CursUIS Fin

7/27/2019 CursUIS Fin

1/163


2/163


3/163

1. ANALIZA DIMENSIONAL1.1. MSURARE, TEOREMA

FUNDAMENTAL A UNITILOR DE MSUR

Scopul fizicii este acela de a stabili legile n virtutea crora se desfoarprocesele din natur. Aceste legi pot fi exprimate att sub form calitativ ct i subform cantitativ.

Forma calitativ a unei legi fizice cum ar fiafirmaia un corp lsat liber cade spre suprafaa

Pmntului este de cele mai multe ori prea vagpentru a avea aplicaii practice. De aceea, estenecesar stabilirea unei forme cantitative pentrufiecare lege a fizicii. Forma cantitativ a unei legia fizicii este o relaie matematic ntre mrimifizice msurabile. Mrimile fizice msurabile sunt,

aa cum le spune i numele, acele mrimi fizice care pot fi msurate. Iat definiiamsurrii :

Cuvinte cheieMrimi fizice msurabileUnitate de msur

Teorema fundamental aunitilor de msur

" Msurarea unei mrimi fizice nseamn compararea ei cantitativcu o mrime fizic de aceeai natur, aleas ca unitate de msur.

De exemplu, msurarea dimensiunilor unei camere cu pasul nseamn a stabilide cte ori este mai mare lungimea camerei (adic lungimea fizic msurabil) dectlungimea pasului (unitatea de msur).

Vom folosi n continuare urmtoarele notaii :A = mrimea fizic msurabil

= unitatea de msura = valoarea numeric rezultat n urma msurrii

ntre aceste mrimi exist urmtoarea relaie :

A

Aa =

Evident, aceeai mrime fizic poate fi msurat cu dou uniti de msurdiferite :

2

2

1

1

A

Aa;

A

Aa ==

Fcnd raportul celor dou valori numerice, rezult :

3


4/163

1

2

2

1

A

A

a

a=

Aceast relaie a primit denumirea de teorema fundamental a unitilor demsuri se enun astfel :

" Msurnd o mrime fizic cu dou uniti de msur diferite,raportul valorilor numerice obinute este invers proporional cu raportulcelor dou uniti de msur, fiind independent de mrimea fizic msurat

1.2. SISTEME DE UNITI DE MSUR,SISTEMUL INTERNAIONAL DE UNITI DE

MSUR(SI)

Forma cantitativ a unei legi fizice poate fiexprimat n dou moduri diferite :formula matematic, adic relaia matematic

dintre mrimile fizice( )nA...,A,AfA 210 =

formula fizic, adic relaia matematic dintrevalorile mrimilor fizice

( )na...,a,aga 210 = n general, determinarea unei legi a fizicii se

face pe cale experimental, gsindu-se corelaiilentre valorile mrimilor fizice care intervin. Aceste valori sunt stabilite utiliznduniti de msur specifice fiecreia dintre mrimile fizice implicate.

Cuvinte cheieFormula matematici

formula fizicaSistem de uniti de msur

Coeficieni paraziiMrimi fizice fundamentale,

respectiv derivateSisteme coerente de uniti de

msur

"Totalitatea unitilor de msur ataate mrimilor fizice cunoscutela un moment dat se numete sistem de uniti de msur.

" Dac unitile de msur aparinnd unui sistem de uniti demsur sunt definite n mod arbitrar atunci sistemul de uniti de msur senumete incoerent.

Folosirea unui sistem de uniti de msur incoerent genereaz neajunsurin ceea ce privete relaia dintre formulele fizic i matematic ale unei legi afizicii. Pentru a nelege mai bine implicaiile utilizrii sistemelor de msur

incoerente, s examinm urmtorul :

4


5/163

EXEMPLU

putem extrage urmtoarele date dinMersul Trenurilor:km localitatea A-821 P-8013 E-28 A-8290 Bucureti 1:00 8:25 9:15 19:00

109 Ciulnia 2:26 10:29 - 20:09146 Feteti 2:52 11:14 - 20:31190 Medgidia 3:37 12:35 - 21:13225 Constana 4:12 13:34 11:40 21:42

Reprezentnd grafic distana parcurs n funcie de ora trecerii prin gri,observm c legea de deplasare a celor patru trenuri este similar, fiind aproximativ ofuncie liniar de timp

0 1 2 3 4 5 60

2550

75100125

150175200

225

acc. 82118 19 20 21 22 23 24

02550

75100125

150175200

225

acc. 8298 9 10 11 12 13 14

02550

75100125

150175200

225

pers. 8013

9 10 11 12 13 14 150

25

50

75

100

125

150

175200

225

expres 28

0 1 2 3 4 5 60

25

50

75

100

125

150

175200

225

avion 1 Mach

Dac convenim s notm panta acestor drepte cu Vi s-o numim vitez, putem

scrie formula matematic corespunztoare legii de deplasare a trenurilor sub forma :( )0TTVD =

unde :

D = mrimea fizic distana parcursT = mrimea fizicora de sosireT0= mrimea fizicora de plecare

mrimea fizicVeste o mrime fizic msurabilam putea conveni s alegem ca unitate de msur a mrimii Vviteza sunetului

n aer, astfel nct un mobil care se deplaseaz cu o vitez egal cu viteza sunetului naer are viteza de 1 mach.

5


6/163

experimental, putem constata c un avion zburnd cu vitez egal cu cea asunetului ajunge la Constana la 11 minute dup plecarea din Bucureti.formula matematic a legii de deplasare a avionului are aceeai form ca i n

cazul trenurilor :( )0TTVD =

dac pentru a exprima legea de micare a avionului am ncerca s folosim o

formul fizic asemntoare formulei matematice, ar trebui s scriem :( )avion0avionConstanta-Bucuresti ttvd =

nlocuind valorile numerice ar rezulta :225 = 1 11

(km) (mach) (min)evident, aceast relaie este incorect matematic !de aceea, trebuie s scriem formula fizic sub forma :

( )0ttvKd = unde K este o constant de proporionalitate, denumit coeficient parazit, careare rolul de a corecta din punct de vedere matematic formula fizic.

Rezult :225 =K 1 11

(km) (mach) (min)sau :

=

minmach

km

11

225K

Deci formula fizic corespunztoare formulei matematice :

( )0TTVD =

este :

( )011225

ttvd =

Cele dou moduri de exprimare ale aceleiai legi a fizicii sunt diferite, faptcare reprezint consecina alegerii arbitrare a celor trei uniti de msur folosite(kilometru, minut i mach).

Discrepana dintre formula fizici formula matematic nu mpiedic msurareavitezei trenului :astfel, n cazul acceleratului 821 obinem :

( )

( ) ( ) ( )minhminhminmach

kmkm

00:1-12:411

225=225 821

v

sau :

6


7/163

( ) ( )min192minmach

km

11

225=km225 821

v

sau :

( )mach0,0573192

11=821 v

Cu toate acestea, formele diferite ale formulei fizice i formulei matematiceimplic dificulti care pot fi nlturate renunnd s mai alegem n mod arbitrartoate unitile de msur

Astfel, dac impunem condiia ca factorulKs fie egal cu unitatea, rezult :

( ) ( minkm

111=225 avion)

v

sau :

min

km

11

225=avionv

Deci coeficientul parazit dispare, cu condiia de a msura viteza n kilometri peminut.

" Mrimile fizice ale cror uniti de msur pot fi alese arbitrar senumesc mrimi fizice fundamentale, iar unitile lor de msuruniti demsur fundamentale.

" Unitile de msur care se exprim n funcie de unitile demsur ale altor mrimi fizice se numesc uniti de msur derivate, iarmrimile fizice corespunztoare se numesc mrimi fizice derivate.

Concluziile sunt urmtoarele :

# Pentru eliminarea coeficienilor parazii care apar n formula fizic a unorlegi ale fizicii, este necesar ca o parte dintre mrimile fizice folosite s fie

mrimi fizice derivate.

# Eliminnd totalitatea coeficienilor parazii care pot fi eliminai, obinemun sistem de uniti de msur avnd un numr minim de mrimi fizicefundamentale. Acest sistem de uniti de msur se numete sistem de unitide msur coerent.

# Cnd existNmrimi fizice distincte i n legi fizice independente pot fieliminai n coeficieni parazii.

7


8/163

Obinem n acest caz n relaii ntre unitile de msur ale celorNmrimi fizice.Prin urmare, numrul unitilor de msur fundamentale este egal cu (N- n). Notndmrimile fizice fundamentale cu :

N-nF........F,F 21 i unitile lor de msur (stabilite arbitrar) cu :

nNF...........F,F 21

rezult c unitile de msur derivate se pot exprima ca produse ale unoranumite puteri ale unitilor fundamentale :

( )knNkknNk F......FFA

= 21 21

n istoria tiinei i tehnicii s-au folosit diverse sisteme coerente de uniti demsur. Utilizarea lor simultan putea duce la confuzii. De aceea prin hotrreaConferinei Generale de Msuri i Greuti (Paris, 1960) s-a adoptat un sistem deuniti de msur unic pe plan internaional. Acesta poart denumirea de Sistemul

Internaional de Uniti de Msur sau, prescurtat, SI." Sistemul Internaional este un sistem coerent care cuprinde aptemrimi fizice fundamentale, numite dimensiuni ale sistemului de uniti.

Tabelul urmtor cuprinde lista mrimilor fizice fundamentale ale SistemuluiInternaional :

Mrimeafizic

Simboluldimensional

Unitatea demsur

Simbolul unitiide msur

lungime L metru mtimp T secund smas M kilogram kg

temperatur kelvin Kcantitate de substan N kilomol kmol

intensitate a curentuluielectric

I amper A

intensitate luminoas E candel cd

Toate cele apte uniti de msur fundamentale sunt definite n modarbitrar (de exemplu, kelvinul este a 273,16-a parte din intervalul de temperaturntre zero absolut i temperatura punctului triplu al apei distilate). Toate celelalteuniti de msur utilizate de Sistemul Internaional sunt uniti de msurderivate (de exemplu, viteza se msoar n metri pe secund).

Alturi de unitile de msur fundamentale i derivate exist i aa numiteleuniti de msur tolerate. Unitile de msur tolerate au rmas n uz din maimulte motive. Astfel, unele dintre ele sunt tradiionale (de exemplu,calul-putere : 1

CP = 735,5 W), iar altele sunt practice (de exemplu, 1 eV = 1,610-19

J). Cu toateacestea, utilizarea unitilor de msur tolerate nu este recomandat.

8


9/163


10/163

+++=

+++=

+++=

nmnmmm

nn

nn

....

.....................................................

....

....

22110

222212120

121211110

Aceste relaii pot fi puse sub forma matricial :

=

mmnmm

n

n

m

....

....

................

....

....

....

2

1

21

22221

11211

0

20

10

Ele sunt echivalente urmtoarei formulri a condiiei de omogenitate :

" Termenii unei expresii matematice, care corespunde unei legi afizicii, trebuie s aib acelai grad de omogenitate n raport cu fiecaredintre unitile de msur fundamentale.

