A 50 pag Matematici financiare+Analiza combinatorica+etc

7/24/2019 A 50 pag Matematici financiare+Analiza combinatorica+etc

1/50

1

MATEMATICI FINANCIAREProf. Lupacu Olimpia

Competene specifice

1. Recunoaterea unor date de tip probabilistic sau statistic n situaii concrete

2. Interpretareaprimara datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar,

a graficelor i diagramelor

3.

Utilizareaunor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilitilor pentru

analiza de caz

4. Transpunerea n limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor

probleme practice

5. Analiza i interpretarea unor situaii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau

probabilistice

6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice n scopul prediciei comportrii unui sistem

prin analogie cu modul de comportare n situaii studiate.

Coninuturi

Probleme de numrare: permutri, aranjamente, combinri

Elemente de calcul financiar: procente, dobnzi, TVA

Culegerea, clasificarea i prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafic a

datelor statistice.

Interpretarea datelor statistice prin parametrii de poziie: medii, dispersia, abateri de la medie. Evenimente aleatoare egal probabile, operaii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment

compus din evenimente egal probabile. Probabiliti condiionate.


2/50

2

I.Probleme de numrare

I.1 Mulimi finite ordonate. Permutrile unei mulimi finite

Definiie. O mulime A se numete finit dac este mulimea vid sau dac exist un numr

natural n astfel nct elementele ei se pot numerota 1 2 3, , ...,a a a .Numrul natural n pentru care 1 2, , ..., nA a a a reprezint numrul de elemente a lui A

sau cardinalul mulimii A.

Acesta se noteaz ( ), n , .n card A A n A

Exemple ( ) 0card .

Fie A mulimea cifrelor din sistemul de numeraie zecimal. ( ) 10.Card A

Mulimea A = {x, y, z } are trei elemente, card(A) = 3.

Fie A o mulime finit cu n elemente. Aceast mulime poate fi ordonat n mai multe moduri,

obinndu-se astfel mulimi ordonate diferite ce se deosebesc ntre ele doar prin ordinea

elementelor.

Definiie.O mulime finit se numete ordonatdac elementele sale sunt dispuse ntr-o ordine

bine determinat.

Definiie.Se numete permutarea mulimii A fiecare din mulimile ordonate ce se formeaz cu

cele n elemente ale mulimii A. Se spune c este o permutare a elementelor sale sau o permutare

de n elemente.

Numrul permutrilor de n elemente se noteaz cu nP i se citete " permutri de n" .

Se observ c:

o mulime cu un singur element poate fi ordonat ntr-un singur mod 1 1P

o mulime cu dou elemente 1 2{ , }A a a poate fi ordonat n dou moduri:

1 2 2 1 2; , ; 2 1 2a a a a P .

o mulime cu trei elemente 1 2 3{ , , }A a a a poate fi ordonat n urmtoarele moduri:

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2 3( , , );( , , );( , , );( , , ); ( , , );( , , ) P 6 1 2 3a a a a a a a a a a a a a a a a a a .


3/50

3

Vrem s determinm numrul permutrilor unei mulimi date cu n elemente, adic numrul

modurilor n care poate fi ordonat o mulime dat cu n elemente.

Se convine c mulimea vid poate fi ordonat ntr-un singur mod 0 1P . Se definete 0! 1

Se va folosi notaia: ! 1 2 ...n n ce reprezint produsul primelor n numere naturale nenule. Se

citete n factorial.

Teorem.Oricare ar fi numrul natural n !nP n .

Exemple :

1) Cte numere de trei cifre distincte pot fi formate folosind cifrele 3, 6, 8 ?

Soluie:

Numerele ce pot fi formate cu cifrele 3, 6, 8 sunt permutrile mulimii {3, 6, 8}, adic 3!=6

numere.

2) Cte numere de patru cifre distincte pot fi formate folosind cifrele 0, 3, 6, 8 ?

Soluie:

Din patru cifre pot fi formate 4! numere cu cifre distincte. Dac cifra 0 este prima cifr a unui

numr, atunci numrul respectiv este numr de trei cifre. Din numerele de 4 cifre trebuie s le

scdem pe cele de 3 cifre (care au prima cifr 0), care sunt n numr de 3!

I.2Aranjamente

Fie o mulime A cu n elemente. Dac ,k n k N , atunci se pot forma diferite mulimi

ordonate cu cte k elemente, n care intr numai elemente ale mulimii A.


4/50

4

De exemplu, dac mulimea A={a, b, c } cu elementele mulimii Ase pot forma urmtoarele

mulimi ordonate de cte dou elemente:

,

adic 6 submulimi ordonate de cte dou elemente.

Definiie.Dac Aeste o mulime cu n elemente, atunci submulimile ordonateale lui A, avnd

fiecare cte k elemente cu 0 k n , se numesc aranjamente de n luate cte k. Se observ c

dou aranjamente de n luate cte k se deosebesc prin 'natura' elementelor lor sau prin ordinea

elementelor.

Numrul aranjamentelor de n elemente luate cte k se noteaz knA i se citete

aranjamente de n luate cte k.

Din exemplul anterior 23 6A

Se observ c 1 ,nA n n N . ntr-adevr, un element din cele n elemente poate fi ales n n

moduri i cu acest element alesse formeaz o singur mulime ordonat.

Teorem.Dac ,n k N cu 0 k n atunci,

Se va determina o alt formul pentru calculul knA


5/50

5

Pentru 0 !

0 1,!

n

nk A n N

n , ceea ce este adevrat deoarece orice mulime conine

mulimea vid despre care s-a convenit c poate fi ordonat ntr-un singur mod.

Pentru

!

!0!

n

n

n

k n A n

Exerciii:

1) S se calculeze :5 4

6 6

4 3

5 5

A Aa

A A

.

Soluie: 566!

6!

1!

A , 466!

3 4 5 6

2!

A

1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6(2 1)6

1 2 3 4 5 3 4 5 3 4 5(2 1)a

2) S se determine domeniul D de definiie pentru funcia 37: , ( ) x

xf D R f x A .

Soluie:Din definiia aranjamentelor se deduce c avem de impus condiiile de existen:


6/50

6

3) S se rezolve ecuaia:

Soluie:

Se impune condiia de existen pentru 2 :2

x

x NA

x

. Calculnd obinem

2 ! 1 2 ... ( 2) ( 1) ( 1)( 2)! 1 2 ... ( 2)

xx x x xA x x

x x

2 2( 1) 12 12 12 0x x x x x x . Rezolvnd ecuaia se obine

1 3x N i 2 4 2, 4x N , deci x = 4 este soluia ecuaiei.

I.3 Combinri

Fie mulimeaA = {a, b, c }. Vom scrie toate submulimile mulimii A (toate mulimile ce pot fi

formate cu elemente ale mulimii A).

Aceste submulimi sunt:

1) mulimea vid :

2) submulimile care au cte un element sunt {a}; {b}; {c}.

3) submulimile care au cte dou elemente sunt {a, b }; {a, c }; {b, c}.

4) submulimea cu trei elemente (mulimea total) este{a, b, c }.

Rezult c mulimea A = {a, b, c } are 6 submulimi, dintre care: trei submulimi cu cte un


7/50

7

element, trei submulimi cu cte dou elemente, o submulime cu trei elemente i mulimea

vid.

Generaliznd, fiind dat o mulime finit cu n elemente, atunci vrem s determinm numrul

submulimilor sale care conin k elemente.

