eficienta-cap1si2

Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare

Capitolul 1

Chestiuni fundamentale din Analiza convexă

1.1. Spaţii liniare

Toate consideraţiile care urmează sunt în acord cu

conţinutul capitolului 6 din [93]. Fie X o mulţime nevidă, K un

corp, + × →: X X X o operaţie care induce pe X o structură de

grup abelian şi ⋅ × →: K X X o aplicaţie denumită uzual

înmulţirea cu scalari, având următoarele proprietăţi:

1234 1

) ( ) , , , ;) ( ) , , , ;) ( ) ( ) , , , ;) ,

α α α αα β α β α β

α β α β α β

⋅ + = ⋅ + ⋅ ∀ ∈ ∈+ ⋅ = ⋅ + ⋅ ∀ ∈ ∈

⋅ = ⋅ ∀ ∈ ∈⋅ = ∀ ∈

x y x y K x y Xx x x K x X

x x K x Xx x x XK

unde 1K este elementul neutru în raport cu operaţia notată

multiplicativ din corpul K.

În aceste condiţii, tripletul ( , , )X + ⋅ se numeşte spaţiu liniar

(vectorial) peste corpul K.

Exemple.

1. Se observă imediat că mulţimea

X'= :ϕ ϕX K→ liniară în raport cu operaţia + × →: ' ' 'X X X şi

⋅ × →: ' 'K X X definite prin ( )( ) ( ) ( ),ϕ ϕ ϕ ϕ1 2 1 2+ = + ∀ ∈x x x x X

şi ( )( ) ( ),λ ϕ λ ϕx x x X= ⋅ ∀ ∈ este, de asemenea, un spaţiu liniar

peste corpul K, numit dualul algebric al lui X. Dualul algebric


corespunzător lui X', notat cu X'', se numeşte bidualul algebric

al spaţiului X.

2. Un alt exemplu de spaţiu liniar generat de un spaţiu

liniar X este mulţimea tuturor funcţiilor definite pe o mulţime

nevidă oarecare, cu valori în X în raport cu operaţiile definite

într-un mod similar celui de mai sus.

3. Rn (n ∈ N*) şi C sunt spaţii liniare reale.

4. Spaţiul liniar real al tuturor şirurilor de numere reale

conţine următoarele subspaţii liniare reale:

4.1. mulţimea m a tuturor şirurilor mărginite;

4.2. mulţimea c a tuturor şirurilor convergente;

4.3. mulţimea c0 a tuturor şirurilor convergente la zero;

4.4. mulţimea lp (p ≥ 1) a şirurilor (xn) p-sumabile, deci cu

proprietatea că seria xnp

n=

∞

∑0

este convergentă;

5. Spaţiul liniar real Lp([a,b]) (p ≥ 1) al funcţiilor f:[a,b] →

C p-integrabile în sens Lebesgue, adică f t dtp

a

b

( ) .< ∞∫

6. Spaţiul liniar real al tuturor funcţiilor reale continue pe

o mulţime nevidă arbitrară din R.

7. Spaţiul liniar real B(M) al funcţiilor mărginite pe o

mulţime nevidă oarecare M.

7


8. Spaţiul liniar real al tuturor funcţiilor cu variaţie

mărginită respectiv absolut continue pe un interval nebanal şi

compact arbitrar al axei reale.

9. Spaţiul liniar real al tuturor funcţiilor reale de argument

real primitivabile pe un interval oarecare nebanal din R.

10. Considerăm X1 un subspaţiu liniar al unui spaţiu liniar

X peste corpul K. Pe X se defineşte următoarea relaţie ρ de

echivalenţă:

x y x y X x y Xρ ( , )∈ ⇔ − ∈ 1 .

Deoarece orice clasă de echivalenţă x este de forma x+X1 (x ∈

X), următoarele operaţii induc pe spaţiul cât al lui X prin X1,

notat prin X/X1= ˆ :x x X∈ (mulţimea claselor de echivalenţă

corespunzătoare) o structură de spaţiu liniar peste corpul K:

·

¶ˆ ˆ

, , , .ˆ

x y x yx y X K

x xα

α α

+ = +∀ ∈ ∈

⋅ =

11. Fie (X,+, ⋅ ) un spaţiu liniar peste un corp K şi A o

submulţime nevidă a lui X. Mulţimea

... : *, , , , ( )λ λ λ λ1 1 2 2 1⋅ + ⋅ + + ⋅ ∈ ∈ ∈ = =a a a n N a A K i n S An n i i

se numeşte subspaţiul liniar generat de A. Se constată imediat că

S(A) coincide cu intersecţia tuturor subspaţiilor liniare în X care

conţin mulţimea A : S(A) = A V XVsubspatiuliniar

V⊆ ⊆I

.

8


12. Spaţiul liniar real al tuturor vectorilor din R3.

Dacă S şi T sunt submulţimi nevide arbitrare într-un

spaţiu liniar X peste corpul K, atunci se pot defini în mod natural

următoarele mulţimi:

a) suma algebrică: S+T=s+t:s ∈ S, t ∈ T;

b) diferenţa algebrică: S-T=s-t: s ∈ S, t ∈ T;

c) K1 ⋅ S=k ⋅ s:k ∈ K1 şi s ∈ S, ∀ ⊆K K1 .

O mulţime nevidă X1 dintr-un spaţiu liniar (X,+, ⋅ ) peste

un corp K se numeşte subspaţiu liniar atunci când X1 împreună

cu restricţiile operaţiilor care generează pe X structura de spaţiu

liniar este un spaţiu liniar peste K, adică dacă şi numai dacă

X X X1 1 1+ ⊆ şi K X X⋅ ⊆1 1 .

O submulţime nevidă S dintr-un spaţiu liniar real (X,+, ⋅ )

se numeşte convexă dacă λ λx x S x x S1 2 1 21+ − ∈ ∀ ∈( ) , , şi

λ ∈ [ , ]0 1 şi echilibrată când λ λ⋅ ⊆ ∀ ∈ −S S , [ , ]1 1 . Orice mulţime

convexă şi echilibrată se numeşte absolut convexă. Se verifică cu

uşurinţă că orice intersecţie de mulţimi convexe, echilibrate sau

absolut convexe (în particular, de subspaţii liniare) ale aceluiaşi

spaţiu liniar este o mulţime convexă, respectiv echilibrată

respectiv absolut convexă (respectiv un subspaţiu liniar). În plus,

orice reuniune de mulţimi echilibrate este o mulţime echilibrată.

O mulţime nevidă B dintr-un spaţiu liniar X peste C se numeşte

9


absorbantă dacă pentru orice x X∈ , existăδ > 0 aşa ca

λ λx B C∈ ∀ ∈, cu λ δ< . Familia tuturor mulţimilor absorbante

dintr-un spaţiu liniar X este închisă la reuniunile arbitrare şi

intersecţiile finite.

Înfăşurătoarea convexă a oricărei mulţimi nevide A

dintr-un spaţiu liniar real arbitrar X se defineşte ca fiind

intersecţia tuturor submulţimilor convexe ce conţin mulţimea A,

deci: ( ) ( ) .

X S AS convexa

conv A co A S⊇ ⊇

−

= = I

Este evident că

( ) ( ) ( ), , , , , , .co A B co A co B A B X A B Rα β α β α β+ = + ∀ ⊆ ≠ ∅ ∀ ∈

Fie A o submulţime nevidă oarecare a unui spaţiu liniar

real X. Atunci mulţimea

cor A a A x X cu a x A( ) : , , [ , ]= ∈ ∀ ∈ ∃ > + ∈ ∀ ∈−

λ λ λ λ0 0

se numeşte interiorul algebric al mulţimii A. Dacă A=cor(A), se

spune că mulţimea A este algebric deschisă.

Frontiera algebrică a mulţimii A este mulţimea X\[cor(A)∪ cor(X\A)].

Un element x X∈ se numeşte liniar accesibil prin mulţimea A

dacă există a A x∈ \ astfel încât α α αa x A+ − ∈ ∀ ∈( ) , ( , ].1 0 1

Reuniunea dintre mulţimea A şi mulţimea tuturor

elementelor liniar accesibile prin A este închiderea algebrică a

10


mulţimii A notată uzual cu lin(A). Dacă A=lin(A), atunci

mulţimea A se numeşte algebric închisă, iar când pentru fiecare

a A∈ şi x X∈ există λ 1 0> astfel că a x A+ ∉ ∀ >λ λ λ, 1 , atunci

mulţimea A se numeşte algebric mărginită. Se observă că cor(A)

şi lin(A) sunt mulţimi convexe, cor(cor(A))=cor(A),

lin(cor(A))=lin(A) şi cor(lin(A))=cor(A) dacă cor A( ) .≠ ∅

O mulţime nevidă A dintr-un spaţiu liniar oarecare se

numeşte liniar independentă dacă originea spaţiului nu se poate

reprezenta ca o combinaţie liniară finită nebanală de elemente

din mulţimea A. Orice submulţime neliniar independentă într-un

spaţiu liniar arbitrar se numeşte liniar dependentă.

Exemple de mulţimi liniar independente

1. În R n Nn ( )∈ ∗ mulţimea B=e1, e2, ..., en unde

e R i nin∈ =( , )1 are componentele de rang i egale cu 1, iar restul

componentelor identic nule.

2. Mulţimea A=1, X, X2,...., Xk,... din spaţiul complex

C[X] al polinoamelor cu coeficienţi în C.

3. În l pp ( )≥ 1 mulţimea T e n Nn= ∈ ∗ : unde e k Nk ( )∈ ∗

este şirul cu termenul de rang k egal cu 1, ceilalţi termeni fiind

nuli.

Orice submulţime liniar independentă a unui spaţiu liniar

oarecare X cu proprietatea că subspaţiul liniar generat coincide

11


cu X se numeşte bază (algebrică) Hamel (Hamel Georg Karl

Whilhelm (1877-1954) (a se analiza exemplele precedente)).

Teorema 1. În orice spaţiu liniar nebanal X peste un

corp de scalari K există baze algebrice; orice două asemenea

baze ale aceluiaşi spaţiu liniar sunt cardinal echivalente

(cardinalul corespunzător se numeşte dimensiunea algebrică a

spaţiului liniar respectiv). Următoarele afirmaţii sunt

echivalente:

(i) B bază algebrică în X;

(ii) B este un sistem minimal de generatori pentru X

(orice alt sistem de generatori pentru X are cardinalul cel puţin

egal cu cardinalul mulţimii B);

(iii) B este o mulţime liniar independentă maximală (orice

altă submulţime în X liniar independentă are cardinalul cel

mult egal cu cardinalul mulţimii B).

Demonstraţie.

Axioma lanţurilor maximale (Lema lui

Kuratowski) asigură existenţa unui lanţ maximal

L B i Ii= ∈ : în mulţimea tuturor submulţimilor liniar

independente din X ordonată de relaţia de incluziune. Fie

B Bi I i= ∪

∈ . Mulţimea B este liniar independentă căci dacă

originea 0x a spaţiului liniar X se va exprima sub forma

12


0 1 1 2 2x n nb b b= + + +λ λ λ... cu λ i K∈ şi b Bi ∈ pentru orice

i n n N= ∈ ∗1, ( ) , atunci b i ni ( , )= 1 se va găsi în aceeaşi

mulţime liniar independentă din B, ceea ce nu este posibil.

În plus, subspaţiul liniar generat de B coincide cu X, adică

B este şi un sistem de generatori pentru X (în caz contrar,

dacă măcar un element x X0 ∈ nu s-ar găsi în subspaţiul

liniar generat de B, atunci mulţimea B x∪ 0 ar fi liniar

independentă, iar lanţul L B x∪ ∪ 0 ar fi strict mai

amplu decât L, în contradicţie cu maximalitatea acestuia.

În concluzie, B este o bază Hamel pentru X.

Fie acum B1 şi B2 două baze algebrice ale aceluiaşi

spaţiu liniar X având cardinalele α 1 respectiv α 2 .

Deoarece orice element al bazei B1(B2) se reprezintă în

mod unic ca o combinaţie liniară finită de elemente din B2

(B1) şi B2(B1) este reuniunea acestor mulţimi finite care

furnizează reprezentările elementelor din B1 respectiv din

B2 rezultă că α α α1 2 1≤ ≤ , deci α α1 2= . Argumente

similare justifică a doua parte a teoremei.

1.2. Spaţii liniare ordonate

Fie ( , , )X + ⋅ un spaţiu liniar real. O mulţime nevidă K X⊆

se numeşte con dacă λ λ⋅ ∈ ∀ ∈ ≥x K x K, , .0 Evident că un con K

are vârful în originea 0x a spaţiului liniar X (este ascuţit) când

13


K K x∩ − =( ) ,0 generează spaţiul dacă X=K-K şi este o

mulţime convexă numai pentru K K K+ ⊆ . O submulţime nevidă

şi convexă B a unui con convex nebanal K K x( )≠ 0 se numeşte

bază pentru K dacă orice element x K x∈ \ 0 admite o

reprezentare unică de forma x b= ⋅λ în care b B∈ şi λ > 0 . Dacă

H X⊆ este o mulţime nevidă oarecare, atunci conul

cone H h h H( ) := ⋅ ∈λ şi λ ≥ 0 se numeşte con generat de H. Se

verifică imediat că dacă 0 x cor H∈ ( ) , atunci cone(H)=X şi

cone(B)=K pentru orice bază B a unui con K; în plus,

cor K x( ) ∪ 0 este con convex şi cor(K)=K+cor(K) oricare ar fi

conul convex K în X cu interiorul algebric nevid.

O relaţie " "≤ în X se numeşte relaţie de (parţială)

ordonare dacă satisface următoarele proprietăţi pentru orice

elemente x y z w X, , , ∈ supuse condiţiilor corespunzătoare:

a) x x≤ ;

b) x y y z x z≤ ≤ ⇒ ≤, ;

c) x y w z x w y z≤ ≤ ⇒ + ≤ +, ;

d) x y x y≤ ⇒ ≤ ∀ ∈ + ∞α α α, [ , ).0

Dacă are loc şi implicaţia x y y x x y≤ ≤ ⇒ =, , atunci

relaţia " "≤ se numeşte antisimetrică. Orice spaţiu liniar real

înzestrat cu o relaţie de (parţială) ordonare se numeşte spaţiu

liniar (parţial) ordonat. Când orice două elemente dintr-un astfel

de spaţiu sunt comparabile în sensul unei relaţii de preordine

14


(parţială ordonare) atunci spaţiul liniar respectiv se numeşte

spaţiu liniar (parţial) total ordonat.

Următoarea teoremă cu demonstraţie imediată conţine

conexiunea directă dintre noţiunea de con şi cea de relaţie de

(parţială) ordonare într-un spaţiu liniar oarecare X.

Teorema 1.

i) pentru orice con convex K în X relaţia " "≤ K definită

prin x y x y X y x KK≤ ∈ ⇔ − ∈( , ) este o relaţie de parţială

ordonare pe X: dacă conul K are vârful în originea spaţiului,

atunci relaţia " "≤ K este şi antisimetrică;

ii) oricare ar fi relaţia " "≤ de parţială ordonare pe X,

mulţimea K x X xK= ∈ ≤ : 0 este un con convex (cu vârful în

originea spaţiului dacă relaţia " "≤ este antisimetrică).

Exemple.

1. X R n Nn= ∈ ∗( ) şi

K x x x x R x i nnn

i= = ∈ ≥ ∀ = ( , ,..., ) : , , 1 2 0 1

2. Fie X spaţiul liniar real al tuturor şirurilor de numere

reale convergente, iar K=(an)ÎX : lim nna

→ ∞∃ ³ 0. Atunci,

- K =(bn)ÎX : lim nnb

→ ∞∃ £0 şi KÈ(- K) = (tn):

lim 0nn

a→ ∞

∃ = = c0 .

Deci, K nu este ascuţit, dar generează spaţiul .

3. X l x x R i Npi i N i= = ∈ ∀ ∈∈( ) : , şi x pi

p

i N< + ∞ ≥

∈∑ ( )1 şi

15


K x x l x i Ni i Np

i= = ∈ ≥ ∀ ∈∈ ( ) : , .: 0

X este spaţiu Banach separabil în raport cu norma

x x x xp i

p

i N

p

i i N=

∀ =∈

∈∑1/

, ( ) , iar K un con convex cu interiorul

topologic vid.

4. X l x x R i Ni i N i= = ∈ ∀ ∈∞∈( ) : , şi sup : x i Ni ∈ < + ∞

şi K x x l x i Ni i N i= = ∈ ≥ ∴ ∈∈∞ ( ) : , .0

X este spaţiu Banach neseparabil în raport cu norma

x x i N x xi i i N∞ ∈= ∈ ∀ =sup : , ( ) ,

iar K un con convex cu interiorul topologic nevid (de exemplu,

(1,1,...) ∈ int(K)).

5. X L T f T R f t dt pp

T

p= = → < + ∞ ≥∫( ) : / ( ) ( )1

(T R n Nn⊆ ∈, * este o mulţime nevidă şi compactă din Rn şi

orice două funcţii care coincid aproape peste tot pe T se

identifică) şi K f L T fp= ∈ ≥ ( ): 0 . X este un spaţiu Banach

separabil în raport cu norma f f t dtp

p

T

p

=

∫ ( )

/1

, iar K un con

convex cu interiorul topologic vid.

6. X=C(T)=f:T → R f continuă pe T cu T un spaţiu

topologic compact şi separat Hausdorff oarecare, iar

16


K f C T f= ∈ ≥ ( ): 0 , X este un spaţiu Banach (separabil pentru

T R n⊆ ) în raport cu norma uzuală definită prin

f f t t T f X= ∈ ∀ ∈sup ( ) , , iar K un con convex închis cu

interiorul topologic nevid.

7. Fie X spaţiul liniar real al măsurilor Radon µ

mărginite pe un spaţiu topologic compact şi separat Hausdorff T

înzestrat cu norma dată prin

µ µ= ∫sup :f dT

f funcţie continuă, cu suport compact în T şi

( ) 1, ,f x x T≤ ∀ ∈

iar K conul convex al măsurilor Radon pozitive pe T. X este un

spaţiu Banach, iar K este o mulţime închisă.

8. Conul convex ( ): (0, ) /( 1) 0,n nC f R f n N= ∞ → − ≥ ∀ ∈

al tuturor funcţiilor complet monotone este alcătuit din funcţiile

de forma0

( ) ( )xf x e d xα µ∞

−= ∫ cu µ măsură Radon pozitivă pe [0,

∞ ], unic determinată, iar 0α ≥ . Aceste funcţii au fost introduse

de Bernstein Serghei în anul 1914, caracterizarea lor şi alte

proprietăţi importante fiind stabilite în anul 1928, cu

semnificative aplicaţii ulterioare pentru transformările Laplace.

1.3. Spaţii liniare topologice

17


Reamintim mai întâi, în sinteză, concepte şi rezultate

esenţiale privind spaţiile topologice.

Fie X o mulţime nevidă, oarecare. Prin topologie τ pe X

se înţelege orice familie nevidă de submulţimi din X care conţine

mulţimea vidă, mulţimea X şi este închisă în raport cu reuniunile

arbitrare şi intersecţiile finite. În orice asemenea condiţii, cuplul

(X, τ ) se numeşte spaţiu topologic, iar elementele mulţimii τ

mulţimi deschise (τ -deschise). Un spaţiu topologic (X, τ ) este

separat Hausdorff dacă oricare ar fi x x X1 2, ∈ cu

x x D D1 2 1 2≠ ∃ ∈, , τ cu x D x D1 1 2 2∈ ∈, şi D D1 2∩ = ∅ . Orice

mulţime, dintr-un spaţiu topologic arbitrar, care se poate

reprezenta ca o intersecţie numărabilă de mulţimi deschise se

numeşte de tip Gδ , iar dacă este reprezentabilă ca o reuniune

numărabilă de mulţimi închise, atunci se numeşte de tip Fσ . În

orice spaţiu metrizabil fiecare mulţime închisă (respectiv

deschisă) este de tip Gδ (respectiv Fσ ). Dacă τ 1 şi τ 2 sunt două

topologii pe X, atunci τ 2 este mai fină decât τ 1 (τ 1 este mai

puţin fină decât τ 2 ) dacă orice mulţime τ 1 - deschisă este şi

τ 2 - deschisă. O mulţime nevidă V dintr-un spaţiu topologic (X,

τ ) se numeşte vecinătate pentru un element oarecare x X∈

dacă există D ∈ τ astfel încât x D V∈ ⊆ . Un punct x X0 ∈ este

interior unei mulţimi S X⊆ ( , )τ dacă există U,vecinătate pentru

18


x0, cu U S⊆ . Mulţimea tuturor punctelor interioare unui mulţimi

oarecare S X⊆ ( , )τ se numeşte interiorul mulţimii S, notat cu

int(S). O astfel de mulţime este deschisă dacă S=int(S) şi închisă

numai când X S\ ∈ τ . Un element x X∈ este aderent pentru o

mulţime nevidă A X⊆ dacă V A∩ ≠ ∅ pentru orice vecinătate

V a lui x. Mulţimea acestor puncte se numeşte aderenţa

(închiderea) mulţimii A, notată cu A . Evident că o mulţime A

este închisă într-un spaţiu topologic (X, τ ) numai dacă A A= . O

mulţime nevidă ( , )A X τ⊆ se numeşte densă în ( , )B X τ⊆ , dacă

B A⊆ , iar un spaţiu topologic se numeşte separabil dacă conţine

cel puţin o submulţime numărabilă, densă în mediul ambiant

creat prin topologia pe care o deţine. O mulţime A dintr-un

spaţiu topologic ( , )X τ se numeşte rară dacă are interiorul

aderenţei vid, adică int( )A = ∅ . Orice submulţime nevidă a unui

spaţiu topologic cu proprietatea că se poate reprezenta ca o

reuniune numărabilă de mulţimi rare se numeşte mulţime de

prima categorie Baire (Baire René - Louis (1874-1932)),

respectiv de a doua categorie Baire,în caz contrar. Orice spaţiu

topologic în care fiecare mulţime nevidă şi deschisă este de a

doua categorie Baire se numeşte spaţiu Baire.

Următoarele afirmaţii sunt echivalente pentru un spaţiu

topologic (X, τ ):

(i) X este spaţiu Baire;

19


(ii) orice intersecţie numărabilă de mulţimi deschise

dense în X este o mulţime densă în X;

(iii) orice submulţime de prima categorie Baire are

interiorul vid.

Exemple de spaţii Baire

1. Orice spaţiu local compact (un spaţiu topologic cu

proprietatea că pentru orice punct al spaţiului există măcar un

sistem fundamental de vecinătăţi compacte) .2. Orice spaţiu

metric complet. 3. Orice mulţime nevidă şi deschisă dintr-un

spaţiu Baire. 4. Complementara oricărei mulţimi de prima

categorie Baire din orice spaţiu Baire.

O mulţime nevidă (I, p ), parţial ordonată (înzestrată cu

o relaţie reflexivă şi tranzitivă “p ”), se numeşte dirijată dacă

oricare ar fi i j I, ∈ , există u I∈ astfel ca ip u şi jp u. Orice

funcţie definită pe o mulţime dirijată I cu valori într-o mulţime

nevidă X se numeşte şir generalizat în X, notat prin ( )xi i I∈ . Un

şir generalizat ( )xi i I∈ dintr-un spaţiu topologic ( , )X τ converge

la x X∈ dacă oricare ar fi V vecinătate pentru x, există j I∈

astfel ca x V i Ii ∈ ∀ ∈, cu jp i. În fiecare asemenea caz, se scrie

x xi I i=

∈lim . Convergenţa este specifică spaţiilor topologice, iar

şirurile generalizate sunt decisive în orice proces de convergenţă.

De exemplu, o mulţime nevidă A, dintr-un spaţiu topologic, este

închisă dacă limita oricărui şir generalizat de elemente din A

20


aparţine mulţimii A şi compactă numai dacă orice şir generalizat

de elemente din A conţine măcar un subşir generalizat cu limita

în A; o funcţie f S X Y X: ( , ) ( , ) (( , )⊆ →σ τ σ şi ( , )Y τ spaţii

topologice arbitrare) este continuă în x S0 ∈ dacă oricare ar fi

vecinătatea U pentru f(x0), există V, vecinătate pentru x0, astfel

încât f V S U( )∩ ⊆ sau, echivalent, dacă pentru orice şir

generalizat ( )xi i I∈ din S pentru care există limi I ix x

∈= 0 ,

∃ =∈

lim ( ) ( )i I if x f x0 . Funcţia f se numeşte continuă pe S dacă este

continuă în orice punct x S0 ∈ sau, echivalent vorbind, dacă

contraimaginea oricărei mulţimi deschise (închise) din ( , )Y τ este

o mulţime deschisă (închisă) în raport cu urma topologiei σ pe

mulţimea S definită prin

:S D S Dσ σ= ∩ ∈ . Un caz particular important de spaţii

topologice îl constituie spaţiile metrice. Dacă X ≠ ∅ este o

mulţime oarecare, atunci orice funcţie d X X R: × → , care

satisface următoarele condiţii se numeşte metrică pe X

(M1) d x y x y( , ) = ⇒ =0 ;

(M2) d x y d y x x y X( , ) ( , ), ,= ∀ ∈ ;

(M3) d x y d x z d z y x y z X( , ) ( , ) ( , ), , ,≤ + ∀ ∈ , iar cuplul (X,d)

spaţiu metric. În orice spaţiu metric X, fiecare mulţime

( ) : ( , ) ( 0V x y X d x y ε ε= ∈ < > număr real arbitrar) este

vecinătate pentru un element arbitrar x X∈ , iar

21


τ = ⊆ :D X D ∈ ( )V x , x D∀ ∈ ∪ ∅ reprezintă topologia

definită de metrica d. Orice spaţiu topologic, cu topologia

generată de cel puţin o metrică, în maniera precedentă, se

numeşte metrizabil, metrizabilitatea fiind caracteristică doar unei

secvenţe din ampla categorie a spaţiilor topologice. În orice

astfel de context, un şir ( )xn n N∈ este fundamental (şir Cauchy)

dacă pentru orice număr real ε > 0 , există

: ( , ) , ,n p nn N d x x n n p Nε εε+∈ < ∀ > ∀ ∈ (în general, în spaţiile

metrice, proprietăţile centrale se pot caracteriza cu şiruri uzuale

(mulţimea de indici dirijată este N) în locul şirurilor generalizate

arbitrare).

Teorema 1. Orice şir fundamental ( )xn n N∈ dintr-un

spaţiu metric arbitrar (X,d), cu măcar un subşir având limită,

are aceeaşi limită.

Teorema 2 (Cantor). Un spaţiu metric (X,d) este complet

dacă şi numai dacă orice şir descrescător (în raport cu relaţia

de incluziune obişnuită) de submulţimi nevide şi închise cu

diametrul convergent către zero are intersecţia nevidă.

(Ind. Reamintim că dacă A X d⊆ ( , ) este o mulţime nevidă,

atunci diametrul mulţimii A se defineşte prin

diam A d a a a a A( ) sup ( , ): , = ∈1 2 1 2 , se consideră diam( )∅ = − ∞ ,

iar mulţimea A se numeşte mărginită când diam A( ) < + ∞ ; dacă

22


(X,d) este un spaţiu metric complet şi ( )Tn n N∈ este un şir

descrescător (T T n Nn n+ ⊆ ∀ ∈1 , ) de mulţimi închise cu

lim ( )n ndiam T

→ ∞= 0 , atunci oricare ar fi n N∈ şi x Tn n∈ rezultă

x x T n p mn p m, , ,∈ ∀ ≥ , deci d x x diam Tn p m( , ) ( )≤ care împreună cu

lim ( )m mdiam T

→ ∞= 0 antrenează ( )xn n N∈ şir fundamental. (X,d) fiind

complet implică ∃ = ∈ = ∀ ∈→ ∞

lim ,n n n nx x T T n N adică .n

n N

x T∈

∈ I

Reciproc, fie ( )xn n N∈ un şir Cauchy într-un spaţiu metric

(X,d). Deci ∀ > ∃ ∈ < ∀ >ε εε ε0 2, : ( , ) / , ,n N d x x n m nn m .

Considerăm A x x xn n n n= + + , , ,...1 2 şi F A n Nn n= ∈, .

Evident că A A n N A A n Nn n n n⊇ ∀ ∈ ⇒ ⊇ ∀ ∈+ +1 1, , , deci

F F n Nn n⊇ ∀ ∈+ 1 , . Dar diam A diam A diam F n Nn n n( ) ( ) ( ), .= = ∀ ∈

Cum d x x n n p Nn m( , ) / , ,< ∀ > ∈ε ε2 şi x x A p Nn n p n+ ∈ ∀ ∈, ,

obţinem diam A n nn( ) ,< ∀ >ε ε . În consecinţă, ∃ =→ ∞

lim ( )n ndiam A 0 .

Ipoteza asigură existenţa unui element 0 nn N

x T∈

∈ I , iar din

d x x n n p Nn n p( , ) , ,)+ < ∀ > ∀ ∈ε ε , fixând n n> ε şi considerând

p → ∞ rezultă că d x x diam F n nn n( , ) ( ) ,0 < < ∀ >ε ε . Aşadar

0nx x→ .

Teorema 3 (Baire).

(i) Oricare ar fi (X,d) un spaţiu metric complet şi (Dn)23


un şir de mulţimi nevide, deschise şi dense în X, nn N

D∈I este o

mulţime densă în X;

(ii) În orice spaţiu metric complet (X,d) care se poate

reprezenta sub forma X Fnn N

=∈U unde F F n Nn n= ∀ ∈, , există

măcar o mulţime Fn0 cu interior nevid.

(Ind. (i) Dacă A este o mulţime nevidă şi deschisă arbitrară,

ipoteza teoremei asigură pentru fiecare i N∈ existenţa unui

element x y X d x y r Di i i i+ +∈ ∈ < ∩1 1 : ( , ) şi r onn→ ∞ → . Atunci

şirul (Fn) dat prin F y X d x y r n Nn n n= ∈ < ∈ : ( , ) , satisface

condiţiile din ipoteza teoremei 2, deci există

1 1;nn N

x D cuF A D∈

∈ ⊆ ∩I

(ii) presupunând contrariul se aplică (i) considerând

D X F n Nn n= ∈\ , , ceea ce conduce la X Fnn N

\ ( )∈

= ∅U densă în

X, contradicţie).

