Culegere de probleme de teoria probabilităţilor si...
49
1 Culegere de probleme de teoria probabilităţilor si procese aleatoare Corina Naforniţă TIMISOARA - 2008
Transcript of Culegere de probleme de teoria probabilităţilor si...
1
Culegere de probleme de teoria probabilităţilor si procese aleatoare
Corina Naforniţă
TIMISOARA - 2008
2
Problema 1. Mulţimile A, B, C sunt submulţimi ale mulţimii ( ){ }, : 0 1 si 0 1S x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤ . Ele
se definesc prin: ( ){ }, : 1/ 2, 0 1A x y x y= ≤ ≤ ≤ , ( ){ }, : 1/ 2, 0 1B x y x y= ≥ ≤ ≤ şi
( ){ }, : 0 1, 1/ 2 C x y x y= ≤ ≤ ≤ . Determinaţi grafic ( )CA B C∪ ∩ .
Rezolvare
Figura 1.1
***
Problema 2. Dacă mulţimea { }, ,S A B C= conţine trei evenimente elementare, care sunt toate evenimentele posibile? Rezolvare Se ştie că sunt 32 2 8N = = evenimente posibile. Ele sunt:
{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ } , , , , ,A B C A B A C B C A B C∅ .
*** Problema 3. Dacă A B⊂ determinaţi { }P B A . Explicaţi rezultatul. Rezolvare
{ } { }{ }
P ABP B A
P A=
3
Aşa cum se vede şi din figură: A B AB A= =∩ şi deci { } { }P AB P A= .
În consecinţă { } 1, daca P B A A B= ⊂ .
Figura 3.1
Dacă evenimentul A s-a produs, cum A B⊂ , rezultă că s-a produs, implicit, şi evenimentul B. De aici { } 1P B A = .
*** Problema 4. Un punct ( )0,1x∈ este ales la întâmplare. Probabilitatea ca el să cadă într-un interval de lungime l este 1l l= . Ştiind că s-a produs evenimentul 1 2x ≥ , determinaţi probabilitatea ca 7 8x ≥ . Rezolvare
7 1 7 77 1 78 2 8 8
11 18 2 422 2
P x x PP x x
P P
⎧ ⎫ ⎧ ⎫≥ ≥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎧ ⎫ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭≥ ≥ = = = =⎨ ⎬⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎩ ⎭ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭
∩.
***
Problema 5. Un sistem de comunicaţii digitale transmite unul din următoarele niveluri continue: -1, 0, 1 . Ca urmare a zgomotului din canal, apar erori. Probabilităţile acestor erori sunt: 1/ 8 când se transmite -1, sau 1 şi 3 / 4 când se transmite 0 .
4
{ } { } { }1 31 1 , 0 .8 4
P eroare P eroare P eroare− = = =
Dacă probabilităţile apriorice de transmitere a celor trei niveluri sunt: { } { }1 1 1 4P P− = =
şi { }0 1 2P = , determinaţi probabilitatea medie statistică a erorii de transmisie. Repetaţi
calculul şi pentru { } { } { }1 0 1 1 3P P P− = = = . Rezolvare
{ } { } { } { } { } { }1 1 0 0 1 1eP P eroare P P eroare P P eroare P− − + += .
Pentru primul caz:
11 1 3 1 1 1 1 3 78 4 4 2 8 4 16 8 16eP ⋅ + ⋅ + ⋅ = + == .
Pentru al doilea caz:
2 11 3 1 1 18 4 8 3 3e eP P⎛ ⎞+ + ⋅ = <⎜ ⎟
⎝ ⎠= .
Se vede că transmiterea unui zero cauzează un număr mare de erori. În al doilea caz probabilitatea de transmitere a unui zero este mai mică, ceea ce explică şi rata mai redusă a erorilor.
*** Problema 6. Arătaţi că avem relaţiile:
{ } { } { } { }{ } { } { }{ } { } { }
) cov , cov , ; cov , cov ,
) cov , cov , cov ,
cov , cov , cov ,
i X cY c X Y cX Y c X Y
ii X X Y X Y X Y
X Y X X Y Y X
= =
+ = +
+ = +
Rezolvare
{ } { }( ) { }( ){ }{ }( ) { }( ){ }{ }( ) { }( ){ }
{ }
,
,
,
) cov ,
cov ,
X Y X Y
X Y X Y
X Y X Y
i X cY E X E X cY E cY
E X E X cY cE Y
cE X E X Y E Y
c X Y
= − −
= − −
= − −
=
La fel se demonstrează şi perechea ei.
