UNIVERSITATEA “AUREL VLACIU” ARAD

FACULTATEA DE ŞTIINŢE ECONOMICE

SPECIALIZAREA: FINANŢE BĂNCI

E C O N O M E T R I E

Titular curs:

Lector univ. Drd. Săbău Florentina Simona

1

Cuprins

Capitolul 1 Introducere în econometrie

1.1 Obiective 3

1.2 Prezentare sintetică 3

1.2.1 Scurt istoric privind apariţia şi dezvoltarea econometriei 3

1.2.2 Definiţiile econometriei 4

1.2.3 Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiinţelor economice

6

1.2.4 Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei 8

1.3 Întrebări 15

1.4 Probleme rezolvate 16

1.5. Probleme propuse 37

1.6. Bibiliografie 40

Capitolul 2 Testarea ipotezelor statistice

2.1 Obiective 41

2.2 Prezentare sintetică 41

2.2.1 Concepte şi erori în testarea ipotezelor statistice 41

2.2.2. Testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ) pentru eşantioane de volum mare

45

2.2.3 Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii pentru eşantioane de volum mare

49

2.2.4.Testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ) pentru eşantioane de volum redus

51

2

2.2.5.Testarea ipotezei privind proporţia populaţiei pentru eşantioane mari

52

2.2.6. Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii pentru eşantioane de volum redus

53

2.2.7. Testarea ipotezei privind dispersia unei populaţii 55

2.2.8.Testarea ipotezei privind raportul dintre două dispersii 56

2.3 Întrebări 58

2.4.Probleme rezolvate 60

2.5.Bibiliografie 66

Capitolul 3 Modelul de regresie

3.1 Obiective 67

3.2 Prezentare sintetică 67

3.2.1 Specificarea unui model de regresie 67

3.2.2 Modelul de regresie clasic 67

3.3 Întrebări 74

3.4 Probleme rezolvate 79

3.5.Bibiliografie 80

3

Capitolul 1

Introducere în econometrie

1.1 OBIECTIVE: introducerea studenţilor în sfera şi

noţiunile specifice econometriei

1.2 PREZENTARE SINTETICĂ:

1.2. 1 Scurt istoric privind apariţia şi dezvoltarea

econometriei

Un moment important în constituirea şi dezvoltarea Econometriei ca

disciplină economică de frontieră, apărută în domeniile de interferenţă ale

teoriei economice, statisticii şi matematicii, se consideră anul 1930

(29 decembrie), când s-a înfiinţat la Cleveland Societatea de Econometrie

(Econometric Society), avându-i ca iniţiatori pe: Irving Fischer -

preşedinte, L. V. Bortkiewicz, R. Frisch, H. Hotelling, L. Schumpeter,

N. Wiener şi alţii.

Un rol deosebit în dezvoltarea şi popularizarea econometriei l-a avut

revista acestei societăţi, „Econometrica", care apare trimestrial,

începând din ianuarie 1933.

Etimologic, termenul de econometrie provine din cuvintele greceşti:

eikonomia (economie) şi metren (măsură). El a fost introdus (1926) de

către Ragnar Frisch, economist şi statistician norvegian, prin analogie cu

termenul „biometrie", folosit de Fr. Galton şi K. Pearson la sfârşitul

4

secolului XIX, care desemna cercetările biologice ce utilizau

metodele statisticii matematice.

Dar nu cei care au introdus termenul şi au înfiinţat Societatea de

Econometrie au şi „inventat" această disciplină.

Sub aspect istoric, studierea cantitativă a fenomenelor economice

este mult mai veche. Printre precursorii econometriei moderne pot fi

citaţi: F. Quesnay, W. Petty, Gregory King, A. Cournot, Leon Walras, E.

Engel, A. Marshall, R. A. Fisher, K. Pearson şi alţii.

În perioada contemporană, contribuţii importante la dezvoltarea

econometriei au fost aduse de:

- în domeniul analizei economice a cererii: M.

Friedman,T. Haavelmo, R. Stone, H. Wald, ş.a.;

- în domeniul funcţiilor de producţie: C. W. Cobb, P. H. Douglas,

K. J. Arrow, G. Tintner;

- în domeniul modelelor macroeconomice: A. S. Goldberger,

O. Onicescu, V. Kantarevici, L. R. Klein, J. Tinbergen, H. Theil1;

- în domeniul metodelor de analiză a datelor sau al econometriei

„fără modele": T. W. Anderson, J. P. Benzécri, H. Hotelling, R. A. Fisher

şi alţii.

În momentul actual, impulsionată puternic de revoluţia

tehnico-ştiinţifică - cu realizări de vârf în domeniul calculatoarelor

electronice - econometria a devenit un instrument metodologic de bază,

indispensabil teoriei şi practicii economice pentru investigarea riguroasă a

fenomenelor şi proceselor economice.1 Numele scrise cu italice îi desemnează pe laureaţii Premiului Nobel în econometrie

5

1.2. 2 Definiţiile econometriei

Dezvoltarea rapidă a econometriei a generat formularea mai

multor definiţii cu privire la domeniul acestei discipline economice.

Totuşi, marea majoritate a acestora poate fi încadrată în următoarele

trei grupe:

a) definiţia istorică;

b) definiţia restrictivă;

c) definiţia extinsă.

a) Definiţia istorică a econometriei a fost formulată de R.

Frisch în primul număr al revistei „Econometrica", în ianuarie

1933: „experienţa a arătat că fiecare din următoarele trei puncte de

vedere, al statisticii, al teoriei economice şi al matematicii, este o

condiţie necesară, dar nu şi suficientă, pentru o înţelegere efectivă a

realităţilor cantitative din economia modernă; unificarea lor este

aceea care asigură eficienţa. Econometria este tocmai această

unificare".

Conform acestei definiţii, susţinătorii ei consideră că prin

econometrie se înţelege studierea fenomenelor economice pe baza

datelor statistice cu ajutorul modelelor matematicii.

b) Definiţia restrictivă propusă de Cowles Commission

for Research in Economics (Chicago, 1940-1950), consideră că nu

există econometrie dacă investigarea fenomenelor economice nu

se face cu ajutorul modelelor aleatoare (stochastice).

6

Susţinătorii acestei definiţii, L. R. Klein, E. Malinvaud, G.

Rottier, includ în domeniul econometriei numai cercetările

economice care utilizează metodele inducţiei statistice - teoria

estimaţiei, verificarea ipotezelor statistice - la verificarea relaţiilor

cantitative formulate în teoria economică cu privire la fenomenele

sau procesele economice cercetate.

Conform acestor definiţii, un studiu econometric presupune:

-existenţa prealabilă a unei teorii economice privind

fenomenul, procesul sau sistemul economic cercetat, pe baza

căreia se construieşte modelul economic, care reprezintă

formalizarea ipotezelor teoriei economice cu privire la

fenomenul, procesul sau sistemul investigat;

-posibilitatea aplicării metodelor inducţiei statistice la

verificarea ipotezelor teoriei economice; construirea modelului

econometric şi rezolvarea acestuia.

Această definiţie restrictivă exclude din domeniul

econometriei cercetările economice care nu se fundamentează pe:

-o teorie economică - implicită sau explicită privind

modelul econometric al fenomenului, procesului sau sistemului

studiat;

-o interpretare aleatoare a modelului respectiv.

Astfel, analiza seriilor cronologice, modelul lui Leontief

(B.L.R.) ca şi statistica economică (care se fundamentează pe

metoda balanţelor) nu intră în sfera de cuprindere a econometriei:

7

prima, deoarece existenţa unei teorii economice nu este necesară,

iar ultimele două, fiindcă nu permit aplicarea metodelor inducţiei

statistice.

c) Definiţia extinsă a econometriei, promovată de

economiştii din ţările anglo-saxone, ţine seama de puternica

dezvoltare, apărută după 1950, a metodelor cercetării operaţionale:

teoria optimului, teoria stocurilor, teoria grafelor, teoria deciziilor,

teoria jocurilor, etc.

Prin econometrie, în sensul larg al termenului, se înţelege

econometria, definită în mod restrictiv, adică, include domeniile

menţionate atunci când ea este înţeleasă în sens restrictiv, la care se

adaugă metodele cercetării operaţionale. În prezent, în domeniul

econometriei se includ şi tehnicile moderne de analiză a datelor sau

analiza marilor tabele.

Deoarece încă nu s-a cristalizat o concepţie unitară privind

„frontierele" econometriei, în manualele sau tratatele de

econometrie, autorii, de regulă, îşi menţionează concepţia pe baza

căreia şi-au structurat lucrările.

În ţara noastră, atât în literatura de specialitate, deşi rareori se

fac precizări exprese, cât şi prin structura planurilor de învăţământ

de la facultăţile economice, econometria este concepută şi aplicată

ca metodă generală de investigare cantitativă a fenomenelor şi

proceselor economice -adică, în accepţiunea largă a termenului.

8

Un domeniu mai puţin abordat, atât teoretic, cât şi practic, îl

constituie metodele econometriei, în sensul restrictiv al

termenului, respectiv modelele aleatoare (stochastice).

Modelele deterministe, utilizate în mod curent şi de multă

vreme în teoria şi practica economică din ţara noastră, sunt de multe

ori inadecvate pentru a explica şi, mai ales, pentru a prognoza

pertinent evoluţia fenomenelor, proceselor sau sistemelor

economice, elemente dinamice prin natura lor.

De asemenea, în studiile mult mai recente, se insistă asupra

faptului că studiul seriilor de timp privind evoluţia fenomenelor

economice nu poate fi independent de teoria economică. Se au în

vedere, în acest sens, nu atât determinarea şi extragerea

econometrică a tendinţei, cât şi aspectele legate de efectul întârziat

în timp, propagarea impulsului unor variabile exogene asupra

variabilei prognozate, natura oscilaţiilor de diferite frecvenţe etc.

Acestea sunt motivele care au determinat ca modelele dinamice -

bazate pe analiza evoluţiei în timp a fenomenelor economice - să-şi

găsească locul în arsenalul modelelor econometrice prezentate în

acest curs.

1.2. 3 Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiinţelor

economice

Apariţia şi rapida afirmare a econometriei trebuie înţeleasă şi

explicată prin prisma raportului dialectic dintre teorie şi practică, a

9

conexiunii inverse pozitive ce se manifestă între elementele acestui

raport.

Dezvoltarea continuă şi dinamică a forţelor de producţie sub

impactul progresului ştiinţific şi tehnic modifică condiţiile şi

interdependenţele din producţie, repartiţie, circulaţie şi consum, ceea ce,

pe plan teoretic şi practic, creează probleme dificile privind explicarea

şi dirijarea evoluţiei fenomenelor economico-sociale către anumiţi

indicatori ţintă, formulaţi şi urmăriţi de o anumită politică economică.

Necesitatea elaborării unor instrumente de investigare şi de

sporire a eficienţei metodelor de organizare, dirijare şi conducere a

economiei, pe de o parte, şi succesele metodelor statistico-matematice în

alte domenii ale ştiinţei - fizică, chimie, astronomie etc. - pe de altă

parte, au determinat adoptarea de către ştiinţele economice a acestor

metode.

Econometria s-a format şi se dezvoltă nu în urma unui proces de

diversificare a ştiinţei economice, ci prin integrarea dintre teoria

economică, matematică şi statistică.

În cadrul aceastei triade, teorie economică - matematică - statistică,

locul central îl ocupă teoria economică. Deşi penetrarea ştiinţei

economice de către metodele statistico-matematice reprezintă un progres

calitativ, nu trebuie uitat faptul că fenomenele economice, pe lângă

componenta lor cuantificabilă, conţin aspecte care nu pot fi

reprezentate prin cantitate. Aceste particularităţi ale fenomenelor

10

economice constituie, în general, limitele econometriei în sistemul

ştiinţelor economice.

De remarcat că raporturile econometriei cu ştiinţele economice nu

sunt numai de dependenţă.

Într-adevăr, un model econometric nu se poate elabora dacă nu s-a

constituit o teorie economică a obiectului cercetat. Similitudinea sa

formală cu obiectul economic investigat depinde de nivelul de

abstractizare a teoriei, de definirea univocă şi operaţională a noţiunilor şi

categoriilor economice, de scopurile urmărite de teoria economică -

scopuri euristice sau de dirijare privind obiectul studiat.

Modelul astfel construit reprezintă o verigă intermediară între

teorie şi realitate. El reprezintă o cale de confruntare a teoriei cu

practica, singurul mod de experimentare pe baza căruia ştiinţa

economică îşi poate fundamenta ipotezele, din moment ce obiectul său

de cercetare poate fi numai observat, nu şi izolat şi cercetat în

laborator.

Prin această experimentare, mijlocită de modelul econometric,

ştiinţele economice validează, renunţă sau elaborează metode noi, îşi

confruntă problemele de semantică şi semiotică economică,

îmbogăţindu-şi în felul acesta sistemul de informaţii privind structura şi

evoluţia obiectului economic.

În prezent, tipologia metodelor econometrice utilizate de ştiinţele

economice este extrem de vastă. Folosirea din ce în ce mai amplă a

acestor modele la investigarea fenomenelor economice se datorează

11

progreselor însemnate făcute în domeniul metodelor de estimare a

parametrilor modelelor şi al testelor de verificare pe care se

fundamentează acestea şi, nu în ultimul rând, al utilizării

calculatoarelor electronice care permit rezolvarea operativă a celor

mai complexe modele econometrice.

