Matematica in biologie2009

Cursul 1

Cunoasterea umana a oricarui domeniu al realitatii incepe cu observareaatenta a acestuia, culegerea de cat mai multe date despre respectivul domeniu,continuata cu gruparea si ordonarea acestora dupa anumite criterii, formulareaunor ipoteze de lucru, studierea lor cu diferite metode si mijloace, tragerea unorconcluzii, toate cele de mai inainte �ind urmate de confruntarea rezultatelorcercetarii cu realitatea. In cazul unei bune concordante intre rezultatele studiu-lui teoretic si cele obtinute prin observatii directe inseamna ca ipotezele de lucruau fost, pentru aceasta etapa a cercetarii si acest moment istoric, corecte si pot� incluse intr-o teorie (ce explica acceptabil realitatea din domeniul avut invedere). Daca, in momentul respectiv sau ulterior, dupa culegerea unui numarsuplimentar de date, se constata discrepante "serioase" intre predictiile teorieisi rezultatele observatiilor directe se vor abandona ipotezele de lucru si teoriileconstruite pe baza lor si se vor formula altele noi, iar procesul cunoasterii sereia.Si in matematica apar, in mod natural, tot felul de "date"; obiecte; operatii

cu ele etc. care se prelucreaza oarecum asemanator; se grupeaza, ordoneaza,claseaza, organizeaza si se inzestreaza cu diferite structuri, iar toate aceste op-eratiuni permit studiul, intelegerea si extragerea de informatii utile care urmeazaa � folosite ulterior in noi constructii teoretice sau aplicate in practica.Rolul jucat de matematica in studiul diverselor domenii ale cunoasterii a fost

diferit, in functie de epocile istorice. Daca la inceput aplicatiile matematicii eraulegate de o utilizare directa in viata de zi cu zi, ulterior acestea s-au diversi�catajungand astazi ca in aproape orice domeniu sa poata � decelat un "parfum"matematic cu intensitati mai mult sau mai putin accentuate. Pe parcursul vre-murilor au avut loc sedimentari si acumulari succesive in�uentate, mai mult saumai putin, de dezvoltarea generala a societatii umane. Intre cerintele dezvoltariitehnologice, ale avantului schimburilor comerciale si necesitatile progresului inmulte alte sfere ale activitatilor umane si dezvoltarea matematicii exista o in-terdependenta care nu este greu de pus in evidenta de un studiu serios al istorieicunoasterii umane.Cunoasterea stiinti�c¼a este bazat¼a pe schematizarea propriet¼atilor p¼artilor

sistemelor materiale sau de orice alta natur¼a, pân¼a la obtinerea unor atributeîntre care se pot stabili relatii simple, prin care se urm¼areste obtinerea unor legigenerale. Aceast¼a schematizare se numeste modelare, iar schemele obtinute senumesc modele.Printre cele mai importante modele stiinti�ce sunt cele numite matematice.

Un model matematic al unui anumit fenomen sau obiect din lumea înconjur¼a-toare este o descriere aproximativ¼a a acestuia (i.e. a fenomenului sau a obiectu-lui) realizat¼a cu ajutorul notiunilor, obiectelor si simbolurilor matematice. Anal-iza modelului matematic cu ajutorul teoriilor si mijloacelor matematicii permite

1

p¼atrunderea în esenta fenomenului studiat. Modelarea matematic¼a reprezint¼aun instrument, probabil cel mai puternic si uneori singurul, de cunoastere alumii atât la nivelul macro, cât si la cel micro. Totodat¼a ea permite evidentiereaunor caracteristici noi ale fenomenului studiat, descoperirea unor obiecte si pro-cese noi precum si �controlul� asupra comport¼arii lor, fapt care ne ajut¼a laaplicarea acestora la îmbun¼at¼atirea vietii si la progresul civilizatiei umane.Pentru obtinerea unor modele matematice este îns¼a nevoie s¼a se realizeze

