ing fin suport seminar

ASE BUCURESTI

Facultatea de Finanţe Asigurări Bănci şi Burse de Valori

FINAS

INGINERIE FINANCIARA

-note de curs-

-draft-

Ciprian Necula

2004

2

1. Noţiuni introductive

1.1 Funcţia de payoff a unui activ financiar

Payoff-ul la momentul T al unui activ financiar reprezintă fluxul de venituri sau

cheltuieli generat de respectivul activ financiar la momentul T.

Să luăm de exemplu cazul unei acţiuni. Vom nota cu S cursul la momentul 0 şi cu TS

cursul acestei acţiuni la momentul T. Să considerăm un investitor care a cumpărat acţiunea la

momentul 0. El are o poziţie LONG pe acţiunea în cauză. La momentul T această poziţie long

va avea payoff-ul egal cu TS , deoarece dacă ar dori să închidă această poziţie la momentul T el

va trebui să vândă acţiunea la cursul de pe piaţă din momentul T ( TS ) generând un flux de

venituri egal cu TS .

Nu trebuie confundat payoff-ul cu funcţia de profit sau pierdere (P/L). Astfel în cazul

poziţiei long pe o acţiune pentru a obţine profitul pe perioada 0 – T vom scădea din payoff-ul

de la momentul T suma iniţială plătită pentru iniţierea poziţiei long ( S ). Investitorul va obţine

profit dacă SST > şi va înregistra o pierdere dacă SST < .

TS

payoff

45o

0

Graficul 1.1 Payoff-ul unei poziţii LONG pe o acţiune

0

S

S

TS

P/L

45o

payoff

P/L

Graficul 1.2 Profitul sau pierderea unei poziţii LONG pe o acţiune

payoff

3

Să analizăm cazul poziţiei SHORT. In acest caz la momentul 0 investitorul a vândut

acţiunea respectivă. La momentul T pentru a închide poziţia el va trebui să cumpere acţiunea la

cursul TS , generându-se astfel un flux de cheltuieli.

Pentru a obţine profitul sau pierderea acestei poziţii va trebui să ţinem seama că la

momentul 0 s-a încasat din vânzarea acţiunii o suma de bani egală cu S . Evident că se va

obţine profit dacă SST < şi pierdere dacă SST > .

De asemenea se observă că graficul funcţiei de payoff pentru poziţia SHORT este

simetric faţă de axa 0x a graficului funcţiei de payoff pentru poziţia LONG. Această proprietate

este adevărată şi pentru alte tipuri de active financiare, aşa cum se va vedea în continuare.

1.2 Rata instantanee a dobânzii

Fie 1r rata dobânzii pentru un depozit cu capitalizare la 1 an. Factorul de fructificare pe

o perioadă de un an este 11 r+ .

Fie 2r rata dobânzii la un depozit cu capitalizare la 6 luni. Factorul de fructificare pe 1

an este 2

2

21

+r

.

45o TS

payoff

0

Graficul 1.3 Payoff-ul unei poziţii SHORT pe o acţiune

S

S

45o TS

P/L

0

payoff

P/L

Graficul 1.4 Profitul sau pierderea unei poziţii SHORT pe o acţiune

4

Dacă se notează cu 4r rata dobânzii in cazul în care capitalizarea se face din 3 în 3 luni

rezultă că factorul de fructificare pe un an este 4

4

41

+r

.

In general în practica bancară cea mai mică perioadă pe care se face capitalizarea este 1

lună. In acest caz dacă notăm cu 12r rata dobânzii acordate avem că factorul de fructificare pe

un an este 12

12

121

+r

.

Vom considera că se poate face capitalizarea şi folosind perioade mai mici de 1 lună.

Astfel dacă împărţim anul în n perioade şi notăm cu nr rata dobânzii in acest caz se obţine că

factorul de fructificare pe un an este n

n

n

r

+1 .

Relaţia dintre aceste rate de dobândă în cazul în care se doreşte ca suma după un an să

fie aceeaşi indiferent de tipul de depozit ales se obţine egalând factorii de fructificare:

n

n

n

rrrrr

+=

+=

+=

+=+ 1...

121

41

211

12

12

4

4

2

21

Astfel avem:

( )11 1 −+= nn rnr

Rata instantanee a dobânzii ( r ) se defineşte ca fiind aceea rată a dobânzii care trebuie

folosită pentru fructificare în cazul în care perioada pe care se face capitalizarea tinde la zero.

Deci:

( )11lnlim: rrr nn

+==∞→

Ca urmare se obţine că factorul de fructificare pe 1 an în cazul în care se foloseşte rata

instantanee a dobânzii este re . Factorul de fructificare pe 2 ani este re2 , iar pe o perioadă de T

ani este rTe . Pentru a obţine factorul de fructificare pe perioade fracţionare trebuie exprimate

aceste perioade în ani. Astfel factorul de fructificare pe 6 luni va fi re 5.0 , iar pentru o perioadă

de 15 luni este re 25.1 .

O obligaţiune zero cupon fără risc cu valoare nominală 1 şi scadenţă T este un activ

financiar (emis de stat) care are un payoff la momentul T egal cu 1. Fiind emis de stat acest

activ financiar nu are risc de credit investitorul fiind sigur că va primi la scadenţă valoarea

nominală a obligaţiunii. In cazul în care rata instantanee a dobânzii este considerata constantă în

timp investiţia intr-o obligaţiune zero cupon fără risc este echivalentă cu cea intr-un depozit

5

bancar. Astfel valoarea la momentul 0 (momentul emiterii) va fi egală cu ( ) rTeTB −=,0 , iar la

un moment dat ( )Tt ,0∈ valoarea acestui instrument financiar va fi ( ) ( )tTreTtB −−=, . Situaţia se

complică în cazul în care se consideră că rata instantanee a dobânzii este stocastică, in acest caz

folosindu-se structura la termen a ratei dobânzii.

1.3 Principiul arbitrajului

Prin arbitraj se înţelege o strategie financiară prin care se obţine un câştig fără risc şi

fără aport iniţial de capital.

Fie Π un activ financiar sau un portofoliu de active financiare. Vom nota cu ( )tΠ

valoarea acestui portofoliu la momentul t. Conform definiţiei portofoliul Π este portofoliu de

arbitraj dacă sunt îndeplinite condiţiile:

• ( ) 00 =Π (fără aport de capital)

• la un moment dat T avem că în mod sigur ( ) 0>Π T (câştig fără risc)

In practică există posibilităţi de arbitraj (în special pe piaţa valutară), însă aceste

oportunităţi sunt de scurtă durată şi dispar repede. De aceea teoria financiară presupune că nu

există oportunităţi de arbitraj. Această ipoteză este cunoscută sub numele de principiul

arbitrajului.

O consecinţă a acestui principiu este că dacă două active financiare A şi B au acelaşi

payoff la momentul T ( ( ) ( )TT BA Π=Π ) ele vor avea aceeaşi valoare pentru fiecare moment de

timp Tt < . Intr-adevăr dacă am presupune că există un moment de timp t astfel încât

( ) ( )00 tt BA Π>Π atunci am putea construi un portofoliu de arbitraj. Astfel am putea considera

portofoliul Π format dintr-o poziţie LONG pe o unitate din activul B, o poziţie SHORT pe o

unitate din activul A şi dintr-o poziţie LONG pe un număr de ( ) ( )

( )0

00tTr

BA

e

tt−−

Π−Π obligaţiuni zero

cupon fără risc cu scadenţa T.

La momentul 0t avem:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) 00

0

00000 =⋅

Π−Π+Π−Π=Π −−

−−

tTr

tTr

BAAB e

e

ttttt

iar la momentul T:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) 01

00

0000 >Π−Π

=⋅Π−Π

+Π−Π=Π−−−− tTr

BA

tTr

BAAB

e

tt

e

ttTTT

6

Deci portofoliul Π este portofoliu de arbitraj, încălcându-se astfel principiul

arbitrajului. In consecinţă ( ) ( )tt BA Π=Π pentru orice moment de timp Tt < .

1.4 Principiul evaluării neutre la risc

Principiul evaluării neutre la risc se referă la faptul că, în lipsa oportunităţilor de arbitraj,

valoarea unui activ financiar se poate calcula ca o medie (faţă de aşa-numita probabilitate neutră

la risc) a cash-flow-urilor viitoare generate de acest activ financiar actualizate la momentul la

care se face evaluarea.

Conform acestui principiu dacă un activ financiar are un payoff la momentul T dat de

( )TΠ atunci valoarea sa la momentul zero este:

( ) ( )[ ]TeE rTΠ=Π −*0 (1.1)

unde am notat cu *E media faţă de probabilitatea neutră la risc, iar pentru actualizare s-

a folosit rata instantanee a dobânzii ( r ) presupusă ca fiind constantă pe perioada 0-T.

In cazul unei acţiuni care nu plăteşte dividende pe perioada 0-T dacă notăm cu S cursul

la momentul 0 şi cu TS cursul la momentul T vom avea că [ ]TrT SeES −= * .

De asemenea dacă considerăm o obligaţiune zero cupon fără risc cu scadenţă T şi

valoare nominală 1 u.m, aplicând principiul evaluării neutre la risc obţinem că valoarea la

momentul 0 a acestui activ financiar este ( ) [ ] rTrT eeETB −− =⋅= 1,0 * .

1.5 Produse financiare derivate

Un produs financiar derivat este un activ financiar a cărui valoare depinde de cursul unui

alt activ numit activul suport. Activul suport poate fi o acţiune, un indice bursier, o valută, o

obligaţiune sau un alt instrument derivat.

1.5.1 Contract forward şi futures

Un contract forward este o înţelegere prin care o parte se obligă să cumpere, iar

cealaltă parte să vândă un activ financiar la un moment viitor (scadenţa contractului) la un preţ

stabilit în momentul încheierii contractului (preţul forward). Investitorul care se obligă să

cumpere se spune ca are o poziţie LONG pe contractul forward, iar cel care se obliga să

cumpere are o poziţie SHORT pe respectivul contract.

7

O caracteristică importantă a unui contract forward este că valoarea sa iniţială este

zero. Astfel nici una din părţile implicate în contract nu trebuie să plătească celeilalte părţi o

sumă de bani în momentul încheierii contractului.

Payoff-ul la scadenţă (momentul T) pentru o poziţie LONG pe un contract forward este

egal cu FST − unde TS este cursul activului suport la momentul T, iar F este preţul forward

stabilit în momentul încheierii contractului. Intr-adevăr investitorul care are poziţia long pe

contractul forward este obligat prin contract să cumpere activul suport la un preţ egal cu F .

După cumpărarea activului suport investitorul va avea o poziţie long pe activul suport. Insă

valoarea pe piaţă a respectivului activ suport este TS . Prin închiderea acestei poziţii long se

generează un flux de venituri sau cheltuieli egal cu FST − .

Deoarece valoarea iniţială a contractului forward este zero funcţia de profit sau

pierdere este identică cu funcţia de payoff.

Poziţia SHORT pe contractul forward va avea un payoff egal cu TSF − .

Trebuie subliniat faptul că preţul forward nu reprezintă valoarea contractului

forward. Aşa cum am spus valoarea iniţială a contractului forward este zero. Preţul forward

(stabilit în momentul încheierii contractului) este cursul la care se va efectua tranzacţia la

momentul T (scadenţa contractului).

Fie ( )TtF , preţul forward pentru un contract încheiat la momentul t şi cu scadenţă T, iar

( )Ttsf ,, valoarea la momentul s a unui contract forward iniţiat la momentul t şi având scadenţa

T. Ştim că ( ) 0,, =Tttf .

0F

TS

payoff

45o

Graficul 1.5 Payoff-ul unei poziţii LONG pe un contract forward

0

F TS

payoff

45o

Graficul 1.6 Payoff-ul unei poziţii SHORT pe un contract forward

8

Să determinăm pentru început preţul forward pentru o acţiune care nu plăteşte

dividend pe perioada de existenţă a contractului forward. Vom nota cu tS cursul acţiunii la

momentul t.

Aplicăm principiul arbitrajului. Considerăm două portofolii A şi B. Portofoliul A este

format dintr-o poziţie LONG pe un contract forward încheiat la momentul t şi scadenţă T şi o

poziţie LONG pe un număr egal cu ( )TtF , de obligaţiuni zero cupon fără risc cu scadenţa T

(prescurtate cu ozc) . Portofoliul B este format dintr-o poziţie LONG pe o unitate din activul

suport.

Avem că la scadenţă:

( ) ( ) ( ) T

ulpayoff

TA STtFTtFST =⋅+−=Π

−

1,,

forward uicontractul

43421

( ) TB ST =Π .

Deci cele două portofolii au acelaşi payoff la scadenţă şi ca urmare vor avea aceeaşi

valoare si la momentul t ( ( ) ( )tt BA Π=Π ). Avem că:

( ) ( ) ( )t

tTr SeTtFTttf =⋅+ −−,,,

Ţinând seama de faptul ca valoarea iniţială a contractului forward este zero obţinem că

preţul forward la momentul t pentru scadenţa T al unei acţiuni este dat de relaţia:

( ) ( )tTr

teSTtF −=, (1.2)

Evident că ( ) TSTTF =, ceea ce înseamnă că preţul forward tinde către cursul spot pe

măsură ce ne apropiem de scadenţă.

Care va fi însă valoarea contractului forward la un moment dat ts > . Cele două

portofolii vor avea datorită principiului arbitrajului aceeaşi valoare pentru orice moment de timp

ts > . Ca urmare vom avea că (preţul forward ( )TtF , pentru contractul forward încheiat la

momentul t rămâne constant pentru întreaga perioadă t-T):

( ) ( ) ( )s

valoarea

sTr SeTtFTtsf =⋅+ −−

321

s momentul la ozc

,,,

Deci:

( ) ( ) ( ) 0,,, ≠⋅−= −− sTr

s eTtFSTtsf

In concluzie valoarea iniţială a contractului forward este zero, însă pe parcurs valoarea

contractului este diferită de zero.

9

Să determinăm în continuare preţul forward pentru o valută. Vom nota cu tS cursul

valutar la momentul t exprimat astfel:

interna valutade unitati straina valutaunitate 1 tS=

De asemenea mai notăm cu fr rata instantanee a dobânzii în tara de provenienţă a

valutei străine.

Considerăm două portofolii A şi B. Portofoliul A are aceeaşi componenţă ca în cazul

unei acţiuni. Portofoliul B este format dintr-o poziţie LONG pe un număr de ( )tTrfe

−− unităţi din

valuta externă. Spre deosebire de cazul anterior, deţinerea de către investitor a unei unităţi din

valuta externă îi măreşte posibilităţile de investiţii el putând-o depune la o bancă din cealaltă

ţară şi să fie remunerat cu rata instantanee a dobânzii fr . Astfel la scadenţă payoff-ul

portofoliului B, exprimat în valută internă, va fi:

( ) ( ) ( )T

tTrtTr

TB SeeST ff ==Π−−−

44 344 21

interna in valuta exprimatarefructificadin obtinuta suma

Payoff-urile celor două portofolii sunt egale la scadenţă, deci şi la un moment anterior

vor avea aceeaşi valoare:

( ) ( ) ( ) ( )tTr

t

tTr feSeTtFFttf−−−− =⋅+ ,,,

Ca urmare:

( ) ( )( )tTrr

tfeSTtF

−−=, (1.3)

Se poate arăta că preţul forward în cazul în care activul suport are o rată

instantanee a dividendului egală cu q (i.e. in fiecare moment t acest activ plăteşte un dividend

egal cu tqS , unde tS este cursul spot al activului la momentul t) este:

( ) ( )( )tTqr

teSTtF −−=, (1.4)

Contractul futures este o înţelegere prin care o parte se obligă să cumpere, iar cealaltă

parte să vândă un activ financiar la un moment viitor (scadenţa contractului) la un preţ stabilit în

momentul încheierii contractului (preţul futures). In condiţiile în care se consideră că rata

dobânzii este constantă pe perioada analizată se poate arăta că preţul forward este egal cu

preţul futures.

