Unghiul unei drepte ane cu un subspatiu an. Unghiul a doua hiperplaneDistanta dintre doua subspatii ane euclidiene

Volumul simplexelor si paralelipipedelor

Curs 3

Unghiuri, distante, volume

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Curs 3

1 Unghiul unei drepte ane cu un subspatiu an. Unghiul a doua

hiperplane

2 Distanta dintre doua subspatii ane euclidiene

3 Volumul simplexelor si paralelipipedelor

Unghiul unei drepte ane cu un subspatiu an

In spatiul an euclidian orientat n-dimensional

En =(E , (−→E , <,>),Φ

)se considera R = O, e1, · · · , en un

reper ortonormat pozitiv, o dreapta ana d si un subspatiu an

euclidian Y ⊂ E de dimensiune 1 ≤ p ≤ n− 1. Pentru inceput atat

dreapta ana d cat si subspatiul an Y sunt neorientate.

Denition

Unghiul dintre dreapta d si subspatiul an euclidian Y este unghiul

neorientat dintre un vector director arbitrar al dreptei d si

subspatiul liniar euclidian−→Y , adica numarul θ ∈ [0, π

2] denit prin

cos θ =‖ Pr−→

Ya ‖

‖ a ‖, a ∈

−→d , a 6= 0, (1)

unde Pr−→Ya este proiectia ortogonala a vectorului a pe subspatiul

liniar−→Y .

Unghiul unei drepte ane cu un subspatiu an. Unghiul a doua hiperplaneDistanta dintre doua subspatii ane euclidiene

Volumul simplexelor si paralelipipedelor

In gura am notat

Pr−→Ya = a1,

Pr(−→Y )⊥

a = a2.

cos θ =‖ a1 ‖‖ a ‖

Oana Constantinescu Curs 3

Denitia anterioara este corecta deoarece ea nu depinde de alegerea

vectorului director al lui d . Pr−→Y

:−→E →

−→Y este o aplicatie liniara si

‖ · ‖:−→E → R este o aplicatie pozitiv omogena, deci pentru orice

alt b ∈−→d , b = λa, λ ∈ R∗ se obtine

‖Pr−→Yb‖

‖b‖ =‖Pr−→

Y(λa)‖

‖λa‖ =|λ|‖Pr−→

Ya‖

|λ|‖a‖ =‖Pr−→

Ya‖

‖a‖ .

Se poate demonstra ca unghiul dintre a si subspatiul liniar euclidian−→Y este de fapt minimul multimii Ω :=

(a, u) | u ∈

−→Y , u 6= 0

.

Unghiul a doua drepte ane

Aplicam rezultatele anterioare pentru cazul particular in care Y este

tot o dreapta ana in En.

Fie d1 si d2 doua drepte ane neorientate in En. Unghiul dreptelord1 si d2 este numarul θ ∈ [0, π

2] unic determinat de formula

cos θ =|< a1, a2 >|‖ a1 ‖‖ a2 ‖

, (2)

unde a1 ∈−→d1, a2 ∈

−→d2 sunt doi vectori directori nenuli arbitrari ai

celor doua drepte.

Intr-adevar, inlocuind Pra2(a1) = <a1,a2>‖a2‖ a2 in formula (1), rezulta

formula (2).

Amintim ca a orienta un (sub)spatiu an inseamna a orienta spatiul

sau liniar director.

In cazul in care cele doua drepte sunt orientate, considerand

a1 ∈−→d1 si a2 ∈

−→d2 orientati pozitiv, unghiul dintre dreptele

orientate d1 si d2 este numarul θ ∈ [0, π] dat de

cos θ =< a1, a2 >

‖ a1 ‖‖ a2 ‖.

Daca ne situam intr-un plan an euclidian orientat E2, unghiulorientat al dreptelor orientate d1 si d2 (in aceasta ordine) este

numarul θ ∈ [−π, π], unic determinat de relatiile

cos θ =< a1, a2 >

‖ a1 ‖‖ a2 ‖, sin θ =

a1 ∧ a2‖ a1 ‖‖ a2 ‖

,

unde a1 ∈−→d1 si a2 ∈

−→d2 sunt orientati pozitiv,

a1 ∧ a2 =

∣∣∣∣ a11 a12

a21

a22

∣∣∣∣, a1 = a11e1 + a2

1e2, a1 = a1

2e1 + a2

2e2,

e1, e2-baza ortonormata pozitiva in−→E .

Unghiul unei drepte cu un hiperplan

Fie dreapta d = A + [a], a 6= 0 si hiperplanul H = B +−→H de

directie normala(−→H)⊥

= [N], ambele neorientate. Unghiul dintre

dreapta d si hiperplanul H este numarul θ = π2− ϕ ∈ [0, π

2], cu ϕ

unghiul dintre dreapta d si normala la hiperplan.

sin θ =|< a, N >|‖ a ‖‖ N ‖

.

Unghiul a doua hiperplane

Daca hiperplanul si normala sunt orientate, iar a, respectiv N sunt

orientati pozitiv, atunci unghiul dintre d si H este numarul

θ ∈ [−π2, π2

] dat de sin θ = <a,N>‖a‖‖N‖ .

Denition

Unghiul a doua hiperplane (neorientate) este unghiul dintre

normalele la cele doua hiperplane.

Deci daca H1 e hiperplanul de directie normala [N1] si H2 e

hiperplanul de directie normala [N2], atunci unghiul dintre H1 si H2

este numarul θ ∈ [0, π2

] denit de

cos θ =|< N1, N2 >|‖ N1 ‖‖ N2 ‖

.

In cazul in care orientam cele doua normale, atunci unghiul celor

doua hiperplane este θ ∈ [0, π] denit prin cos θ = <N1,N2>‖N1‖‖N2‖

, cu

N1, N2 orientati pozitiv.

Observam ca si aceasta denitie nu depinde de alegerea vectorilor

normali hiperplanelor.

Exemple

In spatiul an euclidian E4 consideram dreptele ane

d1 : x1−12

= x2+1

3= x3

−1 = x4

1, d2 : x1−1

1= x2

1= x3−1

2= x4

1si

hiperplanele H1 : x1 + 2x2 − x3 + 1 = 0,

H2 : 2x1 − x2 + x3 − x4 − 1 = 0.

Atunci unghiul dintre dreptele d1 si d2 este dat de

cos θ1 =|< a1, a2 >|‖ a1 ‖‖ a2 ‖

, a1(2, 3,−1, 1), a2(1, 1, 2, 1), cos θ1 =4√105

105;

Unghiul dintre hiperplanele H1 si H2 este determinat de

cos θ2 =|< N1, N2 >|‖ N1 ‖‖ N2 ‖

, N1(1, 2,−1, 0), N2(2,−1, 1,−1), cos θ2 =

√42

42;

Exemple

Fie 2-planul π cu spatiul liniar director −→π = [b1, b2], b1(1,−1, 0, 1),

b2(0, 1, 0, 1) si dreapta ana d cu−→d = [a], a(1, 1, 0, 1).

Unghiul dintre dreapta d si 2-planul π este determinat de

cos θ =‖ Pr−→π a ‖‖ a ‖

.

Observam ca b1 ⊥ b2 si

Pr−→π a = <a,b1>‖b1‖2

b1 + <a,b2>‖b2‖2

b2 = (13, 23, 0, 4

3). Deci cos θ =

√7

3.

In cazul in care baza subspatiului liniar director −→π nu este

ortogonala, o ortogonalizam prin procedeul Gramm-Schmidt.

Unghiul dintre dreapta d2 si hiperplanul H2 este dat de

sin θ =|< a2, N2 >|‖ a2 ‖‖ N2 ‖

=2

7.

Distanta dintre doua subspatii ane euclidiene

Denition

Fie En =(E , (−→E , <,>),Φ

)un spatiu an euclidian n-dimensional

si E1 =(E1,−→E1,Φ|E1×E1

), E2 =

(E2,−→E2,Φ|E2×E2

)doua subspatii

ane nevide ale sale. Distanta dintre E1 si E2 este numarul real

pozitiv denit prin

d(E1,E2) = min d(P1,P2) | P1 ∈ E1 si P2 ∈ E2 .

Remark Se poate demonstra ca multimea

Ω := d(P1,P2) | P1 ∈ E1 si P2 ∈ E2 admite un minim. O vom

face in pasi succesivi, mai intai considerand cazul in care unul dintre

subspatii se reduce la un punct. Evident daca unul dintre subspatii

este intreg E , minΩ = 0. In cele ce urmeaza eliminam acest caz.

De asemenea, daca ambele subspatii ane se reduc la cate un

punct, distanta dintre cele doua subspatii este distanta dintre

punctele respective.

Distanta de la un punct la un subspatiu an euclidian

Theorem

Fie A ∈ E si E1 ⊂ E un subspatiu an al lui E . Atunci multimea

Ω = d(A,P) | P ∈ E1 admite un minim. Mai exact

minΩ = d(A,B), unde B este piciorul subspatiului normal la E1prin A.

In cazul distantei de la un punct la un hiperplan, obtinem o

formula usor de memorat. Elementele propozitiei urmatoare sunt

date in raport cu reperul ortonormat arbitrar R.

Proposition

Fie A ∈ E un punct de coordonate A(x10, x2

0, · · · xn

0) si H un

hiperplan de ecuatie H : a1x1 + x2x

2 + · · ·+ anxn + a0 = 0,∑n

i=1(ai )

2 > 0. Atunci

d(A,H) =| a1x10 + x2x

2

0+ · · ·+ anx

n0

+ a0 |√a21

+ a22

+ · · ·+ a2n

.

Theorem

Fie E1 si E2 doua subspatii ane arbitrare ale lui E . Atunci

multimea Ω = d(P1,P2) | P1 ∈ E1 si P2 ∈ E2 admite un minim.

Pentru a determina distanta intre doua subspatii ane, consideram

subspatiul an E3 = A2 +(−→E1 +

−→E2), ce contine pe E2 si este

paralel cu E1, alegem un punct oarecare A1 in E1, construimsubspatiul normal la E3 prin A1 si notam intersectia dintre acesta si

E3 cu B . Atunci se poate demonstra ca

d(E1,E2) = minΩ = d(A1,B).

d(E1,E2) =‖ w ‖, w = Pr(−→E1+−→E2)⊥

(−−−→A2A1).

Ne dorim o formula de calcul pentru distanta intre doua subspatii

ane arbitrare.

Theorem

Fie E1 = A1 +−→E1 si E2 = A2 +

−→E2 doua subspatii ane ale lui En si

a1, a2, · · · , ar o baza in−→E1 +

−→E2, 1 ≤ r ≤ n. Atunci

d(E1,E2) =

√√√√G(−−−→A1A2, a1, · · · , ar

)G (a1, · · · , ar )

,

unde G (v1, · · · , vr ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣< v1, v1 > < v1, v2 > · · · < v1, vr >< v2, v1 > < v2, v2 > · · · < v2, vr >· · · · · · · · · · · ·

< vr , v1 > < vr , v2 > · · · < vr , vr >

∣∣∣∣∣∣∣∣ estedeterminantul Gramm al sistemului de vectori v1, · · · , vr.

Aplicand rezultatul anterior pentru cazul in care unul dintre

subspatii se reduce la un punct, obtinem:

Proposition

Fie E1 ⊂s.a.e

E si A ∈ E . Daca A1 ∈ E1 si a1, · · · , ap este o baza

in−→E1,atunci

d(A,E1) =

√√√√G(−−→AA1, a1, · · · , ap

)G (a1, · · · , ap)

.

Facem observatia ca G (a1, · · · , ap) 6= 0⇔ a1, · · · , ap sunt liniar

independenti.

De asemenea, cand cele doua subspatii considerate sunt ambele

drepte ane, are loc:

Proposition

Fie δ1 = A1 + [a1] si δ2 = A2 + [a2] doua drepte ane in En,necoplanare, cu a1, a2 nenuli. Atunci

d(δ1, δ2) =

√√√√G(−−−→A1A2, a1, a2

)G (a1, a2)

.

Daca δ1 si δ2 sunt drepte ane necoplanare in E3, atuncid(δ1, δ2) = d(P1,P2), unde P1P2 este perpendiculara comuna celor

doua drepte, P1 ∈ δ1, P2 ∈ δ2.

Particularizari in E3Observam ca daca spatiul an euclidian ambiant este trei

dimensional, putem sa ne folosim de produsul vectorial si cel mixt

pe−→E pentru a reobtine formulele cunoscute din semestrul I. Vom

folosi urmatoarele identitati studiate:

G (a) =‖ a ‖, G (a, b) =‖ a× b ‖2, G (a, b, c) =(a, b, c

)2.

Atunci distanta de la A ∈ E la dreapta δ = A0 + [a] este

d(A, δ) =

√G (−−→AA0, a)

G (a)=‖−−→AA0 × a ‖‖ a ‖

.

Distanta dintre dreptele necoplanare δ1 = A1 + [a1] siδ2 = A2 + [a2] devine

d(δ1, δ2) =

√√√√G(−−−→A1A2, a1, a2

)G (a1, a2)

=

∣∣∣(−−−→A1A2, a1, a2)∣∣∣

‖ a1 × a2 ‖.

Exemple

In E4 se dau dreapta

δ :x1 − 1

1=

x2 + 1

1=

x3

1=

x4 − 1

0

si 2-planul

π :

x1 + x2 − x3 + x4 + 1 = 0,

x1 − x2 + x3 + x4 − 1 = 0.

Fie A1(1,−1, 0, 1) ∈ δ, a1(1, 1, 1, 0) ∈−→δ , A2(0,−1, 0, 0) ∈ π si

a2, a3 ∈ −→π liniar independenti, a2(1, 0, 0,−1), a3(0, 1, 1, 0). Pentru a

determina o baza in −→π am folosit ecuatiile subspatiului liniar director

−→π :

x1 + x2 − x3 + x4 = 0,

x1 − x2 + x3 + x4 = 0.Se verica liniara independenta a

vectorilor a1, a2, a3, deci acestia formeaza o baza in−→δ +−→π . Calculam

G (−−−→A1A2, a1, a2, a3) =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 0 0

−1 3 1 2

0 1 2 0

0 2 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, deci d(δ, π) = 0.

Deoarece a /∈ −→π , rezulta ca d * π, deci d ∩ π = P. Determinati

coordonatele lui P!

Fie A(1, 1, 1, 1) si 2-planul π = A0 + [a1, a2], A0(1, 0, 0, 1),a1(1, 0, 0, 0), a2(−1, 1, 0, 0).

Atunci d(A, π) =

√G(−−→A0A,a1,a2

)G(a1,a2) = 1.

Fie dreptele

δ1 :x1 − 1

0=

x2

1=

x3

0=

x4

0, δ2 :

x1

0=

x2 − 1

0=

x3

0=

x4

1.

Deci δ1 = A1 + [a1] si δ2 = A2 + [a2], cu A1(1, 0, 0, 0, ),A2(0, 1, 0, 0), a1(0, 1, 0, 0), a2(0, 0, 0, 1).

Atunci d(δ1, δ2) =

√G(−−−→A1A2,a1,a2

)G(a1,a2) = 1.

p-paralelipiped

Fie En un spatiu an euclidian n-dimensional. Fie A0 ∈ E si

u1, u2, · · · , up ∈−→E liniar independenti, 0 < p < n.

Se numeste p-paralelipiped determinat de punctul A0 si de vectoriiu1, u2, · · · , up, multimea

[A0; u1, u2, · · · , up] =

P ∈ E | P = A0 +

p∑i=1

λi ui , λi ∈ [0, 1], ∀i ∈ 1, p

.

p-paralelipipedul este dreptunghic daca

< ui , uj >= 0, ∀i , j ∈ 1, p, i 6= j .Un varf al p-paralelipipedului este un punct

Ai1i2···ik = A0 + (ui1 + · · ·+ uik ), k ∈ 1, p.O fata k-dimensionala a p-paralelipipedului este multimea punctelorP ∈ E de tipulP = A0 + λi1 ui1 + · · ·+ λik uik + λik+1 uik+1

+ · · ·+ λip uip , λi1 , · · · , λik ∈

[0, 1], λik+1 , · · · , λip ∈ 0, 1.De exemplu, muchia [A0A1] este o fata 1-dimensionala:P ∈ E | P = A0 + λ1u1 + 0u2 + 0u3, λ

1 ∈ [0, 1].

Pentru p = 1 obtinem un seg-

ment [A0; u] = [A0A1], A1 =A0 + u.

Pentru p = 2, [A0; u1, u2]este un paralelogram reunit

cu interiorul sau, de varfuri

A1 = A0 + u1, A2 = A0 + u2,A12 = A0 + (u1 + u2).

Pentru p = 3 obtinem

ca [A0; u1, u2] este paralelipi-

pedul cu tot cu interiorul sau,

cu varfurile

A1 = A0 + u1, A2 = A0 + u2,

A3 = A0 + u3, A12 = A0 +

(u1 + u2), A13 = A0 + (u1 +

u3), A23 = A0 + (u2 + u3),

A123 = A0 + (u1 + u2 + u3).

Volumul unui p-paralelipiped

Denition

Volumul p-paralelipipedului [A0; u1, u2, · · · , up] este dat de formula

V =√G (u1, · · · , up).

Formula generalizeaza rezultatele cunoscute din geometria

elementara.

Pentru un segment, volumul sau se reduce la distanta dintre

capetele segmentului.

Pentru un 2-paralelipiped in E3, volumul devine aria

paralelogramului construit pe cei doi vectori, si anume

A =√

G (u1, u2) =‖ u1 × u2 ‖, iar pentru volumul unui

3-paralelipiped in E3 se obtine formula cunoscuta

V =√G (u1, u2, u3) =| (u1, u2, u3) |.

p-simplex

Fie A0 ∈ E si u1, u2, · · · , up ∈−→E liniar independenti, 0 < p < n.

Se numeste p-simplex denit de punctul A0 ∈ E si vectoriiu1, u2, · · · , up, multimea

< A0; u1, u2, · · · , up >=P ∈ E |

−−→A0P =

∑pi=1 λ

i ui , λi ≥ 0, ∀i ∈ 1, p,

∑pi=1 λ

i ≤ 1

< A0,A1, · · · ,Ap >=

P ∈ E | P =

∑pi=0 λ

iAi , λi ≥ 0, ∀i ∈ 0, p,

∑pi=0 λ

i = 1

Ai = A0 + ui , ∀i ∈ 1, p.

O fata k-dimensionala a simplexului < A0,A1, · · · ,Ap > este un

k-simplex de tipul < Ai1 , · · · ,Aik >.Pentru p = 1 obtinem tot un segment, pentru p = 2 obtinem un

triunghi (impreuna cu interiorul sau), iar pentru p = 3 se regaseste

un tetraedru (cu tot cu interiorul sau).

Volumul p-simplexului

Denition

Volumul p-simplexului < A0; u1, u2, · · · , up > este dat de formula

V =1

p!

√G (u1, · · · , up).

In E3 pentru un 2-simplex reobtinem aria triunghiului si pentru un

3-simplex volumul tetraedrului.