Cursul 4 Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ...

download Cursul 4 Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ...

of 15

  • date post

    28-Jan-2017
  • Category

    Documents

  • view

    236
  • download

    4

Embed Size (px)

Transcript of Cursul 4 Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ...

  • Lector univ. dr. Cristina Nartea

    Cursul 4

    Matrice. Rangul unei matrice.

    Rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare.

    Metoda eliminrii a lui Gauss

    Definiie O matrice m n este o serie de mn intrri, numite elemente, aranjate n m linii i n

    coloane. n cazul n care o matrice se noteaz cu A, elementul din rndul i i coloana j se

    noteaz cu ija i matricea se scrie

    11 1

    1

    n

    m mn

    a a

    A

    a a

    .

    Exemple de matrice

    Matrice 1x3 1 2 3

    Matrice 3x1

    2

    5

    6

    Matrice 2x2 2 4

    1 0

    Matrice 3x3

    1 0 2

    1 3 4

    5 1 2

    O matrice ptratic este o matrice n care numrul de linii m este egal cu numrul de coloane n.

    Egalitatea a dou matrice. Egalitatea a dou matrice nseamn c, dac A i B sunt egale, atunci

    fiecare este o copie identic a celeilalte.

    Ex. 1 2 3

    0 1 2A

    i

    1 2 3

    0 2B

    x

    . Aflai x astfel nct A=B.

    Adunarea a dou matrice. Adunarea de matrice A i B este definit numai n cazul matricele au

    acelai numr de rnduri i cu acelai numr de coloane. S considerm i jA a i

  • Lector univ. dr. Cristina Nartea

    i jB b s fie matrice m n. Matricea m n format nct elementul din linia i i coloana j

    este ij ija b pentru fiecare i i j este matricea A + B .

    Ex. Pentru 1 2 1 0

    ,3 4 1 1

    A B

    , 2 2

    2 5A B

    nmulirea unei matrice cu scalari. S considerm matricea m n, i jA a i un scalar

    (real sau complex). n cazul n care A este nmulit cu , i se scrie A, fiecare element din A este

    nmulit cu pentru a obine matrice m n,

    i jA a .

    Ex. Pentru =2 i 1 2 3

    0 1 2A

    ,

    2 4 6

    0 2 4A

    .

    nmulirea matricelor. Este important s observai c, atunci cnd produsul AB este definit,

    produsul BA este n general diferit sau poate s nici nu fie definit.

    Se pot nmuli matrice de tip mxn cu matrice nxp, iar rezultatul este o matrice de tip mxp.

    Ex.

    11 0 2

    , 21 4 5

    3

    A B

    . Rezultatul este

    1 1 0 2 2 3 7

    ( 1) 1 4 2 5 3 22A B

    .

    Tema 1. Fie

    1 51 0 1 0 1

    , , , 4 22 3 0 1 3

    1 0

    A B C D

    . Determinai care nmuliri pot fi

    efectuate i n acest caz calculai: AB, BA, AC, CA, ABC, CAB, AD, DA, CD, DC, ACD, DAC.

    Transpusa unei matrice. . S considerm matricea m n, i jA a . Atunci transpusa lui A,

    notat de TA este matricea obinut schimbnd liniile n coloane pentru a produce o matrice

    nxm, TA jia .

    Ex. 1 2 1 3

    ,3 4 2 4

    TA A

    .

  • Lector univ. dr. Cristina Nartea

    1 21 0 1

    , 0 12 1 3

    1 3

    TA A

    .

    Determinantul unei matrice. Fiecare matrice ptratic, are ca element asociat un singur numr

    determinant al lui A. Dac A este o n n matrice, determinantul lui A este indicat prin afiarea

    elementelor lui A ntre dou bare verticale, dup cum urmeaz:

    11 1

    1

    n

    n nn

    a a

    a a

    .

    Ex. Determinant de ordinul 2. 1 2

    1 ( 4) 2 5 145 4

    .

    Determinant de ordinul 3

    1 0 1

    2 3 4 1 3 6 2 2 1 ( 1) 0 4 1 3 ( 1) 4 2 1 6 0 2 18 4 3 8 17

    1 2 6

    1 0 1

    2 3 4

    Rangul unei matrice. Fie ,m nA M o matrice nenul. Spunem c matricea A are rangul r

    i notm rang A r , dac A are un minor nenul de ordin r, iar toi minorii lui A de ordin mai

    mare dect r (dac exist) sunt nuli.

    Aplicaie. Calculai rangul matricelor

    1 0 2

    1 3 0

    2 2 1

    A

    , 1 3

    0 4B

    , 1 0 2

    3 1 4C

    ,

    1 0

    3 4

    1 2

    D

    .

    Inversa unei matrice.Dac det 0A , atunci A este inversabil i1 *1

    detA A

    A

    .

    Ex. Calculai inversa matricei 1 2

    3 1A

    .

  • Lector univ. dr. Cristina Nartea

    1 2

    det 1 6 5 03 1

    A , deci A este inversabil.

    1 3

    2 1

    TA

    Complemenii algebrici 1 1 1 2

    11 12

    2 1 2 2

    21 22

    ( 1) 1 1 ( 1) 2 2

    ( 1) 3 3 ( 1) 1 1

    *1 2

    3 1A

    1

    1 2

    1 21 5 5

    3 1 3 15

    5 5

    A

    Aplicaie. Calculai inversa matricei

    1 0 2

    2 1 3

    0 1 4

    A

    .

    Aplicaie la spaii vectoriale. Fie B={ 1 2( 1,1), (2,3)e e } i B={ 1 2(1,3), (3,8)f f }.

    a) S se verifice dac sistemele de vectori B i B formeaz baze.

    b) S se gseasc matricea de trecere din baza B n baza B.

    c) Dac [ '] (2,1)Bx , gsii coordonatele lui x n baza B.

    d) Dac [ ] ( 1,0)Bx , gsii coordonatele lui x n baza B.

