Mecanica analitica

Coordonate şi viteze generalizate. Spaţiu de configuraţie.Un sistem mecanic este supus la legături dacă i se impun anumite restricţii geometrice, adica există o dependenţă funcţională între coordonate, viteze şi timp

În lipsa unor legături, configuraţia unui sistem de n puncte materiale va fi determinată la un moment dat de 3n coordonate carteziene x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn. Un astfel de sistem are 3n grade de libertate care definesc univoc poziţia în spaţiu la un moment dat a tuturor punctelor din sistem în raport cu un sistem de referinţă. Dacă între cele 3n coordonate există ℓ relaţii de legătură, numărul gradelor de libertate se reduce la f = 3n-ℓ. În acest caz configuraţia sistemului se poate defini dacă se cunosc numai f coordonate independente q1, q2, . . . , qf numite coordonate generalizate.

q1 = q1(x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn)

qf = qf (x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn)

Mecanica analitică are avantajul că elimină relaţiile de legătură.În mecanică o coordonată generalizată poate fi o distanţă sau un unghi.

0,v,...,v,v,,...,, 2121 trrrf nn

……..

i = 1, 2, …, f viteze generalizate

Starea mecanică a sistemului de n puncte materiale cu f grade de libertate este complet determinată de 2f parametri şi anume de cele f coordonate generalizate şi cele f viteze generalizate. Ne putem imagina un spaţiu cu f dimensiuni în care un punct figurativ determinat de mărimile q1, q2, . . . ,qf să reprezinte configuraţia sistemului la un moment dat, adică poziţia tuturor punctelor materiale în raport cu un referenţial. Acest spaţiu se numeşte spaţiu de configuraţie. La trecerea sistemului de la o stare iniţială ∑0 la o altă stare ∑, punctul reprezentativ va descrie o traiectorie în spaţiul de configuraţie, reprezentată prin ecuaţiile:

q1 = q1(t), q2 = q2(t), . . . , qf = qf(t)

Ecuaţiile Lagrange de speţa I-a şi a II-a

x = r cos θy = r sin θ

dt

dqq ii

r , θ - coordonate generalizate, numite coordonate polare plane

versorul directiei variabile r

este versorul perpendicular în fiecare moment pe

cossin ji

sunt versorii axelor Ox şi Oy şi au mărimea egală cu unitatea şi o direcţie care se păstrează.

ji,

sincos ji

rjyixr

(1)

(2)

(3)

sincos rrx cossin rry

)cossin()sincos(v jirjirjyix

rr v

Derivand relatiile (1) si (2) obtinem:

Derivand ecuatia (3) obtinem acceleratia:

Forta se poate descompune intr-o componenta radiala si una normala

nrnr FFFFamF

)cossin(cossin jiji

)sincos(sincos jiji

)2()( 2 rrrra

)( 2 rrmmaF rr )2( rrmmaF nn

2

v

rrrrr

rrrrra

marimea momentului cinetic

energia cinetica

impulsuri generalizate

In general i = 1, …, f

Dacă qi reprezintă o distanţă, atunci impulsul generalizat pi corespunzător este un impuls, iar dacă qi este un unghi, atunci impulsul generalizat corespunzător reprezintă un moment cinetic.

(4)

rmr

Tpr

2mrT

p

ii q

Tp

22)(v mrmrrrrmmrp

)(2

)(22

v 222222

rrm

yxmm

T

Impulsurile generalizate pi admit un acelaşi potenţial al impulsurilor T, care în cazul mişcării plane se numeşte potenţial efectiv al impulsurilor generalizate şi este de fapt energia cinetică a particulei.

