Marin chirciu Marian Haiducu octavian stroeMarius Antonescu Florin Antohe Lucia popa Agnes voica

Matematicialgebtd, geometrie

Caiet de lucru. Clasa a Vlll-aPartea I

Edifia a ll-a

r' Modalitifi de lucru diferenfiatey' Pregitire suplimentari prin planuri individualizate

Soluliile testelor de autoevaluare pot fi consuttate ta adresa:https:/iwww.edituraparalela45.roidownload/solutii-teste_de-autoevaluare_consolidare_clasag_sem1_2019.pdf

Editura Paralela 45

RECAPITULARE

Capitolul I. NUMERE REALEl. Forme de scriere a unuinumdrreal. Relafia N c Z c Q c ]R.................. .............92. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximdri................. ..........................14

6.Rafionalizareanumitoruluidefomra 116 ru, oxJi,undea,b e N-.......... .......................3g

Capitolul II. CALCULE CU NUMERE REALE

9. Descompunerea in factori (factor comun, grupare de tenneni, formule de calcul) ..................5j10. Rapoarte cu numere reale reprezentate prin litere; operalii cu acestea (adunare, scddere, inmullire, imp6rlire,

capitolut I. RELATII iXrnn PUNCTE, DREPTE, PLANE11. Puncte, drepte, plane: convenlri de desen gi de nota{ie. Determinarea dreptei; determinarea p1anului............................7112. Piramida: descriere gi reprezentare; tetraedrul (piramida triunghiulard) . . . . .. .............1513. Prisma: descriere gi reprezentare; paralelipipedul dreptunghic; cubul ..............g0

16. Poziliile relative ale unei drepte fafi de un plan. Dreapta paraleld cu un plan.... ...................g417. Dreapta perpendiculard pe plan. Distan{a de la un punct la un plan. indllimea piramidei ..........................g718. Poziliile relative a doud sau mai muitor plane. Plane paralele. Distan{a dintre doud plane paraleie. indllimea prismei ....10219. Secliuni paralele cubaza in corpurile geometrice studiate. Trunchiul de piramidd .............106

Capitolul Il. PROIECTII ORTOGONALE PE UN PLAN20. Proieclii orlogonale de puncte, de segmente de dreaptd qi de drepte pe un plan.... ..............113

23. Calculul distanlei de la un punct la o dreaptd, calculul distan{ei dintre doud plane paralele, calculul distanlei

MODELE DF.TEZA

nAspuxsunr ......................... 143

138

fifi. A:{ob" lo.b.c:A,undea,b,csuntcifre froacenumerele x,y,zs)ntdirectpropor,tionalecu

b)Calculeazaprobabilitateaca,alegdndlaint6mplare /:rn numdr din n-rullime a A, aeestasd fie divizibil cul. Afla x din egalitatea:

$ Aruta cd 3' . 5n+1 + 15n * Jn+t .5, este divizibil cu 9,pentru orice numdr natural n.

$ ana cardinalul'mullimii:A:{*€Nll0<x<425}.

fi Xerultatul calculului :

(-5')' : 257 * (125)6: (-5r)n este ... .

fi Sotrliu dinZ aecuafiei:

-3x - 5lx * 2(3x - 1)l : 7(3x - 2) este ...fuoaca + =1 .catcuteazd,

2: -3,bb s' 5a-b

fi nmt . numerele a: -1,(3)$i b: -P:, mai mare fi r."pt unui obiect se micqorea zd" cl20%o.Cu cAt la

3

in baza 10).a) Scrie toate elementele multimiil. 2,3, 5, afl6 valoarea expresiei E: *2 *.,2 -12

w+vr+^

r lr [r (t 3) 41 s] 6

7 \e [; la''i)* t]-;i*7 :,

fi Scrie'ea sub formi de fracfie zecimald, a fracliei

ordinare I este....aJ

fi Oaca .y qi W sunt direct propor{ionale cu 5 qi 6,

este...

fi Erectue azd: t,t2 ( ;) ( #)

B : {x e Z I lxl< 3}. Aflal U B, A. B, A\B,B \1.