Un spaţiu liniar real X înzestrat cu topologia τ se

numeşte spaţiu liniar topologic dacă operaţiile uzuale care induc

structura de spaţiu liniar + × →: X X X şi ⋅ × →: R X X sunt

continue. Într-un astfel de spaţiu (X, τ ) o mulţime nevidă B X⊂ ( , )τ se numeşte mărginită dacă oricare ar fi V0 vecinătate

pentru originea spaţiului, există λ ∈ R aşa ca B V⊆ λ 0 . O

24


submulţime nevidă W dintr-un spaţiu liniar topologic (X, τ ) se

numeşte completă dacă orice şir Cauchy generalizat de elemente

din W are limita în W, adică oricare ar fi şirul generalizat ( )i i Ix ∈

cu termenii în W şi lim ( )( , )i j I I i j Xx x

∈ ×− = 0 , există x W∈ astfel ca

x xi I i=

∈lim . Orice spaţiu liniar topologic în care fiecare mulţime

nevidă, închisă şi mărginită este completă se numeşte

cvasi-complet. Când metrica provine dintr-o normă pe un spaţiu

liniar, spaţiul respectiv se numeşte spaţiu liniar normat. Dacă, în

plus, un astfel de spaţiu este şi complet, atunci se numeşte spaţiu

Banach. Orice spaţiu liniar normat X peste un corp de scalari

reali sau complecşi Г în care norma este generată de un

produs scalar ,⟨ ⟩ cu proprietăţile caracteristice : (S1)

, 0, ; , 0 0;x x x X x x x⟨ ⟩ ≥ ∀ ∈ ⟨ ⟩ = ⇔ =

(S2) , , ,x y y x⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ ,x y X∀ ∈ ;

(S3) , , , , , , , ,x y z x y y z x y z Xα β α β α β⟨ + ⟩ = ⟨ ⟩ + ⟨ ⟩ ∀ ∈ Γ ∀ ∈

respectiv

(N1) 0, ; 0x x X x x Xθ≥ ∀ ∈ = ⇔ = ∈ (θ vectorul nul din X ) ;

(N2) , ,x x x Xχ χ χ= ∀ ∈ Γ ∀ ∈ (proprietatea de absolută

omogeneitate) ; (N3) , , ,x y x y x y X+ ≤ + ∀ ∈ (proprietatea de

subaditivitate) prin , ,x x x x X= ⟨ ⟩ ∀ ∈ reprezintă un spaţiu

25


pre-Hilbert respectiv o normă hilbertiană ; dacă este şi complet,

atunci spaţiul respectiv se numeşte spaţiu Hilbert ; o normă pe

un spaţiu liniar X este hilbertiană [90] numai dacă satisface

identitatea paralelogramului :

2 2 2 22[ ], , .x y x y x y x y X+ + − = + ∀ ∈

Aşadar, orice spaţiu Hilbert se identifică cu un spaţiu Banach

având norma generată de un produs scalar.

1.4. Spaţii liniare normate remarcabile şi dualele lor

Urmând şi completând consideraţiile din paragraful 6.4 expus

în [93] cu rezultatele corespunzătoare din [74] şi [96],

prezentăm următoarea sinteză.

Exemplul 1. Spaţiile Banach de tip Cn ( *n N∈ ), înzestrate cu

unicele norme posibile a fi definite aici prin ,x x x Cα

α= ∀ ∈ ,

pentru fiecare număr real 0α ≥ , arbitrar fixat, exploatate uzual

folosind normele echivalente următoare, care şi-au dovedit deja

semnificativa eficacitate practică: 1/

1

( )pn

pip

ix x

=

= ∑

1 2( , , ..., ) nnx x x x C∀ = ∈ (1 p≤ ≤ ∞ ), cazul p = ∞ fiind acceptat ca

limpp

x→ ∞ . Pentru fiecare funcţională liniară şi continuă *x pe nC ,

există unic 1 2( , , ..., ) nnt t t t C= ∈ astfel încât

26


*1 2

1

( ) , ( , , ..., )n

ni i n

ix x t x x x x x C

=

= ∀ = ∈∑ .

Exemplul 2. Spaţiul Banach separabil

( ) : pp k k N k

k Nl x x x R∈ +

∈

= = ∈

∑ ( [1, ))p ∈ ∞ al tuturor şirurilor

p-sumabile în raport cu norma definită prin

1/( ) , ( )p Pk k pp

k Nx x x x l

∈

= ∀ = ∈∑ . Pentru orice funcţională liniară

şi continuă *x pe pl există un şir unic

( )k qt t l= ∈ astfel încât 1/ 1/ 1p q+ = (considerând q = ∞ dacă

1p = ) şi *( ) , ( )k k k p

k Nx x t x x x l

∈

= ∀ = ∈∑ cu *q

x t= .

Menţionăm că l m∞ = este spaţiul Banach neseparabil al şirurilor

cu termeni din C, mărginite , având norma indicată prin

sup : , ( )k kx x k N x x m= ∈ ∀ = ∈ , iar spaţiul liniar

complex al şirurilor care au numai mulţimi finite de termeni

nenuli este dens în pl pentru fiecare 1p ≥ .

Exemplul 3. Norma precedentă induce o structură de spaţiu

Banach separabil pe spaţiul liniar c al tuturor şirurilor

convergente din C şi pentru orice funcţională liniară şi continuă

27


*x pe acest spaţiu, există un cuplu unic 1( , )t y C l∈ × astfel că

*( ) , ( )k k kk N

x x tl y x x x c∈

= + ∀ = ∈∑ unde kx l→ , ( )ky y= , iar

*1

x t y= + . În particular, expresia funcţionalelor liniare şi

continue pe subspaţiul Banach, separabil, 0c al tuturor şirurilor

convergente la zero este *

0( ) , ( )k k kk N

x x y x x x c∈

= ∀ = ∈∑ cu

1( )ky y l= ∈ unic pentru fiecare funcţională liniară, continuă şi

*1

x y= .

Exemplul 4. Relativ la un interval compact şi nebanal oarecare

[a, b] din R, fiecare dintre următoarele spaţii liniare este un

spaţiu Banach în raport cu norma convergenţei uniforme :

[ , ]M a b -mulţimea tuturor funcţiilor mărginite ;

[ , ]R a b - mulţimea tuturor funcţiilor integrabile Riemann ;

[ , ]C a b - spaţiul liniar normat, separabil, al tuturor funcţiilor

continue, pentru max ( ) : [ , ] , [ , ]f f t t a b f M a b= ∈ ∀ ∈ , iar

spaţiul liniar [ , ]BV a b al tuturor funcţiilor cu variaţie mărginită

este, de asemenea, un spaţiu Banach faţă de norma reprezentată

prin variaţia totală )f(Vb

a=supV∆(f): ∆ diviziune pentru [a,b]=

= inf T ≥ 0 : ∆∆ ∀≤ ,T)f(V - diviziune pentru [a,b] unde

variaţia unei funcţii oarecare f: [a,b]→R (a,b∈R, a<b) pe o

28


diviziune arbitrară ∆:a=x0<x1<...<xn=b (n∈N*) a intervalului

[a,b] se defineşte prin V∆(f)= ∑ −−

=+

1n

0ii1i |)x(f)x(f| . Teorema lui

Riesz ne asigură că orice funcţională liniară şi continuă *x pe

[ , ]C a b este o integrală Riemann-Stieltjes de tipul

*( ) ( ) ( ), [ , ]b

a

x f f t dg t f C a b= ∀ ∈∫ , unde g este o funcţie cu variaţie

mărginită pe [ , ]a b , iar *x coincide cu variaţia totală a funcţiei

g pe acest interval.

Exemplul 5. Spaţiul Banach separabil [ , ]( [1, ))pL a b p ∈ ∞

alcătuit din clasele de funcţii măsurabile Lebesgue obţinute prin

identificarea funcţiilor f ce coincid aproape peste tot, cu

integrala ( )b

p

a

f t dt∫ finită. Aici, norma uzuală este definită prin

pf = 1/( ( ) )

bp p

a

f t dt∫ , [ , ]pf L a b∀ ∈ şi mulţimea elementelor

reprezentate prin funcţii contiune este densă. Pentru fiecare

funcţională liniară şi continuă *x pe [ , ]pL a b există o clasă unică

g ∈ [ , ]qL a b astfel încât *( ) ( ) ( ) , [ , ]b

p

a

x f f t g t dt f L a b= ∀ ∈∫ şi

29


*q

x g= , unde 1/ 1/ 1p q+ = . Studiul spaţiilor de tip pL a

generat spaţiile Sobolev, fundamentale în Teoria distribuţiilor,

noţiunea de distribuţie fiind extinsă pentru prima dată la funcţiile

de mulţime în [37] de Hăvârneanu T. şi Postolică V.

Exemplul 6. Relativ la norma indicată în Exemplul 4, [ , ]C a b

este un spaţiu Banach fără a fi un spaţiu Hilbert. Astfel, de

exemplu, dacă 20, 1, ( ) , ( ) , [0,1]a b f t t g t t t= = = = ∀ ∈ ,

1, 2, 1/ 4f g f g f g= = + = − = ,

deci nu provine dintr-un produs scalar. În raport cu fiecare

dintre normele definite prin pf = 1/( ( ) )

bp p

a

f t dt∫ , [ , ]f C a b∀ ∈ (

1p ≥ ) [ , ]C a b este un spaţiu liniar normat incomplet [74]. Să

considerăm acum spaţiul liniar complex

0 ( ) : / ( ), ( )C R f R C f C R supp f compact= → ∈ unde

( ) : ( ) 0supp f x R f x= ∈ ≠ este cea mai puţin amplă mulţime

închisă pe complementara căreia funcţia se anulează. 0 ( )C R este

un spaţiu liniar normat incomplet [74] faţă de oricare din

normele p ( 1)p ≥ . În fiecare caz, completatul este spaţiul

Banach

30


( ) : / ( ) pp

R

L R f R C f x dx R+

= → ∈

∫

al tuturor claselor de echivalenţă alcătuite din funcţii măsurabile

Lebesgue care coincid aproape peste tot, integrala fiind

considerată în sens Lebesgue. Acceptarea aici a integralei

Lebesgue în locul integralei Riemann este esenţială.Astfel,

funcţia caracteristică mulţimii Q definită prin

1 ( ) 1, ,1 ( ) 0, \Q Qx x Q x x R Q= ∀ ∈ = ∀ ∈ are integrala Lebesgue nulă

pe orice interval compact şi nebanal al axei reale fără a fi

integrabilă Riemann pe nici un astfel de interval.

Exemplul 7. Pentru orice interval nebanal I din R notăm prin

0 ( )C I∞ spaţiul liniar real infinit dimensional al tuturor funcţiilor

reale, indefinit derivabile pe I , cu suport compact. De exemplu,

pentru fiecare număr real 0t > funcţia definită prin

( )( ), , , ,( ) , ( , ), ( ) 0, ( , ] [ , )

tx a x b

t a b t a bx e x a b x x a bϕ ϕ−

− −= ∀ ∈ = ∀ ∈ − ∞ ∪ + ∞

este în 0 ( )C R∞ . Dacă ( )P I reprezintă spaţiul liniar real al

funcţiilor polinomiale peste I , atunci Teorema 2.8 din [74]

concluzionează :

(i) 0 ( )C I∞ este dens în ( )C I faţă de oricare normă p , 1p ≥ ;

31


(ii) 0 ( )C R∞ este dens în 0 ( )C R atât în raport cu norma supremum

uzuală cât şi relativ la oricare normă p , 1p ≥ ;

(iii) 0 ( )C I∞ este dens în ( )pL I ; în particular, 0 ( )C R∞ este dens în

( )pL R , 1p∀ ≥ ;

(iv) ( )P I este dens în ( )pL I pentru orice 1p ≥ dacă I are

lungimea finită.

1.5. Spaţii local convexe

Fie X un spaţiu liniar real (sau complex). Se numeşte

semi-normă pe X orice funcţie p X R: → + , care satisface

următoarele condiţii:

a) p x p x C x X( ) ( ), ,λ λ λ= ∀ ∈ ∈ (p absolut omogenă) ;

b) p x y p x p y x y X( ) ( ) ( ), ,+ ≤ + ∈ (p subaditivă) .

Exemplul 1. Oricare ar fi mulţimea nevidă, convexă,

echilibrată şi absorbantă A din X funcţionala lui Minkowski

ataşată p X RA : → + definită prin p x x AA ( ) inf : = ≥ ∈ ⋅λ λ0 este

o semi-normă. Dacă : P p Iα α= ∈ este o familie nevidă de

semi-norme pe X şi pentru fiecare element x X∈ >, ε 0 şi

n N∈ * considerăm

32


1 2( ; , , ..., ; ) : ( ) , 1, nV x p p p y X p y x nαε ε α= ∈ − < ∀ = , atunci

familia

V0 1 2( ) ( ; , , ..., ; ) : *, , 1, , 0nx V x p p p n N p P nαε α ε= ∈ ∈ = >

posedă următoarele proprietăţi:

(V1) ,x V V∈ ∀ ∈ V0(x) ;

(V2) 1 2,V V∀ ∈ V0(x), 3V∃ ∈ V0(x) : 3 1 2V V V⊆ ∩ ;

(V3) V∀ ∈ V0(x), U∃ ∈ V0(x), U V⊆ aşa ca

,y U W∀ ∈ ∃ ∈ V0(y) cu W V⊆ .

Aşadar, V0(x) este un sistem fundamental de vecinătăţi

pentru orice x ∈ X . Considerând

V ( ) :x V X U= ⊆ ∃ ∈ V0(x) cu U V⊆ , mulţimea

:D X Dτ = ⊆ ∈ V ( )x , x D∀ ∈ ∪ ∅ este topologia de spaţiu

local convex generată de familia P, operaţiile uzuale care induc

structura de spaţiu liniar fiind evident continue în raport cu

această topologie. Spaţiul topologic corespunzător (X,P) este

separat (Hausdorff) dacă şi numai dacă familia P este suficientă,

adică pentru fiecare 0 \ 0 ,Xx X p Pα∈ ∃ ∈ cu 0( ) 0p xα ≠ . Dacă,

în plus, fiecare semi-normă p Pα ∈ este hilbertiană, adică

satisface identitatea paralelogramului :

2 2 2 2( ) ( ) 2[ ( ) ( )], , ,p x y p x y p x p y x y Xα α α α+ + − = + ∀ ∈

33


atunci aceasta provine dintr-un semi-produs scalar, iar spaţiul

local convex corespunzător se numeşte H-local convex,

identitatea precedentă fiind caracteristică generării semi-normei

pα prin semi-produsul scalar definit de relaţia :

<x,y>a = 2 2 2 21 ( ) ( ) ( ) ( ) ,4

p x y p x y i p x iy p x iyα α α α + − − + + − −

pentru orice x, y Î X. Aceste spaţii au fost introduse de

T. Precupanu [94] şi constituie cadrul natural în care vom

expune, în final, funcţiile spline definite de noi în [78]. Un spaţiu

local convex separat Hausdorff se numeşte nuclear dacă pentru

orice vecinătate convexă şi echilibrată V a originii spaţiului,

aplicaţia canonică I X X XV V V: ~ ( ~→ este completul spaţiului

X X pV V= −/ ( )1 0 , iar pV este seminorma lui Minkowski ataşată

vecinătăţii V) este un operator nuclear, adică se poate reprezenta

sub forma

I f x y x XV nn

n n= ⋅ ⋅ ∀ ∈=

∞

∑ λ1

( ) , cu λ n ≥ 0 , ∀ ∈ ∈=

∞

∑n N R fn nn

*, ,( )λ1

un şir echicontinuu de funcţionale liniare pe X, iar ( )yn n N∈ un şir

conţinut măcar într-o mulţime convexă şi echilibrată mărginită B

din ~XV pentru care subspaţiul liniar generat S(B) este spaţiu

Banach în raport cu norma lui Minkowski definită pe S(B).

Spaţiile nucleare sunt spaţii H-local convexe ca şi spaţiile

studiate în [59] care dovedesc că există semi-norme hilbertiene

34


care nu sunt norme. Un con convex K în (X,P) se numeşte

normal dacă satisface una dintre următoarele condiţii

echivalente:

1) există măcar un sistem fundamental V de vecinătăţi ale

originii spaţiului aşa încât

( ) ( ),V V K V K V= + ∩ − ∀ ∈ V ;

2) , ( ) ( ),x y K cu y x K p x p y p P∀ ∈ − ∈ ⇒ ≤ ∀ ∈ ;

3) dacă ( ) ,( )x ys s S s s S∈ ∈ sunt două şiruri generalizate în K

cu y x K s Ss s− ∈ ∀ ∈, şi $ lims S s Xy

∈= 0 , atunci $ lim

s S s Xx∈

= 0 .

Următorul concept a fost introdus de G. Isac în [41] şi

publicat în [42].

Un con convex K dintr-un spaţiu local convex

(X,P = : p i Ii ∈ ) se numeşte supernormal (nuclear) dacă pentru

orice seminormă pi ∈ P, există măcar o funcţională liniară şi

continuă fi pe X astfel ca ( ) ( ),i ip x f x x K≤ ∀ ∈ .

Se cuvine să facem observaţia că cel mai potrivit context

pentru noţiunea de supernormalitate (nuclearitate) ataşată

conurilor convexe este cadrul natural oferit de spaţiile local

convexe separate. În virtutea primului corolar al Propoziţiei 5 din

[42] în orice spaţiu liniar normat un con convex este supernormal

dacă şi numai dacă este generat de o mulţime nevidă, convexă şi

mărginită care nu conţine originea în aderenţă, adică atunci şi

35


numai atunci când este "well based" sau, echivalent, "with

plastering", această ultimă noţiune fiind introdusă de

Krasnoselski (a se vedea, de exemplu, [60] şi alte lucrări

conexe). Iniţial, orice con supernormal s-a numit nuclear

deoarece în orice spaţiu nuclear [77] orice con normal este

nuclear în sensul introdus de G. Isac [42] şi reciproc (Propoziţia

6 din [42]). Ulterior, datorită proprietăţlor constatate comparativ

cu conurile normale s-a convenit adoptarea denumirii de "con

supernormal" pentru orice con nuclear. Clasa conurilor

supernormale s-a impus în special prin necesitatea studiului

existenţei punctelor eficiente în sens Pareto pentru mulţimi

complete, urmărindu-se astfel înlocuirea ipotezei de compactitate

asupra mulţimii respective cu cea de completitudine şi stabilirea

unor proprietăţi de bază pentru mulţimile de puncte eficiente

([41]-[46]). Noţiunea de con supernormal introdusă de G. Isac nu

este o simplă generalizare a conceptului introdus de M.A.

Krasnoselski şi studiat ulterior. Supernormalitatea are drept

cadru adecvat orice spaţiu local convex separat Hausdorff la fel

cu nuclearitatea în sens Grothendieck. Astfel, după cum un

spaţiu liniar normat este nuclear în sens Grothendiech dacă şi

numai dacă este izomorf cu un spaţiu euclidian uzual, tot astfel

un con K este supernormal într-un spaţiu liniar normal (X, )

dacă şi numai dacă este "well based" adică se poate reprezenta

36


sub forma K B= ⋅≥

λλ 0U cu B mulţime nevidă, convexă, mărginită

în X şi 0 ∉ B . Dacă notăm cu X* dualul topologic al spaţiului X

(mulţimea tuturor funcţionalelor liniare şi continue pe X) atunci

familia tuturor mulţimilor de forma:

V x x X x x x i nx x x in1 2 0 0 1*, ,..., *; ( ) : * ( ) , , ε ε= ∈ − < ∀ =

cu n N x X∈ ∈*, 0 , x x x Xn1 2*, *,..., * *∈ arbitrari, constituie un

sistem fundamental de vecinătăţi pentru x0. Topologia

corespunzătoare pe X se numeşte topologie slabă pe X notată în

mod uzual cu ( , *)X Xσ sau prin w .

Se poate demonstra că un con convex şi normal K

dintr-un spaţiu local convex arbitrar separat Hausdorff este

supernormal dacă şi numai dacă orice şir generalizat din K slab

convergent către originea spaţiului are aceeaşi limită în raport

cu topologia de spaţiu local convex [43] .

1.6. Alte exemple şi comentarii

0. Orice con supernormal este normal.

(Într-adevăr, dacă ( ) ,( )x ys s S s s S∈ ∈ sunt două şiruri generalizate

arbitrare în K cu y x K s Ss s− ∈ ∀ ∈, atunci supernormalitatea

conului K asigură pentru fiecare seminormă p ∈ P existenţa unei

funcţionale liniare şi continue f cu

0 ≤ ≤ ≤ ∀ ∈p x f x f y s Ss s s( ) ( ) ( ), .

37


Deoarece lim ( )s S sf y

∈= 0 , rezultă că există lim ( )

s S sp x∈

= 0 ,

deci ∃ =∈

lims S s Xx 0 ) .

1.Orice con normal într-un spaţiu local convex separat

Hausdorff este slab supernormal, deci slab normal.

(Dacă p este o seminormă arbitrară σ ( , *)X X continuă, atunci

există M ≥ 0 şi f f f X n Nn1 2, ,... *, *∈ ∀ ∈ astfel încât

p x M f x x Xi n

i( ) sup ( ), ,≤ ∀ ∈≤ ≤1

iar dacă un con convex K este normal, atunci pentru fiecare i n∈ , , ,..., 1 2 3 există hi, gi funcţionale liniare şi continue pe K

astfel încât fi = hi - gi, deci

p x M f x M h g xi n

ii n

i i( ) sup ( ) sup( )( )≤ ≤ + =≤ ≤ ≤ ≤1 1

= + ≤ +≤ ≤ =

∑M h x g x M h g xi n

i i i ii

n

sup( ( ) ( )) ( )( )1 1

).

2. Orice con convex, închis, ascuţit ( cu vârful în origine)

într-un spaţiu euclidian oarecare R k Nk ( *)∈ este supernormal.

3. În orice spaţiu local convex orice con "well based"

(generat de o mulţime nevidă oarecare, convexă şi mărginită

care nu conţine originea spaţiului în închidere) este

supernormal.

4. Un con convex este supernormal într-un spaţiu liniar

normat dacă şi numai dacă este "well based".

38


5. Fie n N∈ * arbitrar şi Y spaţiul liniar real al

matricelor simetrice de ordinul n ordonat de conul convex cu

vârful în origine K A Y x Ax x RT n= ∈ ≥ ∀ ∈ : , 0 . Atunci Y este un

spaţiu Hilbert în raport cu produsul scalar definit prin

<A,B>=trace(A ⋅ B), ∀ ∈A B Y, şi K este generat (well based) de

mulţimea B=A ∈ < > =K A I: , 1 unde I este matricea unitate.

6. Orice con convex cu vârful în originea spaţiului, local

compact (slab local compact) din orice spaţiu local convex

separat Hausdorff este supernormal.

7. În orice spaţiu nuclear un con convex este supernormal dacă

şi numai dacă este normal.

8. În orice spaţiu local convex separat Hausdorff, un con convex

este slab supernormal dacă şi numai dacă este slab normal (deci

în raport cu topologia slabă conurile supernormale se identifică

cu conurile normale).

9. În L a b pp ([ , ])( )≥ 1 conul convex

Kp=x ∈ Lp([a,b]) : x(t) ≥ 0 aproape peste tot în [a,b] este

normal pentru orice p³1 şi supernormal numai pentru p=1, caz

în care este generat (well based) de mulţimea

B x K x t dta

b

= ∈ =∫ : ( ) .1 Într-adevăr, dacă p>1, atunci şirul

( )xn n N∈ ∗ definit prin:

39


x t n a t a b a na b a n t bn

p

( ), ( ) /

, ( ) /

/

=≤ ≤ + −

+ − < ≤

1 20 2

converge la originea spaţiului în topologia slabă, dar nu este

convergent în raport cu topologia uzuală indusă de norma

definită prin f f t dt f L a bp

a

b p

p=

∀ ∈∫ ( ) , ([ , ]).

/1

Prin urmare, în

virtutea caracterizării conurilor supernormale care precede

secţiunea destinată exemplelor, Kp nu este un con supernormal

pentru fiecare p>1, deşi admite ca bază mulţimea nemărginită

B x K x t dtp pa

b

= ∈ =∫ : ( ) .1 În general, fiecare con convex generat

de o mulţime mărginită B x B x t dt ss pp

a

b

= ∈ ≤∫ : ( ) este evident un

con supernormal. Concluzia privitoare la supernormalitatea

conului Kp se menţine şi în spaţiul Lp(R)(p ≥ 1).

Astfel, în acest caz dacă se consideră o familie numărabilă

(An) de mulţimi disjuncte care acoperă mulţimea R şi

µ µ( ) , (A n Nn = ∀ ∈1 fiind măsura Lebesque), atunci şirul de

funcţii (yn) definit prin:

y tt At R A

n Nnn

n

( ),, \

,=∈∈

∈10

40


converge la zero în topologia slabă pe Lp(R) fără a fi convergent

în topologia uzuală la aceeaşi funcţie. Aşadar pentru orice p>1,

conul Kp=f ∈ ≥L R fp ( ): 0 nu este supernormal, deci nu posedă

o bază pentru a fi "well based". K1 este supernormal (Kp este

normal pentru p ≥ 1 ). Aceeaşi constatare privind

supernormalitatea conurilor uzuale este valabilă în spaţiile

Orlicz. Kp are însă interiorul vid pentru fiecare p³1.

10. În l pp ( )≥ 1 înzestrat cu topologia generată de norma

uzuală .p definită prin 1/( ) , ( )

n

p p pnp

n Nx x x x l

∈

= ∀ = ∈∑ conul

C x l x n Np np

n= ∈ ≥ ∀ ∈( ) : , 0 este normal în raport cu această

topologie pentru orice p ≥ 1, dar supernormal numai pentru

p=1. Într-adevăr, oricare ar fi p>1 şirul ( )e lnp∈ în care

e n Nn ( )∈ ∗ are 1 drept termen de rang n şi 0 în rest converge către

şirul identic nul în topologia slabă pe lp, dar nu şi în topologia

obişnuită. În consecinţă, Cp(p>1) nu este supernormal. Pentru

p=1 acest con este supernormal fiind generat (well based) de

baza B x C x= ∈ = : 1 11 .

Dacă se consideră în l1 topologia definită de familia de

seminorme p n Nn : ∈ date prin

p x xn k kk

n

(( )) ,==

∑0

∀ ∈( )x lk1

41


(care este mai puţin fină decât topologia slabă uzuală pe l1),

atunci conul C1 rămâne supernormal în topologia de spaţiu local

convex generată (fiind un con normal într-un spaţiu nuclear), dar

nu este "well based". Cum orice spaţiu nuclear este şi un spaţiu

H-local convex în raport cu o familie echivalentă de seminorme

[77], exemplul precedent arată că, chiar într-un spaţiu H-local

convex [94], există conuri supernormale care nu sunt generate

pentru a deveni "well based". Cp(p³1) are interiorul topologic

vid.

11. Să considerăm acum l2 cu topologia H-local convexă

indusă de familia de seminorme definite prin1/ 2

2 2(( )) , , ( ) .n k i ki n

p x x n N x l≥

= ∈ ∈ ∑%

Atunci, conul C x l x k NK k22 0= ∈ ≥ ∀ ∈( ) : , este normal în

spaţiul H-local convex ( , ~ ~ : )l P p n Nn2 = ∈ fără a fi supernormal

(acelaşi şir (en) din Exemplul 10 este slab convergent la şirul

identic nul fără a fi convergent la acest şir în topologia generată

de familia ~P .

12. Un alt exemplu interesant de con normal într-un

spaţiu H-local convex care nu este supernormal este conul

funcţiilor pozitive în spaţiul L2loc(R) al funcţiilor reale de

argument real de pătrat integrabil pe orice interval de lungime

42


finită înzestrat cu topologia generată de familia de seminorme:

P p n Nn= ∈ : date prin

p x x t dt x L R n Nnn

n

loc( ) ( ) , ( ), ./

=

∀ ∈ ∈

−∫ 2

1 2

2

În acest caz, şirul de funcţii ( )xk k N∈ cu

x tt k

k t kk ( ), ( , ) ( / , )

, [ , / ]=

∈ − ∞ ∪ + ∞

∈

0 0 1

0 1

este slab convergent la funcţia identic nulă, fără a fi convergent

la această funcţie în raport cu topologia H-local convexă

generată de familia P .

13. În spaţiul Banach C([a,b])(a,b ∈ R şi a<b) al tuturor

funcţiilor reale continue pe [a,b] cu topologia generată de

norma definită prin x x t x C a ba x b

= ∀ ∈≤ ≤sup ( ) , ([ , ]) conul convex

K x C a b x= ∈ ([ , ]): este concavă, x(a)=x(b)=0 şi x t( ) ,≥ 0

∀ ∈t a b[ , ] este supernormal, având drept bază orice mulţime

B(t0)=x ∈ K:x(t0)=1 cu t0 ∈ [a,b] arbitrar. Ipoteza de concavitate

a funcţiilor din K este esenţială pentru supernormalitatea

conului.

14. În l ∞ sau în c0 conul convex al şirurilor de numere

reale cu toate sumele parţial pozitive nu este normal, deci nici

supernormal.

43


15. Dacă se consideră spaţiul X al funcţiilor reale local

integrabile pe un spaţiu local compact Y în raport cu o măsură

Radon µ înzestrat cu topologia indusă de familia P=

p A YA :∅ ≠ ⊆ submulţime compactă de seminorme definite prin

p f f d f XAA

( ) ,= ∀ ∈∫ µ , atunci conul

K=f ∈ ≥ ∀ ∈X f x x Y: ( ) , 0

este supernormal.

16. Fie X un spaţiu local convex separat Hausdorff

f n n N∈ un şir de funcţionale liniare şi continue pe X şi K ⊂ X un

con convex astfel încât fiecare fn (n ∈ N ) este pozitivă în raport

cu relaţia de preordine generată de conul K. În aceste condiţii,

K se numeşte semicomplet în raport cu f n n N∈ dacă pentru

orice şir xm m N∈ de elemente din K cu f x m Nn mn

( ) ,< + ∞ ∀ ∈=

∞

∑1

rezultă că x Kmm=

∞

∑ ∈1

.În [46] s-a demonstrat că orice con convex

semicomplet este supernormal.

17. Conul convex al tuturor funcţiilor pozitive armonice

pe un spaţiu local compact în raport cu o teorie axiomatică a

potenţialului (Bauer, Brelot, Constantinescu-Cornea sau

Mokobodzki-Sibony) este supernormal.

44


18. Dacă L este o latice convexă ordonată de un con

convex K şi L* este duala topologică corespunzătoare ordonată

de conul dual K*, atunci K este supernormal în topologia de

spaţiu local convex definită pe L de sistemul fundamental al

vecinătăţilor originii de forma [ , ] : *.− ∈f f f K0

19. În orice spaţiu local convex separat Hausdorff X

orice

con normal este supernormal în raport cu topologia slabă pe X.

20. Un con convex K este supernormal într-un spaţiu

H-Fréchet (X, P= : p Iα α ∈ (adică un spaţiu local convex,

separat Hausdorff având topologia generată de o familie

numărabilă de seminorme hilbertiene (fiecare seminormă pα

este definită de un semi-produs scalar ( , ) , )⋅ ⋅ ∈α α I dacă şi numai

dacă pentru orice seminormă pα ∈ P , există y Xα ∈ astfel că

subdiferenţiala seminormei pα în originea spaţiului este

conţinută în translata polarului conului K printr-o funcţională

liniară şi continuă de forma ( , )⋅ yα β cu β ∈ I .

Se cuvine să remarcăm că orice con supernormal K

într-un spaţiu liniar normat arbitrar admite funcţionale liniare

continue strict pozitive. Această proprietate nu este însă

caracteristică conurilor supernormale. Astfel de exemplu, pentru

conul convex normal

45


K l x x l xpn

pn= = = ∈ ≥+ ( ) : ,0 ∀ ∈n N ( p N∈ ∗

funcţionala liniară şi continuă ϕ :l Rp → definită prin

ϕ ( ) , ( )x x x x lii

ip= ∀ = ∈

=

∞

∑1

este strict pozitivă însă, după cum s-a putut remarca din

comentariile anterioare, acest con este supernormal numai dacă

p=1.

Un alt exemplu în acest sens este oferit de conul pozitiv

(de asemenea normal) L x L a b x tp p+ = ∈ ≥ ([ , ]): ( ) 0 aproape peste

tot în [ , ]( , ,a b a b R a b∈ < şi p N∈ ∗ ). Funcţionala liniară şi

continuă ϕ : ([ , ])L a b Rp → dată de ϕ ( ) ( ) , ([ , ])x x t dt x L a bp

a

b

= ∀ ∈∫

este strict pozitivă, însă Lp+ este supernormal dacă şi numai dacă

p = 1.

