cvasi.doc
44
Partea I. Regimul cvasista\ionar 1 PARTEA I C^MPUL ELECTROMAGNETIC CVASISTA|IONAR 1. Ecua\iile c@mpului electromagnetic cvasista\ionar Fie un domeniu [n care dorim s` studiem c@mpul electromagnetic. Legea induc\iei electromagnetice, [n forma local` este: (1.1) Regimul cvasista\ionar rezult` prin neglijarea curentului herzian [n legea circuitului magnetic, care cap`t` astfel forma Teoremei lui Ampère. Forma ei local` este: (1.2) Aceast` aproximare privind legea circuitului magnetic este pe deplin justificat` pentru analiza c@mpului electromagnetic [n medii conductoare. {ntr-adev`r, forma complet` a
-
Upload
eu-adelina -
Category
Documents
-
view
8 -
download
3
Transcript of cvasi.doc
3.2. Rela\ii globale, energie, for\e generalizate.
Partea I. Regimul cvasista\ionar 1
Partea I. Regimul cvasista\ionar 32
PARTEA I
C^MPUL ELECTROMAGNETIC CVASISTA|IONAR
1. Ecua\iile c@mpului electromagnetic cvasista\ionar
Fie un domeniu ( [n care dorim s` studiem c@mpul electromagnetic.
Legea induc\iei electromagnetice, [n forma local` este:
(1.1)
Regimul cvasista\ionar rezult` prin neglijarea curentului herzian [n legea circuitului magnetic, care cap`t` astfel forma Teoremei lui Ampre. Forma ei local` este:
(1.2)
Aceast` aproximare privind legea circuitului magnetic este pe deplin justificat` pentru analiza c@mpului electromagnetic [n medii conductoare. {ntr-adev`r, forma complet` a legii circuitului magnetic este . S` presupunem acum c`, [ntr-un punct oarecare din domeniul conductor, induc\ia electric` D este orientat` pe o direc\ie u ]i este func\ie sinusoidal` de timp: . Atunci avem:
unde ( este conductivitatea mediului conductor. Raport@nd valorile maxime ale celor doi termeni din membrul drept al legii circuitului magnetic, avem:
(=
unde f este frecven\a, iar ( este rezistivitatea. In cazul cuprului, de exemplu, valoarea acestui raport este (=. Este evident faptul c` termenul trebuie neglijat. Pentru mediile conductoare, ponderea acestui termen devine important` dac` rezistivitatea este foarte mare ]i frecven\a c@mpului electromagnetic este foarte ridicat`. Un exemplu poate fi p`truderea c@mpului electromagnetic [n corpul omenesc, [n procedurile de investigare bazate pe rezonan\` magnetic` nuclear`.
Termenul poate fi neglijat ]i [n regiunile cu aer ale domeniului (, dac` frecven\a este suficient de mic` (viteza de varia\ie [n timp a c@mpului electromagnetic este suficient de mic`). {ntr-adev`r, s` presupunem c` intensitatea c@mpului electric este limitat` superior la valoarea 10MV/m. Atunci, pentru densit`ti de curent uzuale, de cca. 106A/m2, rezult` (=10-9f. Vom vedea (Cap.5) c` ad@ncimea de p`trundere a c@mpului electromagnetic [n corpurile conductoare este cu at@t mai mic` cu c@t frecven\a este mai mare. De exemplu, [n cazul cuprului, pentru f>1MHz ad@ncimea de p`trundere este sub 0,1mm. {n acest caz, suprafa\a corpului conductor poate fi privit` ca o frontier` cu condi\ii de frontier` speciale, privind c@mpul electromagnetic din regiunile cu aer. Analiza c@mpului electromagnetic se face altfel dec@t [n modelul cvasistationar (unde electromagnetice [n regiunile cu aer ]i frontiere cu pierderi la suprafa\a corpurilor conductoare). Deci, [n ipoteza c` admitem utilitatea analizei c@mpului electromagtnetic [n volumul corpurilor conductoare, frecven\a este, [n general, sub valoarea de 1MHz ]i [n acest caz . Putem neglija astfel termenul ]i [n regiunile cu aer.
La ecua\iile (1.1) ]i (1.2) se adaug` ]i rela\iile constitutive privind componentele c@mpului electromagnetic (E,J) ]i (B,H).
Legea conduc\iei:
EMBED Equation
(1.3)
{n mediile conductoare, ]i =0, iar [n mediile izolante . Domeniile (bobinele) cu densitate de curent impus` fac parte din mediile izolante.
Pentru simplitate, consider`m c` rela\ia B-H este:
B=(H
(1.4)
{n /2/, /3/, /4/ sunt luate [n considerare ]i alte rela\ii B-H ce descriu mediile neliniare sau magne\ii permanen\i. Rela\iile (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) pot fi privite ca un sistem de 4 ecua\ii cu 4 necunoscute B, H, E, J. Vom vedea (Cap.2) c`, [n condi\ii de frontier` corect formulte, sitemul acestor ecua\ii asigura unicitatea celor 4 necunoscute.
{n plus, c@mpul electromagnetic verific` legea fluxului magnetic:
(1.5)
]i legea transform`rii puterii din forma electromagnetic` [n alte forme, prin conduc\ie:
(1.6)
Observa\ii. 1) Rela\ia (1.2) rezult` prin neglijarea densit`\ii curentului de deplasare [n legea circuitului magnetic. Este echivalent cu a considera c` D este constant [n timp. Cum ]i E este variabil [n timp, rezult` c` (=0. Deci D=0. Din legea fluxului electric, rezult` c` sarcina electric` este nul`.
2) |innd cont de observa\ia anterioar` ]i de teorema conserv`rii sarcinii electrice, rezult` c`, [n vecin`tatea suprafe\elor, componenta normal` a densit`\ii de curent se conserv`. {n particular, [n vecin`tatea corpurilor izolante, componenta normal` a densit`\ii de curent este nul`.
2. Teorem` de unicitate
Pentru a dovedi c` regimul cvasista\ionar este bine definit de ecua\iile (1.1)((1.4), este necesar s` dovedim c` aceste ecua\ii asigur` unicitatea solu\iei de c@mp.
Condi\iile ini\iale (CI)
Deoarece ecua\iile (1.1)((1.4) descriu un proces evolutiv, este necesar s` avem informa\ii privitoare la momentul [nceperii acestui proces. Deoarece [n ecua\ia (1.1) apare derivata [n raport cu timpul a induc\iei magnetice, la t=0 trebuie cunoscut` valoarea ei: . Evident, se impune divBi = 0. Aplicnd operatorul div rela\iei (1.1), rezult` c` la orice moment este verificat` legea fluxului magnetic.
Condi\iile de frontier`(CF)
Domeniul analizat ( este doar o subregiune a spa\iului [n care avem c@mp electromagnetic. Interac\iunea dintre c@mpul electromagnetic exterior domeniului ( ]i cel interior acestui domeniu este pus [n eviden\a de comportarea m`rimilor c@mpului pe frontiera ((. Se pot impune mai multe tipuri de condi\ii de frontier`. Toate au proprietatea c`, [n cazul valorilor nule, expresia de forma se anuleaz`. Vom vedea (Partea II) c` aceast` expresie are natura schimbului de putere de natur` electromagnetic` ce se produce pe frontier`.
Condi\ie de frontier` de tip electric. Cea mai simpl` condi\ie de frontier`, pe care o [ntalnim cel mai frecvent [n literatura de specialitate, este (Fig.1.1):
(SYMBOL 97 \f "Symbol") Pe o parte S a frontierei, se d` componenta tangen\ial` a lui H: Ht=f;
(() Pe restul frontierei S'=((-S, se d` componenta tangen\ial` a lui E: Et=g;
Observa\ii. 1) Din punct de vedere tehnic, condi\ia de frontier` (SYMBOL 97 \f "Symbol"), sub form` omogen` (nul`) este realizat` [n vecin`tatea corpurilor perfect conductoare magnetic ().
2) Condi\ia (() sub form` omogen` este realizat` [n vecin`tatea corpurilor perfect conductoare.
3) Deoarece, [n condi\ia ((), intervine intensitatea c@mpului electric, spunem c` avem condi\ie de frontiera de tip electric.
Condi\ie de frontier` de tip magnetic. Un alt tip de condi\ie de frontier`, asem`n`toare cu cea de la cmpurile sta\ionare, este mult mai complicat`, dar mai apropiat` de realitatea tehnic` (Fig.2.1). Condi\ia respectiv` poate fi numit` condi\ie de frontier` de tip magnetic, con\innd doar componente ale cmpului magnetic. {n cazul simplu al domeniului ( simplu conex, aceste conditii de frontiera sunt:
(SYMBOL 97 \f "Symbol") Pe o parte S' a frontierei, se d` componenta tangen\ial` a lui H: Ht=h ;
(SYMBOL 98 \f "Symbol") Pe restul frontierei S"= (SYMBOL 87 \f "Symbol" -S', se dau componentele normale a lui B: Bn=f ]i a lui J: Jn=g
Dac` S' este format` din n suprafe\e disjuncte Si, atunci condi\iile de frontier` se complic` prin impunerea unor fluxuri magnetice sau a unor tensiuni magnetice (vezi Anexa A). Dac` SYMBOL 87 \f "Symbol" este multiplu conex, cum ar fi [n cazul unor spire perfect conductoare, atunci se impun alte condi\ii de frontier` suplimentare privind curen\ii sau fluxurile magnetice ale spirelor perfect conductoare (Anexa A).
