Curs 4 Solutii Generale de Combaterea Vibratiilor

Fig. 4.1. Sistem material suspendat raportat la un sistem de axe de

coordonate. K — punctul de. legătură a sistemului cu elementele suspensiei.

Liviu-Constantin STAN – SOLUŢII GENERALE DE COMBATEREA VIBRAŢIILOR

4. SOLUŢII GENERALE DE COMBATEREA VIBRAŢIILOR

Vibraţiile generate de părţile în mişcare ale maşinilor care nu au putut fi eliminate prin dimensionare

iniţială, prin alegerea convenabilă a dimensiunilor, sau prin măsuri luate la sursă, se transmit părţilor fixe ale

acestora şi apoi prin intermediul legăturilor dintre maşină şi clădire se transmit mai departe sub formă de

unde elastice prin elementele de construcţie. Această transmisie poate fi redusă dacă între maşină şi

elementele cu care acesta vine in contact se realizează un cuplaj cit mai slab. Evitarea unui cuplaj rigid se

referă atît la legătura dintre sursa de vibraţii şi fundaţie, cit şi la legătura dintre sursa de vibraţii şi anumite

instalaţii auxiliare (canale, conducte, ţevi etc).

Există două căi principale de protecţie împotriva vibraţiilor. Prima cale, protecţia activă, constă în

limitarea domeniului de propagare a vibraţiilor produse de sursa de vibraţii către elementele învecinate. Prin

cea de a doua cale se protejează aparatele, instalaţiile şi mecanismele, a căror funcţionare este periclitată.

În continuare vom prezenta unele principii şi calculul izolării maşinilor contra vibraţiilor.

Pentru început vom prezenta pe scurt metoda de calcul a frecvenţelor proprii ale maselor suspendate.

Considerăm figura 4.1 în care am notat cu O centrul maselor

corpului luat în consideraţie:

X, Y, Z - deplasarea centrului maselor de-a lungul axelor OX, OY şi OZ;

x, y, z - unghiul de rotaţie al corpului în jurul axelor OX, OY şi OZ;

A, B, C - coordonatele punctului de suspendare a corpului in raport cu sistemul de axe OXYZ;

p, q, r — forţele elastice care iau naştere în direcţia axelor OX, OY şi OZ.

Dacă numărul elementelor de suspensie este n, atunci forţele elastice şi coordonatele acestor puncte

se afectează cu indici de la 1 la n. De exemplu, al n-lea punct de suspensie va avea. coordonatele An, Bn şi Cn

iar forţele eleastice se vor nota cu pn, qn şi rn.

Curs CAZV


Notînd cu Fx, Fv şi Fz proiecţiile forţei rezultante pe axele OX,OY si OZ care acţionează asupra

corpului şi cu Mx, My şi Mz mmomentele rezultante în raport cu aceleaşi axe, putem scrie:

(4.1)

(4.2)

Notînd cu Jx, Jy si JZ, şi momentele de inerţie în raport cu axele OX, OYşi OZ, cu ω pulsaţiile proprii

ale vibraţiilor corpului şi avand în vedere că:

(4.3) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) (4.8)

Pentru a determina pulsaţiile proprii ω, din relaţiile (4.3) ... (4.8) se elimină mărimile X, Y, Z, x, y, z

şi se obţin 6 valori pentru ω, din care 3 corespund vibraţiilor liniare şi 3 vibraţiilor unghiulare ale corpului.

Pentru a rezolva sistemul de ecuatii formam determinantul:

X Y Z x y z

Curs CAZV

−+−−+=

−+−−+=

−+−−+=

−+=

−+=

−+=

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

∑

= =

= =

= =

=

=

=

n

i

n

izyxzz

n

i

n

iyxzyy

n

i

n

ixzyxx

n

iyxz

n

ixzy

n

iz

BCXpBCAYqAM

ABZrABCXpCM

CAYqCABZrBM

ABZrF

CAYqF

BzCyXpF

1 1

1 1

1 1

1

1

1

)()(

)()(

)((

)(

)(

)(

=−−−+−+

=−−−+−+

=−−−+−+

=−+−

=−+−

=−+−

===

===

∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

0][

0][

0][

0)(

0)(

0)(

;;