Definiie. Dac A este o mulime cu n elemente, atunci submulimile lui A avnd cte k

elemente, , , 0k n N k n , se numesc combinri de nelemente luate cte k i se noteaz

k

nC .

Din exemplul anterior 0 1 2 33 3 3 31, 3, 3, 1.C C C C

Numrulsubmulimilor mulimiiA = {a, b, c } este:

.

Vrem s determinm o formul pentru calculul combinrilor de n luate cte k.

Se observ c 0 1nC , deoarece fiecare mulime A are doar o submulime fr nici un element,

adic mulimea vid.

1

nC n deoarece pentru o mulime 1 2{ , ,..., }nA a a a cu n elemente numrul submulimilor cu

un element este n: 1 2{ };{ }; ...;{ }na a a .

Teorem.Dac , , 0k n N k n , atunci

Demonstraie

Fie A o mulime cu n elemente. Fie toate submulimile lui A care au k elemente. Dac

ordonm fiecare dintre aceste submulimi n toate modurile posibile, obinem toate


8/50

8

submulimile ordonate ale luiA, care au k elemente. Numrul acestor submulimi este knA ..

Dar numrul tuturor submulimilor lui A cu k elemente este este egal cu knC i fiecare dintre

aceste submulimi poate fi ordonat n kP moduri

Dar!

( )!

k

n

nA

n k

i !kP k

Exemplu:

n cte moduri se poate alctui din 9 persoane o comisie format din 5 membri?

Soluie:

Pentru a avea toate cazurile posibile trebuie s considerm toate submulimile formate din cte

5 elemente ale unei submulimi cu 9 elemente 599! 6 7 8 9

6 7 3 1265! 4! 1 2 3 4

C

Formula combinrilor complementare

Dac , , 0k n N k n atunci este adevrat egalitatea: k n kn nC C

Demonstraie.Avem:

Sensul acestei afirmaii este:

Dac Aeste o mulime cu n elemente, fiecrei submulimi X cu k elemente a lui A i asociem o

submulime bine determinat cu (nk) elemente a mulimiiA , anume CX (complementara lui

X).


9/50

9

Prin aceast asociere, unei submulimi cu nk elemente i corespunde o singur submulime

cu k elemente.

Ceea ce nseamn c numrul submulimilor cu k elemente a unei mulimi A este egal cu

numrul submulimilor cu nk elemente.

2. Pentru orice numr natural n este adevrat egalitatea:

Numrul submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n.

Aplicaii

Exerciiul1.Care este rezultatul calculului :

?

Soluie:Din formula combinrilor complementare

Exerciiul 2

Care este numrul submulimilor unei mulimi cu 20 de elemente?

Soluie:

Numrul submulimilor unei mulimi cu n elemente este de 2n c numrul submulimilor


10/50

10

unei mulimi cu 20 de elemente este de 202 .

1

1 1, , .k k k

n n nC C C n k N k n Formula poart numele de formula de recuren n calculul

combinrilor i permite calculul combinrilor de n elemente cu ajutorul combinrilor de n 1

elemente.

Exerciii propuse

1. Fie = | < 10, . Cte mulimi ordonate se pot obine dinmulimea?

2. S se simplifice fraciile:123! 2753! ( 1)! ( 3)!

) ; ) ; ) ; ) .

121! 2752! ! !( 3)

n na b c d

n n n

3. Rezolvai n N ecuaia 5 3 =+24 .

4. Cte numere pare diferite se pot obine schimbnd ordinea cifrelor lui 1235479?

5. Sunt 11 voleibaliti, din care 4 au nlimea sub 1,80 m. n cte moduri poate fi format o

echip de 6 juctori, dac cel puin 5 trebuie s aib 1,80 m sau mai mult?

6. Formulai un exemplu de utilizare a elementelor de combinatoric n viaa cotidian.

7. ntr-o clasa sunt 22 de elevi din care 12 sunt fete. n cate moduri se poate alege un comitet

reprezentativ al clasei format din 3 fete i 2 biei?

8. Rezolvai ecuaia 3 2n nC A

9. Elevii unei clase trebuie s dea ntr-o saptmn 4 teste la materii diferite. n cte moduri se

poate face programarea testelor, dac unul trebuie dat obligatoriu joi?

10. Rezolvai ecuaia

2

24 n nA P

11.Un grup de 5 tineri, din care 2 biei, merg la film. n cte moduri se pot aranjape scaune

pe un rnd, dac n mijloc trebuie obligatoriu s stea una din fete?

12. Rezolvai ecuaia 2 12nC n .

13. Rezolvai ecuaia 16 nn n

P C


11/50

11

II.ELEMENTE DE CALCUL FINANCIAR

II.1 Calcul procentualDeseori n practica cotidian se folosete termenul de procent pentru a exprima

modificrile survenite n evoluia unui fenomen.

De exemplu se spune c producia unei fabrici a crescut cu 5 procente , preul unui obiect

s-a micorat cu 10 procente etc.

Observaie

n fiecare din aceste afirmaii se realizeaz o comparaie ntre dou valori ale aceleiai

mrimi.

Valoarea la care se face raportarea procentualse numete valoare de baz- notat a

Valoarea care se compar cu valoareade baz se numete valoare procentual- notat b.

n general valoarea de baz (a) se asociaz cu 100, iar valoarea procentual (b) se asociaz cu

p. Astfel, avemurmatoarea aezare a datelor:

a 100

b p ()

Rezult c = 100sau

=

100

(1)

Definiii.1.Un raport de forma

100, 0se numete raport procentual.

2 .1

100se numete procent,

100

reprezint p procentese noteaz p% i se citete p la sut.

Relaia (1) rezultat din compararea valorii de baz cu valoarea procentuala d posibilitatea

aflrii uneia din valorile a, b, p dac se cunosc dou dintre ele.

Aflarea a p% dintr-un numr din salariul de 754 lei, un angajat contribuie la fondul de asigurri

sociale i de sntate cu 7%. Cu ce sum contribuie salariatul?

Soluie

a)Se folosete regula de trei simp aeznd datele astfel:


12/50

12

754 100

b 7

Rezult c b =754

7

100

= 52,78 lei.

b) Se determin ct reprezint7

100din 754 lei efectund produsul

7

100 754= 52,78 lei.

De reinut!

Pentru a calcula p% dintr-un numr a se procedeaz astfel:

Se aplic regula de trei simplproblemei: dac a corespunde lui 100, atunci ct este b care

corespunde numrului p ?

Datele se aranjeaz astfel:

a 100

b p

Se obine b = Aflarea numrului cnd se cunoate p% din el

Dup o reducere de 20% preul unui tricou este de 36 lei. Care a fost preul nainte de

reducere?

Soluie

Fie a preul iniial al tricoului. Atunci noul pre reprezint 80% din preul iniial.

Aadar, 36 = 80100

, de unde se pobikne a= 36 10080

= 45 lei.

b)Folosim reguila de trei simpl. Avem urmtoarea aezare a datelor:

a 100

36 80

Se obine a= 36 10080

= 45 lei.

De reinut!

Pentru a afla numrul a cnd se cunoate p % din el , adic b, se procedeaz astfel:

100

= = 100


13/50

13

Se aplic regula de trei simpl problemei dac lui p i corespunde b, atunci lui 100 ct i

cirespunde?

p b

100

a = .

Aflarea raportului procentual

La o expertiz a calitii produselor, dintr-un lot de 2425 de produse au fost admise 2328.

