BarbuDRGAN CONTROLUL VIBRAIILOR I ZGOMOTULUI EDITURA GH. ASACHIIAI

Prof. dr.ing. BarbuDRGAN CONTROLUL VIBRAIILOR I ZGOMOTULUI Editura GH. ASACHIIAI 2003 Editura Gh. Asachi Universitatea Tehnic Iai Bd. D. Mangeron, nr. 67, 6600- Iai, Romnia Tel: 0232-23 13 43 FAX: 0232-21 42 90 Refereni tiinifici: Prof. dr. ing. Spiridon CREU Prof. dr. ing. Liviu HOSTIUC Universitatea Tehnic Gh. Asachi Iai Director editur: Prof. dr. ing. Mihai VOICU Redactor: Prof. dr. ing. Georgeta ANICULESEI Tehnoredactare computerizat: Prof. dr. ing. Barbu DRGAN Editarea s-a fcut cu finanare din Grant CNCSIS, Contract 40222/2003, Tema 8, Cod 813 Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei DRGAN, BARBU Controlul vibraiilor i zgomotului Dragan Barbu-Iai: Editura Gheorghe Asachi, 2003 p.291; 1724 ISBN PREFA Direciileactualendezvoltareaconstrucieidemainipeplanmondialin tarsuntorientatespreproducereademainicomplexe,denalttehnicitatei productivitate,ceeaceadeterminatocretereimportantaputeriiiavitezelorde lucru.Acestemodificriauridicatnsnumeroaseproblemeasupracomportrii vibroacustice a mainilor respective, n legtur i cu elaborarea unor soluii eficiente de reducere, combatere i control a zgomotului i vibraiilor. Vibraiileizgomotelegeneratedemainisuntrezultatuladoutendine actuale ale dezvoltrii tehnologice: cretereaputernicaputerilorituraiilordelucrualemainilor,pentru mrirea productivitii; realizarea unor maini de greutate redus, dar cu rigiditate relativ mare (pentru reducerea consumului de material), deci cu frecvene proprii ridicate, folosirea unortehnologiideasamblarecareduclamicorareaamortizriistructuralei deci la creterea rspunsului la rezonan. Pentrureducereazgomotuluiivibraiilorlamainiexistpatrudirecii principale: identificareasurselorperturbatoareimportanteiatenuareasauizolarea acestoradirectlasurs,saumodificareafrecveneiacestora,nvederea reducerii efectului sau evitarea rezonaelor structurale; reproiectareamainilorpentruevitarearezonanelor,prinmodificarea amplasrii formei i dimensiunilor elementelor componente, urmrind alegerea corect a rigiditii i o distribuie convenabil a maselor; alegereaunormaterialeavndcapacitateridicatdedisipareaenergieide vibraie; controlul activ al vibraiilor i zgomotului. Rezolvarea acestor probleme necesit cunoaterea caracteristicilor dinamice ale materialeloristructurilor,pebazacrorasepoaterealizamodelulteoreticpentru studiul comportrii dinamice a mainilor. Studiul vibroacustic a mainilor i utilajelor este impus de: necesitateaobineriiunormainisilenioase,ntructcriteriulvibroacustic, alturi de criteriile de precizie i fiabilitate reprezint din ce n ce mai mult un criteriu de calitate i performan; necesitateastabiliriiposibilitilordediagnosticareadefectelorcareaparn procesul de fabricaie i exploatare, prin analiza caracteristicilor zgomotului i vibraiilor, deoarece dezvoltarea tehniciide msurare i analiz a vibraiilori zgomotului a creat posibilitatea realizrii unui control eficient, precis i rapid a comportrii dinamice a mainilor, deci de stabilire a cauzelor determinate; dezvoltareaioptimizareaunorsistemeeficientepentrucontrolulactival vibraiilor i zgomotului. Lucrrilenumeroaseprezentatenliteraturadespecialitate,auabordat problema complex a combaterii zgomotului i vibraiilormainilor att teoretic, ct iexperimental,analizndminuiosmultitudineadefactoricaredetermin comportarea vibroacustic a acestora. Performaneledinamicealesistemelormecanice,ntimpulfuncionrii,potfi mbuntiteprinalegereaadecvataregimurilordelucru,prinadoptareaunei construciioptime,dinpunctdevederealrezerveidestabilitatesauprinaplicarea unor msuri constructive sau de control activ. nultimiiani,semanifestotendindecretereacalitiiifiabilitii mainilor,prinutilizareaunorsistemesenzorialecomplexe,careaufunciide monitorizare, diagnostic i control activ. Utilizareasistemelorpentrucontrolulactivalvibraiiloresterecomandabil attpentrusimplitateaposibilaschemeidecomand,ctipentrueficiena procesului de comand. Controlulvibroacusticalmainilorcomplexepoatefirealizatntimpulfuncionriinurmtoarelescopuri: pentruevitareacomandatsauautomatasituaiilorextreme,carepotconducelaavarii; pentruorganizareareparaiilorpreventivecuntreruperiminime; pentrureducerearspunsuluilavibraii,pentrusuprimareainstabilitii structuralesaupentrucombatereavibraiilorizgomotuluiprodusn funcionare de maini, prin utilizarea controlului activ al vibraiilor;pentruperfecionareaioptimizareaproiectriimainiloriorganelordemaini. Identificareasistemelormecaniceconstituieoetapobligatorienproiectarea sistemelormecanice,ceeaceimplicocunoateresuficientdeprecisamodelelor sistemice asociate proceselor vibratorii din sistemele mecanice. Tendina actual de mbuntire a performanelor de funcionare ale mainiloraconduslaocreteredeosebitaimportaneimodelriimatematiceisimulriipe calculatorafenomenelordinamicealesistemelormecanice,cuodezvoltare accentuat n special n domeniul vibroacustic. Dezvoltareatehniciidemsurareianalizavibraiilor,caidezvoltarea tehnicilordeachiziieiprocesareasemnaleloraupermisimportanteperfecionri ale sistemelor de control vibroacustic. Achiziiadatelornumericesauanalogice,cuajutorulplcilordeachiziie,a permisprelucrareaianalizaacestoraprinintermediullimbajelordeprogamare, permindcreareasausimulareaunorsistemedecontrol,diagnosticarei monitorizarevirtuale,carepotfiuortransformateiadaptateunorcondiii particulare. Sistemeledemsurareianalizcuinstrumentevirtualeauperformanenet superioarefadeinstrumenteleanalogicesaudigitale(flexibilitate,reutilizare, reconfigurare) i preuri sczute. Noileechipamentedecontrolvibroacustic,ntimpreal,aupermis implementarealascarindustrialasistemelordecontrol,diagnosticarei monitorizarevibroacusticamainilor,fiindaplicateeficientlainstalaiiindustriale moderne, maini unelte, roboi industriali etc. Controlulprinvibraiiestepreferat,curareexcepii,controluluiprinzgomot, careestepreamultafectatdesurseledezgomotdinmediulambiant, solicitndfiemetodeiaparaturspecial(metodaintensitiiacustice),fiecondiiispecialedemsurare (cameranecoid). Lucrarea, elaborat n apte capitole, abordeaz aspecte de sintez ntr-un vast domeniu interdisciplinar. Prezentarea introductiv i sintetic a caracteristicilor vibraiilor i zgomotului dincapitolulIesteurmatncapitolulIIdeoprezentareamplateorieiliniarea vibraiilornsistemeleelasticecuunulsaumaimultegradedelibertate,care constituie fondul comun, clasic, al tuturor crilor de vibraii. n finalul acestui capitol suntprezentatenoiuniintroductivenstudiulvibraiilorneliniare,alocurilorial vibraiilor aleatoare. CapitolulIIIesteconsacratmetodeloritehnicilordemsurareasemnalului vibroacustic,punndu-seaccentpemetodelemodernedeprocesaredigitala semnalului i pe instrumentaia virtual de msurare, analiz, control i diagnosticare vibroacustic. ncapitolulIVsuntprezentateprincipalelemetodedecontrolvibroacustic, precum i normele privind nivele admisibile de vibraii i zgomot.ntr-uncapitolspecialsuntabordateproblemelefundamentalealecontrolului activ al vibraiilor i zgomotului. ncapitolulVIsuntprezentateprincipalelesursedevibraiiizgomotn funcionareamainilor,precumimetodeledediagnosticareimonitorizareprin vibraiiizgomotastriidefuncionare,prezentndu-seioseriedeexemple concretedediagnosticarevibroacusticafuncionriiorganelordemaini(roi dinate,rulmeni,lagredealunecareetc.)iamainilor(mainiunelte,motoare, ventilatoare, instalaii hidraulice etc.). Ultimulcapitolallucrriiprezintproblemelefundamentalealeizolrii vibroacusticeasistemelormecanice.nlucraresuntevideniatecelemaiimportante posibiliti de mbuntire a comportrii vibroacustice a mainilor prin proiectare de material, geometric i tehnologic.Lucrareaurmreteformareaidezvoltareauneigndiriinginereti,oiniiere n cercetarea tiinific i tehnic din domeniul vibroacustic.Pentruafictmaieficientnprocesuldeformareaspecialitilordin domeniulvibroacustic,lucrareaesteconceputsmbinearmoniosscopulformativ cu cel informativ, coninnd cele mai importante capitole clasice de vibraii. nabordareateoreticaproblemelordecontrolvibroacustics-aucutat fundamentriteoreticesimplificate,pentrucaexpunereasfieprecisiclar,n scopul de a uura nelegerea laturilor teoretice i practice. Din imensul volum de cunotine existent n domeniul vibroacustic, s-a fcut o selecie riguroas i atent, s-a ordonat i sistematizat materialul, astfel nct studenii ssepoatorientainsoluionareaaltorprobleme,dectceletratatenlucrare,cu care vor fi confruntai n activitatea profesional. Lucrarea este adresat studenilor de la facultile cu profil mecanic, care au n planul de nvmnt discipline din domeniul vibroacustic, fiind util i specialitilor care doresc s abordeze probleme de vibraii i zgomot la maini i utilaje.

