Curs1 Constr1

Capitolul 1

Me canica 11 Mărimi principii şi legi fundamentale icircn mecanica

clasică

111 Noţiuni şi mărimi principale icircn mecanica clasică

Mecanica clasică studiază cea mai simplă formă de mişcare a materiei mişcarea mecanică Mişcarea mecanică este mişcarea care conduce la modificarea poziţiei corpurilor unele faţă de celelalte sau a părţilor lor icircn spaţiu şi icircn timp Mecanica clasică newtoniană studiază mişcarea corpurilor care au viteze mult mai mici decacirct viteza luminii icircn vid c=3 10 ms

Icircn mecanica clasică există o serie de legi (principii) fundamentale legea inerţiei legea mişcării unui punct material sau a variaţiei impulsului legea acţiunilor reciproce legea suprapunerii forţelor legea atracţiei universale etc

Icircn mecanică se introduce noţiunea de punct material Prin punct material icircnţelegem un corp ale cărui dimensiuni pot fi neglijate atunci cacircnd se studiază mişcarea sa Mişcarea se studiază icircn raport cu un sistem de referinţă arbitrar ales deoarece nu există un sistem de referinţă absolut

Sistemele de referinţă se clasifică icircn - sisteme de referinţă inerţiale care sunt acele sisteme care au o mişcare rectilinie şi uniformă sau se află icircn repaus relativ- sisteme de referinţă neinerţiale care au o mişcare accelerată

Sistemului de referinţă i se ataşează un sistem de coordonate Mişcarea mobilului este univoc determinată dacă se cunosc icircn fiecare moment coordonatele sale icircn raport cu sistemul de referinţă ales Sisteme de coordonate utilizate coordonatele carteziene coordonatele sferice (polare icircn cazul 2 dimensional) coordonatele cilindrice

Icircn sistemul de coordinate carteziene poziţia unui punct P este dată de coordonatele carteziene ortogonale x y şi z (Fig 11) Vectorul de poziţie sau raza vectoare este

= x + y + z (11)

x

xiOkz

z

r P

j y y

Fig 11 Fig 12

Icircn general orice vector arbitrar este dat de relaţia

(12)unde A and A sunt componentele vectorului (Fig 12) Modulul vectorului

este

(13) şi sunt versorii axelor de coordonate şi satisfac relaţiile

= = 1

Icircn sistemul de coordinate sferice poziţia

unui punct P este dată de coordonatele sferice r θ φ (Fig 13)

Fig 13Legea de mişcare a punctului material icircn coordinate carteziene este

x = x(t) y = y(t) z = z(t) (14)adică

= (t) (t) = x(t) + y(t) + z(t) (15)

a) VitezaConsiderăm un punct material care se mişcă pe o traiectorie oarecare la

momentul aflacircndu-se icircn poziţia P şi la momentul aflacircndu-se icircn poziţia P Se

2

x

iAx

O

kAz

z

A

jAy

y

x

O

z

P

y

r

face notaţia Δs pentru lungimea arcului de curbă P P Viteza medie este raportul dintre spaţiul parcurs de mobil şi timpul necesar parcurgerii acestui spaţiu

(16)Pentru obţinerea unei precizii mai mari icircn ceea ce priveşte descrierea mişcării

mobilului se introduce noţiunea de viteză instantanee Viteza instantanee se defineşte

(17a)

adică vectorul viteză instantanee este

(17b)

unde d are orientarea tangentei la curbă şi vectorul viteză instantanee are orientarea tangentei la traiectorie şi sensul coincide cu sensul de deplasare al punctului material

Fig 14

Icircn coordonate carteziene vectorul viteză se scrie sub forma (18)

unde and sunt componentele după direcţiile Ox Oz şi Oy Avem

(19)

şi comparacircnd ultimele douărelaţii rezultă

(110)

Modulul vectorului viteză este v = (111)

b) AcceleraţiaO modificare a vitezei este acceleraţia Un mobil este accelerat numai dacă

asupra sa acţionează o forţăVectorul acceleraţie instantanee se defineşte

3

P2

P1

P2

P1r

2tr

1trO

tr

tr dd

(112)

