .................................................................803.3.4. Interaciuni electromagnetice ........................................................... ....80

3.3.4.1. Fora electromagnetic (Laplace) ..............................................................803.3.4.2. Fora electrodinamic ............................................................813.3.4.3. Fora Lorentz .............................................................82

3.3.5. Legea circuitului magnetic (legea lui Ampre)............................................................823.3.6. Fluxul induciei magnetice ............................................................. .84

3.3.7. Cmpul magnetic n interiorul substanelor magnetizate. Vectorul magnetizaie .

Legtura dintre vectorii H,B

i .

...............................................................................................85

3.4. CMPURI ELECTRICE I MAGNETICE VARIABILE ................................................................863.4.1. Inducia electromagnetic ............................................................863.4.2. Energia cmpului magnetic .............................................................873.4.3. Curentul de deplasare ..............................................................893.4.4. Cmp electrodinamic .................................................... .......903.4.5. Cmp electromagnetic. Ecuaiile lui Maxwell .............................................................913.4.6. Conservarea energiei cmpului electromagnetic..............................................................933.4.7. Unde electromagnetice ............................................................94

PROBLEME PROPUSE LA CAPITOLUL 3 ...............................................................................................................97ANEXA A 1. ELEMENTE DE ANALIZ VECTORIAL......................................................................99

A.1.1. Difereniale totale exacte. ......................................................................99A.1.2. Operatori vectoriali difereniali de ordinul nti n coordonate carteziene.....99A.1.3. Formule utile.......................................................,.........100


5/108

1

Mecanica fizic este ramura fizicii care studiaz micarea corpurilor, cauzele care produc

micarea i stabilete condiiile de repaus ale corpurilor. n funcie de valoarea vitezei de deplasarea corpurilor, mecanica se clasific n mecanic clasici mecanic relativist. Mecanica clasicstudiaz deplasrile corpurilor avnd viteze mult mai mici dect viteza luminii n vid, n timp cemecanica relativist studiaz deplasrile acelor corpuri care au viteze apropiate de viteza luminii nvid.

1.1. MECANICA CLASIC A PUNCTULUI MATERIAL

1.1.1. Cinematica punctului materialCinematica studiaz micarea mecanic a corpurilor fr a lua n consideraie cauzele

care determin aceast micare.

Un corp se afl n micare atunci cnd i modific poziia fa de alte corpuri consideratefixe i este n repaus cnd nu-i schimb poziia fa de acestea. Un corp oarecare, considerat fix,fa de care se raporteaz micarea altor corpuri, determin un sistem de referin care este unsistem de coordonate tridimensional legat rigid de corpul fix. Deoarece n realitate nu existcorpuri absolut fixe, nu exist sisteme de referin absolut fixe i deci micrile sunt relative.

Poziia la un moment dat a unui corp este determinat de vectorul de poziie r

care estevectorul ce unete originea sistemului de coordonate, O, cu punctul P n care se gsete corpul (fig.1.1.1).

Pentru studiul micrii corpurilor se folosete modelul punctului material. Vom numi punct material un ansamblu ale crui dimensiuni pot fi neglijate n raport cu distana parcurs.Micarea unui punct material este caracterizat prin traiectorie i prin legea de micare.Traiectoria reprezint locul geometric al tuturor punctelor prin care trece mobilul n timpuldeplasrii. Legea de micare reprezint legea de variaie a vectorului de poziie a unui punctmaterial n funcie de timp n raport cu un punct considerat fix.

z 1v

P(x,y,z) r

2v

r

traiectorie 1r

2r

z1

r1

x1

O y1

y O

x Fig. 1.1.1 Fig. 1.1.2

Micarea este deci determinat cnd se cunoate funcia :)t(rr

= (1.1.1)

care reprezintecuaia de micare a punctului material.


6/108

2

Vectorul de poziie se scrie n funcie de coordonatele sale sub forma:

zyx 1.z1.y1.xr

++= (1.1.2)

x1

, y1

i z1

fiind versorii (vectorii unitate) axelor Ox, Oy i Oz ale sistemului de referin ales.Micarea este cunoscut dactim cum se modific n timp coordonatele punctului material, decicunoscnd funciile :

=

=

=

)t(zz

)t(yy

)t(xx

(1.1.3)

Funcia vectorial )t(r

trebuie s satisfac anumite restricii impuse de fenomenul fizic al

micrii punctului. Astfel ea trebuie s fie continu i uniform (deoarece n conformitate cuprincipiul perfectei localizri, punctul material nu poate ocupa simultan mai multe poziii distincte n spaiu), finit n modul i derivabil. Ecuaiile (1.1.3) pot fi considerate ca fiind ecuaiileparametrice ale traiectoriei, parametrul fiind timpul, sau ecuaiile cinematice ale micrii.Ecuaiatraiectoriei se afl eliminnd timpul din ecuaiile parametrice.

Schimbarea poziiei unui mobil n timpul micrii este determinat de vectorul deplasare, r (fig. 1.1.2) care se exprim sub forma:

r

= 2r

- 1r

(1.1.4)

corespunztor intervalului de timp t = t2 - t1.Dac intervalul de timp este foarte mic, vectorul deplasare se confund cu spaiul parcurs

de mobil. Se definete viteza punctului material ca fiind:

rdt

rd

t

rlimv

0t

==

=

(1.1.5)

care, aa cum se observ din figura 1.1.2, este tangentla traiectoria mobilului.

innd cont de (1.1.2), relaia (1.1.5) devine :

zyxzyx 1z1y1x1.dt

dz1.

dt

dy1.

dt

dxv

++=++= (1.1.6)

sau :zzyyxx 1.v1.v1.vv

++= (1.1.6)

unde vx, vyi vz sunt componentele vectorului v

de-a lungul axelor de coordonate.Viteza medie este:

t

rvm

=

i are direcia secantei la traiectorie (direcia vectorului deplasare r

).Modulul vectorului vitez se calculeaz cu relaia :

2z

2y

2x vvvvv ++==

(1.1.7)

Dac s(t) reprezint dependena de timp a distanei parcurse de mobil pe traiectorie,atunci modulul vitezei se determin din relaia:

sdtsdv ==

Dac r1

este versorul razei vectoare r

(fig. 1.1.1), relaia (1.1.5) se mai poate scrie sub

forma :

dt

dr1

dt

1dr

dt

)1.r(dv r

rr

+== (1.1.8)


7/108

3

n care r este modulul vectorului de poziie. Din relaia (1.1.8) se observ c la viteza v

contribuie

doi termeni: o variaie a direciei razei vectoare, reprezentat de

dt

1d.r r

i o variaie a modulului

vectorului de poziie, r1.dt

dr .

Dac vectorul vitez a punctului material variaz n timp se definete vectorul acceleraieca fiind :

vdt

vd

t

vlima

0t

==

=

(1.1.9)

sau, innd cont de (1.1.5) :

rdt

rda

2

2

== (1.1.10)

Ultimele dou relaii se scriu n funcie de componentele vectorilor v

i r

astfel:

=++=++= z2

2

y2

2

x2

2

zzyy

xx 1.dt

zd1.

dt

yd1.

dt

xd1.dt

dv1.dt

dv1.dt

dva

zyx 1.z1.y1.x

++=

sau:

zzyyxx 1a1a1aa

++= (1.1.10)

unde ax, ay, az sunt componentele acceleraiei n lungul celor trei axe de coordonate.

Modulul acceleraiei este :2z

2y

2x aaaaa ++==

(1.1.11)

1.1.2. Dinamica clasic a punctului materialDinamica studiaz micarea mecanic a corpurilor innd cont att de forele care produc

micarea ct i de masele corpurilor n micare.

1.1.2.1. Legile fundamentale ale mecanicii clasice a punctului materialAceste legi au fost formulate de Newton i sunt rezultatul unui numr mare de experiene

i din aceast cauz, adesea sunt enunate ca principii :

1. LEGEA INERIEI se enun astfel: "un punct material asupra c ruia nuacioneaz nici o for, rmne n repaus sau se deplaseaz rectiliniu i uniform". Deci,

0a =

dac 0F =

.Introducnd noiunea de impuls :

vmp

= (1.1.12)

unde m este masa particulei (punctului material), consideratconstant n cazul clasic, atunci dincondiia 0a =

rezult .constv =

i legea ineriei poate fi enunat i n felul urmtor : "n

absena forelor exterioare impulsul unui punct material rmne constant". Aceast formulare

pune n eviden faptul c legea ineriei este o lege de conservare a impulsului.2. LEGEA VARIAIEI IMPULSULUI sau LEGEA FOREI este principiulfundamental care definete fora ca fiind proporional cu viteza de variaie a impulsului:"derivata impulsului n raport cu timpul este egal cu fora care produce micarea" :

Fpdt

pd)vm(

dt

d

=== (1.1.13)

Cum m = const. rezult :


8/108

4

Famvmdt

vdm

=== (1.1.14)

sau, innd cont de expresia (1.1.10) a acceleraiei,

2

2

dt

rdmF

= (1.1.15)

care pe componente se scrie :

=

=

=

zmF

ymF

xmF

z

y

x

(1.1.16)

relaii numite ecuaiile difereniale ale micrii.Prin integrarea succesiv a relaiilor (1.1.16) se obin pe rnd, componentele vitezei i

ecuaiile parametrice ale traiectoriei )t(zz);t(yy);t(xx === care depind astfel de dou

constante de integrare, sau, mai general, legea de micare a punctului material )t(rr

= . Pentru a

putea determina starea mecanic a acestuia (poziia i viteza sa) la un moment dat este necesar

cunoaterea constantelor de integrare i acest lucru se poate face dac se dau aa numitele condiiiiniiale adic poziia i viteza punctului material la un moment dat pe care-l alegem ca origine atimpului, t=0.

3. LEGEA ACIUNILOR RECIPROCE se enun n felul urmtor: "ntotdeaunafiecrei aciuni i se opune o reaciune egal n moduli de sens contrar" :

2112 FF

= (1.1.17)

Aciunea i reaciunea se exercit ca perechi, acioneaz simultan asupra a dou corpuridiferite i au direcia n lungul dreptei ce unete cele dou corpuri.

4. LEGEA INDEPENDENEI ACIUNII FORELOR sau LEGEASUPERPOZIIEI FORELOR afirm c "forele la care este supus un punct materialacioneaz independent unele de altele".

