Curs Matematici Financiare Si Actuariale

156
Conf. univ. dr. RODICA IOAN Lector univ. dr. MANUELA GHICA Lector univ. dr. ILEANA RODICA NICOLA Lector univ. dr. VLAD COPIL MATEMATICI FINANCIARE ŞI ACTUARIALE Curs în tehnologie ID-IFR

description

Curs Matematici Financiare Si Actuarialematematica economica semestrul II an I

Transcript of Curs Matematici Financiare Si Actuariale

Page 1: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

Conf. univ. dr. RODICA IOAN Lector univ. dr. MANUELA GHICA

Lector univ. dr. ILEANA RODICA NICOLA Lector univ. dr. VLAD COPIL

MATEMATICI FINANCIARE ŞI ACTUARIALE Curs în tehnologie ID-IFR

Page 2: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

© Editura Fundaţiei România de Mâine, 2012 http://www.edituraromaniademaine.ro/

Editură recunoscută de Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului prin Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice

din Învăţământul Superior (COD 171)

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Matematici financiare şi actuariale/ Rodica Ioan, Manuela Ghica, Ileana Rodica Nicola, Vlad Copil

− Bucureşti, Editura Fundaţiei România de Mâine, 2011 ISBN 978-973-163-658-0 I. Ioan, Rodica II. Ghica, Manuela III. Nicola, Ileana Rodica IV. Copil, Vlad 51(075.8)

Reproducerea integrală sau fragmentară, prin orice formă şi prin orice mijloace tehnice,

este strict interzisă şi se pedepseşte conform legii.

Răspunderea pentru conţinutul şi originalitatea textului revine exclusiv autorului/autorilor.

Page 3: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

UNIVERSITATEA SPIRU HARET FACULTATEA DE MANAGEMENT FINANCIAR CONTABIL BUCUREŞTI

PROGRAMUL DE STUDII UNIVERSITARE DE LICENŢĂ CONTABILITATE ŞI INFORMATICĂ DE GESTIUNE

MATEMATICI FINANCIARE ŞI ACTUARIALE

Curs în tehnologie ID-IFR

Realizatori curs în tehnologie ID-IFR

Conf. univ. dr. RODICA IOAN Lector univ. dr. MANUELA GHICA Lector univ. dr. ILEANA RODICA NICOLA Lector univ. dr. VLAD COPIL

EDITURA FUNDAŢIEI ROMÂNIA DE MÂINE Bucureşti, 2012

Page 4: Curs Matematici Financiare Si Actuariale
Page 5: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

5

CUPRINS

INTRODUCERE …………………………………………………………………………………….. 9

Unitatea de învăţare 1

NOŢIUNI INTRODUCTIVE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR 1.1. Introducere ..................................................................................................................................... 13 1.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 13 1.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 14

1.3.1. Câmp de evenimente. Probabilitate ...................................................................................... 14 1.3.2. Probabilitate pe un câmp finit de evenimente ...................................................................... 15

1.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 17

Unitatea de învăţare 2

VARIABILE ALEATOARE

2.1. Introducere ..................................................................................................................................... 21 2.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 21 2.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 22

2.3.1. Variabile aleatoare unidimensionale. Caracteristici numerice. Funcţie de repartiţie ........... 22 2.3.1.1. Variabile aleatoare discrete ............................................................................................... 22 2.3.1.2. Variabile aleatoare continue................................................................................................ 26 2.3.2. Variabile aleatoare bidimensionale ...................................................................................... 29

2.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 33

Unitatea de învăţare 3

SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE 3.1. Introducere ..................................................................................................................................... 39 3.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 39 3.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 40

3.3.1. Repartiţii probabilistice clasice ............................................................................................ 40 3.3.1.1 Repartiţii de tip discret ....................................................................................................... 40 3.3.1.2. Repartiţii de tip continuu ................................................................................................... 42

3.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ....................................................................................... 44

Unitatea de învăţare 4

ELEMENTE DE STATISTICĂ MATEMATICĂ 4.1. Introducere ............................................................................. ........................................................ 49 4.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare.............................................................................. 49 4.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 50

4.3.1. Teoria selecţiei ..................................................................................................................... 50 4.3.2. Teoria estimaţiei .................................................................................................................. 51

4.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 53

Page 6: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

6

Unitatea de învăţare 5

GRAFURI I 5.1. Introducere ..................................................................................................................................... 61 5.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 61 5.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 62

5.3.1. Introducere. Definiţii ............................................................................................................ 62 5.3.2. Matrice asociate unui graf. Proprietăţi ale grafurilor ........................................................... 66 5.3.3. Determinarea drumurilor hamiltoniene în grafuri fără circuite ............................................ 68 5.3.4. Determinarea drumurilor hamiltoniene în grafuri cu circuite .............................................. 69

5.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ....................................................................................... 70

Unitatea de învăţare 6

GRAFURI II 6.1. Introducere ............................................................................. ....................................................... 74 6.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 74 6.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 75

6.3.1. Drumuri de valoare într-un graf. Algoritmul Bellman-Kalaba ............................................ 75 6.3.2. Flux maxim într-o reţea de transport ..................................... .............................................. 77 6.3.2.1. Algoritmul Ford-Fulkerson ..................................... ............................................... 78

6.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 79

Unitatea de învăţare 7

DOBÂNZI 7.1 Introducere ...................................................................................................................................... 89 7.2 Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare .............................................................................. 89 7.3 Conţinutul unităţii de învăţare ......................................................................................................... 90

7.3.1. Dobânda simplă .................................................................................................................... 90 7.3.2. Dobânda compusă ................................................................................................................ 91

7.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 93

Unitatea de învăţare 8

OPERAŢIUNI DE SCONT 8.1. Introducere ..................................................................................................................................... 96 8.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 96 8.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 97

8.3.1. Operaţiuni de scont ............................................................................................................... 97 8.4. Îndrumător pentru verificare/autoverificare .................................................................................... 100

Unitatea de învăţare 9

PLĂŢI EŞALONATE 9.1. Introducere ..................................................................................................................................... 104 9.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................. 104 9.3. Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 105

9.3.1. Anuităţi posticipate, temporare, imediate ........................................................................... 105 9.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare ...................................................................................... 106

Page 7: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

7

Unitatea de învăţare 10

PLĂŢI EŞALONATE GENERALIZATE. ÎMPRUMUTURI 10.1 Introducere .................................................................................................................................... 109 10.2 Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ............................................................................ 109 10.3 Conţinutul unităţii de învăţare ........................................................................................................ 110

10.3.1. Împrumuturi ...................................................................................................................... 110 10.3.1.1. Amortizarea unui împrumut prin anuităţi constante posticipate ......................... 110 10.3.1.2. Împrumuturi cu anuităţi constante, plătibile la sfârşitul anului 111 10.3.1.3. Împrumuturi cu anuităţi constante cu dobândă plătită la începutul anului (anticipat) .............................................................................................................

111

10.3.1.4. Împrumuturi cu amortismente egale ................................................................... 111 10.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare .................................................................................... 112

Unitatea de învăţare 11

BAZELE MATEMATICII ACTUARIALE 11.1. Introducere .................................................................................................................................... 117 11.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ........................................................................... 117 11.3. Conţinutul unităţii de învăţare ....................................................................................................... 118

11.3.1. Funcţii biometrice ............................................................................................................. 118 11.3.2. Asigurarea unei sume în caz de supravieţuire la împlinirea termenului de asigurare ....... 120

11.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare...................................................................................... 121

Unitatea de învăţare 12

CONTRACTE DE ASIGURARE VIAGERĂ 12.1. Introducere..................................................................................................................................... 123 12.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare............................................................................ 123 12.3. Conţinutul unităţii de învăţare ....................................................................................................... 124

12.3.1. Anuităţi viagere ................................................................................................................. 124 12.3.1.1. Anuităţi viagere posticipate imediate ................................................................. 124 12.1.1.2. Anuităţi viagere anticipate imediate ................................................................... 124 12.1.1.3. Anuităţi viagere limitate la n ani şi anuităţi viagere amânate ............................. 124

12.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare...................................................................................... 125

Unitatea de învăţare 13

REZERVA MATEMATICĂ 13.1. Introducere..................................................................................................................................... 128 13.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare ........................................................................... 128 13.3. Conţinutul unităţii de învăţare........................................................................................................ 129

13.3.1. Rezerva matematică ...........................................................................…………………... 129 13.3.1.1. Ecuaţia diferenţială a rezervelor matematice .................................................….. 130

13.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare...................................................................................... 131

Unitatea de învăţare 14

PLĂŢI VIAGERE FRACŢIONATE 14.1. Introducere..................................................................................................................................... 133 14.2. Obiectivele şi competenţele unităţii de învăţare............................................................................ 133 14.3. Conţinutul unităţii de învăţare ....................................................................................................... 134

14.3.1. Asigurarea de pensie ...........................................................................…………………. 134 14.3.2. Asigurarea de deces ...........................................................................…………………… 134

Page 8: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

8

14.3.3. Asigurări mixte ...........................................................................…................................... 136 14.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare...................................................................................... 136 Răspunsuri la testele de evaluare/autoevaluare …………………………………………………… 139 Bibliografie ...........................................................................…………………………………………. 155

Page 9: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ��

��

�����������������

�������� � �� � ��� �� ��� �� ����� ������� ����� ����� ���� ��� � ��������� ������� ������ �

��������� �� ������� � ��� ������ �Matematici aplicate în economie, ����� ��� ���� �� ����� ����������������������������� �� �������������� ����������� �������������������������� ����������� î����������� ��������� ����� ������� �������� ������ �� ��� ������ �� �����������������������������tehnicilor de lucru ale matematicii actuariale în organizarea ��� ��� ��� � ����� ����� ����� ������� �����

���� ��� ������������ ���

��������������������������� ������������������������ ������������������ �de în������i fundamentare a aparatului matematic utilizat în cadrul unor discipline de specialitate.�

������� ��� ���� ������ ��� ������� �� ��� ������ �� ���� ����������� ��������� ��� �� �������� ������������� ������� � � ������ ��� ������� ������ �� ��� �������� � � ��������� ������adecvate, optime, în domeniile lor de activitate. Aceste capitole sunt direct orie������������� ����������� ��������� ������ ���� ����������� ������� ���������� ������������ �������� ����

���������� �������� ���

�� ���� ������� ����� ������������������� �������� !���

������ � ������� �� � ������� �� � �������� �i financiare în conducerea proceselor ����� "�

�������������� �������� ����� "���calculeze dobânzile �i indicatorii întâlni i în probleme de creditare;������������ ������� ���� �� ����� ��� �� ��� ������� � #���������� ��� ��������� �� ���

� tuarial) în scopul lu ����� ������ ����������� ������� ����� ����"����������� �� ������������ ������ �������� �������"���� ����� ��������� ��������� ������������������������������

������������������ ��

�������������������������� ������������������� ��������$%����� ������ ���#������������� ��� ����� &��������� ����� ���� � '�3 ore), fiecare dintre acestea cuprinzând câte un test de ������(�������������

�������������� � ������%����# ������)���� ��� �� ����������� ���'�%����� ������ ���

#*+)���� � �������� !�• �������������������������� ���� ���������� ��������� �������� ������������–�%�*+�• �������������������������–�'�*+�• �������������������–�%�*+�• ��������������������–�%�*+��

Page 10: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�$,�

�������

Page 11: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� $$�

��������

����� ����������������� ����������������� ������� ����������� ������������

-�������� ���� � �������� ���� ��� ���� � ��� ���� ��� �������� � ��

���������� ����������� ������������������������������������ ��� ����� ��.�������� �������� �������������� ���� ��� ������� ��� /�� ��� � ������ ���

.���������� ����������������������������������������� ���/�� ��� ��� ������ ��

.���������������������������������� ���0 &�� ���� ��������������!�1������������������ ������ ��� ������ �� ������ �� 2χ �� 0������ -����� � �������� � ������� !�2������� ����2���������� ����3�������������� ���������

#+�� ����4��2���������5��1� ����4��+�����0��1��� ������������������������� ���

-������/��� ���România de Mâine��',,6�������$$7�'$%)������������� �� Câmp de evenimente, ����������� ������ ����������� ����������

���������� ��������� ���������� ������������ ���������� �������������� ��������������������� ���������� �������� ���������� ������������� ������������� ����� ����� ������������������������������������������� ��� ����������� �����������������������������������������������������������������������

��

Page 12: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�$'�

������������������������������������������������������

Page 13: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� $8�

��

� ��������� �� ����!�

�� ������������"����������#�$��%#%�&�� �&������

���� ���

�$�$��+����� ���$�'��9�� �������� ����� ������ ������� �����$�8����� ����������� ������� ���

1.3.1. Câmp de evenimente. Probabili���� 1.3.2. Probabilitate pe un câmp finit de evenimente�

1.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

��$�$������� ������ �

:�������������� ���$��������� ���� �������� ����!��• Evenimente, câmp de evenimente; �• ���� ��� ���� � ��� ���� ��� �������� � ������������ ����

������� �"��• Câmp de probabilitate; �• ������������� ��� ����� ���

��

�$�'������������������� ������ ��� ���� �����

�� � ��� ������ � ���� ���� �� � ��� ���� �������� ��� ��� ������� � ������ ��� ��������������� ����� ���������sigur, eveniment imposibil, evenimente contrare, probabilitate (în ���� ���� ������� ������������������� )��������������� ��� ����� ��� � ��� � �������� ���� 1�;�� ��� �������� ���������� ��� ������� � � ������� � ������� ��� � � �� ���� �������������� ����� ������������ ����������������������� ��� ������������ ����

��� �������������� � '�'������

Page 14: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�$%�

$�8����� ����������� ��� ���� ����

$�8�$��Câmp de evenimente. Probabilitate��

Câmp de evenimente��

2����� ���������� ����� ������ � ����� �� � ��� ������ �����������������

.������������������������!�$��0� ����� ������ � ��� �� ���%��������������������

$����%���0������������ ������� ���� �������� ���������� �������� ���������������� ������� "�� ���� �������������������������������������� ���� ������� ��������������� ������� ��� ����� ������� � �� ���� � �� ����� ������� ����� #� ����������� �������������������� )��

'�� 0� �� � �� ���� ��� �� ����� "� ��� ����� ����� �������������������� �����

8��*��������� ���� ������� ����� ������������������������ �� � ������ 2������ � ����� ��� ��� ��������� �� ������ ��� ������� ��� � ��� ��� ����� ��� ������� ������ � ����� �� ����� ������� �����# ��� ������������ �� �)��

��� � �� !(� ���� ����� �� ������ ���������� ���� ���� ������������������������������������� ��������

��� � ��)(����������� �������������������� ������������������������������������� ������������������� ����������������� �������� ��������������

��� � �� *(��������� ����� #����� ٠) ���� �� ������������������������ �������������������������������������� ����

��� � ��+(������������������#∅ )�������������������������������������� ������������������� ����

���������������!�<�� �� �� ��������������� ��������

���� ��'�=�������� ����������������!������ ������������ ��$��8��%��>��0������ � ����� �� ������������ ���������� ���� ����� �� ������������ ��'�����=�������� ����������!���� ��� ���� ���� ��� � �� $�� 8�� %� ���� >� ��� ������� ��� ��� �� ���� ����������!� �� ���� � �� 0����� � �������� � ���!� ����� ��������

���� � �� ,(� Întotdeauna unui eveniment îi corespunde un

����� �������� � � ��� ��������� ������� � ���� ����� �������������������������

-��������� ����������� �������� � �� A �� A �� CA ��

0������ ������� ���!� A A= �� ∅=Ω �� Ω=∅ ��������������������������������������������������� � ���-(������������� �!��������������������

������������������������� ��� ����� ���������������������� ��"��� ��"� ���!��

Page 15: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� $=�

��� � ��.(������������� �#���������������������� �� �� ��� ������� ��������� ���� ��� �� ����� ��������� ������������� ��"��� ��"� ���#��

��������������� �������������� � ��/(�$�������� ����������� ������ �����������

! ��� � ����������� ! ���� �������� �� ����������� � ��� ! ��produce ori de câte ori de produce A. Vom scrie A B⊂ �

9�� ������������� ���������������!� , ( )A A⊂ Ω ∀ ������� ��������������� � �� 0(� %���� ���� ��� ���������� � !� �����

���������� ����� ��� BA ∪ �������������� ����������������� ��� ���������� � ��� �� �� ����� ��� ���� ��� ������������� ���!��

��� � �� !1� ������ �� ������������� � !� ����� ��BA ∩ ������ ��������������������� �������������� �!������������������������������:�� �� � ����� � ���� ����� �� Σ � ��� ���� ����������

��� ��������������������� � �� !!(�&� ��������� Σ∈A ���� ����� ��� �����

��� ���������� ACABCB ≠≠Σ∈ ,,, astfel încât CBA ∪= �În caz contrar, evenimentul A ������ ��������

'�� ������������� ���������� �� nwww ,...,, 21 , iar în acest

��� { }nwww ,...,, 21=Ω � )(Ω⊂Σ P #��� ����� � �������Ω )����� � ��!)����� ���������������������������������������

�� ���� �� câmp de eve���� �� �������������� ���������� (�

������ �� ( )ΣΩ, ���$�8�'��Probabilitate pe un câmp finit de evenimente�

� �

��� � �� !*�� (� ���� �� ������������� �������������Σ∈AA, � �������� ������ ��� ��� ��������� ��������� ������ ���

������������� A #�) � ��� ��� ��������� ��������� #�)� )���

( )m

P An

= ��

������� ��$��5 ������������ ��� ���� ������������� ��������������������

numai în experimente cu evenimente elementare egal posibil��'�� 1)( =ΩP �8�� ( ) 0, ( )P A A≥ ∀ �

%�� � � 1 2A A A= ∪ ���� 1 2A A∩ = ∅ ������ �!�

1 2( ) ( ) ( )P A P A P A= + ��=�� -�������� ������� ����� ���� ��������� #��� ��������

�������$*�)��5������ ���������� ��� ����� ���i câmp finit de evenimente

( , )Ω Σ ������������������� ��� ��������������� ������!���� � �� !+(� (� ���� �� ������������� �� Σ � ������ ��

:P Σ → 444��������������������!�

Page 16: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�$>�

#$)� ( ) 0, ( )P A A≥ ∀ ∈Σ �#')� ( ) 1P Ω = �

#8)� 1 2( ) ( ) ( )P A P A P A= + �� ����� 1 2A A A= ∪ �� 1 2( ) ,A A∀ ∈Σ �� �� 1 2A A∩ = ∅ ��

����������� #8)� �� ����� ������ ���� �� ������ � ��������� ������������ � ����� ��

���� � i jA A∩ = ∅ �� ( )i j∀ ≠ �� , 1,i j n= �

( )11

n n

i iii

P A P A==

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑�

����� � ��!,(�'����câmp de probabilitate finit, un câmp finit

������������ ( ),Ω Σ înzestrat cu o probabilitate P, notat ( ), , PΩ Σ ��������� �!�

�$)� ( ) ( ), 1 ( )CA P A P A∀ ∈Σ = − �

�')� ( ) 0P ∅ = �

�8)� ( )A∀ ∈Σ ����� 0 ( ) 1P A≤ ≤ �

�%)� ( ) 1 2 1 2, ,A A A A∀ ∈Σ ⊂ ������ �� )()( 21 APAP ≤ �

�=)� 1 2( ) ,A A∀ ∈Σ �����

����� 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A A P A P A P A A∪ = + − ∩ ��>)� 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ), ( ) ,P A A P A P A A A∪ ≤ + ∀ ∈Σ ��

��������� �� ���� ��������������� � ����� ���

��� � ��!-(�Evenimentele A, B ale câmpului de probabilitate

( ), , PΩ Σ ������ �� ����� +( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ⋅ ��

0� ����� �� ��� � � � �������� ,A B ∈Σ � ����� �����

�������� ���� &����������� A ���� CB ����� ���� CA ���� B ��

��� ���� CA ����� CB ������������������������ � ��!.(�%�� ( ), , PΩ Σ un câmp de probabilitate, ,A B ∈Σ �

( ) 0P B ≠ �'���������������������������������� � ����� � ��������� !� #�������������� � �� ��������� ����������� ���������� �����������!��������)����������

notat( )( | )

( )

P A BP A B

P B

∩ =��

��������������������� ��� ( | ) ( )BP A B P A= ��������� (��

$)�5����������������� ( ) ( )( )| , P(A) 0

P A BP A B

P A

∩= ≠ �

')�:�� �������� �����������5����1�����������������!�( ) ( )BP A P A= ������������ ( ) ( )AP B P B= ��

��� � �� !/��'���� ����� ������ � ����� � ������

��� ���� ��� ����� �� ����������� ( )i i IA ∈ ⊂ Σ � ��� i jA A = ∅� �

������������ i j≠ �� ,i j I∈ �� ii I

A∈

= � ��

Page 17: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� $6�

2������� ������ � � � �������� /�� ( )i i IA ∈ ⊂ Σ � ��� ������

�������������� �� ( ) 0iP A ≠ �� i I∈ �������� A∈Σ ������

( ) ( ) ( )i ii I

P A P A P A A∈

= ∑ �� #$)�

2������� �� � %�3��� #���� ������ ��������)�� /�� ��� ������ ������ � ������� ( )i i I

A ∈ ⊂ Σ �� ���������� ��� � ����� ����mente (ipoteze) sunt date înainte de efectuarea unui experiment. -����������� ������������ ��������������� A ��0 ��� � �� ������������ ����������� A � � &��� � ���������� ��� ����������

2����� � � ����� �� �� ���������� ��� ( )iP A A � ������ �� ���

����� � iA �� i I∈ �� 5��� ( ) ( )( )i

i

P A AP A A

P A=

��� ���

( ) ( ) ( )i i iP A A P A P A A=� ���� �����������#$)������ �

( ) ( ) ( )( ) ( )i i

ii i

i I

P A P A AP A A

P A P A A∈

=∑ ��

#')�

���4�� �������� �%����(�/�� ( ), , PΩ Σ un câmp de probabilitate

��� ( )i i IA ∈ ⊂ Σ ������ ��� ���������� ����� ���������� � �

ii I

A∈

∈Σ� ������ �!�

( )C1i ii Ii I

P A P A∈∈

⎛ ⎞≥ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑� �� #8)�

În particular�

( ) ( )11

1n n

i iii

P A P A n==

⎛ ⎞≥ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑� �� #%)�

���

$�%��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

!(�9���� � �� ���',�������������������$����',��0������������ �������� ������� ������������������������������ ����� ��������� ?�

,��������-������������������ ����� ����������������٠@A$��'��8��%��=�������$���',B��)(� �9���� � �� ���%����������$���'���8���%����'����������$���'��0������������������ ������

����������������������� ��������� ?�,�������������� ����� �� ����!� #�$�� �')�� #�$�� �8)�� #�$�� �%)�� #�'�� �8)�� #�'�� �%)�� #�8�� �%)�� #�$�� �$)�� #�$�� �')������������������

#�'���$)��#�'���')��#�8���$)��#�8���')��#�%���$)��#�%���')��#�$���')���

Page 18: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�$7�

*(� *�� ��� � ��� ��� ��� ������ ��� ��� ���� ��������� 0� ���������� � � ������ ������� �������������� � ������������������,�8�� ��������� ������� �����������������,�>������ ���������� ������� ���� ������������� � ,�%��0� ���� � � ����� ��� ���� ���� �������� �� �� ���� � ���� ����������������������������������0� ���������������� �!�

�)� � � ��� � �������� ������ ���� � ��� ��������� ��� ������ �������� ���� ����� ����� � � ����������� "�

�)�� ���� �������������� ������������ ����,���������.�������� �� iA evenimentul „activitatea companiei ������ ������� C�� �@$�'�8��������������

���� 1( ) 0,3P A = �� 2( ) 0,6P A = ���� 3( ) 0,4P A = ��

�)� <�� �� �� B ��������� �� � � ��� � �������� ������ ���� � ��� ��� ������ ��� �� ����

�������� ���� ����� ������ � ����������� ��5��� �� 1 2 3CB A A A= ∩ ∩ �� ��� �� ����� ��� ����

���� �������������������������� !�

1 2 3 1 2 3

1 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )(1 ( )) 0,3 0,6 0,6 0,108

C CP B P A A A P A P A P A

P A P A P A

= ∩ ∩ = == − = ⋅ ⋅ = �

�)� <�� �� �� #� ��������� �� � � ��� � �������� ����� �� ���� ������ ���� 5��� ��

1 2 3C A A A= ∩ ∩ ���� ��

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0,3 0,6 0,4 0,072.

P C P A A A P A P A P A= ∩ ∩ = == ⋅ ⋅ = �

��

�������������������

�������������������5��������������

!(�/�� ( , , )PΩ Σ ���� ��������������������� ,A B ∈Σ ��0����� � ( | ) 0,4P A B = �� ( ) 0,2P A B∩ = �

��� ( ) 0,25CP A B∩ = ��0 ��� �� �����# )�����#!)���)��# )@,�%=���#!)@,�=��)��# )@,�8���#!)@,�%� )��# )@,�>���#!)@,�6=�)��# )@,�$���#!)@,��=�

Page 19: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� $��

)��/�� ( ), , PΩ Σ un câmp de probabilitate atunci ( )A∀ ∈Σ �� ( ) ...CP A = ��)�1 ( )P A+ ��)�1 ( )P A− � )� 2 ( )P A �)� ( )P A− ��

*(�0������ ������������� ������� ����������� !�/�� ( ), , PΩ Σ un câmp de probabilitate

���� �� ( )A∀ ∈Σ ����� 0 ( ) 1P A≤ ≤ ���+��/�� ( ), , PΩ Σ �un câmp de probabilitate, atunci ( ) 1 2,A A∀ ∈Σ ���� 1 2( ) ...P A A∪ = �

�)� 1 2 1 2( ) ( ) ( )P A P A P A A+ + ∩ �

�)� 1 2 1 2( ) ( ) ( )P A P A P A A+ + ∩ �

)� 1 2( ) ( )P A P A+ �

)� 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A+ + ��,(� ������ ������������������������������ ���� �������� ��� �������������� �������������

����� ����!� ,�7����������������� ���� ��� ,�>������� ��� ���������� ����������������� �� ����� � � �������� �� ���� ��������� ���?�

�)� 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0,2P A A P A P A∪ = − = �

�)� 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0,92P A A P A P A P A A∪ = + − ∩ = �

)� 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0,5P A A P A P A P A A∪ = + − ∩ = �

)� 1 2( ) 0,48P A A∩ = ���-(�0���� ( ) 0,5P A = ���� ( ) 0,6P A B∪ = ��D �� �� ( )P B �� � ����!�������� ������������)� ( ) ( ) ( ) 0 0,6 0,5 0,1P B P A B P A= ∪ − + = − = ��)� ( ) ( ) ( ) 0 0,6 0,5 1,1P B P A B P A= ∪ + + = + = �

)( ) ( ) 0,6 0,5 0,1

( ) 0,21 ( ) 1 0,5 0,5

P A B P AP B

P A

∪ − −= = = =− −

��

)�( ) 0,6

( )( ) 0,5

P A BP B

P A

∪= = �

��������������

��

Page 20: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�',�

��

�% �� �4��� ����� 4���� ����

1. Duda I., Trandafir R., Baciu A., Ioan R., Bârz � 0������������� ������ ������� ���� -������/��� ���România de Mâine��1� �������',,>��

'�� ��� +��� 2�������� 4��� 1� ��� 5��� +���� 4��� �������� �� ���������� ����������� -������/��� ���România de Mâine��1� �������',,=��

8��1� ���5���Matematici aplicate în�������� � ���� ���-������/��� ���România de Mâine��1� �������',,%��

%�� ��� +��� �������� �� ������ ������ ������� ���� -������ /��� ��� România de Mâine��1� �������$�����

=��9��� ��D&�������������������������� ����-������/��� ���România de Mâ�����1� �������$��>��

Page 21: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

��

������������� ���� �

������������������������

���������

����������� ������������� ���������� ������ �������� ��������� ������������ ����������� ��������� ���

����������������������������������������������� ������ ������� ������ ����������� ������������������������������������ ���������������������������������� �������������������������������������������������

2.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����

������������������������������������� ��������������� ��� ������� ���� ��

• ��������� �������� ��������������!� ��"��� ��!� ����� ������������ ��� ���!� ��������� �������� ��� ��� ��� ����� ����#����������������� ����

• ������������������������������������������������$����!���������!� ������� ������ � ���� !� ��������!� �% ��!� ���!������� ��&���� ������ ��� �� ������ ���

• ������������������������������������ ��!� ����� ���

�������� � ���� ������ ���� � ������ �����

#�� ��� �'����� ���������� �������� ��!��������������"�� �������� ���"����� �� ����������������� ������������������� ������� ������!�"�� ��� ��� ����� ��!� ���������� ��� ����� ��!� �����!� ��������!� ������������� � ���� !� ��� ��!� ����� !� � � ��������� ����� ���� �������������� �������!� � � ��������� "�� ��� ��� ����� ��� ��!� ���� ���!������������ ��� ����� ��� ������ � ������� � ����� !� � � ��������� ���� �� ��� �� ������ ���� ����� �� ���� ����� ��������� �������!� � � ������������� �� ��������� �������� ��� ��� � � ���� �� � ������� ����� ���������������� ���� ��������������� ����

Page 22: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

�������������������� �����!(������

�������� �������� � ������ ����

������������ �������������!������������������������!��"��� ������������ ����

)��� ������ � ������� "������������ ���� ������ �������� ��� ������ �������������� ����������

*����������������� +�������������������������!���� �����!�� ��������� ���������������� ������������� ������������������,�� -����������� ������ � �� �.����� ���� ���� ��+�������� ����� ��� ��!� ��� '�����!� ��������������� ��� � �� ���� &�� ������� ����� ��� � ������� ���������� �� �� �� ����� �������� ��� ��� � ��� ��"������ ���������� �������!� �� �� ��� �������� ��������������� ��%������������� �!����������������������� /��������������

#� � �� ���'������� ������� � �������� � "�� ��� ��� � ��"���� � ������ ����� ������������ ���������� �� ����� �%������������ �������!����������������������%���������� ��������������������� ��� �������� �������������������������������� ����������

���������������������������� ���

���� ( ), , PΩ Σ ���� σ − +��������������������� ( )i i IA ∈ ⊂ Σ �����������

������ 0"����� ���� ��� ����1� ��� ������������ 2�������� ����� ��( )i ip P A= !� i I∈ !������������� ��� �� �� −σ câmpului de probabilitate��

#�$��� ��� %�� ������ ��� �� � � �������� � ��� � �� ���� �� ξ ������ ������ ������������������� ω∈Ω ������������������������ ����

��� ξ ������������ ix �� i I∈ ��

��� ( ){ }ixω ξ ω = ∈Σ �� i I∈ ��

��������� ������������ �� ������� ��� I ������ "���� � �������������� �� � ���������� ��� ��

2 ,����� !������������������ ξ ��������� �����

: i

i i I

x

p ∈

⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ !�1i

i I

p∈

=∑��

0�1�

3����������������������������� ��� �� �� ��������� �������������������� ξ ��

4�� ��� ������� ��"� ��� ����/��� ��� �%������!� ��� ��� �����"� ����� ��� ���� ���/� ������ � ����� � ��� "�� ����� �� ��������������!����� �������������������� A �������������������������� �����

Page 23: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

������� � 1ii I

p∈

=∑ � ��� ��'���� � ������ � � ���� � ��� � ���

��������� ����/un anumit mod între aceste valori ix !��� ��������� ��������������������� ��������� �������������� ��������������� ��� ����� �����"����������� �������������������"��������'���������� ����

Una din formele cele mai simple în care putem reprezenta o astfel �����'�������"���� ,����� �0�1�����"���������������

ix � 1x � 2x �� � ix �

� � nx �ip � 1p � 2p �

� � ip �� � np �

�#�$��� ��� ����� ξ ����η ���� ����������������������������

( ) nxξ ω = ������ nAω∈ ��0 ,...2,1=n 1�

( ) myη ω = ������ mBω∈ �0 ,...2,1=m 1�0�1�

{ }nA ����{ }mB ���������� � � �����������������������

� ������������������ ξ ���� η � ��� ������������ ����������� m ����n �����

( ) ( ) ( )n m n mP A B P A P B=� �� 0�1�

#������ ������� ζ = ξ + η ������������������������ ξ ���� η ��2����%�����!�"�����������������������������

1

1

: n

n

x x

p p

⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� !�

1

1

: m

m

y y

q q

⎛ ⎞η ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� ������������������ ξ + η ��������������������� ���

1 1 1 2

11 12

: i j n m

ij nm

x y x y x y x y

p p p p

+ + + +⎛ ⎞ξ + η ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� �

� ��

�����

( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }( )ij i j i jp P x y P x y= ξ ω + η ω = + = ω ξ ω = ω η ω =��

��

1 1

1n m

iji j

p= =

=∑∑��

#� � ξ ���� η ������������������!����� �� ij i jp p q= ���

����������������� ξη ��������������������� ���

1 1 1 2

11 12

: i j n m

ij nm

x y x y x y x y

p p p p

⎛ ⎞ξη ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� �

� ��

��

( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }( )ij i j i jp P x y P x y= ξ ω η ω = = ω ξ ω = ω η ω =� ������ ����� ��� ��� � ��� ����� ��� �%����� ��� � �� ��� � "����� ���

������������������5����� ��� � ��������������������������������������������������� ���

1

1

:k k

k n

k

x x

p p

⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��

���� �� ( )( ) ( )( )k ki i iP x P x pξ ω = = ξ ω = = ��

Page 24: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

��6�

� ������������ ��������� �������� ������� ������� ��� ����������������� ���

11

1

1 1

: n

n

x x

p p

−⎛ ⎞⎜ ⎟ξ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

��� ������������������ η �������� ����� !����� ����"����� +����

1−ξ = ξηη ������������������������ ���

1

1

11

:i n

j m

ij nm

x xx

y y y

p p p

⎛ ⎞⎜ ⎟ξ⎜ ⎟η ⎜ ⎟⎝ ⎠

� �

� ���

� � ������ � a � ����� "�� ��������� � �� � ������� � ����������"���� � ��� � �� ��� ���� ��� ����������� ���������!� ��� ������� ��� ���

������� ��!���������� � ��������� ������������"�� :1

aa

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��� �����������

"� ���������������� ��� ���������������������� ����������

&������������������� ����������������������

$��������������������������������� �������������������� �� ��������"� ���������������������� � ����

#�$��� ���'����� ξ ����������� ���������� �� ���������������� ix �

������������ ��� ip �� i I∈ ����� � ���� i ii I

x p∈∑ � ��� ����������� ��

��� ���

( ) i ii I

M x p∈

ξ = ∑�

061�

��������������� ������ �� � ���������� ���� ξ ��#� � ξ �������������� �������������� � ������������� 1,..., nx x � ��

�������� ���� 1,..., np p !����� ������������������"��

( )1

n

i ii

M x p=

ξ = ∑��

0(1�

��������� �������� +���������� �������������������0&�1�� #� � ξ ���� η �������� ��������������������� ������"���������

�� � ( )M ξ ���� ( )M η ��%��� !����� ���%��� �������������� ( )M ξ + η ����

( ) ( ) ( )M M Mξ + η = ξ + η �� 071�

&���� ��� !����� ��� �0&�1�� ���� kξ � 0 1,...,k n= 1!� n � ��������� �������� ��� ����� #� �

( )kM ξ ��%��� !����� ��1

n

kk

M=

⎛ ⎞ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ��%��� ����

( )1 1

n n

k kk k

M M= =

⎛ ⎞ξ = ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

��081�

��

Page 25: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� �(�

�0&�1�� ���� ξ � �������� � ����������� �� � ��� c � � ������ ��#� �

( )M ξ ��%��� !����� �� ( )M cξ ��%��� ����

( ) ( )M c cMξ = ξ �� �091�

&�������������� ���������������"��� ������������

( ) ( ) ( )i i i ii i

M c p cx c p x cMξ = = = ξ∑ ∑��

&���� ����0&�1����0&�1� ��� ��� �0&61�� ���� kξ � 0 1,...,k n= 1� n ��������������������� ���� � ��� kc !� n �

���������#� � ( )kM ξ !�0 1,...,k n= 1��%��� !����� ��1

n

k kk

M c=

⎛ ⎞ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ��%��� ����

( )1 1

n n

k k k kk k

M c c M= =

⎛ ⎞ξ = ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

��0:1�

0&(1�� ������� ������ �� ���������� �������� ( )Mξ − ξ = η � �������� �� η ���������������������� �� � ��������� ξ ��

#��� �� ( )M ξ ������� ������ !��������������������� �������������� ���� ������ !��� ��

( )( ) ( ) ( ) 0M M M Mξ − ξ = ξ − ξ =��

0&71�� ���(��������� ���� )�*+��,�� ���� ξ � ��� η � �� � ���������

����������� ���������� ����%��� � ( )2M ξ ���� ( )2M η ��;��� ��

( ) ( ) ( )2 2M M Mξη ≤ ξ η��

0�<1�

0&81�� #� � ξ � ��� η � ����� �� � ��������� �������� ��� ����

������������������ � ( )M ξ ���� ( )M η ��%��� !����� �� ( )M ξη ��%��� ����

( ) ( ) ( )M M Mξη = ξ η �� 0��1�

#�$��� ���-����� ξ ����������� ����������� �� ���� r ������� ��

�������� ��� � �� � �������� ���� �� ���������� ������� rξ �� ��������� � ������� ���� � ����� ������ �� ��� �� r � ��� ����������������� ξ ���� ���� �

( ) ( )r rr k k

k

M x pα ξ = ξ = ∑��

0��1�

������� ������ �� ���������� ��������rξ � ��� �������� ������

������������� �� r ���������������������� ξ ������������ �

( ) ( ) rrr k k

k

M x pβ ξ = ξ = ∑��

0��1�

#�$��� ��� .�� ��� �� �������� � ������� �� �� � ξ �� !������ ���������� r � ��� ���������� ������� ����� �� ���� ξ � � �����������

����������� ���� r ������� ξ ���� ���� �

( ) ( )( )r r Mμ ξ = α ξ − ξ��

���

Page 26: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

��7�

$������� ����������������������������������������� ���� ξ ����

��������� ���� �������� �� ������������ ����� ( )2D ξ ����� 2σ !��� ��

( ) ( )2 22D ξ = σ = μ ξ ��

4�� ��� ( ) ( )2D ξ = σ = μ ξ �������������������� �� ���� ���

���� ξ ��Vom da în continuare c+���������� �������������������������������

������� ���� ���0&�1�� ;��� ��'���������

( ) ( ) ( ) 22 2D M M⎡ ⎤ξ = ξ − ξ⎣ ⎦ ��Într/���� !� ��+��������������"��� ���

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2

2 2 22 2

2

2

D M M M M M

M M M M M

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ξ = ξ − ξ = ξ − ξ ξ + ξ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ξ − ξ + ξ = ξ − ξ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ �0&�1�� #� � a bμ = ξ + � �� a � ��� b � �������!� ���� ��

( ) ( )D a Dη = ξ ��;����

( ) ( )M aM bη = ξ + !�

( ) ( ) ( )2 2 2 22M a M abM bη = ξ + ξ +�

�������� ( ) ( )2 2 2D a Dη = ξ ��

În particular, pentru 0b = ������ ( ) ( )2 2 2D a a Dξ = ξ ��

0&�1�� ���� ( )1k k n≤ ≤ξ !� n ��������������������� ���!��� � +����� �

���������������� 1,..., nc c !� n � ���������;��� ��

( )2 2 2

1 1

n n

k k k kk k

D c c D= =

⎛ ⎞ξ = ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

���

0&61�� ���(��������������� /0��!����� ξ ��������� ����������;��� ��

( ) ( ){ }( ) ( )2

2

DP M

ξω ξ ω − ξ ≥ ε <

ε ��������� �� 0ε > ��

; ���� ����'�������������"����� ������"� �"��������"���� ����

���� � �����������!���+��� ( )aDε = ξ !���� ������������������ ���

( ) ( )( ) 2

1P M aD

aξ − ξ ≥ ξ <

���

���������������������������������������

����{ }, , PΩ Σ ���� −σ câmp de probabilitate.�#�$��� ��� 1�� �� ����� ��� �� � � �������� �� ���� �� :ξ Ω → 555�

0����� � �� ��� ���� ��������� ������ ��� ������� ���1�� � ���

"��#� ������ ������� ������ ( ){ }xA x= ω ξ ω < � ���� ��� ���� Σ �� �����

����� x∈ 555����������� �������� +���������� �������������������������

Page 27: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� �8�

0&�1�� ���� ξ � � ������� � �������� ��� c � � ������ !� ���� �� cξ + !�

ξc !� ξ !�2ξ !�

1

ξ � �� 0ξ ≠ �������������������������

0&�1�� #� � ξ � ��� η � ����� �� � ��������� �������!� ���� �� ξ − η !�

ξ + η !� ξη !�ξη

� �� 0η ≠ !� ( )sup ,ξ η � ��� ( )inf ,ξ η � ����� ��� ���������

������������������#�$��� ��� 2�� ���� ���� � � ���������� ������� 1,..., nξ ξ � ���

����������� ��������� � ������� 1,..., nx x �����

( ) ( ) ( )1 1 1 1,..., ...n n n nP x x P x P xξ < ξ < = ξ < ⋅ ⋅ ξ < ���

��� �������� �

#�$��� ���3������������ �������� ��������������������ξ ������ ���

( ) ( ){ }( )xPxF <ωξω=� 0�61�

����� ����������� x∈���555��#��� � ���� � ��"��� ��� ����� � � � �� ������� � �������� ����� "��

��� ����������������"�� ����������������� ����

#� � ξ � ����� � ������� � �������� ��� �� � �� ( )n np P x= ξ = !�n I∈ !����� ������0�61������ �

( ) nx xn

F x p<

= ∑�

0�(1�

����������������� �������� ���� ��� �����5����� � ����� ���� ���F � ����� � "�� ��� ��� � � !� ��� � ��� ����� �������� ��� �����������

����������������� ������ ix �0 i I∈ 1���

�������� %�� ���� ��� �� ����� �� �� ���� ��������� ������� ������ ����������� ���

$�� ��� � 1 2x x< �������� ( ) ( )1 2F x F x≤ �� 1 2,x x ∈���555��

%�� ( ) ( )0F x F x− = ����������� x∈���555��

&�� ( )lim 0n

F x→−∞

= ��

'�� ( )lim 1n

F x→+∞

= ����������� �� (���� ���� �� F � ������ �� �� �� � �����

������ ���� #���������� ( ) 0F −∞ = �� ( ) 1F +∞ = � ����� ���������� ���� ���� ��������� ������� ����� � �� ��� �#��� �� ����������������������� ��

�������� '�� ��� ξ � �� �������� � ������� �� � ��� ���� �� ������� �� � F �� ��� a � ��� b � ��� � ����� ���� ��� a b< �� )�� �������� ���

��� ( ) ( ) ( )P a b F b F a≤ ξ < = − -�

��� ( ) ( ) ( ) ( )P a b F b F a P a< ξ < = − − ξ = -�

��

Page 28: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

��9�

��� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P a b F b F a P a P b< ξ ≤ = − − ξ = + ξ = -�

6�� ( ) ( ) ( ) ( )P a b F b F a P b≤ ξ ≤ = − + ξ = ���

#�$��� ��� 4�� ��� ξ � �� �������� � ������� �� � ��� ���� �� ������� �� � F ����� ��� ������� ����� � f ������ ������������ ���555�����"��#�

( ) ( )x

F x f u du−∞

= ∫!�

0�71�

������ F � � ����� ��� � �� ����� � �������� ��� �� �� ���� ξ � ������ ��� �� � � �������� �������� ��� �� �� ���� ��� f � � �����

��� ���� �� ������ � ���� *����� +�� ���� ��� ��� ( )f x dx � � ���������������� � ���������� ��

�#� � F ������������������������������ f !����� ��

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim limx x

F x x F x P x x xf x F x

x xΔ → Δ →

+ Δ − ≤ ξ < + Δ′= = =

Δ Δ ��5����� ������ �� �

( ) ( )P x x dx f x dx≤ ξ < + = �#������������������������������ ����������� ������ ( ) 0f x ≥ �������� �� x∈ 555-�

��� ( ) 1f u du+∞

−∞

=∫ -�

��� &������ �� a b< ���������� ���� ��� ( ) ( )b

a

P a b f x dx≤ ξ < = ∫ ��

�&������������������� �������������������

���� { }, , PΩ Σ � ��� σ − +��� ��� ������������ ��� ξ � � ������� �

�������� �� ��� "�� ��� ��� ����� ��� ����� F �� ���� f � ����������� ���

����� ����������������������� ξ ��#�$��� ��� %5���� ����� ��������� � �� ��� �� � � �������� ξ �

��� ���

( ) ( ) ( )M xdF x xf x dx+∞ +∞

−∞ −∞

ξ = =∫ ∫��

0�81�

#�$��� ���%%�������������������� ���� r �� r ∈ 444����������������������������� ξ ����� ���

( ) ( ) ( ) ( )r rr rM x dF x x f x dx

+∞ +∞

−∞ −∞

ξ = α ξ = =∫ ∫!�

0�91�

������� ���

( ) ( ) ( ) ( )r rr rM x dF x x f x dx

+∞ +∞

−∞ −∞

ξ = β ξ = =∫ ∫�

0�:1�

������������������������� �� r ��������������������� ξ ���

Page 29: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� �:�

���� ������������ ����/�����"������������� ��������������� r !���������!���������������� ���� ���� �������������������������� ���!���� ��"���� � ��� ������ ��������� �������� ��� ���� �������� &���� ����������������������������������������������������������������������� ��������� ��������������������������������� ��������

������� � ��!�������+���� ������ ������ �� ������ � �#�$��� ���% ������� ���� ��� �� sA �������� E !�������

( )( )

3

32

sAμ ξ

=μ ξ !�

( )( )

422

3E = −μ ξμ ξ !�

0�<1�

��� �������� ������� ��#�$��� ��� %'�� �� ����� moment centrat în� a � �� ��� ���� r � ���

���������� ������� ξ �� ������� �� �������� r � ��� ���������� �������

aξ − �������������������������������r

aξ − � ���� ��������absolute centrate în� a ������ ���� r ��

#�$��� ��� %-!��� ���� ���� ��������� ������� ξ � � ��� ����

eM �0 ��� ( )μ ξ 1����������

( ) ( )1

2e eP M P Mξ ≥ ≥ ≤ ξ ≤�

0��1�

���

( ) 1

2eF M ≤ ���� ( ) 10

2eF M + ≥ �� 0��1��

���(��������� ���� &��6��!� ���� ξ � � ������� � �������� ������ � �� ��������������������"���� ��&������ �� 1λ > ������

( )( ) 1P Mξ ≥ λ ξ ≤

λ ��0��1�

#�$��� ���%.�������� Mo ������������������������ ����������������������������������������� ��

#�$��� ���%1!���� ( ), , PΩ Σ �����#������������������� :ξ Ω → 555����������� � �������� �� ����� ��� � ����� �� � �� ����������

������� ξ ������ ��� � � 555� �������! ( ) ( ).itt M e ξϕ = �&�������!��� � ξ ������������� ������������ �� ������

( ) kitxk

k I

t e p∈

ϕ = ∑!�

����� � ξ ������������� ��������� ����� !������

( ) ( )itxt e f x dx∞

−∞

ϕ = ∫ ��

������������ �������������� ��������������

În ce��� �� ����� � ��� �������� � ����� ��� ���� ��� �"������ �������������������������������������

#�$��� ��� %2!� ��� 1 2, ,..., nξ ξ ξ � �� ��������� ������� ������ ��

σ − câmpul de probabilitate { }, , PΩ Σ ���� ���� 1 2( , ,..., )nξ ξ ξ � ��������� �� � ���������� � ��� ���� � ����������������������� ������

Page 30: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

��<�

�În continuare, vom studia cazul ��,��� �"�����/ne în prealabil la

���������������������������� ��������� ( , )ξ η ��������� �����������"���� ���� +��������������������

{ }, , PΩ Σ ��&��� ������� ��� ���������� ������� ( , )ξ η ��� �� ���'�� ���������

������ �������� ���� ���������!� �� �� �� ��� ,��� ��� ������

1

1

( , )i j i n

j m

x y ≤ ≤≤ ≤

������������� ��� ������ ����

{ } { }( )1

1

| ( ) , | ( ) i nij i j

j m

p P x y ≤ ≤≤ ≤

= ω ξ ω = ω η ω = �� 0�61�

*������������ { },i jx yξ = η = � "���� � ��� ������� ������ �������������!��� �������������������� ���������'�� � ��� �

1 1

1n m

iji j

p= =

=∑∑��

0�(1�

���� +��� ����� ��� ���������� �������� ( , )ξ η !� ������ �������������� ���"�� ��� �������!���������!��������������

{ } { } { }1 1 1 2 1, , , ,..., , mx y x y x yξ = η = ξ = η = ξ = η = �������� ���������������������

1. 11 12 1... .mp p p p= + + + �� 0�71�;���'!���������

.1

m

i ijj

p p==

∑�

0�81�

��!����� ���!��

.1

n

j iji

p p==∑

�0�91�

�����"��������������� � ���� �����(�������������� ξ !����� ���� η ��#���� ��!������ ���������������� ���� ( , )ξ η ���� �������"��������

������ ������ ����������"�� ��

η �=� ξ � 1x � 2x � ���� ix � ���� nx �

1y � 11p � 21p � ���� 1ip � ���� 1np �2y � 12p � 22p � ���� 2ip � ���� 2np �

���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

� jy� 1 jp

� 2 jp�

���� ijp�

���� njp�

���� ���� ���� ���� ���� ���� ����

my � 1mp � 2mp � ���� imp � ���� nmp ��

���������0>1�

�#� �!� 1. 1( )p P x= ξ = � ��� ������� � ����� �������� ��� ��� ���

��������� 1x ��������������

Page 31: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

5����� ��������������� ξ ���� η �������

1 2.

1. 2. . . 1

... ...: , 1

... ...

ni n

ii n i

x x x xp

p p p p =

⎛ ⎞ξ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

1 2.

..1 .2 . 1

... ...: , 1

... ...

mj m

jj m j

yy y yp

pp p p =

⎛ ⎞η =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

�������0�:1�

�������� ������� ���������������������������������������� � ( , )ξ η ������� ��������������0>1��4� ��

( / ) ( / ).i j i jp x y P x y= ξ = η =� 0�<1�

&��� ����� ��� ���� ξ � ��� ���� � ��� "������ � jyη = !� �� ���'�������� ���

1 2

1 2

... ...:

( / ) ( / ) ( / ) ( / )... ...j

i n

j j i j n j y

x x x x

p x y p x y p x y p x yη=

⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟

⎝ ⎠�

0��1�

������

.

( , )( / ) ,

( )i j ij

i jj j

P x y pp x y

P y p

ξ = η == =

η =�

0��1�

��

1

( / ) 1n

i ji

p x y=

=∑��

0��1�

;���'!� ��� ����� ��"���� ����� ��� ���� η � ��� ���� � ��� "������ �

ixξ = !����������

1 2

1 2

... ...:

( / )( / ) ( / ) ( / )... ...i

j m

j ii i m i x

yy y y

p y xp y x p y x p y xξ=

⎛ ⎞η ⎜ ⎟

⎝ ⎠ !�0�61�

�����

. 1

( / ) , ( / ) 1m

ijj i j i

i j

pp y x p y x

p =

= =∑��

0�(1�

#�$��� ���%3!����� ����� � 555���� �?<!�@!��

{ }( , ) ( | ( ) , ( ) )F x y P x y= ω ξ ω < η ω < � � ����� ��� �� �� ����� � �� ���������� ������� ������ ������( , )ξ η ��

��� ��� +����� ����� �� ����'�� ��� ����� ������ "�� ����� �������� ����������������� �

��� F ����������� �� ����������� ��"�� ����'�����-���� F ������ ����� ������+�'��������� ��"�� ����'�����-�

��� ( ) ( ) ( ), , , 0F x F x F−∞ = −∞ = −∞ −∞ = -�

6�� ( ) ( ),F x F xξ+∞ = -� ( ) ( ),F y F yη+∞ = -�

(�� ( ), 1F +∞ +∞ = ��

În continuare, vom nota simbolic ( ), Dξ η ⊂ evenimentul „punctul

������ ( ),ξ η � ��� ' ������ ��� �������� D ”. Probabilitatea acestui ��������������%��� ���������� � D ���������������',������ �������������� �������� �� �%���� ��� ������� ���� ������',���� D de vârfuri

Page 32: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

( ),A a c -� ( ),B b c -� ( ),C b d -� ( ),D a d . În acest caz, evenimentu��

( ), Dξ η ⊂ ������� ,�������� ��{ } { }a b c d≤ ξ < ≤ η <� !��� ��

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,P D F b d F a d F b c F a cξ η ⊂ = − − +� 0�71�

�#� ��%��� ��"�� ������ � f ���"���� ��������'���� ���� 555�������� +��

( ) ( ), ,yx

F x y f u v dudv−∞ −∞

= ∫ ∫ !� ���� �� f � ��� �������� ��� ����� ��

������ � ����0����� 1��������������������� ��������������� ζ ��

���� ,ξ η ��� ������������������������� ���������� ( ),ξ η �����������

ca un punct aleator în plan. Fie RΔ �������',������������� xΔ ���� yΔ !������

( )( ), ( , ) ( , )

( , ) ( , ).

P R F x x y y F x x y

F x y y F x y

Δξ η ⊂ = + Δ + Δ − + Δ −

− + Δ + �;����

( )( ) 2

0

0

, ( , )lim .x

y

P R F x y

x y x yΔ

Δ →Δ →

ξ η ⊂ ∂=Δ Δ ∂ ∂

�4� ��� ���� ������� ����� ( ),f x y �

( ) ( )2 ,,

F x yf x y

x y

∂=

∂ ∂ �0�81�

���"������ �������������������������������������������������� ζ ��;����

( )( ) ( ), ,D

P D f x y dxdyξ η ⊂ = ∫∫��

0�91�

#������������������ ��������� ζ ����������'���� !����

( ), 1f x y dxdy+∞ +∞

−∞ −∞

=∫ ∫��

���������������������������������� ����������������� �������������

��������������������� ���� ������������ ( ),ζ = ξ η ��

#�$��� ���%4����������� ( ),k s

k s Mα = ξ η ������� � �������� ��

,k s ������ ������ � ( ),ξ η ���������������������������� ���� ,k s ����

� ������ ( ),ξ η ���� ���� ( ) ( )( ),

k s

k s M M M⎡ ⎤ ⎡ ⎤μ = ξ − ξ η − η⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ��

;����

( ), ,k sk s x y f x y dxdy

+∞ +∞

−∞ −∞

α = ∫ ∫!�

0�:1�

( )( ) ( )( ) ( ), ,k s

k s x M y M f x y dxdy+∞ +∞

−∞ −∞

μ = − ξ − η∫ ∫�

06<1�

���

Page 33: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

formule care în cazul variabilelor aleatoare discrete devin�

,k s

k s i j iji j

x y pα = ∑∑!�

06�1�

( )( ) ( )( ),

sk

k s i j iji j

x M y M pμ = − ξ − η∑∑��

06�1�

;����

( ) ( )1 01,0 M Mα = ξ η = ξ

( ) ( )0 10,1 M Mα = ξ η = η ��

Un rol important în teoria sistemelor de variabile aleatoare îl are ����� ���

#�$��� ��� 5!������������ �� ���������������������� ξ ����η ���������

cov( , ) ( ) ( ) ( )M M Mξ η = ξη − ξ η �������� �� ����� � �� ������ � �� ����������� ������������ ��������

������ ��!� ��� �+�' ���������!� ��' ���������� �����2����� � ������� � !��� � ξ ���� η ������������������!� ����� ������������ ��

#�$��� ��� %!� �� ����� �� ��� �� ���� � ��� ������������������� ξ ����η ����������

,

cov( , ).

( ) ( )r

D Dξ ηξ η=

ξ η �06�1�

#� � ξ ���� η ������������������!����� �� , 0rξ η = ��

#�$��� ��� !���� � , 0rξ η = � � ����� ������������������ ξ ����η � �����������

�7������� ���������$������������������� ���&������� ( ) ( ) 0D Dξ η ≠ !����� �� , 0rξ η = ��� ������������ ������������

ξ ���� η ������� �������

&���&������ ���� ����������������������� 2, 1r ξ η ≤ ��

&���#� � 2, 1r ξ η = , atunci între ξ ���� η ��%��� ���������� ������ ��

��

��

��6��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

%�������������������������� ��0 1 2 3 4

:0,15 0,45 0,20 0,15 0,05

⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟

⎝ ⎠��2 �������������"�� ���

����������� ����

Page 34: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

��6�

- ����� �2������� � ( ) ( )F x P x= ξ < ��;��� ��"�� ����������� ��������

( )

0 pentru 0

0,15 pentru 0 1

0.15 0,45 pentru 1 2

0.15 0,45 0,20 pentru 2 3

0.15 0,45 0,20 0,15 pentru 3 4

1,00 pentru 4

x

x

xF x

x

x

x

<⎧⎪ ≤ <⎪⎪ + ≤ <⎪= ⎨ + + ≤ <⎪⎪ + + + ≤ <⎪

≥⎪⎩ �

!�2�� ����� ��������������������

1 1: 1 1

2 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟ξ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

����

1 2: 2 1

3 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟η ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��2�� ���� ���� �� ������

��� ( )1, 2P ξ = − η = -� ( )1, 1P ξ = η = − -� ( )1, 2P ξ = η = !��� �� ( )1, 1P ξ = − η = − = λ ����� ��"� ���������� ��� ������"�� ������ λ �� �� ����������� λ ������� ��� ξ ���� η ��������������������

- ��������� ;�����

( ) ( ) ( )1, 2 1, 1 1P P Pξ = − η = + ξ = − η = − = ξ = − !�

( ) ( ) ( )1, 1 1, 1 1P P Pξ = η = − + ξ = − η = − = η = − !�

( ) ( ) ( )1, 2 1, 1 1P P Pξ = η = + ξ = η = − = ξ = �

�������� ( ) 11, 2

2P ξ = − η = = − λ !� ( ) 2

1, 13

P ξ = η = − = − λ ���� ( ) 11, 2

6ξ = η = = λ − !��� ��

�ξ �

η �1− � 1 � ( )iP yη =

1− � λ �2

3− λ

2

3 �

2 �1

2− λ

1

6λ −

1

3 �

( )iP xξ = �1

2 �

1

2 �1 �

( ) ( ),,

2 1 12 2 6 2

3 2 6

ji j i yi j

x y P xM η== ξ = =ξη

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= λ − − λ − − λ + λ − = λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

��

λ � ����������"���������� +��������������� ����� �"��� ������������ 0 ����1��� ��

0 1≤ λ ≤ !�2

0 13

≤ − λ ≤ !�1

0 12

≤ − λ ≤ !�1

0 16

≤ λ − ≤ !�

��������1 1

6 2≤ λ ≤ � ���� ������� �

( ) 1M ξη ≤ ��

���( ) ( ) ( )

( ) ( ),

M M Mr

D Dξ ηξη − ξ η

=ξ η

��

��

Page 35: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� �(�

;����

( ) 0M ξ = !� ( ) 0M η = !� ( )2 1D ξ = !� ( )2 2D η = !��� ��

,

6 2

2rξ η

λ −=��

��#��� ��1 1

6 2≤ λ ≤ ������ �

,

1

12rξ η ≤

��

&�����1

3λ = !� ξ ���� η ��������������������

���

�������������������

������������������8��������������

%!��2 ������������� ��������������� ����� ������� ������� �������������������������������

1

1

: n

n

x x

p p

⎛ ⎞ξ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� !�1

1

: m

m

y y

q q

⎛ ⎞η ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� �

����������������� ξ + η ��������������������� ���

1 1 1 2

11 12

: i j n m

ij nm

x y x y x y x y

p p p p

+ + + +⎛ ⎞ξ + η ⎜ ⎟

⎝ ⎠

� �

� � �

�����

( ){ } ( ){ }( )ij i jp P x y= ω ξ ω = ω η ω =� �

��

Page 36: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

��7�

��#� � ξ ���� η �������� ��������������������� ��������� � ( )M ξ ���� ( )M η ��%��� !����� ��

�%��� �������������� ( )M ξ + η ����

�1 ( ) ( ) ( )M M Mξ + η = ξ + η �

�1 ( ) ( ) ( )M M Mξ + η = ξ ⋅ η �

1 ( ) ( ) ( )M M Mξ + η = ξ − η ��'!� 2 ������������� ��������������� ����� ���������� ���� ����������� �������������������������������� ������������� �

�� � 1 2x x< !����� �� ( ) ( )1 2F x F x≥ !� ( ) 1 2,x x∀ ∈ 555���-!���� ����������� �������������������������������� ���������������

�1 ( )lim 1n

F x→−∞

= ��

�1� ( )lim 1n

F x→−∞

= − ��

1� ( )lim 0n

F x→−∞

= ��

.!����� ξ ��������� ����������� ���"�� ����������� �������� F ������ a ���� b ��� ������������ �� a b< ��;��� ������ ��'�������� �

�1 ( ) ( ) ( )P a b F b F a≤ ξ < = − �

�1 ( ) ( ) ( )P a b F b F a≤ < = +ξ �

1 ( ) ( ) ( )2P a b F b F a≤ < = −ξ �

�1 ( ) ( ) ( )2P a b F b F a≤ < = −ξ �

�1��2�� ����� �"�� ��� F ���"���� �������� �����

( ) 2

0 pentru 0

pentru 0 1

1 pentru 1

x

F x ax x

x

⎧ <⎪= ≤ ≤⎨⎪ >⎩ !�

a � ��������2 ������������� �������� a ������� +�� F �� �"���"�� ����������� ������1���A�(��1���A�/�� 1���A����1���A�<��2!�2�� ����� �"�� ����������� ��� F ���"���� �������� �����

( ) 2

0 pentru 0

pentru 0 1

1 pentru 1

x

F x ax x

x

⎧ <⎪= ≤ ≤⎨⎪ >⎩ !�

����� a � ��������2 ���� �� ������ ( )0,35 0,5P ≤ ξ < ���1� (0,35 0,5) (0,5) (0,35) 0,1275P F F≤ ξ < = − = �

�1� (0,35 0,5) (0,5) (0,35) 0,3775P F F≤ ξ < = + = �

1� (0,35 0,5) (0,5) (0,35) 0P F F≤ ξ < = − = �

�1� (0,35 0,5) (0,35) (0,5) 0,1275P F F≤ ξ < = − = − ��

��

Page 37: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� �8�

3!�2�� ����� �"�� ���

( )0 pentru 0

sin pentru 0

0 pentru

x

f x a x x

x

<⎧⎪= ≤ ≤ π⎨⎪ > π⎩ �

�2 ������������� ����������� � a !����"��� �� f �� �"���������������������������������������������

���������

�1 ( )0

sin 2 1f x dx a xdx a+∞

−∞

= = =∫ ∫π

�!���� ���A��B��

�1 ( )0

sin 1f x dx a xdx a+∞

−∞

= = =∫ ∫π

!���� ���A���

1� ( )0

sin 2 2f x dx a xdx a+∞

−∞

= = =∫ ∫π

!���� ���A���

�1�1 ( )0

sin 2 1f x dx a xdx a+∞

−∞

= = = −∫ ∫π

!���� ���A�/�B��

�4��2�� ����� �"�� ���

( )