preliminar, de exemplu în cadrul �zicii teoretice sau experimentale, alte modele,speci�ce fenomenelor �zice. În acest scop este necesar¼a cunoasterea st¼arilormediilor �zice în care au loc astfel de fenomene, respectiv caracteristicile de starecum ar �, de exemplu, temperatura, presiunea, sarcina electric¼a, vâscozitateaetc.Procesul de modelare matematic¼a presupune, în esent¼a, parcurgerea a patru

etape.1) În prima etap¼a se selecteaz¼a m¼arimile (caracteristicile) fundamen-

tale care caracterizeaza fenomenul avut în vedere si se formuleaz¼alegile care le conexeaz¼a. Aceast¼a etap¼a necesit¼a o bun¼a si (eventual) ampl¼acunoastere a faptelor legate de procesul respectiv si o �n¼a decelare a relatiilor(interconexiunilor) dintre ele. Aceast¼a etap¼a se �nalizeaz¼a prin (de)scrierea întermeni matematici a reprezent¼arilor calitative formulate privind conexiunile în-tre obiectele modelului. De multe ori problemele matematice care apar pe bazamodel¼arii matematice a unor fenomene diferite (cel putin în aparent¼a) coincid,ceea ce constituie o anumit¼a proprietate de universalitate pe baza c¼areia sepun evident¼a clase mari de procese cum ar � cele oscilatorii, cele de difuzie saucele stationare etc. Având în vedere aceast¼a caracteristic¼a asemenea probleme sinotiuni matematice universale se pot considera ca obiecte de sine st¼at¼atoare,abstractiz¼ari ale fenomenelor studiate.2) În etapa a doua se studiaz¼a problema matematic¼a la care s-a

ajuns în urma procesului de modelare matematic¼a. Chestiunea fun-damental¼a pentru acest moment o constituie rezovarea problemei directe,adic¼a obtinerea ca rezultat al analizei modelului a datelor de iesire (care suntdeci consecinte ale unui demers teoretic) în vederea unei compar¼ari ulterioarea lor cu rezultatele observatiilor (experimentelor) asupra fenomenului studiat.În aceast¼a etap¼a un rol decisiv îl joac¼a aparatul matematic necesar pentruanaliza (studiul) modelului matematic cât si tehnica de calcul �mijloc im-portant (de multe ori indispensabil) pentru obtinerea informatiei cantitative deiesire ca rezultat al rezolv¼arii unor probleme matematice care se dovedesc a �,în majoritatea cazurilor, complicate.3) În etapa a treia se cerceteaz¼a dac¼a, în ipotezele f¼acute, modelul

asociat avut în studiu îndeplineste (satisface) criteriile practice, adic¼ase r¼aspunde la întrebarea dac¼a rezultatele obtinute pe baza deductiilor teoreticedin model concord¼a, în limitele de exactitate (precizie) admise, cu cele ale obser-vatiilor directe (experimentale). Dac¼a modelul a fost complet de�nit (adic¼a totiparametrii s¼ai au fost determinati) problema direct¼a a fost rezolvat¼a si se trecela evaluarea erorii ceea ce înseamn¼a c¼a se m¼asoar¼a abaterile dintre rezultateleobtinute pe baza consideratiilor teoretice si cele determinate din m¼asur¼atori di-

2

recte. În cazul în care abaterile constatate dep¼asesc marja de tolerant¼a admis¼apentru observatii modelul propus este invalidat. Este necesar¼a reexaminareamodelului �zic, a ipotezelor f¼acute, a procesului de modelare matematic¼a pen-tru a vedea dac¼a nu s-au f¼acut simpli�c¼ari (idealiz¼ari) prea mari (severe) etc.Adesea, pentru a se putea face constructia unui model corect, unele dintre

