CURS_4_MDF_2015

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015

http://slidepdf.com/reader/full/curs4mdf2015 1/138

CURS_4_MDF_2015/2016 1

Capitolul 3

Clasificarea ecuaţiilorcu derivate parţiale

S.l.dr.ing.mat. Alina BogoiMetode cu Diferenţe Finite

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 2

Scopurile prezentării

Clasificarea EDP de ordinulal II-lea cu n variabile

EDP de ordinul al I (ecuaţiade advecţie)

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 3

2

, 1 ( , , ) 0

n

iji j

i j k

u ua b u x x x

x

( , , )ij ij

k

ua a u

x

x

Forma generală a ecuaţ iei cu derivate partiale de ordinul II

element al unei matrice patratice de

ordinul n;

2: , ( )nu D R R u C D Dx

Definiţie: u-este soluţ ie in sens clasic dacă verifică ecuaţ ia pedomeniul considerat.

Fie

unde

Clasificarea ecuaţ iilor cu derivate par ţ iale deordinul al II-lea cu n variabile

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 4

Forma generală a ecuaţ iei cu derivate partiale de ordinul II2: , ( )nu D R R u C D DxFie

Clasificarea ecuaţ iilor cu derivate par ţ iale deordinul al II-lea cu n variabile

liniară( )

ij ij

a a x

( , , )ij ij

i

ua a u

x

x

cvasiliniară

neliniară

2

2( , , , )ij ij

i i

u ua a u x x

x

2

, 1 ( , , ) 0

n

iji j

i j k

u ua b u x x x

x

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 5

det( ) 0 A I

00! a.î. 0, , 0( 0)i ii i i sau

0 0i i sau

EDP este de tip parabolic dacă:

Metoda 1. Metoda determinării valorilor proprii ale lui A

EDP este de tip hiperbolic dacă:

! 0 ! 0

i i

j j

R R sau

EDP este de tip eliptic dacă:

Există trei metode de determinarea tipului de ecuaţie!

Dacă A este o matrice simetrica atunci toate soluţiilesunt reale.

P

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 6

Metoda 2: Schimbarea de variabilă

( ( )) ( )u u x y x y y

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1

0r r m

u u u ub

y y y y

2

, 1( , , ) 0

n

iji j

i j k

u ua b u

x x x

x

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 7

Metoda 2: Schimbarea de variabilă

2 2

2 21 10

r m

i i r i i

u ub

y y

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1

0r r m

u u u ub

y y y y

sau

mr

n

Numărul de variabile cu coeficienti pozitivi

Numărul de variabile independente

Numărul de derivate parţiale de ordinul II

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 8

1. EDP este de tip parabolic dacă: 0, 1r m n

2 2

2 2

1 1

0n

u ub

y y

Exemple: Ecuaţia de difuzie

D

t

2 2 2

2 2 2( ) D

t x y z

Observaţie:Nu există derivata de ordinul al II-lea în raport cu timpul!

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 9

2. EDP este de tip hiperbolic dacă:

Exemple:Ecuaţia undelor (D’ Alembert)

1,r n m n

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1

0

r r m

u u u ub

y y y y

2 2 2

2 2 2

1 1

0n n

u u u b y y y

2 2 2 2 2

2 2 2 2 20 ( ) 0

u u u u uu

t t x y z

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 10

3. EDP este de tip eliptic dacă: r m n

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1

0

r r m

u u u ub

y y y y

2 2

2 2

1

0n

u ub

y y

2 2 2

2 2 2

0

0 x y z

( ) 0div grad Exemple: Ecuaţia lui Laplace

Observaţie: Toate derivatele de ordinul al II-lea există şi au acelaşi semn!

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 11

În matematică, metoda caracteristicilor

este o tehnică pentru rezolvarea EDP.

Tipic, se aplică EDP de ordinul I şi-n specialEDP de tip hiperbolic.

Ideea metodei este de a reduce a EDP la ofamilie de EDO de-a lungul cărora soluţia

poate fi integrată pentru anumite date iniţiale .

Metoda 3. Clasificarea EDP folosind metodacaracteristicilor

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 12

Clasificarea EDP cu doua variabileForma generală( 2 variabile)

liniară , , ,., , A B C G f x y

, , ,., , , , , u u

A B C G f x y u x y

2 2 2

2 2, , ,., , , , , ,

u u u

A B C G f x y u x y x y

variabile independente

sau

cvasiliniară

neliniară

813

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 13

Exemple de EDP cu doua variabile

2

2 8 3 4 cos(2 ) 0

2 3 4 0

2 3 02 3 0

2 2 3 0

Exemple de EDP liniare:

Exemple of EDP nelinaire:

xx xt tt x

xx t x

xx xt tt

xx xt t

xx xt t t

u u u u t

u u u

u u uu u u

u u u u

813

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 14

EPD liniară de gradul II cu douăvariabile independente (x, y), (x, t),..etc .

