Sistem liniar neted. Cvartetul matricial (A, B, C, D) care satisface ecuaţiile

{ x=Ax+Bu ¿¿¿¿,

unde u∈U={u ( ¿ )|u (¿ ) : ℜ→ℜn}

continuă pe

porţiuni, x (t ) : ℜ→ℜn , y (t ) : ℜ→ℜn

, se numeşte sistem liniar neted şi invariant. Pentru

m>1 , p>1 , sistemul capătă şi atributul de multivariabil intrare-ieşire Pentru cazul SISO se particularizează în

{ x=Ax+bu¿ ¿¿¿,

unde b , c∈ℜn , d∈ℜ .

Sistem neliniar neted. Se numeşte sistem neliniar neted dinamica care satisface ecuaţiile

{ x=f (t , x , u ) ¿ ¿¿¿,

Sistemul neliniar se numeşte invariant dacă este asociat reprezentării

{ x=f ( x ,u ) ¿¿¿¿.

Sistem neliniar discret. Se numeşte sistem neliniar discret dinamica care satisface ecuaţiile

{x (t+1 )=f (t , x ,u ) ¿ ¿¿¿,

unde f şi g sunt funcţii vectoriale de n, respectiv p

componente (f : Ζ×ℜn×ℜm→ℜn,

g :Ζ×ℜn→ℜp) şi comanda

u∈U={u ( ¿ )|u (¿ ) :Ζ→ℜn }.

Echivalentul discret al unui sistem neted. Se defineşte echivalentul discret al sistemului neted cu extrapolator de ordin zero, sistemul descris de ecuaţiile

{x ( t+1 )=Ad x ( t )+bdu ( t ) ¿ ¿¿¿¿

¿,

cu t∈Ζ , şi cu reprezentarea structurală

Ad=eAh , bd=[∫0

h

eAθdθ ]bcd

T=cT , dd=d,

unde h este pasul de discretizare.

Sistem liniar discret. Cvartetul matricial (A, B, C, D), asociat reprezentării

{x ( t+1 )=Ax (t )+Bu ( t ) ¿¿¿¿,

se numeşte sistem liniar discret. Dimensiunile vectorului de stare şi ale matricelor sunt aceleaşi. Şi în acest caz, dacă matricele reprezentării sunt dependente de timp (

A ( t ) , B( t ) , C (t ) , D (t ); t ∈Ζ ), sistemul se defineşte ca liniar variant discret.

Discretizarea unu sistem liniar netedFie sistemul liniar neted monovariabil

{ x=Ax+bu ¿ ¿¿¿. Se consideră intervalul de

discretizare [kh (k+1 )h ] , şi se notează comanda

u (t )=uk=u (kh ) , ∀ t ∈ [kh (k+1 )h ],

care, după cum se observă, este constantă la valoarea

în punctul kh . Se exprimă soluţia traiectoriei de

stare (1. 2. 9) în punctul (k+1 )h , considerând

drept moment iniţial t o=kh

x [ (k+1 ) h ]=eAh x (kh )+ ∫kh

(k+1 ) h

eA [ (k+1 )h−τ ] buk dτ

. Se face schimbarea de variabilă

θ=(k+1 ) h−τ ,

pentru care dθ=−dτ cu limitele de integrare h, respectiv 0. Expresia traiectoriei se rescrie, ţinând cont că elementele constante ies în afara integralei, în

forma

x [ (k+1 ) h ]=eAh x (kh )+[∫0

h

eAθ dθ]buk

. Dacă se introduc notaţiile:

Ad=eAh , bd=[∫0

h

eAθ dθ ]b,

atunci

x [ (k+1 ) h ]=Ad x (kh )+bd u ( kh ),

iar a doua ecuaţie va fi

y (kh )=cT x (kh )+d u (kh ).

Controlabilitatea : unui sistem liniar discret.

Sistemul discret x ( t+1 )=Ax( t )+Bu( t ) , este controlabil în k-paşi sau perechea (A, B) controlabilă în k-paşi, dacă orice stare

x∈ χ⊂ℜn este controlabilă în k paşi.

