06 Rm Em Fr - u04 - Tensiuni

Tensiuni, stri de tensiuni, tensiuni principale

Tensiuni - 1 Emil Oan Rezistena Materialelor, curs i aplicaii pentru nvmntul cu frecven redus

Unitatea de nvare nr. 4

TENSIUNI, STRI DE TENSIUNI, TENSIUNI PRINCIPALE Cuprins Pagina

Obiectivele unitii de nvare nr. 4 Tensiuni-2

4.1 Tensiunile din seciunile pieselor Tensiuni-2

4.2 Convenia de notare i convenia de semne pentru tensiuni Tensiuni-3

4.3 Ecuaia de echivalen din seciune Tensiuni-4

4.4 Starea liniar de tensiune Tensiuni-7

4.5 Poziionarea tensiunilor tangeniale Tensiuni-8

4.6 Starea plan de tensiune Tensiuni-8

4.7 Variaia tensiunilor n raport cu un sistem de axe rotite Tensiuni-9

4.7.1 Demonstrarea principiului dualitii tensiunilor tangeniale Tensiuni-10

4.7.2 Determinarea expresiei de variaie a tensiunii normale n raport cu un sistem de axe rotite

Tensiuni-11

4.7.3 Determinarea expresiei de variaie a tensiunii tangeniale n raport cu un sistem de axe rotite

Tensiuni-12

4.8 Direcii principale. Tensiuni principale Tensiuni-12

4.8.1 Cazul tensiunilor normale Tensiuni-13

4.8.2 Cazul tensiunilor tangeniale Tensiuni-15

4.9 Concluzii pentru practica experimental Tensiuni-16

4.10 Cercul lui Mohr pentru starea plan de tensiuni Tensiuni-17

Test de autoevaluare Tensiuni-18

Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 4 Tensiuni-18

Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testul de autoevaluare Tensiuni-19

Bibliografie unitatea de nvare nr. 4 Tensiuni-20


2 Tensiuni Emil Oan Rezistena Materialelor, curs i aplicaii pentru nvmntul cu frecven redus

OBIECTIVELE unitii de nvare nr. 4

Principalele obiective ale Unitii de nvare nr. 4 sunt:

Familiarizarea cu problematica tensiunilor mecanice

nelegerea noiunilor de stare liniar de tensiune i de stare plan de tensiune

nelegerea aspectelor privind direciile principale i tensiunile principale

Sublinierea aspectelor practice

Aplicarea cu succes a unor elemente simple de calcul

4.1 Tensiunile din seciunile pieselor Considerm o suprafa elementar dA din seciunea transversal a unei piese. Pe

aceast suprafa elementar acioneaz tensiuni normale (constante) (perpendiculare pe

suprafa) i tensiuni tangeniale (constante) (n planul suprafeei). nsumnd tensiunile

pe suprafaa elementar dA este obinut fora axial elementar dN . Similar, nsumnd

tensiunile pe suprafaa elementar dA este obinut fora elementar dT . Compunnd

forele elementare dN i dT rezult fora elementar dF .

n general, o tensiune este definit ca raportul dintre o for elementar i aria

elementar pe care acioneaz aceast tensiune fiind dA

Fdp .

Figura 4.1 Tensiuni normale i tensiuni tangeniale

Exist dou categorii de tensiuni:

1. tensiuni normale produse de solicitrile de ntindere-compresiune i ncovoiere

2. tensiuni tangeniale produse de solicitarea de forfecare i de rsucire.



Dup cum rezult din definiie, tensiunea poate fi asemnat cu o presiune, pentru

tensiune fiind folosit aceeai unitate de msur, adic 21

11

m

NPa sau, ca unitate derivat

21

11

mm

NMPa .

Tensiunile sunt dependente de suprafaa pe care acioneaz. Nu se pot compune

direct ci doar prin intermediul forelor elementare pe care le genereaz. Se spune c

tensiunile sunt tensori de ordinul 2.

Una dintre problemele fundamentale din rezistena materialelor se refer la deducerea

legilor de variaie ale acestor tensiuni n seciunea de calcul.