6 ," biciclist a parcurs un drum in3 zile.in prima zi12

a parcurs 1 din drum, a dota zi q din rest, iar a treia

zi restul de 24 km.Afld lungimea drumului.

sutd trebuie si se mdreasci noul pre! pentru a se ajungela prelul inilial?

fr Rezolva in Q ecualia Ir-;l

:,

afl[ cifrele x qiy.

fu xata cd"fraclia

fi numdrul nattxaln.

8r+5-^ este ireductibila. oricare ar5n +3

1

Arata ca E: :- [1 l)3,*5(6n + 9) + I] este numdr4

fi Oiferenla a douS numere naturale este 19. implrlindunul dintre numere la celdlalt se obline c6tul 5 qi restul3. Afl5 nnmerele.

intreg, penku orice n num[r natural.

fu Ei. murlim,e A: {..r,#=z} *Scrie f ca produs de 3 numere rationale pozitive2-

qi subunitare.

fi int -o clas6 sunt 28 de elevi, 16 sunt inscrisi la .tcercul de matemat icd,, 21 la cercul de informatica qi fff Rezolvd in numere intregi ecualia: 2x2 - xy - f : 5.3 nu sunt inscrigi la niciun cerc. C6!i elevi sunt inscrigilaambelecercuri? Soaca *-1 :3,carculeaze *, +\.

XX'

A

irul

Partea I. incercuiegte litera corespunzltoare rlspunsului corect:

iar L Efectuand calculele 8 .26. f -1) . obtinem:13 1l [ 11,

A. l: g. 203,

143Cel mai mic numir natural mai

)Solutiaecuatiei a . x*3 : I este:1

12-lA. -: B. --:33Un romb are lungimea laturii de 5 cm qi un

de:

A.3; 8.4;

B.30;

c. -0,55;

mare decat numdrul 2.,6 este:

c.5;

D.2l11

D.6.

D.5 cm.

ascufit al slu este egal6 cu:

D. \6.

D. r(x - t)(2 - x).

D.5 cnr3.

D.32.

c.-3; P. -!.3

unghi de 60o. Lungimea diagonalei mici a rombului este

Z

7

A.30'; 8.6 cm; C. 5rE cm;

5. Dac[untriunghi este dreptunghic isoscel, atunci tangentaunui unghi

aa

A.45'; B. 1;

6. Expresia f - 2x * 1 poate fi scrisi sub form6 de produs astfel:A. (, - 2)(x + l); B. (x - I)(x + 2); C. (x - l)':;

7. gtiinO c[ lungimea unei linii mijlocii a unui triunghi echilateral este de 10 cm, perimetrul triunghiuluieste de:

A.30 cm; 8.60 cm; C. 15 cm; D.20 cm.8. aria unui triunghi care are o laturi de 6 cm gi indlfimea corespunz[toare acestei a de 4 cm este de:

A.12 cm21, 8.24 cm2; C.6^,fl cm2;

c.*,V3

Dacda+ t: 5Ji Si a-b: 3Jr, atunci a2 - b2 este egal cu:

a. 8J7; c. 2rD;

1.

2.

v:5. I

t.

Partea a II-a. La urmltoarele probleme se cer rezolvirile complete:

Afld numirul real x din eealitate ut -L ='lt ."Jzt3Dacd. mr reprezintd media geometricd a numerelor r $i.y, determinl numdrul x gtiind cd m,

3G.Se considerd segmentul [AB] de lungime 48 qi punctul M e (AB). Calculeazd, AM qi MB dacFr

in trapezul isoscel ABCD (AB ll CD), BC:6 cm, CD: 5 cm qin(<ABC): 60o.a\ Calculeazd. AB.b) Dacd AD a BC : U[], calctleazd perimetrul t/Lttnghiului WB.

: o.'6 qi

AM3MB5

5

ALGEBRA/ Competenta:

ldentificarea in exemple, inexercifii sau in probleme a nu-merelor reale qia formulelorde calcul prescurtat

Mul{imeanumerelornaturaleesteN: {0, 1,2,3,...}. t"/Mullimeanumerelorintregi esteZ: {...,-3, -2,-1,0,1,2,3,...}. $(-t I f,

Mullimea numerelor ralionale este Q : 1+1, eZ, b eZ. | . #tbt ) $

intre aceste mul,timi au loc incluziunile N c Z c Q. #Orice numir ralional poate fi scris: I $. ca frac{ie ordinard (de exemplu: , ); ffi. ca fraclie zecimald (de exemplu: 0,5). ffi