Observa\ii. 1. La suprafa\a corpurilor supraconductoare, avem condi\ia (SYMBOL 98 \f "Symbol") omogen`: = 0.
2. Dac` S se afl` [ntr-un mediu izolant, atunci, evident, Jn=0.
Condi\ie de frontier` de tip element de circuit. Este o condi\ie de frontier` care permite definirea domeniului ( ca un element de circuit. Condi\ia de frontier` permite definirea bornelor, a tensiunilor ]i curen\ilor bornelor, a puterii transferate la borne (Partea IV). {n regimul cvasista\ionar, elementul de circuit este de tip inductiv.
Teorema 1.1. Ecua\iile (1.1)((1.4), [mpreun` cu condi\iile de frontier` de (CF) ]i condi\iile ini\iale (CI), definesc unic componentele (B,H,J) [n domeniul ( ]i componenta E [n domeniul conductor .
Demonstra\ie. Vom prezenta demonstra\ia pentru cazul simplu al condi\iilor de frontier` de tip electric, procedur` care va fi util` ]i pentru alte demonstra\ii. Celelalte condi\ii de frontier` sunt tratate [n Anexa A.
Presupunem c` dou` c@mpuri electromagnetice distincte [ndeplinesc condi\iile enun\ul teoremei ]i fie (Bd, Hd, Ed, Jd) c@mpul diferen\`. Acest c@mp verific` rela\iile (1.1), (1.2) ]i are condi\ii de frontier` ]i condi\ii ini\iale nule. Not`m:
Atunci, datorit` condi\iilor ini\iale, legea induc\iei electromagnetice (1.1) devine:
(1.7)
Din condi\ia de frontier` ((), rezult` c`, pe S, , iar din condi\ia ((), pe S. Atunci:
=0
(1.8)
Mai avem:
=
EMBED Equation.3 Conform (1.7), (1.2) ]i (1.8), rezult`:
+=0
(1.9)
unde am notat:
Din rela\ia (1.3), rezult` c` J=(E [n domeniile conductoare , [n rest fiind nul`. Atunci, (1.9) devine:
+=0
Dup` integrare [n timp, avem:
+=0
(1.10)
|in@nd cont de (1.4), rela\ia (1.10) devine:
+=0
(1.11)
Membrul stng al rela\iei (1.11) poate fi nul doar dac` ]i, prin urmare, sunt nule [n (, iar E ]i, prin urmare, ]i sunt nule [n .
Observatii. 1) Din rela\ia (1.10), rezult` c` teorema de unicitate este valbil` ]i pentru medii neliniare [n care rela\ia constitutiv` este coercitiv`:
2) Intensitatea cmpului electric nu este unic determinat` [n domeniile izolante, ci doar [n cele conductoare.
Din Teorema de unicitate rezult` c` induc\ia magnetic` B poate fi considerat` m`rime de stare [n cazul c@mpului electromagnetic cvasistationar: cunoasterea ei la timul t=0 defineste unic evolu\ia c@mpului electromagnetic.
3. Ecua\iile de ordinul 2
Din sistemul (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) putem ob\ine, prin substitu\ie, ecua\ii diferen\iale cu derivate par\iale, de ordin superior, dar con\in@nd o singur` necunoscut`. Astfel, din rela\iile (1.4) ]i (1.1) rezult`:
Aplic@nd operatorul rot [n rela\ia de mai sus ]i \in@nd cont de rela\iile (1.2) ]i (1.3), rezult`:
(1.12)
valabil` pentru mediile conductoare. Este convenabil s` utiliz`m ecua\ia (1.12) atunci c@nd dorim s` determin`m c@mpul electromagnetic [ntr-un domeniu ( care este [n [ntregime conductor, iar condi\ile de frontier` sunt impuse pentru .
|in@nd cont de rela\ia (1.3), rela\ia (1.2) devine, pentru medii conductoare:
Aplic@nd operatorul rot ]i \in@nd cont de rela\iile (1.1), (1,4), rezult`:
(1.13)
Este convenabil s` utiliz`m ecua\ia (1.13) atunci c@nd dorim s` determin`m c@mpul electromagnetic [ntr-un domeniu ( care este [n [ntregime conductor, iar condi\ile de frontier` sunt impuse pentru .
Ecua\iile (1.12) ]i (1.13) sunt ecua\ii diferen\iale cu derivate par\iale de tip parabolic, care descriu procese de difuzie a c@mpului electromagnetic.
{n cazul [n care domeniul de calcul ( are medii conductoare ]i medii izolante, ecua\iile (1.12) ]i (1.13) r`m@n valabile pentru mediile conductoare, [n timp ce pentru mediile izolante sunt valabile ecua\iile stabilite [n cazul regimurilor sta\ionare /1/. Pe suprafe\ele de separare se pun condi\iile de conservare a diferitelor componente ale c@mpului electromagnetic. {n general, determinarea c@mpului electromagnetic [n regimul sta\ionar nu se poate face dec@t numeric, [n aceasta direc\ie [ndrept@ndu-se numeroase cercet`ri ale speciali]tilor din ingineria electric` /2/.
Dac` mediul conductor este omogen , , atunci, din legea fluxului magnetic (1.5) rezult`: . Din teorema lui Ampre (1.2) rezult`, prin aplicarea operatorului div: . Ca urmare, [n mediul conductor omogen, unde , avem: . Rela\ia (1.12) devine:
si cum =-=-, rezult` ecua\ia:
+
(1.12)
La fel, ecua\ia (1.13) devine:
(1.13)4. Regimul cvasista\ionar sinusoidal
{n regimul sinusoidal, toate m`rimile c@mpului electromagnetic sunt func\ii sinusoidale de aceeasi pulsa\ie. De exemplu, intensitatea c@mpului electric este un vector care, [ntr-un sistem de coordonate carteziene, are forma:
unde cele 3 componente sunt func\ii sinusoidale de aceeasi pulsa\ie:
, , ]i , , fiind valorile efective si, respectiv, fazele ini\iale ale celor 3 componente. La fel ca [n cazul regimului sinusoidal al circuitelor electrice, vom utiliza imagnile [n complex ale componentelor sinusoidale. De exemplu, pentru componenta axei ox avem:
Ca urmare, imaginea [n complex a vectorului initensit`\ii c@mpului electric este:
|in@nd cont de faptul c` operatoului de derivare are ca imagine [n complex [nmul\irea cu , ecua\iile (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) devin :
(1.14)
(1.15)
EMBED Equation
(1.16)
(1.17)
Rela\iile (1.14)( (1.17) pot fi privite ca un sistem de 4 ecua\ii cu 4 necunoscute B, H, E, J.
Prin aplicarea operatorului div [n rela\ia (1.14), se ob\ine imaginea [n complex a rela\iei (1.5):
Deci imaginea [n complex a legii fluxului magnetic rezult` din forma [n complex a legii induc\iei electromagnetice (1.14).
Asem`n`tor cu puterile regimului sinusoidal al circuitelor electrice, este util ca, pornind de la rela\ia (1.6), s` definim [n fiecare punct densitatea de volum a puterii active, ce se transforma din forma electromagnetic` [n alte forme, prin conduc\ie:
= (1.18)
unde T este perioada: . Exprim@nd vectorii E ]i J pe componente, avem:
++ (1.19)
|in@nd cont de expresiile lui ]i :
primul termen din membrul drept al rela\iei (1.19) se poate scrie:
=
Imaginile [n complex ale lui ]i sunt:
Deci:
=
unde este conjugatul lui . Expresii asem`n`toare se ob\in pentru ultimii termeni din membrul drept al rela\iei (1.19):
=,
=
Rezult` c` densitatea de volum a puterii active, ce se transform` din forma electromagnetic` [n alte forme, prin conduc\ie, mai poate fi ob\inut` cu rela\ia:
(1.20)
La fel ca [n cazul circuitelor electrice, putem defini ]i densitatea de volum a puterii complexe prin rela\ia:
=
(1.21)
precum ]i densitatea de volum a puterii reactive:
(1.22)
{n cazul unui mediu conductor linar, [n care rela\ia dintre E ]i J este , densitatea puterii complexe este egala cu densitatea de putere activa:
==
(1.23)
unde este modulul (norma) lui E:
==
(1.24)
5. Teorem` de unicitate pentru regimul sinusoidal
Pentru a dovedi c` regimul cvasista\ionar sinusoial este bine definit de ecua\iile (1.14)((1.17), este necesar s` dovedim c` aceste ecua\ii asigur` unicitatea solu\iei de c@mp. Spre deosebire de ecua\iile (1.1)((1.4) ce descriau evolu\ia [n timp a c@mpului electromagnetic cvasista\ionar, ecua\iile (1.14)((1.17) nu descriu un proces evolutiv ]i nu se pune problema definirii unor condi\ii ini\iale pentru imaginile [n complex ale m`rimilor c@mpului. {n realitate, c@mpul electromagnetic (originalul) este variabil [n timp, dar dependen\a de timp este sinusoidal`. Aceast` condi\ie este o restric\ie cel pu\in la fel de tare ca ]i condi\ia ini\ial`.