De exemplu, o expresie de tipul :

3

3at

s =

undes = spaiul parcurs, a = acceleraia i t= timpul necesar, nu poate reprezenta olege corect a fizicii deoarece membrul stng are unitatea de msur

01 smm ==SI

s

iar membrul drept unitatea113

2

3

smss

m

3==

SI

at

nefiind respectat condiia de omogenitate (rezult : )?!smsm 1101 =

S presupunem acum c n cadrul unui sistem coerent de uniti de msur,redefinim unitile de msur fundamentale, conform relaiilor

iii FKF =

adic noua unitate de msur este un multiplu al vechii uniti, factorulKi fiind doarun coeficient numeric. n urma acestei transformri, mrimile fizice fundamentale alesistemului rmn aceleai. Condiia de omogenitate

nmnmmnn

nnm

....

m

....

....

m

F......F

FF......FF

++++++

+++

=

22112222121

121211102010

2

121

devine :

10


11/163

nmnmnmnm

nnnnmm

..

m..

m

....mm

FK....

FKFK...FK

++++

++++

=

1111

111111110010101111

n virtutea condiiei de omogenitate, nn.... +++= 121211110 , rezultnd :nn..KK

++ = 111110 11

n final, toi coeficienii numerici se simplific, rmnndu-ne :nmnmnnm ..

m

..

m F....FF...F++++

= 111111010 11

Deci dei unitile de msur se schimb, condiia de omogenitate nu semodific !Cu alte cuvinte,

# condiia de omogenitate este independent de unitile de msur alemrimilor fizice fundamentale ale sistemului de uniti de msur.

Deoarece condiia de omogenitate depinde doar de alegerea mrimilor fizicefundamentale, putem introduce noiunea de dimensiune asociat unei mrimi fizicefundamentaleFi , notat[Fi].

n aceste condiii, relaiilor ntre unitile de msur derivate i unitile demsur fundamentale :

mkkk

mk F......FFA

= 21 21 le corespund relaii asemntoare ntre dimensiunea mrimii derivate i dimensiunilemrimilor fundamentale :

[ ] [ ] [ ] [ ]mkkk

mk F......FFA

=21

21 " Acest tip de relaie poart numele de formul dimensional a uneimrimi fizice.

n funcie de conceptul de dimensiune a mrimilor fizice, condiia deomogenitate se poate reformula astfel :

" Termenii unei relaii matematice care exprim o lege a fiziciitrebuie s aib acelai grad de omogenitate n raport cu fiecare dintredimensiunile fundamentale ale sistemului de uniti de msur considerat.

De exemplu, legea :

2

2ats =

undes = spaiul parcurs, a = acceleraia i t= timpul necesar, poate constitui o lege afizicii, deoarece dimensiunile celor doi termeni ai relaiei sunt egale :

[ ] 0122

201

2TLT

T

Lat;TLLs ==

==

11


12/163

1.4. METODA RAYLEIGHS presupunem c suntem n situaia de a trebui s determinm expresia exact a

unei legi nc necunoscut fizicii, de forma( )n,...A,AA= fA 210

Exist o infinitate de relaii matematice posibile ntre mrimile fiziceA0,A1,An. Nutoate aceste relaii matematice au i sens fizic! Pot avea sens fizic doar expresiilecare verific condiia de omogenitate

[ ] [ ] [ ] [ ] nn

A.....AA=A 21 210 Ce avantaje ar putea rezulta din acest fapt ? Pentru a nelege cum putem utilizacondiia de omogenitate dimensional, s examinm n continuare un

EXEMPLU

s considerm c viteza v cu care atinge solul un corp lsat liber la o nlime hdepinde i de masa sa mi de acceleraia gravitaionalgfrecrile se pot neglijacutm o lege a fizicii de forma

( )h, m, gv = f formulele dimensionale ale mrimilor care intervin sunt

[ ] [ ] [ ] [ ]2T

L=g= M ;m= L ;h;

T

L=v SISISISI

conform condiiei de omogenitate dimensional avem :[ ] [ ] [ ] [ ] 321 gmh=v

sau :3

212

T

LM= L

T

L

sau :2331 2011 MT= LMTL

-+- dimensiunile sistemului de uniti de msur sunt mrimi independente, ceea ce

are drept urmare faptul c exponenii lor din membrul stng trebuie s fie egali cuexponenii din membrul drept al expresiei :

0=

1-=2

1=+

2

3

31

soluiile acestui sistem de ecuaii sunt

21=,0=,2

1= 321

rezult c relaia de omogenitate are forma :

[ ] [ ] [ ] [ ] 21021 gmh=v

12


13/163

sau :

[ ] [ ]ghv = se tie c legea vitezei cderii libere a unui corp n cmpul gravitaional terestru

este :

ghv 2=

comparnd condiia de omogenitate dimensional cu legea vitezei, remarcmasemnarea lor ! Diferena este dat doar de un coeficient numeric adimensional.

Concluzia pe care o sugereaz acest exemplu este urmtoarea :

#Cel puin n anumite cazuri, expresia matematic a unei legi a fiziciicorespunde pn la unii factori numerici adimensionali cu expresia matematic acondiiei de omogenitate

Desigur, exemplul studiat a fost unul particular. S vedem n continuare cum amputea analiza aceste aspecte n cazul general. S presupunem c suntem n cutareaexpresiei matematice concrete a unei legi a fizicii de form implicit :

( )n,...A,AA= fA 210 Condiia de omogenitate dimensional este :

[ ] [ ] [ ] [ ] nnA.....AA=A 21 210 Substituind cantitile [A0] , [A1] ..... [An] prin formulele lor dimensionale :

[ ] [ ] [ ] [ ] miii mi U.....UU=A 21

21 ajungem la ecuaiile :

+++

++++++

nmnmmm

nn

nn

....=

.................................................

....=

....=

22110

222212120

121211110

Mrimile A0, A1,...An fiind cunoscute, exponenii ij sunt de asemenea cunoscui.Rezult c exponenii j nu pot lua cu toii valori arbitrare. n aceste condiii existtrei situaii posibile :

Numrul ecuaiilor independente ale sistemului de ecuaii,pm, este mai maredect numrul n al exponenilorj. n acest caz, sistemul de ecuaii este incompatibil.Sensul fizic al acestei situaii matematice este acela c numrul mrimilor fiziceluate n considerare este prea mic, fenomenul studiat depinznd i de altemrimi fizice. Legea pe care o cutm ( )n,...A,AA= fA 210 nu exist!Numrul ecuaiilor independente ale sistemului de ecuaii, pm, este egal cu

numrul n al exponenilor j. n acest caz, sistemul de ecuaii este compatibildeterminat, iar exponenii jsunt unic determinai.Sensul fizic este acela c exist osingur relaie matematic ntre mrimile fizice considerate care poate sreprezinte o lege a fizicii.

13


14/163


15/163

2.MECANICA CLASIC2.1. INTRODUCERE

Mecanica este tiina care studiaz micrilecorpurilor materiale. Acest studiu cuprinde dou di-recii eseniale : cunoaterea i punerea ntr-o formmatematic a legilor de micare, respectiv cunoate-rea cauzelor care determin un anumit tip de mica-re. n primul caz, vorbim despre o ramur a mecani-cii numit cinematic, iar n al doilea de o alt ra-mur, numit dinamic. Dac sistemul fizic studiateste n echilibru mecanic, acest echilibru constituie

un caz special, explicat de legile dinamicii i care studiat n particular este subiectulstaticii. Matematizarea i generalizarea legilor dinamicii s-a constituit ntr-un capitolspecial al mecanicii, denumit mecanic analitic.

2.2. CINEMATICA

Cuvinte cheieMecanic

CinematicDinamic

Static

Mecanic analitic

Cuvinte cheieSpaiu

Dimensiuni spaialeTimp

Proprietile spaiului i tim-pului

Experiena pe care ne-am nsuit-o prin simuri-le noastre ne spune cexistm n spaiu i spaiulare trei dimensiuni. Dei pot exista multe discuiireferitoare la noiunea de spaiu, ceea ce ne intere-seaz aici este o abordare, simpl, pragmatic a rea-litii nconjurtoare, care s ne permit s extragemconcluzii i legi folositoare n activitatea noastr defiecare zi. Prin urmare, ne vom mrgini s afirmm

urmtoarele :" Spaiul este infinit n toate direciile. Spaiul este omogen i izo-trop, adic proprietile sale sunt aceleai n orice punct i n orice direcie.Spaiul are trei dimensiuni.O alt percepie a simurilor noastre este aceea a trecerii timpului. Cu alte cuvin-

te, trim n timp. Se pot spune multe i despre timp. Restrngndu-ne la abordareapragmatic despre care discutam, vom afirma urmtoarele :

" Timpul se scurge liniar de la trecut spre viitor, uniform n spaiu iindependent de prezena corpurilor care se afl n spaiu.

15


16/163


17/163

COMENTARIUConstruirea sistemului de axe de

coordonate ca i afirmaia c mo-dulul unui versor este unitar nu

presupun doar aspecte matematiceci i aspecte fizice. Rezultatul fi-nal este bazat pe cunoaterea ra-

poartelor ntre modulele celor treivectori de poziie iniiali. De ase-menea, matematic vorbind, coor-donatele x, y i z sunt simple nu-mere, incapabile s exprime prinele nsele poziia unui corp. Deaceea, sensul fizic al noiunii desistem de axe de coordonate pre-supune existena unui etalon delungime. Coordonatelex,y,zsuntnumerele care arat de cte ori secuprinde etalonul de lungime ndistanele Ox, Oy sau Ozmsuraten lungul axelor de coordonate fi-zice. De altfel, chiar i axele decoordonate din desenul alturat

sunt de natur fizici nu abstrac-t (adic sunt trasate pe un suportmaterial, au anumite dimensiunispaiale .a.m.d.)

Vectorul de poziie al unui punct dinspaiu (zis i raz vectoare) se exprim nfuncie de proieciile ortogonale ale punctu-lui pe cele trei axe de coordonate (adic, pe

scurt, coordonatele punctului) i versoriiaxelor de coordonate :

r =x ex +y ey +zezn practic, coordonatele nu sunt simple

numere, ci mrimi fizice msurate cu etalonul de lungime ales.

Oex

y

x

eyez

z

r

Oex

z

r1,4

r1,3

r1,2

q

p

o

n

y

x

ez ey

Cu trecerea timpului, poziia ocupat de un corp se poate modifica n raport cucorpurile de referini, implicit, n raport cu sistemul de coordonate.

Acestea fiind spuse, ajungem n sfrit la ceea ce denumeam anterior o definiie

operaional a strii de micare. Potrivit acesteia, micarea reprezint modificarean timp a poziiei unui corp n cadrul unui sistem de referin.

17


18/163

Sistemul de referin este un concept fizic care include urmtoarele elemente :

Un ansamblu de corpuri de referin considerate fixeUn sistem de axe de coordonate, ataat corpurilor de referinUn etalon de lungime, adic o unitate de msur a distanelori un instrumentcu care se poate face msurtoarea de lungime (rigl)Un etalon de timp, adic o unitate de msur a duratelor de timp i un instru-

ment cu care se poate face msurtoarea de timp (ceas)

" Msurarea experimental a strii de micare a unui corp nseamnn acest context determinarea simultan a valorilor coordonatelor mobiluluii a momentelor de timp corespunztoare.

2.2.1. Relativitatea micrii i a repausuluiNu vom vorbi aici despre relativitatea percepiilor umane, ci ne vom ntreba

despre ceva mult mai concret : sunt micarea sau repausul noiuni absolute sau nu ?