În laticea complet ordonată B([a,b]) (considerată ca

spaţiu Banach în raport cu norma obişnuită definită prin

x x t a t b= ≤ ≤sup ( ) : ) a tuturor funcţiilor reale mărginite pe

un interval compact nebanal arbitrar [a,b] din R conul pozitiv

uzual K u B a b u t t a b= ∈ ≥ ∀ ∈ ([ , ]): ( ) , [ , ]0 este normal, dar fără

bază, deci nu este supernormal. Acest con are însă interiorul

46


topologic nevid. Dacă considerăm în l1 topologia definită de

familia de seminorme : p n Nn ∈ ∗ definită prin

p x x x x l n Nn kk

n

k( ) , ( ) ,= ∀ = ∈ ∈=

∗∑0

1 ,

atunci conul convex ( ) : , x x l x k Nk k= ∈ ≥ ∀ ∈1 0 este

supernormal fără a avea o bază.

Înainte de a prezenta conexiunile indicate dintre conurile

supernormale şi punctele eficiente expunem câteva consideraţii

preeliminare.

Fie X un spaţiu liniar ordonat de un con convex K A X, ⊂

o mulţime nevidă şi a A0 ∈ .

Definiţia 1. [79] a0 se numeşte element eficient (punct de

minim în sens Pareto) pentru mulţimea A în raport cu conul K

(în notaţie, a MIN AK0 ∈ ( )) sau a eff A K0 ∈ ( , )) dacă satisface una

dintre următoarele condiţii echivalente:

(i) A a K a K∩ − ⊆ +( ) ;0 0

(ii) K a A K∩ − ⊆ −( ) ;0

(iii) ( ) ( ) ;A K a K a K+ ∩ − ⊆ +0 0

(iv) K a A K K∩ − − ⊆ −( ) .0

Când conul K are vârful în originea spaţiului, adică

K K X∩ − =( ) ,0 proprietatea a MIN AK0 ∈ ( ) este echivalentă cu

fiecare dintre condiţiile:

a) A a K a∩ − =( ) ;0 0

47


b) A a K X∩ − = ∅( \ ) ;0 0

c) K a A x∩ − =( ) ;0 0

d) ( \ ( ) .K a Ax0 0∩ − = ∅

Într-o manieră similară se definesc punctele de maxim în

sens Pareto (vectorial).

De fapt, a MAX A a MIN AK K0 0∈ ⇔ ∈ −( ) ( ) . Mai observăm

că a MIN AK0 ∈ ( ) înseamnă că a0 este punct fix pentru fiecare

dintre multifuncţiile

F A A F t a A A a K t K1 1: , ( ) : ( ) ;→ = ∈ ∩ − ⊆ +

F A A F t a A A t K a K2 2: , ( ) : ( ) ;→ = ∈ ∩ − ⊆ +

F A A F t a A A K a K t K3 3: , ( ) :( ) ( ) ;→ = ∈ + ∩ − ⊆ +

F A A F t a A A K t K a K4 4: , ( ) :( ) ( ) ;→ = ∈ + ∩ − ⊆ +

adică a F a ii0 0 1 4∈ =( ), , .

Teorema 4. [80] Dacă notăm

S A K( , ) = : , a A a a K a A1 1∈ − ∈ ∀ ∈ ,

atunci S A K( , ) ≠ ∅ implică MIN A S A KK ( ) ( , )= .

Demonstraţie.

Este evident că S A K MIN AK( , ) ( )⊆ deoarece dacă

a S A K0 ∈ ( , ) şi a A a K∈ ∩ −( )0 , atunci a a K∈ +0 . Fie

acum S A K( , ) ≠ ∅ şi să presupunem că există

a MIN A S A KK0 ∈ ( ) \ ( , ) . Atunci există a A* ∈ aşa ca

a a K* − ∉0 . Fie a S A K∈ ( , ) arbitrar. Atunci

48


a a K X0 0− ∈ \ deoarece dacă a a0 = se obţine

a S A K0 ∈ ( , ) în contradicţie cu a a K* − ∉0 . Prin urmare,

a a K X0 0− ∈ \ şi a MIN AK0 ∈ ( ) antrenează a a K∈ +0

care împreună cu a S A K∈ ( , ) conduce la a S A K0 ∈ ( , ) ,

contradicţie. Remarcăm că este posibil ca S A K( , ) ≠ ∅ şi

MIN A AK ( ) = . În acest sens să examinăm următorul

exemplu. Fie X=R2 înzestrat cu topologia de spaţiu local

convex indusă de seminormele

p p X R p x y x p x y y x y R1 2 1 22, : , ( , ) , ( , ) , ( , )→ = = ∀ ∈ ,

K R x y R x y= = ∈ ≥+2 2 0( , ) : , şi A = − ≤ ≤( , ): .λ λ λ1 0 1

Atunci S A K( , ) = ∅ şi MIN A AK ( ) .=

Peste tot în cele ce urmează vom presupune că X este un

spaţiu local convex separat Hausdorff având topologia generată

de o familie P p I= ∈ : α α de seminorme.

Teorema 5. [79] Dacă A X⊂ este o submulţime nevidă

şi K un con convex închis, atunci a MIN AK0 ∈ ( ) dacă şi numai

dacă pentru orice a A a K∈ +\ ( )0 , există x X∗ ∗∈ aşa încât

x a x a∗ ∗<( ) ( )0 şi x K∗ ∈ 0 unde K x X x y y K0 0= ∈ ≤ ∀ ∈∗ ∗ ∗ : ( ) ,

denotă polarul uzual al conului K.

Demonstraţie.

Fie a MIN AK0 ∈ ( ) şi a A a K∈ +\ ( )0 . Atunci

a a K∉ −0 şi o teoremă clasică de separare asigură

49


existenţa unei funcţionale liniare şi continue x* pe X astfel

ca x*(a)<x*(a0)-x*(y), ∀ ∈y K . Aşadar x*(a)<x*(a0). Dacă

însă admitem că ar exista y K∈ pentru care x*(y)>0,

atunci x y x a x y∗ ∗ ∗< − ∀ >( ) ( ) ( ),0 0λ λ care pentru λ

suficient de mare conduce la o contradicţie. Deci,

x y y K∗ ≤ ∀ ∈( ) , ,0 adică x K∗ ∈ 0 . Reciproc, să

presupunem că are loc condiţia din enunţ şi că

A a K a K∩ − ⊄ +( ) .0 0 Deci, există a A a K∈ ∩ −( )0 şi

a a K∉ +0 . Prin urmare, a A a K∈ +\ ( )0 şi, în virtutea

ipotezei, există y K∗ ∈ 0 cu y a y a∗ ∗<( ) ( )0 , în contradicţie

cu relaţia y a y a∗ ∗≤( ) ( )0 obţinută din a a K0 − ∈ .

Fie acum K un con convex, ε ∈ K X\ 0 şi A X⊂ o submulţime

nevidă.

Definiţia 2. [74] a0 se numeşte ε − eficient pentru A în

raport cu K (în notaţie a0 ∈ −ε MIN AK ( ) dacă

( ) .a K A0 − − ∩ = ∅ε

Este evident că MIN A MIN A KK K K( ) ( ), \ ⊆ − ∀ ∈ε ε 0 şi

MIN A MIN AK K KK

( ) [ ( ).\

= ∩ −∈ε

ε0

50


O funcţie f E R: → definită pe un spaţiu liniar E ordonat de un

con convex K este η + −K crescătoare (η ∈ K ) dacă

f x f x x x E( ) ( ), ,1 2 1 2≥ ∀ ∈ cu x x K K1 2∈ + + ∈η η( ).

Fie T o submulţime nevidă şi compactă într-un spaţiu

liniar topologic E. Dacă S este un con convex de funcţii reale

continue pe T astfel că S conţine funcţiile constante pe T,

inf( , ) , ,f f S f f S1 2 1 2∈ ∀ ∈ (S este min-stabilă) şi S separă punctele

mulţimii T, atunci mulţimea pe M T+ ( ) a măsurilor Radon

pozitive se poate defini următoarea relaţie:

µ ν µ ν≤ ⇔ ≤ ∀ ∈S s s s S( ) ( ), . O măsură µ ∈ +M T( ) se numeşte

minimală în raport cu relaţia definită dacă pentru orice funcţie

f T R: → continuă, µ µ( ) ( )Q f fS = unde Q f s S f sS = ∈ ≤inf : .

În particular, măsura Dirac ε x x T( )∈ este minimală dacă şi

numai dacă ε εx S xQ f f( ) ( ),= adică Q f x f x f T RS ( ) ( ), := ∀ →

funcţie continuă.

Mulţimea tuturor punctelor x T∈ pentru care ε x este o

măsură minimală se numeşte frontiera Choquet a mulţimii T în

raport cu conul S, notată ∂ S T. Deci, dacă C(T) este spaţiul

Banach uzual al tuturor funcţiilor reale continue pe T, atunci

∂ S ST x T Q f x f x f C T= ∈ = ∀ ∈ : ( ) ( ), ( ).

O mulţime nevidă A T⊆ se numeşte S-absorbantă dacă

x A∈ şi ε µx S− ∈ implică µ ( \ ) .X A = 0 Urma pe ∂ S T a

51


topologiei pe T în care mulţimile închise coincid cu T sau cu

submulţimile absorbante ale mulţimii T conţinute în

:x T s S∈ ∃ ∈ cu s x( ) < 0 se numeşte topologie Choquet pe ∂ S T .

În acord cu rezultatele stabilite respectiv expuse în

lucrările [18], [84], [88]-[92], prezentăm următoarele conexiuni

imediate dintre Optimizarea Vectorială şi Teoria Potenţialului

când T este o submulţime nevidă şi compactă a unui spaţiu local

convex separat ordonat de un con convex K.

Teorema 6. MINK(T) coincide cu frontiera Choquet a

mulţimii T în raport cu conul convex al funcţiilor reale şi

continue pe T, K - crescătoare. În consecinţă, mulţimea

MINK(T) înzestrată cu urma topologiei initiale este un spaţiu

Baire (orice spaţiu topologic în care fiecare mulţime nevidă şi

deschisă nu se poate reprezenta ca o reuniune numărabilă de

mulţimi rare (cu interioarele aderenţelor vide)). Dacă în plus

mulţimea T este metrizabilă, atunci MINK(T) este de tip Gδ (se

poate reprezenta ca o intersecţie numărabilă de mulţimi

deschise).

Corolarul 6.1.

(i) MIN T x T f x f x x X x KK ( ) : ( ) sup ( ' ): ' ( ),= ∈ = ∈ ∩ −

∀ ∈f C T( ) ;

52


(ii) MIN TK ( ) şi MIN T x T s x s SK ( ) : ( ) ( )∩ ∈ ≤ ∈0 sunt

mulţimi compacte în raport cu topologia Choquet;

(iii) MIN TK ( ) este submulţime compactă în T.

Teorema 7. ε − MIN TK ( ) coincide cu frontiera Choquet

a mulţimii T în raport cu conul convex al funcţiilor reale,

continue, ε + K crescătoare pe T, ∀ ∈ε K K\ 0 . Deci, mulţimea

ε − MIN TK ( ) înzestrată cu urma topologiei iniţiale este un

spaţiu Baire şi dacă T este o mulţime metrizabilă, atunci

ε − MIN TK ( ) este o submulţime de tip Gδ în T.

Importanţa conurilor supernormale pentru existenţa

punctelor eficiente în sens Pareto (vectorial) ca şi pentru

proprietăţile mulţimilor de puncte eficiente este ilustrată şi de

următoarele rezultate demonstrate în [41] - [44] şi în [79] - [81].

Definiţia 3. O mulţime nevidă B dintr-un spaţiu liniar

topologic X ordonat de un con convex K se numeşte K-mărginită

dacă există B X0 ⊆ mărginită astfel încât B B K⊆ +0 şi

K - închisă dacă extensia conică B K+ este închisă unde K

denotă închiderea topologică a conului convex K.

Teorema 8.

53


(i) Dacă într-un spaţiu local convex X separat Hausdorff

K este un con supernormal, A, B ⊆ X sunt submulţimi nevide

poziţionate prin A B A K⊆ ⊆ + şi B A K∩ −( )0 este o mulţime

mărginită şi completă pentru măcar o mulţime nevidă A A0 ⊆ ,

atunci MIN AK ( ) ≠ ∅ ;

(ii) Dacă X este un spaţiu local convex separat cvasi-

complet (orice submulţime nevidă, mărginită şi închisă este

completă) şi K este un con supernormal şi închis în X, atunci

pentru orice mulţime A K-mărginită şi K-închisă din X obţinem:

MIN AK ( ) ≠ ∅ , A MIN A KK⊆ +( ) , MIN A K A KK ( ) + = + şi

MIN AK ( ) este K-mărginită şi K-închisă;

(iii) În aceleaşi ipoteze de la (ii), MIN AK ( ) ≠ ∅ pentru

orice submulţime nevidă A cu B A K∩ −( )0 mulţime K-

mărginită şi K-închisă când A A X0 ⊆ ⊆ şi A B A K⊆ ⊆ + .

Corolarul 8.1. Fie A B A K⊆ ⊆ + într-un spaţiu local

convex separat X şi K un con convex slab supernormal. Dacă

mulţimea B A K∩ −( )0 este slab completă pentru măcar o

submulţime A A0 ⊆ atunci MIN AK ( ) ≠ ∅ . În particular, când K

este slab supernormal şi A a K∩ −( ) sau ( ) ( )A K a K+ ∩ − este

mărginită şi slab completă pentru cel puţin un element a A∈ ,

54


atunci MIN AK ( ) ≠ ∅ . Dacă proprietatea de mărginire cuplată

cu slaba completitudine a mulţimii menţionate este valabilă

pentru orice a A∈ , atunci A MIN A KK⊆ +( ) (relaţia de

dominare).

Corolarul 8.2. MIN AK ( ) ≠ ∅ în fiecare din următoarele situaţii:

(i) K este închis, normal, slab complet şi A este slab

închisă aşa ca A a K∩ −( ) este mărginită pentru cel puţin un

element a A∈ . Dacă A a K∩ −( ) este mărginită pentru orice

a A∈ , atunci A MIN A KK⊆ +( ) ;

(ii) K este închis, normal şi A este o mulţime nevidă, slab

completă oarecare (proprietatea de dominare A MIN A KK⊆ +( )

rămâne valabilă);

(iii) K este închis, normal, slab complet şi A+K este o

mulţime slab închisă astfel încât mulţimea ( ) ( )A K a K+ ∩ − este

mărginită măcar pentru un element a A∈ . Când

( ) ( )A K a K+ ∩ − este mărginită pentru orice a A∈ , atunci

A MIN A KK⊆ +( ) .

Corolarul 8.3. Pentru orice mulţime A nevidă, mărginită

şi închisă dintr-un spaţiu local convex separat Hausdorff

ordonat de un con convex K generat de o mulţime convexă,

55


mărginită şi completă care nu conţine originea spaţiului

MIN AK ( ) ≠ ∅ şi A MIN A KK⊆ +( ) .

Spre aprofundare, completăm această secţiune cu

1.7. Un studiu recent asupra Eficienţei cu multiple aplicaţii

1.7.1. Introducere

În general, Eficienţa a fost, este şi rămîne esenţială pentru

existenţă, modelele matematice aferente elaborate prin

investigaţii ştiinţifice din domenii variate ale cunoaşterii umane

fiind unanim acceptate. Acestui subiect îi dedicăm contribuţia

noastră originală care urmează, conţinutul expunerii fiind

organizat astfel: Secţunea 2 conţine generalităţi privind

conceptul de Eficienţă şi unele aplicaţii recente, imediate

respectiv implicaţii semnificative. În Secţiunea 3 prezentăm

Optimalitatea Pareto ca fiind exemplul ilustrativ cel mai

important de Eficienţă dezvoltat până acum, deoarece a generat

acest concept, cu originea în Optimizarea Multicriterială,

punctul de start pentru Modelarea Matematică a Eficienţei

Economice şi, totodată, cazul particular caracteristic Optimizării

Vectoriale Finit Dimensionale. Secţiunea 4 este consacrată

Eficienţei în Spaţiile Liniare Ordonate Infinit Dimensionale şi

conexiunilor directe cu Punctele Critice care descriu Echilibrul

Sistemelor Dinamice, în particular, Echilibrul Economic,

Punctele Fixe ale unor Multifuncţii, Optimizarea Tare şi

56


Frontierele Choquet. Identificarea şi optimizarea Eficienţei în

spaţii H-local convexe prin funcţii spline sunt prezentate în

Secţiunea 5.

1.7.2. Eficienţă generală şi eficienţă specifică

57


Limbajul curent defineşte Eficienţa ca fiind” capacitatea de a

produce efectele dorite, în contextul unor cerinţe formulate

”. În lumea actuală caracterizată prin : globalizare cu impact

pozitiv asupra Eficienţei generale, liberalizare,

individualizare, informatizare, non-formalizare,

observabilitate, controlabilitate şi competiţie fără precedent,

etc.(Rotmmans Jan, 2002), Eficienţa este percepută ori de

cîte ori „se lucrează bine, repede şi fără pierderi” , deci este

caracterizată prin”resurse respectiv pierderi minime,

gestionare si prelucrare rapidă, cu profit maxim”. Viaţa

noastră însă este definită prin Eficienţa Divină , cu

proiecţiile în realitate avînd o multitudine de descrieri şi

interdependenţe: Eficienţa Informaţională, Eficienţa

Energetică, Eco-Eficienţa, Eficienţa Economică

(Agricultură, Industrie, Finanţe, Afaceri, etc.), Eficienţa

Matematică (Algoritmi Eficienţi, Frontiere Eficiente,

Statistică, Analize şi Decizii Multicriteriale,Eficienţă în

Economia Matematică, etc.), Eficienţa în Medicină,

Eficienţa Tehnică, etc., toate fiind fundamentate pe

următoarea întrebare:”ce modalităţi de evaluare folosim şi

cum le interpretăm în aplicaţiile concrete?”(Heine Paul,

2000). Astfel, Eficienţa Economică, indiferent de proces,

este caracterizată de conexiunea „optimală” dintre”intrări”

58


şi „ ieşiri”, ambele fiind „măsurate” prin bani . Deci,

evaluările monetare sunt esenţiale pentru Eficienţa

Economică asociată în permanenţă cu „sustainabilitatea”

descrisă drept componentă centrală pentru orice proces „de

dezvoltare care atinge şi foloseşte necesităţile prezentului

fără a compromite abilitatea generaţiilor viitoare de a-şi

folosi nevoile proprii” în scopul realizării unei societăţi

„bune”. (Report of Brundtland Commission – The World

Commission on Environment and Development, 1987, p.43).

Totuşi, Eficienţa şi “Sustainabilitatea” nu sunt suficiente

pentru a asigura o evoluţie socială pozitivă cel puţin pentru

că Eficienţa Economică nu include orice element vizat (de

exemplu, distribuţia optimă a bunurilor) (Nyberg et.

al.,2001, p.13), iar “Sustainabilitatea” nu a fost definită încă

suficient de clar (Rosencrantz Holger, 2005). În termenii

Eficienţei Tehnice, o maşină este considerată “utilă” sau “

mai eficientă decît alta” cînd “generează mai multă

“energie” decît primeşte”. Dar, nu este posibil să vorbim

despre “eficienţă completă” măcar pentru că nu există

procedee universale de estimare (a se vedea, de exemplu,

traficul auto urban care angajează persoane diferite din

multe puncte de vedere; în general, orice sistem de transport

acceptat drept funcţional are un grad ridicat de

59


complexitate, cu componente conflictuale) . In realitate,

pentru toate procesele, oamenii încearcă o aproximare a

eficienţei reale cu scopul obţinerii unui control cel puţin

minim (Postolică, V., 2006). Un argument în acest sens, dar

şi un exemplu semnificativ, este reprezentat de permanenta

evaluare şi continua supervizare prin analiza simulata a

riscului pentru a obţine balanţa eficientă (optimă) în

managementul bancar efectuată de Kosmidou Kyriaki şi

Zopounidis, Constantin în 2005. Din punct de vedere

decizional, pentru obţinerea Eficienţei, se impune

parcurgerea a cel puţin următoarelor etape cognitive :

- Formularea problemelor de către staff -ul managerial într-un

limbaj care să permită un dialog veritabil cu matematicienii şi

informaticienii implicaţi ;

- Elaborarea modelelor matematice, cu posibilităţi de rafinare

ulterioare;

- Selectarea, prin studii riguroase, a celor mai bune decizii

multicriteriale:

- Studiul existenţei soluţiilor în sens tare (unice şi pentru

cazurile vectoriale);

- Dacă nu există soluţii în sens tare, identificarea sau măcar

aproximarea celor vectoriale ;

60


- Precizarea proprietăţilor mulţimii punctelor eficiente, utile în

practică, prin procesări numerice adecvate ;

- Aplicarea concluziilor rezultate;

- Evaluarea Eficienţei.

Elaborarea deciziilor multicriteriale (Stewart, D., J., 2004) şi

aplicarea acestora în condiţii incerte, ambele fiind recunoscute ca

proveninând din situaţiile concrete când oamenii nu deţin

informaţiile cantitative şi calitative pentru a descrie, prescrie

sau anticipa, cu fermitate respectiv a controla numeric,

computerizat, comportarea unui sistem sau a caracteristicilor

sale (Zimmermann, H., 2000) reprezintă riscul real pentru

Eficienţă care, în opinia noastră, o generează şi impune în

existenţa umană. Termenul de “risc” a fost iniţial aplicat

momentelor când probabilităţile rezultatelor erau obiectiv

cunoscute (Zimmermann, H., 2000), deşi Fishburn, P. C. (1984)

îl explica prin “posibilitatea întâmplării a ceva rău”, iar

“incertitudinea” acceptată numai pentru problemele în care

există alternative reale, cu multiple efecte posibile. Riscul este

aşadar un element indispensabil oricărui proiect economic. În

consecinţă, trebuie estimat şi minimizat prin eficienţă. O altă

chestiune importantă este eficacitatea definită ca fiind

« calitatea de a fi eficace » în sensul de a produce (realiza)

efectele (rezultatele) dorite. În opinia noastră, aceasta înseamnă

61


a fi eficient » pas cu pas », adică o eficienţă aplicată, discretă,

cu secvenţele corespunzătoare adecvat interconectate. O relaţie

directă între inteligenţă şi eficienţă este următoarea : există

mijloace pentru a »etalona » inteligenţa unui individ uman, dar

acestea nu reflectă decât parţial capacităţile specifice. Astfel, una

dintre cele mai practicate modalităţi este reprezentată de

evaluarea prin « coeficientul » IQ. Acesta este însă un indice

foarte relativ de estimare a inteligenţei, mondial controversat

acum, deoarece « cuantifică » numai inteligenţa cognitivă,

tehnică. Dincolo de şcoli, diplome, know-how-ul tehnic al unor

ani de experienţă profesională, există un alt factor de importanţă

majoră pentru succesul în viaţă: inteligenţa emoţională (EQ)

definită prin capacitatea proprie de identificare şi gestionare

eficientă a propriilor emoţii în raport cu scopurile personale

(carieră, educaţie, familie, etc.). Finalitatea constă în realizarea

obiectivelor, cu conflicte generale minime, iar soluţia este

profunda autocunoaştere.Cunoştinţele şi ideile inteligente

împreună cu managementul eficient al emoţiilor şi sentimentelor

construiesc împăcarea cu sine, echilibrul cu lumea exterioară

prin relaţiile cu ceilalţi şi cariera profesională de succes.

1.7.3. Optimalitatea Pareto : Generatoarea eficienţei generale

actuale, primul exemplu ilustrativ, riguros, de eficienţă

economică, prin modelare matematică

62


Nu există un model, chiar matematic, universal, nici pentru

economiile de piaţă. Eficienţa de tip Pareto sau Optimalitatea

Pareto (Pareto Vilfredo, 1909) este o Teorie Economică

fundamentală, cu ample Aplicaţii,cel puţin în cercetarea

ştiinţifică a Proceselor Economice, Teoria şi Aplicaţiile Teoriei

Jocurilor, Inginerie şi Ştiinţele Sociale. Acest tip de Eficienţă

reprezintă componenta finit dimensională a Programării

Multicriteriale (cu funcţii-obiectiv respectiv restricţii multiple)

din Optimizarea Vectorială. Intuitiv, aceasta înseamnă că ori de

cîte ori o posibilă « deviere » de la o « soluţie » veritabilă S a

unui astfel de program generează imediat o « îmbunătăţire » a

cel puţin unui « obiectiv » concomitent cu « degradarea » altor

« obiective » , orice astfel de soluţie este denumită ca fiind

« eficientă » sau « nedominată ». Un sistem din Economie

respectiv din Politică este « eficient » în sens Pareto dacă »

orice element component nu poate deveni « mai bun » fără ca cel

puţin altul să fie « mai puţin bun » , ceea ce înseamnă că un stat

este eficient din punct de vedere economic sau optimal în sens

Pareto dacă nici o persoană din societatea aferentă nu poate

« să progreseze » fără ca cel puţin o alta să « regereseze » .

Această caracteristică a eficienţei de tip Pareto a fost relevată de

Pareto Vilfredo ( 1909), Arrow Kenneth (1951, 1963), Debreu

Gerard (1959, 1971), Aubin Jean-Pierre (1993),Taylor Alan D.

63


(1995), Hansson, S.O. ( 2004) şi alţii. În termenii alocărilor

elternative, eficienţa Pareto este descrisă prin următoarea

comportare a oricărui set de alocări alternative asociat unui

colectiv arbitrar : orice schimbare de la o alternativă la alta

care produce o « îmbunătăţire » individuală fără a afecta restul

colectivităţii . Prin urmare, o alocare de resurse este eficientă

(optimală) Pareto cînd nici o « îmbunătăţire » nu e posibilă în

acelaşi sens . Dacă alocarea este strict preferată de un membru

al colectivului şi nici o altă alocare nu este « benefică » pentru

ceilalţi membri, atunci aceasta se numeşte Pareto optimală în

sens tare. Fiecare alocare pentru care orice realocare posibilă

ar putea fi preferată de întreg colectivul este considerată « slab »

Pareto optimală (Wikipedia, the free Encyclopaedia, 03

February, 2008). În consecinţă, apreciem că Eficienţa de tip

Pareto este şi un « criteriu aproximativ » de evaluare al

sistemelor economice şi politice cu ipoteze minime asupra

comparabilităţii interpersonale (Postolică, V., 2006).

Justificarea atributului de « aproximativ » constă în cerinţa »

ideală », deci restrictivă, care nu reflectă întotdeauna economiile

reale, dar care asigură existenţa optimelor Pareto : piaţa este

alcătuită din toate bunurile posibile admise, cu competitivitate

perfectă şi tranzacţii de cost neglijabile. În politică, nu orice

« soluţie » în sens Pareto este şi « dorită » (de exemplu,

64


strategiile bazate pe beneficii unilaterale) . Aceste argumente au

determinat ca optimalitatea Pareto să fie acceptată cu

incertitudini şi controverse. Totuşi, renumita teoremă a lui

Arrow Keneth stabilită în anul 1951 şi denumită « teorema

imposibilităţii » datorită conţinutului conform căruia « nici o

ordonare socială a preferinţelor bazată numai pe ordonări

individuale nu ar putea satisface o mulţime foarte rezonabilă de

condiţii » conferă optimizării Pareto calitatea de a fi

plauzibilă, cu controverse minime (Rosencrantz, Holger, 2005).

Menţionăm că noţiunea de eficienţă înlocuieşte uneori conceptul

de optimalitate din Optimizarea Multicriterială, deoarece orice

soluţie în sens Pareto a oricărei probleme multivoce de

optimizare, chiar în spaţiile infinit dimensionale ordonate, nu

poate fi »îmbunătăţită » folosind relaţia de (pre) ordine indusă

de conul susţinător. O spectaculoasă legătură dintre Eficienţa în

sens Pareto şi Teoria Generală a Complementarităţii a fost

stabilită de Isac, G., Kostreva, M.,M. şi Wiecek, M., M. în anul

1995. Această teorie are importante aplicaţii şi în : Economie,

Mecanică, Elasticitate, Mecanica Fluidelor, Inginerie, Teoria

Jocurilor, Optimizare (a se vedea, de exemplu, Isac, G.,

Goeleven, D.(1993), Isac, G., Kostreva, M. (1996), Isac, G.,

Carbone, A. (1998) şi referinţele bibliografice aferente).

Consideraţile care urmează sunt destinate Optimizării cu

65

min f(x) = (f1(x); : : : ; fs(x)) where x 2 Rn


Obiective Multiple, precizării unor dificultăţi întâmpinate când

numărul obiectivelor este suficient de mare, analizei

principalelor componente, unor exemplificări numerice

semnificative şi concluziilor pentru continuarea studiului,

cuplând rezultatele noastre teoretice cu cele numerice obtinute

recent de Lino Costa şi Pedro Oliveira (2007), referitoare la

reducerea dimensiunilor funcţiilor obiectiv vectoriale pentru

identificarea şi vizualizarea soluţiilor programelor de

optimizare vectorială, cu astfel de aplicaţii drept funcţii obiectiv.

3.1. Eficienţă exprimată prin dominarea vectorială Euclidiană

uzuală

Cele mai simple formulări ale eficienţei modelate matematic prin

programe de optimizare multicriterială se exprimă astfel :

(P) Min f(x) = (f1(x), f2(x),…,fs(x)) , x∈ Rn (n∈ N*) cu restricţiile

gj(x) ≥ 0, 1,j m∀ = şi hi(x) = 0, 1,i m m p∀ = + + , s,m,p∈ N*.

Pentru s=n =2, aceste probleme permit uneori controlul şi

interpretări furnizate prin reprezentări grafice de tipul următor :

66

x1

x 2

x1

x 2

f1(x)

f 2(x)

f1(x)

f 2(x)

f


Fie nÎN*, nr 2 arbitrar fixat. xÎRn domină pe yÎRn , în notaţie,

x y dacă fi(x) b fi(y), " 1,i s= şi există j=1, s cu fj(x) < fj(y) .

xÎRn este optimal în sens Pareto dacă nu există yÎRn astfel

încât y x . Generalizând, în Teoria şi Aplicaţiile Teoriei

Deciziilor, să considerăm D o mulţime nevidă (discretă sau

continuă) de decizii posibile (admisibile) pe care o vom numi

mulţime decizională şi criteriile gi : D → R (i=1, n ) care

generează o aplicaţie criterială g : D → Rn dată prin

67

x 2 Rndominates y 2 R

n(x Á y)

8i 2 f1; : : : ; sg : fi(x) 6 fi(y)^9j 2 f1; : : : ; sg : fj(x) < fj(y)


componentele g = (g1,g2,…,gn). Mulţimea realizabilă prin g este

Y = g(D). Minimizarea criteriilor prin optimalitate de tip Pareto

solicită o relaţie de preferinţă care, în acest caz, coincide cu

ordinea naturală din Rn : pentru x = (x1, x2,…, xn), y = (y1, y2,…,

yn)∈ Rn se defineşte : x ≤ y ⇔ xi ≤ yi, ∀ i = 1, n ; x < y ⇔ xi ≤

yi, ∀ i = 1, n şi x ≠ y ; x=y ⇔ xi < yi, pentru orice i = 1, n .