caracteristicile sale r¼amân, momentan, neprecizate (nedeterminate). Problemeleîn care este necesar¼a determinarea unor anumite caracteristici (tr¼as¼aturi) (para-metrice, functionale etc.) ale modelului asa încât informatia furnizat¼a de acestas¼a �e în concordant¼a, în limitele de tolerant¼a ale m¼asur¼atorilor, cu rezultateleobservatiilor directe efectuate asupra fenomenului se numesc inverse. Dac¼a seîntâmpl¼a ca pentru nici o alegere a caracteristicilor avute în vedere modeluls¼a nu furnizeze date de iesire comparabile, în limitele de eroare admise pen-tru m¼asuratori, atunci acesta se dovedeste ca �ind inacceptabil pentru studiulfenomenului respectiv.Aplicarea criteriilor practicii în evaluarea modelelor matematice ne per-

mite s¼a tragem concluzii asupra plauzibilit¼atii (corectitudinii) ipotezelor care sea�¼a la fundamentul modelului (ipotetic) supus studiului.4) În sfârsit, în etapa a patra, pe m¼asur¼a ce apar abateri între datele

de iesire ale modelului matematic si observatiile directe sau indirecteasupra fenomenului studiat se ra�neaz¼a modelul pentru a obtine odiminuare a lor ( a abaterilor). Dar la un moment dat nu se mai poate facenimic! Atunci cand între observatii si predictiile furnizate de modelapar diferente semni�cative ce nu mai pot � explicate de acesta seabandoneaz¼a modelul si se trece la altul nou care s¼a �e mai conving¼a-tor decât cel vechi.Pân¼a acum scenariul (procesul) descris mai sus s-a repetat ciclic, uneori

cu perioade de sute si chiar mii de ani. Exemplul cel mai cunoscut este celal sistemului solar care, la începuturile umanit¼atii, a fost �explicat� prin di-verse mituri, apoi a ap¼arut modelul geocentric al lui Ptolomeu, urmat de celheliocentric al lui Copernic, completat de Kepler, Newton, Einstein etc. Pebaza modelelor matematice ale sistemului solar, care la un moment dat nu maifunctionau cum trebuie, au fost descoperite planetele Neptun (în anul 1846 dec¼atre astronomul francez Le Verrier) si Pluto (în anul 1930 de c¼atre astronomulamerican William Tombaugh).Pentru a vedea care este esenta procesului de elaborare a unui model matem-

atic guvernat de una sau mai multe ecuatii diferentiale ordinare sau cu derivatepartiale vom apela la excelenta lucrare Numerele naturii a lui Ian Stewart care,cu un talent remarcabil si cu o deosebit¼a expresivitate, în termeni proprii limba-jului �natural�, surprinde si �xeaz¼a, în tuse precise, ideile de fort¼a ale procesului.�Toate legile naturii care au fost descoperite urmând ideea de baz¼a a lui New-

ton conform c¼areia schimb¼arile în natur¼a pot �descrise prin procese matematice,exact asa cum formele în natur¼a pot � descrise prin obiecte matematice, au uncaracter oarecum asem¼an¼ator. Legile sunt formulate ca ecuatii care leag¼a întreele nu (neap¼arat) m¼arimile �zice importante (care intervin în descrierea proce-sului sau fenomenului �zic), ci, mai degrab¼a, vitezele cu care aceste m¼arimi seschimb¼a în timp sau / si spatiu (poate mai bine ar �ca, în loc de termenul vitez¼a,

3

s¼a utiliz¼am expresia �rat¼a a schimbarii�, adic¼a schimbarea m¼arimii respective înunitatea de timp sau spatiu). De exemplu, �ecuatia c¼aldurii�, care determin¼amodul de difuzie (propagare) a c¼aldurii printr-un (corp / mediu) conductor, im-plic¼a numai rata schimb¼arii temperaturii corpului, iar �ecuatia undelor�, careguverneaz¼a miscarea undelor în aer, ap¼a sau alte medii (inclusiv în vid), serefer¼a (numai) la rata schimb¼arii ratei schimb¼arii înaltimii undei (acceleratia!).Legile �zice ale luminii, sunetului, electricit¼atii, magnetismului, deform¼arilorelastice ale materialelor, curgerii �uidelor, ale reactiilor chimice etc. sunt toateecuatii pentru diferite rate ale schimb¼arii.Deoarece rata schimb¼arii se refer¼a la diferenta dintre o anumit¼a cantitate în