Dac a afirmac baronul vonMnchhausen, c-lare pe o ghiulea nzbor, este n repa-us, n vreme cemelcul se depla-seaz cu o vitezde aproximativ 30

km/s, m-ai crede probabil la fel de sincer ca i pe celebrul mincinos-baron, sau lafel de inteligent ca pe melc. Cu toate acestea s-ar putea s am dreptate, firete omi-

nd s v fi spus ceva de la bun nceput. Ce ar fi trebuit s v comunic era c atuncicnd m refeream la starea de micare a baronului, corpul de referin era ghiuleaua,iar cnd pomeneam melcul, corpul de referin era Soarele. Cei care m-ar fi contrazisar fi fcut-o, firete, cu bun credin, dar se lsau ei nii nelai de o prejudecat,i anume c pmntul pe care ne desfurm existena este n repaus absolut. Prinurmare, raionamentul lor, bazat pe ideea (i ea preconceput) c o ghiulea n zbor semic fa de pmnt mai repede dect un melc, li s-ar fi prut perfect valabil. i, cas ntregesc irul de ciudenii din acest paragraf, v voi mai spune c s-ar putea sam dreptate i atunci cnd, pstrnd pmntul ca sistem de referin, afirm c exist

un interval de timp, chiari dac este aparent mic, n care ghiuleaua se mic mai n-

18


19/163


20/163

Remarcai clegea de micare este o ecuaie vectorial, echivalent cu treiecuaii scalare referitoare la componentele vectorului de poziie. Acestea dinurm se mai numesc ecuaiile parametrice de micare.

Pentru o analiz cantitativ a micrilor unor

mobile diferite, este suficient s comparm distane-le parcurse de acestea n anumite intervale de timpbine determinate, sau, invers, s comparm interva-lele de timp necesare parcurgerii aceleiai distane.

Cuvinte cheieVitez medie i momentan

Acceleraie medie i momen-tan

" Raportul dintre distana parcurs de un mobil i intervalul de timpnecesar pentru aceasta se numete vitez medie. Formula corespunztoareacestei definiii este :

t

d

tt

dvm

=

=12

Practica ne arat c viteza medie nu este aceeai pe orice poriune de drum ! Deexemplu, dac v deplasai cu autobuzul prin ora exist poriuni n care circulaia es-te fluent, iar viteza medie mare, i poriuni n care circulaia se desfoar cu greuta-te, ceea ce se manifest ntr-o vitez medie mic. Rezult de aici c informaia cu-

prins n valoarea vitezei medii are semnificaie numai dac precizm i segmentul dedrum pe care ea a fost calculat.

" Viteza medie nu poate caracteriza starea de micare a unui obiect,adic nu poate oferi o informaie legat de un moment concret de timp !i atunci, cum putem face distincia dintre strile de micare ale corpurilor?

Simpla precizare a coordonatelor spaio-temporale este insuficient, ceea censeamn c este necesar definirea unei mrimi fizice, a crei valoare msoarcantitativ diferena dintre obiectul fix i cel n micare. Aceast mrime fizic se

numete vitez momentan, sau puri simpluvitez.

" Deosebirea ntre definiia dat vitezei medii i aceea dat vitezeimomentane este aceea c, n cazul vitezei momentane, intervalul de timpluat n considerare trebuie s fie ct mai scurt, astfel nct irul de stri

prin care trece corpul s fie ct mai mic (idealizat, s se reduc doar la striextrem de apropiate de starea creia i se atribuie viteza momentan).

Conform celor spuse, putem defini viteza momentan dup cum urmeaz :

20


21/163

" Viteza momentan este mrimea fizic vectorial calculat ca ra-portul dintre vectorul deplasare i durata necesar deplasrii, atunci cnddurata este foarte mic, adic este prima derivat a vectorului de poziie nraport cu timpul. Formula corespunztoare este :

rvrr

v &==

=

sau

0 dt

d

tlimt

n figur se poate observa semnificaiageometric a vectorului vitez. Fie stareamarcat printr-un cercule, avnd vectorul de

poziie r, la momentul de timp t. Pentru a de-termina viteza, considerm dou momente detimp t1 t , foarte apropiate de mo-mentul t. Trasm vectorii de poziie la acestedou momente de timp i facem diferena

12 rrr = . nmulim vectorul r cu scalarul1/( t2 - t1), gsind astfel vectorul v. Vectorulvitez este tangent la traiectorie. Ca orice altvector, vectorul vitez are trei componente :

zt

dzv;y

dt

dyz && =

===v;x

dt

dxv yx &==

Viteza atribuit unui corp n micare sepoate i ea modifica n timp. Cum msurmct de repede variaz aceasta ? Este nevoie deo nou mrime fizic, denumit acceleraie

momentan, sau puri simplu acceleraie.

traiectorier1 , t1

r2 , t2

r , t0v

r , tv

" Prin definiie : acceleraia momentan este mrimea fizic vecto-rial calculat ca prima derivat a vectorului vitez n raport cu timpul, saua doua derivat a vectorului de poziie n raport cu timpul. Formula cores-

punztoare este :rva

rva &&& ==== sau

2

2

dt

d

dt

d

Vectorul acceleraie are, n general, trei componente :

zdt

zd

dt

dva;y

dt

yd

dt

dva;x

dt

xd

dt

dva zz

y

yx

x &&&&&& ========= 2

2

2

2

2

2

21


22/163

Similar cu vectorul vite-z, se poate construi geome-tric i vectorul acceleraie(vezi figura alturat).

n general, vectorulacceleraie este orientatsub un anumit unghi nraport cu vectorul vitez,iar cei doi vectori for-meaz un plan.

Alegnd n acest plandou axe de coordonate per-

pendiculare, una dintre ele fi-

ind ndreptat n sensul vite-zei, exist dou componenteale acceleraiei : acceleraia

tangenial, orientat paralel cu vectorul vitez, i acceleraia normal, orientatperpendicular pe vectorul vitez. Evident, vectorul acceleraie nu are i o compo-nent perpendicular pe acest plan.

v, t 0

at , t

an , t

v , t

a , t

a , t

v2 , t2v1 , t1

v1 , t1

# Din cele discutate pn acum reiese faptul c starea momentan a unuicorp n micare este caracterizat de trei mrimi fizice vectoriale : vectorul de

poziie r, viteza vi acceleraia a, la care se adaug momentul de timp t. Valori-le i orientrile celor trei mrimi vectoriale se pot modifica n timp.

" Funciile matematice care permit aflarea poziiei, vitezei sau accele-raiei la un moment de timp dat se numesc legi de micare sau ecuaii demicare (legea/ecuaia spaiului, legea/ecuaia vitezei, sau legea/ecuaiaacceleraiei).

n principiu, dac cunoatem ecuaia acceleraiei, poziia i viteza iniial aleunui mobil, putem s determinm att ecuaia vitezei, ct i ecuaia spaiului.Astfel, ecuaia vitezei se determin cu ajutorul integralei : ,( ) ( ) ( )+=

t

t

dtttt

0

0 avv

iar ecuaia spaiului cu ajutorul integralei : ( ) ( ) ( )+=t

t

dtttt

0

0 vrr

22


23/163

2.2.3. Clasificarea micrilor dup traiectorie ilegea de micare

" Clasificarea micrilor se poate face n dou moduri : dup forma traiectoriei dup legea de micare pe traiectorie

Cea mai general micare este micareavariat.

ntr-o micare variat modulul vitezei semodific permanent n timp

Micarea uniform variat este mica-rea n care modulul vitezei variaz cu

ca .ntiti egale n intervale de timp egale

Micarea uniformeste micarea n ca-re modulul vitezei este constant n timp.

t

v

t

v vv

tt

v

Clasificarea micrilor dup legea de micare

t

Clasificarea micrilor dup forma traiectoriei

Cea mai general form de traiectorieeste linia curb.

Dac traiectoria unui mobil este o curboarecare, spunem c mobilul are o tra-

iectorie curbilinie

Dac curba are forma particular decerc, spunem c mobilul are o traiecto-

rie circular

Dac curba se reduce la o dreapt, spu-nem c mobilul are o traiectorie recti-

linie

23


24/163

" Cnd vorbim despre tipul de micare al unui corp trebuie s furni-zm ambele informaii necesare : forma traiectoriei i legea de micare.Exist, astfel, micri circulare uniforme, micri rectilinii uniform va-riate, micri curbilinii variate, .a.m.d.

Un exemplu de tip de micare este micarea rectilinie uniform variat.

" Micarea rectilinie uniform variat este micarea care se desf-oar n linie dreapti n care modulul vitezei variaz cu cantiti egale nintervale de timp egale. n micarea rectilinie uniform variat vectorul ac-celeraie este permanent paralel cu vectorul vitez i, implicit, cu direciamicrii.

Din definiia acceleraiei momentane :

dt

dv

a = putem afla viteza la momentul t:

+=t

t

dt

0

0 avv

sau :( )00 tt+= avv

Alegnd sistemul de referin astfelnct traiectoria s se suprapun peste axaOx, obinem situaia din figura alturat.Se observ c vectorul acceleraie poateavea acelai sens ca i vectorul vitez, dari sens opus. Ecuaia vectorial scris an-terior se reduce n cazul acesta la o singu-r ecuaie scalar, referitoare la compo-nentele vectorilor pe axa Ox:( )00 ttavv +=

x , tx0 , t0

vv0a

xO

x , tx0 , t0

vv0 axO

Ecuaia vitezei n micarea uniform variat

(nu uitai c valorile numerice ale mrimilor din ecuaie sunt pozitive dac sensulvectorului corespunztor coincide cu sensul axei, respectiv negative n caz contrar !).

Prin integrarea ecuaiei vitezei, se obine ecuaia spaiului :

( )[ ] tt

t

t

t

t

t

t

t

t

tatat

tvdtttavdtvxx0

0

0

00

0

2

0000 2+=+==

sau :

Ecuaia spaiului n micarea rectilinie

uniform variat( )

( )

2

20

000

tta

ttvxx

++=

24


25/163

O alt ecuaie important a micrii uniform variate se poate obine eliminndtermenul (t- t0) ntre ecuaia vitezei i ecuaia spaiului :

( ) ( )a

vvttttavv 0000

=+=

( ) ( )2

00000000

2

1

2

1

+

+=++=

a

vva

a

vvvxxttattvxx

sau :

( )020

2 2 xxavv +=

" Aceast relaie se numete ecuaia lui Galilei.2.2.4. Transformarea Galilei

Fie cele dou sistemede coordonate din fotografiaalturat. Unul dintre ele es-te legat de pmnt, iar cel-lalt de avion. Presupunem cavionul se deplaseaz recti-liniu i uniform n raport cusolul, iar viteza sa v0 este

orientat paralel cu axa Ox.Pe cer zboar o pasre, cuviteza v fa de sol i v fade avion. Vectorul de poziieal psrii fa de sol este r,iar fa de avion este r.Vectorul de poziie al avio-nului fa de sistemul de re-ferin legat de sol este r0.

z

y

Dou sisteme decoordonate n

micare relativde translaie uni-

form.

x

z

x

y

v0

v

NE PUNEM NTREBAREA : CUNOSCND POZIIA I VITEZA PSRIIFA DE UNUL DINTRE SISTEMELE DE REFERIN, PRECUM I POZI-IA I VITEZA UNUI SISTEM DE REFERIN FA DE CELLALT, PU-

TEM OARE DETERMINA POZIIA I VITEZA PSRII FA DE CEL DE-AL DOILEA SISTEM DE REFERIN?