Ct la sut din numrul produselor expertizate au fost admise?

Soluie

Raportul =

100

dat de formula (1) se scrie2328

2425=

100

. Se obine p = 0,96 sau

p% = 96%.

Cu regula de trei simpl dup schema ()avem:2425 100

2328 p

P=2328 1002425

= 96i p% = 96%.

De reinut!

Pentru a determina ct la sut din a reprezint b se procedeaz prin una din modalitile:

Se scrie

100 =i se calculeaz

100=

.

Se afl p din proporia =

100

Se aplic regula de trei simpl problemei dac a corespunde lui 100, atunci ct corespunde lui

b?a 100

b p

Rezult

a


14/50

14

=

.

n practic, n afar de procente se mai folosesc i alte rapoarte remarcabile, cum ar fi

rapoartele cu numitorul 1000. Un raport de forma

1000notat p se numete promil.

Probleme rezolvate

1.Ct reprezint 40% din suma de 12000 lei?

Soluie

40

100 12000 = 4800 .

2. 24% dintr-o sum de bani este suma de 1440 lei. Care este acea sum?

Soluie

Notm cu s suma de bani. Avem24

100 = 1440.rezult c s= 1440 100

24.

Se obine s= 6000 lei.

3. O ferm agricol are de arat 800 ha. ntr-o prima etap s-au arat 64 ha. Cte procente din

ntreaga suprafa au fost arate?

Soluie

Se cunoate valoarea de baz a= 800 ha i valoarea procentuala b = 64 ha. Rezult conform

relaiei (1) c64

800=

100

8100

= 100

. Aadar 64 de ha reprezint 8% din 800 de ha.

5. 4% din preul unei mrfi , adic 25,4 lei, reprezint cheltuieli de transport. Care este preul

mrfii?

Soluie

Fie x preul acestei mrfi. Avem c4

100 = 25,4.se obtine x = 25,4 100

4, adic x = 635 lei.

Exerciii si probleme propuse

1. S se determine 25% din 96000 lei, 12% din 450 kg, 18,5% din 120 de litri, 5% din 4250 de

hn, 24% din 35,5 km.

2. O ferm agricil are 540 de ha. ntr-o prim etapa s-au arat 81 ha. Cte procente din ntreaga

suprafa au fost arate?

3. ntr-o bibliotec sunt 20000 de cri din care 16000 sunt cri de literatur, iar 15,2% din rest

sunt de tehnic.

a) Ct la sut din numrul total de cri reprezint crile deliteratur?

b) Cte ri de tehnic sunt?


15/50

15

c) Ct la sut din totalul crilor din bibliotec reprezint alte specialiti dect cele menionate?

4. 4256250 lei reprezint 25 dintr-o sum. S se afle suma.

5. 4% din capital;ul unei firme, adic 21000 lei, sunt folosii pentru cheltuieli de transport. Ce

capital are firma?

6. Din beneficiul de 49475 lei se aloc pentru salarii suma de 19790 lei, iar 24737,5 lei se aloc

pentru sponsorizri. Ce procent din beneficiu reprezint fondul de salarii iceprocent este alocat

pentru sponsorizri?

7.Lasfritul unui an colar 35% din numrul de elevi ai unei coli sunt absolveni. Ci elevi a

avut coala dac au mai rmas 520 de elevi.

II.2 Dobnda simpl

n circulaia valorilor bneti se obinuiete ca o suma de bani depus sau mprumutat s

se plteasc la termenul scadent o sum majorat ca urmare a serviciului adus de aceast sum.

Suma Sdepus sau mprumutat iniial se numete capital niial.

Suma Snrestituit dup o perioad de timp n, se numete capital final.

Diferena Sn-Sdintre capitalul final i cel iniial se numete dobnd.

Dobnda depinde de mai muli factori, cum ar fi: mrimea capitalului, perioada de timp

ct capitalul a fost folosit, procentul de majorare convenit la nceputul perioadei i alti factori.

Procentul de majorare sau rata dobnziiarat ci lei( saucte uniti monetare) din 100 seaccordca majorare pentru serviciile aduse de suma depus sau mprumutat pe o perioad de un

an. Acesta se noteaz r%.

Dac dobnda oferit este direct proprional cu suma niial S i cu durata

operaiunii, atunci aceast dobnd se numete dobnd simpli se notez cu Ds.

Pentru calculul dobnzii simple generat de un capital iniial Spe durata de un an se poate aplica

regula de trei simpl pentru un enun de forma Dac pentru 100 de uniti monetare (u.m.) se

acord o majorare de r uniti monetare pe an, cte uniti monetare se acord pentru o sumS?

Avem urmtoarea aezare a datelor:

100(u.m.) r

S(u.m.) Ds

Rezult c


16/50

16

Ds= (1) ( dobnda simpl generat de suma S ntr-un an, cu rata dobnzii r%).Cu ajutorul formulei (1) se deduce modul de calcul al dobnzii simple generate de capitalul Spe

o perioad de n ani cu rata dobnzii de r%.

Ds= . (2)

Exemplu.

Dobnda simpl generat de un capital de 5000000 de lei pe o durat de 2 ani cu o rat a

dobnzii de 18% este Ds=5000000 18100

2=1800000 lei.Observaii

Formula dobnzii simple (2) conine 4 elemente: Ds, S, ri n. Cunoscnd trei dintre ele se poate

calcula al patrulea element.

DacSeste capitalul iniial, Dseste dobnda simpl generat de acest capital pe durata a n ani curata dobnzii r%,atunci capitalul final Snva fi

Sn=S + Ds= + .(3)Dac anul este mprit n k pri egale ca durat i tkeste un numr de astfel de pri pentru care

se calculeaz dobnda simpl, atunci formula (2) devine:

Ds= (4).

Astfel, pentru k = 2 se obine dobnda pe t2semestre, pentru k = 3 se obtine dobnda pe t3

trimestre, pentru k = 12 se obine dobnda pe t12luni, pentru k = 360 se obine dobnda pe t360

zile, adic: 3 3602 12; ; ; .100 2 100 3 100 12 100 360

s s s s

t tt tr r r r D S D S D S D S

Problem rezolvat

Un capital de 25 de milioane de lei este plasat n regim de dobnd simpl pe o perioad de 3 ani

cu rata dobnzii de 20%.

Ce dobnd genereaz acest capital pe perioada plasamentului?

Ct ar trebui sfie rata dobnzii pentru ca acest capital s aduc n doi ani o dobnd egal cu

cea obinut dup 3 ani?

Soluie

Elementele cunoscute din formula dobnzii simple sunt:

S = 25000000 lei, r% = 20%, n = 3 ani. Rezult c dobnda simpl este


17/50

17

2025000000 3 15000000

100 100s

rD S n lei.

n acest cazse cunoate S = 25000000 lei, n = 2 ani, 15000000sD lei. Din formula dopbnzii

simple se obine procentul de dobnd:

15000000 30

100 25000 000 100

sDr

S n

. Aadar, r% = 30%.

Probleme propuse

1. Ce dobnd simpl adduce un credit de 36 de milioane de lei pe o perioad de un an, dac rata

dobnzii este de 24%?