Conform acestui principiu aciunea simultan a mai multor fore )n,1i(Fi = asupra unui

punct material poate fi nlocuit prin rezultanta lor F

i, invers, o for poate fi descompus ncomponente i aciunea lor este echivalent cu aciunea forei rezultante:

==

n

1iiFF

(1.1.18)

1.1.2.2. Teoremele generale ale dinamicii punctului materialTeoremele generale ale dinamicii punctului material sunt consecine ale principiilor

dinamicii i permit n multe cazuri determinarea ecuaiei de micare fr a mai fi necesarintegrarea ecuaiilor difereniale ale micrii (1.1.16). Pentru analizarea acestor teoreme

considerm un punct material de mas m, asupra cruia acioneaz o for F

.

1. TEOREMA IMPULSULUI: Derivata n raport cu timpul a impulsului punctuluimaterial este egal cu rezultanta forelor aplicate.

Fdt

pd

= (1.1.19)

Dac fora care acioneaz asupra punctului material este nul, impulsul se conserv:

)t(p)t(p0dt

pd0F 21

===


9/108

5

2. TEOREMA MOMENTULUI CINETIC Momentul cinetic al unui punct material n micare n raport cu un punct fix O este

mrimea fizic vectorial :

prL

= (1.1.20)unde r

este vectorul de poziie al punctului material fa de acel punct iar p

impulsul acestuia

(fig. 1.1.3).n cazul n care punctul material este legatde punctul fix O i asupra lui acioneaz o

for F

, se definete momentul forei n raport cu punctul O ca fiind:

FxrM

= (1.1.21)

Derivnd L

n raport cu timpul se obine :

MFxrdt

pdxrpx

dt

rd)pxr(

dt

d

dt

Ld

==+== (1.1.22)

unde pxvpxdt

rd

= = 0

deoarece vectorii sunt coliniari.

L

vmp

=

O r

v

m

Fig. 1.1.3

Astfel se poate enuna teorema variaiei momentului cinetic: viteza de variaie a momentului cinetic n raport cu un punct fix este egal cu momentul forei care producemicarea n raport cu acel punct.

Dac punctul material este izolat ( F

= 0) sau se afl ntr-un cmp central(fora F

ceacioneaz asupra lui este pe direcia razei vectoare, suportul acesteia trecnd printr-un punct fixnumit centrul cmpului, ca de exemplu fora centripet, fora elastic, greutatea corpurilor),

momentul M

este nul imomentul cinetic se conserv (rmne constant n timp).

Deci se poate scrie teorema conservrii momentului cinetic:

)t(L)t(L0

dt

Ld0M 21

===

3. TEOREMA ENERGIEI CINETICE

Prin definiie, lucrul mecanic elementar d efectuat de o for F , cnd punctul deaplicaie al acestei fore se deplaseaz cu d r

, este egal cu produsul scalar dintre F

i d r

:

d )rd,F(cos.dr.Frd.F

== (1.1.23)

Dac n relaia de definiie (1.1.23) se nlocuiete expresia forei (1.1.13) rezult:


10/108

6

d vdvm)vm(dvdtv)vm(dt

drd)vm(

dt

d ====

sau: d Tdvm2

1

dvm2

1

d22

=

=

=

(1.1.24)unde s-a notat :

2vm2

1T = (1.1.25)

mrime care reprezintenergia cinetic(de micare).Dac deplasarea sub aciunea forei are loc ntre punctele A i B (fig.1.1.4), lucrul

mecanic efectuat va fi :

AB2

vm

2

vmTTTdrd.F

2A

B

A

2B

ABB

A == ==

(1.1.26)

z C2

F

C2

Ar

F

Br

OO y

x

Fig. 1.1.4 Fig. 1.1.5

Relaia (1.1.26) reprezint coninutul teoremei variaiei energiei cinetice care se enunn felul urmtor: "variaia energiei cinetice a unui punct material de mas constant acionat deo for

ntr-un interval de timp, este egal

cu lucrul mecanic efectuat de for

a care ac

ioneaz

asupra acestuia n intervalul de timp considerat".Dac rezultanta forelor care acioneaz asupra punctului material este nul, sau este

perpendicular pe direcia deplasrii, din definiia (1.1.23) a lui rezult c lucrul mecanic estenul i conform (1.1.26) energia cineticse conserv.

Acelai lucru mecanic poate fi efectuat n diferite intervale de timp i de aceea n practice important i timpul n care se realizeaz lucrul mecanic respectiv. Pentru caracterizareamecanismelor i motoarelor se folosete noiunea de putere mecanic, definit ca mrimea fizicnumeric egal cu lucrul mecanic efectuat n unitatea de timp:

dt

d

tlimP

0t

=

=

(1.1.27)

sau, innd cont de (1.1.23), pentru F

= const. se obine:

v.F

dt

rdFP

== (1.1.28)

deci la fore egale puterea depinde de vitez.

4. TEOREMA CONSERVRII ENERGIEI MECANICES-a constatat c exist fore, cum sunt forele cmpului gravitaional, elastic sau

electrostatic, numite fore conservative, pentru care lucrul mecanic nu depinde de forma drumuluiparcurs ci numai de poziiile iniiali final (fig. 1.1.5):

(C)

C1a

b

2

1

B

A


11/108

7

==1 2C C

rdFrdF

(1.1.29)

Pentru conturul nchis C = 1a2b1 se poate scrie, innd cont de (1.1.29) :

==+=2121 CC'CCC

0rdFrdFrdFrdFrdF (1.1.30)

sau :

0)dzFdyFdxF(rdF zyC

xC

=++=

(1.1.31)

Relaiile (1.1.30) i (1.1.31) arat c lucrul mecanic al forelor conservative efectuat pe otraiectorie nchis este nul i din punct de vedere matematic (relaia A.1.23 din anexa A1)

reprezint condiia necesari suficient ca lucrul mecanic elementar rdF

(integrandul din 1.1.31)

s fie o diferenial total a unei funcii scalare U(x,y,z) numitpotenialul forei sau energiepotenialcare depinde de poziia punctului material, fr s depind de timp:

dUrdF =

(1.1.32)

unde semnul minus indic scderea acesteia atunci cnd fora cmpului efectueaz lucru mecanic.

Ultima relaie se mai poate scrie, innd cont de relaia (A.1.7) din anexa A1 pentru odiferenial total exact:

+

+

=++ dz

z

Udy

y

Udx

x

UdzFdyFdxF zyx

echivalent cu urmtoarele egaliti corespunztoare componentelor forei :

z

UF;

y

UF;

x

UF zyx

=

=

= (1.1.33)

cu proprietatea (A.1.9):

x

F

y

F yx

=

;

y

F

z

F zy

=

;

z

F

x

F xz

=

(1.1.34)

Astfel, se poate defini vectorul for:

UFUgradF ==

(1.1.35)

unde operatorul vectorial (nabla) definit n anex (relaia A.1.12),

zyx 1z1

y1

x

+

+

= ,

aplicat unei funcii scalare, poart numele de gradient.Expresiile (1.1.34) conduc la relaiile:

0z

F

x

F;0

y

F

z

F;0

x

F

y

F xzzyyx =

=

=

(1.1.36)

Definind rotorul vectorului F

(relaia A.1.17) ca produsul vectorial :

zyx

zyx

FFF zyx

111

FxFrot

==

(1.1.37)

se observ c n stnga relaiilor (1.1.36) sunt chiar componentele vectorului rot F

. Rezult astfel:

0Fx =

(1.1.38)

care reprezint o alt caracterizare a forelor conservative i totodat condiia necesar isuficientca fora cmpului sderive dintr-un potenial.


12/108

8

La acest rezultat se putea ajunge i folosind teorema lui Stokes (A.1.22) de transformare aintegralei curbilinii n integral de suprafa, pe suprafaa S delimitat de conturul (C) :

0Sd)Fx(rdF

C S

= =

de unde se obine 0Fx =

i deoarece rotorul unui gradient este ntotdeauna nul (rela ia

A.1.31), rezult definiia pentru o for conservativ, ca gradientul cu semn schimbat al energiei

poteniale : F

= - grad U.Relaia (1.1.32) se mai scrie:

UdrdFd ==

(1.1.39)

i lucrul mecanic efectuat ntre dou puncte A i B va fi :

===B

A

B

ABA UU)dU(rdF

(1.1.40)

unde UA i UB sunt energiile poteniale corespunztoare punctelor A respectiv B, care suntdeterminate pn la o constant arbitrar. Deci lucrul mecanic efectuat de forele cmpului ntredou puncte este egal cu variaia energiei poteniale ntre punctele respective, luat cu semn

schimbat.Alegnd un punct de referin P0 (spre exemplu la infinit, unde cmpul de fore seanuleaz n general) se poate defini energia potenial a punctului material ntr-un punct P( r

) ca

fiind lucrul mecanic al forelor cmpului, cu semn schimbat, pentru deplasarea punctului materialdin punctul de referin P0 n punctul considerat:

rdF)r(UP

P0

= (1.1.41)

Suprafeele pe care energia potenial este constant (U=const.) se numesc suprafee

echipoteniale (descrise n A.1.4.1). Fora cmpului conservativ, F

, este perpendicular pesuprafeele echipoteniale i ndreptat n sensul descreterii energiei poteniale (fig. 1.1.6),conform definiiei (1.1.35). Un punct material situat ntr-un cmp conservativ evolueaz ctrepoziia caracterizat de un minim al energiei poteniale (poziia de echilibru stabil) i aceast

tendin are o valabilitate general n sensul c este tendina natural a tuturor sistemelorde atrece de la stri cu energie potenial mai mare ctre stri cu energie potenial mai mic, adictind ctre o stare creia i corespunde o valoare minim a energiei poteniale.

linii de for

F

suprafee U1

echipoteniale F

U2

F

U1 < U2 < U3

U3

Fig. 1.1.6


13/108

9

Conform (1.1.24) i (1.1.39) s-a obinut c:

.constUT0)UT(

dt

ddUdTd =+=+==

sau, notnd suma dintre energia cinetici cea potenial cu E (energia mecanic):.constEUTUT BBAA ==+=+ (1.1.42)

care reprezintteorema conservrii energiei mecanice, evideniind faptul cn timpul micriintr-un cmp de fore conservativ are loc o transformare reciproc a energiei cinetice n energiepotenial dar energia mecanic rmne constant.