4.2 Convenia de notare i convenia de semne pentru tensiuni

Pentru a identifica tensiunea tangenial orientat de-a lungul unei axe de coordonate

se folosete urmtoarea convenie de notare a tensiunilor tangeniale:

tensiunea tangenial are doi indici: 1i i 2i , deci are forma 21 ii ;

primul indice reprezint axa dup care este direcionat tensiunea tangenial, adic axa Y n cazul din figurile 4.8 i Z n cazul din figura 4.9;

cel de al doilea indice reprezint axa perpendicular pe seciunea care conine tensiunea tangenial respectiv, adic axa X n cazul din figurile 4.8 i 4.9.

Rezult deci notaiile: YX i ZX .

Pentru a deduce expresiile tensiunilor i se folosete expresia dA

Fdp , de unde

rezult:

dA

dN

dA

dT.

Similar eforturilor pentru care exist o regul de notare i o convenie de semne, i n

cazul tensiunilor exist convenia de notare prezentat anterior ct i o convenie de semne.

n mod sintetic, o tensiune convenional pozitiv creeaz un efort convenional pozitiv, fiind

util s folosim relaionarea dintre tensiune convenional pozitiv i for (efort) convenional

pozitiv. Astfel, pentru a deduce semnul unei tensiuni trebuie analizat semnul forei care

rezult din acea tensiune.

Avem deci setul de reguli:

0 dac 0N ,

0YX dac 0YT ,

0ZX dac 0ZT .

Pentru cazul plan, aceste reguli pot fi prezentate sintetic folosind reprezentarea din

figura de mai jos, similar conveniei de semne pentru eforturi n cazul plan.



Figura 4.2 Convenia de semne pentru tensiuni n cazul plan

Din considerente didactice n figura anterioar nu sunt incluse i tensiunile care

acioneaz pe feele orizontale, acestea urmnd a fi prezentate ulterior.

4.3 Ecuaia de echivalen din seciune

O ecuaie de echivalen reprezint o relaie ntre o tensiune i efortul corespunztor

din acea seciune. Pentru a deduce ecuaiile de echivalen se folosete schema de calcul

din figura de mai jos.

Figura 4.3 Schem de calcul pentru deducerea ecuaiilor de echivalen

Prima observaie legat de schema de calcul se refer la poziionarea sistemului de

axe care este identic cu cea folosit n cazul caracteristicilor geometrice ale seciunilor.

n schema de calcul sunt prezentate i eforturile care sunt orientate n sensurile

convenional pozitive pentru aceast seciune, adic n sens opus axelor dup care sunt

direcionate, fiind respectat convenia Axa

Efort

.



n cadranul n care ambele coordonate sunt pozitive 0Y , 0Z se consider la

distan arbitrar de axe o arie elementar dA .

Pe aceast arie elementar exist tensiunile normale i tensiunile tangeniale .

Aria fiind infinit mic, se consider c tensiunile i sunt constante pe dA .

nsumarea tensiunilor normale pe aria elementar dA din seciune duce la crearea

efortului axial elementar dN , poziionat n centrul de greutate al ariei elementare.

dAdN (4.1)

Reducnd efortul elementar dN n centrul de greutate al seciunii se obin momentele

elementare YdM i ZdM .

Pentru a deduce semnele expresiilor momentelor elementare se urmrete sensul n

care se rotete seciunea n raport cu axa curent i se utilizeaz regula triedrului drept.

Figura 4.4 Schem de calcul pentru deducerea semnului momentului ncovoietor

elementar dMY

Astfel, n raport cu axa Y , sub influena forei dN jumtatea inferioar a seciunii

iese din pagin n timp ce jumtatea superioar intr n pagin. Conform acestui sens de

rotaie axa X se rotete spre axa Z , triedrul naintnd n sensul Y . Conform conveniei de

semne Axa

Efort

, momentul YdM este convenional pozitiv, deci

zdNdMY (4.2).

Similar, n raport cu axa Z , sub influena forei dN jumtatea din dreapta a seciunii

iese din pagin n timp ce jumtatea din stnga intr n pagin.

