Cursul - 2

Spatii vectoriale euclidiene

Fie V un spaţiu vectorial real.Dacă adăugăm noţiunea de produs scalar, atunci putem defini noţiunile :

- lungime a unui vector, - unghiul a doi vectori ortogonalitatea a doi vectori- distanta dintre doi vectori

Definiţia 11. Un spaţiu vectorial V pe care s-a definit un produs scalar se numeşte spaţiu vectorial euclidian

V vectorial spatiulpe scalarprodus numeste se

V x 0, = x 0 = >x x,< 0, >x x,< d)

V y x, ,>x y,< = >y x,< c)

R V, y x, ,>y x,< = >y x, < b)

V z y, x, ,z x, < >y x,< = >zy x, < a)

ileproprietatcuy,xyx,gR,VV : g aplicatie O 10. Definitia

Teorema 10. Dacă spaţiul vectorial V este un spaţiu vectorial euclidian atunci avem inegalitatea Cauchy-Schwarz: <x, y>2 <x, x> <y, y>

egalitatea având loc dacă şi numai dacă vectorii x şi y sunt liniar dependenţi . (dem)

Exemplu. Fie spaţiul aritmetic Rn, x=(x1,x2,...,xn) şi y = (y1, y2,..., yn), doii vectori ,atunci operaţia

<x, y> =: x1y1 + x2y2 +...+ xnyn

defineşte un produs scalar pe Rn .

Teorema 11. Într-un spaţiu vectorial euclidian V funcţia || ||: V R+ definită

prin este o normă pe V, adică satisface axiomele: a) || x || > 0, x 0 şi || x || = 0 x = 0

b) || || = | | || x ||, x V, R c) ||x+ y|| ||x|| + ||y|| (inegalitatea triunghiului).

Exemplu:In sp. aritmetic Rn defineste o norma(euc.)

V x , x,x || x ||

222

21 nx...xx || x ||

Folosind iegalitatea lui Couchy – Schwarz obtinem

|| y |||| x ||

x,y θ

cos

Teorema 12. În spaţiul vectorial normat V, funcţia reală d: V V R+, definită prin d(x, y) = || x – y || este o metrică pe V, adică satisface axiomele:

a) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y , x, y Vb) d(x, y) = d(y, x) , x, y Vc) d(x, y) d(x, z) + d(z, x) , x, y, z V.

Exemplu:In sp. aritmetic Rn

defineste o distanta (euclidiana).Definiţia 12. In spaţiul vectorial V vectorii x, y V se numesc ortogonali dacă

< x, y > = 0 .

Propoziţia 13. Într-un spaţiu vectorial euclidian V orice mulţime ortogonală, formată din elemente nenule, este liniar independentă.

Consecinţă. Într-un spaţiu vectorial euclidian n-dimensional Vn, orice mulţime ortogonală formată din n vectori este o bază în Vn.

unde - coordonate euclidiene

Definiţia 13. Fie x, y V, doi vectori oarecare.Vectorul , cu y 0 se numeşte proiecţie ortogonală a vectorului x pe vectorul y, iar numărul pryx =

se numeşte mărimea algebrică a proiecţiei ortogonale a lui x pe y .

Definiţia 13. Fie S V o submulţime oarecare a spaţiului euclidian V. Un element y V se zice ortogonal lui S dacă este ortogonal pe fiecare element al lui S, adică <y, x> = 0, x S şi notăm prin y S.

2222

211 )()()( nn -yx... -yx -yx || || x - y d(x, y)

n

iiie x

1

ii

ii , ee

x, eλ

yy, y

x, yxpr y

y

yx ,

Propoziţia 14. Mulţimea tuturor vectorilor y V ortogonali mulţimii S formează un subspaţiu vectorial notat cu S. În plus, dacă S este un subspaţiu vectorial atunci subspaţiul S se numeşte complementul ortogonal al lui S.

Propoziţia 15. Dacă subspaţiul S V este de dimensiune finită, atunci S admite un unic supliment ortogonal S.

Consecinţă. Dacă V = S S şi x = y + y, y S, y S, atunci are loc teorema lui Pitagora, || x ||2 = || y ||2 + || y ||2

Teorema 5.(Gram - Schmidt) Dacă {v1, v2, ..., vn} este o bază în spaţiul vectorial euclidian Vn atunci există o bază ortonormată {e1, e2, ..., en} V astfel încât sistemele de vectori {v1, v2, ..., vp} şi {e1, e2, ..., ep} generează acelaşi subspaţiu Up V, pentru .