Elementele optimale în sens Pareto sunt cele minimale

(maximale) y0∈ Y în raport cu relaţia de parţială ordine « ≤ »

din Rn, iar deciziile optimale corespunzătoare d0 = g-1(y0). În

consecinţă, o decizie d0∈ D este Pareto optimală în sens

minimal faţă de criteriile gi (i = 1, n ) dacă şi numai dacă pentru

orice d∈ D cu g(d) ≤ g(d0) rezultă că g(d) = g(d0), valoarea

g(d0 ) fiind denumită efect Pareto. În mod similar se definesc

cele maximale, înlocuind conul

1 2( , , ..., ) : 0, 1,n nn iR x x x x R x i n+ = = ∈ ≥ ∀ = cu nR+− . Aşadar,

Optimizarea Multicriterială înseamnă minimizarea sau

maximizarea a cel puţin unui criteriu, considerând restul drept

restricţii sau, echivalent, criteriile în orice problemă de

optimizare multicriterială sunt interschimbabile cu restricţiile.

Mai mult, are loc următoarea

68


Lemă 1. O decizie admisibilă d0∈ D este Pareto optimală

dacă şi numai dacă pentru fiecare 1,i n= , d0 minimizează ( )ig d

pe mulţimea

0: ( ) ( ), 1, 2,..., \ji jD d D g d g d j n i= ∈ ≤ ∈ .

În practică, este foarte utilă conversia, prin echivalenţă, a

problemelor concrete în studiu, la unul dintre următoarele

programe de optimizare generale :

(i) Program de Optimizare Multicriterială

Fie Ω o mulţime nevidă şi deschisă în Rn (n∈ N*), restricţiile

prin inegalităţi f : Ω → Rm (m∈ N*) şi restricţiile prin egalităţi

descrise de aplicaţia h : Ω → Rk (k∈ N*) care generează

ansamblul total al restricţiilor : ( ) 0 & ( ) 0X x f x h x= ∈ Ω ≤ = .

Dacă notăm cu g = (g1, g2,…,gp) : pX R→ ( p ∈ N*) aplicaţia

criterială (funcţia obiectiv), atunci mulţimea realizabilă este

( ) : ( ) &pY g X y R y g x x X= = ∈ = ∈ . Problema constă în

determinarea deciziilor optimale 0x pentru ( )g x când x

parcurge X .

(ii) Program de Control Multicriterial

Fie Α o mulţime nevidă şi deschisă în Rn (n∈ N*) care conţine

toate” stările” supuse unui control (unei comenzi)

[ ] *0 1: , ( )su t t U R s N→ ⊆ ∈ prin ecuaţiile de sistem controlat (1)

69


( , )x f x u′ = unde : 0 0( )x t ∈ ∆ este starea iniţială, 1 1( )x t ∈ ∆ este

starea finală cu nx t= variabilă independentă astfel încât

( , ) 1nf x u = , : nf U B RΑ × → ⊆ aplicaţia viteză, iar U mulţimea

restricţiilor controlate. Orice control u U∈ pentru care sistemul

controlat indicat admite cel puţin o soluţie absolut continuă se

numeşte admisibil şi orice soluţie corespunzătoare traiectorie

admisibilă. Obiectul Teoriei Controlului Sistemelor Diferenţiale

este determinarea controalelor admisibile pentru care soluţiile

corespunzătoare îndeplinesc anumite condiţii aprioric

specificate. Problema generală a Teoriei Controlului Sistemelor

este una de sinteză şi anume aceea a reconstituirii sistemului, în

fapt, a parametrilor săi, cunoscând sau impunând anumite

proprietăţi soluţiilor sale. Cel mai adesea se cere determinarea

controalelor u cu condiţia ca soluţiile corespunzătoare să

optimizeze o anumită funcţie denumită funcţionala cost definită

pe clasa tuturor perechilor ( , )x u care verifică sistemul (1). Dacă

notăm cu *: ( )kg B U R k N⊇ → ∈ aplicaţia criterială definită pe

mulţimea controalelor admisibile B de componente ( 1, )ig i k=

date prin 1

00( ) ( ( ), ( ))

t

i itg u f x t u t dt= ∫ unde 0 : (n

i i if U C R CΑ × → ⊆

deschisă pentru orice 1,i k= ) , atunci spaţiul de stare este descris

prin (2) 0 0( , ), ( ) 0y f x u y t′ = = în care criteriul de stare ky R∈ şi

70


0 01 02 0( , , ..., )kf f f f= . Pentru fiecare control admisibil u , fie x

traiectoria corespunzătoare în acord cu sistemul controlat (1).

În aceste condiţii, mulţimea realizabilă este

1: ( )kY y R y s t= ∈ = cu s soluţie arbitrară în (2) pentru cuplul

( , )x u , iar problema de bază revine la obţinerea controalelor

optimale 0u B∈ pentru ( )g u când u B∈ . Prin intermediul

Lemei 1, condiţiile necesare Kuhn-Tucker clasice din

Programarea Neliniară pentru un singur criteriu g0 se pot extinde

la Programarea Multicriterială, înlocuind g0 cu funcţia G

definită prin 1 21

( ) ( )( ( , , ..., ) 0)k

i i ki

G x c g x c c c c=

= = >∑ , iar Principiul

de maxim pentru minimul unui criteriu funcţional din Teoria

Controlului se poate transforma într-unul adecvat problemelor

de control multicriterial considerând 1

( ( )) ( ( ))k

i ii

G u t c g u t=

= ∑ unde

1 2( ( , , ..., )) 0kc c c c= > . Un alt tip de probleme de control

multicriterial sunt cele stochastice( Grecksch, W., Heyde, F.,

Isac, G., Tammer, Chr., 2003). Modalităţile precedente fac parte

din tehnica generală a scalarizării, fundamentată pe următoarele

variante actuale:

71


a) metoda lexicografică : să admitem că numărul de ordine al

fiecărui criteriu reflectă şi importanţa lui, primul fiind astfel cel

mai semnificativ. Prin urmare, se minimizează întâi obţinând

° 1 1min ( ) :g g d d D= ∈ , cu mulţimea deciziilor optimale

° 1 1 1: ( )D d D g d g= ∈ = .Apoi, se determină

± 2 2 1min ( ) :g g d d D= ∈ , cu mulţimea deciziilor optimale

± 2 1 2 2: ( )D d D g d g= ∈ = , ş.a.m.d. Procedeul se finalizează cu un

minimum de tip Pareto. Problemele de maximum se tratează prin

analogie.

b) studiul minimulului (maximului ) pentru combinaţii liniare, cu

coeficienţi variabili, de tipul cel mai simplu

1 21

( ) ( )( ( , , ..., ) 0)k

i i ki

G x c g d c c c c=

= = >∑ sau pentru alte aplicaţii cu

diverse ponderi, adecvat construite în sensul

identificării/aproximării soluţiilor, comparării şi interpretărilor

numerice. Orice punct de minim pentru G este o decizie Pareto

optimală. In general, această constatare reprezintă un important

criteriu, deci o condiţie suficientă pentru existenţa deciziilor

optimale. Rafinări ale aplicaţiei G sunt metricile pG definite

72


prin 1/

1

( ) ( ) ,1pn

Pp i i

iG y y g p

=

= − ≤ < ∞∑ , cu

min ( ) : , 1,i ig g d d D i n= ∈ = . Când p = ∞ , se obţine metrica

( ) max : 1i iG y y g i n∞ = − ≤ ≤ ale cărei puncte de minim nu mai

sunt decizii Pareto optimale. Pentru aplicaţii multicriteriale cu

cel mult 5 componente algoritmul care urmează s-a dovedit a fi

bun în atingerea soluţiilor Pareto optimale:

iii. Pasul 1. Pentru fiecare 1,3i = se notează :

min ( ) :i im g d d D= ∈ , 1 2 1 1min ( ) : & ( )g d d D g d mη = ∈ = ,

3 2 3 3min ( ) : & ( )g d d D g d mη = ∈ = . Dacă 1 3η η≥ , atunci se ia

1( )g dε ≥ , iar pentru 1 3η η< , valorile 1( )g d şi 2 ( )g d se schimbă

între ele pentru paşii următori.

Pasul 2. Se consideră [ ]2 1,mδ η∈ privind parametrizarea

restricţiei 2 ( )g d δ≤ , selectând numărul t al paşilor şi valorile

dorite parametrice: 1 2 2 1... ...j tmδ δ δ δ η= < < < < < = şi 1.j =

Pasul 3. Urmând parametrizarea restricţiei 1( )g d ε≤ ,pentru

fiecare j , se fixează numărul jt al secvenţelor şi valorile

parametrice:

1 2 ... ...ji tε ε ε ε< < < < < de extremităţi:

73


1 1 2min ( ) : & ( ) jg d d D g dε δ= ∈ ≤ ,

1 2 3min ( ) : , ( ) & ( )jt j jg d d D g d g dε δ α= ∈ ≤ = , unde

3 2min ( ) : & ( )j jg d d D g dα δ= ∈ ≤ , ceea ce asigură generarea

numai a soluţiilor Pareto optimale. Fie acum 1i = .

Pasul 4. Se rezolvă problema :

3 1 2min ( ) : , ( ) & ( )i jg d d D g d g dε δ∈ ≤ ≤ . Pentru alegerile

1ε ε< , această problemă nu are soluţii admisibile, iar dacă

jtε ε> , algoritmul generează duplicate ale soluţiilor sau valori

non-optimale.

Pasul 5. Dacă ji t< , se consideră 1i i→ + , cu revenire la Pasul

4. Pentru ji t= , 1j j→ + : când j t< se trece la Pasul 3.

Condiţiile ji t= şi j t= antrenează oprirea algoritmului.

Ingineria actuală propune noi modalităţi de identificare a

reprezentărilor finite respectiv de aproximare pentru mulţimile

de puncte eficiente în sens Pareto : metodele euristice

(algoritmii genetici, etc .), ţinând sema că :

- cea mai bună decizie depinde, totuşi, de preferinţele

managerului decizional ;

- deciziile Pareto optimale sunt echivalente din punct de vedere

matematic ;

74


- elaborarea deciziilor se face întâi prin sinteza tuturor

obiectivelor într-o aplicaţie de tip cost, urmată de generarea

mulţimilor de puncte eficiente destinate comparaţiilor finale,

analiza senzitivităţii şi aplicarea metodelor

interactive (Korhonen, P.(2005), Miettinen,

K.(2002)), cu soluţii concrete furnizate de reţele

computaţionale reprezentate de un computer – investigator

decizional central 0P şi informaţiile însuşite/prelucrate de o

echipă informaţională 1 2, , ...P P , reproduse în acord cu

concluziile din Tomas Petkus, Ernestas Filatovas, (2007) :

Structura interactivă computaţională

75


Schema funcţională a reţelei de calculatoare

76


O strategie a fluxului informaţional general

77


Estimarea succintă a performanţei oricărui computer al reţelei :

78


Evaluarea Eficienţei în raport cu strategiile utilizate:

79


6 Comp. (Basic strategy) 24 Comp. (First strategy)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 5 10 15 20 25 30Time (minutes)

Efficie

ncy

80


6 Comp. (Basic strategy) 12 Comp. (Second strategy)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 5 10 15 20 25 30Time (minutes)

Efficie

ncy

81


12 Comp. (First strategy) 12 Comp. (Second strategy)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 5 10 15 20 25 30Time (minutes)

Efficie

ncy

cu dependenţele ordonate strategerial şi numeric astfel:

82


Varianta de bază şi numărul computerelor

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 5 10 15 20 25 30Time (minutes)

Comb

ined C

riterio

n

1 Comp.

6 Comp.

Prima strategie

83


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 5 10 15 20 25 30

Time (minutes)

Comb

ined C

riterion

1 Comp.

6 Comp.

24 Comp.

A doua

84


0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 5 10 15 20 25 30Time (minutes)

Comb

ined C

riterion

6 Comp.

12 Comp.

24 Comp.

Compararea primelor două pentru 6 calculatoare

85


0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 10 20 30

Time (minutes)

Combine

d Crite

rion

6 Comp. (Basic strategy)

6 Comp. (First strategy)

Extinderea la 24 de computere

86


0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 5 10 15 20 25 30

Time (minutes)

Comb

ined C

riterion

6 Comp. (Basic strategy)24 Comp. (First strategy)

Baza şi strategia secundă

87


0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 5 10 15 20 25 30

Time (minutes)

Combine

d Crite

rion

6 Comp. (Basic strategy)12 Comp. (Second strategy)24 Comp. (Second strategy)

Primele strategii pentru 12 calculatoare

88


0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 5 10 15 20 25 30

Time (minutes)

Combine

d Crite

rion

12 Comp.(First strategy)12 Comp.(Second strategy)

Aceleaşi, utilizând 24 de computere

89


0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 5 10 15 20 25 30

Time (minutes)

Comb

ined Cr

iterion

24 Comp.(First strategy)24 Comp.(Second strategy)

Noile provocări în cercetarea acestei problematici constau în :

90


reducerea dimensionalităţii generate de numărul mare al

obiectivelor şi restricţiilor ; vizualizarea diferitelor alternative

pentru obiective multiple; crearea şi investigarea unor scenarii

decizionale multicriteriale mobile (Wiecek, M . W., Blouin, V. Y.,

Fadel, G. M., Engau, A., Hunt, B.J. and Singh, V. (2006)). Spre

exemplificare enumerăm:

)α Optimizare Financiară şi Selecţia de Portofolii, ambele

caracterizate prin Distribuirea Capitalului Financiar în funcţie

de Specific, prin : Variabilele Decizionale (alegerea

proprietăţilor - în sensul cel mai general - reprezentate de:

situaţia reală, contracte – obligaţii - relaţii, stocuri, fonduri,

măsuri de siguranţă, etc.) şi Selecţia Proporţilor Investiţionale

în raport cu Obiectivele alese: tradiţionale (minimizarea

imediată a riscurilor de investiţii şi maximizarea profiturilor

prin schimburi adecvate) respectiv recente ( dividende,

lichidităţi, responsabilităţi sociale recente, etc.).

)β Optimizare Structurală şi Reprezentarea Conexiunilor prin

Topologiile Aferente (structuri multifuncţionale, cu geometrie

variabilă, pentru: acoperişuri, tavane, plafoane, arcade, case,

poduri sau legături inter/transdimensionale, sateliţi, etc.) cu

Variabilele Decizionale constând în: configurarea şi dispunerea

componentelor interconectate în funcţie de materialele folosite şi

rezistenţa lor respectiv a legăturilor reale şi obiectivele

91


principale: minimizarea optimă a cantităţilor de materiale,

greutăţilor specifice şi volumelor, a pieselor separate sau în

ansamblul lor, concomitent cu reducerea optimală a distanţelor

joncţionale pe orice traseu.

γ ) Optimizarea geometriei ambalajelor şi a dispunerii

componentelor unor vehicule în volume specificate, prin

următoarele Variabile Decizionale: proiectarea parametrilor şi

configurarea componentelor vehiculului, urmată de localizarea,

orientarea lor şi succesiunea “împachetării” în volumul

respectiv. Obiective importante: maximizarea înlăturării

obstacolelor constructive, a dinamicii vehiculelor, cu aplicaţiile

militare reprezentate de stabilitate, întreţinere, rezistenţă şi

comportament adecvat în condiţii dificile. Dacă, pentru fiecare

caz, există mai multe descrieri posibile, atunci se aplică

Optimizarea Vectorială corespunzătoare Scenariilor Multiple,

considerând:

)α Obiective: restituiri şi riscul investiţional. Scenarii:

anticipări diferite asupra pieţii.

)β Obiective: greutatea, plasarea şi exploatarea nodurilor

structurale.Scenarii: diverse condiţii de « încărcare « .

92


)γ Obiective: parcurgerea rapidă şi dinamica. Scenarii: condiţii

şi manevre diferite de pilotare, în acord cu următoarea schemă

generală pentru Programele cu Multiple Obiective şi Scenarii :

( ) : &sMIN f x s S x X∈ ∈

unde 1, 2,..., ( *)S T t N= ∈ este mulţimea scenariilor, iar

( )1 2 ( )( , , ..., ) : n t s

s s s st sf f f f X R R= ⊆ → ( 1, )s T= aplicaţiile –

obiectiv corespunzătoare în următorul context general:

( ) : &sMIN f x s S x X∈ ∈

[Z b

b

[Z b

Descompunere [Z b

[Z b Integrare

1 11 12 1 (1)( ) ( , ,..., :tMIN f x f f f x X= ∈ b

Coordonare b b

b b

1 2 ( )( ) ( , , ..., :T T T Tt TMIN f x f f f x X= ∈

93


Mai precizăm că, în general, orice Program de Eficienţă prin

Optimizare şi orice Problemă de Optimizare prin Eficienţă

solicită parcurgerea a cel puţin următorilor paşi :

- descrierea clară a fenomenului fizic investigat ;

- selecţia modelelor matematice adecvate;

- precizarea mulţimii parametrilor permişi, restricţiilor aferente

şi aplicaţiilor obiectiv;

- specificarea preferinţelor respectiv a extremelor dorite şi

transpunerea acestora într-o relaţie de (pre) ordine potrivită; de

exemplu, din punct de vedere economic, cele mai importante

funcţii - obiectiv sunt volumul de investiţii şi nivelul profitului,

cele

din tehnică fiind deseori considerate drept proiecţii ale unora

reprezentative din

economie ;

- selectarea şi aplicarea metodelor analitice respectiv numerice

pentru identificarea sau cel puţin aproximarea acceptabilă a

soluţiilor.

- analiza comparativă a tehnicilor de identificare/aproximare

pentru soluţii, ierahizarea acestora din urmă şi aplicarea lor

concretă.

94


Revenind la Eficienţa Pareto în spaţiul Euclidian bidimensional

uzual, geometric vorbind, relaţia generală pentru două

componente se poate ilustra şi prin imaginea :

min f1(x), min f2(x)

unde interacţiunea regională este marcată prin IV: I şi

IIIp IVp II, iar compararea soluţiilor cu frontiera optimală în

sens Pareto, în acelaşi context, este reprezentabilă prin

următoarea descriere:

95

Arie dedominare

Regiune deindiferenţăArie de

preferinţă

IV IV

pII

II

III

:I

p

f1(x)

III

IV

IV

IV

f1(x)


Mulţimea punctelor Eficiente

pentru regiunile

a), b), c), d)

96

f1(x)

f 2( x)

a

b

cd

Frontiera Optimalăîn sens Pareto


3.2. Exemplul problemei clasice a lui Schaffer

97

0

1

2

3

4

5

6

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5x

f(x) f1(x)

f2(x)

Mulţimea Optimală în sens Pareto


dacă f1(x) = x2 şi f2(x)= (x-2)2.

98

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

f1(x)

f2(x)

Frontieră Pareto Optimală


3.3. Dificultăţi pentru multiple funcţii obiectiv

3.3.1. În general, creşterea numărului de funcţii obiectiv

antrenează mărirea dimensiunii spaţiului Euclidian în care se

proiectează mulţimea punctelor eficiente în sens Pareto, cu

frontiera corespunzătoare.

3.3.2. Complicarea studiului în ansamblu datorită :

3.3.2.1. Necesităţii aproximării frontierelor în sens Pareto prin

“populaţii” de puncte.

3.3.2.2. Multiplicării exponenţiale a numărului de puncte

necesare în acest demers.

3.3.3. Pentru mai mult de trei funcţii obiectiv, reprezentarea şi, în

consecinţă, vizualizarea frontierelor optimale în sens Pareto este

anevoioasă şi complicată.

3.4. Noi modalităţi de abordare pentru funcţiile obiectiv

vectoriale

3.4.1. Reducerea dimensionalităţii prin transformarea mulţimii

variabilelor originale într-o nouă mulţime alcătuită din

componente principale care pot fi ordonate astfel încât să se

reţină cea mai reprezentativă variaţie a datelor iniţiale.

99


3.4.2. Acestea din urmă pot fi dispuse într-o matrice în care

fiecare linie reprezintă cazuri particulare importante, iar

coloanele sunt alcătuite din variabilele iniţiale.

3.4.3. Centrarea datelor iniţiale prin extragerea mediei traversând

fiecare variabilă.

3.4.4. Principalele componente se determină folosind valorile

respectiv vectorii proprii ai matricii covariante sau ai matricii de

corelare, ultima dovedindu-se mai adecvată pentru unele cazuri

numerice concrete. Corelarea dintre coeficienţi se aproximează

prin cosinusurile unghiurilor dintre vectori : strict pozitivă pentru

unghiuri cu măsura mai mică decât 90 0, strict negativă în cazul

unghiurilor cu măsura mai mare decât 900 şi dovedeşte

independenţa când unghiurile coincid cu cele drepte. Iată un

exemplu în acest sens.

Să considerăm f1(x) = x 2, f2(x) = (x-2) 2, f3(x)=2f1(x),

f4(x)=[f1(x)]2, iar f5(x)∈ [0 ,1]. Reprezentările grafice sunt redate

astfel :

100


101- 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 50

1

2

3

4

5

6

7

x

f(x)

f1

( x )

f2

( x )

f3

( x )

f4

( x )

f5

( x )

w u ¼ ;


Comparaţia importanţei componentelor

Nivele de încărcare

102


cu non-concordanţele reprezentate astfel :

Folosind tehnica biplot-urilor, extensia precedentă a clasicei

probleme a lui Schaffer permite următoarele concluzii:

103


(i) f1, f3 şi f4 sunt pozitiv corelate;

(ii) f2 este negativ corelată cu f1, f3 şi f4;

(iii) f5 este independentă faţă de oricare din funcţiile obiectiv

componente rămase.

104


Procentaje de realizare

3.5. Exemple de teste numerice, cu funcţii obiectiv vectoriale şi

noduri multiple

3.5.1.

[ ]1 1 2 1

2

( ) ( 0,1 , 2, ), ( ) ( ) 1 / ( ) ,

( ) 1 9( ) /( 1), 2 :

i

n

ii

f x x x i n f x g x x g x

g x x n n=

= ∈ = = −

= + − ≥∑

105

9.8%f4

9.8%2.4%f3

12.2%100%100%f2

9.8%2.4%2.4%100%f1

f5

f4

f3

f2

Obiectivul

Obiectiv

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f1(x)

f2(x

)


3.5.2.

[ ] 21 1 2 1

2

( ) ( 0,1 , 2, ), ( ) ( ) 1 ( / ( )) ,

( ) 1 9( ) /( 1), 2 :

i

n

ii


g x x n n=

= ∈ = = −

= + − ≥∑

1060 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1

0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

f 1 ( x )

f2(x)


3.5.3.

[ ]1 1

2 1 1

2

( ) ( 0,1 , 2, ),

( ) ( ) 1 / ( ) sin(10 ,( )

( ) 1 9( ) /( 1), 2 :

i

i

n

ii

f x x x i n

xf x g x x g x xg x

g x x n n

π

=

= ∈ =

= − −

= + − ≥∑

1070 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1

- 0 . 8

- 0 . 6

- 0 . 4

- 0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

f 1 ( x )

f2(x

)


3.5.4.

[ ] [ ]1 1 2 1

2

2

( ) 0,1 ( 5,5 , 2, ), ( ) ( ) 1 / ( ) ,

( ) 1 10( 1) 10cos(4 ) , 2 :

i

n

i ii


g x n x x nπ=

= ∈ ∈ − = = −

= + − + − ≥ ∑

1080 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1

0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

f 1 ( x )

f2(x)


3.5.5.

[ ]61 1 1

0.252

2 12

( ) 1 exp( 4 ) sin (4 )( 0,1 , 2, ),

( ) ( ) 1 ( ( ) / ( )) , ( ) 1 9 ( ) /( 1) :

i

n

ii

f x x x x i n

f x g x f x g x g x x n

π

=

= − − ∈ =

= − = + − ∑

1090 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 10

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

f 1 ( x )

f2(x)


Dacă , în fiecare caz, se păstrează funcţiile 1f , 2f şi se adaugă

aplicaţiile 3 4 5, ,f f f definite respectiv prin :

[ ] 23 1 4 1 5( ) 2 ( ), ( ) ( ) , ( ) (0,1)f x f x f x f x f x= = ∈ , atunci prelucrarea

numerică indică următoarele biplot-uri corespunzătoare :

110


3.5.1.

111


3.5.2.

112


3.5.3.

113


3.5.4.

114


3.5.5.

115


Concluziile numerice pentru cazul 3.5.3, de exemplu, sunt

elocvente :

116


cu non-concordanţele reprezentate prin :

şi justificate de

117


Comparaţia importanţei componentelor

Procentaje de realizare 3.5.1-3.5.5

118

Proporţii Cumulative

0.630.840.99 1.001.00

Proporţii de Variaţie

0.630.210.150.010.00

Deviaţia Standard

1.781.02 0.88 0.200.00

Comp.1

Comp.2

Comp.3

Comp.4 Comp.5

6.9%f4

6.9%1.0%f3

5.0%100%100%f2

6.9%1.0%1.0%100%f1

f5

f4

f3

f23.5.1.


119

5.0%f4

5.0%1.0%f3

5.0%100%100%f2

5.0%1.0%1.0%100%f1

f5

f4

f3

f23.5.2.

17.2%f4

17.2%3.5%f3

17.2%100%100%f2

34.6%3.5%3.5%100%f1

f5

f4

f3

f23.5.3.


Acestea dovedesc posibilitatea reducerii dimensiunii funcţiilor

obiectiv de la cinci componente la două, permiţând deci

120

4.0%f4

4.0%1.0%f3

4.0%100%100%f2

4.0%1.0%1.0%100%f1

f5

f4

f3

f23.5.4.

4.0%f4

4.0%1.0%f3

11.9%100%100%f2

4.0%1.0%1.0%100%f1

f5

f4

f3

f23.5.5.


înlocuirea Programelor de Optimizare iniţiale cu următoarele

Probleme de Mimimizare Vectorială Bidimensionale :

MIN (f1,f2), MIN (f2,f3) respectiv MIN (f2,f4) .

Completări şi concluzii pe această direcţie de studiu

0 . Optimizarea Multicriterială a fost considerată componentă a

Teoriei Economice aproape 100 de ani, fiind acceptată ca ştiinţă

începând cu lucrarea lui Koopmans, T. C. (1951) care a introdus

conceptele de punct eficient şi con dominant. Cea mai elegantă şi

imediată extindere a acestor noţiuni a fost realizată de Yu, P. L.

(1974), cu multiple dezvoltări ulterioare relevate şi în secţiunea

următoare.

1 . Analiza precedentă a componentelor funcţiilor vectoriale

relevă identificarea

celor inutile, prin dezacordurile numerice precizate, ceea ce a

condus la menţinerea a doar două funcţii obiectiv drept

componente.

2. Biplot-urile s-au dovedit a fi modalităţi grafice adecvate

pentru ilustrarea

raporturilor dintre funcţiile obiectiv componente.

3. Aceste tehnici sunt eficiente pentru manageri deoarece permit

reducerea dimensiunii problemelor prin care se studiază eficienţa

şi stabilirea unor importante conexiuni dintre funcţiile obiectiv

121


respectiv soluţiile concrete, posibile, ele putând fi aplicate în

orice moment al investigaţiei stiinţifice.

4. Examinarea mulţimilor de puncte eficiente în sens Pareto se

poate efectua chiar dacă funcţiile obiectiv sunt neliniare,

îmbunătăţind astfel şi metodele statistice destinate reducerii

dimensiunilor programelor de optimizare vectorială.

5. Urmând ultima parte a observaţiei precedente şi variantele de

studiu indicate de Marian, G., Munteanu, M.T. şi Postolică, V.

(2006) , propunem în continuare o altă manieră de abordare

privind selectarea componentelor aplicaţiilor obiectiv vectoriale

prin aplicarea unor ponderi :

Fie *1 2( , , ..., )( , 2)nf f f f n N n= ∈ ≥ o funcţie obiectiv

vectorială, jk > 0 ( 1, )j n=

coeficientul de importanţă acordat componentei ( )j i,njf = şi

*

1

( , 2)t

ii

t N n t=

Ω = Ω ∈ ≥ ≥U o partiţie arbitrară a mulţimii

1 2, , ..., nf f f . Dacă

1 2, , ..., ( 1, )ii i i itf f f i tΩ = = şi °

1

( 1, )it

i ij ijj

f k f i t=

= =∑ , atunci orice

soluţie a programului de optimizare vectorială

122


( )ΩΡ ±( )( )MIN MAX f ( °f ° ± °1 2( , , ..., )tf f f= ) este punct eficient

pentru problema

( )Ρ ( )( )MIN MAX f ( 1 2( , , ..., )nf f f f= )

şi orice punct de extrem al funcţiei F date prin 1

n

i ii

F k f=

= ∑

(±FΩ ,± ° °1

t

i ii

F k fΩ=

= ⋅∑ ) defineşte un proiect optimal pentru ( )Ρ

respectiv ( )ΩΡ , ceea ce arată şi o conexiune rapidă cu

Optimizarea Tare. O funcţie :f I R R⊆ → se numeşte

cvasiconvexă dacă

[ ]1 2 1 2 1 2( (1 ) ) max ( ), ( ) , , , 0,1 .f x x f x f x x x Iχ χ χ+ − ≤ ∀ ∈ ∈

Când inegalitatea este strictă pentru 1 2x x≠ , funcţia se numeşte

strict cvasiconvexă. Aceste funcţii sunt deosebit de utile în

problemele de programare matematică ce descriu diverse

modele economice: minimizarea costurilor, maximizarea

profitului, unde funcţiile de producţie sunt cvasiconvexe

(Crouzeix J.P.(2003), Debreu G.(1959), Debreu G., Koopmans

T.C. (1982), etc.).

1.7.4. O nouă abordare : Eficienţă aproximativă, eficienţă şi

optimizare în spaţii liniare ordonate infinit dimensionale şi

aplicaţii

123


Construcţia abstractă care urmează evidenţiază o posibilitate de

echivalenţă matematică dintre conceptul de « eficienţă » şi cel

de « optimalitate ». În opinia noastră, realitatea dovedeşte însă că

optimalitatea reprezintă un caz particular de eficienţă. Mai

precis vorbind, fiecare situaţie de optimalitate reprezintă un caz

de cea mai bună aproximare pentru mulţimile de puncte

eficiente.

Fie X un spaţiu liniar ordonat real sau complex oarecare, К

ansamblul tuturor conurilor convexe definite pe X şi A o

submulţime nevidă arbitrară a spaţiului ambiant X .Urmând

consideraţiile ulterioare, propunem următoarea relaţie de

incluziune dintre mulţimea tuturor punctelor eficiente ale

mulţimii A şi mulţimile tuturor punctelor care realizează

minimizarea respectiv maximizarea în sens vectorial în raport

cu conurile convexe oarecare K ∈ К :

( ) ( ) ( )K KK K K K

Eff A MIN A MAX A∈ ∈

⊇ UU U .

Evident că orice Program de Optimizare Vectorială are originea

în Problemele de Optimalitate în sens Pareto din Spaţiile

Euclidiene Ordonate Uzuale cu Funcţii Obiectiv Vectoriale şi

poate fi descris astfel:

,( ) : ( )T K KP MIN f T sau ,( ) : ( )T K KP MAX f T

unde K ∈ К, T este o mulţime nevidă oarecare şi :f T X→ o

aplicaţie. Este posibil să se înlocuiască conul convex K printr-o

124


mulţime nevidă din X convenabilă, cel puţin în privinţa

prelucrărilor numerice care furnizează soluţiile efective, sau să

se realizeze o combinaţie ilustrată, de exemplu, prin eficienţa

aproximativă următoare. Dacă notăm prin ( , )fS T K mulţimea

tuturor soluţiilor, echivalenţa anunţată se poate justifica prin

relaţia

, :

( ) ( , )fA X T

K K f T X

Eff A S T K∅ ≠ ⊆ ≠ ∅

∈ →

=U U .

În realitate, funcţionează numai incluziunea

, :

( ) ( , )fA X T

K K f T X

Eff A S T K∅ ≠ ⊆ ≠ ∅

∈ →

⊇U U .

