Matematica - Clasa 7. Partea I - Caiet de lucru....

7
Dragog Petrici Paul-Cosmin Manea Mihai lulian Burduga Marius Antonescu Florin Antohe Lucia Popa Agnes Voica Matematici algebt6, geometrie Caiet de lucru. Clasa a Vll-a Partea I / Modaliti[i de lucru diferenfiate y' Pregitire suplimentari prin planuri individualizate 5oluliite testelor de autoevaluare pot fi consultate la adresa: http://www.edituraparalela45.rolwp-content/uploads/2017/0TAolutii_teste_de-autoevaluare_consolidare_clasaT_seml 2018.pdf Editura Paralela 45

Transcript of Matematica - Clasa 7. Partea I - Caiet de lucru....

Page 1: Matematica - Clasa 7. Partea I - Caiet de lucru. Consolidarecdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Matematica - Clasa 7. Partea I... · Clasa a Vll-a Partea I ... a9-azecimald a numIrului;

Dragog Petrici Paul-Cosmin Manea Mihai lulian BurdugaMarius Antonescu Florin Antohe Lucia Popa Agnes Voica

Matematicialgebt6, geometrie

Caiet de lucru. Clasa a Vll-aPartea I

/ Modaliti[i de lucru diferenfiatey' Pregitire suplimentari prin planuri individualizate

5oluliite testelor de autoevaluare pot fi consultate la adresa:

http://www.edituraparalela45.rolwp-content/uploads/2017/0TAolutii_teste_de-autoevaluare_consolidare_clasaT_seml 2018.pdf

Editura Paralela 45

Page 2: Matematica - Clasa 7. Partea I - Caiet de lucru. Consolidarecdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Matematica - Clasa 7. Partea I... · Clasa a Vll-a Partea I ... a9-azecimald a numIrului;

RECAPITT]LAREModele de teste pentru evaluarea inifiaH.....--. .........3

ALGEBRACapitolul I. MULTIMEA NUMERELOR RATIONALE1. Mulfimea numerelor ralionale Q; incluziunea N c Z cQ.. Reprrezentarea numerelor ralionale pe

2. Opusul unui num[r ra{ional. Modulul unui numdr ra{ional. Compararea gi ordonarea numerelor rafionale ...103. Adunarea numerelor rafionale; proprietifi; sclderea numerelor ra[ionale..... .............154. inmullirea numerelor rafionale; proprietifi.. ......20

6. Puterea unui numir rafional; reguli de calcul cu puteri ......-.28

8. Ecualii de forma ax + b:0, cu c € Q*, b e Q ....................369. Probleme care se rezolvi cu ajutorul ecua,tiilor.... ................40

Probleme pregdtitoare pentru olimpiade qi concursuri .............47

Capitolul II. MULTIMEA NUMERELOR REALE10. Rdd[cinapdtratd a unui num[r natural p[frat perfect. Algoritmul de extragere a rldlcinii p[trate ...............4811. Rddicinapdtratd, a unui numlr ralional nenegativ... ...........5212. Modulul unui numdr real. Reprezentarea pe axi a numerelor reale. Aproxim[ri qi rotunjiri. Ordon[ri.........56

15. Ralionalizareanumitorului unei fracfii ............7616. Media geometrici a dou[ numere reale nenegative.............. .................82

Probleme pregdtitoare pentru olimpiade qi concursuri .............89

GEOMETRIECapitolul I. PATRULATERE

................98

23. Centrul de simehie qi axe de simetrie pentru poligoanele studiate....... .................. 114

Recapitulare Si sistematizare prin teste ........... ....119

Page 3: Matematica - Clasa 7. Partea I - Caiet de lucru. Consolidarecdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Matematica - Clasa 7. Partea I... · Clasa a Vll-a Partea I ... a9-azecimald a numIrului;