Dac punctul material este situat ntr-un cmp conservativ i este supus n acelai timp la

o forneconservativ (disipativ) 'F

(spre exemplu o for de frecare),lucrul mecanic al forei

neconservative este egal cu variaia energiei mecanice a corpului:

Erd.'FB

A==

(1.1.43)

1.2. ELEMENTE DE DINAMIC RELATIVIST

1.2.1. Relaia dintre masi energie n dinamica relativistPentru viteze foarte mari ale corpurilor, apropiate de viteza luminii n vid (c), masa de

micare (masa relativist) nu mai este constant, ca n cazul dinamicii clasice, ci crete cu vitezadup legea (fig.1.2.1):

2

2

o

c

v1

m)v(m

= (1.2.1)

unde om este masa de repaus, deci nu este doar funcie de proprietile corpului (particulei) ci i

de starea de micare a acestuia. Ea nu este o mrime invariant, avnd valori diferite n referenialediferite. Creterea masei relativiste cu viteza a fost verificat experimental studiind sarcina

specific a electronilor pentru diferite viteze; s-a constatat c sarcina specific e/m este mai micpentru electronii rapizi dect pentru cei leni. Variaia masei de micare cu viteza a putut fiobservati n procesele de ciocnire dintre particulele elementare.

Fig. 1.2.1

Pornind de la relaia de definiie a forei, care are aceeai form (1.1.13) ca i n mecanicaclasic,

)vm(dt

d

dt

pdF ==

c

om

v

m


14/108

10

se obine:dvmdmvdtF +=

de unde, prin nmulire cu v ( dt

drv = ), se obine lucrul mecanic elementar al forei F:

dvvmdmvdrFd 2 +== (1.2.2)Difereniind relaia (1.2.1) rezult:

dvv2c

1

c

v1

2

1mdm

2

2/3

2

2

o

=

de unde,

222/1

2

2

o

2

22

2/3

2

22

o

vc

dvvm

c

v1

dvvm

c

v1c

1

c

v1c

dvvmdm

=

=

=

sau

dvvmdm)vc( 22 = i (1.2.2) devine:

dTdmcdmvdm)vc(d 2222 ==+= Integrnd aceast relaie se obine energia cinetic:

2o

T

0

m

m

2 c)mm(TdTdmco

== (1.2.3)

Se definete energia relativist(total) E a unei particule libere (n absena cmpurilor defore) ca produsul dintre masa de micare i ptratul vitezei luminii:

2

2

2o2

c

v1

cmmcE

== (1.2.4)

numiti relaia lui Einstein, care arat c orice particul care are mas are i energie. Aceastlegtur dintre mas i energie mai este denumit i legea echivalenei dintre masi energie.Aceast echivalen nu trebuie confundat cu noiunea de identitate; masa i energia reprezintcaracteristici diferite ale particulelor. Legea echivalenei stabilete proporionalitatea dintre ele.

Energia de repaus (pentru v = 0), este diferit de zero n cazul relativist:2

oo cmE = (1.2.5)

relaia (1.2.3) scriindu-se:

oEET = (1.2.6)

Dac viteza de deplasare a particulei este mult mai mic dect viteza luminii, se dezvolt expresia1

2

2

c

v1

din relaia (1.2.4) n serie de puteri i se pstreaz primii doi termeni, rezultnd:

20

202

22

0 vm2

1cm...

c2

v1cmE +

++=

Al doilea termen din membrul drept coincide cu energia cinetic clasic a particulei (1.1.25).


15/108

11

1.2.2. Relaia dintre impuls i energie n dinamica relativist.Legtura dintre masa de repaus m0i impulsul relativist p

este dat de relaia:

p

= m(v) v

2

20

c

v-1

vm

= . (1.2.7)

Pentru viteze mici, v


16/108

12

1.5. Un corp punctiform de mas m poate s se mite rectiliniu (n lungul axei Ox, deexemplu). Asupra lui acioneaz o for ndreptat n lungul aceleiai axe, n sens pozitiv, egal cu

mxkF 2= , unde k este un coeficient constant iar x abscisa corpului. La momentul iniial, corpul

se afl n repaus la distana dde originea axei de micare. S se afle ecuaia spaiului parcurs decorp neglijnd frecarea dintre corp i plan.

R: ktch.d)ee(2

dx ktkt =+=

1.6. Micarea n linie dreapt a unui automobil de mas kg1200m = cu o vitez

uniform v necesit, pentru a putea nvinge diversele frecri i rezistena aerului, o for orizontal

a crei valoare, n newtoni, este dat de relaia 2v2850F += (v n m/s). S se determine fora derezisteni puterea automobilului, n ipoteza micrii uniforme, n funcie de viteza acestuia.

R: 2r v2F = (N); v)v2850(P2 += (W)

1.7. Un punct material de mas m se mic pe o traiectorie circular de raz R sub

aciunea unei fore centrale de atracie ,R

R

kF

3

= al crei suport trece prin centrul cercului iar k

este o constant pozitiv. Determinai: a)energia cinetic, poteniali total a punctului material;b)impulsul i momentul cinetic al punctului material.

R:R2k

T = ;R

kU = ;

mR

kp = ; kmRL=

1.8. Stabilii forma suprafeelor echipoteniale pentru urmtoarele cmpuri centraleconservative:cmpul gravitaional terestru, n apropierea suprafeei Pmntului

)gmG.,constg(

== ; b)cmpul forelor de atracie newtoniene, ,rr

kmF

3

= unde k este o

constant pozitiv iar r

este vectorul de poziie al corpului de mas m fa de centrul de for.

R: a) plane paralele cu planul xOy; b) sfere cu centrul n originea sistemului deaxe de coordonate.

1.9. Determinai viteza unei particule relativiste dac:a) impulsul relativist este mai mare de = 2 ori dect impulsul newtonian al particulei;b) energia cinetic a particulei este egal cu energia sa de repaus.

R: a) s/m106,21c

v 82 =

= ; b) s/m106,232

cv 8==

1.10. O particul cu masa de repaus m0 se deplaseaz de-a lungul axei Ox a unui

referenial dup legea 222 tcax += , unde a este o constant, c viteza luminii, iar ttimpul. S sedetermine ce for se exercit asupra particulei n acest referenial.

R:a

cmF

20= .

1.11. Determinai acceleraia unui electron n micare relativist sub aciunea unei foreconstante, la momentul n care energia sa cinetic devine T.

R:

3

2o

ocm

T1

1

m

Fa

+

=


17/108

13

2.1. OSCILAII ELASTICE

Orice micare n care se face o transformare periodic sau pseudoperiodic a unei formede energie n alta poart numele de oscilaie. Oscilaiile elastice sunt acele oscilaii n care energiacinetic se transform n energie poteniali invers.

Oscilaia unui sistem izolat declanat printr-un impuls iniial care are frecven constantse numete oscilaie liber(proprie) iar frecvena micrii oscilatorii - frecvenproprie.

Dac mrimile ce caracterizeaz micarea oscilatorie (masa, constantele elastice,coeficienii de proporionalitate ntre forele de frecare i viteze) rmn constante n timp, oscilaiaeste liniar.

2.1.1. Micarea oscilatorie armonicMicarea oscilatorie armonic reprezint micarea unui sistem mecanic izolatde-o partei de alta a unei poziii de echilibru. Printr-o alegere convenabil a sistemului de referin, se poateconsidera c micarea este unidimensional, n lungul axei Ox. Starea de echilibru corespundepoziiei n care energia potenial este minim, adic

0dx

Ud,0

dx

dU

00 xx2

2

xx>

=

==

,

unde x0 este coordonata poziiei de echilibru. Dac sistemul este deprtat de poziia de echilibru ianatere o forelasticcare, pentru sistemul izolat, deriv din energia potenial (1.1.35) :

x1.dx

dUUgradF

== (2.1.1)

Pentru determinarea acestei fore e necesar cunoaterea energiei poteniale.Pentru deplasri mici (x - x0) fa de poziia de echilibru expresia energiei poteniale

corespunztoare poziiei x se poate dezvolta n serie Taylor (relaia A.1.10), cu limitare la primiitermeni :

......)xx(dx

Ud

2

1)xx(

dx

dU)x(U)x(U 20

xx2

2

0xx

0

00

+

+

+=

==

(2.1.2)

Din condiia de echilibru, rezult c al doilea termen din dezvoltare este nul. Dac alegemprin convenie x0 = 0 i U(x0) = 0, expresia (2.1.2) devine :

2

0x2

2x

dx

Ud

2

1)x(U

=

(2.1.3)

Notnd constanta elasticcu

0

dx

Udk

0x2

2>

=

=

(2.1.4)

relaia (2.1.3) devine :

2xk2

1)x(U = (2.1.5)

de unde rezult expresia forei (2.1.1) ce acioneaz asupra sistemului mecanic:

x1.xkF

= (2.1.6)


18/108

14

Aceast for este o for de tip elastic, fiind ndreptat spre poziia de echilibru i avndintensitatea proporional cu deplasarea.

Constanta elastic k dat de (2.1.4) caracterizeaz cmpul de fore i este dependent de

natura mediului.Dac se reduce sistemul mecanic la un punct material cu masa m, ecuaia de micare aacestuia sub aciunea forei elastice este :

0xkxmxkxm =+= .

mprind ecuaia prin m se obine :

0xx 2o =+ (2.1.7)

unde s-a notat

m

k2o = (2.1.8)

o fiindpulsaia proprie.

Ecuaia (2.1.7) este o ecuaie diferenial liniar i omogen de ordinul al doilea cu

coeficieni constani, cu soluii de forma te i care introduse n ecuaia (2.1.7) determinecuaia

caracteristicpentru :

02o2 =+ (2.1.9)

avnd soluiile pur imaginare:

o2,1 i = (2.1.10)

innd cont de relaia (2.1.10) se obine soluia general a ecuaiei (2.1.7) de forma unei

combinaii liniare a soluiilor liniar independente t1e

it2e

:

titi oo e"Ce'Cx

+= (2.1.11)

C i C fiind constante arbitrare de integrare, n general complexe. Pentru ca x s fie o mrimereal, adic x = x* (x* fiind conjugata lui x), trebuie ca C = C* .

Folosind relaiile lui Euler : e i.a = cos a i sin a , se obine :tsin)"C'C(itcos)"C'C(x

oo

++=

sau :tsinCtcosCx o2o1 += (2.1.12)

unde )"C'C(iCi)"C'C(C 21 =+= sunt constante reale (deoarece C = C *).