2. Care este rata dobnzii dac un capital de 30 de miloane u.m. genereaz n doi ani o dobnd

simpl de 10 800 000 u.m.?3. a)Ce dobnd se acumuleaz la o depunere de 18 milioane de lei n regim de dobnd simpl

pe o perioad se 7 luni, dac rata dobnzii este de 15%?

b) Ct ar trebui s fie procentul de majorare pentru ca suma de 18 milioane de lei s aduc n 5

luni o dobnd egal cu cea obtinut n 7 luni?

4. Ce procent de dobnd are o operaiune bancar dac un capital iniial de 40 de milioane de lei

va determina un capital final de 44 800 000 lei dup un an?

5. se plaseaz un capital de 250 de milioane de lei pe o durat de 150 de zile cu o rat a dobnzii

de 17,4% n regim de dobnd simpl.

a) Ce capital final va nregistra la termenul scadent? ( se va considera anul format din 360 zile)

b)Cte zile trebuie s dureze plasamentul astfel nct s se obin o dobnd de 3 625 000 lei?

6. Ct este capitalul iniial al unei operaiuni bancare dac dup plasarea acestuia n regim de

dobnd simpl pe termen de 8 luni cu rata dobnzii de 3,8% s-a obinut un capital final de 418

336 u.m.?

7. Creditul de 100 de milioane de lei este plasat n regim de dobnd simpl, cu o rat a dobnzii

de 10%. Pe ce perioad de timp este fcut plasamentul dac la termenul scadent se obine o

dobnd de 5 milioane de lei?

8. O banc comerciala are afiat oferta de dobnzi la expirarea termenului n tabelul urmtor:


18/50

18

moned

Timp

USD Euro Lei Lei, sume >

25 000 000

1 lun 2,25 3,25 13,50 14,00

3 luni 2,30 3,30 14,50 15,00

6 luni 2,50 3,50 14,50 15,00

1 an 2,75 4,00 14,75 15,25

S se calculeze dobnzile aferente sumelor: 2500 $, 5000 , 3000 milianelei pe termenele: 11,

31, 61,luni, 1 an, 50 de zile, 250 de zile, 400 de zile.

II. 3 Dobnda compus

S presupunem c suma de 5 milioane de lei este depus ntr-o banc pe o perioad de 2

ani cu un procent de majorare anual de 15%. Dac pentru calculul dobnzii n al doilea an se ia

n considerare nu numai suma iniial i dobnda generat de aceasta n primul an, adic suma

total de 5 000 000 + 750 000 lei, se spune c operaiunea bancar se desfoar n regim de

dobnd compus.

n cazul de fa, la sfritul celor doi anicapitalul final va fi

5 750 000 + 5 750 000 15100

= 6 612 500 lei.

Se observ c aceast manier de calcul a dobnzii este mai avantajoas pentru deponent dect

dobnda simpl.

Aadar, spunem c o sum de bani este plasat n regim de dobnd compus atunci

cnd la sfritul oricrei perioade a plasamentului, dobnda simpl generat de sum este

adugat la suma de la sfritul perioadei precedente pentru a genera la rndul ei dobnd n

perioada urmtoare. ntr-o astfel de operaiune se spune c dobnda a fost capitalizat.

Pentru determinarea dobnzii compuse generat de o sum, s analizm urmtoarea

situaie:

n ce sum se va transforma n timp de n ani un capital S, dac se tie c acesta genereaz

dobnda compus cu rata dobnzii de r%?

Soluie


19/50

19

Capitalul S produce n primul an o dobnd egal cu 100

.

n al doilea an suma generatoare de dobnd este

S1= S + 100

= 1 + 100

= , = 1 + 100

.

Dup nc un an, suma S1se majoreaz cu dobnda simpl S1 100i devine

S2=2

1 1 1 11100 100

r rS S S S R S R

.

Repetnd raionamentul dup trei ani se obine suma

S3=3S R . a. m. d.

Dup n ani suma va fi

SnnS R .

Este evident c suma final Sn reprezint suma dintre capitalul iniial S i dobndacompus Dc, generat de ea. Aadar, Sn= S + Dci ca urmare

Dc= SnS = ( 1), 1100

n n rSR S S R unde R (1).

Observaie

irul S, S1, S2, S3, ., Sn, . formeaz o progresie geometric cu raia R.

Probleme rezolvate

Se plaseaz n regim de dobnd ompus suma de 12 milioane de lei cu o rat a dobnzii de

10%. S se calculeze dobnda rezultat dup cinci ani.

Soluie

Aplicnd formula (1) se obine :

5 5

5

5 56

5

1( 1) 1 1 12 000000 1 1

100 100

11 1012 10 120 61051 7326120 .

10

c

rD S R S

lei

Care este rata dobnzii pentru ca o suma plasat n regim de dobnda compus s creasc cu

44% n doi ani?

Soluie

Dac suma iniiala este S i S2este suma final, atunci 244 36

100 25S S S S .


20/50

20

Totodat avem2

2 1100

rS S

i ca urmare se stabilete egalitatea

36

25S =

2

1100

rS

din care se obine r%=20%.

Exerciii propuse

1.Se constituie un depozit bancar de 100 de milioane de lei pe termen de 3 ani n regim de

dobnd compus cu o rat adobnzii de 20 5. Care va fi masa depozitului la termenul scadent?

Ce dobnd va generat acest depozit?

2. O persoan fizic i propune ca peste 4 ani s dispun de un depozit de 810 milioane de lei.

Ce depunere trebuie s fac n prezent pentru ca n condiiile unei dobnzi compuse cu rata de 20

% s dispun peste patru ani de suma dorit?

3. Unei firme i se acord un credit de 20 de milioane de u.m. pe termen de doi ani n regim de

dobnd compus. Creditul i dobnda totalizeaz la sfritul celor doi ani 23 328 000 u.m. Ce

procent de dobnd s-a aplicat.

4.Se mprumut suma de 100 de milioane de u.m. n regim de dobnd compus cu rata dobnzii

de 10 % . La termenul scadent trebuie restituit suma de 214 358 881 u.m. Pe ce perioad de

timp a fost fcutmprumutul?

II. 4 Taxa pe valoare adugat(TVA)

Taxa pe valoare adugat(TVA) este un impozit indirect, exprimat nprocente,stabilit

i perceput de stat asupra valorii adugate n fiecare stadiu al producie i al distribuiei bunurilor

economice. Mrimea taxei pe valoare adugat depinde de baza de calcul i de cotele de

impozitare.

Cota de impozitare (procentul TVA) este fix pe o anumit perioad i stabilit de stat.

Valoarea adugat de agenii economici participanila procesul de producie i de

circulaie a unui produs se refer la diferena dintre preul de vnzare i preul de cumprare.

TVA este pltit la bugetul statului de unitile economice care particip la circulaia

bunurilor material sau presteaz servicii i este suportat de cumprtor deoarece intr n preul

de vnzare.


21/50

21

Aadar Pre de vnzare = Pre producie + TVA

TVA =

100Pre producie,

100= cota de impozitare.

Problemrezolvat

Care este preul de vnzare al unei mrfi care cost 445 000 lei fr TVA, cnd procentul TVAeste 24 % ?

Soluie

Pre de vnzare = Pre producie + TVA

=24

445000 445000 445000 106800 551800100

lei

Probleme propuse

1. Care este preul devnzare al unui frigider dac cheltuielile de producie s-au ridicat la 8 25

lei, iar procentul TVA este 24 %?

2. Preul de vnzare al unui produs este 2 448 lei.Care este preul fr TVA dac tax ape valoare

adugat este 24%?

