8.2. TRANSMITEREA CĂLDURII PRIN CONVECŢIE

Generalităţi

Convecţia termică este procesul de transfer de căldură între suprafaţa unui corp solid şi

un fluid, în prezenţa unui gradient de temperatură şi se datorează mişcării fluidului (lichid,

gaz). Este caracteristică fluidelor pure, dar şi componenţilor polifazici, şi se manifestă la

suprafaţa de separaţie a fazelor. Transferul de căldură este asociat cu transportul de

substanţă în cadrul fluidului.

Se disting două forme de fenomene convective, în funcţie de cauza care generează

mişcarea fluidului:

convecţia liberă sau naturală este caracterizată de viteze mici de mişcare. Mişcarea

fluidului se datorează neuniformităţii câmpului de temperatură, care generează gradienţi de

densitate în fluid.

convecţia forţată este caracterizată de viteze mari de mişcare ale fluidului, generate de

diferenţe mari de presiune. Acestea se realizează prin mijloace mecanice: ventilatoare,

pompe etc.

În cazul în care mişcarea liberă coexistă cu cea forţată, atunci caracterul procesului de

transfer de căldură este determinat de forma de mişcare preponderentă.

Regimul de curgere, caracterizat prin criteriul Reynolds determină:

convecţia în regim laminar, când se realizează cu precădere prin conducţie termică în

fluid, aportul mişcării de amestec fiind foarte redus.

convecţia în regim turbulent, care are loc prin conducţie în stratul limită şi prin transfer de

substanţă şi amestec de fluid, în zona centrală a curgerii.

Proprietăţile fizice ale fluidului care influenţează schimbul de căldură prin convecţie sunt:

coeficientul de conductivitate termică, căldura specifică, difuzivitatea termică, densitatea,

viscozitatea etc.

Geometria suprafeţei de schimb de căldură şi orientarea acesteia faţă de direcţia de

curgere determină caracteristicile stratului limită.

Stratul limită termic

Legea lui Newton. Coeficientul de convecţie.

Fluxul termic transmis prin convecţie nu se poate calcula cu legea lui Fourier, întrucât nu

se cunoaşte complet stratul limită şi gradientul temperaturii la suprafaţa de contact perete-

fluid. De aceea, se utilizează legea lui Newton, care permite determinarea fluxului termic pe

care suprafaţa unui corp solid cu temperatura ts îl transferă unui fluid în mişcare, a cărui

temperatură medie este t:

sau ,

în care este coeficientul de convecţie şi reprezintă o funcţie complexă de forma:

, l - lungime caracteristică a curgerii

Convecţia termică se studiază numai în regim staţionar şi are drept scop principal

determinarea coeficientului de convecţie şi apoi a fluxului termic. Coeficientul de convecţie

se determină prin similitudine fizică, pe baza legilor fundamentale ale convecţiei căldurii.

Stratul limită termic. Criteriul Nusselt.

Analog modului de definire al stratului limită hidrodinamic, se poate defini în vecinătatea

peretelui stratul limită termic, ca fiind acea regiune a curgerii în care există gradienţi de

temperatură în fluid. Mişcarea în stratul limită poate fi laminară sau turbulentă. La studiul

convecţiei este esenţială grosimea stratului

limită.

Se consideră o placă plană cu temperatura

suprafeţei peretelui ts, temperatura fluidului în

exteriorul stratului limită t şi cu grosimea

stratului limită termic t. La suprafaţa peretelui

viteza fluidului este nulă, astfel încât transferul

de căldură în fluid are loc prin conducţie. Deci:

Coeficientul de convecţie devine:

Evaluarea coeficientului depinde de cunoaşterea distribuţiei temperaturii în stratul limită

termic. Dacă se simplifică fenomenul real prin înlocuirea distribuţiei de temperatură cu o

distribuţie reprezentată prin linia întreruptă, tangentă la curba reală a temperaturii în punctul

y=0, într-un strat ipotetic de fluid, de grosime ’t, stagnant, atunci căldura se transmite

numai prin conducţie:

Rezultă:

Coeficientul de convecţie va avea valori mari în zonele în care stratul limită este mai mic.

Deci, intensificarea schimbului de căldură prin convecţie se poate obţine prin reducerea

stratului limită, ca urmare a creşterii vitezei sau a turbulenţei fluidului.