Autorul CUPRINS

1. CARACTERISTICILE VIBRAIILOR I ZGOMOTULUI ....13 1.1.Consideraii generale .131.2.Clasificarea vibraiilor ...141.3.Elementecaracteristicealesistemelor elastice........................................151.4.Mrimi care descriu forma deundavibraiilor.....161.5.Caracteristicile fizice ale zgomotului.181.6.Propagarea undelor acustice n corpurile solide.........................................21 1.7.Clasificarea surselor sonore........................................................................21 2. RSPUNSUL SISTEMELOR MECANICE LA VIBRAII ...... 23 2.1.Vibraii liberensisteme liniare cu un grade de libertate ........................23 2.1.1.Vibraii libere neamortizate ..........................................................23 2.1.2.Vibraii torsionale........................................................................24 2.1.3.Vibraii de ncovoiere...................................................................24 2.1.4.Constante elastice...........................................................................25 2.2.Vibraii libere amortizate............................................................................26 2.2.1.Vibraii n sisteme cu amortizare vscoas....................................27 2.2.2. Vibraii n sisteme cu amortizare uscat.......................................29 2.3. Vibraii forate............................................................................................30 2.3.1. Vibraii forate neamortizate datorit unei excitaii armonice......30 2.3.2. Excitaia prin micare aplicat suportului,n sisteme neamortizate.................................................................32 2.3.3. Vibraii forate cu amortizare vscoas, datorit unei excitaii armonice.......................................................................................33 2.3.4.Excitaia prin for centrifug n sistem cu amortizare vscoas..35 2.3.5.Transmisibilitate.............................................................................35 2.3.6. Energii la vibraii forate cu amortizare vscoas.........................37 2.3.7. Turaia critic a arborilor..............................................................372.4. Vibraiiforate amortizateproduse de o excitaie periodic nearmonic..................................................................38 2.5. Vibraiiinsistemecungradedelibertate..........................................402.5.1. Vibraiilibereneamortizatensistemecudougradede libertate........................................................................................41 2.5.2. Vibraii libere neamortizate n sisteme cu n grade de libertate....42 2.5.3. Determinarea ecuaiilor difereniale ale vibraiilor sistemelor cu n grade de libertate folosind ecuaiile lui Lagrange...............442.5.4. Vibraii amortizate n sisteme cu n grade de libertate..................452.5.5. Vibraii forate cu amortizare vscoas n sisteme cu n grade de libertate........................................................................................49 2.5.6. Vibraii de rsucire la angrenaje...................................................50 2.6. Metode aproximative pentru studiul vibraiilor sistemelor cu n de grade de libertate........................................................................................51 2.6.1. Metoda Rayleigh...........................................................................51 2.6.2. Metoda Holzer..............................................................................53 2.6.3. Metoda matricelor de transfer.......................................................56 2.7. Vibraiilesistemelorcontinue..................................................................58 2.7.1. Vibraiile longitudinale ale barelor drepte....................................59 2.7.2. Vibraiiletransversalealebarelordrepte..................................62 2.8. Metode aproximative pentru studiul vibraiilor sistemelor continue.........65 2.8.1. Metoda Rayleigh...........................................................................66 2.8.2. Metoda Ritz...................................................................................67 2.9. Vibraia transversal a barelor cu mase ataate..........................................68 2.10. Vibraii neliniare.......................................................................................71 2.10.1. Neliniariti n sisteme elastice...................................................72 2.10.2. Fenomene caracteristice vibraiilor neliniare..............................75 2.10.3. Metode pentru studiul vibraiilor neliniare.................................77 2.11. Metode aproximative pentru studiul vibraiilor neliniare........................79 2.11.1. Metoda perturbaiei.....................................................................79 4.11.2. Metoda iteraiei...........................................................................81 4.11.3. Metoda balanei energetice.........................................................82 2.12. Vibraii forate cu amortizare neliniar....................................................832.13. Vibraii autoexcitate.................................................................................84 2.14. Vibraii aleatoare......................................................................................86 2.15. ocuri i micri tranzitorii......................................................................88 2.16. Identificarea caracteristicilor dinamice ale sistemelor mecanice.............90 3. METODE SI TEHNICI DE MSURARE I ANALIZ A SEMNALULUI VIBROACUSTIC...................................................................................................93 3.1. Scheme generale pentru msurarea i analizasemnalului vibroacustic....933.2. Metode de analiz a semnalului vibroacustic.............................................96 3.2.1. Analiza n domeniul frecven......................................................96 3.2.2. Analiza n domeniul timp..............................................................98 3.2.3. Analiza n domeniul amplitudine..................................................98 3.2.4. Analiza prin funcia de autocorelaie............................................99 3.2.5. Analiza Cepstrum........................................................................100 3.2.6. Funcia de rspuns n frecven...................................................102 3.2.7. Metoda analizei modale..............................................................102 3.3. Tehnica de analiz n frecven a semnalului vibroacustic......................105 3.3.1. Analizoare analogice...................................................................106 3.3.2.Analizorul cu filtre discrete..........................................................108 3.3.3. Analizorul cu filtru acordabil......................................................108 3.3.4. Analizorul paralel n timp real.....................................................108 3.3.5. Analizorul cu compresia timpului...............................................109 3.3.6. Analizorul cu filtre numerice.......................................................109 3.3.7. Analizorul FFT............................................................................109 3.3.8. Analiza ZoomFFT.....................................................................112 3.4. Instrumentaia virtual pentru msurarea i analiza semnalului vibroacustic............................................................................112 3.4.1. Consideraii generale...................................................................112 3.4.2. Prelucrarea numeric a semnalelor vibroacustice.......................113 3.4.3. Plci de achiziie.........................................................................117 3.4.4. Limbajul de programare LabVIEW...........................................118 3.4.5. Structura aplicaiilor LabVIEW.................................................1193.5. Filtrarea digital a semnalului vibroacustic.............................................120 3.5.1. Generaliti.................................................................................120 3.5.2. Filtre cu rspuns infinit la impuls...............................................121 3.5.3. Filtre IRI de tip cascad..............................................................122 3.5.4. Filtre Butterworth.......................................................................123 3.5.5. Filtre Chebyshev.........................................................................123 3.5.6. Filtre Chebyshev II sau filtre Chebyshev inverse.......................124 4.CONTROLUL VIBROACUSTIC AL SISTEMELOR MECANICE.............125 4.1. Controlul prin vibraii...............................................................................125 4.2.Controlul prin zgomot...............................................................................127 4.2.1.Condiii pentru msurarea zgomotului.........................................128 4.2.2.Camere anecoide..........................................................................130 4.2.3.Norme privind nivelurile admisibile de zgomot..........................131 4.3. Controlul prin intensitate acustic............................................................132 4.3.1. Introducere..................................................................................132 4.3.2. Msurarea puterii acustice cu ajutorul intensitii acustice........1344.3.3. Identificarea surselor acustice.....................................................135 4.4. Controlul prin emisie acustic..................................................................1364.4.1. Introducere..................................................................................136 4.4.2. Aparatura pentru controlul i diagnosticarea prin EA................137 4.4.3. Metode specifice de analiza a EA...............................................138 4.4.4. EA i deformaia plastic............................................................138 4.4.5. EA i ruperea materialelor..........................................................140 4.4.6. Controlul tehnologic prin EA......................................................140 4.4.7. Controlul prin EA alsistemelor mecanice.................................141 4.5. Controlul surselor sonore prin funcia de coeren..................................141 4.5.1. Introducere..................................................................................141 4.5.2. Consideraii teoretice..................................................................1424.5.3. Cercetri experimentale..............................................................143 5. CONTROLUL ACTIV AL VIBRAIILOR I ZGOMOTULUI..................145 5.1.Consideraii generale.................................................................................145 5.2. Sisteme de control al vibraiilor...............................................................1495.2.1. Consideraii generale..................................................................149 5.2.2. Clasificarea sistemelor de control...............................................151 5.2.3. Sisteme liniare discrete controlate..............................................153 5.2.4. Controlabilitate i observabilitate...............................................154 5.2.5. Controlul n bucl deschis.........................................................155 5.2.6. Controlul cu bucl nchis...........................................................156 5.2.7. Calculul matricelor de transfer prin metoda alocrii polilor.......160 5.2.8. Proiectarea observerului..............................................................161 5.2.9. Legi de control fundamentele.....................................................163 5.2.10. Abordarea modal a controlului sistemelor mecanice..............168 5.3. Strategii de control activ..........................................................................170 5.3.1. Introducere..................................................................................170 5.3.2. Controlul feedback......................................................................171 5.3.3. Controlul feedforward ................................................................172 5.4. Sisteme adaptive.......................................................................................173 5.4.1. Caracteristicile generale ale filtrelor adaptive............................173 5.4.2. Configuraii de sisteme adaptive.................................................174 5.4.3. Filtre Wiener cu rspuns finit la impuls......................................176 5.4.4. Sisteme adaptive cu semnale de prob........................................177 5.5.Alegerea actuatorilor pentru controlul activ al vibraiilor.........................178 5.5.1. Introducere..................................................................................178 5.5.2. Caracteristicile actuatorilor, necesare la izolarea activ avibraiilor....................................................................................179 5.6. Stabilitatea sistemelor de control activ....................................................182 5.7. Transmiterea puterii vibraiei n structurile mecanice i utilizarea ei n controlul activ al vibraiilor..............................................................183 5.7.1. Introducere..................................................................................183 5.7.2. Puterea vibraiei transmise n cazul unei excitaii armonice......183 5.7.3.Evaluarea puterii transmise cu ajutorul unui semnal de eroare...184 5.7.4.Consideraii teoretice...................................................................185 5.7.5.Cercetri experimentale...............................................................187 5.8. Controlul activ al vibraiilor la sistemul cu dou grade de libertate........189 5.8.1. Determinarea forei pentru controlul activ din condiia ca deplasarea s fie nul.................................................................190 5.8.2. Determinarea forei pentru controlul activ, din condiia ca puterea vibraiei transmise s fie minim..............................191 5.8.3. Analiza eficienei controlului activ.............................................194 5.9. Controlul activ al transmiterii puterii vibraiei ntr-o bar.......................197 5.9.1. Modelul teoretic..........................................................................197 5.9.2. Identificarea sistemului...............................................................201 5.9.3. Determinarea forelor de control optime.....................................201 5.9.4. Izolarea pasiv pentru o excitaie simultan for i moment.....203 5.10.Controlul activ al vibraiilor generate de angrenaje, modulate namplitudine i/sau frecven....................................................................2065.10.1.Consideraii generale................................................................. 206 5.10.2. Cercetri teoretice.....................................................................209 5.10.3. Poziionarea traductorului.........................................................212 5.11. Controlul activ al vibraiilor la angrenaje cu ajutorul unei configurri speciale a traductorilor i a actuatorilor...............................213 5.11.1.Modelul teoretic pentru determinarea forelor secundare de control....................................................213 5.11.2.Configurarea traductorilor i actuatorilor................................217 5.12. Absorbitorul dinamic activ de vibraii...................................................219 5.12.1. Introducere................................................................................219 5.12.2. Studiul teoretic al absorbitorului dinamic.................................220 5.12.3. Construcia absorbitorului dinamic adaptiv..............................222 5.13.Controlul activ al zgomotului la ventilatoarele axiale............................223 5.13.1.Introducere.................................................................................223 5.13.2.Determinarea experimental a radiaiei acustice a ventilatoarelor axiale...............................................................224 5.13.3. Sistemul de control activ al zgomotului....................................225 5.13.4. Algoritmul de predicie pentru controlul activ al zgomotului...225 5.13.5. Algoritmul de predicie pentru semnalul zgomotului primar....227 5.13.6. Testarea sistemului de control activ..........................................228 6. DIAGNOSTICAREAI MONITORIZAREA VIBROACUSTICASISTEMELOR MECANICE.........................................................................229 6.1. Diagnosticarea dezechilibrrii pieselor n micare de rotaie...................229 6.1.1. Planele de echilibrare..................................................................230 6.1.2. Echilibrarea rotorilor pe stand.....................................................231 6.1.3. Sistemul de msurare pentru echilibrare.....................................232 6.1.4. Echilibrarea n situ...................................................................233 6.1.5. Alegerea maselor de prob..........................................................236 6.1.6. Determinarea calitii echilibrrii...............................................237 6.2. Diagnosticarea transmisiilor prin roi dinate...........................................239 6.2.1. Analiza n frecven a semnalului vibroacusticgenerat de angrenaje...................................................................240 6.2.2. Frecvene proprii critice la angrenaje..........................................242 6.2.3. Diagnosticarea vibroacustic la cutiile de vitezecu roi dinate cuajutorul analizei CEPSTRUM........................243 6.3. Diagnosticarea rulmenilor.......................................................................247 6.3.1. Consideraii generale...................................................................247 6.3.2. Diagnosticarea pentru studiulfenomenelor dinamice................247 6.3.3. Diagnosticarea rulmenilor n fluxul tehnologic.........................250 6.3.4. Diagnosticarea rulmenilor n funcionare..................................251 6.4. Diagnosticarea lagarelor cu alunecare......................................................253 6.5. Diagnosticarea transmisiilor prin lan......................................................253 6.6. Diagnosticarea transmisiilor prin curele..................................................254 6.7. Diagnosticarea transmisiilor prin came....................................................255 6.8. Diagnosticarea mainilor electrice rotative..............................................255 6.9. Diagnosticarea transformatoarelor...........................................................257 6.10. Diagnosticarea ventilatoarelor................................................................257 6.11. Diagnosticarea motoarelor cu ardere intern..........................................262 6.12. Diagnosticarea mainilor unelte.............................................................264 6.12.1. Surse de vibraii i zgomot la mainile-unelte..........................264 6.12.2. Msuri pentru mbuntirea comportrii dinamice a mainilor unelte......................................................................266 6.12.3 Studiul comportrii dinamice amainilor-unelte prin teste de prelucrare....................................267 6.12.4.Identificare elementelor cu rigiditate dinamicredus din structura mainilor unelte....................................268 6.12.5. Diagnosticarea vibroacustic a sculelorn procesul de achiere..............................................................269 6.13. Diagnosticarea instalaiilor hidraulice industriale..................................270 6.13.1. Fenomene vibroacustice n instalaiile hidraulice industriale...270 6.13.2. Mecanisme de generare cu caracter aleator..............................273 6.13.3. Mecanisme de generare cu caracter periodic............................273 6.13.4. Zgomotul hidraulic asociat micrii organelor de maini.........274 6.14. Monitorizarea prin vibraii.....................................................................275 7. IZOLAREA VIBROACUSTIC A SISTEMELOR MECANICE................278 7.1. Consideraii generale......................................................................278 7.2. Izolarea acustic prin carcasare......................................................279 7.3. Izolarea antivibratorie....................................................................280 7.4. Structuri i materiale folosite pentru izolarea vibraiilor...............282 7.5. Izolarea vibraiilor cu ajutorul straturilor amortizoare...................284 7.6. Calculul izolrii cu covoare de cauciuc.........................................284 BIBLIOGRAFIE...............................................................................................286 13 1 CARACTERISTICILE VIBRAIILOR I ZGOMOTULUI 1.1. Consideraii generale Unsistemmecanicsepoategsinmodobinuitnrepaussaunmicarederegim, strinumitedereferin. Vibraiilesuntmicrialternativeefectuatedesistemulmecanicnraportcustareadereferin, fiindprovocatedeforeperturbatoare (numite excitaii)alecrormrimi, direciisaupunctedeaplicaievariazntimp. Din punct de vedere energetic, vibraia sistemului este o schimbare periodic a energiei cinetice n potenial. Studiulmicrilorvibratorii,nraportcustriledereferin,seefectueazn generalcuajutorulunorparametrigeometriciindependeni.Determinareaacestor parametri nseamn determinarea rspunsului sistemuluimecanic la excitaia dat. Rspunsul este condiionat att de parametriiexcitaiei ct i de caracteristicile mecanice ale sistemului. nabordarea teoreticaproblemei, prima etapesteschematizareasistemului i stabilirea modelului, care, ideal ar trebui s reprezinte fidel sistemul fizic real, ceea cenmajoritateacazurilornecesitrealizareaunuimodelcomplicat.Trecereadela un model matematic simplu, la altul mai complicat,determin o cretere a volumului decalcul,maiacceleratdectmbuntireaprecizieirezultatelor,deomare importan fiind deci stabilirea de la caz la caz a modelului optim. O a doua etapn tratarea teoretic const n stabilirea excitaiilor modelului caredeasemeneapresupuneintroducereadeipotezesimplificatoarenraportcu excitaia sistemului real. Atreiaetappresupunescriereaecuaiilordiferenialedeechilibrudinamic, prinintegrareacrora(folosindmetodeaproximativesauexacte)seobinparametrii micrii vibratorii, deci se determin rspunsul sistemului mecanic.Pe baza analizei rspunsului sistemului se obin concluziile necesare. n figura 1.1. este prezentat schema logic pentru studiul vibraiilor sistemelor mecanice. Fig.1.1. SISTEM ELASTIC REAL EXCITAIA REALA SISTEMULUI MODELUL SISTEMULUIEXCITAIA MODELULUI ECUAIILE DIFERENIALE METODE EXACTE METODE APROXIMATIVE RSPUNSUL SISTEMULUI CONCLUZII 14 Studiile experimentale se impun din urmtoarele motive: nprimulrndnutoatesistemelepotfitratatepebazaunuimodelmatematic rezonabil; naldoilearnd,dacaceststudius-afcut,studiileexperimentalesunt necesare pentru verificareaipotezelor simplificatoare introduse. 1.2. Clasificarea vibraiilor Vibraiile mecanice se pot clasifica dup urmtoarele criterii: a)Dupnatura sistemului. vibraiiliniare-careseproducnsistemeliniare,lacarerspunsuleste proporionalcuexcitaia;laacestesistemeecuaiilediferenialealemicrii suntliniarecucoeficieniconstani.Fenomeneledinsistemeleliniarepotfi studiate pe baza principiului suprapunerii efectelor. vibraiineliniare-careseproducnsistemeneliniare,lacarecaracteristica elastic sau amortizarea este neliniar. b) Dup natura forelor care acioneaz n timpul vibraiei. Forele care intervin n timpul vibraiei sunt n general: fora elasticFe, fora rezistent Fr i fora perturbatoare (excitatoare)Fp.n funcie de valorile acestor fore, vibraiile pot fi:Dup fora rezistent Fr (fora rezistent este pozitiv dac acioneaz n sensul micrii ): Fr= 0 vibraii neamortizate; Fr 0Fr < 0 vibraii amortizate; Fr > 0vibraii autontreinute sau autoexcitate. Dup fora perturbatoare. Fp= 0 vibraii libere; Fp 0 vibraii forate ; Fpcunoscut - vibraii deterministe; Fp aleatore - vibraii aleatore. c)Dupnumrulgradelordelibertate.Numruldegradedelibertateaunui sistem elastic reprezint numrul de parametri scalari independeni, necesari pentru a determina poziia elementelor sistemului. Sistemele elastice pot fi: cu numr finit de grade de libertate; cunumr infinit de grade de libertate (sisteme continui).d) Duptraiectoriapecaresedeplaseazpunctelesistemuluioscilant, vibraiile pot fi de translaie sau de rotaie. 15 1.3. Elementecaracteristicealesistemelor elastice Un sistem elastic este determinat cnd se cunoate masa, proprietile elastice ideamortizarealeelementelorcomponente.nfig.1.2.esteprezentatcelmai simplu model de sistem elastic care cuprinde urmtoarele elemente caracteristice: Fig.1.2. b)Elementulelastickpoateaveacaracteristicaliniarsauneliniar.La elementul elastic liniar, variaia lungimii este proporional cu foracare acioneaz de-a lungul axei elementului: F= k( x - u ) Dac: u = 0 F= kx Constanta de proporionalitate k se numete constant elastic sau elasticitate i se msoar n mN. n cazul elementului elastic cu caracteristic neliniar: F= k xn Arcul ideal este considerat fr mas i n consecin fora aplicat la un capt este egal i de sens opus cu cea aplicat la captul opus.Elementele elastice nmagazineaz energie potenial de deformaie.Repartiiaproprietilorelasticensistempoatefidiscretsaucontinu,dup cum repartiia maselor este discret sau continu. c) Amortizorul c poate fi cu:amortizare vscoas: - liniar; - neliniar; amortizarehisteretic(amortizarestructural,datoritfrecrilordinmbinri, reazeme) i care depinde numai de amplitudinea micrii; amortizarecoulombian,datoritforeidefrecarecoulombiene,careeste constant n decursul unei semiperioade; amortizare oarecare. La amortizorul vscos liniar, fora aplicat este proporional cu viteza relativ dintre punctele sale de fixare. Masa mcare oscileaz reprezint un corp rigid, a crui acceleraie x& &,nbazalegiiadouaaluiNewton,este proporional cu fora rezultantF, aplicat asupra lui: F=mx& &n problemele de vibraii masa se msoar n kg. Masa nmagazineaz energie cinetic.ncazgeneralmasasistemuluielasticpoatefi concentratnmaimultepunctesaupoatefidistribuit uniform sau dup o anumit lege, dat de geometria corpurilor componente. 16 F ) u x ( ca& & = Dac u& = 0 F x ca& =Constanta c se numete coeficient de amortizare i caracterizeaz amortizorul. [c] = mNs Amortizorul ideal este considerat fr mas. n amortizor are loc disiparea energiei prin transformarea acesteia n cldur. La amortizorul vscos neliniar:Fnacx =Cunoscnd aceste caracteristici ale sistemului putem determina principala sacaracteristic vibratorie: pulsaia proprieo , msurat n s1 sau n rad/s.ntre pulsaia proprie o [ s1] i frecvena proprie exist relaia:fT12oo==Principalele mrimi care se urmresc n studiul vibraiilor sunt:pulsaiile proprii, pentru a cunoate dac exist pericol de rezonan; amplitudinile vibraiilor (deplasri, viteze, acceleraii) pentru a stabili dac sunt duntoare sistemului oscilant sau mediului. 1.4. Mrimi care descriu forma deundavibraiilor Ceamaisimplformdevibraieperiodicestemicareaarmonic, reprezentatndomeniultimpuluideocurbsinusoidal (fig. 1.3). Vibraiamecanicarmonicestedefinitcompletatuncicndsecunoate frecvena, amplitudinea i faza.Dac notm cux(t)poziiainstantaneea sistemuluimecanicnraportcu starea dereferin, atunci legea de micareestedatmatematicdeecuaia :