3.ntr-un magazin o main de splat are afiat preul de 1420 lei i lng acest pre scrie TVA =

255,6 lei. Care este preul de cost i careeste procentul TVA aplicat acestuia?

Test de evaluare

1.Dup dou scumpiri successive cu 10 % , respective 20 % preul unui produs este 660 lei. S sedetermine preul iniial al produsului.

2.S se calculeze TVA-ul pentru un produs tiind c preul de vnzare al produsului este de 440

de lei, procentul TVA fiind de 24 %.

3. O persoan a depus la banc suma de 1500 de lei n regim de dobnd simpl. Ce sum a

primit dup doi ani tiind c eata dobnzii a fost de 8 %?

4. O persoan depune la banc o sum de600 lei pentru o perioad de 3 ani n regim de dobnd

compus cu o rat a dobnzii de 15 %. Ce sum va primi dup tri ani i care va fi dobnda

generat?


22/50

22

III. STATISTICA MATEMATICA

III.1 Noiuni generale

Statistica este disciplina care se ocup cu culegerea, nregistrarea, gruparea, analiza i

interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen precum i cu formularea unor previziuni

privind comportarea viitoare a acestuia.

Activitatea de culegere i nregistrare a datelor referitoare la un fenomen face obiectul

statisticii descriptive sau formale.

Statistica matematicse ocup de gruparea, analiza i interpretarea datelor referitoare la un

anumit fenomen precum i cu unele previziuni privind producerea lui viitoare.

Populaia statisticeste orice mulime definit de obiecte de aceeai natur. Elementele

unei populaii se numesc uniti statistice sau indivizi. Numrul de elemente care constituie

populaia se numete volumul populatiei.

Caracteristica (sau variabila statistic) a populaiei este trastura comun tuturor unitilor

(indivizilor) populaiei. Caracteristica poate fi cantitativ ( dac se poate msura)sau calitativ

( n caz contrar ).n general o populaie se studiaz dupuna sau mai multe caracteristici.

n cazul populaiilor cu un numr mare de indivizi se efectueaz o cercetare statistic numai

pentru o fraciune din populaia total, iar rezultatul obinut se extinde pentru toat populaia

(extrapolare). Fraciunea dinpopulaia totalpentru care se face statistica se numete eantion.

Este clar c aceste concluzii au ansa de a fi valabile cu ct eantionul este mai mare. Graiecalculului probabilitilor va fi posibil, n general, de a indica gradul de ncredere care se poate

acorda concluziilor obinute.

EXEMPLE

Populaia Elevii unei

clase

Elevii

unei

clase

Becurile dintr-

o intreprindere

Locuitorii

unui ora

Locuitorii

unui ora

Caracteristica Nota la teza

de

matematica

Culoarea

ochilor

Durata de

funcionare

Vrsta Greutate

Caracteristicile: nota la teza de matematic, durata de funcionare, vrsta.greutatea sunt de natur

cantitativ, iar caracteristica culoarea ochilor este de natura calitativ.


23/50

23

Caracteristicile cantitative pot fi discrete ( sau discontinue) dac variabila statistic ia

valori n mulimifinite( sau numrabile) sau continue dacvariabila poate lua orice valoare

dintr-un interval mrginitsau nu (greutatea, talia, etc.).

Analiza statistic a unui fenomen ncepe cu statistica formal(culegerea datelor asupra

fenomenului respectiv i nregistrarea datelor). Datele sunt apoi analizate i interpretate, cu

ajutorul statisticii matematice.

III.2 Gruparea datelor statistice

Caracteristicile cantitative pot fi msurate folosind numere reale. Integrarea datelor

cantitative n tabelare anumite avantaje, tabelele statisticepermirealizrea unor comparaii.

Gruparea datelor se realizeazcu scopul de a trage concluzii cu caracter general.

Tabelul 1prezint situaia notelor la teza de matematic ntr-o clasde 25 de elevi:

Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nr. de

elevi

1 2 1 3 4 5 3 3 3

Tabelul 1

Plecnd de aici, se poate realiza tabelul 2 care prezint o situaie mai sintetic fa de cel

precedent.

Clase de valori Numr de elevi


24/50

24

7,8,9,10 sunt inclui elevii buni i foarte buni. Acetia sunt nnumr de 14 i reprezint 56 % din

totalul elevilor. Numrul elevilor care au obinut o notmai mare de 5 la tezeste egal cu 21 i

reprezint 84% din totalul lor. n funcie de aceste rezultate profesorul i poate formula o

strategie pentru viitor n vederea mbuntirii performanelor elevilor acestei clase etc.

III.3 Frecvena absolut. Frecvena relativ. Frecvene cumulate.

Numrul tuturor indivizilor ( sau unitilor) unei populaii se numete efectivul totalal

acelei populaii. n cazul discret, tabelul 2, valorile caracteristicii (nota xi ) sunt date n prima

coloan, iar n coloana a doua figureaz numrul de indivizi ( ni ) corespunzator fiecarei valori a

caracteristicii.

Nota

xi

Efectiv

ni

Nota

xi

Efectiv

ni

2

3

4

5

1

2

1

3

6

7

8

9

10

4

5

3

3

3

Efectivul total este 1 + 2 + 1 + 3 + 6 + 7 + 8 +9 + 10 = 25in .

Frecvena absolut este dat de numrul unitilor statistice aflate ntre limitele unei

clase, iar frecvenarelativeste raportul dintre frecvena absolut i numrul total al unitilor

statistice. n cazul n care nu este precizat, prin frecven se nelege frecven relativ. Mulimea

frecvenelor (absolute sau relative), mpreun cu clasele lor formeaz frecvena distribuiei.

n tabelul 2 valoarea 5 a caracteristicii are frecvena absolut 3 ( n limbaj uzual nsemnnd c

nota 5 a fost luat la teza de matematicde 3 elevi ).Frecvena absolut cumulat cresctoare a valori xi a variabilei statistice este suma

tuturor frecvenelor absolute ale valorilor variabilei care apar pn la xi, inclusiv. Se noteaz

=1

,1 .p

k

k

n k p


25/50

25

Frecvena absolut cumulat descresctoarea valori xia variabilei statistice este suma

tuturor frecvenelor absolute ale valorilor variabilei care apar de la xi, inclusiv. Se noteaz

' ,1 .p

i k

k i

N n k p

Analog se definesc frecvenele absolute cumulate ale claselor de valori ale variabilelor.

Raportul dintre frecvena absolut a unei valori xia variabilei sau a unei clase de valori a

variabilei statistice i efectivul total al populaiei se numete frecvena relativa a valorii xi a

variabilei sau a clasei de valori. Se noteaz ,1iin

f i pN

.

Frecvena relativ se poate exprima i ca raport procentual.

Se numete frecvena relativ cumulat cresctoare a valori xi a variabilei statistice

este suma tuturor frecvenelor relative ale valorilor variabilei care apar pn la xi, inclusiv.

Se noteaz1

,1 .i

i k

k

F f k p

Se numete frecvena relativ cumulat descresctoarea valori xia variabilei statistice

este suma tuturor frecvenelor relative ale valorilor variabilei care apar de la xi, inclusiv.