Figura 4.5 Schem de calcul pentru deducerea semnului momentului ncovoietor

elementar dMZ

Conform acestui sens de rotaie axa X se rotete spre axa Y , triedrul naintnd n

sensul Z . Conform conveniei de semne Axa

Efort

, momentul ZdM este convenional

negativ. Pentru a respecta regula conform creia o tensiune convenional pozitiv, n acest

caz creeaz un efort convenional pozitiv, n acest caz ZdM , relaia trebuie s conin

semnul "-", adic

ydNdM Z (4.3).



Similar cu efortul dN , prin nsumarea tensiunilor tangeniale pe o arie elementar

dA din seciune duce la crearea efortului axial elementar dT , poziionat n centrul de

greutate al ariei elementare.

dAdT (4.4)

Reducnd efortul elementar dT n centrul de greutate al seciunii se obine momentul

elementar XdM . Astfel,

rdTdM X (4.5).

Pentru a obine expresiile eforturilor, trebuie nsumate eforturile elementare pentru

ntreaga seciune. n cazul general seciunea are o form neregulat iar nsumarea

reprezint, de fapt, o operaie de integrare. Astfel, avem expresiile:

AA

dAdNN (4.6)

A

YY dTT (4.7)

A

ZZ dTT (4.8)

AAA

XX dArrdTdMM (4.9)

AAA

YY dAzzdNdMM (4.10)

AAA

ZZ dAyydNdMM (4.11)

Relaiile anterioare poart denumirea de ecuaii de echivalen.

4.4 Starea liniar de tensiune Aceast stare de tensiune are drept caracteristic proprietatea c tensiunile de

aceeai natur sunt orientate dup aceeai direcie.

Figura 4.6 Stare liniar de tensiune n cazul solicitrii de ntindere pur



n figura 4.6 este prezentat o bar de seciune constant supus la ntindere de ctre

forele convenional pozitive F . n mod evident, n bar se formeaz tensiunile normale ,

pozitive i orientate pe direcia forelor F .

Figura 4.7 Stare liniar de tensiune n cazul solicitrii de ncovoiere pur

n figura 4.7 este prezentat o bar de seciune constant supus la ncovoiere pur

de ctre momentele convenional pozitive YM . Dup cum se va demonstra n capitolul

dedicat solicitrii de ncovoiere, se formeaz tensiunile normale care variaz liniar i sunt

orientate pe direcia axului barei.

Acestea sunt dou exemple n care ntlnim o stare liniar de tensiune.

4.5 Poziionarea tensiunilor tangeniale Pe baza regulii din figura 4.2 i a conveniei de notare pentru tensiuni tangeniale, pe feele verticale ale paralelipipedului elementar din figura de mai jos tensiunile tangeniale sunt orientate n sensurile forei tietoare convenional pozitive.

Figura 4.8 Ilustrare a principiului dualitii tensiunilor tangeniale

Pentru feele orizontale considerm drept referine tensiunile tangeniale de pe feele verticale, n raport cu care tensiunile tangeniale orizontale converg sau diverg simultan fa

de muchia comun. Astfel, fa de muchia din colul din stnga-sus tensiunile verticale ZX

converg, deci i tensiunile orizontale ZX converg ctre aceast muchie. Aceleai observaii

se aplic i pentru muchia din colul din dreapta-jos. Aceast poziionare a tensiunilor tangeniale poart denumirea de principiul dualitii tensiunilor tangeniale i va fi demonstrat n paragraful urmtor.



De reinut! Regula 1: Tensiunile convenional pozitive sunt orientate n sensurile forelor interne (eforturilor) convenional pozitive care le genereaz. Regula 2: Tensiunile normale convenional pozitive trag de seciune, tind s umfle domeniul de calcul infinitesimal, observaie util n nelegerea poziionarea tensiunilor n teoria elasticitii. Regula 3: Tensiunile tangeniale sunt poziionate pe baza regulii 1 pentru TY, TZ i apoi conform principiului dualitii tensiunilor tangeniale.