;;

222

222

222

2

2

2

222

222

pyBCxACqpBXqAYJpBqA

rxABpzBCrAZpCXyJrApC

qzACryABqCYrBZxJqCrB

ryArxBZmr

qxCqzAYmq

pzBpyCXmp

zJMyJMxJM

ZmFYmFXmF

z

y

x

zzyyxx

zyx

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ωωω

ωωω


6

5

4

3

2

1

a

a

a

a

a

a

=∆

6

5

4

3

2

1

b

b

b

b

b

b

6

5

4

3

2

1

c

c

c

c

c

c

6

5

4

3

2

1

d

d

d

d

d

d

6

5

4

3

2

1

e

e

e

e

e

e

0

6

5

4

3

2

1

=

f

f

f

f

f

f

(4.9)

Relaţia (4.9) este valabilă pentru cayul cel mai general. În cazul reprezentat în figura 4.1, axele de

coordinate OX, OY, OZ trec prin centrul de masă al corpului, iar arcurile sunt paralele cu axele de

coordenate.

Se poate demonstra că în aceste condiţii avem :

=

=

==

;

;

;0

16

15

14

fa

ea

da

;

;0

;

26

25

24

fb

bb

db

=

==

=

;0

;

36

35

;34

==

=

=

fc

ec

dc

46

45

56

fd

ed

fe

=

=

=

deci determinantul (4.9) devine:

X Y Z x y z

3

2

1

0

0

0

a

a

a

=∆

3

2

1

0

0

0

b

b

b

0

0

0

3

2

1

c

c

c

3

2

1

2

2

0

d

d

d

c

b

2

1

2

3

2

0

e

e

d

c

a

00

1

2

3

3

3

=

f

e

d

b

a

(4.10)

unde:

−==

−==

−+==

−==

−==

−==

∑∑

∑ ∑∑∑∑

;

;

;

;

;

;

62

63

22241

231

221

211

pBCee

qACdd

JqCrBdd

mwrcc

mwqbb

mpaa

xω

ω

22261

22251

42

42

52

;

;

;

ω

ω

z

y

JpBqAff

JrApCee

rBcc

qCbb

pCaa

−+==

−+==

==

−==

==

∑∑∑∑

∑∑

∑

∑∑

∑∑

−==

−==

==

−==

rABdd

rAcc

qAbb

pBaa

52

53

63

63

Ecuaţia pulsaţiilor se obţine înlocuind aceste 15 expresii in ecuaţia (4.10):

Curs CAZV


ω12 – K1ω10 + K2 ω8 – K3 ω6 + K4 ω4 – K5 ω2 + K6 = 0 (4.11)

de unde se pot calcula pulsaţiile proprii ale sistemului.

În cele mai multe cazuri practice, problema se simplifică deoarece maşinile şi utilajele prezintă unele

grade de simetrie. Vom studia în continuare cîteva cazuri particulare:

4.1. Suspensie simetrică în raport cu planul XOY

În figura 4.2 este prezentat schematic sistemul de vibroizolare a unui agregat Diesel-generator de

curent.

Fig. 4.2. Sistem tipic de suspensie a unui agregat format din motor Diesel şi generator de curent.

Deoarece ∑ = 0C relaţia (4.10) devine:

X Y Z x y z

3

1

0

0

0

0

a

a

=∆

3

1

0

0

0

0

b

b

0

0

0

3

2

1

c

c

c

0

0

0

2

1

2

d

d

c

0

0

0

1

2

3

e

d

c 0

0

0

0

1

3

3

=

f

b

a

(4.12)

unde:

Curs CAZV


−+=

−+=

−+=

−=

−=

−=

∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑∑∑

2221

2221

2221

21

21

21

;

;

;

;

;

ω

ω

ω

ω

ω

ω

z

y

x

JpBqAf

JrApCe

JqCrBd

mrc

mqb

mpa

∑∑

∑∑∑

−=

−=

=

=

−=

rABd

rAc

rBc

qAb

pBa

2

3

2

3

3

Din figură rezultă că agregatul execută următoarele mişcări : verticală de-a lungul axei OX ;

longitudinala de-a lungul axei OY ; transversală de-a lungul axei OZ; rotaţiile x, y ,z .