În cazul unei mişcări nerelativiste (m = const.), variaţia în timp a celor două coordonate generalizate r şi θ este descrisă de ecuaţiile:

FM

- momentul fortei

2)( mrFrmrmdt

d

dt

dpr

r

nnrF rFFFrMmrdt

d

dt

dp )( 2

(5)

(6)

Tinand cont de ecuatiile (5) si (6) se constata ca, pentru orice grad de libertate, evoluţia este descrisă de o ecuaţie de forma:

ii Fdt

dp i = 1, 2, …, f

unde pi şi Fi reprezinta impulsul generalizat şi forţa generalizată asociate gradului de libertate „i”

Deoarece 2mrr

T

0T

ecuatiile (5) si (6) devin:

r

TFrm

dt

dr

)(

T

Mmrdt

dF

)( 2

In general:

iiii q

TQp

dt

dF

i = 1, 2, …, f

Pentru orice grad de libertate, forţa generalizată Fi este egală cu suma dintre forţa generalizată Qi datorată interacţiunilor care efectuează lucru mecanic nenul şi derivata potenţialului efectiv al impulsurilor generalizate T în raport cu coordonata generalizată corespunzătoare.

(7)

Înlocuind Pi din (4) în (7) obţinem ecuaţiile Lagrange de speţa I-a, care caracterizează procesele disipative (neconservative):

ii

i q

TQ

q

T

dt

d

i = 1, 2, … , f

Pentru a explica notiunea de sistem conservativ, consideram lucrul mecanic efectuat de o forta care deplaseaza o particula pe traiectoria M1, M2:F

2

1

12 rdFW

(8)

2122

2

1

12 vv2

1vv mdmW

1212 TTW

Dar dUdW

2112 UUW

U – energia potentiala

(9)

(10)

Din (9) si (11) obtinem:

2112 UUTT 2211 UTUT Teorema conservării energiei: energia totală a sistemului este constantă dacă forţele ce acţionează asupra sistemului sunt conservative.În cazul proceselor nedisipative (conservative), lucrul mecanic se poate datora doar unei modificări a energiei de interacţiune, care în general este denumită potenţial U(qi) al forţelor generalizate. Astfel putem generaliza relaţia (10):

(11)

f

iiidqQdWdU

1

Luînd qj = const. Pentru orice j ≠ i rezultă:

iconstqii q

U

dq

dUQ

j

i = 1, 2, … , f (12)

În acest caz se poate defini funcţia Lagrange

)(),,(),,( iiiii qUtqqTtqqL Deoarece:

iii

pq

T

q

L

iiiiii

FQq

T

q

U

q

T

q

L

Utilizand functia Lagrange si tinand cont de ecuatiile (12) si (7):

Ecuatiile (8) devin:

ii q

L

q

L

dt

d

i = 1, 2, … , f

Acestea sunt ecuaţiile Lagrange de speţa a II-a, care sunt valabile în cazul proceselor conservative.Sistemul ecuaţiilor Lagrange cuprinde f ecuaţii diferenţiale de ordinul doi. Pentru ca mişcarea să fie complet determinată, este necesar să ştim valorile iniţiale ale coordonatelor şi vitezelor generalizate.

(13)(utilizand rel. (4))

Principiul lui Hamilton

Prin deplasare reala, , vom intelege orice deplasare compatibila cu legaturile, iar prin deplasare virtuala, , vom intelege orice deplasare compatibila cu legaturile la un moment dat intre doua traiectorii vecine

rd

r

Deoarece operaţiile de variaţie a traiectoriei si cele de derivare in raport cu timpul sunt independente, ordinea lor este inversabila, adica:

dt

d

rdt

d

dt

drr

Considerăm în spaţiul fictiv al configuraţiilor şi timpului (q1, . . . , qf, t) o curbă care descrie evoluţia reală a sistemului qi = qi(t), i = 1, 2, . . . , f şi o altă curbă infinit vecină, care descrie o evoluţie virtuală a sistemului qi,virt = qi,virt(t).

irealivirtii qtqtqq )()( ,,

)(tqq ii

Întrucât atât traiectoria reală, cât şi cea virtuală sunt trasate între aceleaşi stări extreme