Fig.1.3. ( ) ) t sin( X t xv + = unde: T2f 2= = estepulsaiamicrii,iar Xv amplitudineamicrii . x(t) t xm xv xRMS 17 ncazulvibraiilorarmonice,vitezaiacceleraiamicriirezultdeasemeneaarmonice,cuaceeaipulsaieicaracterizeazcompletmicareavibratorie.Pentruacaracterizamicrileperiodicenearmonice,sefolosescdoumrimimedii, careinseamadedesfurareaprocesuluivibratoriu, peparcursuluneiperioade, definiteprinrelaiile: a)Valoareamedieabsolut(aritmetic) :dt xT1xTom =b) Valoareaeficacesaurdcinamedieptratic:= =To2RMS efdt ) t ( xT1x xValoareamediearitmeticxmestemaipuinfolositntructnuareosemnificaiefizicdeosebit. Cea mai utilizat mrime lamsurareavibraiilor este valoareaeficacecare esteproporionalcuputereavibraiei. Mrimea To2dt ) t ( xeste proporionalcuenergiaacumulatntr-operioad. Prinraportarea acesteia lavaloareaperioadeiseobineputereamediepentruo perioad. n cazul vibraiilorarmonicepot fi scriserelaiile: m v efx2 2x22x= = Rezulta clavibraia armonicestesuficientsfiemsuratoricaredinacestemrimi,lucrucarenumaiestevalabilpentruvibraiileperiodice nearmonice.PentruevaluaformamicriivibratoriiperiodiceseutilizeazfactoruldeformFfifactoruldevrfFv , definiiprinrelaiile: Ff= mRMSXX Fv = RMSvXX Efectulvibraiilorperiodice nearmonice asuprasistemuluimecanic poate fi stabilit dac sunt cunoscuiatt parametrii definii anterior (perioada, amplitudinea, factoruldeformivrf ), cticoninutulnfrecvene, caresedetermin cu ajutorul analizeinfrecvena(analizspectral). nbazateoremeiluiFourier,vibraiileperiodicedeterministepotfireprezentateprintr-osumfinitsauinfinitdearmonici,rezultateprindezvoltareanserieFourierafuncieirespective. x(t) = Xo+ ) t n sin( Xn1 nn + = Reprezentndvalorileamplitudinilorndomeniulfrecvenseobine spectruldefrecvenalmicrii,careestedeosebitdeutilncontrolul vibroacustic al sistemelor mecanice. 18 1.5. Caracteristicile fizice ale zgomotului Vibraia acustic reprezint micarea particulelor unui mediu elastic de o parte idealtaauneipoziiideechilibru.Sunetulesteovibraieacusticcapabils producosenzaieauditiv.Senzaiaauditivesteprovocatdevibraiilecareau frecvenecuprinsentre16Hzi20000Hz,domeniucaredelimiteazgrupul vibraiilor sonore sau acustice. Dup felul vibraiilor care le produc, sunetele pot fi mprite n: Tonul muzical este un sunet produs de o singur vibraie sinusoidal; Sunetulmuzicalesteprodusdeovibraieperiodicmaicomplex,format prin suprapunerea mai multor tonuri muzicale; Zgomotulesteunsunetdeduratmare,determinatdevibraiicarenusunt periodice.Dinpunctdevederefiziologic,zgomotulseconsiderafioricesunet suprtor. Undeleacusticesuntrezultatulperturbriistriistaionareamediuluigazos ntr-un punct al spaiului. Cmpul acustic reprezint o zon a unui mediu elastic, care se gsete n stare de vibraie i n care se propag undele acustice. Cmpulacusticliberesteoricecmpacusticcarenuestelimitatdeo suprafa. Vitezasunetului(c)reprezintvitezacucaresepropagnspaiuperturbaia produsderadiaiauneisursesonore.Vitezasunetuluidepindedeelasticitateade volum a mediului i de densitatea acestuia. Viteza de propagare a sunetului este mai mare n solide dect n lichide i respectiv gaze. Lungimeadeund( )estedistanadintredoupunctesuccesive,ncareau loc concomitent comprimri sau dilatri. fc= ,undecestevitezadedeplasareaundei,iarfestefrecvenaacesteia. Dacpresiunea acustic descrie un ciclu complet ntr-un timp T, atunci =cT. Presiuneaacustic(p)reprezintvaloareamedieefectivavariaieide presiune, ntru-un punct dat al mediului. Presiunea acustic se msoar n Pa (N/m2).Utilizareauneiscriliniarepentruexprimareapresiuniacusticeestedificil, attdatoritdomeniuluidinamicfoartemareavaloriipresiuniipecareopoarte percepeianalizaurecheauman,ctidatoritrspunsuluineliniar,logaritmic,al urechiilastimuliiexteriori.Deaceea,practic,seutilizeazniveluldepresiune acustic dat de relaia: o2o2pplg 20pplog 10 L = = mrimea obinut fiind exprimat n decibeli. Valoarea de referinPa 20 po = i reprezint limita de audibilitate pentru un sunet cu frecvena de 1kHz. 19 Intensitateaacustic(I)reprezintfluxuldeenergieacusticcarestrbate unitatea de suprafa, perpendicular pe direcia de propagarea a sunetului, n unitatea de timp i este definit de relaia: ((