Grosimea stratului limită termic diferă de grosimea stratului limită hidrodinamic. Relaţia

de legătură între stratul limită termic şi hidrodinamic la curgerea unui fluid peste o placă

plană încălzită este:

,

în care: este grosimea stratului limită hidrodinamic, iar Pr=/a este criteriul Prandtl.

Se disting trei situaţii pentru regimul laminar de mişcare, demne de reţinut:

a) Metale topite cu Pr<<1:

Rezultă: <<t.

b) Gaze cu Pr1:

Rezultă: t.

c) Lichide nemetalice cu Pr>>1:

Rezultă: >>t.

În consecinţă, diferenţa dintre grosimile celor două straturi este sensibilă şi depinde de

natura fluidului şi de regimul de mişcare.

Datorită imposibilităţii integrării modelului matematic al convecţiei căldurii se utilizează

similitudinea fizică, ca instrument de lucru în acest domeniu. Determinarea criteriilor de

similitudine se bazează pe faptul că valoarea unui parametru macroscopic ce

caracterizează originalul diferă de valoarea aceluiaşi parametru macroscopic al modelului

printr-o constantă de asemănare.

Aceasta reprezintă o relaţie de transformare pentru un grup de fenomene asemănătoare

şi cu ajutorul ei poate fi determinat orice fenomen aparţinând grupului prin precizarea

constantei. Aceasta poate fi sub- sau supraunitară. Transformarea menţine invariant

modelul matematic al clasei de fenomene de care aparţine grupul.

Din condiţia de unicitate aplicată unui strat de fluid s-a obţinut relaţia care conţine

coeficientul de convecţie: . Ea este valabilă pentru un grup de

fenomene asemănătoare. Se consideră din acest grup două fenomene asemănătoare, un

original şi un model pentru care se poate scrie:

şi

Aplicând relaţia de transformare pentru cele două fenomene asemănătoare, se obţine:

,

în care: k, kt, kL, k sunt constante de asemănare ale coeficientului de conducţie,

temperaturii, lungimii caracteristice şi coeficientului de convecţie. Din egalarea ultimelor

două relaţii rezultă:

Exprimând constantele de asemănare se obţine:

Grupul adimensional obţinut formează criteriul Nusselt, care reprezintă raportul între

rezistenţa termică la conducţie a fluidului şi rezistenţa termică la convecţie:

Criterii de similitudine în convecţia termică. Relaţii criteriale.

Modelul matematic care exprimă fenomenele de convecţie termică este format din

următoarele ecuaţii:

ecuaţia diferenţială a câmpului de temperatură, care este diferită în cazul fluidelor în

mişcare, deoarece derivata în raport cu timpul trebuie să fie o derivată substanţială care să

ia în considerare viteza de mişcare:

Ecuaţia conducţiei termice devine:

condiţia de unicitate tip Fourier exprimă legea de conservare a energiei la suprafaţa de

separaţie dintre un solid şi un fluid.

Determinarea criteriilor de similitudine se va face prin supunerea modelului matematic

unor transformări.

Spre exemplu, dacă se aplică unui fenomen original şi unui model ecuaţia diferenţială a

câmpului de temperatură, pentru qV=0, se obţin relaţiile:

şi

Ca urmare a efectuării transformărilor, prin înlocuirea ecuaţiei fenomenului original cu

ecuaţia corespunzătoare modelului şi apoi a egalării ecuaţiei obţinute cu ecuaţia modelului,

rezultă:

Din egalitatea:

,

prin înlocuirea constantelor de asemănare, rezultă criteriul Fourier:

Din egalitatea:

se obţine criteriul Peclet:

Raportul dintre criteriul Peclet şi criteriul Reynolds reprezintă criteriul Prandtl:

Criteriul Biot este asemănător din punct de vedere al formei cu criteriul Nusselt, diferenţa

constând în coeficientul de conductivitate termică:

,

în care se referă la coeficientul de conductivitate termică al solidului.