Sistemul discret x ( t+1 )=Ax( t )+Bu( t )este controlabil în k-paşi dacă şi numai dacă

dim ℜk=n.

unui sistem liniar neted

Sistemul neted x ( t+1 )=Ax( t )+Bu( t )este controlabil, sau perechea (A, B) controlabilă, dacă

orice stare x∈ χ⊂ℜn este controlabilă.

Sistemul neted x ( t+1 )=Ax( t )+Bu( t )este controlabil dacă şi numai dacă

dim ℜ=n . Criteriul Hautus de controlabilitate: Perechea (A, B) este controlabilă în k-paşi dacă şi numai dacă

rang [λI−A B ]=n ,∀ λ∈C

(∀ λ∈σ (A )) .

Stabilizabilitatea :La fel ca şi controlabilitatea, proprietatea de stabilizabilitate vizează ecuaţia

x ( t )=Ax( t )+Bu( t ) , t∈ℜ , în cazul neted şi

x ( t+1 )=Ax( t )+Bu( t ) , t∈Z , în cazul discret.Această proprietate este legată de posibilitatea stabilizării unui sistem prin reacţie după stare.Sistem stabilizabil. Un sistem liniar, neted sau discret, este stabilizabil dacă există o matrice de

reacţie F∈ℜm×n astfel încât sistemul în circuit

închis să fie stabil. Condiţia de stabilitate este dată prin relaţia

σ (A+BF )⊂{ C− pentru sisteme netedeC(0,1 ) pentru sisteme discrete

Proprietatea de stabilizabilitate permite numai stabilizarea unui sistem prin reacţie după stare, fără o localizare precisă a polilor în regiunea de stabilitate.Stabilizarea unui sistem liniar Un sistem liniar neted sau discret este stabilizabil, dacă şi numai dacă partea necontrolabilă este stabilă.Şi în cazul proprietăţii de stabilizabilitate există un criteriu de apreciere (criteriul lui Hautus).Criteriul Hautus. O pereche (A,B) este stabilizabilă, dacă şi numai dacă

rang [λI−A B ]=n , ∀ λ∈C+, în

cazul sistemelor netede, şi

rang [λI−A B ]=n , ∀ λ∈C ¿ (0,1), în cazul sistemelor discrete.

Observabilitatea :Observabilitate sistem discret. Sistemul discret

{x ( t+1 )=Ax( t ) ¿ {¿¿¿¿este observabil în k-paşi, sau

perechea (C , A ) observabilă în k-paşi, dacă orice

stare x∈ χ este observabilă în k-paşi

Sistemul discret {x ( t+1 )=Ax( t ) ¿ {¿¿¿¿

este observabil în k-paşi dacă şi numai dacă

rangQ k=n.

Observabilitate sistem neted. Sistemul neted

{ x=Ax , x (0 )= xo ¿ {¿ ¿¿¿este observabil, sau

perechea (C , A ) este observabilă, dacă orice stare

x∈ χ este observabilă, sau singura stare

neobservabilă este x=0 .

Sistemul neted

{ x=Ax , x (0 )= xo ¿ {¿ ¿¿¿este

observabil dacă şi numai dacă

rangQ=n .

1

Criteriul Hautus de observabilitate. Perechea

(C , A ) este observabilă dacă şi numai dacă

rang¿ [ A−λI n ¿ ]¿¿

¿,

Cu ajutorul criteriului Hautus se obţine un rezultat

pentru perechea (C , A ) cu matricea C epică, utilizat în sinteza estimatoarelor de stare. Detectabilitatea:Sistem detectabil. Un sistem liniar neted sau discret este detectabil, sau perechea (C,A) este detectabilă,

dacă există matricea L∈ℜn×pastfel încât

σ (A+LC )⊂C−, în cazul neted, sau

σ (A+LC )⊂C (0,1) , în cazul discret.Detectabilitatea unui sistem liniar. Un sistem liniar neted sau discret este detectabil dacă şi numai dacă partea neobservabilă este stabilă.Ca şi în cazul proprietăţii de stabilizabilitate există un criteriu de apreciere a detectabilităţii (criteriul lui Hautus)

Criteriul Hautus. Perechea (C , A ) este detectabilă dacă şi numai dacă

rang¿ [ λI−A ¿ ]¿¿

¿,

pentru ∀ λ∈C+, în cazul neted, sau

pentru ∀ λ∈C ¿ (0,1) , în cazul discret.

2