Exercitiile AM

Exercitii de Analiza Matematica

October 1, 2015

1 Siruri si serii de numere reale

1.1 Sa se stabileasca daca sirul cu termenul generalxn = . . . este sau nu fundamental

1.1.1 Pentru a arata ca sirul este fundamental:

Pentru a arata ca sirul este fundamental:

(1) Se determina sirul (yn)n∈N astfel ıncat |xn+p − xn| ≤ yn pentru oricen, p ∈ N si lim

n→∞yn = 0.

1.1.2 Pentru a arata ca sirul nu este fundamental:

Pentru a arata ca sirul este convergent:

(1) Se arata sirul nu este marginit, sau

(2) Pentru orice n ∈ N se setermina p(n) ∈ N astfel ınct: limn→∞

|xn+p(n) − xn| 6= 0.

1.2 Sa se studieze convergenta sirului cu termenul gen-eral xn = . . .

1.2.1 Pentru a arata ca sirul este convergent:

(1) Se arata ca sirul este monotan si marginit, sau

(2) Se arata ca este sir fundamental.

1

1.2.2 Pentru a arata ca sirul nu este convergent:

(1) Se arata ca exista subsiruri ale sale cu limite diferite, sau

(2) Se arata ca nu este marginit, sau

(3) Se arata ca nu este fundamental.

1.3 Sa se determine limitele extreme ale sirului cu ter-menul general xn = . . .

(1) Se determina multimea punctelor de acumulare ale sirului dat, deter-minand limitele ın R ale subsirurilor componente;

(2) Se determina margineaa superioara si marginea inferioara a acesteimultimi.

1.4 Sa se studieze natura seriei∑

n≥0 xn unde xn = . . .

si sa se calculeze suma sa ın caz de convergenta

In exercitiile din aceasta categorie, sumele partiale au o expresie analiticasimpla si se poate realiza efectiv studiul convergentei sirului (sn)n∈N. Pentrurezolvare se procedeaza astfel:

(1) Se scrie sn

(2) Se prelucreaza sn, de exemplu prin descompunerea lui xn in fractii sim-ple sau prin utilizarea unor formule cunoscute, obtinandu-se o expresieanalitica simpla;

(3) Se studiaza convergenta sirului (sn)n∈N, determinand, daca exista, limitasa, care, daca este finita, reprezinta suma seriei.

1.5 Sa se studieze natura seriei generata de sirul xn =. . . , n ∈ N.

In aceast tip de probleme sumele partial nu au expresii analitice simple, iarstudiul direct al sirului (sn)n∈N nu este posibil. De aceea, pentru studiulseriei date, se ıncearca aplicarea unui criteriu de convergenta convenabil:

2

(1) Daca seria are toti termenii pozitivi, se ıncearca aplicarea unui criteriuadecvat pentru serii cu termeni pozitivi;

(2) Daca seria are termeni arbitrari, se studiaza convergenta absuluta;

(3) Daca seria este absolut convergenta, atunci este si convergenta, iar dacanu este absolut convergenta, nu se poate spune nimic, ın general, despreconvergenta sa, ıncercandu-se ın aces caz aplicarea criteriului lui Abelsau Leibniz;

(3) Daca limn→∞ 6= 0, atunci seria∑

n≥0 xn este divergenta.

Exercitiul 1.1

(1) xn =n+ 2

3n+ 5, n ∈ N;

(2) xn = 1 +1√2+

1√3+ . . .+

1√n, n ∈ N∗;

(3) xn = 1 +1

22+ . . .+

1

n2, n ∈ N∗;

(4) xn =n∑

k=1

cos(k!)

k(k + 1), n ∈ N;

(5) xn =n2

n+ 1, n ∈ N;

Exercitiul 1.2 Stabiliti daca urmatoarele siruri sunt convergente:

(1) xn =n+ 1

n2 + 2, n ∈ N;

(2) xn =n2

n+ 1, n ∈ N;

(3) xn =2n · n!nn

, n ∈ N∗;

(4) xn =n∑

k=1

1

k2, n ∈ N∗;

3

(5) xn =n∑

k=1

cos(k!)

k(k + 1), n ∈ N∗;

(6) xn =n∑

k=1

1√k, n ∈ N∗;

Exercitiul 1.3 Determinati limitele extreme ale sirurilor:

(1) xn =1 + (−1)n

2+ (−1)n · n

2n+ 1, n ∈ N∗;

(2) xn =n2(−1)n

n, n ∈ N∗;

Exercitiul 1.4 Sa se studieze nature seriilor urmatoare si sa se calculezesuma ın caz de convergenta:

(1)∑n≥1

1

n+ 1;

(2)∑n≥1

ln

(n+ 1

n

);

Exercitiul 1.5 Sa se studieze nature seriilor urmatoare :

(1)∑n≥1

√7n

n2 + 3n+ 5;

(2)∑n≥1

1

n(1 + a+ a2 + . . .+ an), a > 0;

(3)∑n≥1

n+ 1

n;

(4)∑n≥1

1 · 3 · 5 . . . (2n− 1)

2 · 4 · 6 . . . (2n) ;

Exercitiul 1.6 Demonstrati ca urmatoarele siruri sunt fundamentale:

(1) xn =n+ 3

5n+ 4;

4

(2) xn = 1 +1

23+ . . .+

1

n3;

(3)n∑

k=1

cos(2k + 3)

k2;

(4)n∑

k=1

arctan(kx)

k3;

(5)n∑

k=1

2k

(k + 2)k!;

Exercitiul 1.7 Stabiliti daca urmatoarele siruri sunt convergente:

(1) xn =n+ 3

2n+ 1, n ∈ N;

(2) xn =n3 + 2

3n2 + 1n ∈ N;

(3) xn =n∑

k=1

1

k3n ∈ N∗;

(4) xn =n∑

k=1

cos(k!)

k2n ∈ N∗;

Exercitiul 1.8 Determinati limitele extreme ale sirurilor:

(1) xn =1

n· n(−1)n + sin

(nπ

2

), n ∈ N;

(2) xn = n(1 + (−1)n), n ∈ N;

(3) xn =(−1)n

n+

1 + (−1)n

2, n ∈ N∗;

Exercitiul 1.9 Determinati limitele sirurilor:

(1) xn =n+ 1

2n·

n∑

k=1

2k

k, n ∈ N;

5

(2) xn =1

ln(n)·

n∑

k=1

1

k, n ∈ N∗, n ≥ 2;

(3) xn =1

n· ((n+ 1)(n+ 2) . . . (2n))

11 , n ∈ N∗, n ≥ 2;

Exercitiul 1.10 Sa se studieze natura seriilor urmatoare si sa se calculezesuma ın caz de convergenta:

(1)∑n≥1

1

(α + n)(α + n+ 1), α ≥ 0;

(2)∑n≥1

n

αn, |α| ≥ 1;

(3)∑n≥0

1√n+ 1 +

√n, α ≥ 0;

(4)∑n≥2

(a

1n − a

1n+1

), α ≥ 0;

(5)∑n≥1

n2 + n+ 1

(n+ 1)2, α ≥ 0;

Exercitiul 1.11 Folosind criteriul radacinii sa se studieze convergentaurmatoarelor serii:

(1)∑n≥1

arctann

(1

n

);

(2)∑n≥1

n · an, a > 0;

(3)∑n≥1

tann

(1 +

1

n

);

(4)∑n≥1

sinn

(π

4+

1

n

);

6

(5)∑n≥1

(n

3n− 1

)2n−1

;

Exercitiul 1.11 Folosind criteriul raportului, sa se studieze convergentaurmatoarelor serii:

(1)∑n≥1

an√n!;

(2)∑n≥1

(n!)2

(2n)!;

(3)∑n≥1

2n− 1

(√2)n

;

(4)∑n≥1

n3

en;

(5)∑n≥1

n!

2n + 1;

Exercitiul 1.12 Sa se studieze convergenta urmatoarelor serii alternant. Incaz de convergenta, sa se precizeze daca seriile sunt semiconvergente:

(1)∑n≥1

(−1)n−1

2n− 1;

(2)∑n≥1

(−1)n−1

√n

;

(3)∑n≥1

(−1)n−1

n2;

(4)∑n≥1

(−1)n−1 2n+ 1

n(n+ 1);

Exercitiul 1.13 Sa se determine suma seriei de termen general xn daca:

(1) xn =2n+ 1

n2(n+ 1)2, n ∈ N∗;

7

(2) xn = ln

(1 +

2

n(n+ 3)

), n ∈ N∗;

Exercitiul 1.14 Sa se stabileasca natura seriilor urmatoare:

(1)∑n≥1

cos(nα)

np, p > 0, α ∈ (0, π);

(2)∑n≥1

(−1)n+1 · 2n+ 1

3n;

(3)∑n≥1

2n · n!nn

;

(3)∑n≥1

n2 · sin( π

2n

);

2 Serii de puteri reale. Dezvoltari ın serie

2.1 Sa se determine multimea de convergenta si sumaseriei de puteri

∑n≥0 anx

n

(1) Se determina raza de convergenta r (cu formula Cauchy-Hadamard) si(−r, r) ⊂ Ac;

(2) Se studiaza separat x = r si x = −r;

(3) Daca∑n≥0

anrn este convergenta, atunci r ∈ Ac;

(4) Daca∑n≥0

an(−r)n este convergenta, atunci −r ∈ Ac;

(5) Se stabileste multimea de convergenta;

(6) Daca∑n≥0

anrn e convergenta, atunci r ∈ Ac;

(7) Pentru calculul sumei se folosesc formule cunoscute, sau se deriveaza(integreaza) seria termen cu termen. Din continuitatea sumei in −rsau r (daca acestea sunt puncte de convergenta), se decuce valoarea saın aceste puncte.