0pentru 0

1sin pentru 0

2pentru0

x

f x x x

x

⎧ <⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪ >⎪⎩

ππ

��

2 ���� �� ������ 04

Pπ⎛ ⎞≤ ξ <⎜ ⎟⎝ ⎠ ��

�14

0

2 20 sin

4 2P udu

π

π −⎛ ⎞≤ ε < = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ��

�1�4

0

1 2 20 sin

4 2 4P udu

π

π −⎛ ⎞≤ ε < = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ �

1�4

0

10 sin 1

4 2P udu

π

π⎛ ⎞≤ ε < = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ��

�%5������ ξ ��������� ����������� ���"�� ����������� ���0����� ��� ���� 1������

( )0 pentru 0

pentru 0 1

1 pentru 1

x

F x x x

x

<⎧⎪= ≤ <⎨⎪ ≥⎩ �

2 ���� �� ������"�� ����������� �����������������������1

lnη =ξ

��

�1� 1 1( ) ( ) ln

1 ( ) 1

x

x x

F x P x P x P e

P e e− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= η < = < = < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ξ ≤ = −

��

Page 38: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

��9�

�1� 1 1( ) ( ) ln

1 ( ) 1

x

x x

F x P x P x P e

P e e

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= η < = < = < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ξ ≤ = −

��

1�1 1

( ) ( ) ln ln

1 11 1

ln ln

F x P x P x P x

Px x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= η < = < = < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ξ ξ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= − ξ ≤ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

��

%%������ ξ ��������� ���������������� ������� ���������������������������� ( ) 1

2xf x e−= !� x∈ 555��

2 ���� �� ����������������������

�1�0

| |

0

1 1 1( ) 1

2 2 2x x xM xe dx xe dx xe dx

∞ +∞− −

−∞ −∞

ξ = = + =∫ ∫ ∫ �

�1�0

| |

0

1 1 1( ) 0

2 2 2x x xM xe dx xe dx xe dx

∞ +∞− −

−∞ −∞

ξ = = + =∫ ∫ ∫ �

1�1 0 1

| |

1 1 0

1 1 1( ) 0

2 2 2x x xM xe dx xe dx xe dx− −

ξ = = + =∫ ∫ ∫ �

��������������

���� ���(��$���� ��(���������

��� #���� ��!� 3����"�� 5�!� C� ��� ;�!� ���� 5�!� C+� � 2�!�!������� ����� ��������!� *����������� ����România de Mâine!�C� �����!��<<7��

��� #���� ��!� 3����"�� 5�!� C� ��� ;�!� ���� 5�!� .���� �� �������� �������!� *����������� ����România de Mâine!�C� �����!��<<(��

���C� ���;�!�Matematici aplicate în econom����� ����� !�*����������� ����România de Mâine!�C� �����!��<<6��

6�� #���� ��!� .���� �� ����� � ����� ��������!� *������ ����� ���� România de Mâine!�C� �����!��:::��

(������ ��D,�!�!��������������������!�*����������� ����România de Mâine!�C� �����!��::7��

Page 39: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

��

������������� ���� �

������������������������������������

���������

���������� ������������������������������� ���� �� ��������� ������������� �� �� �� ��������� ������������������� ������������������������������������������� ��������������������������������� �������������� �

3.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����

���������������������� ������������ ��������� ���� ������������� �������������������������!�

���������������"�• schema bilei întoarse (Bernoull�#$��• �� �������������������%��������!� ���&������ #$�• '������$�• '��������������� �λ $�• ���� �������� $��• ���� �� 2χ $��

• ( �������

�������� � ���� ������ ���� � ������ �����

) � � ��� &���� ������� �� �� ��� ��� ��!� � ��� �� ��� *�� �������� � �identifice într+�� �� � ��� ��� � ���� �� ��� ����� �� ������ �������� ��� ������������ ������� ��������� ��

������� �� !"������� ��#��!,������

Page 40: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�-.�

�������� �������� � ������ ����

�������������� �����!$�$� ����"��" ���"��

��������������� �������������

���� ��� ������ ��� ������� ���� ������ �������� ���� ��/����� ��� �� ��� ���� ���0��������� ������ ����0��������������&�������� ���� ��� � ������!� *������din ele ducând la r��������� �� � ��� ����������� � �� �� ��� ���������� ����� ����������� � ���� � � �� ��� ����� �� ���� �������� � �� ��+�� ����� ��� �0���������10�������������*���*�� �������������������� ����� ��������� �����*�����

��!����� �����"� �� � �� �%��������� !�� ���������� �� ���� �� �����������independente, în fiecare din ele un eveniment A se poate realiza cu probabilitatea p �� ��� ��� �������� � ��� ������������� ������� � ��� �������� ������������� ��� ����������������������������������� ������������������������������� �

,m m n m

m n nP C p q −= � %�#�

'������� ���� ,m nP � � � *���� �������� ���� ���������� ����� � �� ( )np q+ ��

)��� ����� � �� � � �/�� �� ��� ���������� ���� ����� � �� �� � ����������� � � ��& ��� %�#� ��� � ����� câmp binominal� %���� ���� � � ������������ ��������� ����câmpului asociat experimentului pot fi considerate ca elemente ale produsului �������� ...nΩ = Ω× × Ω #��

2���� ��� �� ������������ ���*�������� �������������������3��4��� ���!������������������ ����������!�������"���������

��!����� &����� � �� �%��������� !�� ��������'� #���������� � � ��� ���� ��experimente independente, în fiecare din ele un eveniment A se poate realiza cu ������������ ip $� 1,2,...,i n= � �� ��� ��� �������� � ���������������� 1i iq p= − �� � �������������������������������������������������������������� ��������� ���������������%������ ���� ����������!����������� ������� �

, 1 1 1 1 1 2 1 1... ... ... ... ... ...m n m m n m m m m n n m n m nP p p q q p p q p q q q q p p+ − + + − − += + + �

���� �

( ) ,1

nm

i i m ni

p z q P z=

+ = ∑∏ � %�#�

���� ,0

1n

m nm

P=

=∑ ��

În unele experimente practice se cere probabilitatea de realizare a �������� � �� A ��������� ��� m ori în cele n experimente. Notând cu mC � �����

��������� ����� 1 ...m m m nC B B B+= ∪ ∪ ∪ !� ���� mB � ������ � �������� �� 5 A � ����������� ��0������m ori în cele n experimente”����� � �� �

( ) , 1, ,...

‘m m n m n n nP C P P P+= + + + �

�� �

( ) ,

n

m k nk m

P C P=

= ∑ �� %�#�

(� ��������������� ������� ����� ������������ ��� ������

Page 41: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� -��

����� ���� ������������������( � ��� � ���� � � ��� ���� ��� ��������� � %�#� � �� np = λ � %������#�� ( �

������ ������������������������������ ������� � n → ∞ ��2���"�

!

k

kp ek

−λλ= � %-#�

���

0 0

1!

k

kk k

p e e ek

∞ ∞−λ −λ λ

= =

λ= = ⋅ =∑ ∑ !�

������������� ������*���������%-#�� ��������� �������� �������(��� ��� )�� ������ �� �������� � ���� �������� ��� &'(� ��� ��������

����� ��� ����������������λ$����������������������

2

0 1 2

"e e e e

1! 2! !

k

k

k− − − −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� �

� ��

�������������� �� � ����������� ����������� ���'�������������� �� ���)��������������������!����� ������ ��������

��������0���������� ����������� ��/���� � ���0����������������*������������������������������ ������������� � ���������������*������� ��

�������� ��� �� �

*���� ���� ����������������� 1,... sc c ���������� ����������+��������������

������������� ip ������� ��������������� �$���������������������� ic $� 1,...,i s= ��

�� ���� �� ������ � �� �,��� �� �� $� ��� ��� �� ��� ��� ������� ������ �� ����� � � �� �������������� ���-�� Aα ������������������������ �������������� ����� � iα �����

�� ��������� ic $� % 1,...,i s= #$� ��� ( )1,..., sα = α α �� #������������ ������� ���������

���� �

( ) 1 21 2

1 2

!...

! !... !s

ss

nP A p p pα α α

α =α α α

�� %,#�

2���� ������������������������ �� ( )1; ,..., sP n α α ��

������� � ����� ��

�������� ������ ������� ��������������� � 1a ���������������� 1c +� 2a ������� ��������� 2 ;...; sc a � ���� �� ��������� sc �� �� ���� �� ������ � � � � �� ������� ���������� ������������� �%������� ���������!������ ���������)����������������� #��-�� Aα ��������������������.���� ���������� kα $�% 1,...,k s= #���������������� kc în

)������������������������������ ( )1,..., sα = α α $� 0 k ka≤ α ≤ $1

s

kk

n=

α =∑ ������ �

( ) ( )1 2

1 21

...1

...; ,...,

sa a as

s na as

C C CP A P n

C

α α α

α+ +

= α α = � %6#�

10������ �� ������� ���� � � � � �/�� �� ��� ���������� ������!� ������������ � ��& ����� !����� �������!�� �!���)������� �������!�������������������

���

Page 42: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�-��

��������������� ��������������

����������� ���� ���������*���������� ����� �������������������������� ��7���{ }!� !� � �� σ –câmp de probabilitate, L �� � ������������������������

��*��������Ω ����F �� � �����* �� ������������ ����8������ � ���� ���� ������F ∈F ��0�� ������������������ ξ∈L ���� ���* �� ���������� ������� F ��

������ ������� ������ ���� �

��(��� ��� *�� �� �������� ��� � �� ����� � �� ���� � �� [ ]ba, $� ���� �� �������� ����� ����������������������������� �

[ ][ ]

1daca ,

( )0 daca ,

x a bf x b a

x a b

⎧ ∈⎪= −⎨⎪ ∉⎩

� %9#�

��(��� ��� ��/����������������� ξ � ������������� ���� ���� � [ ],a b ��� �����

������ �������� ����[ ],a b ��

���������� �

��&��� �� ������� ��� �!��� � ����� !� �&�� ���� � ��+ ��� � (��"����� ���� �"� ������"��"�'�

(�� ����� � �� � � � ��� � �� � � � � *������ ������� ��� ��������� �������������������� �/�������&��������!���� �� *���������� �������� ��!������� ������&������� ��

��(��� ���,�� ������������� �������� ������� $������ ������ ( )2; ,mΦ • σ �

���� ���������� ������ ��������������������������� �

( )( )2

22 21, ,

2

x m

f x m e

−−

σσ =σ π

� %:#�

���� 2σ �������������$�������������� ������ ��

;�*�� ������� ��� ( )2, ,f x m σ �������������*�&������

�7�&������

7 �� ���������� ������"�

( ) ( )( )2

22 2 21; , , ,

2

u mxx

x m f x m dx e du

−−

σ−∞

−∞

Φ σ = σ =σ π∫ ∫ �� %�#�

8������� ( )2

21

2

x t

x e dt−∗

−∞

Φ =π ∫ !�* �� ���� ��<������$����������������* �� ������

� �����������& �������������������������8�������� �������� ξ � ��� � ����� ����� � ( )2,N m σ � ��� � ��� * �� ��� ���

���� ��� ( )2; ,mΦ • σ �� '�� � ξ � ���� ���� ��� ������������� � ������ ���� ����"�

�������������!���������������������������"�

Page 43: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� -��

( ) ( )( )2

22 21; ,

2

x m

M xf x m dx xe dx−+∞ +∞ −σ

−∞ −∞

ξ = σ =σ π∫ ∫ �

��� � "� ( )M mξ = ����� 2 2( )D ξ = σ ����� �� ��� ��������� �� ���� ��� �� ��� ������� ��� ���� ����� )�� � �� ����

�� ��� � �������!� � ��� ��� �������� ��� ��������� � ��+�� � �& �� �0��� �0� * � �+����� ����� *�����)������ ���������� ����� ��� ���� ���� ��� �0���0��'���� �� σ ����������� � *���� � ���� ��� ��������� ������� ��0�� � �� � ���� ���� ���������� ����� �� �σ ��

����� �� 2χ �

-�� 1 2, ,..., vξ ξ ξ $� ν � �������� ���������� �������$� �������$� ����������% ( )0,1i Nξ ∈ #�� ����� ������������������������������������������������ �����������

����� � 2 2 2 21 2 νχ = ξ + ξ + + ξ� �������� ������� �������������������������������� ��

2

2 2

2

1( )

22

xv

vf x x e

v

−−=⎛ ⎞Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

$� [ )0,x∈ ∞ �%�.#�

%��������� � � ( ) 1

0

n xn x e dx∞ − −Γ = ∫ � ���� * �� ��� ;���� �� � �� 1 ��!� � � �� ��

����� �������#��� ��� ����� ��� ��� ���� ��� � � ���� ������ � %*�& �� ���#!� ��� ��� ����� � �

����� ������� ���� �� � ��&����������������ν ������%������.#��

�7�&�������

����� ����������

-�� 1 2, ,..., nξ ξ ξ ��������������������������� ( )0,N σ $������������/�������

1

1 n

ii

t

n =

ξ=

ξ∑�

%��#�

���� ξ � ����� �� ������ � ���������� ( )0,N σ $� �������� � �� ����� ( )1i i n≤ ≤ξ $� ����� ��

������ ����������������� ��������������������� ���1

2 2

11 2

( ) 1

2

ssx

f xs ss

+−+⎛ ⎞Γ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= +⎜ ⎟⎛ ⎞π ⎝ ⎠Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

$� ( ),x∈ −∞ +∞ � %��#�

���� � ��� ����� ����� � ������� %� � � ��� ����� �� ���������� � ���=��;����#$���� 1s n= − �)������������������

Page 44: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�--�

� �������� ��������������� ��������������*�& �������

�7�&�������

1���������� � ����� �� �������� ���������!������*�� ����

��-��Îndrumar pentru verificare/autoverificare����� )����������� �*� ��&�� ���0��� �12 � ���!������������������������������ ��/��&���� �� �

����1

2�� ( � ��� ���� ����� �������������!� ��������� ��� ������������� � ��� � �� ���������� �������� ����

������ �� � ����� �����/��&������ � ��������������

�����������8���������������� ξ �������� ����������� � ( )12

12

1

2kP k C

⎛ ⎞ξ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠!� 1,...,12k = ��2����

( ) 6M ξ = !� ( )2 3D ξ = !� ( ) 3D ξ = ��

���� La controlul de calitate este controlat un lot de piese. Probabilitatea ca luând la întâmplare o

���� ����� ���� �*�����*�� ����� 005,0 ��( ����������100 ����������� ��!������ �� � ������/�������� ��� *������ ������� ��� ��� � � � ��� �� *��� ������ �� (�� ���� �robabilitatea ca între cele 100 � ��������������� ����������� ���� ���������*�����

���������"�

( ) ( )4 4

100100, 100

0 0

0,005 0,995k kk

kk k

P P C−

= =

= =∑ ∑ �

���� >��& ����� 40 �������� ���� � ��� ����� 3 ��������<��������!��� � ���0���������������

���� ���*��� ����/���������������������*��� ������ ��?���� � 5 elevi cunosc în întregime ���������� !�10 �������� ����� 90% ��������������� ����*���������� !�11 elevi cunosc câte 80% ����������!� 7 ������� 60% !� 5 elevi câte 50% ��������������� �� ������������������������� ��<���0����!� ������� �� ��������������������� ����� �����*����������������������������������������� �*��� � ������������������� ����"�����&�������!� 90% !� 80% !� 60% !� 50% !� 0% din întreaga �������

�����������7��������������� 1A − cinci elevi cunosc întreaga materie; 2 10A − �������� ����� 90% �����

�����$� 3 11A − �������� ����� 80 ����������$� 4 7A − �������� ����� 60% $� 5 5A − elevi cunosc câte 50% �

���� ������ ��� 6 2A − � ������ � � � ����� ������ ���� ������ ���� �� 2���� ( )1

1

5P A = !� ( )2

1

4P A = !�

( )3

11

40P A = !� ( )4

7

40P A = !� ( )5

1

8P A = !� ( )6

1

20P A = ��

Page 45: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� -,�

��7����������� �� X − � ������� �� �������������� ����� �����*��������������2�����

( )1 0P X A = !� ( )2

22 3

9 1

10 10P X A C

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠!� ( )

22

3 3

8 2

10 10P X A C

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠!� ( )

22

4 3

6 4

10 10P X A C

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠!��

( )2

25 3

5 5

10 10P X A C

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠!� ( )6 0P X A = ��

�-��������� �*���� � ��� � ����������������������� ������ ����*�����(��*��������� ������

100N = � ��� ���������� �� 40n = � �����!� *������ ������ ��� ��/��������� ����� � ��������� ��� ������������*���"�

�@����������*���� ix � @���������� in �

0 � 28 �1 � 40 �2 � 21 �3 � 7 �4 � 3 �5 � 1 �

�����6 � 0 ����� 100 �

�7 �/����������� ����� �������������*���� �/��������� !�� � �� X al pieselor defecte în

*��������������������������� ����������������� ��������� � 40n = ���� p ����������� ���� ��

A������������� �������120

1,2100

i ii

n x

xN

= = =∑

����� ���������1,2

0,0340

xp

n= = = ��

���������0���� �� ������0������&����������� �� ���&���'������!����� �������������*����*������ *������������ !�����*���� ��*��� �������������� 40n = ��

������ �������*����� ����������������������� �����B ����������&����������� ����'��������� � ��������� �� � �"�

@ � ���������*����

7����� ����������� ���

'������������&��

�������� �

'������������&��'�������

0 � 0,28 � 0,2957 � 0,3012 �1 � 0,40 � 0,3658 � 0,3614 �2 � 0,21 � 0,2206 � 0,2169 �3 � 0,07 � 0,0864 � 0,0867 �4 � 0,03 � 0,0247 � 0,0260 �5 � 0,01 � 0,0055 � 0,0062 �6 � 0 � 0,0010 � 0,0012 �7 � 0 � 0,0001 � 0,0002 ������8 � 0 � 0,0002 � 0,0002 �C���� 1� 1,0000 � 1,0000 �

����

Page 46: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�-6�

,��>��� �������� ���� ��������� ���� 0,9 !� 0,07 ���� 0,03 ��������������� �� � !������� �� � ����*���������������� ���� ��A ���� ������� ������������������������������������������������������ �*�������� ��������� �� � ��������� ��� ���� D��

�����������'�� ����� �������������������� ������� ���� �������������� ������ ���( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 0

0 2

3;1,1,1 3;2,0,1 3;1,0,2

3! 3!0,9 0,07 0,03 0,9 0,07 0,03

1!1!1! 2!0!1!3!

0,9 0,07 0,03 0,086671!0!2!

P P PP = + + =

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ =

�6��'�� ������ ��������������� � �������� N ������!�����0�&������ � n �������% n N< #��?�����

� ������������ a ��������� ����b �������� ���% a b N+ = #!�� ������������� ���������� ��������������������������������� �� � ������������� ����������� n ��0�����( �������� ������������������������������������������������

�����������8����������������ξ ������� ����������0,1,...,n �� ��������� ���� ( )k n ka b

nN

C CP k

C

ξ = = !�

0,1,...,k n= ������

: k n ka b

nN

k

C C

C

⎛ ⎞⎜ ⎟ξ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

!� 0,1,...,k n= ��

2����

( ) 11

1 1

1 n nk n k k n ka b a bn n

k kN N

aM kC C C C

C C− − −

−= =

ξ = =∑ ∑ !�

���1

1 1 1 11 1 1 1

1 0

n nk n k k n k n na b a b a b N

k k

C C C C C C−

− − − − − −− − + − −

= =

= = =∑ ∑ �

���

( )11

nN

nN

C nM a a

NC

−−ξ = = �� %��#�

@� ��a

pN

= !�b

qN

= ������ ( )M npξ = ��

)����������!� ( ) ( )( ) ( )2 1M M Mξ = ξ ξ − + ξ !����

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

22

2 2

2 22 2

1 1 1

1 1

n nn k n k k n kN a b a n

k k

n na b N

C M k k C C a a C C

a a C a a C

− − −−

= =− −+ − −

ξ ξ − = − = − =

= − = −

∑ ∑�

��� ����

( ) ( ) ( ) ( )2 11 1

1 1

a n a naM n a n a n N n

N N N N N

− ⎡ ⎤ξ = − + = − + −⎣ ⎦− −��

)�����������*��

( )22 1 1

nab N n N nD npq

N NN

− −ξ = ⋅ =− −

�� %�-#�

Page 47: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� -9�

��

�������������������

������������� ����-���!��� ������

����� � ���� ���� 30 ��������������10 ��������&���(��*��� 200 �����0�� ������� � �� �/���� � �*�������0�� ������������������ � ��(����������&������*���� ���� ����������������� � ��������� ������������������������ 200 �����0�� ���� �*���� ���������100 ����120 ��

�����<�� ������ ������������ !� 3 �������� ����������/�� �������������� ���� n �% 3n > #�������

� ��������������&�� ����&�������������������� ����� ������������/��1,2,3 �� �����������&�� ��7����� �0����� �!� ���� ��� ������� �� �0�&� *������ �/�� �� ����� ���� ������ 10�&���� * �/�� +��� �����/�����!�� �����*��������������� � ���������������"�

��� C���������� ��� �*����0����� �����&����������� @���� ����������� �� �*����0���������&����������� ����� ��� ����������� �*����0�����������&�� ������>�������������� �������5 ��������$�*����������%���������������* �� ������* ���*�� � �����+

���������������#��������������"� 1 0,9p = $ 2 0,95p = $ 3 0,8p = $ 4 0,85p = $ 5 0,91p = ��)�� ������ � ��

������������� ����������� !����������������* �� ������������ � ��* ���*�� � ��������&�� �� �1$���� � � ����������������������������������� !������ ���������������� 0,7 !������� ��� ���������� �������� !����� ��� ������* �� ������( ������������������������������� ��� ���� ��*�� ��� ������� �����������������

�-����� � ���� ���� 30 ���������������10 ����������!� 8 ���&�!� 7 ��������� 5 �������(���0�&� 5 ����������

� �* ����� ���������0�� ���������(������������������������������5 �������0����� �����"���� C������������!������ ��������� �������������������� ���� !��� ���&������� ��������������

Page 48: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�-:�

��������

����$ �!&��(���!$ �&��!������

��� ) ��� ��!� C����*�� ��!� 4��� �2�!� �������!� 4/� � (�!�0�������� ������� ��������!� 1�� ��7 ��� ����România de Mâine!�4 � ���!��..6��

��� ) ��� ��!� C����*�� ��!� 4��� � 2�!� ����� ��!� 1�������� �� ��������� ��������!� 1�� ��7 ��� ����România de Mâine!�4 � ���!��..,��

���4��� �2�!�0����������������������������� ���� �!�1�� ��7 ��� ����România de Mâine!�4 � ���!��..-�

-�� ) ��� ��!� 1�������� �� ��)��� � ������� ��������!� 1�� �� 7 ��� ���� România de Mâine!�4 � ���!�������

,������� �; �!�0�����������������������!�1�� ��7 ��� ����România de Mâine!�4 � ���!����6��

����

Page 49: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

��

������������� ���� �

��������������������� ���������� ����

���������

���������� ������������������������������� ���� �� ��������� ������������� �� �� �� ��������� ���

���������������������� �������������������������� ����

4.4. Îndrumar pentr ��������� � ���������������

�������������������!�� ������ ��� ��� ��� �� ��� � ���" � � ������ �������� ���

������ �������� #��• ����������� ������• ����������� ������• $�������������� �����%�������

�������� � ���� ������ ���� � ������ �����

& � ���� '����������� �� �������� ��(�� ��� ����������������� � �� � �� �� � ��� ���� ����� ����� ���� ��� ����� ����� ���� ��� � � �"������%��� ��� ��� �������� ��� ���� � � ������� ����������� ������� ��� ����������"������

�������������������� �����()�������

����

Page 50: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�)*�

��

�������� �������� � ������ ����

������������������� �����

+��� �� �%������� ������ � ��� ��� ��� �� ��������� ��������,����������-� ξ �� &�� � ��� �� �%������ �� ��� � ori în mod ������������� ����� ����������������������� �������������������������ξ ������ 1,..., nx x ��

�� ��� ��� !�� ��� ��� ��� ��� �� �� ����� �� ��� �������������� ��� ξ ����������� ����������� �������������� ���������������� � ������� ��� �� � � �������� ξ � ,��� ������ ������� ��� ��� ������������ ξ -�������� ����������� �����

.���� ��� ����� ��� � � �������� �� � � � �������/� ��� ��� �� ��"(������� �� �%��� ���� ��� �� ��� ���� ����� �� ��� ���� ������� ��� ���'���������� � �� � �(� ��� ��� ��� ������� ��"(� ���������� ������ � � ��� ��������� �������� �� ���'����� ��

&�� � ��� � �� ��� �� ���� '������� ���� � ������� ��� ���(� ������ � �� ����� ���� � �������������(���������������� ������� � �� ���������� ��������������� (������������� ����������������� ���� ��������������������� ��������� ���� ����������

0��� �� ��� � � �� ����� ��� ���� ���������� � ��� � ���� �������� �������� ��� 1,..., nx x �� ���������������������������������������� ������

"��� ������������ ���������� ���

+������������ ��������� ξ �� �� �� ���������� ������. ���� � ����

� ������������� ��� 1,..., nx x (������� �������� � ��� ���� �� ξ ��

�� ��� ���#����� � xn �������� ��� ���� ����� ��� ������������� ���� ���� �������������������� ξ ������ ��������� �������� �������� ����� ������ ��������� ��������� ���

*( ) xn

nF x

n= �� ,�-�

1�' �������� �� ���������� �������� ����� �� ���������� ����������� ��������� ���� � ��������� ���� ��0�����2�����3�(��������� ��"��" ����4 �������������� ��� ���" ��������������� �����

��������!$���� �� �������� ��� n → ∞ � ����*sup ( ) ( )n n

xd F x F x

−∞< <+∞= − � ,�-�

� ���������� ����������� ����� ��� � ���� � ����(� ��� � n → ∞ � ������ �� ����� � �� �������� � ��

( ){ }xω ξ ω < � ,���� *( )nF x -� �����'�� ��������������� ��������������

���� �����������,���� � ( )F x -���&���(���� ���� ��������������� �� ���������� ����������� ������� �

�����'����� ��������������� �������� �� ���������� �������� ����

Page 51: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� )��

%�������������������� ���

������ �� �� �� ���� ������ �� �� � �� ��� ���� ���������������� �� �

1

1 nr

r ii

xn =

α = ∑ � ,�-�

În particular, ���������� ����� ��� �

11

1 n

ii

x xn =

= α = ∑ � ,�-�

������������������ ������ �������� �

( )1

1 nr

r ii

x xn =

μ = −∑ � ,)-�

!���� ��������� ���� ������ �

( )22

1

1 n

ii

s x xn =

= −∑ � ,5-�

��������#$���� ������� ���� ���� �������������������� 2σ ��

���������������� �������� ��������������������2

n

σ ��

��������&$�� ������������������������2 /

x m

n

−σ

������� ���

���������� ���� ��������� n → ∞ ����������� $�"�� ������������������� ������������ ����

�������� rα ����������������� rα ����2

2r r

n

α − α ��

��������������������� ����

� �������� ��� ������������� �������'�������� ����� ���� ���� ��� ������������ ��� �������� ������� ��� ���������� ��������� (� ������� ���� � ����� �� ���������� ��� ������� �����������$� �)��� � ���� �������� �� ��� ��� �� ����� ��� *����������+� ����� ���� �� �������� ��������� ������������������������������ �(�������,���������������������������������,�� �����)��������������������$�

&�� �%���� (� � � ��� � ���� � � � ������ �� �������� �4 �'��� �������� "���� ����� ���� ����������� � ( )2,N m σ (�����#��

2

2

( )

21( )

2

x m

f x e−−σ=

σ π�

6�� � ������ ��� ������� �� ��� � � ������ �� �������� � ������������������������������ σ ��

!����� ��� ������ � ������# � ���� �� ��� � ��� ���� ���� � ���� �������������� ��� ���������� ���� ������������ ����������� ��

&�� �� ���������������� ������������������(����������'��������� ���� ������������� ��

&���(� �� ��'�� ��� ���� ��� ����������� � ����� ���� ���� ��'�� ������� ������ ���� ���

&��������� �������� ��������� ���� ���� ��� ����������� ��������� ��4 � �� ��������� ��������� ������������ �������������� 1,..., nx x ���'���������������� ��� ��

Page 52: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�)��

!�� ����� ��� ���" � ��� ���� �� ��� ��� ���� ��� ����������� ����������� ��� �� ���' � ����� �� &���(� � �� ��� ��� ���� ��� ����� ���� ���� �� ���' � ����� � ��� ���� � θ �� �� ����� ��� ��� ��� �� �� ����

�������������7���������� ��� *1θ ��� ������ ��������� �������� ������ ���

*2θ �����8���9��������� �(��� ���������� ����� * *

1 ,..., rθ θ ��

&���(�������� ��� *θ ���� �� θ ������������� ������������� ���������

� ������������������ * *1 ,..., rθ θ ��

������ ��� �����������(� �������� -�� �,������ �������(� ����������(����������

+��� θ � �� ����� � ��� �������� ��� '������� ,�����(� ��������(�

������ ����-���� ( )*1,..., nx xθ ���� �� ����������� ����

�� ��� ��� &�� ��� � ( )*1,..., nx xθ � � ����� ��� �� ���������� � ���

��������� θ �������� � *θ ���� ��� �� ���� ���� ������� θ ���� ��� ��� ����� �

( )( )*1,..., nM x xθ = θ �

( )( ) 0,...,lim 1*2 =

→∞ nn

xxD θ �,:-�

������ � ( )*1,..., nx xθ ���� ��� �� ������������ ��������������θ ��

��������.$�� ��������� ����������� ������ ����� ������� ��� ��� ������

�������� /$� ��������� �� ��� �� ��� � ���� �� � ������� ����������������� ���� ��

"��� ����������� ���� �������$������������������ �����)����

&�� � ��� ��(� �� ����� ��� ��������� � � � ��� � � ���� ���� � � ����%������������ � ������������0������������������������� ���� � �� θ �

��� ���� �� ��� ����� ��� 4 ��������������� ,��� � ( )2 *D θ � �������-(� ���

����� ������� �� ����������� ����� �������������� � ��������������������� �� *θ (�������e face o eroare alegând *θ ��������� ������ � θ ��

&�� � *θ ������������ �������� ����� ���� ������ �� 0θ > ����

( )*M θ < ∞ (�� �������'�������� �����9���#�

( ) ( )2

2*

DP

θθ −θ ≥ ε <

ε�

� � �� ���� � ��� � ���'���� ����� ����(� ��� �� ��#� ���'��� ���������� ������������������������ ��

+��� ( , )f x θ ������������������� �������������������� �������� �������������� ����� �(� � � θ � ����� �� ����� 0��� ������ ����� ������ �� ����� ( , )f x θ � ��� �%���� �� ��������� ������ � �� ��� ��� ���� � � θ ��9� ������������������������ ������

�������� 0$� *1��'������+$� ��� � ( )*1,..., nx xθ � ��� � ���� ��

��� ����� ��� �������������� θ �������� �

( )( )2 *1 2

1,...,

ln ( , )nD x x

f xnM

θ ≥⎛ ⎞∂ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ⎝ ⎠⎝ ⎠

�,;-�

Page 53: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� )��

$��������� ��� � �� ��� � ��� ����� ��� � ���� � � � ������ � %�� ��������������� θ ���������������� �������� �

( ) ( )*1

1

ln ,,...,

ni

ni

f xk x x

=

∂ θ ⎡ ⎤= θ − θ⎣ ⎦∂θ∑ ��

�� ��� ��� .�� &� ���� �� ��� ���� � ��� � ( )*1,..., nx xθ � �� ����#

������� θ ���������� �� �� �� ���� ���������������� ��

��� � *θ ���� ����� �������� ����� ����� ��� ����� ���� �

( ) ( )