Condi\iile de frontier` (CF): sunt date de imaginile [n complex ale condi\iilor de frontier` prezentate la Cap.2.
Teorema 1.2. Ecua\iile (1.14)((1.17), [mpreun` cu condi\iile de frontier` (CF), definesc unic componentele [n domeniul ( ]i componenta [n domeniul conductor .
Demonstra\ie. Vezi Anexa A.
6. Ecua\iile de ordinul 2, [n regim sinusoidal
Imaginile [n complex ale ecua\iilor (1.12), (1.13) rezult` prin [nlocuirea derivatei cu [nmul\irea cu factorul :
(1.25)
(1.26)
+
(1.25)
+
(1.26)
unde:
(1.27)
si:
(1.28)
7. Aplica\ii
7.1. Patrunderea c@mpului electromagnetic [n semispa\iul conductor
Fie domeniul ( definit de semispa\iul conductor z>0, omogen ]i linear, de conductivitate ( ]i permeabilitate magnetic` (. La suprafa\a semispa\iului (z=0), intensitatea c@mpului electric este:
(1.29)
deci constant` pe [ntreg peretele semispa\iului ]i sinusoidal` [n timp. Ne propunem s` determin`m c@mpul electromagneic sinusoidal din semispa\iu, precum ]i pierderile specifice prin curen\i turbionari. Folosind imaginile [n complex, condi\ia de frontiera (1.29) se scrie:
EMBED Equation.3
(1.30)
Admitem c`, [n [ntreg semispa\iul, intensitatea c@mpului electric este orientat` pe direc\ia axei ox ]i depinde doar de coordonata z:
(1.31)
Este valabil` ecua\ia (1.25):
(1.32)
Solu\iile ecua\iei caracteristice asociate ecua\iei (1.32) are solu\iile . Solu\ia ecua\iei (1.32) este de forma:
(1.33)
Deoarece , cu dat de rela\ia (1.28), ]i deoarece , rezult` B=0. Din condi\ia de frontier` (1.30) rezult` . Deci solu\ia ecua\iei diferen\iale (1.32) este:
=
(1.34)
{n domeniul timp, expresia intensit`\ii c@mpului electric rezult` din originalul expresiei (1.34):
(1.35)
Graficul dependen\ei intensit`\ii c@mpului electric, raportat` la valoarea maxim` , [n func\ie de distan\a z=(z este prezentat [n Fig.1.3. Este o sinusoid` rapid amortizat` cu distan\a z. {n tehnic`, este deosebit de util s` se defineasc` adancimea de p`trundere a c@mpului electromagnetic, ca distan\a z=( la care valoarea efectiv` a intensit`\ii c@mpului electric:
(1.36)
scade de e ori. |in[nd cont de (1.28), rezult`:
(1.37)
Observa\ii: 1. Evident, semispa\iul conductor nu poate exista [n realitate. El este [ns` un model deosebit de eficient pentru a aprecia p`trunderea c@mpului electromagnetic [n orice domenii m`rginite de suprafe\e suficient de netede (Fig.1.4) [n compara\ie cu ad`ncimea de p`trundere, dat` de rela\ia (1.37).
2. Impunerea condi\iei de frontier` prin componenta tangen\ial` a intensit`\ii c@mpului electric poate s` rezulte prin impunerea tensiunii la bornele bobinei, [n ipoteza c` aceast` are rezisten\` neglijabil`:
unde U este valoarea efectiv` a tensiunii, N este num`rul de spire al bobinei ]i L este lungimea unei spire.
3. Un calcul asem`n`tor se face atunci c@nd pe frontier` se d` componenta tangne\ial` a intensit`\ii c@mpului magnetic. Ea poate s` rezulte prin impunerea curentului din bobin`:
unde I este valoarea efectiv` a curentului ]i ( este [n`l\imea bobinei (perpendicular` pe planul figurii 1.4.).
C`lirea superficial` prin curen\i turbionari
Pierderile specifice prin curen\i turbionari (densitatea de volum a puterii active) rezult` din rela\ia (1.23):
=
(1.38)
Rezult` c` putem utiliz` c@mpul electromagnetic pentru a [nc`lzi un mediu conductor la suprafat`. Putem astfel ridica temperatura zonei superficiale a unei piese pan` [n zona austenitic` si, [n urma r`cirii, putem ob\ine o suprafa\` dur`, p`str@nd elasticitatea materialului [n volumul piesei. Aceasta procedura tehnologic` se folose]te des [n industrie pentru c`lirea suprafe\elor pinioanelor, axelor etc. Adancimea zonei c`lite este sugerat` de rela\ia (1.37)
7.2. Pierderi specifice [n tolele feromagnetice
Foarte multe echipamente electrotehnice au p`r\i feromagnetice parcurse de fluxuri magnetice variabile [n timp. Conform legii induc\iei electromagnetice, [n aceste zone se induc tensiuni electrice si, ca urmare, apar curen\i turbionari care conduc la apari\ia unor piederi nedorite. O modalitate de a reduce aceste pierderi este folosirea tolelor pentru por\iunile parcurse de fluxuri magnetice variabile [n timp.
Vom c`uta solu\ia sinusoidal` a problemei de c@mp electromagnetic. Fie tola infinit extins`, de l`\ime 2a, din Fig.1.5. Induc\ia magnetic` este orientat` pe direc\ia axei oy, depinde doar de coordonata x: .Imaginea [n complex a induc\iei magnetice este: . Presupuinem cunoscut fluxul magnetic pe o [n`l\ime de 1m [n lungul axei oz:
(1.39)
cu imaginea [n complex: =. Admitem c` intensitatea c@mpului electric este orientat` pe direc\ia axei oz ]i depinde, de asemenea, doar de coordonata x. Referindu-ne la ipotezele ce le facem de multe ori [naintea rezolv`rii unei probleme de c@mp electromagnetic, este util de observat c` inginerul poate intui comportarea marimilor c@mpului, simplific@ndu-si astfel rezolvarea problemei. Dac` solu\ia ob\inut` verific` ecua\iile c@mpului electromagnetic, atunci, conform teoremei de unicitate, ea este singura solu\ie valabil`, deci ipotezele f`cute sunt bune.
Fie curba [nchis` ABCDA, de form` dreptunghiular`, cu =1m, pe care aplic`m forma [n complex a legii induc\iei electromagnetice (1.13):
+++=
|in@nd cont de orientarea lui E, avem: pe BC ]i AD, iar , pe AB ]i , pe CD. Putem admite c` E(x) este func\ie impar` de x ]i ca urmare: E(-a)=-E(a). Ca urmare, din rela\ia de mai sus rezult`:
(1.40)
Rela\ia (1.40) este condi\ia de frontier` pentru problema de c@mp electromagnetic. Ecua\ia (1.25) cap`t` forma:
(1.41)
cu solu\iile ecua\iei caracteristice (vezi ]i 7.1). {n acest caz, este mai convenabil s` scriem solu\ia general` a ecua\iei (1.41) sub forma: . Cum E(x) este func\ie impar`, r`mane: . Impun@nd condi\ia de frontier` (1.40), rezult`:
(1.42)
Densitatea de volum a pierderilor este:
(1.43)
|in@nd cont de rela\ia: ]i de expresia coeficientului (1.27) ]i (1.28), avem:
(1.44)
unde am folosit rela\ia . {n Fig. 1.6 sunt reprezentate pierderile [n func\ie de coordonata x. pentru o tol` cu la\imea 2a=1mm, cu rezistivitatea ]i permeabilitatea magnetic` relativ` , la frecven\a de 50Hz. Se observ` localizarea acestora la marginea tolei.
Fig.1.6. Densitatea de volum a pierderilorFig.1.7. Valoarea efectiv` a induc\iei magnetice
Induc\ia magnetic` se ob\ine din legea induc\iei electromagnetice (1.13):
Deci, \in@nd cont de (1.42), avem:
=
(1.45)
Valoarea efectiv` a induc\iei magnetice este dat` de:
{n Fig.1.7. este desenat graficul valorii efective a induc\iei magnetice. Se vede usor c`, cel pu\in [n cazul valorilor numerice de mai sus, induc\ia magnetic` este practic constant`. Din acest motiv, este mult mai util s` se exprime fluxul magnetic [n func\ie de media valorii efective sau maxime a induc\iei magnetice:
=
(1.46)
Valoarea medie a pierderilor este:
EMBED Equation.3 (1.47)
Sau, folosind (1.46) ]i not@nd :
(1.48)
{n cazul numeric de mai sus, argumentul func\iilor din rela\ia (1.48) are o valoarea . Ca urmare, o form` mai simpl` a rela\iei (1.48) se ob\ine prin dezvoltarea [n serie a func\iilor din aceast` rela\ie:
Deci:
(1.49)
8. Regimul cvasista\ionar periodic
{n regimul periodic, m`rimile c@mpului sunt func\ii periodice de aceeasi perioad` T.