Icircn coordonate carteziene vectorul acceleraţie se scrie sub forma (113)

Din relaţiile (19) şi (112) rezultă

(114)

Comparacircnd ultimele două relaţii obţinem

(115)

Modulul vectorului acceleraţie este (116)

1 Un caz particular este cel al mişcării rectilinii şi uniforme caz icircn care viteza este constantă deci acceleraţia este nulă

c) Lucrul mecanicConsiderăm că asupra unui punct material acţionează o forţă determinacircnd

deplasarea corpului pe o traiectorie oarecare Icircn general pot exista situaţiile - forţa poate să fie variabilă icircn timp F = F(t)- direcţia forţei să nu coincidă cu direcţia de deplasare a punctului material

Lucrul mecanic elementar este o mărime de process deci este o mărime care depinde de tipul procesului (nu este o diferenţială totală exactă deoarece depinde de drumul urmat) Unitatea de măsură icircn SI este

Lucrul mecanic elementar efectuat de forţa care acţionează asupra punctului material cacircnd icircşi deplasează punctual de aplicaţie pe distanţa se defineşte cu relaţia

(117)Lucrul mechanic total efectuat de forţa atunci cacircnd icircşi deplasează punctual

de aplicaţie din puntul A icircn punctual B este

(118)

d) Energia cinetică

Energia cinetică este acea parte a energiei mecanice determinată de mişcarea corpului Notaţii utilizate pentru energia cinetică sau T Thomas Young a fost primul care a introdus termenul de energie referitor la cantitatea egală cu produsul dintre masă şi pătratul vitezei Gustave-Gaspard Coriolis a descris energia cinetică din punct de vedere modern modern Unitatea de măsură icircn SI este

Forţa este egală cu derivate impulsului icircn raport cu timpul

4

(119)Se calculează lucrul mechanic elementar

(120)Energia cinetică este definită cu relaţia

(121)

Din compararea ultimelor două relaţii obţinem

(122)Icircn cazul icircn care punctual material se deplasează icircntre punctele A şi B prin integrarea relaţiei (122) obţinem

(124)

Relaţia (124) reprezintă teorema variaţiei energiei cinetice lucrul mecanic efectuat icircntre două poziţii A şi B este egal cu variaţia energiei cinetice a punctului material icircntre cele două poziţii

e) Forţe conservative

Forţele conservative sunt acele forţe pentru care lucrul mecanic efectuat icircntre două puncte A şi B (Fig 16) nu depinde de drumul pe care s-a deplasat punctual de aplicaţie al forţei

Fig 16

(125)

Forţele conservative sunt acele forţe care se pot exprima prin gradientul unui potenţial scalar

5

A B

(C1)

(C2)

Daca punctual de aplicaţie al forţei se deplasează pe o curbă icircnchisă A rarrBrarr A lucrul mecanic efectuat este nul şi avem

(126)

Deci lucrul mecanic efectuat de o forţă conservativă pe o curbă icircnchisă este zero

(127)

Utilizacircnd teorema Stokes-Ampegravere theorem obţinem (128)

Rotorul unei forţe conservative este nul Exemple de forţe conservative forţa gravitaţională forţa electrică forţa

elastică etcForţele neoconservative sunt forţele pentru care lucrul mecanic efectuat icircntre

două puncte depinde de drum forţa de frecare magnetismul

f) Energia potenţială

Energia potenţială este acea parte a energiei mecanice care depinde de configuraţia sistemului adică de poziţia particulelor icircntr-un cacircmp de forţe William Rankine a introdus termenul de energie potenţială Unitatea de măsură icircn SI este Este necesară alegerea unui punct icircn care se consideră U = 0 numit punctul de zero al energiei potenţiale sau punct de referinţă Energia potenţială se defineşte icircn mod unic numai icircn cazul forţelor conservative Dacă rotorul unui camp vectorial este nul rezultă că acel camp vectorial provine dintr-un scalar prin aplicarea gradientului (rot = 0 = grad φ) deoarece rot grad φ = 0 pentru orice φWith the conservative forces we obtain Pentru forţele conservative avem relaţia