Spre deosebire însă de contractul forward, contractul futures este un contract

standardizat care se tranzacţionează la bursă. In plus pentru contractul futures funcţionează

mecanismul de marcare la piaţă. Marcarea la piaţă presupune că la sfârşitul zilei de

10

tranzacţionare contul persoanei care este LONG creşte sau scade cu diferenţa dintre preţul

futures curent şi preţul futures din ziua precedentă după cum această diferenţă este pozitivă sau

negativă. Situaţia este inversă pentru persoana care este SHORT. Deci un contract futures

generează payoff-uri şi pe durata de existenţă a contractului şi nu numai la scadenţă ca în cazul

unui contract forward.

Vom nota cu kS cursul spot la momentul kt , iar cu kF preţul futures la momentul kt cu

scadenţă T (i.e. preţul futures pentru un contract încheiat la momentul kt cu scadenţă T ). Vom

considera că rata dobânzii este constantă, deci preţul futures este egal cu preţul forward

( )ktTr

kk eSF−

= . Presupunem că iniţiem o poziţie LONG pe contractul futures la momentul

00 =t . Vom nota cu 0ϕ valoarea acestui contract la momentul 0 şi cu kϕ valoarea acestui

contract la momentul kt .

Datorită marcării la piaţă la fiecare moment kt apare un payoff egal cu 1−− kk FF . Dacă

păstrăm contractul până la scadenţă avem un payoff total egal cu:

( ) ( ) ( ) ( ) 0111201 ...... FSFFFFFFFF Tnnkk −=−+−++−+− −−

adică exact payoff-ul la scadenţă al unui contract forward.

Totuşi faptul că apar cash-flow-uri intermediare are un impact important asupra valorii

contractului futures. Astfel aplicând principiul evaluării neutre la risc avem că valoarea la

momentul 0 este:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]11122

011*

0 ...... −

−

−

−−−−++−++−+−= nn

nrt

kkkrtrtrt

FFeFFeFFeFFeEϕ

Ţinând seama că ( )

ktTr

kk eSF−

= şi că [ ]kkrtSeES

−= *

0 se obţine că 00 =ϕ , deci ca şi

contractul forward contractul futures are valoare 0 in momentul iniţierii sale.

Să presupunem că dorim să renunţăm la contractul futures la momentul kt . După cum

ştim valoarea unui contract forward este diferită de zero la un moment dat pe durata de existenţă

a contractului. Să vedem care este situaţia în cazul contractului futures. Din nou vom aplica

principiul evaluării neutre la risc şi rezultă că valoarea la momentul kt a unui contract futures

iniţiat la momentul 0 este:

nS 1−nS kS 1−kS 2S 1S 0S

nn SF = 1−nF kF 1−kF 2F 1F 0F

00 t= …. 1t 2t 1−kt kt 1−nt Ttn = ….

11

( )( ) ( )( )[ ] 0... 112

1* =−++−= −

−−

++

−+−

nnkt

ntr

kkkt

ktr

k FFeFFeEϕ

Deci contractul futures are valoare zero la orice moment pe durata de existenţă a

contractului. Ca urmare pe investitor nu l-a costat nimic la momentul 0 când a iniţiat poziţia

LONG pe contractul futures, de asemenea nu l-a costat nimic la momentul kt când şi-a închis

poziţia, eventualele câştiguri sau pierderi în perioada kt−0 apărând datorită fenomenului de

marcare la piaţă:

( ) ( ) ( ) 011201 ... FFFFFFFF kkk −=−++−+− −

In concluzie, datorită marcării la piaţă, valoarea unui contract futures este zero pe

toată durata de viaţă şi nu doar în momentul iniţierii contractului.

1.5.2 Opţiuni

1.5.2.1 Proprietăţi

Opţiunile sunt produse financiare care oferă dreptul (neexistând însă şi obligaţia) de a

cumpăra sau de a vinde un activ suport. Aceste instrumente financiare se tranzacţionează in

special la bursă, insă unele contracte cu caracteristici mai complexe pot fi achiziţionate pe piaţa

OTC.

Opţiunile pot fi de tip CALL (de cumpărare) sau de tip PUT (de vânzare).

Opţiunea CALL este un contract prin care se specifică că partea LONG (cumpărătorul

contractului) are dreptul să cumpere la scadenţă (T) activul suport al contractului la un preţ

stabilit în momentul încheierii contractului numit preţ de exerciţiu (E). Cumpărătorul opţiunii

nu are însă şi obligaţia de a cumpăra activul suport cum era în cazul unui contract forward.

Vânzătorul opţiunii se spune că are poziţie SHORT.

Opţiunea PUT este un contract prin care se specifică că partea LONG (cumpărătorul

contractului) are dreptul să vândă la scadenţă (T) activul suport al contractului la un preţ stabilit

în momentul încheierii contractului numit preţ de exerciţiu (E). Cumpărătorul opţiunii nu are

însă şi obligaţia de a vinde activul suport.

Dacă partea LONG pune în aplicare dreptul specificat în contract se spune că opţiunea a

fost exercitată. După momentul în care pot fi exercitate opţiunile pot fi:

• de tip european – pot fi exercitate doar la scadenţă;

• de tip american – pot fi exercitate în orice moment până la scadenţă;

12

• de tip bermudan – pot fi exercitate la anumite momente specificate în contract.

Deoarece opţiunile conferă un dreptul de a vinde sau de a cumpăra, însă nu presupune şi

o obligaţia corespunzătoare partea LONG a contractului (cumpărătorul) va plăti vânzătorului o

sumă de bani numită prima CALL ( c ) sau PUT ( p ).

Opţiunile de tip european şi american care sunt tranzacţionate la bursă mai poartă

numele de opţiuni plain-vanilla. In afară de aceste opţiuni clasice, mai există şi opţiuni cu

caracteristici mai complexe care pot fi achiziţionate de pe piaţa OTC:

• opţiuni asiatice – payoff-ul opţiunii depinde de media cursului activului suport

pe o anumită perioadă şi nu valoarea acestuia la scadenţă;

• opţiuni barieră – payoff-ul opţiunii depinde de atingerea sau nu de către cursul

activului suport, pe durata de viaţă a opţiunii, a unui nivel prestabilit;

• opţiuni digitale – payoff-ul opţiunii poate lua valorile 0 sau 1.

Opţiunile tranzacţionate la bursă nu trebuie să fie păstrate până la scadenţă. Ele pot fi

tranzacţionate în orice moment pe piaţă. Astfel cumpărătorul unei opţiuni o poate vinde înainte

de scadenţă dacă prima contractului a evoluat favorabil pentru el (a crescut). Noul posesor al

opţiunii a intrat astfel în posesia dreptului de a exercita opţiunea. Nu trebuie confundată

tranzacţionarea unei opţiuni cu exercitarea unei opţiuni.

In cazul în care opţiunea este păstrată până la scadenţă este important să determinăm

payoff-ul contractului la acel moment.

In cazul cumpărătorului unui contract CALL (poziţie long) în cazul în care cursul la

scadenţă ( TS ) este mai mare decât preţul de exerciţiu (E ) investitorul va exercita opţiunea,

cumpărând activul suport la preţul E şi vânzându-l apoi la cursul de pe piaţă. Se generează

astfel la scadenţă un flux de venituri egal cu EST − . Pe de altă parte dacă cursul la scadenţă

este mai mic decât preţul de exerciţiu investitorul nu are nici un motiv să exercite opţiunea

CALL payoff-ul fiind în această situaţie egal cu zero. Deci:

( )ESES

ESESPayoff T

T

TT

CALLLONG −=

<

>−= ,0max

,0

,

13

Pentru a obţine profitul acestei poziţii vom scădea din funcţia de payoff suma plătită

iniţial pentru această opţiune (prima c ).

( )( )ES

ES

ESESPayoff T

T

TT

CALLS −−=

<

>−−= ,0max

,0

, HORT

In cazul cumpărătorului unui contract PUT (poziţia long) dacă cursul activului suport

este mai mic decât preţul de exerciţiu, investitorul va exercita opţiunea vânzând activul suport la

TS

payoff

45o

0

E

Graficul 1.7 Payoff-ul unei poziţii LONG pe o opţiune CALL

c TS

P/L

0

E

Graficul 1.8 Profitul sau pierderea unei poziţii LONG pe o opţiune CALL

TS

payoff

45o

0

E

Graficul 1.9 Payoff-ul unei poziţii SHORT pe o opţiune CALL

c

TS

P/L

0

E

Graficul 1.10 Profitul sau pierderea unei poziţii SHORT pe o opţiune CALL

14

preţul E şi cumpărându-l la cursul de la scadenţă obţinând un flux de venituri egal cu TSE − .

Dacă însă cursul este mai mare decât preţul de exerciţiu opţiunea nu va fi exercitată şi deci

rezultă un payoff egal cu zero.

( )TT

TT

PUTLONG SEES

ESSEPayoff −=

>

<−= ,0max

,0

,

Pentru a obţine profitul poziţiei long pe opţiunea PUT vom scădea din funcţia de payoff

suma plătită iniţial pentru această opţiune (prima PUT p ).

E TS

payoff

0

Graficul 1.11 Payoff-ul unei poziţii LONG pe o opţiune PUT

p TS

P/L

0

E

Graficul 1.12 Profitul sau pierderea unei poziţii LONG pe o opţiune PUT

TS

payoff

0

E

Graficul 1.13 Payoff-ul unei poziţii SHORT pe o opţiune PUT

p

TS

P/L

0

E

Graficul 1.14 Profitul sau pierderea unei poziţii SHORT pe o opţiune PUT

15

Pentru a obţine profitul poziţiei LONG pe opţiunea PUT vom scădea din funcţia de

payoff suma plătită iniţial pentru această opţiune (prima PUT p ).

Prima CALL şi prima PUT depind de cursul activului suport, de preţul de exerciţiu şi de

volatilitatea activului suport. Volatilitatea este o măsură a riscului activului suport reprezentând

abaterea medie pătratică a rentabilităţii anuale a activului suport. Primele opţiunilor mai depind

şi de durata până la scadenţă şi de rata instantanee a dobânzii.

S E σ

c + _ +

p _ + +

Tabelul 1.1 Factorii de influenţă ai primei opţiunilor CALL şi PUT

Dacă cursul activului suport din momentul evaluării creşte prima opţiunii CALL va

creşte deoarece a crescut probabilitatea ca la scadenţă cursul activului suport să fie în dreapta

preţului de exerciţiu şi deci ca opţiunea să fie exercitată. Situaţia este inversă în cazul opţiunilor

PUT probabilitatea ca payoff-ul să fie pozitiv la scadenţă scade dacă creşte cursul activului

suport.

Opţiunile CALL cu preţ exerciţiu mai mic sunt mai scumpe deoarece probabilitatea de a

obţine un payoff pozitiv este mai mare, situaţia fiind inversă în cazul opţiunilor PUT.

1c 2c

2E

TS

P/L

0

1E

Graficul 1.15 Relaţia dintre primele CALL pentru două opţiuni cu preţuri de exerciţiu difertite

2p 1p

TS

P/L

0

1E 2E

Graficul 1.16 Relaţia dintre primele PUT pentru două opţiuni preţuri de exerciţiu diferite

16

In ceea ce priveşte volatilitatea primele opţiunilor, indiferent de felul lor, cresc dacă

creşte volatilitatea. O volatilitate mai mare conduce la faptul că variaţia cursului este mai mare.

Si ca urmare creşte şi probabilitatea (şi deci şi prima) ca la scadenţă opţiunea să aibă un payoff

strict pozitiv.

1.5.2.2 Paritatea PUT-CALL

Dorim să determinăm o relaţie între primele opţiunilor CALL şi PUT cu aceleaşi

caracteristici (acelaşi activ suport, acelaşi preţ de exerciţiu şi aceeaşi scadenţă).

Fie ( )Ttc , respectiv ( )Ttp , prima la momentul t a unei opţiuni CALL respectiv PUT

(de tip european) cu scadenţă T, acelaşi activ suport şi acelaşi preţ de exerciţiu (E ).

Să analizăm pentru început cazul în care opţiunea are ca activ suport o acţiune care nu

plăteşte dividend pe perioada de existenţă a opţiunilor. Vom nota cu tS cursul acţiunii la

momentul t.

Considerăm două portofolii A şi B. Portofoliul A este format dintr-o poziţie LONG pe o

opţiune CALL şi o poziţie LONG pe un număr egal cu E de obligaţiuni zero cupon fără risc cu

scadenţa T. Portofoliul B este format dintr-o poziţie LONG pe o opţiune PUT şi o poziţie

LONG pe o unitate din activul suport.

Avem că la scadenţă:

( ) ( ) ( )ESEEST TTA ,max1,0max =⋅+−=Π

( ) ( ) ( )ESSSET TTTB ,max,0max =+−=Π .

Deci cele două portofolii au acelaşi payoff la scadenţă şi ca urmare vor avea aceeaşi

valoare si la momentul t. Rezultă că:

( ) ( ) ( ) t

tTr STtpeETtc +=⋅+ −− ,, (1.5)

Relaţia de mai sus este cunoscută sub numele de relaţia de paritate PUT-CALL.

Să determinăm relaţia de paritate în cazul opţiunilor care au ca activ suport o valută.

Vom nota cu tS cursul valutar la momentul t exprimat astfel:

interna valutade unitati straina valutaunitate 1 tS=

Vom nota cu fr rata instantanee a dobânzii din ţara de provenienţă a valutei străine.

Considerăm două portofolii A şi B. Portofoliul A are aceeaşi componenţă ca în primul

caz. Portofoliul B este format dintr-o poziţie LONG pe o opţiune PUT şi poziţie LONG pe un

17

număr de ( )tTrfe

−− unităţi din valuta externă. Deţinerea de către investitor a unei unităţi din

valuta externă generează remunerarea acesteia cu rata instantanee a dobânzii fr . Astfel la

scadenţă payoff-ul portofoliului B va fi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ESeeSSET T

tTrtTr

TTBff ,max,0max

interna in valuta exprimatarefructificadin obtinuta suma

=+−=Π−−−

44 344 21

Ca urmare, aplicând din nou principiul arbitrajului obţinem următoarea relaţie de

paritate valabilă în cazul opţiunilor pe valută:

( ) ( ) ( ) ( )tTr

t

tTr feSTtpeETtc−−−− ⋅+=⋅+ ,, (1.6)

Se poate arăta că teorema de paritate în cazul în care activul suport are o rată

instantanee a dividendului egală cu q este:

( ) ( ) ( ) ( )tTq

t

tTr eSTtpeETtc −−−− ⋅+=⋅+ ,, (1.7)

Exerciţiu. Se consideră o acţiune al cărei curs este 100=S 0. Rata dobânzii este

%10=r . Se consideră următoarele opţiuni care au ca activ suport acţiunea menţionată:

1. o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu 1000=E , scadenţă peste 3 luni şi primă

954,52=c

2. o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu 1000=E , scadenţă peste 6 luni şi primă

008,34=p


323,28=p


008,65=c


236,37=p

Să se construiască, dacă se poate, un portofoliu de arbitraj.