Fracliile zecimale pot fl: ffio finite (de exemplu:0,25); ffio infinite: ffi

periodice simple: 1,(3); ffi

- periodice mixte: 1,2(3). ffiRefine! Perioada este diferitd de (9). ffi

Orice num[r ra]ional se poate scrie ca o frac]ie zecimald, infiniti, periodicd. ffi

ExeYnple: 1:0,0, -1 :-r,rt l:o.trl' !:t,z(tl. ffi'52'330ffiPartea intreagfl a unui numdr real este cel mai mare num[r intreg mai mic sau egal cu numIrul respectiv. ffiPartea frac{ionari a unui numdr real este diferenfa dintre numdrul respectiv qi partea sa intreagd. ffiPartea intreagd a num[rului real x se noteazd,lx). ffiPartea fracfionard a numdrului real x se noteazd {x}. ffiRelinem cd x: [x] + {x}, oricare ar fi r € IR.. ffi

ffiFraclie zecimaldneperiodicd , orAor-ra : ,r'-k"? . Exevnplu: 12,304: D*+ ffi-"8* 'r'-"-'-"''-1000

ffi.1 ffiFraclie zecimatdperiodicd simpld: ;;Gi;d : ,,-* . Exemplu: t,(23): J3 ffiss' ffi

ffiFracfiezecimaldperiodic[mixt[: M:rrffi $ffi-ffi'lri; ffi

ffiExernplu:2,7t(326): r"?^?9.-" :2H ffieee00 eee00 ffi

Copitolul l. { lJhvt .l)1.J,{ t

Forrne de scriere o unui numdr reolNcZcQciR

ulJ{trluutEutE3z

9

C*tn walt'ngth o*Xta?

(1,5 p) L Completeazi spafiile punctate astfel incflt sI obfii afirma(ii adevlrate:

a)Dacdx>0gix- 1 : 2,arrtncir* 1 este..................xxb) Scrie (x+y)(x*y)'cao diferen{[ de douipltratec) Descompune in factori x3 + * - 4x - 4.................

(1,5 p) 2. Pentru fiecare dintre enun{urile urmitoare, dacii enunful este adevilrat, incercuieqte literaA, iar daci enun(ul este fals, incercuieqte litera F:a)a2-b2:(a-b)(a+b).b) a' - bt : (d - bz)(a + $).c) ao * bo : (az - b'z)(d + b'?).

tn

(2 p) 3. Unegte prin slgefi fiecare enunf din coloana I cu rezultatul corespu nziltor din coloana II: ffi

AFAFAF

Iall +;b) x3 + 1,']

c\ x3 -tfti) x'-"U

II1) (x + yY -3xy(x + y)2)(x*y)'z+Zxy3) (x + y)l -Zxy!19 -*r..zPt(x

--t)

6) (x - y)(x + y)

La urmitoarele subiecte scrie rezolvlrile complete.

(2p) t FieexpresiaE(x) : Jl4x+gi - J;4-+4f .

Calculeazl valoarea expresiei pentrux :1017.

(2 p) 5. DacS Jx' + 4x+5 * ,{Z1f -2fi *S * tllr' -ffi *n ( 6, calcule azdprodtsnlxyz.

\-otd: Timp de lucru: 50 de minute.Se acordd I punct din oficiu.

67

UJJule,utuut.

=fz:)(.,t&lJ3rJJ

IJ

Competenla:RecunoaSterea gi descrierea unorpropriet6li ale unor figuri geometriceplane in configuralii date in spatiu saupe desfSgurdri ale acestora

Nofiunile fundamentale ale geometriei in spafiu sunt: punctul, dreapta, planul, distanfa gi misuraunghiurilor, noliuni intAlnite in geometria pland, la care se mai adaug[ nofiunea de spaliu. DacS in geometria

pland exista un singur plan, in geometria in spaliu avem mai multe plane.

Punctul, pus in eviden!6 prin reprezentdri gi notalii de tipul:

I o.':' i:':'Dreapta, pusi in eviden!5 prin reprezentdri gi/sau notalii de tipul:

Planul, pus in evidenld prin reprezentiri giisau notalii de tipul

,r *------7 m/ / /' B ) /b./,/'/

Planul cr, Planul o1 Planul (ABC)HruZPlanul (d1d2) Plam,l(dfi2) Planul (Pd) satPlanul (dP)

Axiomele de inciden{fl ale geometriei in spa{iu:Spa{iul este o mullime de puncte.