5
{ } { }( ) { }( ){ }{ }( ) { }( ) { }{ }{ }( ){ } { }( ) { }( ){ }
{ } { }
, ,
,2
, ,
) cov ,
cov , cov ,
X Y X X Y
X Y X X Y
X Y X X Y X Y
ii X X Y E X E X X Y E X Y
E X E X X E X Y E Y
E X E X E X E X Y E Y
X X X Y
+ = − + − +
= − − + −
= − + − −
= +
La fel se demonstrează şi perechea ei.
*** Problema 7. Două v.a. (variabile aleatoare) X şi Y sunt corelate, având
{ }cov ,X Y cunoscută. Pentru decorelare putem transforma cuplul X ,Y în cuplul W, Z cu:
{ }{ }
1 0 cov ,
1 cov ,W X X Y
aZ a Y X X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦.
Calculaţi { }cov ,W Z şi arătaţi că s-a produs decorelarea. Rezolvare
a) Avem:
{ } { } { } { }{ } { }{ }{ } { } { }
cov , cov , cov , cov ,
cov , cov ,
cov , cov , cov , 0
cov ,
W XZ aX Y
W Z X aX Y X aX X Y
a X X X Y
X YX X X Y
X X
== +
= + = +
= +
= − + =
Cum covarianţa mutuală este nulă, cele două v.a. W şi Z sunt necorelate.
b) Fie: 1 0
, si 1
X WY Z a⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
U V G
Avem V U si T= =V GU C GC G
6
{ } { }{ } { }
{ } { }{ } { }
{ } { } { } { }{ } { } { }
{ } { } { } { }2
cov , cov ,1 0 1;
cov , cov ,1 0 1
dar cov , cov ,
cov , cov , 1
cov , cov , cov , cov , 0 1
cov , cov , cov , =
cov , cov , cov , 2 cov , c
X X X Y aY X Y Ya
X Y Y X
X X X Y aa X X X Y Y Y a X Y
X X a X X X Y
a X X X Y a X X a X Y
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦⎣ ⎦
+
+ + +
=
=
=
V
V
C
C
{ }ov ,Y Y
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Obţinem:
{ } { } { }cov , cov , cov , 0W Z X Y a X X= + = . Problema 8. Calculaţi pentru v.a. Y :
{ }2
2Y si YY YE Eμ σ
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
= = unde Y Y- Y= μ
cunoscând că:
{ }2
2 ; si XXX
XX
XY E X Eμ μ σσ
⎧ ⎫−= = ⎨ ⎬
⎩ ⎭= unde X XX μ−=
Rezolvare
{ } { }1 1 0X X X X
X X X X X XE Y E X E Xμ μ μ μ
σ σ σ σ σ σ⎧ ⎫
= − = − = − =⎨ ⎬⎩ ⎭
,
adică 0Yμ = .
( ){ }222
2
2
X2
X
22 2
X- XY Y-0
1 1 = X 1
X
XX X
E E E E
E
⎧ ⎫⎧ ⎫⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎧ ⎫= =⎨ ⎬
⎩ ⎭
μσ σ
σσ σ
,
ceeace însemnă că 2 1Yσ = . ***
Problema 9. Arătaţi că dacă , si fiind constanteY aX b a b= + , pentru
,0 1X Ya ρ> = , iar pentru ,0 1X Ya ρ< = − .
Rezolvare. Avem: { } { } { }cov , cov , cov ,X aX b a X X X b+ = + Dar:
7
{ } { }( ) { }( ){ }{ }( )( ){ }
cov ,
0
X b E X E X b E b
E X E X b b
= − −
= − −
=
aşa că rezultă: { } { }{ } { }{ } { } { }2
cov , cov ,
cov ,
X aX b a X X
Disp X X X
Disp Y Disp aX b a Disp X
+ =
=
= + =
Conform definiţiei: { }
{ } { }{ }
{ }{ }{ }
, 2 2
cov , cov ,
cov , sgn
X YX Y a X X
Disp X Disp Y a Disp X
X Xa aa Disp X
ρ =
= ⋅ =
=
Problema 10. In tabel se defineşte un cuplu de v.a. discrete, X şi Y, ce pot lua valorile 0 şi 1 fiecare. Calculaţi: { } { } { } { } { } X,Y, , cov , , , si X YE X E Y X Y Disp X Disp Y ρ .