Rezolvare. Vom încercă să determinăm abateri de la relaţia de paritate PUT-CALL.

Cum această relaţie de paritate se aplică doar opţiunilor cu aceleaşi caracteristici, vom analiza

perechea de opţiuni (1,3) .

Pentru a nu avea posibilităţi de arbitraj ar trebui ca:

18

( )t

tTr SEecp −+= −−

Totuşi în cazul nostru avem că 323,28=p , iar

( ) peSEec t

tTr <=−+=−+ ⋅−−− 264,2810001000954,52 25,01,0

Cele două portofolii folosite în demonstraţia relaţiei de paritate au valorile:

264,102831,975954,52 =+=AΠ

323,10281000323,28 =+=Π B

Pentru a construi un portofoliu de arbitraj Π procedăm astfel: vindem (poziţie SHORT)

portofoliul B şi cumpărăm portofoliul A (poziţie LONG). Cu suma obţinută cumpărăm (LONG)

obligaţiuni zero cupon fără risc cu scadenţă peste 3 luni. Deci valoarea iniţială a portofoliului

Π va fi zero (fără aport de capital), iar la scadenţă acest portofoliu va avea un payoff egal cu

( ) ( ) 0264,1028323,1028 25,01,0 >−=Π ⋅eT (câştig fără risc).

Problemă propusă. Se consideră o acţiune al cărei curs este 100=S . Rata dobânzii

este %10=r . Se consideră următoarele opţiuni care au ca activ suport acţiunea menţionată:


2209,7=c


9225,4=c


3816,8=p


7519,4=p


6431,8=c


5208,6=c

Să se construiască, dacă se poate, un portofoliu de arbitraj.

19

1.5.2.3 Strategii cu opţiuni

O strategie cu opţiuni este un portofoliu format din opţiuni pe un activ suport. Acestea

se folosesc pentru construirea unor funcţii de payoff mai complexe.

Straddle

Strategia „straddle” se foloseşte atunci când un investitor anticipează o mişcare mare a

cursului activului suport, însă nu şi direcţia acestei mişcări.

Straddle-ul este format dintr-o poziţie LONG pe o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu E

şi scadenţă T şi o poziţie LONG pe o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu E şi scadenţă T.

Cursul LONG CALL LONG PUT TOTAL

EST < 0 TSE − TSE −

EST > EST − 0 EST −

Tabelul 1.2 Payoff-ul unui straddle

Preţul acestui portofoliu la momentul iniţial este egal cu cp + , unde pc, reprezintă

prima opţiunii CALL respectiv PUT care intră în componenţa portofoliului.

E TS

payoff

0

Figura 1.17 Payoff-ul unui straddle

cp +

E TS

P/L

0

Figura 1.18 Profitul sau pierderea unui straddle

20

Strangle

Strategia „strangle” se foloseşte atunci când un investitor anticipează o mişcare mare a

cursului activului suport, însă nu şi direcţia acestei mişcări.

Acest portofoliu este format dintr-o poziţie LONG pe o opţiune CALL cu preţ de

exerciţiu 1E şi scadenţă T şi o poziţie LONG pe o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu 2E şi

scadenţă T, unde 21 EE > .

Cursul LONG CALL 1E LONG PUT 2E TOTAL

2EST < 0 TSE −2 TSE −2

12 ESE T << 0 0 0

1EST > 1EST − 0 1EST −

Tabelul 1.3 Payoff-ul unui strangle

Preţul acestui portofoliu la momentul iniţial este egal cu cp + , unde pc, reprezintă

prima opţiunii CALL respectiv PUT.

După cum se observă în cazul unui strangle este nevoie de o variaţie mai mare a cursului

decât pentru un straddle pentru a obţine payoff strict pozitiv. Insă în general preţul unui strangle

este mai redus.

1E 2E TS

payoff

0

Graficul 1.19 Payoff-ul unui strangle

1E

cp +

2E TS

P/L

0

Graficul 1.20 Profitul sau pierderea unui strangle

21

Bull Spread

Această strategie este formată dintr-o poziţie LONG pe o opţiune CALL cu preţ de

exerciţiu 1E şi scadenţă T şi o poziţie SHORT pe o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu 2E şi

scadenţă T, unde 21 EE < .

Cursul LONG CALL 1E SHORT CALL 2E TOTAL

1EST < 0 0 0

21 ESE T << 1EST − 0 1EST −

2EST > 1EST − TSE −2 12 EE −

Tabelul 1.4 Payoff-ul unui bull spread

Fiind format dintr-o poziţie long şi una short valoarea iniţială va fi egală cu 21 cc − , unde

21,cc reprezintă prima opţiunii call cu preţ de exerciţiu 1E respectiv 2E . Datorită relaţiei dintre

prima call şi preţul de exerciţiu 21 cc − va fi pozitiv, ceea ce înseamnă că vânzătorul va primi

această sumă de la cumpărător.

In general această strategie nu este achiziţionată pentru a fi păstrată până la scadenţă ci

pentru a fi folosită pentru speculaţii.

2E 1E TS

payoff

0

Graficul 1.21 Payoff-ul unui bull spread

2E

21 cc −

1E TS

P/L

0

Graficul 1.22 Profitul sau pierderea unui bull spread

22

Bear Spread

Ca şi în cazul anterior această strategie este folosită pentru speculaţii.

Portofoliul este formată dintr-o poziţie LONG pe o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu 1E

şi scadenţă T şi o poziţie SHORT pe o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu 2E şi scadenţă T, unde

21 EE > .

Cursul LONG PUT 1E SHORT PUT 2E TOTAL

2EST < TSE −1 2EST − 21 EE −

12 ESE T << TSE −1 0 TSE −1

1EST > 0 0 0

Tabelul 1.5 Payoff-ul unui bear spread

Fiind format dintr-o poziţie long şi una short valoarea iniţială va fi egală cu 21 pp − ,

unde 21,cc reprezintă prima opţiunii put cu preţ de exerciţiu 1E respectiv 2E . Datorită relaţiei

dintre prima put şi preţul de exerciţiu 21 pp − va fi pozitiv, ceea ce înseamnă că vânzătorul va

primi această sumă de la cumpărător.

1E 2E TS

payoff

0

Graficul 1.23 Payoff-ul unui bear spread

1E

21 pp −

2E

TS

P/L

0

Graficul 1.24 Profitul sau pierderea unui bear spread

23

Butterfly

Strategia „butterfly” se foloseşte atunci când un investitor anticipează o stagnare a

cursului, dar doreşte să fie protejat şi în cazul în care se va înregistra o variaţie mare a preţului

în ambele sensuri.

Acest portofoliu este format dintr-o poziţie LONG pe o opţiune CALL cu preţ de

exerciţiu 1E şi scadenţă T, o poziţie LONG pe o opţiune CALL cu preţ de exerciţiu 2E şi

scadenţă T şi o poziţie SHORT pe două opţiuni CALL cu preţ de exerciţiu 3E unde

231 EEE << şi 2

213

EEE

+= .

Cursul LONG CALL 1E LONG CALL 2E 2 SHORT CALL 3E TOTAL

1EST < 0 0 0 0

31 ESE T << 1EST − 0 0 1EST −

23 ESE T << 1EST − 0 ( )TSE −32 TSE −2

2EST > 1EST − 2EST − ( )TSE −32 0

Tabelul 1.6 Payoff-ul unui butterfly

3E 1E 2E TS

payoff

0

Graficul 1.25 Payoff-ul unui buttefly

3E 1E 2E

TS

P/L

0

Graficul 1.26 Profitul sau pierderea unui buttefly

24

Valoarea iniţială a acestui portofoliu este strict mai mare decât zero. Intr-adevăr dacă

acest portofoliu nu ar costa nimic s-ar putea face un arbitraj deoarece payoff-ul portofoliului

este întotdeauna pozitiv.

Protective put

Această strategie se foloseşte în situaţia în care investitorul deţine o poziţie LONG pe

activul suport şi doreşte să se protejeze împotriva scăderii cursului activului suport. Pentru

aceasta va cumpăra câte o opţiune PUT cu preţ de exerciţiu E pentru fiecare unitate de activ

suport deţinută.

Cursul LONG activ suport LONG PUT TOTAL

EST < TS TSE − E

EST > TS 0 TS

Tabelul 1.7 Payoff-ul unui protective put

O proprietate importantă a strategiei protective put este că payoff-ul său la scadenţă este

mai mare decât preţul de exerciţiu al opţiunii PUT din componenţă.

De exemplu dacă un investitor deţine un portofoliu format dintr-o poziţie long pe 1000

unităţi de activ suport al cărui curs este 100 u.m. şi doreşte să se protejeze împotriva scăderii

E

E TS

payoff

0

Figura 1.27 Payoff-ul unui protective put

25

cursului el va cumpăra 1000 de opţiuni PUT. Să presupunem că acest investitor îşi propune ca

să nu piardă mai mult de 5% din valoarea iniţială a portofoliului (100.000 u.m) în următoarele 3

luni. In acest caz concret el va trebui să cumpere opţiuni PUT cu scadenţă peste 3 luni şi cu preţ

de exerciţiu 95. Această strategie (protective put) îi va asigura la scadenţa opţiunii (peste 3 luni)

un payoff de cel puţin 95.000 u.m, abţinând astfel scopul propus (de a nu pierde mai mult de

5%). Bineînţeles pentru a abţine această protecţie investitorul trebuie să plătească prima

opţiunilor PUT cumpărate.

Covered call

Această strategie se foloseşte în situaţia în care investitorul deţine o poziţie SHORT pe o

opţiune CALL şi doreşte să se protejeze împotriva creşterii cursului activului suport. Pentru

aceasta va cumpăra activul suport.

Cursul LONG activ suport SHORT CALL TOTAL

EST < TS 0 TS

EST > TS TSE − E

Tabelul 1.8 Payoff-ul unui covered call

E

E TS

payoff

0

Figura 1.28 Payoff-ul unui covered call

26

2. Evaluarea opţiunilor de tip european

In primul capitol am analizat proprietăţile generale ale derivativelor şi în special a

opţiunilor. In continuare ne vom ocupa de evaluarea opţiunilor europene prezentând cele mai

utilizate modele : modelul binomial şi modelul Black-Scholes.

2.1 Modelul binomial

Modelul binomial (Cox, Ross şi Rubinstein) este un model cu timp discret, perioada

până la scadenţă (T ) împărţindu-se în mai multe perioade egale a căror lungime o vom nota cu

h .

2.1.1 Modelul binomial cu o perioadă

Considerăm o opţiune europeană de tip call cu preţ de exerciţiu E cu scadenţă T . Vom

nota cu c prima opţiunii la momentul iniţial.

Notăm cu S cursul activului suport la momentul iniţial. Modelul binomial presupune că

după o perioadă, cursul activului suport se poate afla în două situaţii: să crească şi să devină

egal cu 1, >⋅ uSu sau să scadă şi să devină 1, <⋅ dSd .

0 T

c ( )EST −,0max

0 T T = h

S

Su ⋅

Sd ⋅

27

In aceste condiţii vom avea că payoff-ul opţiunii poate avea două valori la scadenţă uc

şi dc funcţie de cele două situaţii în care se poate afla cursul activului suport.

Pentru a determina prima opţiunii vom folosi principiul arbitrajului. Considerăm un

portofoliu Π format dintr-un număr BN de obligaţiuni zero-cupon fără risc cu scadentă T şi un

număr SN (raport de hedging) de unităţi de activ suport. Dorim să determinăm BN şi SN astfel

încât acest portofoliu să aibă la momentul T acelaşi payoff cu cel al opţiunii CALL considerate.

Pentru început presupunem că activul suport este o acţiune care nu plăteşte

dividende. Portofoliul poate lua două valori la momentul T :

Pentru ca opţiunea call şi portofoliul considerat să aibă acelaşi payoff la scadenţă

(indiferent de stările naturii) trebuie ca:

=⋅+

=⋅+

dSB

uSB

cdSNN

cuSNN

Rezolvând acest sistem de ecuaţii se obţine că:

( )

−

−=

−

−=

du

dcucN

Sdu

ccN

udB

duS

0 T T = h

c

( )EuScu −= ,0max

( )EdScd −= ,0max

0 T T = h

Π

uSNN SBu ⋅+⋅=Π 1

dSNN SBd ⋅+⋅=Π 1

28

Deoarece cele două active financiare au acelaşi payoff la scadenţă ele vor avea aceeaşi

valoare şi la momentul iniţial:

( )S

Sdu

cce

du

dcucc durhud

−

−+

−

−=Π= −

−

−+

−

−= −

d

rh

u

rhrh c

du

euc

du

dee

Vom nota cu

du

derh

−

−=π . (2.1)

In aceste condiţii avem că:

( )[ ]du

rh ccec ⋅−+⋅= − ππ 1 (2.2)

Pentru a nu avea posibilitatea de a face arbitraj trebuie ca ued rh << . Intr-adevăr dacă

am presupune că uerh > s-ar putea obţine un arbitraj prin vânzarea activului suport şi prin

investirea banilor obţinuţi în obligaţiuni zero cupon.

Ca urmare a acestei relaţii dintre factorul de creştere al activului suport şi factorul de

fructificare pe o perioadă se observă că 10 << π . Fiind un număr pozitiv şi subunitar, π poate

fi interpretat ca probabilitatea unui eveniment. π se numeşte probabilitatea neutră la risc ca

activul suport să crească în perioada considerată.

In consecinţă relaţia 2.2 poate fi enunţată astfel: prima unei opţiuni este egală cu media

faţă de probabilitatea neutră la risc a payoff-urilor de la scadenţă ( uc şi dc ) actualizate la

momentul la care se face evaluarea. Am demonstrat astfel în cazul modelului binomial

principiul evaluării neutre la risc.

Exerciţiu. Se consideră o acţiune al cărei curs este 75=S . Avem că 1,1=u , 9,0=d şi

%7658,6=r . Fie o opţiune call cu preţ de exerciţiu 75=E şi scadenţă peste 1 an. Folosind

modelul binomial cu 1 perioadă să se determine structura portofoliului echivalent cu opţiunea

call (care are acelaşi payoff cu opţiunea call considerată).

29

Rezolvare.

Construim mai întâi arborele pentru evoluţia cursului:

In aceste condiţii arborele pentru opţiunea call este:

Avem că:

( )

−=−

⋅−⋅=

=−

−=

75,339,01,1

5,79,001,1

5,0759,01,1

05,7

B

S

N

N

Deci portofoliul echivalent este format dintr-o poziţia LONG pe 0,5 unităţi de activ

suport şi o poziţie SHORT ( 0<BN ) 33,75 o.z.c. T.