Notnd :

=

=

sinAC

cosAC

2

1 , unde 2221 CCA += i

1

2C

Ctg = ,

expresia lui x din (2.1.12) devine :)t(cosAx o += (2.1.13)

Uneori soluia (2.1.13) se exprim sub forma)tsin(Ax o += (2.1.13)

sau sub form complex:

)t(i oeAx += (2.1.13)convenind ca partea real s reprezinte mrimea fizic considerat.

Micarea exprimat de (2.1.13) sau (2.1.13) este o mi care oscilatorie armonic fiinddescris de o funcie cosinus sau sinus; x reprezintelongaia, A - amplitudinea micrii (valoareamaxim a elongaiei), = o t + -faza micrii iar -faza iniial a micrii. Micarea este

periodic deoarece elongaia ia valori identice n momente separate ntre ele prin intervalul Tnumit perioada oscilaiei.


19/108

15

Din condiia:

++==++=+= )nTt((cosA...)Tt(cosA)t(cosAx ooo

sau ++=+ )Tt(cos)t(cos oo

rezult :++=++ 2t)Tt( oo

sau

o T = 2

de unde perioada este:

k

m2

2T

o=

= (2.1.14)

Numrul de perioade cuprinse n unitatea de timp se numetefrecven:

==

2T

1 o (2.1.15)

n timpul oscilaiei, viteza i acceleraia oscilatorului sunt variabile n timp:

)t(cosAxa

)t(sinAxv

o2o

oo

+==

+==

Energia total a oscilatorului este :

2

Am

2

Ak

2

xk

2

vmUTE

22o

222 ==+=+= (2.1.16)

fiind constant n orice moment, aa cum rezult din teorema conservrii energiei mecanice(1.1.42) pentru un sistem izolat.

2.1.2. Micarea oscilatorie amortizatn realitate oscilaiile unui punct material se produc cu disipare de energie datorit

existenei forelor de frecare din partea mediului.

Pentru viteze mici se consider c fora de frecare este proporional n orice moment cuviteza, fiind de forma:

0r,xrvrFf >==

unde r se numete coeficientul de rezistenal mediului.Astfel, pe lng fora elastic, apare i fora de frnare care se opune deplasrii, legea

fundamental a dinamicii fiind n acest caz :xrxkxmFFxm fe =+=

sau :0xkxrxm =++ (2.1.17)

mprind prin m i notnd2om

k= i = 2

m

r(2.1.18)

unde se numetefactor de amortizare, ecuaia (2.1.17) devine :

0xx2x 2o =++ (2.1.19)

care este o ecuaie diferenial omogen de ordinul doi cu coeficieni constani care are soluii de

forma te i care, introduse n (2.1.19), implic ecuaia caracteristic:

02 2o2 =++ (2.1.20)

cu soluiile :


20/108

16

2o

22,1 = (2.1.21)

Soluia general a ecuaiei (2.1.19) este :

tt 21 e"Ce'Cx += sau, nlocuind (2.1.21) :

+=

2o

22o

2 ttt e"Ce'Cex (2.1.22)

x(t) x(t)

C+C

C

O t O t

Fig. 2.1.1 Fig. 2.1.2

n funcie de relaia dintre i o , se disting trei cazuri :

1) Dac > o frecarea este puternic, soluiile ecuaiei caracteristice (2.1.20) sunt

reale, micarea esteamortizat aperiodic, elongaia scznd monoton i tinznd ctre 0 cnd t (fig. 2.1.1), sistemul revenind la poziia de echilibru (x nu-i schimb semnul, oscilatorul nutrece de cealalt parte a poziiei de echilibru, pierzndu-i ntreaga energie ntr-un sfert deperioad).

2) Dac = o (cazul amortizrii critice) ecuaia caracteristic (2.1.20) are o rdcin

multipl (dubl), 1,2 = - , i soluia general este de forma unei combinaii liniare a soluiilor

liniar independente te i te.t :

)"Ct'C(ex t +=

micarea fiind i n acest caz aperiodic (fig. 2.1.2).

3) Dac


21/108

17

Ecuaia (2.1.25) arat c micarea estepseudoperiodic, deci este oscilatorie - fapt indicat

de factorul cos( a t + a ) dar amplitudinea scade n timp dup legea exponenial :

t0 eA)t(A = (2.1.26)Graficul variaiei elongaiei micrii oscilatorii amortizate (2.1.25) n funcie de timp este artat nfigura 2.1.3 (curba plin), curbele punctate reprezentnd funcia x = A0 e

- t.Perioada micrii amortizate este:

22o

a

22T

=

= .

Amortizarea oscilaiilor se poate caracteriza prin mrimea , numitdecrementlogaritmicicare reprezint logaritmul natural al raportului a dou amplitudini consecutive :

TelneA

eAln

)Tt(A

)t(Aln T

)Tt(0

t0 ===

+=

+

x(t)

T

A0 A(t)A(t+T)

t

Fig. 2.1.3

Dac se cunoate amplitudinea iniial Aoi amplitudinea dup n oscilaii complete, An, seobine :

n

1n

2

1

1

0

n

0A

A.........

A

A.

A

A

A

A = ==

n

1j j

1j

n

0

A

Aln

A

Aln

i cum fiecare logaritm natural din sum este egal cu se obine :

n

0

n

0A

Aln

n

1n

A

Aln ==

O msur a duratei oscilaiilor amortizate este inversul coeficientului de amortizare ,

=

1, numit timp de relaxare care arat n ct timp amplitudinea oscilaiilor scade de e ori.

2.1.3. Micarea oscilatorie ntreinut (forat). RezonanaPentru a mpiedica amortizarea micrii oscilatorii sub aciunea forei de frecare, i se transmite

oscilatorului energie din exterior, acionndu-se cu o for periodic de forma :tcosFF 0p =

Ecuaia micrii se scrie n acest caz :

=++ tcosFxkxrxm 0 tcosm

Fxx2x 02o =++ (2.1.27)

Soluia ecuaiei neomogene (2.1.27) se scrie ca suma x = x1 + x2 (fig. 2.1.4) dintre soluia general aecuaiei omogene cu aceiai coeficieni, de forma (2.1.25) :


22/108

18

+= a

22o

t01 tcoseAx

i o soluie particular a ecuaiei neomogene, de forma membrului drept :

)t(cosAx 2 += (2.1.28)

Datorit amortizrii, pentru un interval de timp suficient de lung soluia x1 (regimultranzitoriu) poate fi neglijat, oscilaiile sistemului fiind descrise de soluia x2. Micarea descris deaceast soluie se numete regim staionar; oscilaiile se efectueaz cu o pulsaie egal cu cea aforei de ntreinere i nu cu pulsaia proprie.

x1 x2

t t

Fig. 2.1.4

Amplitudinea A i faza iniial se determin din condiia ca x2 dat de relaia (2.1.28) sverifice ecuaia (2.1.27). nlocuind:

)t(cosAxx;)t(sinAxx 222

+==+==

i notnd

00

f

m

F= (2.1.29)

ecuaia (2.1.27) devine :

tcosf)tcos(A)tsin(A2)t(cosA 02o

2 =++++

sau, scriind

0f cos t = 0f cos (t + - )

rezult

+++=++ sin)t(sinfcos)t(cosf)tsin(A2)t(cosA)( 0022

0

Identificnd coeficienii termenilor cos ( t + ) i sin ( t + ) din ambii membri ai ecuaiei se obine :

=

=

sinfA2

cosf)(A

0

022

o (2.1.30)

de unde rezult prin mprirea relaiilor :22

o

2tg

= (2.1.31)

nlocuind

( ) 22222o

22o

24tg1

1cos

+

=

+

=

t


23/108

19

n prima relaie a sistemului (2.1.30) i innd cont de notaia (2.1.29), se obine amplitudinea oscilaiilorforate :

( ) 22222o

0

4m

F

A+

= (2.1.32)

A

10 1


24/108

20

2.1.4. Compunerea oscilaiilor armonice

2.1.4.1. Compunerea oscilaiilor armonice paralele cu pulsaii egale

Dac asupra unui punct material acioneaz simultan dou sau mai multe fore elastice,micarea efectuat de el este o micare rezultant determinat de efectul independent al fiecreifore.

Considerm c punctul material e supus simultan la dou fore elastice ce acioneaz pedirecia Ox i care determin micrile oscilatorii redate de relaiile :

)t(cosAx

)t(cosAx

222

111

+=

+=(2.1.33)

Elongaia rezultant va fi suma elongaiilor oscilaiilor paralele independente :)t(cosA)tcos(Axxx 221121 +++=+= (2.1.34)

iar ecuaia micrii oscilatorii rezultante este de forma:)t(cosAx += (2.1.35)

Din (2.1.34) i (2.1.35) rezult, egalnd coeficienii lui cos t i sin t din cei doimembri :

2211

2211

sinAsinAsinA

cosAcosAcosA

+=

+=(2.1.36)

de unde se obine:

2211

2211cosAcosA

sinAsinAtg

+

+= (2.1.37)

Ridicnd la ptrat relaiile (2.1.36) i adunndu-le rezult :

)(cosAA2AAA 122122

21 ++= (2.1.38)

Relaia (2.1.35) arat c oscilaia rezultant este tot o oscilaie armonic, cu aceeai frecvencu frecvena oscilaiilor ce se compun. Amplitudinea oscilaiei rezultante (2.1.38) este dependent dediferena de faz = 2 - 1 dintre cele dou oscilaii.

Se distingcazurile particulare :1

o. Dac = 2 n ; n = 0,1,2,..., oscilaiile sunt n fazi amplitudinea oscilaiei rezultante

este maximi egal cu suma amplitudinilor oscilaiilor componente:A = A1 + A2.

2o. Dac = (2 n + 1) ; n = 0,1,2,..., oscilaiile sunt n antifazi amplitudinea oscilaiei

rezultante este minim :A = | A1 - A2|.