Dacă se aplică similitudinea fizică în cazul ecuaţiei mişcării, care descrie două fenomene

de curgere asemănătoare, se obţin alte criterii de similitudine:

criteriul de homocronism

criteriul Euler

criteriul Froude

criteriul Arhimede:

criteriul Grasshoff

Se mai pot utiliza în afara acestor criterii de similitudine şi simplecşi adimensionali, care

sunt rapoarte ale mărimilor de aceeaşi natură:

Prin urmare, soluţia integrală a modelului matematic, reprezentat prin sistemul de ecuaţii

diferenţiale ce caracterizează convecţia termică, poate fi exprimată printr-o funcţie de forma:

,

sau sub forma unei relaţii criteriale:

respectiv:

Ecuaţia se întâlneşte în practică sub forma:

,

în care, constantele C, m, n, p, r,…se determină experimental. Relaţia conţine numai

criteriile dominante. Întrucât fenomenele de convecţie termică se studiază în condiţiile unui

regim staţionar, criteriile Fo şi Ho, care caracterizează regimul nestaţionar, nu apar în

relaţiile criteriale. Lungimea caracteristică x trebuie precizată în fiecare situaţie.

Criteriul Pr apare în toate relaţiile criteriale, deoarece ţine seama de natura fluidului.

Criteriul Gr caracterizează convecţia liberă. Mişcarea fluidului în cazul convecţiei libere

(naturale) este cauzată de forţe ascensionale de tip Arhimede, generate de neuniformitatea

câmpului de temperatură. Vitezele de mişcare sunt foarte mici, astfel încât criteriul Reynolds

nu este dominant în convecţia liberă. Prin urmare devine dominant criteriul Grasshoff, care

conţine variaţia de temperatură t, ca şi cauză a mişcării fluidului. Relaţia criterială care

permite determinarea coeficientului de convecţie mai conţine criteriul Nusselt şi criteriul

Prandtl:

Constantele C şi m sunt precizate în funcţie de produsul GrPr.

Criteriul Re caracterizează convecţia forţată. Cauza mişcării fluidului în convecţia forţată

este externă şi se datorează unei diferenţe de presiune. Întrucât vitezele de mişcare sunt

mari, criteriul Reynolds devine criteriu dominant în convecţia forţată. Alte criterii dominante

care mai apar sunt criteriul Nusselt, criteriul Prandtl şi diferiţi simplecşi adimensionali.

Ecuaţia criterială care exprimă fenomenele de convecţie forţată şi care permite

determinarea coeficientului de convecţie este de forma:

Constantele C, m, n sunt precizate în funcţie de regimul de mişcare, caracterizat de

criteriul Reynolds.

►Aplicaţie

1. O placă plană încălzită, cu temperatura constantă a peretelui de 80 oC este parcursă de-

a lungul ei de aer. La o distanţă de perete, temperatura aerului este de 20 oC. În apropierea

peretelui (în stratul limită) se formează perpendicular pe perete, pe direcţia y, următorul

profil de temperatură: . La o distanţă oarecare x, grosimea stratului

limită termic este . Să se determine în acest loc coeficientul de transfer de

căldură. Coeficientul de conductivitate termică al aerului la temperatura medie este 0,0268

W/mK. [20,1 W/m2K]

Transferul global de căldură printr-un perete plan

8.3. TRANSFERUL GLOBAL DE CĂLDURĂ

Ca proces individual, conducţia pură apare numai la corpurile solide opace şi la fluidele

stagnante. Transferul de căldură prin convecţie este însă însoţit întotdeauna de conducţie.

Cel mai frecvent se propagă căldura între două fluide printr-un perete despărţitor, transferul

de căldură realizându-se prin acţiunea combinată a conducţiei, convecţiei şi a radiaţiei

termice în cazul temperaturilor ridicate.

Circulaţia fluidelor de-a lungul suprafeţelor de separaţie solid-fluid şi fenomenele de

radiaţie determină o variaţie accentuată a temperaturii fluidelor în apropierea acestor

suprafeţe. Propagarea căldurii prin suprafaţă este caracterizată de legea lui Newton, iar

condiţiile de conservare a fluxului termic sunt de tip Fourier sau de speţa a treia.

Perete plan

Se consideră un perete plan omogen, de grosime şi cu conductivitatea termică , aflat

între două fluide cu temperaturile şi ( ) şi

coeficienţii de transfer termic prin suprafaţă, 1 şi 2.