%7658,6=r . Fie o opţiune call cu preţ de exerciţiu 95=E şi scadenţă peste 1 an. Folosind

modelul binomial cu 1 perioadă să se determine prima opţiunii CALL. De asemenea să se

determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici.

Rezolvare.

75

82,5

67,5

c

( ) 5,7755,82;0max =−=uc

( ) 0755,67;0max =−=dc

95

104,5

85,5

Arborele pentru cursul activului suport

c

max(104,5-95;0) = 9,5

max(85,5-95;0) = 0

Arborele pentru opţiunea CALL

30

Pentru a determina prima opţiunii avem nevoie de probabilitatea neutră la risc. Astfel:

85,09,01,1

9,01067658,0

=−

−=

⋅eπ

Deci

[ ] 7,5467015,05,985,01067658,0 =⋅+⋅= ⋅−ec

Pentru a determina valoarea primei opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici putem utiliza

două metode.

Prima metodă este utilizarea relaţiei de paritate PUT-CALL. Avem că:

1,331895957,5467 1067658,0 =−+= ⋅−ep

A doua metodă este da a aplica principiul evaluării neutre la risc pentru opţiunea PUT.

Arborele pentru opţiunea PUT este:

Prima opţiunii PUT va fi:

[ ] 3318,15,915,0085,00 1067658,0 =⋅+⋅= ⋅−e

In continuare să analizăm cazul în care activul suport este o valută. In acest caz,

notând cu fr rata instantanee a dobânzii, datorită fructificării dacă la începutul perioadei avem

în portofoliu SN unităţi activ suport (valuta) la sfârşitul perioadei vom avea hr

SfeN unităţi:

p

( ) 05,10495;0max =−=up

( ) 5,95,8595;0max =−=dp

0 T T = h

Π

( ) uSeNNhr

SBuf ⋅+⋅=Π 1

( ) dSeNNhr

SBdf ⋅+⋅=Π 1

31

Structura portofoliului care are acelaşi payoff cu cel al opţiunii call este în acest caz:

( )

−

−=

−

−=

−

du

dcucN

Sdu

cceN

udB

duhr

Sf

Pentru a determina prima opţiunii pe o valută se poate folosi in continuare principiul

evaluării neutre la risc (2.2) însă probabilitatea neutră la risc este dată de:

( )

du

dehrr f

−

−=

−

π (2.3)

De asemenea dacă activul suport are o rată instantanee a dividendului egală cu q

probabilitatea neutră la risc este egală cu:

( )

du

de hqr

−

−=

−

π (2.4)

Exerciţiu. Rata dobânzii in SUA este %2=USDr , iar rata dobânzii în Marea Britanie este

%4=UKr . Cursul de schimb GBPUSD este 1,9213=S . Considerăm 05,1=u , 95,0=d . Fie o

opţiune de cumpărare (CALL) de GBP cu preţ de exerciţiu 94,1=E şi scadenţă peste 1 an.

Folosind modelul binomial cu 1 perioadă să se determine prima opţiunii CALL. De asemenea să

se determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici.

Rezolvare.

Activul suport este GBP, %2== USArr , iar %4== UKf rr

Probabilitatea neutră la risc este:

( )

302,095,005,1

95,0104,002,0

=−

−=

⋅⋅−eπ

1,9213

2,0174

1,8252

Arborele pentru cursul valutar

c

0,0774

0

Arborele pentru opţiunea CALL

32

Deci

( )[ ] 0,022901 0,0774102,0 =⋅−+⋅= ⋅− ππec USD

Pentru a determina valoarea primei opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici vom utiliza

relaţia de paritate PUT-CALL pentru opţiuni pe valută. Avem că:

0,07859213,194,10,0229 104,0102,0 =−+= ⋅−⋅− eep USD

2.1.2 Modelul binomial cu două perioade

In acest caz se presupune că perioada până la scadenţă (T ) este împărţită în două

perioade egale având lungimea 2

Th = .

Arborele pentru cursul activului suport este:

Pentru opţiunea CALL vom avea:

h h 2

T0 T

S

Su ⋅

Sd ⋅

Su ⋅2

Sud ⋅

Sd ⋅2

h h 2

T0 T

S

uc

dc

( )ESucuu −⋅= 2,0max

( )ESudcud −⋅= ,0max

( )ESdcdd −⋅= 2,0max

33

Vom aplica iterativ formula obţinută în cazul modelului cu o perioadă (2.2) folosind

probabilitatea neutră la risc 2.1, 2.3 sau 2.4 funcţie de tipul activului suport. Astfel cu o

perioadă înainte de scadenţă avem:

( )[ ]uduu

rh

u ccec ⋅−+⋅= − ππ 1

( )[ ]ddud

rh

d ccec ⋅−+⋅= − ππ 1

La momentul iniţial avem că:

( )[ ]du

rh ccec ⋅−+⋅= − ππ 1

Înlocuind obţinem prima opţiunii CALL funcţie de payoff-urile de la scadenţă:

( ) ( )[ ]dduduu

rT cccec ⋅−+⋅−+⋅= − 22 112 ππππ (2.5)

De asemenea modelul binomial se poate extinde la mai multe perioade, determinarea

primei iniţiale a opţiunii făcându-se, ca şi în cazul cu 2 perioade, prin aplicarea succesivă a

principiului evaluării neutre la risc.

Exerciţiu. Se consideră o acţiune al cărei curs este 100=S . Avem că 05,1=u ,

95,0=d şi %912,5=r . Fie o opţiune call cu preţ de exerciţiu 102=E şi scadenţă peste 1 an.

Folosind modelul binomial cu 2 perioade să se determine prima opţiunii CALL. De asemenea să


Rezolvare.

Arborele cursului activului suport este:

100

105

95

110,25

99,75

90,25

34

Arborele opţiunii call:

Activul suport este o acţiune care nu plăteşte dividende, deci probabilitatea neutră la risc

se va calcula folosind relaţia 2.1:

8,095,005,1

95,05,005918,0

=−

−=

⋅eπ

Avem

[ ] 6,407902,025,88,05,005912,0 =⋅+⋅= ⋅−ecu

[ ] 002,008,05,005912,0 =⋅+⋅= ⋅−ecd

iar:

[ ] 4,97702,06,40798,05,005912,0 =⋅+⋅= ⋅−ec

Pentru a determina valoarea primei opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici vom utiliza

relaţia de paritate PUT-CALL. Avem că:

1,12161001024,977 105912,0 =−+= ⋅−ep


%7658,6=r . Fie o opţiune put cu preţ de exerciţiu 105=E şi scadenţă peste 3 ani. Folosind

modelul binomial cu 3 perioade să se determine prima opţiunii PUT. De asemenea să se

determine prima opţiunii CALL cu aceleaşi caracteristici.

Rezolvare.

c

uc

dc

( ) 25,810225,110;0max =−=uuc

( ) 010275,99;0max =−=udc

( ) 010225,90;0max =−=ddc

35


Arborele pentru opţiunea put:

Probabilitatea neutră la risc este:

85,09,01,1

9,01067658,0

=−

−=

⋅eπ

Avem

[ ] 0,15421,115,0085,01067658,0 =⋅+⋅= ⋅−epuu

[ ] 3,80389,2015,01,185,01067658,0 =⋅+⋅= ⋅−epud

[ ] 21,80381,3715,09,2085,01067658,0 =⋅+⋅= ⋅−epdd

iar:

[ ] 0,65583,803815,00,154285,01067658,0 =⋅+⋅= ⋅−epu

100

110

90

121

99

81

133,1

108,9

89,1

72,9

p

up

dp

uup

udp

ddp

( ) 01,133110;0max =−=uuup

( ) 1,19,108110;0max =−=uudp

( ) 9,201,89110;0max =−=uddp

( ) 1,379,72110;0max =−=dddp

36

[ ] 6,078421,803815,03,803885,01067658,0 =⋅+⋅= ⋅−epd

şi deci

[ ] 1,37316,078415,00,655885,01067658,0 =⋅+⋅= ⋅−ep

Pentru a determina valoarea primei opţiunii CALL cu aceleaşi caracteristici vom utiliza

relaţia de paritate PUT-CALL. Avem că:

11,58011101001,3731 3067658,0 =−+= ⋅−ec


%4=UKr . Cursul de schimb GBPUSD este 1,92=S . Considerăm 05,1=u , 95,0=d . Fie o

opţiune de cumpărare (CALL) de GBP cu preţ de exerciţiu 94,1=E şi scadenţă peste 2 ani.

Folosind modelul binomial cu 2 perioade să se determine prima opţiunii CALL.

Rezolvare.


Arborele opţiunii call:

1,92

2,016

1,824

2,1168

1,9152

1,7328

c

uc

dc

( ) 0,176894,12,1168;0max =−=uuc

( ) 094,11,9152;0max =−=udc

( ) 094,11,7328;0max =−=ddc

37

Activul suport este o valută, deci probabilitatea neutră la risc se va calcula folosind

relaţia 2.3:

( )

302,095,005,1

95,0104,002,0

=−

−=

⋅−eπ

Avem

( )[ ] 0,052301 0,1768102,0 =⋅−+⋅= ⋅− ππecu

( )[ ] 001 0102,0 =⋅−+⋅= ⋅− ππecd

iar:

( )[ ] 0,015501 0523,0102,0 =⋅−+⋅= ⋅− ππec USD

Folosind relaţia de paritate PUT-CALL avem că prima opţiunii PUT cu aceleaşi

caracteristici este:

0,10792,194,10,0155 204,0202,0 =−+= ⋅−⋅− eep

Probleme propuse.

1. Se consideră o acţiune al cărei curs este 80=S . Avem că 05,1=u , 95,0=d şi

%10=r . Fie o opţiune call cu preţ de exerciţiu 80=E şi scadenţă peste 6 luni. Folosind

modelul binomial cu 2 perioade să se determine prima opţiunii CALL. De asemenea să


(R: 5228,0,4245,4 == pc )

2. Se consideră o acţiune al cărei curs este 100=S . Avem că 2,1=u , 8,0=d şi %5=r .

Fie o opţiune call cu preţ de exerciţiu 100=E şi scadenţă peste 3 ani. Folosind modelul

binomial cu 3 perioade să se determine prima opţiunii CALL. De asemenea să se

determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici.

(R: 3617,7,2909,21 == pc )

3. Se consideră o acţiune al cărei curs este 95=S . Avem că 1,1=u , 9,0=d şi %5=r . Fie

o opţiune put cu preţ de exerciţiu 100=E şi scadenţă peste 3 ani. Folosind modelul

binomial cu 3 perioade să se determine prima opţiunii PUT. De asemenea să se

determine prima opţiunii CALL cu aceleaşi caracteristici.

(R: 11,09212,1629, == cp )

38


%5=r . Fie o opţiune call cu preţ de exerciţiu 100=E şi scadenţă peste 5 ani. Folosind

modelul binomial cu 10 perioade să se determine prima opţiunii CALL peste 3,5 ani (7

perioade) dacă cursul activului suport a înregistrat 3 creşteri şi 4 scăderi. De asemenea

să se determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici.

(R: 0,3075,11,7476 == pc )

5. Rata dobânzii in SUA este %2=USDr , iar rata dobânzii în Marea Britanie este %3=UKr .

Cursul de schimb GBPUSD este 1,90=S . Considerăm 05,1=u , 95,0=d . Fie o

opţiune de cumpărare (CALL) de GBP cu preţ de exerciţiu 92,1=E şi scadenţă peste 2

ani. Folosind modelul binomial cu 2 perioade să se determine prima opţiunii CALL. De

asemenea să se determine prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici.

(R: 0,0823;0,0269 == pc )

2.2 Modelul Black-Scholes

2.2.1 Noţiuni introductive

Modelul Black-Scholes presupune următoarele ipoteze:

• tranzacţionarea are loc în mod continuu (model cu timp continuu)

• rentabilitatea activului suport are o distribuţie normală

• activul suport nu generează dividend pe perioada de existenţă a opţiunii

• rata dobânzii este constantă

• volatilitatea anuală a cursului suport (măsurată prin abaterea medie pătratică a

rentabilităţilor anuale) este constantă

Ipoteza de bază a modelului Black-Scholes este că rentabilitatea activului suport este

distribuită normal. Mai exact, rentabilitatea pe perioada ( )ttt ∆+, are o distribuţie normală cu

medie t∆⋅µ şi dispersie t∆⋅σ , unde µ reprezintă rentabilitatea medie anuală, iar σ este

volatilitatea anuală a activului suport:

39

( )ttnormalS

SS

t

ttt ∆⋅∆⋅−∆+ σµ ,~

Folosind proprietăţile mediei şi dispersiei putem scrie că:

εσµ ⋅∆⋅+∆⋅=−∆+ ttS

SS

t

ttt (2.6)

unde ε are o distribuţie normală standard (i.e. ( )1,0~ normalε ).

Figura 2.1 prezintă densitatea de repartiţie a distribuţiei normale standard. Se observă că

aceasta este simetrică (în jurul lui zero). Funcţia de repartiţie a distribuţiei normale standard,

( )dN , reprezintă probabilitatea ca ε să ia valori mai mici decât d şi este aria de sub graficul

densităţii de repartiţie de la ∞− la d . Valorile acestei funcţii nu pot fi calculate analitic, ci

numai folosind metode numerice (vezi Anexa I pentru valorile lui ( )dN ).

O altă ipoteză a modelului este tranzacţionarea continuă. De aceea este nevoie de o

ecuaţie de evoluţie pe un interval mic de timp (dt ) a cursului activului suport. Dacă notăm cu

tdS modificarea cursului în intervalul ( )dttt +, putem rescrie 2.6 astfel:

t

t

t dzdtS

dS σµ +=

unde ( )dtnormaldzt ,0~ .

d 0

Figura 2.1. Repartiţia normală standard

( )dN

40

Rezultă că ecuaţia de dinamică în cazul modelului Black-Scholes este:

tttt dzSdtSdS σµ += (2.7)

Plecând de la dinamica cursului activului suport (2.7), ne interesează cum evoluează in

timp o funcţie care depinde de cursul activului suport. Acest lucru este dat de lema lui Ito care

spune că dacă avem o funcţie ( )tStf , dinamica acestei este:

( ) ttttt dzS

fSdt

S

fS

S

fS

t

fStdf

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= σσµ

2

222

2

1, (2.8)

Dacă aplicăm lema lui Ito pentru funcţia ( ) SStf ln, = obţinem că (SS

f

t

f 1;0 =∂

∂=

∂

∂;

22

2 1

SS

f−=

∂

∂ ):

tt dzdtSd σσµ +

−= 2

2

1ln

Din relaţia de mai sus rezultă că:

−+ TTSnormalST σσµ ,2

1ln~ln 2

0 (2.9)

sau altfel spus cursul la momentul T al activului suport, in cazul modelului Black-

Scholes, este distribuit lognormal (i.e. TSln este distribuit normal ca in 2.9)

2.2.2 Ecuaţia de evaluare a unui derivativ

In continuare vom determina o ecuaţie cu derivate parţiale care trebuie verificată de

preţul oricărui derivativ pe un activ suport.