Concluzionând, în contrast cu optimalitatea, conceptul de

eficienţă nu poate fi încă descris riguros, deci controlat

matematic, în totalitate, dar este posibilă ordonarea prin

optimizări specifice, obţinând diverse tipuri de eficienţă care pot

fi selectate ulterior.

Fie X o mulţime nevidă, eventual alcătuită din posibile

restricţii, E un spaţiu liniar ordonat de un con convex K, cu

vîrful în origine şi o aplicaţie obiectiv

:f X E→ . Considerăm următorul Program de Optimizare

Vectorială :

( )P ( )min f x

x X

∈,

125


A-l “rezolva” înseamnă determinarea tuturor punctelor eficiente

0x X∈ în sensul că ( ) ( ) ( ) 0 0 .f X f x K f x− = I Aşadar, este

important de precizat cînd multimea punctelor eficiente

specificate este nevidă şi ce proprietăţi posedă . Eficienţa în sens

« propriu » introdusă de Kuhn H. W. şi Tucker A. W. (1950) şi

dezvoltată, inclusiv prin aplicaţii adecvate, de Geofrion A. M.

(1968), Borwein J. M. (1977, 1983), Benson H. P. (1977, 1979,

1983), Hening M. I. (1982), Hartley R. (1978), Németh A. B.

(1989), Dauer J. P., Gallagher R. J. (1990), Isac G. (1994), etc.

apare ca un caz particular, adică mulţimea tuturor punctelor

eficiente, eventual pozitive, ale problemei ( )P este o submulţime

a mulţimii tuturor punctelor eficiente. Precizăm că un punct

ox X∈ I este propriu eficient pentru programul ( )P dacă este

eficient şi ( ( ) ( ) )ocl cone f X K f x+ − K∩ = 0 ; cînd există cel

puţin o funcţională liniară şi continuă ϕ pe E astfel încît

( ) 0kϕ > pentru orice k K∈ şi [ ] [ ]( ) ( )of x f xϕ ϕ≤ oricare ar fi

x X∈ , ox este o soluţie proprie, pozitivă pentru ( )P .

Această Secţiune conţine o generalizare recentă a Eficienţei

reprezentată de Eficienţa Aproximativă în Spaţiile Local

Convexe separate Hausdorff, ordonate (Postolică V., 2002) , iar

126


chestiunile referitoare la Spaţiile Liniare Topologice Ordonate

sunt utilizate urmînd Peressini A. L., 1967.

Fie E un spaţiu liniar ordonat de un con convex 1,K K o

submulţime nevidă a lui K şi A o parte nevidă din E.

Următoarea definiţie introduce un nou concept de eficienţă

aproximativă care generalizează eficienţa Pareto.

Definiţia 1 (Postolică V., 2002). 0a A∈ se numeşte

1K − eficient în sens minimal pentru ,A în notaţie,

( )0 1, ,a eff A K K∈ ( )( )10 K Kor a MIN A+∈ dacă satisface una dintre

următoarele condiţii echivalente :(i) ( )0 1 0 1;A a K K a K K− − ⊆ + +I

(ii) ( ) ( )1 0 1;K K a A K K+ − ⊆ − −I

Punctele eficiente în sens maximal se obţin înlocuind 1K K+ cu

( )1 .K K− + Este evident că

( )0 0 1A a K a K− ⊆ + ⇒I ( )0 1 0 1A a K K a K K− − ⊆ + + ⇒I

( )0 1 0 ,A a K a K− ⊆ +I

care sugerează alte posibile concepte de eficienţă aproximativă

în spaţiile liniare ordonate.

Observaţia 1. ( )0 1, ,a eff A K K∈ dacă şi numai dacă acest

element este punct fix pentru multifuncţia :F A A→ definită

prin ( ) ( ) 1 1: .F t a A A a K K t K K= ∈ − − ⊆ + +I

127


În consecinţă, pentru existenţa punctelor eficiente se pot aplica

teoreme de punct fix privind multifuncţiile ( a se vedea, de

exemplu, Cardinali, T., Papalini, F., 1994, şi alte lucrări conexe)

Observaţia 2. Cînd conul K este ascuţit ( cu vârful în origine),

adică, ( ) 0K K− =I , atunci apartenenţa ( )0 1, ,a eff A K K∈

înseamnă că ( )0 1A a K K− − = ∅I sau, echivalent,

( ) ( )1 0K K a A+ − = ∅I pentru 10 K∉ respectiv

( ) 0 1 0 ,A a K K a− − =I dacă 10 .K∈ În cazul particular 1 0 ,K =

din Definiţia 1 se obţine conceptul uzual de eficienţă în sens

Pareto şi ( )0 ,a eff A K∈ ( )( )0 Kor a MIN A∈ dacă satisface (i), (ii)

sau oricare dintre proprietăţile echivalente:

(iii) (A+K)I (a 0 - K) ⊆ a 0 +K ;

(iv) KI (a 0 - A - K) ⊆ - K .

Prin urmare, 0a este punct fix pentru măcar una dintre

următoarele multifuncţii :

( ) ( ) 1 1: , : ,F A A F t A A K t Kα α→ = ∈ − ⊆ +I

( ) ( ) 2 2: , : ,F A A F t A A t K Kα α→ = ∈ − ⊆ +I

( ) ( ) ( ) 3 3: , : ,F A A F t A A K K t Kα α→ = ∈ + − ⊆ +I

( ) ( ) ( ) 4 4: , : ,F A A F t A A K t K Kα α→ = ∈ + − ⊆ +I

128


adică, ( )0 0ia F a∈ pentru cel puţin un 1,4.i = . Aşadar, când conul

K este ascuţit, un element a 0 ∈ A este eficient pentru mulţimea A

în raport cu K numai dacă una dintre următoarele relaţii

echivalente funcţionează :

(v) AI (a 0 - K)= 0a ;

(vi) ( )0 \ 0 ;A a K− = ∅I

(vii) ( ) 0 0 ;K a A− =I

(viii) (K 0 )I (a 0 - A)= ∅ ;

(ix) (A+K)I (a 0 - K 0 )= ∅ .

şi notăm că ( ) ( ) 2

20

, , , .K K

eff A K eff A K K≠ ⊆

= I Mai mult,

( )0 ,a eff A K∈ numai dacă este punct critic (de echilibru) (Isac,

G.,1981,1983, Postolică, V., Scarelli, A.,Venzi, L., 2001,

Postolică, V., 2004) pentru sistemul dinamic generalizat

: 2AAΓ → definit prin ( ) ( ) , .a A a K a AΓ = − ∈I Astfel, ( ),eff A K

descrie momentele de echilibru pentru Γ care, în contextul

pieţii, exprimă echilibrul competitiv alcătuit din cuplul general

preţ-consum. Considerînd 1K ε= ( \ 0Kε ∈ ), obţinem că

( )0 1, ,a eff A K K∈ dacă şi numai dacă ( )0 .A a Kε− − = ∅I În

toate aceste cazuri, mulţimea ( )1, ,eff A K K se notează prin

129


( ),eff A Kε − şi este evident că ( ) ( ) \ 0

, , .K

eff A K eff A Kε

ε∈

= − I

Referitor la existenţa punctelor eficiente şi proprietăţi

semnificative ale mulţimii acestor puncte cităm : Bucur, I. and

Postolică, V. ( 1994), Isac, G. (1981,1983,1985,1994,1998),

Isac, G., Postolică, V. (1993), Isac, G. şi Bahya, A. O. (2002),

Loridan, P. (1984), Luc, D.T. (1989), Németh, A. B. (1989),

NG., K. F. and Zheng, X.Y. (2002), Postolică, V. (1993, 1995,

1996, 1999, 2002), Sonntag, Z. şi Zălinescu, C. (2000), Sterna-

Karwat, A. (1986), Truong, X. D. H. (1994) şi alţii.

Următoarea teoremă relevă o legătură imediată dintre eficienţa

aproximativă şi optimizarea tare.

Teorema 1. (Postolică V., 2002). Dacă notăm

( ) 1 1 1 1, , :S A K K a A A a K K= ∈ ⊆ + + şi ( )1, , ,S A K K ≠ ∅ atunci

( ) ( )1 1, , , , .S A K K eff A K K=

Observaţia 3. Teorema precedentă arată că ori de cîte ori

există măcar un punct de minim în sens tare, mulţimea tuturor

punctelor eficiente în sens minimal coincide cu mulţimea tuturor

acestor puncte de minim, rezultatul rămînînd valabil şi pentru

punctele de maxim.

Notăm, de asemenea, că este posibil ca ( )1, ,S A K K = ∅ şi

( )1, , .eff A K K A= . Astfel, de exemplu, dacă se consideră

130


( , 2)nX R n N n= ∈ ≥ înzestrat cu topologia de spaţiu H-local

convex separat generată de semi-normele :ip X R+→ ,

( )i ip x x= ,∀ ( )ix x X= ∈ , 1,i n= , nK R+= , 1 (0, ..., 0)K = şi

pentru fiecare număr real c se defineşte mulţimea

1

( ) :n

c i ii

A x X x c=

= ∈ =

∑ , atunci ( )1, ,cS A K K = ∅ , iar

( )1, , .c ceff A K K A=

Peste tot în cele ce urmează vom considera că X este un spaţiu

local convex separat Hausdorff avînd topologia generată de o

familie :P p Iα α= ∈ de seminorme, ordonat de un con convex

K , cu dualul *X . În acest context, următoarea teoremă conţine

un criteriu semnificativ pentru existenţa punctelor eficiente

aproximati, în particular pentru punctele uzuale eficiente ţinînd

cont că dualul conului K este definit prin

( ) * * * *: 0,K x X x x x K= ∈ ≥ ∀ ∈ , iar polarul este 0 *.K K= −

Conul K se numeşte supernormal (nuclear) (Isac, G., 1981)

dacă pentru orice seminormă p Pα ∈ există *f Xα ∈ astfel încît

( ) ( )p k f kα α≤ pentru orice k K∈ . Pentru fiecare funcţie *: P Kϕ → , conul convex

( ) ( ) ( ) : ,K x X p x p x p Pϕ α α αϕ= ∈ ≤ ∀ ∈ reprezintă conul

131


nuclear plin ataşat lui K, P şiϕ (Isac, G., Bahya, A. O., 2002) şi

K este supernormal dacă şi numai dacă existăϕ : P → K * 0

astfel încît K ⊆ K ϕ .

Theorem 2. (Postolică V., 2002). ( )0 1, ,a eff A K K∈ dacă

pentru fiercare p Pα ∈ şi ( )0,1η ∈ există x * în conul polar 0K al

conului K cu proprietatea că

( ) ( )*0 0 , .α η− ≤ − + ∀ ∈p a a x a a a A

Theorem 3. (Isac, G. and Postolică, V. (2005)).. Dacă 0∈ K1 şi

există *: \ 0P Kϕ → cu ,K Kϕ⊆ atunci

( ) ( )( ) *

1 1

\ 0

, , ,a A

P K

eff A K K S A a K K Kϕ

ϕ∈

∈ →

= − −IU

pentru orice submulţime nevidă 1K a conului K.

Corolarul 3.1. Pentru orice mulţime nevidă A dintr-un spaţiu

local convex, separat Hausdorff ordonat de un con convex

arbitrar K cu vîrful în origine şi dualul *K are loc coincidenţa

( ) ( )( ) *: \ 0

, ,a A

P K

eff A K S A a K Kϕ

ϕ∈

→

= −IU

Definiţia 2. O funcţie :f X R→ se numeşte

( )1K K+ - crescătoare dacă ( ) ( )1 2f x f x≥ pentru orice

1 2,x x X∈ cu 1 2 1 .x x K K∈ + +

132


Este clar că orice funcţie reală, crescătoare definită pe un spaţiu

liniar arbitrar ordonat de un con convex oarecare K este K+K1-

crescătoare, oricare ar fi o submulţime nevidă K1 a conului K .

Aşa cum noţiunea de eficienţă este fundamentală în Optimizarea

Vectorială, frontiera Choquet constituie un concept de bază în

Teoria Axiomatică a Potenţialului şi Aplicaţii . Această remarcă

este utilizată aici pentru generalizarea rezultatului de

coincidenţă obţinut de Bucur I. şi Postolică V.(1994) dintre

mulţimea tuturor punctelor de minimum Pareto eficiente ale

unei mulţimi nevide arbitrare, compacte, dintr-un spaţiu local

convex separat Hausdorff ordonat şi frontiera Choquet a

aceleiaşi mulţimi în raport cu conul convex al funcţiilor reale,

crescătoare şi continue definite pe mulţimea respectivă, folosind

noul concept de eficienţă aproximativă.

Theorem 4. (Postolică V., 2005, 2007, 2008) Dacă A este o

mulţime nevidă şi compactă din X, iar

(i) K este un con convex arbitrar, închis, cu vîrful în origine în

X;

(ii) 1K este o submulţime nevidă oarecare a conului K astfel

încît 1K K+ este o mulţime închisă.

Atunci, ( )1, ,eff A K K coincide cu frontiera Choquet a mulţimii

A în raport cu conul convex al tuturor funcţiilor reale,

133


1K K+ - crescătoare şi continue pe A. În consecinţă, mulţimea

( )1, ,eff A K K înzestrată cu urma topologiei este un spaţiu Baire

şi dacă ( ), AA τ este un spaţiu metrizabil, atunci ( )1, ,eff A K K

este o submulţime Gδ în X.

Corolarul 4. 1.

(i)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1, , : sup ' : ' ;eff A K K a A f a f a a A a K K for all f C A= ∈ = ∈ − − ∈I

(ii) ( ) ( ) ( ) 1 1, , , , : 0eff A K K and eff A K K a A s a∈ ≤I ( )s S∈ sunt

mulţimi compacte în raport cu topologia Choquet;

(iii) ( )1, ,eff A K K este o submulţime compactă în A.

Observaţia 4. Teorema precedentă reprezintă o legătură

importantă între Optimizarea Vectorială şi Teoria Potenţialului şi

nu poate fi obţinută folosind Teoria Axiomatică a Potenţialului.

Acest rezultat de coincidenţă oferă posibilităţi noi de

determinare şi investigare a proprietăţilor mulţimilor de puncte

eficiente respectiv ale frontierelor Choquet. În general,

determinarea frontierelor Choquet este dificilă, în timp ce

proprietăţile de densitate ale punctelor eficiente, în raport cu

diverse topologii, permit aproximări acceptabile ale acestora.

Totodată, frontierele Choquet oferă importante proprietăţi

mulţimilor de puncte eficiente.

134


1.7.5. Cea mai bună aproximare prin funcţii spline – o

posibilitate de optimizare a eficienţei în spaţiile H-local

convexe

Toate consideraţiile care urmează sunt extrase prin actualizare

din: Postolică, V. (1981), Isac, G.&Postolică, V. (1993),

Postolică, V. (1998), Postolică, V.&Scarelli, A.(2000), Postolică,

V., Scarelli, A.&Venzi, L. (2001), dovedind o Posibilitate

Concretă de Cea mai Bună Aproximare prin Funcţii

Spline şi o Soluţie Unică de Optimizare a Eficienţei în Spaţiile

H-Local Convexe.

Fie ( )IpPX ∈= αα :, un spaţiu H–local convex , adică, un

spaţiu local convex separat Hausdorff, cu fiecare semi-normă

îndeplinind următoarea identitate uzuală a paralelogramului :

( ) ( ) ( ) ( )[ ] Pypxpyxpyxp ∈∈∀+=−++ ααααα pX,yx, ,2222 2 .

Să considerăm M un subspaţiu liniar, eventual închis din X

pentru care există un spaţiu H-local convex ( )IqQY ∈= αα :, şi

un operator liniar, posibil continuu YXU →: astfel încât

( ) IXyUyUxyxXxM ∈∈∀=∈= ααα ,,,,: ,

unde ( ) ( )I ∈⋅⋅ αα, denotă semi-produsul scalar care generează

semi-norma Pp ∈α , iar α⋅⋅, este semi-produsul scalar ce

induce semi-norma I ∈∈ αα ,Qq . Spaţiul liniar real al funcţiilor

135


spline în raport cu operatorul U a fost definit pentru prima dată

de Postolică, V. (1981) ca fiind U-ortogonalul subspaţiului

M prin

IMUUxXxM ∈∈∀=∈=⊥ αζζα

,,,: 0 .

Facem precizarea că termenul englezesc « spline » nu are

corespondent în limba română, denumirea provenind din

mecanică, desemnând o bară subţire, cu greutăţi, care pot fi astfel

dispuse încât bara să treacă prin anumite puncte date, numărul

greutăţilor fiind cel mult egal cu numărul punctelor. În

matematică, noţiunea de funcţie spline are originea în civilizaţia

antică grecească când grecii foloseau liniile poligonale pentru

determinarea ariilor şi volumelor. Termenul de « funcţie spline »

a fost utilizat pentru prima dată de I . J . Schoenberg în anul 1946

pentru orice funcţie fragmentar polinomială pe subintervale

adiacente, funcţiile polnomiale componente racordându-se în

noduri împreună cu o suită de derivate consecutive. După cum

vom vedea din exemplele care urmează, construcţia noastră

permite, în particular, şi obţinerea unor astfel de funcţii.

Observăm mai întâi că ⊥M coincide cu ortogonalul natural

pentru M în sens H-local convex, adică,

MyyxXxM ∈∀=∈=⊥ ,,: 0α .

Fie x0 ∈ X şi G o submulţime nevidă a spaţiului X.

136


Definiţia 1. (Isac G., Postolică V.,1993) g0 ∈ G este element de

cea mai bună aproximare simultană pentru x0 prin elementele

mulţimii G în raport cu familia P (pe scurt, g0 este o

P – c .m.b.a.s. pentru x0 ) dacă pa (x0 - g0) ≤ pa (x0 - g) pentru

orice g ∈ G şi pa ∈ P .Când orice element x ∈ X posedă cel puţin

o P – c.m.b.a.s. în G, mulţimea G se numeşte P – simultan

proximinală.

S g g G p x g p x g p P( ) ' : ( ' ) ( ), = ∈ − = − ∀ ∈α α α0 0

şi dacă f g R I, ∈ ,atunci precizăm că f g≤ ⇔ f g I( ) ( ),α α α≤ ∀ ∈

iar f g f g< ⇔ ≤ şi există α ∈ I astfel încât f g( ) ( ).α α<

Definiţia 2. g G0 ∈ se numeşte element de cea mai bună

aproximare vectorială pentru x0 prin G în raport cu familia de

seminorme P (g0 este o P - c. m. b. a. v. pentru x0) dacă este

îndeplinită una dintre următoarele proprietăţi echivalente:

(i) nu există g G∈ cu 0 0 0( ( )) ( ( ));p x g p x gα α− < −

(ii) pentru orice g G S g∈ \ ( ),0 există p Pα ∈ astfel că

p x g p x gα α( ) ( );0 0 0− < −

(iii) pentru fiecare g G∈ cu

p x g p x g p Pα α α( ) ( ),0 0 0− ≤ − ∀ ∈

rezultă că p x g p x g p Pα α α( ) ( ), ;0 0 0− ≤ − ∀ ∈

(iv) ∩ ∈ − ≤ − = ∅∈α α αA

g G S g p x g p x g \ ( ): ( ) ( ) ;0 0 0 0

(v) [ ( )) ( ( ))] ( ) ;p x G R p x g RA Iα α0 0 0 0− + − − ∩ − =+ +

137


(vi) 0 0 0( ( )) ( ( )) : ,IRp x g MIN p x g g Gα α

+− ∈ − ∈

unde S g g G p x g p x g p P( ) ' : ( ' ) ( ), = ∈ − = − ∀ ∈α α α0 0

şi dacă f g R I, ∈ , atunci precizăm că

f g≤ ⇔ f g I( ) ( ),α α α≤ ∀ ∈ , iar f g f g< ⇔ ≤ şi există α ∈ I

astfel încât f g( ) ( ).α α< Ori de câte ori fiecare element din x ∈ X

admite cel puţin o P – c.m.b.a.v. în G, mulţimea G se numeşte P - vectorial proximinală.

Observaţia 1. Orice P – c.m.b.a.s. a oricărui element x0 prin

elementele mulţimii G este şi o P – c.m.b.a.v. pentru x0 prin G,

reciproca nefiind, în general, adevărată după cum o dovedeşte şi

Exemplul 4 următor. În acord cu Teorema 1 din secţiunea

precedentă, pentru un element arbitrar fixat, mulţimea tuturor

P – c.m.b.a.v. coincide cu mulţimea alcătuită din P – c.m.b.a.s.

ori de câte ori aceasta din urmă este nevidă, fapt care poate fi

confirmat şi astfel: să notăm

S x G g G g( , ) :0 0 0= ∈ P- c. m. b. a. s. pentru x0 prin G

şi V x G g G g( , ) :0 1 1= ∈ P- c. m. b. a. v. pentru x0 prin G.

Incluziunea 0 0( , ) ( , )S x G V x G⊆ este evidentă. Dacă S x( 0,G) ≠ ∅

şi presupunem că există g V x G S x G0 0 0∗ ∈ ( , ) \ ( , ), atunci ar exista

p Pα ∈ şi g G∗ ∈ astfel încât p x g p x gα α( ) ( )0 0 0− < −∗ ∗ . Fie

138


g S x g1 0∈ ( , ) arbitrar. Deci, p x g p x gα α( ) ( )0 1 0 0− < − ∗ deoarece

dacă p x g p x gα α( ) ( )0 1 0 0− = − ∗ s-ar obţine

p x g p x g g Goα α( ) ( ), ,0 0− ≤ − ∀ ∈∗

adică p x g p x gα α( ) ( )0 0 0− ≤ −∗ ∗ , în contradicţie cu relaţia

derivată din apartenenţa g V x G S x G0 0 0∗ ∈ ( , ) \ ( , ),

Prin urmare, p x g p x gα α( ) ( )0 1 0 0− < − ∗ şi

p x g p x g p P pβ β β α( ) ( ), \ .0 1 0 0− ≤ − ∀ ∈∗

În consecinţă, ( ( )) ( ( ))p x g p x gα α0 1 0 0− < − ∗ care contrazice

plasarea elementului g0∗ în V(x0,G).

Să considerăm acum suma directă X’ = M ⊕ M⊥ şi pentru

fiecare x ∈ X’ notăm proiecţia pe spaţiul spline-urilor M⊥ prin sx.

În aceste condiţii, conform teoremei 4 obţinute de noi în anul

1981, rezultă că această funcţie spline este o cea mai bună

U-aproximare simultană pentru x în raport cu M⊥ deoarece

satisface condiţiile

pα (x - sx) ≤ pα(x - y), ∀ y∈ M⊥ , pα ∈ P .

Mai mult, în virtutea Teoremei 3 indicate în acelaşi context,

următoarele aserţiuni conţin proprietăţile imediate de aproximare

şi interpolare optimală pentru funcţiile spline introduse:

139


( )i q U s q U s X Mα ασ η η η σ( ( )) inf ( ( )): , ,− = − ∈ − ∈

∀ ∈ ∈⊥σ α, , ;s M q Q

(ii) q U s x q U x M q Qxα α αη η( ( )) inf ( ( )): , ;− = − ∈ ∀ ∈⊥

(iii) dacă x X∈ ' , atunci z X∈ are proprietăţile z x M− ∈

şi q Uz q Uy y x Mα α( ) inf ( ): = − ∈ pentru orice q Qα ∈ dacă şi

numai dacă z=sx.

O importantă conexiune dintre funcţiile spline introduse şi

optimizarea “tare” respectiv vectorială prin cea mai bună

aproximare este conţinută în

Teorema 1. (Postolică, V., 1998)

(i) pentru fiecare x ∈ X´, unicul element de cea mai bună

aproximare simultană respectiv vectorială în raport cu orice

familie de semi-norme hilbertiene care generează topologia de

spaţiu H-local convex pe X prin subspaţiul funcţiilor spline este

sx. Mai mult, dacă M şi M⊥ realizează o descompunere

ortogonală pentru X, adică X= M ⊕ M⊥ , atunci M⊥ este

simultan şi vectorial proximinal;

(ii) considerând IRK += şi ⊥∈ Ms , orice ⊥∈ Mσ este unica

soluţie a programului vectorial

( )( )( ) ( )M- and ∈⊕∈− ⊥ σηηηα MMsUqMINK :

140


(iii) funcţia spline (proiecţia pe ⊥M ) sx corespunzătoare

fiecărui element ⊥⊕∈ MMx este singura soluţie a

următoarelor probleme de optimizare vectorială:

( )( )( ) ( )⊥∈− MxUqMINK ηηα : ;

( )( ) ( )⊥∈− MyyxpMINK :α ;

( )( ) ( )MxyUqMIN yK ∈−:α .

Observaţia 2. În general, chiar dacă ( , : )X P p I= ∈α α este un

spaţiu H-local convex şi G o submulţime nevidă, convexă şi

compactă nu este garantată P-simultana proximinalitate a

mulţimii G aşa după cum se poate remarca şi din următorul

exemplu.

Exemplul 1. Fie X=RN înzestrat cu topologia H-local

convexă indusă de familia de seminorme P p n Nn= ∈ : definite

prin p x x x x Rn n nN( ) , ( ) .= ∀ = ∈ Atunci, în orice mulţime

G x x x x R x x x k Nk kN

k= ∈ + + + = ∈+( , , , ... , , , , ... ) : ... ( )0 1 2 0 10 0 1

nu există elemente care să realizeze o P - c. m. b. a. s. pentru

originea spaţiului, în vreme ce mulţimea tuturor elementelor de

P - cea mai bună aproximare vectorială prin Gk pentru origine

este Gk. Mai mult, orice element al mulţimii

G x X x i Ni i= ∈ ≥ ∀ ∈( ) : ,0 şi xii N

=∈∑ 1 este o P - c. m. b. a. v.

141


pentru origine, dar nu există elemente de P - cea mai bună

aproximare simultană ale originii în raport cu G.

În final, indicăm două exemple numerice ilustrative în sensul

că precizăm structura efectivă a funcţiilor spline, iar subspaţiile

M şi M⊥ corespunzătoare realizează o descompunere în sumă

directă pentru spaţiul general de lucru.Toate consideraţiile sunt

fundamentate pe rezultatele obţinute de noi în anul 1981, Isac,

G., Postolică, V.,(1993) şi Postolică, V., (1998) .

Exemplul 2. Fie

( ) ( ) ( ) ( ) 1 m1 2: local absolut continuã si f ,

m 1,

mmlocX f C R f L R−−= ∈ ∈

≥

înzestrat cu topologia de spaţiu H-local convex generată prin

semi-produsele scalare

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫−

= −

=⋅+−⋅−+⋅=1

0

m

h

k

k

mmhhhhk dttytxkykxkykxyx 0,1,2,...k ,,

,

iar ( )RLY loc2= echipat cu topologia de spaţiu H-local convex

indusă de

semi-produsele scalare

( ) ( )∫−

=⋅=k

kk

dttytxyx 0,1,2,...k ,, .

Considerând YXU →: operatorul de derivare cu ordinul m,

conchidem că

142


( ) ( ) Z 1-m0,h ∈=∀=∈= νν ,,: 0hxXxM ,

( ) ( ) ( ) ( ) =

=∈∀=∈= ∫−

⊥ 0,1,2,...k M,x k

k

mm dttxtsXsM ,: 0

( ) / , 1: este o functie polinomialã de grad cel mult 2m-1, Zs X s ν ν ν+= ∈ ∀ ∈

.

În lucrările precizate, am dovedit şi utilizat următoarea expresie

a oricărei funcţii spline S :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1

2 1 2 1 2 11 2 0

0 0 0

1 2 ... ...m m m

m m mh h h

h h hS x p x c x c x c x

− − −− − −

+ + += = =

= + − + − + + − +∑ ∑ ∑

unde p R,u ∈∀+

=+ ,2

uuu este o funcţie polinomială de grad

cel mult 2m-1 perfect determinată împreună cu coeficienţii

( )Z 1-m0,h ∈∀= νν ,hc prin condiţiile de interpolare. În

consecinţă, pentru orice funcţie Xf ∈ există o funcţie spline

unică ⊥∈ MS f care o interpolează, împreună cu derivatele

succesive, până la ordinul 1m − prin

( ) ( ) ( ) ( ) Z h ∈−=∀= ννν ,,, 10 mfS hhf şi o aproximează optimal în

acord cu Teorema 1. Astfel, subspaţiile M şi ⊥M oferă şi o

descompunere ortogonală pentru spaţiul ambiant X prin

reprezentarea ca sumă directă ⊥⊕= MMX .

Exemplul 3. Fie acum

143


( ) ( ) ( ) ( ) 1 m1 2: este local absolut continuã si fmmX f C R f L R−−= ∈ ∈

cu topologia

H-local convexă indusă de semi-produsele scalare

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )RdttytxyxyxR

mm 2LY Z, =∈+= ∫ νννν ,, având

topologia generată de produsul scalar ( ) ( )∫=R

dttytxyxν

, , iar

YXU →: operatorul uzual de derivare cu ordinul m. În aceste

condiţii, ( ) Z ∈∀=∈= νν ,: 0xXxM , iar

( ) ( ) ( ) ( )

∈∀=∈= ∫⊥

R

mm dttstxXsM Mx ,: 0

În mod similar primului exemplu, ⊥M coincide cu mulţimea

tuturor funcţiilor fragmentar polinomiale de ordin 2m (grad cel

mult 2m-1), cu nodurile de interpolare în punctele întregi ale

axei reale. Prin urmare, pentru fiecare funcţie Xf ∈ , există o

funcţie spline unică ⊥∈ MS f care realizează o interpolare

optimală pentru f pe mulţimea Z, adică, fS satisface relaţiile

( ) ( ) νν fS f = pentru orice Z∈ν şi este singura soluţie a fiecărei

probleme de optimizare indicate în Teorema 1. În plus,

XMM =⊕ ⊥ , deci subspaţiile M şi ⊥M realizează o

descompunere ortogonală pentru X, iar ⊥M se dovedeşte din nou

a fi simultan respectiv vectorial proximinal.

144


Observaţia 3. Exemplele indicate arată utilitatea construcţiei

noastre abstracte în rezolvarea unor frecvente probleme de

aproximare şi interpolare optimală prin posibilitatea alegerii

convenabile a spaţiilor, semi-produselor scalare şi operatorilor.

Evident că, nu e întotdeauna posibil, ca pentru un subspaţiu liniar

oarecare, eventual închis, al unui spaţiu H-local convex arbitrar

să existe un spaţiu H-local convex Y şi un operator liniar

(continuu) U:X → Y care să funcţioneze în condiţiile iniţiale –

altfel rezolvarea oricărui program de eficienţă care se reduce la o

problemă de cea mai bună aproximare vectorială prin elementele

ortogonalului unui subspaţiu liniar (închis) M pentru

componentele sumei directe M ⊕ M⊥ ar fi echivalentă cu

soluţionarea unei o probleme de cea mai buna aproximare

simultană. În general, o asemenea posibilitate generală nu

există, deoarece chiar într-un spaţiu H-local convex mulţimea

tuturor elementelor de cea mai bună aproximare simultană

poate fi vidă în contrast cu mulţimea tuturor elementelor de cea

mai bună aproximare vectorială, aşa după cum o demonstrează

şi exemplul următor.

Exemplul 4. Fie X= RN înzestrat cu topologia generată de

familia de semi-norme hilbertiene P =pi :i ∈ N definite prin

pi (x)= |xi| (i ∈ N) pentru orice x= (xi) ∈ X, iar

145


Gt,c = (xi) ∈ X: i=1, t şi i N∈∑ xi = c ( , 2t N t∈ ≥ , c R∈ ). X este un

spaţiu H-local convex, deci P - simultan strict convex ( Isac, G.,

Postolică, V., 1993). Orice element al fiecărei mulţimi Gt,c este o

P–c.m.b.a.v. pentru originea spaţiului în timp ce mulţimea

tuturor elementelor de P–c.m.b.a.s. este vidă.