momentul de fat¼a si aceeasi cantitate o clip¼a mai târziu, ecuatiile care se obtin înacest fel se numesc ecuatii diferentiale. De la Newton încoace strategia �ziciimatematice a fost mereu s¼a descrie universul în termenii ecuatiilor diferentialepe care apoi s¼a le rezolve si pe baza r¼aspunsurilor obtinute s¼a progreseze încunoasterea acestuia�.Strategia conturat¼a mai sus s-a aplicat, în mod constant, timp de mai bine

de trei secole, cu un succes crescând, în domenii din ce în ce mai variate, laîntelegerea unor fenomene tot mai complicate situate la nivele ale cunoasteriitot mai înalte. Ceva totusi s-a schimbat pe parcurs si anume: întelesul sintag-mei �a rezolva�. La început acest fapt a presupus g¼asirea unei (unor) formulematematice precise (si explicite !) pe baza c¼areia (c¼arora) s¼a se poat¼a obtineo descriere adecvat¼a a fenomenului (sistemului, procesului sau obiectului) avut(avute) în vedere (si, eventual, a evolutiei lor într-un interval stabilit de timp).Pe m¼asur¼a ce acest deziderat devenea tot mai greu de îndeplinit, accentul s-apus pe g¼asirea valorilor aproximative ale solutiilor. Apoi s-a constatat c¼a, defapt, ceea ce intereseaz¼a cu adevarat sunt �propriet¼atile solutiilor� si c¼a pen-tru obtinerea informatiei dorite este su�cient s¼a se dea o descriere calitativa aacestora, care s¼a nu mai fac¼a apel la rezultate greu sau chiar imposibil de g¼asit.Ast¼azi se stie c¼a exist¼a probleme de matematic¼a, având sursa în realitatea încon-jur¼atoare, ale caror �solutii�nu se pot exprima prin intermediul unor formule.Faptul c¼a se întâmpl¼a asa ceva nu este prea grav deoarece nu formulele în sinesunt importante ci informatia care s-ar obtine din ele este valoroas¼a. Dac¼a nuse pot obtine formule atunci se încearc¼a a�area informatiei care ne intereseaz¼aprin alte metode si cu alte mijloace si / sau (alte) tehnici. Schimbarea de accentc¼atre o teorie calitativ¼a a constituit un progres important. Pentru prima datas-a început întelegerea naturii în, ceea ce s-ar putea numi, dupa unii savanti,proprii ei termeni.

4

In continuare vom prezenta cateva exemple foarte simple de modele matema-tice ale unor procese biologice.1) Constructia unui acvariu.Sa ne imaginam ca dorim sa construim un acvariu. Pentru simplitate vom

admite ca acvariul are forma unui paralelipiped. Stiind ca un pestisor, pentrua se dezvolta "armonios", are nevoie de un "spatiu vital" de � cm3 de apa sa sedetermine care este numarul maxim de pestisori care pot �plasati in acvariu. Oprima abstractizare are loc atunci cand asimilam acvariul cu un paralelipiped.Acesta este un concept matematic. Apoi vom asocia o anumita lungime �ecareilaturi a paralelipipedului. Masurarea acestor lungimi se face utilizand o unitatede lungime si conceptul de numar real. Iata o noua abstractizare si anume,notiunea de numar real. Apoi trebuie sa calculam volumul paralelipipedului cuajutorul unei formule matematice obtinute in geometrie. Daca laturile paralelip-ipedului au lungimile a cm; b cm si c cm; atunci volumul acvariului, masurat incm cubi, va � abc cm3: Prin urmare numarul maxim de pestisori care ar putea� plasati in acvariu ar �:

p =

�abc

�

�;

unde, pentru un numar real r am notat cu [r] partea intreaga a lui r:2) Dezintegrarea radioactiva:Una dintre legile fundamentale ale dezintegrarii substantelor radioactive,