Mai nti trebuie s ne reamintim c n mecanica clasic se consider c timpulse scurge la fel n toate sistemele de referin. Aceasta nseamn intervalele de timpmsurate n cele dou sisteme de referini care se refer la acelai proces sunt egalentre ele : t= t dt= dt.

25


26/163

Relaia dintre vectorii de poziie este :'rrr += 0

" Pentru c sistemul de referin mobil (avionul) este n translaieuniform n raport cu sistemul de referin fix (solul), iar viteza sa este v0,vectorul de poziie r0 poate fi exprimat utiliznd legea micrii rectiliniiuniforme (r0

(i) este vectorul de poziie al originii sistemului mobil la mo-

mentul de timp t0) :( ) ( )00i

00 tt+= vrr n consecin, relaia ntre vectorii de poziie devine :

Relaia galilean ntre vectorii de poziie( ) ( ) 'tt rvrr ++= 00i

0 Viteza mobilului (pasrea) n sistemul de referin legat de sol prima derivat a

vectorului de poziie n raport cu timpul :( ) ( )

dt

'd

dt

'tt

dt

d r

v

rvrr

v +=

++

== 000

i0

Deoarece dt= dt, iarsistemul de referin mobil (avionul) nu se rotete n raportcu cel fix (solul), rezult cdr/dt= dr/dt = v. Obinem astfel relaia galilean decompunere a vitezelor :

'vvv += 0

Derivnd viteza n raport cu timpul, obinem acceleraia. Deoarece viteza v0 esteconstant derivata ei este egal cu zero. Rezult :

''dt

'd

dt

davva ===

Acceleraia unui mobil are aceeai valoare i aceeai orientare n dousisteme de referin aflate unul fa de cellalt n micare de translaie rec-tilinie i uniform.

Cel mai simplu caz de micare relativ detranslaie uniform a dou sisteme de referin este

acela n care momentul iniial de timp este t0 = 0,originile celor dou sisteme de referin se suprapunla momentul iniial de timp (adicr0

(i) = 0), iar axelede coordonate ale unui sistem de referin sunt para-lele cu acelea ale celuilalt referenial (ceea ce are

drept consecini relaia v0 = v0ex). n aceast situaie, relaiile ntre vectorii de po-ziie sau ntre viteze devin :

Cuvinte cheieRelaiile de transformare acoordonatelor ale lui Galilei

Compunerea galilean a vite-zelor

Relaia de compunere galilean a vitezelor

=

=

=

+=

'zz

'yy

tv'xx

't

0

0 rvr ,

=

=

=

+=

zz

yy

xx

'vv

'vv

v'vv

'

0

0 vvv

26


27/163

2.3. DINAMICA2.3.1. Fore

Msurtorile experimentale au artat c, la suprafaa Pmntului, n vid, accele-raia cderii corpurilor este aproape constant pe toat planeta, variind uor de la polispre Ecuator. Acceleraia cderii libere a corpurilor n vid se numeteacceleraiegravitaionali se noteaz cug. La latitudinea la care se gsete ara noastr, ea es-te :g= 9,81 m/s2.

" Gravitaia terestr determin cderea uniform accelerat acorpurilor.

xx

S discutm acum o alt experien. Privii figura de mai sus. Dispunem de un

dispozitiv format dintr-un taler foarte uor, sprijinit de un resort elastic, montat, larndul su, pe un stativ orizontal. Avem, de asemenea, un numr de bile de oel iden-tice. Punnd pe taler o bil, observm c resortul se scurteaz cu lungimea x. Adu-gnd o alt bil, resortul se mai scurteaz cu xi tot aa. Cum putem interpretaobservaiile fcute ?

Prima remarc ar fi aceea c prezena bilelor pe taler afecteaz lungimea resor-tului. Deci, bilele au o influen asupra resortului. De data aceasta influena nu se maimanifest prin accelerarea micrii, ci prin deformare !

n al doilea rnd, constatm c deformarea este proporional cu numrul de bi-le aezate pe taler. S ne imaginm c am topi bilele i am confeciona cu materialulrezultat o singur bil. Punnd-o pe taler am msura aceeai deformare ca i cnd petaler ar fi aezate bilele iniiale. Deci, deformarea este proporional cu cantitateade material a corpului aezat pe taler.n al treilea rnd, s observm c dac am monta dispozitivul n poziie orizon-

tal, nu am mai obine nici-o deformare, iar bila ar cdea de pe taler. Deci, influenabilei se manifest doar pe direcia i n sensul n care ea ar cdea liber, influena-t, la rndul ei,de Pmnt.

27


28/163

S discutm acum i despre bile. Fiecare dintre ele st n repaus pe taler. De cebilele nu mai cad ? Nu se mai afl ele sub influena Pmntului ?

Rspunsul cel maisimplu pe care l putem da este c talerul nu suprim in-fluena Pmntului, dar exercit, la rndul su, o influen asupra bilelor, careanuleaz influena Pmntului. Putem desprinde de aici o idee fundamental :

dei cauzele care fac ca un corp s exercite o influen asupra altui corp pot fi di-ferite, efectele acestor influene pot fi comparate ! Faptul c efectele pot ficomparate ntre ele deschide calea, deosebit de important, a posibilitii de amsura efectul influenei pe care o are un corp asupra altuia.

Un alt aspect important relevat de aceast experien este urmtorul : se ob-serv c bila influeneaz talerul, dari c talerul influeneaz bila. Cu alte cu-vinte, exist o reciprocitate : influena pe care o exercit un corpAasupraunui corpBeste nsoit de unrspuns al corpuluiBasupra corpuluiA.

Cuvinte cheieFor

Echilibru mecanicCondiia de echilibru mecanic

GreutateMasInerie

" Vom conveni s numim acum na-inte, pe scurt, influena pe care un corp oexercit asupra altui corp i care aredrept ca rezultat schimbarea strii demicare sau deformarea acestuia din ur-m : aciunea unui corp asupra altuicorp. Mrimea fizic prin care msurmtria aciunii o vom numi for.

Din cele discutate pn acum, rezulta c acceleraia sau mrimea deformriise pot constitui n msuri ale aciunii exercitate de un corp asupra altui corp. Deaceea, fora ar trebui s fie proporional fie cu acceleraia, fie cu mrimea de-formrii :

FaFx

S revenim la experiena cu resortul elas-tic i bile. Remarcasem c bila de pe taler r-mne n repaus (figura alturat), dei asuprasa acioneaz dou corpuri : Pmntul i tale-rul (alte influene, cum ar fi aceea a aerului,

pot fi neglijate). Spuneam despre cele dou ac-iuni c se compenseaz reciproc, ceea ce ex-

plic rmnerea n echilibru a bilei.

g

xF2 F1

" Situaia n care acceleraia unui corp este nul se numete stare deechilibru mecanic.28


29/163


30/163

n fine, pentru a ncheia discutarea experienei cu bile i resort elastic, s neamintim c am remarcat c aciunea bilelor asupra talerului este orientat vertical, desus n jos. Aceasta nseamn cforele sunt reprezentabile prin mrimi vectoriale.Fora cu care talerul acioneaz asupra bilei este orientat n sens opus vectorului de-formare. Prin urmare, aceast for se scrie astfel :

xF = k2

Constanta de elasticitate keste un scalar pozitiv. Greutatea este un vector ndreptatn direcia i n sensul acceleraiei gravitaionale:

gG m= i masa m este un scalar pozitiv.

Sub form vectorial, condiia de echilibru se scrie astfel :( ) 002 =+=+ xgFG km

" Mai trebuie menionat c, ntr-o reprezentare grafic, punctul deaplicaie al unui vector for trebuie s indice corpul asupra cruia acio-neaz fora.

# n relaia :F= ma, masa joac rolul unei mrimi care ne arat ct de difi-cil este s schimbm starea de micare a unui corp dat. Aceeai for va acceleramai puin un corp cu mas mare dect un corp cu mas mic. Din acest motiv,spunem c n aceast relaie masa este o msur a ineriei corpurilor. Ineriaeste definit ca fiind proprietatea corpurilor de a tinde s-i pstreze starea de

micare rectilinie uniform sau de repaus relativ.

2.3.2. Principiile dinamicii newtoniene2.3.2.1. Principiul ineriei

Am descris n paginile precedente o experien de mecanic. De asemenea, pebaza ei, am tras nite concluzii care par destul de raionale i convingtoare. Totui,dac am repeta experiena ntr-o staie cosmic orbital, constatrile noastre ar fi cutotul altele : bilele nu ar mai cdea (ele ar fi n stare de imponderabilitate), resortulelastic nu s-ar mai deforma, etc. n acest caz, s-ar putea motiva rezultatele prin lipsagravitaiei. Din pcate pentru cel care crede asta, gravitaia este prezenti n interio-rul staiei cosmice, iar la altitudini de 100-200 km acceleraia gravitaional este foar-te puin diferit de cea de la nivelul solului. n consecin tot eafodajul de concluzii

pe care le-am tras iniial s-ar prbui. Ar fi un eec pentru acela care s-a pripit s tra-g concluzii fr s repete experiena n mai multe sisteme de referin, dari o leciecare sun astfel :

30


31/163

#Rezultatul unei aceleiai experiene de mecanic poate depinde de sis-temul de referin n care este efectuat !

Acestea fiind spuse, pare imposibil s unifici toa-te rezultatele experimentale ntr-o singur teorie. Cu

toate acestea, a fost posibil, iar acela care a reuitaceast performan a fost marele fizician i matemati-cian englez Isaac Newton.

S urmrim n continuare esena teoriei sale :

n concepia newtonian, spaiul i timpul suntabsolute. Aceasta nseamn c ele exist independent

de prezena sau absena materiei i, n particular, a observatorului.

Sir Isaac Newton

n absena materiei, nu exist motive ca un punct al spaiului s se deosebeascde alt punct, sau ca timpul s se scurg altfel ntr-o zon a spaiului dect n alta.

n consecin, spaiul liber este omogen i izotrop, iartimpul este universal.S presupunem acum c n Univers exist un singur corp material. Evident, el

este liber de orice influene externe. Cum se comport el n aceast situaie ?

Rspunsul logic i firesc, pe care l-a dat Newton, este acela cel i pstrea-z starea iniial de micare, adic ori rmne n repaus, ori se mic cu vitez con-stant (are o micare rectilinie i uniform).

Evident, nu putem proba prin experien sau teoretic aceast ultim afirma-ie. Ceea ce putem demonstra experimental este doar c n anumite sisteme de refe-rin, n condiiile n care influenele externe cunoscute care se exercit asupra unuicorp se anuleaz reciproc, corpul rmne n repaus sau n micare rectilinie uniform.De aceea afirmaia lui Newton trebuie tratat ca un principiu. Un principiu este oafirmaie considerat corect atta timp ct nu se prezint dovezi experimentale care

s o contrazic. n consecin, vom spune c afirmaia lui Newton reprezint un primprincipiu la dinamicii, numit principiul ineriei :

PRINCIPIUL INERIEI

N LIPSA ACIUNILOR EXTERNE, UN PUNCT MATERIALI PSTREAZ STAREA DE MICARE RECTILINIE UNIFORM

SAU DE REPAUS RELATIV.

31


32/163

" n enunul principiului ineriei se folosete termenul punct materi-al, care desemneaz un corp a crui micare poate fi reprezentat de mica-rea unui singur punct al su, punct n care se consider concentrat ntreagasa mas. Pot fi considerate puncte materiale corpurile aflate n micare detranslaie sau corpurile de dimensiuni mici n raport cu distanele care lesepar de corpurile nvecinate.