A, B, C, ..., G sunt coeficienţi constanţi (sau

pot fi funcţii de x şi y)

0 G Fu y

u

E x

u

D y

u

C y x

u

B x

u

A 2

2 2

2

2

2

2

2

4 0 eliptic

Clasificare 4 0 parabolic

4 0 hiperbolic

:

:

:

B AC

B AC

B AC

Clasificarea EDP cu doua variabile

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 15

Transformarea de coordonate

Planul fizic planul transformat

Lanţul statului de transformare (prima-derivată)

0 G Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx

),(

),( ),(),(

y x

y x u y x u

u

u

u

u

u u u

u u u

y y

x x

y

x

y y y

x x x

J=Transformare

Jacobiana

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 16


Similar

yy yy

2

y y y

2

y yy u u u u 2 u u

2 22

( ) ( ) xx x x x x x

x x x x xx xx

u u u u

u u u u u

xy xy y x x y y x y x

xy x y xy x y y x xy

u u u u u

u u u u u u

)(

)()()(

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 17

Aşadar,

2 2 2 2

0

2 2

0

( ) ( )

[ ( ) ]

[( ) ( ) ]

xx xy yy

x x y y x x y y

x x x y y x y y

xx xy yy xx xy yy

Au Bu Cu H

A B C u A B C u

A B C u

A B C u A B C u H

A u B u C u H

2 2

2 2

x x y y

x x y y

A A B C

C A B C


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 18

Discriminantul în planul transformat

J 0

Natura procesului fizic este independentă desistemul de coordonate pe care il alegem săo reprezinte

Clasificarea EPD - urilor

)(

)()(

))((

])([)(

AC 4 B J

AC 4 B

C B AC B A4

C 2 B A2 C A4 B

2 2

2 2

x y y x

2

y y x

2

x

2

y y x

2

x

2

y y x y y x x x

2

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 19

Forme canonice ale EPD - urilor

Orice EPD, de asemenea, poate fi transformată înformă canonică( x,y ) ( ,)

Alegem ( , ) direcţiile caracteristice, de-alungul carora A = C = 0

G F E D C B A

G F E D C B Ay x yy xy xx

0 C B AC

0 C B AA

2

y y x

2

x

2 y y x

2 x

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 20

Forme canonice ale EPD - urilor

Ecuaţii caracteristice: A = C = 0

Direcţii caracteristice : (x,y)= const, (x,y)= const

(d ,d = 0)2

1

2

2

, 0 4

2, 0

0 0

x y x x

y y x y

c d dx dy dy B B AC

dx Ac d dx dy

dy dy A C A B C

dx dx

A2

AC 4 B B 0 C B A

A2

AC 4 B B 0 C B A

2

y

x

y

x

2

y

x

2

y

x

y

x

2

y

x

Ecuaţii caracteristice

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 21

Forme canonice EPD Hiperbolice : B 2 4A C > 0, 2 caracteristici reale

EPD parabolice: B 2 4A C = 0, 1 caracteristici reale

EPD-uri eliptice: B 2 4A C < 0, 0 caracteristici reale

1 C 0 B 1 A h

1 B 0 C A h

1

1

,,),,,,,(

,),,,,,(

0 C B 1 A h 2 ,),,,,,(

3 1 0 1( , , , , ), , ,h A B C

i

ii

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 22

Caracteristicile EDP de ordinul II omogenă

Ecuaţia caracteristică a EDP de ordinul II

Clasificarea EDP cu doua variabile

A2

AC 4 B B

dx

dy 0 C

dx

dy B

dx

dy A

2 2

2

2

2

4 0,

4 0,

4 0,

EDP Hiperbolică: 2 rădăcini reale (2 caracteristici)

EDP Parabolică: o rădăcină reală (1 caracteristică)

EDP Eliptică: 2 rădăcini complexe (0 caracteristici)

B AC

B AC

B AC

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 23

Condiţii iniţiale şi la frontieră

R

s

n

R Condiţii Iniţiale : sunt folosite capunct de plecare pentruproblemele de propagare

Condiţii pe frontieră: specificeacelor domenii care trebuie să

genereze soluţii în interiorul

domeniului computaţ ional.

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 24

Ecuaţii de tip Hiperbolic (Propagare)

• Ecuaţia de advecţie (ordinul I liniar)

• Ecuaţia undelor (ordinul al II-lea liniar)

EDP reprezentative

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 25

EDP reprezentative.Exemple

2 2

2 2

21, 0, 1 4 0

( , ,

0

) ( )0Ecuaţia undelor

EcuaţieHiperbolică A B

u x t u

C B AC

D E F G

x t

x t

2 2 2

2 2 0

u u u u u A B C D E Fu G

x x y y x y

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 26

Ecuaţii de tip Parabolic

• Ecuaţia Burger (ordinul al II-lea neliniar)

• Ecuaţia Fourier (ordinul al II-lea liniar)(Diffusion / dispersion)

EDP reprezentative

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 27

EDP reprezentative.Exemple

2

2

2

( , ) (

1, 0, 0 4 0

1, 0

, )0

u x t u x

A B C B AC

D E F

t

x t

G

Ecuaţia căldurii

EcuaţieParabolică

2 2 2

2 2 0

u u u u u A B C D E Fu G

x x y y x y

. . ( ,0) sin( )

. . (0, ) (1, ) 0

C I u x x

C L u t u t

x

ice ice

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 28

Ecuaţii de tip Eliptic

• Ecuaţia Laplace/Poisson (ordinul al II-lea liniar)

• Ecuaţia Helmholtz (ordinul al II-lea neliniar)

EDP reprezentative

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 29

Examplu de problemă eliptică:

Curgere incompresibilă nevâscoasă esteguvernată de ecuaţia lui Laplace.