Avînd în vedere relaţia (4.12) frecvenţele vibraţiilor verticale, longitudinale şi unghiulare în jurul

axei OZ, se exprimă cu relaţia:

X Y x

3

1

0

a

a

=∆

3

1

0

b

b 0

1

3

3

=f

b

a

(4.13)

Frecvenţele vibraţiilor transversale şi cele unghiulare în jurul axei OX şi OY se obţin din relaţia :

Z x y

3

2

1

c

c

c

=∆

2

1

2

d

d

c

0

1

2

3

=e

d

c

(4.14)

Dezoltîand determinantul 4.13 obţinem

0123

231111 =−− babafba (4.15)

Inlocuind în relaţia (4.15) expresiile lui a1, a3, b1, b3, f1 şi grupand termenii rezultă:

0][

][)(22

21

23

22

21

223

22

23

21

22

21

423

22

21

6

=−−−

−−−+++++−

dcba

dcba

µµωµµωωωωωµµµµωωωωωωωωωωω

(4.16)unde 2

322

21 ,, ωωω sunt pulsaţiile vibraţiilor verticale, longitudinale respectiv unghiulare în jurul axei OZ şi

sunt date de relaţiile :

zJ

BpAq

m

q

m

p ∑ ∑∑∑ +===

2223

22

21 ;;

2ωωω

Curs CAZV


iar frecvenţele corespunzătoare vor fi f =π

ω2

S-a notat de asemenea cu :

zdc

zba J

Bp

m

Bq

J

Aq

m

Aq ∑∑∑∑ ==== µµµµ ;;;

Dezvoltând determinantul (4.14) şi procedând în mod analog ca mai înainte obţinem:

=−−−+−

−−−−+++++−

=−−+

0)2(

)()(

02

26

25

24

26

25

24

226

25

26

24

25

24

426

25

24

6

122

221232111

hgfejiigf

jihgfe

dcdcdccedc

µµωµµωµµωµµµωωω

ωµµµµµµωωωωωωωωωωω (4.17)

(4.18)unde:

=

=

=

∑

∑

∑

;

;

;24

xh

e

J

Brm

Ar

m

r

µ

µ

ω

;

;

;22

25

xi

yf

x

J

ABr

J

Ar

J

CqBr

∑

∑

∑∑

=

=

+=

µ

µ

ω

yj

g

y

J

ABrm

Br

J

ArCp

∑

∑

∑∑

=

=

+=

µ

µ

ω22

26

26

25

24 ,, ωωω sunt pulsaţiile vibraţiilor transversale şi unghiulare în jurul axelor OX şi OY.

4.2. Suspensie simetrică în raport cu planurile XOY şi XOZ

În acest caz ∑ = .0B Pulsaţiile vibraţiilor verticale, longitudinale şi de rotaţie în jurul axei OZ se

obţin din determinantul :

X Y z

0

01a

=∆

3

1

0

b

b 0

0

1

3 =f

b ( 4.19)

unde înlocuind a1 ,b1 ,b3 si f1 cu expresiile lor rezultă :

0])()[( 23

22

223

22

421

2 =−++−− ba µµωωωωωωωω (4.20)

Se constată că dacă notăm cu 2aω şi 2

bω rădăcinile ecuaţiei (4.20) , mai putem scrie: 23

22

22 ωωωω +=+ ba (4.21)

Pulsaţiile vibraţiilor transversale şi de rotaţie în jurul axelor OX şi OY se obţin din determinantul :

Curs CAZV


Z x y

3

1

0

c

c

=∆

0

0

1d 00

1

3

=e

c

(4.22)

unde înlocuind c1 ,c3 ,d1 şi e1 cu expresiile lor, obţinem:0])()[( 2

624

226

24

425

2 =−++−− fcw µµωωωωωωω (4.23)

Notand cu 2cω şi 2

dω rădăcinile ecuţiei (4.23) mai putem scrie:26

24

22 ωωωω +=+ dc (4.24)