Recapitulare qi sistematizare prin teste ........... ....131

Probleme pregltitoare pentru olimpiade qi concursuri .......'." 133

capitolul II. ASEMANAREA TRTUNGHTIruLOR

30. Teorema fundamentali a asem6n6rii.............. ...-.-.-........-..147

31. Criterii de asemdnare a doui triunghiuli.. ...'.. 151

Recapitulare Si sistematizare prin teste ........... '.'.156Probleme preg[titoare pentru olimpiade qi concursuri ......'....158

Page 4: Matematica - Clasa 7. Partea I - Caiet de lucru. Consolidarecdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Matematica - Clasa 7. Partea I... · Clasa a Vll-a Partea I ... a9-azecimald a numIrului;

Competenta:ldentifi carea caracteristicilornumerelor rationale gi a for-melor de scriere a acestora incontexte variate

Fracfiile 1, I @," e N, b,d e N-) se numesc echivalente dacd ad: bc.inqcestcazscriem +=i .' b'd" b d

Dacd. a, b, c, d € N., + ,1o ad > bc .bdTransformarea frac{iilor ordinare in fracfii zecimale:

O fraclie ordinard !, r>l,b>z se transform[ intr-o fraclie zecimaldprin impdr,tirea numdrdtorului la'bnumitor. Este recomandat ca, pin[ la efectuarea acestei imp[{iri, fraclia s[ se simplifice pdnd la o fracfieireductibil[.

Transformarea fracflilor zecimale in frac{ii ordinare:

o Fracfii zecimale finite: "r"r-"-,brbr-; -

a'a'"'qrb-'b'"'bn

l0'

o Fracfii zecimale periodice simple: qrr-"-,(brbrt) - q'a'"'a^b,b,"'bn - a'a,"'a*

o Fracfii zecimale periodice mixte: H

ara r...a.brb r...b nc rc r...c, - ara r...a.brb r...b,arar...a*,brbr...b,(cr$...c0)- L' nLz ntz P

99...900...0r----jp cifre n cifre

S u.rt1i*ea numerelor ralionale este: Q : {yl *,n. Z,n * o\ .

ln' )Prin convenfie, orice fracfie se nume$te num5r ralional.

Q = Q- u {O} u Q. , unde Q_ este mu[imea numerelor rationale negative, i* Q* multimea numerelorralionale pozitive.

Exernple denumeredinQ: o;t; -I;s,z; f; -15,0(4) €tc.

S Crrrouqtem deja cd N C Z.

5ffi

Page 5: Matematica - Clasa 7. Partea I - Caiet de lucru. Consolidarecdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Matematica - Clasa 7. Partea I... · Clasa a Vll-a Partea I ... a9-azecimald a numIrului;

Oricare arfr xeZ= *=I.Q.+ZcQ.Avem, agadar: N c Z c Q.

Obsewatie: Orice num6r inffeg este numlr ra{ional.

Reciproca este fals[: de exemplu, ]. * , aa, )eZ '

S Considerlm o axi cu originea in punctul O. Num[rului ralional 0 ii corespunde punctul O,iar oicd-rui num[r ralional pozitiv ii corespunde un pUuct pE axi situat la dreapta originii, oricdiui numir rafional

negativ, un punct s-ituat la stSnga originii, linanO Contlgi de faptul cd, daail'x > y; punctul corespunz[tor

num6rului rafional x este situat la dreapta punctului corespunz[tor num6rului ra{ionaly.COAB

-2,(6) 01

t. Stabileqte care dintre propoziliile urmltoare sunt adevlrate qi care sunt false:

a) Num[ruI0,(3) este intreg. Ib) Num[rul 1,2 scris sub form[ de fracfie ordinara ireductibil[ este egal * :.xc) Orice numlr ralional este numir natural. f,

Id) DacE 0,(a) =1, atunci a:3.4

5

2. Completeazd spalille punctate cu rlspunsul corect.

a) Num6rul I ,r.i, sub form[ de fracfie zecimaldeste egal cu """"""""""' ')

b) Mulfimea numerelor intregi este inclusl in mullimea numerelor

c) A gasea zecimald a num[rului 3,(456) este .'........'. .

