ECUAECUAŢŢIIII

În practică întâlnim deseori situaţii în care o valoare necunoscută a unei mărimi trebuie determinată, în anumite condiţii. Spre exemplu: la fizică întâlnim probleme în care se cere să determinăm o anumită forţă, variaţia energiei cinetice etc; la chimie trebuie

determinată concentraţia unei soluţii când se cunosc masa de substanţă dizolvată şi masa soluţiei. În aceste condiţii folosim pentru a aflavaloarea cerută ecuaţii.

A A rezolvarezolva o o ecuaecuaţţieie îînseamnănseamnă a a găsigăsi toatetoate solusoluţţiileiile eiei. A . A verificaverifica dacădacă un un anumitanumit numărnumăr esteeste solusoluţţieie a a uneiunei ecuaecuaţţiiii cu o cu o necunoscutănecunoscută îînseamnănseamnă a a îînlocuinlocui îînn ecuaecuaţţiaia datădată variabilavariabila cu cu numărulnumărul datdat; ; dacădacă se se obobţţineine un un enunenunţţ adevăratadevărat, , concluziaconcluzia esteeste căcă numărulnumărul esteeste solusoluţţieie a a ecuaecuaţţieiiei, , iariar dacădacăenunenunţţulul obobţţinutinut esteeste falsfals, , concluziaconcluzia esteeste căcă numărulnumărul datdat nunu esteeste solusoluţţieie a a ecuaecuaţţieiiei..

DefiniDefiniţţieie: :

Un Un enunenunţţ matematicmatematic cu cu unauna sausau maimai multemulte variabilevariabile şşii care care conconţţineine o o egalitateegalitate şşii numainumai unauna se se numenumeşştete ecuaecuaţţieie..

Variabilele se mai numesc şi necunoscutenecunoscute. . De fiecare dată se precizează mulţimea în care variabilele iau valori.Despre o valoare a variabilei pentru care egalitateaegalitatea esteeste adevăratăadevărată spunem că verificăverifică ecuaecuaţţiaia..

DefiniDefiniţţieie: : OriceOrice valoarevaloare a a variabileivariabilei (din (din mulmulţţimeaimea datădată)) care care verificăverifică ecuaecuaţţiaia se se numenumeşştete solusoluţţieie sausau rădăcinărădăcină a a ecuaecuaţţieiiei date.date.

ExempluExemplu::Enunţul „ 2x + 3 = -7 “ este adevărat pentru x = -5. Ecuaţia „ 2x + 3 = -7, " are soluţia x = -5; ecuaţia „2x + 3 = -7, " nu are soluţie.

ZxNx

ExempluExemplu:: Fie ecuaţia 6(4x6(4x-- 3) = 9(x+ 4) + 6.3) = 9(x+ 4) + 6.Vrem să verificăm dacă 4 este soluţie a ecuaţiei date. Pentru aceasta înlocuim în cei doi membri ai ecuaţiei pe x cu 4:6 (4·4-3) = 9(4+4)+ 6, adică 6 • (16-3) = 9 • 8 + 6 sau 6·13 = 72 + 6Rezultă 78 = 78 (egalitate adevărată) Concluzie: 4 este soluţie a ecuaţiei date.

DefiniDefiniţţieie: : DouăDouă ecuaecuaţţiiii se se numescnumesc echivalenteechivalente dacădacă au au aceeaaceeaşşii mulmulţţimeime de de solusoluţţiiii şşii variabilelevariabilele iauiau valorivalori îînn aceeaaceeaşşii mulmulţţimeime..

1. Fiind dată o ecuaţie, trecând un termen dintr-un membru în altul cu semnul schimbat, se obţine o ecuaţie echivalentă cu cea dată.2. Fiind dată o ecuaţie, prin înmulţirea sau împărţirea ambilor membri cu un număr diferit de zero se obţine o ecuaţie echivalentă cu cea dată.

Se cunosc din clasele anterioare câteva proprietăţi care ne sunt utile la rezolvarea ecuaţiilor:

EcuaEcuaţţiiii de forma:de forma: ax ax + + bb = 0= 0

DefiniDefiniţţieie: : O O ecuaecuaţţieie de de tipultipul ax ax + + b = b = 00, , undeunde , , se se numenumeşştete ecuaecuaţţieie liniarăliniară cu o cu o necunoscutănecunoscută. .

DacăDacă , , ecuaecuaţţiaia ax + b ax + b = 0= 0 se se numenumeşştete ecuaecuaţţieie de de gradulgradul îîntâintâi cu o cu o necunoscutănecunoscută..