Considerăm un derivativ cu payoff la scadenţă (T ) care depinde de cursul activului

suport la scadenţă (i.e. payoff = ( )TSF ). Vom nota cu tD valoarea acestui derivativ la

momentul t . Evident că valoarea acestui derivativ depinde de timp şi de cursul activului suport.

Deci putem scrie ( )tt StDD ,= .

Considerăm un portofoliu Π format dintr-o poziţie SHORT pe derivativ şi un număr

SN de unităţi de activ suport:

tStt SND +−=Π

41

Vrem să aflăm structura astfel încât portofoliu să fie fără risc. Folosind lema lui Ito

obţinem că variaţia valorii portofoliului este:

tStt dSNdDd +−=Π

( )tSt dzSdtSNdzS

DSdt

S

DS

S

DS

t

Dσµσσµ ++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

2

222

2

1

tSS dzS

DNSdtNS

S

DS

S

DS

t

D

∂

∂−+

+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−= σµσµ

2

222

2

1

Pentru ca Π să fie portofoliu fără risc trebuie ca

S

DNS

∂

∂=

Deoarece nu există posibilităţi de arbitraj trebuie ca portofoliul fără risc Π să aibă

rentabilitatea egală cu rata dobânzii fără risc (i.e. dtrd Π=Π ). Avem că:

dtSS

DDrdt

S

DS

t

D

∂

∂+−=

∂

∂+

∂

∂−

2

222

2

1σ

Din relaţia de mai sus rezultă ecuaţia de evaluare a unui derivativ în cazul modelului

Black-Scholes:

( ) ( )

==

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

SFpayoffSTD

rDS

DS

S

DrS

t

D

,

2

12

222σ

(2.10)

Exerciţiu. Se consideră un derivativ cu payoff la momentul T egal cu ( ) 2TT SSF = . Să

se arate că preţul acestui derivativ la momentul t este ( )( )tTreS −+22 σ .

Rezolvare

Notăm cu ( ) ( )( )tTreSStD −+=22, σ . Se observă că ( )StD , verifică 2.10 şi deci reprezintă

preţul derivativului cu payoff ( ) 2TT SSF = la momentul t.

2.2.3 Formula Black-Scholes

Pentru a determina prima unei opţiuni CALL cu preţ de exerciţiu E şi scadenţă T

trebuie rezolvată ecuaţia 2.10 cu condiţia limită ( ) ( )0,max, ESSTD −= . Soluţia poartă numele

de formula Black-Scholes de evaluare a unei opţiuni CALL.

42

Pentru început considerăm că activul suport este o acţiune care nu plăteşte dividend.

Fie ( )Ttc , prima la momentul t a unei opţiuni CALL de tip european cu scadenţă T. Preţul de

exerciţiu este E , iar cursul activului suport la momentul t este S .

Se poate arăta că:

( ) ( ) ( ) ( )21, dNEedNSTtc tTr −−−⋅= (2.11)

unde

( )

tT

tTrE

S

d−

−

++

=σ

σ

2ln

2

1

tTdd −−= σ12

iar cu ( )dN s-a notat funcţia de repartiţie a distribuţiei normale standard. Valoarea

acestei funcţii este tabelată (vezi Anexa I).

Prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici poate fi obţinută din relaţia de paritate sau

folosind următoarea formulă:

( ) ( ) ( ) ( )12, dNSdNEeTtp tTr −⋅−−= −− (2.12)

Exerciţiu. Rata dobânzii este %10=r . Se consideră o acţiune al cărei curs este 100=S

şi cu volatilitate anuală %25=σ . Să se determine prima unei opţiuni CALL cu preţ de

exerciţiu 95=E şi scadenţă peste 9 luni ( 75,0=− tT ). De asemenea să se determine prima

opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici.

Rezolvare:

Vom aplica modelul Black-Scholes.

0,691675,025,0

75,02

25,01,0

95

100ln

2

1 =

++

=d

0,475175,025,00,69162 =−=d

43

Din tabelul pentru distribuţia normală se obţine că ( ) 0,75540,6916 =N , iar

( ) 0,68260,4751 =N

Deci:

( ) 15,37570,6826950,7554100, 75,01,0 =−⋅= ⋅−eTtc

Pentru a determina prima opţiunii PUT se aplică relaţia de paritate:

( ) 3,51131009515,3757, 75,01,0 =−+= ⋅−eTtp

In continuare considerăm că activul suport este o valută. Vom nota cu S cursul valutar

la momentul t exprimat astfel:

interna valutade unitati suport) (activul straina valutaunitate 1 S=

Cazul opţiunilor pe valute nu se încadrează în modelul Black-Scholes clasic deoarece

este încălcată una din ipotezele sale (deţinerea unei unităţi din valuta străină generează venituri

pe parcurs datorită dobânzii la valuta străină). Fie fr rata instantanee a dobânzii în ţara de

provenienţă a valutei străine.

Se poate arăta că în acest caz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21, dNEedNSeTtc tTrtTrf −−−−−= (2.13)

unde

( )

tT

tTrrE

S

d

f

−

−

+−+

=σ

σ

2ln

2

1

tTdd −−= σ12

De asemenea se poate arăta că în cazul în care activul suport are o rată instantanee a

dividendului egală cu q prima unei opţiuni CALL este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21, dNEedNSeTtc tTrtTq −−−− −= (2.14)

unde

( )

tT

tTqrE

S

d−

−

+−+

=σ

σ

2ln

2

1

tTdd −−= σ12

44


%4=UKr . Cursul de schimb GBPUSD este 1,9213. Volatilitatea cursului de schimb este

%20=σ . Se consideră o opţiune de cumpărare (CALL) de GBP la preţul de exerciţiu 95,1 şi

scadenţă peste 6 luni. Să se determine prima acestei opţiuni precum şi prima opţiunii PUT cu

aceleaşi caracteristici.

Rezolvare.

Activul suport al opţiunii este GBP. Avem că 9213,1=S (1 GBP = 1,1213 USD),

95,1=E , %2== USDrr şi %4== UKf rr .

-0,10485,02,0

5,02

2,004,002,0

95,1

9213,1ln

2

1 =

+−+

=d

-0,24635,02,0-0,10482 =−=d

Din tabelul pentru distribuţia normală se obţine că ( ) 0,45820,1048- =N , iar

( ) 0,40270,2463- =N

Deci:

( ) 0,08550,402795,10,45829213,1, 5,002,05,004,0 =−⋅= ⋅−⋅− eeTtc USD

Folosind relaţia de paritate pentru opţiuni pe valute, avem că prima PUT este:

( ) 0,13289213,195,10,0855, 5,004,05,002,0 =−+= ⋅−⋅− eeTtp USD


%4=UKr . Cursul de schimb GBPUSD este 1,9213. Volatilitatea cursului de schimb este

%20=σ . Se consideră o opţiune de cumpărare (CALL) de USD la preţul de exerciţiu 95,1 şi

scadenţă peste 6 luni. Să se determine prima acestei opţiuni precum şi prima opţiunii PUT cu

aceleaşi caracteristici.

Rezolvare.

Activul suport al opţiunii este USD. Avem că 5205,09213,1

1==S (1 USD = 0,5205

GBP), 5128,0=E , %4== UKrr şi %2== USDf rr .

45

0,24685,02,0

5,02

2,002,004,0

5128,0

5205,0ln

2

1 =

+−+

=d

0,10545,02,00,24682 =−=d

Din tabelul pentru distribuţia normală se obţine că ( ) 0,59750,2468 =N , iar

( ) 0,5420,1054 =N

Deci:

( ) 0,03550,5425128,00,59755205,0, 5,004,05,002,0 =−⋅= ⋅−⋅− eeTtc GBP

Folosind relaţia de paritate pentru opţiuni pe valute, avem că prima PUT este:

( ) 0,02285205,05128,00,0355, 5,002,05,004,0 =−+= ⋅−⋅− eeTtp GBP

Probleme propuse.

1. Rata dobânzii este %8=r . Se consideră o acţiune al cărei curs este 97=S şi cu

volatilitate anuală %20=σ . Să se determine prima unei opţiuni CALL cu preţ de

exerciţiu 95=E şi scadenţă peste 6 luni. De asemenea să se determine prima

opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici.

(R: 2,9268,8,6518 == pc )

2. Rata dobânzii este %7=r . Se consideră o acţiune al cărei curs este 100=S şi cu

volatilitate anuală %20=σ . Se consideră un SRADDLE cu preţ de exerciţiu

95=E şi scadenţă peste 6 luni (SRADDLE = LONG CALL + LONG PUT). Să se

determine preţul acestui portofoliu.

(R: 12,7555)

3. Rata dobânzii in SUA este %2=USDr , iar rata dobânzii în Marea Britanie este

%3=UKr . Cursul de schimb GBPUSD este 1,92. Volatilitatea cursului de schimb

este %15=σ . Se consideră o opţiune de cumpărare (CALL) de GBP la preţul de

exerciţiu 94,1 şi scadenţă peste 6 luni. Să se determine prima acestei opţiuni precum

şi prima opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici.

(R: 0,0960,0,0668 == pc )

4. Se consideră un derivativ cu payoff la momentul T egal cu ( ) 3TT SSF = . Să se arate

că preţul acestui derivativ la momentul t este ( )( )tTreS −+233 2σ .

46

3 Indicatori de senzitivitate şi utilizarea acestora în hedging

3.1 Indicatori de senzitivitate

Indicatorii de senzitivitate arată cu cât se modifică valoarea unui derivativ in special al

unei opţiuni sau portofoliu de opţiuni dacă se modifică unul din factorii de influenţă. Cei mai

cunoscuţi indicatorii sunt DELTA (∆ ), GAMMA (Γ ) şi VEGA (υ ).

3.1.1 Indicatorii DELTA şi GAMMA

Indicatorul DELTA arată modificarea valorii unei opţiuni dacă cursul activului suport

se modifică cu 1 unitate.

Folosind modelul Black-Scholes avem că indicatorul DELTA al unei opţiuni CALL pe

un activ care nu plăteşte dividend este:

( ) 01 >=∂

∂= dNS

CDELTAC (3.1)

iar pentru o opţiune CALL pe valută este:

( ) ( ) 01 >=∂

∂=

−−dNe

S

CDELTA

tTr

Cf (3.2)

Pentru a determina indicatorul DELTA al unei opţiuni PUT derivăm relaţia de paritate

PUT-CALL în funcţie de S . Astfel pentru o opţiune pe un activ fără dividend:

01<−= CP DELTADELTA (3.3)

iar pentru o opţiune pe valută:

( ) 0<−=−− tTr

CPfeDELTADELTA (3.4)

Folosind aproximarea Taylor cu un termen obţinem că modificarea valorii unei opţiuni

CALL ( 01 CC − ) se poate exprima în funcţie de indicatorul DELTA astfel:

( )0101 SSDELTACC C −⋅≈− (3.5)

După cum se observă indicatorul DELTA al unei opţiuni CALL depinde de

probabilitatea ( ( )1dN ) ca opţiune respectivă să fie in-the-money la scadenţă (i.e. EST > )

47

Graficul 3.1 prezintă evoluţia indicatorului DELTA al unei opţiuni CALL pe un activ

fără dividend cu preţ de exerciţiu 100=E în funcţie de cursul activului suport ( S ) şi diferite

durate până la scadenţă.

Se observă că indicatorul DELTA creşte dacă cursul activului creşte. Intr-adevăr fiind

vorba de o opţiune CALL cu cât cursul este mai mare decât preţul de exerciţiu cu atât creşte

probabilitatea ca această opţiune să fie in-the-money la scadenţă şi ca urmare şi indicatorul

DELTA este mai mare.

Dacă cursul activului suport este mai mic decât preţul de exerciţiu probabilitatea ca

opţiunea să fie in-the-money la scadenţă (deci ca preţul activului suport să crească peste E ) este

mai mare cu 6 luni înainte de scadenţă decât cu 1 lună înainte de scadenţă. Ca urmare pentru

acelaşi curs (mai mic decât E ) indicatorul DELTA calculat cu 6 luni înainte de scadenţă este

mai mare decât cel calculat cu 1 lună înainte de scadenţă.

Dacă cursul activului suport este mai mare decât preţul de exerciţiu probabilitatea ca

opţiunea să fie in-the-money la scadenţă (deci ca preţul activului suport să nu scadă peste E )

este mai mică cu 6 luni înainte de scadenţă decât cu 1 lună înainte de scadenţă. Ca urmare

pentru acelaşi curs (mai mare decât E ) indicatorul DELTA calculat cu 6 luni înainte de

scadenţă este mai mic decât cel calculat cu 1 lună înainte de scadenţă.

Delta

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

6 luni 3 luni 1 luna 1 saptamina

Graficul 3.1 Evoluţia indicatorului DELTA pentru o opţiune CALL funcţie de cursul activului suport şi diferite durate până la scadenţă

48

Indicatorul GAMMA arată cu cât se modifică indicatorul DELTA dacă cursul activului

suport se modifică cu 1 unitate.

Indicatorul GAMMA al unei opţiuni CALL pe un activ care nu plăteşte dividend este:

−

−=

∂

∂=

∂

∂=

2exp

2

11 21

2

2 d

tTSS

C

S

DELTAGAMMA C

Cπσ

(3.6)


( )

−

−=

∂

∂=

∂

∂=

−−

2exp

2

11 21

2

2 d

tTSe

S

C

S

DELTAGAMMA

tTrCC

f

πσ (3.7)


PUT-CALL de două ori în funcţie de S . Astfel atât pentru o opţiune pe un activ fără dividend

cât şi pentru opţiunile pe valută avem că:

CP GAMMAGAMMA = (3.8)

Aproximarea 3.5 poate fi folosită în general pentru modificări mici ale activului suport.

Pentru modificări mai mari trebuie să folosim aproximarea Taylor cu doi termeni. Astfel

modificarea valorii unei opţiuni CALL se poate exprima în funcţie de indicatorul DELTA şi

GAMMA astfel:

( ) ( )2010101 2

1SSGAMMASSDELTACC CC −⋅+−⋅≈− (3.9)

Graficul 3.2 prezintă evoluţia indicatorului DELTA al unei opţiuni CALL pe un activ

fără dividend cu preţ de exerciţiu 100=E în funcţie de cursul activului suport ( S ) şi diferite

durate până la scadenţă.

După cum se observă indicatorul DELTA este foarte senzitiv (GAMMA mare) dacă

cursul activului suport este în jurul preţului de exerciţiu, senzitivitatea acestui fiind mai redusă

(GAMMA mic) dacă preţul activului suport este mai departe (în ambele direcţii) faţă de preţul

de exerciţiu.

De asemenea pe măsură ce ne apropiem de scadenţă creşte senzitivitatea indicatorului

DELTA faţă de cursul activului suport, dacă acesta este în jurul preţului de exerciţiu.

49

Acest lucru se explică prin faptul că dacă cursul activului suport este în jurul preţului de

exerciţiu probabilitatea ca opţiunea să fie in-the-money la scadenţă variază foarte mult la

modificări ale cursului. Aceste modificări sunt din ce în ce mai mari când opţiunea se apropie

de scadenţă.

3.1.2 Indicatorul VEGA

Indicatorul VEGA arată modificarea valorii unei opţiuni dacă volatilitatea activului

suport se modifică cu 1 punct procentual.