Generatoare de curent continuu. Vom prezenta o proprietate interesant` din punct de vedere tehnic, pentru c@mpul electromagnetic cvasista\ionar periodic. Definim, [n domeniile conductoare, m`rimea:
Din legea induc\iei electromagnetice avem:
=
Deci, [n regim periodic: ]i ca urmare, . Din teorema lui Ampre rezult`:
===
(1.50)
unde, la suprafa\a corpului conductor,
(1.51)
Din (A.30) rezult`:
(1.52)
si \in@nd cont de condi\ia de frontier` (1.51), rezult` c` =0. Deci:
]i =0
Rezult` proprietatea: nu se poate produce curent continuu [n regimul periodic, dac` mediul conductor este liniar. Pentru a produce curent continuu este necesar s` utiliz`m medii conductoare cu rela\ie constitutiv` E-J dependent` de timp (este necesar` comuta\ia) sau cu rela\ie constitutiv` neliniar` (comuta\ie static`).
Analiza regimului periodic.
Condi\ia de periodicitate, [mpreun` cu condi\iile de frontier` de tip magnetic, asigur` unicitatea solu\iei sistemului de ecua\ii (1.1)((1.4) (Anexa A).
Analiza Fourier. Dac` mediile sunt liniare, atunci cea mai comod` procedur` de analiz` a c@mpului electromagnetic periodic este descompunerea solu\iei [n serie Fourier ]i determinarea fierc`rei componente prin utilizarea imaginilor [n complex. De exemplu, pentru o intensitate a c@mpului electric periodic` avem:
(1.50)
unde componentele lui pe cele trei axe sunt armonicele componentelor , , . Ecua\iile (1.1)((1.4) r`man valabile ]i pe componente, proprietate ce poate fi dovedit` prin proiectare pe func\iile , .
Repetarea valorii m`rimii de stare. O alt` procedur` de determinare a c@mpului electromagnetic periodic, aplicabil` ]i [n cazul mediilor neliniare, este analiza [n domeniul timp. Admi\@nd o valoare arbitrar` pentru pentru m`rimea de stare B, se determin` evolu\ia [n timp a c@mpului electromagnetic, regimul periodic instal@ndu-se atunci c@nd m`rimea de stare se repet` dup` o perioad`.
9. Regimul cvasista\ionar anamagnetic
Regimul cvasista\ionar anamagnetic al cmpului electromagnetic presupune neglijarea derivatei n timp a induc\iei magnetice. Legea induc\iei electromagnetice cap`t` forma din electrostatic`:
(1.51)
Rezult`:
(1.52)
Forma local` a legi circuitului magnetic, pentru medii imobile este:
(1.53)
La ecuatiile (1.51) ]i (1.53) se adauga ]i rela\iile constitutive privind componentele c@mpului electromagnetic (E,J) ]i (D,E).
Legea leg`turii dintre induc\ia electric` ]i intensitatea c@mpului electric este:
(1.54)
Legea conductiei este:
(1.55)
Am presupus c` mediile sunt liniare, izotrope, f`r` polariza\ie electric` ]i fara c@mp imprimat.
Putem privi rela\iile (1.51), (1.53), (1.54) ]i (1.55) ca pe un sistem de 4 ecua\ii cu patru necunoscute: E, D, J, H.
Condi\ii de frontier` (CF)
La ecuatiile de mai sus trebuie adaugate conditiile de frontiera. Acestea sunt de tipul celor de la c@mpurile statice /1/:
(FR) (SYMBOL 97 \f "Symbol"). Pe S SYMBOL 206 \f "Symbol"(SYMBOL 87 \f "Symbol" se d` componenta tangen\ial` a lui ;
(SYMBOL 98 \f "Symbol") Pe restul frontierei S" = (SYMBOL 87 \f "Symbol" - S' se d` componenta normal` a densit`\ii curentului total: = g;Dac` S' este format` din n suprafe\e disjuncte Si, atunci condi\iile de frontier` se complic` prin impunerea unor fluxuri electrice sau a unor tensiuni electrice /1/.
Condi\iile ini\iale (CI)Deoarece [n ecua\ia (1.53) apare derivata [n timp a induc\iei electrice, este necesar s` se cunoasc` ]i valoarea ini\ial` a acesteia: .
Teorema 1.3. Sistemul rela\iilor (1.51), (1.53), (1.54) ]i (1.55), cu condi\ia ini\ial` (CI) ]i cu condi\iile de frontiera (FR) , definesc unic componentele (D,E,J) [n domeniul (.
Demonstra\ie. Vezi Anexa A.
Din Teorema de unicitate rezult` c` induc\ia electric` D poate fi considerat` m`rime de stare [n cazul c@mpului electromagnetic cvasistationar: cunoasterea ei la timul t=0 defineste unic evolu\ia c@mpului electromagnetic.
Observa\ii: 1. Dac` mediul este perfect izolant, atunci J=0 si, din rela\ia (1.53), rezult`:
si deci:
([n timp)
Cunosc@nd valoarea lui la timpul initial, rezulta ca problema de regim cvasistationar este, de fapt, o problema de electrostatica.
2. Neglijarea derivatei in timp a inductiei magnetice, care defineste regimul cvasistationar, corespunde alegerii unei permeabilitati magnetice nule, de unde rezult` denumirea de regim cvasista\ionar anamagnetic.
Ecua\ia potentialului scalar
Inlocuind (1.52) [n relatiile (1.54) ]i (1.55), ]i tin@nd cont de (1.53), rezult`:
Aplic@nd operatorul div, rezulta:
(1.56)
Conditiile de frontiera pentru ecuatia in V se obtin din (FR). Din conditia (() ]i din relatia (1.52) rezulta ca pe suprafa\a S se d` poten\ialul V:
(1.57)
unde ]i sunt puncte de pe S, iar integrarea se face pe orice drum de pe S. Pe suprafetele S se da o relatie a derivatei pe directia normalei:
(1.58)
Elementul de circuit de tip capacitiv. Condi\iile de frontier` de tip element de circuit (Partea IV) asigur` unicitatea solu\iei sistemului de ecua\ii (1.51), (1.53), (1.54) ]i (1.55). {n regimul cvasista\ionar anamagnetic, elementul de circuit are caracer capacitiv.
Regimul sinusoidal
Daca toate marimile c@mpului din regimul cvasistationar sunt functii sinusoidale de aceeasi pulsatie, putem folosi imagnile in complex si, corespunzator relatiilor (1.52)((1.55), obtinem:
(1.59)
(1.60)
(1.61)
(1.62)
In relatia D-E se poate lua permitivitatea complexa:
(1.63)
prin care tinem cont de pierderile in dielectric. In tehnica, pierderile in dielectric sunt descrise de:
(1.64)
Ecuatia poten\ialului este:
(1.65)
unde conductivitatea complexa cuprinde ]i pierderile prin conductie:
(1.66)
Conditia initiala, care apare la problema in domeniul timp, este inlocuita de conditia ca marimile sa fie functii sinusoidale. Conditiile de frontiera sunt date de imaginile in complex ale condi\iilor (CF).
Regimul cvasista\ionar anamagnetic este un model foarte util pentru analiza c@mpului electromagnetic [n medii izolante sau foarte slab conductoare, unde cei doi termeni din membrul drept al legii circuitului magnetic au ponderi apropiate. {n plus, valoarea total` a membrului drept este mult mai mic` dec`t [n cazul regimului cvasista\ionar din corpurile conductoare, studiat la paragrafele anterioare. Rezult` o valoare mai mic` pentru H si, [n cazul [n care mediul are permeabilitatea magnetic` a vidului, valoarea induc\iei magnetice este mic`, put`nd fi neglijat`. Evident, admitem c` viteza de varia\ie [n timp a c@mpului electromagnetic este suficient de mic`. Un criteriu utilizat pentru aceast` vitez`, [n cazul regimului sinusoidal, este ca lungimea de und` a c@mpului electromagnetic s` fie mai mare decat dimensiunile domeniului analizat.
{n tehnic`, regimul cvasista\ionar anamagnetic este utilizat cu succes la studiul [nc`lzirii dielectricilor [n medie frecven\` ]i la studiul str`pungerii izola\iilor.
{nc`lzirea dielectricilor
Teoreme lui Warburg (Partea II) afirma ca energia specific` (densitatea de volum) ce se transform` din forma electromagnetica [n c`ldura, este:
=
(1.67)
Ca urmare, pierderile specifice pot fi scrise:
(1.68)
unde T este perioada. Utiliz@nd imaginile [n complex, avem:
=
Folosind expresia permitivit`\ii complexe (1.63), rezult`:
(1.69)
Dac` \inem cont ]i de pierderile prin conduc\ie, atunci:
Folosind expresia conductivit`\ii complexe (1.66), rezult`:
=
(1.70)
care cuprinde atat pierderile in dielectric, cat ]i cele prin conduc\ie.