3o. Dac = (2 n + 1) / 2; n = 0,1,2,..., oscilaiile sunt n cuadraturi rezult:

22

21 AAA +=

Relaiile (2.1.37) i (2.1.38) pot fi obinute i pe cale grafic folosind metoda fazoriala lui Fresnel prinreprezentarea amplitudinilor oscilaiilor componente prin vectori nclinai fa de axa Ox cu unghiuriegale cu fazele iniiale ale oscilaiilor i compunerea lor dup regulaparalelogramului (fig. 2.1.6 a) sau

apoligonului (fig. 2.1.6 b).Generalizare. n cazul compunerii a n oscilaii paralele de aceeai pulsaie, amplitudinea i

faza oscilaiilor rezultante sunt date de relaiile :2n

1iii

2n

1iii sinAcos.AA

+

=

==


25/108

21

i

=

=

=n

1iii

n

1iii

cosA

sinA

tg

y A

1A

2A

2 1A

2A

A

1

O x

a b

Fig. 2.1.6

2.1.4.2. Compunerea a dou oscilaii paralele cu pulsaii puin diferite. Fenomenul de bti

Presupunem c pulsaiile celor dou oscilaii sunt de forma :

+=

=

2

1 (2.1. 39)

unde


26/108

22

deci variaz periodic n timp i micarea rezultantnu este o oscilaie armonicci apare ca o oscilaiemodulat att n amplitudine ct i n frecven de o alt oscilaie periodic (fig. 2.1.7). Succesiunea demaxime i minime ale amplitudinii oscilaiei rezultate prin compunerea a dou oscilaii paralele cu

frecvene puin diferite poart numele defenomen debti.Perioada Tb de variaie a amplitudinii rezultante (perioada btilor) se determin din condiiaca amplitudinea s fie maxim sau minim, deci pentru :

=+ 1)t.(cos

+=++

=+

)1n()Tt(.

nt.

b

Scznd cele dou relaii se obine :

12b

2T

=

=

Perioada oscilaiilor, T, se determin din relaia :

21

4T

2T

+

=

=

x Tb

O t

T

Fig. 2.1.7

2.1.4.3. Compunerea oscilaiilor armonice perpendiculare cu pulsaii egale

Presupunem dou oscilaii perpendiculare descrise de ecuaiile :

)t(cosAy)t(cosAx

2211

+=+=

(2.1.43)

Traiectoria unui punct material supus simultan acestor oscilaii se obine eliminnd timpul dincele dou ecuaii (2.1.43). Scriind cele dou ecuaii sub forma :

111

sin.tsincos.tcosA

x=

222

sin.tsincos.tcosA

y=

rezult prin eliminarea succesiv a lui cos t i sin t :

( )211212

21

cos.sincos.sintsincosA

ycos

A

x=

( )122112

21

sin.cossin.costcossinA

ysin

A

x=

2A0

- 2A0


27/108

23

Ridicnd ultimele relaii la ptrat i adunndu-le se obine :

=

+

)(sinsin

A

ysin

A

xcos

A

ycos

A

x12

22

12

21

2

12

21

)(sin)(cosAA

xy2

A

y

A

x12

212

2122

2

21

2=+ (2.1.44)

P A2 M

-A1 A1

N -A2 Q

a bFig. 2.1.8

Traiectoria punctului material descris de ecuaia (2.1.44) reprezint o elips de semiaxe A1iA2, cu centrul n originea sistemului de axe de coordonate xOy, nscris ntr-un dreptunghi de laturi2A1i 2A2. Forma elipsei depinde de defazajul = 2 - 1 dintre cele dou oscilaii (fig. 2.1.8a).

Cazuri particulare

1o. Dac = 2 n ; n = 0,1,2,.. din (2.1.44) rezult ecuaia:

xA

A

y 1

2

= care reprezint dou drepte confundate situate n cadranele I i III (fig. 2.1.8 a). Oscilaiarezultant este polarizat liniar (diagonala MN a dreptunghiului n care este nscris elipsa)i are amplitudinea

22

21 AAA += .

2o. Dac = (2n +1) ; n = 0,1,2,.. din (2.1.44) rezult ecuaia unei drepte:

xA

Ay

1

2=

care reprezint diagonala PQ din cadranele II i IV a dreptunghiului n care este nscriselipsa. Oscilaia rezultant este de asemeneapolarizat liniar i are amplitudinea

22

21 AAA += .

3o. Dac = (2n +1)

2

, n = 0,1,2,.. din (2.1.44) se obine :

1A

y

A

x22

2

21

2=+ (2.1.45)

x

y

O

t+1

t+1

C2

C1

x

y

O


28/108

24

care este ecuaia unei elipse cu centrul n originea O a sistemului de axe de coordonate, alecrei axe coincid cu direciile de-a lungul crora se produc oscilaiile (fig. 2.1.8 b). Valorilediferenei de faz dau sensul de parcurs al traiectoriei.

Astfel:a) dacn este par(spre exemplu n=0):

)t(sinA)2

t(cosAy

)t(cosAx

1212

11

+=

++=

+=

i punctul material C1 (fig. 2.1.8.b) se mic pe traiectorie n sensinvers trigonometric i oscilaia estepolarizateliptic drept.

b) dacn este impar(spre exemplu n=1):

)t(sinA)2

3t(cosAy

)t(cosAx

1212

11

+=

++=

+=

i punctul material C2 (fig. 2.1.8.b) se mic pe traiectorie n senstrigonometric i oscilaia estepolarizateliptic stng.

Din relaia (2.1.45) dac A1 = A2 = A rezult222 Ayx =+ deci elipsa devine un

cerc nscris ntr-un ptrat de latur 2A.n concluzie, pentru egal cu numr ntreg de , elipsa degenereaz ntr-o dreapt.

Dac 0


29/108

25

Figurile Lissajous pot fi nchise sau deschise dup cum este sau nu este ndeplinitcondiia ca punctul ce oscileaz s treac printr-un acelai punct P(x1, y1) dup un acelaiinterval de timp T, adic:

1111111111 )'Tt(cosA)Tkt(cosA'xx ++=++=

2222222211 )'Tt(cosA)Tkt(cosA'yy ++=++=

Deci dup intervalul de timp

T = 11Tk = 22Tk

valorile elongaiilor x i y se vor repeta, cci n acest interval de timp se efectueaz k1 oscilaiicomplete dup axa Ox i k2 oscilaii complete dup axa Oy.

Rezult condiiile:

22

11

k2

k2

'T

=

=

sau :

2

1

2

1

k

k=

adic, pentru ca figurile Lissajous s fie curbe nchise trebuie ca raportul pulsaiilor celor douoscilaii s fie un numr raional.

Fig. 2.1.10

Aplicnd cele dou oscilaii pe plcile unui osciloscop catodic se observ pe ecranulacestuia o figur stabil nchis numai atunci cnd raportul dintre numrul punctelor de contactale figurii Lissajous cu o linie orizontal i una vertical care ar nchide figura este un numrraional (exemple n fig. 2.1.10).

Dac raportul frecvenelor este un numr raional, traiectoria e stabil (fix) dar

forma depinde i de .Dac

2

1

Q atunci punctul descrie o curb care acoper treptat o arie.

2

1

2

1 =

3

1

2

1 =

32

2

1 =

0=

4/= 2/= 4/3= =


30/108

26

2.2. UNDE ELASTICE

2.2.1. Generaliti

Mediile continue sunt sisteme de particule legate (molecule, atomi, ioni), adicparticule care interacioneaz ntre ele astfel nct dac una din particule oscileaz, vor osciladup ea i particulele vecine. O micare oscilatorie, imprimat unui punct dintr-un mediuelastic, se comunic progresiv i celorlalte puncte ale mediului. Punctul material ce a fost pus n stare de vibraie devine un izvor (surs) de oscilaii care se propag n toate direciile dinspaiu. Propagarea din aproape n aproape a unei perturbaii n mediul elastic poart numelede und elastic.

Mediile care determin anumite particulariti ale propagrii undelor pot fi clasificateastfel:

- omogene sau neomogene;- izotrope sau anizotrope;- liniare sau neliniare;- dispersive sau nedispersive;- conservative sau disipative.

Un mediu este : omogen dac proprietile fizice sunt aceleai n orice punct, independent de

coordonate;anizotrop dac proprietile fizice variaz n raport cu direcia i izotrop dac nu

exist direcii privilegiate pentru aceste proprieti; liniar dac perturbaia global provenit prin suprapunerea mai multor unde de

acelai tip, descrise de funciile de und1, 2,..., n, este redat de o funcie de und:

==

n

1ii ;

dispersiv dac viteza de propagare a perturbaiei depinde de caracteristicilemediului;

disipativ dac propagarea se face cu absorbie de energie i conservativ dacpropagarea nu se face cu absorbie de energie.

Un mediu este ideal dac este omogen, izotrop, liniar, nedispersiv i conservativ.Undele elastice sunt generate n medii elastice de ctreperturbaii mecanice care constau

ntr-o deformare local a mediului (ntindere, comprimare, forfecare, ncovoiere etc.) producndvariaia local a diferiilor parametri caracteristici mediului, de exemplu poziia unui punctmaterial din mediu, viteza acestuia, presiunea, densitatea etc., care vor fi funcii att de poziie, cti de timp. Vom considera n continuare numai medii ideale, ale cror proprieti elastice suntcaracterizate de dou constante elastice independente: modulul de elasticitate la traciune(modulul lui Young) Ei modulul de lunecare(forfecare) G.

Locul geometric al punctelor din mediul elastic care oscileaz n faz se numetesuprafa de und. Suprafeele de und pot fi de diferite forme (sferice, plane, cilindrice,eliptice etc.), n funcie de mediul de propagare i de forma izvorului de unde. Dac toateparticulele situate ntr-un plan perpendicular pe direcia de propagare a undei oscileazidentic, unda se numeteplan.

Unele dintre mrimile fizice caracteristice punctelor mediului sunt scalare, de exemplu

presiunea sau densitatea, altele sunt vectoriale, de exemplu deplasarea sau viteza, iar n mediileanizotrope, unele mrimi pot fi tensoriale. O mrime vectorial caracteristic propagrii unei unde

elastice oscileaz dup o direcie care formeaz un unghi

2,0 cu direcia de propagare a

undei.


31/108

27

n particular, dac = 0 undele se numesc longitudinale, iar dac2

= undele se

numesc transversale. Pentru

2,0 unda se poate descompune ntotdeauna ntr-o und

longitudinali o und transversal.O caracteristic important a undelor elastice este deplasarea fiecrui punct material al

mediului fa de poziia lui de echilibru. Referindu-ne la aceast mrime, n cele ce urmeaz vomvorbi despre unde longitudinale i despre unde transversale. n timp ce undele longitudinale sepropag att n fluide (lichide i gaze), ct i n solide, undele transversale nu se propag dect nsolide i numai n anumite condiii la suprafaa lichidelor.