Indicatorul GAMMA al unei opţiuni CALL pe un activ care nu plăteşte dividend este:

−−=

∂

∂=

2exp

2

1 21dtTS

CVEGAC

πσ (3.10)


( )

−−=

∂

∂=

−−

2exp

2

1 21dtTSe

CVEGA

tTr

Cf

πσ (3.11)

Graficul 3.2 Evoluţia indicatorului GAMMA pentru o opţiune CALL funcţie de cursul activului suport şi diferite durate până la scadenţă

Gamma

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150


50


PUT-CALL în funcţie de σ . Astfel atât pentru o opţiune pe un activ fără dividend cât şi pentru

opţiunile pe valută avem că:

CP VEGAVEGA = (3.12)

Folosind aproximarea Taylor obţinem că modificarea valorii unei opţiuni CALL se

poate exprima în funcţie de indicatorul VEGA astfel:

( )0101 σσ −⋅≈− CVEGACC (3.13)

Graficul 3.3prezintă evoluţia indicatorului VEGA unei opţiuni CALL pe un activ fără

dividend cu preţ de exerciţiu 100=E în funcţie de cursul activului suport ( S ) şi diferite durate

până la scadenţă.

Creşterea volatilităţii şi deci creşterea posibilităţii de variaţie a cursului activului suport

are un impact mare asupra valorii opţiunii dacă ne situăm la o distanţă mai mare de scadenţă şi

pentru curs in jurul preţului de exerciţiu.

Vega

0

5

10

15

20

25

30

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150


Graficul 3.3 Evoluţia indicatorului VEGA pentru o opţiune CALL funcţie de cursul activului suport şi diferite durate până la scadenţă

51

3.1.3 Indicatorii de senzitivitate pentru un portofoliu.

Fie un portofoliu (Π ) de derivative care au acelaşi activ suport format din N poziţii .

Fie in mărimea poziţiei i ( 0>in dacă este o poziţie LONG, respectiv 0<in dacă este o

poziţie SHORT) şi iii VEGAGAMMADELTA ,, indicatorii componentei i .

Indicatorii portofoliului se calculează astfel:

∑

∑

∑

=

=

=

⋅=

⋅=

⋅=

N

i

ii

N

i

ii

N

i

ii

VEGAnVEGA

GAMMAnGAMMA

DELTAnDELTA

1

1

1

Π

Π

Π

(3.14)

Modificarea valorii portofoliului la modificarea cursului activului suport poate fi

aproximată astfel

( ) ( )2010101 2

1SSGAMMASSDELTA −⋅+−⋅≈− ΠΠΠΠ (3.15)

iar modificarea faţă de volatilitate:

( )0101 σσΠΠ Π −⋅≈− VEGA (3.16)

Modificarea valorii portofoliului la modificarea ambilor factori de influenţă este dată de:

( ) ( ) ( )012

010101 2

1σσΠΠ ΠΠΠ −⋅+−⋅+−⋅≈− VEGASSGAMMASSDELTA (3.17)

3.2 Hedging static

Spunem că un portofoliu (Π ) este DELTA-neutru dacă 0=ΠDELTA . In aceste condiţii

valoarea portofoliului rămâne nemodificată dacă au loc variaţii mici ale cursului activului

suport.

Din relaţia 3.15 rezultă că pentru variaţii mai mari ale cursului activului suport variaţia

valorii unui portofoliului DELTA-neutru este:

( )20101 2

1SSGAMMA −⋅≈− ΠΠΠ

52

Dacă acest portofoliu are indicatorul GAMMA negativ rezultă că valoarea sa se va

reduce indiferent de sensul modificării cursului activului suport.

Astfel deşi portofoliul este DELTA-neutru (nemodificăndu-se pentru variaţii mici ale lui

S ) valoarea acestuia scade dacă au loc modificări mai mari ale cursului activului suport. Pentru

a proteja portofoliul faţă de modificările mai mari ale cursului activului suport se apelează la

DELTA-GAMMA hedging. Spunem că un portofoliu (Π ) este DELTA-GAMMA-neutru dacă

0=ΠDELTA şi 0=ΠGAMMA .

Pentru a proteja portofoliul şi faţă de modificarea volatilităţii cursului activului suport se

foloseşte DELTA-GAMMA-VEGA hedging. Un portofoliu (Π ) este DELTA-GAMMA-

VEGA neutru dacă 0=ΠDELTA , 0=ΠGAMMA şi 0=ΠVEGA .

Exerciţiu. Fie un portofoliu de opţiuni pe acelaşi activ suport cu următoarea

componenţă:

POZITIE DELTA GAMMA VEGA

SHORT 1000 optiuni CALL 0,4 2 3

SHORT 2000 optiuni PUT -0,5 1,5 2,5

Se mai consideră o opţiune A care are DELTA = 0,6; GAMMA = 0,5 şi VEGA = 2 şi o

opţiune B cu DELTA = 0,5; GAMMA = 0,8 şi VEGA = 1,2.

a) Folosind activul suport să se construiască un portofoliu DELTA-neutru

b) Folosind activul suport şi opţiunea A să se construiască un portofoliu DELTA-

GAMMA – neutru

c) Folosind activul suport şi opţiunea A să se construiască un portofoliu DELTA-

VEGA – neutru

d) Folosind activul suport, opţiunea A şi opţiunea B să se construiască un portofoliu

DELTA-GAMMA-VEGA – neutru

Rezolvare

a) Indicatorul DELTA al portofoliului iniţial este:

600)5,0()2000(4,0)1000( =−⋅−+⋅−=ΠDELTA

Construim un nou portofoliu (Π ′ ) format din vechiul portofoliu şi o poziţie ( 3n ) pe

activul suport.

53

Avem că:

13 ⋅+=′ nDELTADELTA ΠΠ

Dorim ca noul portofoliu să fie DELTA-neutru. Deci 0=′ΠDELTA . Rezultă că:

6006000 33 −=⇒+= nn

Deci trebuie să introducem o poziţie SHORT pe 600 unităţi de activ suport.

b) Indicatorul GAMMA al portofoliului iniţial este:

50005,1)2000(2)1000( −=⋅−+⋅−=ΠGAMMA

Construim un nou portofoliu (Π ′ ) format din vechiul portofoliu şi o poziţie ( 3n ) pe

activul suport şi o poziţie ( 4n ) pe opţiunea A.

Avem că:

6,01 43 ⋅+⋅+=′ nnDELTADELTA ΠΠ

5,00 43 ⋅+⋅+=′ nnGAMMAGAMMA ΠΠ

Dorim ca noul portofoliu să fie DELTA-GAMMA-neutru. Deci 0=′ΠDELTA şi

0=′ΠGAMMA . Rezultă că:

−=

=⇒

⋅+−=

⋅++=

6600

10000

5,050000

6,06000

3

4

4

43

n

n

n

nn

Trebuie deci să introducem o poziţie SHORT pe 6600 unităţi de activ suport şi o poziţie

LONG pe 10000 opţiuni de tip A.

c) Indicatorul VEGA al portofoliului iniţial este:

80005,2)2000(3)1000( −=⋅−+⋅−=ΠVEGA

Noul portofoliu (Π ′ ) format din vechiul portofoliu şi o poziţie ( 3n ) pe activul suport şi

o poziţie ( 4n ) pe opţiunea A are:

6,01 43 ⋅+⋅+=′ nnDELTADELTA ΠΠ

20 43 ⋅+⋅+=′ nnVEGAVEGA ΠΠ

Dorim ca noul portofoliu să fie DELTA-VEGA-neutru. Deci 0=′ΠDELTA şi

0=′ΠVEGA . Avem că:

−=

=⇒

⋅+−=

⋅++=

3000

4000

280000

6,06000

3

4

4

43

n

n

n

nn

54

d) Noul portofoliu (Π ′ ) este format din vechiul portofoliu , o poziţie ( 3n ) pe activul

suport , o poziţie ( 4n ) pe opţiunea A şi o poziţie ( 5n ) pe opţiunea B.

5,06,01 543 ⋅+⋅+⋅+=′ nnnDELTADELTA ΠΠ

8,05,00 543 ⋅+⋅+⋅+=′ nnnGAMMAGAMMA ΠΠ

2,120 543 ⋅+⋅+⋅+=′ nnnVEGAVEGA ΠΠ

Dorim ca noul portofoliu să fie DELTA-GAMMA-VEGA-neutru. Deci 0=′ΠDELTA ,

0=′ΠGAMMA şi 0=′ΠVEGA . Avem că:

−=

=

=

⇒

⋅+⋅+−=

⋅+⋅+−=

⋅+⋅++=

3840

400

6000

2,1280000

8,05,050000

5,06,06000

3

4

5

54

54

543

n

n

n

nn

nn

nnn

3.3 Hedging dinamic

Presupunem că un investitor a vândut 10000 opţiuni CALL cu preţ de exerciţiu 75=E

şi scadenţă peste 6 luni. Activul suport este o acţiune care nu plăteşte dividende cu 75=S şi

%20=σ . Prima opţiunii, calculată cu formula Black-Scholes, este 6,2084=c . Deci

investitorul primeşte 62084 um. Indicatorul DELTA al acestei opţiuni este 0,6643=∆c .

Indicatorul DELTA al întregii poziţii este 6643− . Pentru a neutraliza acest portofoliu trebuie să

cumpere 6643 unităţi de activ suport. Costul acestei operaţiuni este 4982256643*75 = um. In

aceste condiţii portofoliul este delta-neutru, însă cu trecerea timpului şi cu modificarea cursului

acest lucru s-ar putea să nu mai fie adevărat. Ca urmare investitorul decide să analizeze situaţia

portofoliului din două în două luni.

Cu 4 luni înainte de scadenţă cursul devine 85=S . Indicatorul DELTA al opţiunii va fi

0,9237, iar al întregului portofoliu este 25941*66439237,0*10000 −=+− . Deci pentru a

neutraliza portofoliul trebuie să cumpere 2594 unităţi de activ suport. Costul acestei operaţiuni

este 2204902594*85 = um. In total în portofoliu avem în acest moment 9237 unităţi de activ

suport.

Cu 2 luni înainte de scadenţă cursul este 95=S . Indicatorul DELTA al opţiunii devine

0,9992, iar al întregului portofoliu este 5571*92379992,0*10000 −=+− . Deci pentru a

neutraliza portofoliul trebuie să cumpere 755 unităţi de activ suport. Costul acestei operaţiuni

55

este 71725755*95 = um. In total în portofoliu avem în acest moment 9992 unităţi de activ

suport.

La scadenţă cursul este 95=S . Indicatorul DELTA al opţiunii este 1 deoarece este sigur

că opţiunea CALL va fi exercitată, iar indicatorul DELTA al întregului portofoliu este

81*99921*10000 −=+− . Deci pentru a neutraliza portofoliul trebuie să mai cumpere 8 unităţi

de activ suport. Costul acestei operaţiuni este 7608*95 = um. In total în portofoliu avem la

scadenţă 10000 unităţi de activ suport.

La scadenţă cumpărătorul opţiunii va exercita opţiunea. Deci acesta va cumpăra de la

vânzătorul opţiunii 10000 de unităţi de activul suport la preţul de exerciţiu 75. Datorită hedging-

ului dinamic vânzătorul opţiunii deţine deja în portofoliu 10000 de unităţi de activ suport

cumpărate pe parcurs cu 791200 um. Rezultatul celui care a vândut opţiunea va fi:

20884sup.) act. p.791200(cum-75) la sup. act. 750000(vz.a)62084(prim =++

Dacă nu ar fi făcut hedging, la scadenţă nu ar fi avut în portofoliu nici o unitate de activ

suport şi ar fi trebuit să cumpere 10000 unităţi de activ suport la cursul de la scadenţă cu un cost

de 95000010000*95 = um. In aceste condiţii rezultatul vănzătorului opţiunii ar fi fost:

-137916sup.) act. p.950000(cum-75) la sup. act. 750000(vz.a)62084(prim =++

T-t S Delta c Nr

actiuni Cost op

Total actiuni

6 75 0.6643 6643 498225 6643

4 85 0.9237 2594 220490 9237

2 95 0.9992 755 71725 9992

0 95 1 8 760 10000

56

4. Evaluarea opţiunilor de tip american

4.1 Noţiuni introductive

Opţiunile de tip american pot fi exercitate în orice moment înainte de scadenţă. Vom

nota cu PC, prima unei opţiuni CALL, respectiv PUT iar cu pc, primele opţiunilor de tip

european cu aceleaşi caracteristici. Este evident că datorită faptului că opţiunile americane

conferă mai multe drepturi decât cele europene avem că:

pP

cC

≥

≥ (4.1)

O opţiune americană va fi exercitată înainte de scadenţă la momentul t dacă payoff-ul

generat prin exercitatrea opţiunii este mai mare decât valoarea acesteia dacă ar fi menţinută în

continuare. O opţiune CALL americană ar putea fi exercitată la momentul t dacă cursul

activului suport ( tS ) este mai mare decât preţul de exerciţiu (E ) payoff-ul în acest caz fiind

egal cu ESt − . Opţiunea PUT americană are sens să fie exercitată la momentul t dacă cursul

activului suport ( tS ) este mai mic decât preţul de exerciţiu (E ) payoff-ul fiind egal cu tSE − .

O proprietate interesantă este faptul că o opţiune CALL americană care are ca activ

suport o acţiune care nu plăteşte dividende nu este optim să fie exercitată înainte de scadenţă şi

deci va avea aceeaşi primă cu opţiunea europeană ( cC = ). Intra-adevăr folosind relaţia de

paritate PUT-CALL şi relaţia 4.1 avem că:

( ) ( ) ESEeSEeSpcC t

tTr

t

tTr

t −>−>−+=≥ −−−−

Din relaţia de mai sus se observă că prima opţiunii CALL americane este în fiecare

moment înainte de scadenţă strict mai mare decât ESt − care este payoff-ul acă ar fi exercitată

înainte de scadenţă. Rezultă deci că nu este optim ca această opţiune să fie exercitată înainte de

scadenţă şi deci este echivalentă cu o opţiune CALL europeană. Deci cC = . Acestă proprietate

nu este adevărată şi pentru opţiunile PUT americane şi nici pentru opţiunile CALL americane

dacă activul suport este o valută sau o acţiune care plăteşte dividende.

O altă proprietate importantă este că teorema de paritate se aplică doar pentru opţiunile

de tip european nu şi pentru cele de tip american.

57

4.2 Evaluarea opţiunilor americane folosind modelul binomial

Fie o acţiune care nu plăteşte dividende al cărei curs este 60=S . Presupunem că

2,1=d , 8,0=u şi %5=r . Se consideră o opţiune PUT de tip european şi una de tip american

având preţul de exerciţiu 65=E şi scadenţă peste 2 ani.

Ne propunem să folosim modelul binomial cu 2 perioade pentru a determina primele

celor două opţiuni.

Vom nota cu p prima opţiunii europene şi cu P prima opţiunii americane.