Rba ,0a

În cele ce urmează ne vom reaminti câteva elemente referitoare la rezolvarea ecuaţiei liniare.

ExerciExerciţţiuiu rezolvatrezolvatSă rezolvam în R ecuaţiile:

a) 5x-(12x + 3) = 3(x-2) + 25b) 5x - 3 = 7 + 5xc) 6x - 1 = 4(1,5x - 0,25)

a)a) 5x-(12x + 3) = 3(x-2) + 251 ° Eliminăm parantezele: 5x - 12x -3 = 3x - 6 + 252° Reducem termenii asemenea: -7x - 3 = 3x + 193° Separăm termenii care conţin necunoscuta: -7x - 3x = 19 + 34° Reducem termenii asemenea: -10x = 225° Impărţim prin coeficientul lui x:

obţinem , de unde şi atunci mulmulţţimea soluimea soluţţiiloriilor este10

22x

5

11x

5

11S

b)b) 5x - 3 = 7 + 5x1° Separăm termenii care conţin necunoscuta: 5x - 5x = 7 + 3 2° Reducem termenii asemenea: 0x = 10, de unde 0 = 10 (fals)

Concluzia imediată este că nu există nici o valoare a lui x pentru care enunţul ecuaţiei date să fie adevărat.Spunem că ecuaţia nu are nici o soluţie şi putem nota: S = S = ØØ.

c) 6x - 1 = 4(1,5x - 0,25)1 ° Desfacem parantezele: 6x - 1 = 6x - 12° Separăm termenii care conţin necunoscuta: 6x - 6x = 1 - 1 3° Reducem termenii asemenea: 0x = 0.

Orice număr real verifică ecuaţia 0x = 0. Spunem atunci că oriceorice numărnumăr real real esteeste solusoluţţieie a ecuaţiei date şi putem nota S = RS = R.

ObservaObservaţţieie:: Nu este obligatoriu să se treacă termenii care conţin necunoscuta în membrul stâng, ci pot fi trecuţi în membrul drept. într-o situaţie dată analizăm care care variantăvariantă esteeste maimai comodăcomodă din punctul de vedere al calculelor.

ExempluExemplu::

Fiind dată ecuaţia 2x + 11 = 7x - 18, cele două posibilităţi de a separa termenii care conţin necunoscuta sunt:

2x - 7x = -18 -11, adică -5x = -29 sau11 + 18 = 7x - 2x, adică 5x = 29.

Utilitatea celei de-a doua variante va fi pusă în evidenţă şi la rezolvarea inecuaţiiior de gradul întâi.

RezolvareaRezolvarea ecuaecuaţţiiloriilor liniareliniare cucu parametriparametri

ExempleExemple::Să rezolvăm şi să discutăm ecuaţiile: a)a) (m-1)x - 3m + 3 = 0, m parametru ( un număr neprecizat) realb)b) a2x + 1 = x - a, a parametru real Rezolvare:Rezolvare:a)a) (m-1)x - 3m + 3 = 0Separăm termenii şi obţinem: (m -1 )x = 3m - 3, adică (m-1)x = = 3(m -1)

Cazul 1: Dacă m -1≠ 0, adică m ≠ 1, atunci putem împărţi prin m -1 şi obţinem x = 3. Notăm S={3}.

Cazul 2: Dacă m -1 = 0, înlocuind în relaţia (1) se obţine 0 • x = 0, egalitate adevărată pentru orice valoare a lui x. Ecuaţia are o infinitate de soluţii. Notăm S = R.

b)b) a2x + 1 = x - aEcuaţia dată este echivalentă cu: (a2-1 )x = - (a + 1) (*)

Cazul 1: Dacă a2-1 ≠ 0, adică a ≠ 1 şi a ≠-1, atunci putem împărţi prin a2-1 şi obţinem 1

1

11

1

1

12

aaa

a

a

ax

Deci, pentru ecuaţia dată are o soluţie unică, 1,1Ra

1

1

aS

Cazul 2: Dacă a2-1 =0, avem două situaţii posibile: a = 1 sau a = -1înlocuindu-l pe a cu 1 în ecuaţia (*), se obţine: 0 • x = -2, ecuaţie care nu are nici o soluţie (S = Ø).înlocuindu-l pe a cu -1 în ecuaţia (*), se obţine: 0 • x = 0, ecuaţie care are o infinitate de soluţii (S=R).