1.7.6. Modalităţi de optimizare ale planificării producţiei

şi distribuţiei pe piaţa internă a produselor

Investigarea ştiinţifică a planificării producţiei şi distribuţiei

pe piaţa internă,incertă, a maşinilor agricole prin metode

matematice clasice se integrează în modelarea matematică

generală a proceselor economice care conţine : elaborarea

modelelor, în particular, a celor informaţional-decizionale

respectiv destinate alocării resurselor, tehnologiilor şi

producţiei specifice ; modele de estimare a pieţii prin evaluarea

dinamică a raporturilor cereri-preţuri şi

cereri-venituri ; studii asupra structurii ofertei firmei prin

modelarea indicatorilor ofertei de produse şi estimarea evoluţiei

ponderii pe piaţă a unor repere concurenţiale utilizând”

lanţurile” Markoviene; prognozarea vânzării produselor

146


folosind metoda vectorilor spectrali şi “ajustarea”

exponenţială; examinarea şi controlul situaţiilor concurenţiale

coerspunzătoare; tratarea ca procese, inclusiv decizionale,

multicriteriale.

Contribuţia noastră începe aici, prin abordarea planificării şi

distribuţiei pe piaţa internă întâi ca procese multicriteriale

organizate în reţele completată de specificarea eficienţei

derivate din optimizarea vectorială, deoarece toate problemele

economice actuale sunt reprezentabile matematic prin aplicaţii

obiectiv multifuncţii sau funcţii de mulţime, combinate cu

restricţii cel puţin vectoriale. Argumentăm acest demers şi prin

faptul că, soluţia concretă aplicată până acum este derivată din

Teoria Probabilităţilor, respectiv folosind Statistica Matematică,

fapt ce conferă o anumită stabilitate satisfăcătoare, pe baza

proiectelor şi realizărilor anterioare, urmărind un program de

fabricaţie flexibil, definit prin necesităţi, ciclicitatea producţiei,

existenţa sau non-existenţa factorilor externi, acordarea sau

non-acordarea de subvenţii, etc..

Actualele tehnici privind entitatea denumită” informaţie”,

împreună cu perspectiva iminentă sunt utilizate continuu pentru

conceperea şi ,îndeosebi, pentru controlul sistemelor

reprezentate prin”reţele” ce se constituie în

147


multi-sisteme. Fuziunarea parţială sau totală a unor firme ,

construcţia altora noi, specializarea şi ultraspecializarea

combinate cu mobilitatea pieţelor de desfacere au generat şi

impun organizarea în reţele de sisteme, pe domenii, cu

respectarea unor restricţii adecvate si proiectii directe în

managementul specific fiecărei componente. În particular,

planificarea, proiectarea, realizarea şi desfacerea produselor

reprezintă un sistem multiplu, cu caracteristici proprii, care se

integrează în ansamblul general al economiilor de piaţă. O astfel

de investigaţie o includem şi susţinem în cele ce urmează,

expunând modalităţi originale de concepere, previzionare şi

coordonare în reţele caracteristice fiecărui sistem ce defineşte

un produs, cu integrarea în sistemul multivoc, general, prin

maniere vectoriale ce susţin şi deciziile din sistemele

multicriteriale aferente, cu gestionarea permanentă impusă de

funcţionarea reală.

În general, producţia, diversificarea producţiei şi

desfacerea cu

feed-back-urile aferente, transdisciplinare, reflectă activitatea

economică mondială, iar managementul a evoluat în funcţie de

crizele economice specifice fiecărei ţări, mondializarea pieţei,

ameliorarea productivităţii şi flexibilitatea pe ansamblu.

Proiecţia acestor succinte argumente, indiferent de domeniu,

148


prin reţele de unităţi decizionale şi productive , cu o asemenea

eficienţă încât implică benefic şi reducerea ratei şomajului la

nivel naţional o prezentăm aici, insistând şi asupra problemelor

de verdict pe care le specificăm prin consideraţii matematice

asupra deciziilor în concepţia, planificarea şi distribuţia

produselor, cu implicaţii directe în managementul reţelelor de

sisteme.

Fiind dependentă primordial de timp, orice reţea de astfel

de sisteme are expresia S(t) = (F1(t),F2(t),…,Fk(t)), (k Є N*)

unde sunt îndeplinite următoarele condiţii:

a) fiecare Fi este autonom în baza unor interdependenţe

specifice;

b) optimul evoluţiei (în timp) fundamentată pe

interacţiunea dinamică mutuală (posibil

informatizată) este reprezentat de forma completă

indicată pentru Fi, cu respectarea unor restricţii

adecvate

Dacă notăm cu fij = fij(t) (i = k,1 ), j = s,0 )

caracteristicile fiecărui subsistem

Fi (i = k,1) ataşate respectiv componentelor 0) – s), atunci

Fi = Fi(t) = (fi0(t), fi1(t), … ,fi8(t)), i = k,1

149


Fie Tip (i = k,1 ) intervalul de timp pe care subsistemul Fi

(i = k,1 ) de eficienţă funcţionează optim în sens vectorial

(Pareto, în variantele p), adică dacă, ~

0if , ~

1if ,…, ~f is sunt valori

de eficienţă optimă din punct de vedere economic pentru

componente, atunci inegalitatea

(fi0(t), fi1(t), … fi8(t)) < (~

0if (t), ~

1if (t), …, ~f is (t)), pentru t∈ Tip

(i = k,1 )

((a0, a1, … , a8) < (b0, b1, … , b8) ⇔ ai ≤ bi, si ,0=∀ cu măcar o

inegalitate strictă) este imposibilă.

Existenţa optimelor în sens vectorial este asigurată de

compactitatea mulţimii pe care se studiază în R8. Generalizând,

dacă Fi0 este o firmă (societate) completă cu optimul ~F i0= ~

F i0(t),

t∈ Ti0p, atunci ascensiunea fiecărei firme (societăţi) rămase Fi va

fi asigurată de existenţa unui interval de timp Ti ⊆ Ti0p în care,

Fi să dobândească toate componentele fi (i = s,0 ) după care să

se dezvolte până la stadiile ~F i= ~

F i(t), t∈ Tip, adică să existe ti ∈ T

pentru care itt→

lim Fi(t) = ~

),1(, kjF j = .

150


Global, reţeaua funcţionează optim pentru k

iip TT

1=

=

mulţime suficient de amplă, aproximativ periodică, sau

k

iii tFtF

10 )()(

=

= , măcar pentru un ki ,10 = şi Tt ∈ .

Dacă notăm cu A mulţimea tuturor punctelor (F1(t), F2(t),

…,Fk(t)), considerăm K=Rk+ şi sistemul dinamic generalizat Γ0

definit prin Γ0(a)=A (a-K), atunci orice punct critic pentru Γ0 în

sensul că satisface una dintre următoarele condiţii echivalente:

(i) ( )0 0A a K a K− ⊆ +I ;

(ii) ( )0K a A K− ⊆ −I ;

(iii) ( ) ( )0 0A K a K a K+ − ⊆ +I ; (iv) ( )0K a A K K− − ⊆ −I .

reprezintă un moment de echilibru al reţelei. Studiul echilibrului

reţelei poate fi aprofundat considerând sisteme dinamice generalizate

de tipul )()()],int([)(1 KaAaKaAa −−=Γ−=Γ εε cu

0\kR+∈ε şi Aa ∈ sau )()( KVaAaV −−=Γ respectiv

)]int([)(0 KVaAaV −−=Γ pentru 0\kRV +⊆≠Φ . În

consecinţă, deciziile chiar şi în momentele „staţionare” (specifice

sistemelor alcătuite din „evenimente discrete” în care evoluţia

este marcată de momente determinate) pot fi realizate şi

parcurgând, sintetic, diagrame de următorul tip specifice

metodelor decizionale evaluative:

151


Modelare (şi interpretare) # Metode analitice; Optimizare;matematică prin # Simulare;transdisciplinaritate # Modelare multi – criterială; Optimizare vectorială; Cazuri particulare (optimizarea

„tare” şi implicaţii imediate),

respectiv

152

Decizia examinată cu

intenţii (şi posibilităţi) de aplicare

Metode evaluativespecifice

Evaluarea performanţelor (obiectivelor)previzionate

Concluzii

Analiză; comparare cu performanţele (obiectivele) proiectate

Formularea problemelor,

obiective,restricţii

Metode generative actuale şi de perspectivă

Soluţiiopţionale şi

soluţii optimale

Obiecţiuni, lămuriri, alte

probleme formulate

Evaluarea elementelor

neformalizabile tehnicii specifice

existente şi deperspectivă

Timp şi cost minim


Modelare (şi interpretare) # Programare matematică (discretă şi continuă);

matematică prin # Metode de optimizare combinaţională;transdisciplinaritate # Alte tehnici pentru metodele decizionale

generative.

Strategia expusă se poate generaliza, deci adapta la orice

“zonă“ cu cel puţin predispoziţii de ofertă a resurselor umane şi

materiale. Selecţia acestor zone (mondiale chiar) se face prin

compararea (vectorială) a valorilor funcţiilor obiectiv, moment

urmat de ierarhizarea după criteriile caracteristice specifice, cu

implicaţii multiple, semnificative.

Evident că organizarea oricărei astfel de reţele presupune

ierarhia produselor (diviziuni separate pentru « linii », fiecare

diviziune având propriul sistem de gestiune şi compartimente

adecvate cu mijloace productive, toate conectate şi la

departamentul (departamentele) de desfacere a reţelei), cuplată

în permanenţă cu structuri funcţionale care evită sau cel puţin

diminuează stopările chiar accidentale, astfel că expunerea pe

153


diverse pieţe funcţionează cu stabilitatea cel puţin garantată de

interconexiunile dintre subsistemele (firmele sau societăţile)

partenere.

Diferitele structuri de coordonare pot fi reprezentate şi

prin următoarele scheme:

Ierarhia Produselor

154


Ierarhia Func ionalţ ăunde semnifică “gestionarii” produselor ,

“ gestionarii “ funcţionali, iar simbolurile rămase desemnează

“realizatorii “ atribuţiilor de diverse tipuri.

Referitor la impactul pe piaţă, caracteristicile

subsistemelor reţelei descrise împreună cu arhitectura organizării

– funcţionării proceselor interconectate şi managementul general

dovedesc viabilitatea acestor reţele atât în regimul pieţelor

centralizate, cât şi cel corespunzător pieţelor descentralizate,

respectiv al oricărei pieţe fuzzy. Astfel, în pieţele centralizate,

clienţii nu contactează fiecare furnizor, căci realizarea acestei

funcţii se face printr-un intermediar comun, ceea ce antrenează

centralizarea deciziei. Un exemplu în acest sens îl constituie

Bursa Valorilor, iar diagramatic reprezentarea este următoarea:

155


În contrast, pentru pieţele descentralizate, fiecare client

este în contact direct cu fiecare furnizor, fără intermediari, cu

reprezentarea schematică redată astfel:

Cazurile concrete sunt perfect compatibile cu orice astfel

de modele de piaţă. Arhitectura generală metodico – ştiinţifică

descrisă şi argumentată, bazată pe resursele naturale, factorii

economici adecvaţi (care, prin conexiunile concrete solicită, în

actuala şi de perspectivă conjunctură politică, economică, socială

156


românească, cheltuieli modice în raport cu beneficiul – în primul

rând pentru reducerea şomajului şi continuarea dezvoltării socio-

economice a zonelor româneşti cu acest specific), competenţa

profesională concomitentă a managerului şi a angajaţilor, în

contextul unor investiţii economice minime, cu surse naturale

încă neexplorate suficient ştiinţific şi prin intermediul

valorificării cel puţin eficiente a potenţialului global disponibil.

Proiecţia problematicii investigate prin contextul general

privind integrarea în programele multicriteriale sugerează

următoarea analiză originală propusă pentru

concretizare.Fiecare program multicriterial destinat unui studiu

de piaţă este un ansamblu alcătuit dintr-o mulţime

1 2 3, , , , pA a a a a= K ( )* N p ∈ care conţine proiecte,

alternative, repere, etc. reprezentate în acest caz particular de

previzionările privind: aprovizionarea, desfacerea, Cash-Flow-

ul , deci managementul specific fiecărui domeniu de activitate şi

indicatorii determinanţi (criteriile max : 1,im m i p= = respectiv prin ( )m1,j k j = coeficientul de

importanţă acordat indicatorului ( )mi,j g j = , rezultă că orice

punct de extrem al funcţiei F date prin ∑=

⋅=m

jjj gkF

1 defineşte

157


un proiect optimal. Astfel, dacă secvenţa de proiecte investigate

vizează costurile de producţie, se va urmări atingerea minimului,

iar în cazul proiectelor destinate vânzărilor, realizarea

maximului, etc..

O altă modalitate de studiu pe care o propunem constă în

transformarea programului global într- una dintre următoarele

probleme de Optimizare Vectorială, echivalente acestuia, în

spaţiul Euclidian Rm ordonat prin conul uzual, convex şi

supernormal, K= 0: ≥∈=+ tRtR mm respectiv de - K, în

funcţie de soluţiile dorite reprezentate prin punctele eficiente în

sens minimal sau maximal :

(P0) eff(A, K), (P1) eff(A, - K), (P2 ) eff(A,K,K1),

(P3) eff(A,-K,K2)

unde

A= ( ( )) : 1, , 1,mj j ik g a R i p j m∈ = = considerând 0jk = dacă

( )j ig a nu există, K1 este o submulţime nevidă pentru K, iar K2

denotă o submulţime netrivială a conului K, ultimele probleme

fiind considerate prin „perturbarea” primelor două pentru a

obţine eficienţa aproximativă spre îmbunătăţirea soluţiilor

acestora. Urmând concluzia Teoremei 1 din Secţiunea 6.7.4,

dacă există soluţii în sens simultan (“tare”), atunci nu mai

există alte soluţii vectoriale. În caz contrar, soluţiile “ideale”

158


se selectează din cele eficiente folosind restricţii eliminatorii

(ponderile de indiferenţă respectiv de preferinţă ale

indicatorilor) adecvate. Concret, la problemele (P2) şi (P3) se

ajunge prin extinderea intervalelor de variaţie ale criteriilor

(Postolică, V., Scarelli, A., 2000) astfel:

Varianta 1.

1.1.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

*

*

;

.j s j s j j s j s

j s j tj t j t j j t j t

g a g a k g a g ag a g a

g a g a k g a g a

→ + ⋅ => ⇒ → − ⋅ =

1.2.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

*

*

;

.j s j s j j s j s

j s j tj t j t j j t j t

g a g a k g a g ag a g a

g a g a k g a g a

→ − ⋅ =< ⇒ → + ⋅ =

1.3. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

*

*

;

.j s j s

j s j tj t j t

g a g ag a g a

g a g a

== ⇒ =

Varianta 2.

Fie jq coeficientul care exprimă “ gradul de indiferenţă”

, jp “ indicele de preferinţă”, iar jv “nivelul de

obstrucţionare” pentru criteriul , j=1,m .jg “Dilatarea”

intervalelor de parcurs anunţată se efectuează în acord cu

159


următoarele implicaţii care se pot derula, dacă momentul real

permite, urmând “toleranţele” ( jq,

jp , jv) incluse:

2.1. ( ) ( ) (min ) ;j s j t j j s tg a g a q q a a− < ⇒ ≡

2.2.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )j

;(max p )

.

j s j s j j j j sj s j t j

j t j t j j j j t

g a g a k p q g ag a g a p

g a g a k p q g a

→ + − ⋅− ≤ ⇒ → − − ⋅

2.3.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

;

,

j s j s j j j sj j s j t j

j t j t j j j t

g a g a p g av g a g a p

g a g a p g a

→ + − ⋅≥ − > ⇒ → − − ⋅

v

v

urmată fiind de identificarea soluţiilor problemelor de

optimizare vectorială corespunzătoare, iar selecţia celor “mai

bune soluţii”, acceptabile, se efectuează folosind

“instrumentele” de blocaj , 1,jv j m= .

Propuneri pentru utilizarea funcţiilor spline sunt expuse în

continuare, fundamentate fiind pe rezultatele obţinute şi

sintetizate recent de Oja, P., 2006 asupra funcţiilor spline

raţionale şi funcţiile spline fragmentar polinomiale, cu o

infinitate numărabilă de noduri şi nivele de regularitate

convenabile, introduse de Postolică, V.,1981.

α ) Interpolare raţională elementară

160


Să presupunem că pentru un fenomen, proces, etc. absolut

arbitrar f

se cunoaşte comportarea în fiecare punct al unei suite oarecare *

0 .... ,na x x b n N= < < = ∈ plasate într-un interval temporal [ ],a b

. Aşadar, f [ ]: ,a b R→ şi ( ) , 0, .i if x f i n= ∀ = Determinarea

efectivă a acestei funcţii sub restricţiile : ( ) i i

i i

a b xf xc d x

+=+ pe

[ ]1 ,i iξ ξ− , 1,i n= , unde

0 0 1 1 2 1 1 1... ...i i i n n n na x x x x x x bξ ξ ξ ξ ξ ξ− − += = < < < < < < < < < ≤ = =

, [ ]10 , nf C ξ ξ∈ şi '

0( ) 0f ξ > , '1( ) 0nf ξ + > sau 0 0( )f fξ < şi

( )n nf fξ > se realizează în acord cu

Teorema 5. (Oja, P.,1999, 2002)

Pentru orice alegere a punctelor ( 0, 1)i i nξ = + şi orice

secvenţă monotonă 0,( )i i nf= , există o funcţie unică f satisfăcând

condiţiile precedente.

Practic, soluţia se obţine prin iterare uzuală, metoda

Gauss-Seidel sau procedeul clasic al lui Newton şi se poate

aplica pentru planificarea fluxului de trezorerie

(Cash-Flow-ului).

β ) Histopolare raţională

Theorem 6. (Oja, P.,2005, 2006)

161


Dacă 0 1 ... na x x x b= < < < = , 1 20 ... 0nz z zα β< < < < < < > ,

atunci există o funcţie unică [ ]: ,g a b R→ cu proprietăţile :

[ ]1 ,g C a b∈ ; 1

1

( )( )1 ( )

i i i

i i

s t x xg xv x x

−

−

+ −=+ − şi 11 ( ) 0i iv x x −+ − > pentru

orice [ ]1,i ix x x−∈ , iar 1

1( ) ( ), 1,i

i

x

i i ixg x dx z x x i n

−−= − ∀ =∫ .

Acest rezultat poate fi folosit şi pentru întocmirea, prelucrarea

şi interpretarea diagramelor respectiv a histogramelor care conţin

evoluţia cifrei de afaceri, cu proiecţii pe vânzări/ tipuri de

produse.

γ ) Interpolare optimală prin spline-urile fragmentar

polinomiale descrise în secţiunea anterioară.

Concluzii succinte

162


Am sugerat procedeele ) )α γ− pentru susţinerea

studiului întreprins de noi considerându-le

adecvate, flexibile şi compatibile cu orice model

perfectibil. Construcţia abstractă precedentă a

funcţiilor spline fragmentar polinomiale cu grade

de regularitate rezonabile şi exemplele concrete

anterioare relevă o altă nouă posibilitate de

analiză şi decizie nu numai privind problematica

iniţială, ci pentru orice chestiune decizională, ori

de câte ori este realizabilă,cel puţin o aproximare

dacă nu este posibilă o cunoaştere exactă, măcar

parţială, a comportării obiectivelor, criteriilor şi

performanţelor, cu scopul evaluării prezente şi al

controlului minimal ulterior, inclusiv pentru

estimarea duratei de viaţă a produselor. În final,

precizăm câteva concluzii preliminare, imediate

asupra consideraţiilor efectuate. Analiza generală

a eficienţei şi proiecţia matematică sunt originale.

Procedeele expuse de investigare ştiinţifică a

planificării producţiei şi distribuţiei pe piaţa

internă a produselor reprezentate de : abordarea ca

procese multicriteriale, organizate în reţele ,

utilizarea eficienţei de tip Pareto prin optimizare

163


vectorială proprie şi folosirea funcţiilor spline

raţionale respectiv cu o mulţime cel mult

numărabilă de noduri interpolatorii, optimale,

descrise efectiv sunt complet noi, oferind

posibilitatea unor prelucrări şi interpretări

numerice care se impun a fi dezvoltate ulterior.

Pentru prognoze veritabile sunt necesare

examinări prealabile atente, cu date reale.

BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ

1. Alfsen, E. M. - Compact Convex Sets and Boundary

Integrals. Springer - Verlag, Berlin, Heidelberg, New York,

1971.

2. Altomare, F. - Limit semigroups of Bernstein-Schnable

Operators Associated with Positive Projections. Ann. Sc.

Norm. Sup. Pisa, Cl. Sci. IV, Vol. 16, 1983, p. 259-279.

3. Altomare, F., Campiti, M. - Korovkin – Type Approximation

Theory and its Applications. W. de Gruyter, Berlin, New

York, 1994.

4. Altomare, F., Raşa, I. - Towards a Characterization of a

Class of Differential Operators Associated with Positive

Projections. Atti. Sem. Mat. Fis. Univ. Modena Suppl. Vol.

46, 1998, p. 3-38.

164


5. Altomare, F., Raşa, I. - Feller Semigroups, Bernstein type

Operators and Generalized Convexity associated with

Positive Projections. Proc. IDOMAT, Vol. 132, Birkhäuser

Verlag, Basel, 1999, p. 9-32.

6. Apetrii, M.A.- Contribuţii la Studiul Monotoniei şi

Convexităţii Generalizate.Teză de Doctorat,

Univ . “Al.I.Cuza “ Iaşi, Facultatea de Matematică, 14

Decembrie, 2007.

7. Arrow, K.J. (1951) – Social Choise and Individual

Values.The second Edition. Yale University Press, 1963.

8. Arrow, K.J., Hahn, F.M. – General Competitive Analisys.

Holden Day, New York, 1971.

9. Aubin, J.P. – Optima and Equilibria. An Introduction to

Nonlinear Analysis. Springer – Verlag Berlin Heidelberg,

1993.

10. Barbu, V., Precupanu, T.- Convexity and Optimization in

Banach Spaces. D. Reidel Publishing Company, 1986.

11. Benson, H.P. – The Vector Maximization Problem: Proper

Efficiency and Stability. SIAM J. Appl. Math. 32, 1977,

p. 64-72.

12. Benson, H.P. – An Improved Definition of Proper Efficiency

for Vector Minimization with respect to Cones. J. Math.

Anal. Appl. 79, 1979, p. 232-241.

165


13. Benson, H.P. – Efficiency and Proper Efficiency for Vector

Minimization with respect to Cones. J. Math. Anal. Appl.

93, 1983, p. 273-289.

14. Boboc, N., Bucur, Gh. - Convex Cones of Continuous

Functions on Compact Spaces. Publishing House of

Romanian Academy, Bucharest, Romania, 1976.

15. Borwein, J.M. – Proper Efficient Points for Maximization

with Respect to Cones. SIAM J. Control Optim, 15, 1977,

p. 57 – 63.

16. Borwein, J.M. – On the Existence of Pareto Efficient Points.

Math Oper. Res. 8, no. 1, 1983, p. 64 - 73.

17. Brundtland Commission (World Commission on

Environment and Development) – Our Common Future.

Oxford University Press, Oxford, 1987.

18. Bucur, I., Postolică, V. - A Coincidence Result Between Sets

of Efficient Points and Choquet Boundaries in Separated

Locally Convex Spaces. Research Report at he 4th Workshop

of the German Working Group on Decision Theory, Hotel

Talblick, Holzhau, Germany, March 14-18, 1994.

Optimization, Vol. 36, 1996, p. 231 - 234.

19. Carbone, A., Isac, G. – The Generalized Order

Complementarity Problem : Applications to Economics and

An Existence Result. Nonlinear Studies, Vol.5, No.2, 1998,

166


p.139 – 151.

20. Cardinali, T., Papalini, F. - Fixed Point Theorems for

Multifunctions in Topological Vector Spaces. Journal of

Mathematical Analysis and Applications , Vol. 186, 1994,

p. 769-777.

21. Choquet, G. - Ensembles et Cônes Convexes Faiblement

Complets. C. R. Acad. Sci. Paris, VoL 254, 1962, p. 2123-

2125.

22. Choquet, G. - Theory of Capacities. Ann. Inst. Fourier, Vol.

5, 1955.

23. Choquet, G., Deny, J.- Ensembles Semi-reticulés et

Ensembles Reticulés des Fonctions Continues, Journ. Math.

Pures Appl., Vol. 36, 1957, p.179-189.

24. Choquet, G., Meyer, P. A.- Existence et Unicité des

Représentations dans les Convexes Compacts Quelconques.

Ann. Inst. Fourier, Vol.13, p. 139 - 154, 1963.

25. Costa, L., Oliveira, P. – Dimension Reduction in

Multiobjective Optimization. Research Report at The 6th

International Congress on Industrial Mathematics and Applied

Mathematics, July 16 - 20, 2007, Zürich, Switzerland.

26. Crouzeix, J. P. – Contribution à L’Étude des Fonctions

Quasi-Convexes. Thèse de Docteur en Sciences,

Univ. Clermont - Ferrand II, 1977.

167


27. Dauer, J. P., Gallagher, R. J. – Positive Proper Efficient

Points and Related Cone Results in Vector Optimization Theory.

SIAM J. Control Optim. 28, no 1, 1990, p. 158-172.

28. Debreu, G. – Theory of Value. Wiley, New York, 1959.

29. Debreu, G., Koopmans, T. C. – Additively Decomposed

Functions. Math Programming, 24, 1982, p. 1 – 38.

30. Dominiak Cezary – Multicriteria Decision Aid under

Uncertainty.In: Multiple Criteria Decision Making’05

(Ed.Tadeusz Trzaskalik),Publisher of The Karol Adamiecki

University of Economics in Katowice,2006, p.63-81.

31. Ehrgott, Matthias – Multicriteria Optimization. Springer

Berlin - Heidelberg, 2005.

32. Fishburn, P. C. – Foundations of Risk Management Science

I.Risk orProbable Loss. Management Science, 30, 1984,

p. 396 – 406.

33. Gass Saul, I., Harris Carl, M. – Enciclopedia of Operations

Research and Management Science. Centennial Edition. Kluwer

Academic Publishers, Boston, Dordrecht, London, 2001.

34. Grecksch, W., Heyde, F., Isac, G., Tammer, Chr. – A

Characterization of Approximate Solutions of Multiobjective

Stochastic Optimal Control Problems. Optimization, Vol. 52,

No.2, 2003, p. 153 – 170.

168


35.Hansson, S.O. – Welfare, Justice and Pareto Efficiency.

Ethical Theory and Moral Practise no. 7, 2004.

36.Hartley, R. – On Cone - Efficiency, Cone Convexity and Cone

- Compactness. SIAM J. Appl. Math. 34, no. 2, 1978,

p. 211-222.

37. Hăvârneanu, T., Postolică, V. - Distributions for Set

Functions. An. Şt. Univ. “Al. I. Cuza” Vol. 28, 1982, p. 19-24,

Iaşi, Romania.

38. Hening, M. I. – Proper Efficiency with Respect to Cones. J.

Optim. Theory. Appl. 36, 1982, p. 387-407.

39. Heyne, Paul – Efficiency. Research Report, University of

Washington, 2000.

40. Hyders, D. H., Isac, G., Rassias, T. M. – Topics in Nonlinear

Analysis and Applications. World Scientific Publishing Co, Pte.

Ltd., 1997.

41. Isac, G. - Points Critiques des Systémes Dinamiques. Cônes

Nucléaires et Optimum de Pareto. Research Report, Royal

Military College of St. Jean, Québec, Canada, 1981.

42. Isac, G. - Sur L’Existence de L’Optimum de Pareto. Riv.

Mat. Univ. Parma, Vol.4( 9), 1983, p. 303-325.

43. Isac, G. - Supernormal Cones and Absolute Summability.

Libertas Mathematica, Vol. 5, 1985, p.17-32.

169


44. Isac, G., Postolică, V. - The Best Approximation and

Optimization in Locally Convex Spaces. Verlag Peter Lang

GmbH, Frankfurt am Main, Germany, 1993.

45. Isac, G., Goeleven, D. - The Implicit General Order

Complementarity Problem, Models and Iterative Methods.

Annals of Operations Research 44, 1993, p. 63 - 92.

46. Isac, G. - Pareto Optimization in Infinite Dimensional

Spaces: the Importance of Nuclear Cones. Journal of

Mathematical Analysis and Applications, Vol.182 (2), 1994,

p. 393 - 404.

47. Isac, G., Kostreva, M. M., Wiecek, M. M. – Multiple-

Objective Approximation of Feasible but Unsolvable Linear

Complementarity Problem.Journal of Optimization Theory and

Applications, Vol. 86, No.2, 1995, p.389 - 405.

48. Isac, G., Kostreva, M. – The Implicit Generalized Order

Complementarity Problem and Leontief’s Input-Output Model.

Applicationes Mathematicae, 24, 2, 1996, p. 113 - 125.

49. Isac, G. - On Pareto Efficiency. A General Constructive

Existence Principle. Research Report (16 pp.), Department of

Mathematics and Computer Science, Royal Military College of

Canada, 1998.

170


50. Isac, G., Bahya, A., O. - Full Nuclear Cones Associated to a

Normal Cone. Application to Pareto Efficiency. Applied

Mathematics Letters, Vol.15, 2002, p. 633 - 639.

51. Isac, G., Bulavsky, V. A., Kalashnikov, V. V. -

Complementarity, Equilibrium, Efficiency and Economics.

Kluwer Academic Publishers, 2002.

52. Isac, G., Postolică, V. - Full Nuclear Cones and a Relation

Between Strong Optimization and Pareto Efficiency. Journal of

Global Optimization 32, 2005, p. 507 - 516.

53. Jablonsky, J. – A Slack Based Model for Measuring Super-

Efficiency in Data Envelopment Analysis. In: Multiple Criteria

Decision Making’05 (Ed.Tadeusz Trzaskalik), Publisher of The

Karol Adamiecki University of Economics in Katowice, 2006,

p.101 - 112.

54. Knight, F. B. - Essentials of Brownian Motion and Diffusion.

Math. Surveys Monogr. Vol.18, AMS, Providence, 1981.

55. Koopmans, T. C. – Analysis of Production as an Efficient

Combination of Activities. In: Activity Analysis of Production

and Allocation (Ed. T.C. Koopmans) Cowles Commission

Monograph No.13, New York, Wiley, 1951, p. 33 - 97.

56. Korhonen, P., Luptáčik, M. – Eco-Efficiency Analysis of

Power Plants : An Extension of Data Envelopment Analysis.

European Journal of Operational Research, 154, 2004,

171


p. 437 - 446.

57. Korhonen, P. - Interactive Methods. Multiple Criteria

Decision Analysis. State of the Art Surveys. ISORMS, Vol. 78,

2005.

58. Kosmidou, K., Zopounidis, C. – Managing Interest Rate Risk

in Commercial Banks Via Multicriteria Analysis. Research Paper

presented at The 61st Meeting of The European Working Group

“Multiple Criteria Decision Aiding”, University of Luxembourg,

March 10 -11, 2005.

59. Kramar, E. - Locally Convex Topological Vector Spaces with

Hilbertian Seminorms. Rev. Roum. Math Pures et Appl., Tome

XXVI, no. 1, 1981, p. 55 - 62, Bucharest, Romania.