8

2.2 Sa se arate ca f : I → R, f(x) = . . . este dezvoltabilaın serie de puteri

(1) Se scrie Rn(x) si se arata ca Rn(x) → 0 pentru orice x ∈ Ac sau

(2) Se arata ca exista M ∈ R astfel ıncat |f (n)(x)| < M pentru orice x ∈ Ac

si orice n ∈ N.

2.3 Sa se dezvolte ın serie de puteri functia f(x) = . . .

(1) Se determina multimea pe care f este dezvoltabila ın serie de puteri;

(2) Se calculeaza f ′(x), f ′′(x), . . . , f (n)(x) demonstrand prin inductie for-mula lui f (n)(x), si se scrie dezvoltarea, sau

(3) Se fac substitutii cunoscute (pentru 11−x

, ex, sin(x), cos(x), etc.

(4) Se scrie functia ca suma finita de functii a caror dezvoltare este cunos-cuta si se ınsumeaza termen cu termen dezvoltarile.

(5) Se dezvolta ın serie de puteri f ′(x) si se integreaza rezultatul, deter-minand constanta de integrare cu ajutorul valorii f(0).

2.4 Sa se calculeze f(a) cu k zecimale exacte

(1) Se arata ca f este dezvoltabila ın serie de Taylor in jurul lui x0 pe omultime care ıl contine pe a;

(2) Se scrie dezvoltarea ın serie de Taylor

(3) Se considera seria numerica∑n≥0

f (n)(x0)

n!· (a− x0)

n si se evalueaza seria

sumei, care este de fapt f(a) cu k zecimale exacte (dupa modelul de laserii numerice reale).

Exercitiul 2.1 Sa se determine multimea de convergenta si sume seriilor deputeri:

(1)∑n≥1

(−1)n+1xn

n

9

(2)∑n≥1

(−1)n+1 x2n+1

2n+ 1

Exercitiul 2.2 Sa se determine multimea de convergenta a seriei:

(1)∑n≥1

(−1)nn+ 1

n2 + n+ 1·(

x2 − 2

1− 2x2

), x2 6= 1

2

Exercitiul 2.3 Fie f : (0,+∞) → R, f(x) =∞∑n=1

ne−nx.

(1) Aratati ca f este continua pe (0,+∞)

(2) Calculati

∫ ln 3

ln 2

f(x)dx

Exercitiul 2.4 Sa se arate ca functiile f(x) = sin(x), g(x) = cos(x) sih(x) = ex, x ∈ R sunt dezvoltabile ın serii de puteri pe R si sa se determineseriile coprespunzatoare.

Exercitiul 2.5 Sa se dezvolte ın serie de puteri functia f(x) = (1 + x)α,cu x > −1, α ∈ R

Exercitiul 2.6 Sa se dezvolte ın serie de puteri functia f(x) = ln(x+

√1 + x2

),

cu x ∈ R

Exercitiul 2.7 Sa se calculeze cu trei zecimale exacte∫ 1

0cos(x2)dx

Exercitiul 2.8 Sa se determine multimea de convergenta a seriilor urmatoare:

(1)∑n≥1

xnn!, x ∈ R

(2)∑n≥1

(−1)n+1 x2n−1

(2n− 1)(2n− 1)!, x ∈ R

(3)∑n≥1

(−1)n+1 xn

n(n+ 1)!, x ∈ R

10

(4)∑n≥1

(n+ 1

n

)n2

, x ∈ R

Exercitiul 2.8 Sa se determine multimea de convergenta si suma seriilorurmatoare:

(1)∑n≥1

x4n−3

4n− 3, x ∈ R

(2)∑n≥1

(−1)n+1 xn+1

n(n+ 1), x ∈ R

Exercitiul 2.9 Sa se determine sumele urmatoare, folosind seriile deputeri:

(1)∞∑n=1

(−1)n+1 1

3n− 2;

(2)∞∑n=1

(−1)n+1 1

4n− 3;

(3)∞∑n=1

(−1)n+1 1

n(2n− 1);

(4)∞∑n=1

(−1)n+1 1

3n− 2;

(5)∞∑n=1

(−1)n+1 1

6n+ 1;

Exercitiul 2.10 Sa se determine multimea de convergenta si suma urmatoarelorserii de puteri:

(1)∑n≥0

(n+ 1)xn;

(2)∑n≥1

1

n(n+ 1)n+ 2xn+2;

11

(3)∑n≥1

1

n

(x+ 2

x− 2

)n

;

(4)∑n≥1

2n+ 2

2n+ 1x2n+1;

Exercitiul 2.11 Sa se dezvolte ın serii de puteri urmatoarele functiiindicand si multimile de convergenta:

(1) f(x) = ln(1 + x);

(2) f(x) =2x− 3

(x− 1)2;

(3) f(x) =3x− 5

x2 − 4x+ 3;

(4) f(x) = xe−2x;

(5) f(x) = sin(3x) + x cos(3x);

(6) f(x) = ln

(1 + x

1− x

);

Exercitiul 2.12 Sa se calculeze cu trei zecimale exacte integrala

∫ 2

0

sin(x)

xdx.

3 Functii continue de mai multe variabile reale

3.1 Sa se studieze convergenta sirului (xn)n∈N de ele-mente din Rp

(1) Se studiaza sirurile componente: –daca toate sirurile componente suntconvergente atunci sirul dat este convergent; –daca cel putin un sircomponent nu este convergent atunci sirul nu este convergent;

3.2 Sa se determine limita sirului (xn)n∈N de elementedin Rp

(1) Se determina limita fiecarui sir component. Daca xn = (x1n, x

2n, . . . , x

pn),

atunci limn→∞

xn = ( limn→∞

x1n, lim

n→∞x2n, . . . , lim

n→∞xpn).

12

3.3 Pentru of functie f : A ⊆ Rp → R si a ∈ A sa sedetermine lim

n→af(x)

(1) Inlocuire directa, daca nu se obtin operatii fra sens;

(2) Folosind diverse substitutii se transforma ıntr-o limita a unei functii deo variabila, apoi se folosesc limite fundamentale sau metode specificecunoscute din liceu;

(3) Folosrea criteriului cu siruri: se considera un sir (xn)n∈N cu limn→∞

xn = a

si se determina l = lim f(xn); apoi, daca |f(x)−l| ≤ g(x) ıntr-o vecintatea punctului a si lim

n→∞g(x) = 0, atunci l = lim

n→∞f(x).

3.4 Pentru of functie f : A ⊆ Rp → R si a ∈ A sa se ca f

nu are limita ın punctul a

(1) Se arata ca exista doua siruri (an)n∈N si (bn)n∈N dinA\a cu limn→∞

an = limn→∞

bn = a

astfel ıncat limn→∞

an 6= limn→∞

bn.

3.5 Pentru of functie f : A ⊆ Rp → R, f(x) = . . . estecontinua ın punctul a ∈ A ∩ A′.

(1) Daca f, g : A ⊆ Rp → R, a ∈ A ∩ A′ daca eista U ∈ V(a) astfel ıncatpentru orice x ∈ U ∩A avem |f(x)−f(a)| ≤ g(x) si daca lim

n→∞g(x) = 0,

atunci, evident, f este continua ın punctul a.

3.6 Pentru o functie f : A ⊆ Rp → R, f(x) = . . . nu estecontinua ın punctul a ∈ A ∩ A′.

(1) Daca exista un sir (an)n∈N de elemente din A cu limn→∞

an = a, astfel

ıncat limn→∞

f(an) 6= f(a), atunci, evident, f nu este continua ın punctula.

3.7 Sa se studieze continuitatea functiei f : A ⊆ Rp → R(1) Se determina domeniul de definitie al functiei f ;

13

(2) Se identifica multimea de puncte ın care functia este continua pentruca este obtinuta prin operatii cu functii continue

(3) Se studiaza continuitatea functiei ın fiecare din punctele domeniului dedefinitie exceptate la pasul anterior calculand limita corespunzatoare

(4) Se precizeaza multimea de continuitate.

Daca exista un sir (an)n∈N de elemente din A cu limn→∞

an = a, astfel

ıncat limn→∞

f(an) 6= f(a), atunci, evident, f nu este continua ın punctula.