2.3.2.2. Sisteme de referin ineriale i sisteme de referinneineriale

Vei remarca : Bine, s acceptm c experienele pe care le facem la noi ncamer sau n laboratorul facultii nu par s contrazic acest principiu. Darcum rmne cu cei aflai pe staia orbital ?. Avei dreptate ! Pentru cei de pe sta-ie acest principiu nu este valabil ! Aceasta nseamn cexist dou mariclase desisteme de referin :sisteme de referin ineriale, adic sistemele de referin n care este valabil

principiul inerieisisteme de referin neineriale, adic sistemele de referin n care nu este va-

labil principiul ineriei

TOATE CELE CE SE VOR DISCUTA N CONTINUARE SE VOR REFERI DOAR LA SIS-TEMELE DE REFERIN INERIALE.

2.3.2.3. Principiul fundamental al dinamiciin sistemele de referin ineriale, experienele ne arat c aplicarea unei fore

determin schimbarea strii de micare a corpului asupra cruia se acioneaz. Deci,efectul forei este unul dinamic : accelerarea corpului. Newton a ridicat la rang de

principiu aceste observaii experimentale, enunnd astfel principiul fundamental aldinamicii :

PRINCIPIUL FUNDAMENTAL AL DINAMICII

SUB ACIUNEA UNEI FORE EXTERNE, UNUI PUNCT MA-TERIAL I SE IMPRIM O ACCELERAIE AVND DIRECIA I

SENSUL FOREI, PROPORIONAL N MODUL CU MODULULFOREI I INVERS PROPORIONAL CU MASA PUNCTULUI

MATERIAL :

mm

FaaF ==

32


33/163

2.3.2.4. Principiul aciunii i al reaciuniiS ne mai punem acum o

ntrebare : putem verifica expe-rimental principiul fundamen-tal al mecanicii? Dac insistms-l verificm, am putea face ex-

periena ilustrat n figura altu-rat. Cu rigla msurm deplasa-rea cruciorului, iar cu ceasorni-cul durata necesar. Putem cal-cula astfel acceleraia. Masa c-ruciorului o putem msura sepa-

rat. nmulind acceleraia cu masa, ar trebui s gsim valoarea forei, indicat dealungirea resortului elastic. Pare corect, dar nu este ! De ce ? Pentru c produsul

dintre masi acceleraie trebuie s fie egal cu fora care acioneaz asupra cor-pului, pe cnd fora msurat de resortul elastic este aceea care acioneaz asu-pra lui nsui ! Se poate spune : da, dar corpul este cel care trage de resort cu foramsurat, iar experiena indic c resortul, la rndul su, rspunde i el corpului cu ofor. Problema care se pune este : sunt aceste dou fore egale n modul sau nu ?Dac rspunsul este DA, atunci experiena descris poate fi folosit pentru veri-ficarea principiului fundamental al dinamicii, iar n caz contrar nu.

ceasornic

rigl

F

a F

resort elastic

6

12

Poate din aceste motive, generaliznd unele observaii experimentale, Newton a

socotit necesar s formuleze un al treilea principiu al mecanicii clasice, denumitprincipiul aciunii i reaciunii. Enunul su este urmtorul :

PRINCIPIUL ACIUNII I AL REACIUNII

DAC UN CORP ACIONEAZ ASUPRA ALTUI CORP CU OFOR (DENUMIT ACIUNE), ATUNCI AL DOILEA RSPUNDEPRIMULUI CU O FOR (NUMIT REACIUNE) EGAL N MO-DUL, AVND ACEEAI DIRECIE, DAR SENS CONTRAR.

Acceptnd valabilitatea acestui principiu, acceptm, implicit, posibilitatea msu-rrii simultane a acceleraiei unui corp i a forei care determin aceast acceleraie.Mai putem remarca faptul c acest principiu este firesc i logic, n sensul n carestabilete un soi de democraie n interrelaia dintre dou corpuri : nici unul dintreele nu este avantajat. Dar, firesc i logic nu nseamn c principiul este i demon-

strat !

33


34/163

2.3.2.5. Principul aciunii independente a forelor simultaneRealitatea fizic din jurul nostru cuprinde nenumrate corpuri aflate n interaci-

une. O carte aflat pe o mas nseamn interaciuni ntre ea i mas, ntre ea i aerulnconjurtor, ntre ea i Pmnt, ntre filele ei n aceste condiii, este greu de crezutc am putea gsi vreun corp asupra cruia s nu acioneze nici-o for, sau, eventual,s acioneze o singur for. Dat fiind aceast situaie ne mai putem pune alte dountrebri :Ce se ntmpl dac asupra unui corp acioneaz simultan mai multe for-

e?n ce msur aciunea unei fore este alterat de aciunea altei fore ?

Cele trei principii ale mecanicii nu ofer rspuns acestor ntrebri. De aceea, rs-punsul nu poate fi determinat dect pe cale experimental.

n figura alturat se poate vedea schiaunei experiene care urmrete s clarifice

aceste aspecte. Experiena se desfoar ast-fel :

a

F2

F1

se acioneaz mai nti cu fora F1, se-parat. Se msoar acceleraia a1 i se deter-min direcia ei.se acioneaz apoi cu foraF2, tot sepa-

rat. Se determin n acelai mod caracteristi-cile acceleraiei a2.

se aplic simultan foreleF1iF2. Se msoar acceleraia ai se determin di-recia sa.

#Concluzia experienei este aceea c acceleraia a este suma vectorial aacceleraiilora1i a2.

Generalizarea acestei observaii experimentale formeaz ultimul principiu almecanicii clasice, numit principiul aciunii independente a forelor simultane :

PRINCIPIUL ACIUNII INDEPENDENTE A FORELOR SIMULTANE

ACCELERAIA MICRII UNUI PUNCT MATERIAL, SUPUSSIMULTAN ACIUNII MAI MULTOR FORE, ESTE NUMERIC EGA-L CU SUMA VECTORIAL A ACCELERAIILOR PE CARE LE-ARIMPRIMA FIECARE DINTRE FORE ACIONND SEPARAT:

...mm

++= 21FF

a

34


35/163

n calcule, este mai comod s utilizm o combinaie ntre principiul fundamen-tal al dinamicii i principiul aciunii independente a forelor simultane. Astfel, obser-vm c :

...m...mm

++=++= 2121 FFa

FFa

Comparnd cu expresia principiului fundamental :Fa =m

rezult c suma are semnificaia unei unice fore, denumitfora rezul-tanti notat cu R. De aceea, putem enuna combinaia celor dou principii astfel :

...++ 21 FF

" Produsul dintre masa i acceleraia unui punct material este numericegal cu fora rezultant care acioneaz asupra punctului material :

Ra =m

2.3.3. Principiul relativitii n mecanica clasicAm studiat ntr-un capitol anterior (Transformarea Galilei) cazul a dou sis-

teme de referin care se afl ntr-o deplasare relativ rectilinie i uniform unul fade cellalt. O concluzie important care privea aceast situaie era urmtoarea :

Acceleraia unui mobil are aceeai valoare i aceeai orientare n dousisteme de referin aflate unul fa de cellalt n micare de translaie rec-

tilinie i uniform.

Criteriul dup care stabilim c un sistem de referin inerial sau nu este respec-tarea principiului ineriei, mai precis faptul c dac rezultanta forelor externe care ac-ioneaz asupra unui corp este nul, corpul i pstreaz starea de micare rectilinie iuniform sau de repaus relativ. ntr-o asemenea stare acceleraia micrii corpului es-te egal cu zero. S presupunem acum c exist un sistem de referin inerial, n careacceleraia corpului este zero. Conform proprietilor transformrii Galilei, n toatesistemele de referin care se afl n translaie uniform fa de sistemul de referininerial acceleraia este de asemenea zero. Rezult de aici c :

Fiind dat un sistem de referin inerial, toate celelalte sisteme de refe-rin aflate n translaie uniform fa de acesta sunt de asemenea sistemede referin ineriale.

Pe de alt parte, mecanica clasic, bazat pe legile lui Newton, mai postuleaz

implicit (postulat = tez teoretic general care este recunoscut ca just fr demon-straie) alturi de proprietile spaiului i timpului i o proprietate a masei :

35


36/163

Masa unui corp nu depinde de sistemul de referin n care se afl acesta

Aceast afirmaie este acceptat deoarece experiena de toate zilele nu pare s o punla ndoial (de exemplu, ni se pare greu de crezut c un kilogram de roii cumpratdin pia are o alt mas n tramvaiul cu care l transportm acas).

Deoarece acceleraia i masa unui corp au ace-leai valori n toate sistemele de referin ineriale,tragem concluzia ci rezultanta forelor externe ca-re acioneaz asupra corpului este aceeai n toatesistemele de referin ineriale. Cu alte cuvinte, pen-

tru observatori ineriali diferii, aceleai fore produc aceleai efecte asupra aceluiaicorp. Consecina este c oricare ar fi sistemul inerial din care studiem evoluia unuicorp, legile de micare a corpului au aceeai form matematic. Coninutul acestor

considerente este cuprins n principiul relativitii galileene sau principiul relativi-tii din mecanica clasic :

Cuvinte cheiePrincipiul relativitii

galileene

LEGILE MECANICII AU ACEEAI FORM N TOATESISTEMELE DE REFERIN INERIALE

PRINCIPIUL RELATIVITII GALILEENE

O formulare alternativ a principiului relativitii galileene este urmtoarea :

" Prin nici-o experien de mecanic efectuat ntr-un sistem dereferin inerial nu putem stabili dac sistemul de referin este n re-paus sau n translaie uniform.

2.3.4. Principalele mrimi de stare n dinamicAa cum discutat anterior, starea de micare a unui corp poate fi caracterizat de

trei mrimi de stare mai importante : raza vectoare, viteza i acceleraia. Dinamica ian considerare att starea de micare a unui corp ct i masa corpului, iar, pe de alt

parte, ia n considerare aciunile externe care se exercit asupra corpului. Principalarelaie de legtur dintre mrimile cinematice, masa corpului i aciunile externe esteconinut de principiul fundamental al dinamicii :

aF m=

36


37/163

n relaie, fora este o mrime dinamic asociat aciunii externe, masa este o mrimedinamic asociat corpului, iar acceleraia este mrimea cinematic asociat strii demicare a corpului. Produsul dintre masi acceleraie capt semnificaia unei m-rimi dinamice care caracterizeaz starea de micare a unui anumit corp.

Cuvinte cheieCantitate de micare (impuls)

Energie cineticMoment cinetic

Cu ajutorul masei i mrimilor cinematice sepot construi i alte mrimi dinamice care caracteri-zeaz starea de micare a unui anumit corp.

" Prin definiie, cantitatea de micare (impulsul) este mrimea fizi-c vectorial numeric egal cu produsul dintre masa punctului material iviteza de deplasare a acestuia : p = mv. Direcia i sensul impulsului coin-cid cu direcia i sensul vitezei. Impulsul se msoar n kgm/s.

