8/3/2019 Curs13_MC

1/38

CURS 13

MECANICACONSTRUCIILOR

Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu

8/3/2019 Curs13_MC

2/38

Studiul dinamicii punctului material

cu ajutorul teoremelor generaleTeoremele generale se refer la variaia n timpul

micrii a celor mai importante mrimi: impulsul,

momentul cinetic, lucrul mecanic i energiamecanic.

Teoremele generale se deduc din legea lui Newton

exprimnd principiul aciunii forelor sub o altform.

F ma

8/3/2019 Curs13_MC

3/38

Teorema variaiei impulsuluiImpulsul unui punct material Heste un vector de expresie:

(9)

n care:

meste masa punctului material;veste viteza punctului material.Vectorul impuls are aceeai direcie i acelai sens cavectorul vitez.

Din ecuaia fundamental a dinamiciirezult:(10)

F ma

8/3/2019 Curs13_MC

4/38

Ecuaia (10) reprezint teorema variaiei impulsului:derivata n raport cu timpul, a impulsului unui punctmaterial, este egal cu fora rezultant ce acioneazasupra acestuia, n tot timpul micrii.

(10)

Proiectnd relaia (10) pe axele unui sistem cartezianOxyz, se obine:

(11)

8/3/2019 Curs13_MC

5/38

n cazul n care R= 0, atunci:

(12)

expresie care poart denumirea de legea conservriiimpulsului:pentru un punct material la care rezultantaforelor aplicate este nul, impulsul se conserv.

Relaia (12) arat c micarea punctului material esterectilinie i uniform.

8/3/2019 Curs13_MC

6/38

Teorema variaiei momentului cinetic

Momentul cinetic n raport cu un punct fix Oal unui punct

material este prin definiie momentul vectorului impuls alpunctului material n raport cu polul O:

(13)

y

x

z

O

r

M(m) H=mv

K = r x H

8/3/2019 Curs13_MC

7/38

nmulind vectorial la stnga cu recuaia fundamental adinamicii se obine:

(14)

Relaia (14) reprezint teorema variaiei momentului

cinetic: derivata n raport cu timpul a momentuluiimpulsului fa de un punct fix Oeste egal, n timpulmicrii, cu momentul foreifa de acelai pol O.

8/3/2019 Curs13_MC

8/38

8/3/2019 Curs13_MC

9/38

Dac:

atunci momentul cinetic al punctului material n raport cuun punct fix se conserv.

00K

(17)

8/3/2019 Curs13_MC

10/38

TEOREMA ENERGIEI CINETICE

a) Lucrul mecanic

Se consider cazul general al unei forte F, funcie detimp, de poziie si viteza de deplasare a punctului ei deaplicaie.Fie M1 si M2 doua poziii infinit vecine ale curbei Cpe carese

deplaseazpunctul de aplicatie al

forei. Vectorii de

poziie ai punctelor M1 si M2 sunt r(t) si r + dr, iar dr,deplasarea elementara in intervalul de timp dt.

y

x

z

O

r

M1

M2

r + dr

dr

F

(C) A B

8/3/2019 Curs13_MC

11/38

Se definete ca lucru mecanic elementarefectuat de foraF, produsul scalar:

d d | | | d | cos( ,d ) L F r F r F r (18)

Lucrul mecanic este o mrime scalara, egala cuprodusul dintre mrimea forei si proiecia deplasriipe direcia forei sau, egala cu produsul dintre

deplasare si proiecia forei pe direcia deplasrii.Lucrul mecanic poate fi pozitiv sau negativ, dup cum

unghiul este ascuit sau obtuz.

Lucrul mecanic este nul cnd fora sau deplasareasunt nule, precum si in cazul cnd fora si deplasareasunt perpendiculare intre ele.

Unitatea de msura pentru lucrul mecanic in sistemulinternaional SI estejoule-ul(J).

( ,d )F r

1J - este lucru mecanic efectuat de 1N cnd punctul

material se deplaseaz cu 1m n direcia forei.