3.8 Sa se arate ca functia f : A ⊆ Rp → R este continuadupa orice directie ın punctul a ∈ A∩A′ dar nu estecontinua ın acest punct

(1) Se arata ca limt→0

f(a+ tv) = f(a), pentru orice v;

(2) Se arata apoi ca f nu are limita ın punctul a sau ca f(a) nu este limitafunctiei f ın punctul a;

3.9 Sa se studieze continuitatea uniforma a functiei fpe multimea A

(1) Se verifica daca A este compacta;

(2) Daca A este compacta, din continuitatea lui f pe A rezulta continui-tatea uniforma pe aceasta multime;

(3) Daca A nu este compacta, se verifica ındeplinirea conditiei din definitie;

(4) Oricum ar fi A, daca f nu este continua pe A atunci nu este nici uniformcontinua.

3.10 Se da f : A ⊆ Rp → R. Sa se arate ca ecuatiaf(x) = 0 are cel putin o solutie ın A

(1) Se arata ca A este o multime conexa;

14

(2) Se arata ca f este continua pe A;

(3) Se identifica a, b ∈ A astfel ıncat f(a) · f(b) < 0. Rezulta, ca ecuatiaf(x) = 0 are cel putin o solutie ın A.

3.11 Pentru o functie data f : A ⊆ Rp → Rm si a ∈ A′ sase determine lim

x→af(x).

(1) Se determina limita pe componente;

3.12 Pentru o functie data f : A ⊆ Rp → Rm si a ∈ A′ sase arate ca f nu are limita ın punctul a.

(1) Se arata ca mcar o componenta ca nu are limita ın punctul a;

3.13 Sa se arate ca functia f : A ⊆ Rp → Rm, f(x) = . . .

este continua ın punctul a ∈ A ∩ A′.

(1) Se arata ca fiecare componenta este continua;

3.14 Sa se arate ca functia f : A ⊆ Rp → Rm, f(x) = . . .

nu este continua ın punctul a ∈ A ∩ A′.

(1) Se arata cmacar o componenta nu este continua ın a;

3.15 Sa se studieze continuitatea functiei f : A ⊆ Rp →Rm.

(1) Multimea de continuitate a functiei f este intersectia multimilor decontinuitate ale componentelor;

Exercitiul 3.1 Studiati convergenta urmatoarelor siruri din R3:

(1) xn =

(n

2n+ 1,

n2

n2 + 1,1

n

);

(2) xn =

(1− 1

n, 3−n, cos

(1

n

));

15

(3) xn =

(1

2 + n, (−1)n+1,

n+ 1

n

);

Exercitiul 3.2 Sa se calculeze:

(1) lim(x,y)→(0,0)

tan(x2 + y2)√x2 + y2

;

(2) lim(x,y)→(0,0)

1− cos(√

x2 + y2)

x2 + y2;

Exercitiul 3.3 Sa se demonstreze ca urmatoarele functii nu au limita ın(0, 0):

(1) f(x, y) =x− y

x+ y, x+ y 6= 0;

(2) f(x, y) =y · e− 1

x2

y2 + e−2x2

, x+ y 6= 0;

Exercitiul 3.4 Sa se demonstreze ca urmatoarele functii sunt continueın (0, 0):

(1) f(x, y) =√

x2 + y2

(2)

f(x, y) =

y2 ln

(1 +

x2

y2

), y 6= 0, x ∈ R

0 y = 0, x ∈ R

(3)

(x2 + y2) sin

(1√

x2 + y2

), (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

Exercitiul 3.5 Sa se demonstreze ca urmatoarele functii nu sunt continueın (0, 0):

16

(1)

f(x, y) =

x− y

x+ y, x+ y 6= 0

0, x+ y = 0

(2)

x3y2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

1, (x, y) = (0, 0)

Exercitiul 3.6 Sa se studieze continuitatea functiilor:

(1)

f : R2 → R, f(x, y) =

sin(x3 + y3)

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

a, (x, y) = (0, 0)

(2)

f : R3 → R, f(x, y, z) =

1−√

1 + x2 + y2 + z2

x2 + y2 + z2, (x, y, z) 6= (0, 0, 0)

a, (x, y, z) = (0, 0, 0)

Exercitiul 3.7 Fie

f : R2 → R, f(x, y) =

x3y

x6 + |y3| , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Sa se demonstreze ca functia f este continua dupa orice directie ın origine,dar f nu este continua ‘ın origine.

Exercitiul 3.8 Sa se studieze continuitatea uniforma a urmatoarelorfunctii pe multimile A indicate:

17

(1)

f(x) =x2

x2 + 1. x ∈ R, A = R

(2)

f(x) =

x sin

(1

x

), x 6= 0

0, x = 0, A =

(0,

1

π

]

Exercitiul 3.9 Sa se arate ca functia f(x) = xax−1, a > 1, se anuleazaıntr-un punct ξ ∈ (0, 1).

Exercitiul 3.10 Sa se arate ca functia f(x, y) = x3 + y3 − 3x − 2y + 1,se anuleaza ıntr-un punct din multimea A = (x, y) : x2 + y3 ≤ 1.

Exercitiul 3.11 Demonstrati ca functia f : R2\(0, 0) → R2, f(x, y) =(x2y3

x2 + y2,x2 − y2

x2 + y2

)nu are limita in (0, 0)

Exercitiul 3.12 Sa se studieze continuitatea functiei f : R→ R3:

f(x) =

(sin(5x)

x,1− cos(x)

x2,ex − 1

x

), x 6= 0

(5, 1

2, 1), x = 0

Exercitiul 3.12 Sa se studieze convergenta urmatoarelor siruri din R3:

(1) xn =

(2n

3n+ 1,

n

n+ 1,1

n2

)

(2) xn =

((1 +

1

n

)n

, n1n , sin

(πn

))

(3) xn =

(1 + (−1)n

n, (1 + (−1)n),

1

n

)

Exercitiul 3.13 Sa se demonstreze ca:

18

(1) lim(x,y)→(0,0)

xy√x+y2

= 0

(2) lim(x,y)→(0,0)

sin(x3 + y3)

x+y2= 0

(3) lim(x,y)→(0,0)

(x− 1)2y3

(x− 1)2 + y2= 0

(4) lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

|x|+ |y| = 0

Exercitiul 3.14 Sa se demonstreze ca functia f(x, y) =xy

x2 + y2nu are

limita ın punctul (0, 0).

Exercitiul 3.15 Sa se studieze daca urmatoarele functii au limita ınorigine:

(1) f(x, y) =x2y

x4 + y2

(2) f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2

(3) f(x, y, z) =x2 + yz

x2 + y2 + z2

(4) f(x, y, z) = (2x+ y)sin(x2 + y2)

x2 + y2

Exercitiul 3.16 Sa se studieze continuitatea functiilor:

(1)

f(x, y) =

x3y2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

(1)

(2)

f(x, y) =

2xy2

(x2 + y2)32

, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

(2)

19

(3)

f(x, y) =

1− cos(x3 + y3)

(x2 + y2)2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

(3)

(4)

f(x, y) =

y2 ln

(1 +

x2

y2

), y 6= 0

0, y = 0

(4)

(5)

f(x, y) =

1

x− ye

1x−y , x 6= y

0, (x, y) = (0, 0)

(5)

(6)

f(x, y) =

(x+ y) cos

(1

x

), x 6= 0

0, x = 0

(6)

Exercitiul 3.17 Sa se studieze continuitatea uniforma a functiilor urmatoarepe multimile indicate:

(1) f(x) =x

1 + x, x ∈ [0,+∞)

(2) f(x) =x

1 + x, x ∈ (−1,+∞)

(3) f(x) = sin(x2), x ∈ RExercitiul 3.18 Sa se arate ca functia f(x) = x5 − 2x − 1 se anuleaza

cel putin o data ıntre x = 1 si x = 2.

20

4 Functii diferentiabile. Extreme locale

4.1 Sa se calculeze derivatele partiale ale functiei f ınx0

(1) Pentru a calcula derivata partiala ın raport cu xi, se considera constantetoate celelalte variabile si se deriveaza f ca si cum xi ar fi singuravariabila. Se folosesc regulile de derivare cunoscute.

(2) Se foloseste definitia.

4.2 Sa se demonstreze ca functia f(x) = . . . este diferentiabilape A si sa se scrie diferentiala sa

(1) Daca f : A ⊂ R → R se arata ca f este derivabila pe A si df : A →L(R,R) este data de dfx(h) = f ′(x) · h;

(2) Daca f : A ⊂ R → Rm se arata ca toate componentele lui f suntderivabile pe A. In acest caz df : A → L(R,Rm) este daca de dfx(h) =(f ′

1(x), f′2(x), . . . , f

′m(x)) · h;

(3) Daca f : A ⊂ Rp → R se calculeaza derivatele partiale pentru fiecarepunct din A :

(4) Daca ele sunt functii continue pe A, deducem ca f este diferentiabilape A;

(5) Daca exista macar o derivata partiala discontinua ın x0 ∈ A, atuncidiferentiabilitatea se studiaza astfel:

(6) Se considera functia liniara Lx0(h) =∂f

∂x1

(x0) · h1 +∂f

∂x2

(x0) · h2 + . . .+∂f

∂xp

(x0) · hp

unde h = (h1, h2, . . . , hp).

(7) Se determina raportul R(h) =|f(x0 + h)− f(x0)− Lx0(h)|

||h|| pentru

orice h 6= ΘRp .