Consecinţă. Orice subspaţiu vectorial euclidian admite o bază ortonormatăPropoziţia 16. La o schimbare de bază ortonormată B = tAB, într-un spaţiu vectorial

euclidian Vn,, transformarea de coordonate este dată de X = AX, unde A este o

matrice ortogonală.

,n j , w, ww

, wv v w i

j

i ii

ijjj 1

1

1

,n i , ||||w

we

i

ii 1

SPATII AFINE

Fie multimea nevida de puncte A = {A, B, C, ..., P, Q, R, ...} .Perechea de puncte (A, B) A A va fi numita bipunct al lui A. Vom

spune ca A este originea bipunctului, iar punctul B se va numi extremitatea bipunctului (A, B).

Bipunctele (A, B) şi (B, A) se vor numi bipuncte simetrice.

Definitia 1. Numim spaţiu afin, tripletul (A, V, ) în care A este o mulţime nevidă de puncte, V un K-spaţiu vectorial şi funcţia : A ×A A , care satisface condiţiile:

a1) A, B, C A, (A, B) + (B, C) = (A, C)

a2) A există un punct B A, unic determinat de relaţia Avem :

• A - mulţime suport • V - spaţiul vectorial director → Spatiu afin real (complex) K=R (K=C )

• - funcţia de structură afină → (A, A)= , (A, B) = - (B,A)

Într-un spaţiu afin (A, V, ) funcţia determină o relaţie de echivalenţă pe mulţimea bipunctelor lui A, pe care o vom numi relaţia de echipolenţă.

(A, B) ~ (C, D) (A, B) = (C, D) A ×A/ ~ ≡ V

o

vBA ),(

Spaţiul factor A A/~ este în corespondenţă bijectivă cu spaţiul vectorial V.

Clasa bip. (A,B), va fi numita vector liber

Consecinta 1. Funcţia este surjectivă şi în plus, pentru fiecare punct O A fixat , O :A V , O (A) = (O, A), A A , este bijectivă.

Multimea A° ={O}A = {(O, A)|A A } pote fi identificata cu V A° si poate fi inzestrata cu o structura de spatiu vectorial. Vectorii acestui spatiu vor fi numiti vectori legati sau vectori tangenti in punctul O la A. Pentru un punct fixat O A, vectorul legatva fi numit vector de pozitie. Dimensiune a sp.afin = dim V = n. Notam cu An = (A, V,

) . Daca V este un sp.v. euclidian (A, V, ) – sp.punctual euclidian.

Definitia 4. Se numeste reper cartezian intr-un spatiu afin An o pereche

R = { O; B }, in care O este un punct fixat in A si este o baza a spatiului vectorial director Vn . In baza B, avem pentru P A, exprimarea unica

Astfel, dat fiind un reper cartezian R = { O; B } in spatiul afin An , oricarui punct P A

i se poate asocia in mod unic n-upla (x1,x2,...,xn) , componentele careia se numesc

coordonatele carteziene ale punctului P in reperul R = { O; B }

neee ...,,, 21B

niKxexexexOP inn ,1,,...2211

vABvBAvrrr

_1 B)(A,),()( AA

Exemple: 10 Spatiul afin standard. Kn = (Kn,Kn,) cu (A,B)=(b1-a1,...,bn-an)20 Varietatile liniare sunt spatii afine. , V’ < V

30 Orice spatiu vectorial este un spatiu afin40 Spatiul geometric al vectorilor liberi

'VaL

vwwvVV ),(,),,(

afinspVLvwwava .),',(),('

Varietati iniare

Spatii afine

Spatiivectoriale

Sp.v.euclidiene

Sptiul geometric al vectorilor liberi

Fie E3 spatiul punctual al geometriei euclidiene si V3 spatiul vectorial al vectorilor liberii.

Aplicatia : E3 E3 V3 , (A, B) = satisface proprietăţile :

A1) A, B, C E3 ,

A2) V3, A E3 există un punct B E3 unic determinat de relaţia

Definitia 1. Tripletul A3 = ( E3, V3, ) se numeste spatiul afin al vectorilor liberi .

E3 – multimea suport

V3 - sp. vectorial director

- functia de structura afina( rel. de echipolenta)

Fie O E3 un punct fixat. Aplicaţia o : E3 V3 definită prin

0 (A) = (O, A) este bijectivă E3 V3

Vectorul (O, A) = va fi numit vector de pozitie

Vectori coliniari , R

AB

ACBCAB

vAB v

OAvu

Vectori coplanari: = u,v,w – liniar dependentiTeortema 1. Dim V3 = 3

Orice trei vectori necoplanari sunt liniar C1

independenti si orice patru vectori sunt

liniari dependenti. X

O B1

A1 X1

E3 V3 R3

Coordonatele x1 , x2 , x3 ale vectorului x vor fi numite coordonatele punctului X

Definitia 2. Numim reper cartezian in sp. afin al vectorilor liberi ansamblul

R (O; e1, e2 ,e3), unde O este un punct fix iar {e1, e2 ,e3} o baza a sp. vectorial V3 .

w vu

OCOBOAOX

wvux

wxvxuxx,Rx,x,x,Vx

321

3

32113

Teorema 2. Funcţia :V3 V3 R, definită prin

defineşte un produs scalar pe spaţiul vectorial al vectorilor liberi.

Spatiul vectorial V3 este un spatiu vectorial euclidian, iar spatiul afin

E3 = ( E3, V3, ) va fi numit spatiul punctual euclidian al vectorilor liberi sau pe scurt spatiul geometric al vectorilor liberi. O bază în V3 formată din vesori ortogonali doi câte doi este numită bază ortonormată iar coordonatele unui vector într-o bază ortonormată se numesc coordonate euclidiene.

Fie B = {i , j , k } o baza ortonormata in V3 si doi vectori oarecare

si atunci

,

000 bsi/sauapentru

v,u,v,ucosvuvu

}0{\V3

kajaiaa 321 kbjbibb 321 332211 babababa

23

22

21 aaaa

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211

bbbaaa

bababab,acos

00332211 bababavuvu

Produsul vectorial Fie vectorii şi V3. Pentru şi , notăm cu [0, ] unghiul

dintre şi .

Definiţia 3. Se numeşte produs vectorial, operaţia binară internă “”:V3 V3 V3 , care asociază perechii ordonate ( , ) vectorul notat cu , caracterizat de

1° || || = || || || || sin 2° este ortogonal pe şi

3° Sensul vectorului este dat de regula mâinii drepte când rotim pe peste sub un unghi ascuţit

Proprietati:

a

a

0 b 0b

a

b

a

b

ba

a

b

ba

bac a

b

bac

a

b

),(,)5

0,0,)4

)()()3

)()2

)1

baAbanormaabpentru

abbabapentru

bababa

cabacba

abba

Daca B = {i, j, k } este o baza ortonormata, iar

atunci

Doi vectori sunt coliniari

Dublul produs vectorial

Produsul mixtDefinitia 4. Se numeşte produsul mixt al vectorilor , , , numărul real

dat de

a

kajaiaa321

kbjbibb321

kbabajbabaibababa )()()( 122131132332

321

321

bbb

aaa

kji

ba

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

cbabcacba )()()( caba

cbcba )(

b

c

)cb(a:c,b,a

Proprietati:.

321

321

321

,,

3321

2121

,,

,,)5

,,0,,)4

1,,,,,,)3

,,,,)2

,,,,,,)1

)3()2()1(

ccc

bbb

aaa

cba

Volcba

coplanarisuntcbacba

Saaaaaa

cbacba

cbacbacbaa

cba

☻ Itemi fundamentali:

►Spatii vectoriale euclidiene◘ produs scalar

▪ norma ▪ distanta

◘ inegalitatea Cauchy-Schwarz▪ unghiul a doi vectori▪ ortogonalitate

◘ baze ortonormate (Procedeul Gramm-Schmidt)►Spatiu afin

bipunct functia de structura relatia de echipolenta

►Reper cartezian►Produse de vectori in spatiul geometric al vectorilor liberi

produs scalar; conditia n.s.s. de ortogonalitate a doi vectori nenuliprodus vectorial ; conditia n.s.s. de coliniaritate a doi vectori nenuliprodus mixt; conditia n.s.s. de coplanaritate a trei vectori nenuli