5d) Dac[ ] este un num[r inkeg, atunci n e {,.......... ........."'.'."'}.

n

3,5

Transformd urm[toarele fraqii ordinne in fra4ii ffiimle: n TS; b)

Solugie: ,, *= 3, 08 ; b) + = 26,(3') ;") * : 0,l(O .

6 f.urrform[ urmitoarele fracfii zecimale ?n fractu ordinaxe: a) 5,7; b) 5,(31);

Solulie: a) 5,7=ff;u) s,(31)=t# =#;c) 0,12(5)=W=ffi

6arut6 cI frac{ia 4 este ireductibill, oricare arfi z € N'.' n+lzeN'

SolugiezFie d - (n,n+ 1) + {\'ri.r=

d ln +!- n* d | 1 > d = 1. Rezul ti cd tuac\ia

oricarearfineN-.

/J-

237 1

9 '6

c) 0,12(5).

u : este ireductibil[,n+l

Page 6: Matematica - Clasa 7. Partea I - Caiet de lucru. Consolidarecdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Matematica - Clasa 7. Partea I... · Clasa a Vll-a Partea I ... a9-azecimald a numIrului;

6anu neZ,etiindcr ffi.,solu{ie:

"r ffiez=2n+rl3n+4. cum 2n+rl2n+t>{:".:1,1"*1= 2n+ I ls +2n*1 e {-5,

-1, 1;5) +2ne {4,-2,0,4}=+ ne {1,-1,0,2}. l2n+ll6n+3

6 in".r.rieqte variantele adev5rate, tcriindu-le sub formd de fracfie zecimald:

,)i.e; D-Z*2, c)-2,(a/Q; n+; u)f; .l#; o#; qX,, 4 - rr\\\ ry . -. -l 6 *" ordinea reprezentiirii pe axa numerelor de lal)

i'Q\Z; e) ; e Q* ' stinga la dreapta pentnr urmrtoarele numere ralionale,

Reprezinti pe arr numerere 2,s si !. care dinhe iliT:l-";ii,yrc1"rffi:"ffff' Q 4,2(3).r-+^ -:h,^+ a- ,t- ^-+^ ^^l--:1^1.o Zele este situat in dreapta celuilalt? '

bForosind descompunerea in factori primi a numi-6 trr. sub forml de fracfie zecimaldnumerele: torului, stabileqte in ce tip O. a""ti" r"if,"rf; fn-A

"l 1; ut 1; .) +; a) $; ")!2lZ5 periodicd simpl[ sau periodici mixtd) se transforml

l0 , ", T' ", lt' urmltoarele fraclii ireductibile:

6 s..i" sub formi de frac.tie ordinard nu-.r.I:'- .- "', # o) *; .) *; u', *t ") #a)0,77; b) 120,03; c) 17,0801; d) 1,4; e) 5,55. JL oJ

F,;ffi*t rormr

Bi1Jll:'.inarr numerer

Z,r,1ry, 6 ,,. murlimea o={01,2,(3);-178;:,:,#}

d) 0,(397); e) 1,(l). Cdte elemente au flecare dintre mu[imile de mai jos?

El S"ri" sub form[ de frac[ieordinarl numerele: ni {, e A l, > 0}; .............a)0,0(3); b) 14,15(10); c)1,7(71); c) {xe A|x€ e\N}.d) 4,9(01); e) 2,1178(4)

6 r.r"r-inlelementelemulfimii: 6 S.ri. elementele mul,timii A={+l a este num[r

ftr -ts r nz , ^,n o ,oo 151 - ^, (b

)

tT,J,a , 1' ,1-2)n ,l'#,f)^ ^ prim mai mic decdt 6, b este divizor intreg al lui 3].