Un caz particular de unde elastice l constituie undele sonore (sunete) care impresioneazurechea producnd o senzaie auditiv. Apariia acesteia presupune o durat a excitaiei superioarla 0,06 s (altfel se produce senzaia de pocnet), o frecven cuprins ntre aproximativ 20 Hz i 16kHz (limitele variaz).

Undele elastice cu frecvene mai mari de 16 kHz, neaudibile, sunt numite ultrasunete.Datorit lungimii de und foarte redus, efectele de difracie ale ultrasunetelor se manifest numai

la dimensiuni foarte mici ale neomogenitilor mediului, astfel nct orificii cu dimensiuni deordinul mm pot delimita fascicule direcionale de ultrasunete. Corobornd acest efect cuintensitile apreciabile care se pot realiza, ultrasunetele prezint numeroase aplicaii practice (2.2.10).

Infrasunetele sunt unde elastice cu frecvene mai mici de 20 Hz. Avnd o absorbieextrem de redus, se propag pe distane de sute sau mii de km. Infrasunetele pot determinavibraii ale postamentelor mainilor i ale cldirilor, cu efecte nedorite asupra stabilitii i durateide serviciu. Infrasunetele sunt produse de diverse fenomene naturale: furtuni, mari meteorii, valurimarine, explozii vulcanice, microseisme, cutremure. Apar i ca efecte secundare n tehnic,asemenea, surse fiind sisteme cu rotaii lente (compresoare, ventilatoare), poduri supuse la traficintens, vehicule cu viteze supersonice, explozii puternice.

2.2.2. Ecuaia undei plane monocromaticeS gsim legea de oscilaie a unui punct aflat pe direcia de propagare a undei, la o

distan oarecare de izvorul de oscilaie.Fie punctul O (centrul de oscilaie) originea sistemului de coordonate, n careoscileaz o particul. Aceste oscilaii se transmit mediului elastic pe direcia Ox, oscilaiileproducndu-se perpendicular pe aceast direcie (fig. 2.2.1). Orice form ar avea unda, pentruca fenomenul vibrator din O s nceap i n punctul P, aflat la distan a x de O, trebuie s

treac un interval de timpv

x= (interval de defazare) necesar oscilaiei s se transmit din O

n P.Elongaia particulei din O este de forma:

Oy = A sin t

Lund ca origine a timpului momentul n care punctul O a nceput s oscileze,particula din punctul P va ncepe s oscileze dup timpul , elongaia oscilaiei fiind :

=

==

v

xt

T

2sinA

v

xtsinA)t(sinAy

sau

=

x

T

t2sinAy (2.2.1)

unde = v T

este lungimea de und, definit ca distana parcurs de suprafaa de und n timp de o perioad .


32/108

28

yP

O x

x

Fig. 2.2.1

Relaia (2.2.1) d legea de oscilaie a unui punct material situat pe direcia de propagare aundelor, la distana arbitrar x de originea oscilaiilor i se numete ecuaia undei plane.

Diferena de faz fa de oscilaiile din punctul O este :

xkx2=

= ,

unde

= 2k (2.2.2)

este numrul de und definit ca numrul de lungimi de und cuprinse n distana de 2 metri.Ecuaia (2.2.1) se scrie astfel :

)xkt(sinAy = (2.2.3)

Deoarece elongaia y depinde att de poziie ct i de timp, intereseaz legtura dintrecele dou variabile ale elongaiei. Folosind un calcul simplu, se poate ajunge la alt form aecuaiei undei plane. Considernd axa Ox drept direcie de propagare, se calculeaz derivatele deordinul al doilea ale elongaiei y n raport cu coordonata x i cu timpul :

)xktcos(At

y=

y)xkt(sinA

t

y 222

2==

de unde rezult

2

2

2 ty1y

= (2.2.4)

i de asemenea

)xkt(cosAkx

y=

yk)xkt(sinkA

x

y 222

2==

de unde :

2

2

2 x

y

k

1y

= (2.2.5)

Egalnd (2.2.4) cu (2.2.5) rezult:

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2 x

y

kt

y

x

y

k

1

t

y1

=

=

sau, innd cont de (2.2.2) i de relaiile = 2/T

i = v T,


33/108

29

2

22

2

2

x

yv

t

y

=

(2.2.6)

care este ecuaia diferenial de propagare a undelor plane. Relaia (2.2.3) este un caz particularal soluiei ecuaiei cu derivate pariale (2.2.6).

2.2.3. Propagarea undelor longitudinale n soliden continuare s stabilim ecuaia de propagare a undei longitudinale plane n medii solide

i s gsim viteza undelor longitudinale n aceste medii.S admitem c de-a lungul unei direcii oarecare se gsesc repartizate uniform particulele

care constituie mediul elastic. Dac o perturbaie atinge prima particul, aceasta se va apropia departicula vecin, producndu-se astfel o comprimare. n acest caz apar fore elastice, care tind sreaduc particulele la poziia iniial. Datorit acestui fapt, n locul n care a avut loc comprimarease produce o dilatare i aa mai departe. Rezult, deci, c propagarea undelor longitudinale se faceprin comprimri i dilatri (rarefieri) succesive.

a) Deformaiile n unda longitudinal n solide

Considerm c undele longitudinale se propag ntr-o bar pe direcia Ox. Fie (x,t)deformaia elasticrelativla momentul t din planul transversal P(x) care are poziia de echilibru x(fig. 2.2.2). Pentru a calcula aceast deformaie relativ considerm, pe lng planul P(x), un planinfinit apropiat Q(x+dx). Coordonatele x i x+dx reprezint poziiile de echilibru (de repaus) aleparticulelor din planul P respectiv Q astfel nct segmentul PQ = dx reprezint grosimeanedeformata stratului.

Sub aciunea undei la momentul t particulele din planul P(x) au elongaia (x,t) i decisunt deplasate n planul P' care are coordonata x+(x,t) iar particulele din planul Q (x+dx) se vordeplasa n planul Q' de coordonat x+dx+(x+dx, t) deoarece elongaia particulelor din punctulinfinit vecin Q (x + dx) este :

dxx

)t,x()x()t,dxx(

+=+ (2.2.7)

Fig. 2.2.2 Fig. 2.2.3

Grosimea stratului iniial (nedeformat) PQ = dx devine la momentul t egal cu :)t,x()t,dxx(dx'PP'QQPQ'Q'P ++=+=

sau, innd cont de (2.2.7) :

+=

+= x1dxdxxdx'Q'P

Alungirea absolut va fi

dxx

PQ'Q'P

==

iar cea relativ

x dx (x + dx, t)

(x, t)

O P(x) Q(x+dx) P Q x

dx

+

x1dx

dmS0

n prezenaundei

(x,t) (x+dx,t)


34/108

30

dxPQ

=

=

adic:

x)t,x(

= (2.2.8)

Deci, cunoscnd elongaia (x,t) din unda longitudinal, prin derivarea acesteia n raportcu coordonata x obinem deformaia elastic ale mediului .

Cealalt derivat parial a elongaiei, n raport cu timpul, reprezint viteza particulelordin und :

=

=

tv (2.2.9)

b) Viteza undelor longitudinale n solidePentru a deduce viteza de propagare a undelor vom stabili mai nti ecua ia undelor.

Pentru aceasta vom considera un element de mas dm din solid (spre exemplu o bar), de lungimedx i de volum dV (fig. 2.2.3) pentru care vom scrie ecuaia fundamental a dinamicii, dF = dm . a,

unde acceleraia este

2

2

tva

==

iardm=0 S0 dx,

0 fiind densitatea n absena undei:

2

2

00t

dxSdF

= (2.2.10)

Vom considera c deformaiile elastice sunt mici i c este valabil legea lui Hooke.

Cunoscnd elongaiile (x,t) din und, prin derivare obinem deformaiile relativex

)t,x(

=

(conform relaiei 2.2.8) iar de aici, aplicnd legea lui Hooke ob inem tensiunea elastic (efortul

unitar):

xE)t,x(E

S

)t,x(F)t,x(

0

=== (2.2.11)

unde F(x,t) este fora deformatoare iar E modulul lui Young.n prezena undei stratul considerat va fi supus unei fore suplimentare i deplasat la un

moment ulterior ntre coordonatele x + (x,t) i x+dx + (x + dx, t). Dac pe seciunea de lacoordonata x acioneaz fora Fx = (x,t) S0 iar pe cea de la coordonata x+dx fora Fx+dx =(x+dx,t) S0 , fora rezultant va fi:

000 S.dxxS).t,x(S)t,dxx(dF

=+=

unde tensiunea )t,dxx( + s-a dezvoltat n serie Taylor cu limitare la primii termeni:

dxx

)t,x()t,dxx(

+=+

Conform legii fundamentale a dinamicii (2.2.10) rezult:

2

2

000t

dxSa.dmSdxx

dF

==

=

de unde se obine:


35/108

31

2

2

0tx

=

(2.2.12)

Dar din (2.2.11) rezult :

2

2

xE

x

=

i (2.2.12) devine :

2

2

02

2

2

2

02

2

x

E

ttxE

=

=

(2.2.13)

Relaia (2.2.13) reprezintecuaia undelor longitudinale n solide, care se scrie i sub forma :

2

22

2

2

xv

t

=

(2.2.13)

unde2

0 v

E=

are dimensiunea unei viteze la ptrat. Rezult astfel viteza undelor longitudinale n solide :

=

Evs (formula lui Newton) (2.2.14)

2.2.4. Propagarea undelor longitudinale n fluide

Fie un cilindru de fluid cu seciunea S n direcia de propagare a undei longitudinale (deexemplu o und sonor), analog barei din paragraful precedent (fig. 2.2.4). Presupunem c S nu seschimb n prezena undei deoarece fluidul este nchis ntr-un tub rigid. Considerm c0 estedensitatea fluidului n absena undei i densitatea actual (variabil).

dm dm

p(x,t) p(x+dx,t)

0 S

x x+dx x+ x+dx++ dxx

Fig. 2.2.4

Elementul de mas dm de fluid este :

+== dx

xdxSdxSdm o

de unde rezult

=

+

=

x1

x1

x1

x1

02

00

variaia relativ a densitii fiind :


36/108

32

xo

o

o

=

=

Pentru undele obinuiteo


37/108

33

=

=

pp

V

mK

deci pentru un proces adiabatic

adad

pK

=

Viteza undelor longitudinale n fluide va fi:

= adf

Kv

.

n cazul propagrii undelor longitudinale n gaze ideale Kad se calculeaz folosind ecuaialui Poisson pentru transformarea adiabatic, pV = const. (unde este exponentul adiabatic), careprin logaritmare i difereniere devine:

0V

Vd

p

pd.constVlnpln =+=+

de unde :

pKVp

Vp

adad

==

i astfel, pentru un gaz cu masa molar i temperatura absolut T:

=

=

RTpvg

sau, n funcie de temperatura (n 0C):

+= 1vv 0g

unde 0v este viteza undelor n condiii normale de presiune i temperatur iar este coeficientul

de dilataie a gazelor.