4.3. Suspensie simetrică în raport cu planurile XOY şi YOZ ) (figura 4.3) :

În acest caz ∑ ∑ == ,;0 oCA deci determinanţii vor fi de forma:

X Y z

3

1

0

a

a

=∆

0

0

1b 0

1

3

3

=f

b

a

(4.25)

Z x y

02

1

c

c

=∆

01

2

d

c

00

0

1

=e

(4.26)

Dezvoltand determinantul (4.25) şi înlocuind în expresia obţinută valorile lui a1, a3, b1 şi f1 :0])()[( 2

321

223

21

422

2 =−++−− dc µµωωωωωωωω (4.27)De asemenea putem scrie :

23

21

22 ωωωω +=+ fc (4.28)

unde 2cω şi 2

dω sunt rădăcinile ecuaţiei (4.27).

Fig. 4.3. Sistem de suspensie coplanar cu centrul de masă al agregatului.

Curs CAZV


Procedînd în mod analog cu determinantul (4.26) rezultă :0])()[( 2

524

225

24

426

2 =−++−− hg µµωωωωωωωω (4.29)

Mai avem de asemenea:

25

24

22 ωωωω +=+ hg (4.30)

4.4. Suspensie în întregime simetrică

În cazul în care suspensia este în întregime simetrică, avem:

∑ ∑ ∑ === 0CBA ,

iar ecuaţia pulsaţiilor va fi de forma:

0111111 =fedcba (4.31)

sau înlocuind valorile corespunzătoare obţinem : 0))()()()()(( 2

622

522

422

322

222

12 =−−−−−− ωωωωωωωωωωωω (4.32)

Cunoscîndu-se pulsaţiile sistemului se pot determina celelalte elemente ale sistemului vibroizolant.

Considerîndu-se spre exemplu instalaţia reprezentată în figura 4.2, pulsaţia proprie a sistemului

corespunzătoare vibraţiilor pe verticală, se determină cu relaţia:

11 2 fm

np πω == [s-1] (4.33)

în care: n este numărul de elemente vibroizolante; p - constanta elastică a unui element vibroizolant

corespunzătoare deplasării verticale, în daN/cm; m=g

Q - masa totală suspendată a instalaţiei, în daNcm/s2.

Avînd în vedere că fiecărui clement vibroizolant îi revine sarcina statică np

Q, rezultă că săgeata

statică pe verticală 1δ , va avea expresia np

Q=1δ [cm] de unde rezultă constanta elastică necesară pentru un

element vibroizolant :

1δn

Qp = [daN/cm] (4.34)

Avînd în vedere relaţiile (4.33) şi (4.34) rezultă:

1

1

5

δ=f [s-1]. (4.35)

În mod analog, pentru vibraţiile longitudinale avem:

Curs CAZV


2

2

5

δ=f [s-1]. (4.36)

unde 2δ este săgeata statică pe orizontală a elementelor suspensiei, iar pentru vibraţiile transversale:

4

4

5

δ=f [s-1]. (4.37)

4.5. Arcuri de oţel

Acestea reprezintă una dintre cele mai reuşite soluţii de izolare împotriva vibraţiilor. Datorită

deformaţilor mari, ele permit realizarea de fundaţii cu frecvenţe proprii oricît de joase. Ele se pot realiza

pentru cele mai variate sarcini, respectiv de la maşini uşoare pină Ia maşini foarte grele.

Cea mai frecventă construcţie este arcul elicoidal, confecţionat din oţel de secţiune circulară.