4.6 Starea plan de tensiune

Se consider o bar dreapt rezemat-articulat, figura 4.9. La distan x fa de

extremitatea din stnga se consider o cretere infinit mic xd . La capetele intervalului de

lungime xd sunt poziionate eforturile ZT i YM orientate n sensurile convenional pozitive.

La distan z fa de axa x , se consider creterea inifinit mic zd . Pe feele

elementului de volum delimitat de distanele xd i zd sunt poziionate tensiunile normale i

tangeniale corespunztoare, orientate n sensurile convenional pozitive. Astfel, tensiunile

X sunt orientate astfel nct prin nsumare s rezulte o for axial N convenional pozitiv.

Tensiunile ZX sunt poziionate astfel nct prin nsumare s rezulte o for tietoare ZT

convenional pozitiv. Pentru tensiunile XZ se consider sensurile din figura de mai jos, pe

baza respectrii principiului dualitii tensiunilor tangeniale.

Figura 4.9 Apariia tensiunilor n seciunile barelor



n mod evident, datorit faptului c bara este n echilibru ca ntreg, i prile sale sunt

n echilibru, deci elementul ABCD este n echilibru. Mai mult, i elementul ABD este n

echilibru.

4.7 Variaia tensiunilor n raport cu un sistem de axe rotite

Considerm elementul ABD, n echilibru, i identificm tensiunile de pe suprafeele

acestuia. Din considerente de generalitate considerm i tensiunea Z care nu apare n

desenul anterior. Pe suprafaa nclinat BD apare tensiunea normal i tensiunea

tangenial , figura 4.10.

Se pune problema determinrii expresiei de variaie a tensiunilor i n funcie de

celelalte tensiuni i de unghiul .

n mod evident, tensiunile nu sunt vectori, deci nu li se pot aplica reguli de compunere

vectorial.

Pentru a obine relaii ntre tensiuni se procedeaz n felul urmtor:

se observ i se calculeaz suprafeele pe care acestea sunt poziionate; se calculeaz forele rezultate din nsumarea tensiunilor pe suprafeele corespunztoare; se pun condiiile de echilibru static.

Pentru a aplica metodologia anterioar se consider o prism rezultat din triunghiul

ABD translatat pe o distan unitar. Toate realiile de calcul deduse pentru aceast prism

sunt generale, dei limea considerat este 1.

Figura 4.10 Distribuia tensiunilor pe o prism izolat din bar i

forele care apar pe feele prismei

Se noteaz aria suprafeei nclinate BD cu dA . Rezult c aria suprafeei orizontale

AB este sindA , iar aria suprafeei verticale AD este cosdA .



Notm:

P - centrul de greutate al ariei suprafeei verticale; R - centrul de greutate al ariei suprafeei orizontale; O - centrul de greutate al ariei suprafeei nclinate.

Forele care solicit prisma sunt poziionate n centrele de greutate ale suprafeelor

corespunztoare i au expresiile:

a) pe direcie orizontal: cos1 dAdN X , sin2 dAdT XZ ; b) pe direcie vertical: cos1 dAdT ZX , sin2 dAdN Z ; c) pe suprafaa nclinat: dAdN , dAdT .

n principiu, calculul urmtor decurge astfel

se pune condiia de echilibru 0 OiM , pentru a demonstra principiul dualitii tensiunilor tangeniale;

se pune condiia ca suma tuturor forelor proiectate pe direcia forei dN s fie nul i

rezult expresia de variaie a tensiunii ;

se pune condiia ca suma tuturor forelor proiectate pe direcia forei dT s fie nul i

rezult expresia de variaie a tensiunii .

4.7.1 Demonstrarea principiului dualitii tensiunilor tangeniale

Se consider prin reducere la absurd c tensiunea XZ de pe latura AB a elementului

ABD este orientat de la A ctre B.