Se noteaz1

,1 .i

i k

k

F f k p

III. 4 Reprezentarea datelor statistice

O modalitate de realizare a analizei i interpretrii datelor statististice o constituie

reprezentarea grafic a acestora, reprezentare care permite vizualizarea datelor statistice n

scopul formrii unei imagini intuitive i imediate asupra fenomenului studiat.Aceste date ( caracteristica, efectiv ) se reprezint grafic, n raport de un sistem de axe

rectangulare, prin desene , care pun n eviden anumite rapoarte numerice. Graficul

corespunzator se numeste diagram. Alegerea unitii pe fiecare dintre axe ramne la latitudinea

celui care prelucreazdatele.


26/50

26

O prim reprezentare o constituie reprezentarea n batoaneaplicatcaracteristicii discrete

cu un numar mic de valori. Pe axa orizontal sunt trecute punctele reprezentand valorile

variabilei i din aceste puncte se ridicsegmente verticale de lungime egal cu frecvena absolut

a valorii respective. Segmentul cu extremitile n punctele de coordonate (x i , 0 ), (xi , ni )

respectiv (xi, fi ) reprezintbatonul corespunztor valorii xi.

Pentru seria statistic Nota , a crei distribuie este dat de Tabelul 1 avem reprezentarea

prin batoane ilustrat de figura 1.

Efectiv

5

43

2

1

O 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Nota

Figura1

Unind printr-o linie poligonalextremitatile superioare ale acestor segmente se obine ceea ce

se cheampoligonul frecventelor absolute( marcat prin linii discontinue n figura 1 )

Realizm un alt tabel cu aceleai note la teza de matematic n care lungimile claselor s

fie aceleai. Avem tabelul 3.

Clase de valori Efectiv Procent

2 - 4 3 12%

4 - 6 4 16%

6 - 8 9 36%

8 - 10 9 36%

Vom reprezenta aceste date printr-un grafic numit histograma, unde pe axa orizontal

se iau o succesiune de segmente egale ( reprezint lungimea claselor) i se ridicpe fiecare


27/50

27

din aceste segmente considerate ca baze , dreptunghiuri de nlimi proporionale cu

frecvenele absolute ale claselor respective ( figura 2).

Dac n mijlocul fiecrui segment de pe axa orizontal( aceste mijloace de intervale le numim

valori centrale ) se ridic segmente proporionale cu frecvenele claselor corespunztoare

fiecarui segment i unim printr-o linie poligonal extremitile ale acestor segmente se obine

poligonul frecventelor , care este o modalitate de vizualizare a datelor unei serii statistice si

permite reprezentarea grafic sub forma unei curbe:

Histograma

Se consider o serie statistic cu variabil cantitativ continu i clasele de valori de amplitudini

(lungimi) egale: distribuia unui grup de tineri dupnltimea exprimat n centimetri:

Tabelul 3

nlime Numr de tineri Frecvena absolut

cumulat cresctor

Frecvena absolut

cumulat des[cresctor

[155, 160) 5 5 63

[160, 165) 12 17 58


28/50

28

[165, 170) 15 32 46

[170, 175) 20 52 31

[175, 180) 8 60 11

[180, 185] 3 63 3

Pentru a reprezenta datele acestei serii statistice se procedeaz astfel:

Se alege un sistem cartezian de coordonate;

pe axa orizontal se iau segmente de lungime egal cu amplitudinea claselor de valori;

se construiesc pe aceste segmente dreptunghiuri cu nlimea proporionalcu frecvenele

absolute sau frecvenele relative corespunztoare claselor de valori.

Graficul seriei statistice cu variabil continu se numete histogram.

Atfel, histograma seriei statistice precedente este dat de figura 3.

nr.tineri

15

12

10

5

O 155-160 160-165 165-170 170-175 175-180 180-185 nlime

Lecturnd aceast histogram se observ cu uurin c n limitele de nlime 170 175

are loc o concentrare a nlimii tinerilor.

Reprezentarea grafic prin coloane sau benzi

Acest tip de reprezentare grafic folosete dreptunghiuri cu limi egale cu

lungimile claselor i cu lungimi proporionale cu frecvenele absolute sau cu frecvenele

relative ale valorilor variabilei statistice.

Exemplu


29/50

29

Repartiia numrului de ore de emisie radio (mii de ore program) n perioada 1998 2003

Anii 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Numr ore 52 58 64 60 70 75

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1998 1999 2000 2001 2002 2003

Nr.ore

nr.ore

0 10 20 30 40 50 60 70 80

1998

1999

2000

2001

2002

2003

Nr.ore

Nr.ore


30/50

30

Reprezentarea folosind diagrama circular

Graficul unei serii statistice se numete diagram structural

Cercul de structur sau diagram circular este un cerc a crei arie reprezint efectivul total alpopulaiei statistice (100%) . Valorile variabilei se reprezint prin sectoare de cerc a cror arii

sunt proporionale cu frecvenele relative ale valorilor variabilei. Cu ajutorul regulei de trei

simpl se determin msura unghiului la centru corespunztor fiecrei frecvene.

Exemplu.

Structura veniturilor bneti ( n lei) din bugetul personal al unui student pe o lun se afl n

urmtorul tabel:

Venituri Burs de studiu Donaii Activiti

suplimentare

Vnzri de

bunuri

Frecven

absolut

240 120 210 30

Frecven

relativ

40% 20% 35% 5%

Cu regula de trei simpl se obine urmtoarea corespondena ntre frecven relativ fii masura

unghiului la centru corespunztor:

fi 40% 20% 35% 5%

n 144 72 126 18

Diagrama circular asociat acestei serii statistice cu variabil calitativ este redat de figura

urmtoare:


31/50

31

Reprezentarea grafic folosind dreptunghiul de structur

Pentru desenarea dreptunghiului de structur se considerun reper cartezian n plan. Axa

verticalva fi axa frecvenelor relative fi ale valorilor xiale variabilei statistice.

Cu baza pe axa orizontal se deseneaz dreptunghiuri cu nlimea de 100 de uniti. Se

divizeaz dreptunghiul prin linii orizontale obinnd dreptunghiuri cu ariile proporionale cu

frecvenele relative fi.

Pentru seria statisticdin tabelul 4 se obine dreptunghiul de structur din figura urmtoare:

Bursa de studiu

40%

Donatii

20%

activitati

suplimentare

35%

vanzari de bunuri

5%

Bugetul personal


32/50

32

100%

0%

Exerciii propuse

1. n urma unui sondaj privind activitatea preferat n timpul liber de un grup de persoane,

s-au obinut urmtoarele date:

Activitatea Sport Muzic Lectur Film-TV ndeletniciripractice

Plimbare Calculator

Numr

persoane

20 30 50 25 10 20 45

S se realizeze un studiu comparativ al datelor folosind diagrama de structur, diagramacircular, diagrama n benzi (coloane) i poligonul frecvenelor.2. Diagrama structural urmtoare reprezint un studiu privind numrul de spectatori dintr-o sal

de cinema pe parcursul unei sptmni n care au avut loc 8 spectacole.

a) S se alctuiasc seria statisticcorespunztoare studiului.b) S se determine toate tipurile de frecvene studiate pentru valorile caracteristicii.

c) S se interpreteze rezultatele din linia corespunztoare spectacolelor cu numerele 4 i 6.

35%

40%

20%

5 %

Bursa deStudii

DonatiiActiviti

suplimentareVanzari de

bunuriunuri


33/50

33

3.ntr-un sondaj efectuat asupra unui grup de persoane privind culorile preferate, s-au nregistrat

urmtoarele rezultate:

Culoare rou albastru galben verde alb negru

Numar de

persoane

15 8 12 10 25 30

a)Ct este efectivul populatiei statistice, care este caracteristica i ce tip are?

b)S se reprezinte grafic seria statisticprin: diagramcircular, dreptunghi de structur i prin

coloane.