(8) Se studiaza existenta limitei lui R(h) ın ΘRp . Daca R(h) nu are limitaın ΘRp , sau daca limita este nenula, rezulta ca f nu este diferentiabilaın x0, iar daca limita este 0 rezulta ca f este diferentiabila ın x0

21

si dfx0 = Lx0 . Daca f este diferentiabila pe A, atunci: dfx0(h) =∂f

∂x1

(x0) · h1 +∂f

∂x2

(x0) · h2 + . . .+∂f

∂xp

(x0) · hp unde h = (h1, h2, . . . , hp).

(4) Daca f : A ⊂ Rp → Rm se demonstreaza ca toate componentele lui fsunt diferentiabile pe A. In acest caz dfx(h) = Jf (x) · h.

4.3 Sa se arate ca functia f(x) = . . . nu este diferentiabilaın x0 ∈ A

(1) Daca f nu este continua ın x0 rezulta ca nu este diferentiabila ın x0

sau, daca f e continua ın x0, se procedeaza astfel:

(2) Daca f : A ⊂ R→ R se arata ca f nu este derivabila ın x0.

(3) Daca f : A ⊂ R→ Rm se arata ca cel putin una din componentele luif nu este derivabila ın x0.

(4) Daca f : A ⊂ Rp → R se arata ca f nu este derivabila partial ın raportcu una din variabile ın x0. Daaca exista toate derivatele partiale ın x0, se

considera functia Lx0(h) =∂f

∂x1

(x0) · h1 +∂f

∂x2

(x0) · h2 + . . .+∂f

∂xp

(x0) · hp

si se arata ca raportul R(h) =|f(x0 + h)− f(x0)− Lx0(h)|

||h|| nu are

limita cand ||h|| → 0 sau, daca limita exista, aceasta este diferita de 0.

(5) Daca f : A ⊂ Rp → Rm se arata ca cel putin una din componentele luif nu este derivabila ın x0.

4.4 Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul doiale functiei f : A ⊂ Rp, f(x1, . . . , xp) = . . .

(1) Se calculeaza derivatele partiale de ordinul ınai si apoi derivatele partialeale acestora, folosind regulile de derivare uzuale sau folosind definitia.

4.5 Sa se determine punctele de extrem local ale functieif : D ⊂ Rp → R, f(x1, . . . , xp) = . . .

(1) Se determina D1 ⊂ D pe care f este de clasa C2

22

(2) Se calculeaza D∂f

∂xj

: D1 → R, j = 1, 2, . . . , p

(3) Se rezolva sistemul D∂f

∂xj

= 0, j = 1, 2, . . . , p, obtinandu-se coordo-

natele punctelor stationare.

(4) Se calculeaza D∂2f

∂xi∂xj

: D1 → R, j = 1, 2, . . . , p

(5) Se scrie matricea hessiana a functiei f ın fiecare punct stationar.

(6) Cu ajutorul valorilor proprii sau a minorilor principali decidem dacaun asemenea punct este sau nu extrem local pentru f.

(7) Pentru punctele care se afla ın D\D1 se studiaza direct semnul cresteriif(x) − f(x0) si se decide daca punctul este de extrem local folosinddefinitia.

Exercitiul 4.1 Sa se demonstreze ca functia f : R→ R

f(x) =

sin2(x), x < 0

x2, x ≥ 0(7)

este diferentiabila pe R si sa se determine diferentiala sa.Exercitiul 4.2 Sa se demonstreze ca functia f : R2 → R, f(x, y) =

x3 + xy2 este diferentiabila pe R2 si sa se determine diferentiala sa.

Exercitiul 4.3 Sa se demonstreze ca functia f : R2 → R3, f(x, y) =(xy, y sin(x), x + y) este diferentiabila pe R2 si sa se determine diferentialasa.

Exercitiul 4.4 Sa se demonstreze ca functia f : R→ R

f(x) =

x sin

(1

x

), x 6= 0

0, x = 0

(8)

este diferentiabila pe R si sa se determine diferentiala sa.

23

Exercitiul 4.5 Sa se demonstreze ca functia f : R2 → R

f(x) =

xy√x2 + y2

, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

(9)

nu este diferentiabila ın (0, 0).

Exercitiul 4.6 Fie f : R2 → R2

f(x, y) =

xyx2 − y2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

(10)

Demonstrati ca∂2f

∂x∂y(0, 0) 6= ∂2f

∂y∂x(0, 0).

Exercitiul 4.7 Sa se determine punctele de extrem local pentru functiaf : R3 → R, f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − xy + x− 2z.

Exercitiul 4.7 Sa se demonstreze ca originea este punct de minim globalpentru functia f : R2 → R,

f(x, y) =

y2 ln

(1 +

x2

y2

), y 6= 0

0, y = 0.

(11)

Exercitiul 4.8 Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul ıntai aleurmatoarelor functii, precizand si domeniul lor de definitie:

(1) f(x, y) = x2 + y2 − 3xy

(2) f(x, y) =x− y

x+ y

(3) f(x, y) = ln(x+

√x2 + y2

)

24

(4) f(x, y) = sin

(1√

x2 + y2

)

(5)

f(x, y) =

xy2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

(12)

Exercitiul 4.9 Demonstrati ca functia z(x, y) = y · Φ(x2 − y2) verifica

ecuatia1

x· ∂z∂x

+1

y· ∂z∂y

=z

y2unde Φ este o functie de clasa C1 pe R.

Exercitiul 4.10Demonstrati ca functia z(x, y) = xy + x · Φ((yx

)verifica

ecuatia x · ∂z∂x

+ y · ∂z∂y

= xy + z unde Φ este o functie de clasa C1 pe R.

Exercitiul 4.11 Demonstrati ca functia f : R2 → R, f(x, y) = sin(xy2)este diferentiabila pe R2 si sa se calculeze diferentiala sa.

Exercitiul 4.12 Sa se calculeze∂2z

∂x2si

∂2z

∂y2daca z(x, y) = f(x2+y2, x2−

y2, xy) unde f este o functie de clasa C2 pe R3.

Exercitiul 4.13 Sa se determine extremele locale ale urmatoarelor functii:

(1) f(x) = x3 − 3x+ 2;

(2) f(x) = arctan

(1− x

1 + x

);

(3) f(x) =1− x+ x2

1 + x− x2;

(4) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy;

(5) f(x, y) = x3 + 8y3 − 6xy + 1;

(6) f(x, y) = 2x3 − xy2 + 5x2 + y2;

25

(7) f(x, y) = xy2ex−y;

5 Functii implicite. Extreme conditionate

5.1 Sa se determine y′ si y′′ daca y = y(x) este o functiedefinita implicit de ecuatia F (x, y) = 0

(1) Teorema 1 Fie ecuatia F (x, y) = 0 unde F : D → R este o functiedata, definita pe multimea deschisa D ⊆ R2. Fie (x0, y0) ∈ D. Dacasunt ındeplinite conditiile:

(1) F (x0, y0) = 0;

(2) F este de clasa C1 pe o vecinatate a punctului (x0, y0);

(3)∂F

∂y(x0, y0) 6= 0,

atunci

(1) Exista U ∈ V(x0), V ∈ V(y0) si o explicitare unica f : U → V (ınraport cu y) a ecuatiei F (x, y) = 0 astfel ıncat f(x0) = y0;

(2) Explicitarea f este de clasa C1 pe U si pentru orice x ∈ U,

f(x) = −∂F

∂x(x, f(x))

∂F

∂y(x, f(x))

.

(2) Daca sunt ındeplinite conditiile teoremei precedente, se aplica formula

y′(x) = −∂F

∂x(x, f(x))

∂F

∂y(x, f(x))

.

(3) Se calculeaza y′′ folosind regula de derivare a catului si regula de derivarea functiilor compuse.

26

5.2 Sa se determine derivatele partiale de ordinul ıntaisi doi ale functiei z = z(x, y) definita implicit deecuatia data F (x, y, z) = 0

Teorema 2 Fie ecuatia F (x, y) = 0 unde F : D → R este o functie data,definita pe multimea deschisa D ⊆ Rp+1. Fie (x0, y0) = (x0

1, x02, . . . , x

0p; y0) ∈

D. Daca sunt ındeplinite conditiile:

(1) F (x0, y0) = 0;

(2) F este de clasa C1 pe o vecinatate a punctului (x0, y0);

(3)∂F

∂y(x0, y0) 6= 0,

atunci

(1) Exista U ∈ V(x0), V ∈ V(y0) si o explicitare unica f : U → V (ınraport cu y) a ecuatiei F (x, y) = 0 astfel ıncat f(x0) = y0;

(2) Explicitarea f este de clasa C1 pe U si pentru orice x ∈ U, si oricej = 1, 2, . . . , p avem:

∂f

∂xj

(x) = −∂F

∂xj

(x, f(x))

∂F

∂y(x, f(x))

.