Particularizând legăturile econometriei cu unele dintre disciplinele

economice, este necesar să subliniem corespondenţa dintre modelarea

econometrică şi previziune. Previziunea macro sau microeconomică

reprezintă un domeniu care utilizează în mare măsură rezultatele

simulării şi, mai ales, ale predicţiei econometrice. Activitatea de

previziune a economiei este aceea care „oferă" o serie de elemente

utile elaborării modelului privind, îndeosebi, etapa de specificare a

acestuia. În această etapă, previziunea defineşte variabilele endogene

(rezultative) şi pachetul variabilelor exogene corespunzătoare

obiectivelor urmărite în funcţie de informaţiile statistice existente.

Econometria, la rândul ei, contribuie la obţinerea variantelor

economice, oferind informaţii cu privire la comportamentul

variabilelor endogene în diverse alternative de acţionare a pârghiilor

economice. În acest fel, previziunii economice i se oferă o perspectivă

în legătură cu ceea ce s-ar putea întâmpla în viitor, fie şi în linii mari, în

raport cu diferitele variante ale politicii economice care ar putea fi

aplicate.

Menţionăm, de asemenea, legătura econometriei cu sistemul

financiar-contabil, domeniu în care modelarea pătrunde tot mai mult -

12

vezi modelele ARCH. De asemenea, trebuie remarcat faptul că, la

elaborarea modelelor econometrice, se recomandă, cu o tot mai mare

insistenţă, introducerea relaţiilor financiar-bancare, ca fiind deosebit de

semnificative pentru descrierea mecanismelor economice.

Domeniul cooperării economice internaţionale, ca, de altfel, şi cel

privind comerţul interior, domeniu în care previziunile sunt greu de

realizat, altfel decât cu ajutorul metodelor statistice, reprezintă, de

asemenea, sectoare ale economiei ce pot beneficia de rezultatele

econometriei în ceea ce priveşte planificarea şi eficientizarea

activităţilor desfăşurate. Este totodată necesar să subliniem frecvenţa

tot mai mare a aplicării metodelor econometrice în lucrări din domeniul

biologiei, medicinei, demografiei şi, în special, în domeniul

marketingului, managementului sau viitorologiei.

În concluzie, se poate reţine ideea că metoda econometriei este

metoda modelării sau metoda modelelor. Modelul econometric - expresie

formală, inductivă a unei legităţi economice - reprezintă un mijloc de

cunoaştere a unui obiect economic, iar modelarea econometrică este o

metodă care conduce la obţinerea de cunoştiinţe sau informaţii noi

privind starea, structura (conexiunile dintre elemente) şi evoluţia unui

proces sau sistem economic.

1.2. 4 Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei

Metoda modelelor sau metoda modelării reprezintă principalul

instrument de investigare econometrică a fenomenelor econometrice.

13

Dar, modelarea sau metoda modelelor nu constituie o noutate în

ştiinţa economică. Tabloul economic al economistului fiziocrat F.

Quesnay (1738), legile lui Engel (1857), coeficientul de elasticitate

formulat de Marshall (1890) reprezintă momente istorice de la care

cercetarea economică trece de la etapa descriptivă la etapa de

explicare formală a cauzelor şi formelor de manifestare ale fenomenelor

economice.

În general, MODELUL reprezintă un instrument de cercetare

ştiinţifică, o imagine convenţională, homomorfă, simplificată a

obiectului supus cercetării.

Fiind o construcţie abstractă, în care se neglijează proprietăţile

neesenţiale, modelul este mai accesibil investigaţiei întreprinse de

subiect, aceasta fiind una din explicaţiile multiplelor utilizări pe care

modelul le are în epoca contemporană.

Utilizat în economie, modelul - imagine abstractă, formală a unui

fenomen, proces sau sistem economic - se construieşte în concordanţă

cu teoria economică, rezultând modelul economic.

Modelul economic, reproducând în mod simbolic teoria economică

a obiectivului investigat, prin transformarea sa în model econometric,

devine un obiect supus cercetării şi experimentării (verificării), de la

care se obţin informaţii noi privind comportamentul fenomenului

respectiv.

În acest mod, reprezentările econometrice, spre deosebire de

modelele economice care explică structura fenomenului sau procesului

14

economic de pe poziţia teoriei economice, au întotdeauna o finalitate

practică, operaţională, ele devenind instrumente de control şi dirijare,

de simulare şi de previziune a fenomenelor economice.

VARIABILELE care formează structura unui sistem

econometric, după natura lor, pot fi:

a) variabile economice;

b) variabila eroare (aleatoare), u;

c) c) variabila timp, t.

a) Variabilele economice, de regulă, se împart în variabile

explicate, rezultative sau ENDOGENE, Yi, i = 1,n , şi variabile

explicative, factoriale sau EXOGENE, Xj, j = 1,k, independente de

variabilele endogene Yi ; (n = numărul variabilelor rezultative; k =

numărul variabilelor factoriale). În cazul modelelor de simulare sau de

prognoză, variabilele Xj se mai împart în variabile exogene

predeterminate (variabile de stare a sistemului -c a p a c i t a t e a d e

p r o d u c ţ i e a u n e i î n t r e p r i n d e r i , s a u c u lag - xt-1, yt-1) şi

variabile instrumentale sau de comandă economică (dobânda,

impozitul pe profit etc.)

b) Variabila ALEATOARE, u, sintetizează ansamblul

variabilelor, cu excepţia variabilelor Xj, care influenţează variabila

endogenă Yi, dar care nu sunt specificate în modelul econometric.

Aceste variabile (factori), pe baza ipotezelor teoriei economice, sunt

considerate factori întâmplători (neesenţiali), spre deosebire de

15

variabilele Xj, care reprezintă factorii determinanţi (esenţiali) ai

variabilei Yi.

De asemenea, variabila eroare reprezintă eventualele erori de

măsură - erori întâmplătoare şi nu sistematice - conţinute de datele

statistice privind variabilele economice.

Pe baza acestor premise economice se acceptă că variabila

aleatoare „U" urmează o lege de probabilitate L(u), în acest scop

formulându-se o serie de ipoteze statistice cu privire la natura

distribuţiei acestei variabile, ipoteze statistice care vor trebui testate cu

teste statistice adecvate fiecărei ipoteze.

c) Variabila TIMP, t, se introduce în anumite modele econometrice

ca variabilă explicativă a fenomenului endogen Yi, imprimându-se

acestora un atribut dinamic, spre deosebire de modelele statice.

Deşi timpul nu poate fi interpretat ca variabilă concretă

(economică), se recurge la această variabilă explicativă (fictivă) din două

motive:

- în primul rând, timpul, ca variabilă econometrică,

permite identificarea unor regularităţi într-un proces evolutiv, ceea ce

constituie un prim pas spre specificarea precisă a unor variabile care

acţionează în timp;

- în al doilea rând, el reprezintă măsura artificială a acelor

variabile care acţionează asupra variabilei Y care, fiind de natură

calitativă, nu pot fi cuantificate şi, ca atare, nici specificate în

modelul econometric.

16

Un exemplu cunoscut în acest sens îl constituie funcţia de

producţie Cobb -Douglas cu progres tehnic autonom:

Q = A · Kα · Lß · ect · u (1.3.1)

unde:

Q = volumul fizic al producţiei;

K = capitalul;

L = forţa de muncă;

e = numărul natural;

t = timpul;

u = variabilă aleatoare;

A, α, β şi c = parametrii funcţiei,

c estemăsura econometrică a influenţei progresului tehnic asupra

volumului producţiei.

Sursa de date - Variabilele economice se introduc într-un

model econometric cu valorile lor reale sau empirice (yi = y1, y2, — ,yn; xi

= x1, x2,..., xn; n = numărul unităţilor observate). Aceste valori ale

variabilelor unui model se pot obţine pe două căi: fie pe baza

sistemului informaţional statistic (banca de date), fie prin efectuarea de

observări statistice special organizate - de tipul anchetelor statistice.

O problemă fundamentală care se ridică în această etapă o

reprezintă calitatea datelor statistice, respectiv autenticitatea şi

veridicitatea acestora. Dacă un model economic se construieşte cu date

17

false sau afectate de erori de măsură, el va căpăta aceste deficienţe,

fiind compromis sub aspect operaţional.

Deoarece problema autenticităţii datelor economice ţine de

domeniul statisticii economice, ne vom rezuma numai a aminti că datele

statistice care privesc variabilele economice specificate în model trebuie

să fie culese fără erori sistematice de observare şi de prelucrare,

îndeplinind condiţiile de omogenitate. Omogenitatea datelor presupune:

- colectarea lor de la unităţi statistice omogene;

- reprezentarea aceloraşi definiţii şi metodologii de calcul cu

privire la sfera de cuprindere ale acestora în timp sau în spaţiu;

- descrierea evoluţiei fenomenelor într-un interval de timp în care

nu s-au produs modificări fundamentale privind condiţiile de

desfăşurare a procesului analizat;

- exprimarea variabilelor în aceleaşi unităţi de măsură, condiţie

care se referă, în mod special, la evaluarea indicatorilor economici în

preţuri comparabile sau preţuri reale.

„Materia primă" pentru calcule economice o constituie seriile

cronologice (serii de timp sau serii dinamice), mai rar seriile teritoriale,

ale variabilelor economice respective, preluate sau construite pe baza

băncii de date statistice existente.

O serie cronologică se construieşte prin observarea variabilelor Y

şi X pe perioade egale de timp (t = 1,2,.., T, t reprezentând luni,

trimestre, ani) la aceeaşi unitate economică:

18

T 1 2 ... T

Xt x1 x2 ...

xT

y t y1 y2

... yT

În comparaţie cu aceasta, o serie de spaţiu rezultă prin observarea

variabilelor Y şi X într-o anumită perioadă de timp - lună, trimestru,

semestru, an - la un anumit număr de unităţi socio-economice

omogene, i = 1,n, unde n = numărul unităţilor de acelaşi profil, ce

aparţin aceluiaşi sector economic etc. O astfel de serie se prezintă, de

regulă, sub următoarea formă:

Xi x1 x2

... xn

Yi y1

y2 ...

yn

Într-un model econometric, un fenomen economic X={xi},i = 1,n

poate fi introdus cu următoarele valori:

1) Valori reale sau empirice, xi = (x1, x2,.., xn), valori exprimate în

unităţi de măsură specifice naturii fenomenului X, ele fiind mărimi

concrete şi pozitive, deci aparţin sistemului numerelor raţionale.

19

Vectorul valorilor lui X, xi= (x1, x2,.., xn), poate fi definit prin doi

parametri:

- media aritmetică a variabilei X

(1.3.2)

- abaterea medie patratica a variabilei X

(1.3.3)

fiind dispersia variabilei.

De obicei, se considera ca variabila X urmeaza o distributie

normala de medie si de abatere medie patratica σx : L(x) = N( , σx).

2) Valorile centrate :

Aceste valori sunt tot mărimi concrete, dar ele aparţin sistemului

numerelor reale având atât valori pozitive cât şi negative.

Se poate demonstra uşor că aceste valori centrate au media egală

cu zero, iar dispersia lor este egală cu dispersia valorilor reale:

20

(1.3.4)

(1.3.5)

3) Valori centrate şi normate sau abateri standard:

Media si dispersia acestor valori este:

(1.3.6)

(1.3.7)

În plus faţă de aceste două proprietăţi L(x**) = N(0;1) 2 , abaterile

standard sunt mărimi abstracte (adimensionale). Aceste calităţi conduc,

atât la diminuarea calculelor statistice cu aceste valori, cât şi la

2 Relaţia L(x**) = N(0;1) se citeşte: variabila urmează legea de probabilitate

normală având media egală cu zero iar abaterea medie pătratică este egală cu unu (legea normală, centrată şi redusă).

21

efectuarea de comparaţii între distribuţiile mai multor fenomene

economice de naturi diferite.

Un model econometric poate fi format dintr-o singură relaţie sau

dintr-un sistem de relaţii statistice. Aceste relaţii pot fi: relaţii de

identitate sau deterministe, relaţii de comportament, relaţii tehnologice

şi relaţii instituţionale.

Relaţiile de identitate sunt de tipul ecuaţiilor de balanţă folosite în

„Sistemul de balanţe ale economiei naţionale"

Relaţiile de comportament sunt acele ecuaţii stochastice care

reflectă şi modelează un proces de luare a deciziei, care încearcă să

descrie răspunsul variabilei endogene Y, sub forma deciziei, la un set de

valori ale variabilelor exogene. De exemplu, într-un model

macroeconomic, relaţiile de comportament se referă la dependenţe

privind consumul, investiţiile, importul şi exportul, sistemul de preţuri,

cererea monetară, etc.

Relaţiile tehnologice descriu atât imperativele de ordin tehnologic

privind producţia cât şi relaţiile tehnico-economice existente în

producţie, forţa de muncă şi fondurile de producţie ale unei unităţi, ale

unei ramuri sau ale economiei naţionale. Aceste relaţii tehnologice sunt

reprezentate de cunoscutele funcţii de producţie de diferite tipuri.