2 2

2

2 20

x y

EDP reprezentative

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 30

Sistem de EDP cuplate: Ecuaţiile Navier-Stokes în regimincompresibil

EDP reprezentative

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 31

EDP cu caracter mixt :

EDP reprezentative

2 22

2 2

1:(1 ) 0

1:

subsonic

supersonic

M M

M x y

Curgerea staţionară, compresibilă

subsonică/supersonică

① : regiune subsonică

② : linie sonică (M=1)

③ : regiune supersonică

①①③

②

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 32

Clasificarea EDP cu doua variabileConcluzie -Forma generală( 2 variabile)

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 33

Problemă numeric bine pusă(stabilă)

(Numerically Well-Posed )

Soluţia numerică să existe (existenţa)

Soluţia numerică să fie unică (unicitea)

Soluţia numerică să depindă continuu dedatele iniţiale şi la limită

Algoritmul trebuie să fie stabil

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 34

Reprezentarea soluţiei EDP(2D-exemplu)

Există 3 căi de reprezentare a soluţiei.

Familii de curbe cedepind de 2 variabileindependente (unaconstantă şi unavariabilă).

x1

t1

),( 11 t xT

Reprezentarea 3D a

funcţiei T(x,t)

Valoarea funcţiei estevizualizată în punctelegridului.

T=3.5

T=5.2t=ct

x

T

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 35

Definiţii

1. Consistenţă : O schemă cu diferenţe finite a EDP

este consistentă dacă aceasta aproximează EDP atât

timp cât ∆x 0.

2. Stabilitatea : O schemă numerică este stabilă dacă

orice eroare introdusă in ecuaţia cu diferenţe finite nu

amplifică soluţia.

3. Convergenţă : O schemă cu diferenţe finite esteconvergentă dacă soluţia schemei numerice se a propie

de soluţia EDP când ∆x 0.

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 36

Discretizarea ecuaţiei ---------> ecuaţia continuă

Discretizarea soluţiei ---------> soluţia continuă

discretizare din ce în ce mai fină

Convergenţa

Consistenţa

Stabilitatea

Teorema Lax-Richtmeyer

Teorema Lax-Richtmeyer

Soluţia discretizată să fie mărginită.

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca o schemă numerică

să fie convergentă, este ca aceasta să fie stabilă şi consistentă.

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 37

Teorema de echivalenţa Lax-Richtmeyer:

Fie o schema cu diferenţe finite care aproximează

o problemă cu valori iniţiale bine-pusă.Condiţia necesară şi suficientă pentru ca o

schemă să fie convergentă, este ca aceasta să

fie stabilă şi consistentă.

Definiţii

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 38

Consistenţa Diferenţelor Finite

1 j-1 j j+12 N N+1

<------------------------------- L ---------------------------------->

Dezvoltarea în serie Taylor :

2 3

1

2 3

1

1 1' '' ( ) ''' ( ) ....

2! 3!

1 1' '' ( ) ''' ( ) ....2! 3!

j j j j j

j j j j j

x x x

x x x

1,........, 1 j j x x j N

x

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 39Consistente dacă … sunt mărginite

1

1 1

1 1 2'' ''' ( ) ..

2! 3!' .

j j

j j j E x x E unde x

Diferenţe finite înainte Consistente dacă … sunt mărginite

1

2 2

1 1 2'' ''' ( ) ..

2! 3!' .

j j

j j j E x x E unde x

Diferenţe finite înapoi

1 1 1 2''' ( ) ..

3!' .

2

j j

j j E x E unde x

Diferenţe finite centrate

" "', , j j

"', j

Consistenţa Diferenţelor Finite

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 40

Analiza de stabilitate von Neumann

Analiza stabilităţii von Neumann verifică cum progresează

modurile Fourier de la un pas de timp la altul.

Se consider ă o Soluţie Posibilă (i.e. un mod Fourier ,k , alesarbitrar dintre toate modurie posibile care intervin într-o soluţie)

calculată într -un anumit punct x.

u( x,t ) U (t )eikx i 1

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 41


Avansând cu soluţia în timp cu un pas

( , ) ( ) jikxn n ikjh

j j n nu u x t U t e U e

x j jh

u j

n1

u( x j,t n1) U n1

eikjh

gU n

eikjh

unde g = U n+1 /U n este definit ca factor de ampli f icare

u( x,t ) U (t )eikx

i 1

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 42

Dacă |g| > 1 soluţia creşte în amplitudine şi devine instabilă.

Dacă |g| < 1 soluţia este amortizată.


u j

n1 u( x j,t n1) U n1eikjh

gU neikjh

unde g = U n+1

/U n

este definit ca factor de ampli f icare

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 43

Strategia analizei von Neumann este:

I) Se introduce soluţia posibilă în schema numerică

II) Se determină factorul de amplificare, g , în funcţie de

pasul grilei, ∆x , şi de pasul de timp, ∆t.