PENTRU un arc elicoidal se calculează:

1) Efortul unitar tangenţial:

3d

SDPK

πτ = [daN/cm2] (4.38)

2) Săgeata arcului sub sarcina n

QP =

4

3

Gd

NSPD=δ [cm} (4.39)

3) Constanta elastică pentru deplasări axiale:

3

4

8ND

Gdp = [daN/cm] (4.40)

unde: P este sarcina nesuspendată corespunzătoare unui arc, în daN; D - diametrul de înfăşurare al arcului,

în cm; d - diametrul firului arcului, în cm; N - numărul de spire active; G - modulul de elasticitate transver-

sal, care la oţelurile de arc se ia (8 - 8,3) 105 daN/cm2; K este un coeficient care ţine seama de efectul forţei

tăietoare şi de faptul că arcul este o bară curbă, expresia lui fiind:

32

8

7

4

51

+

⋅+⋅+=

D

d

D

d

D

dK (4.41)

Alegînd valorile 5108 ⋅=G daN/cm2, K = 4/3 şi aτ = 4 000 daN/cm2, din relaţiile (4.38) şi (4.39) obţinem:

=

=

5

4

5

32

5,46

144,0

Np

dD

N

pd

δ

(4.42)

(4.43) Frecvenţa proprie fundamentală a unui arc elicoidal rezemat intre două plăci este:

Curs CAZV


γπ 32

22

Gg

ND

df = [Hz] (4.44)

unde γ este greutatea specifică a oţelului.

4.6. Elemente vibroizolante din cauciuc

Cauciucul este în prezent un material foarte răspindit in izolarea vibraţiilor. În figura 4.4, a, b, c sint

reprezentate vibroizolatoare-disc solicitate la compresiune (fig. 4,4, a), la forfecare (fig. 4,4, b) şi la răsucire

(fig. 4.4, c).

Fig. 4.4. Vibroizolatoare din cauciuc solicitate la diferite eforturi

Una din mărimile principale care caracterizează cauciucul este duritatea sa. Modulul de elasticitate

este în funcţie de duritate şi de forma epruvetei. Astfel, dacă se defineşte factorul de formă K al unui

vibroizolator ca raportul dintre suprafaţa încărcată şi suprafaţa laterală, se poate construi graficul din figura

4.5 care dă modulul de elasticitate static E in funcţie de k şi de duritatea Shore.

Curs CAZV


Fig. 4.5. Modulul de elasticitate E în funcţie de

constanta k şi de duritatea Shore

Pentru un vibroizolator cilindric de diametru D şi înălţime h, factorul de formă este:

k h

D

4= (4.45)

Pentru cauciuc, relaţiile între modulele de elasticitate sînt: Es =3Gs (4.46)

Cifrele uzuale pentru Es = 60...70 daN/cm2.

Pentru vibroizolatorul din figura 4.4, a solicitat la compresiune avem:

1) Deformaţia specifică la compresiune:

s

cc E

σε = (4.47)

2) Deformaţia statică:

s

c AE

Phh == εδ [cm] (4.48)

3) Constanta elastică la compresiune :

h

AEp 8= [daN/cm2] (4.49)

unde: P este sarcina la compresiune, în daN; A - suprafaţa de încarcare, în cm2; cσ -efortul unitar la

compresiune, în daN/cm2.

Pentru vibroizolatorul din figura 4.4, b solicitat la forfecare avem :1) Deformaţia specifică la forfecare:

8

8

Gf

σε = (4.50)

2) Deformaţia statică la forfecare:

8AG

Thhff == εδ [cm] (4.51)

3) Constanta elastică la forfecare:

Curs CAZV


h

AGq 8= [daN/cm2] (4.52)

unde: T este sarcina de forfecare, în daN; 8τ - efortul unitar la forfecare, în daN/cm2; G8 - modulul de

elasticitate transversal, in daN/cm2.

Pentru vibroizolatorul din figura 4.4, c solicitat la răsucire avem :1) Efortul unitar la răsucire :

ADr

θσ 4= [da N/cm2] (4.53)

2) Deformaţia specifică la răsucire :

(4.54)

3) Deformaţia statică unghiulară:

[rad] (4.55)

4) Constanta elastică la răsucire:

h

ADGs

s 8

28=Φ=

φ [da N cm /rad]] (4.56)

unde Φ este momentul de răsucire, în daNcm, iar D - diametrul vibroizolatorului, în cm.

Curs CAZV

82

84

832

AGD

h

GD

hr

Φ=Φ=π

θ

8Gr rσε =

Curs 4 Solutii Generale de Combaterea Vibratiilor

Documents

Transcript of Curs 4 Solutii Generale de Combaterea Vibratiilor