Arborele cursului este:

Probabilitatea neutră la risc în acest caz este:

6282,08,02,1

8,0105,0

=−

−=

⋅eπ

Arborele opţiunii put de tip european:

60

72

48

86,4

57,6

38,4

p

up

dp

( ) 04,8665;0max =−=uup

( ) 4,76,5765;0max =−=udp

( ) 6,264,3865;0max =−=ddp

58

Aplicăm succesiv principiul evaluării neutre la risc:

( )[ ] 2,61737,410105,0 =⋅−+⋅= ⋅− ππepu

( )[ ] 13,829926,614,7105,0 =⋅−+⋅= ⋅− ππepd

iar:

( )[ ] 6,455413,829912,6173105,0 =⋅−+⋅= ⋅− ππep

Arborele opţiunii put de tip american:

La orice moment posesorul opţiunii americane are două variante: să păstreze opţiunea în

continuare sau să o exercite.

Astfel dacă cursul după o perioadă ar creşte investitorul nu are de ce să exercite

opţiunea, deoarece cursul ar fi 72 iar preţul de exerciţiu este 65. Deci el va decide să păstreze

opţiunea încă o perioadă valoarea acesteia fiind 2,6173=uP (determinată folosind principiul

evaluării neutre la risc).

Dacă cursul după o perioadă ar scădea investitorul poate să păstreze opţiunea încă o

perioadă valoarea acesteia fiind în acest caz 13,8299 sau o poate exercita obţinând astfel un

payoff egal cu 65-48 = 17. Este clar că va alege să exercite opţiunea şi deci 17=dP .

Aplicând din nou principiul evaluării neutre la risc avem:

( )[ ] 7,57661712,6173105,0 =⋅−+⋅= ⋅− ππeP

Aşa cum era de aşteptat se obţine că Pp ≤ .

Prima opţiunii call de tip european (c ) cu aceleaşi caracteristici se poate determina

folosind teorema de paritate:

7,64165066,4554 205,0 =−+= ⋅−ec

P

uP

dP

( ) 04,8665;0max =−=uuP

( ) 4,76,5765;0max =−=udP

( ) 6,264,3865;0max =−=ddP

59

In continuare vom afla prima opţiunii CALL de tip american (C ). Deoarece activul

suport este o acţiune care nu plăteşte dividende am văzut în secţiunea 4.1 că opţiunea CALL

americană nu este optim să fie exercitată înainte de scadenţă şi deci cC = . Să ne convingem de

acest lucru pe acest exemplu.

Arborele opţiunii call de tip american:

Este evident că 0=dC . Dacă cursul după o perioadă ar creşte investitorul poate să

păstreze opţiunea încă o perioadă valoarea acesteia fiind în acest caz 12,7874 (principiul

evaluării neutre la risc) sau o poate exercita obţinând astfel un payoff egal cu 72-65 = 7. Este

clar că va alege să păstreze opţiunea încă o perioadă şi deci 12,7874=uC .

Rezultă că :

( )[ ] ceC ==⋅−+⋅= ⋅− 7,6410112,7874105,0 ππ

Probleme propuse.


%5=r . Fie o opţiune cu preţ de exerciţiu 75=E şi scadenţă peste 3 ani. Folosind

modelul binomial cu 3 perioade să se determine prima opţiunii PUT de tip european

şi de tip american. De asemenea să se determine prima opţiunii CALL de tip

european şi de tip american .

(R: 11,9426,8,36866,4957, ==== CcPp )

C

uC

dC

( ) 4,21654,86;0max =−=uuC

( ) 0656,57;0max =−=udC

( ) 0654,38;0max =−=ddC

60

5. Evaluarea opţiunilor pe rata dobânzii

5.1 Noţiuni introductive

In capitolele anterioare în care am analizat opţiunile pe acţiuni şi pe valute am presupus

că rata dobânzii este constantă deoarece ne interesa în special evoluţia cursului activului suport.

Insă în acest capitol dedicat derivativelor pe rata dobânzii, deoarece însăşi rata dobânzii este

activul suport nu mai putem face această presupunere.

Pentru evaluarea derivativelor pe rata dobânzii au fost introduse în literatura de

specialitate diverse modele:

• modele pentru rata instantanee a dobânzii : Vasicek, CIR, Hull-White, Ho-Lee

• modele pentru rata forward instantanee : HJM

• modele pentru LIBOR : BGM

Înţelegerea acestor modele necesită cunoştinţe avansate de calcul stocastic care depăşesc

nivelul acestui curs. Ca urmare ne vom concentra asupra aşa–numitelor modele de piaţă

(modele folosite de practicieni) pentru evaluarea derivativelor pe rata dobânzii. Aceste modele

sacrifică acurateţea teoretică pentru a obţine, aşa cum vom vedea, formule de evaluare a

derivativelor asemănătoare cu formula Black-Scholes pentru evaluarea opţiunilor pe acţiuni.

La baza tuturor modelelor de evaluare a derivativelor pe rata dobânzii stat două concepte

majore: obligaţiunea zero cupon fără risc cu scadenţă T şi valoare nominală 1 şi structura la

termen a ratei dobânzii.

Obligaţiunea zero cupon fără risc am mai întâlnit-o şi în capitolele anterioare însă în

contextul unei rate a dobânzii constantă. Dacă rata dobânzii este stocastică (i.e. nu este

constantă şi nici deterministă) obligaţiunea zero cupon fără risc cu scadenţă T este un derivativ

pe rata dobânzii, valoarea ei la momentul t ( ( )TtB , ) depinzând de rata dobânzii. Obligaţiunea

zero cupon fără risc este un activ financiar fără risc de credit însă datorită faptului că se

tranzacţionează pe piaţă şi că depinde de rata dobânzii ea are risc de piaţă. Deci cursul acestui

activ nu este o mărime deterministă (i.e. nu putem spune cu siguranţă ce valoare poate lua în

viitor). Asemănător cu cazul unei acţiuni (2.7) avem o ecuaţie de dinamică pentru preţul unei

obligaţiuni zero cupon care are o parte deterministă şi una stocastică (prin intermediul lui tdz

care este o variabilă aleatoare distribuită normal):

( ) ( ) ( ) ( ) tdzTtBTtdtTtBTtdB ,,,, σµ += (4.1)

61

Aşa cum se observă volatilitatea obligaţiunii zero cupon ( ( )Tt,σ ) nu este o constantă (ca

în cazul unei acţiuni-vezi 2.7) ci o funcţie care depinde de Tt, . Intr-adevăr, deoarece neavând

risc de credit, la scadenţă obligaţiunea sigur va plăti 1 um (i.e. ( ) 1, =TTB ) cursul de pe piaţă al

acesteia tinde către 1 şi ca urmare volatilitatea este din ce în ce mai mică pe măsură ce ne

apropiem de scadenţă ( ( ) 0,lim =→

TtTt

σ ).

Valoarea la momentul t a unei obligaţiuni zero cupon fără risc cu scadenţă T , ( )TtB , ,

poate fi interpretat şi ca un factor de discount. Cât valorează, în condiţiile în care rata dobănzii

este stocastică, la momentul t 1 u.m. de la momentul T . Cel mai firesc răspuns este că are

aceeaşi valoare cu valoarea de piaţă a activului care sigur aduce la momentul T 1 u.m. adică

obligaţiunea zero cupon fără risc cu scadenţă T . Facem astfel trecerea către cel de-al doilea

concept important.

Structura la termen a ratei dobânzii (factorilor de discount) la momentul t arată

mărimea factorilor de discount de la momentul t pentru diferite scadenţe T (i.e. ( ) tTTtB ≥,, ).

De obicei aceste scadenţe variază de la o săptămână la 30 de ani. Evident că nu există pe piaţă

obligaţiuni zero cupon cu scadenţă 30 de ani (acestea fiind emise de obicei pe termene sub 1

an). Insă există posibilitatea de a construi structura la termen a factorilor de discount folosind şi

alte instrumente financiare care depind de rata dobânzii (nu numai obligaţiunile zero-cupon).

Această procedură poartă numele de bootstrapping. Marii furnizori de date pe rata dobânzii

calculează structura la termen (de exemplu pe platforma REUTERS aceasta poate fi găsită la

adresa ZERO/1). Dacă este nevoie de un factor de discount care nu este calculat prin

bootstrapping se pot folosi diverse metode de interpolare.

Mare majoritate a derivativelor pe rata dobânzii, folosite în domeniul bancar, sunt

derivative pe LIBOR sau EURIBOR care reprezintă rate de dobândă la termen cu compunere

discretă.

Vom defini rata forward LIBOR la momentul t pentru intervalul [ ]TS , ( ( )TStL ,; ) ca

fiind rata (cu compunere discretă) stabilită printr-un FRA (forward rate agreement) încheiat la

momentul t pentru intervalul [ ]TS , . Folosind principiul arbitrajului (temă!) se poate arăta că:

( )

( )( )

ST

TtB

StB

TStL−

−

=

1,

,

,; (4.2)

62

Vom defini rata spot LIBOR la momentul t pentru scadenţa T ( ( )TtL , ) astfel:

( ) ( ) ( )tT

TtBTttLTtL

−

−

==

1,

1

,;:, (4.3)

Relaţiile 4.2. şi 4.3 dau legătura dintre ratele forward si spot LIBOR şi structura la

termen a factorilor de discount.

5.2 Evaluarea derivativelor pe LIBOR

5.2.1 Floating Rate Notes (FRN)

FRN-urile sunt obligaţiuni cu scadenţă T (presupunem că are valoare nominală 1 u.m)

care plătesc cupoane la momentele TTTT n =,...,, 21 de obicei egal depărtate în timp . Vom nota

cu 1−−= ii TTδ durata de timp între două momente de acordare a cuponului. Ce este caracteristic

acestor obligaţiuni este că rata cuponului nu este constantă ci depinde de rata spot LIBOR. De

obicei rata cuponului pentru perioada [ ]ii TT ,1− se stabileşte la momentul 1−iT ca fiind egal cu

( )ii TTL ,1− (i.e. rata spot LIBOR la momentul 1−iT pentru scadenţa iT ). Astfel la momentul iT se

primeşte un cupon: ( )iii TTLC ,1−= δ . Folosind relaţia 4.3 rezultă că:

( )

1,

1

1

−=− ii

iTTB

C

Folosind principiul arbitrajului se poate arăta (temă!) că valoarea la momentul 0

(momentul la care se face evaluarea FRN-ului) a cuponului primit la momentul iT este:

( ) ( )ii TBTB ,0,0 1 −−

Deci valoarea (dirty price) acestei obligaţiuni ( ( )0FRN ) este:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )01

1 ,0,0,0,00 TBTBTBTBFRNn

i

iin =−+= ∑=

− (4.4)

unde 0T este data la care se stabileşte rata cuponului care va fi plătit la 1T .

63

Exerciţiu. Structura la termen a factorilor de discount este

T 0.5 1.5 2.5 3.5

disc. fact. 0.9835 0.9423 0.8992 0.8562

Să se determine valoarea unui FRN cu 5.00 =T (primul moment de stabilire al ratei

variabile) şi 3 perioade de câte 1 an cu rata cuponului egală cu 12M LIBOR + 10bp şi valoare

nominală 1000 um.

Rezolvare:

Această obligaţiune este formată dintr-un FRN propriu-zis şi o obligaţiune clasică cu

rată a cuponului 10bp. Folosind 4.4 valoarea obligaţiunii este:

( )[ ] 2.9868562.08992.09423.0001.09835.01000 =+++ um

5.2.2 Interest rate swaps (SWAP)

SWAP (cu valoare nominală 1) este o contract prin care se schimbă la momentele

nTTT ,...,, 21 (la egală distanţă în timp δ ) un flux de dobânzi plătite la o rată fixă (R ) cu un flux

de dobânzi plătite la o rată variabilă (ex. spot LIBOR).

Astfel dacă se încheie un contract SWAP fixed-for-floating (numit şi payer SWAP), la

momentul iT trebuie plătită dobânda fixă δR (dobândă pe perioada [ ]ii TT ,1− ) şi se primeşte

dobânda variabilă ( )ii TTL ,1−δ unde ( )ii TTL ,1− a fost stabilit încă de la momentul 1−iT .

Apare astfel la momentul iT un cash-flow net

( )[ ]RTTL ii −− ,1δ (4.5)

Folosind acelaşi argument ca în cazul FRN , avem că valoarea la momentul 0

(momentul la care se face evaluarea SWAP-ului) a cash-flow-ului la momentul iT este:

( ) ( ) ( )ii TBRTB ,01,0 1 δ+−−

Deci valoarea SWAP-ului este:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=

− +−=n

i

ii TBRTBSWAP1

1 ,01,00 δ

( ) ( ) ( )∑=

−−=n

i

in TBRTBTB1

0 ,0,0,0 δ (4.6)

unde 0T este data la care se stabileşte rata variabilă care va fi plătită la 1T .

64

Se numeşte rata swap forward ( ( )0,0 TRS ) acea rată fixă care face ca valoarea SWAP-

ului la momentul 00 T< să fie zero:

( ) ( ) ( )

( )∑=

−=

n

i

i

n

TB

TBTBTRS

1

00

,0

,0,0,0

δ

(4.7)

De obicei se consideră cazul în care 00 =T . In acest caz avem:

( ) ( ) ( )∑=

−−=n

i

in TTBRTTBTSWAP1

000 ,,1 δ (4.8)

respectiv rata swap la momentul 0T ( ( )0TRS ):

( )( )

( )∑=

−=

n

i

i

n

TTB

TTBTRS

10

00

,

,1

δ

(4.9)


T 1 2 3

disc. fact. 0.9636 0.9207 0.8777

Fie un payer swap cu 3 perioade de câte 1 an cu rata variabilă egală cu 12M LIBOR şi

valoare nominală 1000 um.

a) să se determine rata swap;

b) sa se determine valoarea unui payer swap cu rată fixă = 4,3%.

Rezolvare

a) aplicând 4.9 avem că %428,4=RS

b) acest payer swap este echivalent cu un payer swap cu rată fixă = rata swap şi o

obligaţiune cu rata cuponului %128,0 . Deci valoarea lui este:

( )[ ] 534.38777.09207.09636.000128.001000 =+++ um

65

5.2.3 CAPS şi FLOORS

Un CAP (cu valoare nominală 1) este o contract prin care vânzătorul se obligă ca la

momentele nTTT ,...,, 21 (la egală distanţă în timp δ ) să plătească cumpărătorului diferenţa dintre

dobânda la o rată variabilă (ex. spot LIBOR) şi dobânda la o rată fixă (R ) dacă rata variabilă

este mai mare decât rata fixă.

Un CAP (cu valoare nominală 1) este o contract prin care vânzătorul se obligă ca la

momentele nTTT ,...,, 21 (la egală distanţă în timp δ ) să plătească cumpărătorului diferenţa dintre

dobânda la o rată fixă (R ) şi dobânda la o rată variabilă dacă rata variabilă este mai mică decât

rata fixă.

Mărimea ratei variabile pentru perioada [ ]ii TT ,1− se stabileşte la momentul 1−iT şi este de

obicei ( )ii TTL ,1− .

Cash-flow-ul generat de un CAP la momentul iT este

( )( )0,,max 1 RTTL ii −−δ (4.10)

iar cel generat de un FLOOR este

( )( )0,,max 1 ii TTLR −−δ (4.11)

Pentru a determina valoarea CAP-ului şi FLOOR-ului trebuie să determinăm valoarea

acestor două cash-flow-uri la momentul 0.