(1) Daca sunt ındeplinite conditiile Teoremei 2, se aplica formulele

∂z

∂x(x, y) = −

∂F

∂x(x, y, z(x, y))

∂F

∂z(x, y, z(x, y))

,

∂z

∂y(x, y) = −

∂F

∂y(x, y, z(x, y))

∂F

∂z(x, y, z(x, y))

,

(2) Se calculeaza∂2z

∂x2,∂2z

∂x∂y,∂2z

∂z2folosind regula de derivare a functiilor

compuse. Daca F este de clasa C2 atunci z este de clasa C2 si deci∂2z

∂x∂y=

∂2z

∂y∂x.

27

5.3 Sa se determine extremele unei functii y = y(x)definita implicit de ecuatia data F (x, y) = 0

(1) Se studiaza aplicabilitatea Teoremei 1

(2) Se pune conditia necesara y′(x) = 0, care este echivalenta cu

F (x, y) = 0

∂F

∂x(x, y) = 0

∂F

∂y(x, y) 6= 0.

(13)

Se obtin astfel punctele critice.

(3) Se afla semnul lui y′′ ın fiecare punct critic si se precizeaza ce fel deextrem este.

5.4 Sa se determine extremele unei functii z = z(x, y)definita implicit de ecuatia data F (x, y, z) = 0

(1) Se studiaza aplicabilitatea Teoremei 2.

(2) Se determina punctele critice rezolvand sistemul

F (x, y) = 0

∂z

∂x= 0

∂z

∂y= 0.

(14)

28

care este echivalent cu

F (x, y, z) = 0

∂F

∂x(x, y, z) = 0

∂F

∂y(x, y, z) = 0

∂F

∂z(x, y, z) 6= 0.

(15)

(3) Se retin punctele critice x0, y0 ın care ∆2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂2z

∂x2

∂2z

∂x∂y

∂2z

∂x∂y

∂2z

∂y2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

este pozi-

tiv. Aceste sunt puncte de extrem. Pentru acestea se determina semnul

lui∂2z

∂x2. Daca

∂2z

∂x2(x0, y0) > 0 atunci (x0, y0) este punct de minim iar

daca∂2z

∂x2(x0, y0) < 0 atunci (x0, y0) este punct de maxim.

Teorema 3 Fie f(x, y) de clasa C3 ıntr-o multime deschisa U ∈ R2. Unpunct (x0, y0) este un minim local (strict) a lui f daca se satisfac urmatoareletrei conditii:

(1)∂f

∂x(x0, y0) =

∂f

∂y(x0, y0) = 0;

(2)∂2f

∂x2(x0, y0) > 0;

(3) D =

(∂2f

∂x2

)(x0, y0)

(∂2f

∂y2

)−

(∂2f

∂x∂y

)2

> 0.

Daca in (2) avem < 0 ın loc de > 0, fara a schimba conditia (3), avem unmaxim local (strict).

29

Teorema 4 (Teorema multiplicatorului lui Lagrange) Fie f : U ⊂ Rn →R si g : U ⊂ Rn → R functii ”suave” date. Fie x0 ∈ U si g(x0) = c si fieS multimea de nivel pentru g cu valoarea c (aceasta este multimea punctelorx ∈ Rn cu g(x) = c). Sa presupunem ca ∇g(x0) 6= 0. Daca f |S reprezinta”f restransa la S”, are un maxim sau un minim ın S, ın x0, atunci existaun numar real λ asfel ıncat ∇f(x0) = λ∇g(x0).

Exercitiul 5.1 Sa se determine y′ si y′′ daca y = y(x) este o functiedefinita implicit de ecuatia (x2 + y2)3 − 3(x2 + y2) + 1 = 0.

Exercitiul 5.2 Sa se determine derivatele de ordinul ıntai si al doilea aleunei functii z definita implicit de ecuatia x2 − 2y2 + 3z2 − yz + y = 0.

Exercitiul 5.3 Sa se calculeze∂2z

∂x∂y(1,−2) daca z este definita implicit

de ecuatia x2 + 2y2 + 3z2 + xy − z − 9 = 0 si de conditia z(1,−2) = 1.

Exercitiul 5.4 Sa se determine extremele unei functii implicite y = y(x)definita de ecuatia x3 + 8y3 − 6xy = 0.

Exercitiul 5.5 Fie f : R2 → R definita prin f(x, y) = x2 − y2, si fie Scircumferinta de raza 1, cu centrul in origine. Sa se gaseasca extremul lui f |S.

Exercitiul 5.6 Sa se determine inf f(A) si sup f(A) daca f : R2 → Reste f(x, y) = 5x2 + 3xy + y2 si A = (x, y) ∈ R : x2 + y2 ≤ 1.

Exercitiul 5.7 Sa se determine y′ si y′′ daca y = y(x) este functia definitaimplicit de ecuatia y5 + x2y3 + x2 + y = 0 ın vecinatatea punctului (0, 0).

Exercitiul 5.8 Sa se determine∂z

∂xsi

∂z

∂ydaca z = z(x, y) este functia

definita de ecuatia x2y2 + 3z2 − 1 = 0 si punctul

(1

2,1

2,

1√12

).

30

6 Integrala simpla. Integrala cu parametru

6.1 Sa se demonstreze ua functia f : [a, b] → R esteintegrabila pe [a, b]

(1) Se arata c ua f este monotona;

(2) Se arata c ua f are un numar finit de puncte de dicontinuitate;

(3) Se arata c ua f este continua;

(4) Se utilizeaza (mai rar) criteriul lui Darboux;

6.2 Sa se demonstreze ua functia f : [a, b] → R nu esteintegrabila pe [a, b]

(1) Se arata c ua f este marginita sau

(2) Se arata c ua exista doua siruri de sume de Riemann cu limite diferitesau

(3) Se arata (mai rar) ca f nu satisface conditia din criteriul lui Darboux;

6.3 Folosind integrala simpla, sa se calculeze limitasirului an = . . . , n ∈ N∗

(1) Se precizeaza o functie f : [a, b] → R, o diviziune dn a intervalului[a, b] si un sistem ξ de puncte intermediare astfel ıncat an = σn(dn, ξ)este suma Riemann asociata, de obicei dn se considera astfel ıncat:

xi − xi−1 =b− a

n, i = 1, 2, . . . , n iar sistemul ξ se obtine punand ξi =

xi−1 sau ξi = xi, i = 1, 2, . . . , n

(2) Se demonstreaza ca f este integrabila pe [a, b] (aratandu-se ca estemonotona, sau ca este continua);

(3) Utilizand notiunea de functie integrabila, se deduce ca limn→∞

=

∫ b

a

f(x)dx

31

6.4 Sa se demonstreze ca f : I → R are primitive

(1) Se arata ca f este continua;

(2) Se construieste o functie F : I → R pentru care se arata ca F ′(x) =f(x),∀x ∈ I;

6.5 Sa se demonstreze ca f : I → R nu are primitive

(1) Se arata ca f nu are proprietatea lui Darboux;

(2) Se presupune ca f are primitive si se gaseste forma generala F (x, c) uti-lizand functii elementare, pe subintervale si continuitatea primitivelor;

(3) Se arata ca exista x0 ∈ I ıncat F nu este derivabila in x0 sau F ′(x0) 6=f(x0).

6.6 Sa se demonstreze ca f : [a, b] → R este integrabilape [a, b] dar nu are primitive pe [a, b]

(1) Se arata ca f este monotona si ca nu are proprietatea lui Darboux.

6.7 Sa se demonstreze ca f : [a, b] → R are primitive pe[a, b] dar nu este integrabila pe [a, b]

(1) Se construieste o functie F : [a, b] → R astfel ıncat F ′(x) = f(x),∀x ∈[a, b]

(2) Se arata ca f nu este marginita

6.8 Sa se demonstreze ca

∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx

(1) Se arata ca f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] si se foloseste proprietatea demonotonie a integralei

32

6.9 Sa se demonstreze ca A ≤∫ b

a

f(x)dx ≤ B

(1) Se determina M = supx∈[a,b]f(x) si m = infx∈[a,b]f(x)

(2) Se tine seama de inegalitatea evidentam(b−a) ≤ ∫ b

af(x)dx ≤ M(b−a);

(3) Se arata ca A ≤ m(b− a) si ca M(b− a) ≤ B

6.10 Sa se calculeze

∫ b

a

f(x)dx

(1) Se determina o primitiva a functiei f pe intervalul [a, b];

(2) Se aplica formula lui Leibniz-Newton:

∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)

6.11 Sa se determine aria domeniului D ⊂ R, marginitde graficul functiei f : [a, b] → R, f(x) = . . ., axaOx si dreptele x = a si x = b

(1) Se aplica formula a(D) =

∫ b

a

|f(x)|dx.

6.12 Sa se determine volumul corpului Ω ⊂ R3, obtinutprin rotirea graficul functiei f : [a, b] → R, f(x) =. . ., ın jurul axei Ox

(1) Se aplica formula v(Ω) = π

∫ b

a

f 2(x)dx.

6.13 Sa se determine lungimea graficului functiei f :[a, b] → R, f(x) = . . .

(1) Se aplica formula l(γ) =

∫ b

a

√f ′2(x)dx.