Relaţiile instituţionale sunt folosite pentru a explica în mod

determinist sau stochastic fenomenele care sunt determinate fie de lege,

fie de tradiţie sau fie de obiceiuri. Din rândul acestora fac parte, de

22

exemplu, ecuaţiile care explică stabilirea impozitelor sau a cotizaţiilor

în funcţie de venit.

Tipologia modelelor econometrice este extrem de vastă. Totuşi, un

model econometric poate fi construit prin intermediul unei singure

ecuaţii de comportament, tehnologice sau instituţionale, sau cu ajutorul

unui sistem de ecuaţii de genul celor patru relaţii, menţionate mai sus,

denumite modele cu ecuaţii multiple.

Testele statistice3 sunt instrumente de lucru indispensabile

investigaţiei econometrice. Necesitatea utilizării acestora este

determinată de faptul că demersul econometric constă într-o înşiruire

logică de ipoteze privind semnificaţia variabilelor exogene, a calităţii

estimaţiilor obţinute, a gradului de performanţă a modelelor

construite. Acceptarea sau respiungerea ipotezelor formulate în

econometrie se poate face cu ajutorul mai multor teste, cele mai uzuale

fiind: testul χ2, testul t, testul F etc.

Pe lângă aceste teste statistice, în practica curentă, în diverse

domenii, se foloseşte frecvent un test denumit „testul erorii". În general,

aplicarea acestui test presupune compararea a două valori:

0 = valoarea observată sau estimată;

T = valoarea teoretică, aşteptată sau prognozată.

Pe baza celor două valori se definesc:

- eroarea absolută, ;

3 Vezi- ipoteză statistică, test, eroare de gradul 1 şi gradul 2, preg de semnificaţie, nivel de semnificaţie- Dicţionar statistic economic, D.C.S., Bucureşti, 1969

23

- eroarea relativă,

Se construiesc cele două ipoteze:

H0: 0 ≈ T ;

H1: 0 ≠ T.

Stabilindu-se arbitrar o valoare absoluta (Ea) sau relativa (Er) 4 de

echivalare a celor doua valori, (0) si (T), regula de (alegere) decizie a

celor doua ipoteze este urmatoarea:

24 este acceptată ipoteza H0 dacă Ea ≤ ea sau Er ≤ er . → cele două

valori, (0) şi (T), sunt echivalente, adică diferenţele dintre ele sunt

întâmplatoare şi nu sistematice;

24 este acceptată ipoteza H1 dacă Ea > ea sau Er > er . → cele doua

valori, (0) si (T), diferă semnificativ si nu pot fi considerate ca

echivalente, respectiv extrase din aceeaşi urnă sau dintr-o colectivitate

omogenă.

Acest test al erorii este utilizat în mod curent în domeniul analizei

statistico-economice a variatiei în timp şi/sau în spaţiu a unui fenomen

economic, dar poate fi aplicat şi în domeniul econometriei, dar cu

discernamânt şi nu în mod excesiv.

4 Un astfel de test şi criteriu de decizie se utilizează în comerţul cu produse îmbuteliate sau ambalate pentru care, de regulă, criteriul de decizie este de 5% din volumul sau greutatea , T, a ambalajului

24

1.3. Întrebări

1. Care este definiţia istorică a econometriei formulată

de catre R. Frisch?

2. Care este definiţia extinsă a econometriei promovată

de economiştii din ţările anglo-saxone?

3. Definiţi modelul economic.

4. Definiţi variabilele economice.

5. Definiţi variabilele aleatoare.

25

6. Care sunt cele două motive pentru care se recurge la

variabila timp?

7. Ce presupune omogenitatea datelor?

8. Care sunt relaţiile statistice ce formează un model

econometric? Definiţi-le.

9. Cu ce valori poate fi introdus un fenomen economic

într-un model econometric?

10. C

e presupune testul erorii?

1.4. Probleme rezolvate

A. Caz privind asocierea a două variabile alternative (binare)

O societate comercială se aprovizionează de la 2 furnizori A şi B.

După primirea ultimelor două loturi de piese se ştie că:

26

-furnizorul A a trimis 400 de piese din care 60 au fost rebuturi;

- furnizorul B a trimis 600 de piese din care 70 au fost rebuturi.

Conducerea societăţii ar dori să renunţe la furnizorul A pe

motivul unei calităţi inferioare a produselor sale în raport cu cele ale

furnizorului B. Este corectă această decizie?

Rezolvare:

Fundamentarea statistică a deciziilor corecte se poate realiza

prin sistematizarea datelor într-un tabel de forma:

Tabelul 1.

Denumirea

furnizorul

ui (x )

Calitatea pieselor

(y )

Total

(N )Rebuturi bune

A 60 340 400B 70 530 (n ) 600

Total ( N ) 130 870 1000 (N)

unde:

X = { x }, i = variabila independentă,

x = furnizorul A,

x2 = furnizorul B,

Y = {y } , j = variabila dependentă,

y = piese rebut,

27

y = piese bune,

n = frecvenţele condiţionate ale variabilei Y, de exemplu:

n = piesele rebut trimise de furnizorul A,

n = piesele bune trimise de furnizorul B.

În urma acestei sistematizări a rezultat o serie statistică

bidimensională, cu două variabile binare X şi Y, rezultând două

distribuţii marginale:

şi două distribuţii condiţionate ale variabilei Y (calitatea pieselor) în

funcţie de furnizori:

N = frecvenţele marginale ale variabilei X,

N = frecvenţele marginale ale variabilei Y,

N = N = N = n = numărul total al observaţiilor.

În cazul unei distribuţii bidimensionale, în funcţie de modul de

distribuire al frecvenţelor n , se poate constata:

a) independenţă totală între cele două variabile dacă

28

n = = ct sau n = =ct ;

b)o dependenţă strictă între cele două variabile dacă frecvenţele

condiţionate n se distribuie numai pe diagonala principală a tabelului

(corelare pozitivă, x cu y şi x2 cu y ) sau numai pe diagonala secundară a

tabelului (corelare negativă, x cu y şi x2 cu y ), pentru celelalte

rubrici ale tabelului aceste frecvenţe fiind egale cu zero;

c) o dependenţă statistică dacă frecvenţele condiţionate n se

distribuie într-un mod diferit de cele două cazuri a) şi b); în această

situaţie, analiza statică va conduce fie la acceptarea cazului a)

(independenţă), fie la acceptarea cazului c) (dependenţă slabă, medie,

puternică etc).

Analizând datele din tabelul 1.1.1. se observă că

distribuţia frecvenţelor condiţionate n se încadrează în cazul c). Deci,

în cadrul acestei probleme, decizia corectă poate fi luată pe baza a cel

puţin trei procedee statistice.

a) Testul diferenţei două medii

Se ştie că dacă:

t = t ,

29

cele două medii şi sunt semnificativ diferite de zero şi, invers, = dacă:

t = < t

unde:

ta = argumentul distribuţiei normale, dacă n 30 , sau

argumentul distribuţiei Student, dacă n < 30;

= pragul de semnificaţie (riscul) cu ajutorul căruia se alege

decizia corectă; de regulă, în economie se lucrează cu un prag de

semnificaţie de 0,05 (5%) sau, cel mult, de 0,01 (1%).

În cazul de faţă, aplicarea acestui test constă în

efectuarea următoarelor calcule:

- calculul procentului mediu al rebuturilor pe fiecare furnizor:

f = = = 0,15 sau 15% f = = = 0,1167 sau

11,67%

-calculul dispersiilor:

= f (1 - f ) = 0,15 0,85 = 0,1275

= f (1 - f ) = 0,1167 0,8833 = 0,1031

-alegerea pragului de semnificaţie şi preluarea valorii acestuia

din tabelul distribuţiei respective; pentru = 0,05,din tabela

distribuţiei normale se preia valoarea t = 1,96 .

30

- compararea valorii empirice a variabilei tc cu valoarea sa teoretică

t :

t = =1,5

- interpretarea testului:

Deoarece t = 1,5 < t = 1,96 rezultă că între calitatea pieselor

livrate de cei doi furnizori, cu o probabilitate de 0,95 (95%), nu se poate

accepta o diferenţă semnificativă şi, ca atare, nu este corectă decizia de a

se renunţa la furnizorul A pe motivul unei mai slabe calităţi a pieselor.

b) Testul

Aplicarea testului constă în compararea unei valori empirice

cu o valoare teoretică , unde:

= pragul de semnificaţie;

v= (k-1)(m - 1) = numărul gradelor de libertate, m fiind numărul

de grupe în funcţie de variabila Y (y ,,j = ), iar k este numărul de

grupe în funcţie de variabila X (x ,i = ), preluat din tabela

distribuţiei în funcţie de un prag de semnificaţie şi de numărul

gradelor de libertate . În acest caz, pentru = 0,05 şi = (2 - 1)(2

- 1) =1, din tabel rezultă =3,84,iar pentru = 0,01 rezultă =

6,63 .

Valoarea empirică a variabilei aleatoare se calculează cu relaţia:

=

31

unde:

nij = frecvenţele reale, i = 1,2, j =1,2;

n* = frecvenţele teoretice în cazul independenţei totale a celor două

variabile x şi y ;

n =

- calculul acestor frecvenţe teoretice rezultă din următoarele relaţii:

n = =

n = =

n =

n =

-calculul valorii empirice:

=

=

Utilizarea testului se bazează pe următoarele reguli de decizie:

- dacă < , rezultă că cele două variabile X şi Y sunt

independente;

32

- dacă , rezultă că cele două variabile X şi Y nu sunt

independente.

Deoarece = 2,36 < =3,84, rezultă că cele două variabile sunt

independente, deci calitatea pieselor nu depinde de tipul furnizorilor şi, ca

atare, nici decizia de a rezilia contractul cu furnizorul A nu este

justificată.

c) În cazul unei grupări combinate de 2x2, adică 2 variabile care

au 2 variante, analiza statistică a legăturii dintre acestea se poate

face şi cu ajutorul coeficientului de asociere al lui Yulle, definit prin

relaţia:

cu abaterea medie pătratică:

Acest coeficient este definit în intervalul , având

semnificaţia:

= -1 corelaţie strict negativă între variabile;

= 0 independenţă între variabile;

= 1 corelaţie strict pozitivă între variabile.

33

Pentru cazul analizat, valorile acestor indicatori sunt:

Ştiind că variabila este o variabilă aleatoare ce urmează o

distribuţie normală N(0, ), valoarea

empirică se acceptă că este semnificativ diferită de zero

daca, rezulta ca intre cele doua variabilesemnificativ diferită de zero

dacă

rezultă că între cele doua variabile există o legătură, iar dacă <

rezultă că valoarea lui nu este semnificativ diferită de zero, ceea ce

presupune că cele două variabile sunt independente.

Ştiind că t = 1,96 iar valoarea = =1,55< t =1,96 ,

rezultă că cele două variabile sunt independente, situaţie care conduce la

aceeaşi concluzie ca

şi în cazul punctelor a) şi b): rezilierea contractului cu furnizorul A nu

poate fi justificată de aprecierea unei calităţi mai slabe a produselor

acestuia.

B. Caz privind asocierea a două variabile calitative nealternative

34

În urma efectuării unui sondaj statistic s-au obţinut următoarele date

privind distribuţia pe ramuri ale economiei naţionale a şomerilor, grupaţi

pe trepte de calificare:

Tabelul 1

Ramur

i ale

econo

Trepte de calificare a

şomerilor

Total

persoa

ne

necalific

aţi

calificare

medie şi

calificare

superioa

Industrie400

500

257

200

143

100800

Construcţ

ii

100

100

64

50

36

50200

Alte

ramu

ri

200

100

129

200

71

100400

Total

persoan700 450 250 1400 (N)

Analizaţi datele din tabel şi precizaţi dacă se poate admite o asociere

între profilul ramurilor economice şi calificarea şomerilor.

Rezolvare:

Datele problemei se referă la dependenţa dintre două variabile

nominale - ramurile economiei naţionale) şi -

trepte de calificare ale şomerilor) ale căror variante sunt în număr mai

mare de două (k=3>2, m= 3>2)- cazul unui tabel de k m rubrici.

35

Deoarece frecvenţele condiţionate nu sunt nici constante pe liniile

tabelului şi nici distribuite numai pe rubricile diagonalei principale sau

secundare, distribuţia acestora arată că poate fi acceptată ipoteza unei

dependenţe statistice între cele două variabile. În acest caz, acceptarea

sau respingerea ipotezei de dependenţă statistică dintre cele două

variabile se poate face cu ajutorul testului . Utilizarea acestui test

presupune următoarele operaţii:

-preluarea valorii teoretice a variabilei din tabel în funcţie de un

prag de semnificaţie şi de numărul gradelor de libertate

respectiv pentru = 0,05 şi = (3-1)(3-1)=4 din

tabelă rezultând , iar pentru = 0,01, .