0)()( 21 tqtq ii

Deoarece traiectoria virtuală este foarte apropiată de cea reală

)(),,(

),,(),,(

1

,,,,

ii

i

f

i iii

irealiirealivirtivirti

qq

Lq

q

LtqqL

tqqqqLtqqL

dezvoltare in serie Taylor

Variaţia funcţiei Lagrange între valorile corespunzătoare traiectoriei virtuale, respectiv traiectoriei reale:

(14)

),,(),,( ,, tqqLtqqLL iivirtivirti devine

)(1

ii

i

f

i i

qq

Lq

q

LL

(15)

Integram relatia (15) de la t1 la t2 si inlocuim prin , in conformitate cu ecuatiile Lagrange de speta a II-a. iq

L

iq

L

dt

d

dtqq

Ldtq

q

L

dt

ddttqqL

f

i

t

t

ii

i

f

i i

t

t

t

t ii

11

2

1

2

1

2

1

),,(

Deoarece operatorii si sunt independentidt

d

iii

i qddqdtdt

dqdtq

Inlocuind (17) in (16) obtinem:

(17)

(16)

tinand cont de relatia (14)

Deoarece operatorii si sunt independenti, obtinem: 2

1

t

t

0),,(2

1

SdttqqLt

t

ii expresia matematica a principiului lui Hamilton

Unde dttqqLSt

t

ii ),,(2

1

actiunea sistemului

Principiul lui Hamilton arată că evoluţia unui sistem fizic între o stare iniţială şi o stare finală se realizează după acea traiectorie din spaţiul configuraţiilor şi timpului pentru care acţiunea Hamilton S atinge o valoare minimă (de cele mai multe ori), o valoare maximă sau este constantă. De obicei principiul lui Hamilton se numeşte principiul minimei acţiuni sau, mai general, principiul acţiunii extreme.

0

)(),,(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

11

11

t

t

f

ii

i

f

i

t

t

ii

i

f

i

t

t ii

i

f

i

t

t

t

t

ii

qq

Lq

q

Ld

qdq

Lq

q

LddttqqL

Se numesc variabile canonice un ansamblu format din f coordonate generalizate şi f impulsuri generalizate. Un spaţiu cu 2f dimensiuni ale cărui coordonate sunt variabilele q1, q2, . . . , qf, p1, p2, . . . , pf se numeşte spaţiul fazelor.Tinand cont de relatia (13) si de ecuatiile Lagrange obtinem:

ii q

L

q

L

dt

d

Deferentiala totala a functiei Lagrange este:

dtt

Ldpqqpddqp

dtt

Lqdpdqpdt

t

Lqd

q

Ldq

q

LdL

i

f

ii

f

iiii

f

ii

i

f

iii

f

iii

f

i ii

f

i i

111

1111

i

i q

Lp

dt

d

(18)

Daca se postulează principiul lui Hamilton pe baza acestuia se deduc ecuaţiile Lagrange de speţa a II-a. Astfel principiul lui Hamilton este echivalent cu ecuaţiile Lagrange de speţa a II-a.

ii q

Lp

Unde am folosit relatiile (13) si (18). Relatia anterioara devine:

Se defineste functia Hamilton:

tqqLqptpqH iii

f

iiii ,,,,

1

Diferentiind H obtinem:

dtt

Hdp

p

Hdq

q

HdH i

f

i ii

f

i i

11

Identificand relatiile (19) si (20) rezulta ecuatiile canonice ale lui Hamilton.

(19)

(20)

ii p

Hq

ii q

Hp

i = 1, 2,…, f

dtt

LdqpdpqLqpd

f

iiii

f

ii

f

iii

111

- energie totală a sistemului

In plus,

t

L

t

H

Sistemul ecuaţiilor Hamilton cuprinde 2f ecuaţii diferenţiale de ordinul I.Sistemele de ecuaţii Lagrange de speţa a II-a sunt echivalente cu sistemele de ecuaţii Hamilton dacă:

t

L

t

H

f

iii LqpH

1

Pentru sisteme conservative functia lui Hamilton este suma energiei cinetice si potentiale, exprimate in functie de coordonate si impulsuri.

constUEH c