    Sisteme de ecuaii liniare

    Forma general a unui sistem de m ecuaii liniare cu n necunoscute este:

    11 1 12 2 1 1

    21 1 22 2 2 2

    1 1 2 2

    n n

    n n

    m m mn n m

    a x a x a x b

    a x a x a x b

    a x a x a x b

    (1.1)

    unde:

    nxxx ,, 21 sunt necunoscutele sistemului,

  • Lector univ. dr. Cristina Nartea

    numerele njmiaij ,1,,1, sunt coeficienii necunoscutelor,

    mbbb ,, 21 sunt termenii liberi ai sistemului.

    Unui sistem liniar i asociem urmtoarele matrice:

    mnmm

    n

    n

    aaa

    aaa

    aaa

    A

    21

    22221

    11211

    matricea sistemului,

    mb

    b

    b

    2

    1

    matricea termenilor liberi.

    nx

    x

    x

    2

    1

    matricea necunoscutelor,

    mmnmm

    n

    n

    baaa

    baaa

    baaa

    A

    21

    222221

    111211

    ~ matricea extins a sistemului care se obine

    adugnd la matricea A coloana termenilor liberi.

    Definiia 1. Se numete soluie a sistemului de ecuaii liniare un sistem ordonat de n

    numere tn ,, 21 astfel nct nlocuind necunoscutele nxxx ,, 21 respectiv prin

    n ,, 21 este verificat fiecare din ecuaiile sistemului.

    Definiia 2. Un sistem este

    compatibil dac are cel puin o soluie,

    compatibil determinat dac are soluie unic,

    compatibil nedeterminat dac are o infinitate de soluii,

    incompatibil dac nu are soluii.

    Metode de rezolvare a sistemelor liniare.

  • Lector univ. dr. Cristina Nartea

    1) Metoda lui Cramer permite rezolvarea sistemelor liniare de n ecuaii cu n necunoscute

    avnd determinantul asociat matricei sistemului nenul.

    Teorema 1. Dac sistemul

    11 1 12 2 1 1

    21 1 22 2 2 2

    1 1 2 2

    n n

    n n

    n n nn n n

    a x a x a x b

    a x a x a x b

    a x a x a x b

    (1.2)

    are determinantul nenul, atunci soluia sa utiliznd metoda lui Cramer este 1, , ,nx x unde

    nix

    x ii ,1,

    , nixi ,1, fiind determinantul obinut din prin nlocuirea coloanei

    corespunztoare coeficienilor necunoscutei nixi ,1, cu coloana termenilor liberi, adic

    nninninnn

    nii

    nii

    i

    aabaaa

    aabaaa

    aabaaa

    x

    1,1,21

    21,221,22221

    11,111,11211

    .

    2) Metod de rezolvare a sistemelor liniare de m ecuaii cu n necunoscute.

    1) Se determin Arang .

    2) Se alege un minor principal

    11 12 1

    21 22 2

    1 2

    r

    r

    p

    r r rr

    a a a

    a a a

    a a a

    .

    3) Se precizeaz: necunoscutele principale rxx ,,1 i secundare nrr xxx ,, 21 i

    de asemenea ecuaiile principale (ecuaiile r,2,1 ) i ecuaiile secundare (celelalte

    rm ecuaii). Dac exist ecuaii secundare se calculeaz minorii caracteristici

    (minorul obinut din minorul principal, prin bordarea acestuia cu elementele

    corespunztoare ale coloanei termenilor liberi i cte una din liniile rmase); numrul

    minorilor caracteristici este egal cu numrul ecuaiilor secundare i este egal cu rm

    .

  • Lector univ. dr. Cristina Nartea

    4) Se stabilete dac sistemul (1.1) este compatibil.

    Teorema 2. (Teorema lui Rouche) Un sistem de ecuaii este compatibil dac i numai

    dac toi minorii caracteristici sunt nuli.

    Teorema 3. (Teorema Kronecker Capelli). Condiia necesar i suficient ca sistemul

    s fie compatibil este ca A Arang rang .

    5) Dac sistemul este compatibil soluia sa se obine prin rezolvarea sistemului principal

    format din ecuaiile rezultate trecnd n membrul drept termenii care conin

    necunoscutele secundare i atribuind acestor necunoscute secundare valori arbitrare):

    - dac numrul necunoscutelor secundare este 0 sistemul este compatibil

    determinat;

    - dac exist necunoscute secundare, sistemul este compatibil nedeterminat;

    numrul necunoscutelor secundare arat gradul de nedeterminare.

    3) Metoda transformrilor elementare (Metoda eliminrii a lui Gauss)

    Metoda transformrilor elementare este de fapt procedeul de reducere a necunoscutelor,

    scris, eventual, sub form matriceal. n cazul sistemelor de dou ecuaii cu dou necunoscute,

    aceast metod este de fapt metoda reducerii.

    Exist 3 tipuri de transformri elementare

    Schimbarea a dou ecuaii;

    nmulirea unei ecuaii cu un scalar nenul;

    Adunarea unei ecuaii nmulite cu un scalar la o alt ecuaie.

    Exemplul 1. Rezolvai sistemul 2 3 4

    5

    x y

    x y

    .

    Sistemul Matricea extins i

    transformrile elementare

    2 3 4

    5

    x y

    x y

    2 3 | 4

    1 1 | 5

  • Lector univ. dr. Cristina Nartea

    1

    2 12L L

    2 3 4

    57

    2

    x y

    y

    2 3 | 4

    50 | 7

    2

    422 4

    5

    14

    5

    x