" Prin definiie, energia cinetic este mrimea fizic scalar numericegal cu semiprodusul dintre masa punctului material i ptratul vitezei de

deplasare a acestuia:2

2mvWc = . Energia cinetic se msoar n kgm

2/s2 = J

" Prin definiie, momentul cinetic este mrimeafizic vectorial numeric egal cu produsul vecto-

rial dintre vectorul de poziie al punctului materiali impulsul acestuia : l = rp . Direcia vectoruluimoment cinetic este perpendicular pe planul for-mat de vectorul de poziie i vectorul impuls. Sen-sul vectorului moment cinetic este dat de regula

burghiului drept. Modulul vectorului moment ci-netic este egal cu produsul ntre modulele razeivectoare i impulsului i sinusul unghiului dintrecei doi vectori : l= rp sin . Momentul cinetic se

msoar n kgm

2

/s

pr

l

Cuvinte cheiePutere

Momentul forei

Cu ajutorul forei i mrimilor cinematice sepot construi i alte mrimi dinamice care caracteri-zeaz aciunile externe ce se exercit asupra unuicorp.

" Prin definiie, puterea este mrimea fizic scalar numeric egal cuprodusul scalar dintre vectorii fori vitez :P= Fv. Puterea se msoar

n kgm2

/s3

= W. Puterea este egal cu produsul ntre modulele forei i vi-tezei i cosinusul unghiului dintre cei doi vectori :P=Fv cos .

37


38/163

" Prin definiie, momentul forei este mrimea fizic vectorial numeric egalcu produsul vectorial dintre vectorul de poziie al punctului material i fora careacioneaz asupra acestuia : M = rF. Direcia vectorului momentul forei este per-

pendicular pe planul format de vectorul de poziie i vectorul for. Sensul vecto-rului momentul forei este dat de regula burghiului drept. Modulul vectorului mo-mentul forei este egal cu produsul ntre modulele razei vectoare i forei i sinusul

unghiului dintre cei doi vectori : M = rF sin . Momentul forei se msoar nkgm2/s2 = Nm.

2.3.5. Teorema variaiei impulsului2.3.5.1. Teorema variaiei impulsului pentru un punct material

Figura alturat v prezint oschem a procesului de accelerare aunui corp :exist o stare iniial, caracteri-

zat de viteza v1i momentul de timpt1, precum i o stare final, caracteri-zat de viteza v2i momentul de timpt2

n intervalul de timp (t2 - t1),asupra corpului acioneaz fora re-zultantR(t), imprimndu-i la fiecaremoment de timp o acceleraia a(t).

mR

v2v1

t1 t2astarea 1 starea 2

mm

Conform principiului al doilea al mecanicii, putem scrie :Ra =m

Acceleraia fiind prima derivat a vitezei n raport cu timpul, relaia se poate pune isub forma urmtoare :

Rv

=

dt

dm

Masa fiind constant, putem scrie :( )

dt

d

dt

md

dt

dm

pvv==

Rezult :

Teorema variaiei impulsului pentru unpunct material. Forma diferenial.R

p=

dt

d

38


39/163

" Viteza de variaie a impulsului unui punct material este nume-ric egal cu rezultanta forelor externe care acioneaz asupra sa.

Relaia diferenial poate fi pusi sub forma :dtd Rp =

Rezultanta forelor externe este n general o funcie de timp. Relaia anterioar sepoate integra, rezultnd :

( )=2

1

12

t

t

dttRpp

sau :

Teorema variaiei impulsului pentru unpunct material. Forma integral.2121 ,, Hp =

Enunul teoremei este urmtorul :

" Variaia impulsului (cantitii de micare) unui punct materialn cursul unui proces este numeric egal cu impulsul forei (impulsul)dezvoltat de fora rezultant care acioneaz asupra punctului materi-al n cursul procesului.

" Factorul reprezint o mrime dinamic de proces,( )= 21

21

t

t

, dttRH

denumitimpulsul forei (dacp = impuls) sau impuls (dacp = cantitatede micare). Unitatea de msur a impulsului forei este kgm/s = Ns.

2.3.5.2. Teorema variaiei impulsului pentru un sistem de punctemateriale

S lum n discuie cel mai simplusistem de puncte materiale : cel din fi-gura alturat. Asupra punctelor mate-riale ce alctuiesc sistemul acioneazforele externe Fe1, respectiv Fe2. ntre

cele dou puncte materiale se exercitforele interne de interaciune F1,2, respectiv F2,1. Fiecruia dintre cele dou punctemateriale care alctuiesc sistemul i se poate aplica teorema variaiei impulsului :

Fe2

Fe1F1,2F2,1

( ) ( ) ( ) +==2

1

2

1

2

1

12 112111

t

t

e

t

t

,

t

t

dttdttdtt FFRpp

( ) ( ) ( ) +==2

1

2

1

2

1

11 221222

t

t

e

t

t

,

t

t

dttdttdtt FFRpp

Adunnd cele dou relaii, obinem :

39


40/163

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) +++=+=++2

1

2

1

2

1

1122 212112112121

t

t

ee

t

t

,,

t

t

dtttdtttdttt FFFFRRpppp

Ce comentarii putem face ?

Mai nti, forele F1,2i F2,1 au calitatea de a fi n relaia aciune-reaciune, fiindegale n modul, avnd aceeai direcie i sensuri opuse. Deci F1,2 + F2,1 = 0.Suma vectorial Fe1 + Fe2 reprezint rezultanta forelor externe care acio-

neaz asupra sistemului de puncte materiale : Re.Suma vectorialp1 + p2 este o mrime de stare care caracterizeaz sistemul de

puncte materiale, pe care convenim s-o numim impulsul total al sistemului depuncte materialei s-o notm cu p.

innd cont de aceste comentarii, rezult :

( )=2

1

12

t

t

e dttRpp

Relaia mai poate fi scris i sub forma urmtoare, fiind valabil pentru un sistemformat din orice numr de puncte materiale :

Teorema variaiei impulsului unui sistem de punc-te materiale. Forma integral.eHp =

"n cursul unui proces, variaia impulsului unui sistem de puncte ma-teriale este numeric egal cu impulsul forei rezultante externe care acio-

neaz asupra sistemului de puncte materiale pe durata procesului.Teorema variaiei impulsului unui sistem de puncte materiale poate fi scris i subforma diferenial :

Teorema variaiei impulsului unui sistem de punc-te materiale. Forma integral.e

dt

dR

p=

Enunul teoremei este :

" Viteza de variaie a impulsului total al unui sistem de punctemateriale este numeric egal cu rezultanta forelor externe care acio-neaz asupra sistemului.

n cazul particular n care sistemul de puncte materiale este izolat de exterior,rezultanta forelor externe este nul. Rezult ci viteza de variaie a impulsuluitotal al sistemului este nul. Prin urmare, impulsul total al sistemului de punctemateriale este constant n timp. Obinem n acest caz o form particular a teo-

remei variaiei impulsului, numit : teorema conservrii impulsului, i care seenun dup cum urmeaz :

40


41/163

" Impulsul total al unui sistem de puncte materiale izolat de exte-rior este constant n timp.

2.3.6. Teorema variaiei energiei cinetice2.3.6.1. Teorema variaiei energiei cinetice pentru un punct ma-terial

S considerm un punct material care se mic accelerat sub aciunea unei forerezultante externe F. Acceleraia i fora sunt legate prin principiul fundamental al di-namicii :

dt

dmm

vFaF ==

Putem nmuli scalar expresia cu vectorul vitez :

( ) ( )

==

=

+== 2212121

22

mvdtd

dtvdm

dtdm

dtd

dtdm

dtdm vvvvvvvFvvvF

Deoarece factorul mv2/2 reprezint energia cineticWc, iar factorul Fv este puterea,putem scrie :

Teorema variaiei energiei cinetice pentruun punct material. Forma diferenial.Pdt

dWc =


" Viteza de variaie a energiei cinetice a unui punct material estenumeric egal cu puterea dezvoltat de fora rezultant care acionea-z asupra punctului material.

Pornind de la relaia :

dt

dWmv

dt

d c=

=

2

2

vF

i innd cont c viteza este prima derivat a vectorului de poziie n raport cu timpul,

mai putem scrie :

cc dWd

dt

dW

dt

d== rF

rF

Integrnd pe traiectoria urmat de punctul material, obinem :

( )

( )

( )

( )

A,cB,cc WWdWd == B

A

B

A

rF

sau :

Teorema variaiei energiei cinetice pentruun punct material. Forma diferenial.ABAB,c LW =

41


42/163


" n cursul unui proces, variaia energiei cinetice a unui punctmaterial este numeric egal cu lucrul mecanic efectuat de fora rezul-tant care acioneaz asupra sa n cursul procesului.

" Factorul reprezint o mrime dinamic de proces,( )

( )

=B

A

AB dL rF

denumit lucru mecanic. Unitatea de msur a lucrului mecanic estekgm2/s2 = J.

2.3.6.2. Teorema variaiei energiei cinetice pentru un sistem depuncte materiale

S lum n discuie cel mai simplusistem de puncte materiale : cel din fi-gura alturat. Asupra punctelor mate-riale ce alctuiesc sistemul acioneazforele externe Fe1, respectiv Fe2. ntrecele dou puncte materiale se exercit

forele interne de interaciune F1,2, respectiv F2,1. Fiecruia dintre cele dou punctemateriale care alctuiesc sistemul i se poate aplica teorema variaiei energiei cinetice:

Fe2

Fe1F1,2F2,1

( )( )

( )

AB,FAB,F

B

A

,eA,cB,c ,e LLdWW 12112111 +=+= rFF

( )( )

( )

AB,FAB,F

B

A

,eA,cB,c ,eLLdWW

21212222+=+= rFF

Adunnd cele dou relaii, obinem :( ) ( ) AB,FAB,FAB,FAB,FA,cA,cB,cB,c ,,ee LLLLWWWW 1221112121 +++=++

" Suma energiilor cinetice ale tuturor punctelor materiale care alctu-iesc un sistem este o mrime de stare a sistemului de puncte materiale i senumete energia cinetic total a sistemului de puncte materiale, sau, pescurt, energia cinetic a sistemului. Ea se poate nota simplu prin Wc.

" Sumnd lucrul mecanic fcut de toate forele externe care acionea-z asupra componentelor sistemului de puncte materiale, obinem lucrulmecanic extern totalLext, total. Sumnd lucrul mecanic fcut de toate foreleinterne cu care interacioneaz componentele sistemului de puncte materia-le, obinem lucrul mecanic intern totalLint, total.

42


43/163

Utiliznd definiia anterioar, ultima relaie se poate scrie dup cum urmeaz :

total,exttotalint,totalc LLLW +==

"n cursul unui proces, variaia energiei cinetice totale a unui sis-tem de puncte materiale este numeric egal cu lucrul mecanic total

efectuat de toate forele care acioneaz asupra tuturor punctelor ma-teriale, indiferent c ele reprezint interaciuni interne sau interaciunicu corpuri din exteriorul sistemului.

2.3.7. Fore conservative, energie potenialS presupunem c un punct material se de-

plaseaz ntre punctele A i B, aflate ntr-uncmp de fore. n acest cmp de fore, intensita-tea i orientarea forei pot varia de la un punct laaltul, pot depinde de viteza punctului materialsau de momentul de timp. Cu alte cuvinte, foracare acioneaz asupra punctului material de-

pinde de poziia acestuia, de vitez i de mo-mentul de timp : F = F(r, v, t). n aceste condi-ii, lucrul mecanic efectuat la deplasarea din A

n B,( )

( ) =B

A

AB dL rF , poate depinde att de forma

traiectoriei ct i de legea de micare pe traiec-torie. Acesta este i motivul pentru care lucrul

mecanic este considerat mrime de proces (adic depinde de modul concret n care sedesfoar procesul deplasrii din A n B).