EMBED Excel.Sheet.8
S S
(
Fig.1.1.Domeniul (
EMBED PBrush
Fig.1.2. Semispa\iu conductor
Fig.1.3. P`trunderea intensit`\ii c@mpului electric
Bobin`
Pies`
Zona de p`trundere a c@mpului electromagnetic
(
i
Pies`
u
Fig.1.4. Pies` oarecare
2a
z
D A
y
o x
E
B
C B
Fig.1.5. Tola feromagnetic`
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
10
_1192794698.unknown
_1193030555.unknown
_1193082633.unknown
_1193117321.unknown
_1193386641.unknown
_1193416884.unknown
_1194019188.unknown
_1194019231.unknown
_1194019244.unknown
_1193417287.unknown
_1193417632.unknown
_1193417650.unknown
_1193417657.unknown
_1193474248.unknown
_1193417653.unknown
_1193417645.unknown
_1193417295.unknown
_1193417627.unknown
_1193417291.unknown
_1193417281.unknown
_1193387117.unknown
_1193387237.unknown
_1193387431.unknown
_1193391952.unknown
_1193415608.unknown
_1193415659.unknown
_1193415484.unknown
_1193387321.unknown
_1193386964.unknown
_1193387012.unknown
_1193387066.unknown
_1193386851.unknown
_1193214250.unknown
_1193386211.unknown
_1193386230.unknown
_1193386014.unknown
_1193125653.unknown
_1193125831.unknown
_1193083792.unknown
_1193084681.unknown
_1193117076.unknown
_1193117103.unknown
_1193117164.unknown
_1193117236.unknown
_1193117320.unknown
_1193117198.unknown
_1193117161.unknown
_1193117079.unknown
_1193084730.unknown
_1193116722.unknown
_1193084715.unknown
_1193083810.unknown
_1193083822.unknown
_1193083801.unknown
_1193083632.unknown
_1193083686.unknown
_1193083763.unknown
_1193083635.unknown
_1193083457.unknown
_1193083627.unknown
_1193083444.unknown
_1193073337.unknown
_1193081484.unknown
_1193081918.unknown
_1193082563.unknown
_1193082620.unknown
_1193082237.unknown
_1193081796.unknown
_1193081887.unknown
_1193081752.unknown
_1193079070.unknown
_1193079904.unknown
_1193081481.unknown
_1193079112.unknown
_1193073489.unknown
_1193073496.unknown
_1193073463.unknown
_1193038599.unknown
_1193069206.unknown
_1193069425.unknown
_1193073260.unknown
_1193069376.unknown
_1193039402.unknown
_1193042836.xlsChart6
1
0.9999
0.9998
0.99971
0.99962
0.99954
0.99947
0.9994
0.99933
0.99927
0.99922
0.99916
0.99912
0.99907
0.99903
0.99899
0.99896
0.99892
0.9989
0.99887
0.99884
0.99882
0.9988
0.99879
0.99877
0.99876
0.99874
0.99873
0.99872
0.99871
0.99871
0.9987
0.99869
0.99869
0.99869
0.99868
0.99868
0.99868
0.99868
0.99868
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99867
0.99868
0.99868
0.99868
0.99868
0.99868
0.99869
0.99869
0.99869
0.9987
0.99871
0.99871
0.99872
0.99873
0.99874
0.99876
0.99877
0.99879
0.9988
0.99882
0.99884
0.99887
0.9989
0.99892
0.99896
0.99899
0.99903
0.99907
0.99912
0.99916
0.99922
0.99927
0.99933
0.9994
0.99947
0.99954
0.99962
0.99971
0.9998
0.9999
1
x(mm)
B(x)/B(a)
Sheet1
001-1
6-9.41E-020.90058-0.90058
12-0.168620.81104-0.81104
18-0.225710.7304-0.7304
24-0.267540.65778-0.65778
30-0.296190.59238-0.59238
36-0.313580.53349-0.53349
42-0.321480.48045-0.48045
48-0.321540.43268-0.43268
54-0.315240.38966-0.38966
60-0.303910.35092-0.35092
66-0.288710.31603-0.31603
72-0.270680.28461-0.28461
78-0.250710.25631-0.25631
84-0.229560.23083-0.23083
90-0.207880.20788-0.20788
96-0.186190.18721-0.18721
102-0.164910.1686-0.1686
108-0.14440.15184-0.15184
114-0.124920.13674-0.13674
120-0.106650.12314-0.12314
126-8.97E-020.1109-0.1109
132-7.42E-029.99E-02-9.99E-02
138-6.02E-028.99E-02-8.99E-02
144-4.76E-028.10E-02-8.10E-02
150-3.65E-027.29E-02-7.29E-02
156-2.67E-026.57E-02-6.57E-02
162-1.83E-025.92E-02-5.92E-02
168-1.11E-025.33E-02-5.33E-02
174-5.02E-034.80E-02-4.80E-02
1803.78E-094.32E-02-4.32E-02
1864.07E-033.89E-02-3.89E-02
1927.29E-033.50E-02-3.50E-02
1989.75E-033.16E-02-3.16E-02
2041.16E-022.84E-02-2.84E-02
2101.28E-022.56E-02-2.56E-02
2161.36E-022.31E-02-2.31E-02
2221.39E-022.08E-02-2.08E-02
2281.39E-021.87E-02-1.87E-02
2341.36E-021.68E-02-1.68E-02
2401.31E-021.52E-02-1.52E-02
2461.25E-021.37E-02-1.37E-02
2521.17E-021.23E-02-1.23E-02
2581.08E-021.11E-02-1.11E-02
2649.92E-039.98E-03-9.98E-03
2708.98E-038.98E-03-8.98E-03
2768.05E-038.09E-03-8.09E-03
2827.13E-037.29E-03-7.29E-03
2886.24E-036.56E-03-6.56E-03
2945.40E-035.91E-03-5.91E-03
3004.61E-035.32E-03-5.32E-03
3063.88E-034.79E-03-4.79E-03
3123.21E-034.32E-03-4.32E-03
3182.60E-033.89E-03-3.89E-03
3242.06E-033.50E-03-3.50E-03
3301.58E-033.15E-03-3.15E-03
3361.15E-032.84E-03-2.84E-03
3427.90E-042.56E-03-2.56E-03
3484.79E-042.30E-03-2.30E-03
3542.17E-042.07E-03-2.07E-03
360-3.27E-101.87E-03-1.87E-03
366-1.76E-041.68E-03-1.68E-03
372-3.15E-041.51E-03-1.51E-03
378-4.21E-041.36E-03-1.36E-03
384-5.00E-041.23E-03-1.23E-03
390-5.53E-041.11E-03-1.11E-03
396-5.86E-049.96E-04-9.96E-04
402-6.00E-048.97E-04-8.97E-04
408-6.00E-048.08E-04-8.08E-04
414-5.89E-047.28E-04-7.28E-04
420-5.68E-046.55E-04-6.55E-04
426-5.39E-045.90E-04-5.90E-04
432-5.05E-045.31E-04-5.31E-04
438-4.68E-044.79E-04-4.79E-04
444-4.29E-044.31E-04-4.31E-04
450-3.88E-043.88E-04-3.88E-04
456-3.48E-043.50E-04-3.50E-04
462-3.08E-043.15E-04-3.15E-04
468-2.70E-042.84E-04-2.84E-04
474-2.33E-042.55E-04-2.55E-04
480-1.99E-042.30E-04-2.30E-04
486-1.68E-042.07E-04-2.07E-04
492-1.39E-041.87E-04-1.87E-04
498-1.12E-041.68E-04-1.68E-04
504-8.89E-051.51E-04-1.51E-04
510-6.81E-051.36E-04-1.36E-04
516-4.99E-051.23E-04-1.23E-04
522-3.41E-051.10E-04-1.10E-04
528-2.07E-059.95E-05-9.95E-05
534-9.37E-068.96E-05-8.96E-05
5401.92E-128.07E-05-8.07E-05
5467.60E-067.27E-05-7.27E-05
5521.36E-056.55E-05-6.55E-05
5581.82E-055.89E-05-5.89E-05
5642.16E-055.31E-05-5.31E-05
5702.39E-054.78E-05-4.78E-05
5762.53E-054.31E-05-4.31E-05
5822.59E-053.88E-05-3.88E-05
5882.59E-053.49E-05-3.49E-05
5942.54E-053.14E-05-3.14E-05
6002.45E-052.83E-05-2.83E-05
6062.33E-052.55E-05-2.55E-05
6122.18E-052.30E-05-2.30E-05
6182.02E-052.07E-05-2.07E-05
6241.85E-051.86E-05-1.86E-05
6301.68E-051.68E-05-1.68E-05
6361.50E-051.51E-05-1.51E-05
6421.33E-051.36E-05-1.36E-05
6481.17E-051.23E-05-1.23E-05
6541.01E-051.10E-05-1.10E-05
6608.61E-069.94E-06-9.94E-06
6667.24E-068.95E-06-8.95E-06
6725.99E-068.06E-06-8.06E-06
6784.86E-067.26E-06-7.26E-06
6843.84E-066.54E-06-6.54E-06
6902.94E-065.89E-06-5.89E-06
6962.16E-065.30E-06-5.30E-06
7021.48E-064.77E-06-4.77E-06
7088.94E-074.30E-06-4.30E-06
7144.05E-073.87E-06-3.87E-06
Sheet1
E/Emax
exp(-z')
-exp(-z')
z'
Sheet2
-0.411
-3.92E-019.60E-010.9999
-3.84E-019.22E-010.9998
-3.76E-018.84E-010.99971