Y→ X ↓
j=0 j=1 { }XP i
i=0 { },10,08X YP = { },
10,18X YP = + => 1 1 1
8 8 4+ =
i=1 { },11,04X YP = { },
11,12X YP = + => 1 1 3
4 2 4+ =
{ }YP j
1 1 38 4 8
+⇓
+ =
1 1 58 2 8
+⇓
+ =
Rezolvare
{ } { }
{ } { }
1
,0
1
,0
, 0,1
, 0,1
X X Yj
X Yi
Y
P i P i j i
P j P i j j
=
=
= =
= =
∑
∑
Valorile se dau în tabel. Vom verifica corectitudinea sa:
8
{ }
{ }
{ }
1 1
,0 0
1
01
0
1 1 1 1, 1, corect8 8 4 2
1 3 1, corect4 4
3 5 1, corect8 8
X Yi j
Xi
Yj
P i j
P i
P j
= =
=
=
= + + + =
= + =
= + =
∑ ∑
∑
∑
{ } { } { }
{ } { } { }
{ } { } { }
1
01
01 1
, , ,0 0
314
518
1, 1,12
X X Xi
Y Y Yj
X Y X Y X Yi j
E X iP i P
E Y jP j P
E XY ijP i j P
=
=
= =
= = =
= = =
= = =
∑
∑
∑∑
{ } { } { } { },cov , ,
1 3 5 1 2 4 8 32
X Y X YX Y E X Y E X E Y= −
= − ⋅ =
{ } { } { } { }
{ }
212 2 2
0
34
9 3 9 3116 4 16 16
X X Xi
X
Disp X E X E X i P i
P
=
⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠
− = − ==
∑
{ } { } { } { }
{ }
212 2 2
0
58
25 5 25 15164 8 64 64
Y Y Yj
Y
Disp Y E Y E Y j P j
P
=
⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠
− = − ==
∑
{ }{ } { },
1 1cov , 132 32 0,149
3 15 3 5 3 516 64 32
X YX Y
Disp X Disp Yρ = = = = =
⋅.
***
Problema 11. In tabel se dă repartiţia unui cuplu de v.a. X şi Y ce pot lua doar valorile 0 şi 1. Determinaţi repartiţiile marginale, { } { }, X YP i P j şi coeficientul de corelaţie, ,X Yρ .
9
Y→ X ↓
j=0 j=1
i=0 { },30,08X YP = { },
10,18X YP =
i-1 { },11,08X YP = { },
31,18X YP =
Rezolvare
{ } { } { } { }1 1
, ,0 0
, , 0,1 ; , , 0,1 . X X Y Y X Yj i
P i P i j i P j P i j j= =
= = = =∑ ∑
{ } { }
{ } { }
3 1 1 1 3 10 ; 1 ;8 8 2 8 8 23 1 1 1 3 10 ; 1 ;8 8 2 8 8 2
X X
Y Y
P P
P P
= + = = + =
= + = = + =
{ } { } { } { } { } { }
{ } { } { }
1 1
0 01 1
, , ,0 0
1 11 ; 1 ;2 2
3, 1,18
X X X Y Y Yi j
X Y X Y X Yi j
E X iP i P E Y jP j P
E XY ijP i j P
= =
= =
= = = = = =
= = =
∑ ∑
∑∑
{ } { } { } { },3 1 1cov ,8 4 8X Y X YX Y E XY E X E Y= − = − =
{ } { } { } { } { } { }1 1
2 2 2 2
0 0
1 11 ; 1 ;2 2X X X Y Y Y
i jE X i P i P E Y j P j P
= == = = = = =∑ ∑
{ } { } { }
{ } { } { }
2 22
2 22
1 1 1 ;2 42
1 1 1 ;2 42
X X
Y Y
Disp X E X E X
Disp Y E Y E Y
= − = − =
= − = − =
{ }{ } { },
1cov , 18 ;
21 14 4
X YX Y
Disp X Disp Yρ = = =
⋅
Ca verificare:
{ }1 1
,0 0
3 1 1 3, 18 8 8 8X Y
i jP i j
= == + + + =∑∑ , corect.
***
10
Problema 12. In tabel se dă repartiţia a două v.a. X şi Y , ce pot lua fiecare, valorile 1, 2 şi 3. In căsuţe sunt înscrise valorile probabilităţilor { }, ,X YP i j . Determinaţi { }/Y XP j i . Sunt cele două v.a. X şi Y independente statistic?