2.2.5. Propagarea undelor transversale n solide

O und elastic transversal se obine, n anumite condiii, numai n medii solide.Considerm c undele transversale se propag ntr-o bar elastic. Fora rezultant asupraelementului de mas dm din bar (fig. 2.2.5) este transversal pe direcia de propagare, fiind datde diferena tensiunilor elastice tangeniale,

)t,x(dxx

)t,x()t,x()t,x()t,dxx(d

+=+= ,

datorit alunecrii straturilor (forfecrii):

dSdxx

dS)t,x(dxx

)t,x()t,x(dF

=

+= (2.2.15)

Dar, conform legii lui Hooke pentru deformaia de forfecare, tensiunea tangenial esteproporional cu deformaia unghiular, constanta de proporionalitate fiind modulul de torsiune(forfecare) G :

x.G.G

== (2.2.16)

unde s-a nlocuit unghiul n radiani n funcie de deformaia transversal a stratului, :

dx

dtg

= .


38/108

34

ddx

x x+dx x

Fig. 2.2.5

Astfel, innd cont de (2.2.16), expresia forei rezultante (2.2.15) devine :

dS.dx.x

GdF 2

2

=

i egalnd dF cu :

2

2

2

2

tdSdx

tdmdF

=

=

rezult :

2

2

2

2

x

G

t

=

(2.2.17)

care reprezint ecuaia de propagare a undelor transversale n bar i care se mai scrie subforma:

2

22

t2

2

xv

t

=

unde :

=

Gv t (2.2.18)

reprezintviteza undelor transversale n bar.

t

t

F Fig. 2.2.6

Deoarece G < E, viteza undelor transversale este mai mic dect cea a undelorlongitudinale pentru acelai mediu solid (G 0,4 E pentru metale i rezult c vt 0,62. v ).

Inegalitatea se pstreazi n cazul propagrii undelor n medii nemrginite (de exemplu scoara

dm

+d

dS

(x,t) (x+dx,t)


39/108

35

terestr) i aceast deosebire sensibil n vitezele de propagare ale celor dou tipuri de unde estefolosit n seismologie pentru determinarea poziiei epicentrului cutremurelor (fig. 2.2.6). Lasuprafaa pmntului nti sosete unda longitudinal care apare ca o vibraie (trepidaie) a

podelei apoi, dup un anumit timp (de ordinul secundelor), sosete unda transversal t careapare ca o vibraie sau oscilaie orizontal (legnare).

2.2.6. Ecuaia coardei vibranteVom considera o coard elastic (un fir a crui seciune este mic pentru ca rezistena lui

la ncovoiere s fie foarte redus, fixat la capete i supus unei tensiuni), aezat n stareaneperturbat, dar tensionat, de-a lungul axei Ox; astfel problema va fi tratat n cazul simpluunidimensional.

Un element de coard de lungime dx este scos din poziia de echilibru de ctre o fordirijat pe direcia Oy, perpendicular pe axa Ox (fig. 2.2.7).

y F

d

dx

F

x x+dx x

Fig. 2.2.7

Atunci centrul de mas al acestui element este deplasat cu fa de poziia de echilibru.Lsat liber, elementul de coard va reveni spre poziia de echilibru, executnd oscilaiitransversale, deci deplasarea depinde de timp. Dar perturbaia acestui element din coard se

propag de-a lungul lui x, antrennd i restul corzii; rezult de aici c = (x, t).Asupra elementului considerat acioneaz forele F, care fac unghiurile i +d cuaxa Ox. Micarea corzii efectundu-se n planul xOy, se proiecteaz forele pe aceste axe.Componenta pe axa Ox a celor dou fore este :

[ ]+= cos)d(cosFFx (2.2.19)

Dup dezvoltarea n serie a funciei cosinus innd seama c unghiurile i + d auvalori foarte mici, se obine :

Fx = 0Rezultatul era de ateptat, ntruct coarda, acionat iniial de o for pe direcia Oy, nu sedeplaseazi pe direcia Ox.

Componenta pe direcia Oy este:[ ]+= sin)d(sinFFy (2.2.20)

i nlocuind

xxtgsin

=

i

....dxx

.xxx

)d(sinxxdxx

+

+

=

+

+

rezult din (2.2.20):

+d


40/108

36

dxx

FF2

2

y

= (2.2.21)

Dac se exprim fora yF n funcie de tensiunea tangenial i aria A a seciunii corzii seobine:

dxx

AF2

2

y

=

Pe de alt parte, fora yF produce micarea accelerat a elementului de coard :

2

2

2

2

yt

dxAt

mdFd

=

=

i din cele dou expresii ale forei yF obinem ecuaia undei transversale unidimensionalen

coard:

2

2

2t

2

2

t.v

1

x

=

(2.2.22)

cu notaia :2tv=

(2.2.23)

unde

=tv (2.2.24)

este viteza de propagare a undelor transversale prin coard.Dac n relaia (2.2.21) nu se nlocuiete tensiunea F din coard, se obine din egalitatea

componentelor yF :

2

2

2

2

x.dx.Ftmd

=

de unde rezult

=

=

F

dx

dm

Fv2t

sau

=

Fv t (2.2.24)

undedx

dm= este masa unitii de lungime a coardei.

2.2.7. Ecuaia undelor ntr-un mediu ideal

2.2.7.1. Ecuaia diferenial a undelorNe propunem s gsim o ecuaie de propagare a undelor n urmtoarele condiii:- mediul este ideal adic omogen, izotrop, liniar, nedispersiv i conservativ;- izvorul de unde produce mici oscilaii (perturbaii) n jurul poziiei de echilibru.Indiferent de natura perturbaiei, sau de caracterul matematic al mrimii perturbate

exprimat prin funcia de und (notat cu n cazul undelor longitudinale i cu n cazul


41/108

37

celor transversale), care variaz n raport cu coordonatele spaiale i cu timpul, propagareaperturbaiei se poate descrie cu o aceeai teorie matematic. n consecin, n acest paragraf, nevom ocupa numai de propagarea perturbaiei, fr a specifica natura acesteia. Mediul fiind ideal,

diversele unde se comport la fel i deci ecuaia de propagare are aceeai form (2.2.3 2.2.6).Generalizarea datelor experimentale conduce la postularea urmtorului tip de ecuaie diferenial :

2

2

22

2

2

2

2

2

tv

1

zyx

=

+

+

(2.2.25)

n care v este o constant cu dimensiunile unei viteze, a crei valoare depinde de caracteristicilemediului i ale undei.

Utiliznd operatorul laplacean (relaia A.1.33, anexa A1), ecuaia undelor capt formacondensat :

2

2

2 tv

1

= (2.2.26)

sau, notnd cu

= 2

2

2 tv

1

(2.2.27)

operatorul lui d Alembert, rezult ecuaia:= 0 (2.2.28)

Ulterior se va vedea c, n medii ideale, pentru diferite tipuri particulare de unde elasticesau electromagnetice, prin analiza propagrii perturbaiei date, se obin ecuaii de forma (2.2.25),care permit totodati stabilirea dependenei vitezei v de proprietile mediului.

2.2.7.2.Unda planNe propunem s integrm ecuaia diferenial (2.2.25) n cazul n care funcia are

aceeai valoare n oricare punct al unui plan (y, z). Atunci :

2

2

22

2

tv

1

x

=

(2.2.29)

n teoria ecuaiilor cu derivate pariale se arat c o soluie general a ecuaiei (2.2.29)este o funcie arbitrar care depinde de x i t numai prin intermediul unei combinaii liniare iomogene a acestor variabile. Astfel, soluia general este :

++

= t

v

xgt

v

xf (2.2.30)

sau

++

=

v

xtG

v

xtF (2.2.30)

n care fi g sau F i G sunt dou funcii arbitrare. Soluia

t

v

xf din (2.2.30) reprezintunda

progresiv, care se propag de la sursa S a undei (fig. 2.2.8) spre punctul de observaie. ntr-adevr, pentru acele valori ale variabilelor x i t care satisfac relaia :

.consttvx = (2.2.31)

funcia are o aceeai valoare. n particular, la momentul t = 0, n punctul x = x0 notm

oo f

v

xf =

. La momentele ulterioare, t > 0, valoarea f0 a funciei va fi regsit numai n acele

puncte care satisfac condiia (2.2.31):


42/108

38

.constv

xt

v

x o ==

sau

0o f

v

xft

v

xf =

=

deci pentru puncte a cror coordonat este x > x0.

v

t=0 t=t

S x0 v.t x

x

Fig. 2.2.8

De aici rezult urmtoarele :1o perturbaia se propag de la surs n sensul pozitiv al axei Ox, ceea ce justific

denumirea de undprogresiv;

2o raportulv

xx o reprezint timpul necesar ca unda s strbat distana x x0i, prin

urmare,3o constanta v reprezint viteza de propagare a perturbaiei. n acest paragraf se va preciza

semnificaia vitezei v ca vitezde faz.

Soluia

+ t

vxg din (2.2.30) reprezintunda regresiv; un raionament analog cu acela

fcut mai sus arat c pentru valori cresctoare ale timpului, coordonata x trebuie s scad, oanumit valoare a funciei propagndu-se de la punctul de observaie spre surs, n sensul negatival axei Ox.