Deoarece prisma este n echilibru, se pune condiia ca suma de momente n raport cu

punctul O s fie nul. Nu vor da moment ncovoietor forele 1dN , 2dN , dN , dT fiindc

dreptele suport ale acestor fore trec prin punctul O, deci braul momentului este zero. Relaia

se scrie:

0 OiM 0,

21

ipotezeiconformorarsensorarsens

ROdTPOdT ,

unde

2

sin

2

BDAB

PO ,

2

cos

2

BDAD

RO i XZZX .

Relaia devine

02

cossin

2

sincos

BDdA

BDdA

ZX

XZZX ,

adic,

0cossin0

0000

BDdAZX .

Rezult concluzia absurd c o mrime nenul este nul. Deci presupunerea fcut

este fals. Deci tensiunea XZ de pe latura AB a elementului ABD este orientat de la B ctre

A, fiind astfel demonstrat principiul dualitii tensiunilor tangeniale.



4.7.2 Determinarea expresiei de variaie a tensiunii normale n raport cu un sistem de axe rotite

Pentru a determina expresia de variaie a tensiunii normale se pune condiia ca

suma tuturor forelor pe direcia forei dN s fie nul. Se observ faptul c forele dN i

dT sunt perpendiculare, deci proiecia unei fore pe dreapta suport a celeilalte este nul.

Conform figurii anterioare:

fora 1dN se proiecteaz n sens contrar forei dN folosind funcia cos ;

fora 1dT se proiecteaz n sens contrar forei dN folosind funcia sin ;

fora 2dN se proiecteaz n sens contrar forei dN folosind funcia sin ;

fora 2dT se proiecteaz n sens contrar forei dN folosind funcia cos .

Relaia de echilibru este:

0cossinsincos 2211 dTdNdTdNdN

Fcnd nlocuirile de rigoare rezult:

cossinsinsin

sincoscoscos

dAdA

dAdAdA

ZXZ

ZXX

adic

22 sincossin2cos ZXZX .

Exprimm ptratele funciilor trigonometrice prin unghiul dublu. Astfel,

2222 sin211cos2sincos2cos

2

2cos1cos

2

2cos1sin

2

2

,

cossin22sin . Rezult

2sin

2

2cos1

2

2cos1XZZX ,

adic,

2sin2cos22

XZZXZX (4.14).

4.7.3 Determinarea expresiei de variaie a tensiunii tangeniale n raport cu un sistem de axe rotite

Pentru a determina expresia de variaie a tensiunii tangeniale se pune condiia ca

suma tuturor forelor pe direcia forei dT s fie nul.

Conform figurii anterioare:

fora 1dN se proiecteaz n sens contrar forei dT folosind funcia sin ;



fora 1dT se proiecteaz n sensul forei dT folosind funcia cos ;

fora 2dN se proiecteaz n sensul forei dT folosind funcia cos ;

fora 2dT se proiecteaz n sens contrar forei dT folosind funcia sin .

Relaia de echilibru este:

0sincoscossin 2211 dTdNdTdNdT

Fcnd nlocuirile de rigoare rezult:

sinsincossin

coscossincos

dAdA

dAdAdA

ZXZ

ZXX

adic

22 sincoscossincossin XZZX rezultnd

22 sincoscossin2

2

XZ

ZX ,

deci

2cos2sin

2XZ

ZX (6.15).

4.8 Direcii principale. Tensiuni principale

Odat deduse expresiile de variaie ale tensiunilor i se pune problema

determinrii direciei pe care aceste tensiuni sunt maxime i valorile efective ale acestor

maxime.

innd cont de semnificaia derivatei unei funcii, pentru ambele tensiuni metoda

const n parcurgerea urmtoarelor etape:

se deriveaz expresia tensiunii n funcie de variabila , notat aici f i rezult funcia If ;

se rezolv ecuaia 0If i rezult soluiile 2,1 denumite direcii principale;

se nlocuiesc soluiile 2,1 n expresia funciei iniiale i valorile obinute se numesc

tensiuni principale. n continuare este aplicat aceast metod pentru tensiunea normal i pentru

tensiunea tangenial.

4.8.1 Cazul tensiunilor normale Expresia tensiunii normale pentru o direcie este (6.14), adic:

2sin2cos22

XZZXZX .