2

*

2 *

1

ln ( , )

n

f xnM

eD

⎛ ⎞∂ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ⎝ ⎠⎝ ⎠θ =θ

�,�-�

�������� � ���� � θ ��

.�� ����� � � #� ( )*0 1ne≤ θ ≤ �� &�� � ( )* 1ne θ = (� ����� ��� ����

������� ����������2$�� � ����� ������������������������ θ ����������

��� ����������+��� ���� ��� ��� ��� ����� � ( ),f x θ � ���� θ � ����� � �� �����

����������7 ���������'��0��������������� ��� 1,..., nx x ��� �� ����� ������� �%�� ��� ������������ ���� ��� �� ��� � �� ��������� �������� �������7����� � � �������� �������� ��� ����������� ( ),f x θ �� +������ ����� ���

( )1,..., nx x ���������� ����� ��� ��� ������ � ���������� ����7������������

888�(����������������������� ������� � �� ( )1,..., nx x ����#�

( ) ( ) ( )1 1 1 1,..., ; ,..., , ... , ...n n n nP x x dx dx f x f x dx dxθ = θ θ � ,�*-��� ��� ���/������ ���( 888

��× I 888����������� ������� � � ������� ��� ���0��$���� ��� ( )1

^ ,..., nx xθ � ��������� �� ������� �

� � ������� � θ̂ ����������������������������� ������� ����������

8�" � �� � θ̂ ���������� ������� � ���#�( ) ( )1

1

ln ,..., ; ln ,0

nn i

i

P x x f x

=

∂ θ ∂ θ= =

∂θ ∂θ∑ � ,��-�

<� � ���,��-����� ������� ������� � � ������������� 3$� &���� ���� �� ������ � �� ����������� θ � ��� �

���� ������ ������������ ����

�����Îndrumar pentru verificare/autoverificare��!��+�������=�� �������>��� ����� ��� �� ���!�� n ������� ����������������������� �� A ������� �

������������ p ����α ���(�0 n≤ α ≤ ��. ���������"�� p ���� 2p �� ��4 � ��� ��α ��

Page 54: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�)��

!� ������0����� ����� �n

����������� ������ �� p ��?���� M p

n

α⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠(� 2 pq

Dn n

α⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠(������

n

����������� �������� ����� ���� �� p ��

&����������(������1 1

pM p

n n

α⎛ ⎞ = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠(�

( )2

21 1

npqD

n n

α⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠ +(������

1p p

n

α ⎯⎯→+

(����1n

α+

� ������������ �������� ����� ���� �� p (������ ����������� ������� ��

&�������n

����������� �������� ����� ���� � p (������� ���� ������ ��� ����� �����

2p � ����2

2n

�?����

22

2

pqM p

nn

⎛ ⎞α = +⎜ ⎟⎝ ⎠

� ���2 3

22 2

4 1p qD O

nn n

⎛ ⎞α ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠(� �����

2

2n

α� ���� �� ����� ���

���� ���� � 2p ��6�� ������������������ �������� ����� (������ ��� #�2

2 22

1pq n pM p p

n n nn

⎛ ⎞α −= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

(�

2

pM

nn

α⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠(������

22

2 2

1nM p

nn n

⎛ ⎞α α −− =⎜ ⎟⎝ ⎠

��� �

22

2 21

nM p

n n n

⎛ ⎞α α− =⎜ ⎟− ⎝ ⎠(��

��� ���� ( )2

2

1M p

n n

⎛ ⎞α − α =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠(� ( )

2 24 1

1

p qD O

n n n n

⎛ ⎞α − α ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠(������ ( )

2

1n n

α − α−

� ����������� �������� �

���� ���� �� 2p ��

������� �������� ����� ���� � 2σ ����� 2

1

ns

n −� ���� 2s ���������������������� ����

#�� ����������� ξ � �� ���������� ���� ��� �� ��� ��� �� ���� ��� ����� � ( )2,N m σ � � � m �

� ���� ���� σ ���� ���� ��������� ���������� ��������� ������� � ( )*

1

1

2

n

kk

x mn =

πθ = −∑ (� ����

����������� �������� ix (� 1 i n≤ ≤ (� � �� ������������ ��� � � �������� ���� ��� ��� ξ �� . � ��� ��������

������� ��� �� *θ ��!� ������?����

( )( )2

221 2

2

x m

M m x m e dx

−+∞ −σ

−∞

ξ − = − = σπσ π ∫ (�

( ) ( )*

1

1 2

2 2

n

kk

M M x mn =

π πθ = − = ⋅ σ ⋅ = σπ∑ (�

( )2 * 22

2D

n

π −θ = σ (�

����� *θ ������������ �������� ����� ��� � �� σ ��<������ ���������

2

2

10,876

2 22

ne

n

σ

= = ≅π − π −σ(������

*θ �� �����������������������������

Page 55: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ))�

&�� ����� �� �� � �� ������� �� ?�� � " � � �n

α� ���� �� ����� ��� ����� � ���� � ��� �

������������ p ��. �� ��� ������������������ ���������� ��

! �������&���������:��������� ���� ����������� �������� ����� � *θ ���������'�������

( )( )

2 *2

1

1

lnni

ii

Dp

n p pp=

θ ≥⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∑(�

���� ( )1p p p= (� ( )2 1p p p= − ��

( )( )2 2

1

ln 1 1 11

1

ni

ii

pp p p

p pqp p=

⎛ ⎞∂= + − =⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠

∑ (�

����� ( )2 * pqD

nθ ≥ ��$���� �������������� �

n

�

1�����������" �������4 �'�������9������������������ �����%������

&���( )ln

0np q n

p q

α −α∂ α − α= − =∂α

������ ���� pn

α= ��

��� ����� �������� �� ������������������������ ( )( )2

221,

2

x m

f x m e

−−

σ=σ π

��

��� <��������������! �������?����

( )2 2

2 2 2

1ln , ln

2 2 2

m m xf x m x= − − +

σ σ σ σ π��

&��� ������ :� �" � � � � ( )*1

1

1,...,

n

n ii

x x xn =

θ = ∑ � ���� �� � �� ��� ��� ����� ��� ������� � �� � �� m �

��������

( ) ( )2 2

2 2 2

1ln , ln

2 2 2

m m xf x m x m= − + − +

σ σ σ σ π�

���1

1 n

ii

M x mn =

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (�

22

1

1 n

ii

D xn n=

⎛ ⎞ σ=⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ��8�" � �� � *θ ������������ �������� ����� ��

+ �� ����������������������

( )( )

( )21

221

2

1,..., ;

2

nx mi

i

n nn

P x x m e

−=−

σ=σ π

∑�

��������� � ������������ �����%���� ln 0P = ��" � � ( )1

0n

ii

x m=

− =∑ ��� �1

1 n

ii

m xn =

= ∑ ��

��� <������������ � �� σ �! �����$�+ �� ����������������������

( )( )

( )21

221

2

1,..., ;

2

nx mi

i

n nn

P x x e

−=−

σσ =σ π

∑�

Page 56: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�)5�

���

( )2

21

1ln ln ln 2

2

n

ii

P n n x m=

= − σ − π − −σ ∑ ��

<� � ������������ �����%���(�ln

0P∂ =

∂σ(����� ��������� ��� ( )2

1

1 n

ii

x mn =

σ = −∑ ��

)�� ����� ���� ����/�������������� � �� λ ����� ( );!

k

f k ek

−λλλ = (� 0,1,...k = ������"�� ����

����� ��������������� �� n ���! �������?����

( )1

1

1

,..., ;

!

nxi

in

n n

ii

P x x e

x

=− λ

=

λλ =∑

∏��

&����� � ������������ �����%������ �����1

1 n

ii

xn =

λ = ∑ ��

. �� ��� � ( )*1

1

1,...,

n

n ii

x x xn =

θ = ∑ ������������ ���������� ���� � λ . Într7���� � ( )*M θ = λ (�

( )2 *Dn

λθ = ��

$���� ��������������� �� �� ����������� �������� �����������

( ) ( )2

0

1

ln ,,

n

k

f kn f k

=

⎛ ⎞∂ λλ⎜ ⎟∂λ⎝ ⎠

∑(�

���

( ) ( )2 2

0 0

ln ,, 1

!

n n k

k k

f k k e nn f k n

k

−λ

= =

⎛ ⎞∂ λ λ⎛ ⎞λ = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂λ λ λ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ �

����(������ ����������������n

�

�����������������

Page 57: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ):�

������������������4��������������

��� . ��������� ���� � ξ �������������� �������������� � ( )2,N m σ (�� �������� ����������

�������� ��� x ����(������������(������ ������ +��� ξ ���������� ���������� ������� ���( ��� ���������� � λ ��. ���������������� ���

��������������� �����

��������

��5�,���6�� ����,��6���������

��� & ��� ��(� �������� 8�(� >��� � ?�(� ����� 8�(� >9" � .�(���������� ������ � � ����(� <�� ��+ ��� ����România de Mâine(�> � ���(��**5��

��� & ��� ��(� �������� 8�(� >��� � ?�(� ����� 8�(� $���� �� �������� � � ��(� <�� ��+ ��� ����România de Mâine(�> � ���(��**)��

���>��� �?�(���������������������� � ����� ����� (�<�� ��+ ��� ����România de Mâine(�> � ���(��**���

��� & ��� ��(� $���� �� ����� � ������ � � ����(� <�� �� + ��� ���� România de Mâine(�> � ���(�������

)������� �2=�(����������������� � ����(�<�� ��+ ��� ����România de Mâine(�> � ���(����5��

������������������

Page 58: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�);�

�����

Page 59: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

����

��������

����� �������������������

����

������� � �������� ���� �� �������� ����� �� � ������ �� ����� ����� ������drumuri hamiltoniene. Drumuri hamiltoniene într��� ������ ��� ����� ������ ��� �������������������������������� ��������������� �����!�������������"���#��������$�

%� �����������&� ������������� ���� ��� ��'���� �����( �����(�)��& ���*���� �în fundamentarea deciziilor �

��+,�������%��-���������*��!����%��, ����#��!.�$ ���������������� �����������

/�����(��� ��România de Mâine��0112�������001�0345��������������������� ������������ ����� � �������� �����+�� ���� �����5�

���� � ����� ����������� ��� ��� +� �� 5� ����������� ����� +������� ��5� �� �� �� ����� ��� ������������� ���������������� ��������������� ����������������������� � �������������������� �������������������

Page 60: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�61�

������������������������������������������������������

Page 61: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 64�

� ������������ ������

���� ���������

���������

���4��,��� ���������0��7"���8������� ������ ������ ���� �8 ��������9��� � ������ ���� �8 ����

������9�4��,��� ����������� �������9�0����������& �������������:� ���� ����������� ��������9�9������������������� ������� ����� ��������� � �������������9�3�����������������rilor hamiltoniene în grafuri cu circuite�

5.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

����4������� �������

;������������ �8 ������&��&���$ ��� � ������� ���• Graf, vârf, arc, muchie, drum (simplu, elementar), drum

����� �������� �+&��������������5���������������+��� 5�������conex, graf tare conex, grad (exterior, interior) al unui vârf, subgraf, �������&���������� ���������� �������

• ��������� ����� ����������������������� ����������" ���� ����������$������

• ����������������� ������� ��������� ��������������������������� � ����������� ����� ��� ��������+�������5��

��

���0������������������� ������ ��� ���� �����

�� � ����������� ���&��� �� � ��� �8 ����� &������� 8�� ������"�� & � ������&� � � ���� ��� ������ ����� ���� &����� ������������������������ ����������������������� �������� ���������� ������ �����&"�������������� ���������+����� ��� ���� �5������8.���� & � ��������� �������� � ����� �� ������� �� ������������� �����������������& �&��"���&� �������������������&�������������� ������� ����$�������8�&���������������

������������������ ����9� ���

Page 62: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�60�

��9����� ����������� ��� ���� ����

��9�4�������������� �!��� ���

:����������������� ��������� ����� &��� �� � ��4296����� ����/���� � �� �������� ��� �� Problema podurilor din Königsberg. În 4<32�� ���� ��� �� �" ����� �� ��� �� ���� �� ��������� ���� ��� ��������� ���

;��4��6��( �����(�)��& ������������� ��������� �� ���� ��������� ����&� ���� *&������ �� � ����&� � ��� �� �� �� ��� ������ �� �� � &����$�� � ������ ��$ �8����� � �� �� "����� �� ��������� �� � ���������� �� �������� �� ���� �� ���������� ��� �����$����� ��� ��$�� &�� ���� ���� ���������� ����������� �� ������� ��

�!��� ��� "�� ������ G � ���� � ������ �� ������ ( ),G X= à �

����� X ����������� � �������� � ��� �� �������������+�� ��� ������5'� ����� ������� x X∈ � �� � ����� vârf�� Γ � ���� �

� �� � ��� � � �� X X× �� � � ���� ��������� ��������� ( ),i jx x ��

,i jx x X∈ �� 1,i n= �� 1,j n= �� i j≠ �� ���������

:����� �� ���� ( ),i jx x ∈Γ vârful ix � &�� ������� ��������

��� ��� �+ �� ), iar vârful jx �������������� �+ ���� �5��

������ G � ������ � �����$������� �� ����� � �� ������ " �� ��&������

� vârfur���&�����&��$ � ������� ��� $ ��&������ ���������� ������� ���� ( ),i jx x ∈Γ � &�� �����$�� � ������ � ���� ��� ������

�����0�������� �����������&����� �&��&�������� ix ���� jx ��

#$������� (�� ������ ( ),G X= à � ���� ��� { }1 2 3 4 5, , , ,X x x x x x= �

���

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 3 2 4 3 2 3 4 4 1 4 5, , , , , , , , , , , , ,x x x x x x x x x x x x x xà = ��

*��&������������$���������� ����� ��

�(�����4��

�#�� "&��8 � � � à � � ���� �� ����� � ��� � ����� �� ���8 � �

( ): X P XΓ → � ��� �� ( )xΓ � �&��� �� ���� ��� �� � ��� �� ������

��������� ����������� ��� ������ x ��

Page 63: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 69�

*&�����������������������������&&�� ������&��&����� { }1 2 3 4 5, , , ,X x x x x x= �� ( ) { }1 2 3,x x xà = �� ( ) { }2 4x xà = ��

� ( ) { }3 2 4,x x xΓ = �� ( ) { }4 1 5,x x xΓ = �� ( )5xΓ = ∅ �

��� � ( )i ix x∈Γ ������� ( ),i ix x ∈Γ �&������������� ��

��� ������� G �� � �������� ( ),i jx x �8 ��&����� �8.������ ix �

�� jx � &��� � ����� în G � �� ��.�� � &��� ���� ��� �� �����

( ),i jx x ��

�!��� ��� %�� O succesiune de arce în care vârful terminal al � ����������������� �� ��� ���� ����� ����

�!��� ��� &�� �� �� � ���� ���� ��� ��������� � ��� ����� � ��� ��

�!��� ���'������ ������������� � ��������� �������������������

�!��� ������Un drum elementar care cuprinde toate vârfurile ���� � ���� �����!�����������

�!��� ��� (�� � � � � � ������� ���� ��� � � �� � ��� ��������������� ��� ���

:����� �������� ������ ��� ����� ��4�� �� ���� ����������� ������ { }1 1 2 4 5: , , ,d x x x x �������������� 1d ��&���9��

Într��� ����� G �� &�� ������� ��!� o pereche de vârfuri

,i jx x⎢ ⎥⎣ ⎦ � ����� ���� �� ��������� � � ( ),i jx x ∈Γ � &�� � ( ),j ix x ∈Γ '�

������ �� ����� �����$������ �� ������ &�� ���$�� � ��� �����&���������� ���������

�!��� ��� )�� �� � ����� ��� � ��� �� �����

( ) ( ) ( ){ }1 2 3 4 1, , , ,..., ,p pl x x x x x x += � � ���������� � ������� ��

���� ������� ( )1,i ix x + �� ( )2 3,i ix x+ + � � � ����������� ��� � ����

������ 1,2,... 2i p= − �� �!��� ��� *�� �� ��� ���� � ��� ���� ���� ���� �� � �����

��� ���������� ���� ����� ������� � ��������� ����� ���� � ������

=� ���������������� ����$ ������ �&������������������� ������

#$�����;������������������0���� � ������������������&������ ���

( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2 4 4 3: , , , ,l x x x x x x �� ( ) ( ){ }2 1 2 2 4: , , ,l x x x x ��

( ) ( ) ( ){ }3 1 3 3 2 2 4: , , , , ,l x x x x x x �� ( ) ( ) ( ){ }4 1 4 4 3 3 2: , , , , ,l x x x x x x �

�!��� ���+����� ��� ���������������� ������������� ���� �������������� ��� �� � ��� ����� �� �����!���"����������� ������������

��������� ���������������� ������������� ���� �������������� ��� �� ��� ���

Page 64: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�63�

�(�����0��

�#$�����

������

�(�����9���

��&���� ��������������

�(�����9"�

����&���� �����

�!��� ��� ",�� "�� �� unui vârf x � �� �����" ( )g x � ��

����"��� � � � ����������������� � x ��"�� ������������ � �

vârf x � �� �����" � � ( )g x− � �� ���� � � � � ������� �� ������

( ),y x ∈Γ �� � y X∈ ��"�� ��������� al unui vârf x ��������" �

( )g x+ �������� � � �������������� ( ),x y ∈Γ �� � y X∈ ��

#$�����. În graful din figura 5.1. ( )2 2g x− = � ��&�.��� � �

����� ( )1 2,x x �� ( )3 2,x x � �� ��&��� �� 2x � �� ( )2 1g x+ = � ������ � �

( ) { }2 4x xà = ������ ( )2 3g x = ��

Page 65: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 6��

�!��� ��� ""�� �� � ����� ������� ( ),G X′ ′ ′= Γ � �� ���� � �

( ),G X= Γ � ������� �� ����� G �prin suprimarea anumitor vârfuri

��������#�� � G′ ����� ������� G ����� ��������� ��������� ����

� � � ��� ������� ��������� � ������� ��� � �� � � ����� � G′ ������� � �� �������� � ���������� ��� X ′ ��

� ����� �� G′ ���� �������������� ������ � G ���� ���� ������ ���� � G � ����� �������� ���� ��� ��� � ��� � � ���� ��������������� ���

#$������

(��������

�(�����3���

În Fig. 5.4b. este prezentat subgraful G′ � �������� ��� � �����{ }5321 ,,, xxxx ��

�(�����3"��

��� ��(������3����&������$��������������� ��� G ′′ �� � �������� ( )32 , xx ���

( )53 , xx ��

�(�����3���

Page 66: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�66�

� �!��� ���"%���������������������������� ���������

vârfuri sunt adiacente.��

��9�0��-�������������������.��!��/������ ������.��!��������

În� �� "������� ��� � �� �� ��$ �8���� �� �>� ��� ������ �� ����������� ������� ��� � � �� �� ��� � �&���� ����� ��� ����� �� &����� ����������������������������

�������������������� ����

(�� �� ����� ( )Γ= ,XG � �� { }nxxxX ,...,, 21= �� *& ����

���&�� ����� � ������� � ����� � C �� ���� � �� ��������� &���( )

njiijcC,1, =

= ��

( )( )i

pentru ,1

0 pentru ,

i j

ij

j

x xc

x x

⎧ ∈Γ⎪= ⎨∉Γ⎪⎩

�������� C � � ��� � ������ ��� ������� �������� ������������������� �����&��������� �� ���� �������������G �

01����� ���4�� =� ��� ��� ����� 1� ��� ��� ���� ix � �����$�� � �� ��� ���

� ������������������ ix ������� �����������1�������� � ���� jx �

�����$�� � �� ��� � ����� �� ������� �� jx �� ��� �������� ��� �

� ����� ������ ��� ��� &&� �����$�� � 5 � " ���� ��� �������� ��&��$ � ���������$�� ����� ������� ��" ���������"�������������������� ��� 1� ��� ��� ���� ix � ��� ����� �����$����� � &"�� ��� ��� �����

"����� i ���������&���������������������1�������� � ���� jx ���������

�����$������ &"�� ��������������"����� j �ar putea face împrumuturi.�0�� ��� �� �������������������������� ����� ���������

+����������� ������8.���5������������� �������� �����9�� Gradul exterior al vârfului ix �&�� " ������.��������������

��� ��� ���� i � �� ������� C �� ��� ������ ���� �� ��� ������� 8.��� &�� " ������.��������������������� � ���� i ����������C ��

( ) ∑=

+ =n

jiji cxg

1

�� ( ) ∑=

− =n

kkii cxg

1

��

�������� ���������

��� �������� � ����� �� �������� ���� ������ ���� � &��� ����� �&��� �������� ( )

njiijdD.1, =

= ���� �������� ���������

&���������������������������în care���� ���&� ����������� ix ���� jx �

⎩⎨⎧

=0

1ijd �

��� �����&� ����������� ix ���� jx �

���

Page 67: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 62�

�!��� ���"&���#����� �������� ( )ixp �a vârfului� Xxi ∈ �în

���� �� ( )Γ= ,XG ��������� � � � � ������� ��������������

�$ ������� ix ������ ���� � � � � ������������� „1” ���������

„ i ” ������������ D ���01����� ���4�� �������� D �������� �������� G �� ����������"&�� ��

&�����$�� �������� �� �������� G ��&�������

�� ��� � 0=iid �� ( ) 1,i n∀ = �������������G ������������'�

�� ��� ���&� ��� ����� i �� ni ,1= � ����������� 1=iid �� �����

��&� � ��������G un circuit care are ca vârf pe ix ��

0�� ��� � ( ) 0=ixp , atunci din vârful ix ���&���>������ ���

��&�������������� ���� ���9�� ��� � �������� D � ���� � ���� ����������� ������ �� 1�� �����

�������&��� ������������� ������ �������������&���������� 0 în D �����������&��������� �����

:����� ���" ������ �� ��� ���� ��� ����������� �� ����������� ������ ����� � ���� ������8�� ������ ����� ���� ��������������� 0 ���1����� � ���� ������ ����������� ������������ � �����

+ � 0 � 1�0 � 0 � 1�1� 0 � 1�

�*&������ ��� ����� ��� ����������� ��� ������ ����� �� ��

������� �������������������� ����� �����������&����4�� Pentru construirea liniei „ i ” din �������� D � + 1,i n= 5�

�� ����������������������?1” de pe linia „ i ” din matricea C ���

��� �

1

1

1

=

==

γ

β

α

i

i

i

c

c

c

��� �����

1

1

1

=

==

γ

β

α

i

i

i

d

d

d

��

0�� ( � &��� �������� " ���� �� &�� ��� � ����� α �� β �� γ � ���

�������� C la linia „ i ”; noile valori „1@��� ����&������� ������? i ” a ������� D '� ��� k �� l �� ����� m � � $ ��� ������ ��� ���&��� � � 8�� �� �������������

9�� *�� ��+" ����5� ����� k �� l �� ����� m ���� C la linia „ i ” trecând noile valori de „1@� �� ���� �� ���� ? i ” a matricei D ��� ���.����� ��&���.� �������� ���������&�� ����

�5�� ��������������� ijd �+ 1,j n= ) devin egale cu „1”;�

"5�nu mai apare niciun element egal cu „1”, caz în care locurile � ��&�� �"���� &�� � �������$ � �� $�� �� �� &�� ������ ��� ���� ? 1+i ”, �����������&������� ��� �������

���

Page 68: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�6<�

��9�9�� ��������������������������������������.��!����! � ���������

��� � ������ G � �� ���� ������� 8 �� &���� �������� D � ��drumurilor grafului, ordonând în prealabil vârfurile grafului în ��������&���&� � ����������� ������������'��&������� ����8�� �������„1@�����������8 ���� �������&������� ���������������

�� �������� ��� � �� ������ G � ��&� � �� ���� ��� ��� ix � ��� jx �� �����

( ) ( )ij xpxp < , deoarece orice vârf atins din jx �� ���������&������

ix �������������� " ��� �������� ���� ������ �������'�

�� ��� � ��� ��� �� � &"�� ��� 1=ijd � �� ji > �� �����

( ) ( )ji xpxp > � ����� ��� � �� ��� ������> �� ��� �� �� � � ���� �� ��

����&���� &"���*��&���� �����&��������� �����������$��'��������� D �&��8��

������ ������������$�� � ��������/&��� �8����� � � ��� � ������ { }nxxx ,...,, 21 a vârfurilor

������� �������� ����������������$�� ������� ( ) ( ) ( )1 2 ... np x p x p x≥ ≥ ≥ ��

*���&� � � �� ������� ���������� � ����������������������?1” ������������������������������� ��� ��&������������ ������������&���������

Într����8 ������&������ ���������8.���� ix �� �&��� ��� ��

0 1, 11

ik

ij

d k jd j i

=⎧ = −⎪⎨ = >⎪⎩

# ����&������ ���&� ������������� ix ���� jx �� �����������

�������������������������� ( ) ( ){ }jkki xxxx ,,, ��*�����8����

( ) ( )jkkj

ikxpxp

d

d>⇒

==

1

1��

����� kx este înaintea lui jx ���������8�� ����� 1ikd = ����������� �� �

�� ijd , pe linia vârfului ix ����������������&�&�� ���&�� ��.��� ��

*��&��� � �&���� � ������ ���" ������ ��� ��������������������������� ������� ����� ����������� � ���������&������

���������"� �23���4#56�������� � � ���� ����������� „ n ”

���� ������ ��� ��� ���������������� ��� ������ ����%�

( ) ( )2

1

1

−=∑=

nnxp

n

ii ��

01����� ��. Într��������� � ����������&� �������������������� �����

��� ������&���� ����������� ����� ( )1Hd � �� ( )2

Hd �������

�������� �����������&�������� ��� �8.���� ix �� jx ����$���� ��

������8��& ������������������& ����� �������� ����� ix ��� jx ��

Page 69: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 6��

��.�������������������������������������������

������%�#��&������������ ( )

njiijdD,1, =

= �������� ������ ���&� ���

indice „ i ” pentru care 1iid = ���������������������������� �����A��������&��� �����������

��������

;����$�� ���������� � �����������&� �( )1

2

n n − elemente de „1”

������ ������ ���� ����� ���� �� &�� ������ ��� /����� 9�� ��� ��� �

�� ���������������„1” este mai mic decât ( )

2

1−nn�������������

��������� �����������&�7������8.���� �� ������������������ �����&������ ����

��������&���&� � ����������� ���������������

��9�3�� �������������������������onian în graf cu circuite��

*�� ��������������������������������� ���������������������� &������� �� &��&�� � � ���$�� �� ��� 8�� �� ��� ?1” în matricea ����� �� �� � � �� ��� � �&���� 8.���� �� ��� ����� &�� � ����������� � ��&��$ � ���'� "�� � ���&�� ��� �&���� �� ��� ���drumuri între vârfurile care corespund acelor valori de „1”. �

��� �� ������� ��� ��� ���� ����"�� & � � &��� � ���&� ����$�������� ���$��� �� ��� ����� ����������� ��� ���� ��*���������+4�695���������? ��� �������@��

,��� ������������������������� �������� ( )1M , care, în locul valorilor de „1@� ��$���� �� �������� "��� � �� ����� ��� ��$��$ � �&�� ����� ��&����8�� �����$������ ��in vârfurile care îl compun.

