8/3/2019 Curs9_MC

1/26

CURS 9

MECANICACONSTRUCIILOR

Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu

8/3/2019 Curs9_MC

2/26

CINEMATICA

8/3/2019 Curs9_MC

3/26

NOIUNI DE BAZ N CINEMATICACinematica studiaz micrile mecanice ale corpurilor,

fr a lua n considerare masa acestora iaciunile carese exercit asupra lor. Studiind numai aspectul micrilordin punct de vedere geometric, aceast parte a mecaniciise mai numeteigeometriamicrilor. Prin urmare, ncinematic se folosesc mrimile fundamentale de spaiu

itimp.Micarea este o noiune care cuprinde n sfera eiurmtoarele elemente: corpul sau mobilul careefectueaz micarea, mediul sau spaiul n care se

desfoarmicareaisistemul dereferinn raport cucare se studiazmicarea.Atunci cnd reperul este considerat fix micarea senumeteabsolut, iar cnd reperul este considerat mobilmicarea se numeterelativ.

8/3/2019 Curs9_MC

4/26

Problema generalCunoaterea micrii unui punct material implic rspunsulla dou ntrebri: undese gsete la orice moment de timpi cumse mic fa de sistemul de referin considerat. ngeneral, rspunsul se obine n mod direct dac estecunoscut vectorul de poziie rca funcie de timp.

r = r(t) (1)

8/3/2019 Curs9_MC

5/26

Aceast funcie vectorial trebuie s fie: continu,uniform (punctul nu poate ocupa simultan dou poziii

n spaiu), finit n modul i derivabil de cel puin douori. Relaia vectorial (1) reprezint legea (vectorial) demicare a punctului material.

Vectorul reste definit de trei funcii scalare (coordonate)n spaiu, de dou pe o suprafa i de una pe o curb,din care rezult c punctul are trei, dou i respectiv ungrad de libertate.

r = r(t) (1)

8/3/2019 Curs9_MC

6/26

Traiectoria

Traiectoriaeste locul geometric al poziiilor succesive pecare punctul material le ocup n spaiu, n timpul micrii.

ntre traiectoria i curba pe care se deplaseaz punctul nuexist totdeauna o coinciden. innd cont c micarea

ncepe de la un anumit moment t0i se termin la un altmoment t1, iar timpul este strict cresctor, domeniul deexisten al acestuia impune condiii restrictivecoordonatelor geometrice.

Spre exemplu, pe un cerc, un punct poate parcurge numaiun arc sau poate parcurge de mai multe ori cercul, iar pe odreapt poate parcurge numai un segment din aceasta, darnu toat dreapta.

8/3/2019 Curs9_MC

7/26

8/3/2019 Curs9_MC

8/26

Referitor la definirea curbei traiectorii a punctului materialse impun unele precizri referitoare la gradul de mobilitatea punctului material.

a) n cazul punctului material liber(gradul de mobilitateeste 3) traiectoria rezult din expresia vectorului de poziier(t)care se definete n general cu ajutorul a trei funcii

scalare.n sistemul de referin cartezian, triortogonal, dreptaceste funcii sunt:

iar vectorul de poziie r(t)se poate scrie:

unde i, j, ksunt versorii axelor Ox, Oy, Oz.

(2)

(3)

8/3/2019 Curs9_MC

9/26

n sistemul coordonatelor cilindricecele trei funciiscalare sunt: raza polar r, unghiul polar i cotapunctului z. Se pot scrie sub forma:

Vectorul de poziie variabil are expresia n acest caz:

Ecuaiile (2) i (4) sunt ecuaiile parametrice ale traiectoriei.Eliminnd parametrul timp (t) se poate obine ecuaiacurbei respective.

(4)

(5)

8/3/2019 Curs9_MC

10/26

b) n cazul punctului material cu legturi gradul de mobilitateeste mai mic dect trei (ct avea punctul material liber), darnu mai puin de unu. Rezult c se studiaz micarea

punctului cu una sau dou legturi simple.Spre deosebire de cazul punctului material liber, traiectoriapunctului material cu legturi poate avea o existenconcret, mergnd pn la identificarea ei cu legturaaplicat. Astfel, n cazul punctuluimaterial cu un grad de libertate iavnd n vedere c traiectoria este ocurb continu i c aceasta are n

orice punct o tangent unic, atuncipoziia punctului se poate stabili cuajutorul unui singur parametru scalar:coordonata curbilinie scare reprezintarcul de curb, msurat de la o originea arcelor M0, n sensul micrii.

8/3/2019 Curs9_MC

11/26

Relaia

reprezint ecuaia orar a micriiunui punct pe o curb.De exemplu, n cazul micrii punctului pe cerc,lungimea arcului seste egal cu produsul razei Rprinunghiul la centru : s = R(t).

(6)

n cazul cnd legturile sunt date explicit n enunulproblemei, trebuie inut cont ca micarea (adic vectorul

de poziie r(t)) s fie compatibil cu acele legturi.