60. Krasnoselski, M. A.- Positive Solutions of Operator

Equations.Groningen, Noordhoff, 1964.

61. Kuhn, H. W., Tucker, A. W. – Nonlinear Programming.

Proceedings of the Second Berkely Sympsium on Mathematical

Statistics and Probability (Neyman J. Ed.), University of

California Press, Berkely, 1950, p. 481 - 492.

62. Loridan, P. - ε -Solutions of Vector Minimization Problems.

J. Optim. Theory Appl., Vol. 43(2), 1984, p. 265 - 276.

63. Luc, D. T. - Theory of Vector Optimization. Springer-Verlag,

1989.

172


64. Luptáčik , M., Böhm, B. – Measuring Eco-Efficiency an a

Leontief Input-Output Model. In: Multiple Criteria Decision

Making’05 (Ed.Tadeusz Trzaskalik), Publisher of The Karol

Adamiecki University of Economics in Katowice, 2006,

p. 121-135.

65. Marian, G., Munteanu, M.T., Postolică, V. - New

Optimization Methods Applied in the Production Planning and

the Distribution on National Markets of Agricultural Machines.

Research Paper presented at The Romanian National

Symposium”Complete Solutions for an Efficient Agriculture”,

on the occasion of the 85thAnniversary of S.C.Mecanica Ceahlău

S.A., Piatra Neamţ, România, June 29-July 1, 2006. Published in

the volume”Modern Techniques inthe Management,Conception

and the Achievement of the Machines and the Equipments”,

p. 5-34, Bren Publishing House, Bucharest,2006 and in Studii şi

Cercetări Ştiinţifice, Seria Matematică, Bacău,Romania,

nr.16/2006, p. 209-238.

66. Miettinen, K. – Interactive Nonlinear Muliobjective

Procedures. Multiple Criteria Optimization: state of the art

annotated bibliographic surveys. Internat. Ser. In Operations

Research and Management Science, ISORMS, Vol.52, 2002.

67. Mokobodzki, G. - Principe de Balayage, Principe de

Domination. Seminaire Choquet 1, 1962.

173


68. Nachbin, L. - Topology and Order. New York, Van

Nostrand, 1965.

69. Németh, A. B. - Between Pareto efficiency and Pareto ε −

efficiency. Optimization, Vol. 10 (5) , 1989, p. 615 - 637.

70. Ng., K. F. and Zheng, X. Y. - Existence of Efficient Points

in Vector Optimization and Generalized Bishop-Phelps Theorem.

Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 115,

2002, p. 29 - 47.

71. Nyberg, L. et all – Förslag till Transportmål för Stockholms

Län (Suggested Transport Goals for Stockholms County).

Stockholm: Länsstyrelsen i Stockholms Län, 2001.

72. Pallaschke, D., Rolewicz, S. - Foundations of Mathematical

Optimization.Convex Analysis without Linearity. Kluwer

Academic Publishers, 1997.

73. Pareto, Vilfredo – Manuel d’Économie Politique. Girard et

Brière, 1909.

74. Pedersen, M.- Functional Analysis in Applied Mathematics

and Engineering. CRC Press LLC, 2000.

75. Peressini, A. L. - Ordered Topological Vector Spaces.

Harper 8 Row, New York, 1967.

76. Petkus,T., Filatovas, E. – Parallel Solutions Strategies to

Solve Multiple Criteria Optimization Problems. To appear in

Foundations of Computing and Decision Sciences, Institute of

174


Computing Science, Poznan University of Technology, Poland,

2007.

77. Pietch, A. - Nuclear Locally Convex Spaces.

Springer-Verlag, 1972.

78. Postolică, V. - Spline Functions in H-Locally Convex Spaces.

An. Şt. Univ. “Al. I. Cuza” Vol. 27, 1981, p. 333 - 338, Iaşi,

Romania.

79. Postolică, V. - New Existence Results for Efficient Points in

Locally Convex Spaces Ordered by Supernormal Cones. Journal

of Global Optimization, Vol. 3, 1993, p. 233 - 242, Kluwer

Academic Publishers, The Netherlands.

80. Postolică, V. - Properties of Pareto Sets in Locally Convex

Spaces. Optimization, Vol. 34, 1995, p. 223 - 229.

81. Postolică, V. - Properties of Efficient Points Sets and Related

Topics. Research Report at The Second International Conference

on Multi–Objective Programming and Goal Programming,

Torremolinos, Spain, May 16 - 18, 1996. Published in Advances

in Multiple Objective and Goal Programming, Lecture Notes in

Economics and Mathematical Systems, Vol.455 edited by Rafael

Caballero, Francisco Ruiz, Ralph E. Steuer, 1997, p. 201 - 209.

82. Postolică, V. - A Method which Generates Splines in

H-Locally Convex Spaces and Connections with Vectorial

Optimization. Positivity, Vol. 2, No. 4, 1998, p. 369 - 377.

175


83. Postolică, V. - Conditions for Pareto Efficiency in Locally

Convex Spaces. Mathematical Reports of Romanian Academy 2,

Vol. 1(51), April-June, 1999, p. 257 - 269.

84. Postolică, V., Scarelli, A. - Some Connections between Best

Approximation, Vectorial Optimization and Multicriterial

Analysis. Nonlinear Analysis Forum, Vol. 5, 2000, p. 111 - 123.

85. Postolică, V. Scarelli, A., Venzi, L. - On the Equilibrium of a

Multidimensional Ecosystem. Nonlinear Analysis Forum 6(2),

2001, p. 321 - 335.

86. Postolică, V. - Pareto Efficiency, Choquet Boundaries and

Operators in Hausdorff Locally Convex Spaces. Nonlinear

Analysis Forum, Vol. 7(2), December, 2002, p. 215 – 230.

87. Postolică, V. – A Class of Generalized Dynamical Systems in

Connection with Pareto Efficiency and Related Topics. Research

Paper submited to the International Conference “Complex

Systems, Intelligence and Modern Technological Applications”,

Cherbourg, France, September 19 - 22, 2004. Published in the

corresponding Electronics Proceeding Volume.

88. Postolică, V. – Eficienţă prin Matematică Aplicată: Analiză

matematică. Aplicaţii multiple. Eficienţă şi optimizare. Editura

Matrix Rom, Bucureşti, 2007.

176


89. Postolică, V. – Choquet Boundaries and Efficiency.

Computers and Mathematics with Applications (2007), doi:

10.1016/j.camwa.2007.03.022.

90. Postolică, V. – A Coincidence Result between the Sets of

Approximate Efficient Points and Choquet Boundaries in

Separated Locally Convex Spaces. Research Paper presented at

The 6th Congress of Romanian Mathematicians, June 28 - July 4,

2007. To appear in the corresponding Proceedings of the

Congress, the Publishing House of the Romanian Academy.

91. Postolică, V. – Efficiency and Optimization. Research Report

presented at The 6th International Congress on Industrial and

Applied Mathematics, Zürich, Switzerland, 16 – 20 July, 2007.

Accepted for publication in the corresponding Proceedings

Volume.

92. Postolică, V. – Choquet Boundaries and Efficiency.

Computers and Mathematics with Applications 55, 2008,

p. 381 - 391.

93. Postolică, V. – Baze ale Matematicii actualizate prin

Eficienţă. Matrix Rom, Bucureşti, 2008.

94. Precupanu, T. - Espaces Linéaires à Semi-Normes

Hilbertiennes. An. Şt. Univ. “Al. I. Cuza”, Vol. 15, 1969,

p. 83 - 93, Iaşi, Romania.

177


95. Precupanu, T. - Scalar Minimax Properties in Vectorial

Optimization. International Series of Numerical Mathematics,

Birkhäuser Verlag Basel, Vol. 107, 1992, p. 299 - 306.

96. Precupanu, T. – Analiză Funcţională pe Spaţii Liniare

Normate. Editura Universităţii “ Al .I.Cuza” Iaşi, 2005.

97. Raşa, I. - Feller Semigroups, Elliptic Operators and

Altomare Projections. Research Report at the 4th International

Conference on Functional Analysis and Approximation Theory.

98. Rockafellar, R.Tyrrell – Analiză Convexă. Theta, Bucureşti,

2002.

99. Rosencrantz, Holger – Transport Policy Goals, Welfare

Concerns, and Rationality. Research Report presented at The

62-nd Meeting of The European Working Group “Multiple

Criteria Decision Aiding”, Borlänge, Sweden,

22 - 24, September, 2005.

100. Rotmans, Jan – New Trends in Modelling: Complexity,

Sustainable Development, Ethics. The International Centre for

Integrative Studies (ICIS). Plenary Talk at the 12th Mini Euro

Conference organized by the Euro Working Groups Decision

Support Systems (DSS), Human Centered Processes (HCP) and

Prometheus (Ethics), Vrije University of Brussels, Belgium,

April 2 - 5, 2002.

178


101. Sonntag, Z., Zălinescu, C. - Comparison of Existence

Results for Efficient Points. Journal of Optimization Theory and

Applications, Vol. 105, 2000, p. 161 - 188.

102. Sterna - Karwat, A. - On the Existence of Cone Maximal

Points in Real Topological Linear Spaces. Israel Journal of

Mathematics, Vol. 54(1), 1986, p. 33 - 41.

103. Stewart, D. J. – Uncertainties in MCDA. In: Multi Criteria

Decision Analysis (Ed. P. Greco). Springer-Verlag, 2004.

104. Taylor, A. D. – Mathematics and Politics. Strategy, Voting,

Power and Proof. Springer – Verlag New York, Inc., 1995.

105. Truong, X. D. H. - A Note on a Class of Cones Ensuring

the Existence of Efficient Points in Bounded Complete Sets.

Optimization, Vol.31, 1994, p.141 - 152.

106. Truong, X. D. H. - On the Existence of Efficient Points in

Locally Convex Spaces. Journal of Global Optimization, Vol. 4,

1994, p. 265-278.

107. Wiecek, M. W., Blouin, V. Y., Fadel, G. M., Engau, A.,

Hunt, B. J., Singh, V. – Multi-Scenario Multi-Objective

Optimization with Applications in Engineering Design.

MOPGP’06 Post-Conference, 2006.

108. www.wikipedia.org .

109.Yu, P. L. – Cone Convexity, Cone Extreme Points and

Nondominated Solutions in Decision Problems with

179

http://www.wikipedia.org/


Multiobjectives. Journal of Optimization Theory and

Applications, 14(3), 1974, p. 319 - 377.

110. Zhang Cong – Jun. – Generalized bi – quasi - variational

inequalities and generalized quasi - variational inequalities.

Acta Analysis Functionalis Applicata, vol.7, no.2, June, 2005,

p. 116-122 .

111. Zălinescu, C. – Convex Analysis in General Vector Spaces.

World Scientific Publishing House, Singapore, 200é

112. Zimmermann, H. – An Application - Oriented View of

Modeling Uncertainty. European Journal of Operation Research,

122, 2000, p. 190 - 198.

1.8. Alte aplicaţii

1.8.1. Asupra echilibrelor ecosistemelor

multidimensionale

Consideraţiile care urmează sunt selecţiuni din [2].

Să admitem că un ecosistem este alcătuit din ∗∈ Nn , 2n ≥

componente Xi ( n,1i = ). Dacă )x,x,t(f iji ( n,1j,i = ) marchează

rata de creştere a calităţii vieţii pentru Xi în raport cu Xj, atunci

urmând studiile conţinute în [2] şi [3], interacţiunile mutuale care

conduc la stadiile de echilibru dintre Xi şi Xj pot fi descrise cel

puţin aproximativ, dar cu erori acceptabile şi comparabile, în

180


sens pozitiv, cu realitatea, prin sisteme de ecuaţii diferenţiale

definite prin:

(*) n,1j,i),t(rx)x,x,t(fx ijiijii =−=

unde xi „reprezintă”, numeric vorbind, nivelul „calităţii” de

existenţă pentru Xi, rij(t) exprimă dependenţa temporară

ji XX ↔ , iar funcţia fi satisface condiţii adecvate ( n,1j,i = ),

precizate pentru situaţii particulare bidimensionale specifice din

[3], respectiv ipotezele modelelor economice unidimensionale

privind Teoria Economică şi Management-ul Resurselor indicate

parţial în [1] şi analizate în secţiunea 2 din [4].

Dacă n,1i = şi există *ix soluţie pentru (*) cu

proprietatea: i*i xx ≤ pentru toate posibilităţile xi şi [ ]i0 t,tt ∈ ,

atunci *ix este o soluţie veritabilă care asigură „supremaţia”

concurenţei individuale cel puţin în intervalul de timp [ ]i0 t,t .

Orice evoluţie fundamentată pe negocieri reciproce este

supusă „controlului” impus de sistemele

(Sij) n,1j,i,ji,)t(x)t(x

)t(x)t(x

j*j

i*i =≠

≤

≤

181


care identifică evoluţiile datorate înţelegerilor reciproce.

Proiecţiile în Optimizarea Vectorială în sens Pareto (finit

dimensională) prin Optimizarea tare (uzuală) respectiv prin

funcţiile spline din spaţiile H – local convexe fiind imediate sunt

evidente [2].


1.A.C. Capelo – Modelli Matematici in Biologia. Decibel

Editrice, Padova, 1989.

2.V. Postolică, A. Scarelli, L. Venzi – On the Equilibrium of

a Multidimensional Ecosystem. Nonlinear Analysis Forum

6 (2), 2001, p. 321-335.

3. A. Scarelli, L. Venzi – An Ecosystem and its Equilibrium

Points. Applying Multiple Criteria Aid for Decision to

Environmental Management (M. Paruccini, Ed.), 1994

ESCS, EEC, EAEC, Brussels and Luxembourg. Printed in

The Netherlands, p. 233-246.

4. J. Scheffran – Modeling Sustainable Use of Natural

Resources. Operations Research Proceedings 1999,

Inderfurth (G. Schwödiouer, W. Domschke, F. Juhnke, P.

Kleinschmidt and G. Wäscher, eds.), Springer-Verlag,

Berlin, 2000, p. 560-565.

1.8.2. Eliberarea mediatorului chimic în procesele

neuro-musculare : un exemplu inedit de

182


Bio-Eficienţă

Următoarele consideraţii sunt în acord cu [2] şi [4].

1.8.2.1. Date anatomo-fiziologice elementare

Unitatea morfo-funcţională a sistemului nervos o constituie

neuronul .Orice neuron este format din:

- corp ;

- prelungiri neuronale de tipul:

- prelungiri ale neuronului care « aduc influxul nervos denumite

dendrite ;

- prelungiri ale neuronului care duc influxul nervos către un alt

neuron sau către un efector numite axoni . În organismele vii,

transmiterea informaţiei, sub formă de impulsuri nervoase, se

face de la un neuron la altul sau de la un neuron la celule

efectoare. Zona de contiguitate dintre neuroni se numeşte

sinapsă, iar contactul funcţional dintre neuronii motori şi celulele

musculare este denumită joncţiune neuro-musculară. Orice

sinapsă este formată din:

- butonul terminal al axonului alcătuit din vezicule pline cu

mediator chimic;

- membrana presinaptică (acea porţiune din membrana

neuronală care face faţă structurii efectoare).

- spaţiul sinaptic (dintre cele două structuri).

183


- membrana postsinaptică care înveleşte structura efectoare

(celulă nervoasă, celulă musculară, etc.), cu diferenţieri

subcelulare specifice.

1.8.2.2. Mecanismul general al transmiterii influxului nervos

Influxul nervos se deplasează de la dendrite la axoni sub

forma unor unde de depolarizare ale membranei. Transmiterea

sinaptică în joncţiunea neuromusculară este procesul prin care

unda de depolarizare care soseşte din neuronii sistemului nervos

central, de-a lungul fibrelor nervoase, determină la nivelul

membranei fibrei musculare o nouă depolarizare ce declanşează

contracţia.

Existenţa spaţiului sinaptic împiedică propagarea directă a

undei de depolarizare de la nerv la muşchi. Datorită acestui fapt,

transmiterea este asigurată doar de mediatorul chimic din butonul

terminal care, în cazul joncţiunii neuromusculare, este

184


acetilcolina. Substanţa este stocată în interiorul butonului

terminal şi, odată eliberată, traversează spaţiul sinaptic spre

membrana postsinaptică. La acest nivel, substanţa se cuplează cu

structuri moleculare specifice, numite receptori, declanşând

apariţia unor modificări ale permeabilităţii ionice membranare a

căror consecinţă este depolarizarea membranei postsinaptice.

Procesul de eliberare al mediatorului este un proces cuantal.

Substanţa se eliberează în pachete de molecule variabil

congruente, care acţionează simultan la nivelul membranei

postsinaptice. În condiţii de repaus, există o eliberare spontană,

continuă şi lentă a cuantelor, care determină la nivelul

membranei postsinaptice depolarizări locale, de mică

amplitudine, incapabile să asigure generarea unor unde de

depolarizare propagate deja pentru declanşarea contracţiilor

musculare. Ori de câte ori fibra nervoasă primeşte un « pachet »

alcătuit din unde de depolarizare (influxul nervos), procesul de

eliberare al cuantelor se multiplică exponenţial. Atunci, se

« descarcă » mediatorul care, ajungând la nivelul postsinaptic,

declanşează depolarizări ample, capabile să inducă contracţia

musculară. Atât eliberarea spontană cât şi cea evocată se

realizează cu participarea unor mecanisme ionice complexe în

care rolul central este jucat de ionul de CA2+. Sinteza

mediatorului, constituirea cuantelor şi eliberarea mediatorului

185


sunt procese energo dependente. Butonul terminal conţine toate

elementele necesare producerii, stocării şi eliberării acestei

energii.

1.8.2.3. Investigaţia electro-fiziologică a eliberării

mediatorului şi înregistrarea datelor

Procesul de eliberare al mediatorului s-a urmărit prin

înregistrarea depolarizărilor spontane şi evocate la nivelul

membranei postsinaptice.

186


Pentru controlul condiţiilor experimentale s-a utilizat un

preparat neuromuscular izolat în vitro şi tratat cu o soluţie

fiziologică de compoziţie cunoscută. Cu ajutorul unor

microelectrozi de sticlă cu rezistenţa de 10 – 15 MOhmi plasaţi

la nivelul membranei postsinaptice, s-a urmărit activitatea

electrică declanşată de contactul cuantelor de mediator cu

aceasta. În acest scop s-a utilizat un sistem de culegere –

înregistrare alcătuit din: receptor – repetitor catodic,

amplificator, osciloscop, fotorecordină tip Tönnier.

În cazul eliberării spontane s-au înregistrat pe perioade

mari de timp potenţiale electrice de amplitudine redusă şi

constantă denumite convenţional potenţiale miniaturale (mepps).

Intervalele dintre depolarizări s-au măsurat vizual pe

înregistrările foto. În cazul eliberării evocate, la fiecare stimulare

electrică a nervului se înregistrează o depolarizare amplă,

denumită potenţial de placă motorie (epps).

1.8.2.4. Modelarea matematică a procesului cuantal187


În studiul procesului de eliberare la nivelul joncţiunii

neuro-musculare ne-am propus următoarele obiective:

a) studiul potenţialului depozitului cuantal;

b) modelarea matematică locală a întregului sistem

energetic neuro – muscular;

c) examinarea” intrărilor” respectiv a ” ieşirilor”, cu

concluzii adecvate ;

Eliberarea energiei se face în pachetele cuantale,

manifestându-se la ieşire sub forma unor impulsuri. Pachetele

cuantale sunt identice în ce priveşte cantitatea de energie, lucru

justificat şi de faptul că eliberarea are loc o dată cu atingerea

unui prag energetic. Înregistrările făcute privesc timpii dintre

două impulsuri consecutive (eliberării de pachete cuantale). Se

poate presupune că în fiecare moment în interiorul celului există

un singur pachet cuantal ce se pregăteşte pentru eliberare şi că

constituirea unui nou pachet cuantal începe din momentul

eliberării pachetului anterior şi culminează cu eliberarea sa. Aşa

stând lucrurile, putem considera timpii înregistraţi ca fiind timpii

de constituire a energiei în pachete cuantale.

188


- dacă ij este impulsul cu numărul j atunci tj va fi timpul scurs de

la apariţia impulsului ij-1 la cea a impulsului ij

Ne putem permite chiar să spunem că, de fapt, procesul de

eliberare demarează în momentul începerii constituirii pachetului

cuantal acest lucru permiţându-ne să afirmăm că eliberarea este

un proces continuu.

Privind celula ca un depozit de energie, un prim pas a fost

studiul potenţialului energetic al acestuia.

1.3.Potenţialul depozitului este caracterizat de frecvenţa

de emitere a impulsurilor, aceasta fiind dată de

formula

(1)tn=ν

unde n este numărul de emiteri până la momentul t, deci în

intervalul[t0,t] .

Modul de lucru:

Pentru 5 emiteri cu timpii: 17, 4, 14, 9, 13 rezultă că

;...353

144173;

212

4172;

171

321 =++

==+

== ννν .

Între două valori consecutive se procedează prin

interpolare.

Reprezentarea grafică arată că frecvenţa tinde să devină

constantă în timp, se uniformizează. Acest lucru ne spune că

189


procesul este întreţinut, adică, pe lângă procesul de eliberare mai

are loc şi un proces de refacere a potenţialului energetic, celula

tinzând la un echilibru.

b) Privit în ansamblu întregul proces poate fi gândit ca

un proces dinamic. Acest lucru nu intră în contradicţie cu faptul

că, pe porţiuni, avem de-a face cu sisteme statistice. Deci,

procesul poate fi gândit ca un sistem cu o intrare (refacerea

potenţialului) şi o ieşire (eliberarea pachetului cuantal).

Să notăm la fiecare moment t valorile următoarelor

funcţii:

N(t) - funcţia ce caracterizează refacerea potenţialului;

X(t) - funcţia ce caracterizează soluţia internă a celulei;

M(t) - funcţia ce caracterizează eliberarea cuantală.

Astfel spus, X(t) ne oferă energia existentă la momentul t

în interior, iar N(t) şi M(t) exprimă cantitatea de energie care la

momentul t este pe punctul de a intra, respectiv părăsi celula. (t0

= 0)

190


Pentru un interval de timp suficient de mic [t,t+dt] se

poate presupune că, atât intrarea cât şi ieşirea sunt proporţionale

cu timpul.

Deci, pentru intervalul [t,t+dt] avem:

N(t)·dt unităţi de energie intră în sistem şi

M(t)·dt unităţi de energie părăsesc sistemul.

Aşadar,

(2) X(t + dt) = X(t) + N(t)·dt – M(t)·dt,

X(t + dt) - X(t) = [N(t) – M(t)]·dt,

X(t dt) - X(t) N(t) M(t)dt

+ = − ,

deci

(3) )t(M)t(N)t(X −=

Aceasta este, în mare, ecuaţia ce caracterizează întregul

sistem.

Observăm că atât N(t) cât şi M(t) depind în mod necesar

de X(t) (precum şi de alţi factori: Ca, K, … ).

Putem presupune chiar că M(t) este o fracţiune din X(t),

adică

(4) M(t) = m(t)·X(t)

unde m(t) va fi numită rata eliberării.

191


Acest lucru este justificat şi nu constituie o restricţie, dacă

presupunem că acţiunea celorlalţi factori se răsfrânge asupra

ratei de eliberare. Analog, notând cu n(t) rata de refacere vom

avea:

(5) N(t) = n(t)·X(t)

Înlocuind (4) şi (5) în ecuaţia (3) obţinem:

(6) )t(X)]t(m)t(n[)t(X ⋅−= ,

de unde, rezolvând ecuaţia şi considerând X0 ca fiind cantitatea

de energie existentă în interior la momentul iniţial t0, avem:

(7) 0

[ ( ) ( )]

0( )

t

t

n s m s ds

X t X e−∫

= ⋅

Prin această ecuaţie, cunoscând evoluţia ratei de eliberare

m(t) şi a ratei de refacere n(t) se anticipează evoluţia

potenţialului energetic X(t).

Investigăm, mai întâi, procesul de eliberare propriu-zis.

d) Să notăm cu Q(t) cantitatea de energie eliberată în

intervalul de timp [t,t+dt] şi să studiem evoluţia funcţiei

Q=Q(t) în acest interval. Pornind de la t0 = 0, Q(t) estimează

cantitatea de energie eliberată până la momentul t prin

(8) Q(t+dt) = Q(t) + M(t)·dt (cu dt suficient de mic),

sau

(9) Q(t+dt) = Q(t) + m(t)·X(t)·dt, de unde

(10) )t(X)t(m)t(Q ⋅=

192


Rezolvând ecuaţia (10) se obţine:

(11) 0

0( ) ( ) ( ) ( )t

t

Q t Q t m s X s ds= + ⋅∫

care exprimă legătura dintre potenţialul interior şi cantitatea de

energie totală eliberată. Dar, Q(t) este direct măsurabilă deci, cu

ipotezele ratei de eliberare, se obţin informaţii directe asupra

potenţialului X şi de aici, prin intermediul ecuaţiei (6) (sau (7))

rezultă concluzii asupra ratei de refacere. Pentru a obţine

informaţii asupra ratei de eliberare s-a mai apelat la faptul că atât

Ca cât şi potenţialul K favorizează numai eliberarea de pachete

cuantale fără a afecta (cel puţin practic) în vreun fel refacerea.

Dar, unde, cât şi cum se acţionează? În acest scop am studiat trei

experimente asupra unei aceleeaşi celule, în condiţii aproape

identice, dar cu diferite concentraţii de calciu (0.6, 1.2 şi 1.8 în

cazul examinat). Pentru a obţine informaţii privind acţiunea

calciului asupra procesului de eliberare am apelat la procedee

statistice adecvate: medie, dispersie, repartiţie, etc. Media

valorilor măsurate (timpii) este invers proporţională cu frecvenţa

de eliberare.

Am constatat din studiul efectuat că, pentru concentraţiile

0.6 şi 1.2, frecvenţa este aceeaşi, iar pentru concentraţia 1.8

calciul a efectuat evident ieşirea, frecvenţa fiind mult mai mare.

193


De aici s-ar putea trage concluzia că, sub o anumită

limită, calciul nu are nici o acţiune, iar pentru valori peste limită

acţiunea este proporţională cu diferenţa la limită.

Ce se întâmplă cu calciul sub limita L?

O ipoteză ar fi existenţa unui depozit de Ca, acţiunea

asupra eliberării fiind dată numai de cantitatea ce nu încape în

depozit.

Un studiu şi un anumit număr de experienţe ne vor lămuri

asupra acestui fenomen. Mai departe, am reprezentat grafic

repartiţiile timpilor pentru toate cele trei experienţe. Am

constatat astfel că pentru toate repartiţia este de acelaşi tip

-evident cu alţi parametri, adică o repartiţie de tip exponenţial.

Deci, Ca nu afectează forma repartiţiei.

d) Să aflăm acum câteva informaţii asupra refacerii

potenţialului depozitului energetic. În acest scop, am fixat în

jurul valorii medii două praguri Ti şi Ts, respectiv un prag

inferior şi un prag superior.

(12) Ti ≤ Vm ≤ Ts,

Vm fiind valoarea medie a timpilor înregistraţi.

194


Am făcut observaţii asupra succesiunii de timpi inferiori:

(13) ti ≤ Ti,

timpi intermediari:

(14) Ti ≤ ti ≤ Ts

şi de timpi superiori:

(15) Ts ≤ ti.

Investigaţiile de până acum conduc la concluzia că funcţia de

refacere este aproximativ periodică, adică refacerea fiecărui

potenţial are loc cu intensităţi temporale, „aproape” maxime, la

intervale de timp „aproape” egale. Un studiu mai aprofundat ne

poate oferi informaţii precise asupra acestui fapt, cât şi privind

perioada corespunzătoare. Apreciem deci că un astfel de proces

decurge după următoarea reprezentare:

Să admitem că la un moment dat a avut loc o refacere.

Imediat eliberarea pachetelor cuantale se accelerează, frecvenţa

creşte. Acest fenomen nu este permanent ci, în timp, frecvenţa

195


începe să scadă până la un moment când este obligatorie o

refacere, îmbătrânirea celulei fiind lentă, dacă celula nu este

supusă unor agresiuni. O explicaţie importantă a procesului

cuantal de eliberare este şi permanenta tendinţă a organismelor

spre echilibrul energetic general, justificată şi de evoluţia

potenţialelor depozitelor energetice.

În final, se impun câteva observaţii utile. Orice sinapsă ca şi

fiecare joncţiune neuro-musculară conţine atât elemente de

natură chimică, cât şi de natură electrică, ce se îmbină într-o

perfectă funcţionare Divină, fără a fi cunoscute în totalitate până

acum. Mediatorul chimic asigură conducerea unidirecţională a

impulsurilor nervoase, fiind prezent numai în butonii sinaptici ai

fibrelor presinaptice. În timp ce axonii conduc impulsurile

nervoase în ambele sensuri, mediatorii chimici ordonează

funcţiile nervoase. Orice mediator este caracterizat, sintetic, prin:

prezenţa în zonele structurilor sinaptice, reproducerea cât mai

fidelă a acţiunilor stimulilor nervoşi naturali şi controlul

acţiunii sale. Realizarea de către o substanţă a funcţiei de

mediator chimic presupune următoarele procese succesive:

sinteză, depozitarea în cuante, trecerea în spaţiul sinaptic,

interacţiunea cu membrana postsinaptică şi inactivarea.

Cuantele se „nasc” în butonul terminal, traversează membrana

presinaptică, ajungând în spaţiul sinaptic, unde are loc „o

196


frânare” a vitezei lor datorată impactului cu lichidul extra-

celular care „umple” spaţiul sinaptic. Apoi, cuantele « se

sparg », producînd depolarizări care excită celula postsinaptică.

Menţionăm că impulsurile nervoase de pe fibra presinaptică nu

modifică conţinutul de mediator - fapt confirmat experimental -

ci cresc frecvenţa de spargere a « veziculelor » cu mediator ,

generând astfel depolarizări care depăşesc pragurile de excitare

ale membranelor postsinaptice. Modelul matematic propus

reprezintă o abordare originală, dar susceptibilă de modificări şi

completări potrivite, meritând, fără îndoială, aspre critici. Nu

avem pretenţia unei surprinderi exacte a fenomenului, fapt

motivat de altfel. Am dorit să prezentăm, pe baza unor informaţii

şi de natură experimentală, un control minim asupra acestui

proces atât de complex denumit transmiterea sinaptică şi

neuromusculară.

1.8.3. Propuneri de studiu pentru programele decizionale

multicriteriale

Toate consideraţiile care urmează sunt expuse în acord cu

[6].

Problemele uzuale decizionale multicriteriale sunt definite

de cupluri alcătuite dintr-o mulţime nevidă A = a1, a2, …

197


conţinând alternativele (proiectele) şi o mulţime

)Nm(m,1j:gG j∗∈== de criterii. În aceste condiţii,

performanţa oricărui proiect Aai ∈ prin G este mulţimea

)a(g),...,a(g),a(g imi2i1 , iar o alternativă Aas ∈ este

preferată faţă de o alta Aa ∈ dacă

m,1j),a(g)a(g jsj =∀≥ .

Notând prin kj ( m,1j = ) coeficientul de importanţă

acordat criteriului gj ( m,1j = ), este clar că orice punct de

maximum „tare” al funcţiei definite prin ∑==

m

1jjj gkF reprezintă

un proiect optimal.

O altă modalitate de investigare ştiinţifică constă în

transformarea programului iniţial într-o problemă de optimizare

de tip Pareto:

(P) MAXK (T)

unde

0k:RkRK mm ≥∈== + ,

At:)t(g),...,t(g),t(gT m21 ∈= ,

198


iar ( )TMAXt K0 ∈ înseamnă Tt0 ∈ şi ( ) 00 tKtT =+∩

respectiv, expresia echivalentă, ( ) ( ) 0TtK 0 =−∩− .