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 44

Capitolul 5

Ecuaţia hiperbolică


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 45

Ecuaţia hiperbolică

Fie

Doua caracteristici reale

Curbe (Liniile) caracteristice

0 c 4 AC 4 B c C 0 B 1 A

0 c 2 2 2

xx

2

tt

,,

c A2

AC 4 B B

dt

dx 2

Viteza de

propagare dx /dt

const ct x

const ct x 0 cdt dx

0 cdt dx

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 46

Metod a Caracteristic ilor

Caracteristicile( = x ct,

= x + ct )

0 0 c xx

2

tt

=c c , , d g( )

, f ( ) g( )

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 47

Interpreta rea Fizică

0 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

tt xx f g

f g f x ct g x ct

x

t

= x ct = x + ct

Domain of

Dependence

Domain of

Influence

P(x,t)

Initial conditions

Boundary

conditions

Boundary

conditions

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 48

Problemă de propagare în timp pe directiicaracterisitice

x

t

= x ct = x + ct

Domeniul de

Dependenţă

Domeniul de

Influenţă

P(x,t)

Conditii Initiale

Condiţii la

limită

Condiţii la

limită

= x ct, = x + ct

)()(

g f 0 xx tt

Interpreta rea Fizică

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 49

Ecuaţia Hiperbolică ( Domeniul Infinit )

02 xxtt

ucu

)()0,(

)()0,(

x g xu

x f xu

t

Condiţii Initiale

),0(),(),( t x

2

0 u

( ) ( ) ( )

t x t x

tt x t t x x x xx

u cu cu

u cu c u c cu c u

OBS:

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 50

Domeniul de Dependenţă

P 1 : t = t 1

P 2 : t = t 2

P 3 : t = t 3

Initial conditions

Boundary

Conditions

Boundary

Conditions

E

F

C

D

A B

Ecuaţiile Hiperbolice

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 51

Ecuaţia Hiperbolică ( Domeniul Infinit )

02 xxtt ucu

)()0,(

)()0,(

x g xu

x f xu

t

Condiţii Initiale

),0(),(),(

t x

ct x

ct x

dy y g c

ct x f ct x f t xu )(2

1)]()([

2

1),(

Soluţia D’Alembert

E ţi Hi b li ă b

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 52

x-ct=constantx+ct=constant

x

t

(x,t)

Ecuaţia Hiperbolică -curbe

caracteristice

E ţi Hi b li ă b

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 53


x

t

(x,t) Punctul (x,t) este influenţat

doar de condiţiile iniţiale

mărginite doar de curbele

caracteristice.

ct x

ct x dy y g cct x f ct x f t xu )(2

1

)]()([2

1

),(


caracteristice

E ţi Hi b li ă b

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 54


x

t

(x,t) Regiunea mărginită de

caracterisitici este denumită

domeniul de dependenţă al

EDP.


caracteristice

E l E ţi Hi b li ă

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 55

Examplu: Ecuaţia Hiperbolică

(Domeniul Infinit)

0 xxtt uu

0)0,(

)exp()0,( 2

xu

x xu

t

C.I.

),0(),(),( t x

E l E ţi Hi b li ă

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 56

t=.01 t=.1

t=1 t=10

Examplu: Ecuaţia Hiperbolică

(Domeniul Infinit)

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 57

02 xxtt ucu

)()0,(

)()0,(

x g xu

x f xu

t

C. I.

),0(),(),( T bat x

Ecuaţia Hiperbolică (Domeniul finit)

)(),(

)(),(

t t bu

t t au

C. L.

Ecuaţia Hiperbolică curbe

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 58


x

t

(x,t)

x=bx=a


caracteristice- domeniul finit

Ecuaţia Hiperbolică curbe

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 59


x

t

(x,t)

x=bx=a

Valorile sunt influenţate de

valorile la limită. Reprezintă

informaţii care intră în domeniu.


caracteristice- domeniul finit

M t d dif r ţ l r finit pli tă

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 60

Metoda diferenţelor finite aplicată

ecuaţiei undelor 2 0

( ,0) ( )

( ,0) ( )

tt xx

t

u c u

u x f x

u x g x

h- pas în spa ţiu şi k pas în timp

h

k

tx

)(),(

)(),(

t t bu

t t au

),0(),(),( T bat x

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 61

Eroarea de Trunchiere

Similar

Eroarea de Trunchiere O(h2 + k2)

1 1 1 12 2

4 4 6 62 2 4 4

4 4 6 6

1 1( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )

1 1

2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ...4! 6!

i n i n i n i n i n i n

i n i n i n i n

u x t u x t u x t u x t u x t u x t k h

u u u u

k x t h x t k x t h x t t x t x


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 62

02 xxtt ucu

21 1

1 12 2

12 2 0( ) ( )n n n n n n

i i i i i i

cu u u u u u

k h

Explicităm

2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i i

c k u u u u u u

h


ecuaţiei undelor( , ) n

i n i

u x t u

1n

iu


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 63

Schema presupune

valorile lui u la 3

nivele diferite de timp.

h

k

tx

2 2

1 11 12

2 2( )n n n n n ni i i i i i

c k u u u u u uh


ecuaţiei undelor ( , ) n

i n iu x t u

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015



7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 65

Aproximăm condiţia iniţială .

h

k

tx

iii

iii

f kg u

x g uuk

1,

0,1, )(1

)()0,(

)()0,(

x g xu

x f xu

t


ecuaţiei undelor(metoda I)

U la momentul iniţial.

ui,0 = f(xi)


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 66

Aproximăm condiţia iniţială .

h

k

t

x

21 2

2

22 3 2

1 1 1

, ,0( ,0) ( ,0)

2

, 1 ( ) 2

i i

i i

i i i i i

u x t u x u k u x x O k

k t t

u x t f x kg x f x f x O k kh

)()0,(

)()0,(

x g xu

x f xu

t


ecuaţiei undelor-metoda II

U la momentul iniţial.