-3.68E-018.46E-010.99962
-3.60E-018.10E-010.99954
-3.52E-017.74E-010.99947
-3.44E-017.40E-010.9994
-3.36E-017.06E-010.99933
-3.28E-016.72E-010.99927
-3.20E-016.40E-010.99922
-3.12E-016.08E-010.99916
-3.04E-015.78E-010.99912
-0.2965.48E-010.99907
-0.2885.18E-010.99903
-0.284.90E-010.99899
-0.2724.62E-010.99896
-0.2644.36E-010.99892
-0.2564.10E-010.9989
-0.2483.84E-010.99887
-0.243.60E-010.99884
-0.2323.36E-010.99882
-0.2243.14E-010.9988
-0.2162.92E-010.99879
-0.2082.70E-010.99877
-0.22.50E-010.99876
-0.1922.30E-010.99874
-0.1842.12E-010.99873
-0.1761.94E-010.99872
-0.1681.76E-010.99871
-0.161.60E-010.99871
-0.1521.44E-010.9987
-0.1441.30E-010.99869
-0.1361.16E-010.99869
-0.1281.02E-010.99869
-0.129.00E-020.99868
-0.1127.84E-020.99868
-0.1046.76E-020.99868
-9.60E-025.76E-020.99868
-8.80E-024.84E-020.99868
-8.00E-024.00E-020.99867
-7.20E-023.24E-020.99867
-6.40E-022.56E-020.99867
-5.60E-021.96E-020.99867
-4.80E-021.44E-020.99867
-4.00E-021.00E-020.99867
-3.20E-026.40E-030.99867
-2.40E-023.60E-030.99867
-1.60E-021.60E-030.99867
-8.00E-034.00E-040.99867
00.00E+000.99867
8.00E-034.00E-040.99867
1.60E-021.60E-030.99867
2.40E-023.60E-030.99867
3.20E-026.40E-030.99867
4.00E-021.00E-020.99867
4.80E-021.44E-020.99867
5.60E-021.96E-020.99867
6.40E-022.56E-020.99867
7.20E-023.24E-020.99867
8.00E-024.00E-020.99867
8.80E-024.84E-020.99868
9.60E-025.76E-020.99868
0.1046.76E-020.99868
0.1127.84E-020.99868
0.129.00E-020.99868
0.1281.02E-010.99869
0.1361.16E-010.99869
0.1441.30E-010.99869
0.1521.44E-010.9987
0.161.60E-010.99871
0.1681.76E-010.99871
0.1761.94E-010.99872
0.1842.12E-010.99873
0.1922.30E-010.99874
0.22.50E-010.99876
0.2082.70E-010.99877
0.2162.92E-010.99879
0.2243.14E-010.9988
0.2323.36E-010.99882
0.243.60E-010.99884
0.2483.84E-010.99887
0.2560.409540.9989
0.2640.435540.99892
0.2720.462340.99896
0.280.489930.99899
0.2880.518330.99903
0.2960.547530.99907
0.3040.577530.99912
0.3120.608330.99916
0.320.639930.99922
0.3280.672330.99927
0.3360.705540.99933
0.3440.739540.9994
0.3520.774340.99947
0.360.809950.99954
0.3680.846360.99962
0.3760.883570.99971
0.3840.921580.9998
0.3920.960390.9999
0.411
Sheet2
x(mm)
p(x)/p(a)
Sheet3
x(mm)
B(x)/B(a)
_1193069084.unknown
_1193069123.unknown
_1193068084.unknown
_1193068133.unknown
_1193068577.unknown
_1193039796.unknown
_1193041680.xlsChart5
1
0.96039
0.92158
0.88357
0.84636
0.80995
0.77434
0.73954
0.70554
0.67233
0.63993
0.60833
0.57753
0.54753
0.51833
0.48993
0.46234
0.43554
0.40954
0.38434
0.35994
0.33635
0.31355
0.29155
0.27036
0.24996
0.23036
0.21156
0.19357
0.17637
0.15997
0.14437
0.12958
0.11558
0.10238
0.089984
0.078386
0.067588
0.05759
0.048391
0.039993
0.032394
0.025595
0.019597
0.014397
0.0099982
0.0063989
0.0035994
0.0015997
0.00039993
0
0.00039993
0.0015997
0.0035994
0.0063989
0.0099982
0.014397
0.019597
0.025595
0.032394
0.039993
0.048391
0.05759
0.067588
0.078386
0.089984
0.10238
0.11558
0.12958
0.14437
0.15997
0.17637
0.19357
0.21156
0.23036
0.24996
0.27036
0.29155
0.31355
0.33635
0.35994
0.38434
0.40954
0.43554
0.46234
0.48993
0.51833
0.54753
0.57753
0.60833
0.63993
0.67233
0.70554
0.73954
0.77434
0.80995
0.84636
0.88357
0.92158
0.96039
1
x(mm)
p(x)/p(a)
Sheet1
001-1
6-9.41E-020.90058-0.90058
12-0.168620.81104-0.81104
18-0.225710.7304-0.7304
24-0.267540.65778-0.65778
30-0.296190.59238-0.59238
36-0.313580.53349-0.53349
42-0.321480.48045-0.48045
48-0.321540.43268-0.43268
54-0.315240.38966-0.38966
60-0.303910.35092-0.35092
66-0.288710.31603-0.31603
72-0.270680.28461-0.28461
78-0.250710.25631-0.25631
84-0.229560.23083-0.23083
90-0.207880.20788-0.20788
96-0.186190.18721-0.18721
102-0.164910.1686-0.1686
108-0.14440.15184-0.15184
114-0.124920.13674-0.13674
120-0.106650.12314-0.12314
126-8.97E-020.1109-0.1109
132-7.42E-029.99E-02-9.99E-02
138-6.02E-028.99E-02-8.99E-02
144-4.76E-028.10E-02-8.10E-02
150-3.65E-027.29E-02-7.29E-02
156-2.67E-026.57E-02-6.57E-02
162-1.83E-025.92E-02-5.92E-02
168-1.11E-025.33E-02-5.33E-02
174-5.02E-034.80E-02-4.80E-02
1803.78E-094.32E-02-4.32E-02
1864.07E-033.89E-02-3.89E-02
1927.29E-033.50E-02-3.50E-02
1989.75E-033.16E-02-3.16E-02
2041.16E-022.84E-02-2.84E-02
2101.28E-022.56E-02-2.56E-02
2161.36E-022.31E-02-2.31E-02
2221.39E-022.08E-02-2.08E-02
2281.39E-021.87E-02-1.87E-02
2341.36E-021.68E-02-1.68E-02
2401.31E-021.52E-02-1.52E-02
2461.25E-021.37E-02-1.37E-02
2521.17E-021.23E-02-1.23E-02
2581.08E-021.11E-02-1.11E-02
2649.92E-039.98E-03-9.98E-03
2708.98E-038.98E-03-8.98E-03
2768.05E-038.09E-03-8.09E-03
2827.13E-037.29E-03-7.29E-03
2886.24E-036.56E-03-6.56E-03
2945.40E-035.91E-03-5.91E-03
3004.61E-035.32E-03-5.32E-03
3063.88E-034.79E-03-4.79E-03
3123.21E-034.32E-03-4.32E-03
3182.60E-033.89E-03-3.89E-03
3242.06E-033.50E-03-3.50E-03
3301.58E-033.15E-03-3.15E-03
3361.15E-032.84E-03-2.84E-03
3427.90E-042.56E-03-2.56E-03
3484.79E-042.30E-03-2.30E-03
3542.17E-042.07E-03-2.07E-03
360-3.27E-101.87E-03-1.87E-03
366-1.76E-041.68E-03-1.68E-03
372-3.15E-041.51E-03-1.51E-03
378-4.21E-041.36E-03-1.36E-03
384-5.00E-041.23E-03-1.23E-03
390-5.53E-041.11E-03-1.11E-03
396-5.86E-049.96E-04-9.96E-04
402-6.00E-048.97E-04-8.97E-04
408-6.00E-048.08E-04-8.08E-04
414-5.89E-047.28E-04-7.28E-04
420-5.68E-046.55E-04-6.55E-04
426-5.39E-045.90E-04-5.90E-04
432-5.05E-045.31E-04-5.31E-04
438-4.68E-044.79E-04-4.79E-04
444-4.29E-044.31E-04-4.31E-04
450-3.88E-043.88E-04-3.88E-04
456-3.48E-043.50E-04-3.50E-04
462-3.08E-043.15E-04-3.15E-04
468-2.70E-042.84E-04-2.84E-04
474-2.33E-042.55E-04-2.55E-04
480-1.99E-042.30E-04-2.30E-04
486-1.68E-042.07E-04-2.07E-04
492-1.39E-041.87E-04-1.87E-04
498-1.12E-041.68E-04-1.68E-04
504-8.89E-051.51E-04-1.51E-04
510-6.81E-051.36E-04-1.36E-04
516-4.99E-051.23E-04-1.23E-04
522-3.41E-051.10E-04-1.10E-04
528-2.07E-059.95E-05-9.95E-05
534-9.37E-068.96E-05-8.96E-05
5401.92E-128.07E-05-8.07E-05
5467.60E-067.27E-05-7.27E-05
5521.36E-056.55E-05-6.55E-05
5581.82E-055.89E-05-5.89E-05
5642.16E-055.31E-05-5.31E-05
5702.39E-054.78E-05-4.78E-05
5762.53E-054.31E-05-4.31E-05
5822.59E-053.88E-05-3.88E-05
5882.59E-053.49E-05-3.49E-05
5942.54E-053.14E-05-3.14E-05
6002.45E-052.83E-05-2.83E-05
6062.33E-052.55E-05-2.55E-05
6122.18E-052.30E-05-2.30E-05
6182.02E-052.07E-05-2.07E-05
6241.85E-051.86E-05-1.86E-05
6301.68E-051.68E-05-1.68E-05
6361.50E-051.51E-05-1.51E-05
6421.33E-051.36E-05-1.36E-05
6481.17E-051.23E-05-1.23E-05