asociata cu numele lui Rutherford, stabileste ca: viteza de dezintegrare (inteleasaca numarul de atomi, din substanta radioactiva, dezintegrati in unitatea detimp) este proportionala cu cantitatea totala de substanta (adica numarultotal de atomi) existenta la momentul respectiv: In foarte multe situatii neintereseaza, in primul rand, evolutia in timp a cantitatii dintr-o anumita sub-stanta radioactiva. Sa ne mai reamintim si faptul ca pentru �ecare substantaradioactiva exista un timp de injumatatire (adica timpul in care jumatatedintre atomii dintr-o anumita cantitate din acea substanta se dezintegreaza)notat cu T1=2: De exemplu, in cazul carbonului radioactiv (C14) acest timp esteT1=2 = 5568 ani. Dupa alti 5 568 de ani înca jumatate din ceea ce a ramas.Astfel, dupa aproximativ 10 �vieti�(10 perioade de înjumatatire), cantitatea decarbon radioactiv din proba analizata este redusa la cantitati nesemni�cative.Cu alte cuvinte, într-o perioada de 50� 60:000 de ani se ating limitele metodei;�zica ofera, în schimb, peste acest interval de timp, tehnicile radiometrice. Ma-suratori mai recente propun o valoare cuprinsa in intervalul [5568�40; 5568+40]de ani a timpului de injumatatire T1=2.Sa vedem cum "suna" varianta "diferential¼a" a legii lui Rutherford.Pentru

aceasta sa notam cu x(t) cantitatea de substanta radioactiva la momentul t > 0:Atunci, pentru un � > 0 su�cient de mic, are loc relatia:

x(t+ �)� x(t)�

= kx(t) + o(t; �);

unde o(t; �) �! 0; daca � �! 0; iar k 2 R este o constant¼a speci�c¼a substanteiradioactive in chestiune. Intrucat, prin dezintegrare, cantitatea de substanta

5

radioactiva descreste cu trecerea timpului constanta k trebuie sa �e< 0: Trecandla limita in relatia de mai sus obtinem ecuatia diferentiala:

x0(t) = kx(t) (1.1)

3) Dinamica populatiilor:a) Modelul lui Malthus.O veche si mereu actuala preocupare a oamenilor de stiinta, dar si a unora

dintre reprezentantii conducerilor diferitelor state, a constituit-o estimarea sipredictia evolutiei in timp a numarului de indivizi dintr-o anumita populatie,inclusiv umana. Pe baza cunoasterii volumului acelei populatii se pot face di-verse predictii in privinta organizarii acelui stat, a alocarii diferitelor resurse sia asigurarii armoniei sociale sau a pastrarii echilibrului ecologic.Inca din prima jumatate a veacului al XIX-lea s-au creat modele din ce in ce

mai complexe si mai ra�nate ale fenomenelor de dinamica populatiilor, o datacu perfectionarea metodelor de investigare sociologica sau biologica, rezultateleobtinute �ind tot mai precise si descriind tot mai adecvat realitatea inconjura-toare.Inceputul, cum este si �resc, s-a facut cu o situatie mai simpla, chiar "simpli-

�cata" am putea spune: evolutia populatiei unei singure specii. Fie x(t) volumulpopulatiei dintr-o anumita specie, intr-un anumit areal, care dispune de surse dehrana su�ciente si nu este in competitie, pentru resursele de hrana, dar nici dinalte motive, nici cu o populatie alogena, dar nici in "interiorul" acelei populatii.Pornind de la observarea atenta a evolutiei unei asemenea populatii s-a observatca, intr-un interval "mic" de timp [t; t + � ]; (� > 0 "mic"), rata de crestere aacelei populatii

x(t+ �)� x(t)�

este proportionala cu volumul populatiei x(t): Deci exista k 2 R astfel incat

x(t+ �)� x(t)�

� kx(t):

Aproximatia devine din ce in ce mai acurata pe masura ce � > 0 devine maimic. Trecand la limita cu � & 0 obtinem

x0(t) = kx(t);

adica ecuatia diferentiala liniara, de ordinul intai,

x0 = kx: (1.2)

Aceasta ecuatie diferentiala descrie acurat evolutia diferitelor culturi micro-biene sau bacteriene. Ea a fost adoptata ca model matematic de evolutie sipentru populatia umana de catre Malthus. In anumite perioade din evolutiasocietatii umane, de exemplu intre anii 1700 - 1960, predictiile bazate pe acestmodel matematic s-au dovedit corecte, dar exista si perioade in care predictiilenu mai corespund cu realitatea.