- calculul valorii empirice a variabilei aleatoare cu ajutorul

relaţiei:

=

unde: n = frecvenţele reale, i = j=

= frecvenţele teoretice în cazul independenţei totale a celor

două variabile X şi Y;

Pe baza datelor din tabel, aceste frecvenţe teoretice sunt egale cu:

36

-compararea valorii empirice cu valoarea sa teoretică:

Deoarece = 160 > rezultă că ipoteza de

independenţă dintre variabile nu poate fi acceptată şi, deci, distribuţia

şomerilor pe trepte de calificare este influenţată de structura pe ramuri

ale economiei naţionale. Cu alte cuvinte, trecerea în şomaj a salariaţilor

nu s-a făcut întâmplător, predominând şomerii necalificaţi, urmând cei cu

pregătire medie şi, pe ultimul loc, şomerii cu pregătire superioară

C. Caz privind asocierea dintre o variabilă calitativă

independentă şi o variabilă numerică dependentă

37

O întreprindere de automobile poate să-şi echipeze vehiculele

cu două tipuri de pneuri A şi B. În urma încercării a două loturi de

100 de pneuri din fiecare tip au rezultat următoarele date:

Tabelul.3.

Tipuri

de

pneuri

Rezistenţa la uzură (1000 km

parcurşi) Totalsub

25

25-30 30-35 35-

40

40-

45

peste

45A 2 8 20 40 20 10 100B 17 13 40 20 8 100

Total 19 21 60 60 28 12 200 (N)

Recomandaţi întreprinderii ce tip de pneu va trebui să

folosească, ştiind că preţul de vânzare a celor două tipuri de pneuri este

acelaşi.

Rezolvare:

Această problemă abordează cazul dependenţei dintre două variabile

de natură diferită. Variabila cauzală X -

tipurile de pneuri, este o caracteristică nominală, în timp ce variabila

efect Y - rezistenţa la uzură, este o variabilă numerică.

Rezolvarea acestei probleme presupune parcurgerea a două etape:

- prima etapă se referă la acceptarea sau respingerea ipotezei

de dependenţă dintre cele două variabile;

- a doua etapă urmează numai în cazul acceptării ipotezei de

dependenţă între variabile şi necesită alegerea tipului de pneu cu cea

38

mai mare rezistenţă la uzură; se deduce uşor că în cazul

independenţei dintre cele două variabile, rezistenţa la uzură nu

depinde de tipul pneului, întreprinderea putând utiliza oricare dintre

ele.

O astfel de problemă poate fi rezolvată cu ajutorul mai multor

procedee statistice - testul , testul diferenţei dintre două medii şi

metoda analizei variaţiei.

Deoarece primele două procedee au fost deja expuse (vezi

problemele A şi B) şi, în plus, acestea necesită calcule suplimentare,

pentru etapa a doua recomandăm abordarea unor probleme de acest tip cu

ajutorul metodei analizei variaţiei.

Metoda analizei variaţiei se fundamentează pe discuţia următoarelor

distribuţii:

- distribuţia marginală a variabilei

- distribuţiile condiţionate ale variabilei Y în funcţie de variantele

variabilei factoriale

Pe baza acestor distribuţii se calculează trei mărimi:

- varianţa totală (sau dispersia totală ) calculată

pe baza distribuţiei marginale a lui Y cu ajutorul relaţiei:

39

unde:

reprezintă media distribuţiei marginale,iar sunt mediile

condoţionate ale variabilei Y in funcţie de variantele variabilei factoriale

X.

Această mărime, , măsoară variaţia totală a variabilei Y generată

de influenţa întregului complex de factori ce o determină.

- varianţa dintre grupe este măsura variaţiei variabilei Y generată

de variaţia caracteristicii factoriale X. Această mărime se calculează cu

relaţia:

- varianţa reziduală este o mărime care exprimă variaţia

caracteristicii Y generată de factorii consideraţi aleatori, exceptând

influenţa factorului X. Relaţia de calcul a acestei mărimi este:

Se poate demonstra că între cele trei mărimi există relaţia:

= +

40

Raportând relaţia de mai sus la se obţine contribuţia relativă a

factorului esenţial

şi a factorilor întâmplători la explicarea variaţiei totale.

100=

Indicatorul poartă numele de raport de

corelaţie empirică şi exprimă intensitatea legăturii dintre cele două

variabile. Se deduce uşor că acest indicator este definit în

intervalul

Interpretarea valorilor raportului de corelaţie empirică se face pe

baza următoarelor reguli:

41

Dacă datele provin dintr-o cercetare selectivă, înainte de a explica

variaţia lui Y şi a interpreta valoarea raportului de corelaţie empirică

va trebui să se verifice semnificaţia rezultatelor. Testarea

semnificaţiei rezultatelor se face cu ajutorul testului “F” - testul Fisher-

Snedecor.

Rezultatele se consideră semnificative (R este semnificativ diferit

de zero) dacă există inegalitatea:

unde: , reprezintă valoarea empirică a variabilei

Fisher-Snedecor;

, este valoarea teoretică preluată din tabela

distribuţiei Fisher-Snedecor în funcţie de un prag de

semnificaţie şi de numărul gradelor de libertate şi .

Pe baza datelor din tabelul 4 se vor calcula indicatorii necesari

aplicării metodei analizei variaţiei:

- calculul rezistenţei medii la uzură şi a dispersiei pentru

pneurile de tip A.

Fie: k = mărimea intervalului de grupare, k=5;

a= mărimea centrului de interval cu frecvenţa maximă, a=37,5.

42

k = 5, a = 37,5

Tabelul. 4

43

- calculul rezistenţei medii la uzură şi al dispersiei ) pentru

pneurile de tip B.

k = 5, a= 32,5 Tabelul 5

Rezistenţa la

uzură (1000

km parcurşi)

20-25 22,5 17 -2 -34 6825-30 27,5 13 -1 -13 1330-35 32,5 40 0 0 035-40 37,5 20 1 20 2040-45 42,5 8 2 16 3245-50 47,5 2 3 6 18Total - 100 - -5 151

- calculul rezistenţei medii la uzură şi al dispersiei pe

ansamblul celor două tipuri de pneuri (distribuţia marginală a variabilei

Y).

Tabelul 6

Rezistenţa la

uzură

(1000 km

parcurşi)

20-25 22,5 19 -2 -38 7625-30 27,5 21 -1 -21 2130-35 32,5 60 0 0 035-40 37,5 60 1 60 6040-45 42,5 28 2 56 11245-50 47,5 12 3 36 108Total - 200 - 93 377

- calculul varianţelor:

Varianţa totală

Varianţa dintre grupe:

Varianţa reziduală:

- interpretarea rezultatelor se realizează utilizând tabelul analizei

variaţiei:

Tabelul 7

Sursa

de

Măsura

variaţiei

Nr.

grade

Dispersi

a

Valoarea testului

Varian

ţa

dintre

grupe

k-1=1

F0,05;1;198=3,

89

F0,01;1;198=6,

76

Varian

ţa

rezidu

N-

ală k=198 - -

Varian

ţa

totală

N-

1=199

- - -

Deoarece testul Fisher-Snedecor arată că rezultatele obţinute nu

sunt întâmplătoare, cu un prag de semnificaţie de 1%

ci sistematice, se vor calcula contribuţia

relativă a factorului X - marca pneurilor, la explicarea variaţiei variabilei

Y şi raportul de corelaţie empirica (R):

Întrucât marca pneurilor explică în mică măsură variaţia totală

a uzurii pneurilor, respectiv numai 15,89%, iar raportul de corelaţie are

o valoare de asemenea mică, 0,399, rezultă faptul că tipul de pneuri nu

reprezintă un factor important al uzurii şi, prin urmare, ierarhizarea

pneurilor nu se poate face în funcţie de acest factor. Din acest punct de

vedere, întreprinderea de automobile îşi poate echipa vehiculele cu orice

tip de pneu, eventual alegerea putându-se realiza după alţi factori:

facilităţi de aprovizionare, renumele mărcii etc.

D Caz privind corelaţia dintre două variabile numerice

În urma unui studiu statistic efectuat asupra unui eşantion de 110

societăţi comerciale cu acelaşi profil a rezultat următoarea distribuţie

a acestora în funcţie de capitalul social şi de profitul brut realizat:

Tabelul 8

Grupe de

societăţi după

mărimea

Grupe de societăţi după profitul

brut (mii.lei)

Total

sub

30

30-

50

50-

70

70-

90

90-

11

110

-

130

-

pes

te sub 50 7 2 1 - - - - - 1050 - 100 2 10 9 4 - - - - 25100 - 150 1 4 15 10 6 4 - - 40150 - 200 - - - 5 9 4 2 - 20peste 200 - - - - 3 7 5 15

Total 10 16 25 19 15 11 9 5 110

(N)Pe baza acestor rezultate se poate considera că mărimea profitului

brut depinde în mod hotărâtor de capitalul social al societăţilor de acest

profil?

Rezolvare:

Tabelul 8 poartă numele de tabel de corelaţie deoarece în cadrul

acestuia, a fost sistematizată distribuţia celor 110 societăţi în funcţie de

două variabile numerice:

X - capitalul social al societăţilor comerciale - variabilă

factorială;

Y - profitul brut al societăţilor comerciale - variabilă

rezultativă.

Un astfel de tabel se foloseşte în scopul acceptării sau respingerii

ipotezei de lucru, respectiv din ansamblul factorilor de influenţă ai

variabilei Y, factorul X este factorul hotărâtor, determinant al variabilei

Y.

Fiind o serie bidimensională analiza acesteia se efectuează după

aceleaşi principii prezentate în aplicaţia A. Deoarece frecvenţele se

distribuie cu cele mai mari valori de-a lungul diagonalei principale, dar

înregistrând valori şi la stânga şi la dreapta faţă de această diagonală,

rezultă că între cele două variabile se manifestă o legătură statistică în

sens direct.

În acest caz, discuţia legăturii statistice se poate face cu ajutorul mai

multor procedee cum ar fi:

a) metoda analizei variaţiei ;

b) şi metoda regresiei.

Întrucât metoda regresiei necesită precizări suplimentare, care vor fi

făcute în capitolul următor, caracterizarea statistică a dependenţei dintre

capitalul social şi profitul brut al societăţilor se va face numai cu ajutorul

metodei analizei variaţiei. Utilizarea sa în acest scop va decurge în mod

analog cu aplicarea sa din problema precedentă:

- calculul mediilor parţiale 5 - numărul grupelor de societăţi

după mărimea capitalului) şi al dispersiilor parţiale

profitul mediu brut şi dispersia societăţilor comerciale

al căror capital este mai mic de 50 mii lei (a=20; K=20).

Tabelul

9

Profitul

brut

(mii. lei)

10-30 7 20 0 0 030-50 2 40 1 2 250-70 1 60 2 2 4Total 10 - - 4 6

pentru celelalte grupe de societăţi comerciale în funcţie de capital,

profiturile medii brute şi dispersiile corespunzătoare s-au

calculat pe baza distribuţiilor condiţionate respective, rezultând

următoarele valori:

mii. lei/s.c.;

mii. lei/s.c.;

mii. lei/s.c.;

mii. lei/s.c.;

profitul mediu brut pe ansamblul celor 110 societăţi

comerciale şi dispersia aferentă au fost calculate pe baza

distribuţiei marginale a variabilei rezultative, obţinându-se

următoarele valori:

= 79,45 mii. lei/s.c.; = 14508,

-calculul varianţelor:

varianţa totală:

varianţa dintre grupe:

varianţa reziduală:

- interpretarea rezultatelor se realizează utilizând tabelul

analizei variaţiei:

Tabelul 10

Sursa

de

variaţ

Măsura

variaţiei

Nr.

grade

de

Dispersi

a

corectat

Valoarea testului F

Varian

ţa

dintre

grupe

k-1=1

Varian

ţa

rezidu

N-

k=108

- -Varian

ţa

totală

N-

1=109

- - -

Deoarece testul Fisher-Snedecor indică faptul că rezultatele

sunt semnificative cu un prag de semnificaţie de 1%

, se vor calcula contribuţia relativă a

factorului X - capitalul social, la explicarea variaţiei variabilei Y

şi raportul de corelaţie empirică (R):

Deoarece mărimea capitalului social al societăţilor comerciale

explică 73,65% din variaţia profitului brut al acestora, iar raportul de

corelaţie are o valoare de 0,858 (apropiată de limita maximă 1) rezultă

că acest factor determină în mare măsură profitul brut al societăţilor de

acest profil.

1.5. Probleme propuse

A. Într-o secţie de prelucrare a unei întreprinderi există două

prese (A şi B), pe fiecare din ele prelucrându-se câte un lot de piese de

acelaşi tip.

Datorită diminuării cererii acestui produs întreprinderea trebuie să

renunţe la una din prese. Să se menţioneze la care presă trebuie să se

renunţe cunoscând următoarele rezultate obţinute în urma unei selecţii:

- dintr-un lot de 1000 de piese executate la presa A, 2,5% au fost

rebuturi;

- dintr-un lot de 800 de piese executate la presa B, 4,5% au fost

rebuturi.

B. O fabrică de frigidere primeşte motoare de la trei furnizori

diferiţi. În ultimii 5 ani s-au efectuat o serie de înregistrări referitoare la

gravitatea problemelor constatate la motoarele returnate de clienţi pentru

service în timpul perioadei de garanţie. Aceste defecţiuni au fost

clasificate în trei categorii: minore, majore şi "înlocuit".

În tabelul următor sunt prezentate datele culese aleator referitoare la

tipurile de defecţiuni constatate la motoarele returnate, grupate pe

furnizori:

Furnizo

ri

Tipul defecţiunii: Total

motoare minoră majoră înlocuit

A 15 25 18 58B 8 16 10 34C 18 26 20 64

Apreciaţi dacă se poate admite că există o diferenţă calitativă

semnificativă între motoarele livrate de cei trei furnizori.