33

6.14 Fie A ⊂ R, J = [a, b], f : [a, b]× J → R, si f : A → R,

F (x) =

∫ b

a

f(x, t)dt. Sa se arate ca F este derivabila

pe A si sa se determine derivatele ei

(1) Se arata ca f este continua pe A× J ;

(2) Se calculeaza∂f

∂x;

(3) Se arata ca∂f

∂xeste continua pe A× J ;

(4) Se aplica formula F ′(x) =∫ b

a

∂f

∂x(x, t)dt pentru orice x ∈ A.

6.15 Utilizand integralele cu parametru, sa se calculeze∫ b

a

g(t)dt.

(1) Se cautta o functie f(x, t), x ∈ A, t ∈ [a, b], asfel ıncat g(t) = f(x0, t), x0 ∈A cunoscut;

(2) Se determina F (x) =

∫ b

a

f(x, t)dt si apoi se ınlocuieste x cu x0, obtinandu-

se valoarea integralei cerute

(3) Se arata ca∂f


(4) Se aplica formula F ′(x) =∫ b

a

∂f

∂x(x, t)dt pentru orice x ∈ A.

Exercitiul 6.1 Sa se demonstreze ca functiile urmatoare sunt integrabilepe intervalele de definitie precizate:

(1) f : [0, 1] → R,

f(x) =

0, x ∈[0,

1

3

]

1, x ∈(1

3, 1

] (16)

34

(2) f : [0, 1] → R,

f(x) =

1, x =1

3

0, x 6= 1

3

(17)

(3) f : [0, 1] → R,

f(x) =

sin(x)

x, x 6= 0

1, x = 0

(18)

Exercitiul 6.2 Sa se demonstreze ca functia urmatoare nu este integrabilape intervalul de definitie precizat: f : [0, 1] → R,

f(x) =

x2, x 6= 1

n, n ∈ N∗

n, x =1

n, n ∈ N∗

(19)

Exercitiul 6.3 Folosind integrala simpla, sa se calculeze

limn→∞

1

np+1(1p + 2p + . . .+ np), p > 0.

Exercitiul 6.4 Sa se arate ca functia urmatoare admite primitiva:

f : R→ R, f(x) =

e−1x2 · sin

(1

x

), x 6= 0

0, x = 0

(20)

Exercitiul 6.5 Sa se arate ca functiile urmatoare nu admit primitive peR:

(1)

f : R→ R, f(x) =

1, x > 0

0, x = 0

−1, x < 0

(21)

35

(2)

f : R→ R, f(x) =

x, x ∈ Q

x3, x ∈ R\Q(22)

Exercitiul 6.6 Sa se arate ca functia urmatoare admite primitive pe[0, 1], dar nu este integrabila pe acest interval:

f : [0, 1] → R, f(x) =

2x sin

(1

x2

)− 2

xcos

(1

x2

), x ∈ (0, 1]

0, x = 0

(23)

Exercitiul 6.7 Sa se arate ca

∫ 2

1

ln(1 + x)dx >

∫ 2

1

x

1 + x.

Exercitiul 6.8 Sa se calculeze urmatoarele integrale:

(1)

∫ 1

0

√4− x2dx

(2)

∫ 12

0

e−xdx

(3)

∫ π2

0

sin(2x)

1 + sin2(x)dx

(4)

∫ e

0

1

2 sin(x)− cos(x) + 5dx

(5)

∫ 2

0

x2√4− x2dx

(6)

∫ 3

2

dx

(1 + x)√x2 − 1

dx

36

Exercitiul 6.10 Sa se determine volumul corpului Ω ⊂ R3 obtinut prinrotirea ın jurul axei Ox a graficul functiei f(x) : [0, π] → R, f(x) = cos(x).

Exercitiul 6.11 Sa se determine lungimea graficul functiei f(x) : [0, π] →R, f(x) = arcsin(e−x).

Exercitiul 6.12 Sa se arate ca functia F : (1,+∞) → R, F (x) =

∫ π2

0

ln(x2 − sin2(t))dt

este continua pe (1,+∞).

Exercitiul 6.13 Fie F : (−1, 1) → R, F (x) =

∫ π2

0

1

cos(t)· ln(1 + x cos(t))dt.

Sa se arate ca F este derivabila pe (−1, 1) si sa se determine derivata ei.

Exercitiul 6.14 Folosind posibilitatea de derivare ın raport cu parametrul,

sa se calculeze integrala: F (x) =

∫ π2

0

1

cos(t)· ln

(1 + x cos(t)

1− x cos(t)

)dt, x ∈

(−1, 1).

Exercitiul 6.15 Sa se demonstreze ca functiile urmatoare sunt integrabilepe intervalele de definitie precizate:

(1) f : [0, 1] → R,

f(x) =

sin(x), x ∈[0,

1

2

]

1, x ∈(1

2, 1

] (24)

(2) f : [−1, 1] → R,

f(x) =

x, x ∈ [−1, 0]

1− x, (0, 1](25)

(3) f : [−1, 1] → R,

f(x) =

cos

(1

x

), x 6= 0

1

2, x = 0

(26)

37

Exercitiul 6.16 Sa se demonstreze ca functiile urmatoare poseda prim-itive pe R si sunt integrabile pe orice interval compact:

(1)

f(x) =

sin(x)

x, x 6= 0

1, x = 0

(27)

(2)

f(x) =

x cos2(1x

), x 6= 0

0, x = 0.(28)

Exercitiul 6.17 Fara a calcula integralele, sa se cerceteze care dintre eleare valoarea mai mare:

(1) I1 =

∫ 1

0

ex2

dx, I2 =

∫ 2

1

exdx;

(2) I1 =

∫ 10

2

arctan(x)dx, I2 =

∫ 10

2

ln(1 + x2)dx.


(1)

∫ π2

−π

sin(x+ |x|)dx;

(2)

∫ π3

π4

dx

sin(2x)

(3)

∫ π2

π4

dx

sin3(x)

(4)

∫ 3

0

max(x, x2)dx

(5)

∫ π2

0

min(sin(x), cos(x))dx

(6)

∫ 5π4

π

sin(2x)

sin4(x) + cos4(x)dx

38

(7)

∫ π4

0

ln(1 + tan(x))dx

(8)

∫ π2

0

cos3(x)

sin3(x) + cos3(x)dx

(9)

∫ 1

0

ln(1 + x)

1 + x2dx

(10)

∫ π2

0

1 + sin(x)

1 + cos(x)· exdx

(11)

∫ π

0

dx

3 + 2 cos(x)dx

(12)

∫ 3

1

dx

x√x2 + 5x+ 1

dx

(13)

∫ a

1

√ax− x2dx

Exercitiul 6.19 Sa se determine aria domeniului marginit de:

(1) f(x) =

∣∣∣∣x− 1

x+ 1

∣∣∣∣, axa Ox, x = 0, x = 2;

(2) f(x) =cos(x)

1 + cos(x), axa Ox, x = 0, x =

3π

4;

Exercitiul 6.20 Sa se determine volumul corpului Ω ⊂ R3 obtinut prinrotirea ın jurul axei Ox a graficul functiei f(x) : [1, e] → R, f(x) = x ln(x).

Exercitiul 6.21 Sa se determine lungimea graficul functiei f(x) : [0, 4] → R, f(x) = x32 .

39

7 Integrala improprie

7.1 Sa se studieze natura integralei improprii

∫ b

a

f(x)dx

si sa se determine valoarea sa ın caz de convergenta

In problemele din aceasta categorie se poate determina o primitiva a functieif cu metode elementare si se poate sudia efectiv existenta limitei din formulaLeibniz-Newton. Pentru rezolvare, se procedeaza astfel:

(1) Se verifica daca functia f este integrabila pe orice interval compactinclus ın [α, β ) ;

(2) Se determina o primitiva F a functiei f pe intervalul [α, β ) ;

(3) Se studiaza existenta limitei limx→β

F (x);

(4) In cazul limitei finite, cu formula lui Leibniz-Newton se afla valoareaintegralei;

(5) In unele cazuri, problema se simplifica, aplicand direct formula de in-tegrare prin parti sau formula schimbarii de variabila.

7.2 Sa se studieze natura integralei improprii

∫ b

a

f(x)dx

O asemenea problema apare ın situatia ın care nu este posibil sa se determineo primitiva pentru f, si, prin urmare, aplicarea directa a formulei Leibniz-Newton nu este posibila. Intr-o asemenea situatie nu se mai pretinde a se gasivaloarea integralei ın caz de convergenta. Pentru a preciza natura integralei,se ıncearca aplicarea unui criteriu de convergenta convenabil.

Teorema 5 Fie a > 0 si f : [a,+∞) → R+ o functie integrabila pe oriceinterval compact inclus ın [a,+∞) . Presupunem c u exist u a λ ∈ R ıncatfunctia x → xλf(x) are limita cand x → ∞. Fie l = lim

x→∞xλf(x),

(1) Daca λ > 1 si 0 ≤ l ≤ ∞, atunci

∫ ∞

a

f(x)dx este convergenta;

40

(2) Daca λ ≤ 1 si 0 < l ≤ ∞, atunci

∫ ∞

a

f(x)dx este divergenta;

Teorema 6 Fie f : [a,+∞) → R+ o functie integrabila pe orice intervalcompact inclus ın [a,+∞) . Presupunem c u exist u a λ ∈ R ıncat functiax → (b− x)λf(x) are limita cand x → b. Fie l = lim

x→∞(b− x)λf(x),

(1) Daca λ < 1 si 0 ≤ l < infty, atunci

∫ ∞

a

f(x)dx este convergenta;

(2) Daca λ ≥ 1 si 0 < l ≤ ∞, atunci

∫ ∞

a

f(x)dx este divergenta;

Teorema 7 Fie a > 0 si φ : [a,+∞) → R+ o functie continua care admiteo primitiva marginita pe [a,+∞) . Atunci, pentru orice λ > 0, integrala

improprie

∫ ∞

a

φ(x)

xλdx este convergenta.