Derivnd aceast expresie rezult

2cos22sin

2cos22sin22

1

XZZX

XZZX

d

d



Rezolvnd ecuaia 0

d

d rezult

ZX

XZtg

2

2cos

2sin2 , deci

ZX

XZtg

22 (4.16).

Soluiile sunt:

2

2

2

1

12

1

ZX

XZarctg

(4.17).

Aceste unghiuri se numesc direcii principale.

Pentru a nlocui aceste valori n expresiile (4.14), trebuie calculate unghiurile 12sin

i 12cos n funcie de (4.16). Trebuie deci folosite relaiile care exprim funciile sin i

cos n funcie de tg . Deducem aceste funcii folosind relaiile de baz dintre funciile trigonometrice:

cos

1sec

sec1 222tg

21

1cos

tg ;

n plus

cossin tg

21sin

tg

tg

.

Rezult c

2222212

11

4

2

4

2

21

2

21

22sin

XZZX

XZ

ZX

XZZX

ZX

XZ

ZX

XZ

ZX

XZ

tg

tg

222221

21

44

1

21

1

21

12cos

XZZX

ZX

ZX

XZZX

ZX

XZtg

Prin

nlocuire rezult

11 2sin2cos221

XZZXZX ,

adic

2222 4

2

4221

XZZX

XZXZ

XZZX

ZXZXZX

,

deci

22

22

22

42

1

242

4

21XZZX

ZX

XZZX

XZZXZX

Avem deci tensiunile



222,1 42

1

2XZZX

ZX

(4.18),

denumite tensiuni normale principale.

Observaie:

ZXZXZX

XZZXZX

XZZXZX

22

42

1

24

2

1

2

2222

21

deci

21 ZX

cea ce semnific faptul c suma tensiunilor normale pe o direcie oarecare, ZX ,

reprezint un invariant la rotaia axelor, deoarece este egal cu 21 , valori maxime,

unice.

Pentru direciile principale anterior determinate, tensiunile tangeniale corespunztoare

au valorile:

0

4

2

4

2

44

2

2

2cos2sin2

2222

2222

111

XZZX

XZZX

XZZX

XZZX

XZZX

ZXXZ

XZZX

XZZX

XZZX

Deci pentru 1 pentru care 22

2,1 42

1

2XZZX

ZX

, tensiunea

tangenial este

01 (4.19)

Concluzie: pe direciile tensiunilor normale principale tensiunile tangeniale sunt

nule.

4.8.2 Cazul tensiunilor tangeniale

Expresia tensiunii tangeniale pentru o direcie este (4.15), adic:

2cos2sin

2XZ

ZX .

Derivnd aceast expresie rezult

2sin22cos

2sin212cos22

XZZX

XZZX

d

d

Rezolvnd ecuaia 0

d

d rezult

XZ

ZXtg

22cos

2sin2 , deci



XZ

ZXtg

22 (4.20).

Direciile principale n cazul tensiunilor tangeniale sunt:

2

22

1

12

1

XZ

ZXarctg

(4.21).

Comparnd relaiile (4.16) i (4.20) se observ c produsul tangentelor este egal cu

1 , deci diferena dintre cele dou unghiuri este egal cu un unghi drept.

Pentru unghiurile deduse anterior rezult c

2222212

11

4

2

4

2

21

2

21

22sin

XZZX

ZX

XZ

XZZX

XZ

ZX

XZ

ZX

XZ

ZX

tg

tg

222221

21

4

2

2

4

1

21

1

21

12cos

XZZX

XZ

XZ

XZZX

XZ

ZXtg

Prin nlocuire rezult

22

22

22

2222

11

42

1

4

4

2

1

4

2

42

2cos2sin21

XZZX

XZZX

XZZX

XZZX

XZXZ

XZZX

ZXZX

XZZX

Deci tensiunile tangeniale principale sunt:

22 42

12,1 XZZX

(4.22).