C. În urma prelucrării datelor unui sondaj statistic s-au obţinut

următoarele rezultate:

Dimensiu Rata profitului (%) Numărul sub 5 5-10 10-

15

15-

20

peste

20mici - 13 17 40 15 85mijlocii 4 16 30 20 15 65

mari 2 8 15 12 8 45

Pe baza acestor date, se poate accepta ipoteza că

rentabilitatea societăţilor comerciale este invers proporţională cu

mărimea lor?

D Rezultatele obţinute în urma unui sondaj efectuat în vederea

stabilirii dacă între vârsta unui şofer şi numărul abaterilor de

circulaţie efectuate de către acesta există vreo legătură sunt

ilustrate în tabelul următor:

Vârst

a

Numărul de abateri0 1-2 3-4 5 şi

18-25 6 24 20 1026-50 12 18 6 451-75 4 16 8 3

Poate fi considerată ca semnificativă vârsta persoanelor în

explicarea numărului de abateri de circulaţie efectuate?

E. O societate comercială care desface zilnic un produs

(lapte) trebuie să încheie un contract cu furnizorul privind

aprovizionarea zilnică. La fiecare litru vândut în ziua respectivă

firma câştigă 2000 lei şi pierde 500 lei dacă nu-l desface în ziua

respectivă. O statistică a desfacerilor din anul trecut se

prezintă astfel:

Cerere

(litri

Num

ăr de 90 80100 120130 60150 50160 30200 20

Total 360

Acceptând că distribuţia cererii pe zilele anului este relativ stabilă,

recomandaţi cantitatea cu care trebuie să se aprovizioneze zilnic firma

pentru a obţine profit maxim.

BIBLIOGRAFIE

1. Andrei, T. - Statistică şi econometrie Editura

Economică, Bucureşti, 2004.

2. Bourbonnais R , Econometrie , Ed. Dunod ,

Paris , 1998

3. Dormont B , Introduction a l’econometrie ,

Ed. Montchrestien , Paris , 1999

4. Florea I.(coordonator), Culegere de modele

econometrice, Ed. Muntele Sion,2000.

5. Iacob, A.I., Tănăsoiu, O. Econometrie, Studii de

caz, Ed. ASE, Bucureşti, 2005.

Capitolul 2

Testarea ipotezelor statistice

2.1.OBIECTIVE: introducerea studenţilor în sfera şi noţiunile

specifice testării ipotezelor statistice

2.2.PREZENTARE SINTETICĂ:

2.2.1. Concepte şi erori în testarea ipotezelor statistice

În statistică, ipotezele apar întotdeauna în perechi: ipoteza nulă şi

ipoteza alternativă. Ipoteza statistică ce urmează a fi testată se numeşte

ipoteză nulă şi este notată, uzual, H0. Ea constă întotdeauna în admiterea

caracterului întâmplător al deosebirilor, adică în presupunerea că nu

există deosebiri esenţiale. Respingerea ipotezei nule care este testată

implică acceptarea unei alte ipoteze. Această altă ipoteză este numită

ipoteză alternativă, notată H1. Cele două ipoteze reprezintă teorii,

mutual exclusive şi exhaustive, asupra valorii parametrului populaţiei

sau legii de repartiţie. Spunem că ele sunt mutual exclusive deoarece

este imposibil ca ambele ipoteze să fie adevărate. Spunem că ele sunt

exhaustive, deoarece acoperă toate posibilităţile, adică ori ipoteza nulă,

ori ipoteza alternativă trebuie să fie adevărată.

Procedeul de verificare a unei ipoteze statistice se numeşte test sau

criteriu de semnificaţie. O secvenţă generală de paşi se aplică la toate

situaţiile de testare a ipotezelor statistice. Ipotezele se vor schimba,

tehnicile statistice aplicate se vor schimba, dar procesul rămâne acelaşi şi

anume:

1). Se identifică ipoteza statistică specială despre parametrul

populaţiei sau legea de repartiţie (H0). Ipoteza statistică – numită şi

ipoteză nulă – reprezintă status quo-ul, ceea ce este acceptat până se

dovedeşte a fi fals.

2). Întotdeauna ipoteza nulă este însoţită de ipoteza alternativă (de

cercetat), H1, ce reprezintă o teorie care contrazice ipoteza nulă. Ea va fi

acceptată doar când există suficiente dovezi, evidenţe, pentru a se

stabili că este adevărată.

După natura posibilităţilor de construire a ipotezelor nule şi

alternative, deosebim ipoteze alternative simple sau compuse. Astfel,

dacă ipoteza nulă constă în afirmaţia că parametrul θ al unei distribuţii

este egal cu o anumită valoare θ0, iar ipoteza alternativă constă în

afirmaţia că parametrul este egal cu θ1, avem o ipoteză alternativă

simplă, iar dacă ipoteza alternativă constă în afirmaţia că parametrul θ ia

una din mai multe valori, , atunci avem o ipoteză

alternativă compusă.

3). Se calculează indicatorii statistici în eşantion, utilizaţi pentru a

accepta sau a respinge ipoteza nulă şi se stabileşte testul statistic ce va fi

utilizat drept criteriu de acceptare sau de respingere a ipotezei nule.

4). Se stabileşte regiunea critică, Rc. Regiunea critică reprezintă

valorile numerice ale testului statistic pentru care ipoteza nulă va fi

respinsă. Regiunea critică este astfel aleasă încât probabilitatea ca ea să

conţină testul statistic, când ipoteza nulă este adevărată să fie α, cu α mic

(α=0.01 etc). Verificarea ipotezei nule se face pe baza unui eşantion de

volum n, extras din populaţia X, care este o variabilă aleatoare. Dacă

punctul definit de vectorul de sondaj x1,x2,…,xn cade în regiunea critică Rc,

ipoteza H0 se respinge, iar dacă punctul cade în afara regiunii critice Rc,

ipoteza H0 se acceptă. Regiunea critică este delimitată de valoarea

critică, C – punctul de tăietură în stabilirea acesteia.

În baza legii numerelor mari, numai într-un număr foarte mic de

cazuri punctul rezultat din sondaj va cădea în Rc, majoritatea vor cădea în

afara regiunii critice. Nu este însă exclus ca punctul din sondaj să cadă în

regiunea critică, cu toate că ipoteza nulă despre parametrul populaţiei

este adevărată. Cu alte cuvinte, atunci când respingem ipoteza nulă,

trebuie să ne gândim de două ori, deoarece există două posibilităţi: ea

este falsă într-adevăr şi ea este totuşi adevărată, deşi pe baza datelor din

sondaj o respingem.

La fel şi pentru situaţia în care acceptăm ipoteza nulă H0. Când

ipoteza nulă nu poate fi respinsă (nu există suficiente dovezi pentru a fi

respinsă), sunt două posibilităţi: ipoteza nulă este adevărată şi ipoteza

nulă este totuşi falsă, greşită deşi nu am respins-o. De aceea, este mai

corect să spunem că pe baza datelor din eşantionul studiat, nu putem

respinge ipoteza nulă, decât să spunem că ipoteza nulă este

adevărată.

Eroarea pe care o facem eliminând o ipoteză nulă, deşi este

adevărată, se numeşte eroare de genul întâi. Probabilitatea comiterii

unei astfel de erori reprezintă riscul de genul întâi (α) şi se numeşte

nivel sau prag de semnificaţie.

Nivelul de încredere al unui test statistic este (1-α) iar în expresie

procentuală, (1-α)100 reprezintă probabilitatea de garantare a

rezultatelor.

Eroarea pe cere o facem acceptând o ipoteză nulă, deşi este falsă, se

numeşte eroare de genul al doilea, iar probabilitatea (riscul) comiterii

unei astfel de erori se notează cu β. Puterea testului statistic este (1-β).

Tabelul de mai jos ilustrează legătura dintre decizia pe care o luăm

referitor la ipoteza nulă şi adevărul sau falsitatea acestei ipoteze.

Erorile în testarea ipotezelor statistice

Decizia de

acceptare

Ipoteza adevărată

H0 H1

0 1 2

H0 Decizie corectă

(probabilitate 1-

α)

Eroare de gen II

(risc β)

H1 Eroare de gen I

(risc α)

Decizie corectă

(probabilitate 1-β)

Cu cât probabilităţile comiterii erorilor de genul întâi şi de genul al

doilea sunt mai mici, cu atât testul este mai bun. Acest lucru se poate

realiza prin mărirea volumului eşantionului, n. Nivelurile riscurilor se

stabilesc în funcţie de considerente economice şi de natura testului.

Am văzut că:

α= P(respingere H0 ׀ H0 este corectă)=P(eroare de gen I)

β= P(acceptare H0 ׀ H0 este falsă)=P(eroare de gen II)

Alegerea nivelului (pragului) de semnificaţie depinde şi de costurile

asociate cu producerea unei erori de genul I.

Spre exemplu, pragul de semnificaţie ales de o firmă ce fabrică

îngheţată, interesată în greutatea medie a cutiilor de îngheţată va putea fi

diferit de pragul de semnificaţie ales de o companie farmaceutică,

interesată de cantitatea medie a unui ingredient activ dintr-un tip de

medicament. Evident, costul în prima situaţie prezentată este mult mai

mic, comparativ cu costul asociat în cazul producerii unei erori de genul

I pentru compania farmaceutică: o cantitate prea mică de ingredient activ

poate face medicamentul ineficient; o cantitate prea mare de ingredient

activ poate cauza efecte secundare, dăunătoare sau poate avea, chiar,

efecte letale.

Similar, există costuri asociate cu producerea unei erori de genul al

II-lea. Între eroarea de genul I şi eroarea de genul al II-lea există o

legătură, o condiţionare. O modalitate de a vizualiza această legătură este

să presupunem că există doar două distribuţii care ne interesează. O

distribuţie corespunde ipotezei nule H0, iar cealaltă corespunde ipotezei

alternativei H1. În acest caz, presupunem că şi ipoteza nulă şi cea

alternativă sunt ipoteze simple. Într-o manieră uşor de înţeles, să

considerăm că ipoteza nulă este de forma H0: μ=μ0, iar ipoteza alternativă

este de forma H1:μ=μ1 (vezi fig):

Legătura dintre probabilităţile α şi β

Pe grafic se observă că cele două distribuţii se suprapun şi, din

procesul de testare a ipotezei nule, pot rezulta două tipuri de erori.

Eroarea de genul I apare atunci când respingem ipoteza nulă H0, în

situaţia în care, de fapt, aceasta este adevărată. Adică, deşi distribuţia lui

este cea corespunzătoare ipotezei H0, respingem H0, deoarece media de

sondaj este mai mare decât valoarea critică, C şi se situează în regiunea

critică. Probabilitatea comiterii unei astfel de erori () este aria de sub

curba de distribuţie H0 care se situează la dreapta valorii critice C.

Eroarea de genul al doilea apare atunci când nu respingem (adică

acceptăm) H0, deşi H1 în loc de H0 este corectă. În acest caz, deşi

distribuţia lui este cea corespunzătoare ipotezei H1, acceptăm H0

deoarece media de sondaj este mai mică decât valoarea critică, C (nu se

află în regiunea critică). Probabilitatea comiterii unei astfel de erori (β)

este aria de sub curba de distribuţie H1 care se situează la stânga valorii

critice, C.

Dacă alegem un prag de semnificaţie, α, mai mic (adică reducem

riscul comiterii unei erori de genul întâi), va creşte β ( riscul comiterii

unei erori de genul al doilea). Cu toate acestea, prin creşterea volumului

n al eşantionului, este posibil să reducem riscul β, fără a creşte riscul α.

Cum , o dată cu creşterea volumului n al eşantionului, aba-

terile medii pătratice ale distribuţiilor pentru H0 şi H1 devin mai mici şi,

evident, atât α, cât şi β descresc (vezi fig.).

α şi β când volumul eşantionului n' > n

5) După ce am stabilit pragul de semnificaţie şi regiunea critică,

trecem la pasul următor, în care vom face principalele presupuneri

despre populaţia sau populaţiile ce sunt eşantionate (normalitate etc.).

6) Se calculează apoi testul statistic şi se determină valoarea sa

numerică, pe baza datelor din eşantion.

7) La ultimul pas, se desprind concluziile: ipoteza nulă este fie

acceptată, fie respinsă, astfel:

a) dacă valoarea numerică a testului statistic cade în

regiunea critică (Rc), respingem ipoteza nulă şi

concluzionăm că ipoteza alternativă este adevărată. Vom şti

că această decizie este incorectă doar în 100 α % din cazuri;

b) dacă valoarea numerică a testului nu cade în regiunea

critică (Rc), se acceptă ipoteza nulă H0.

Ipoteza alternativă poate avea una din trei forme (pe care le vom

exemplifica pentru testarea egalităţii parametrului „media colectivităţii

generale“, μ cu valoarea μ0):

i) să testăm dacă parametrul din colectivitatea generală (media μ)

este egal cu o anumită valoare (inclusiv zero, μ0), cu alternativa media

diferită de valoarea μ0. Atunci:

H0: μ = μ0

H1: μ ≠ μ0 (μ < μ0 sau μ > μ0);

şi acest test este un test bilateral;

ii) să testăm ipoteza nulă μ = μ0, cu alternativa media μ este mai

mare decât μ0.