*&������ ( ) ( )( )njiijmM

,1,

11

== �������

��� ���&� ����������� ix ���� jx �( )

⎩⎨⎧

=0

1 ji

ij

xxm �

în caz contrar�

Prin suprimarea primei litere în matricea ( )1M � &�� " ��� �

������� ( )1~M � ��� � �� ���� ������ �� ������ #�� � ���� ���������

( )1M ��� ( )1~M ����� ���� ��������� �������� �� ( ) ( )1 1M L M� ��

;��� �������� ���������� ��&�������� ����������� ��� ������� ���������� � � �&�������� � � ��� ��������8 �� �.���� ���� ��

�� �� �&���������� �� �� ���������������������������&��������� ������ �������������&����� '�

�� �� �&���������� �� �� ������������������&��������� �au vârf co��'�

�� ��$������ � ������ � �&� � �� &������� �� � ������� ��vârfurilor componente ale simbolurilor participante.�

:��� ���� �� �� �&�� ����� �8��� ( ) ( ) ( )2 1 1M M L M= � ���( ) ( ) ( )3 2 1M M L M= � �� B� *�� ����� � ��� � �.� � ��� " ������

������� ( )1nM − , deoarece într��� ����� �� n vârfuri un drum ����� �������� 1−n �������

Page 70: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�21�

În matricea ( )1−nM � ����� � �� ���� ��� ��� &������ ������&&��� ���������������� ����������������

��� � � ���� ����������� �� ( )1−nM � &��� $�� �� + ( ) 0=−1nM 5������������������������� �����

01����� ���� :� ������ �&��� �����"�� ������ ���� ��� ��� ����� ������� +�� &�� � � � ����5�� ���� ������ �������� � � � ������ &����� ���� ���� ������������� ����.���������������������&���������� ����� ��� ���������&������ �+����&��5��

;����$�� ���������&� ������������������� ���������$�� ������&� �� � ���� ��� ?���� ��� "�@� ���� ����� ���� ����� ���� nduce la ideea de drumuri optime într���������

��

��3��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��4��(���������� D �������� ���������

( )1 2 3 4

1

2

3

4

0 1 0 1 2

0 0 0 1 1

1 1 0 1 3

0 0 0 0 0

ix x x x p x

x

xD

x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

# �&����������$�$��#��&�"������%�:���������������$���������� D ������ � &��������� ���

( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 4p x p x p x p x> > > ��

vom scrie vârfurile în ordinea { }4213 ,,, xxxx în loc de ordinea { }4321 ,,, xxxx ��*8����

3 1 2 4

3

11

2

4

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

0 0 0 0

x x x xx

xD

x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

������&�������������������$�� �������� ����

0��(��������������� ��

( )1 2 3 4

1

2

3

4

0 1 0 1 2

0 0 0 1 1

1 1 0 1 3

0 0 0 0 0

ix x x x p x

x

xD

x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

��������� ����������� ���C���5� { }3 1 4 2: , , ,Hd x x x x ��"5� { }1 3 2 4: , , ,Hd x x x x ���5� { }4213 ,,,: xxxxd H ���5������ &��&�

% &��&�� ������5�

Page 71: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 24�

���7������������������� � ����� �8�� ����1������� ��� �����������������������������&����& ��� ���

� � �����������

*8��� ( )1 2p x = '� ( )2 1p x = '� ( ) 33 =xp '� ( ) 04 =xp ����&����� ( ) 64

1

=∑=i

ixp �� ��������� 4=n �

��$�� �( )

62

1 =−nn��

Deci, se poate aplica teorema lui Chen, în G � ��&� � �� ���� ����� ����� ��� ���&��� �&���{ }4213 ,,,: xxxxd H ��

��

�������������������

������������������8�������������

"����������� ����� ������������������������������� � �����

(�����������

Page 72: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�20�

8�����

�5�

0 1 0 0 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

1 0 0 0 1

0 0 1 0 0

C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

"5

0 1 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

1 0 0 0 1

0 0 0 0 0

C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

�5

0 1 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

0 0 1 0 0

C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

�5������ &��&���%��������������� ��� ��&��$ � �����������������4�8�����

�5

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

D

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

"5

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

1 1 1 0 1

D

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

�5

0 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 0 0

D

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���

�5�������&��&���

&����������������������������D��

'��/&������8 ����� �����������������������8.���� ������������&��� ( ) 5=ixp �� 5,1=i D�

��

Page 73: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 29�

����# �&������������� ���������������� �������������������������������5����"5�3���5�9���5�4��(��E��������������������� �������������� ������������������������� iid = �����)��E����������������������� �������������� ����������������� iid = ���� ( )i∀ ��

��������

��9�1���.��!����1��.��������

4�� ���� ,��� -�������� %��� !��� *��� , ��� %��� !.�$ � #��� ���������� ���� ������������ /�����(��� ��România de Mâine��!�������0116��

0�� ���� ,��� -�������� %��� !��� *��� , ��� %��� '������� �� ���������� ����������� /�����(��� ��România de Mâine��!�������011���

9��!���*�������������������� ����������� ����� ���/�����(��� ��România de Mâine��!�������0113��

3�� ���� ,��� '������� �� ������ ���� ������������ /����� (��� �� România de Mâine��!�������4�����

���7���&��������������������� ������������/�����(��� ��România de Mâine��!�������4��6��

Page 74: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

��

������������� ���� �

���������������

���������

��������� �������������������������������� ������ ��� ���� ������������� ������� ��� ���� ����

6.3.1. Drumuri de valoare într������ ��!���������"������#������ 6.3.2. Flux maxim într����� ��� ����$�����������������!���������%�� �%��&��$��

6.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����

�������������������'������� ���� ������$��$� ��( ���� ���������������)�• *������������������+������������ )�����������"������

��#������• ,� ���� ����$���)� ��+���+���������� ��-�����������%�� �

��%��&��$���!����� ����� � �������� ���(��������

��

�������� � ���� ������ ���� � ������ �����*�� � ������������ ���$��� �� �� �� �� ���.� $� ���� ��� ��

�������� $ �� $��$� � ������ �������������� �$�����+�� � �����graf utilizând algoritmul Bellman –� #������� *�� �$�����.� ��� ���������� $ � ��(����������������� ������ �����������������������%�� �%��&��$���

�������������������� ������������

��

Page 75: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� �/�

���

�������� �������� � ������ ����

�������Drumuri de valoare într�������� �������������!�������"���#��

%��� ( )Γ= ,XG ������ .�������� ������ �� ��� :ν Γ → ��� ,,,����

�$����( � ��� �������� ��Γ ��������������� ��0� �� ( )jiij xxvv ,= � ��� ( )vXGv ,,Γ= graful valuat. În

��(�����������.��������������������(��)� �$� �� ���� �� ������1������ �2-������$�����$����������� ��� ����$��������

3���� �� ���� { }kiii xxxd ,...,,

21= în graful G � ���� ����

��������������.�$�����������������������������.�� �� )�

( ) ∑−

=+

=1

11

k

hhihi

vdv �

4����$ � ����� �� ������5 d ” de la un vârf oarecare ix ����

vârful nx .������������������������ ( )dv �$ � ������� ��

Pentru aceasta, introducem „���� �� �� �� � �� ����� ���������”, ( )

njiijvV,1, =

= .� � � �)�

( )( )⎪

⎪⎨

Γ∉≠

Γ∈=

=

ji

jiijij

xxji

xx

ji

vv

,,pentru

,pentru

pentru0

���� ����� ( )kim �������������� ��� �������� d � �� ��� ix � ��� nx în

��� ��� �.���$� ��������� ����� ���������� ���������� k �����.����

im �������������� ��� �������� ����� ix ���� nx .���$� ��� ������ ��

���������� ����������1� � ���� ���� ���� ��������������2��!��������� �� ��$������ �� ���������� ( ) miim ,1= � $�� ��(��( � ���

��� ������������(� ��)�$����%� ���& � ����������� k ∈���000

'�������( ) ( ){ }k

jijnj

ki mvm +=

=

+

,1

1 min �

$����%� ��� ( ���� � ����� � k ∈ 000'� ������ ����� ( ) ( )1+= k

ik

i mm ��

������������ ni ,1= ���������

��� ( ) ( )si

ki mm = �� ( ) 1,i n∀ = �� ( ) 1s k∀ ≥ + �

�2� iki mm = �� ( ) 1,i n∀ = ��

��

Page 76: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

������� ����������� ������������� �� � ���$�)���������6�� ��$� �� � ��� ��� ������ ( )vXGv ,,Γ= .� { }1 2, ,..., nX x x x= �

$����$����������������+�$ ��������������������� ( )njiijvV

,1, == ��

��������6��� ��� ��������� V .� �������$���������� ( )( )1

im .� ( )( )2im , …,

�$ ��)��2� ����� ( )( )1

im ������ �������$��$���������� n �����������V .�

( )t

njjnv,1=

-�

�2� ���$���7 � ������� � ����� ( )( )1,

ki

i nm

=� $�� ��������( �

����� ( )( ) nik

im ,11

=+ ��� ���������(� �����-�

�2� $������ ����������� �(���1�2��7 ������ �������� �� ������( )( )kim ���� ( )( )1+k

im �� ������

��������6�� ����� ������$��� ������������ ����� ix ���� nx ��$ ��)�

�� $�� � � � ����� 5 i ” din V � ��� ����� ( )( )1+kim � ��� �� ��$��

��(������ ����� ��� $�� ����� �� ���� 6 � ���$������ � �( ) ( )1k ki ij jm v m+ = + .����������������� �� ����������� ����� ix ���� nx �

�$�������� ( )ji xx , -�

�� $�� � ��� � ����� 5 j ” din V � ��� ( )( )1kim + � �� �7 � ��������

���� .�� �� � ���+����������������5 h ”, atunci al doilea arc va fi

( ),j hx x ������� ��8������$����$��� ���������� �� nx ��

������ ����������� ������������� ���� ���$����������6����$���������������V ����������������������$ ��)�

( )( )⎪

⎪⎨

Γ∉≠

Γ∈=

∞−

=

ji

jiijij

xxji

xx

ji

vv

,,pentru

,pentru

pentru0

��������6����������������� ������������������.� ��������$�����2������

( )( )1

1,

ki

i nm +

=�$����������( ����� ( ) ( ){ }1

1,maxk k

i ij jj n

m v m+

== + �

��������*���������� ����������+���$�� ����� ���� ����������������

������� .� �+��� ��� �7 � ����� � � �� ����$ � � � $�� ��� ���������������+��������$�� ����� ������ ����������������$��������

���

Page 77: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

��������Flux maxim într����� ���������������

)����� ���& ������������������������ ( )pXG ,,Γ= �� � ���������������������� ���������������� ��������������� ������������� ����

��� ��� � { }nxxxX ,...,, 21= .� ������ ( ) 1,i n∀ = � �����

( ) Γ∈ii xx , ��

��� ����� � �� � ��� ���� Xx ∈1 � ��� ����� �� ���� � ������ ������������������ ������

��� ����� �������� ��� nx ����������� ���������������������

��� �� ���� ��������� G �������������������� ����������� 1x ���� nx ��

/�� !������������ ��� ��� :c Γ → ,,,�astfel încât� ( ) 0≥uc �������

���������� Γ∈u -��� ��� ( )uc �������������� ������� �������

)����� ��� (�� "���� �� � �� �#�� ���� XY ⊂ .� ��� �������� ��� ���������Y ��� ������������

( ) ( ){ } Γ⊂∈∉Γ∈=ω− YxYxxxY jiji ,, �

( ) ( ){ }, ,i j i jY x x x Y x Y+ω = ∈Γ ∈ ∉ ⊂ Γ ��

$���������� ( )( )( ) ( )

∑−ω∈

− =ωYjxixijpYc

,

� ����� ��� ����� � ��� �

( )Y−ω ��

)����� ���*��%���� ��� :ϕ Γ → ��� ,,,+� ���������� ������� � ����

������������ ( )pXG ,,Γ= ��� ��������������� ������������ ��)���� ���� ����� �� � ����������� )�

( )( ),i jx x∀ ∈Γ .������ ( )0 ,iji jx x p≤ ϕ ≤ ��

� � ���� �����������!�

( ) ix X∀ ∈ .������ ( )( )

( )( )

1 1

, ,

, ,n n

k j j hk h

x x x xjk j h

x x x x= =

∈Γ ∈Γ

ϕ = ϕ∑ ∑ �

,#����� ��� &�� �� � ��� �2� � ��� � � � ����� ������ �7� � x � ���

1xx ≠ � ��� nxx ≠ .� $���� ��+������� ����������������� �� � �� x � �$��

���� ����$���� ��+������������������������$� �� x ��,#����� ���(��%�� ��� ϕ ����$����� ��

)����� ���-��������� ( ) Γ∈ji xx , �$����������������������� �

în raport cu� ϕ ������������� ��� ( ),i j ijx x pϕ = ��

6�� ���� ��������� ����� ���� �� ���� ϕ astfel încât suma

��+������� ��� ������� ��� �� � �� nx � $ � ��� ��+�� .� ���������

������ ���������� ���� ���! �� .� ���� ���� ��+������ :ϕ Γ → ,,,+� ��$������ �� �� �����

( )pXG ,,Γ= �$����� �����$ �$�� ������� ��+��� �ϕ ����������)�

Page 78: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

��9�

� ( )( )

( )( )

1 1

, ,

, ,n n

h n h nh h

x x x xn nh h

x x x x= =

∈Γ ∈Γ

ϕ ≥ ϕ∑ ∑ ��

$����%� ��� * � %��� ( )pXG ,,Γ= � �� �� ��� �� ���������� �� ��

����� 1x .������� ��� nx ���� :ϕ Γ → ,,,+��������������������� ���� G .�

�����)�

( )( )

( )( )

11 1

, ,1

, ,n n

i j ni j

x x x xi j n

x x x x= =

∈Γ ∈Γ

ϕ = ϕ∑ ∑ �1�2�

4��������

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

,, 1

, ,j n i

x x xx x xn n ij i

x x x x+− ∈ω∈ω

Φ = ϕ = ϕ∑ ∑ �

$��������������������� ��� ��+����� :ϕ Γ → ,,,+���

$����%� ��� - � "��� ( )pXG ,,Γ= � �� �� ��� �� ���������� ��� ����

XY ⊂ ����#�� �������������� ������� ����������� 1x ������G ������ 1x Y∉ -�

�� ������������ ��� nx ������G ������ Yxn ∈ ��

&���������������������� :ϕ Γ → ,,,+������

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ), ,

, ,i j i j

x x Y x x Yi j i j

x x x x c Y−

− +∈ω ∈ω

Φ = ϕ − ϕ ≤ ω∑ ∑ �1�2�

����������&���������"���"�'������

'���������������$� ����� � ���������� ���� $���������� ������ $��.� ����7��� ���� ���� ��������$�� ��.� �:������������������

3�� ��(�� ��$� ��� ������ ����� ��� $�� � ���� ��� ������������� %�� �Fulkerson pentru determinarea fluxului maxim într����� ��� ����$�����

$��������� 6�� ��$������� �� ��+� �� ���� 0ϕ .� ����� ���� �� ��� � ����� ����$��������� ��������7� ���� ��� ���������� ����������.�de exemplu chiar fluxul având componente nule pe fiecare arc al

�� ����.� ( ) ( )( )0 , 0, ,i j i jx x x xϕ = ∀ ∈Γ ��

$����� ���� %���$� � ����� ����� �� �������� ��� ���� �� ���(��������;�$.�$���������( � �� � ��+����� ���� 0ϕ ��$����+��-������ ������ ������������$�������� ������)�

�2� $������:��( �$��$���� ����� 1x cu semnul „ + ”;�

�2� vârfurile ( )1xx j+ω∈ vor fi marcate cu „ 1x+ <� �� �������

( )jxx ,1 ��$���$����-�

�2� �� � �7� ��� jx � �$�� �;�� ������ ��� �� � ����� �� �7� �

( )jk xx +ω∈ � ������ ( )kj xx , � �$�� �$����.� ��������� m vârful kx �

prin „ jx+ ”;�

2� �� � �7� ��� jx � �$�� �;�� ������ ��� �� � ����� �� �7� �

Page 79: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� �=�

( )jk xx −ω∈ ������� ( )jk xx ����� ��+������.����� ���7� ��� kx �����

„ jx− ”.;�

'� ����� ���� ���� ����� ���� �� �������.� ����� �7������ �������$��� ��)�

��� *�� � �$�� ��� nx ����� �������$��������.������ ��+����$��

��+����������������$������ ����� *�� � �$�� ��� nx � $��� ���������.� ����� ��+��� �� �$��

��+����������� ��� $�����$ ��)��2�$���������� ���� ����� 1x ���� nx -��2�pe arcele drumului marcat cu „ + <� ��+���$����;����( ������

������θ � �� ��+�1 ���+������ 1=θ 2-��2�pe arcele drumului marcat cu „�>� ��+��� $�� ��������( � ���

�������������� θ -� 2� ��+���������������������$��$�:��� -��2�$�����������3�$�������!��������� ���� �� �� �� ��� �� ����.� ���� ��+��� ��+��� $��

������7 ������������ ������� � �$�� ��� nx ����� ������

,#����� ����? ������ ��+�����$������� ��������������� ��7���unitate, evitându�$�� �$ ��� ���������� ����� ��� ���������.� �$ ��)� $����$� �� ��� ����V format din drumuri marcate cu „+” sau „�” ce ����� 1x ���� nx .������ ��� $����� �� ��7� ������������� ��$�$���

����� nx �� ��� 1x ��0� �� +V ���� ������������� ( )yx, �� �� y ��$��

���������5@<���� −V ���� ������������� ( )yx, �� �� y ��$������������„�<�������� ��

( ) ( ){ }uucVu

ϕ−=θ +∈min1 �

( )uVu

ϕ=θ −∈min2 �

��� { }21 ,min θθ=θ ����$��� ��� � 0>θ �����$���� ��������

? ������� θ ���� ����������� u V +∈ ���������� ����� θ ���� �������

����u V −∈ .��� �7 ������������� ��+�� ������θ ��6�� ���� � ����� �� ���� ��� ��+��� �� ���� 4�������� ��+�����

��+��� $�� � $���� �����(7 � �� ���� � ���� $��������� ��� �� ����� ���7� ������� ������� �� ����� �������� ��� ���������� ���$��� �����������(� � ��+��� ��+��.� $��� � �7 � ��+������ �������� ��� �������������� nx ��

�����Îndrumar pentru VERIFICARE/autoverificare��

& � Vârfurile 1 2 7, ,...,x x x � �����(� � ������ ���.� ���� ��� ����� �$�� ����� � ����� �+��� ����

controlului în punctul jx � �� �� �������������������� ix ��������� ����������$��( ������6 �$��

������������������ �������.� ���� 1x ���� 7x ���

Page 80: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�9A�

�%��������

��2� { }1 2 3 7: , , ,d x x x x .��

�2 { }1 4 2 7: , , ,d x x x x �

�2 { }1 2 4 7: , , ,d x x x x �

, $��$��������2�(�)������)������������$�������������V ��������������������)��

� 1x � 2x � 3x � 4x � 5x � 6x � 7x �

1x � 0 � 2 � 6 � 11� ∞ � ∞ � ∞ �

2x � ∞ � 0 � 4 � 4 � 9 � ∞ � ∞ �

3x � ∞ � ∞ � 0 � 1� ∞ � 11� ∞ �

4x � ∞ � ∞ � ∞ � 0 � ∞ � ∞ � 9 �

5x � ∞ � ∞ � ∞ � 6 � 0 � 14 � 19 �

6x � ∞ � ∞ � ∞ � 4 � ∞ � 0 � 13 �

7x � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � 0 �

� � � � � � � �( )( )1im � ∞ � ∞ � ∞ � 9 � 19 � 13 � 0 �( )( )2im � 20 � 13 � 10 � 9 � 15 � 13 � 0 �( )( )3im � 15 � 13 � 10 � 9 � 15 � 13 � 0 �( )( )4im � 15 � 13 � 10 � 9 � 15 � 13 � 0 �

����������2� � �� �� ( )1

im ������������V .�������$����$��$���������� ( )7 1,7j jv

=-�

�2� ������ ����������V ����������� ( )2im .� ( )3

im .� ( )4im ���� �� ��

( ) ( ){ }kjij

j

ki mvm +=

=

+

7,1

1 min �

!�� ��.� ����� ����� ( )2im .� ������� ������ ( )2

1m � $�� ����� � � �7 � ��������� ������ 1� ��

��������V ������������������� ( )1im .������������ ����������� �� � �� ���������� ����

Page 81: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 9��

( ) ( ){ }{ } 200,13,19,911,6,2,0min

min 17,1

21

=∞+∞+∞+++∞+∞∞+

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ){ }{ } 130,13,199,49,4,0,min

min 27,1

22

=+∞∞++++∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ){ }{ } 100,1113,19,19,0,,min

min 37,1

23

=∞++∞+++∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ){ }{ } 90,1311,19,09,,,min

min 47,1

24

=+∞+∞++∞+∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ){ }{ } 15019,1314,019,69,,,min

min 57,1

25

=++++∞+∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ){ }{ } 13013,013,19,49,,,min

min 67,1

26

=++∞++∞+∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

( ) ( ){ }{ } 000,13,19,9,,,min

min 77,1

27

=++∞+∞∞+∞+∞∞+∞∞+∞

=+==

kjj

jmvm

3��������� ( )3im ���������� ( ) ( ){ }2

7,1

3 min jijj

i mvm +==

)�

( ) { } 150,13,15,119,610,213,020min31 =∞+∞+∞+++++=m �( ) { } 130,13,159,49,410,012,20min32 =+∞∞+++++∞+=m �( ) { } 100,1113,15,19,010,12,20min33 =∞++∞+++∞+∞+=m �( ) { } 990,13,15,09,10,12,20min34 =++∞∞++∞+∞+∞+=m �

( ) { } 15190,1413,015,69,10,12,20min35 =++++∞+∞+∞+=m �( ) { } 13130,013,15,49,10,12,20min36 =++∞++∞+∞+∞+=m �( ) { } 000,13,15,9,10,12,20min37 =+∞+∞+∞+∞+∞+∞+=m �

3��������� ( )4im ���������� ( ) ( ){ }3

7,1

4 min jijj

i mvm +==

)�

( ) { } 150,13,15,119,610,213,015min41 =∞+∞+∞+++++=m �( ) { } 130,13,915,49,410,213,15min42 =+∞∞+++++∞+=m �( ) { } 100,1113,15,19,010,13,15min43 =+∞+∞+++∞+∞+=m �( ) { } 990,13,15,09,10,13,15min44 =+∞+∞++∞+∞+∞+=m �

( ) { } 15190,1413,015,69,10,13,15min45 =++++∞+∞+∞+=m �( ) { } 13130,013,15,49,10,13,15min46 =++∞++∞+∞+∞+=m �( ) { } 000,13,15,9,10,13,15min47 =+∞+∞+∞+∞+∞+∞+=m �

��$��� ��� �������� ( )3im ���� ( )4

im ������ .����� �����$������$���

B������������ ( )4im ������(� �������������� ��� ��� ���� ����������;������ 7x ��

���

Page 82: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�9��

��������6��� � ������1� ��V ���� ( )4

im ���� �� ��$����(����������.�������$��15 .��������������� ��

( )21 , xx ��

6��� � ������ 2 � ��V ���� ( )4im .���(������ �� �13 .���� ������������� �� ( )42 , xx ��

6��� � ������ 4 � ��V ���� ( )4im .���(����������� �� �9 .�����������$��( ������ �� ( )74 , xx ��

*���.� ����������� ����� 1x ���� 7x ���� �� { }1 2 4 7: , , ,d x x x x ���� ( ) 17=dv ��

�(��6����$� �� ���� ��� �� �����������6 �$�� ������������������+�� ��� �������� ����� 1x ���� 6x ��

�2� { }1 2 3 4 5 6: , , , , ,d x x x x x x .��

�2� { }1 2 3 5 4 6: , , , , ,d x x x x x x �

�2� { }1 2 4 3 5 6: , , , , ,d x x x x x x �

, $��$������)��2��

�%��������

�(�)��������!���� ������������"������#��������������������� ��$�$����(��������������� �����

V � 1x � 2x � 3x � 4x � 5x � 6x �

1x � 0 � 5 � 8 � 18 � ∞− � ∞− �

2x � ∞− � 0 � 6 � 10 � 12 � 21 �

3x � ∞− � ∞− � 0 � 9 � 11� 23 �

4x � ∞− � ∞− � ∞− � 0 � 8 � 16 �

5x � ∞− � ∞− � ∞− � ∞− � 0 � 9 �

6x � ∞− � ∞− � ∞− � ∞− � ∞− � 0 �

� � � � � � �( )1im � ∞− � 21 � 23 � 16 � 9 � 0 �( )2im � 34 � 29 � 25 � 17 � 9 � 0 �( )3im � 35 � 31� 26 � 17 � 9 � 0 �( )4im � 36 � 32 � 26 � 17 � 9 � 0 �( )5im � 37 � 32 � 26 � 17 � 9 � 0 �( )6im � 37 � 32 � 26 � 17 � 9 � 0 �

Page 83: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 9��

�( ) { } 340,9,1618,238,215,0max21 =+−∞+−∞++++∞−=m �( ) ( ){ } 29021,912,1610,236,210,max22 =+++++∞−+∞−=m �( ) ( ) ( ){ } 25023,911,169,230,21,max23 =++++∞−+∞−+∞−=m �( ) ( ){ } 17016,98,160,230,21,max24 =+++++−∞∞−+∞−=m �( ) ( ){ } 990,90,16,23,21,max25 =+++−∞+−∞+−∞∞−+∞−=m �( ) ( ){ } 000,9,16,23,21,max26 =++−∞+−∞+−∞+−∞∞−+∞−=m �( ) { } 350,9,1718,258,529,034max31 =+−∞+−∞++++=m �( ) { } 31021,912,1710,256,290,34max32 =++++++∞−=m �( ) { } 26023,911,179,250,29,34max33 =+++++−∞+∞−=m �( ) { } 17016,98,170,25,29,34max34 =++++−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 909,90,17,25,29,34max35 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 000,9,17,25,29,34max36 =++−∞+−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 360,9,1718,268,531,035max41 =+−∞+−∞++++=m �( ) { } 32021,912,1710,266,310,35max42 =++++++∞−=m �( ) { } 26023,911,179,260,31,35max43 =+++++−∞+∞−=m �( ) { } 17016,98,170,26,31,35max44 =++++−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 909,90,17,26,31,35max45 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 000,90,17,26,31,35max45 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 370,9,1718,268,532,036max51 =+−∞+−∞++++=m �( ) { } 32021,912,1710,266,320,36max52 =++++++∞−=m �( ) { } 26023,911,179,260,32,36max53 =+++++−∞+∞−=m �( ) { } 17016,98,170,26,32,36max54 =++++−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 909,90,17,26,32,36max55 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 000,9,17,26,32,36max56 =++−∞+−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 370,9,1718,268,532,037max61 =+−∞+−∞++++=m �( ) { } 32021,912,1710,266,320,37max62 =++++++∞−=m �( ) { } 26023,911,179,260,32,37max63 =+++++−∞+∞−=m �( ) { } 17016,98,170,26,32,37max64 =++++−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 909,90,17,26,32,37max65 =+++−∞+−∞+−∞+∞−=m �( ) { } 000,9,17,26,32,37max66 =++−∞+−∞+−∞+−∞+∞−=m �

����� �����$������$������.�� �������� ���������� ( ) ( )65

ii mm = ��4����������+�� ��� �������� �����

1x ���� 6x ��$��37 ��

�����

Page 84: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�9��

���������*����� ��$����$��������������� ��������+����$ ����� �����2� ! � ������� ( )6

im ���������1� ��V .������������+�� ��� �� ��$��37 �� ������������$�� ��

������ ( )21 , xx ��

�2� ! � �� ����� ( )6im � ��� ����� 2 � �� V .� ��������� ��+�� � �� �� � �$�� 32 .� ������ ��� ��

( )32 , xx ��

�2� ! � �� ����� ( )6im � ��� ���� 3 � �� V .� ��������� ��+�� � �� �� � ��� �� 26 .� ������ ��� ��

( )43 , xx ��

�2� ! � ������� ( )6im ��������� 4 � ��V .������������+�� �17 .�����������$��( ��� ( )54 , xx ��

/2�! � ������� ( )6im ���������5 � ��V .������������+�� ���� ��9 .����������� ( )65 , xx ��

*����������$��( ������ �.� ���� { }654321 ,,,,,: xxxxxxd ���� ( ) 37=dv ��

��������������������

������������������.��������������

& � 6�� ��$� �� � ��� ��� �� ������ ����� 6 � $�� ������� ��������� ���� � �� �������� �� ����������������������

1x ���� 6x ��

�2� { }1 3 6: , ,d x x x �

�2� { }1 2 6: , ,d x x x �

�2� { }1 4 6: , ,d x x x �

�2. Pentru a transporta în 6 � ������ �� ��� �$���� $���.� �� ��� ������ ���� ����� ��������� ��

�� ����� �� ���� ;�$.� ��� � � � �������� �� � ���� �����(����� �����(� � ������ ���� �������.� ������������ ��������.�������������� ��+��� ���������$�����( ���������-�$�� ������� $����� ��+�������+��� ����$�����

Page 85: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 9/�

�%���������

���������

��!�#�����������#������������

1. Duda I., Trandafir R., Baciu A., Ioan R., Bâr( � 6�.�*���������� ������ ����������.� B �����%� � ����România de Mâine.�"�������.��AA���

��� *� �� ��.� C�� � ��� ,�.� "����� !�.� ���� ,�.� ��������� �� ����������� ���������.� B �����%� � ����România de Mâine.�"�������.��AA/��

���"�����!�.�Matematici aplicate î�������������� ����� �.�B �����%� � ����România de Mâine.�"�������.��AA���

��� *� �� ��.� ��������� �� ����#� � ������ ����������.� B ����� %� � ���� România de Mâine.�"�������.��===��

/������$���D:�.�*��������������������������.�B �����%� � ����România de Mâine.�"�������.��==���

���������

Page 86: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�9��

�������

Page 87: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

����

���������

�������������������

������� ��� ����� ��� ����������������������� � ���� ���������� ��� ������� �� ��� ������ ������� ����� �������������������������� � ���� ������������� ������� ������� ��

�������� �� ��������������������� ������ ����� ������ ���������������� � ���������� �� � ����� � � ���� � ������ !�������� ������ � � � ��������� � �� ��

����� � ���� ���������� �������������� �������� ���������������� ������"��������� �

#$�������%��&���� ���'��(�� ���%��$���� ��(��� ���������������� �����������

) �����*�� � �România de Mâine��+,,��������+-+.+��/����� ���������� dobânda, ������� ���� � ������ ��� � � ������ ������

procent mediu înlocuitor, ������ ��� � ����������� ��������������������� ������������� � ���� � ����� � ��� �� �������� ������� � ��� ��� �� �������� ������� � ������ ���� �� ���� �� ������������� �� ������������������������ � ��������� �� ���������������������� �� � ��������� �� ������������

Page 88: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

������������������������������������������������������

Page 89: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� �0�

��

������������� ������

DOBÂNZI�����

��� ����

���1��$������������+���� ��� ������ �������� ����� � ���2� ��������3��4� ������ � ���2� ����������3�1��������� ��� �������3�+�������������� �

7.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

����1�� ��������������"�� ��������2� ������������ �� ���� ����������������5��• ������ � ��� ����� ��� �������� �� ������������� � �

��� ������������� ������� �� ��� �

• ���� ������� ����� �������������������������� � ���� ������������� ������� ������� �

���

���+����������������������� ������� ������� ������

��� ������������������� �� � ���2� ����������������� ������ ��� ����� ���������� � �� �� ������������������������dobânzilor simple sau compuse.�

��

����� ������������ ����+�������

Page 90: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�0,�

��3����� ���������� ������� �����

��3�1���� ������ � ��

6� ���� �� ��� � �� ������� � ���� � �� ���� ����� dobânda.�Dobânda �������������� ����������� ��������� ������ ������� ������ ���������2��������� �����

������� ����� � ����� ������� ������ ����������� ���� � ����� �� ��� ����� ���� � ��� ������ �� � �� 1,,� �� � � ��������� ���� ������������������������������������� �71,,���

������ �� � � � �������� #����/� ��� � ��� �� �� �� ��� �� ��dobânda: �

100

SpD Si= = � #1/�

����������������� ������.� ���������� � ��� ������ � ��������

100

S p tD S i t

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = � #+/�

�!������ ��5�"�� � ������������� �������38,���� ���� �� ������

�� �����3,���� ������� � 0S � –� ����� ����� ���� � ��� ��� ��� ���� �� ��� ��� �

� ��� �������� ������"��� �������������"��� �����5��( )0 0 0 0 1tS S D S S it S it= + = + = + � #3/�

#���� ���� ���������� �������

* �� ������� nSS ,...,1 � �������� ��� ������ � ������� � ��� ��������

ntt ,...,1 . Suma dobânzilor aduse de cele �����������������������������

2���� ������������ �������� ����������� �� ��9����� �������������� 5��

1 1 2 2 ... n nS t S t S tt

S

+ + += � #:/�

� ��������� ������ ���� $���� � 1 2 ... nS S S S= + + + ������ ������������� 5��

1 1

1

...

