7.3. Curgerea adiabatică cu şi fără frecare

Relaţia evidenţiază faptul că la curgerea liberă a unui fluid energia potenţială se transformă în energie cinetică. Prin destinderea unui fluid într-o maşină termică se produce lucru mecanic tehnic, iar prin destinderea fluidului într-o conductă are loc doar transformarea energiei potenţiale în energie cinetică.

În cazul unor procese de curgere adiabatică, fără frecare, conform principiului I al termodinamicii avem q = di – vdp = 0, deci relaţia (7.16) devine

sau

Prin integrarea relaţiei de mai sus se obţine

Relaţia permite calcularea vitezei fluidului într-o secţiune oarecare, dacă se cunoaşte viteza iniţială şi variaţia entalpiei acestuia.

Sensul de variaţie a entalpiei fluidului decide sensul de variaţie a vitezei acestuia, anume: - dacă i2 < i1 rezultă w2 > w1 - curgere accelerată;

- dacă i2 > i1 rezultă w2 < w1 - curgere încetinită.În diagrama i – s aceste două situaţii sunt prezentate prin curbele de transformare 1 – 2 ’, respectiv 1

– 2, curgerea fiind adiabatică reversibilă (s = const).În cazul curgerii adiabatice cu frecare, fluidul este supus unor transformări ireversibile, cu creştere

de entropie, datorită frecării dintre fluid şi peretele conductei, respectiv dintre straturile de fluid. Concluziile referitoare la sensul de variaţie a vitezei fluidului sunt valabile şi în acest caz.

Curgerea adiabatică cu şi fără frecare

Comparaţia dintre diferitele cazuri trebuie făcută pentru aceleaşi căderi sau creşteri de presiune

, respectiv :

- punctul 2” reprezintă o curgere accelerată cu frecare în care, deşi presiunea a scăzut la aceeaşi

valoare , viteza a crescut mai puţin decât în cazul teoretic din cauza frecării;

- punctul 2’’’ reprezintă o curgere în care din cauza unor frecări mari viteza rămâne constantă;- punctul reprezintă o curgere încetinită datorită unor frecări deosebit de mari, deşi presiunea a

scăzut;- punctul reprezintă o curgere cu frecare încetinită, la care pentru a ajunge la aceeaşi presiune p2

viteza scade mai mult decât în cazul teoretic.Creşterea presiunii prin frânarea curgerii este utilizată pentru comprimarea fluidelor cu ajutorul unor

compresoare cu jet de fluid.

Pentru curgerea adiabatică a unui gaz perfect ştiind că , rezultă că

, de unde prin integrare între două secţiuni se obţine expresia

,

sau

Pentru viteza iniţială w1 = w0 = 0 şi T1 = T0, expresia generală a vitezei unui gaz perfect este

Viteza maximă într-o curgere adiabatică s-ar obţine prin transformarea integrală a energiei potenţiale în energie cinetică, adică presiunea statică trebuie să devină nulă (p = 0)

Această viteză nu poate fi însă atinsă deoarece ar implica scăderea temperaturii la valoarea zero (T = 0), ştiind însă că temperatura de zero absolut nu poate fi atinsă.

7.4. Viteza sunetului

O importanţă deosebită în studiul proceselor de curgere o are viteza sunetului, care reprezintă viteza de propagare a perturbaţiilor mici într-un gaz.

[m/s]

Aprecierea curgerii unui fluid compresibil se realizează după valoarea raportului dintre viteza fluidului şi viteza locală a sunetului, acest raport fiind numit criteriul Mach

.

Prin viteză locală se înţelege viteza într-o secţiune dată fie a fluidului, fie a sunetului. Din acest punct de vedere avem următoarele tipuri de curgere:

0 < Ma < 1; w < a - curgere subsonică;Ma = 1; w = a - curgere sonică;

Ma > 1; W > a – curgere supersonică.În cazul unei curgeri adiabatice reversibile (s = const) relaţia se poate scrie

Relaţia permite calcularea vitezei locale a sunetului în curgerea adiabatică, în funcţie de parametrii locali ai fluidului. Se observă că viteza sunetului depinde de natura gazului (R) şi de temperatura acestuia (T).