LA3B

LA2BLA1B

(3)

(2)(1)

r + drrO

F(r)dr

B

A

Teorema variaiei energiei cinetice a unui sistemde puncte materiale. Forma integral

n acest context, ntlnim o categorie special de cmpuri de fore, i anumecmpurile de fore conservative.

" Forele conservative sunt acele fore care se bucur de proprietateac lucrul mecanic pe care l fac nu depinde nici de forma traiectoriei, nicide modul de deplasare pe traiectorie. Lucrul lor mecanic depinde doar de

poziiile iniiali final ale punctului material asupra cruia acioneaz.

Dac analizai cu atenie definiia anterioar, nu se poate s nu punei n-trebarea : poziii fa de ce sau de cine? Ca s rspundem la ntrebare, sne amintim c orice for real este manifestarea interaciunii ntre dou

corpuri materiale. Deci poziiile iniial i final ale punctului material artrebui raportate la corpul sau la sistemul de corpuri cu care interacioneaz.

43


44/163


45/163

astfel nct n final expresia energiei poteniale a forei de greutate capt expre-sia: .( ) mghhWp =

Energia potenial nu poate fi atribuit unui singur punct material. Ener-gia potenial poate fi definit doar n sisteme de corpuri care interac-ioneaz prin fore conservative. De exemplu, energia potenial gravita-ional este energia sistemului format din punctul material considerat iPmnt. Din acest punct de vedere, energia potenial este o energie deconfiguraie a unui sistem de corpuri care interacioneaz prin fore con-servative. Fiecrei configuraii posibile a sistemului i corespunde o valoarea energiei poteniale. Dac configuraia sistemului se modific n cursulunui proces, forele conservative fac lucru mecanic, iar variaia energiei po-teniale a sistemului este egal cu acest lucru mecanic luat cu semn schim-

bat. Energia potenial este o mrime de stare a sistemului fizic.

2.3.7.1. Relaia ntre fori energia potenialn general, lucrul mecanic are expresia :

( )

( )

=B

A

AB dL rF

n cazul unui cmp de fore conservative, expresia lucrului mecanic este :

( )( )

( )

==B

A

pA,pB,pAB dWWWL

Deci n cazul cmpurilor de fore conservative exist relaia :

( )

( )

( )

( )B,AddW

B

A

B

A

p = rF

Energia potenial este o funcie doar de poziia pe care o ocup corpul de prob :

( ) ( ) ( ) dzz

Wdy

y

Wdx

x

Wz,y,xdWz,y,xWWW

ppp

pppp

+

+

=== r

Pe de alt parte, produsul scalar dintre fori vectorul deplasare se poate explicita nmodul urmtor :

dzFdyFdxFdzdydxFFFd zyxzyxzzyyxx ++=++++= eeeeeerF

nlocuind n relaia integral, obinem :

( )

( )

BA,=

+

+

+

+

+

0B

A

z

p

y

p

x

pdzF

z

WdyF

y

WdxF

x

W

Pentru c aceast relaia este satisfcut oricare ar drumul de integrare, rezul-t c integrandul trebuie s fie nul, ceea ce atrage dup sine urmtoarele egali-ti:

z

WF;

y

WF;

x

WF

p

z

p

y

p

x

=

=

=

45


46/163

n aceste condiii, vectorul for se poate exprima n modul urmtor :

pzyx

p

z

p

y

p

xzzyyxx Wzyxz

W

y

W

x

WFFF

+

+

=

+

+

=++= eeeeeeeeeF

Pe scurt aceast relaie se scrie sub forma :

ntr-un cmp de fore conservative, for

a care ac

ioneaz

asupra

corpului de prob este numeric egal cu gradientul energiei po-teniale

pW=

F

2.3.8. Teorema variaiei energiei mecanice pentruun sistem de puncte materiale

Exist sisteme de puncte materiale n care se manifest aciunea unor fore in-terne conservative.

" Dac n cadrul interaciunilor care se exercit ntre componenteleunui sistem de puncte materiale existi fore conservative, lucrul mecanictotal intern are dou componente : lucrul forelor conservative i lucrul for-elor neconservative :

tivneconserva,totalint,vconservati,totalint,totalint, LLL +=

tim deja c lucrul forelor conservative este legat de variaia energiei poteniale asistemului :

pvconservati,totalint, WL =

Folosind observaia de mai sus i revenind la expresia matematic a teoremei va-riaiei energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale, putem scrie :

total,exttivneconserva,totalint,pc LLWW ++=

Att energia cinetic, ct i energia potenial sunt mrimi de stare, astfel nct, nprocesul de modificare a strii sistemului de la A la B, se poate scrie :

total,exttivneconserva,totalint,A,pB,pA,cB,c LLWWWW +++=

sau :

total,exttivneconserva,totalint,B,pA,cB,pA,c LLWWWW +=++

" Convenim s numim suma dintre energia cinetici energia poten-ial ale unui sistem de puncte materiale energie mecanic i s-o notm

prin W(W= Wc + Wp).

46


47/163


48/163

Putem nmuli vectorial fiecare membru al acestei egaliti cu vectorul de pozi-ie:

( )tdt

dm Rr

vr =

Remarcm c membrul drept al ecuaiei este momentul forei rezultante n raport cupolul ales : M. Membrul stng al ecuaiei se poate prelucra dup cum urmeaz :

( ) ( ){

( )vrvvvrvr

vrv

r =

=

=

dt

dm

dt

dm

dt

d

dt

dm

dt

dm

0

Masa fiind constant, mai putem scrie (l este momentul cinetic al punctului material):

( ) ( )dt

d

dt

dm

dt

d

dt

dm

lprvr

vr ===

nlocuind n ecuaie, rezult :

Teorema variaiei momentului cinetic pentru unpunct material. Forma diferenial.M

l=

dt

d


" n raport cu un anumit pol, viteza de variaie a momentului ci-netic al unui punct material este numeric egal cu momentul forei re-zultante care acioneaz asupra sa.

Mai putem scrie :( )dttd Ml =

Relaia se poate integra, obinndu-se :

Teorema variaiei momentului cinetic pen-tru un punct material. Forma integral.( ) ( )

==

2

1

2

1

2112

t

t

,

t

t

dttdtt MlMll

" n cursul unui proces i n raport cu un anumit pol, variaia momen-tului cinetic al unui punct material este numeric egal cu integrala momen-tului forei n raport timpul.

Trebuie remarcat c integrala momentului forei n raport timpul este o m-rime de proces la fel cum sunt impulsul forei i lucrul mecanic.

48


49/163

2.3.9.2. Teorema variaiei momentului cinetic pentru un sistemde puncte materiale

S lum n discuie cel mai simplusistem de puncte materiale : cel din fi-

gura alturat. Asupra punctelor mate-riale ce alctuiesc sistemul acioneazforele externe Fe1, respectiv Fe2. ntrecele dou puncte materiale se exercitforele interne de interaciune F1,2, res-

pectiv F2,1. Fiecruia dintre cele doupuncte materiale care alctuiesc siste-mul i se poate aplica teorema momentu-lui cinetic :

Fe2F2,1 F1,2

O (pol)

r2 - r1r2

r1

Fe1

21222

1211

,e

,e

2

11

212

121

FF

FF

,e

,e

dt

d

dt

d

rMMl

rMMl

=+=

=+=

FrF

FrF

+

+

Cele dou relaii se pot aduna :( )

212121221121

,,eedt

dFrFrFrFr

ll+++=

+

Ce comentarii putem face ?

Mai nti, forele F1,2i F2,1 au calitatea de a fi n relaia aciune-reaciune, fiindegale n modul, avnd aceeai direcie i sensuri opuse. Deci F1,2 = - F2,1.Suma vectorial 2211 ee FrFr + reprezintrezultanta momentelor forelor

externe care acioneaz asupra sistemului de puncte materiale : Me.Suma vectorial l1 + l2 este o mrime de stare care caracterizeaz sistemul de

puncte materiale, pe care convenim s-o numim momentul cinetic total al sistemuluide puncte materialei s-o notm cu l.

Relaia de mai sus devine :

( ) 2112 ,edt

dFrrM

l+=

Vectorii (r2 r1) i F1,2 au direcii paralele i produsul lor vectorial este

egal cu zero. Ne rmne :

( ) 2112 ,Frr

Teorema variaiei momentului cinetic pentru unsistem de puncte materiale. Forma diferenial.e

dt

dM

l=

49


50/163


" n raport cu un anumit pol, viteza de variaie a momentului ci-netic total al unui sistem de puncte materiale este numeric egal cu re-zultanta momentelor forelor externe care acioneaz asupra compo-nentelor sistemului.

Sub form integral, obinem :

Teorema variaiei momentului cinetic al unui sistemde puncte materiale. Forma integral.=

2

1

t

t

e dtMl

" n cursul unui proces i n raport cu un pol dat, variaia mo-mentului cinetic total al unui sistem de puncte materiale este numericegal cu integrala n raport cu timpul a momentului rezultant al fore-lor externe care acioneaz asupra punctelor materiale ce constituiesistemul.

50


51/163

3.MECANICA RELATIVIST3.1. EXPERIENA LUI MICHELSON IMORLEYn secolul al XIX-lea, au avut o larg rspndire teoriile legate de eter. Ce este

acest eter ? Fizicienii acelor vremuri considerau c lumina este un fenomen ondula-toriu, de natur nemecanic. tiindu-se c undele mecanice nu se pot propaga n ab-sena unui mediu elastic, s-a fcut ipoteza c nici propagarea luminii nu poate fi con-ceput fr existena unui mediu elastic specific, care a fost denumit eter. Acest

eter ar fi trebuit s ocupe ntreg spaiul cosmic, oferind posibilitatea ca lumina s c-ltoreasc de la stelele cele mai ndeprtate pn la noi. Stelele, planetele i alte cor-

puri cosmice s-ar fi deplasat n interiorul unui ocean de eter ! Msurtorile expe-rimentale artau c viteza luminii n raport cu eterul are o valoare de aproape300000 km/s. Fa de o planet oarecare, cum ar fi Pmntul, viteza luminii ar fitrebuit s aib o valoare care s depind de viteza cu care acesta se deplaseazn raport cu eterul. Prin urmare, o experien n care s-ar fi msurat viteza lumi-nii fa de Pmnt ar fi oferit informaii asupra vitezei cu care Pmntul se de-plaseaz fa de eter ! n concluzie :

# Printr-o experien desfurat n afara cadrului mecanicii s-ar fi pututpune n eviden starea de micare a Pmntului n raport cu eterul.

#Considernd eterul imobil, printr-o experien de optic exista posibilita-tea de a msura viteza absolut a Pmntului.

Michelsoni Morley, doi fizicieni americani, au conceput o modalitate practicde msurare a vitezei Pmntului fa de eter. Montajul experimental consta dintr-osurs de lumin monocromatic, trei oglinzi (dintre care una semitransparent) i undispozitiv interferenial. Oglinda semitransparent avea rolul de a scinda raza de lu-min incident n alte dou raze care s se propage pe direcii perpendiculare ntreele. Una dintre direcii coincide cu direcia de deplasrii Pmntului. Pe cele dou di-recii, la distane egale fa de oglinda semitransparent, se afl situate celelalte douoglinzi, care au rolul de a inversa direcia de propagare a luminii. n acest mod, celedou raze de lumin se rentlnesc n dreptul dispozitivului interferenial. Studiulfranjelor de interferen rezultate permite msurarea decalajului de timp aprut la

propagarea celor dou raze de lumin. Decalajul de timp depinde de viteza Pmntu-

lui fa de eter, iar cunoaterea valorii sale permite calcularea acestei viteze.