...n n

n

S t S tt

S S

+ +=+ +

� #-/�

� ��������� ������ ���������* �� ������� nSS ,...,1 � ������������������� ntt ,...,1 �� �������������

1 2, ,... np p p ��%���tul mediu înlocuitor �� ������ ����� ������� ���������������������� �������� ���������� ���� ������ ����� 5�

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

......

n n n

n n

S i t S i t S i tp

S t S t S t+ +

=+ + + � #8/�

���

Page 91: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 01�

���3�+���� � ��� �� �

����� ����� ������������ ������ � ��� �� ����������� ���� �� ��� ����� ���� �� �� � ��� ����� ����� � ��� � �� ������ � ��� ��������� � ���� � ��� ��� � ������ �� ������� ��� ����� � � ��� � 2���� ������� �����5��

* �� 0S �–���� � �� ���–���������� ��–��������������������

���� � 0S �#�� ��2����/�� tS �–������� �� ��� ������ ����� �100

pi = �

������ ��� ����� 5�

' � ���������� ����începutul anului�

����������� �2�� ��������� �

������ �� ��������� �������� �

1� 0S � iS0 � ( )iSS += 101 �

+� ( )iSS += 101 � ( )iiSiS += 101 � ( )202 1 iSS += �

� � � � � � � �t � ( ) 1

01 1 −− += t

t tSS � ( ) iiSiS tt

101 1 −

− += � ( )tt iSS += 10 �

��� � ui =+1 � ��� � � �� ����� �� ����������� � � �� 2� �������� �� ���� ������ ,...3,2,1=t � ������ ��� ��� �������� ���� � ������ �� ����� 5�

( ) ttt uSiSS 00 1 =+= � #�/�

������������ ����� ��������. întreg:�

( )[ ] ( )111 00 −=−+= tt uSiSD � #�/�

���� �� ����� ����� 5��

( )01

1

tt tt

S S S vi

= =+

� #0/�

��� vi

=+1

1�"���������������&�����

& ���������������� �� �#0/��� � ������������

�'�� ��5���� � ������ �� ��������� �� ���� � 0S nu este, în genera��� ��

�� �� 2������ � � ����� �� ������k

hnt += �� '���� �� � ���� � ������

����������������� 5�#�� ����� ��� ��������������������#�/��������������2����� �

����� ������������ �� ��� �� �������������������� � �� � 0S ����

� 5� ( )nn iSS += 10 ��'����� ���� �� nS ��2�� ��������� � �

k

h ������� �����

��� �� ��� ����������������������� ��� ��k

hiSn ��'������������ �5�

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++==

+ k

hiiSSS n

k

hn

t 110 � #1,/�

reprezentând ��� ��� �� ��� � ��� ������� �� ������ "���� când se

������� � �� ��� � 0S � ��� �� ���� �k

hnt += � 2� ��� �� �� ��� �

������ ��

Page 92: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�0+�

#�� ��� �������� � ������ ����� 0S � ������ � ��� �� ��� �� �

k

hnt += ������ ( ) ( ) k

hnt

t iSiSS ++=+= 11 00 ��

������� 5�1�� 4������ ����� ������� �� ����+�� ��� �� ������ �� � ����� �� � ��� �� � ��� �� �������� ���������

����� � �����1 i u+ = este în tabele financiare atât pentru puteri întregi, ����� ����� ������

3�� !���� ���� ���������� ������ 0S ������ �2���� ������� �

� ��� �����2���� ������� ������� �� ��� �2���� �������� �����%������ � � ��������"�� ���($�� ���� �� ������� 1p �� 2p ����� �� �����

������������������ 1t �� 2t � �������� ��������� 1 1

2 2

t pt p

= ��

�'�� ���* �� ai ������� ��� ����� �� � si ������� ��� �������� �� ��

'��� ��� ai � � si ������� ������� �1 2s ai i= ��

!������ ���1������������ �2���� ������� ������� ������������� ��

ai �� ���� ����� ( )1 ai+ �����

1� ����� ������ � 2� ��� �� �� ��� � � ��� � ��� ������������ �� � si �� ���� ����� ( ) ( )1 2 u.m. 1 u.m.s ai i+ = + �

1� ����� ������ � 2� ��� �� �� ��� � ������ � ��� ������������ �� � si �� ���� �����

( )2 2

21 1 1 1

2 4a a

s a ai i

i i i⎛ ⎞+ = + = + + > +⎜ ⎟⎝ ⎠

��

�%�������������������"�� ��� )$�� ��� � 1p �� 2p ����� �� ����� ����������

�������� 1t �� 2t � �� �������� ����������� �� ����� �� ������ ��� � ��� ���� ���������������������� �

( ) ( )1 2

1 21 1t t

i i+ = + *� 1 21 2;

100 100p p

i i= = �

#11/�

��� �2�� � ������2� �� � �������� �������� ���������� �����

an se ia dobân��jk�� ���� � ����� � ��� �

jk� ����� ��� ����� � ���

��������� �� ��� ������ 5�

1 1k

ji

k⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

� #1+/�

��� � !� ���������� ��������� ( reprezentând suma dobânzilor percepute în cele ����� � ����/�����

Page 93: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 03�

!��� � � � ������� ���� �� ���� ��������� ����� �� � � ����������� ����

1 1k

ji

k⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

� #13/�

��� � 2� ���� �� ���� ��� � ����� k → ∞ �� ��� 1 ji e+ = ����

( )ln 1j i= + ��

!������ ���1������ �2����� ��1 ji e+ = ��� este dat în fiecare interval de timp

( ),t t dt+ ������� ��� ��������������� � ( )ln 1 iδ = + ���������;����

2�� ������� ���������������� � ��# δ ���������� ������������������/��

+��� ( )ln 1 1i i eδδ = + ⇔ = − �

������� �� eδ �2���� ��<��=��� �� ��� ��5�2

... ...2

ni

nδ δ= δ + + + + > δ i⇒ > δ �

���

��:��Îndrumar pentru verificare/autoverificar���

($� ������+,�,,,���������������� �� �����:-�� ������������������������>��4�������� ������� �� ��������� ������������ ������ � �?�#2���� ���������� ���� ��1��738,���� ��/��

�/+,,�����9��/�++,,,�����9�/�+,+,,�����9�/�+++,,�����% �����������5��/��+�&�������

0D=S it �#���� ������� �� ��� �/�

� ,7+,�,,,������ 8% 0,08p i= ⇒ = 9��":-�� ���7 45360

�� �

8 45D 20.000 D 200100 360

= ⋅ ⋅ ⇒ = �����

f 0S =S +D �� �

������ f 0 0S =S +S it ��

������ ( )f 0S =S 1+it ��

������ fS =20.200 �����% �����������5��/��)$�Ce devine suma de 20.000 u.m. în regim de ��� � ������ � ��� �� ��� �� � �� :� � � ����

������������������8>���>���>��0>�?���/�+,��,,����9��/�+��,,,�����9�/�+8��,:����9�/+���,3�����% �����������5��/����

Page 94: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

�0:�

�#��������

( )( )( )( )f 0 1 2 3 4S =S 1 1 1 1i i i i+ + + + �

1 1=6% =0,06p i⇒ $

2 2=7% =0,07p i⇒ $

3 38% 0,08p i= ⇒ = $

4 49% 0,09p i= ⇒ = $�

fS =20.000 1,06 1,07 1,08 1,09⋅ ⋅ ⋅ ⋅ �

fS =20.000 1,06 1,07 1,08 1,09

20.000 1,3352

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅

fS =26.704 �����% �����������5��/�

�������������������

�������������������,�������������

($� ���������� �1� ������ � � � ���������� � ���� ���������� �+� �� ��� ��� �����5� � +,,,� �����������������������-,,,�������1,�,,,����������������������������0>��1,>��1+>��������� ��#�����/���38�� ����3��� ��������� ��������������'��� ����� ���� ��2���� ������#�2��� ������ ���� �2���� ���������� ���� �� ���� /5�

�/�:�� 9��/�����������9�/�++,�� ��9�/�1:+�3�� ����)$� 4�� ��� � ����� �� ���� � ��� � �� 2� ��� �� �� ������ ��� � �� ������ ��� ������ :� � � ���

����������������1,>�� �������� �� ���-��-8:�����?� �

0S = �����$� ����������������������� � �� ��� ���� ���1,�,,,�� � ����������������� � �������� �� ����������������

-��� ����������������->�#��� � �� ����� ���� ��� /���/ 5

812

15082,35S+

= ����9��/� 58

12

23082,35S+

= �����9��/ 58

12

65083,75S+

= �����9��

/ 58

12

13508,85S+

= �����

Page 95: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� 0-�

-$� ����������������������� � �� ��� ���� ���1,�,,,�� � ����������������� � �������� �� �������������-��� ����������������->�#��� � �� ����� �������� �� /��

�/� 58

12

12077,77S+

= �����9��/� 58

12

15077,97S+

= ����9��/� 58

12

18077,97S+

= �����9�/� 58

12

25077,37S+

= �����

���������

��.����/��"������/��������

1�� ���� $��� &���� �� %��� (�� ��'��� $���%��� (��� � ������������� ���� ������������ ) �����*�� � �România de Mâine��(������� ��+,,8��

+�� ���� $��� &���� �� %��� (�� �� '��� $��� %��� %������� �� ���������� ����������� ) �����*�� � �România de Mâine��(������� ��+,,-��

3��(�� ��'�������������������������������� ����� ���) �����*�� � �România de Mâine��(������� ��+,,:��

:�� ���� $��� %������� �� ������ ���� ������������ ) ����� *�� � � România de Mâine��(������� ��1000��

-�� ��������@�������������� ���� ������������ ) ����� *�� � �România de Mâine��(������� ��1008��

���

Page 96: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

��

������������� ���� �

����� �����������������

���������

��������� �������������������������������� ������ ��� ���� ������������� ������� ��� ���� ����

���������������� ���� ������8.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare�

���

��������������������������� ���� ����������� �� ���� �������� ���!��

• "������������� ������������• #������� ������• $������������������������

���

�������� � ���� ������ ���� � ������ �����

#�� � ������%����� ������� �� �� �� �� ���&� �� ���� ��� '���������� � � �'����� ������ ������ �� ���� ��� � � �� ���������� ����'����������%��� ����������

��

�������������������� �� ��������������

Page 97: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� �(�

�������� �������� � ������ ����

������������ ��������������

���� ���!��������������� ����� �� ���� ���� ����������� &� �� %������ � ������

����������&� ����� ���� � � ����� �� ��� � � ������ ���� �� ���������� ������ ����� ��) ��

������� �������� � � ���������� �������� �������������*��+������ ���� ������ � ��� �������� �� �������� �,�**�� ��� ������� � � �� ������������ ����� θ ��-��������'��� ������� � ������� ��&������'�!�

( )0 1 , un anK S i= + θ θ ≤ �

����

( )0 1 , un anK S iθ= + θ ≥ �

.�/�

� �!�− ��0����������������� ������� ��&�− $*�0���� � ������ ����&�− ���0 dobâ ������ ����� ���#�� � ��� �� ����� �� 1θ < θ &� � �� � ��� 1t = θ − θ � �) � ���

��� � &����� �������'���) � ������ �������������&���������� ��������������������"���� ����������

( )1 0 11 , un anK S i= + θ θ ≤ �

����

( ) 1

1 0 11 , un anK S iθ= + θ ≥ �

.�/�

� �!����0��������������$*����������� 1θ ��-�������� ���� � �� ���� ��� .��������� ����� � ��� �������

�) �����������/����������� 1 tθ = θ − ������ ��������-��� ���� ������ �'��� �� ���� ��������� ����� � �� ���

������������� ���&�������aS K K= − � .�/�

����� ��������� � ���� �� ����� ��������������� �������� � ��� ���� �������� ����� ����� � ������� ������ ��� ������ �� �� ���� � � ������ ��� � ������ � �� �������� ��� � ��������� ������������������

#��.�/��� ����aK K S= + � .1/�

���aK K S= − � .2/�

+�'��������'������� �������������� ��!����$��������� ������������� ������� ��) ������#���������� ����������� ��) ������ � ��) ������ ��% �

���������&����������������� �� ������������

Page 98: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

����������������� �����&����������'�� ��) �� � � �������������� ��&���� ��) ������ ���

aSSR K jt= � .�/�+�'��&��� ������������ ���� ����������� ��!�

1a KK

jt= + ���� ( )1aK K jt= + � .(/�

����

100

1100

qK t

SSRq

t=

+�����

1Kjt

SSRjt

= + &�

.�/�

� �!�− 100q j= ������� ������.�������� �����������'���%���

���� �'���� ���������� ����������������� ����,�**�/�− ��0� ��) ������ � ������− �0� �������� ����.� ���� �����/���������� &�������������������%��3�� &���'����

�4��≅ ���

�������� ���.�/� �����SS Kjt= � .�/�

������������������5���� ������� �� ����� ������������������������

���������� ������� ���������#� ��� ��� � ��� '�� ��) �� � � ��

�������������� ������������ ��&���� ��) ������ ����SSC Kjt= � .�*/�

���( )1aK K jt= − &� .��/�

����

1

aKKjt

= − �� .��/�

��$����� ������SSR SSC< &� � �� � ���� ����� �������� ������� �� �����

������ � � ����������� ��&��������� ������������������������������������� ����

���$�������������������������������� ���������� ��������#��.�*/����.�/��� ���!�

( )1SSC SSR jt= + � .��/�����

1SSCSSR

jt= + � .�1/�

��������������� este cel în care calculelele se fac în regim de

��) � ������ �� #�� � � ��) �� ��� ����� � ������� �������� ��� ��� ��) ������ � �&���������� �� � .�� ��%��� �� ��) ������� /&������ �������������������� �����&������

�����������������5���� ���������������� ������������������������������������&������

Page 99: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

#�� ��,����������,���&������ ��.�/�����!�

1j

SSRj

= + &� .�2/�

��"��� ���%&�������������� ���������� �����������

1j

dj

= + &� .��/�

����1d v= − &� (16’)�

����& 11

vj

= + ����������������������������������������

����%��� �� ��) ������� &�����������

( )1taK K j= + � .�(/�

��&� �����) � �'�� ��� �������� ������� �� ����&� �� ���� ����������������� ����� �

( )1 1taSCR K j⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦ � .��/�

����

( ) ( )1 1 1t tSCR K j K v

−⎡ ⎤= − + = −⎢ ⎥⎣ ⎦ �� .��/�

#��.�(/�% ����

( )1a

tKK

j=

+��� �

6�� �� �

( ) ( )2 11 1 ...

2t t t

j jt j−

+ = + + + �

��������%��3��������� ��%�� ���������������%������ ���.������ ��� � ��) ������ ������&����%�����&���� ������� ��'������ /�����avea în (19):�

111 1

KjtSCR K

jt jt⎡ ⎤= − =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

� �

��� ���� ������ ���� ��� ����5���� � ������ ������� �� ����� ��������� ������ ������� ���������&� $��&� ����� �� .��/� % ���� � ������������������������������

aSCC K jt= � .�*/�� ��

1a KK

jt= + ��� .��/�

���( )1aK K jt= + &� .��/�

��$����� ������ SCC SSR SSC= < 7�

���#�� �8���&�����! ( )1 1t

j jt SCR SCC+ < + ⇒ < �

���#�� �,���&�����! ( )1 1t

j jt SCR SCC+ = + ⇒ = �

1��#�� �9���&�����! ( )1 1t

j jt SCR SCC+ > + ⇒ > �

��

Page 100: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

��**

��1��Îndrumar pentru verificare/autoverificare�

���:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ���*� �������� )� ��&� ��� �������� ����� �� �*;��#�� ������������&� ���������� ���� ��� �� ��� � � ������������������������� ����� � ��$��������������������� ������� ��������� � � K = ����

����������!�$*,��*�***������

10% 0,1p i= ⇒ = �

1010 luni=12

θ = �

177 luni=

12θ = �

3 112 4

t = = �

��/ ( )0 1K S i= + θ ⇒ �

( )10120.000 1 0,1 130.00012

K = + = ������

���:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ���*� �������� )� ��&� ��� �������� ����� �� �*;��#�� ������������&� ���������� ���� ��� �� ��� � � ������������������������� ����� � ��$����������������'��� ������� ���������������� ����� 1K = ���&�

<� ������!�( )1 0 11K S i= + θ ⇒ ��

( )17120.000 1 0,1 127.000

12K = + = ������

���:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ��10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive posesorul po�� ��� �� ��� � � ���������� ������ ���� ����� ����� � ��$�������������������� ������� ��&������) � ���������������� ����������������=�,�;��

� ...aK = �

��������!����� �������������������� ����!�

1a KK

jt= ⇒+ 1 18% 0,08q j= ⇒ = �

����������������������� 130.000 127.45011 0,084

aK = =+

�����

1��:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ��10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive, posesorul po�� ��� �� ��� � � ���������� � ����� ���� ����� �� ��� � ��$�� �������������� ���� � ������ ��&� �����) � ������ ��������� ����&������������=�,�*;&��

� ...aK = �

Page 101: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� �*�

������������� �������������������� �����

1a KK

jt= + �

2 210% 0,1q j= ⇒ = �

130.000 126.83011 0,14

aK = =+

�����

�2��:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ��

�*� ���� ���� )� ��&� ��� �������� ����� �� �*;�� #�� ������� ������ ���������� ���� ��� �� ��� � � ������������������������� ����� � ��$�������������������� ������� ��&�����������������������&������������=�,�;&��

� ...aK = �����������În cazul scontului simplu comercial�

( )1aK K jt= − ��

1 18% 0,08q j= ⇒ = �

( )1130.000 1 0,08 127.4004

aK = − = �����

��

�������������������

������������������'�������������

���:�� ��� ��*��*���**�����'������� �� ������� ����������� ����*�***�����&���) ���� � ��10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din diverse motive, poseso���� ���� ��� �� ��� � � ������������������������� ����� � ��$�������������������� ������� ��&�����������������������&������������=�,�*;&��

� ...aK = ��

Page 102: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

��*�

(&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ���;��#�� ������������'���������������=�=8% în regim de scont compus, se cere:�

-������������� � K = �����)&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ��

�;�� #�� � �������� ��� '���� ��� �������� =�=8%, în regim de scont compus, se cere:cât va primi ���'����������� ����������� ����� � >�.?��� � ����������������� ����/��

�� ...aK = ��*&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ��

�;��#�� ������������'���������������=�,�*;&�����%��� ������������&���������� �������� ���)�������������'����������� ����������� ����� � >�.���� ���������������� ����/�

� ...aK = ��+&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ��

�;��#�� ������������'���������������=�,�;&�����%��� ������������&���������� �������� ���)�������������'����������� ����������� ����� � >�.���izând scontul compus comercial)�

...aK = ��,&������� �������������� ��������� ���**�***���������������� � ������2��������������� ��

�;��#�� ������������'���������������=�,��;&�����%��� ������������&���������� �������� ���)�������������'����������� ����������� ����� � >�.���� �����������������������/�

� ...aK = ��-&�:�� ��� ���*�*���**1����� ���������������������� � ��������������� ��,�2�***�����&�

��� ������� � �����������*���**1��$��������� ������� ��������� � �������� ��������������!��• ������ ��������;�• �������� ����������������������*&�;�• ������������'�����&2�����• �5 ������������'�5���&�;�• ���� ��% � �� � ���� ��� ������ �$�������������������� &������) ��������������������������

...aK = �� ��:�� ��� ���*�*���**1����� ���������������������� � ��������������� ��,�2�***�����&�

��� ������� � �����������*���**1��$��������� ������� ��������� � �������� ��������������!��• ������ ��������;�• �������� ����������������������*&�;�• ������������'�����&2�����• �5 ������������'�5���&�;�• ���� ��% � �� � ���� ��� ������ �$�������=��������������� �����&�=�,�**��&�����=�����������'�����.���� ���������/� �����&�

=�,�**����/�=�,��&��;&�=�,��&�(;7��/�=�,��&1�;&�=�,��&�(;7���/�=�,��;&�=�,��&��;�

�.&�@���� �� �� ����� ��� nQQQV +++= ...210 �

�%/&�<��� ���������� ���������������.� ���� ��������������%������� ����/����!�

( )1 1 1p p p pT T Q i Q+ +− = − − �

Page 103: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� �*�

�%%&����� �� �� TTi = &������� ni ,...,1= 7��������������� ����

�/� 0 1(1 ) 1

1

niV Q

i

+ −=+

7��/� 0 1(1 ) 1ni

V Qi

− −= 7��/�i

iQV

n 1)1(10

−+= 7� /����� ������

�����������

��0�$���1��"����$��1���������

��� #� �� ��&� A�� �'��� <�&� B�����+�&� ����<�&� B)� � $�&���������� ������ ���������&� @ �����C� � ����România de Mâine&�B�������&��**���

��� #� �� ��&� A�� �'��� <�&� B����� +�&� ���� <�&� �������� ��� ��������� ���������&� @ �����C� � ����România de Mâine&�B�������&��**2��

���B�����+�&�Matematici aplicate în economie���� ����� �&�@ �����C� � ����România de Mâine&�B�������&��**1��

1�� #� �� ��&� �������� ��� �� �!� � ������ ���������&� @ ����� C� � ���� România de Mâine&�B�������&�������

2�� ��������DE�&���������� ������ ���������&� @ ����� C� � ����România de Mâine&�B�������&�������

���

Page 104: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

��

������������� ���� �

�� ���������������

���������

��������� �������������������������������� ������ ��� ���� ������������� ������� ��� ���� ����

�������������� ����������� �������� ���� ����9.4. Îndrumar pentru verificare/autoverifi�����

���

�������������������

!������� ���� ����������� ��" ���� �������� ���#��• $� ��������� ������������������������

• %������������� �������������&��� ������� ������'��������

• $� ����������&��� �����

���

�������� � ���� ������ ���� � ������ �����

(�� �������)�������������� �� ���� ��� ��� �������&����������� ���"�������������� &�������� ��� ������ ��� �� ������� � ����������� ��� ��*��������� ��������� ���� ���+��

��

�������������������� �������������������

Page 105: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ��,

�������� �������� � ������ ����

������������ ������������� ��������� ����������

$� ���� �������� ��� �� ���� ����� ��� &��� ��� ������ ������ �� ��- � ���������������������&� �� ���������������������� ���������������� ��timp între dou ��� �������"� ��������� ��(�� �������� ���������� �������� ���� �������������� � � �� ������� ������ ��������� � ������� ���� ��������� ������������ � � �� � ������ �� ���� ��������� � ����� �� ���� ��������� ������������� � � ���� �� � ������ �� ���� ���� � ����� �� ���� ������������������ ���

������������ ����� $� �������&�#�− �����!���� �� ���������� ���������������.�− ���������� �� ���������� �������������$� �������&����� ��- ����� ������������� ������$� �������&�#��–������������� �� ��� ���� ���� ������&���*��������������+.�− ���"���������� .�− ��������� �� ��� ������ ���������������������$� �������&�#��− ������������ �� ���������&��������&-������&��� ���������� �.��− ����������� �� ���������&���������������&��� ���������� ����

�/�0� ���

Pn

S ���������#���� ����������� ������ ������������

Pn

A ���������������� ����������� ������ ������������

1 2, ,... nT T T ��� ����

1 2, ,... ni i i � ��-"�������������&������������� ����� ��������������� �� ����������� ����&���������������������

amânate� �� ���������&���� �� ����� �� ���������+������ �������!����$���!%�&�������!�����

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 2 3 2 3 4

1

1 1 ... 1 1 1 ... 1 ...

1

Pn nn

n n n

S T i i i T i i i

T i T−

= + + + + + + + + +

+ + + �

*�+�

1�������� ��

( ) ( )n -nn 0 0 nS =S 1+ S S 1+i i⇒ = �

���������) ���

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 11 1 1 1 1 ... 1P

n n nnA T i T i i T i i i

− − − − − −−= + + + + + + + + �� *�+�

�+������ �������!����$���!%�&������������

( ) ( ) ( )1 21 2 11 1 ...... 1

n nPn nn

S T i T i T i T− −

−= + + + + + + + � *�+�

Page 106: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���2

����

( ) ( ) ( )1 21 21 1 ... 1

nPnn

A T i T i T i− − −= + + + + + + �� *�+�

�+������ ������������$���!%�&�������!�����

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 3 3 41 1 ... 1 1 1 ... 1 ...

1

Pn nn

n

S T i i i T i i i

T i T

= + + + + + + + + +

+ + + �

*,+�

����

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 11 1 1 1 1 ... 1P

n n nnA T i T i i T i i i

− − − − − −−= + + + + + + + + �� *2+�

+������ ������������$���!%�&�������������

( ) ( ) ( )1 21 1 ... 1

n nPn

S T i T i T i T− −= + + + + + + + � *3+�

������- ������� ���

( )1 1n

Pn

iS T

i

+ −= ��

*4+�

����

( ) ( ) ( )1 21 1 ... 1

nPn

A T i T i T i− − −= + + + + + + �� *�+�

������- ������� ���

( )1 1n

Pn

iA T

i

−− += �

*��+�

��!����� ������(�� ��5������) ����

( )1 1n

ni

si

+ −= ��

*��+�

���������&��� ����������� ����� ����������������������(�� ��� ���� ���� ������������� n → ∞ ��������������� ����&��

1limn

P

n

v TA Ti i∞ →∞

−= = ��*��+�

���

�����Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

���(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" �������� ����������� �,�������� �3��������� ������������������� ��36 �46 ���6��������������������&��� ���&� ������������7�

�+�,���,�����.��+��3���������.�+���432����.� +����32������1 ����������#��+����������

( )( ) ( )3

2000 1 0,08 1 0,1 5000 1 0,1 7000 14.876PS = + + + + + = ������

����(�� �������������� � ���&��������&-���� �������������" �������� ����������� �,�������� �

3��������� ������������������� ��36 �46 ���6������������������������� ���&� ������������7��+��,���, �3�������.��+���3�� 2�������.��+����432����.� +�����32 ,2�������1 ����������#��+�

Page 107: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ��3

���������%������������� #�

32000 5000 7000 11702,6941,07 1,07 1,08 1,07 1,08 1,1

PA = + + =⋅ ⋅ ⋅ �

���� 8�� ������" � ���� �� ��� �� � ��� �&-������ &��� ���� � � ����� �� �������� ����� �� ��)��� �� ��

��- ������� ����������������� ����6��������������������&��� ��������� ��������������� ��������������� ���7�

10PS = ��� �

10PA = ����

10

10

1,1 1200.000 3.187.484,60,1

PS−= = ������

10

10

1 1,1200.000 1228913,40,1

PA−−= = ������

��

�������������������

������������������'��������������

()�(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" �������� ����������� �,�������� �3��������� ����������������� ����6��������������������&��� ���&� ������������7�

�+�,���,�����.��+��3���������.�+����������.� +�,��32�������*)�(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" �������� ����������� �,�������� �

3��������� ����������������� ����6������������������������� ���&� ������������7��+�,���, 2�2������.��+��3���� �,������.�+����������.� +����� 2�2�������+)�(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" ������ ��3��������� �������������

������ ��36 �46 ���6��������������������&��� ���&� ������������7��+�����2�����.��+��,���������.�+�����2���.� +�,�����������

Page 108: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���4

,)�(�� �������������� ����&��������&-���� ��� ����������" ������ ��3��������� ������������������� ��36 �46 ���6������������������������� ���&� ������������7�

�+�����2�����.��+��,���� ��������.��+��4��2 ������.� +��,���� ����������,��8����� �� �� ����������&��� ����������� ����� ����������� ������������� ��� ������� ��

������������� ��-"����������� ����#�

�+1

1 1

nnpn k j n

k j k

S T i T−

= = += +∑ ∏ .��+�

1 1

nnpn k j n

k j k

S T i T= = +

= +∑ ∏ .��+�11

1 1

nnpn k j n

k j k

S T i T−−

= = += +∑ ∏ �

�-)� 8����� �� �� � ��������� ����� � �� ���� ���� �� ��� �� ��������� � ��������� ��� ��� � ���

��� ��������������� ��-"����������� ����#�

�+ ( ) 1

1 1

1kn

pn k j

k j

A T i−

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∏ .��+� ( )1 1

1 1

1kn

pn k j

k j

A T i− −

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∏ .��+� ( )1 1

1 1

1kn

pn k j

k j

A T i− −

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∏ �

�.)�8����� �� �� ����������&��� ����������� ����� ����������� ������������� ��� ������� ��

������������� ��-"������� ����#�

�+ ( )1

1n

n kpn k

k

S T i−

== +∑ .��+� ( )

1

1

1n

n kpn k

k

S T i−

== +∑ .��+� ( )1

1

1n

n kpn k

k

S T i−

−=

= +∑ �

���������

��/�!���"��#����!��"���������

��� (� �� �� � 0�� �&��� 1� � 9����� �� � ���� 1� � 9-�" � 8� �� �� ���� ��� ��� �������� � � : �����;� � ����România de Mâine �9������� ����2��

��� (� �� �� � 0�� �&��� 1� � 9����� �� � ���� 1� � ������ �� ��� � �� ���� ��������� � : �����;� � ����România de Mâin� �9������� ����,��

���9������� �� �� �������� ����������������� ���� � �: �����;� � ����România de Mâine �9������� �������

��� (� �� �� � ������ �� ��� ����� � ��� ��� �������� � � : ����� ;� � ���� România de Mâine �9������� �������

,����������<'� �� �� ������� ����������� � �: �����;� � ����România de Mâine �9������� ����2��

���

Page 109: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

��

������������� ���� ��

�� ������������������������������������������

��� ���!�

����������� �������������������������������� ���� �� ��������� �������������� �� �� �� ��������� ���

10.3.1 Împrumuturi�10.3.1.1 Amortizarea unui împrumut pr����� � �������������������������������� � ��� ��� � ������������� ���������� !�� ���� � ���������������� � ��� ��� � ����������� ����!�� ��� � ��������� ���� � ��

"�������#�10.3.1.4. Împrumuturi cu amortismente egale�

10.4. �� ������ ���� ����$� ���� ��������

����������������������� ������������ ���������� ���% � � �������� � ��&��• '� �����������(������%�����• Împrumuturi�

���

��������� � ���� ������ ���� � ������ �����) � ���� (����������� �� �������� ����� ��� ����� ����������

� � � ����� � �� � ��� ��(��� ��� ��� � �� ��� � � ���� ��%�� ����������������� � �������������������(��������� � ���

����" �#��#$%������� ��&��������

Page 110: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

��������� �������� � ������ ����

��������Împrumuturi�

*��� �������� � ������� ��� ������� ��������� �������� 1P �"������� ��� �� � ( ���� � ��� �����#� ������% � �� � � � ��� ������ ��� �������� ������� ��������� ���� � ����������� 2P �"������� ����� �( ����� ��������#��

����� � ������������ 2P ���� ���� �� 1P �� ���������������� ��������� �������� ������ �����%�������� � � ���+����� � ������ ���������������% ����� �������� � ������ �������* �������� ������ ������� � � �� �� ��� �� ����%�� ���� � ��� ��� � � � ��� � ����������������

�������������������� ��������������� � ��� ����� �� ��������������

,��&� 0V � –� � ��� ��� � � � ��� ����� �� ��� ����� nTT ,...,1 � –�

�� � ����"��#�� ���������"������� ���� ������� � ����� !�� ����� � ����#�� n �–�� ��������������� � ���� 1,..., nQ Q �-�������������� ��������

��� �� �� ��� ������ �� �� ��� ��� �� n -�� ����� i � –� ���!���� ��� � ��împrumutului.�

� ������������������������������ �� � �&��

.������ /���% �� )��!�� � /� � ��* ��� ��� ��

������ ��� ---� ---� ---� 0V �

�� 1Q � iVd 01 = �111 dQT += � 101 QVV −= �

� � � � � � � � � �p �

pQ � iVd pp 1−= � ppp dQT += � ppp QVV −= −1 �

� � � � � � � � � �n � nQ � iVd nn 1−= � nnn dQT += � 01 =−= − nnn QVV �

��'!���� ��&���� 0���� ����������������� ��������(������ � ������� ������ �

�-�� �� ������ �����������% �������)�������� ������� � � n ������ ������� ��%��� ������ � � ���

������� �� ������ � � ������(�� �� �� ��������������&�

nQQQV +++= ...210 � "�#�)��������������� ��������� � ���������������"������ ���� �

�������(������ � ���#����&�( ) pppp QiQTT +−=− ++ 111 � "�#�

/� � ������ ���� � ������������

Page 111: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

������������������������� ��� ���������� �� ������ �������������������� �����������������

������� �� TTi = ������� ni ,...,1= ��/ ��������"�#������

( ) pp QiQ +=+ 11 �

����� ����&�

�i

iQV

n 1)1(10

−+= �� � "�#�

������������������������� ��� ���������� �� ���������� � ��� ��� ���� �������� ������ ��������

1�� �������� ����� � �� ��� �� ���� ���!���� ��� � ��� �� ��� ����������� ������ ��� � �� ����� 0V ���� iVV 00 − ��

'�� � ��������������� � �������!����������� ���% ��� ���� ���� ���������� ���������� �������� �� ��������� ���

0���� ����� ���� � ��� ��� � ���� ����������� ���� � �����&��

/���� /���������� Dobânzi� /� � ��* ��� ��� ����

��� ����� !�� ���� � ��

�� ---� iVd 00 = � ---� iVV 00 − �

�� 1Q � iVd 11 = � iVQT 111 += � 101 QVV −= �

�� 2Q � iVd 22 = � iVQT 222 += � 212 QVV −= �

� � � � � �p �

pQ � iVd pp = � iVQT ppP += � ppp QVV −= −1 �

� � � � � �

n � nQ � iVd nn = � iVQT nnn += � 01 =−= − nnn QVV ��

)�� � 0=nV �� ���� nn QT = ���

)� ��� ������ ��� � ��� ������������ pppp QiQTT −−=− ++ )1(11 ���

)�� ��� � ����� ��������������� � TTi = �� ni ,...,1= �� ����

0)1(1 =−−+ pp QiQ ������ ���pp

i

QQ

)1(1

1 −=+

, rezultând

])1(1)[1(

)1(01 n

n

ii

iiVQ

−−−−= ��

��������2��Împrumuturi cu amortismente egale�

�)�� � QQi = �� ni ,...,1= �����"�#��% � �n

VQ 0= ��,�������������

� � ����"�#��� ����&� ip0

p1p QTin

V-TT −==+ ��

Tabloul de amortizare a unui împrumut cu amortismente egale este ������� ��� �� ��� � ����%���� � �� ��� � � ���� �� � �� �������������������

Page 112: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

���2��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

��+�� ��� � ����������� ���� ���% ��� �� ��� ��� ���2��������� ��� "�� � �#� ������������������� ������� ���� ������34������������� ����������5�

1 ...Q = ��

��������50005,01000001 =⋅== iVd �

'�� �����������( )

12,232011

01 =−+

=ni

iVQ ��

������������������������������� 12,232011 =−= dTQ �

(��+�� ��� � ����������� ���� ���% ��� �� ��� ��� ���2��������� ��� "�� � �#� ������������������� ������� ���� ������34������������ ���������� �% ���5�

...T = �

��������50005,01000001 =⋅== iVd �

'�� �����������( )

12,232011

01 =−+

=ni

iVQ ��

���������������������������������� 1 1 2820,12T Q d= + = ��)���������� ������ � ��� �������3����� ����������� ���% �� ������ ��%�����2������ �

����� �� ��� 34� ���� �� � �� ���������� � � ���������� �(����� ���� ���� �� ����� ���� ���� ���������������������������������5�

2 ...T = �

��������

)��� 250000 =V �����62��% � � 62504

000.250 ===n

VQ ��

,���������� ��� ip0

p1p QTin

V-TT −==+ ���� ����� 2 7125T = ��

��������������

Page 113: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

���!��������#����*���$���#������

��+�� ��� � ����������� ���� ���% ��� �� ��� ��� ���2��������� ��� "�� � �#� ������������������� ������� ���� ������34����������������������������5�

3 ...Q = �

�(� Un împrumut de 40.000 u.m. este rambursabil în cinci a��������� � ����������� ����!�� �

�� ���� ��������� ���� � ��� ����������34������������� �����������5�1 ...Q = �

�)���������� ������ � ��� �������3����� ����������� ���% �� ������ ��%�����2������ �

����� �� ��� 34� ���� �� � �� ���������� � � ���������� �(����� ���� ���� �������� ������� �% �5�

...Q = ��+���������� ������ � ��� �������3����� ����������� ���% �� ������ ��%�����2������ �

����� �����34������� � ������������� ������������(�������������� ��� ��� ������� �� � ����������������������5�

2 ...V = ��

��������

��,�'#�$-��.���$'#�-��$����

��� ) ��� ���� 0���� �� 7��� 8��� �/��� �����7��� 8!% � *������������ �� ���� ��� �������� 9�� ��, ��� ����România de Mâine��8 � ��������:��

��� ) ��� ���� 0���� �� 7��� 8��� � /��� ����� 7��� ����� ��� ��� ��������� ��� ������� 9�� ��, ��� ����România de Mâine��8 � ��������3��

���8��� �/�������������������� ���� �������� �� ���9�� ��, ��� ����România de Mâine��8 � ��������2��

2�� ) ��� ���� ����� ��� ��� � ��� � �� ���� ��� �������� 9�� �� , ��� ���� România de Mâine��8 � �����������

3������� �;<�������������� ������� ��������9�� ��, ��� ����România de Mâine��8 � ��������:��

�������

Page 114: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���2

����������

Page 115: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

����

��������

����� ��� �����������

������������ ���� ������������ ���������� ������ �������������� ������������ �������� ���������� ���������������� �������������� ����������������� �����������

������ ��� ��� ���������� ������ �� ������� ��� ����� ��� �� ����� �� ��������� !��� ������������ ������ �� �������� ������� "�������� ��������� �� ��� �� ������� ���� ���������#�� ����� ����������������������� � $���������������������������%���������

&����� �������� ������ #�� ���������� ��� ������� ������� ��� ����� ���� !��� ������������������ �� �������� ��������

� ������������� ������������������ ����� ���������������������������'���������� ���� ������������ �������� ���

�()��!�����&������������������ ����&��)�����*���$�� ���������������� ������������

+�������"���� ����România de Mâine��,--.�������,/-',0�1��

������������ ��� �� �� ������������������ ���������� �� �� �� �������� ����������������������� �� ��������������������� �� ����������������������� ����� �� ���� ��������������� ���� � �� ��� ��� ��������� ���� ������ �� � ��� ��� �� ������ ������ ��������limitate sau amânate; ���� ������������������ �������������������� ��� �������� ����������� ���� � ��� ������������ ������ ����� � ��� ������������ ���� ������ ��� ��������������� � ���� ����������������� �������������������� ���� ��������

Page 116: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���2

������������������������������������������������������

Page 117: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ��.