Dreptele gi planele sunt submullimi ale spaliului.Orice doud puncte distincte A qi B determind o unicd dreaptd AB. Existd puncte exterioare unei drepte.Orice trei puncte necoliniare A, B, C determini un unic plan(ABC). Existd puncte exterioare unui plan.Dacd dou6 plane diferite au un punct comun, atunci intersecfia lor este

o dreapt6.

Consecin{e ale axiomelor de incidenfl. Determinarea planuluiI. Prin orice trei puncte necoliniare A, B, C trece un unic plan notat @Bq.II. O dreapt[ qi un punct exterior ei P determind un unic plan notat (dP)

sau (Pd). (Vezi flgura al[turatd.)

a-- (P,

Bd'

a: (ABQ

71

GEOMETRIEINTRE PUNCTE DREPTE P,/.NE

iau A

utzso.

tulFo.lr|uo

iulbz3o.!!u,t-z

(r

=l-rsu,u

(5p)

(sp)(5p)

(sp)(sp)

(sp)

Sub(5p)

(sp)

(sp)

(5p)

(sp)(sp)

Subi

(6p)

(6p)(6p)(6p)(6p)

I

138

Modele de tezd

"n"1"/"f ;y'/*j

Subiectul I - Pe foaia de tez[ se trec numai rezultatele (30p) {. ,l

(5p) Rezultatul ra[ionalizatal calculului +-+ este ...VJL

(5p) Numarul realr pentru "ur" -!-=$+ este egal cu ...' Jz -t Jt -Jz

(5p) Numdrul Jso *:JrT - 2",n , scris sub forma o'fi , "ra, b € N, b numdr prim, este ...

t. Numerele intregi frpentru .ur. -L e Z srrlrt ...' zk-l!. Cateta unui triunghi dreptunghic-isoscet cu ipotenuza de 5Ji cm are lungimea egal6 cu ... cm.6.ValoareadeadevSrapropoziliei:,,Dacda,b,c,cua*b*c;*asunttreidrepteastfelincdtallbqi

(5p)

(5p)(sp)

b ll c, antnci a ll c." este ...

Subiectul II - Pe foaia de tezl se trec rezolvlrile complete (30p)

(5p) 7. $ Aratd,ce J2 este numir ira{ional.

(5p) b) Afle ultima cifr[ a unui pdtrat perfect qi deduce{i ca JSr+Z e IR \ Q, oricare ar fi n e N.(5p) c) Folosind teorema imparfirii inffegi, scrie forma generald a unui numdr natural la imp[rfirea cu 3.

Demonstreaz[ "e

JS"+Z e R \ Q.8. fie expresiile Er(x): f -6x + 13 qi EzO): $+ 4y * 10,, unde x,y € IR..

(5p) a) Demonstreazd cd, oricare ar fi x € IR li y € IR, expresiile E,(x) ;i Er(y) reprezintd numere realestrict pozitive.

(5p) b) Afle valoarea minim[ a numerelor E,(x) li ErQ), cdnd x gi y parcurg mu[imea numerelor reale.

(5p) c)Afl[numerele realex qi/, qtiind ce,{Er(fl + "fffi < S.

Subiectul III - Pe foaia de tezl se trec rezolvlrile complete (30p)i. in figura alilfixatd, ABCD este un pdtrat, V / @Bq gi S este mijloculsegmentului ZO.

(5p) a) Plealizeaz6 pe foaia de tezd un desen asemdn[tor cu cel din figur[ gi

(5p) bl) AflA natura patrulaterului MNP}.(l0p) br) Demonsteazdce(MOI\ ll(VCD).(10p) br) Calculeazd cdtla sutil reprezintd d^rrdin 1r"r.