Teorema 8 Fie φ : [a,+∞) → R+ o functie continua care admite o prim-itiva marginita pe [a,+∞) . Atunci, pentru orice λ > 0, integrala improprie∫ ∞

a

(b− x)λ · φ(x)dx este convergenta.

(1) Daca f are numai valori pozitive, se aplica Teorema 5 sau Teorema 6;

(2) Daca f are numai valori negative, se aplica Teorema 5 sau Teorema 6pentru −f ;

(3) Daca f nu are semn constant pe intervalul de integrare, se studiazaconvergenta absoluta (utilizand, dupa caz, Teorema 5 sau Teorema 6);

(4) Daca integrala este absolut a convergenta, atunci ea este si convergenta;

(5) Daca integrala nu este absolut a convergenta, nu se poate spune nimic,ın general, despre convergenta; ın acest caz se ıncearca Teorema 7 sauTeorema 8.

(6) Daca integrala nu este convergenta ın sensul valorii principale Cauchy,atunci ea este divergenta.

41

7.3 Sa se determine V · p ·∫ β

α

f(x)dx

Definitie 1 Fie f : [a, b) \c → R o functie nemarginita, integrabila peorice interval compact [a, c − ε] ⊂ [a, c) sau [c + ε, b] ⊂ (c, b ] . Daca exista

limε→0

[∫ c−ε

a

f(x)dx+

∫ b

c+ε

f(x)dx

]si este finita, atunci integrala

∫ b

a

f(x)dx

se numeste convergenta ın sensul valorii principale Cauchy iar aceasta limitase numeste valoarea principala Cauchy a integralei. Se noteaza:

V · p ·∫ b

a

f(x)dx = limε→0

[∫ c−ε

a

f(x)dx+

∫ b

c+ε

f(x)dx

].

Definitie 2 Fie f : R → R o functie integrabila pe orice interval compact

[−b, b] ⊂ R. Daca exista limb→∞

∫ b

−b

f(x)dx si este finita, atunci integrala impro-

prie

∫ ∞

−∞f(x)dx se numeste convergenta ın sensul valorii principale Cauchy.

Se noteaza:

V · p ·∫ ∞

−∞f(x)dx = lim

b→∞

∫ b

−b

f(x)dx.

(1) Se verifica daca integrala se ıncadreaza ın conditiile Definitiilor 1 sau2.

(2) Se determina o primitiva a functiei f ;

(3) Se calculeaza, dupa caz,

∫ c−ε

α

f(x)dx si

∫ beta

c+ε

f(x)dx sau

∫ b

−b

f(x)dx;

(4) Se studiaza, dupa caz, existenta ın R a limitelor:

limε→0

[∫ c−ε

a

f(x)dx+

∫ b

c+ε

f(x)dx

]

sau limb→∞

∫ b

−b

f(x)dx.

42

7.4 Fie A ⊂ R, J = [α, β ) , β ∈ R si fA × J → R o functie

data. Sa se demonstreze ca integrala

∫ β

α

f(x, t)dt

converge simplu (punctual) pe multimea A

(1) Se presupune x ∈ A fixat si se aplica un criteriu de convergenta con-venabil ales;

(2) In unele cazuri, pentru x ∈ A fixat si b ∈ [α, β ) , se calculeaza integrala

simpla

∫ β

α

f(x, t)dt;

(3) Se calculeaza apoi limb→β

∫ β

α

f(x, t)dt, ın caz ca exista. Daca limita exista

si este finita, integrala este convergenta, iar limta este tocmai F (x);daca pentru un x ∈ A limita nu exista, sau nu este finita,atunci inte-grala nu este punctual convergenta pe A.


data. Sa se demonstreze ca integrala

∫ β

α

f(x, t)dt

converge uniform pe multimea A

(1) Daca este posibil, se determina, pentru fiecare x ∈ A,

∫ β

α

f(x, t)dtS;

(2) Se obicei se ıncearca o majorare

|f(x, t)| ≤ g(t), (x, t) ∈ A× J

ıncat

∫ β

α

g(t)dt sa fie convergenta si se aplica criteriul lui Weierstrass;


data. Fie F : A → R, F (x) =

∫ β

α

f(x, t)dt. Sa se

demonstreze ca F este continua pe multimea A


43

(2) Se arata ca

∫ β

α

f(x, t)dt este uniform convergenta pe A;


data. Fie F : A → R, F (x) =

∫ β

α

f(x, t)dt. Sa se

demonstreze ca F este derivabila pe multimea A sisa se calculeze F

(1) Se arata ca

∫ β

α

f(x, t)dt converge punctual pe A, deci functia F este

bine definita;


(3) Se calculeaza∂f

∂x;

(4) Se arata ca∂f


(5) Se arata ca

∫ β

α

f(x, t)dt este uniform convergenta pe A;

(6) Se obtine F ′(x) =∫ β

α

∂f

∂x(x, t).

Teorema 9 Fie A ⊂ R, J = [α, β ) , β ∈ R si fA×J → R o functie continuape A× J, cu derivata partiala ın raport cu parametrul x continua pe A× J.

Daca integrala

∫ β

α

f(x, t)dt converge punctual pe multimea A catre functia

F : A → R iar integrala

∫ β

α

f(x, t)dt converge uniform pe A, atunci F este

derivabila pe A si are loc egalitatea:

∫ β

α

∂f

∂x(x, t)dt

pentru orice x ∈ A. In plus, F ′ este continua pe A.

44

7.8 Utilizand Teorema 9, sa se calculeze

∫ β

α

f(x, t)dt, x ∈A

(1) Se arata ca

∫ β

α

f(x, t)dt converge punctual pe A, deci functia F este

bine definita;

(2) Se arata ca integrala

∫ β

α

f(x, t)dt converge punctual pe A;

(3) Se noteaza

∫ β

α

f(x, t)dt, x ∈ A;

(4) Se obtine F ′(x) =

∫ β

α

∂f

∂x(x, t), x ∈ A si se calculeaza aceasta inte-

grala.

7.9 Utilizand Teorema 9, sa se calculeze

∫ β

α

h(t)dt, β ∈R

(1) Se arata ca integrala este convergenta;

(2) Se cauta o functie f(x, t) ıncat sa existe x0 astfel ca h(t) = f(x0, t), t ∈[α, β );

(3) Se determina F (x) =

∫ β

α

f(x, t)dt;

(4) Se ınlocuieste x cu x0 si se obtine:

∫ β

α

h(t)dt = F (x0)

45

7.10 Sa se exprime valoarea unei integrale improprii∫ β

α

h(t)dt convergente, cu ajutorul functiei Γ sau

ale functiei B

(1) Se utilizeaza o schimbare de variabila convenabila t = φ(s) ıncat h(φ(s))·φ′(s) = sx0 ·e−s (pentru un anume x0 > 0), lim

s→0φ(s) = α, lim

s→∞φ(s) = β.

In acest caz se obtine;

∫ β

α

h(t)dt = Γ(x0);

(2) Se utilizeaza o schimbare de variabila convenabila t = φ(s) ıncat h(φ(s))·φ′(s) = sx0−1 · (1− s)y0−1 (pentru anume x0 > 0, y0 > 0), lim

s→0φ(s) = α,

lims→1

φ(s) = β. In acest caz se obtine;

∫ β

α

h(t)dt = B(x0, y0);

Exercitiul 7.1 Sa se studieze natura urmatoarelor integrale improprii:

(1)

∫ ∞

1

cos(x)

x3dx

(2)

∫ b

a

dx√(x− a)(b− x)

(3)

∫ 1

0

ln2(x)dx

(4)

∫ ∞

2

dx

x ln(x)

(5)

∫ 1

0

1

xcos

(1

x

)dx

(6)

∫ ∞

1

x2

(3 + 1

x

)dx

46

Exercitiul 7.2 Sa se studieze natura urmatoarelor integrale improprii sisa se determine valorile acestora ın caz de convergenta:

(1)

∫ 1

−1

dx√1− x2

(2)

∫ 1

0

arcsin (√x)√

x(1− x)dx

(3)

∫ ∞

3π

1

x2sin

(1

x

)dx

(4)

∫ ∞

0

cos(x)dx

Exercitiul 7.3 Sa se calculeze

∫ π2

0

ln(sin(x))dx (integrala lui Euler).

Exercitiul 7.4 Sa se demonstreze ca integrala

∫ π3

−π4

cot(x)dx este diver-

genta, dar converge ın sensul valorii principale Cauchy.