(129)

deci

Se evaluează lucrul mecanic elementar

6

şi obţinem(130)

Dacă punctual de aplicaţie al forţei se deplasează din A icircn B prin integrarea

relaţiei (130) obţinem

(131)Dacă considerăm ca punctul A este desemnat icircn mod arbitrar ca punct de zero

al energiei potenţiale adică avem U(A) = 0 atunci rezultă

(132)

Energia potenţială a unui punct material aflat icircntr-un camp de forţe conservative icircn poziţia oarecare B este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele cacircmpului pentru a deplasa punctual material din poziţia considerată icircn punctul de referinţă

Exemple

1) Energia potenţială icircn cacircmpul forţelor elasticeSe consideră poziţia de echilibru ca punct de referinţă U(0) = 0 şi obţinem

şi (133)

2) Energia potenţială icircn camp electricConform legii lui Coulomb forţa de interacţiune dintre două sarcini electrice

Q şi q este (133a)

Se consideră punctul de referinţă la infinit U(r = infin) = 0 şi rezultă

7

(133b)

Potenţialul electric la distanţa r de sarcina Q este dat de relaţia (133c)

şi obţinem

(133d)

112 Principiile fundamentale ale dinamicii clasice

1) Legea inerţieiUn punct material icircşi păstrează starea de mişcare rectilinie şi uniformă sau

de repaus relativ atacirct timp cacirct asupra sa nu acţionează nici o forţă

2) Principiul fundamental al dinamiciiIcircn mecanica clasică masa este constantă m = const

(134)

Dacă o forţă acţionează asupra unui corp icirci imprimă o acceleraţie direct proporţională cu avacircnd aceeaşi orientare cu forţa şi invers proprţională cu masa

Dacă cazul mişcării rectilinii şi uniformeUtilizacircnd componentele forţei obţinem

8

(135)Identificacircnd coeficienţii lui şi rezultă

(136)

(137)

(138)

Relaţiile (136) (137) şi (138) reprezintă ecuaţiile de mişcare Soluţiile acestor ecuaţii reprezintă legea de mişcare a punctului material

(139)Eliminacircnd timpul din relaţiile (139) obţinem ecuaţia traiectoriei

3) Principiul acţiunilor reciproceDacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă cel de-al doilea corp

reacţionează cu o forţă egală icircn modul dar de sens contrar numită reactiune (140)

4) Principiul suprapunerii forţelor Dacă mai multe forţe acţionează asupra unui punct material fiecare forţă

acţionează independent de celelalte

113 Legi de conservare

1) Legea conservării impulsuluiExpresia matematică este

(141)Impulsul unui punct material izolat este constant icircn timp

2) Legea conservării momentului cineticMomentul cinetic al unui punct material icircn raport cu un punct fix numit pol

se defineşte prin relaţia

9

(142)Icircn cazul mişcării circulare şi avem

(143)Momentul forţei icircn raport cu acelaşi punct fix se defineşte cu relaţia

(144)Derivacircnd relaţia (142) icircn raport cu timpul obţinem

şi

(145)

Aceasta este teorema de variaţie a momentului cinetic Momentul forţei este egal cu viteza de variaţie icircn timp a momentului cinetic

Din relaţia (145) it rezultă (146)

Dacă momentul rezultant al forţei este nul atunci momentul cinetic este constant icircn timp

Această situaţie este icircntacirclnită icircn cazul mişcării icircntr-un camp de forţe centrale Intr-un astfel de camp icircn orice punct forţa este orientată ăn lungul vectorului de poziţie dacă originea axelor de coordinate se allege icircn centrul cacircmpului Icircn acest caz avem

(147)Exemple de cacircmpuri de forţe centrale cacircmpul gravitaţional cacircmpul electric

creat de o sarcină punctiformă

3) Legea conservării energiei mecaniceUtilizacircnd relaţiile (122) şi (130) obţinem

δL = dT δL = ndashdU dT + dU = 0 d(T + U) = 0

(148)

Dacă asupra unui punct material acţionează numai forţe conservative suma dintre energia cinetică şi energia potenţială este constantă icircn timp