O observaţie importantă care rezultă din 4.9, 4.19 şi 4.11 este că un portofoliu format

dintr-o poziţie LONG pe un CAP cu rata fixă R şi o poziţie SHORT pe un FLOOR cu rată fixă

R este echivalent cu un SWAP cu rată fixă R.

De aici rezultă o teoremă de paritate CAP-FLOOR-SWAP :

( ) ( ) ( )000 SWAPFLOORCAP =− (4.12)

Un contract cu payoff dat de 4.10 poartă numele de CAPLET , iar cel cu payoff dat de

4.11 se numeşte FLOORLET. Rezultă că valoarea unui CAP respectiv FLOOR este :

( ) ( )

( ) ( )∑

∑

=

=

=

=

n

i

i

n

i

i

FLOORLETFLOOR

CAPLETCAP

1

1

00

00

(4.13)

Pentru a evalua un CAPLET şi un FLOORLET vom apela la un model de piaţă (i.e. un

model simplificat utilizat de practicieni) care presupune că rata LIBOR are volatilitate

66

constantă egală cu σ . De fapt în realitate structura volatilităţii ratei LIBOR este mai

complicată însă aşa cum am mai spus se sacrifică acurateţea teoretică pentru a obţine formule de

evaluare de tip Black-Scholes.

In aceste condiţii se poate arăta că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]211,;0,00 eNReNTTLTBCAPLET iiii ⋅−⋅= −δ (4.14)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]112 ,;0,00 eNTTLeNRTBFLOORLET iiii −⋅−−⋅= −δ

unde

( )

1

1

21

12

,;0ln

−

−− +

=i

iii

T

TR

TTL

eσ

σ

112 −−= iTee σ

iar cu ( )⋅N s-a notat funcţia de repartiţie a distribuţiei normale standard (vezi Anexa I).

5.2.4 SWAPTIONS

Un (payer) SWAPTION cu scadenţă 0TT = şi preţ de exerciţiu R este un contract prin

care cumpărătorul are dreptul la momentul 0TT = să iniţieze un contract (payer) SWAP cu plăţi

la nTTT ,...,, 21 (prima dată de fixare a ratei variabile fiind 0T ) şi cu rată fixă R dacă rata swap de

la momentul 0TT = ( ( )TRS ) este mai mare decât preţul de exerciţiuR .

Din nou vom apela la un model simplificat care presupune că rata swap are volatilitate

constantă egală cu σ .

In aceste condiţii avem că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2101

;0,00 hNRhNTRSTBSWAPTIONn

i

i ⋅−⋅

= ∑=

δ (4.15)

unde

( )

0

0

20

12

;0ln

T

TR

TRS

hσ

σ+

=

012 Thh σ−=

67


T 0.5 1.5 2.5 3.5

disc. fact. 0.9835 0.9423 0.8992 0.8562

Se consideră un SWAP, o opţiune CAP şi o opţiune FLOOR cu 5.00 =T (primul

moment de stabilire al ratei variabile) şi 3 perioade de câte 1 an cu rată fixă 4,85% , rata

variabilă egală cu 12M LIBOR şi valoare nominală 1000 um. Volatilitatea ratei LIBOR este

15%. De asemenea se consideră o opţiune SWAPTION cu scadenţă 0T şi preţ de exerciţiu

4,7%. Volatilitatea ratei swap este 10%.

a) să se determine 6M LIBOR;

b) să se determine rata swap forward;

c) să se determine valoarea SWAP-ului;

d) să se determine prima opţiunii CAP şi a opţiunii FLOOR;

e) să se determine prima opţiunii SWAPTION.

Rezolvare

a) aplicăm 4.3 şi avem ( ) %355,35.0,0 =L ;

b) aplicând 4.7 : ( ) %719,4,0 0 =TRS

c) acest swap este echivalent cu un swap cu rată fixă = rata swap forward şi o poziţie

SHORT pe o obligaţiune cu rata cuponului %131,0 . Deci valoarea lui este:

( ) ( )[ ] -3.53848562.08992.09423.000131.0010000 =++−=SWAP um

d) Acest CAP e format din 3 caplet-uri pe care le evaluăm folosind 4.14:

• caplet-ul 1:

( ) 4,372%5.1,5.0;0 =L , 1.0313e0.9252, 21 −=−=e , ( ) ( ) 0.15120.1774, 21 == eNeN

( ) 0.399201 =CAPLET um

• caplet-ul 2:

( ) 4,793%5.2,5.1;0 =L , 0.1562e0.0275, 21 −==e , ( ) ( ) 0.43790.511, 21 == eNeN

( ) 3.063402 =CAPLET um

• caplet-ul 3:

( ) 5,022%5.3,5.2;0 =L , 0.0284e0.2655, 21 ==e , ( ) ( ) 0.51130.6047, 21 == eNeN

( ) 5.00803 =CAPLET um

68

Deci prima acestei opţiuni CAP este:

( ) 8,47060 =CAP u.m.

Pentru a determina prima opţiunii FLOOR aplicăm teorema de paritate CAP-FLOOR-

SWAP (4.12):

( ) ( ) ( ) 009,12000 =−= SWAPCAPFLOOR um

e) Aplicăm 4.15:

( ) %719,4,0 0 =TRS , 0.02170.0924, 21 == hh , ( ) ( ) 0.50870.5368, 21 == hNhN

( ) 3.84530 =SWAPTION u.m

Probleme propuse.

1. Structura la termen a factorilor de discount este

T 0.5 1.5 2.5 3.5

disc. fact. 0.9835 0.9423 0.8992 0.8562

Se consideră un SWAP, o opţiune CAP şi o opţiune FLOOR cu 5.00 =T (primul

moment de stabilire al ratei variabile) şi 3 perioade de câte 1 an cu rată fixă 4,75% , rata

variabilă egală cu 12M LIBOR şi valoare nominală 1000 um. Volatilitatea ratei LIBOR este

15%. De asemenea se consideră o opţiune SWAPTION cu scadenţă 0T şi preţ de exerciţiu

4,8%. Volatilitatea ratei swap este 15%.

1. să se determine 6M LIBOR;

2. să se determine rata swap forward;

3. să se determine valoarea SWAP-ului;

4. să se determine prima opţiunii CAP şi a opţiunii FLOOR;

5. să se determine prima opţiunii SWAPTION.

69

ANEXA I

Funcţia de repartiţie ( )dN a distribuţiei normale standard

( ) ( )dNdN −=− 1

( ) ( ) ( ) ( )[ ]23.024.067.023.02367.0 NNNN −+=

d N(d) d N(d) d N(d) d N(d) d N(d) d N(d) d N(d) d N(d)

0.00 0.5000 0.50 0.6915 1.00 0.8413 1.50 0.9332 2.00 0.9772 2.50 0.9938 3.00 0.9987 3.50 0.9998 0.01 0.5040 0.51 0.6950 1.01 0.8438 1.51 0.9345 2.01 0.9778 2.51 0.9940 3.01 0.9987 3.51 0.9998 0.02 0.5080 0.52 0.6985 1.02 0.8461 1.52 0.9357 2.02 0.9783 2.52 0.9941 3.02 0.9987 3.52 0.9998 0.03 0.5120 0.53 0.7019 1.03 0.8485 1.53 0.9370 2.03 0.9788 2.53 0.9943 3.03 0.9988 3.53 0.9998 0.04 0.5160 0.54 0.7054 1.04 0.8508 1.54 0.9382 2.04 0.9793 2.54 0.9945 3.04 0.9988 3.54 0.9998 0.05 0.5199 0.55 0.7088 1.05 0.8531 1.55 0.9394 2.05 0.9798 2.55 0.9946 3.05 0.9989 3.55 0.9998 0.06 0.5239 0.56 0.7123 1.06 0.8554 1.56 0.9406 2.06 0.9803 2.56 0.9948 3.06 0.9989 3.56 0.9998 0.07 0.5279 0.57 0.7157 1.07 0.8577 1.57 0.9418 2.07 0.9808 2.57 0.9949 3.07 0.9989 3.57 0.9998 0.08 0.5319 0.58 0.7190 1.08 0.8599 1.58 0.9429 2.08 0.9812 2.58 0.9951 3.08 0.9990 3.58 0.9998 0.09 0.5359 0.59 0.7224 1.09 0.8621 1.59 0.9441 2.09 0.9817 2.59 0.9952 3.09 0.9990 3.59 0.9998 0.10 0.5398 0.60 0.7258 1.10 0.8643 1.60 0.9452 2.10 0.9821 2.60 0.9953 3.10 0.9990 3.60 0.9998 0.11 0.5438 0.61 0.7291 1.11 0.8665 1.61 0.9463 2.11 0.9826 2.61 0.9955 3.11 0.9991 3.61 0.9999 0.12 0.5478 0.62 0.7324 1.12 0.8686 1.62 0.9474 2.12 0.9830 2.62 0.9956 3.12 0.9991 3.62 0.9999 0.13 0.5517 0.63 0.7357 1.13 0.8708 1.63 0.9485 2.13 0.9834 2.63 0.9957 3.13 0.9991 3.63 0.9999 0.14 0.5557 0.64 0.7389 1.14 0.8729 1.64 0.9495 2.14 0.9838 2.64 0.9959 3.14 0.9992 3.64 0.9999 0.15 0.5596 0.65 0.7421 1.15 0.8749 1.65 0.9505 2.15 0.9842 2.65 0.9960 3.15 0.9992 3.65 0.9999 0.16 0.5636 0.66 0.7454 1.16 0.8770 1.66 0.9515 2.16 0.9846 2.66 0.9961 3.16 0.9992 3.66 0.9999 0.17 0.5675 0.67 0.7486 1.17 0.8790 1.67 0.9525 2.17 0.9850 2.67 0.9962 3.17 0.9992 3.67 0.9999 0.18 0.5714 0.68 0.7518 1.18 0.8810 1.68 0.9535 2.18 0.9854 2.68 0.9963 3.18 0.9993 3.68 0.9999 0.19 0.5754 0.69 0.7549 1.19 0.8830 1.69 0.9545 2.19 0.9857 2.69 0.9964 3.19 0.9993 3.69 0.9999 0.20 0.5793 0.70 0.7580 1.20 0.8849 1.70 0.9554 2.20 0.9861 2.70 0.9965 3.20 0.9993 3.70 0.9999 0.21 0.5832 0.71 0.7611 1.21 0.8869 1.71 0.9564 2.21 0.9865 2.71 0.9966 3.21 0.9993 3.71 0.9999 0.22 0.5871 0.72 0.7642 1.22 0.8888 1.72 0.9573 2.22 0.9868 2.72 0.9967 3.22 0.9994 3.72 0.9999 0.23 0.5909 0.73 0.7673 1.23 0.8907 1.73 0.9582 2.23 0.9871 2.73 0.9968 3.23 0.9994 3.73 0.9999 0.24 0.5948 0.74 0.7703 1.24 0.8925 1.74 0.9591 2.24 0.9875 2.74 0.9969 3.24 0.9994 3.74 0.9999 0.25 0.5987 0.75 0.7734 1.25 0.8943 1.75 0.9599 2.25 0.9878 2.75 0.9970 3.25 0.9994 3.75 0.9999 0.26 0.6026 0.76 0.7764 1.26 0.8962 1.76 0.9608 2.26 0.9881 2.76 0.9971 3.26 0.9994 3.76 0.9999 0.27 0.6064 0.77 0.7793 1.27 0.8980 1.77 0.9616 2.27 0.9884 2.77 0.9972 3.27 0.9995 3.77 0.9999 0.28 0.6103 0.78 0.7823 1.28 0.8997 1.78 0.9625 2.28 0.9887 2.78 0.9973 3.28 0.9995 3.78 0.9999 0.29 0.6141 0.79 0.7852 1.29 0.9015 1.79 0.9633 2.29 0.9890 2.79 0.9974 3.29 0.9995 3.79 0.9999 0.30 0.6179 0.80 0.7881 1.30 0.9032 1.80 0.9641 2.30 0.9893 2.80 0.9974 3.30 0.9995 3.80 0.9999 0.31 0.6217 0.81 0.7910 1.31 0.9049 1.81 0.9648 2.31 0.9896 2.81 0.9975 3.31 0.9995 3.81 0.9999 0.32 0.6255 0.82 0.7939 1.32 0.9066 1.82 0.9656 2.32 0.9898 2.82 0.9976 3.32 0.9996 3.82 0.9999 0.33 0.6293 0.83 0.7967 1.33 0.9082 1.83 0.9664 2.33 0.9901 2.83 0.9977 3.33 0.9996 3.83 0.9999 0.34 0.6331 0.84 0.7995 1.34 0.9099 1.84 0.9671 2.34 0.9904 2.84 0.9977 3.34 0.9996 3.84 0.9999 0.35 0.6368 0.85 0.8023 1.35 0.9115 1.85 0.9678 2.35 0.9906 2.85 0.9978 3.35 0.9996 3.85 0.9999 0.36 0.6406 0.86 0.8051 1.36 0.9131 1.86 0.9686 2.36 0.9909 2.86 0.9979 3.36 0.9996 3.86 0.9999 0.37 0.6443 0.87 0.8078 1.37 0.9147 1.87 0.9693 2.37 0.9911 2.87 0.9980 3.37 0.9996 3.87 1 0.38 0.6480 0.88 0.8106 1.38 0.9162 1.88 0.9699 2.38 0.9913 2.88 0.9980 3.38 0.9996 3.88 1 0.39 0.6517 0.89 0.8133 1.39 0.9177 1.89 0.9706 2.39 0.9916 2.89 0.9981 3.39 0.9997 3.89 1 0.40 0.6554 0.90 0.8159 1.40 0.9192 1.90 0.9713 2.40 0.9918 2.90 0.9981 3.40 0.9997 3.90 1 0.41 0.6591 0.91 0.8186 1.41 0.9207 1.91 0.9719 2.41 0.9920 2.91 0.9982 3.41 0.9997 3.91 1 0.42 0.6628 0.92 0.8212 1.42 0.9222 1.92 0.9726 2.42 0.9922 2.92 0.9982 3.42 0.9997 3.92 1 0.43 0.6664 0.93 0.8238 1.43 0.9236 1.93 0.9732 2.43 0.9925 2.93 0.9983 3.43 0.9997 3.93 1 0.44 0.6700 0.94 0.8264 1.44 0.9251 1.94 0.9738 2.44 0.9927 2.94 0.9984 3.44 0.9997 3.94 1 0.45 0.6736 0.95 0.8289 1.45 0.9265 1.95 0.9744 2.45 0.9929 2.95 0.9984 3.45 0.9997 3.95 1 0.46 0.6772 0.96 0.8315 1.46 0.9278 1.96 0.9750 2.46 0.9930 2.96 0.9985 3.46 0.9997 3.96 1 0.47 0.6808 0.97 0.8340 1.47 0.9292 1.97 0.9756 2.47 0.9932 2.97 0.9985 3.47 0.9997 3.97 1 0.48 0.6844 0.98 0.8365 1.48 0.9306 1.98 0.9761 2.48 0.9934 2.98 0.9986 3.48 0.9998 3.98 1 0.49 0.6879 0.99 0.8389 1.49 0.9319 1.99 0.9767 2.49 0.9936 2.99 0.9986 3.49 0.9998 3.99 1

ing fin suport seminar

Documents

Transcript of ing fin suport seminar