Condiţiile de speţa a treia care se pun pentru

determinarea constantelor de integrare sunt:

,

respectiv:

Ca urmare a rezolvării sistemului de ecuaţii, constantele de integrare au următoarele

expresii:

,

iar câmpul de temperatură devine:

Coeficientul:

se numeşte coeficient global de transfer termic al peretelui plan.

Fluxul termic unitar se obţine din legea lui Fourier:

,

în care, R este rezistenţa termică specifică a peretelui simplu.

În cazul unui perete plan compus din mai multe straturi se utilizează condiţiile de

unicitate combinate de tip Fourier şi de contact, putându-se scrie egalităţile următoare ca

urmare a conservării fluxului termic unitar:

Coeficientul global de transfer termic devine:

Se definesc rezistenţele termice specifice la propagarea căldurii prin suprafeţele

peretelui:

şi

Dacă se scriu egalităţile:

,

se poate exprima temperatura în planul de separaţie j sub două forme:

Transferul global de căldură printr-un perete cilindric

şi

Perete cilindric

Se consideră un perete cilindric aflat între două fluide cu temperaturile şi şi

coeficienţii de transfer termic prin suprafaţă 1 şi 2. Pentru determinarea constantelor de

integrare se utilizează condiţiile de unicitate de tip Fourier. Astfel:

,

respectiv:

Rezolvând sistemul de ecuaţii se obţin cele două

constante de integrare:

Câmpul de temperatură devine:

sau:

,

în care, coeficientul global de transfer termic al unui perete cilindric este:

Fluxul termic unitar se obţine din legea lui Fourier:

,

iar fluxul termic este:

În cazul unui perete cilindric compus din mai multe straturi omogene şi izotrope, pe baza

condiţiilor de unicitate de tip Fourier şi de speţa a patra, şi a conservării fluxului termic se

pot scrie următoarele egalităţi:

,

în care coeficientul global de transfer termic este:

Temperatura pe o suprafaţă de separaţie oarecare Sj se poate determina din egalităţile:

obţinându-se două forme echivalente:

,

respectiv:

Un perete cilindric compus poate fi considerat o conductă izolată cu două sau mai multe

straturi din materiale cu coeficienţi de conductivitate diferiţi. Calculul izolaţiilor termice

presupune reducerea pierderilor de căldură în mediul exterior. Materialele termoizolante au

rolul de a introduce o rezistenţă termică cât mai mare pe direcţia de propagare a fluxului

termic.

►Aplicaţii

1. Geamul de sticlă al unei ferestre dintr-o hală industrială are suprafaţa de 4 m2 şi

grosimea de 8 mm. În interior, coeficientul de transfer de căldură este 11,6 W/m2K, iar

temperatura 20 oC, în exterior, coeficientul de transfer de căldură este 23,2 W/m2K, iar

temperatura -10 oC. Să se determine:

a) coeficientul global de transfer de căldură şi rezistenţa termică

b) costurile de energie electrică necesare acoperirii pierderilor de căldură prin fereastră în

decurs de 24 h, dacă 1 kWh costă 0,5 lei

c) costurile de energie necesare dacă se foloseşte un geam dublu cu strat intermediar de

aer cu grosimea de 10 mm

d) temperaturile pe suprafeţele ambelor tipuri de geam

Coeficienţii de conductivitate termică ai sticlei şi aerului sunt: 0,8 W/mK şi 0,0237 W/mK.

[7,178 W/m2K; 0,139 m2K/W; 10,337 lei; 2,52 lei; 1,436 oC; -0,718 15,472 oC; -7,736 oC]

2. O conductă cu lungimea de 100 m, diametrele de 150 mm şi 159 mm, coeficientul de

conductivitate termică de 50 W/mK este izolată pe o lungime de 90 m cu un strat izolator cu

grosimea de 30 mm si coeficientul de conductivitate termică de 0,1 W/mK. Prin conductă

circulă apă fierbinte cu temperatura medie de 90 oC. Coeficienţii de transfer termic sunt

egali cu 1800 W/m2K şi 6 W/m2K. Temperatura mediului înconjurător este 20 oC. Să se

calculeze raportul pierderilor de căldură pentru conductă, pe porţiunea neizolată, respectiv

izolată. Ce valoare are temperatura suprafeţei exterioare a peretelui pentru conducta izolată

şi neizolată? [0,25; 89,715 oC; 42,514 oC]