6

b) Modelul lui Verhulst.Din nevoia de a pune de acord predictiile modelului matematic cu datele

obtinute experimental, in anul 1837, matematicianul, totodata si biolog, belgianVerhulst a propus un model mai "realist" de crestere a populatiei, descris deecuatia "logistica" :

x0 = ax� bx2; (1.3)

cu a; b constante strict pozitive.Pentru determinarea constantelor a si b se determina efectiv solutiile acestei

ecuatii (aceasta este o problema de matematica !) si din compararea acestorsolutii cu datele experimentale se estimeaza parametrii.c) Modelul Lotka - Volterra.Modele matematice si mai realiste trebuie sa puna in evidenta "interac-

tiunea" intre diferite specii. De exemplu, in cazul interactiunii a doua specii,una �ind considerata "prada" si avand volumul x1(t); iar alta considerata drept"pradator" si avand volumul x2(t) se obtine sistemul de ecuatii diferentiale,atribuit matematicienilor Lotka si Volterra, urmator:�

dx1dt = ax1 � bx1x2dx2dt = �cx1 + dx1x2

; (1.4)

unde a; b; c ; d sunt constante strict pozitive care se determina experimental.Ulterior vom considera o multime de alte modele matematice ale unor fenome-

ne biologice.� � � � �

Sa trecem acum la lucruri mai precise.Primul concept fundamental este cel de numar. Ne reamintim urmatoarele

clase de numere:a) multimea numerelor naturale:

N = f0; 1; 2; :::; n; :::g :

Cu N� vom desemna numerele naturale n � 1:b) multimea numerelor intregi:

Z = f:::;�n; :::;�2;�1; 0; 1; 2; :::; n; :::g :

c) multimea numerelor rationale:

Q =nabj a 2 Z; b 2 N�

o:

d) multimea numerelor reale R:Aceasta multime este mult mai complicat de descris, dar ne aducem aminte

ca:N � Z � Q � R:

Printre numerele reale din RnQ ne reamintim de:p2; e = 2; 7182:::; � =

3; 1415:::: .

7

O reprezentare deosebit de convenabila si, mai ales, utila a multimii nu-merelor reale, cu ajutorul unei drepte numita si axa reala, se obtine cu ajutorulbijectiei lui Descartes.Se alege o dreapta, un punct oarecare, dar �xat, pe dreapta (notat O) numit

origine, un sens (considerat pozitiv) si o unitate de masura, adica un anumitsegment cu lungimea �xa, considerat ca �ind unitatea de masura. Atunci ori-carui numar real ii corespunde un anumit punct pe dreapta si, reciproc, oricaruipunct de pe dreapta ii corespunde un anumit numar real. Asadar corespondentade mai inainte este o aplicatie unu la unu, numita bijectia lui Descartes.Dupa cum ne este binecunoscut cu numerele reale se pot face adunari,

scaderi, inmultiri si impartiri (daca impartitorul este nenul).Sa reamintim cateva dintre proprietatile importante ale tripletului: (R;+; �):1) adunarea este o operatie interna pe multimea numerelor reale, adica

suma a doua numere reale este (totdeauna !) tot un numar real; prin urmare

+ :R� R! R ;

2) adunarea este asociativa, adica

8x;y; z 2 R) (x+ y) + z = x+ (y + z) ;

3) adunarea este comutativa, adica

8x;y 2 R) x+ y = y + x ;

4) exista un numar real (special!) notat 0 (zero) astfel incat

x+ 0 = 0+ x;8x 2 R ;

5) 8 x 2 R 9 x0(= �x) 2 R astfel incat

x+ x0= x0+x = 0;