III.5 Interpretarea datelor statistice prin parametrii de poziie

Analiza i interpretarea datelor statistice legate de un studiu statistic s-a realizat pn la

acest moment cu ajutorul frecvenelor i cu ajutorul graficelor statistice.

Pentru o serie statisticeste interesant de gsit acea mrime care survine cel mai des, acea

mrime care este cea mai reprezentativ pentru toat seria. O astfel de mrime se numete

indicator sau parametru de poziiedeoarece arat poziia elementelor principale ale seriei n

cadrul acesteia. Reprezentativitatea unor astfel de mrimi este dat de gradul de concentrare a

datelor n jurul lor.

0 100 200 300 400 500 600

1

2

3

4

5

6

Nr. de spectatori

Nr. de spectatori


34/50

34

1. Valoarea medie a unei serii statistice.

Fie seria statistic , ,1i ix n i p asociat unui studiu statistic asupra unei populaii

statistice cu un efectiv total N, cu variabil cantitativ discret X.

Definiie. Se numete valoare medie sau media variabilei statistice X, media aritmetic atuturor valorilor variabilei statistice calculat pentru toate unitile populaiei statistice.

Se noteaz 1 1 2 2 1

1 2

1

....

....

p

i ip p k

p

pi

k

x nx n x n x n

xn n n

n

.

Se observ c valoarea medie x reprezint media aritmetic ponderat a valorilor

1 2, , ...., px x x ale variabilei statistice cu ponderile 1 2,n ,....,n pn .

Diferenaix x reprezint abaterea de la medie a valorii xi.

Exemple. 1. S considerm repartiia statistic a rezultatelor obinute la teza de matematic a

elevilor claselor a X-a dintr-un liceu:

Nota(xi) 4 5 6 7 8 9 10

Frecvena

absolut

(ni)

1 4 5 7 13 14 6

Avem4 1 5 4 6 5 7 7 8 13 9 14 10 6 393

7,861 4 5 7 13 14 6 50

x

.

Dac variabila statisticX este cantitativ de tip continuu, atunci n locul valorilor xidin

formula mediei se vor lua mediile aritmetice ale extremitilor claselor de valori ( valorile

centrale) ale claselor.

ExempluS considerm seria statisticdin tabelul 3, care reprezint repartiia unui grup de tineri

dup nlime. Pentru calcularea valorii medii a variabilei cantitative de tip continuu vom scrie

mai nti seria statistic ' , , 1, 6i ix n i , unde'

ix reprezint valoarea central a clasei 1,i ix x .


35/50

35

'

ix 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5

in 5 12 15 20 8 3

Valoarea medie a variabilei statistice este:

157,5 5 162,5 12 167,5 15 172,5 20 177,5 8 182,5 3 10667,5 169,325 12 15 20 8 3 63

x

Aadar, tendina valorilor variabilei statistice este aceea de grupare n jurul valorii 169,32-

nlimea medie a grupului de tineri.

2. Mediana seriei statistice

Fie seria statistic , , 1, 2,...,i ix n i p ordonat 1 2 ... px x x i N efectivul total al

populaiei statistice.

Medianaunei serii statistice ordonate este valoarea Mecare mparte irul ordonat al valorilorvariabilei n dou pri, fiecare coninnd acelai numar de valori.

Exemple

1.Dac o caracteristic ia urmtoarele 11 valor: 1, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7,8,8, atunci valoarea

medianei Me=5 deoarece exist 5 valori ale variabilei mai mici dect 5 i 5 valori ale variabilei

mai mari dect 5.

2. Fie irul descresctor al unei caracteristici numerice discrete: 1, 3, 3, 3, 4, 6, 7, 8, 8, 9.

irul valorilor are 10 elemente. n acest caz se alege drept median a seriei numrul

4 65

2eM

. Uneori se ia ca median unul dintre numerele4 sau 6.

Reinem.

Mediana unei serii statistice cu variabil cantitativ discret se obine astfel:

Se aeaz celeN valori ale variabilei n ordine cresctoare sau descresctoare;

Dac n este numr impar, atunci 12

e NM x ;

Dac N este numr par, atinci 12 2

2

N N

e

x x

M

.

Dac valorile variabilei sunt numeroase, se recomand determinarea frecvenelor

absolute, cumulate, apoi se caut valoarea variabilei care corespunde unitii statistice aflat la

mijlocul seriei statistice, sau intervalul care cuprinde acea unitate.


36/50

36

Exemplu

Nota la tez 5 6 7 8 9 10

Frecvena absolut 16 16 32 12 10 8

Frecvena absolut cumulat crescatoare 16 32 64 76 86 94

Efectivul total al populaiei este 94.

Poziia central a irului ordonat este 94 : 2 = 47. Unitatea statistic situat pe pozitia 47

corespunde celei de a treia frecvene cumulate cresctoare. Aadar 7eM .

S detrminm mediana unei serii statistice cu variabila cantitativ de tip continuu.

Pentru aceasta, s considerm distribuia unui lot de piesedup diametrul lor, msurat n

milimetri.

Diametrul(mm) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]

Frecvena absolut 10 15 12 15 8

Frcvena cumulate cresctoare 10 25 52 60

Jumtate din efectivul populaiei este 60 : 2 = 30.

Clasa de valori din seria frecvenelor absolutecumulate creia i corespunde cel puin jumtate

din efectivul total al populaiei ce numete clas median.n cazul seriei date, clasa median este [30,40). Presupunnd c pentru aceast serie creterea

efectivului esteproprionalcu creterea valorilor variabilei avem:

la creterea efectivului cu 37 25 piese, corespunde creterea valorilor variabilei cu 40mm -30

mm = 10mm;

la creterea efectivului cu 30 25 piese, ce cretere a valorilor variabilei corespunde?

Aplicnd regula de trei simpl, se obine: (30 25) (40 30) 5 10 4,17( )37 25 12mm

.

Rezult c mediana seriei statistice este Me= 30 + 4,17 = 34,17(mm).

37


37/50

37

Reinem

Mediana unei serii statistice cu variabil cantitativ de tip continuu se calculeaz cu

formula: 1 , :M iei

C NM L k unde

n

L este limita inferioar a clasei mediane;

CMeste cota medianei ,,

2;

1,

2

M

Ndaca N este par

CN

daca N esteimpar

Ni-1este frecvena absolut cumulat cresctoare pn la clas median;

nieste frecvena absolut corespunztoare clasei mediane;

k este amplitudinea clasei mediane: xixi-1.

S aplicm aceast formulpentru seria statisticde mai sus:

Avem L = 30, CM = 60 : 2 = 30, Ni-1= 25, ni= 12, k = 10. Se obine

30 2530 10 34,17.

12eM

3.Modulul unei serii statistice

n multe activitti economico- sociale prezint interes acele aspecte care survin cel maifrecvent n desfurarea lor.

De exemplu, compararea numrului de apeluri telefonice pe interval mici de timp d

posibilitatea determinrii perioadei din zi cnd o centraltelefonic este cel mai mult solicitat

i, n consecin, d posibilitatea determinrii capacitaii optime a centralei.

Astfel de problemse rezolv folosind parametrul statistic de poziie numitmodul sau

dominant.