H0: μ = μ0

H1: μ > μ0

care este un test unilateral dreapta;

iii) să testăm ipoteza nulă μ = μ0, cu alternativa media μ este mai

mică decât μ0.

H0: μ = μ0

H1: μ < μ0

care este un test unilateral stânga.

Regiunea critică pentru testul bilateral diferă de cea pentru testul

unilateral. Când încercăm să detectăm o diferenţă faţă de ipoteza nulă, în

ambele direcţii, trebuie să stabilim o regiune critică Rc în ambele cozi

ale distribuţiei de eşantionare pentru testul statistic. Când efectuăm un

test unilateral, vom stabili o regiune critică într-o singură parte a

distribuţiei de eşantionare, astfel (vezi fig.):

μ μ μ

a) b) c)

Regiunea critică pentru a) test bilateral; b) test

unilateral stânga; c) test unilateral dreapta

2.2.2. Testarea ipotezei privind media populaţiei generale

(μ) pentru eşantioane de volum mare

Utilizarea eşantioanelor de volum mare (n > 30) face posibilă

aplicarea teoremei limită centrală. Putem întâlni teste unilaterale sau

bilaterale, astfel:

i) în cazul testului bilateral, ipotezele sunt:

H0: μ = μ0 (μ - μ0=0)

H1: μ ≠ μ0 (μ - μ0≠0) (adică μ < μ0 sau μ > μ0);

Testarea se face pe baza mediei eşantionului şi, pentru a o efectua,

este nevoie să construim un test cu un nivel de semnificaţie α prestabilit.

Utilizând teorema limită centrală am văzut că dacă volumul eşantionului

este mare, media eşantionului este aproximativ normal distribuită. De

aceea, variabila aleatoare z urmează o distribuţie normală standard.

Dacă pragul de semnificaţie (α) este stabilit, putem determina

valoarea zα/2, pentru care P(z> z α/2)= α/2. Aceasta înseamnă că regiunea

critică Rc este dată de:

Rc: z< - z α/2 sau z> z α/2

Regula de decizie este, deci:

Respingem H0 dacă

sau

ii) pentru testul unilateral dreapta, ipotezele sunt:

H0: μ = μ0 (μ - μ0=0)

H1: μ > μ0 (μ - μ0>0);

Testul statistic calculat este:

Regiunea critică este dată de:

Rc: z > zα

Regula de decizie este:

Respingem ipoteza H0 dacă

iii) Pentru testul unilateral stânga, ipotezele sunt:

H0: μ = μ0 (μ - μ0=0)

H1: μ < μ0 (μ - μ0<0);

Testul statistic calculat este:

Regiunea critică este dată de:

Rc: z < –zα

Regula de decizie este:

Respingem ipoteza H0 dacă :

Să remarcăm că în nici una dintre aceste situaţii nu trebuie făcută o

presupunere specială, deoarece teorema limită centrală ne asigură că

testul statistic va fi aproximativ normal distribuit, indiferent de forma

distribuţiei din colectivitate.

2.2.3.Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două

medii pentru eşantioane de volum mare

Multe cazuri de analiză statistică implică o comparaţie între mediile

a două colectivităţi generale. Spre exemplu, un patron al unui restaurant

doreşte să vadă dacă există diferenţe între vânzările realizate înainte şi

după o campanie de publicitate, un grup de consumatori doreşte să vadă

dacă există o diferenţă semnificativă între consumul electric pentru două

tipuri de cuptoare cu microunde etc.

În aceste situaţii, un estimator al diferenţei (μ1- μ2) este diferenţa

dintre mediile eşantioanelor ( ).

Proprietăţile distribuţiei de eşantionare a diferenţei ( ) sunt:

a) distribuţia de eşantionare pentru ( ) este aproximativ

normală pentru eşantioane de volum mare (n1 > 30 şi n2 > 30);

b) media distribuţiei de eşantionare a lui ( ) este (μ1 – μ2);

c) dacă cele două eşantioane sunt independente, abaterea medie

pătratică a distribuţiei de eşantionare este:

unde şi sunt dispersiile celor două populaţii eşantionate, iar n1

şi n2 sunt volumele eşantioanelor respective.

Mărimea lui indică variabilitatea în valorile , aşteptată în

distribuţia de eşantionare, datorită întâmplării.

În cazul în care dispersiile celor două populaţii eşantionate sunt

egale, = = , abaterea medie pătratică a distribuţiei de eşantionare va

avea forma:

În aceste condiţii, ipotezele statistice ce urmează a fi testate vor fi:

i) test bilateral

H0: (μ1- μ2) = D

H1: (μ1- μ2) ≠ D

[(μ1- μ2)>D sau (μ1- μ2)<D]

ii) test unilateral dreapta

H0: (μ1- μ2) = D

H1: (μ1- μ2) > D

iii) test unilateral stânga

H0: (μ1- μ2) = D

H1: (μ1- μ2) < D

unde D reprezintă diferenţa ipotetică dintre mediile populaţiilor,

deseori egală cu 0.

Testul statistic utilizat are forma:

Regiunea critică este dată de:

i) z< - z α/2 sau z> z α/2

ii) z> z α

iii) z< - z α

2.2.4.Testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ)

pentru eşantioane de volum redus

În afaceri, multe decizii trebuie luate pe baza unor in-formaţii foarte

limitate, adică pe baza datelor provenite din eşantioane mici (de volum

redus, n≤30). În aceste situaţii, efectul imediat este acela că forma

distribuţiei de eşantionare a mediei depinde, acum, de forma populaţiei

generale din care a fost extras eşantionul. În cazul eşantionului de volum

redus se utilizează testul statistic t. Distribuţia de eşantionare a lui va fi

normală (sau aproximativ normală), în cazul eşantioanelor de volum

redus, doar dacă colectivitatea generală este distribuită normal (sau

aproximativ normal).

Pe de altă parte, dacă nu se cunoaşte dispersia din colectivitatea

generală ( ), atunci dispersia eşantionului ( ), poate să nu ofere o

aproximare foarte bună a lui (în cazul eşantioanelor mici). Ca atare, în

locul statisticii z care necesită cunoaşterea (sau o bună aproximare) a lui ,

vom folosi statistica:

,

unde: .

Elementele procesului de testare a ipotezelor statistice privind media

colectivităţii generale (μ) pe baza datelor din eşantioane de volum

redus, devin atunci:

- pentru test bilateral;

H0: μ = μ0,

H1: μ ≠ μ0 (μ < μ0 sau μ > μ0);

- pentru test unilateral dreapta;

H0: μ = μ0,

H1: μ > μ0,

- pentru test unilateral stânga;

H0: μ = μ0,

H1: μ < μ0.

Testul statistic utilizat:

.

Presupunerea specială ce trebuie făcută este aceea că po-pulaţia

generală este normal sau aproximativ normal distribuită.

Regiunea critică este dată de:

i) t > t α/2,n-1 sau t < - t α/2,n-1,

ii) t > t α,n-1,

iii) t < - t α,n-1.

2.2.5.Testarea ipotezei privind proporţia populaţiei

pentru eşantioane mari

Ne amintim că, pentru variabile alternative, media în eşantion era

notată cu f (proporţia succeselor), dispersia f(1-f), iar abaterea medie

pătratică . De asemenea, despre distribuţia de eşantionare a

proporţiei ştim că proporţia eşan-tionului (f) este aproximativ normal

distribuită, de medie p şi eroare standard , pentru n mare ( şi

):

şi .

Pentru testarea ipotezelor statistice privind proporţia este necesar să

lucrăm cu eşantioane mari(n>100).

Exemplu

Cum proporţia f este aproximativ normal distribuită, rezultă că variabila

standardizată este aproximativ normal standardizat distribuită.

(Atenţie! Dacă volumul eşantionului este mic, distribuţia de eşantionare a

proporţiei nu este o distribuţie t şi orice inferenţă asupra lui p trebuie să se

bazeze pe distribuţia lui f, care este o distribuţie binomială!)

Ipotezele nule şi alternative pentru testarea proporţiei se construiesc

în aceeaşi manieră cu ipotezele pentru testarea mediei . Adică, ipoteza

nulă indică faptul că p este egală cu o valoare specificată:

,

în timp ce ipoteza alternativă răspunde la una dintre cele trei

întrebări:

- dacă proporţia este diferită de valoarea specificată (test bilateral):

;

- dacă proporţia este mai mare decât valoarea specificată (test

unilateral dreapta): ;

- dacă proporţia este mai mică decât valoarea specificată (test

unilateral stânga): .

Testul statistic pentru proporţia p este:

.

Regiunea critică (Rc) este dată de:

sau pentru testul bilateral;

pentru testul unilateral dreapta;

pentru testul unilateral stânga.

Aşadar, regula de decizie este: se respinge ipoteza nulă şi se acceptă

ipoteza alternativă, dacă z se situează în regiunea critică (Rc) stabilită în

funcţie de probabilitatea dorită de garantare a rezultatelor .

2.2.6. Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii

pentru eşantioane de volum redus

În cazul în care dorim să testăm semnificaţia diferenţei dintre mediile

a două eşantioane de volum redus, va trebui să construim, ca şi în cazul

anterior, o statistică t, Student. Pentru aceasta vom presupune că:

- ambele colectivităţi generale din care s-au extras eşan-tioanele sunt

normal sau aproximativ normal distribuite;

- dispersiile în cele două colectivităţi generale sunt egale;

- eşantioanele aleatoare sunt selectate independent unul de celălalt.

În condiţiile în care presupunem că cele două colectivităţi generale au

dispersii egale ( = = ), un estimator al dispersiei (variabilităţii)

totale din cele două populaţii combinate este:

sau

.

Aşadar, dispersia combinată este media aritmetică pon-derată a

dispersiilor celor două eşantioane, şi .

Dacă dispersiile nu sunt egale (σ2x1≠σ2

x2), atunci testul statistic are

forma:

cu gradele de libertate:

Ipotezele statistice vor fi, în aceste condiţii:

- pentru test bilateral;

H0: μ1 = μ2 (μ1- μ2 = D),

H1: μ1 ≠ μ2 (μ1- μ2 ≠ D),

- pentru test unilateral dreapta;

H0: μ1 = μ2 (μ1- μ2 = D),

H1: μ1 > μ2 (μ1- μ2 > D),

- pentru test unilateral stânga;

H0: μ1 = μ2 (μ1- μ2 = D),

H1: μ1 < μ2 (μ1- μ2 < D).

Testul statistic t va avea forma:

.

Regiunea critică este dată de:

- pentru test bilateral: t< –t sau t> t ;

- pentru test bilateral dreapta: t> t ;

- pentru test bilateral stânga: t< – t .

Trebuie să facem o remarcă asupra presupunerilor privind

normalitatea distribuţiei în colectivitatea generală: teoria statistică a

dezvoltat teste pentru verificarea normalităţii distribuţiilor, teste prin

care se verifică ipoteza nulă conform căreia legea de repartiţie este cea

normală N(μ, σ2), cu μ şi parametrii necunoscuţi ce urmează a fi

estimaţi pe baza datelor eşantionului considerat. Cele mai cunoscute teste

pentru verificarea normalităţii sunt testul χ2 de concordanţă cu legea

normală, testul Kolmogorov - Smirnov, testul de normalitate al lui

Lilliefors (vezi Trebici, V. (coord.) — Mică enciclopedie de statistică,

Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985).

Dacă ipoteza nulă nu este acceptată, vom putea apela la teste sta-

tistice neparametrice, în cadrul cărora nu se fac presu-puneri speciale

asupra formei distribuţiei.

2.2.7. Testarea ipotezei privind dispersia unei populaţii

Aşa cum am văzut în capitolul anterior, suma pătratelor diferenţelor

(care este, de fapt, egală cu sau pentru eşantioane

mici), împărţită la dispersia colectivităţii generale, are o distribuţie hi-

pătrat ( ) (dacă populaţia eşantionată este normal distribuită).

Aşadar, testul statistic utilizat în testarea ipotezei privind este:

,

care are o distribuţie cu (n-1) grade de libertate, când populaţia

eşantionată este normal distribuită, cu dispersia .

Valoarea lui pentru care aria de sub curbă (situată la dreapta ei)

este egală cu α, se noteaza . Nu putem folosi notaţia pentru a

reprezenta punctul la care aria din stânga este α, deoarece statistica

este întotdeauna mai mare decât zero. Dar reprezintă punctul pentru

care aria de sub curbă situată la stânga lui este α.

Spre exemplu:

Ipoteza nulă este:

cu ipoteze alternative:

- pentru test bilateral ,

- pentru test unilateral drept ,

- pentru test unilateral stâng .

Regiunea critică este dată de:

sau pentru test bilateral,

pentru test unilateral dreapta,

pentru test unilateral stânga.

Factorii ce identifică testul privind dispersia unei populaţii:

Obiectiv: caracterizarea unei colectivităţi;

Aspectul vital: variabilitatea;

Tipul datelor: cantitative.

2.2.8.Testarea ipotezei privind raportul dintre două dispersii

Am văzut că testarea ipotezei privind dispersia poate fi utilizată

pentru a trage concluzii privitoare la consistenţa unor procese economice

ori privitoare la riscurile asociate. În acest subcapitol vom compara două

dispersii, ceea ce ne va permite să comparăm consistenţa a două procese

sau riscurile a două portofolii de investiţii etc.