V

IIqI

RECAPITULAREExrncrlrt $r eRoBLEME RECAnITUT.ATIVE

1.a)A:{114,141,411,122,212,221};b)P:+.2.9.15'i9.3.cardA:425-10:415.'4.4.s.x:4.6.b.7.1,(6).2

1

8. i.9.Dacdn:2k,k e Z+ E:-3k-2 e Z.Dacdn:2k+ l,k e Z+ E:3k+ 4 e Z.l0.A= {-5,4,),*t},8:2

-- {-2,-1,0,1,2}.AvB: {*5,4,-2,-1,0,1,2};AaB {-2,-l};A\B = {-5,-4}; B\A= {0,1,2).11. 12 elevi. 12. E::* ,r.x:1.14.r. {-+,:}.ls.60km. 16. -I.rr.2s%.t'.x:4qi y:s.te.Fiedl8n+sFidl5n+3>31 l22l r0-.>d|1.20.23qi4.n.::*: i : * rr.(x-y)(2x+y):5(:l.s:5.1=(-t).(-5)=(-5).(-l)).obti-2106710

(x,y)e{(2,r);(2,-3);(-2,-r);(-2,3)).23.11.24.:.25.x=Jr.26.x:7.27.x=1.28.(x,y):(1,2).36L

f. l6feteqil3blieli.30.25deIei.31.{-1,0, 1).32.(x,y):(4,9).33.4x-5.34.12.35.A:(x+l)(x+2)esteprodu-

ladoudnumere nahxdle consecutivecaresedividecu 2.36.a) JA :6* ab:36; b) ab=36sibc: rua+ 4 :-bc36 lal ,s1=

: - 3 :1 : I - c : 4a. 3i. (* -2),> 0. 3g. x : O,(7). 39.x : _t,y : -1,, : _L. qO.144 4 c 4 , 2" 2'2c-a _ sumanumdrdtorilor a+h+c

6 sumanumitoril,or :

o+b+c :l+2a:b+c'Zb:a+c;i2c:a+b'

DE TESTE PENTRU EVALUAREA INITIATAestul l: I. 1. A.2.8.3. c.4. D.5.8.6. c.7. B.8.A.9. B.II.1. x: jJi.2.x: ala.lAM: t8cm, MB= 30 cm.a) Conskuim CE ll AD + A'BCE echilateral gi ADCE paralelogram + AE = 5 cm gi EA :6 cm + AB : ll cm;LMAB echilateral >AB:BM=AM: ll cm+ @tuta:33 cm.

2: I. t. A.2. C.3. C. 4.B. s. A. 6.8.7.C. s. A. 9. D. rr. t. r: 4.2. a) a: 4J, ;b) m,: 3.6 qi mr: 2J6 .5

tl 1/o4s(.: 48 cm; b) .t//LqBC: 96 cm2; c) AD:9,6 cm.

3: r. 1. B. 2. c. 3. D. 4. B. s. c. 6. c.7.A. 8. C. e. B. rr. t. - . {l;;} ,. a) b - a: 2 e N; b) -,: t. 3. a) n(<ABD) :. \- -):O';m(<ACB):30'; n(<BAQ= 120";b) TVMBC:8(2 + .6 )

"1rr; c).ry'6a86: 16.6 *2g cmz.

I 4: I. 1. C.2.D.3. A. 4.C. 5. A. 6.8.7.8. 8. C. 9. B. II. t. x:205.2. a) a: Gr6l -r : l,-rl .*.'6l : .6 - r + t + .,6 : 2Ji ;b)ms: 4J1.

EBRA

tolul I. NUMERE REALE

FoRruE DE scRrERE A uNUr NUMAR REAL. RELATm N c Z c e c Ra)I qi2; b) 7 qi 8;c)l qi-l; d)-8 9i-7. 4.a)1,3 < l,(3); b) 3,1 <3,(t); c)_1,(3) <_1,3; d)_3,(1) <_3,1.5. a) 0,9;

;1,39;|,4;2,|;3,l9;3,2;b)1,2;-3,|9;-2,|;_1,4;_1,39;-t,309;-0,9.6.a)l;b)?;"l1.7.5.'5 5''7 12',18',18

,t7:3.4:-3.4;-J;u)0,(3); 0,3;-0,3;-0,(3).9.a)0,2;b)-0,75;c)2,(3); d)-0,1(6). 10.a.yx:fi;ul x:0.2(t)..a)2;i3;b)9qi 10; c)-39i-2; d)-109i-9. 18. a)2,7<2,(7);b)7,2<7,(2);c)_2,(7)<e,7;d)_7,(2)<_7,2.

2a*b 2b-cca

rr2t+ V3)

'143