ui,0 = f(xi)


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 67

Ce valori discrete influenţează ui,j+1 ?

h

k

tx


ecuaţiei undelor2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i i

c k u u u u u uh


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 68

h

k

tx


ecuaţiei undelor


2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i i

c k u u u u u uh


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 69

h

k

tx


ecuaţiei undelor


2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i i

c k u u u u u uh


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 70

h

k

tx


ecuaţiei undelor


2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i ic k u u u u u u

h

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 71

Domeniul de dependenţă numerică

h

k

tx


2 21 1

1 122 2( )n n n n n n

i i i i i ic k u u u u u u

h

CFL (Courant Friedrichs Lewy)

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 72

CFL (Courant, Friedrichs, Lewy)

Condition

Instabilă: parte a domeniul fizic este înafara domeniuluidiscret de dependenţă.

h

k

tx


Condiţia CFL (Courant Friedrichs

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 73

Posibil stabil: domeniul fizic este în interiorul

domeniului discret de dependenţă.

h

k

tx


Condiţia CFL (Courant, Friedrichs,

Lewy)


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 74


Lewy)

Limita de instabilitate: domeniul de dependenta fizic esteal PDE este egal cu domeniul discret de dependenţă al

PDE.

h

k

tx



7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 75

O condiţia necesară pentru ca schema să fie stabilă

este ca pentru fiecare punct din mesh, domeniul de

dependenţă al ecuaţiei să fie în interiorul domeniul

discret de dependenţă.

c xt

chk

/

/


Lewy)


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 76


Lewy)

Constanta c este viteza sunetului.

Condiţia CFL afirmă că unda nu poate să străbată mai

mult de o celulă într -un singur interval de timp.

1

/t x c

c t x

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 77

Exerciţiu seminar

Implementaţi un program numeric pentruecuaţia hiperbolică dx=0.25 , T=1 :

Soluţia Exactă

( ,0) sin( ),

( ,0) 0,

(0, ) 0,

(1, ) 0.

t

u x x

u x

u t

u t

0,( , ) (0,1) (0,1)tt xxu u x t

( , ) cos( )sin( )u x t t x

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 78


Analiza stabilităţii von Neumann verifică cum progresează

modurile Fourier de la un pas de timp la altul.

Se consider ă o Soluţie Posibilă (i.e. un mod Fourier ,k , ales

arbitrar dintre toate modurie posibile care intervin într-o soluţie)

calculată într -un anumit punct x.

( , ) ( ) ikx

k

k

u x t U t e

i 1

u( x,t ) U (t )eikxi 1

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 79


Avansând cu soluţia în timp cu un pas

( , ) ( ) jikxn

j j n nu u x t U t e

x j jh

1 1

1( , ) jikxn n

j j nu u x t U e

gU

n

e

ikjh

unde g = U n+1 /U n este definit ca factor de amplificare

u( x,t ) U (t )eikx

i 1

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 80

Dacă |g| > 1 soluţia creşte în amplitudine şi devine instabilă.

Dacă |g| < 1 soluţia este amortizată.


u j

n1 u( x j,t n1) U n1eikjh

gU neikjh

unde g = U

n+1

/U

n

este definit ca factor de amplificare

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 81

Strategia analizei von Neumann este:

I) Se introduce soluţia posibilă în schema numerică

II) Se determină factorul de amplificare, g, în funcţie de

pasul grilei, h, şi de pasul de timp, .


Eroarea de tip Disipaţia şi Dispersia

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 82

Exact Disipativ sau Difuziv Dispersiv

Natura schemei numerice depinde de natura ordinului de eroare cel maimic trunchiat.

•Eroarea este Disipativă dacă derivata principală de trunchiere din

dezvoltarea Taylor este pară : (da /dx)2p

•Eroarea este Disipersivă dacă derivata principală detrunchiere din dezvoltarea Taylor este impară: (da/dx)2p+1

Eroarea de tip Disipaţia şi Dispersia

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 83

Exact Disipativ sau Difuziv Dispersiv

Difuzie sau Disipaţie

xxa

Dispersie

xxxa

Netezire discontinuităţilor Oscilaţii fără semnificafizică

S h M t

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 84

Scheme Monotone

Schemele monotone pentru

ecuaţia liniar ă de advecţie

cu viteză constantă de propagare sunt acelea pentru

care coeficienţii sunt non-

negativi.

1

( ,.... ,...., )n n n n

i i s i i r a H a a a

O schemă monotonă satisface:

0 ,n

k

H k

a

1 1

1 1 n n n n

i i i ia a i a a i

Depistează schemele numerice carenu produc oscilaţii care nu ausemnificaţie fizică.