Cazul cel mai des ntlnit n practic fiind acela al undelor progresive, din expresia

(2.2.30) vom reine numai soluia particular

t

v

xf . n ceea ce privete forma acestei funcii,

ne limitm deocamdat la unda armonic. Dac perturbaia din surs variaz cu timpul ca unoscilator armonic i dac mediul este ideal, atunci funcia care verific ecuaia (2.2.29) i carereprezintunda armonic plan, poate fi de forma:

+

= oc t

v

xcosAf (2.2.32)

sau, dac se pornete de la expresia (2.2.30):

+

= oc v

xtcosAf (2.2.33)

n care A, i o sunt constante. De asemenea, soluia :


43/108

39

+

= os tv

xsinAf (2.2.34)

reprezint o und armonic plan. Dup cum se tie, orice combinaie liniar a soluiilorparticulare este o soluie a ecuaiei difereniale liniare (2.2.29). Lund suma:

sc fif +=

se obine funcia :

+

=otv

xi

eA (2.2.35)

sau

+

=ov

xti

eA (2.2.36)

care reprezint unda armonic plan; pentru comoditatea calculelor preferm forma (2.2.35) sau(2.2.36), n locul formulelor (2.2.32) i (2.2.34), care modeleaz fenomenele reale.

Mrimile caracteristice undei armonice planesunt:

1o

. Faza undei, definit ca argumentul cosinusului din expresia (2.2.32), este o funcie decele dou variabile, x i t :

otv

x)t,x( +

= (2.2.37)

2o. Faza iniial0 , care, aa cum arat numele, este :)0,0(o = (2.2.38)

3o. Suprafaa de und, sau suprafaa echifaz, este suprafaa pe care faza are aceeaivaloare la un moment dat. Evident, datorit faptului c de la nceput s-a pus condiia ca funcia s nu depind de y i z, suprafaa de und a undei armonice plane nu poate fi dect un plan,

perpendicular pe direcia Ox. Notm cu x1

versorul direciei de deplasare a planelor echifaz, iar

cu x distana de la un plan origine la planul care conine punctul de observaie.4o. Viteza de faz, prin care se nelege viteza cu care se deplaseaz suprafaa de und pe

direcia normalei la suprafaa de und.Fie o suprafa de und caracterizat de o anumit valoare a fazei (2.2.37),

(x, t) = const.Difereniind aceast expresie se obine :

td

xdv = (2.2.39)

de unde rezult semnificaia constantei v ca vitez de faz. Se observ c planele echifaz sedeplaseaz n sensul valorilor cresctoare ale lui x.

5o. Frecvena unghiular , sau pulsaia, mrime constant care exprim viteza devariaie a fazei :

t

= (2.2.40)

6o. Vectorul de und k

, al crui modul este definit astfel :

vxk =

= (2.2.41)

deci k este numrul de und(2.2.2). ntruct versorul x1

este normal la planele echifaz, vectorul

xkk 1v1

v1.kk

=

== (2.2.42)

are aceeai direcie i acelai sens cu direcia i sensul de propagare a suprafeelor de und.


44/108

40

7o. Intensitatea undei luat prin definiie ca produsul dintre expresia complex conjugat* a funciei i funcia nsi :

= *I (2.2.43)

sau, innd seama de expresia (2.2.35) :2AI = (2.2.44)

8o. Amplitudinea undei poate fi obinut din relaiile (2.2.43) i (2.2.44):2/1)*(A = (2.2.45)

Aceast mrime reprezint valoarea maxim a funciei din (2.2.32) i (2.2.34).Mrimile 7oi 8o definite mai sus sunt constante n cazul undei armonice plane, care se

propag ntr-un mediu ideal. Dac ns mediul nu este ideal, sau forma suprafeei de und nu esteun plan, aceste mrimi nu mai rmn constante.

Utiliznd expresia vectorului de und (2.2.42), funcia de und dat de (2.2.36) se scrie :)xkt(i 0Ae

+= (2.2.46)

iar partea ei real este :)xkt(cosARe 0+=

Observm c o und armonic plan reprezint un concept idealizat, deoarece nici o sursreal nu poate fi uniform distribuit ntr-un plan i deci infinit. n subparagraful urmtor se aratn ce caz o und sferic poate fi aproximat printr-o und plan.

Dac trecem la un sistem de coordonate carteziene (x, y, z), orientate arbitrar fa de caredirecia de propagare are cosinusurile directoare cos , cos i cos , ntruct :

++= coszcosycosxr

i++= coskzcoskycoskxrk

observnd ck.cos = kx ; k.cos = ky ; k.cos = kz,

obinem relaia precedent ca un produs scalar :

zyx kzkykxr.k ++=

.

Atunci soluia ecuaiei (2.2.25), n cazul unei unde armonice plane este :)r.kt(i oeA)t,z,y,x(

+=

(2.2.47)

2.2.7.3. Unda sferic.Vom cuta soluia ecuaiei undelor produse de o surspunctiform situat ntr-un mediu

ideal; n acest caz suprafeele de und sunt sfere, iar unda se numete sferic. Datorit simetrieisferice este comod s se exprime funcia i operatorul laplacean (A.1.38) n coordonatele sferice(r, , ), a cror legtur cu coordonatele carteziene (fig. 2.2 9) este:

x = r.sin.cos

y = r.sin.sin (2.2.48)

z = r.cos

ecuaia undelor (2.2.26) scriindu-se explicit:

Fig. 2.2.9x

y

z

z

x

y

Or


45/108

41

2

2

22

2

22

2 t.

v

1.

sin

1sin.

sin

1

rr

rr

1

=

+

+

(2.2.49)

Se observ ns, c lund originea O n surs (r = 0), funcia de und nu mai depinde de variabilele i , trecerea de la o sfer la alta fcndu-se numai prin varierea lui r sau t. Astfel, ecuaia(2.2.49) se reduce la :

2

2

22

2 t.

v

1

rr

r.

r

1

=

(2.2.50)

Deoarece:

)r(r

.r

1

rr

r.

r

12

22

2

=

ecuaia (2.2.50) devine :

2

2

22

2

t.

v

r)r(

r

=

(2.2.51)

Notnd r = u se obine o ecuaie formal identic cu (2.2.29),

2

2

22

2

t

u.

v

1

r

u

=

(2.2.52)

a crei soluie este de forma (2.2.30) :

),0(r,v

rtG

v

rtFu

++

=

de unde:

++

=

v

rtG

v

rtF

r

1(2.2.53)

semnificaia funciilor F i G fiind aceeai ca n subparagraful precedent.Limitndu-ne la o und armonicprogresiv, soluia (2.2.53) se scrie:

)r.kt(iv

rti

o0

er

Ae

r

A +

+

==

Vectorii ri k

sunt coliniari n fiecare punct, deoarece originea este n surs. Notnd amplitudinea

undei sferice A / r = (r), se constat c aceasta depinde de distana dintre punctul M n care seobserv perturbaia produs de undi punctul O n care este plasat sursa undei. Dac distana reste mult mai mare dect dimensiunile domeniului D din jurul punctului M (fig. 2.2.10) atunciraportul 1/ r poate fi considerat constant, ceea ce conduce la o valoare constant a amplitudinii .Depinznd deci de raportul dintre distana r i dimensiunile domeniului de observaie, o undsferic poate fi aproximat printr-una plan.

r MO D

Fig. 2.2.10


46/108

42

2.2.8. Interferena undelor elastice. Unde staionareFenomenul de suprapunere a dou sau mai multe unde ntr-un punct al unui mediu elastic

se numete interferen. Pentru studiul acestui fenomen se utilizeazmetoda compunerii micilor

oscilaii, care const n faptul c micarea punctului material n care are loc interferena este datde rezultanta micrilor de mic amplitudine impuse acestui punct de fiecare und n parte(principiul independenei aciunii forelor).

Pentru ca dou unde se interfere trebuie s fie coerente adic diferena de faz s semenin constant n timp i s aib aceeai frecven.

Considerm dou unde elastice coerente care provin de la dou surse coerente aflate ladistanele x1i x2 de punctul P din mediul elastic (fig. 2.2.11).

Presupunem c elongaiile celor dou unde sunt pe aceeai direcie i c au aceeaiamplitudine ( oA ) i pulsaie:

=

=

2o2

1o1

x

T

t2cosAy

x

T

t2cosAy

Fig. 2.2.11

Din compunerea aciunii undelor rezult:

+

+

=+= 2121o21

x

T

tx

T

t

2

2cos.

x

T

tx

T

t

2

2cosA2yyy

+

=

2

xx

T

t2cos

xxcosA2y 2112o

= 0tT

2cosAy (2.2.54)

unde

=

)xx(cosA2A 12o (2.2.55)

i

+=

+= 2121o

xx

2

xx2

sunt amplitudineai respectivfaza iniiala micrii oscilatorii rezultante.Din (2.2.55) rezult c amplitudinea micrii rezultante este funcie de diferena de drum

x = x2 x1 dintre cele dou unde.Amplitudinea rezultant va avea valoarea maximcnd:

2n2xxx

2n2

xx1

xxcos 12

1212 ==

=

=

i va avea valoarea minimcnd:

( ) 2)1n2(xxx21n2xx0xxcos 121212+==+=

=

Punctele cu amplitudine maxim se numesc ventrei le corespunde o diferen de drum

egal cu un numr par de2

n timp ce punctele de amplitudine minim se numesc noduri i le

corespunde o diferen de drum egal cu un numr impar de2

.

S2

S1

x

x2

x1P


47/108

43

Fenomenul de interferen este frumos ilustrat de undele de suprafa care se formeaz peap la aruncarea simultan a dou pietricele, la o anumit distan ntre ele.

Un caz interesant de interferen se obine prin suprapunerea undei incidente cu unda

reflectat pe aceeai direcie. Cele dou unde au aceeai frecven (la reflexie nu se modificfrecvena) i diferena de faz (de drum) rmne constant n timp deci sunt coerente.Presupunem c reflexia se face pe un mediu cu densitate mai mare dect a celui n care

are loc propagarea. Notm cu Ox direcia undei incidente i cu AB suprafaa reflectant, situat ladistana de sursa de unde (fig. 2.2.12 a).

Izvorul de oscilaii O oscileaz dup legea :

T

t2cosAy oO =

n punctul M, situat la distana x de izvor, oscilaia este de forma:

=

x

T

t2cosAy o1

Oscilaiile ajungnd n N se reflecti ajungnd n M au elongaia :

=

x2

T

t

2cosAy o2

unde este ntrzierea de faz produs n urma reflexiei; pentru simplificare s-a considerat aceeaiamplitudine a undei reflectate cu a undei incidente, dei amplitudinea scade n urma reflexieideoarece o parte din energia undei se pierde prin transmis

Fizica_IEI_an1_sem1

Documents

Transcript of Fizica_IEI_an1_sem1