= = = 2o2T0T1mWcpv p dt pv lim I,unde: p este presiune acustic, v este viteza undei plane, oeste densitatea aerului n stare de repaus iar c este viteza sunetului n aer, n starea de repaus. ntruct, intensitatea acustic variaz n limite foarte largi, se utilizeaz frecvent mrimea logaritmic, nivelul de intensitate acustic, definit prin relaia:0IIIlg 10 L = [dB] unde I este intensitatea acustic msurat, iar I0 este valoarea de referin.Pentru sunete care se propag n aer: 2120mW10 I=ncazulunorundesonore,caresepropagntr-uncmpliber,intensitatea acusticsepoatecalculacurelaia: cpI2 = ,undeprodusulc senumete impedanacaracteristicamediului.Rezultcintensitateaacusticsepoate determina n cmpul acustic liber prin intermediul presiunii acustice. Putereaacustic(P)reprezintenergiaacustictotalradiatdeosurs acustic n unitate de timp. Puterea acustic se calculeaz cu relaia: =Sn] W [ ds I P unde In este intensitatea acusticiar n este direcia normal la elementul de suprafa dS. Nivelul de putere acustic este dat de relaia: ] dB [PPlg 10 LoP =, unde Po=1012 [W]. Reflexia undelor sonore.Att timp ct n calea undelor sonore nu este interpus nici un obstacol, sunetul se propag numai prin unde progresive. Fig. 1.4 Mediul 1 Mediul 2 Ii It Ir 1c1 2c2 Dacundelentlnescunobstacol,realizatdintr-un altmediu,obstacolprincareundelepottreceintegral, parial sau de loc (fig. 1.4), atunci la suprafaa de separare a celordoumediiseproducefieoreflexieaundelor,o refracie sau ambele concomitent. ncazulreflexieitotale,ntreagaenergieacusticse reflect,iarncazulrefracieitotale,ntreagaenergie acustic incident trece n al doilea mediu. 20 Dac cele doua fenomene se produc simultan, o parte a energiei se reflect (Ir), iar o alt parte (It) se propag n cel de-al doilea mediu.Coeficientuldereflexieacusticestedefinitprinraportuldintrefluxulde energie acustic a undelor reflectate i fluxul de energie acustic a undelor incidente, pe suprafaa de separare a mediilor i se calculeaz cu relaia: 22 2 1 12 2 1 1c cc c||.|

\| + = Ir = .Ii unde 1c1 i 2c2 sunt impedanele caracteristice ale celor dou medii. Coeficientuldetransmisieestedefinitcaraportuldintrefluxuldeenergie acusticaundelortransmiseifluxuldeenergieaundelorincidentepesuprafaade separare a mediilor i se calculeaz cu relaia: ( )22 2 1 12 2 1 1c cc c 4 + = Ir = .Ii Atenuareasunetuluinaerliberestecauzatpedeopartedeomprtierea energiei prin divergen sferic i pe de alt parte de o absorbie a energiei n mediu.Pemsurcedeprtareadeosurssonornedirecionatcrete,energia transportat de unde se distribuie pe suprafaa unei sfere din ce n ce mai mare.Putereaderadiaieasurseirmnndaceiai,intensitateaacusticdescrete inversproporionalcuptratuldistanei.DacsenoteazcuI1iI2intensitile acustice a dou puncte situate la distanele r1 i r2 de o surs sonor nedirecional(r1 < r2) se poate scrie: 22211 2222121rrI IrrII= =Dac se calculeaz nivelul de intensitate acustic obinem: 121 2rrlg 20 L L = Rezult c atenuarea : 122 1rrlg 20 L L L = = Dac r2 = 2r1 L1 = 6dB i deci la o dublare a distanei fa de surs, nivelul presiunii acustice scade cu 6 dB. Reverberaiareprezintpersistenasauprelungireasunetuluintr-oncpere, dupncetareaemisieisurseisonore.npractic,seconsidercsunetuls-aatenuat integral dac nivelul de presiune acustic a sczut cu 60dB. Timpulnecesarproduceriiacesteiatenurianiveluluidepresiuneacusticse numeteduratdereverberaie(T)iseexprimnsecunde.Duratadereverberaie esteindependentdeputereasurseisonore,dardepindededimensiunilegeometrice alencperiiideabsorbiaacusticdinncpere,fiindcuattmaimarecuct volumul ncperii este mai mare i cu ct absorbia corespunztoare este mai mic.

21 1.6. Propagarea undelor acustice n corpurile solide n aer sau ntr-un gaz oarecare, sunetul nu se poate propaga dect sub form de unde longitudinale. ntr-un mediu solid, sunetul se poate propaga printr-o diversitate de unde (longitudinale, transversale, cvasilongitudinale, unde de suprafa).Sunetele transmise prin mediile solide se mai numesc i sunete structurale. Energiaacusticpecareotransportundelencorpulsolidesteatenuat datorit absorbiei energiei n mediu, datorit efectelor termice i a difuziei sunetului pe suprafaa de separare a grunilor de material. Absorbiasunetuluiestecuattmaimarecuctfrecvenasunetuluiestemai mare i granulaia materialului este mai mare. Atenuarea sunetului este produs i de discontinuitile de seciune. Unaltmijlocdeaobineoatenuareaundelortransmisentr-uncorpsolidl constituiemrireamaseicorpuluicuomasadiional.Mrindmasacorpuluisolid prin care se propag undele de ncovoiere, atenuarea acestora va crete cu frecvena. 1.7.Clasificarea surselor sonore Zgomotulianaterecaurmareavibraieicorpurilor.nfunciedenatura forelor care produc vibraia corpurilor, sursele sonore pot fi: surseproductoaredezgomotprinaciunemecanic(naceastgrupde aciuni intrnd ciocnirea i frecarea); surse productoare de zgomot prin aciune aerodinamic (n aceast grup fiind cuprinse scurgerile laminare de fluid prin orificii sau scurgerile turbulente); surse productoare de zgomot prin aciune electromagnetic;surse productoare de zgomot prin aciune termic. Laacesteatrebuieadugateizgomotelecareiaunaterecaurmareaunei explozii sau a unei descrcri electrice. Zgomot produs prin ciocnire.nurmaaciuniiuneiforecreatdeciocnire,corpurilepotvibracutoate punctele n faz sau, n corpuri pot lua natere unde de ncovoiere.Primul mod de vibrare are loc atunci cnd rigiditatea corpului este apreciabil, ntimpceundeledencovoiereseproducncazulplciloribarelor,alecror dimensiunisuntmari,nraportculungimeadeundasunetuluigenerat,iar rigiditatea corpului este relativ sczut. Frecvenele sunetului emis n urma unei aciuni prin oc, depind de frecvenele proprii de vibraie ale corpurilor lovite, fiind independente de frecvena de repetare a ocurilor.Caracteristicilezgomotuluidepindideamortizareainternavibraiilor celor dou corpuri care se ciocnesc. naceastcategoriedesursesonoreintrciocaneleobinuiteipneumatice, mainile de tanat, angrenajele etc. 22 Zgomotul produs prin frecare.Vibraiilecorpuluisuntprodusenacestcazdincauzaaciuniiforelorde frecare, care iau natere la micarea de translaie sau de rotaie a dou corpuri.Intensitateasunetuluiprodusvariazcuforeleicupluriledefrecare,deci depinde de coeficienii de frecare i reaciunile normale dintre corpurile n contact.Prinurmare,cuctsuprafaacorpuluiarerugozitatemaimare,cuatt intensitatea zgomotului produs este mai mare.Corpulpusnvibraienurmafrecrii,vibreazcufrecvenelesaleproprii, carevordeterminaispectrulzgomotuluigenerat.incazulfrecrii,natura zgomotului depinde de amortizarea intern a vibraiilor corpurilor n micare. Rularea roilor pe ine, prelucrarea materialelor prin achiere, rotirea axelor n lagre, sunt cteva dintre operaiile la care se produc zgomote datorit frecrii. Zgomotul aerodinamic.Scurgereaunuifluidntredousuprafeerigidefixe(deexemplurefularea aeruluiprintr-ogurdeventilaie)precumiscurgereafluidelordatoritmicrii relative a suprafeelor (de exemplu, rotirea elicei unui ventilator sau avion, a rotorului uneimaini)suntcauzecareproduczgomotdenaturaerodinamic,denumiti zgomot de siren. n aceste cazuri, intensitatea zgomotului produs depinde de forma geometric a conductelorsauasuprafeelorprintrecaresescurgefluidul,devitezafluidului,de debitulidevscozitateacinematicaacestuia.Daczgomotulareaspectulunui sunet produs de o siren, exist n spectrul de frecven o component predominant.Dacscurgereafluiduluiesteturbulent,seproduceunzgomotcuspectru continuu. Zgomotul magnetic. Zgomotulmagneticestespecificmainilorelectrice(generatoare,motoare, transformatoare) i se datoreaz forelor periodice care acioneaz n ntrefierul dintre rotor i stator, forelor magnetomotoare datorit nfurrii statorului i rotorului.Zgomotulmagneticesteformatdintr-unsunetfundamental,avndfrecvena reelei electrice (50Hz) i o serie de armonici ale acestuia. Zgomot produs prin aciune termic. Zgomotultermicaparentimpularderii,dincauzainteraciuniidintreflacr igaz,careproduceautooscilaii.nspectrulunuiasemeneazgomotpredomin componentele de joas frecvent, sub 100Hz. 23 2 RSPUNSUL SISTEMELOR MECANICE LA VIBRAII 2.1.Vibraii liberensisteme liniare cu un grad de libertate Sistemeleoscilantecuunsingurgraddelibertatesuntformate,ngeneral, dintr-omasrigid,careexecutomicaredetranslaiesaurotaiecepoatefi determinatprintr-unsingurparametruiunulsaumaimulteelementeelasticei elementedeamortizare,legatedemasarigidideunelementdereferin(care poate fi fix ).Sistemele oscilante cu un grad de libertate pot executa: a)vibraii libere: neamortizate; amortizate. b)vibraii forate: neamortizate; amortizate. 2.1.1.Vibraii libere neamortizate Vibraiilelibereneamortizatesuntvibraiileexecutatedeunsistemoscilant, careafostscosdinpoziiaderepaus,fiindlsatapoisoscilezeliber,cufrecvena proprie.Sconsidermunsistemoscilantformatdintr-omasmiunarcde constantelastick(fig.2.1).Considerndorigineasistemuluinpoziiaderepausa masei m, putem scrie ecuaia diferenial a micrii oscilatorii, folosind principiul lui d Alambert. Fig. 2.1. 0 kx x m = + & &

0 xmkx = + & &Mrimea mk0 = se numete pulsaia proprie asistemului oscilant. Rezult ecuaia diferenial: 0 x x20= + & &a crei soluie general este de forma: ) t sin( C t cos B t sin A x0 0 0 + = + =

unde: C=2 2B A +- este amplitudinea oscilaiei libere; ABarctg = - faza la originea timpului. 24 Lundcondiiile iniiale ale micrii (la t = 0):x = x0B = x0

i0v x = & A = 00v Rezult legea de micare: x = x t sinvt cos0000 0+ Vibraialiberneamortizatesteomicareperiodicarmonic,avnd perioada: T=20;ntruct :m = Pg s0gPkgmk= = = n carekPs = este sgeata static produs de greutatea P a sistemului. 2.1.2. Vibraii torsionale ncazulvibraiilortorsionaleecuaiadiferenialseobinedinecuaia vibraiilor de translaie nlocuind: Fig.2.2. 2.1.3.Vibraii de ncovoiere FieunarboreelasticderigiditateEIncrcatlamijloccuomasrigidm (fig.2.3.). n repaus arborele are sgeata static: Fig.2.3.