8/3/2019 Curs9_MC

12/26

VitezaRspunsul la ntrebarea la ntrebarea cumse mic

punctul se obine introducnd pe rnd noiunile devitez, apoi de acceleraie. Astfel, considernd doumobile, acestea pot parcurge distane diferite n intervalede timp egale sau aceleai distane n intervale de timpdiferite, rezult c introducerea unei prime noiuni,

numit vitez, este absolut necesar.Se consider un punct pe o traiectorie curbilinie mai nti

n poziia A1, apoi n poziia vecin A2. Intervalul de timptpentru parcurgerea arcului A1A2 fiind foarte mic, se

poate asimila elementul de arc cu elementul de coard.Se definete ca vitez medie, raportul

(7)

8/3/2019 Curs9_MC

13/26

Dac intervalul de timp tinde ctre zero, adic A1 tindectre A2, viteza medie devine viteza instantanee:

(8)

8/3/2019 Curs9_MC

14/26

Stabilirea elementelor caracteristice vectorului vitez seafl din relaia (8):

deoarece

(9)

(10)

unde s-a notat cu versorul tangentei la curb. Prinurmare, viteza este un vector legat, cu direcia tangent lacurb i sensul dat de sensul micrii. Din punct devedere dimensional, ecuaia vitezei este [v] = LT-1, iar caunitate de msur n SI este metru pe secund (m/s).

8/3/2019 Curs9_MC

15/26

AcceleraiaNoiunea de acceleraieeste introdus pentru a caracteriza

modul de variaie al vitezei n timpul micrii, ca direcie,sens i modul. Variaia vitezei vntre dou poziii vecineA1i A2, raportat la intervalul de timp tse definete cao mrime medie vectorial i anume, acceleraia medie:

(11)

8/3/2019 Curs9_MC

16/26

(11)

Acceleraia instantaneea(numit simplu acceleraie) seobine prin trecere la limit, adic:

Ca i viteza, acceleraia este un vector legat punctului nmicare. Ecuaia de dimensiuni a acceleraiei este [a]= LT2.

Unitatea de msur pentru acceleraie n SI este m/s2

.

8/3/2019 Curs9_MC

17/26

Studiul micrii punctului material nsistemul de coordonate cartezian

8/3/2019 Curs9_MC

18/26

Studiul micrii punctului material nsistemul de coordonate polar (cilindrice)

8/3/2019 Curs9_MC

19/26

Viteza i acceleraia unghiular

Poziia unui punct pe o traiectorie circular poate fiprecizat cu ajutorul unui unghi polar, raportat la oax fix:

Pe cercul din figuraalturat se considerdou poziii succesiveA1 i A2.

(12)

8/3/2019 Curs9_MC

20/26

Analog cu viteza medie, viteza unghiular medie sedefinete:

Viteza unghiular instantanee este:

iar acceleraia instantanee

Dimensiunile acestor mrimi fizice sunt [] = T-1i [] = T-2,iar unitile lor de msur sunt respectiv rad/si rad/s2.

(13)

(14)

(15)

8/3/2019 Curs9_MC

21/26

Clasificarea micrilorCriteriile de clasificare folosite n mod obinuit sunt

dup forma traiectoriei (rectilinie sau curbilinie) i dupmodul de variaie a vitezei sau a acceleraiei.

Micarea n care viteza este constant n modul se

numete micare uniform, iar micarea n care vitezaeste variabil se numete micare variat.

Dac viteza este o funcie liniar n raport cu timpul,micarea se numete uniform variat. Se cunosc douposibiliti: dac viteza i componenta tangenial aacceleraiei au acelai sens, micarea este uniformaccelerat, iar dac au sensuri contrare, micarea esteuniform ncetinit.

8/3/2019 Curs9_MC

22/26

Studiul micrii punctului material ntriedrul lui Frenet

Se consider un punct material Mn micare pe otraiectorie C, poziionat prin arcul de curb sfa depoziia iniial M0, ca n figur.

Triedrul lui Frenet

T i d l l i F i i l d

8/3/2019 Curs9_MC

23/26

Triedrul lui Freneteste un sistem triortogonal drept, nordinea axelor , , , cu originea mobil plasat npunctul material Mn micare i avnd urmtoarele axe:

axa tangent la curb, de versor , orientat pozitiv nsensul micrii, adic n sensul creterii arcului s;

axa normal principal, de versor , cu direcia isensul ctre centrul de curbur;Planul ( , ) se numete plan osculator.

axa binormal, de versor , perpendicular pe planulosculator i cu sensul pozitiv orientat astfel nctordinea , , s formeze un sistem drept.

Fcnd apel la formulele lui Frenet:unde este curbura, obinem: (16)

(17)

8/3/2019 Curs9_MC

24/26

(18)

(19)

Deci viteza punctului material are direcia axei normaleprincipale.

Din relaia (18) rezult c acceleraia punctului materialare dou componente n planul osculator:

Acceleraia tangenial a ne ofer informaii n legtur cuviteza de variaie a mrimii vectorului vitez, iaracceleraianormal a ofer informaii legate de viteza de variaie adireciei vectorului vitez.

.

8/3/2019 Curs9_MC

25/26

Cazuri particulare de micare alepunctului material

a) micare rectilinie uniform: Micarea punctului materialeste rectilinie i uniform atunci cnd traiectoria punctuluieste o dreapt i modulul vitezei este constant n timp.

(20)

b) micare rectilinie uniform variat: Traiectoria punctuluimaterial este o dreapt i modulul acceleraiei este

constant n timp.(21)

8/3/2019 Curs9_MC

26/26

c) micare circular uniform:

d)micare rectilinie oscilatorie armonic:

(22)

(23)