Statisticienii testează, adesea, egalitatea dintre două dispersii înainte

de a decide ce procedeu să folosească în verificarea ipotezei privind

diferenţa dintre două medii.

Vom compara dispersiile a două populaţii, determinând raportul

dintre ele. În consecinţă, parametrul ce ne interesează este . Dacă

dispersia eşantionului este (aşa cum am văzut) un estimator nedeplasat şi

consistent al dispersiei colectivităţii generale, să notăm că raportul

este estimator punctual al raportului de dispersii .

Distribuţia de eşantionare a raportului este o distribuţie F, dacă

eşantioanele au fost extrase independent din populaţii normal distribuite.

Valoarea lui F pentru care aria de sub curbă (situată la dreapta ei) este

α, se notează cu Fα (cu gradele de libertate gl1 şi gl2).

Din matematică ştim că raportul dintre două variabile hi-pătrat

independente împărţite la gradele lor de libertate are o distribuţie F.

Gradele de libertate ale distribuţiei F sunt identice cu gradele de libertate

ale celor două distribuţii hi-pătrat. Atunci:

,

cu şi grade de libertate.

În cele ce urmează, ipoteza nulă este întotdeauna specificată ca

egalitatea între două dispersii, adică sub forma egalităţii raportului cu

unitatea.

.

Ipoteza alternativă poate fi construită astfel: fie că raportul este diferit

de 1, fie mai mare, fie mai mic decât 1.

Tehnic, testul statistic este , dar în condiţiile ipotezei nule,

adică , testul statistic devine: , care urmează o distribuţie F

cu şi grade de libertate.

Regiunea critică este dată de:

sau pentru test bilateral,

pentru test unilateral dreapta,

pentru test unilateral stânga.

gl1 = n1 –1gl2 = n2 –1

2.3. Întrebări

1. Cum apar în statistică ipotezele?

2. Cum se stabileşte regiunea critică, Rc pentru

testul bilateral?

3. Cum se stabileşte regiunea critică, Rc pentru

testul unilateral ?

4. În testarea ipotezei privind media populaţiei

generale (μ) pentru eşantioane de volum mare , în

cazul testului bilateral, care sunt ipotezele ?

5. În testarea ipotezei privind diferenţa dintre

două medii pentru eşantioane de volum mare, care

sunt proprietăţile distribuţiei de eşantionare a

diferenţei ( ) ?

2.4.Probleme rezolvate

Exemplu 1 - Testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ) pentru eşantioane de volum mare

Presupunem că un fabricant de materiale de construcţii

comercializează ciment în pungi, care trebuie să conţină 12 kg/pungă.

Pentru a detecta eventuale abateri în ambele sensuri de la această

cantitate, selectează 100 de pungi, pentru care calculează kg, sx=

0,5 kg. Pentru α = 0,01 (grad de încredere (1- α)100=99%) să se

determine dacă se acceptă ipoteza nulă, aceea că greutatea pungilor este

în medie de 12 kg.

H0: μ = 12

H1: μ ≠ 12 ( μ < 12 sau μ > 12);

z α/2=z0,005=2,575

Regiunea critică: z< - z α/2 sau z> z α/2

Cum z = - 3,0 < - 2,575 rezultă că sunt suficiente evidenţe pentru a

respinge ipoteza nulă H0 şi a accepta ipoteza alternativă, aceea că

greutatea pungilor diferă, în medie, de 12 kg.

Exemplu 2 : Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii pentru eşantioane de volum mare

Managerul unui restaurant doreşte să determine dacă o campanie de

publicitate a dus la creşterea veniturilor medii zilnice. Au fost

înregistrate veniturile pentru 50 de zile înainte de desfăşurarea campa-

niei. După desfăşurarea campaniei şi trecerea unei perioade de 20 de zile

pentru ca această campanie să îşi facă efectul, se înregistrează veniturile

pentru 30 de zile. Aceste două eşantioane vor permite testarea ipotezei

privind efectul campaniei asupra veniturilor. Din prelucrarea datelor

pentru cele două eşantioane, rezultă:

Înainte de campanie După campanie

n1=50 n2=30

mil. lei mil. lei

s1=2,15 mil. lei s2=2,38 mil. lei

Dorim să vedem dacă veniturile au crescut (μ2> μ1), aşadar, vom

efectua un test unilateral stânga:

H0: μ1 = μ2 (μ1 - μ2 = 0)

H1: μ1 < μ2 (μ1 - μ2 < 0)

Pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 (probabilitate de garantare a

rezultatelor (1- α)100=95%, zα=z0,05=1,645. Să notăm că regiunile critice,

pentru cele mai comune valori ale lui α sunt date de (vezi tab.):

Regiumile critice pentru diferite valori

α Test

unilateral

stânga

Test

unilateral

dreapta

Test bilateral

0 1 2 3

0,10 z < - 1,28 z > 1,28 z < - 1,645 sau z >

1,645

0,05 z < - 1,645 z > 1,645 z < - 1,96 sau z >

1,96

0,01 z < - 2,33 z > 2,33 z < - 2,575 sau z >

2,575

Presupunând că cele două eşantioane (înainte şi după campanie)

sunt independente, vom calcula testul z:

Cum valoarea calculată nu este mai mică decât –z0,05= –1,645,

rezultă că nu ne aflăm în regiunea critică. Eşantioanele nu oferă aşadar,

suficiente dovezi (la α = 0,05) pentru ca managerul restaurantului să

concluzioneze că veniturile au crescut în urma campaniei de publicitate.

Exemplu 3 - testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ)

pentru eşantioane de volum redus

Conducerea unei companii apelează la 5 experţi pentru a previziona

profitul companiei în anul curent. Valorile previzionate sunt: 2,60; 3,32;

1,80; 3,43; 2,00 (miliarde lei, preţurile anului anterior).

Ştiind că profitul companiei în anul anterior a fost de 2,01 mld. lei,

sunt suficiente dovezi pentru a concluziona că media previziunilor

experţilor este semnificativ mai mare decât cifra anului anterior (pentru α

= 0,05)?

Media previziunilor experţilor este mld. lei, cu dispersia:

şi abaterea medie pătratică:

mld. lei.

Elementele procesului de testare a ipotezei statistice sunt:

H0: μ = 2,01,

H1: μ > 2,01 (test unilateral dreapta).

.

În scopul folosirii statisticii t, vom face presupunerea că populaţia

generală din care s-a extras eşantionul este normal distribuită.

Cum tα,n-1 = t0,05;4 = 2,132, regiunea critică este dată de t>tα,n-1. Cum

t=1,874< t0,05;4=2,132, nu putem trage concluzia că media profitului previ-

zionată de cei 5 experţi pentru anul curent este semnificativ mai mare decât

profitul anului trecut, de 2,01 mld. lei.

Exemplu 4 : testarea ipotezei privind proporţia populaţiei pentru

eşantioane mari

Managerul unui laţ de magazine consideră în urma unei analize

financiare că - pentru un nou produs - comercializarea este profitabilă,

dacă procentul cumpărătorilor care ar dori să achiziţioneze produsul este

mai mare de 12%. El selectează 400 de cumpărători potenţiali şi află că

52 dintre aceştia vor achiziţiona produsul. Pentru o probabilitate de 99%

sunt suficiente dovezi care să convingă managerul să comercializeze

produsul?

Ipotezele sunt:

,

(test unilateral dreapta).

Testul statistic este:

.

Cum şi , rezultă că nu ne aflăm în regiunea critică

(Rc), nu avem suficiente dovezi să respingem ipoteza nulă, deci procentul

nu este mai mare de 12%.

Exemplu 5 : testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii

pentru eşantioane de volum redus

Presupunem că dorim să testăm ipoteza conform căreia între două

mărci de autoturisme nu există diferenţe semni-ficative privind

cheltuielile de funcţionare. Pentru aceasta 20 de posesori de autoturisme

(8 posesori ai primei mărci şi 12 po-sesori ai celei de-a doua) sunt rugaţi

să ţină, cu acurateţe, evidenţa cheltuielilor de funcţionare pe o perioadă

de un an de zile. Pentru α=0,1 (probabilitate de garantare a rezultatelor

(1-α)100 = 90%) să se testeze această ipoteză, dacă rezultatele prelucrării

datelor în eşantioane sunt:

Marca 1 Marca 2

n1=8 n2=12

mil. lei mil. lei

sx1=0,485 mil. lei sx2=0,635 mil. lei

3379,0

2128

635,0112485,018s

222c

Ipotezele statistice sunt:

H0: μ1 = μ2 (μ1- μ2 = 0),

H1: μ1 ≠ μ2 (μ1- μ2 ≠ 0) [μ1> μ2 sau μ1< μ2].

Testul statistic este:

5943,1

2653,0

423,0

12

1

8

13379,0

0273,5696,5t

Cum tα/2,n1+n2-2= t0,05;18 = 1,734, se observă că t < tα/2,n1+n2-2, aşadar nu ne

aflăm în regiunea critică.

Rezultă, deci, că nu există suficiente dovezi pentru a concluziona că

sunt diferenţe semnificative între cheltuielile de funcţionare ale celor

două mărci de autoturisme.

Exemplu 6 : testarea ipotezei privind dispersia unei populaţii

Pentru următoarele date privind cererea unui produs (selectate

dintr-o colectivitate normal distribuită), să se testeze (pentru o

probabilitate de 95%), ipotezele:

,

.

Datele sunt: 85, 59, 66, 81, 35, 57, 55, 63, 63, 66.

În eşantion: , .

.

Testul statistic este:

.

Cum , şi vom respinge ipoteza nulă şi

vom accepta ipoteza alternativă, .

Exemplu 7 : testarea ipotezei privind raportul dintre două

dispersii

Un analist doreşte să compare împrăştierea veniturilor pe familie,

pentru colectivitatea turiştilor ce preferă turismul litoral, cu împrăştierea

veniturilor, pentru colectivitatea turiştilor ce preferă turismul balnear.

Presupunând că distribuţiile veniturilor (mil. lei), în cele două colectivităţi

sunt aproximativ normale au fost selectate două eşantioane, de volum 60 şi

50 de persoane, iar abaterile medii pătratice (mil. lei) sunt: şi

. Se utilizează o probabilitate de garantare a rezultatelor de 95%.

Ipotezele statistice sunt:

,

.

Testul statistic are valoarea:

.

Regiunea critică (pentru ) este dată de:

.

Cum ipoteza nulă se respinge (aceea că raportul dintre

dispersii este 1) şi se acceptă ipoteza alternativă. Acest lucru înseamnă că

se acceptă ipoteza conform căreia împrăştierea veniturilor pentru turiştii

din zona litorală este semnificativ mai mare decât cea a turiştilor din

zona balneară.

În general - dacă la numărător se trece dispersia cea mai mare - testul

F este un test unilateral dreapta.

2.5. BIBLIOGRAFIE

1. Andrei, T. - Statistică şi econometrie Editura Economică, Bucureşti, 2004.

2. Bourbonnais R , Econometrie , Ed. Dunod , Paris , 1998

3. Dormont B , Introduction a l’econometrie , Ed. Montchrestien , Paris , 1999

4. Florea I.(coordonator), Culegere de modele econometrice, Ed. Muntele Sion,2000.

5. Iacob, A.I., Tănăsoiu, O. Econometrie, Studii de caz, Ed. ASE, Bucureşti, 2005.

6. Pecican, E.... Econometrie pentru economişti, Ed. Economică, Bucureşti, 2004.

Capitolul 3

3.1.OBIECTIVE: introducerea studenţilor în sfera şi noţiunile

specifice

modelului de regresie,

3.2.PREZENTARE SINTETICĂ:

3.2.1 Specificarea unui model de regresie

Un studiu econometric începe cu o serie de presupuneri teoretice

despre anumite aspecte ale economiei.

Investigaţiile empirice furnizează estimatori pentru parametri

necunoscuţi ai modelului.

Keynes: C=f(x)

Suma cheltuită pentru consum depinde de:

mărimea venitului pe de o parte

alte obiective în funcţie de circumstanţe (de exemplu investiţiile)

alte nevoi subiective

Legea psihologică fundamentală: „o persoană este dispusă de

regulă şi în medie să îşi crească consumul pe măsura creşterii venitului

dar nu în aceeaşi măsură”

un nivel absolut mai mare al venitului va tinde de regulă să

mărească diferenţa între venit şi consum:

Presupunerea cea mai simplă: C=+X, 0<<1 este o relaţie

deterministă neadecvată.

În model trebuie inclus şi factorul aleator:

C=f(X,)

Modelul cel mai simplu:

C=+X+

Modelul general ce trebuie estimat are forma:

yi = + xi + i, i=1,n

unde: - xi este nestochastic (situaţie experimentală)

- analistul alege valorile regresiei xi şi apoi observă yi

Valoarea parametrului arată modificarea proporţională a

variabilei efect (Y) la modificarea cu o unitate a variabilei cauză (X).

Valoarea parametrului arată punctul în care linia interceptează

(taie) axa OY

i reprezintă componenta reziduală (eroarea aleatoare) pentru

fiecare unitate, adică partea din valoarea variabilei Y care nu poate fi

măsurată prin relaţia sistematică existentă cu variabila X.