Ecuaia micrii vibratorii pe direcia y este: k J m J- momentul de inerie masic fa de axa derotaie; x - unghiul de rsucire. Jk0 = n care:[k] = ((

radm N Ecuaia diferenial este:J 0 k = + & &a crei soluie este:t sin t cos0000 0+ = & EI 48mgl3s = Dacscoatem masa din poziia de echilibru, ea va ncepe s vibrezede-a lungul axei y, cu pulsaia:3s0mlEI 48 gmk== = 25 t siny+ t cos y = y0000 0& n cazul n care bara elastic, n vibraie torsional sau flexional, reprezint un arboredemain,pulsaiaproprieavibraiilortorsionalesauflexionalesenumete pulsaiecritic.Dacarboreleserotetecuovitezunghilar: 30n = ,egalcu pulsaiaproprieo,poatesproducrezonana,ceeacepoatedeterminacreterea amplitudinii vibraiilor. 2.1.4. Constante elastice Prin definiie, constanta elastic a unui element elastic este egal cu fora care produce o deformaie unitar a elementului elastic. Deciconstantaelasticsepoatecalculascriinddeformaiaelementuluielastic i egalnd-o cu unitatea.n continuare se dau constantele elastice pentru cteva elemente elastice: Bar elastic prismaticsolicitat la ntindere sau compresiune: =1EAPl= k = lEA P= ((

mN Bar cilindric solicitat la rsucire: k =l 32Gd4 Bar dreapt simplu rezemat, cu masa la mijlocul barei, aflat n vibraieflexional:k =3lEI 48 Bar ncastrat cu masa la captul liber:k =3lEI 3 Arcul elicoidal: k = n R 64Gd34 Masarigidpoatefilegatdeelementuldereferinprinmaimulteelemente elastice care se pot monta: - paralel (fig.2.4.); -serie (fig.2.5.); -mixt (fig.2.6.). Montaj paralel Fig.2.4. DacasupraansambluluidearcuriseaplicforaF, eaproducenambelearcuriaceiaideformaiex,respectiv forele elastice F1 = k1 xiF2 = k2 x F = F1 + F2 = k1 x + k2 x = ( k1 + k2 )x = kx Rezult: k = k1 + k2i n cazgeneral:k==n1 iik 26

Montaj n serie. Fig.2.5. Fig.2.6. Fig.2.7. 2.2. Vibraii libere amortizate n natur nu exist vibraii libere neamortizate, care s se menin la infinit cu aceiaiamplitudine.Dincauzafrecrilordinsistemuloscilant,oparteaenergieide vibraiesetransformncldur,ceeaceconducelaoreducerecontinua amplitudinii micrii. Se spune ca vibraiile libere se amortizeaz. Amortizarea poate fi: extern-atuncicndfrecrileaulocntreelementelesistemuluioscilanti mediul nconjurtor (reazeme, aer, lichid amortizor); intern - atunci cnd frecrile au loc n interiorul sistemului (mbinri, Montaj mixt K1= 3K1 + 2 1K K1+ Deformaia total x este suma deformaiilor x1 ix2 produse de fora F n fiecare element elastic: x = kF= x1+ x2=2 1kPkP+Rezult:2 1k1k1k1+ = ;i n caz general:k1 = =n1 iik1 Aplicaie Arculelicoidalsuperiorarezspire,iararculelicoidal inferior are n-z spire (fig.2.7). S se determine numrul de spire zalearculuisuperior,naafelnctpulsaiapropriea sistemului s fie minim. Rezolvare k = k1+ k2 k1=z R 64Gd34 ; k) z n ( R 64Gd342=k =) z n ( znR 64Gd34 ; ) z n ( mz R 64n Gd34o= Pentru : 2nz = mn R 16Gd34min o= 27 material),fiindcaracterizatdeapariiauneibucledehisterezisndiagrama efortdeformaie,trasatpentruunciclucompletdencrcare-descrcarea elementului elastic. Pentru amortizarea extern, fora rezistent poate fi considerat egal cu: foradefrecarevscoas,proporionalcuvitezarelativdintremediilen micare; foradefrecareuscatsaucoulombian,constantidesemnneschimbatn decursul unei semiperioade. ncontinuaresevorprezentaprincipaleleproblemelegatedeamortizarea vibraiilor libere, la sistemele elastice cu amortizare extern. 2.2.1. Vibraii libere n sisteme cu amortizare vscoas Sconsidermunsistemelasticncareexistunamortizorvscosavnd coeficientuldeamortizarecicarecreeazofordefrecarevscoasc x& desens opus vitezei, deci de acelai sens cu fora elastic (fig.2.8.). Fig.2.8 0 = + 2 +2x x xo& & & 2 22 12 2 = 0 = + 2 +o ; or r rFelul micrii depinde de natura acestorrdcini. Cazul I. Amortizare subcritic: Dac:cr oc m . k cmkmc= 2 < 0 > 2 2 ecuaia caracteristic are soluii reale i diferite: 2o22 ; 1r =Ecuaia micrii este de forma:|.|

\|+ = 2o2 2o2t t tBe Ae e xireprezintomicareaperiodic,sistemulscosdinpoziiadereferintindes revin ncet la aceeai poziie. = =2 1r r iarecuaiamicriise scrie:( ) B At e xt+ =

i punnd condiiile iniiale obinem: ( ) | |o o otx t x v e x + + = Micareaesteaperiodic,sistemulscosdin poziiadereferinrevinencetlaaceeaipoziie (fig. 2.10). 29 2.2.2. Vibraii n sisteme cu amortizare uscat n acest caz, sistemul oscilant se mic sub efectul forei elastice kx i al unei fore rezistente de mrime constant R, de sens opus vitezei (fig.2.11). Fig.2.11 Ecuaia diferenial a micrii este:0 = + + kxxxR x m&&& &unde: 0 x , 10 x , 00 x , 1x . signxx< => += =&&&&&& Micarea se poate studia pe semiperioade. Sconsidermcmasaafostdeplasatntr-opoziieextremxoilsats oscilezecaurmareaforeidinarc.nprimasemiperioad,forarezistentvafide semn opus vitezei v, deci dirijat spre axa x pozitiv, iar ecuaia micrii este: 0 = + kx R x m& &Soluia general a ecuaiei este de forma: R o ot cos B t sin A x + + =n care:mko = ikRR = nsemiperioadaurmtoare,foraRischimbsemnulideciecuaia diferenial va avea soluia:

R o ot cos B t sin A x + =Deci n caz general: R o ot cos B t sin A x + =Constantele A i B se determin pentru fiecare semiperioad separat. Pentru: = = = ==0 A 0 xx B x x0 tR o o& La sfritul primei semiperioade, pentru = todeplasarea este: R o R2 x B x + = + =iar viteza este nul. La sfritul semiperioadei urmtoare, amplitudinea scade iaraicu R 2i aa mai departe. Micarea se poate reprezenta printr-o serie de sinusoide, cu amplitudini cescadnprogresiearitmeticialecroraxesuntdecalatecu R fadeaxa timpului (fig.2.12). 30 Fig.2.12 2.3. Vibraii forate Vibraiaforatreprezintmicareaunuisistemoscilantcarspunslao excitaie continu, a crei mrime variaz n timp. Fig.2.13 n continuare vom trata cele mai uzuale cazuri de vibraii forate. 2.3.1. Vibraii forate neamortizate datorit unei excitaii armonice Fig.2.14 Clasificareavibraiilorforate Dup amortizare Fr amortizare Cu amortizare Vscoas Uscat Histeretic Oarecare Dup excitaie Aleatoare Determinist Periodic Impuls Oarecare Modelul sistemului oscilant este dat n fig.2.14. Fora excitatoare are amplitudine Fo i pulsaie , deci: F(t) = Fo sin t Ecuaia diferenial a micrii este: t sin F kx x mo = + & &mprind prin m obinem: t sinmFxmkxo = + & &Se noteaz: mko = 2imFqo= 31 Ecuaia devine:t sin q x xo = +2& &Avem o ecuaie neomogen a crei soluie general este egal cu suma dintre soluia general a ecuaiei omogene x1 i o soluie particular a ecuaiei neomogene x2: x = x1 + x2n care:x1 = A sin ot + B cos ot x2 = C sin t + D cos tConstanteleCiDsedeterminpunndcondiiacasoluiaparticularx2 s verifice ecuaia diferenial neomogen. t sin D t cos C x =2&t cos D t sin C x =2 22& &- C 2 sin t - D 2 cos t + 02 C sin t + 02 D cos t = q sin t sin t (- C 2 + 02 C) + cos t (- m D 2 + D 02) = q sin t ( )( )0 = 0 = + = = + 2 22 22 2D DqC q Cooo Deci, soluia general este: x = A sin ot + B cos ot + 2 2oq sin t Constantele A i B se determin punnd condiiile iniiale: t= 0 = 0 =0 = 0 =2 2o oqA xB x& i ecuaia micrii este:x =||.|

\| 2 2t sin t sinqoo o Avem o vibraie nearmonic, rezultat din suprapunerea a dou micri armonice, vibraia proprie de pulsaie o i vibraia forat cupulsaia perturbtoare.ngeneral,datoritefectelordeamortizare,vibraiapropriedisparerapidi rmne numai vibraia forat, n acest caz vibraia fiind armonic, cu frecvena forei perturbatoare. x = Xo sint =t sinqo 2 2 ncare: Xo = st oooooooooX AkFmFmFq=||.|

\| 1=||.|

\| 1= = 2 222 2 2 2 32 esteamplitudineavibraieiforate;X st= kFoestedeformaiastaticasistemului oscilant sub aciunea valorii maxime Fo a forei perturbatoare. Mrimea adimensionalAo= 2||.|

\| 11osenumetefactordeamplificarei aratdecteoriestemaimaredeformaiadinamicasistemului,datoritforei perturbatoare, n raport cu deformaia static, datorit amplitudinii aceleiai fore. Fig.2.15 2.3.2. Excitaia prin micare aplicat suportului, n sisteme neamortizate Fig.2.16 Aplicaie.Unmotorelectric,avndgreutateaQestemontatlacaptulunui suport format din doua grinzi paralele, ncastrate la cellalt capt (fig. 2.17). GrinzilesuntconfecionatedinprofileIdeoelavndmoduldeelasticitate longitudinal E = 2,1 : 1011 N/m2. Xo = Xst .Ao DacreprezentmvariaialuiAo n funciederaportul oobinemdiagramadin figura 2.15Pentru: = o oA areloc fenomenul de rezonan.La rezonan amplitudinea crete continuu cutimpul,devenindinfinitnumailavaloarea infinit a timpului. Sconsidermoexcitaiearmonicprinmicare aplicat suportului de forma: u = uo sin t Fora elastic va fi: Fe = k(x - u)iar ecuaia diferenial a micrii este:( ) 0 u x k x m = + & &t sin ku kx x mo = + & &Dac se noteaz: o oku F = rezult soluia general a ecuaiei difereniale:x = A sin ot + B cos ot + 2oo1u||.|

\|sin t 33 Fig.2.17

b) La ce turaie se produce fenomenul de rezonan. Se vor neglija greutile grinzilor i forele de amortizare. Rezolvare. Fora perturbatoare, pe vertical, datorit excentricitii este: t sin egPF =2unde:30n = Ecuaia vibraiilor forate, pe direcie vertical, este: t sin eQPx xo = +2 2& &unde: stofg= ; ) I 2 ( E 3Qlf3st = 36= QlgEIo a eQPXoo1 1= |.|

\| + QaPe1gE 6QlI32 3oQlgEI 6= =ocr30n 2.3.3. Vibraii forate cu amortizare vscoas, datorit unei excitaii armonice S considerm un sistem oscilant cu un grad de libertate, care are un amortizor liniar, n paralel cu arcul (fig. 2.18). Fig.2.18soluiei particulare i are pulsaia a forei perturbatoare.Soluia particular aecuaiei neomogene se caut sub forma: x2 = C sin t + D cos t = X0 sin (t - ) i nlocuind obinem: - m X0 2 sin ( t - ) + C X0 cos ( t - ) + k X0 sin ( t - ) = F0 sin t Distanadelapunctuldencastrarelaaxul motorului este l. Rotorulmotorului,degreutateP,areo excentricitate efa de axa de rotaie:a) S se aleag profilul I, n aa fel nct amplitudinea vibraiilor forate s nu depeasca ; Ecuaia diferenial a micrii este: t sin F kx x c x mo = + + & & &Soluiaecuaieidiferenialeestede forma:x =x1 + x2

undex1estesoluiageneralaecuaiei omogene,careafostdeterminatanteriori reprezint vibraia liber a sistemului, vibraie careseamortizeazrapid,ncontinuare micarea staionar fiind corespunztoare 34 (- m X0 2 + k X0 ) (sin t cos - sin cos t) + C X0 (sin t sin + +cos t .cos ) = F0 sin t sin t [cos (- m X0 2 + kX0)+ c X0 sin ]+cos t [sin (m X0 2 - kX0) + cX0 cos ]= F0 sin t Identificnd termenii obinem: (- m X0 2 + k X0 ) cos + c X0 sin = F0 ( m X0 2 + k X0 ) sin + c X0 cos = 0 Rezult: 2oo2 2oo2 2o2122) ( mcm kctg||.|

\|||.|

\|= = = = unde: o crm 2ckm 2ccc= = = ( )( ) ( ) | | ( )2o22oo2o22 2ooo2oo2 11kF2 mFXsin c cos k mFX||.|

\| +(((

||.|

\|= + = + + = Soluia staionar dat de vibraia forat este: ) t sin(2 11kFx2o22oo ||.|

\| +(((

||.|

\|=Dac se noteazXst =Fo/k , se definete factorul de amplificare: Fig.2.19 a)Cu ct amortizarea este mai mare amplitudinea la rezonanta este mai mic; sto2o22o1XX2 11A =||.|

\| +(((

||.|

\|=Factorul de amplificare reprezint raportul dintre deformaia dinamic maxim n timpul micrii vibratorii i deformaia sistemului (practic a arcului) sub aciunea forei Fo , aplicat static. n figura 2.19se prezint variaia lui A1 n funcie de raportul /-o .w Din analiza acestei diagrame diagrame rezult: 35 b)Efectulamortizriiseresimtenumainvecintateazoneiderezonan,n restcurbelecoincid.Rezultcunamortizoresteutilnumaipentruun sistem care lucreaz n apropierea rezonanei sau trece prin rezonan; c) Curbele au maximum puin n stnga rezonanei sistemului neamortizat. 2.3.4. Excitaia prin for centrifug n sistem cu amortizare vscoas Dac fora perturbatoare armonic este produs de o mas excentric rotitoare, atunciare expresia (fig. 2.19):

Fig.2.19 2.3.5. Transmisibilitate Sconsidermunsistemoscilantcareexecutvibraiiforateamortizate (fig.2.20).DacasupramaseimacioneazoforperiodicdeamplitudineFo,se cere s se determine amplitudinea FT a forei transmise la suport. Fig.2.20 F (t) = moro 2 sin t amplitudinea ei fiind funcie de . Ecuaia diferenial a micrii este: t sin r m kx x c x m2o o = + + & & &Rezolvarea acestei ecuaii d soluia staionara vibraiei forate a crei amplitudine este: 2oo ooAm mr mX+=,undefactorul de amplificare A2 este: =+=oo oo2Xr mm mA2o22o2o2 1||.|

\| +(((

||.|

\|||.|

\| Forele transmise de arc i amortizor la suport sunt: F1 = kx i x c F2& =unde: x = Xosin(t - ) = AXst sin(t - ) ) t cos( AX xst = &ntruct F1 i F2 sunt defazate cu /2, amplitudinea forei rezultante este: = + = + =2 2st2 2 2st2 2 2max 22max 1 TX A c X A k F F F

2o02 2 2st2 1 A F c k AX||.|

\| + = + = 36 Raportul dintre fora transmis i amplitudinea forei perturbatoare se numete transmisibilitate: Fig.2.21 Dac suportul este supus unei deplasri armonice : u = Uosin t masa va avea o deplasare x = Xo sin (t - ),iar transmisibilitatea micrii este definit de relaia: 2o22o2ooo2 12 1UXT||.|

\| +(((

||.|

\|||.|

\| += =Dinexaminareareprezentriigraficeatransmisibilitiirezultc transmisibilitateaestesubunitarpentru2o >icuattmaimiccuct amortizarea este mai mic. Izolareaantivibratorieamainiloresteoproblemdetransmisibilitate. Problema izolrii antivibratorii se pune n dou moduri: maina produce fore perturbatoare F(t) i se urmrete ca transmiterea acesteia la fundaie s fie atenuat (izolare activ); mainaesteaezatpeopardosealaflatnvibraieisecerecavibraiile transmise mainii s fie ct mai reduse (izolare pasiv). Pentruarealizaizolareaantivibratorieestenecesarcantremain ifundaie s se interpun o suspensie elastic. Din punctul de vedere al transmisibilitii, deci al 2o22o2ooT2 12 1FFT||.|

\| +(((

||.|

\|||.|

\| += = n cazul vibraiilor forate neamortizate: c = 0 = 0 T = ||.|

\|o11 Se observ c T = 1pentru o = 0i 2o = nfigura2.21estereprezentatvariaia transmisibilitii, funcie de/o. 37 izolrii,amortizareanuestededorit.Eaexistns,dinnecesitateadeamicora amplitudinea i transmisibilitatea la rezonan.Se observ c izolarea este eficace (T < 1) pentru:2o > Se definete gradul de izolare al unei suspensii elastice:Is = (1 - T).100 [%] 2.3.6. Energii la vibraii forate cu amortizare vscoas Pentru vibraii forate amortizate se definesc trei feluri de energii: a) Energia total a sistemului n vibraie, egal cu energia acumulat de arc n poziia de deformaie maxim, cnd x = Xo, se mai numete i energie potenial sau energie de deformaie: WP = 2okX21 b) Energia disipat pe ciclu prin frecare, este egal cu lucrul mecanic al forei de frecare i depinde de frecven: 2o/ 2oo o/ 2o/ 2oc dX c dt ) t cos( X ) t cos( cX dx x c dx F W = = = = &c)Energiaintrodusnsistemndecursuluneiperioade,dectrefora perturbatoare armonic: = = = sin X F dt ) t cos( X t sin F Fdx Wo o/ 2oo o/ 2oF 2.3.7. Turaia critic a arborilor Sconsidermunarboreelasticdemasneglijabil,ncrcatlamijloccuun disc de mas m, aezat pe dou reazeme (fig. 2.22).Discul este dezaxat cu excentricitatea e.n timpul rotirii arborelui, masa m va produce fora centrifug:Fc = m 2e care va deforma elastic arborele, sgeata n dreptul discului fiind .Arborelesedeformeazpncndforaelasticdezvoltatdearbore echilibreaz fora centrifug. Fig.2.22 Pentru = osgeata arborelui devine infinit. ( ) e m Fk F2ce+ = = k ( ) e m2+ = 22m ke m = 2o2o2 2o2221eemke||.|

\|||.|

\|= = = 38 Turaiacorespunztoareacesteipulsaiisenumeteturaiecriticise calculeaz cu relaia:=oc30nrot/minPentru < o > 0 Pentrue arboreleseautocentreaz,acestarotindu-sen jurul unei axe care trece prin centrul de greutate G al discului. 2.4. Vibraiiforate amortizateproduse de o excitaie periodicnearmonic DacforaexcitatoareF(t)nuestearmonic,daresteperiodic,expresiaei poatefidezvoltatntr-osumfinitasauinfinitdecomponentearmoniceprin dezvoltare n serie Fourier: F(t)=Ao+A1cos t+B1sin t+A2cos 2t+B2sin 2t++Ancos(nt)+Bnsin(nt)+ unde coeficienii Ao, Ani Bn au expresiile: Ao=T0dt ) t ( FT1 An=T2T0dt ) t n cos( ) t ( FBn=T0dt ) t n sin( ) t ( FT2cu n=1,2,3, Deci :F(t)=Ao+= 1 nA (ncosnt+Bnsinnt) Dac se noteaz: Fo = Ao ;Fn = 2n2nB A + itgn=nnBArezult:F(t) = Fo+=1 nnn sin( F t+n) Dacexcitaiaacioneazasupraunuisistemelasticliniar,cuamortizare vscoas,atunciputemaplicaprincipiulsuprapuneriiefectelorpentrustabilirea soluiei.ncazulunuisistemcuamortizarevscoas,componenteledatorit vibraiilorpropriiseamortizeazrapidrmnndnumaisoluiastaionar,careare expresia: x =||.|

\|+(((

||.|

\|+=n sin(2 n1 kk1 n2o22on F Fot-n) unde:n=arctg 2oon1n2||.|

\| 39 Dacsenoteazcux1,x2,,xn,amplitudiniledeplasrilordiferitelor armonici, ecuaia micrii se scrie: x = xo + x1sin(t-1) + x2sin(2t-2) + + xnsin(nt-n) + n mod similar notnd amplitudinile acceleraiilor: a1 = -x12;a2= -4x22; ; an = -n2xn2 Se poate scrie expresia acceleraiilor: a =a1sin(t-1) +a2sin(2t-2)++ansin(nt-n) + n studiul unei astfel de micri este util s cunoatem amplitudinile x1, x2, , xn, ... ale deplasrilor saua1, a2, , an, ... ale acceleraiilor armonicelor componente. a) b)

c) Fig. 2.23 40 Graficul discontinuu care d aceste mrimi, funcie de frecven, se numete spectrul deplasrilor, saualacceleraiilor. Acestespectrepotfiobinutepecaleexperimentalintroducndunfiltrude band n schema bloc a lanurilor pentru msurarea vibraiilor.n fig.2.23 sunt prezentatespectreleacceleraiilor pentru trei micri: a)micarea pur sinusoidal; b)suprapunerea a dou micri armonice cu frecvenele n raport 1:2; c)succesiune de impulsuri dreptunghiulare. n acest caz spectrul acceleraiilor are o infinitate de armonice, dintre care sau reprezentat primele patru armonice, celelalte fiind neglijabile. Rezultcreprezentareandomeniulfrecvenauneimrimiperiodice, conducelaunspectruformatdinlinii discrete,numrulacestoraputndfifinitsauinfinit. 2.5. Vibraiinsistemecungradedelibertate Sistemele elastice nu pot fi studiate ntotdeauna cu ajutorul modelului avnd o singur mas, deci un singur grad de libertate. Pentruaanalizateoreticvibraiileacestorsistemeestenecesarcaelesfie schematizate prin modele cu mai multe grade de libertate (fig. 2.24).

a)b) c)d) Fig.2.24 Deexemplu,vibraiileunuivehiculpedouosii,potfistudiatencelmai simplucazcuajutorulmodeluluicudougradedelibertate,acreimicareeste determinatdedoiparametrixi,decimodelularedougradedelibertate (fig.2.24.a). 41 Vibraiiletransversalealeuneimainiunelte,rezematpereazeme vibroizolantepefundaie,careesteaezatpeunmediuelastic,potfistudiatede asemenea, cu modelul cu dou grade de libertate (fig.2.24.c).Vibraiileflexionale i torsionale ale arborilor pot fi analizate pe modele cu n gradedelibertate,obinuteprinconcentrareamaseinnpuncte,poriuniledintre masefiindconsideratedemasneglijabiliderigiditateGIpirespectivEI (fig.2.24.b,d).

2.5.1.Vibraiilibereneamortizatensistemecudougradedelibertate Sconsidermsistemuldinfig.2.25,formatdinmaselem1im2legatede reperelefixeprinarcuriledeconstanteelasticek1ik2intreeleprinarculde constantelastick12.Snotmcux1(t)ix2(t)deplasrileindependentealecelor dou mase fa de poziia de echilibru static. Dac se izoleaz masele i se aplic forele de legtur i forele de inerie, se poatescrieecuaiadeechilibrudinamicpentrufiecaremas,folosindprincipiullui dAlembret. Rezult sistemul: Fig. 2.25 Am obinut un sistem algebric liniar i omogen, cu necunoscute A1 i A2, care admite soluii diferite de soluia banal (A1=0 i A2=0) dac: ((

+ + + + = 12 222 1212 12 121k k m kk k k m senumetedeterminantulluiLagrange.Dezvoltnddeterminantulobinem ecuaia: ( )) (0m mk k k k kmk kmk k2 12 1 12 2 12212 1112 222=+ ++ ||.| ++

\| ++ care se numete ecuaia pulsaiilor proprii sau naturale. Rezolvndecuaiaobinemsoluiilepozitivecarereprezintpulsaiileproprii ale sistemului. S rezolvm ecuaia pentru cazul particular n care: k1 = k2 = k ;m1 = m2 = m; ( )( )2 2 2 1 12 2 22 1 12 1 1 1 1x k x x k x mx x k - x k x m = =& && & Pentruintegrareasistemului se caut soluii de forma:x1 = A1 sin (t + ) x2 = A2 sin (t + ) Rezult: (-m12 + k1 + k12) A1 - k12A2 = 0 k12A1 + (-m22+k2+k12) A2=0 42 ( )mk0mkk 2 kmk k221212221222= =++ + i mk 2 k1222+= Pulsaiile proprii sunt: mk1 = imk 2 k122+= Pentru:211AA = 1k kmkmkk k mk1212122112=+ + =+ + = 1k kmk 2 kmkk k mkAA121212122212212 =+ ++=+ + = = Deci,pentru 1 2 1 1A A = = = seobineprimulmodpropriude vibraie, care este dat de soluia :|.| +

\| =1 1 1tmksin x

|.| +

\| =1 1 2tmksin xRezult c n primul mod de vibraie, masele vibreaz cu aceiai amplitudine i nacelaisens,decisistemulvibreazfrcaresortulk12ssedeformeze,deci vibreaz ca un sistem cu un singur grad de libertate, avnd pulsaia:mk1 = Pentru :2 2 1 2A A = = = i soluia sistemului este : |.| +

\|+ =2122 1tmk 2 ksin x |.| +

\|+ =2122 2tmk 2 ksin xAmplitudinilesuntegale,celedoumasevibreaznsensuriopuse,nraport cu punctul median. Am obinut cel de al doilea mod propriu de vibraie.Soluia general a sistemului de ecuaii se obine sumnd soluiile particulare: ( ) ( )( ) ( )2 2 2 1 1 1 22 2 2 1 1 1 1t sin t sin xt sin t sin x + + = + + + = 2.5.2. Vibraii libere neamortizate n sisteme cu n grade de libertate n cazul sistemelor cu n grade de libertate, pentru fiecare grad de libertate xj se poate scrie ecuaia : mj jx& & = Qj n care : mj este masa sau momentul de inerie masic, corespunztor gradului delibertate j; 43 xj este acceleraia de translaie sau rotaie, dup gradul de libertate j; Qj este rezultanta forelor sau cuplurilor aplicate sistemului dup gradul de libertate j. Pentru ntocmirea modelului matematic trebuie cunoscute: masele mj; constantele elastice kjk; amortizrile; forele perturbatoare. Constanta elastic generalizatkjk a gradului de libertate j dup direciak este egal cu fora elastic care acioneaz asupra gradului de libertate de ordinul j, cndarelocodeplasarelent,egalcuunitatea,numaipedirecianegativ,a gradului de libertate k. Un sistem elastic, cu n grade de libertate, poate fi caracterizat complet prin n constante elastice. Constantele elastice respect legea reciprocitii: kjk =kkj Fora elastic total, care acioneaz asupra gradului de libertate k, este suma efectelor deplasrilor pe toate gradele de libertate: Fel.k= -=n1 kkjkxk Semnulminusaratcforaelasticesteopusmicrii.Celenecuaiide micare se pot scrie sub forma: mjjx& &+ =n1 kkjkxk = Fjcu:j = 1,2,...,n n care Fj reprezint suma forelor exterioare.ncazulvibraiilorlibereneamortizateforeleexterioaresuntnuleideci ecuaiile de micare se pot scrie sub forma: mjjx& &+ =nk 1kjkxk = 0unde:j = 1, 2 n . Soluiile acestui sistem de ecuaii difereniale sunt de forma: xj = Dj sin (t + ) nlocuind soluia n sistem obinem sistem algebric de forma: mjDj2 - =nk 1kjkDk = 0 cu:j = 1,2,n Dezvoltndsistemul se obine: m1D12- =nk 1k1kDk = 0 m2D22- =nk 1k2kDk = 0 .. mnDn2- =nk 1knkDk = 0 Am obinut un sistem algebric liniar, omogen, cu necunoscute Dj ( j =1,2..n). 44 Sistemuladmitesoluiidiferitedesoluiabanaldacdeterminantulprincipal al sistemului este nul: 0k m ...... k k k... ... ... ...k ...... k k m kk ...... k k k mnn2nn 3 n 2 n 1 nn 2 23 22222 21n 1 13 12 11211= Dezvoltnd acest determinant obinem ecuaia pulsaiilor proprii (de gradul n n 2).Rezolvnd ecuaia obinem cele n pulsaii proprii (sau naturale) ale sistemului. Dacsistemulnuestesupuslaforeexterioareacestapoatevibracuunasau maimultepulsaiiproprii.Unsistemvibrndcuunadinpulsaiilepropriin,areo distribuie a amplitudinilor numit mod propriu de vibraii.Unmodpropriudevibraii este definit printr-un ir de valori Djncaresatisfac sistemul de ecuaii: mjDjnn = =nk 1kjkDkncu j = 1,2 n Aplicaie:Sedsistemulcutreigradedelibertate(fig.2.26),formatdintrei maseaezatepeunsuportrigid,legatenserieprintreiarcuri,avndaceiai constant elastic. Deplasrile absolute ale maselor sunt: x1 , x2 , x3 . S se determine pulsaiile proprii. Fig.2.26 k11 = k + k =2kk23 = k32 = -k k12 = k21 = -k k33 = k k22 = k + k = 2k k31 = k13 = 0 Ecuaia pulsaiilor proprii este : m2 2kk 0 km2 2kk = 0 0 k m2 k 32km||.|

\| 22km5||.|

\| +6 1km2||.|

\| 1 = 0.445 mk;2 = 1.25 mk; 3 = 1.8 mk 2.5.3. Determinarea ecuaiilor de micare folosind ecuaiile lui Lagrange Pentruunsistemoscilantcungradedelibertatevomnotacuqi(i=1,2,n) parametriiindependenicedepinddetimp,cucaresestudiazmicareavibratorie, 45 numitecoordonategeneralizate.Originileacestorcoordonatesealeg,ngeneral, astfel ca valorile lor s fie nule n poziia de echilibru static sau n micarea de regim.n acest caz ecuaiile lui Lagrange se scriu sub forma :iicicQqEqEdtd=||.|

\|& unde q& ireprezint vitezele generalizate, Ec este energia cinetic total a sistemului, iarQisuntforelegeneralizate,carecorespundtuturorforelorceacioneazasupra sistemului (fore elastice, de amortizare i perturbatoare). Vibraiile se efectueaz fa de poziia de echilibru static, n care am considerat origineatuturorcoordonatelorgeneralizateincarevompresupuneenergia potenial nul. De aceea, ca i n cazul sistemelor cu un grad de libertate, n calculul forelor generalizate nu se consider forele gravitaionale. Pentruunsistemconservativ,fr pierderi de energie prin amortizare, aflat n vibraieliber,foreleelasticesuntderivatelecusemnschimbataleenergiei poteniale Ep a sistemului n raport cu coordonatele generalizate qi : - Ep/ qi . Foreledeamortizarevscoassuntegalecuderivatelecusemnschimbatale energiei disipate Ed a sistemului, n raport cu viteza generalizatq&i : - Ed/ q&i

Notnd cu Fi forele perturbatoare, atunci: iidipiFqEqEQ + =& i ecuaiile lui Lagrange se pot scrie sub forma:iidipicicFqEqEqEqEdtd=++||.|

\|& & unde:Ec= 1/2.=n1 j , imijq&iq&j Ep= 1/2.=n1 j , ikijqiqj Ed= 1/2.=n1 j , icijq&iq&j unde:mji,kijicijsenumesccoeficienideinerie,derigiditateirespectivde amortizare. Din motive de simetrie, pentru i = j avem: mij = mji ; kij = kji ; cij = cji. DacnsistemulecuaiilorLagrangecelpuinunuldincoeficieniimijeste diferitdezero,pentrui=j,sespunecsistemulestecuplatdinamic,iardaccel puin unul din coeficienii kij = 0, pentru i = j, se spune c sistemul este cuplat static.n cazul n caremij = 0 i kij = 0, pentru i = j, se obin n ecuaii independente. 2.5.4. Vibraii amortizate n sisteme cu n grade de libertate Stabilirea ecuaiilor de micare la sistemele cu ngrade de libertate (fig. 2.27.a) se poate face utiliznd principiul lui dAlambert sau ecuaiile lui Lagrange. 46 Se obine un sistem de n ecuaii difereniale ordinare, cu coeficieni constani, omogen sau neomogen, dup cum vibraiile studiate sunt libere sau forate.

a)b) Fig. 2.27 Scriind ecuaia de echilibru dinamic a masei mj se obine (fig. 2.27.b): ) t ( f ) x x ( c ) x x ( c ) x x ( k ) x x ( k x mj 1 j j 1 j 1 j j j 1 j j 1 j 1 j j j j j= + + + + + + + + & & & & & &) t ( f x k x ) k k ( x k x c x ) c c ( x c x mj 1 j 1 j j 1 j j 1 j j 1 j 1 j j 1 j j 1 j j j j= + + + + + + + + + + & & & & &Dacsescrieaceastecuaiepentrucelenmasedinsistem,rezultunsistem de n ecuaii difereniale, care se poate scrie sub form matricial. || { } x m & & +| | { } x c & +| | { } x k ={ } funde am notat : ||(((((

=n21m ... 0 0... ... ... ...0 ... m 00 ... 0 mm matricea maselor; | |(((((((

+ + + +=+1 n n n4 4 3 33 3 2 22 2 1c c c 0 0 0 0... ... ... ... ... ...0 ... c c c c 00 ... 0 c c c c0 ... 0 0 c c cc | |(((((((

+ + + +=+1 n n n4 4 3 33 3 2 22 2 1k k k 0 0 0 0... ... ... ... ... ...0 ... k k k k 00 ... 0 k k k k0 ... 0 0 k k kk { })`=n21x...xxx; { })`=n21x...xxx&&&& ;{ })`=n21x...xxx& && && && &;{ })`=n21f...fff-vectorul deplasrilor; vectorul vitezelor;vectorul acceleraiilor;vectorul forelor.-matricea coeficienilor de amortizare-matricea constantelor elastice 47 Matricile parametrilor sistemului au forma de mai sus atunci cnd coordonatele generalizate exprim deplasrile maselor i cnd arcurile i amortizoarele sunt legate ntre dou mase consecutive. Cnd acestea sunt legate ntre mase i un suport fix, sau ntre mase neconsecutive, apar n matrice i elemente nediagonale.Dup cum se observ, ecuaiile difereniale de micare sunt ecuaii dependente idecinupotfirezolvateindependent.Pentrudecuplareaecuaiilordemicarese foloseteanalizamodal,ncadrulcreiasefacetrecereadelacoordonatele generalizate la coordonatele principale cu ajutorul matricei modale. Moduri proprii de vibraii Pulsaiilepropriiiformelemodurilorpropriidevibraieseobinprin rezolvarea sistemului de ecuaii omogene pentru vibraii libere neamortizate: || { } x m & & +| | { } x k ={ } fSoluiile sistemului de ecuaii x1 , x2 ,. , xn se caut sub forma:{ } { } ) t sin( a ) t sin(a...aaxn21 + = + )`= care reprezint o micare armonic sincron n toate coordonatele . nlocuind soluiile sistemului n sistemul de ecuaii de micare se obine: | | || ( ) { } { } 0 a m k2= Pulsaiile proprii sunt soluiile ecuaiei algebrice: det| | || ( ) m k2 = 0 care are n rdcini reale, pozitive, n general distincte1 , 2 ,, n . Existdecinpulsaiir(r=1,2,,n)ncareesteposibilomicare armonic.Fiecreipulsaiir icorespundeunvector{a(r)}cuelementereale ) r (ja astfel nct este satisfcut relaia matriceal: | | || ( ) { } { } 0 a m kr 2r= Vectorii proprii {a(r)} se numesc vectori modali. Se noteaz: { } { }) r ( ) r (1) r (n) r (2) r (1) r (1) r (n) r (2) r (1) r (a...aa...aaa =)`=)`= unde { }) r (este vectorul propriu normalizat de ordinul r, iar termenul r1rj rjaa= este unelementadimensional( 1) r (0 = ).Legeademicarepentrumodulpropriude vibraie de ordinul r este dat de vectorul: 48 { } { } { } { }r) r (r r) r (1) r (r r) r ( ) r () t sin( a ) t sin( a x = + = + = n care: r = ) t sin( ar r) r (1 + este coordonata principal de ordin r.Micarea general a sistemului este dat de o suprapunere de moduri proprii:{ } { } { } ) t sin( a ... ) t sin( a xn n) n (1) n (1 1) 1 (1) 1 ( + + + + = n care ) n (1) 1 (1a ,..., a i 1 , 2 , ,nsunt 2n constante care se determin din cele 2n condiii iniiale. { } { } || { } = ==A xrn1 r) r ( unde|| A senumetematriceamodaliarevectoriipropriinormalizaidrept coloane: || { }{ } { } | |((((((