6541.01E-051.10E-05-1.10E-05
6608.61E-069.94E-06-9.94E-06
6667.24E-068.95E-06-8.95E-06
6725.99E-068.06E-06-8.06E-06
6784.86E-067.26E-06-7.26E-06
6843.84E-066.54E-06-6.54E-06
6902.94E-065.89E-06-5.89E-06
6962.16E-065.30E-06-5.30E-06
7021.48E-064.77E-06-4.77E-06
7088.94E-074.30E-06-4.30E-06
7144.05E-073.87E-06-3.87E-06
Sheet1
E/Emax
exp(-z')
-exp(-z')
z'
Sheet2
-0.411
-3.92E-019.60E-010.99979
-3.84E-019.22E-010.9996
-3.76E-018.84E-010.99942
-3.68E-018.46E-010.99925
-3.60E-018.10E-010.99909
-3.52E-017.74E-010.99894
-3.44E-017.40E-010.9988
-3.36E-017.06E-010.99867
-3.28E-016.72E-010.99855
-3.20E-016.40E-010.99843
-3.12E-016.08E-010.99833
-3.04E-015.78E-010.99823
-0.2965.48E-010.99814
-0.2885.18E-010.99806
-0.284.90E-010.99798
-0.2724.62E-010.99791
-0.2644.36E-010.99785
-0.2564.10E-010.99779
-0.2483.84E-010.99774
-0.243.60E-010.99769
-0.2323.36E-010.99765
-0.2243.14E-010.99761
-0.2162.92E-010.99757
-0.2082.70E-010.99754
-0.22.50E-010.99751
-0.1922.30E-010.99749
-0.1842.12E-010.99747
-0.1761.94E-010.99745
-0.1681.76E-010.99743
-0.161.60E-010.99741
-0.1521.44E-010.9974
-0.1441.30E-010.99739
-0.1361.16E-010.99738
-0.1281.02E-010.99737
-0.129.00E-020.99737
-0.1127.84E-020.99736
-0.1046.76E-020.99736
-9.60E-025.76E-020.99736
-8.80E-024.84E-020.99735
-8.00E-024.00E-020.99735
-7.20E-023.24E-020.99735
-6.40E-022.56E-020.99735
-5.60E-021.96E-020.99735
-4.80E-021.44E-020.99735
-4.00E-021.00E-020.99735
-3.20E-026.40E-030.99735
-2.40E-023.60E-030.99735
-1.60E-021.60E-030.99735
-8.00E-034.00E-040.99735
00.00E+000.99735
8.00E-034.00E-040.99735
1.60E-021.60E-030.99735
2.40E-023.60E-030.99735
3.20E-026.40E-030.99735
4.00E-021.00E-020.99735
4.80E-021.44E-020.99735
5.60E-021.96E-020.99735
6.40E-022.56E-020.99735
7.20E-023.24E-020.99735
8.00E-024.00E-020.99735
8.80E-024.84E-020.99735
9.60E-025.76E-020.99736
0.1046.76E-020.99736
0.1127.84E-020.99736
0.129.00E-020.99737
0.1281.02E-010.99737
0.1361.16E-010.99738
0.1441.30E-010.99739
0.1521.44E-010.9974
0.161.60E-010.99741
0.1681.76E-010.99743
0.1761.94E-010.99745
0.1842.12E-010.99747
0.1922.30E-010.99749
0.22.50E-010.99751
0.2082.70E-010.99754
0.2162.92E-010.99757
0.2243.14E-010.99761
0.2323.36E-010.99765
0.243.60E-010.99769
0.2483.84E-010.99774
0.2560.409540.99779
0.2640.435540.99785
0.2720.462340.99791
0.280.489930.99798
0.2880.518330.99806
0.2960.547530.99814
0.3040.577530.99823
0.3120.608330.99833
0.320.639930.99843
0.3280.672330.99855
0.3360.705540.99867
0.3440.739540.9988
0.3520.774340.99894
0.360.809950.99909
0.3680.846360.99925
0.3760.883570.99942
0.3840.921580.9996
0.3920.960390.99979
0.411
Sheet2
x(mm)
p(x)/p(a)
Sheet3
x(mm)
B(x)/B(a)
_1193039773.unknown
_1193038685.unknown
_1193038843.unknown
_1193039361.unknown
_1193031495.unknown
_1193032579.unknown
_1193033153.unknown
_1193033372.unknown
_1193033575.unknown
_1193037870.unknown
_1193033301.unknown
_1193032697.unknown
_1193032444.unknown
_1193032453.unknown
_1193032018.unknown
_1193030832.unknown
_1193031157.unknown
_1193030682.unknown
_1193030809.unknown
_1193030572.unknown
_1192943893.unknown
_1192948436.unknown
_1192948763.unknown
_1193029301.unknown
_1193030283.unknown
_1193030418.unknown
_1193030432.unknown
_1193030450.unknown
_1193030404.unknown
_1193029985.unknown
_1192952914.unknown
_1192953215.unknown
_1192948814.unknown
_1192949571.unknown
_1192944135.unknown
_1192944724.unknown
_1192944964.unknown
_1192948088.unknown
_1192948212.xlsChart1
01-1
-0.0941360.90058-0.90058
-0.168620.81104-0.81104
-0.225710.7304-0.7304
-0.267540.65778-0.65778
-0.296190.59238-0.59238
-0.313580.53349-0.53349
-0.321480.48045-0.48045
-0.321540.43268-0.43268
-0.315240.38966-0.38966
-0.303910.35092-0.35092
-0.288710.31603-0.31603
-0.270680.28461-0.28461
-0.250710.25631-0.25631
-0.229560.23083-0.23083
-0.207880.20788-0.20788
-0.186190.18721-0.18721
-0.164910.1686-0.1686
-0.14440.15184-0.15184
-0.124920.13674-0.13674
-0.106650.12314-0.12314
-0.0897210.1109-0.1109
-0.0742220.099875-0.099875
-0.0601850.089945-0.089945
-0.0476120.081003-0.081003
-0.0364750.072949-0.072949
-0.0267210.065696-0.065696
-0.0182830.059165-0.059165
-0.0110780.053282-0.053282
-0.00501580.047985-0.047985
0.00000000380.043214-0.043214
0.0040680.038917-0.038917
0.00728690.035048-0.035048
0.00975370.031564-0.031564
0.0115620.028425-0.028425
0.01280.025599-0.025599
0.0135510.023054-0.023054
0.0138920.020762-0.020762
0.0138950.018698-0.018698
0.0136230.016839-0.016839
0.0131330.015165-0.015165
0.0124760.013657-0.013657
0.0116970.012299-0.012299
0.0108340.011076-0.011076
0.00992040.009975-0.009975
0.00898330.0089833-0.0089833
0.00804580.0080901-0.0080901
0.00712660.0072858-0.0072858
0.00624030.0065614-0.0065614
0.00539820.0059091-0.0059091
0.00460860.0053216-0.0053216
0.00387720.0047925-0.0047925
0.00320740.004316-0.004316
0.00260080.0038869-0.0038869
0.00205750.0035004-0.0035004
0.00157620.0031524-0.0031524
0.00115470.002839-0.002839
0.000790070.0025567-0.0025567
0.000478720.0023025-0.0023025
0.000216750.0020736-0.0020736
-0.00000000030.0018674-0.0018674
-0.000175790.0016818-0.0016818
-0.00031490.0015146-0.0015146
-0.000421490.001364-0.001364
-0.000499620.0012284-0.0012284
-0.000553120.0011062-0.0011062
-0.000585590.00099626-0.00099626
-0.000600350.00089721-0.00089721
-0.000600460.000808-0.000808
-0.00058870.00072767-0.00072767
-0.000567530.00065532-0.00065532
-0.000539150.00059017-0.00059017
-0.000505480.00053149-0.00053149
-0.000468190.00047865-0.00047865
-0.00042870.00043106-0.00043106
-0.00038820.0003882-0.0003882
-0.000347690.00034961-0.00034961
-0.000307970.00031485-0.00031485
-0.000269670.00028354-0.00028354
-0.000233280.00025535-0.00025535
-0.000199160.00022997-0.00022997
-0.000167550.0002071-0.0002071
-0.00013860.00018651-0.00018651
-0.000112390.00016797-0.00016797
-0.0000889130.00015127-0.00015127
-0.0000681140.00013623-0.00013623
-0.00004990.00012268-0.00012268
-0.0000341420.00011049-0.00011049
-0.0000206870.000099501-0.000099501
-0.00000936670.000089609-0.000089609
00.0000807-0.0000807
0.00000759680.000072676-0.000072676
0.0000136080.00006545-0.00006545
0.0000182140.000058943-0.000058943
0.0000215910.000053083-0.000053083
0.0000239030.000047805-0.000047805
0.0000253050.000043052-0.000043052
0.0000259430.000038772-0.000038772
0.0000259480.000034917-0.000034917
0.000025440.000031445-0.000031445
0.0000245250.000028319-0.000028319
