•Transportul de proprietate poate fi dezvoltat sub aspectul legităţilor de desfăşurare plecând de Ia modelul fizic şi mecanismul elementar de transport. Aplicând legile de conservare a proprietăţii unor volume de control din mediul prin care se desfăşoară transportul, se deduc ecuaţiile diferenţiale specifice unuia sau altuia dintre mecanismele de transport,

•Ec. generale de transport {molecular, convectiv, radiant) sunt relaţii între: fluxuri de proprietate transportată şi gradient de concentraţie sau potenţial a acestuia (pentru mec. molecular); între fluxuri şi produsul dintre potenţial şi viteza de curgere (pt.mec. convectiv) şi între flux şi viteză pentru mec. radiant.

• Ecuaţia de conservare a proprietăţii se scrie:

Proprietate Propritate Propritate 1

acumulata intrata ieşita 1

de surse interioare de proprietate

iranscnsa in termeni ae nuxun ae propr. mirata, ieşita, acumulata m voi. ae control în unitatea de timp printr-un anume mecanism de transport ec. de conservare conduc la ec. dif. de transport pt.mec. respectiv în reg. nestaţionar. 3/1/2013 S. Drăgan 1

TRANSPORT MOLECULAR DE PROPRIETATE ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ DE TRANSPORT

MOLECULAR

•Se separă un e.v.c dintr-un mediu omogen, izotrop şi imobil de formă paralelipipedică cu volumul dV.

Suprafeţele ce delimitează e.v.c se află la potenţiale constante dar diferite între ele astfel că între ele are loc transfer de proprietate. Prin fiecare faţă a volumului de control traversează fluxul de proprietate:

Prin faţa 1 intră fluxul:

Prin faţa 2 intră fluxul: °%

Volum de control dV=dx dydz

Fluxul net acumulat sau cedat după direcţia xeste dat de diferenţa:

3/1/2013 S. Drăgan 2

TRANSPORT MOLECULAR DE PROPRIETATE ECUAŢIA DIFERENŢIALA DE TRANSPORT

MOLECULAR

în mod analog se obţine fluxul net acumulat sau cedat şi după direcţiile y şi z:

Prin însumarea componentelor fluxurilor după cele trei direcţii se obţine fluxul net total de proprietate acumulat sau cedat prin mecanism molecular de volumul elementar:

- este operatorul Laplace

3/1/2013 S. Drăgan 3

TRANSPORT MOLECULAR DE PROPRIETATE ^/Sj^ ECUAŢIA DIFERENŢIALA DE TRANSPORT | W j |

MOLECULAR

Ca urmare a acumulării de proprietate potenţialul din volumul de control se modifică în timp după o relaţie de forma:

O P - pt.câmp staţionar de potenţial ™ ~ : o -=>

^ ^7 * P~ O j - e c - i«i Laplace

3/1/2013 S, Drăgan 4

FORMULĂRI PARTICULARE ALE ECUAŢIEI DIFERENŢIALE DE TRANSPORT MOLECULAR

• Transport tridirecţional:

-în mediu anizotrop:yj^^

-în mediu izotrop: $i~%ţ : :&l~^ > =

Transport bidirecţional:

-în mediu anizotrop:

-în mediu izotrop:

Transport unidirecţional:

Surse interioare de proprietate completează ec. de bilanţ:

rSI ~ ^ O*

3/1/2013 S. Drăgan

CAZURI PARTICULARE DE TRANSPORT MOLECULAR

• • " " • • ^ 2 2 1 - şvfP Prin înlocuirea potenţialului P în ecuaţia generală de transport molecular 5 ? " " v

sau în ecuaţia fluxului u n i t a r f - - ^ ^ cu concentraţia unei anume proprietăţi, se obţin ecuaţiile diferenţiale de transport molecular pentru impuls, căldură şi masă. înlocuind în ec. generală, potenţialul proprietăţii

-pt impuls: P=—=—^- = p-w

Cp m-cp-T -pt căldură'. P=y~ y~~^CpT

•pt masă: ? m — = — = p= c V V

[Kg/m2s]

P /m3]

[Kg/m3]

se obţin ecuaţiile câmpului de viteze, de temperatură şi concentraţie în medii omogene şi izotrope a căror expresii sunt:

3/1/2013 S. Drăgan 6

CAZURI PARTICULARE DE TRANSPORT MOLECULAR

T ' ^^^^T^^f^^pf^râns^mTae impuls):

pt. medii compresibile I^J5"?

" S t sau

Ecuaţiile câmpului de temperatură(pt. transfer de căldură):

Ecuaţiile câmpului de concentraţie (pt. transferul de masă):

Pt. regim staţionar, ecuaţiile capata forma :

i ^ ^ D -sunt coeficienţi de difuzibilitate moleculară a mediului 2 ) , pentru impuls, căldură şi masă în [m 2/s].