Capitolul 4

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 85

Capitolul 4

Ecuaţia liniară de

advecţie


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 86

Scopurile prezentării

EDP de ordinul al I (ecuaţia deadvecţie)

Metoda FTCS

Metoda Lax

Metoda upwind Godunov de ord. I Metoda Leapfrog (Metoda CTCS)

Metoda Lax-Wendroff

Metoda FTCS implicită

Metode Multi-Pas Metoda Richtmyer

Metoda Lax-Wendroff

Metoda MacCormack

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 87

EPD de ordinul I in (x,t)

Linia Caracteristică: = Ax Bt = const

Din relatia: d = 0

0

( ,0) ( )

t x Au Bu

u x f x

( , ) ( ) ( )u x t f f Ax Bt

A

B

dt

dx

Ecuaţia liniară de advecţie

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 88

u = f( )=ct de-a lungul direcţiei caracteristice

= constant

dt A panta

dx B

t = t 0

t = t 1

t = t 2

t = t 3

Linia

Caracteristică = 1 = 2 = 3

d = 0

x

t


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 89

0

0

. . ( ,0) ( )

a ac

t xC I a x a x

Una din cele mai simple EDP hiperbolice este

ecuaţia liniară de advecţie

O soluţie analitică a ecuaţiei de advecţie a fost

determinată prin metoda caracteristicilor .


0t x Ea Fa G

E=1, F=c,

G=0

dx

dt c

0

0

( , ) ( )( , ) ( )

( ,0) ( ) ( )

a x t f x ct a x t a x ct

a x a x f x

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 90

Exemplu: Modularea unui puls Gaussian

2

002

( )( , 0) exp cos ( )

2

x xa x t k x x

unde x 0 şi dau poziţia înălţimea perturbaţieiimpuls.

x 0 = 0 şi = 0.1


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 91

2

002

( )( , 0) exp cos ( )

2

x xa x t k x x


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 92

2

002

( )( , 0) exp cos ( )2

x xa x t k x x

Viteza: c = 1, dt= 0.02


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 93

Metoda Forward Time Centered Space (FTCS)

0a a

ct x

ai

n1

ai

n

k c ai1

n

ai1

n

2h

ai

n1 ai

n kc

2h

ai1n ai1

n

Este simplu de programat, dar complet nefolositoare

pentru că este instabilă!!!

Diferenţa înainte Diferenţa centrate


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 94

ai

n1 ai

n kc

2hai1n ai1

n

c = 1, k= 0.02, h=0.02



7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 95

ai

n1 ai

n kc

2hai1n ai1

n

c = 1, k= 0.02, h=0.02



7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 96

ai

n1 ai

n kc

2hai1n ai1

n

c = 1, k= 0.02, h=0.02

p ( )


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 97

ai

n1 ai

n kc

2hai1n ai1

n

c = 1, k= 0.02, h=0.02

p


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 98

ai

n1 ai

n kc

2hai1n ai1

n

c = 1, k= 0.02, h=0.02



7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 99

ai

n1 ai

n kc

2hai1

n ai1n

Metoda FTCS este instabilă



7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 100

Studiul stabilităţii metodei FTCS folosind analiza destabilitate von Neumann.

Se consideră o soluţie de forma:

um

n

U n

eikmh

Inserând în schema FTCS 1

1 12

n n n n

m m m m

dt ca a a a

h

U n1eikmh U neikmh dt c2h

U neik (m1)h U neik (m1)h

g U n1

U n

1 dt c

2heikh eikh


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 101


g U n1

U n 1

dt c2h

eikh eikh

1 i

dt c

h sin(kh)

2

21 sin ( ) 1 dt c

g khh

Necondiţionat instabilă

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 102

Metoda Lax-Friedrichs

Metoda Lax este o variantă modificată a metodei FTCS.

ai

n1 ai

n kc

2h

ai1n ai1

n Metoda FTCS

Media dintre vecini

ai

n1 12

ai1n ai1

n

kc2h

ai1n ai1

n

The Lax Method

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 103

1

2 2

ikh ikhnikh ikh

n

e eU dt c g e e

U h

cos( ) sin( )

dt c

kh i khh

2

21 sin ( ) 1 dt c

g khh

Condiţionat stabilă


1c dt

h

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 104


Metoda Lax este stabilă dacă

1c dt

h

Pasul de timp maxim posibil este astfel

max

hdt k

c

Condiţia Courant-

Friedrichs-Lewy!

Condiţia CFL apare în special în scheme de tip

hiperbolic!

Condiţia CFL!

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 105

c = 1, k= 0.02, h=0.02 -> ck/h = 1

ain1 1

2ai1

n ai1n

kc2h

ai1n ai1

n

Metoda Lax -Friedrichs

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 106

1

1 11 1(1 ) (1 )2 2

n n n

i i ikc kca a ah h

c = 1, k= 0.02, h=0.02 -> ck/h = 1


M d L

F i d i h

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 107

c = 1, k= 0.018, h=0.02 -> ck/h = 0.9


1

1 11 1(1 ) (1 )2 2

n n n

i i ikc kca a ah h

M d L

F i d i h

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 108

Dacă pasul de timp este mai mic decât cel maxim posibil ,

observăm că pulsul se atenuează pe măsură ce se

avansează în timp.

ai

n1 1

2

ai1n ai1

n kc

2h

ai1n ai1

n

1

1 1 1 1

12

2 2 -n n n n n n n

i i i i i i i

kca a a a a a a

h

ai

n1

- ai

n

k h

2

2kh2 ai1

n ai1n 2ai

n

c2h

ai1n ai1

n

2 2

22

a a a

t x x

h

c

k

Difuzie Numerică


Schema u

pwind

de ordinul I de tipG d

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 109

Godunov

Schemele de tip upwind folosesc conceptul de caracteristică.