Urmând Teorema 2.1 din [6], dacă mulţimea

Tt,Ktt:Tt)K,T(S 11 ∈∀∈−∈=

a punctelor de maxim „tare” în raport cu conul K este nevidă,

atunci MAXK(T) = S(T,K). Prin urmare, nu există alte elemente

de maximum în sens Pareto (vectorial) în afara celor tari. În caz

contrar, selecţia soluţiilor ideale din mulţimea punctelor eficiente

în sens Pareto se poate efectua folosind ponderile de indiferenţă

(ignorare) respectiv de preferinţă, extinzând intervalele de

variaţie pentru performanţă astfel:

Varianta 1.

1.1.

=−→

=+→⇒>

∗

∗

);a(g)a(gk)a(g)a(g

);a(g)a(gk)a(g)a(g)a(g)a(g

jjjjj

sjsjjsjsjjsj

1.2.

=+→

=−→⇒<

∗

∗

);a(g)a(gk)a(g)a(g

);a(g)a(gk)a(g)a(g)a(g)a(g

jjjjj

sjsjjsjsjjsj

1.3.

∈==

=⇒=

∗

∗

.Aa,a,m,1j,)a(g)a(g

);a(g)a(g)a(g)a(g

sjj

sjsjjsj

Varianta 2.

199


Fie jq indicele de indiferenţă (ignorare) şi jp cel care

exprimă preferinţa fiecărui criteriu ( )m,1jg j = .

2.1. aaq)a(g)a(g sjjsj =⇒<− ;

2.2.

⋅−−→

⋅−+→⇒≤−

);a(g)qp(k)a(g)a(g

);a(g)qp(k)a(g)a(gp)a(g)a(g

jjjjjj

sjjjjsjsjjjsj

2.3.

∈=⋅−−→

⋅−+→⇒

⇒>−≥

.Aa,a,m,1j);a(g)pv()a(g)a(g

);a(g)pv()a(g)a(g

p)a(g)a(gv

sjjjjj

sjjjsjsj

jjsjj

Se reconsideră problema de optimizare vectorială în noul

context, selecţia „celei mai bune soluţii” operându-se în funcţie

de indicii de „vetto” m,1j,v j = şi folosind Teorema 2.2 din [6].

În concluzie, eficienţa de tip Pareto poate fi aplicată

pentru analiza şi rezolvarea programelor decizionale

multicriteriale, ţinând seama de specificul acestor probleme şi

variantele precizate. De asemenea, funcţiile spline din spaţiile

H – local convexe introduse în [5], dezvoltate în [3] şi exploatate

deja în studiul destinat reţelelor de firme şi societăţi sunt

deosebit de utile pentru identificarea soluţiilor interpolatorii

optimale privind procesele decizionale pe termen lung, când se

cunosc deciziile dintr-un interval de timp şi se doreşte estimarea

200


deciziilor ulterioare. În afara acestei abordări originale, detalii

pertinente sunt expuse în [1], [7] şi alte lucrări conexe


1. F. Aleskerov, B. Monjardet – Utility, Maximization, Choice

and Preference. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York,

2002.

2. D.V.Filimon, V. Postolică – Incursiune în Acupunctură.

Numărul de Aur în Structura şi Energetica Sistemelor Vii . Ed.

Polirom, Iaşi, 2000.

3. G. Isac, V. Postolică – The Best Approximation and

Optimization in Locally Convex Spaces. Verlag Peter Lang Grub

H, Frankfurt and Main, Germany, 1993.

4. V. Postolică, Şt. Săndel - Studiul Eliberării Mediatorului

Chimic în Procesele Neuro-Musculare prin Modelare

Matematică. Colocviul Naţional de Informatică, Univ. "Al. I.

Cuza" Iaşi, 1979.

5. V. Postolică– Spline Functions in H – Locally Convex Spaces.

An.Şt.Univ.”Al. I. Cuza”, Iaşi, tomul XXVII, s. I-a, f.2, 1981, p.

333-338.

6.V. Postolică, A. Scarelli– Some Connections between Best

Approximation, Vectorial Optimization and Multicriteria

Analysis. Nonlinear Analysis Forum, vol. 5, July 2000,

201


p. 111-123.

7. C. Raţiu-Suciu – Modelarea şi simularea Proceselor

Economice. Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1995.

Capitolul 2

Convexitate uzuală

202


2.1. Generalităţi

Precizăm că sursele bibliografice explorate spre a fi utilizate în

următoarele două capitole sunt parţial menţionate în prima

bibliografie selectivă aferentă capitolului precedent, iar tratarea

este originală. Fie X ≠ ∅ şi :f X → ¡ . Mulţimea

( ) : ( ) dom f x X f x= ∈ < + ∞ este domeniul efectiv, iar

epigraful ( ) ( , ) : ( ) epi f x t X f x t= ∈ × ≤¡ . Dacă X este o

mulţime convexă , adică , , , , 0x y X x y Xα β α β+ ∈ ∀ ∈ ∀ ≥ ,

cu 1α β+ = , atunci funcţia f este convexă când

( ) ( ) ( ), , , , 0f x y f x f y x y Xα β α β α β+ ≤ + ∀ ∈ ≥ cu

1α β+ = , iar membrul drept are sens. Pentru funcţiile reale de

argument real,geometric vorbind, aceasta înseamnă că pantele

secantelor la reprezentarea graficului funcţiei cresc în următorul

sens:

3 1 3 22 11 2 3

2 1 3 1 3 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , , , ( ).f x f x f x f xf x f x x x x dom fx x x x x x

− −− ≤ ≤ ∀ ∈− − −

Dacă inegalitatea este strictă, atunci funcţia se numeşte strict

convexă. O funcţie :g X → ¡ este concavă (strict concavă)

dacă f = - g este convexă (strict convexă). Orice funcţie care nu

ia valoarea − ∞ şi nu este identică cu + ∞ se numeşte proprie.

Evident că o funcţie :f X → ¡ este convexă numai dacă

203


epigraful este o mulţime convexă în X × ¡ . Într-un spaţiu liniar

oarecare X, o mulţime nevidă T este convexă numai dacă funcţia

indicatoare ataşată : ( , ]TI X → − ∞ + ∞ dată

prin 0,

( ), \T

x TI x

x X T ∈

= + ∞ ∈ este convexă.

Proprietăţile specifice funcţiilor convexe (concave) şi

generalizările ulterioare au recomandat această clasă de funcţii

întâi în studiul şi soluţionarea unor probleme de aproximare

interpolatorie şi optimizare. Pentru X un spaţiu topologic (liniar

topologic oricând contextul de lucru impune această

particularizare) arbitrar, o funcţie :f X → ¡ se numeşte

inferior semicontinuă într-un punct 0x X∈ dacă

0 0

0( )

( ) lim inf ( ) ( )sup infx x x Vv V x

f x f x f x→ ∈∈

= = ,

respectiv superior semicontinuă în 0x când

0 00

( )( ) lim sup ( ) ( )supinf

x x v V x x Vf x f x f x

→ ∈ ∈= =

unde 0( )V x este un sistem de vecinătăţi pentru 0x .

Urmează că o funcţie f este superior semicontinuă numai dacă

– f este inferior semicontinuă. De exemplu, dacă X este un

spaţiu local convex separat Hausdorff oarecare, atunci pentru o

funcţie :g X R→ următoarele condiţii sunt echivalente:

204


(i) g convexă şi inferior semicontinuă ;

(ii) g convexă slab inferior semicontinuă ;

(iii) ( )epi g mulţime convexă închisă;

(iv) ( )epi g mulţime convexă slab închisă.

În particular, pentru orice funcţie : nf R R→ ( *n N∈ )

următoarele proprietăţi sunt echivalente:

(i) f inferior semicontinuă pe nR ;

(ii) fiecare mulţime : ( ) ( )nx R f x Rα α∈ ≤ ∈ este închisă;

(iii) ( )epi f este o mulţime închisă în 1nR + .

Observaţia 1. Funcţiile semicontinue au fost introduse de

René Baire (1874-1932) la începutul secolului XX, ca o

importantă generalizare a funcţiilor continue. Astfel, înzestrând

¡ cu topologii adecvate, inferioara (superioara)

semicontinuitate echivalează cu continuitatea. De exemplu,

familia tuturor mulţimilor de forma ( , ]( )a a+ ∞ ∈ ¡ completată

cu ∅ şi ¡ reprezintă topologia inferioară iτ pe ¡ şi o funcţie

:f X → ¡ este inferior semicontinuă în 0x X∈ numai când

: ( , )if X τ→ ¡ este continuă în 0x . În mod analog,

semicontinuitatea superioară este echivalentă cu continuitatea

relativă la topologia superioară pe ¡ . Totodată, continuitatea

oricărei funcţii definite pe un spaţiu topologic arbitrar şi valori în

205


R (considerat cu topologia uzuală), într-un punct oarecare al

spaţiului, este echivalentă cu simultana semicontinuitate

(inferioară şi superioară) a funcţiei în acel punct. Cele două

tipuri de semicontinuitate sunt importante şi în problemele de

optim uzuale, cel puţin datorită următorului binecunoscut

rezultat de tip Weierstrass.

Teorema 1. Orice funcţie inferior (superior) semicontinuă pe

un spaţiu topologic compact arbitrar îşi atinge efectiv marginea

inferioară (superioară).

Teorema 2. Pentru orice funcţie :f X → ¡ definită pe un

spaţiu liniar topologic oarecare, următoarele aserţiuni sunt

echivalente :

(i) f este inferior semicontinuă pe X;

(ii) mulţimile de nivel : ( ) ,x X f x α α∈ ≤ ∀ ∈ ¡ sunt

inchise în X ;

(iii) ( ) ( , ) : ( ) epi f x t X f x t= ∈ × ≤¡ este inchis în X × ¡ .

Demonstraţie .1 : ( ) ([ , ])x X f x fα α α−∀ ∈ ⇒ ∈ ≤ = − ∞¡ cu [ , ]α− ∞

mulţime închisă în ( , )iτ¡ . Ţinând seama de echivalenţa dintre

inferioara semicontinuitate şi continuitatea în raport cu topologia

iτ şi de faptul că o funcţie între două spaţii topologice este

206


continuă numai dacă contraimaginea oricărei mulţimi închise

(deschise) este o mulţime închisă (deschisă) rezultă echivalenţa

( ) ( )i ii⇔ . Considerând acum aplicaţia : [ , ]F X × → − ∞ + ∞¡

definită prin ( , ) ( ) , ,F x f x x Xα α α= − ∀ ∈ ∈ ¡ se observă că

inferioara semicontinuitate pe X a funcţiei f este echivalentă cu

inferioara semicontinuitate a aplicaţiei F pe X × ¡ . Deoarece

epi(f) este o mulţime de nivel pentru F, aplicând aceleeaşi funcţii

echivalenţa dintre (i) şi (ii) se obţine ( ) ( )i iii⇔ .

2.2. Optimizare prin convexitate

Definiţia 1. (i) 0x X∈ este un punct de minim pentru

:f X → ¡ dacă 0( )f x < + ∞ şi 0( ) ( ),f x f x x X≥ ∀ ∈ ;

(ii) 0x este punct de maxim pentru o funcţie :f X → ¡ dacă

0( )f x < + ∞ şi 0( ) ( ),f x f x x X≤ ∀ ∈ .Dacă

0 0( ) ( ), \ f x f x x X x> ∀ ∈ (respectiv

0 0( ) ( ), \ f x f x x X x< ∀ ∈ ), atunci 0x se numeşte punct de

minim strict (punct de maxim strict). Înlocuind X cu V X∩

(respectiv 0( \ )V X x∩ ), oricând există V vecinătate pentru 0x

satisfăcând (i), (ii) sau completările efectuate, 0x reprezintă un

punct de extrem local (strict) pentru aplicaţia f pe mulţimea de

207


referinţă. Evident că în orice punct de minim (maxim) cel puţin

local funcţia f este inferior (superior) semicontinuă.

Orice program de optimizare liber pe spaţiu sau însoţit,

eventual, de restricţiile corespunzătoare, care impun identificarea

soluţiilor într-o mulţime nevidă 1X X⊆ , este reductibil la o

problemă de minimizare sau maximizare de tipul

(P) 1 1

( ) ( ( ))supinfx X x X

f x f x∈ ∈

şi se compune din :

(P1) determinarea sau măcar aproximarea elementelor

1 1

( ) ( ( ))supinfx X x X

f x f x∈ ∈

şi, dacă e posibil, stabilirea

condiţiilor când aceste extreme sunt efectiv atinse ;

(P2) demonstrarea existenţei punctelor 0 1x X∈ veritabile, de

minim (maxim) ;

(P3) precizarea tuturor acestor puncte ;

(P4) proprietăţi de densitate care să permită identificarea unor

algoritmi privind cel puţin aproximarea punctelor 0x ce

soluţionează (P2) şi concretizarea mulţimilor de limite

prin

convergenţă ale acestor puncte din (P3) ;

(P5) precizarea vitezelor de convergenţă ale algoritmilor

aferenţi prin specificarea benzilor de eroare;

(P6) evaluarea eficienţei prin estimarea impactului în

B

B

208


cercetarea ştiinţifică fundamentală şi aplicabilitatea

corespunzătoare.

Imaginile prin funcţiile obiectiv f ale oricăror soluţii efective

sunt interpretate ca valori optimale asociate problemelor de tip

(P) care le produc. Următoarele inegalităţi elementare sunt

implicate în probleme curente de optimizare.

1.Inegalitatea mediilor

* , 2, 0, 1,in N n a i n∀ ∈ ≥ ∀ ≥ = ⇒ 1

1

1

1

n

i ni n i n

i

i i

ana

na

=

=

=

≥ ≥∑

∏∑

,

cu egalitate numai dacă 1 2 ... .na a a= = = O justificare imediată

este dată de comportamentul funcţiei 1: , ( ) ; '( ) 0 1xf R R f x e x f x x−→ = − = ⇔ = unicul punct de

minim absolut al funcţiei f pe R : ( ) (1),f x f x R≥ ∀ ∈ cu egalitate

numai dacă 1x = . Considerând succesiv /ix a S= unde

1

( ) /n

ii

S a n=

= ∑ şi multiplicând inegalităţile obţinute rezultă prima

inegalitate anunţată, cu precizarea clară când se transformă în

egalitate. A doua componentă reiese din prima efectuând

B

B

209


schimbările 1/ , 1, .i ia a i n→ ∀ = Aşadar, următoarele probleme de

optimizare, cu restricţii, au soluţiile unice indicate:

(P1)

1 1

min : , 2, 0, 1, ,n n

ni i i

i ia n N n a i n a p n p

= =

∈ ≥ ≥ ∀ = = =

∑ ∏ ;

(P2)

1 1

max : , 2, 0, 1, , ( )n n

ni i i

i i

sa n N n a i n a sn= =

∈ ≥ ≥ ∀ = = =

∏ ∑ ;

(P3)

1 1

1min : , 2, 0, 1, , ( )n n

ni i

i i i

na n N n a i n ta t= =

∈ ≥ > ∀ = = =

∏ ∑ ;

(P4)

1 1

1min : , 2, 0, 1, ,n n

i i ni ii

nn N n a i n a va v= =

∈ ≥ > ∀ = = =

∑ ∏ .

2. Inegalitatea lui Young

cu egalitate numai dacă

Într-adevăr, dacă se examinează reprezentarea indicată a

graficului funcţiei

B

B

210


atunci, 1qx y −= , aria dreptunghiului obţinut este ab , aria

(I)= /pa p , iar aria (II)= /qb q . Egalitatea are loc numai

când aria (III)=0, adica p qa b= .

3. Inegalitatea lui Hölder

1, 1,1/ 1 / 1 p qp q p q fg f g∀ > + = ⇒ ≤

unde

1/( ( ) ) , ( ) : / ( ) , 1.s sp s

sR R

h h x dx h L R R R x dx R sϕ ϕ +

= ∀ ∈ = → ∃ ∈ ∀ >

∫ ∫

cu egalitate numai dacă există 0α > astfel încât p qf gα= .

B

B

Ia

b

II III

0

y

x

211


Demonstraţie. Relaţie evidentă dacă f = 0 sau g = 0. Pentru

, 0p q

f g ≠ , inegalitatea precedentă justifică transformarea în

egalitate şi conduce la

( ) ( ) ( ) ( )1/ 1/

p q

p qp q p q

f x g x f x g xp q

f g f g≤ +

care antrenează

( ) ( )1/ 1/ 1

R p q

f x g xdx p q

f g≤ + =∫ .

Cazul particular p = q = 2 reprezintă inegalitatea stabilită de

Cauchy şi Schwartz:

21 2 2 , , ( )fg f g f g L R≤ ∀ ∈ .

4. Inegalitatea lui Minkowski

1, , ( )pp p pp f g L R f g f g∀ ≥ ∀ ∈ ⇒ + ≤ + ,

care devine egalitate numai dacă există 0β > cu p qf gβ= .

Demonstratie. Dacă p = 1, concluzia este imediată. Pentru

p>1, şi, urmând inegalitatea lui Hölder, se obţine :

212


1 1

1 1/

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

p p p

R R Rp

p

p pR

f x g x f x f x g x dx g x f x g x dx

f g f x g x dx

− −

−

+ ≤ + + + ≤

≤ + +

∫ ∫ ∫

∫

Observaţia 2. Este clar că inegalităţile anterioare se menţin şi

dacă funcţiile reprezintă şiruri cu cel mult o mulţime finită de

termeni nenuli.Consideraţiile precedente rămân valabile prin

înlocuirea mulţimii numerelor reale cu orice interval nebanal din

R şi orice extensie adecvată.

5. Inegalităţile integrale ale lui Cebâşev

Fie a,b∈R+, a<b şi f,g:[a,b]→R două funcţii. Atunci:

(i) ∫⋅∫≥∫ ⋅− ba

ba

ba dt)t(gdt)t(fdt)t(g)t(f)ab( dacă f şi g sunt

ambele crescătoare (descrescătoare);

(ii) ∫⋅∫≤∫− ba

ba

ba dt)t(gdt)t(fdt)t(g)t(f)ab( , dacă una este

crescătoare şi cealaltă descrescătoare.

(i) Pentru demonstraţie se observă că

[f(s)-f(t)][g(s)-g(t)] ≥0, ∀s,t∈[a,b] ⇒

0≤ [ ][ ]( )∫ ∫ −−ba

ba dsdt)t(g)s(g)t(f)s(f ⇒

213


0≤(b-a) ∫⋅∫−∫ ba

ba

ba ds)s(gds)s(f2ds)s(g)s(f +(b-a) ∫ ba dt)t(g)t(f .

(ii) Se justifică în aceeaşi manieră.

Deoarece funcţiile convexe au un rol important în programele

de optimizare, am deschis acest capitol cu aceste funcţii, urmând

să precizăm proprietăţi pe care le considerăm semnificative.

Teorema 3. O funcţie convexă inferior continuă pe un spaţiu

Banach reflexiv îşi atinge marginea inferioară pe orice mulţime

nevidă, convexă, mărginită şi închisă.

Teorema 4. O funcţie convexă proprie definită pe un spaţiu

liniar topologic real X oarecare este continuă pe interiorul

domeniului efectiv numai dacă este mărginită superior pe măcar

o vecinătate a unui punct interior domeniului efectiv.

Demonstraţie. Necesitatea condiţiei este evidentă. Deoarece X

este un spaţiu liniar, continuitatea într-un punct 0x X∈ este

echivalentă cu continuitatea în origine a aplicaţiei

0 0( ) ( )x f x x f x→ + − . Deci, se poate presupune că punctul

anunţat este originea spaţiului şi f(0) = 0. Fie V o vecinătate

echilibrată a originii ( ,V Vλ λ⊆ ∀ ∈ ¡ cu 1λ ≤ ) şi

214


( ) , .f x x Vα≤ ∀ ∈ Atunci

( ) ( (1 )0) ( ) , [0,1],x xf x f t t tf t t x tVt t

α= + − ≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ .

Totodată,

10 (0) ( ) [ ( ) ( )]2 2 2x xf f f x f x= = − ≤ + − antrenează

( ) ( ) , , ( ) ,f x f x t x tV f x t x tVα α− ≤ − ≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ , adică f

este continuă în origine. Dacă x este un punct oarecare interior

domeniului efectiv, atunci există t > 1 cu 0 ( )x tx dom f= ∈ .

Pentru 1( ) (1 )V x x Vt

= + − şi 1(1 ) ( )u x z V xt

= + − ∈ se obţine

0 0 01 1 1 1 1 1( ) [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 )f u f x z f x f z f xt t t t t t

α= + − ≤ + − ≤ + −

adică f este majorată pe V(x) şi se aplică prima parte a

demonstraţiei.

Corolarul 4.1. Orice funcţie convexă, superior semicontinuă

într-un punct arbitrar interior domeniului efectiv este continuă

pe interiorul domeniului efectiv.

Corolarul 4.2. Orice funcţie convexă pe un spaţiu liniar

topologic, separat Hausdorff finit dimensional este continuă pe

interiorul domeniului efectiv.

215


Definiţia 2. Pentru orice spaţiu liniar topologic X cu dualul

corespunzător *X subdiferenţiala unei funcţii convexe proprii,

arbitrare : [ , ]Xϕ → − ∞ + ∞ este operatorul multivoc* * * *( , ) ; ( ) ( ) ( ) ( ), x x X X x y x x x y y Xϕ ϕ ϕ∂ = ∈ × − ≤ − ∀ ∈ ,

iar mulţimea subgradienţilor funcţiei ϕ într-un punct oarecare

x X∈ este * * * *( ) : ( ) ( ) ( ) ( ), x x X x y x x x y y Xϕ ϕ ϕ∂ = ∈ − ≤ − ∀ ∈ . În

consecinţă, ϕ este subdiferenţiabilă în x X∈ numai dacă

( )xϕ∂ ≠ ∅ .

Dacă ϕ este inferior semicontinuă pe X, atunci ( )xϕ∂ este o

mulţime convexă şi închisă în *X , x X∀ ∈ .

Teorema 5 .

(i) 0x X∈ punct de minim pentru ϕ ⇔ 00 ( )xϕ∈ ∂ ;

(ii) o funcţie convexă, inferior semicontinuă are măcar un

punct de minim pe X numai dacă conjugata * *: [ , ]Xϕ → − ∞ + ∞

dată prin * * * * * *( ) [ ( ) ( )] inf [ ( ) ( )],sup

x Xx Xx x x x x x x x Xϕ ϕ ϕ

∈∈= − = − − ∀ ∈

este subdiferenţiabilă în origine.

Mai mult, următoarele condiţii sunt echivalente :

(i) * ( )x xϕ∈ ∂ ;

(ii) * * *( ) ( ) ( )x x x xϕ ϕ+ ≤ ;

216


(iii) * * *( ) ( ) ( )x x x xϕ ϕ+ = .

Pentru ϕ şi inferior semicontinuă, fiecare din condiţiile

precedente este echivalentă cu (iv) * *( )x xϕ∈ ∂ . Deci, dacă

:f X R→ este o funcţie convexă, definită pe un spaţiu local

convex arbitrar, separat Hausdorff, atunci **0 0( ) ( )f x f x= în

orice punct de inferioară semicontinuitate 0 ( )x dom f∈ , unde ** * *( )f f= . Aşadar,

* ** *

* * * * * *( ) sup[ ( ) ( )] inf [ ( ) ( )]x Xx X

h x x x h x h x x x∈∈

= − = − − , pentru orice

funcţie convexă şi inferior semicontinuă : nh R R→ şi nx R∈ .

Teorema 6 (Rockafellar). Dacă :f T R→ este o funcţie

convexă proprie arbitrară definită pe o mulţime nevidă şi

convexă dintr-un spaţiu local convex separat Hausdorff

oarecare X , cu dualul *X , astfel încât ( ) int( )dom f T∩ ≠ ∅ sau

f are măcar un punct de continuitate în ( ) int( )dom f T∩ , atunci

0t T∈ este soluţie a problemei de optimizare

( )P min ( ) :f t t T∈

numai dacă 0 0( ) ( , )f t K T t∂ ∩ ≠ ∅ , unde 0( , )K T t este dualul

conului închis 0( )cone T t− , fiind definit prin

* * *0 0( , ) : ( ) 0, ( )K T t x X x x x cone T t= ∈ ≥ ∀ ∈ − .

217


Demonstraţie. 0t T∈ este soluţie pentru ( )P numai dacă

minimizează aplicaţia Tf I+ , deci numai atunci când

00 ( )( )Tf I t∈ ∂ + . Dar, în condiţiile indicate,

0( )( ) ( ) ( ) ( ) ( , ), ( )T Tf I t f t I t f t K T t t dom f T∂ + = ∂ + ∂ = ∂ − ∀ ∈ ∩ .

Evident că mulţimea soluţiilor problemei ( )P conţine cel mult

un element dacă f este strict convexă.

Corolarul 6.1. În condiţiile teoremei precedente, dacă

:f T R→ este o funcţie convexă, proprie, inferior

semicontinuă, atunci:

(i) *inf( ) (0)f f= − ;

(ii) f îşi atinge infimumul numai dacă *f este subdiferenţiabilă

în origine, iar mulţimea punctelor de minim este *(0)f∂ , convexă

şi închisă;

(iii) mulţimea punctelor de minim pentru f este nevidă şi

mărginită numai dacă *0 int[ ( )]dom f∈ ;

(iv) pentru nT R∅ ≠ ⊆ ( *n N∈ ), mulţimea punctelor de minim

constă dintr-un unic element reprezentat de gradientul în origine

al conjugatei *f numai dacă aceasta este diferenţiabilă în 0.

Un alt caz particular important şi în aplicaţiile cu spectru

economic este următorul : fie nT R∅ ≠ ⊆ o mulţime convexă şi

programul

218


1( )P 1min ( ) :f t t T∈

unde 1 : ( ) 0, 1, , ( ) 0, 1,i jT t T f t i p f t j p q= ∈ ≤ ∀ = = ∀ = +

(mulţimea soluţiilor posibile),

*, , , , : ( 1, )ip q N p q f f T R i p∈ < → = funcţii convexe, iar

: ( 1,jf T R j p q→ = + ) aplicaţii afine, deci de tipul

( ) , , , 1,jf t t t T j p qα β= ⟨ ⟩ + ∀ ∈ ∀ = + , cu nRα ∈ , Rβ ∈ arbitrari şi

.,⟨ ⟩ produsul scalar uzual din spaţiul Euclidian nR .Orice element

1 2( , , ..., ) qq Rχ χ χ ∈ pentru care 0, 1,i i pχ ≥ ∀ = , iar infimumul

funcţiei convexe proprii 1

q

i ii

g f fχ=

= + ∑ este real şi coincide cu

min ( ) :f t t T∈ se numeşte vector(de tip)

Kuhn-Tucker. În limbaj economic, coeficienţii ( 1, )i i qχ = sunt

interpretaţi ca preţuri de echilibru, iar ( )f t costul soluţiei

posibile t .

Teorema 7. Dacă 1 2( , ,..., ) qq Rλ λ λ ∈ este un vector

Kuhn-Tucker al problemei

1( )P , 1 1, : 0iI i p λ= = = , 2 11,2,..., \I q I= ,

2 ; ( ) ( ), T t T g t g t t T= ∈ ≤ ∀ ∈ , atunci mulţimea tuturor

219


soluţiilor veritabile (optimale) pentru 1( )P este

3 2 1 2 : ( ) 0, , ( ) 0, j I i jT t T f t i I f t= ∈ ≤ ∀ ∈ = ∀ ∈% % % .

Demonstraţie. ( ) 0, 1, , i if t i q t Tλ ≤ ∀ = ∀ ∈ soluţie

posibilă pentru 1( )P , deci ( ) ( )g t f t≤ cu egalitate numai dacă

t este soluţie posibilă şi ( ) 0, 1,i if t i qλ = ∀ = .

Corolarul 7.1. Dacă fiecare funcţie ( 1, )if i p= este şi

inferior semicontinuă, iar t% este un punct de minim unic pentru

g, atunci t% este soluţia optimală unică a programului 1( )P .

Observaţia 2. Sunt situaţii când nu există vectori de tip

Kuhn-Tucker. Astfel, pentru

2 21 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2, ( , ) 3 , ( , ) , ( , ) 7T R f x x x f x x x f x x x x= = = = −

programul corespunzător are originea ca o unică soluţie posibilă.

Dacă ar exista un vector Kuhn-Tucker 1 2( , )λ λ , atunci

1 2, 0λ λ ≥ şi 2 21 1 2 2 2 1 1 20 3 ( 7 ) , ( )x x x x x Rλ λ λ≤ + − + ∀ ∈ , o

contradicţie.

Observaţia 3. Programele de tipul 1( )P pot fi abordate şi

folosind tehnica multiplicatorilor lui Lagrange, care oferă

totodată caracterizări pentru vectorii Kuhn-Tucker. Astfel,

Lagrangianul (funcţia lui Lagrange) ataşat (ataşată) programului

1( )P este aplicaţia : q nL R R× dată prin

220


0( ) , ( ) , , ;( , ) , , ;

, \n

f t f t S t TL t S t T

t R T

α αα α

+ < > ∈ ∈= − ∞ ∉ ∈ + ∞ ∈

unde

1 2 0 1 2 ( , ,..., ) : 0, 1, , ( , ,..., )qq i qS R i p f f f fα α α α α= = ∈ ≥ ∀ = =

iar ,< ⋅ ⋅ > seminifică produsul scalar uzual din qR . Orice cuplu

( , )t S Tα ∈ × cu proprietatea

( , ) ( , ) ( , ), ( , )L t L t L t t S Tα α α α≤ ≤ ∀ ∈ × se numeşte

punct şa pentru L.

Observaţia 4.

1 21

( , ) inf ( ) : ( , ,..., ) q

i i q ti

L t f t Sα α β β β β β=

= + = ∈∑ unde

: ( ), 1, , ( ), 1, .qt i i j jS R f t i p f t j p qβ β β= ∈ ≥ ∀ = = ∀ = +

În limbajul economiilor de piaţă, ( , )L tα reprezintă costul

minim pentru a-l obţine pe t când din variaţiile de preţ se alege

α . Următoarea teoremă surprinde o conexiune imediată dintre

punctele şa, vectorii Kuhn-Tucker şi soluţiile optimale ale

programului 1( )P

221


Teorema 8. 1 2( ( , , ..., ), )q t S Tα α α α= ∈ × punct şa pentru L

numai dacă α este vector Kuhn-Tucker şi t soluţie optimală a

programului 1( )P , condiţii îndeplinite numai atunci când

(i) 0, ( ) 0, ( ) 0, 1,i i i if t f t i pα α≥ ≤ = ∀ = ;

(ii) ( ) 0, 1,jf t j p q= ∀ = + ;

(iii)1

0 ( ) ( )q

i ii

f t f tα=

∈ ∂ + ∂∑ .

Demonstraţie. ( , )t S Tα ∈ × punct şa pentru L numai dacă t

este soluţie posibilă a programului 1( )P şi

inf ( ) : ( ) ( )g t t T g t f t∈ = = , adică α vector Kuhn-Tucker

şi t soluţie optimală. Totodată,

1( ) inf ( ) : 0 ( ) ( ) ( ).

n

i ii

g t g t t T g t f t f tα=

= ∈ ⇔ ∈ ∂ = ∂ + ∂∑

222


223

eficienta-cap1si2

Documents

Transcript of eficienta-cap1si2