Modelul liniar unifactorial y=1+0,5x

Modelul probabilistic conţine:

a) componenta deterministică, adică partea din valoarea lui Yi care

poate fi determinată cunoscând valoarea Xi ( + Xi = Yi')

b) componenta reziduală care nu poate fi determinată cunoscând

valoarea individuală Xi (i)

Atunci,

Yi = + Xi + i

Yi = componenta predictibilă (detrministică) + eroarea aleatoare

Yi = Yi' + i

Dacă datele disponibile provin dintr-un eşantion avem la dispoziţie n

perechi de observaţii (x1, y1), (x2,y2), ... (xn, yn), pe care le vom folosi

pentru estimarea parametrilor ecuaţiei de regresie liniară simplă, şi .

Modelul de regresie liniară în eşantion este yi = a + bxi + ei

cu componenta predictibilă:

a şi b sunt estimatorii punctului de intercepţie () şi pantei liniei drepte

(), obţinuţi pe eşantion

ei este valoarea reziduală (pentru unitatea i) în eşantion:

ei = yi – (a + bxi)

Abaterea ei de la linia de regresie

Ipotezele modelului de regresie liniară

Pentru a obţine proprietăţile dorite ale estimatorilor regresiei, se fac, de

obicei, cinci presupuneri (ipoteze) standard pentru modelul din populaţia

generală:

Ipotezele ce trebuie verificate:

1. Forma funcţională: yi = + xi + i, i=1,n

2. Normalitatea erorilor: i N(0,2)

3. Media zero a erorilor: μ(i)=0 i

4. Homoscedasticitatea: σ2i)=2 constantă i

5. Non autocorelarea erorilor: Cov(i,j)=0 ij

6. Necorelarea între regresor şi erori: Cov(xi,j)=0 i şi j

Ipoteza 1: Forma funcţională

a. y=a+bx

a. y=a+bz, z=ex

b. y=a+br, r=1/x

c. y=a+bq, q=ln(x)

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

-1 0.003 0.008 0.013 0.018 0.023 0.028 0.033 0.038 0.043 0.048 0.053 0.058 0.063 0.068X

Y

xba

1 xbea

bxa

xba ln

Fig. - Modele ce pot fi linearizate

Sau y=Ax ln(y)=+ln(x)

Forma generală: f(yi)= +g(xi)+i

Contra exemplu: nu poate fi transformat în model liniar.

Erorile

Ipoteza de linearitate a modelului include şi aditivitatea erorilor.

Forma modelului:

y = + x + ,

De exemplu modelul se transformă prin logaritmare în

modelul liniar: ln(y)=ln(A)+ln(x)+ .

Însă modelul nu mai poate fi transformat în model liniar.

Dacă ipoteza de linearitate este verificată, variabila dependentă

observată este suma a două elemente:

- un termen nestochastic: +x

- o variabilă aleatoare

Ipoteza 2: normalitatea erorilor

Se presupune că variabila aleatoare i este normal distribuită :

Distribuţia de probabilitate pentru i

Ipoteza 3: media erorilor este zero: μ( i)=0 i

Este naturală atâta timp cât este văzută ca suma efectelor

individuale, cu semne diferite.

Dacă media erorilor este diferită de zero, ea poate fi considerată ca

o parte sistematică a regresiei:

μ()= + x + = (+) + x + (-)

media erorilor este acum nulă.

Această presupunere indică faptul că media valorilor Y, condiţionat

de X, (Y/X = Xi) = + Xi, adică nu există variabile omise asociate cu

regresia în populaţie.

Ipoteza 4 (de homoscedasticitate): Var( i)= 2 constantă i

Dispersia reziduurilor în populaţie este constantă peste toate

valorile Xi

Functia de consum

0

200

400

600

800

1000

1200

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

venit

con

sum

a) constantă b) constantă

Dispersia reziduurilor a) constantă; b) constantă

Discuţie:

Profiturile firmelor mari vor varia mult mai mult ca profiturile

firmelor mici.

variaţia cheltuielilor gospodăriilor în funcţie de venit sau de

mărimea lor poate fi diferită.

Ipoteza 5: Non autocorelarea erorilor: μ( ij)=0 i j

Această ipoteză nu implică faptul că yi şi yj sunt necorelate, ci

faptul că deviaţiile observaţiilor de la valorile lor aşteptate sunt

necorelate.

Variabilele aleatoare i sunt statistic independente una de alta, adică

= 0, pentru i j. Acest lucru înseamnă că eroarea asociată cu o

valoare a variabilei Y nu are nici un efect asupra erorilor asociate cu alte

valori ale lui Y;

nu există deci corelaţie între reziduuri;

OBSERVAŢIE: De asemenea este convenabil a considera că

erorile sunt independente şi normal distribuite cu medie zero şi

variaţie constantă pentru obţinerea de rezultate statistice exacte.

Estimarea parametrilor modelului de regresie clasic

Parametrii necunoscuţi ai reacţiei stochastice sunt cei ce trebuie

estimaţi:

yi = + xi + i, i=1,n

Modelul estimat va fi scris:

Eroarea asociată unui punct i este:

i = yi - - xi

Pentru orice valori estimate a şi b, erorile estimate vor fi:

ei = yi - a - bxi

Pentru estimarea parametrilor şi pe baza datelor observate,

un criteriu natural este cel de maximizare a potrivirii modelului cu

datele observate, deci de minimizare a erorilor observate:

Condiţiile de ordin 1 de minimizare a funcţiei sunt:

Rămâne de verificat dacă este verificată condiţia de ordin 2, adică

soluţia găsită este un punct de minim. Matricea derivatelor parţiale de

ordin doi trebuie să fie pozitiv definită:

Deci matricea este pozitiv definită.

3.2.2 Modelul de regresie clasic

Evaluarea validităţii modelului de regresie clasic

Estimatorii a (intercepţia) şi b (panta) ai parametrilor şi sunt daţi de :

Se observă că obţinem din ecuaţia:

împărţind prin n :

şi, înlocuind în ecuaţia :

pe xi cu deviaţia obţinem:

Cum primul termen situat în partea stângă a ecuaţiei este egal cu zero, rezultă:

şi în final:

Estimatorul a (intercepţia) poate lua valori negative sau pozitive.

Estimatorul b (panta liniei drepte) numit şi coeficient de regresie

are întotdeauna semnul indicatorului sxy,

sxy este covarianţa între x şi y.

Linii de regresie cu a) pantă pozitivă b) pantă negativă c) pantă egală cu zero

În evaluarea validităţii modelului se verifică dacă variaţia lui x este

un bun predictor pentru variaţia lui y.

Doi indicatori alternativi pot fi utilizaţi pentru a măsura calitatea

ajustării pentru regresia statistică :

Abaterea medie pătratică (eroarea standard) a reziduurilor

(măsură absolută a calităţii ajustării pe baza regresiei în eşantion)

Coeficientul de determinaţie (indicator relativ).

Este necesar să analizăm componentele indicatorilor de variaţie a lui y.

În aplicarea metodei regresiei, sunt asociate variabilei dependente y

două medii:

media totală ( ) şi

media condiţionată ( ).

variaţia (abaterea) totală ( ) poate fi împărţită în :

abaterea neexplicată de model ( ) şi

abaterea explicată ( ), astfel:

Abaterea ( ) nu poate fi explicată de linia de regresie, deoarece

atunci când xi se modifică, ambele valori yi şi se modifică;

abaterea ( ) poate fi explicată, deoarece când xi se schimbă,

rămâne constant

Abaterea valorilor individuale yi de la medie

Prin ridicarea la pătrat a fiecărei abateri şi însumarea pentru toate observaţiile, obţinem:

Putem nota:

= varianţa totală, suma pătratelor abaterilor totale.

= varianţa neexplicată, suma pătratelor erorilor.

= varianţa explicată, suma pătratelor abaterilor dato-

rate regresiei.

Vom avea, atunci:

se mai notează:

Variaţia variabilei dependente y este definită în termeni de deviaţie de la valoarea ei medie:

Deci: SST = SSR + SSE

Variaţia totală = Variaţia de regresie + Variaţia reziduală

Putem calcula şi discuta cei doi indicatori ai calităţii ajustării astfel :

tabelul ANOVA este pentru testarea calităţii ajustăriiTabelul ANOVA

Sursa

variaţiei

Suma pătratelor Grade de libertate

Media pătratelor (dispersia corectată)

0 1 2 3Datorată regresiei

Reziduală

k

n – k – 1

Totală n – 1

Unde:

k reprezintă numărul variabilelor independente luate în consideraţie

(pentru regresia liniară simplă, k = 1).

Dacă se împart varianţele la (n – 1), avem:

relaţie care poate fi scrisă ca

deoarece:

abaterea medie pătratică a erorilor în eşantion este:

unde este un estimator nedeplasat al dispersiei reziduurilor . o

mărime relativă a calităţii ajustării, prin exprimarea ponderilor

dispersiilor (explicată şi reziduală) în dispersia totală este:

Coeficientul de determinaţie este:

Raportul reprezintă proporţia variaţiei totală care este explicată de linia de regresie.

Sau se poate scrie

Coeficientul de determinare ca proporţia variaţiei explicată de

modelul de regresie în variaţia totală:

R2 = 0 dacă b=0, , deci dacă ecuaţia de regresie este o dreaptă

orizontală. În acest caz variabila x nu are putere explicativă.

R2 = 1 dacă punctele determinate de observaţiile făcute asupra

variabilelor x şi y se află toate pe o dreaptă, caz în care erorile vor fi

zero.

În cazul în care toate valorile lui y se află pe o dreaptă verticală, R2

nu are nici o semnificaţie şi nu poate fi calculat.

Aşadar, R2 reprezintă măsura în care variabila independentă, X,

explică variaţia variabilei rezultative Y.

Coeficientul de determinaţie nu este ajustat cu gradele de libertate.

Dacă utilizăm estimatorii nedeplasaţi şi , obţinem valoarea ajustată

a coeficientului de determinaţie .

Valoarea lui este întotdeauna mai mică decât valoarea lui R2.

Observaţii:

1. R2 poate fi interpretat ca procentul variaţiei lui y explicată de

variaţia veriabilei x doar pentru cazul în care metoda celor mai mici

pătrate este aplicată modelului liniar de regresie.

2. Pentru orice model coeficientul R2 poate fi calculat ca:

unde

3.3. Probleme rezolvate

Exemplu : Modelul de regresie clasic I. Estimarea parametrilor

Ecuaţiile normale pentru exemplul din primul paragraf privind

consumul şi veniturile sunt:

Deci:

C = -67,58 + 0,98 V

Interpretare:

1. La o variaţie a venitului cu o unitate monetară, consumul va

varia în aceeaşi direcţie cu 0,98 unităţi monetare.

2. Termenul liber se interpretează în general ca nivelul variabilei

dependente pentru cazul în care variabila independentă este zero. În

cazul exemplificat, valoarea termenului liber este negativă, iar consumul

nu poate fi negativ, deci singura interpretare ce poate fi dată este că va

avea loc a consumul de la un nivel al venitului de: 67,58/0,98=69.

II. Determinarea coeficientului de determinare

Pentru exemplul anterior se mai cunosc:

Scc=64972,12; Sxx=67192,44; Sxc=65799,34

SST = Scc = 64972,12

SSR = b2Sxx = 0,979267*67192,44 = 64435,12

SSE = SST-SSR = 64972,12 - 64435,12 = 537

Deci: R2 = SSR/SST = 64435,13/64972,12 = 0,99173

Interpretare:

1. 99,17% din variaţia consumului este datorată variaţiei venitului.

2. 99,17% din variaţia consumului este explicată de modelul de

regresie.

III. Testarea coeficientului de determinare

Tabelul ANOVA

Sursa

variaţiei

Măsura

variaţiei

Numărul

gradelor de

libertate

Suma

pătratelor

Variaţia de

regresie

64435,12 1 64435,12

Variaţia

reziduală

537 8 67,124

Variaţia

totală

64972,12 9 7219,12

Fcalc = 64435,12/67,124 = 959,94

F0,95;1,8 = 5,32

Fcalc F0,95;1,8 deci R2 este reprezentativ.

Bibliografie generală

1. Andrei, T. - Statistică şi econometrie Editura

Economică, Bucureşti, 2004.

2. Bourbonnais R , Econometrie , Ed. Dunod , Paris ,

1998

3. Dormont B , Introduction a l’econometrie , Ed.

Montchrestien , Paris , 1999

4. Florea I.(coordonator), Culegere de modele

econometrice, Ed. Muntele Sion,2000.

5. Green W H , Econometric Analysis , Ed. Pretince

Hall , Londra , 1997

6. Giraud R , Chaix N , Econometrie , Ed. P.U.F. ,

Paris , 1989

7. Gourieroux C , Monfort J , Statistique et modeles

econometriques , Ed. Economica , Paris , 1989

8. Iacob, A.I., Tănăsoiu, O. - Modele econometrice

Volumul I, Ed. II rev., Ed. ASE, Bucureşti, 2005.

9. Iacob, A.I., Tănăsoiu, O. Econometrie, Studii de

caz, Ed. ASE, Bucureşti, 2005.

10. Pecican E., Econometrie, Ed. Intercredo, Deva,

1997.

11. Pecican, E.... Econometrie pentru economişti, Ed.

Economică, Bucureşti, 2004.