3/1/2013 S. Drăgan 7

/

Integrarea ec.dif. a fluxului unitar între limite date de potenţia %>7\) şi de traseu^o<o^< conduce l i . . " ^

ec.fluxului unitar

Ş«. /int.c.electric

?• J(/-dif.de pot

: | r rezist, electr

* legea lui Ohm

^ « f l . termic #-tens.tang. /M*fl. masic

K -

An» i h

ec, flux

3/1/2013 S. Drăgan 8

TRANSPORT DE PROPRIETATE PRIN MECANISM CONVECTIV

Fluidele în curgere realizează transport de proprietate prin mecanism convectiv. Cantitatea de proprietate transportată depinde de caracterul laminar sau turbulent al curgerii. Avem astfel, transfer de proprietate prin:

a) mecanism convectiv laminar (molecular);

b) mecanism convectiv turbulent.

La curgerea fluidelor are loc transfer de proprietate simultan prin ambele mecanisme, molecular şi convectiv, studiindu-se în mod obişnuit efectul de ansamblu prin stabilirea ecuaţiilor de transport convectiv laminar şi turbulent.

3/1/2013 S. Drăgan 9

ECUAŢIA DIFERENŢIALA DE TRANSPORT ({( CONVECTIV LAMINAR

)- - -

/ dz

y dx

Consider un e.v. imobil, care este străbătut de un lichid în curgere laminară.

• prin faţa 1 in dir. x intră fluxul de proprietate:

intrare : d)£z$k&^* • prin faţa opusă 2 iese fluxul de proprietate:

ieşire

Acumularea de proprietate e dată de diferenţa fluxurilor intrate şi ieşite după direcţia x:

Volum de control dV=dxdydz ~ (&* P)-^

Analog se obţine expresia fluxului şi după celelalte două direcţii (y şi z):

7"> 3/1/2013 10

/

ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ DE TRANSPORT (l CONVECTIV LAMINAR

Acumularea totală de proprietate prin mecanism convectiv laminar este dată de suma fluxurilor după cele trei direcţii:

c/C =z~4 - ~[^7h^(^k^(^]-^ Concomitent în e.v. se acumulează proprietate şi prin transport molecular, ca urmare fluxului convectiv laminar i se adaugă şi fluxul molecular:

,?3

* * * * * * Jv Ca urmare fluxul net total va fi:

t/)

Datorită acumulării de proprietate, potenţialul în volumul de control variază în timp după o ecuaţie de forma:

'Of 3/1/2013 S. Drăgan 11

ECUAŢIA DIFERENŢIALA DE TRANSPORT If. CONVECTIV LAMINAR

Prin înlocuirea lui ^^Cw se obţine ecuaţia diferenţială generală de transport convectiv laminar în regim nestaţionar în coordonate rectangulare:

Q£* P) „ Ojk,jfU2_0 fp)

•termenul din membrul stâng exprimă transportul convectiv (ec.dif. de ordin I); -termenul din membrul dreDt exprimă transportul molecular fee.dif. de ordin II).

Daca: qj O ec.dif. de transp. prin rn.c.l în reg. stat.

*t te=iJb5tULcO O ST* Ş^V- ec.dif.de ransp. prin Q * *a( m.m. care e cay

part. a ec . de tr.c.l

vţ> convecţie laminară in plan

™-I%»ZjO convecţie unidirecţională

transp. convectiv pt că transp molecular nu este esenţial

3/1/2013 S. Drăgan 12

ECUAŢIA DIFERENŢIALA DE TRANSPORT j CONVECTIV LAMINAR %

Du ipă diferenţiere şi gruparea termenilor din membrul stâng se obţine: divergenţa vitezei

mZ- » derivata r S "fc (matet

3enţa vitezei

erivata substanţială JD"t C materială)

T)P TI r ^ Ş ^ ^ ' ' ^ i ^^J^^

Aceste ec. conţin mărimi vectoriale şi pot fi scrise sub forma:

jyP j_ JJttf^ = Xf^P unde semnificaţia termenilor este:

j3^2 — derivata materială sau substanţială a propr. transportate :

"St? 13

ECUAŢIA DIFERENŢIALA DE TRANSPORT CONVECTIV LAMINAR

fi ^-reprezintă flux de proprietate transportată convectiv; \j("pş&) -este divergenţa fluxului de proprietate şi arată viteza de acumulare a prop;

-+~f -divergenţa vitezei si arată continuitatea curgerii.

Daca v w ' g£ W ~° (pt. fluide incompresibile) ecuaţia dif. generală pentru transportul convectiv laminar devine:

Q t Dacă ££$tsu4»lt&3C transportul convectiv se anulează şi se obţine ecuaţia dif. a

transportului prin mecanism molecular, care este caz particular al transportului convectiv laminar, ecuaţiile diferenţiale respective fiind în raport de subordonare.

înlocuind în ecuaţia generală de transport convectiv laminar în regim nestaţionar potenţialul proprietăţii pentru impuls, căldură şi masă obţinem:

3/1/2013 S. Drăgan 14

ECUAŢIA DIFERENŢIALA DE TRANSPORT | CONVECTIV LAMINAR ^ ^

pt impuls p-pw se obţine ecuaţia Navier Stokes:

t

• pt căldură P = T se obţine ecuaţia Fourier-Kirchhoff:

pt masă P= c se obţine legea II a lui Fick:

Se constată analogia (asemănarea) ecuaţiilor de transfer convectiv laminar pentru transferul impulsului, căldurii şi masei.

3/1/2013 S. Dragan 15