tn+1

tn

x j

Caracteristica prin punctul (x j, tn+1)

c >0

Schema u

pwind


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 110

tn+1

tn

x j

1

1 0( , )n n n n

i i i i

ck a a a a k h

h

Caracteristica prin punctul (x j, tn+1)Diferenţa înainte Diferenţa înapoi

k

h h

Godunov

Schema u

pwind


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 111

Condiţionat stabilă 0 1ck

h

n+1

Domeniul real

de dependenţă

Domeniul numeric de dependenţă

nx

x

t

xc

t

p xi x1i x

/ 0dx dt c

t xdt dx //

o o

o

1

1 , 0n n n n

i i i i

ck a a a a

hc

Godunov

Schema u

pwind


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 112

11 , 0n n n n

i i i ick a a a ah

c

tn+1

tn

x j

k

h h

Caracteristica prin punctul (x j, tn+1)

Godunov

Schema u

pwind

de ordinul I de tipGod no

forma generală

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 113

• Pentru ambele cazuri şi1

max( ,0) ( ) 02

1min( ,0) (2

,

) 0

c c c c

c c c

tc tc

x x

c

0c 0c

• Schema devine:

1

1 1( ) ( )n n n n n n

i i i i i ia a a a a a

definim:

Godunov - forma generală

Schema u

pwind

de ordinul I

I

de tipGodunov

forma generală

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 114

• Pentru ambele cazuri şi1

max( ,0) ( ) 02

1min( ,0) (2

,

) 0

c c c c

c c c

tc tc

x x

c

0c 0c

• Schema devine:

1

1 2 2 1(3 4 ) ( 4 3 )2 2

n n n n n n n n

i i i i i i i i

c ca a a a a a a a

x x

definim:


Schema u

pwind

de ordinul I

II

de tipGodunov

forma generală

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 115

• Pentru ambele cazuri şi

1max( ,0) ( ) 0

2

1min( ,0) ( ) 0

2

c c c c

c c c c

0c 0c

• Schema devine:

11 1 2

2 1 1

(2 3 6 )6

( 6 3 2 )

6

n n n n n ni i i i i i

n n n n

i i i i

ca a a a a a x

ca a a a

x

definim:


Schema u

pwind

de ordinul I de tipGodunov

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 116

11 , 0n n n n

i i i ick a a a ah

c

c = 1, k= 0.018, h=0.02 -> ck/h = 0.9

Godunov

Scheme Monotone

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 117

Schemele monotone pentru ecuaţia liniar ă de advecţie cu viteză constantă de

propagare sunt acelea pentru care coeficienţii sunt non-negativi.

1

( ,.... ,...., )n n n n

i i s i i r a H a a a

O schemă monotonă satisface:

0 ,n

k

H k

a

Example: Schema Godunov -upwind .

11

1

( )

(1 ) , 0 1

n n n ni i i i

n n

i i

dt a a c a adx

dt dt dt H c a c a c

dx dx dx

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 118

Dacă disipaţia numerică (difuzia)

este pozitivă schema este stabilă

2

1 2

1 1 2 3 12 6

n n n n

i i i i xx xxx

ck ch cha a a a a a

h

Dezvoltând:

De asemenea condiţia CFL

1

h

t U

asigură un coeficient de difuzie pozitiv

Disipaţie xx f

Dispersie xxx

f


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 119

1 11 1

1 1 2 2

1 1

2 2

0( , )

n n n ni i i i

n n n n

i i i i

a a a ac

t x

ck a a a a k h

h

Metoda Leapfrog (Metoda CTCS)


Diferenţa centrată în timp Diferenţa centrată în spaţiu

Necesită stocare mai

mare datorită timpuluide la pasul n-1 !!!

Condiţionat stabilă 1ck

h

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 120

Schema Lax- Wendroff ❖Din dezvoltarea în serie Taylor

❖obţinem:

❖Plecând de la ecuaţia de advecţie :

2 23

2

( )( , ) ( , ) 0( )

2!

a a t a x t t a x t t t

t t

2 21 3

2

( )0( )

2!

n n

i i

a a t a a t t

t t

aa

xt c

2

2

22

2

a a ac c c

t x

a

x xt t

S h

L

W d ff

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 121

Schema Lax- Wendroff

❖

❖Aplicăm diferenţe centrate

Metoda Lax-Wendroff

2

2

2

22

a a ac c c

t x

a

x xt t

2 2

1 2

2

( )

2

n n

i i

a t aa a c t c

x x

2)(0 x

1 2 21 1 1 12

21 ( )

2 2 ( )

n n n n n

n n i i i i ii i

a a a a aa a c t c t

x x

))(,)((0 22 xt

S h

L

W d ff

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 122

ai

n1 ai

n ck 2h

ai1n ai1

n

c 2k 2

2h2 ai1

n ai1n 2ai

n

c = 1, k= 0.018, h=0.02 -> ck/h = 0.9


S h

L

W d ff

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 123

ain1 ai

n ck 2h

ai1n ai1

n

c2

k 2

2h2 ai1

n ai1n 2ai

n

c = 1, k= 0.01, h=0.02 -> ck/h = 0.5


S h

L

W d ff

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 124

ain1 ai

n ck 2hai1

n ai1n

c2

k

2

2h2 ai1n ai1

n 2ain

c = 1, k= 0.02/3, h=0.02/3 -> ck/h = 0.5


S h

L

W d ff

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 125

ai

n1 ai

n ck

2hai1

n ai1n

c2k 2

2h2 ai1

n ai1n 2ai

n


Condiţionat stabilă 1ck

h

Metoda Forward Time Central Space (FTCS implicită)


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 126

Formularea Implicită

❖Se obţine un set de ecuaţii algebrice.