6) inmultirea este o operatie interna pe multimea numerelor reale, adicaprodusul a doua numere reale este (totdeauna !) tot un numar real; prin urmare

�:R� R! R ;

7) inmultirea este asociativa, adica

8�; � 2 R si 8 x 2 R) �(�x) = (��)x ;

8) inmultirea este distributiva fata de adunare (in varianta I), adica

8� 2 R si 8 x;y 2 R ) �(x+ y) = �x+ �y ;

9) inmultirea este distributiva fata de adunare (in varianta II), adica

8�; � 2 R si 8 x 2 R ) (�+�)x = �x+�x ;

8

10) exista un alt numar real (special!) notat 1 (unu) astfel incat:

1 � x = x; 8x 2 R:

Proprietatile 1) � 5) ne spun ca (R;+) este un grup comutativ.

� � � � �

In cursul precedent am vazut ca, pentru n 2 N�= Nrf0g; spatiul

Rn=R� R�:::�R| {z }n factori

se poate inzestra, in mod natural, cu doua operatii (legi de compozitie binare):i) una interna, notata cu +;

+ : Rn�Rn! Rn;

numita adunare si de�nita astfel:

(x1; :::; xn) + (y1; :::; yn) := (x1 + y1; :::; xn + yn);

8x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn) 2 Rn siii) o alta externa, notata cu �;

� : R� Rn! Rn; (�; x)! � � x = �x;

numita inmultire cu scalari de�nita dupa cum urmeaza:

� � (x1; :::; xn) := (�x1; :::; �xn);

8� 2 R si 8(x1; :::; xn) 2 Rn:Inzestrat cu adunarea de�nita mai sus Rn devine un grup comutativ, adica:1) (x+ y) + z = x+ (y + z); 8x; y; z 2 Rn (asociativitate);2) x+ y = y + x; 8x; y 2 Rn (comutativitate);3) exista element neutru 0Rn = 0 = (0; :::; 0) 2 Rn astfel incat

x+ 0 = 0 + x = x;8x 2 Rn;

4) 8x 2 Rn 9x0 = �x = (�x1; :::;�xn) 2 Rn asa incat

x+ x0 = x0 + x = 0:

In raport cu operatia de inmultire cu scalari sunt veri�cate proprietatile:1) �(x+ y) = �x+ �y, 8 � 2 R, 8 x; y 2 Rn;2) (�+ �)x = �x+ �x; 8 �; � 2 R; 8 x 2 Rn;3) �(�x) = (��)x; 8 �; � 2 R; 8 x 2 Rn;4) 1 � x = x; 8 x 2 Rn:

9

Observatii.i) O reprezentare deosebit de convenabila si, mai ales, utila a lui R2, cu

ajutorul planului, se obtine cu ceea ce se numeste bijectia lui Descartes.Se considera un plan in care se aleg doua drepte perpendiculare. Punctul

lor de intersectie se noteaza cu O si se numeste originea sistemului de coordo-nate. Pe �ecare dintre cele doua drepte se alege cate un sens (consideratca �indpozitiv), de obicei spre dreapta pe axa orizontala (numita si axa absciselor) siin sus pe dreapta perpendiculara pe axa absciselor, numita si axa ordonatelor).Daca �xam un anumit segment pe care il vom considera ca �ind unitatea demasura atunci oricarei perechi de numere reale (a; b) 2 R2 ii asociem un punctbine determinat A pe axa absciselor, de abscisa a si un punct bine determinatB pe axa ordonatelor, de ordonata b: Daca prin A ducem o paralela la axaordonatelor, iar prin B o paralela la axa absciselor cele doua paralele se vorintersecta intr-un punct (unic !) M din plan. Acesta va � imaginea "punctului"(a; b) 2 R2; avand abscisa a 2 R si ordonata b 2 R: Reciproc, oricarui punct Mdin plan, procedand invers ca mai sus, ii putem asocia o pereche (a; b) din R2:Prin bijectia lui Descartes unei drepte dintr-un plan ii corespunde "ecuatia":