Pentru direciile principale (4.21), tensiunile normale sunt:

2442

44

2

22

2sin2cos22

2222

2222

111

ZX

XZZX

XZZX

XZZX

XZZXZX

XZZX

ZXXZ

XZZX

XZZXZX

XZZXZX

Deci tensiunile normale corespunztoare tensiunilor tangeniale principale sunt:

22,1

ZX

(4.23).



4.9 Concluzii pentru practica experimental Exist o serie de situaii practice cnd, pe baza valorilor tensiunilor determinate

experimental trebuie determinate direciile i tensiunile principale.

Figura 4.11 Direcii i tensiuni principale

Pe baza documentaiei tehnice TN715 de la firmaVISHAY, putem considera urmtoarele relaii de calcul:

yx

arctg

2

2

1

Dac 0 yx atunci 1 .

Dac 0 yx atunci 2 .

Tensiunile principale sunt calculate cu relaia:

222,1 42

1

2

yx

yx

Documentaia respectiv conine informaii i mai detaliate, referitoare la deformaii,

care sunt determinate experimental folosind traductori tensometrici.

4.10 Cercul lui Mohr pentru starea plan de tensiuni Toate relaiile anterioare referitoare la direcii i tensiuni principale, pot fi deduse pe baza relaiilor geometrice existente n construcia de mai jos, denumit Cercul lui Mohr.



Figura 4.12 Cercul lui Mohr pentru tensiuni

Astfel, avem urmtoarele relaii geometrice:

22

21 ZXOC

ZX 21

22

21 lMM

R ; 22 CPNPCNR ; XZNP ; 22

ZX

lPPPC

Deci 222

2 42

1

2XZZX

ZXXZR

tiind c

R

ZX

221

21

R

R

ZX

ZX

2

2

2

1

, deci RZX

2

2,1

, unde

22 42

1XZZXR , deci

22

2,1 42

1

2XZZX

ZX

Mai mult, din triunghiul dreptunghic NCP avem

ZX

XZ

ZX

XZ

CP

NPtg

2

2

2 .

Tensiunea tangenial maxim corespunde distanei maxime de pe cerc n raport cu

axa orizontal, adic raza R , deci R2,1 . Rezult c

222,1 42

1XZZX .



Test de autoevaluare 4.1 1. Definii ce este o tensiune. 2. Cte tipuri de tensiuni exist? 3. Cum pot fi compuse tensiunile i de ce este folosit aceast metod? 4. Ce semnificaie au indicii tensiunii tangeniale? 5. Care este unitatea de msur pentru tensiuni? 6. Cum sunt poziionate tensiunile normale convenional pozitive? 7. Cum sunt poziionate tensiunile tangeniale convenional pozitive? 8. Ce reprezint ecuaia de echivalen? 9. Ce eforturi produc tensiuni normale? 10. Ce eforturi produc tensiuni tangeniale? 11. Ce este definitoriu strii liniare de tensiune? 12. Cum este definit starea plan de tensiune? 13. Care este principiul metodologiei de calcul pentru deducerea expresiei tensiunii care apare pe o fa nclinat? 14. Care este principiul de calcul pentru determinarea direciilor i tensiunilor principale? 15. Care este semnificaia direciilor principale i a tensiunilor principale? 16. Ce reprezint ZX ?

17. Ce mrimi se reprezint pe axa orizontal, respectiv vertical n cercul lui Mohr pentru tensiuni? 18. Care este utilitatea cercului lui Mohr?

Lucrare de verificare la Unitatea de nvare nr. 4 1. S se calculeze valorile direciilor i tensiunilor principale i s se reprezinte pe cercul lui Mohr, pentru urmtoarele seturi de date

a.

MPa

MPa

MPa

XZ

Z

X

15

20

25

; b.

MPa

MPa

MPa

XZ

Z

X

15

25

20

; c.

MPa

MPa

MPa

XZ

Z

X

0

20

25

; d.

MPa

MPa

MPa

XZ

Z

X

15

25

25

;

e.

MPa

MPa

MPa

XZ

Z

X

0

20

20

; f.

MPa

MPa

MPa

XZ

Z

X

15

20

25

; g.