Definiie.Modululsau dominantaunei serii statistice , , 1, 2,...,i ix n i p

, reprezintvaloarea sau clasa de valori a variabilei care corespunde celui mai mare efectiv i se noteaz cu

Mo.

Aadar, modulul sau dominanta este parametrul ce evideniaz valoarea variabilei care

apare cel mai frecvent n mulimea datelor.


38/50

38

Exemple

1.Fie distribuia dup vechimea n munc a unui grup socoi- professional:

Vechimea

(n ani)

3 5 10 15 20 25 30

Numr de

personae

6 3 14 28 25 106

Se observ c Moeste 20.

S considerm o serie statistic cu variabil cantitativ de tip continuu. Daca

modulul este o clasa devalori ( clasa modal0, aceasta poate fi nlocuit cu valoarea ei central.

n acest caz avem 1 ,1 12

k ko

x xM k p .

2. Fie distribuia unui grup de tineri dupnlimean centimetri:

nltimea [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190]

Numrul de

tineri

4 14 27 14 6

Clasa modal este [175,180) creia i corespunde cea mai mare frecven. Modulul seriei

poate fi exprimat prin valoarea centrala clasei modale: 175 180

177, 5( )2

oM cm

III.6 Indicatori de mprtiere

Dispersia. Abaterea medie ptratic

S considerm urmtoarele serii de date: {1, 2, 3, 4, 5}, {2,40; 2,50; 2,60; 2,70; 2,80; 5}.

Se constat c ambele iruri de date au valoarea medie egala cu 3, sunt distincte, iar datele

primului ir sunt mai rspndite n raport cu media fa de cele ale setului al doilea.

Pentru a msura gradul de mprstiere a datelor unei serii statistice fa de medie se

folosesc urmtorii parametrii de poziie: dispersia i abaterea medie ptratic.

Definiie.Fiind dat seria statistic , ,1 ,i ix n i p dispersia valorilor 1 2, , ..., px x x este media

aritmetic ponderat a ptratelor abaterilor de la medie ale valorilor variabilei.

33

35


39/50

39

Se noteaz:

2

2 2 2

1 22 1

1 2

...

...

p

ip

i

p

x xx x x x x xs

n n n N

.

n cazul datelor grupate n clase de valori, se consider centrelor claselor de valori de la

medie.

Definiie. Fiind dat seria statistic , ,1 ,i ix n i p se numete abatere medie ptratic a

valorilor variabilei numrul 2s , unde 2s este dispersia seriei.

Aadar

2

1

p

i

i

x x

N

.

Abaterea medie ptratic d posibilitatea caracterizrii dispersiei valorilor variabilei

statistice. Astfel, o serie care este puin dispersat, adic prezint valori ce sunt strns grupate n

jurul valorii medii, conduce la o abatere medie ptratic mic.

Problem rezolvat

Distribuia unui lot de maini noi, dup consumul de carburant la 100 de km parcuri, se

prezint astfel:Consu

mul

(n

litri)

[6,2;6,6) [6,6;7) [7;7,4) [7,4;7,8) [7,8;8,2) [8,2;8,6) [8,6;9) [9;9,4) [9,4;9,8]

Numr

maini

(ni)

4 12 44 90 107 80 36 15 6

S se caracterizeze seria statistic folosind dispersia i abaterea medie ptratic.

Soluie

Fie ix valoarea central a clasei 1[ , ), 1i ix x i . Pentru a facilita calculul atam tabelului

de date de mai sus urmtoarele rubrici:


40/50

40

ix 6,4 6,8 7,2 7,6 8,0 8,4 8,8 9,2 9,6 Total

i ix n 25,6 81,6 316,8 684 856 722,4 316,8 138 57,6 3198,8

2

i ix x n 10,24 17,28 28,16 14,4 0 13,76 23,04 21,6 15,36 143,84

Cu ajutorul calculelor introduse n tabelul precedent avem:

9

1 3198,8 7, 998( ) 8( )400 400

i

i

x

x litri litri

.

9

2 1 143,84 0,3596400 400

i

i

x x

s

2

0,3596 0,5997( ).s litri Comentarii

Se observ c pentru eantionul de 400 de autoturisme consumul mediu la 100 de km este

de aproximativ 8 litri.

Dispersia valorilor consumului de carburant n jurul valorii medii 8 este de 0,3596 litri.

Valoarea mic a acesteia sugereaz faptul c valorile consumului de carburant sunt destul de

strnse n jurul mediei.

Dispersia valorilor consumului de carburant n jurul valorii medii, msurat prin abaterea

medie ptratic este de 0,5997 litri. Aceasta arat c valorile consumului de carburant se abate n

medie cu aproximativ 0,6 litri (n plus sau n minus) de la consumul mediu.

Definiie. Raportul dintre abaterea medie ptratic i valoarea medie a unei serii statistice se

numete coeficient de variaie.

Se noteaz cu CVx

.

Acest indicator d posibilitatea aprecierii gradului de omogenitate a unei serii statistice.

Un coeficient de variaie sub 15% indic o omogenitate bun a repartiiei unui fenomen i faptulc valoarea medie este reprezentativ.

Exerciii propuse

1. Se consider urmtorul set de date statistice: 5, 7, 20, 5, 4, 6, 4.

a) S se determine media aritmetic i mediana acestui set de date.


41/50

41

b) Care dintre cei doi indicatori caracterizeaz mai bine tendina central?

c) nlocuii valoarea 20 cu 8 i recalculai cei doi indicatori ai tendinei central. Ce modificri

survin?

d) Adugai 100 fiecrei valori iniiale. Cum se modific valoarea medie? Dar dac se scade 2

din fiecare numr?

2. Se consider repartiia statistic a notelor obinute de un grup de tineri la o evaluare:

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

efectiv 1 3 1 2 5 22 28 20 8 10

S se determine valoarea medie, mediana i modulul seriei statistice.

3. La o banc s-au nregistrat depunerile nregistrate ntr-o zi i s-au obinut urmtorul

table de date:

Sume depuse (milioane) [2,6) [6,10) [10,14) [14,18) [18,22) [22,26]

Numr deponeni 36 20 16 28 10 5

a) S se calculeze valoarea medie a depunerilor din acea zi.

b) sse calculeze mediana i modulul.

c) Care este coeficientul de variaie al seriei?

d) s se traseze histograma seriei statistice.

4. Distribuia unui lot de piese dup valorile diametrului lor este dat de tabelul:

Diametrul(cm) 4 5 6 8 10 12Nr. de piese 80 270 180 200 38 32

a) Care este valoarea medie a diametrului pieselor?

b) Care este diametrul cel mai des observat?

c) Indicai diametrul n raport cu care exist exist tot attea piese cu diametrul mai mic ct i cu

diametrul mai mare.

d) sse calculeze dispersia valorilor variabilei i s se evaluieze gradul de omogenitate al lotului

de piese (CV).


42/50

42

IV. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITILOR

Teoria probabilitilor a fost fondatn secolul al XVII-lea de ctre Pascal (1623-1662) i

Fermat (1601-1665), pornind de la jocurile de noroc, mai precis de la problema cavalerului De

Mer. Doi juctori vor sjoace mai multe partide pnce unul ctigm partide, dar jocul se

ntrerupe din anumite motive. n acel moment un juctor a ctigat n < m partide iar cellalt p

A 50 pag Matematici financiare+Analiza combinatorica+etc

Documents

Transcript of A 50 pag Matematici financiare+Analiza combinatorica+etc