0.0000232990.000025503-0.000025503
0.0000218440.000022968-0.000022968
0.0000202320.000020684-0.000020684
0.0000185260.000018628-0.000018628
0.0000167760.000016776-0.000016776
0.0000150250.000015108-0.000015108
0.0000133080.000013606-0.000013606
0.0000116530.000012253-0.000012253
0.0000100810.000011035-0.000011035
0.00000860630.0000099377-0.0000099377
0.00000724040.0000089497-0.0000089497
0.00000598970.0000080599-0.0000080599
0.00000485690.0000072585-0.0000072585
0.00000384230.0000065369-0.0000065369
0.00000294350.000005887-0.000005887
0.00000215640.0000053017-0.0000053017
0.00000147540.0000047745-0.0000047745
0.0000008940.0000042998-0.0000042998
0.00000040480.0000038723-0.0000038723
E/Emax
exp(-z')
-exp(-z')
z'
Sheet1
001-1
6-9.41E-020.90058-0.90058
12-0.168620.81104-0.81104
18-0.225710.7304-0.7304
24-0.267540.65778-0.65778
30-0.296190.59238-0.59238
36-0.313580.53349-0.53349
42-0.321480.48045-0.48045
48-0.321540.43268-0.43268
54-0.315240.38966-0.38966
60-0.303910.35092-0.35092
66-0.288710.31603-0.31603
72-0.270680.28461-0.28461
78-0.250710.25631-0.25631
84-0.229560.23083-0.23083
90-0.207880.20788-0.20788
96-0.186190.18721-0.18721
102-0.164910.1686-0.1686
108-0.14440.15184-0.15184
114-0.124920.13674-0.13674
120-0.106650.12314-0.12314
126-8.97E-020.1109-0.1109
132-7.42E-029.99E-02-9.99E-02
138-6.02E-028.99E-02-8.99E-02
144-4.76E-028.10E-02-8.10E-02
150-3.65E-027.29E-02-7.29E-02
156-2.67E-026.57E-02-6.57E-02
162-1.83E-025.92E-02-5.92E-02
168-1.11E-025.33E-02-5.33E-02
174-5.02E-034.80E-02-4.80E-02
1803.78E-094.32E-02-4.32E-02
1864.07E-033.89E-02-3.89E-02
1927.29E-033.50E-02-3.50E-02
1989.75E-033.16E-02-3.16E-02
2041.16E-022.84E-02-2.84E-02
2101.28E-022.56E-02-2.56E-02
2161.36E-022.31E-02-2.31E-02
2221.39E-022.08E-02-2.08E-02
2281.39E-021.87E-02-1.87E-02
2341.36E-021.68E-02-1.68E-02
2401.31E-021.52E-02-1.52E-02
2461.25E-021.37E-02-1.37E-02
2521.17E-021.23E-02-1.23E-02
2581.08E-021.11E-02-1.11E-02
2649.92E-039.98E-03-9.98E-03
2708.98E-038.98E-03-8.98E-03
2768.05E-038.09E-03-8.09E-03
2827.13E-037.29E-03-7.29E-03
2886.24E-036.56E-03-6.56E-03
2945.40E-035.91E-03-5.91E-03
3004.61E-035.32E-03-5.32E-03
3063.88E-034.79E-03-4.79E-03
3123.21E-034.32E-03-4.32E-03
3182.60E-033.89E-03-3.89E-03
3242.06E-033.50E-03-3.50E-03
3301.58E-033.15E-03-3.15E-03
3361.15E-032.84E-03-2.84E-03
3427.90E-042.56E-03-2.56E-03
3484.79E-042.30E-03-2.30E-03
3542.17E-042.07E-03-2.07E-03
360-3.27E-101.87E-03-1.87E-03
366-1.76E-041.68E-03-1.68E-03
372-3.15E-041.51E-03-1.51E-03
378-4.21E-041.36E-03-1.36E-03
384-5.00E-041.23E-03-1.23E-03
390-5.53E-041.11E-03-1.11E-03
396-5.86E-049.96E-04-9.96E-04
402-6.00E-048.97E-04-8.97E-04
408-6.00E-048.08E-04-8.08E-04
414-5.89E-047.28E-04-7.28E-04
420-5.68E-046.55E-04-6.55E-04
426-5.39E-045.90E-04-5.90E-04
432-5.05E-045.31E-04-5.31E-04
438-4.68E-044.79E-04-4.79E-04
444-4.29E-044.31E-04-4.31E-04
450-3.88E-043.88E-04-3.88E-04
456-3.48E-043.50E-04-3.50E-04
462-3.08E-043.15E-04-3.15E-04
468-2.70E-042.84E-04-2.84E-04
474-2.33E-042.55E-04-2.55E-04
480-1.99E-042.30E-04-2.30E-04
486-1.68E-042.07E-04-2.07E-04
492-1.39E-041.87E-04-1.87E-04
498-1.12E-041.68E-04-1.68E-04
504-8.89E-051.51E-04-1.51E-04
510-6.81E-051.36E-04-1.36E-04
516-4.99E-051.23E-04-1.23E-04
522-3.41E-051.10E-04-1.10E-04
528-2.07E-059.95E-05-9.95E-05
534-9.37E-068.96E-05-8.96E-05
5401.92E-128.07E-05-8.07E-05
5467.60E-067.27E-05-7.27E-05
5521.36E-056.55E-05-6.55E-05
5581.82E-055.89E-05-5.89E-05
5642.16E-055.31E-05-5.31E-05
5702.39E-054.78E-05-4.78E-05
5762.53E-054.31E-05-4.31E-05
5822.59E-053.88E-05-3.88E-05
5882.59E-053.49E-05-3.49E-05
5942.54E-053.14E-05-3.14E-05
6002.45E-052.83E-05-2.83E-05
6062.33E-052.55E-05-2.55E-05
6122.18E-052.30E-05-2.30E-05
6182.02E-052.07E-05-2.07E-05
6241.85E-051.86E-05-1.86E-05
6301.68E-051.68E-05-1.68E-05
6361.50E-051.51E-05-1.51E-05
6421.33E-051.36E-05-1.36E-05
6481.17E-051.23E-05-1.23E-05
6541.01E-051.10E-05-1.10E-05
6608.61E-069.94E-06-9.94E-06
6667.24E-068.95E-06-8.95E-06
6725.99E-068.06E-06-8.06E-06
6784.86E-067.26E-06-7.26E-06
6843.84E-066.54E-06-6.54E-06
6902.94E-065.89E-06-5.89E-06
6962.16E-065.30E-06-5.30E-06
7021.48E-064.77E-06-4.77E-06
7088.94E-074.30E-06-4.30E-06
7144.05E-073.87E-06-3.87E-06
Sheet1
E/Emax
exp(-z')
-exp(-z')
z'
Sheet2
Sheet3
_1192944809.unknown
_1192944400.unknown
_1192944642.unknown
_1192944697.unknown
_1192944490.unknown
_1192944191.unknown
_1192944014.unknown
_1192865237.unknown
_1192865657.unknown
_1192865824.unknown
_1192943452.unknown
_1192943525.unknown
_1192943843.unknown
_1192865728.unknown
_1192865738.unknown
_1192865751.unknown
_1192865640.unknown
_1192865412.unknown
_1192865171.unknown
_1192783794.unknown
_1192794391.unknown
_1192794464.unknown
_1192794526.unknown
_1192794588.unknown
_1192794500.unknown
_1192794439.unknown
_1192794296.unknown
_1192794304.unknown
_1192791940.unknown
_1192792120.unknown
_1192792373.unknown
_1192792387.unknown
_1192793196.unknown
_1192793318.unknown
_1192793457.unknown
_1192793866.unknown
_1192793958.unknown
_1192794247.unknown
_1192793886.unknown
_1192793627.unknown
_1192793398.unknown
_1192793278.unknown
_1192792842.unknown
_1192793092.unknown
_1192792398.unknown
_1192792380.unknown
_1192792146.unknown
_1192792015.unknown
_1192783865.unknown
_1192781741.unknown
_1192783578.unknown
_1192783637.unknown
_1192783660.unknown
_1192782106.unknown
_1192779683.unknown
_1192781724.unknown
_1192780765.unknown
_1192780819.unknown
_1192780944.unknown
_1192781463.unknown
_1192781631.unknown
_1192781379.unknown
_1192780841.unknown
_1192779726.unknown
_1192780132.unknown
_1192780430.unknown
_1192780310.unknown
_1192779916.unknown
_1192779712.unknown
_1192779718.unknown
_1192779706.unknown
_1192779271.unknown
_1192779296.unknown
_1192779649.unknown
_1192778799.unknown
_1192779261.unknown
_1192697319.unknown
_1192698505.unknown
_1192702993.unknown
_1192707833.unknown
_1192776357.unknown
_1192776841.unknown
_1192775390.unknown
_1192697728.unknown
_1192698001.unknown
_1192697653.unknown
_1165188262.unknown
_1166465367.unknown
_1165187595.unknown
_1165187682.unknown
_1165187987.unknown
_1165188026.unknown
_1165188032.unknown
_1165188035.unknown
_1165188028.unknown
_1165187980.unknown
_1165187983.unknown
_1165187607.unknown
_1165187629.unknown
_1165187604.unknown
_1165187563.unknown
_1165187558.unknown
_1163844466.unknown