❖Matrice tridiagonală se rezolvă cu metoda THOMAS

11 1

1 12

n nn ni ii i

a a ca a

t x

))(),((0 2 xt

Metoda Forward Time Central Space (FTCS implicită)

1 1 1

1 1

1 1

2 2

n n n n

i i i ia a a a

Necondiţionat stabilă ck

h

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


Exemplu

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 129

sin(10 ), 0 0.1( ,0)

0, 0.1 1

x xTa x

x

t = 0 t = 8.0

0.8c t

CFL x

Schem

a

Upwind : c = 0.8

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 130

Schem

a

Lax

-

Wendroff : c = 0.8

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 131

Schem

a

Crank

-

Nicolson : c = 0.8

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 132

Oscilatorie

1

1 1

n n n n

i i i i

kca a a a

Stabilitate

Euler-Explicit --N I

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 133

1 1 2

i i i ia a a ah

1 1 1 1 1

1 2 2

n n n n ni i i i i

kca a a a ah

1

1

1 1

0,

, 0

n n n n

i i i i

n n n ni i i i

ck a a a a

h

ck a a a ah c

c

ai

n1 ai

n ck

2hai1

n ai1n

c2k 2

2h2 ai1

n ai1n 2ai

n

1ck

h

Lax-Friedrichs – C.S.

1

1 11 1

2

n n

n ni ii ia a c a a

t x

N.I

1 1 1

1 1 1 112 2

n n n n n n

i i i i i ia a a a a ac

t x x

Godunov-upwind – C.S.

Lax-Wendroff – C.S.

Euler-Implicit – N.S.

Crank-Nicolson:

θ =0 5–N S

11n a t

StabilitateMetode Multi-Pas

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 134

21 1 1 1

1 11 2 2

1 1

1( ) ( )

2 4

( ) , 22

nn n n n

i i i i i

n nn n

i i i i

a t u u u u u

x

a t a t u u u u

x x

1

21 1 1

2

1 11 2 2

1 1

2 2

1( ) ( )

2 2

( ), 1

nn n n n

i i i i

i

n nn n

i ii i

a t u u u u u

x

a t a t u u u u

x x

*

1

1 * * *

1

( )

1( ) ( ) , 1

2

n n n

i i i i

n n

i i i i i

a t u u u u x

a t a t u u u u u

x x

Richtmyer -- C.S.

Lax-Wendroff – C.S.

Mac ormack

– C.S.

0xt

Uf f

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 135

FTCS

Necondiţionat

instabilă

Upwind

Stabilă pentru

Implicit

Necondiţionatstabilă

Lax-FriedrichsCondiţionat

stabilă pentru

xt ff

02

11

1

h

f f U

t

f f n

j

n

j

n

j

n

j xxx xx

f Uh

f U

t 2

22

2162

01

1

h

f f U

t

f f n

j

n

j

n

j

n

j xxx

xx

f Uh

f

Uh

1326

12

22

1

xxx xx

f Uh

f Uh 2

2

13

1

2

02

1

1

1

1

1

h

f f U

t

f f n

j

n

j

n

j

n

j xxx xx

f t U Uh f t U

232

2

3

1

6

1

2

0

2

2/

11

11

1

h

f f U

t

f f f

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

1

0 xt

Uf f

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 136

Leap FrogStabilă pentru

Lax-Wendroff I

Stabilă pentru

Lax-WendroffII

La fel ca LW-I Stabilă pentru

MacCormack

La fel ca LW-IStabilă pentru

022

11

11

h

f f U

t

f f n

j

n

j

n

j

n

j xxx

f Uh

16

2

2

xxxx

xxx

f Uh

f

Uh

23

22

18

16

1

1

1

0

2

2

2

2

1122

11

1

h

f f f t U

h

f f

U t

f f

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

02/

2/)(11

2/1

2/1

h

f f U

t

f f f n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

0

2/1

2/1

2/1

2/1

1

h

f f

U t

f f n

j

n

j

n

j

n

j

1

01

h

f f U

t

f f n

j

n

j

n

j

t

j

0

2/1

1

h

f f U

t

f f f t

j

t

j

t

j

n

j

n

j

TemaImplementarea aproximării:

3 0

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


CURS_4_MDF_2015/2016 137

Prin:

2

( , 0)

x

t x

x t e

hvggddf

Geometrie :

11 1 1

4, 4, i N i N

x x x x h

Schemă :

ni

ni

ni 1

1 )()1(

dx

dt 3

Condiţia Iniţială :

0

, 0i i x t

Condiţia de Frontieră :

1

0 0n 1

0 0 11n n n

N

N=10,40,160,320

t=10

Metode Multi-Pas

7/25/2019 CURS_4_MDF_2015


Metode Multi Pas

Pas Predictor:

Pas Corector step:

*

1

( )n n n

i i i i

a t u u u u

x

1 * * *

1

1

( ) ( )2

n n

i i i i i

a t

u u u u u x

Metoda Mac ormack

))(,)((0 22 xt

CURS_4_MDF_2015

Documents

Transcript of CURS_4_MDF_2015