7.5. Curgerea prin ajutaje

Transformarea energiei potenţiale a unui agent termic în energie cinetică şi invers se poate realiza prin modificarea secţiunii de trecere a acestuia, acest fapt fiind pus în evidenţă de ecuaţia de continuitate

Ajutajul este o piesă profilată în lung, având în interior o cale de curent de secţiune variabilă, utilizată pentru accelerarea sau frânarea unui curent de fluid în vederea obţinerii transformării energiei potenţiale a unui fluid în energie cinetică sau invers.

După scopul în care este folosit (accelerare sau frânare) şi după regimul de curgere (subsonic sau supersonic) se deosebesc următoarele tipuri de ajutaje:

- ajutaj convergent (Fig.7.9,a) la care secţiunea transversală descreşte în sensul curgerii, fiind utilizat în general pentru accelerare până la viteze egale cu viteza sunetului;

- ajutaj divergent (Fig.7.9,b) la care secţiunea transversală creşte în sensul curgerii, fiind utilizat în general pentru frânarea şi comprimarea fluidelor incompresibile şi a celor compresibile cu viteze subsonice, comprimarea realizându-se prin transformarea energiei cinetice în energie potenţială;

- ajutaj convergent- divergent (Fig.7.9,c) constituit dintr-o parte convergentă şi una divergentă racordată continuu în dreptul secţiunii lor minime, fiind utilizat pentru accelerarea fluidelor compresibile până la viteze supersonice sau la măsurarea debitelor (ajutaj Venturi).

Fig.7.9. Ajutajea) – convergent; b) – divergent; c) – convergent–divergent

7.5.1. Ajutajul convergent

Fig.7.10. Rezervor cu ajutaj convergent

Cu ipotezele admise, viteza w se poate calcula pe baza relaţiei

[m/s]

Debitul masic se calculează din ecuaţia debitului

[kg/s]

Înlocuind şi ţinând seama de ecuaţia transformării adiabatice (pvk = const) se obţine

, unde se notează

În final rezultă [kg/s]

Deoarece parametrii po şi vo rămân constanţi, ecuaţia de continuitate = const devine

Se consideră un gaz perfect care curge adiabatic, fără frecare, dintr-un rezervor în care mărimile de stare se menţin constante (po, vo, To şi viteza wo = 0) printr-un ajutaj convergent într-un spaţiu cu presiunea p2

(Fig.7.10).Se pune problema de a determina

viteza w, debitul şi parametrii de stare p, v, T într-o secţiune oarecare A a ajutajului.

A = const

Valoarea maximă a funcţiei se obţine prin anularea derivatei expresiei în raport cu p/po şi introducerea rădăcinii ecuaţiei astfel obţinute în relaţia

de unde se obţine astfel raportul critic de presiuni

şi valoarea maximă a funcţiei

Viteza obţinută în secţiunea în care se realizează raportul critic de presiuni se numeşte viteză critică. Expresia acesteia se obţine din relaţia în care se înlocuieşte raportul presiunilor cu raportul critic

[m/s]

Din relaţia avem , iar din ecuaţia transformării adiabatice se poate scrie

.

Înlocuind po, vo şi raportul pcr/po în relaţia (7.40) se obţine

[m/s]

Prin compararea relaţiilor rezultă că valoarea maximă a vitezei care se poate obţine într-un ajutaj convergent este viteza locală a sunetului, realizată în secţiunea minimă a ajutajului, unde raportul presiunilor este cel critic, iar valoarea funcţiei este maximă.

Viteza maximă care se poate realiza într-un ajutaj convergent este viteza locală a sunetului , numită viteza Laval (wcr = a), iar parametri critici sunt pL = pcr şi vL = vcr. Pentru a obţine viteze supersonice pornind de la wo = 0 sunt necesare ajutaje convergent-divergente.

Concluzii:- Într-un ajutaj convergent presiunea nu poate scădea sub presiunea critică, oricât de mică ar fi presiunea exterioară.- Într-un ajutaj convergent nu pot fi obţinute viteze mai mari decât viteza critică, oricât de mică ar fi presiunea exterioară.