��

������������� �������

����������������������������������

���������

�������)������ ��������,��3��� ������ �� ������ ������� ������#�� ���������4����� ���������� ������#�� ����

��������4����"�� ���������� ����������������4�,����������������������#�� ��������������� �������#������������������������������

11.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����

�������������� �����În� ��������� ��� #�� ���� ��� ��� ������� � �� ������� ����� ���

������ ���� ����������• "�� ��� ������� ��� ��� ��� ��� �������� ������ ������ �� ���

��� ���������� �����������• ������ �������������� ����������������� ���������

���

����,����� ������� ���� ����� �������� �����!�� � ��� �������� � ������ ���� �� ��� #�� ����� ��������� ��� ���

������� ��������� ��� ������������ ����������� ���� ���������� � � ������������������������� � ����������� ��� ��������������� ����� ������� ��������� ��

���� ��!��!������� �� �,�������

Page 118: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���/

���4����� ��������� �������� ����

5� ������ ��� �������� ��������� � ����������� ����� ���������� ����� ������������������� ���������� � � ������������� ���������$������������������� ���� ������������ ��������� ���

!�� � ������� ���� ������ ���� (����������� ���� �� �������1� ���� ��������� ������������������������� ��������������

������� ��� ��� ���������� ���� ����� ��� ����� ���� ��� #� 6��������������� ��� � ��� � � � ������"������!� (������� ���� ���� ����� ���� ����� ��� ���������� ���� ����� ������� ��� ������� �1 �� ���"����!�(������� � ���� ������� ���� ���� � �� ��� �� �� � ��� ����� ������� �������� ���������������� ����������������1��

����������������������� ���� ��������������������������������#�� ���� ��������� �� ������ �� ������ 7����� � (������ � ���������� �� ���������� ���1�� � ���� � � (������ � � � ����������� ���� ���� #��������� ���������������� ����� ���� ��� ��� #�� �������1� �� ��6�� � (������ �� 6��������������� ������������������1���

+ 6������������ ��� ������ ��� ���������� ����� ��� � ��� ������� ��������� ����� ������

������ ���� ���������������!����

���������� � �� ���������� �� ����� ����� � ���� �� ������ ������ ��������� �����������!� ��������������� ��� ������������� ������

�����!������� ����!���! �������!������� ��1

n

kk

P P=

= ∑ ��

��

�#�$�� ���%��&�� ��

���4����'��� ���(�� ������

"�� ����������� �� ���� ���������������������������������)�8����������� ����������� ����� ������ �� � ������� �� �� ������ �$��������%������������ ������ ���� ���*'au întocmit tabele de mortalitate ����$��� � ����%����������'������������� ������--�---������ � � ���� ����������������� �������� �������������������� ���

�*��(�(�!����������� �+����� �����

��� ����• ( ), 1xp p x x= + �������������� ����������� � #���$��� ������

����� �����#����� ����9������• ( ), 1xq q x x= + ��������������� ����������� �#���$��� ������

����� �����������#����� ����9������• ( ),p x y ��������������� ����������� �#���$��� ����������� �����

#����� ���"�����

Page 119: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ��0

• ( ),q x y ��������������� ����������� �#���$��� ����������� ����

�������#����� ���"���������

1x xp q+ = �� (�1�

( ) ( ), , 1p x y q x y+ = �� (,1�"��������$��� ����������� �#������� ��"����� ��

( ) ( ) ( ), , ,p x y p x z p z y= �� (41���

'��� �������������� ������

"���������� �������� ���������������#���$��� �����������5���,��� ��� ��� �������� ����� �� ��� ����� ��� ��������� ���� � ��� �� ��������� �� �7���� � � #������ � �� ����� ��$��� #�� ������� ����������� �� ��� � #�� � ��� �� ���� ���� ��� � ��� �� ����� � �#������ �� ��� �������������������������� ���������������� �

:x x n xn

xX

C p q −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� { }0,1,...,x n∈ �:� 1p q+ = ��� ( ),p p a x= � (;1�

�-(����� ���

�1� ( ),p p a x= ��������������� ����������� �#���$��� ����������� �

����#����� ���������,1� an l= ��� ������������������� �� ���������41��� �������������������� ���7����� ��� ��� �������������

( ) xM X l= �(������������������� �������������#��$��������������

#1���$��� ���� �#�������� ���������������� ������

( ) ( ),xM X l np a x= = ������� a x y< < �

( ),yl np a y= �(�1�

<���� �����

( ), y

x

lp x y

l= ��

( ), x y

x

l lq x y

l

−= ��

(21�

���������

( ) 1, 1 xx

x

lp p x x

l+= + = ��

( ) 1, 1 x x xx

x x

l l dq q x x

l l+−= + = = ��

(.1�

������

1x x xd l l += − � ��������� � �� ��� ����� ��� ��������� ���� �� ��������������� ��� � ���������#������� ���9������

5�� ��( ),n xp p x x n= + � �������������� �� �� ������� � #�� �$��� � ��� ��

����� ������ ��� �������

Page 120: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

��,-

( ),n xq q x x n= + ��������������� ����������� �#���$��� ����������

� ��������� ��� �������( )/ ,m n xq q x m x n= + + � �������������� �� �� ������� � #�� �$��� �

���������� ��� ������#������9�� ���9������� ��� ����

x nn x

x

lp

l+= ��

x x nn x

x

l lq

l+−= ��

/x m x n

m n xx

l lq

l+ +−= ��

(/1�

�&�� �� �����

�<����������������� ��������������� ��������� '������� ��� �

�� ������� � #�� �$��� � ��� �� ���� ��� ��� ��� ��� �� ����� (��1���������� ��������������������� �������

1/ 2 / 1

1/ 2 1 1/ 2 ... 1/ 2:

...x x n n x

nX

q q q+

+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���:� ( )xe M X= �� (01�

�����

��� 112

x

x nn

xx

l

el

ω−

+== +

∑�

(�-1�

�����4�,�����"�������������� �������.������������� ������

la împlinirea term���!���������"�������

3� ������� � � #�� �$��� � ��� �� ���� ����� ���� � �� ���������� #��������� ��� ����� ���� �� ��� ��� � ���� �� � ����� #�� ��� �� ������ �� ������������� � n xE ����������������������������������������� �������

0:

n

n x n x

vX

p q

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��� (��1�

����������� �������� ����������

( ) x nn nnn x x

x

lE M X v p v

l+= = = �

���� n xE ��� �������� �����������������

5�� xx xD v l= � �� �� ��� ���� ���� �� ��� � �� ��� #�� ������

actuariale pentru toate vârstele ����� ����������������� ���

x nn x

x

DE

D+= � (�,1�

!� ������������� ������$���������� ��������

x nn x

x

DP S E S

D+= = � (�41�

���

Page 121: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� �,�

���;��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

�)������������������� ���� ������������� �#���$��� ����;-�������������� ���� ���� �#����������� ���� ����� ��������������������������� #� ����#�� �������������� ����� �� #���������$������������������������-�---�---����=�( 40 5512055, 5802,3D D= = 1�

*/)))��

%��������&�

%��� x n

x

DP S

D+= 0��( ��� �

55

40

5.802,310.000.000 10.000.000 481318912.055

DP

D= = = �

1)�>������ � ( ) 1x

l xω

= − �� 0 x ω< < ������ ����

�1� t xx t

px

ωω− −=

−:��1 t x

x tp

x

ωω− −=

+:� 1� t x

x tp

x

ωω− +=

−:��1������ �������

& ������ ��� ����1��

%�������� �

( )( )t x

l x tp

l x

+= � �� ( ) 1

xl x

ω= − ������ ���

1

1t x

x tx t

px x

ωωω

ω

+− − −= =−−

�����������������������

Page 122: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

��,,

�����������!����2������!������

��������������������������� ����������� �#���$��� ����;-������ �����#����� ��������������=�( 40 5584855, 77603l l= = 1�

15 40p = �����

,��>������ � ( ) 1x

l xω

= − �� 0 x ω< < ������ ���

�1� t xqx

ωω

=−

:��1 t xx

qxω

=+

:� 1� t xt

qxω

=−

:��1������ �������

4��������� ��� ( ) 1, 1 x x xx

x x

l l dq q x x

l l++= + = = �

�;���*����� �� ���������������������$����� n xE ��

�1 x nn x

x

lE

l+= :��1� x n n

n xx

lE v

l+= :� 1� x n x

n xx

lE v

l+= �

����5� ������ ���� ���(����� �#��������������������1�������

�1� xx xD u l= :��1� x

x xD v l= :� 1� ( )1x

x xD v l= + :��1����� �������

���������

����(!��"��,����(!�"��������

��� !���� )��� ���������� &��� �� ������� )����&��� �$�� � *������������� ���� � ����������� +�������"���� ����România de Mâine���� ��� ����,--2��

,�� !���� )��� ���������� &��� �� ��� ���� )���� &��� '�������� ��� ���������� ��������� +�������"���� ����România de Mâine���� ��� ����,--���

4���� �������������������������������������� (���� ���+�������"���� ����%��ânia de Mâine���� ��� ����,--;��

;�� !���� )��� '�������� ��� ����)� � ���� � ����������� +������� "���� ���� România de Mâine���� ��� �����000��

���3���� ��?6����������������� ������������+�������"���� ����România de Mâine���� ��� �����002��

Page 123: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

��

������������� ���� ��

����������������������������� �����

���������

����������� �������������������������������� ���� �� ��������� �������������� �� �� �� ��������� ���

���������� � ��������������������� � ��������������������������������������� � �������������������������������������� � ������������������������������ � ����������������

12.4. Îndrumar pentru verificare/autoverificare����

����������������������� ������������ ���������� ��� � � �������� � ��!��• ������� ��� ���� ��� ����� !� �� �� ��� ������� ���

�� � �����������

• "�� ����� ��������� ��������� ����� � ����� #���$���������������

• Calculul factorilor de actualizare în contractele de asigurare ����� ������� �������%���������������&��������

���

��������� � ���� ������ ���� � ������ �����" � � ��� ����� ������� �� �� ��� ��� ��'� � ��� �� ��� %��

��������� �� �������������%��������%�� ������������� � ���������(��������'����������'��������������������������)��

��

����������� !������� ��"��������

Page 124: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���*

��������� �������� � ������ ����

������������� �����#�����

��������������� �������� ������ ������������

+��� � � ������ �� ����� ��� � ��� �� ��� �� � � ��� �������� � ��� ��� � ��� �� ���� ��%��� ����� � � � ������� � ��� �%��� ��%��� ����������� ���(�� ����)��� ���� ���,� ������� �� � �&� �

1xx

x

Na

D+= � (�)�

�����x

x xD v l= �� � ������� � ���(����%� ��������������������)�

1 ...x x xN D D D+ ω= + + + � � � ���� ��� � ��� (ω ����� ���� �

��������������� ��)'� ( )100 aniω = �

���������������� ������������� ���

,� ���&������ ��� ������ ����� � ������������ ������� ������������������� ������ �������� � ����%��������� ��������� ��câte 1 u.m (�� ���)����� ����� ��'��������� ��%��� ������ �

a xx

x

ND

= �

����� ��� �a 1x xa= + � (�)�

"�� �� ������� � ������� ���'�������� � ��� ����%�!�P= a xS � (�)�

���������������� ������������������������

������� ���������������

,�� ��!�• / n xa –� ����� �� � ��� � ��� ���� �� ��� � � �� �� ���� �

���� � ���������� ������ �������� � �'���� ��������� ���'�����%��� ��%��� ����'��������������(�����)-�

• / an x –�������� � ��� ���������� ���� ����� ���� ����� $� �� ��� ����� �� ���� ��� ����� � �'� ��� � �� ����� � ���'� �������� ��%��� ����'��������������(�����)-�

• /n xa –� ����� �� � ��� � ��� ���� �� ��� � � �� �� ���� �asiguratul î������� ������ �������� � �'���� ��������� ���'�����%��� ��%��� ����'�� � ������������ ����� ���(����� )-�

• / an x –� ����� �� � ��� � ��� ���� �� ��� � � �� �� ���� ����� � �� �������� �� ���� ��� ����� � �'� ��� � �� ����� � ���'�� � ������'��������� ��%��� ����'����� ����� ���(����� )��

Page 125: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ��.

������ �

/ /x n x n xa a a= + � (*)����

/ /a a ax n x n x= + �� (.)���� ������

1 1/

x x nn x

x

N Na

D+ + +−= '� (/)�

���

1/

x nn x

x

Na

D+ += �� (0)�

1������

/ a x x nn x

x

N ND

+−= � (2)�

���

/ ax n

n xx

ND

+= �� (3)�

�"�� �� ������� � ���������� ���'�� ��������������� �����

���%��� / n xa ��� / an x ��� /n xa '���������� / an x ���

�����

���*��Îndrumar pentru verificare/autoverificare�����4���� ��� ���� �� ����� � ������������ � ������ ������ ���� ��%��� ����� � � �������� � ���

�%��� ��%��� ����������� ����� ���� ��'����%���

�)� 1xx

x

Na

D+= -��)� x

xx

Na

D= -��)� 1x

xx

Da

N+= -��)���� �� ����

5 �� �������!��)�+� ����� ���(�)��������������������� � ��� ���������� ���� ���������� ��������� ������� ����/6��������

���� ������� �� ������� ����� � �� �� � ��� /666� ���� �������� � � ������ ��� �'.78� 1�� � ������ � �

60 808530,71N = ���� 60 69382,81D = ��

�)� P= a xS 9 69918,6x

x

NS

D= -��)� P= a xS 9 514x

x

DS

N= -��)���� �� ����

��

Page 126: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���/

�5 �� �������!��)�+� ����� ���(�)��

��������������������

������������������$��� ����������

������������������ ���������������� ������� ����*6������� ���� ����� ���� ��������� ������ �������� � ��������� ������ �������'�������666�666� �������%��� ���%��� �����8�

�49�������1 ����������������� ��� ���������� ���� ����� ���� ��������� ������� ����/6�������'����

����� ������� ������� ��'���� ��������������%��� ��%��� ����'���� �������������������������0.�������'�� ������.666���� ���'������ ��%��������.78�

49�������1 ����������������� ��� ���������� ���� ����� ���� ��������� ������� ����/6�������'����

����� ������� ������� ��'���� ������������������ ��%��� ����'���� �����������������������0.�������'�� ������.666���� ���'������ ��%��������.78�

49����*��1 ����������������� ��� ���������� ���� ����� ���� ��������� ������� ����.6�������'����

����� �� ����� ��� ���� ��'� � � � ���������� ������ ��� /6� ��� ���'� �� �� �� ��� ��'� ��� �%��� ��%��� ����'�� ������.666���� ���'������ ��%��������.78�

������������

Page 127: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ��0

�%�&�� #��'��� &��#�� ������

��� " ��� ��'� :����%�� 5�'� ;��� ���'� �����5�'� ;� � 1�'���������� ������ ����������'� <�� ��# ��� ����România de Mâine'�; � ���'��66/��

��� " ��� ��'� :����%�� 5�'� ;��� � ��'� ����� 5�'� ��������� ��� ��������� ���������'� <�� ��# ��� ����România de Mâine'�; � ���'��66.��

���;��� ���'���������� ��������������������� ���� �'�<�� ��# ��� ����România de Mâine'�; � ���'��66*��

*�� " ��� ��'� ��������� ��� ���� � ������ ����������'� <�� �� # ��� ���� România de Mâine'�; � ���'��333��

.������� �=>�'���������� ����������������'�<�� ��# ��� ����România de Mâine'�; � ���'��33/��

���

Page 128: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

��

������������� ���� ��

����������������� �����

���������

���������� ��������������������������������� ������ ��� ���� �������������� ������� ��� ���� ����

����������������������� ��������������� ��� ����� ��� �����������������������

13.4. Îndrumar pentru����������� ������������������

��������������������!������� ���� �������"��"� ��� ���� �������� ���#��• ��������������� �

• ���� ��� ����� ��� ������������������������

���

��������� � ���� ������ ���� � ������ �����$�� �������%��������"����� �� ���� ���&�"� ������������������" �

�������� ��������� ��� �'���� ��� �� ��������� ���������� ��� ������ � ��������������� ��

��

�������������������� ������������

Page 129: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ��(

��������� �������� � ������ ����

���������� �������������� ��

)������� �� �"�%������ �� ��� �� �� �"�%���� ��*�� �� "�� ���� ����� ��+� ����%� ����� ���"���� �� ���� ��"�����&� "�����"��� ��� � ����� ����� ���������� �� ��� �"�� � ����������� �%�,�������� �������� ���� �"�%���������Totalul acestor surplusuri anuale, î� ����� ���� ��� ��� �������� �����������&�������� ��������� ��������������� �"��������� ��

-���������� �������� ����#�´D �������"�� ���� ���"�%�����.� �´́D �������"�%�������.� �´0D � �������"�� ���� ���"�%��������������������.� �´́0D �������"�%����������������������.�´tD �������"�� ���� ���"�%����������������.�´́tD �������"�%��������������������

)������ �����"����� &���������������� ����������� ������������#�

´ ´́t t tR D D= − �� /�0�

)������ �� ����"����� &� ��������������� � ���������� �� ���� ��������

1 2/ 0 / 0

0

t tt

t

D DR

E−= �� /�0�

� ��������´

/ 0t D �–�"������������������������" ������ ��"� ��"�� ��� ���"�%�������+ �������������

´́/ 0t D � –� "������ ��� ����� ��� ��� ���� " � ��� �� ��"� � �"�%������ �+ � ���

���������3����� ��������� �� � ( ) ( )1 2⇔ ��

�'���"��� /�0� ����� ����� ����"�� �'���� ��� �� ��� ��� �� "��� ��� �"� ��� ���� �"�%�� ���� ����� �������� ��� �� �"�%������ �� ������ )�����'�����������&��������"������ ������"�� ����+�" � ��������������� ����"�%������ ����� ������ ��������� � ��#�

• ��4� �����&�������&��������%�������� ������.�

• �� � � ani, deci începând cu anul (x+n+1), asiguratul va primi ����&���"�����&�����"������ ���"���&������� �"�� #�

( )1 , daca

, daca t n

x x t x n

x x n xxx

x t x t

x

N N Nt n

N N DDR t S

D ND

+ + +

+

+ +

−⎧ ⋅ <⎪ −⎪= ⋅ ⋅ ⎨⎪ ≥⎪⎩

�� /�0�

���

Page 130: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���5

������������� ��� � � � ��� � �� ������ ��� ��

6�������� ����������"������#����$�� ��"�%���������������������� ���������"�� ��� ���"�%������

��� �� �� ( )tα ����&� ���� �� � ���"�� �"�� �� ��� � �� ��������� �� ����

( ),t t dt+ �"�� ��� ���"�%�������������� �� ( )t dtβ �������

2. În intervalul de timp ( ),t t dt+ �"�%����������� �������� ( )P t dt ������

� � 7"���&� ��+ � ���� ���� ����� �� ����"������&� �"�%������ ����� �� ������"���� �� ( ) ( )P t t dt⎡ ⎤− β⎣ ⎦ ��

8� �� �� ( )xR t �������� ������� � ����"��� ����� ��������� ��

�����, pentru asiguratul care a încheiat asigurarea la vârsta �������"�� ��� ���"�%������ ���"��� � �� ��������� �� ���� ( ),t t dt+ � "����

�� ( ) ( )xR t P t dt+ �����������������" �"��"��� ���� ������#�

• ����%� ��� ����� � ( ) ( )x t t dtμ + α ����������� ����"�%�������&�

• ����%� ��� ( )xR t dt+ &�� �� ���������������������������������� �

�����������&� �� ��"�%�������"������� ����������� ����� t dt+ &�

( )( )1

xR t dt

t

++ δ

��/� �� ( )tδ �������"����� �� ��+ 0�

Având în vedere cele de mai sus, putem scrie:�

( ) [ ]( )( )

1 ( )( ) ( ) ( )

1x x

xx t dt R dR

R t P t dt x t t dtt dt

+ μ + ++ = μ + α +

+ δ&� �

� � am dezvoltat în membrul drept ( )xR t dt+ în serie Taylor.�

�����+ � ���������� % "��� ���� ��� ����� ��� � ����� � �� ����� �� ���������� � ����������������� &���� ����� ���94����#�

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xx

dRt x t R P t x t t

dx⎡ ⎤= δ + μ + + − μ + α⎣ ⎦ &� /:0�

�������"��� ���

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0

0

t ttu x u du u x u du

xR e e P u x u u du⎡ ⎤ ⎡ ⎤δ +μ + δ +μ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − μ + α⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫∫ �� /;0�

$�� � ( )0 0 0xt R S= ⇒ = = �������"������+� ����� ��"���

( ) ( )0

__t

u x u du

xt E e⎡ ⎤− δ +μ +⎣ ⎦

=∫

�����#�

( ) ( ) ( ) ( )___

___0

1t

x u x

t x

R t E P u x u u du

E

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − μ + α⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ &� /<0�

������������ � ���� �������"����� ����������������������$�� � ( )0 0 0xt R= ⇒ = % "���

( ) ( ) ( ) ( )___

___0

1x u x

t x

R t E P u x u u du

E

∞⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤= − μ + α⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ �� /=0�

������������ � ���� ������"����� ����������������������

Page 131: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

���:��Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

���)������ ������"����� &���������������� ����������� ��������������

�0�1 2

/ 0 / 0

0

t tt

t

D DR

E+= .�

�01 2

/ 0 / 0

0

t tt

t

D DR

E−= .�

�0�1 2

/ 0 / 0

0

t tt

t

D DR

E− −= .�

0����� "��"�� "��"������#��0����� �-����/�0������ 6��� �� ���"�� � �� �;� �� ��� ����� �������� � �� �"�%������ �� ��� � ��� ��4� � ������� ����

anuale timp de 35 de ani astfel î�+&�����+ ��������<�� ����� &�" �������"� �����&���"�����&�����"��� ��� ��&� "���� �� � �55555� ����&� �������� ����� ��� � �� �� >� ;?@� ��� �������� ���� ��������������� � �� ��5� ����@�

�0� ( )25 20 291856,02R = �

�0��� ������ �� "��"������#��0����� �-����/�0������)������ �����"����� &���������������� ����������� ������������#��0� ´ ´́

t t tR D D= − .�

�0� ´ ´́t t tR D D= + .�

�0� ´ ´́t t tR D D= − − .�

0����� "��"��� "��"������#��0����� �-����/�0�

������������

Page 132: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

������������������!��������������

�� 6��� �� ���"�� � �� �;� �� ��� ����� �������� � �� �"�%������ �� ��� � ��� ��4� � ������� �������������� ���;� ������"������+&�����+ ��������<�� ����� &�" �������"� �����&���"�����&�����"��� ��� ��&� "���� �� � �55555� ����&� �������� ����� ��� � �� �� >� ;?@� ��� �������� ���� ��������������� � �� �:5� ����@�

�0� ( )25 40 931695,61R = �

�0��� ������ �"�� 6��� �� ���"�� � �� �;� �� ��� ����� �������� � �� �"�%������ �� ��� � ��� ��4� � ������� ����

���������� ���;� ������"������+&�����+ ��������<�� ����� �" �������"� �����&���"�����&�����"��� ��� ��� "���� �� � �55555� ����&� �������� ����� ��� � �� �� >� ;?@� ��� �������� ���� ��������������� � �� ��;� ����@�

�0� ( )25 35 1555488,38R = �

�0��� ������ ��

��������

�#�$���%��&����$��%���������

��� $� �� ��&� 9�� ����� ��&� A����� 7�&� ���� ��&� A+�� � 3�&��� ���� � ����� �������&� � �����6� � ����România de Mâine&�A�������&��55<��

��� $� �� ��&� 9�� ����� ��&� A����� 7�&� ���� ��&� �� � �� � � � �� ���� ������ &� � �����6� � ����România de Mâine&�A�������&��55;��

���A�����7�&��� �������� ���� ����� ��� ��� &�� �����6� � ����România de Mâine&�A�������&��55:��

:�� $� �� ��&� �� � �� � � � �� �� � � ����� �������&� � ����� 6� � ���� România de Mâine&�A�������&��(((��

;������"���B4�&��� ����� ����� �������&�� �����6� � ����România de Mâine&�A�������&��((<��

���

Page 133: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

��

������������� ���� ��

�� �������������� �����������

���������

����������� �������������������������������� ���� �� ��������� �������������� �� �� �� ��������� ���

�������� ���� ������������������������� ������������������������� �������

������� Îndrumar pentru verificare/autoverificare����

�������������������� �� ������������ ���������� ���! � � �������� � ��"��• #� ���������$�� �������%�� ��������������

• ���� ����������������&��� �� ����� �����������

• ���� ������������

��������� � ���� ������ ���� � ������ �����

' � � ��� ����� ������� �� �� ��� ��� ��(� � ��� �� ��� $���������� � � �!����� �������� ��� ��������� �� ������ ��� ������ ����� �����������(����� ������������������ ��������

��

������� �� !"������� ��#��������

Page 134: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

��������� �������� � ������ ����

�����������$������������������

)������� �� ���� ���� �� � ���� ������� � ����� �*� � �� �������� ������������� �������� �������� ����� ���������������

+������ ���������������� ���� ����������������� ��� ���������� ���� ����� ���� � ������ ������ ���� ����� ������ ���������������� ������� ������� ����������������� ��� �� ����S � �� ����������#����������� ��� �� ��������� ����� �� xP ����

����������� � xP ������"�

x

xxx D

NSaSP =⋅= (�

x

xxx D

NSaSP 1+=⋅= ��

'�� � ���� � �� ������ �� ������� � �� � ��� 12S � ���(� ����� ��� ����$��

( ) ( )12 1212 12

1112 12

24x

x xx

NP S a S

D

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠(�

( ) ( )12 12 112 12

1112 12

24x

x xx

NP S a S

D+⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ = ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

��

Notând cu ( )12n xP ���������� ���������� �� ������� n ����� ���

�$*�� �� $��� ��� � ��� ��� � � 12S � ��������� � ���� ������� ��� ����

���! �� ����������� �� � � n ����(��� �������� ��"�

( ) ( )( )

( )

1212 12

12 1212 12 n x

n x n x

n x

aP a S

a⋅ ⋅ = ⋅ (�

��� ����

( )

( ) ( )12 1

121 1

24 11

24 11x n x n

n xx x n x x n

N DP S

N N D D+ + +

+ + + +

+=− + −

�� ,�-�

������������$����������"���

+�� ���� ���� ��� ������ �� ��� � � ��� �������� � ��� ��� ���� ���! � � � �� �� ���� � �� �������� ��� �*� � ��� x � ���(� ��� � ��� ��������� ��� ����� ������������������ ��� � ��� ���� � ����������� �� ���� ������ �$��� ���������� ��������� ����

#���� ��� ���� ����� ����������������������� ���������� ���! � � � �� �� ���� � ���� � �� ����������� ��� ���� ��(� �������� �� ����� ��� ���� ��(� �� �� � ��� � ���� ���� . ��� ������� �� ��� �� �� ����������� ������� ��� ����� �� ����� � �� ���� ������ � ����� � ��

Page 135: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ��/

0��� xM � �������� ������ �� �� � �� � �� �� � �� �� ��� ����

����� � �� ���� �������� ��� �*� � ��� x � ���(� ���� � �������� �������� �� ������� ���������������������������������������������"�

1 1 11

2 2 2

1 1 2 1:

n

x x x x x n x n

x x x

v v vX

l l l l l l

l l l

+ +

+ + + + + +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� �

� ��

� �

( )

( )

1 1100 1001 12 2

0 0

1

21001

0

xx xn nx n x n x n x n

x xn nx x

x nx

x n x n

xn x

l l l l vA M X v v

l l v

l l v

l v

− −+ ++ + + + + +

= =

+ +−

+ + +

=

− −= = = ⋅ =

−=

∑ ∑

∑�

.�� ��� ���� ��� � ���� ��� ��� � ��� ( )12

1

x

x x xC l l v+

+= − ��

� ���� 1 100...x x xM C C C+= + + + ����

xx

x

MA

D= �� ,�-�

'�� ����������������� ��� ���! �� ��� ���� ��������� ������� � ��� ������ S � �� ��������(�� ��������� ��� ����$��

xx

x

MP S A S

D= ⋅ = �� ,�-�

��� ��� � ������� � ����� ��������

'�� ����� ����������������$������� �������������������� n �începând de la data încheierii contractului de asigurare, atunci ���������� �� ��� ���� ������������� �������� � � ������*� ����x � ���(� ��� ���1������ ���� ��(� �*��� ����� �� �� � ����� ��� ��� � �����������(����"�

1 1...x x x n x x nn x

x x

C C C M MA

D D+ + − ++ + + −

= = �� ,�-�

�'�� ����� ����� ���������������� �$ �� ����!�(����� � ������(�

���� � �� ���� ��� ��� ������ ��*�� (� � ��� ��� �� ���� � ���� ��� ����� � ���������! �� � ������������������������1���������� ����

)��������� �� ��� ���� ������������� ������� ����� � ������*� ���� x � ���� ������������ ��� ���� ��������� � ���������termenului de amânare de ���������"�

100|

...x r x rr x

x x

C C MA

D D+ ++ += = �� ,/-�

� ��� ���� ���� ��� ������ ��� �� � ��� �� xA � ��� ���� ���� ���

������������������*�������� ���� ��"�

|x n x n xA A A= + ��

��

Page 136: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���2

�����������$�� �����%����

������ ���� �(� ���!��� �������� ������(� ��� � �� ��� ������������ ���� ���� ���� � ��� ��� ����� $��� ��� �� ���� ��� ��� ������ ������ ������ �����������

'�� �� ������� ���������� n ani, întreprinderea de asigurare �� ���� ���� � � �(� ��� � ���� ��� ��� � ��� �������� ���� �� ����(�� ������� � (������� ���������������������� ������(��� ���(������������� � �(� �������$��� �����������(�� ������� � ��

#�� � ������(� �������� �� �� � ��� ��������� ���� ��� �������������� �*������������ �������������� ����� �������������������� ����� �����������(�� ���"�

x n x x nn x n x

x x

D M MP E A

D D+ +−

= + = + ��

'�� �� ������� � ����� S � ��(�� ��������� ��� ����"�

x x n x n

x

M M DP S

D+ +− +

= ⋅ �� ,2-��

��

������Îndrumar pentru verificare/autoverificare��

������������������ ���������������� �����*� ����/3������� ���� ����� ���� ��������� ������ ��� ����� � �� ��� ���� ��(� ��� � ��� ��� ����� �� ����� � �� ������ � �� � � ������� ��3�333�333� ���4�, 50 2.416M = 50 7070,2D = -�#5����

6 �� ��������#5����7��23������ �0����������� ���,�-������ �����

50

5010.000.000 3.417.160

MP

D= = ����

������������������ ���������������� �����*� ����/3������� ���� ����� ���� ��������� ������ ��� ����� � �� ��� ���� ��(� ��� � ��� ��� ����� �� ����� � �� ������ � �� � � ������� ��3�333�333� ���(� ��� � ����� �� ��� ���� �*� � ��� ���������� �*���� ��� 23� ���4� , 50 2.416M = (�

60 1.863M = (� 50 7070,2D = -�#5����6 �� ��������#578���23������ �0����������� ���,�-������ �����

50 60

5010.000.000 782.160

M MP

D−= = ����

������������������ � ��� ���������������� � ����*� ����/3����� �� ��� � ����� ���� � �������� ������ �������� � ��������� ��(���� ���������������� ����3�333�333� ���(����� ���e în ��� ���������������*�������23���������� � ������� ����� ������ ���������� � ������������*�������23����4�, 50 2.416M = 9 60 1.863M = 9 50 7070,2D = 9 60 3.885,7D = �-�

Page 137: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ��7

#5����6 �� ��������#52��78�3�3����� �0����������� ���,2-������ �����

50 60 60

5010.000.000 6.278.040

M M DP

D− += = � ����

�����������������

������������� ����&���!��� ������

���. ���������������������� �� ��� �������� ��������� ��������� ���� �� ������������������ ��� ����������������*� ����������,��� � ����� ����������� �� ��$�������� ������� � ���� � �-"�

�- ( )1/ 2 1x xA v ia= − 9� ���� xa ������� ����� � �� � � ��������(� a x � ������� ����� � �� � �

���������- ( )1/ 2 1x xA u ia= − + 9�

�- ( )1/ 2 1 ax xA v i= − ��

����.����� ����� �������� ������������ � ��� ,x xC D , ���� ( ) 1/ 2

1x

x x xC l l v ++= − ( x

x xD l v= -�

�-� ( ) ( )1/ 211x x xC i vD D+= + − 9�

�-� ( ) ( )1/ 211x x xC i vD D += + − 9��

�-� ( ) ( )1/ 211x x xC i D D+= + − ��

����.����� ����� �������� ������������ � ��� ,x xM N �

�-� ( ) ( )1/ 211x x xM i vN N += + − 9�

�-� ( ) ( )1/ 211x x xM i N N += + − 9��

�-� ( ) ( )1/ 211x x xM i vN N

−+= + + ��

Page 138: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���8

��� / n xA � ����� �� � ��� � ��� ���� �� �� ���� �� ������ � ��� �*� � ��� �� ���(� ��� ������������� � �(���� ���� ������� �������� ��� ����������! �������������� ��� ���� ������ � ������� �

/�� /n xA � ����� �� � ��� � ��� ���� �� �� ���� �� ������ � ��� �*� � ��� �� ���(� ��� ������������� � �(���� ���� ������� �������� �� ����������! �������������� ��� ���� ������*� �����������

�2��0��������� ������ (����� ���� ��������� �����*� �������������������� �����������(�� ����

�������� ����,�������������-(������� ��������! ��*� ���������(� �������������� ����#������ ������������ �������� � �����"��

�-� /x n x x n

n x n xx x

D M MP E A

D D+ +−= − = − 9�

�-� /x x x n

n x n xx n x n

D M MP E A

D D+

+ +

−= + = + 9�

�-� /x n x x n

n x n xx x

D M MP E A

D D+ +−= + = + 9�

�-���� �� �����7��: � �������� � �� xyD introdus în cazul ���� �������������� ���� �������(���� �

��� ������������"��-� x y

xy x yD l l v += �

�-� ( )1 2x yxy x yD l l v + += �

�-� ( ) 2x yxy x yD l l v += �

�-���� �� ����

��������

�'�( �!$��)���!( �$��!������

��� ' ��� ��(� %����$�� 6�(� ;��� ���(� �����6�(� ;*! � .�(�� �� ��� ������ �������(� <�� ��0 ��� ����România de Mâine(�; � ���(��332��

��� ' ��� ��(� %����$�� 6�(� ;��� � ��(� ����� 6�(� ������ �� � �� ��� ������(� <�� ��0 ��� ����România de Mâine(�; � ���(��33/��

���;��� ���(�� �� ��� ��� ������������� �� � (�<�� ��0 ��� ����România de Mâine(�; � ���(��33���

��� ' ��� ��(� ������ �� ���� � ������ �������(� <�� �� 0 ��� ���� România de Mâine(�; � ���(��===��

/������� �>1�(�� �� ����������������(�<�� ��0 ��� ����România de Mâine(�; � ���(��==2��

Page 139: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

��

� ����������������� ������������������������

��������������� �������������������������� ����� ( ) ( ) ( | )P A B P B P A B∩ = ⋅ ������������ �

( ) 0,2 1( ) 0,5

( | ) 0,4 2

P A BP B

P A B

∩= = = = ��

� � �� ��

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0,2 0,25 0 0,45.

C C

C

P A P A P A B B P A B A B

P A B P A B P A B A B

= ∩ Ω = ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ =

= ∩ + ∩ − ∩ ∩ ∩ = + − =���������

������������������ ������������������������������������������� ��������������������������������������������������������� ������!���������������"�������������������������������� �������

���� �� ���� �# � $�%�&#� ξ ���&�&����� ���������%���&#� �#�$ �������%�& &&�����&��&������ ξ �

�����%��& &��&# $&� �����$�%� ��&�&������'#��( ��)��� &��� � � &#�$� ��&� ��� �3

4p = �����&�

1

4q = ��

( ) 150M ξ = ��� ( )2 37,5D ξ = ��*��%�&� �&#�+�&������&�,��-.����.&���� � &#���

( ) ( ) 37,5100 120 100 10 1 0,625

100P P< ξ < = ξ − < ≥ − = ��

Page 140: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���"

������ �� ��*��%�&� ���/�$���&�0 &�� #�����$��

( )

( ) ( ) ( )( )( )

3

3 2 23

1 1 2 2 3 3

16 11 18 6 22 18 1 2 3

n n nz z z zn n n n n n

z n z n n z n n nn

− − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤= + − + − + + − − − ⎦⎣

ϕ�

�� ���$�#����&�����&#�% �&# $��� ( )3 zϕ ���1&�( )( )( )

0,3 3

1 2 3n n nP

n

− − −= ��

��� , �1&�&�#������&� 3z ��&#� ( )3 zϕ ������ 3,3 3

6P

n= ��

��� 0,31P P= − ��

����� �� �����$���$ � �����&% ������ 1A − #&�&��#����$�#��#�������'#�%# 2� 2A − �#����$�#�������

'#�%# ��0� ��&�&� &���� ��� ��1&� ( )1 0,5P A P= 2�� ( )2 1,5P A P= ��,�$�

( ) ( )( )( )( )( )5 0,1 0,9 0,05 0,95 0,2 0,8 0,15 0,85 0,09 0,91

0,530 0,264 ...

z z z z x z

z

ϕ = + + + + + == + +

����#��� ( )1 0,530P A = �� ( )2 0,364P A = ���

Notând cu A � ���#&$�#���� 3%����� �1������ � $�#�� %�#���� ���� ����� ����&#�4�� 1 �$���

%� ��&�&� &&�� ����#��� � ( ) 0,530 1 0,364 0,7 0,784P A = ⋅ + ⋅ = ��

����� �� ��*��%�&� ���/�$��&��&�#�����#&�������$�

�� ( )3 0 1 110 8 7 5

530

5;3,0,1,1C C C C

PC

= 2���� ( )1 2 2 010 8 7 5

530

5;1,2,2,0C C C C

PC

= ��

����������������� ����������� �� ���&��n �#�$ ����%� ��� ��.&� x �$��&��������� &������$��

( ) ( ) 1

1

nt tni xk i xn kitx k nx

k

t M e M e M e=

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ϕ = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑∏ ��

5 � $�t

un

= �����&� ( ) ( )1

niuxk

xk

u M e=

ϕ = ∏ ���������+��# �$� �.�&$�� � ( )2 2

2

umuiiuxkM e e

σ−= �����&�

( )2 2

2

n unmui

x u eσ−

ϕ = � ��� ( )2 2

2

tmti

nx t e

σ−ϕ = �� ������ ����� 1�#� &� ������&��&� � � �#�&� ��%��& &&� # �$���

2

,N mn

⎛ ⎞σ⎜ ⎟⎝ ⎠

�����&�1�#� &������%��& &��� ���%�#� � ��������# �$� ��

�����

Page 141: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

���� �� ��6 $���&�&��� ��$�� ��1�#� &�&�������&��&�������$��

( ) ( )1

tn i xkitx nx

k

t M e M e=

⎛ ⎞ϕ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ �

������# � &�t

un

= �� ( ) ( )1

nn uiux

xk

u M e e=

ϕ = =∑ ������#�������#&#������&�&�� t �� ( )t

ntn

x t e eϕ = = ���$�

� &#���1�#� &�������&��&� ����%��& &�&������������&� x ������ ���&�&� ���� �����%��&�� ������������������������� ����������� �%�#��� �����������������0�#����+�1����&#�1&+������������&�$�$��&���� #�)&�#&� ���&�������

0 1 0 0 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

1 0 0 0 1

0 0 1 0 0

C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

����� �%�#��� ����������������� 0�#���� +�1��� �&#� 1&+��� ����� ��� $��&��� � #�)&�#&� �� �&������ C � � �&� ��

�����$&# $�$��&������$��&� �� D �����, #����&$��&#&�1��$��&��&� D �% �#&#��������&#&�1��$��&��&� C ��7����� $�� � 112 =c �.&�

115 =c ������������$�#��� ��1&&#���+��������� ��

���#�&����# $�� ��#��&#&�1��&#�C �����&#&&��� 2 �.&�5 ����$��&�&&�C ��

( ) 11110:

00100

01100

10010

:

:

:

21

__________________________

5

2

1

l

l

l

l

7����� $�� � �&#&� (2)1l � �&1�� � ��� 1l � %�&#� ���$�#����� +�#����� %�� % �& &&��� ( )2

13 1c = � .&� ( ) 1214 =c ��

�����$���%�������&#��+ �&�$�.&���# $�� ��#��&#&� ( )21l �����&#&&���3 �.&� 4 ��&#�C ��

( )

( ) 11111:

10001

01000

10010

:

:

:

31

__________________________

4

3

21

l

l

l

l

7����� $�� ��(� � &#��� ��&#&������ ������$�#������+������1�����&���&#&�1��$��&�&&� D ���1&��( )1 :1 1 1 1 1

Dl �

���0�#�����&#&� 2 ��$��&��&� D � ����� $�� � 123 =c �� 124 =c ������������$�#��� ��1&&#���+������

��� �����# $�� ��#��&#&� 2 ��&#�C �����&#&&���3 �.&� 4 ��

Page 142: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

( ) 11101:

10001

01000

01100

:

:

:

22

__________________________

4

3

2

l

l

l

l

7����� $� � � �&#&� ( )22l � �&1�� � ��� �&#&� 2 � %�&#� ���$�#����� +�#����� ��� % �& &&���

(2)21 1c = � .&��

(2)25 1c = �����# $�� ��#� (2)

2l �����&#&&���1�.&�5 ��( )

( )

22

1

5

__________________________

32

: 1 0 1 1 1

: 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0:

: 1 1 1 1 1

l

l

l

l

�$� � &#���� ������$�#������+������1�����&� ( )2 :1 1 1 1 1

Dl �

*&$&���%�#�����&#&&�����������.&� � &#�$�$��&��� D �

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

11111

11111

11111

11111

11111

D �

����� �%�#��� �����������������8�1���G �����&���&����� �&��)&�� � i astfel încât 1=iid �9����)�$%��� 122 =d ���

����� �%�#��� ������������� �%�#��� ������������������

,�$�.�&$�� �+�1�������&���&����� $�1 � �&�$�� ��'#$�� &�&&���&#���:��&����� ( )1M �.&� ( )1M� �� ��1&��

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

0000

000

0000

000

000

35

5414

43

4232

5121

1

xx

xxxx

xx

xxxx

xxxx

M �

�������

Page 143: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

�����

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

0000

000

0000

000

000

~

3

51

4

43

52

1

x

xx

x

xx

xx

M �

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

0000

00

000

00

000

435

514354214

543143

542432142

421351

321

2

xxx

xxxxxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxx

xxx

M �

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

0000

0000

000

00

000

1435

3514

3214

51432143

5432

514235421432

54214351

4321

3

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxx

M �

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

0000

00000

00000

0300

000

21435

514325142

5432135421

4

xxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

M �

�;#�+�1�������)&�� ������$��&�/$&�� #&�#��� ��� �%�#��� ���������!��� �%�#��� ������"�������

Page 144: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

���������������� ���� ������ �%�#��� �����������������<�%������.&�����#���&���$�&����'#�����������$&�= ����

V � 1x � 2x � 3x � 4x � 5x � 6x �

1x � 0 � 5 � 8 � 18 � ∞ � ∞ �

2x � ∞ � 0 � 6 � 10 � 12 � 21 �

3x � ∞ � ∞ � 0 � 9 � 11� 23 �

4x � ∞ � ∞ � ∞ � 0 � 8 � 16 �

5x � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � 0 � 9 �

6x � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � ∞ � 0 �

� � � � � � �( )1im � ∞ � 21 � 23 � 16 � 9 � 0 �( )2im � 26 � 21 � 20 � 16 � 9 � 0 �( )3im � 26 � 21 � 20 � 16 � 9 � 0 �

>��� &&������ %������� �&�$� � &#��� ( ) ( )23ii mm = ��

�������������$&# $�������&�#�����$���&�$&#&$������ 1x ��� 6x ��

�� ���# $��&#&� ( )3im �����&#&�1���� ���$&#&$ ������ 26 ���������1&� ( )21 , xx �.&���� � &# �%��

� � #���&� 2x ��

�� ���# $��&#&� 3im �����&#&� 2 ���� ���$&#&$ ������ 21 �������� ���%�#� � ����1&� ( )62 , xx �.&�

��� � &#��%��� � #���&� 6x ��

���&�����$���$&#&$���1&� { }1 2 6: , ,d x x x ���

��������������6��&1&� $��� �1��)���&#& &��� #��&��&���#�1��)����&��&���&� � :ϕ Γ → ����'#��%�&#�.���� #�& &����

$ �+&#&��� � 1��)���&�� ���&� %�#���� �&��� ( ) Γ∈ji xx , � ��$� ( )0 ,i j ijx x p≤ ϕ ≤ �� { }6,...,2,1, ∈ji ��

7� &#�$��( )1 2 120 , 2 3x x p< ϕ = < = �� ( )1 3 130 , 5 8x x p< ϕ = < = �

( )1 4 140 , 2 7x x p< ϕ = < = �� ( )2 6 260 , 1 4x x p< ϕ = < = �

( )3 2 320 , 1 5x x p< ϕ = < = �� ( )3 4 340 , 2 5x x p< ϕ = < = �

( )3 5 350 , 2 6x x p< ϕ = < = �� ( )4 6 460 , 5 10x x p< ϕ = < = �

( )5 4 540 , 1 3x x p< ϕ = < = �� ( )5 6 560 , 3 5x x p< ϕ = < = ��

0�#����� #�& &����� #������� ( ) ix X∀ ∈ �

( )( )

( )( )

6 6

2 1

, ,

, ,k j j hk h

x x x xj jk h

x x x x= =

∈Γ ∈Γ

ϕ = ϕ∑ ∑ �

���$��

Page 145: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

Vârfuri� ���)�����&#�� �'#��-�1��� ix � Flux care iese în vârful ix �

2x � 3 � 3 �

3x � 5 � 5 �

4x � 5 � 5 �

6x � 4 � 4 ��

*�� ����� �� �.&�0� % �& &�����������&1&�� ���&� ��

( ) ( )4 5

1 62 2

, , 9i ji j

x x x x= =

ϕ = ϕ =∑ ∑ �

���&��1��)���&#& &������� 0 9ϕ = �������$���0����>>��&#��+ �&�$���� ��(���?��� #�

������&# &� 6x � � %����� 1&� $��� �� ���+�$� ���$��� { }65311 ,,,: xxxxd � %�#���� ����

{ } 235,26,58min =−−−=θ �.&� 1 9 2 11φ = + = �������� ( )5 6,x x ��(��������

�&+��������� ����&# &� 6x � � %����� 1&� $��� �� ���+�$� ���$��� { }6412 ,,: xxxd 2�

{ } 5510,27min =−−=θ 2� 2 11 5 16ϕ = + = ��������� ( )41 , xx �� ( )4 6,x x ��(��������

��&+������

Page 146: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

��� ����&# &� 6x ��%�����1&�$��� �����+�$����$��� { }6213 ,,: xxxd 2� { }min 3 2,4 1 1θ = − − = 2�

3 16 1 17ϕ = + = �������� ( )1 2,x x ��(��������

��&+������

��� ����&# &� 6x � � %����� 1&� $��� �� ���+�$� ���$��� { }62314 ,,,: xxxxd 2�

{ }min 8 7,5 1,4 2 1θ = − − − = 2� 4 17 1 18ϕ = + = �������� ( )31 , xx ��(��������

��

��&+���� �

�7����� $�� �����&# &�#���(�$&�%�����$�������&�1��)��������$)&$� 18ϕ = ��

���������

Page 147: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ��

���������������� ����!������� �%�#��� ���������

���������

0D=S it ��9���+&$����� �-#� ��&$%� ��

1 01 1 1D =S i t 2 01S 2.000= ��$�2 1 19% 0,09p i= ⇒ = 2���@����&���@36

360�#&�

2 02 2 2D =S i t 2 02S 5.000= ��$�2 2 210% 0,1p i= ⇒ = 2���@����#&�@3

12�#&�

3 03 3 3D =S i t 2 03S 10.000= ��$�2 3 312% 0,12p i= ⇒ = 2����@�����$������@ 12�#&� �

1D =18 ��$�2� 2D =125 ���$�2� 3D =600 ���$��3

0k k kk=1

3

0k kk=1

S

t

S

i t

i

=∑

∑2�9����

1 2 33

0k kk=1

D +D +Dt

S i

=

∑2�9��

1 2 3D +D +D 743= 2�9��3

0k kk=1

S 2.000 0,09 5.000 0,1 10.000 0,12 1.880i = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑ 2�9��

;#� ��&$�9���9��'#�9���� $�+ �&�����# �$��&��'#� ��&� ������� �����&�����# ��743t 0,3953

1.880= = #&�

�� t 0,3953 360 142,30= ⋅ = �&����

������������

������������� ( ) ( )n -nn 0 0 nS =S 1+ S S 1+i i⇒ = �

��������������#@��#&2� 10% 0,1p i= ⇒ = 2� 4S =58.564 ��$��

( )-40S 58.564 1+0,1= ⋅ �

0S 40.000= ��$�������� �%�#��� ��������

�������������&��%@�A��&@"�"���* �� &�� & #� ��

( ) 88

12

58

05,11000012

505,0105,0110000S ⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=

+35,15082020833,1 =⋅ �

Page 148: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���!

������ �%�#��� ���������

�������������&��%@�A��&@"�"����

* �� &�� $���&� � 97,1507705,110000 12

58

12

58

=⋅=+

+S ���$��

���������������� ����"���������������În cazul scontului simplu comercia��

( )1aK K jt= − �

������������������������ 2 210% 0,1q j= ⇒ = ��

� ( )1130.000 1 0,1 126.7504

aK = − = ���$��

�������������"@�""�"""���$��

8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�

���@"�"!����

( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��

��������������"@�""�"""���$��

8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�

���@"�"!�����@"���

( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��

( ) 1

1 0 1K S iθ= + ⇒��@�""�"""9�B"�"!

��

���������������������������@���� ������$��*� #��� $%���� & #��

�( )1

at

KKj

= ⇒+

�( )2146.932,8

125.971,2u.m1 0,08

aK = =+

��������������"@�""�"""���$��

8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�

���@"�"!�����@"�����

Page 149: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��

( ) 1

1 0 1K S iθ= + ⇒��@�""�"""9�B"�"!

��

���������������������������@���� ������$��

*� #��� $%���� & #��( )1

at

KKj

= ⇒+ ( )2

146.932,8121.432,1u.m

1 0,1aK = =

+�

��������������"@�""�"""���$��

8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�

���@"�"!�����@"���

( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��

( ) 1

1 0 1K S iθ= + ⇒��@�""�"""9�B"�"!

��

���������������������������@���� ������$��*� #��� $%���� $���&��

�1

a KKjt

= ⇒+146.932,8 126.666,2u.m.1 0,08 2

aK = =+ ⋅ �

� ������������"@�""�"""���$��

8% 0,08p i= ⇒ = �5θ = #&�

���@"�"!�����@"���

( )0 1K S iθ= + ⇒�@�������!���$��

( ) 1

1 0 1K S iθ= + ⇒��@�""�"""9�B"�"!

��

���������������������������@���� ������$��*� #��� $%���� $���&��

1a KK

jt= +

146.932,8126.666.2u.m.

1 0,08 2

146.932,8 122.444u.m.1 0,1 2

a

a

K

K

⎧ = =⎪ + ⋅⎪⇒ ⎨⎪ = =+ ⋅⎪⎩

�!������������

22 29 31 82t = + + = �&���

modificat 82 2 84t = + = �&����@�""����@"����

8415.000 0,12360

SSC Kjt= = ⋅ ⋅ �

419,9SSC = ��$��

, $&�& #�������%���� 0,6 8415.000 20,9u.m.100 360

= ⋅ ⋅ = �

, $&�& #�%���1����@������$��

�) �%��� $&�& #�1&)@16,8 12,5 2,1u.m.100

⋅ = �

Page 150: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

���"

�#��$� �% � �� �&���� ��� @**,� B� , $&�& #� ��� ���%���� B� , $&�& #� ������%����B��) �%��� $&�& #�1&)�@��������$��

��'(���)*����+('���+�,-*)�(',��(��*�,'��.�(�����������%�&#�q 84AGIO=15.000

100 360⋅ ⋅ ⇒ C@���"�A�

6� ����� #�� � AGIOaK K= − ⇒ ������������������������������ 15.000 455,4 14.544,6aK = − = ��$���"��� �%�#��������������

22 29 31 82t = + + = �&���

modificat 82 2 84t = + = �&����@�""����@"����

8415.000 0,12360

SSC Kjt= =

= ⋅ ⋅�

419,9SSC = ��$��

, $&�& #�������%���� 0,6 8415.000 20,9u.m.100 360

= ⋅ ⋅ = �

, $&�& #�%���1����@������$��

�) �%��� $&�& #�1&)@16,8 12,5 2,1u.m.100

⋅ = �

�#��$� �% � �� �&���� ��� � @� **,� B� , $&�& #� ��� ���%���� B� , $&�& #� ������%���B��) �%��� $&�& #�1&)�@��������$��

��'(���)*����+('���+�,-*)�(',��(��*�,'��.�(�����������%�&#�q 84AGIO=15.000

100 360⋅ ⋅ ⇒ C@���"�A�

6� ����� #�� � AGIOaK K= − ⇒ ������������������������������ 15.000 455,4 14.544,6aK = − = ��$���&��C��-�'(�������*����+('����C�@�""����&��C��-�'(�����.�(����$+�)������������/���+('����

C�@�""������$���� &&�����8>7�(��) �%��� $&�& #�1&)@�����2��8>7�(��) �%��� $&�& #�1&)@������2�����#�&��• %� ��#������������� #���8>7�(��) �%��� $&�& #�1&)@�������$�2������@�����⇒C�@����!A�• %� ��#���1���&��9����������#&������� #���8>7�(��) �%��� $&�& #�1&)@�������$�2�������@�����⇒ �C�@���� A��0��� �%�#��� ����������1��� �%�#��� �������������� �%�#��� ��������

���

Page 151: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

��������������� ����0������ �%�#��� ���������

���������

( ) ( )2

32000 1 0,1 5000 1 0,1 7000 14.920PS = + + + + = ���$��

6� ������� �

2 332000 5000 7000 11209,6161,1 1,1 1,1

PA = + + = ���$��

����� �%�#��� ��������

����������

6� ������� �

2 332000 5000 7000 11209,6161,1 1,1 1,1

PA = + + = ���$��

����� �%�#��� �������

����������

( )( ) ( )3

7000 1 0,08 1 0,1 7000 1 0,1 7000 23016PS = + + + + + = ���$��

6� ������� �

37000 7000 7000 18106,2941,07 1,07 1,08 1,07 1,08 1,1

PA = + + =⋅ ⋅ ⋅ ���$��

����� �%�#��� ��������

����������

6� ������� �

37000 7000 7000 18106,2941,07 1,07 1,08 1,07 1,08 1,1

PA = + + =⋅ ⋅ ⋅ ���$��

����� �%�#��� �������6��&���� &9�������� �%�#��� �������6��&���� &�9���� ��� �%�#��� �������6��&����� &�9���

��

��������������� �����1��������������

50005,01000001 =⋅== iVd �

0�&$���$ ��&�$�#��( )

12,232011

01 =−+

=ni

iVQ ��

������������������������������� 12,232011 =−= dTQ ��$ ��&�$�#���9 1)1( −+= pp QiQ �� 13,24362 =Q 2� 92,25573 =Q 2��

Page 152: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

�������������*��������� ��

4 5

1 0 5

(1 ) 0,05 0,9540.000

(1 )[1 (1 ) ] 0,95[1 0,95 ]n

i iQ V

i i

− ⋅= = =− − − −

�0,05 0,77378

40.000 72010,95 0,2262192

⋅= =⋅

��

�������������

�&#� 250000 =V �.&�#@�������� � 62504

000.250 ===n

VQ ��

������������

�&#� 250000 =V �.&�#@�������� � 62504

000.250 ===n

VQ ���

� � �&$���� &� ppp QVV −= −1 ����#�&� 2 1 12500V V Q= − = ��

����������������� ������������ �%�#��� ������"��������������

D�&&#��� � x nn x

x

lp

l+= �.&�1 � �&#�����������$ ���&������$�

5515 40

40

77.603 0,9184.855

lp

l= = ≅ �

����� �%�#��� �������������������

1t x t xq p= − �.&���$��� t xx t

px

ωω− −=

−���#�&� t x

tq

xω=

−�

����� �%�#��� ������������� �%�#��� ������������� �%�#��� ��������

��

��������������� ������������ �%�#��� �������0@���"!�� "����$������������

1xx

x

NP Sa S

D+= = �

41

40

181.8161.000.000 15.084.70912.053

NP S

D= = = ���$��

���

Page 153: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

���� �%�#��� ������0�@��!���������$������������� � �&$����� &�9���.&� � &#�$�

61 76

605.000 489253,5

N NP

D−

= = ��$��

���� �%�#��� ������0@�" ��$������������� � �&$����� &�9���.&� � &#�$�

60 75

605.000 40777

N NP

D−

= = ��$��

���� �%�#��� ������0@� ��"���$������������� � �&$����� &�9�"�.&� � &#�$�

61

605.000 27250

NP

D= = ��$��

��

��������������� ��������� �%�#��� ����������� ����� ��������"���� ����#�&��

( ) 6025

25

42455,535 100000 100000 1555488,38

2729,4

NR

D= ⋅ = ⋅ = ��$�� � ���%�#� � ��� �/&� �&&� ��� ��

����������#�������� �����&+����.&��#&�&��#�&��������� �����&+��� ���6��&�9���

��

��������������� ������������ �%�#��� ����������� �%�#��� ������������ �%�#��� ����������� �%�#��� ������������ �%�#��� ������������ �%�#��� �������� ��� �%�#��� ��������

���������������

Page 154: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

����

���������

Page 155: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

� ���

��

�������������������

�� ����������� �����������

��� ���� ��� � ���� � ���� ��������� ������� �� � � �������������� ���� ������������ ����� ����� ����România de Mâine������ ��������� ��

��� ���� ��� � ���� � ���� ����� ���� ��� ���� �������� �� ���������� ����������� ����� ����� ����România de Mâine������ ������������

!���������������������������������������� ����� �������� ����� ����România de Mâine������ ���������"��

"�� ���� ��� �������� �� ������ ���� ������������ ����� � ���� ���� România de Mâi�������� �������###��

���$% �&���'(����������������� ����������������� ����� ����România de Mâine������ �������## ��

��� �������������������� �

���)� � ����������������������������*�+������������ ������,�� ������ �������##!��

��� )�%�&��� $�� ��� ��+-��� Matematici aplicate în economie�� *�+�� � ��� �� ����� � ������� � ���)��.�.�� ������ �������##!��

!�������.��'��� ���� ��� ��+-�������������� ������ � ���������������� /� ��0��*�+�� �� � ��� ������� ���1��� ������ �������##���

"�� 2��� �1��� 3+, &���� $% �&��� '1��� ��� ��+-��� ������������� – � �������� ���������� ������� �$,�������� �������##���

����������������

Page 156: Curs Matematici Financiare Si Actuariale

Redactor: Constantin FLOREA Tehnoredactor: Marcela OLARU

Coperta: Magdalena ILIE

Coli tipar: 9,75 Format: 16/61×86

Editura Fundaţiei România de Mâine

Bulevardul Timişoara nr.58, Bucureşti, Sector 6 Tel./Fax: 021/444.20.91; www.spiruharet.ro

e-mail: [email protected]

155