Sistemele asupra cărora acţionează numai forţe conservative se numesc sisteme conservative Exemplu oscilatorul armonic

Sistemele asupra asupra cărora acţionează şi forţe neconservative se numesc sisteme disipative Icircn acest caz energia mecanică scade icircn timp transformacircndu-se icircn alte forme de energie de exemplu icircn energie termică

10

T + U = const

11

Fig 11 Fig 12

Icircn general orice vector arbitrar este dat de relaţia

(12)unde A and A sunt componentele vectorului (Fig 12) Modulul vectorului

este

(13) şi sunt versorii axelor de coordonate şi satisfac relaţiile

= = 1

Icircn sistemul de coordinate sferice poziţia

unui punct P este dată de coordonatele sferice r θ φ (Fig 13)

Fig 13Legea de mişcare a punctului material icircn coordinate carteziene este

x = x(t) y = y(t) z = z(t) (14)adică

= (t) (t) = x(t) + y(t) + z(t) (15)

a) VitezaConsiderăm un punct material care se mişcă pe o traiectorie oarecare la

momentul aflacircndu-se icircn poziţia P şi la momentul aflacircndu-se icircn poziţia P Se

2

x

iAx

O

kAz

z

A

jAy

y

x

O

z

P

y

r




(17a)


(17b)


Fig 14



(19)


(110)




3

P2

P1

P2

P1r

2tr

1trO

tr

tr dd

(112)



(114)


(115)









(118)




4



(121)



(124)




Fig 16

(125)


5

A B

(C1)

(C2)


(126)


(127)







(129)

deci


6

şi obţinem(130)





(132)


Exemple


şi (133)


Q şi q este (133a)


7

(133b)


şi obţinem

(133d)





(134)



8


(136)

(137)

(138)












9




şi

(145)









(148)




10

T + U = const

11




(17a)


(17b)


Fig 14



(19)


(110)




3

P2

P1

P2

P1r

2tr

1trO

tr

tr dd

(112)



(114)


(115)









(118)




4



(121)



(124)




Fig 16

(125)


5

A B

(C1)

(C2)


(126)


(127)







(129)

deci


6

şi obţinem(130)





(132)


Exemple


şi (133)


Q şi q este (133a)


7

(133b)


şi obţinem

(133d)





(134)



8


(136)

(137)

(138)












9




şi

(145)









(148)




10

T + U = const

11

(112)



(114)


(115)









(118)




4



(121)



(124)




Fig 16

(125)


5

A B

(C1)

(C2)


(126)


(127)







(129)

deci


6

şi obţinem(130)





(132)


Exemple


şi (133)


Q şi q este (133a)


7

(133b)


şi obţinem

(133d)





(134)



8


(136)

(137)

(138)












9




şi

(145)









(148)




10

T + U = const

11



(121)



(124)




Fig 16

(125)


5

A B

(C1)

(C2)


(126)


(127)







(129)

deci


6

şi obţinem(130)





(132)


Exemple


şi (133)


Q şi q este (133a)


7

(133b)


şi obţinem

(133d)





(134)



8


(136)

(137)

(138)












9




şi

(145)









(148)




10

T + U = const

11


(126)


(127)







(129)

deci


6

şi obţinem(130)





(132)


Exemple


şi (133)


Q şi q este (133a)


7

(133b)


şi obţinem

(133d)





(134)



8


(136)

(137)

(138)












9




şi

(145)









(148)




10

T + U = const

11

şi obţinem(130)





(132)


Exemple


şi (133)


Q şi q este (133a)


7

(133b)


şi obţinem

(133d)





(134)



8


(136)

(137)

(138)












9




şi

(145)









(148)




10

T + U = const

11

(133b)


şi obţinem

(133d)





(134)



8


(136)

(137)

(138)












9




şi

(145)









(148)




10

T + U = const

11


(136)

(137)

(138)












9




şi

(145)









(148)




10

T + U = const

11




şi

(145)









(148)




10

T + U = const

11

Curs1 Constr1

Documents

Transcript of Curs1 Constr1