MPa

MPa

MPa

XZ

Z

X

15

35

20

; h.

MPa

MPa

MPa

XZ

Z

X

0

0

0

;

i.

MPa

MPa

MPa

XZ

Z

X

15

30

20

; j.

MPa

MPa

MPa

XZ

Z

X

10

10

10

; k.

MPa

MPa

MPa

XZ

Z

X

10

10

10

; l.

MPa

MPa

MPa

XZ

Z

X

10

20

50

.

Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare

1. dA

Fdp , un tensor de ordinul 2.

2. Normale i tangeniale .



3. Prin intermediul forelor pe care le genereaz deoarece tensiunile sunt aplicate asupra unor suprafee diferite ca valoare i poziie.

4. 21 ii

, 1i este axa paralel cu , 2i este axa perprndicular pe faa

care conine .

5. 21

11

m

NPa sau

21

11

mm

NMPa

6. Conform regulii, o tensiune convenional pozitiv este poziionat n lungul forei interne (efortului) convenional pozitiv care o genereaz, deci este poziionat de-a lungul forei axiale convenional pozitive. 7. Conform principiului dualitii tensiunilor tangeniale. 8. O ecuaie de echivalen reprezint o relaie ntre o tensiune i efortul corespunztor din acea seciune.

9. Tensiunile normale sunt produse de eforturile N , YM i ZM .

10. Tensiunile tangeniale sunt produse de eforturile YT , ZT i XM .

11. Tensiunile de aceeai natur sunt orientate dup aceeai direcie.

12. Toate tensiunile sunt nule, cu excepia X , Z i XZ .

13. Din solidul deformabil n echilibru se extrage o prism n echilibru pe a crei fa nclinat sunt aplicate tensiunile convenional pozitive

i .

14. Este o problem de determinare a extremului funciei , respectiv , pe baza condiiei ca difereniala s fie nul. 15. Tensiunile principale 2,1 reprezint valorile extreme ale tensiunii

normale (pentru care 0 ) iar direciile principale sunt unghiurile sub care sunt orientate tensiunile principale fa de poziia curent?

16. 21 ZX , deci reprezint un invariant la rotaia axelor

deoarece 1 , 2 sunt valori maxime, unice.

17. Pe axa orizontal se reprezint tensiunea normal iar pe axa vertical se reprezint tensiunea tangenial . 18. Regul mnemotehnic, suport grafic n nelegerea fenomenului reprezentat de starea de tensiune care trebuie studiat.

Bibliografie P. P. Teodorescu - Probleme plane n teoria elasticitii, Editura

Academiei RPR, Bucureti, 1961

S. D. Ponomariov, V. L. Biderman, K. K. Liharev, K. Konstantinovici, Calculul de rezisten n construcia de maini, Editura Tehnic, Bucureti, Vol I, II, III, 1963-1964

Coord: D. R. Mocanu, P. S. Theocaris, C. Atanasiu, L. Boleanu, M.

Buga, C. Burada, I. Constantinescu, N. Iliescu, D. R. Mocanu, I.



Pstrv, M. Teodoru - Analiza experimental a tensiunilor, Volumul 1:

Bazele teoretice ale metodelor tensometrice i indicaii practice privind

utilizarea acestora, Editura Tehnic, Bucureti, 1976

Gheorghe Buzdugan Rezistena materialelor, Editura Academiei RSR,

Bucureti, 1986.

Emil Oan Rezistena Materialelor, Curs i Aplicaii, Editura fundaiei

Andrei aguna, 2004, 422 pag, ISBN 973-8146-38-0

Emil Oan Nav_Subiecte_RezMat.pdf, documentaie online

* * * - STCW Model Course 7.03 Officer in Charge of a Navigational

Watch

* * * - TechNote 515: Strain Gage Rosettes - Selection, Application and

Data Reduction, VISHAY INSTRUMENTS, Measurement Group Inc.,

USA

06 Rm Em Fr - u04 - Tensiuni

Documents

Transcript of 06 Rm Em Fr - u04 - Tensiuni