51


52/163

nainte de a face calcu-lele legate de experiena luiMichelson i Morley, s fa-cem o list a mrimilor fizi-ce cunoscute cu certitudi-ne de ctre experimentatori:

viteza luminii fa deetercdistanele l'xi l'y par-

curse de razele de luminfa de Pmntdiferena 'x - 'y din-

tre intervalele de timp nece-sare propagrii celor douraze de lumin, msurat pe

Pmnt

Observm c exist o anumit nepotrivire : viteza luminii este cunoscut doarn raport cu eterul, pe cnd toate celelalte date sunt cunoscute doar n raport cuPmntul.

n mod analog, exist o list de mrimi care nu sunt cunoscute cu certitudine :vitezele de propagare ale luminii fa de Pmnt : v'x1, v'x2, v'y1i v'y2distanele de propagare lxi ly n raport cu eterul, respectiv diferena intervalelor

de timp x - y aa cum ar fi msurat din eter

Vom face un calcul care s reflecte punctul de vedere al observatorului aflatn repaus fa deeter. Pentru acesta, propagarea razei de lumin paralel cu direciade deplasare a Pmntului corespunde urmtoarei schie :

Analiznd schia, determinm relaiile :

Viteza P-mntului

Poziia oglinzilor lamomentul iniial

Poziia oglinzilor lamomentul x1

Poziia oglinzilor lamomentul x1+x2

lx

lx

lx ux1

cx2

ux2

cx1

Drumul razelor delumin

u

Surs delumin

Oglind

Oglind

Oglind semi-transparent

Interferen

v'x1

v'x2

v'y1 v'y2

l'x

l'y

Viteza Pmntului

-

ExperienaMichelson i Morley

52


53/163


54/163

= yx

yx 'l

c

u

'l

c

uc

''

2

2

2

2

11

2

Pentru c razele de lumin parcurg distane de egale n dispozitivul experimentalMichelson i Morley, rezult :

( )'l

''c

c

u

c

u

c

u

c

uc

'l''

yx

yx 21

1

1

1

11

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

=

Aceast ultim relaie face posibil calcularea vitezei Pmntului fa de eter, n fun-cie de valorile msurate ale decalajului temporal 'x - 'yi parcursului razelor de lu-

minl'i de viteza luminii n eterc.Care a fost rezultatul experienei ? Ei bine, a fostSENZAIONAL! Msurtorile au artat cu certitudine, n limi-tele unor erori experimentale extrem de mici, cDECALAJULTEMPORAL NTRE CELE DOU RAZE DE LUMIN NU EXIST!Mai precis

'x - 'y = 0n acest caz, utiliznd formula de calcul gsit anterior, re-zult :

0= u11 2

2

=cu

Cu alte cuvinte, PMNTUL NU SE DEPLASEAZ N RAPORTCU ETERUL!!! Evident, UN ASEMENEA REZULTAT NU PUTEAFI ACCEPTAT ! Nu se poate crede c tocmai Pmntul estesingurul corp n repaus absolut din tot Universul !

Ce demonstreaz aceste fapte? Putem trage dou concluzii :

#Nici printr-o experien de optic nu se poate pune n eviden starea ab-solut de micare rectilinie uniform sau de repaus a unui corp#Afirmaia c aceleai intervalele de timp sau distane msurate de ob-servatori ineriali diferii au valori egale ar putea fi greit ! Aceast afir-maie este consecina transformrilor Galilei ceea ce nseamn c ele pot fieronate.

Ultima dintre concluzii este deosebit de important pentru c pune la ndoial n-

treaga mecanic clasici, odat cu ea, toate aseriunile despre spaiu i timp care seacceptau ca fiind certe (!?).

54


55/163

3.2. TRANSFORMRILE DE COORDONATEI TIMP LORENTZEINSTEIN

3.2.1. Consideraii introductiveBnuiala c transformrile Galilei nu sunt corecte ne face s reconsiderm

modul n care se transform coordonatele i timpul la schimbarea sistemului de refe-rin.

Vom considera n cele ce urmeaz c exist dou sisteme de referin ineriale :primul dintre ele este considerat n repausal doilea se deplaseaz fa de primul rectiliniu i uniform cu viteza uaxele de coordonate ale celor dou sisteme de referin sunt paraleleviteza u este paralel cu axa Ox a primului sistem de referin i orientat n

sensul pozitiv al acesteiaSituaia descris este reprezentat n

schia alturat. Un eveniment corespundepentru observatorul O coordonatelor spaio-temporale (x, y, z, t), iar pentru observatoruldin O' coordonatelor spaio-temporale (x', y',

z', t').

n continuare, urmeaz s stabilim relaii-le dintre coordonatele spaio-temporale carecorespund aceluiai eveniment pentru cei doiobservatori.Mai nti, vom observa c datorit para-

lelismului axelor de coordonate, coordonatelepe axele Oyi O'y', respectiv Ozi O'z', sunt egale :

'yy =

x'u

y'

z'

x

y

O'O

t't

z=z'

y =y'

'zz= Pentru c unui eveniment nregistrat n sistemul de referinO poate s-i cores-

pund doar un singur eveniment nregistrat n sistemul de referinO', rezult c rela-iile dup care se transform celelalte dou coordonate trebuie s fie lineare :

++= 't'x ++= 't'xt

unde , , , , i sunt coeficieni reali, constani, care pot s depind doar de vi-teza relativu a celor dou sisteme de referin.vom face convenia c la momentul iniial de timp originile celor dou sisteme

de referin coincid. Aceasta nseamn c :

55


56/163


57/163


58/163

( )

( )

=

=

=

+=

+=

=

=

12

21

222

22

11

11

0

'tt

'tt

'uu

't't'ut

't't'u

'tt

'tut

Eliminnd u', t'1i t'2, ne rmne :

+=

+=

=

=

112

11

21

21

0

tutt

tut

tt

tut

Eliminnd i pe t1, obinem :

( )

( )

+=

+=

=

22

2

22

0

tut

tu

ttu

Momentul de timp t2 fiind arbitrar, rezult :

u

u

=

=

=

1

2

Relaiile de transformare ale coordonateixi momentului de timp tdevin :( )

+=

+=

'xu

'tt

'ut'xx

2

2 1

S presupunem c viteza relativ are o valoare foarte mic : u 0. n acestecondiii, factorul

u2

2

1

trebuie s se anuleze pentru ctt.A) O prim soluie ar fi chiar :

101

2

2

==

u

n acest caz se obin transformrile de coordonate ale lui Galilei :'tu'+=

'tt=

58


59/163

Se observ c alegerea = 1 corespunde afirmaiei din mecanica clasic pre-cum c timpul se scurge la fel pentru toi observatorii ineriali. Aceast afirmaieare putere de principiu al mecanicii clasice, fiind cunoscut sub numele de prin-cipiul simultaneitii.

B) A doua soluie, cea pe care o cutm ca alternativ la transformrileGalilei, este :

( )222 1

u

u

u =

unde (u)2 este o funcie pozitiv de viteza u, finit n u = 0. Rezult :

( )

( )222

222

1

11

u

uu

u

=

=

Transformrile de coordonate capt forma final :

( )22

1u

u

'ut'xx

+=

( )

( )2

2

2

1u

u

'xu

u't

t

+

=

Aceste relaii au urmtoarea proprietate :( ) ( ) ( ) ( )22222222222 'ttu'xx'tu'xtux ==

Considernd i un al treilea sistem de referin inerial care se deplaseaz tot pa-ralel cu axa Ox, cu viteza U, putem scrie :

( ) ( )22222 "ttU"xx = Scznd cele dou relaii, se obine :

( ) ( ) ( ) ( )222222222

"tU'tutuU"x'x += Cum rezultatul nu poate depinde det, rezult :( ) ( ) universalconstant=== CUu

Rezult :

2

2

1

1

C

u

=

astfel nct transformrile de coordonate capt forma final :

59


60/163

2

2

1C

u

'ut'xx

+=

2

2

2

1C

u

'xC

u't

t

+=

Extrem de interesant este faptul c principiul relativitii relev existena uneiconstante fizice universale, cu dimensiuni de vitez : C.Caracterul universal al constantei Cne arat c toi observatorii ineriali dis-

pun de acelai etalon de determinare a lungimilor prin msurtori de timp !

3.2.3. Principiul invarianei vitezei luminii n vidS ne reamintim relaia care ofer diferena dintre intervalele de timp necesare

razelor de lumin pentru a parcurge drumurile dus-ntors n dispozitivul Michelson :

= yx

yx l

c

u

l

uc2

222

1

2

unde xi y sunt intervalele de timp msurate de observatorul din eter, iarlxi ly sunt

distanele ntre oglinzi msurate de acelai observator. Notnd cu t0 momentul plec-rii razelor de lumini cu tx, respectiv ty, momentele rentoarcerii lor, putem scrie :( ) yxyxyx tttttt == 00

Pentru a determina valoarea acestei expresii, trebuie s ne bazm pe rezultatele obi-nute de observatorul de pe Pmnt. Acesta are coordonata x'i msoar timpii t'xit'y. Necunoscnd nc valoarea coeficientului , putem scrie :

( ) ( yxyxyxyx '''t't'xu

't'xu

'ttt ==

+

+=

2

2

2

2 11 )

Intervalele de timp 'xi 'y msurate pe Pmntsunt egale ('x - 'y = 0) concluziaacestor relaii fiind c intervalele de timp xi y sunt egale i pentru observatorul dineter. n aceste condiii, rezult :

2

2

1c

ull yx =

deci pentru observatorul din eter distanele dintre oglinzi nu sunt egale, chiardac aceste distane sunt egale pentru observatorul de pe Pmnt ! Distana lx re-

prezint diferena dintre coordonatele oglinzii aflate pe direcia de micare a Pmn-tuluix + lxi oglinzii semitransparentex, msurate la acelai moment de timptde

observatorul din eter. Distana l'x reprezint diferena dintre coordonatele oglinziiaflate pe direcia de micare a Pmntuluix'+ l'xi oglinzii semitransparentex', m-

60


61/163

surate de observatorul de pe Pmnt. Momentul de timp tcorespunde momentelor detimp t'1 n cazul oglinzii semitransparente, respectiv t'2 n cazul celeilalte oglinzi. Re-zult relaiile :

( )

+=+= 'x

u'tt,'ut'xx

2

2

111

( )

+

+=++=+ xxx 'l

u'x

u'tt,'ut'l'xlx

2

2

2

2

22 11

De aici obinem :( )12 't'tu'll xx +=

x'lu

't't2

2

121

=

sau :

xxxx 'l'l'll

=

=

112

Distana ly reprezint diferena dintre coordonatele oglinzii aflate pe direcia perpen-dicular direciei de micare a Pmntuluiy + lyi oglinzii semitransparentey, msu-rate de observatorul din eter. Distana l'y reprezint diferena dintre coordonateleoglinzii aflate pe direcia perpendicular direciei de micare a Pmntului y'+ l'yioglinzii semitransparentey', msurate de observatorul de pe Pmnt. Rezult relaiile

'yy =

CursUIS Fin

Documents

Transcript of CursUIS Fin