8/3/2019 Curs13_MC

12/38

Teorema variaiei energiei cinetice

Capacitatea micrii mecanice de a se transforma in

micare nemecanica este caracterizata printr-o mrime destare care poarta denumirea de energie cinetica.

Energia cinetic a unui punct material de masm, aflat nmicare cu viteza veste, prin definiie,egal cu expresia:

(19)

Energia cinetic este o mrime scalara pozitiva. Ca siimpulsul si momentul cinetic, energia cinetica este omrime de stare, adic o mrime care caracterizeaz

micareala un moment dat.

8/3/2019 Curs13_MC

13/38

Lucrul mecanic elementar al forei F corespunztordeplasrii dreste prin definiie egal cu produsul scalaral vectorului Fcu vectorul dr:

sau(21)

(20)

ntruct , relaia (20) se mai poate scrie:

(22)

n care este unghiul format de vectorulF cutangenta la traiectorie.

8/3/2019 Curs13_MC

14/38

Unghiul format de vectorul F cu tangenta la traiectorie

Lucrul mecanic corespunztor unei deplasri finite AB

a punctului material are expresia:

(23)

8/3/2019 Curs13_MC

15/38

8/3/2019 Curs13_MC

16/38

Din (20), (24) i (25) rezult:(26)

relaie ce poart denumirea de teoremavariaieienergieicinetice: n orice moment din timpul micrii,diferenialaenergiei cinetice este egal cu lucrul mecanic elementarcorespunztor forei rezultante ce acioneaz asupra

punctului material.

Integrnd relaia (26) ntre dou puncte de pe traiectorierezult:

(27)

Sub formfinit, teorema variaiei energiei cinetice aratc: diferena dintre energia cinetic final i energiacinetic iniial este egal cu lucrul mecanic al forei

rezultante calculat ntrepoziiainiialiceafinal.

8/3/2019 Curs13_MC

17/38

Teorema conservrii energiei mecanice

S presupunem c fora Fpoate fi scris sub forma:

(28)

n care Ueste o funcie scalar ce depinde de coordonatelepunctului de aplicaie al forei:

Funcia Uastfel definit se numete funcie de for.

(29)

8/3/2019 Curs13_MC

18/38

Condiiile necesare i suficiente pentru ca fora s admito funcie de for sunt:

(30)

Lucrul mecanic elementar al forei Feste:(31)

8/3/2019 Curs13_MC

19/38

Teorema variaiei energiei cinetice (26) devine:

care prin integrare rezult:

n care heste o constant de integrare.

(32)

(33)

Lucrul mecanic al forei F, pe traiectoria AB, devine:(34)

Relaia (34) arat c lucrul mecanic nu depinde de drumulparcurs, ci numai de poziia iniial Ai de poziia final B.

8/3/2019 Curs13_MC

20/38

Din relaiile (32), (33) i (34) rezult:

(35)

Dac n locul funcieiUconsiderm o funciepotenialVdefinit prin:

rezult:

(36)

(37)

Mrimea V

reprezint energiapotenial depoziie a

punctului material.Energiapotenial este o mrime care caracterizeazposibilitatea unor corpuri de a produce lucru mecanicnumai prin poziia pe care o ocupfa de o configuraie

de referin.

8/3/2019 Curs13_MC

21/38

Suma dintre energia cinetic i energia potenial senumeteenergiemecanic Em.

(38)

Relaia (38) exprim teorema conservrii energieimecanice: dac fora rezultant deriv dintr-o funcie defor, energia mecanic a punctului material se conserv.

8/3/2019 Curs13_MC

22/38

Se consider un sistem de puncte materiale ( i = 1n ) undefiecrui punct material i se atribuie o mas mi. Asupra

fiecrui punct material din acest sistem acioneaz doutipuri de forte si anume: forte interioare F(i) si forteexterioare F(e).

