ECONOMETRIE - anul universitar 2008-2009-

Planul cursuluiElemente conceptuale Demersul metodologic al econometrieiModelul de regresie liniar simplModelul de regresie liniar multiplModele de regresie non liniarModele cu variabile dummy

Planul cursului7. Ipoteze statistice: normalitatea erorilor, homoscedasticitatea, necorelarea erorilor, multicoliniaritatea.8. Modelarea seriilor de timp.

7. Ipoteze statisticeIpotezele statistice care se formuleaz n modelarea econometric sunt ipoteze asupra componentei aleatoare (erorilor) i ipoteze asupra componentei deterministe (variabilelor independente).

7.1. Ipotezele asupra componentei aleatoare (erorilor) sunt urmtoarele: a. Media erorilor este nul: M(i)=0. b. Ipoteza de normalitate:

c.Ipoteza de homoscedasticitate: V(i)=2.d. Ipoteza de necorelare sau de independen a erorilor: cov(i, i)=0.

Media erorilor este nul

1. Definire: M(i)=0.

2. Efectele nclcrii acestei ipoteze:dac aceast ipotez este nclcat, atunci se modific proprietile estimatorilor parametrilor modelului de regresie.

3. Testarea ipotezei cu privire la media erorilorIpoteze

Calculul statisticii test

Decizie

4. Exemplu

b. Ipoteza de normalitate a erorilor1. Formularea problemeierorile urmeaz o lege normal de medie 0 i varian 2:

2. Efectele nclcrii acestei ipotezeipoteza de normalitate a erorilor este important pentru stabilirea proprietilor estimatorilor parametrilor modelului de regresie.

dac , atunci estimatorii parametrilor modelului de regresie urmeaz, de asemenea, o lege normal:

dac ipoteza de normalitate este nclcat, proprietile estimatorilor construii pe baza metodei celor mai mici ptrate au doar proprieti asimptotice, adic necesit eantioane sau seturi mari de date.

3. Verificarea normalitii erorilorlegea normal este definit de funcia de densitate de probabilitate care este reprezentat grafic prin curba densitii de probabilitate, curb cu alur de clopot.

3.1. Procedee grafice Histograma (curba frecvenei);Box-Plot;P-P Plot;Q-Q Plot.

Reprezentarea histogramei i a curbei frecvenelorse reprezint curba frecvenei sau histograma reziduurilor i se observ dac forma distribuiei acestora are alur de clopot.

Exemplu:

Histograma i curba frecvenelor

b. Box-plot

c. P-P Plot

3.2. Procedee numericea. Testul Kolmogorov-Smirnov-Lilliefors (KSL)

presupune compararea frecvenelor cumulate (calculate) cu frecvenele teoretice cumulate extrase din tabelul Gauss.

Ipoteze statistice:H0: ipoteza de normalitateH1: distribuia erorilor nu urmeaz o lege normal

Regula de decizie:

valoarea probabilitii asociate statisticii test calculate (Sig.) se compar cu (0,05): dac Sig.

b. Testul Jarque-Bera

se bazeaz pe verificarea simultan a proprietilor de asimetrie i boltire ale seriei reziduurilor. Pentru o distribuie normal, valoarea coeficientului de asimetrie Fisher (sw) este zero, iar valoarea coeficientului de boltire Fisher (k) este zero.

Ipoteze statisticeH0: ipoteza de normalitateH1: distribuia erorilor nu urmeaz o lege normal

Calculul statisticii test:

statistica test JB se calculeaz dup relaia:

unde: sw este coeficientul de asimetrie (Skewness):

k este coeficientul de boltire (Kurtosis):

n cazul unui model de regresie, estimaiile celor doi parametri ai formei unei distribuii au urmtoarele relaii:

unde:

Regula de decizie:Statistica JB urmeaz o lege .

dac valoarea calculat a statisticii test JBcalc> sau Sig.

c. Ipoteza de homoscedasticitate a erorilorDefinireipoteza de homoscedasticitate presupune ca variana erorilor s fie constant:

aceast ipotez presupune o varian constant a erorilor la nivelul distribuiilor condiionate de forma .

2. Efectele nclcrii acestei ipotezepierderea eficienei estimatorilor parametrilor modelului de regresie.

3. Identificarea heteroscedasticitii

3.1. Procedee grafice- presupun reprezentarea distribuiei erorilor i aprecierea varianei acesteia.

- cazul existenei heteroscedasticitii:

Chart1

10.67547

8.10.81705

10.31.08098

12.11.21511

14.10.36414

16.4-0.06447

18.2-8.63034

20.11.51124

22.3-0.42482

24.1-0.39069

26.11.65834

28.3-0.87773

30.11.7564

32.31.62034

34.51.48428

36.6-1.75924

38-1.35492

40.21.90902

42.31.8655

44.7-2.45566

X

Residuals

Sheet1

22.3-0.424826.20.67547

32.31.620348.10.81705

36.6-1.7592410.31.08098

12.11.2151112.11.21511

42.31.865514.10.36414

6.20.6754716.4-0.06447

44.7-2.4556618.2-8.63034

26.11.6583420.11.51124

10.31.0809822.3-0.42482

40.21.9090224.1-0.39069

8.10.8170526.11.65834

34.51.4842828.3-0.87773

38-1.3549230.11.7564

14.10.3641432.31.62034

16.4-0.0644734.51.48428

24.1-0.3906936.6-1.75924

30.11.756438-1.35492

28.3-0.8777340.21.90902

18.2-8.6303442.31.8655

20.11.5112444.7-2.45566

Sheet1

1

Sheet2

1

X

Residuals

Sheet3

3.2. Procedee numericeTestul Spearman (coeficient al corelaiei neparametrice)se bazeaz pe calculul rangurilor valorilor estimate ale erorilor, i , i a valorilor Xi .

Ipoteze statistice:H0: ipoteza de homoscedasticitateH1: ipoteza de heteroscedasticitate

Calculul statisticii test:

Se folosete statistica test t Student:

unde: este o estimaie a coeficientului Spearman, care se calculeaz pe baza relaiei:

- unde:

- se consider rangul 1 pentru cea mai mare valoare, rangul 2 pentru urmtoarea valoare ca mrime, .a.m.d., pentru ambele iruri de valori xi i ei.

Regula de decizie:tcalc>tteor sau o valoare a lui Sig. asociat statisticii test t Student calculate < 0,05 duce la respingerea ipotezei Ho.

Exemplu: Pentru dou variabile, X i Y, se cunosc urmtoarele valori:

xiyi11021532043054015115

Se cere s se testeze ipoteza de homoscedasticitate, folosind coeficientul Spearman (considernd un risc de 0,05).

Rezolvare:Pentru aceasta, se formuleaz urmtoarele ipoteze statistice:H0: ipoteza de homoscedasticitateH1: ipoteza de heteroscedasticitate

Statistica test se calculeaz dup relaia:

unde: , cu

Pentru aflarea rangurilor valorilor estimate ale erorilor (Rei), se calculeaz erorile .Valorile teoretice, yxi=a+bxi, se afl pe baza coeficienilor estimai ai modelului de regresie (a=0,5; b=7,5).

Elementele de calcul ale coeficientului Spearman sunt prezentate n tabelul de mai jos:

xiyieiRxiReididi2110251416215-0,54224320-33300430-0,522005402110015115----20

Coeficientul Spearman este:

Statistica test t Student se calculeaz astfel:

Regula de decizie:pentru exemplul dat:

Deci, se accept ipoteza Ho, ipoteza de homoscedasticitate.

Prin prelucrarea datelor n SPSS, s-au obinut urmtoarele rezultate:

b. Testul Goldfeld-QuandtIpoteze statistice:

H0: ipoteza de homoscedasticitateH1: ipoteza de heteroscedasticitate

Etape pentru calculul statisticii test:- se ordoneaz cresctor seria valorilor empirice xi .

- se mparte seria n dou pri egale, dup omiterea unui set de date din centrul seriei (n cazul seriilor cu un numr mare de termeni);

- se estimeaz parametrii ecuaiei de regresie pentru fiecare din cele dou seturi de date i se calculeaz variaia rezidual (RSS) pentru fiecare model n parte;

se calculeaz statistica test Fisher care compar cele dou variaii reziduale:

unde: RSS1 corespunde celei mai mici valori a variaiei reziduale.

Regula de decizie:

- dac sau Sig.

xiyi2153201104196255237308359381040

Se cere s se testeze ipoteza de homoscedasticitate, folosind testul Goldfeld-Quandt.

Rezolvare:Se ordoneaz cresctor irul valorilor xi.Se mparte seria valorilor xi n dou serii: prima serie este reprezentat de valorile 1, 2, , 5; iar a doua serie este reprezentat de valorile 6, 7, , 10.

3. Pentru fiecare din cele dou serii se estimeaz parametrii modelului de regresie. Se obine:

Seria 1: Yx=8,3+3XSeria 2: Yx=3,2+3,8X

4. Pentru aceste modele, se estimeaz variaia rezidual (valoare prezentat n output-ul ANOVA):- pentru seria 1: RSS=3,73;- pentru seria 2: RSS=1,6.

5. Se calculeaz raportul F, considernd RSS1 cea mai mic valoare, i anume RSS1=1,6:Fcalc=3,73/1,6=2,33.

6. Se compar valoarea calculat a statisticii test F cu valoarea teoretic:

(k este numrul de parametri estimai).

7. Interpretare:

Pentru exemplul dat, se accept ipoteza de homoscedasticitate.

c. Testul Glejserare la baz un model de regresie ntre variabila rezidual estimat i variabila independent.

Etapele testrii:Se estimeaz modelul de regresie de forma:

2. Se calculeaz erorile ei. 3.Se construiete un model de regresie pe baza erorilor estimate n valoare absolut i variabila

independent. Exemplu:

4. Se testeaz parametrii acestui model: dac parametrul 1 este semnificativ, atunci modelul iniial este heteroscedastic.

Exemplu: