”Matematica nu este despre numere, ecuatii, calcule si algoritmi.Matematica este despre intelegere.”

William Thurston, medaliat Fields

6Calcul vectorial

Actiune, motor, se filmeaza !

∙ Legea lui Lambert spune ca intensitatea iluminarii la nivelul unei suprafetedifuze este proportionala cu cosinusul unghiului dintre normala la suprafata sidirectia sursei de lumina:

𝐸 =𝐼

𝑅2cos 𝜃

In aceasta relatie 𝐸 reprezinta iluminarea suprafetei (unitate de masura lux-ul),𝐼 intensitatea luminoasa a izvorului punctiform de lumina (unitate de masuracandela) si 𝑅 distanta dintre sursa izvorului si punctul iluminat de pe suprafata.

1

O astfel de situatie este descrisa in figura de mai jos unde o sursa de luminaeste localizata la 𝑆(20, 20, 40) si punctul iluminat este 𝑃 (0, 10, 0). In aceasta si-tuatie suntem interesati sa calculam 𝑐𝑜𝑠 𝜃, care multiplicat cu intensitatea surseide lumina, va da intensitatea luminii incidente pe suprafata. Sa incepem prina considera ca suprafata este un plan si n̄ este normala (vector perpendicular)

la plan. Sa presupunem ca n̄ =

⎛⎜⎜⎜⎝0

1

0

⎞⎟⎟⎟⎠. Directia sursei de lumina este definitade catre un vector s. Tinand cont de coordonatele extremitatilor acestui vectoravem:

𝑠 =−→𝑃𝑆 =

⎛⎜⎜⎜⎝20

20

40

⎞⎟⎟⎟⎠−⎛⎜⎜⎜⎝

0

10

0

⎞⎟⎟⎟⎠ =⎛⎜⎜⎜⎝

20

10

40

⎞⎟⎟⎟⎠

Obtinem usor lungimea vectorului director ‖s‖ =√

202 + 102 + 402 ≈ 45.826precum si al celui normal ‖n̄‖ = 1. Folosind formula de calcul al unghiuluiformat de catre doi vectori:

cos 𝜃 =⟨n̄, 𝑠⟩

‖n̄‖ · ‖s‖=

0 · 20 + 1 · 10 + 0 · 401 · 45.826

≈ 0.218

Asadar intensitatea luminii in punctul (0, 10, 0) este atenuata cu un coeficient0.218 fata de intensitatea luminii in punctul initial (20, 20, 40).

∙ ∙ O modalitate de a face identificarea fata/spate a unui obiect (poligon)consta in calcularea unghiului dintre normala la suprafata obiectului si liniavizuala a camerei. Daca unghiul este strict mai mic decat 90∘ (adica cos 𝜃 > 0)atunci fata poligonului este vizibila iar daca este mai mare decat 90∘ (adicacos 𝜃 ≤ 0) atunci fata este invizibila.

2

In practica sunt usor de recunoscut fata sau spatele unui obiect dar in graficacomputerizata, spre exemplu, este nevoie de o descriere matematica a situatiei.

Sa presupunem ca avem o camera situata in 𝐶(0, 0, 0) si unul dintre var-furile poligonului este 𝑉 (10, 10, 40). Sa presupunem ca vectorul normal la fatapoligonului este n = (5, 5,−2). Directia liniei vizuale a camerei este data devectorul

−−→𝑉 𝐶:

−−→𝑉 𝐶 =

⎛⎜⎜⎜⎝0

0

0

⎞⎟⎟⎟⎠−⎛⎜⎜⎜⎝

10

10

40

⎞⎟⎟⎟⎠ =⎛⎜⎜⎜⎝−10

−10

−40

⎞⎟⎟⎟⎠iar ‖n̄‖ =

√︀52 + 52 + (−2)2 ≈ 7.348 si ‖

−−→𝑉 𝐶‖ ≈ 42.426. Folosind formula de

calcul al unghiului dintre cei doi vectori gasim:

cos 𝜃 =⟨n̄,

−−→𝑉 𝐶⟩

‖n̄‖ · ‖−−→𝑉 𝐶‖

≈ −0.0634 < 0

deci 𝜃 = arccos(−0.0634) ≈ 93∘ si poligonul dat are fata invizibila pentrucamera virtuala situata in punctul 𝐶.

Unghiul de reintrare in atmosfera

O situatie similara este intampinata in aeronautica, de catre inginerii NASA.Pentru o nava spatiala (sonda) este extrem de important unghiul sub care navareintra in atmosfera. Reglajele se fac in functie de vectorii de pozitie ai diversilorsenzori de localizare aflati la bordul navei.

Daca unghiul de reintrare este prea abrupt, fortele de deceleratie (efectul defranare datorat frecarii cu atmosfera) vor deveni prea mari si nava spatiala sepoate rupe in doua. In plus, cu cat unghiul de reintrare este mai abrupt, cuatat este mai mare fluxul de caldura la care este expusa nava putand duce lasupraincalzirea navei.

Reciproc, daca unghiul de reintrare este un pic prea mic alte lucruri neplacutepot aparea. De exemplu, deceleratia va fi prea mica si astfel nava va calatorimai departe decat a fost calculat. Se poate intampla ca nava sa aterizeze peun teren accidentat, altul decat cel planificat, ceea ce este dezastruos in specialdaca nava este conceputa doar pentru a ateriza pe apa. Chiar daca fluxul decaldura va fi acum mai mic pot aparea probleme termice, deoarece scutul termicva fi expus caldurii o perioada prea mare.

Daca unghiul de reintrare este mult prea mic, se poate intampla ca nava sanu ”cada in atmosfera” la fel ca o piatra plata care sare intr-una pe suprafataapei unui lac.

“Listen, listen, listen! They gaveus too much Delta V, had us burn toolong. At this rate, we’re gonna skipright off of the atmosphere, and we’renever gonna get back!”

(Jack Swigert in filmul Apollo 13)

3

Ce trebuie sa stii deja

Pentru a putea face parte din audienta trebuie ca stii:∙ cum se afla coordonatele unui vector si cum se reprezinta un vector 2-

dimensional v = (𝑣1, 𝑣2) in plan, respectiv unul 3-dimensional v = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)in spatiu:

∙ notiunile vector de pozitie si segment orientat∙ regula triunghiului si regula paralelogramului∙ cum se aduna algebric doi vectori u = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) si v = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) dar si

cum se inmulteste un vector u = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) cu un scalar 𝛼 ∈ R.∙ doi vectori a caror drepte suport sunt paralele (sau coincid) difera printr-o

constanta:

∙ coordonatele vectorului obtinut dintr-un segment orientatvectorul

−−→𝐴𝐵 obtinut din segmentul orientat [𝐴𝐵] are in plan coor-

donatele date de (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴), iar in spatiu acestea sunt(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴, 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)

∙ oricare doi vectori necoliniari u1,u2 din plan formeaza o baza vectoriala aplanului si prin urmare orice alt vector u ∈ R2 poate fi descompus sub forma

u = 𝑎u1 + 𝑏u2

∙ oricare trei vectori necoplanari u1,u2,u3 din spatiu formeaza o baza vec-toriala a spatiului si orice vector u ∈ R3 se poate descompune sub forma:

u = 𝑎u1 + 𝑏u2 + 𝑐u3

4

Produsul scalar. Vectori perpendiculari

Din seminarul despre aplicatii liniare stim ca rotatia de unghi 𝜃 a unui vector𝑣 = (𝑎, 𝑏) realizata in sensul acelor de ceasornic (negativ trigonnometric), in

jurul originii 𝑂, este obtinuta prin inmultire cu matricea

⎛⎝ cos 𝜃 sin 𝜃− sin 𝜃 cos 𝜃

⎞⎠.Mai exact noile coordonate se obtin prin:

⎛⎝a′b′

⎞⎠ =⎛⎝ cos 𝜃 sin 𝜃− sin 𝜃 cos 𝜃

⎞⎠⎛⎝ab

⎞⎠

In acest fel daca rotim vectorul de coordonate (a,b) cu un unghi de 90∘ seobtine vectorul de coordonate (b,−a), caci:⎛⎝ cos(90∘) sin(90∘)

− sin(90∘) cos(90∘)

⎞⎠⎛⎝ab

⎞⎠ =⎛⎝ 0 1−1 0

⎞⎠⎛⎝ab

⎞⎠ =⎛⎝ b−a

⎞⎠.Se poate acum observa ca in cazul

celor doi vectori perpendiculari con-struiti anterior coordonatele lor satis-fac urmatoarea relatie:

𝑎 · 𝑏 + 𝑏 · (−𝑎) = 0

De fapt, pentru orice vectori perpendiculari u = (𝑢1, 𝑢2) si v = (𝑣1, 𝑣2) vomavea o relatie asemanatoare:

𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 = 0.

Apare astfel natural sa introducem un produs intre vectori cu scopul declaratde a testa perpendicularitatea (ortogonalitatea) vectorilor. Acest produs va fidenumit produs scalar si se defineste in felul urmator:

Produsul scalar al vectorilor u = (𝑢1, 𝑢2) si v = (𝑣1, 𝑣2) este:

⟨u,v⟩ = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2

Analog, in cazul 3-dimensional, produsul scalar al vectoriloru = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) si v = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) este:

⟨u,v⟩ = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3

5

https://cismasemanuel.files.wordpress.com/2019/11/aplicatii-liniare-et.pdf

Regula anterioara se generalizeaza usor pentru vectori n-dimensionali si prinurmare doi vectori u,v ∈ R𝑛 sunt perpendiculari daca si numai daca produsullor scalar este 0:

u ⊥ v ⇐⇒ ⟨u,v⟩ = 0

Proprietatile produsului scalar:

1) Produsul scalar este distributiv fata de adunare.

⟨u,v + w⟩ = ⟨u,v⟩ + ⟨u,w⟩

si⟨u + v,w⟩ = ⟨u,w⟩ + ⟨v,w⟩

Regula de mai sus poate fi vizualizata usor daca notam produsul scalar prinu ∙ v, atunci apare:

u ∙ (v + w) = u ∙ v + u ∙w

si(u + v) ∙w = u ∙w + v ∙w

2) Produsul scalar este simetric.

⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩ u,v ∈ R𝑛

Egalitatea este evidenta daca tinem cont de definitia produsului scalar. Vomlega in curand produsul scalar de problema aflarii unghiului dintre doi vectoriu,v. Din aceasta perspectiva proprietatea de mai sus devine foarte naturalacaci unghiul dintre u si v trebuie sa fie egal cu unghiul dintre v si u.

3) Produsul scalar se comporta bine cu scalarile:

⟨𝑘 · u,v⟩ = ⟨u, 𝑘 · v⟩ = 𝑘 · ⟨u,v⟩ 𝑘 ∈ R

De remarcat cum vom combina in aplicatii proprietatea 1) si 3):

⟨2v − 3u,w⟩ = 2⟨v,w⟩ − 3⟨u,w⟩

�

Exemplu:

6

Proiectia ortogonala a unui vector

Prima aplicatie a produsului scalar va consta in aflarea proiectiei unui vectorv pe un vector u dat.

Sa consideram desenul de mai sus in care vectorul 𝑣 = 𝑂𝐴 este proiectatortogonal pe vectorul u. Proiectia, identificata in desen prin vectorul 𝑂𝐵, ovom nota prin proj𝑢𝑣:

proj𝑢𝑣 = 𝑂𝐵.

Sa observam pentru inceput ca vectorul proiectie 𝑂𝐵 este coliniar cu vectorulu. Prin urmare va exista un 𝛼 ∈ R astfel ca 𝑂𝐵 = 𝛼u. Vom determina expresiaproiectiei 𝑂𝐵 pornind de la relatia de perpendicularitate care o defineste:

𝐴𝐵 ⊥ u.

Aplicand regula triunghiului obtinem 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵−𝑂𝐴 = 𝛼u−v. Conform celorspuse anterior doi vectori sunt perpendiculari daca si numai daca produsul lorscalar este nul:

𝐴𝐵 ⊥ u ⇐⇒ ⟨𝐴𝐵,u⟩ = 0

Obtinem astfel ecuatia ⟨𝛼u−v,u⟩ = 0 si la pasul urmator aplicand proprietatileprodusului scalar gasim 𝛼⟨u,u⟩−⟨v,u⟩ = 0. In concluzie 𝛼 = ⟨v,u⟩⟨u,u⟩ si astfel amobtinut formula proiectiei:

Vectorul obtinut prin proiectarea ortogonala a unui vector v pe un vectordat u este dat prin formula:

projuv =⟨v,u⟩⟨u,u⟩

· u pentru u,v ∈ R𝑛.

Norma unui vector. Distanta dintre doi vectori

Inca din timpul liceului se afla ca lungimea (norma) vectorului v = (𝑎, 𝑏)este data prin formula:

‖v‖ =√︀

𝑎2 + 𝑏2

si respectiv ‖v‖ =√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 in cazul 3-dimensional.

Acum vom putea interpreta aceasta formula din punctul de vedere al pro-dusului scalar:

7

Norma unui vector v ∈ R𝑛 este data de relatia:

‖v‖ =√︀

⟨v,v⟩

Formula de mai sus este evidenta caci, spre exemplu, in cazul particularv = (𝑎, 𝑏) se gaseste prin calcul:

⟨(𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑏)⟩ = 𝑎2 + 𝑏2 si

‖v‖ =√︀⟨(𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑏)⟩ =

√︀𝑎2 + 𝑏2.

Abordarea initiala pentru aflarea lungimii ‖v‖ a vectorului v presupuneaaplicarea teoremei lui Pitagora in triunghiul din figura.

Proprietatile normei:

1) Inegalitatea triunghiului.

Pentru orice u,v ∈ R𝑛 are loc in-galitatea

‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖

2) Identitatea paralelogramului.

‖u+v‖2 + ‖u−v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2)

3) Teorema lui Pitagora in R𝑛.Daca u este perpendicular pe v atunci:

‖u‖2 + ‖v‖2 = ‖u + v‖2

4) Norma unui vector scalat.

‖𝑘u‖ = |𝑘| · ‖u‖, 𝑘 ∈ R

Tinand cont de faptul ca un vector v = (𝑎, 𝑏) poate fi interpretat ca vectorde pozitie al punctului A(𝑎, 𝑏), este natural sa discutam despre distanta dintredoi vectori n-dimensionali.

8

Distanta euclidiana dintre vectorii u,v ∈ R𝑛 este:

dist(u,v) = ‖u− v‖

Redescoperim astfel in cazul 2-dimensional formula clasica a distantei dintrepuncte:

dist((𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑)) = ‖(𝑎, 𝑏) − (𝑐, 𝑑)‖ = ‖(𝑎− 𝑐, 𝑏− 𝑑)‖ =√︀

(𝑎− 𝑐)2 + (𝑏− 𝑑)2

Unghiul format de doi vectori

Daca unghiul 𝜃 dintre vectorii u si v este ascutit atunci putem sa folosimdesenul anterior

Prin definitia functiei cosinus ( cateta alaturataipotenuza ) obtinem:

cos 𝜃 =‖𝑂𝐵‖‖𝑂𝐴‖

Putem utiliza proprietatile normei pentru a rescrie numaratorul sub forma

‖𝑂𝐵‖ = ‖proj𝑢𝑣‖ =⃦⃦⃦⃦⟨𝑣, 𝑢⟩⟨𝑢, 𝑢⟩

· 𝑢⃦⃦⃦⃦

=

⃒⃒⃒⃒⟨𝑣, 𝑢⟩⟨𝑢, 𝑢⟩

⃒⃒⃒⃒· ‖𝑢‖ = |⟨𝑣, 𝑢⟩|

‖𝑢‖2· ‖𝑢‖ = |⟨𝑣, 𝑢⟩|

‖𝑢‖

Deoarece numitorul este ‖𝑂𝐴‖ = ‖𝑣‖ se ajunge la:

cos 𝜃 =

|⟨𝑣,𝑢⟩|‖𝑢‖

‖𝑣‖=

|⟨𝑣, 𝑢⟩|‖𝑢‖‖𝑣‖

Daca unghiul 𝜃 dintre vectorii u si v este obtuz atunci unghiul dintre vectorii−u si v va fi 𝜋 − 𝜃 si aplicand din nou formula de mai sus obtinem:

cos(𝜋 − 𝜃) = |⟨−𝑢, 𝑣⟩|‖ − 𝑢‖ · ‖𝑣‖

adica cos 𝜃 = − |⟨𝑢,𝑣⟩|‖𝑢‖·‖𝑣‖Putem sa reunim cele doua cazuri investigate anterior intr-o singura formula,

tinand cont de semnul functiei cosinus si definitia modulului unui numar real.

9

Unghiul 𝜃 dintre vectorii u si v estedat de formula:

cos 𝜃 =⟨u,v⟩

‖u‖ · ‖v‖

Ecuatia planului in spatiu

Putem sa ne folosim de produsul scalar pentru a obtine intr-un mod cat sepoate de firesc ecuatia unui plan care trece printr-un punct A(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) sieste perpendicular pe o directie n = (𝑎, 𝑏, 𝑐) data. Directia perpendiculara laun plan este unica si se numeste directie normala la plan

Sa consideram un punct oarecare P(𝑥, 𝑦, 𝑧) din plan. Se observa ca vectorul𝐴𝑃 este perpendicular pe n, deci

𝐴𝑃 ⊥ n =⇒ ⟨𝐴𝑃,n⟩ = 0.

Coordonatele lui 𝐴𝑃 sunt (𝑥−𝑥𝐴, 𝑦−𝑦𝐴, 𝑧−𝑧𝐴) deci ultima relatie se transformain ecuatia:

⟨(𝑥− 𝑥𝐴, 𝑦 − 𝑦𝐴, 𝑧 − 𝑧𝐴), (𝑎, 𝑏, 𝑐)⟩ = 0si astfel gasim:

Ecuatia planului care trece printr-un punct A(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) si este perpen-dicular pe directia n = (𝑎, 𝑏, 𝑐) este:

𝑎(𝑥− 𝑥𝐴) + 𝑏(𝑦 − 𝑦𝐴) + 𝑐(𝑧 − 𝑧𝐴) = 0

∙ Vom afisa mai jos ecuatia planului care trece prin 𝐴(0,−1, 1) si este per-pendicular pe directia (−2, 3, 1):

−2(𝑥− 0) + 3(︀𝑦 − (−1)

)︀+ 1(𝑧 − 1) = 0

adica:−2𝑥 + 3𝑦 + 3 + 𝑧 − 1 = 0−2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 2 = 0

10

Produsul vectorial

Produsul vectorial a doi vectori u = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), v = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) este:

u× v =

⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒i j k

𝑢1 𝑢2 𝑢3

𝑣1 𝑣2 𝑣3

⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒

Produsul vectorial ofera o metodade a crea un vector perpendicular pedoi vectori u,v dati, sensul vectoruluiu×v fiind obtinut prin asa-zisa regulaa mainii drepte.

Intrucat formula de calcul a vectorului u×v este putin formala, vom arataintr-un exemplu cum trebuie manevrata definitia. Ne propunem asadar sacalculam produsul vectorial al vectorilor u = (1, 1, 1) si v = (1, 2, 3):

u× v =

⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒i j k

1 1 1

1 2 3

⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ = 3 · i + 2 · k + j− k− 3 · j− 2 · i = i− 2 · j + k

Rezultatul este livrat in functie de versorii i, j,k ai reperului 𝑋𝑌 𝑍𝑂 siceea ce va trebui sa facem intotdeauna va fi sa interpretam rezultatul cafiind un vector 3-dimensional si sa recuperam coordonatele sale in felulurmator:

𝑎 · i + 𝑏 · j + 𝑐 · k (𝑎, 𝑏, 𝑐)

In felul acesta vectorul u× v va fi:

u× v = i− 2 · j + k = (1,−2, 1)

�

Exemplu:

Aria unui paralelogram:

O alta aplicatie practica consta in posibilitatea de a calcula aria paralelogramuluideterminat de catre vectorii u si v. Lungimea vectorului u× v, adica ‖u× v‖,coincide cu aceasta arie:

11

𝒜𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚 = ‖u× v‖= ‖u‖ · ‖v‖ · sin 𝜃

unde 𝜃 este unghiul dintre acestia

Putem sa folosim aceeasi idee pentru a calcula aria unui triunghi generatde catre doi vectori. Fie punctele 𝑃1((2, 2, 0), 𝑃2(−1, 0, 2) si 𝑃3(0, 4, 3).Putem considera ca triunghiul ∆𝑃1𝑃2𝑃3 este generat de vectorii 𝑃1𝑃2 si𝑃1𝑃3

�

Exemplu:

Se observa pe desen ca aria triunghiului 𝑃1𝑃2𝑃3 este jumatate din ariaparalelogramului format de catre vectorii 𝑃1𝑃2 si 𝑃1𝑃3:

𝐴𝑟𝑖𝑎Δ𝑃1𝑃2𝑃3 =1

2·𝐴𝑟𝑖𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚 =

‖𝑃1𝑃2 × 𝑃1𝑃3‖2

Dar vectorul 𝑃1𝑃2 are coordonatele (−1 − 2, 0 − 2, 2 − 0) si 𝑃1𝑃3 = (−2, 2, 3),prin urmare:

𝐴𝑟𝑖𝑎Δ𝑃1𝑃2𝑃3 =‖(−3,−2, 2) × (−2, 2, 3)‖

2Vom calcul separat produsul vectorial:

(−3,−2, 2) × (−2, 2, 3) =

⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒i j k

−3 −2 2

−2 2 3

⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ = −10i + 5j− 10k = (−10, 5,−10)

Acum putem inlocui in formula ariei pentru a gasi:

𝐴𝑟𝑖𝑎Δ𝑃1𝑃2𝑃3 =‖(−10, 5,−10)‖

2=

√︀(−10)2 + 52 + (−10)2

2=

15

2

12

Proprietatile produsului vectorial:

1) Produsul vectorial este distributiv fata de adunare.

(u + v) ×w = u×w + v ×wu× (v + w) = u× v + u×w

2) Produsul vectorial nu este comutativ:

u× v = −v × u

Egalitatea este usor de vizualizat daca folosim regula mainii drepte, atunci candv este deplasat inspre u, conform regulii, degetul mare va indica in sens opusfata de situatia cand u este deplasat inspre v.

Aceeasi regula va implica faptul ca u × u = 0̄, pentru orice vector u 3-dimensional.

3) Produsul vectorial se comporta bine cu scalarile

(𝑘u) × v = u× (𝑘v) = 𝑘(u× v)4) Legatura dintre produsul scalar si cel vectorial

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − ⟨u,v⟩2

Oricat de abstracta ar parea la prima vedere, identitatea de mai sus sebazeaza pe un principiu usor de inteles. Daca trecem termenul cu minus instanga obtinem:

‖u× v‖2 + ⟨u,v⟩2 = ‖u‖2‖v‖2

Sa nu uitam ca ‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin 𝜃 si ⟨u,v⟩ = ‖u‖‖v‖ cos 𝜃, unde 𝜃 esteunghiul dintre vectorii u,v. In consecinta:

‖u× v‖2 + ⟨u,v⟩2 = ‖u‖2‖v‖2 sin2 𝜃 + ‖u‖2‖v‖2 cos2 𝜃= ‖u‖2‖v‖2(sin2 𝜃 + cos2 𝜃) = ‖u‖2‖v‖2

Asadar relatia are la baza banala identitate sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1.

Momentul fortei F este o marime fizica vectoriala ce exprima cantitativcapacitatea fortei de a roti un rigid in jurul unei drepte ce trece printr-unpunct si este perpendiculara pe planul format de dreapta suport a fortei sipunctul respectiv. Este important in functionarea unor aparate de zbor,ca de exemplu elicopterul.

Sa consideram o forta F care actioneaza asupra unui corp rigid intr-un

Momentul fortei

13

https://ro.wikipedia.org/wiki/Momentul_for%C8%9Bei

punct care e dat printr-un vector de pozitie r. De exemplu daca strangemun surub aplicand o forta F unei chei obtinem un efect de rotire.

Momentul fortei 𝜏 (in jurul centrului surubului) este definit ca fiindprodusul vectorial al vectorului de pozitie r (al cheii) cu vectorul care daforta F:

𝜏 = r× F

si masoara tendinta cheii de a se roti in jurul acestui centru.De exemplu, daca aplicam o forta de 40 𝑁 unei chei de 25 cm (adica

0.25 m) si unghiul sub care care aplicam aceasta forta este 𝜃 = 75∘, atuncimarimea momentului fortei F in jurul centrului surubului va fi:

‖𝜏‖ = ‖r× F‖ = ‖r‖ · ‖F‖ · sin 𝜃 = 0.25 · 40 · sin(75∘) ≈ 9.66

unitatea de masura fiind 𝑁 ·𝑚.

Produsul mixt

Produsul mixt a trei vectori u = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), v = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) siw = (𝑤1, 𝑤2, 𝑤3) este dat de formula:

(u,v,w) =

⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒𝑢1 𝑢2 𝑢3

𝑣1 𝑣2 𝑣3

𝑤1 𝑤2 𝑤3

⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒

De remarcat ca acest produs este definit doar pentru vectori 3-dimensionali,fiind de interes practic datorita legaturii sale cu produsul scalar si cel mixt:

(u,v,w) = u ∙ (v ×w)

14

Volumul unui paralelipiped

Volumul paralelipipedului cu muchiile date de catre vectorii u,v,w este egal cumodulul produsului mixt al vectorilor

𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑖𝑝𝑖𝑝𝑒𝑑 = |(u,v,w)|

Putem folosi produsul mixt pentru a testa coplanaritatea vectorilor 3-dimensionali

vectorii u,v,w sunt coplanari ⇐⇒ (u,v,w) = 0

Se dau punctele 𝐴(4,−2, 2), 𝐵(3, 1, 1), 𝐶(4, 2, 0) si 𝐷(0, 0, 9). Sa se cal-culeze distanta de la punctul 𝐷 la planul determinat de punctele 𝐴,𝐵,𝐶.

Calculam inaltimea h folosind formula invatata in clasa a 8-a pentruvolumul unui tetraedru:

𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 =h · 𝒜𝐴𝐵𝐶

3

unde 𝒜𝐴𝐵𝐶 este aria triunghiului ∆𝐴𝐵𝐶.Pentru a determina necunoscuta h din aceasta ecuatie trebuie aflam

volumul tetraedrului ABCD si aria triunghiului ABC.

Exemplu:

15

∙ Volumul tetraedrului este 16 din volumul paralelipipedului determi-nat de catre vectorii

−−→𝐴𝐵,

−→𝐴𝐶,

−−→𝐴𝐷:

𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑖𝑝𝑖𝑝𝑒𝑑 = |(−−→𝐴𝐵,

−→𝐴𝐶,

−−→𝐴𝐷)|

si pentru a aplica aceasta formula avem nevoie de coordonatele vectorilorimplicati.

Astfel:

−−→𝐴𝐵 = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴, 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴) = (−1, 3,−1)

si analog−→𝐴𝐶 = (0, 4,−2),

−−→𝐴𝐷 = (−4, 2, 7), deci produsul mixt este:

(−−→𝐴𝐵,

−→𝐴𝐶,

−−→𝐴𝐷) =

⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒−1 3 −1

0 4 −2

−4 2 7

⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ = −24

si volumul cautat va fi 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 =16 · | − 24| = 4

∙ Pentru a calcula aria triunghiului 𝐴𝐵𝐶 vom folosi aria paralelogra-mului din care face parte

𝒜Δ𝐴𝐵𝐶 =1

2‖−−→𝐴𝐵 ×

−→𝐴𝐶‖ jumatate din aria paralelogramului

Prin calcul se obtine:

−−→𝐴𝐵 ×

−→𝐴𝐶 =

⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒�̄� 3�̄� 𝑘

1 3 −1

0 4 −2

⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ = −2̄𝑖−2�̄�−4𝑘

si ‖−−→𝐴𝐵 ×

−→𝐴𝐶‖ =

√︀(−2)2 + (−2)2 + (−4)2 = 2

√6

Asadar:

𝒜Δ𝐴𝐵𝐶 =2√

6

2=

√6

Folosind formula din prima parte gasim:

h =3 · 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝒜Δ𝐴𝐵𝐶

=3 · 4√

6= 2

√6

�

16

Bibliografie:

[1] http://blogs.esa.int/rocketscience/2015/02/05/the-facts-on-reentry-accurate-navigation-is-everything/

[2] David Lay, Linear Algebra and its applications, Addison-Wesley, 2012.

[3] Howard Anton, Chirs Rorres, Elementary linear algebra, Willey, 2014.

[4] James Stewart, Calculus, Cengage Learning, 2016.

[5] Susan Jane Colley, Vector Calculus, Pearson, 2012.

17

6 Calcul vectorial