Exercitiul 7.5 Fie f : (0,+∞) × (0,+∞) × (0, 1) → (0,+∞) functiadefinita prin f(x, y, t) = tx−1(1 − t)y−1. Sa se demonstreze ca integrala

Γ(x) =

∫ 1

0

f(x, y, t)dt converge simplu (punctual) pe (0,+∞) × (0,+∞).

Functia Γ este cunoscuta sub numele de functia ”gama” a lui Euler.

Observatie 1 Se poate defini integrala improprie cu doi parametrii, B :(0,+∞)× (0,+∞) → (0,+∞) prin

B(x, y) =

∫ 1

0

tx−1(1− t)y−1dt

cunoscuta sub numele de functia ”beta” a lui Euler.

Exercitiul 7.6 Sa se demonstreze ca integrala

∫ ∞

0

xdt

1 + t2x2, x ∈ R con-

verge simplu (punctual) dar nu converge uniform pe R.

47

Exercitiul 7.7 Sa se demonstreze ca funtia Γ : (0,+∞) × (0,+∞) →(0,+∞) definita prin Γ(x) =

∫ ∞

0

tx−1e−tdt este derivabila pe (0,+∞) si

Γ(x) =

∫ ∞

0

tx−1e−t ln(t)dt.

Exercitiul 7.8 Folosind functiile ”beta” si ”gama”. sa se calculeze:

(1)

∫ 1

0

xp−1(1− xm)q−1dx, p, q,m > 0.

(2)

∫ ∞

0

xpe−xq

dx, p > −1, q > 0.

Exercitiul 7.9 Sa se studieze natura urma torelor integrale improprii sisa se calculeze valorile acestora ın caz de convergenta:

(1)

∫ ∞

0

e−ax cos(bx)dx, a > 0, b ∈ R;

(2)

∫ 3π

0

1

x2sin

(1

x

)dx;

(3)

∫ ∞

−∞

dx

x2 + x+ 1

Exercitiul 7.10 Sa se demonstreze ca urmtorele integrale improprii suntconvergente si sa se detrmine valorile acestora:

(1)

∫ 1

0

ln(x)dx;

(2)

∫ ∞

−∞

dx

x2 + 1.


(1) V · p ·∫ ∞

−∞

dx

x2 + 9dx;

48

(2) V · p ·∫ 5

1

dx

x− 2.

Exercitiul 7.12 Demonstrati ca

∫ ∞

0

e−t2 cos(2xt)dt =

√π

2· e−x2

;

Exercitiul 7.13Utiliand Teorema 9 pentru integrala

∫ ∞

0

1− e−xt

tcos(t)dt, x >0,

sa se calculeze

∫ ∞

0

1− e−t

tcos(t)dt.

Exercitiul 7.14 Fie Γ : (0,+∞)×(0,+∞) → (0,+∞) definita prin Γ(x) =

∫ ∞

0

tx−1e−tdt.

Demonstrati ca Γ(x+1) = xΓ(x),∀x > 0, si deduceti ca Γ(n+1) = n!, ∀n ∈N.

Exercitiul 7.15 Folosind functiile ”beta” si ”gama”, sa se calculeze

(1)

∫ ∞

1

xp lnq(x)dx, p, q > −1;

(2)

∫ π2

1

sinp(x) cosq(x)dx, p, q > −1;

8 Integrala curbilinie de primul tip

8.1 Sa se calculeze

∫

γ

F (x, y, z)dl

(1) Se scriu ecuatiile parametrice ale lui γ :

x = f(t)

y = g(t)

z = h(t), t ∈ [a, b]

(29)

(2) Daca γ este o curba din R2 data prin ecuatia implicita F (x, y) = 0,se poate ıncerca folosirea coordonatelor polare astfel: ınlocuind x =

49

r cos(θ), y = r sin(θ) ın ecuatia F (x, y) = 0, se obtine o relatie ceevidentiaza legatura ıntre raza polara r si unghiul polar θ. Rezilvandecuatia obtinutase obtine r = r(θ), cu θ ∈ [a, b] ⊂ [0, 2π] si deci

x = r cos(θ)

y = r sin(θ), θ ∈ [a, b](30)

, care reprezinta ecuatiile parametrice ale curbei. ın unele probleme seprecizeaza direct legatura ıntre r si θ si de aici se obtin, ca mai ınainte,ecuatiile parametrice.

(3) Se transforma integrala curbilinie ın integrala definita prin formula

∫

γ

F (x, y, z)gl =

∫ b

a

F (f(t), g(t), h(t))√

[f ′(t)]2 + [g′(t)]2 + [h′(t)]2)dt

(4) Se calculeaza integrala definita.

8.2 Sa se calculeze lungimea curbei γ data de acuatiile...

(1) Se scriu ecuatiile parametrice ale curbei;

(2) Se scrie lungimea conform formulei lγ =

∫

γ

dl;

(3) Se calculeaza integrala curbilinie rezultata.

8.3 Sa se calculeze masa firului de material care esteimaginea curbei de ecuatii..., daca densitatea ınfiecare punct este ρ(x, y, z) = . . .


(2) Se aplica formula m =

∫

γ

ρ(x, y, z)dl;


50

8.4 Sa se determine coordonatele centrului de greu-tate al firului material care este imaginea curbeide ecuatii..., daca densitatea sa ın fiecare puncteste ρ(x, y, z) = ...


(2) Se aplica formula

xG =

∫γxρ(x, y, z)dl∫

γρ(x, y, z)dl

; yG =

∫γyρ(x, y, z)dl∫

γρ(x, y, z)dl

; zG =

∫γzρ(x, y, z)dl∫

γρ(x, y, z)dl

;


8.5 Sa se determine momentul de inertie ın raport cuaxa Ox (sau Oy sau Oz) al firului material care esteimaginea curbei de ecuatii..., daca densitatea sa ınfiecare punct este ρ(x, y, z) = ...



Ix =

∫

γ

(y2 + z2)ρ(x, y, z)dl

Iy =

∫

γ

(x2 + z2)ρ(x, y, z)dl

Iz =

∫

γ

(x2 + y2)ρ(x, y, z)dl


8.6 Sa se determine atractia exercitata asupra punc-tului material M(x0, y0, z0) unde se afla masa m0 decatre firul material,..., avand densitatea ın fiecarepunct ρ(x, y, z) = ...


51


Fx = km0

∫

γ

(x− x0)ρ(x, y, z)

[(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2]32

dl

Fx = km0

∫

γ

(y − y0)ρ(x, y, z)

[(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2]32

dl

Fx = km0

∫

γ

(z − z0)ρ(x, y, z)

[(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2]32

dl



∫

γ

xydl, unde γ este data de x = t,

y = 2− t, t ∈ [0, 2]


∫

γ

xydl, unde γ este data de y = x2,

x ∈ [−1, 1]


∫

γ

xydl, unde γ : |x|+ |y| = a, a > 0.

Exercitiul 8.4 Sa se calculeze I =

∫

γ

(x+ y + z)dl, unde γ este data de

x = cos(t), y = sin(t), z = t, t ∈ [0, 2π].

Exercitiul 8.5 Sa se calculeze I =

∫

γ

(x+ y + z)dl, unde γ este triunghiul

cu varfurile ın A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1).

Exercitiul 8.6 Sa se calculeze lungimea curbei γ definta prin reprezentareaparametrica: x = a cos(t), y = a sin(t), z = bt, t ∈ [0, 2π]

52

Exercitiul 8.7 Sa se calculeze masa si coordonatele centrului de greu-tate al firului material care este imaginea curbei γ : x = 4t5; y =

√15t4; z =

2t3, t ∈ [−1, 1] daca densitatea ın punctul (x, y, z) este ρ(x, y, z) =1

2|z|

Exercitiul 8.8 Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu axa Oza primei spirale a elicei x = a cos(t), y = a sin(t), z = bt, avand densitateaconstanta ρ.

Exercitiul 8.9 Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de primultip:

(1)

∫

γ

xydl; γ ∈ [0, 1] → R, γ(t) = (t, 1− t);

(2)

∫

γ

(x+ y2)dl; γ ∈ [0, π] → R2, γ(t) = (cos(t), sin(t));

(3)

∫

γ

4x6ydl; γ ∈ [0, 2] → R2, γ(t) = (et, e−t);

(4)

∫

γ

y2dl; γ ∈ [0, 2π] → R2, γ(t) = (1− sin(t), 1− cos(t));

(5)

∫

γ

z(x2 + y2)dl; γ ∈ [0, 1] → R3, γ(t) = (t cos(t), t sin(t), t);

(6)

∫

γ

(x+ y2) ln(z)dl; γ ∈ [0, π] → R3, γ(t) = (et cos(t), et sin(t), et);

Exercitiul 8.10 Sa se calculeze lungimile urmatoarelor integrale curbe:

(1) x = aekt cos(t), y = aekt sin(t), z = aekt, t ∈ [0, 1], a > 0, k > 0;

(2) x = tan(t), y = cot(t), z =√2 ln(tan(t)), t ∈

[−π

4,π

3

];

(3) x = t, y = ln(sin(t)), t ∈[π

4,3π

4

];

53

Exercitiile AM

Documents

Transcript of Exercitiile AM