ax+ by = c;

unde a; b; c sunt trei numere reale �xate, iar x; y sunt coordonatele punctuluicurent de pe dreapta.Analog, unui cerc de raza R > 0; cu centrul in punctul O(x0; y0); ii core-

spunde "ecuatia":(x� x0)2 + (y � y0)2 = R2;

unde x; y sunt coordonatele punctului curent de pe cerc.Analog si altor "�guri" geometrice le corespun anumite "ecuatii". Operati-

ilor din geometrie le corespund anumite operatii cu ecuatiile de mai sus. In acestfel s-a algebrizat geometria. Sa retinem ca acesta este un proces "invers" celuidin antichitate cand se "geometrizase", pe cat posibil, intreaga matematica. Siastazi se mai pastreaza reminiscente ale acelor vremuri. O expresie ca a2 seciteste "a p¼atrat" (probabil pentru ca daca a ar � lungimea laturii unui p¼atratatunci a2 ar reprezenta m¼asura ariei acelui p¼atrat), iar numerele complexe

$k = cos2k�

3+ i sin

2k�

3; 0 � k � 2

se mai numesc si radacinile cubice ale unitatii ($3k = 1). Mai sus, i

2 = �1:S-a produs asadar o schimbare de paradigma cu efecte extraordinare in dez-

voltarea civilizatiei umane. Pentru majoritatea fenomenelor si proceselor natu-rale intalnite de om s-au putut crea modele matematice tot mai precise care aupermis o intelegere mult mai profunda a acestora (fenomene si procese). Toateaceste acumulari de cunostinte au condus la perfectionari continue in proceseleindustriale, crearea de noi masini, tehnologii, instrumente, aparaturi, etc. mereusi mereu mai performante, la o crestere nemaintalnita a productivitatii. Asa aaparut civilizatia tehnologica de astazi !

10

ii) Si pentru R3 se poate obtine o reprezentare convenabila, cu ajutorul uneibijectii a lui Descartes, prin intermediului spatiului tridimensional. In acest cazse aleg trei drepte care trec printr-o origine O; doua cate doua perpendiculare.Pe �ecare axa se alege un sens si apoi cu o unitate de lungime aleasa si �xata seasociaza, in mod unic, �ecarui "punct" (a; b; c) 2 R3 un punct imagine M dinspatiul tridimensional. Axa pe care se a�a punctele de forma (a; 0; 0) se numesteaxa absciselor; axa pe care se a�a punctele de forma (0; b; 0) se numeste axaordonatelor, iar axa pe care se a�a punctele de forma (0; 0; c) se numeste axacotelor.iii) Toate cele patru proprietati ale adunarii vectoriale (pe Rn), cat si cele

patru proprietati ale inmultirii cu scalari se demonstreaza (veri�ca) !�Alte exemple de spatii care se inzestreaza, in mod natural, cu o operatie

(interna) de adunare si cu o operatie (externa) de inmultire cu scalari (numerereale sau complexe) sunt urmatoarele:a) spatiul polinoamelor cu coe�cienti reali, de grad � k:

Pk = fa0 + a1X + :::+ akXk j a0; :::; ak 2 Rg;

b) multimea matricilor cu m linii si n coloane, avand componente reale;c) multimea functiilor de�nite pe [0; 1] si cu valori reale;d) multimea functiilor continue pe [�1; 1] avand valori reale.�Observatie. In �ecare dintre cele patru exemple de mai sus corpul nu-

merelor reale poate � inlocuit cu corpul numerelor complexe. �Se constata usor ca, in oricare dintre aceste cazuri, proprietatile adunarii

vectoriale cat si cele ale inmultirii cu scalari, indeplinite mai sus pentru cazullui Rn; se veri�ca din nou.Pentru a nu mai � nevoiti sa studiem �ecare caz particular in parte se intro-

duce un concept abstract care constituie o generalizare extrem de importantasi cu aplicatii multiple in matematica moderna si anume notiunea de spatiuvectorial sau spatiu liniar.

11