6 $,iiro c[ numirul rationalx este reprezent atpe axa 6 $upt" copii joacl urm[torul joc: unul dintre ei scrieI

pe tabl[ fracfia ;, apoi fiecare dintre ceilal,ti gase eleviI

igi alege cite o zecimal[ din cele obfinute transformdnd

fraclia ] in mclie zecimald(primul alege zecimea, al,7doilea sutimea etc.). Cel care a scris pe tabl[ fracfiale spune colegilor sdi cI dac[ iqi alege gi el una dinfreurmitoarele zecimale, aceasta va fi egali cu a unuiadintre cei gase colegi. Are dreptate sau nu?

numerelor in st6nga originii, iar numdrului rafionaly iicorespunde pe axl un punct situat in dreapta originii,care dintre cele dou[ numere este mai mare?

6 "U,"

numere rafiomle sunt scrise sub formi de frac-

fie cu numitonrl 3, iar numiritorul divizor intreg al lui 6?Cdte dintre acestea sunt numere infegi? Dar naturale?

6 ,"n" ordinea reprezentdrii pe axa numerelor de lastdnga la dreapta pentru urm[toarele numere rafionale,

7ffi

Page 7: Matematica - Clasa 7. Partea I - Caiet de lucru. Consolidarecdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Matematica - Clasa 7. Partea I... · Clasa a Vll-a Partea I ... a9-azecimald a numIrului;

/l

ftt Determina-l pe a, qtiind ci a = 0,(r) .

a

rearfinqN-.3n+ 5

a)

-.

' 4n+7'

d) 5'+7 :' 7n+10'

bl n*o.aeN:' n*a*l'

6n-2e) _.' 8n-3'

7n+12c) _.

3n+5

n 4n-l .'2n+l

fracfie zecimald 1,403(abc), qtiind cd a 2000-a cifr[dup[ virguld este 2, a 2017-a zecimald, este 8, iar a

2019-a este 1.

6 O"r"r-io[ toate numerele ra{ionale l,a(b), qtiind

cd are loc egalitate u trot0)):? -

9a

b Xurecd urmStoarele fraclii sunt reductibile:

5" +1

") fi, oricare arfi n € N.:

,r@##9,unde a,b,c,,z € N;

- 5"*t .2' +lcl

-.

' 5n .2n+t +l

b *ucifrele nenule a, b, c,gtiind c5:

a) O,ab(c) + O,bc(a) + O,ca(b) = 0,(6) ;

n\ O,ab(c) + O,UIA + OsA= l,(6) .

6 O","r-ira cifra x, gtiind ci numirut rafional +este numiir natural. 0'1(x)

6 Canelemente are mu{imea:

, ={Hl p,q'N* numere n'i-'} n x'

6O","rr.rin6 numIrul ralional pozitiv scris sub formd

de fractie {, qtiind cd, dacdadun[m 1 la numlrdtor gi,b2 la numitor, acesta se hjum[t[feqte.

8rc

fi,Cil"ul"-ii suma primelor 10 zecimale ale fiec[ruia

dintre numerele rafional "+,ffi,:.fi Oet"rmini elementele mulfimilor:

al A={*.zl .19 ..2\:' t '2x+3 )'b) B=lr=x,x+2 I' t 'Zx+leQ\zl;

c) c= [tln-l tnez\nz.' t4n+l' )

6ena probabilitatea ca, aleg0nd un element din mul-

Irr sr 20l7 lol Tool' t4'13'16'3s'37)'fraclie zecimald periodic[ simpld.

b**c[ urmdtoarele frac{ii sunt ireductibile, orica-

h*umu[imile:a) A={..u| ;: .u},

b) B = {-.zl :L= x};' rL | 2x+t )'c) c= {..r1#.2};d)D={,.*l X.z,}.6 ei" nuradrul rafional 4,1 5(38461 5). Determind:

a) a9-azecimald a numIrului;b\ a77-azecimald a num[rului;c) a 2000-a zecimald a num[rului.

Determin[ cifrele a, b, astfel incirt 4 eZ.'b5

fi n.,..*in[ numdrul ra]ional scris sub form[ de