Dinamica sistemului de puncte materiale

Fie un punct material de masmkasupra cruia se exercit

forele interioare Fkl(i) din partea celorlalte puncte materialeml ale sistemului si forele exterioare sistemului Fk(e) careacioneaz asupra acestui punct material de mas mk.Deoarece forele interioare sunt forte de interaciune dintre

punctele materiale ale sistemului, atunci conformprincipiului III al Dinamicii, foraFkl(i)exercitat de punctulmaterial de mas ml asupra punctului material de masmk(care reprezintaciunea) este egal cu forareciproc dereaciune Flk(i) a punctului material mk asupra punctuluimaterial de masml.

8/3/2019 Curs13_MC

23/38

Matematic se scrie :

Aceste relaiiexprimc: ntotdeaunaforele interioarepotinteraciona numai ca perechidou ctedou egalen modul dar de sens contrar.

Pentru ntreg sistemul de puncte materiale, nsumnd doucte dou aceste fore de interaciune, se obine n final orezultantnul:

Fora interioar rezultant asupra punctului materialde masmkeste:

( n - nr. total de punctemateriale ale sistemului )

8/3/2019 Curs13_MC

24/38

Prin nsumarea acestor fore interioare pentru punctulmaterial mkse obine:

(39)

forele interioare ale unui sistem de puncte materialedau o rezultant nul.

8/3/2019 Curs13_MC

25/38

S vedem ce se ntmpl cu momentul forelor interioare.

Fie dou puncte materiale de mas m1 si m2 si polul O n

raport cu care se consider momentul iar r1 si r2, vectoriide poziie. Momentul forelorinterioare este dat de relaia:

(40)

8/3/2019 Curs13_MC

26/38

TeoremRezultanta forelor interioare si momentul rezultant alforelor interioare fat de orice pol O sunt nule.

8/3/2019 Curs13_MC

27/38

8/3/2019 Curs13_MC

28/38

Micarea centrului de mas al unui sistem de punctemateriale

Fie un sistem format din puncte materiale de mase m1, m2, si de viteze v1, v2, n raport cu un sistem de referininerial (R.I.). Definim viteza centrului de masca fiind :

La static s-a definit vectorul de poziie al centrului de mas(C.M.) astfel:

8/3/2019 Curs13_MC

29/38

Prin derivare n raport cu timpul se obine:

Cum impulsul pi = mvi rezult :

(42)

unde p= pi este impulsul total al sistemului.

Relaiap= MvcMaratc impulsul sistemului este acelaica si cum toate masele punctelor materiale se gsescsituate in centrul de mas care se deplaseaz cu viteza

vcM(se mai numete viteza sistemului).

8/3/2019 Curs13_MC

30/38

Deoarece un corp solid este alctuit dintr-un sistem depuncte materiale se poate spune c deplasarea corpuluisolid se face cu viteza centrului de mas,vcM, adic viteza

corpului.

ntr-un sistem izolat, conform principiului de conservareal impulsului, p = ct. Referitor la centrul de mas sespune c: centrul de mas al unui sistem izolat sedeplaseaz cu ovitezconstant n tot sistemul.

Sistemul neizolat. Se consider un sistem S compus dinpuncte materiale care sunt n interaciune cu toate

punctele materiale care sunt n interiorul sistemului S sicare formeaz sistemul S. (Ex. S - sistemul solar si S -restul universului )

8/3/2019 Curs13_MC

31/38

8/3/2019 Curs13_MC

32/38

(43)

Centrul de mas al unui sistem de puncte materiale sedeplaseaz ca si un singur punct material demasegalcu masatotal a sistemului si supus unei forte exterioare

sistemului.

8/3/2019 Curs13_MC

33/38

sau

8/3/2019 Curs13_MC

34/38

8/3/2019 Curs13_MC

35/38

8/3/2019 Curs13_MC

36/38

(44)

Variaia energiei cinetice a unui sistem de punctemateriale este egal cu lucru mecanic efectuat asupra

sistemului de forte exterioare si forte interioare.

8/3/2019 Curs13_MC

37/38

(44)

(45)

se obine energia propriea sistemului de puncte materiale.

8/3/2019 Curs13_MC

38/38