= =) n (n) 2 (n) 1 (n) n (2) 2 (2) 1 (2) n (1) 2 (1) 1 (1) n ( ) 2 ( ) 1 (....... ... .... .............. A iar| | este matricea coloan a coordonatelor principele.Dac se face transformarea de coordonate { } || { } = A xn ecuaia matricial, obinem: || || { } & &A m +| | || { } A k= { } 0nmulind la stnga cu transpusa||A a lui || A obinem: ||A . || || { } & &A m +||A . | | || { } A k ={ } 0Se poate arta c urmtoarele matrici sunt diagonale: | | || || || A m A M = - matricea maselor generalizate sau a maselor modale;|| || | | || A k A K = - matricea constantelor elastice generalizate.Deci ecuaia matricial devine: | | { } & &M + || { } K={ } 0Prin desfurare obinem: M1 1& &+ K1 1 =0 Mn n& &+ Kn n =0 Rezultc,ncoordonateprincipale,micareaestecaracterizatdenecuaii independente,careserezolvseparat,lafelcaecuaiasistemuluicuungradde libertate.Pulsaiile proprii au expresiile: { } | | { }{ } || { }) r ( ) r () r ( ) r (rr 2rmkMK = = cu r = 1,2, ,n. 49 2.5.5. Vibraii forate cu amortizare vscoas n sisteme cu n grade de libertate

Sconsidermecuaiilevibraiilorforatealeunuisistemcungradede libertate i amortizare vscoasscrise sub form matriceal: || { } x m & & +| | { } x c & +| | { } x k = { } fDac se efectueaz transformarea de coordonate: { } || { } = A x i se nmulete ecuaia cu transpusa||A a matricei modale, rezult: ||A . || || { } & &A m +||A . | | || { } A c +||A . | | || { } A k =||A .{ } fn cazul amortizrii proporionale se noteaz: ||A . | | || | | C A c = - matricea coeficienilor de amortizare generalizai;||A . | | | | = f vectorul forelor generalizate.Ecuaia matricial devine: | | { } & &M +| | { } C+ || { } K={ } i reprezint un sistem de n ecuaii de forma: Mr r& &+ Cr r&+ Kr r =rcaredescriemicareanmodulrdevibraie,caracterizatdevariaiacoordonatei principale r . Fiecare ecuaie se poate rezolva separat, la fel ca i ecuaia vibraiilor forate amortizate ale sistemului cu un grad de libertate. n cazul unei excitaii armonice:{f} = {F} sin t i rezultfora generalizat : r= r sin tcu r = 1 , 2 , .. , n. Soluia ecuaiei este: ) t sin(2 1 Kr2rr22rrrr ||.|

\| +(((

||.|

\|= unde:rr 2rMK= ;r rrrM 2C= i 2rrrr12arctg||.|

\|= Soluia general a micrii sistemului este: { } { }{ } { }{ }) t sin(2 1 KFxrn1 r2rr22rrr rn1 rrr ||.|

\| +(((

||.|

\|w-m m= x m = = = 50 2.5.6. Vibraii de rsucire la angrenaje Sconsidermsistemuloscilantdinfigura2.28,nstructuracruiaexistun angrenaj ale crui elemente au inerie neglijabilcomparativ cu discurile J1 i J2. Fig.2.28 Raportuldetransmitereeste:i1,2=1/2=z2/z1=i,unde1i2sunt vitezele unghiulare ale arborilor cu constante elasticek1 respectiv k2, iar z1 i z2 sunt numerele de dini ale roilor dinate. Se consider c angrenajul reprezint o legtur rigidcaretransformturaiile,amplitudinileicuplurilecuraportuli1,2,neglijnd elasticitatea dinilor i a carcasei, jocurile dintre flancurile dinilor etc.Determinareacaracteristicilorvibraiilordersucirealesistemuluisepoate simplifica dac sistemul real este nlocuit cu un sistem echivalent din punct de vedere dinamic, n care discurile i arborii se rotesc cu aceiai turaie.Pentru ca cele dou sisteme s fie echivalente trebuie ca:puterea: ( Mt)real = ( Mt )echiv

energia cinetic: ( J2)real = ( J 2 )echiv

energia potenial: ( k 2 )real = ( k 2 )echiv

Rezult relaiile de calcul ai parametrilor sistemului echivalent: Mt echiv = (real / echiv ) Mt real J echiv = (real / echiv )2 J real Kechiv = (real / echiv )2 K real Deoarece: echiv = (echiv / real ) real Kechiv = (real / echiv ) K real Rezult urmtoarele relaii de echivalen: J2echiv = (2 / 1 )2 J 2 = (1/i)2 J2

K2echiv = (2 / 1 )2 K 2 = (1/i)2 K2 Constanta elastic a arborelui se calculeaz cu relaia: 2 122 1221k k ik kkkik1k1+ = + = Pulsaia proprie a sistemului echivalent este dat de relaia: ( )2 122 12 12 122212212k k ik kJ JJ J iiJJiJJ k+ + =|.|

\|+ = 51 2.6. Metode aproximative pentru studiul vibraiilor sistemelor cu n de grade de libertate Pentrudeterminareapulsaiilorpropriialeunuisistemcungradedelibertate estenecesarsserezolveecuaiapulsaiilorproprii,careesteoecuaiealgebricde gradulnn2.nnumeroaseaplicaiiprezintinteres,practic,numaipulsaia proprie cea mai cobort, numit i pulsaie fundamental. Pentrucalcululpulsaieifundamentales-auelaboratoseriedemetode aproximative care permit calculul acesteia, fr s rezolvm ecuaia, dintre care cele maifolositesunt:metodaRayleigh,metodaHoltzer,metodamatricelordetransfer, metoda iteraiei matriceale etc. 2.6.1. Metoda Rayleigh La un sistem conservativ (sistem oscilant fr amortizri, n care nu se produc schimburideenergiecuexteriorul),nvibraieliber,sumaenergiilorcinetici potenial, n orice moment al micrii, este constant:. const E Ep c= + . n aproximaia lui Rayleigh se admite c toate punctele sistemului oscilant trec launmomentdatprinpoziiadedeformaiemaxim,cndenergiapotenialeste maximienergiacinetic cE =0ideasemenea,toatepuncteletrecsimultanprin poziia de zero, cu viteza maxim, cnd energia cinetic este maxim i pE = 0. Altfel spus, pentru vibraia liber, dup un mod propriu de vibraie, este valabil principiulluiRayleigh:energiacineticmaximesteegalcuenergiapotenial maxim. Ecuaia conservrii energiei devine: max p max cE E = PrincipiulluiRayleighestefolositnspecialpentrudeterminareaprimei pulsaiiproprii,alegndpentrumodulfundamentaldevibraieformarezultatdin deformaiile statice produse de greutile maselor din sistem. Aplicaiea)Ssedetermineexpresiaaproximativapulsaieipropriifundamentalea vibraiilorflexionalealeunuiarbore,demasneglijabil,pecaresuntmontain volani (fig.2.29). Fig.2.29 Sepresupunectoivolaniiauomicarearmonicsincronpedirecie vertical, deformaia dinamic a arborelui avnd expresia:) t sin( ) x ( f ) t , x ( y + =Secalculeazenergiacineticmaxim,considerndnumaimicareade translaie a maselor pe direcia vertical y: 52 2 2in1 ii max cf m21E == Energiapotenialmaximesteegalculucrulmecanicefectuatdeforeleg mi: in1 ii max pf g m21E ==

unde ifeste amplitudinea vibraiei masei im . Funcia iftrebuie s ndeplineasc condiiile la limit ale problemei. Deobicei,pentrufuncia if sealegefunciasgeilorprodusedeforele concentrateg mi,aplicatestatic.nacestcaz,valorile if sepotcalculacurelaiile dincursuldeRezistenaMaterialelor,stabilitecumetodaMohr-Maxwellsau Castigliano.Egalndceledouexpresiialeenergiilorseobineformulapulsaiei proprii fundamentale: === n1 i2i in1 ii i2f mf m g, numit i raportul lui Rayleigh. b) S se determine pulsaia proprie pentru un sistem oscilant cu un singur grad de libertate, atunci cnd se consider i masa elementului elastic. Fig.2.30 Energiacineticmaximaelementuluidearc,notndcum1masaunitiide lungime, este :dy Alym21dy xlym21dE2 22212max1max c' = |.|

\| = &Energia cinetic maxim a ntregului arc este:

2 2 1l0222 21max c,A3l m21dy yl 2A mE == Energia cinetic maxim a sistemului este: 2 2a max cA ) m31m (21E + = unde:l m m1 a = este masa arcului.Se fac urmtoarele ipoteze: masa arcului este mic n comparaie cu masa m; micarea masei m nu este afectat de masa arcului; se admite c sistemul are o micare armonic de forma: ) t sin( A x + =Deplasarea unei seciuni y a arcului va fi: ) t sin( Alyylx + = Viteza elementului de arcdyaflat la distana y este: ) t cos( Alyxlyylxdtdv + = =|.|

\| = & 53 Energiapotenialmaximasistemuluiesteaceeaicaicumarcularavea mas neglijabil:2max pkA21E =Aplicnd metoda lui Rayleigh obinem: a0m31mk+= c) S se determine, prin metoda Rayleigh, pulsaia proprie a sistemului oscilant din figura 2.31. Fig.2.31Rezult: 22 221 122 221 120b m b ma k a k++= 2.6.2. Metoda Holzer Metoda Holzer este o metod pas cu pas utilizat pentru calculul pulsaiilor proprii i a formei modurilor proprii de vibraie, pentru sisteme oscilante formate din mase legate ntre ele cu arcuri, sau din discuri pe arbori n vibraii de rsucire.Sconsidermunsistemoscilantformatdinn maselegateprinn+1elemente elastice (fig.2.32). Se detaeaz din sistemul oscilant o mas i arcul alturat: Fig.2.32 Deformaia ja elementului elastic are expresia: 1 j1 jj 1 j jkFx x= = Se admite c micrile se fac cu aceeai pulsaie i n faz: ) t sin( X xj j + =Condiia de echilibru dinamic a masei jmse exprim prin relaia: Dacsistemulexecuto oscilaiearmonict sin0 = , atunci,energiapotenialicinetic maxim are forma:2o22 221 1 max p) a k a k (21E + = ) b m b m (21E22 221 12020 max c+ = 54 j2j 1 j j j2j max j j j 1 jX m F F X m ) x m ( F F + = = = & &Dacseimpunedeplasareaprimeimase1 X1 = ,sepotcalculasuccesiv amplitudinile deplasrilor tuturor maselor din sistem: n 2X ... X- pentru prima mas: 121 1 o 121 0 11X m X k X m F F1 X + = + ==

- pentru masa jm :ij1 ii21 o j2j 1 j jX m X k X m F F= + = + = ) X k X m (k1XkFX X1 j1 i1 o i i21 j1 j1 j1 j1 j j = = = - pentru captul fix al arcului nK : 0 ) X k X m (k1XkFX Xn1 i1 o i i2nnnnn 1 n= = ==+ La captul opus (j = n ) trebuie s avem0 X1 n=+. Dac 2nu este o pulsaieproprie a sistemului, atunci ultima relaie nu este verificat i rezult:) ( g X21 n =+ Dac se reprezint grafic funcia) ( g2 , atunci valorile pulsaiilor proprii sunt valorile lui pentru care graficul intersecteaz axa 2 . Dacpentruvaloriledeterminatealepulsaiilorpropriisecalculeaz deplasrile n 3 2X ,... X , X alecelornmasedinsistem,seobinformelemodurilor propriidevibraie.Pentruaaflaordinuldemrimealpulsaiilorpropriicutate, acesteasepotcalculaaproximativcuraportulluiRayleigh,impunndformelor proprii doar condiii de faz. Determinareapulsaiilorpropriialesistemelorcareexecutvibraiiliberede rsuciresefacenacelaimod,lunddeplasareaunghiular j nloculdeplasrii liniare jX , momentul de inerie