Y→ X ↓
j=1 j=2 j=3
i=1 110
110
210
i=2 120
120
110
i=3 310
120
120
Rezolvare
Avem:
{ } { }{ }
, ,X YY X
X
P i jP j i
P i=
adică:
{ } { } { }
{ } { }
3
,1
1 1 2 4, , 1, 2,3; 1 ;10 10 10 10
1 1 1 2 3 1 1 4 2 ; 3 ;20 20 10 10 10 20 20 10
X X Y Xj
X X
P i P i j i P
P P
== = = + + =
= + + = = + + =
∑
{ } { }{ } { } { }
{ }
{ } { }{ } { } { }
{ }
, ,/ /
, ,/ /
11, 1,1 1101 , 1,2,3; 11 ;41 1 4
101 2
1,2 1,31 110 10 2 1 ; 3 1 ;4 41 4 1 210 10
X Y X YY X Y X
X X
X Y X YY X Y X
X X
P j PP j j P
P P
P PP P
P P
= = = = =
= = = = = =
11
{ } { }{ } { } { }
{ }
{ } { }{ } { } { }
{ }
, ,/ /
, ,/ /
12, 2,1 1202 , 1,2,3; 1 2 ;22 2 4
101 1
2,2 2,31 120 102 2 ; 3 2 ; 2 22 4 2 210 10
X Y X YY X Y X
X X
X Y X YY X Y X
X X
P j PP j j P
P P
P PP P
P P
= = = = =
= = = = = =
{ } { }{ } { } { }
{ }
{ } { }{ } { } { }
{ }
, ,/ /
, ,/ /
33, 3,1 3103 , 1,2,3; 1 3 ; 43 3 4
101 1
3,2 3,31 120 202 3 ; 3 3 ; 4 43 8 3 810 10
X Y X YY X Y X
X X
X Y X YY X Y X
X X
P j PP j j P
P P
P PP P
P P
= = = = =
= = = = = =
Avem deci:
{ } { } { }
{ } { }
3
,1
1 1 3 9, , j 1,2,3; 1 ;10 20 10 20
1 1 1 4 2 1 1 7 2 ; 3 ;10 20 20 20 10 10 20 20
Y X Y Yi
Y Y
P j P i j P
P P
== = = + + =
= + + = = + + =
∑
Pentru ca cele două v.a. X şi Y să fie statistic independente ar fi necesar ca:
{ } { }/ , 1,2,3.YY XP j i P j i= ∀ =
Dar { }/1 1 11 este , ,4 4 2Y XP j ⎧ ⎫
⎨ ⎬⎩ ⎭
, în timp ce { } 9 4 7 este , ,20 20 20YP j ⎧ ⎫
⎨ ⎬⎩ ⎭
şi deci X şi Y nu
sunt statistic independente.
***
Problema 13. Poate fi
{ }, ,
1 2
1 2 3
1
1 2 3 2
3
0,1,2,3,...1 1 1, , 0,1,2,3,...8 2 4
1,0,1,
k k
X X X
kP k k k k
k
= → ∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = → ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = −
12
o funcţie de repartiţie a masei probabiliste pentru vectorul aleator: T
1 2 3 ?X X X⎡ ⎤= ⎣ ⎦X Rezolvare Condiţiile sunt:
1) { }, ,1 2 3 1 2 3 1 2 3, 0, ,, ,X X XP k k k k k k≥ ∀ ∀ ∀ , care este evident indeplinită, şi
2) { }, ,1 2 31 2 3
1 2 3, 1,X X Xk k k
P k k k =∑∑∑ ,
suma fiind efectuată pentru toate valorile posibile ale variabilelor ki .
În cazul de faţă:
1
1 2 1 2
3 1 2 1 2
1
0 0 0 0
1 1 1 1 1 138 2 4 8 2 4
3 1 1 3 4 2 11 18 8 31 12 4
k k k k
k k k k k=−
∞ ∞ ∞ ∞
= = = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =− −
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Concluzia este că { }, ,1 2 3 1 2 3,,X X XP k k k dată poate fi o repartiţie.
Problema 14. Matricea de covarianţă a vectorului 1 2 3, ,T
X X X⎡ ⎤= ⎣ ⎦X este
1 0 10 2 21 2 4
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
XC . Verificaţi că matricea XC dată poate fi o matrice de covarianţă.
Determinaţi apoi coeficienţii de corelaţie între componentele vectorului:
1 2 2 3 3 1, , ,, , X X X X X Xρ ρ ρ .
***
Rezolvare
XC are o formă de matrice simetrică, cu elementele de pe diagonală (dispersii) pozitive.
Rămâne să vedem dacă este pozitiv semidefinită. Calculăm determinanţii:
1 0 1 1 0 01 0 2 2
2 0, 0 2 2 0 2 2 6 4 2 00 2 2 3
1 2 4 1 2 3= > = = = − = >
13
XC este deci simetrică şi pozitiv definită, deci poate fi matrice de covarianţă. Elementele
de pe diagonală sunt 2 2 21 2 31 2 4, , .σ σ σ= = =
{ }1 2cov 0,X X = (linia 1-a, coloana a 2-a)
1 2, 0X Xρ = (necorelate)
{ }2 3cov 2,X X = (linia 2-a, coloana a 3-a)
{ }
2 3
2 3, 2 2
2 3
cov 2 1 0,7072 4 2
,X X
X Xρ
σ σ= = = =
⋅
{ }3 1cov 1,X X = (linia 3-a, coloana a 1-a)
{ }3 1
3 1, 2 2
3 1
cov 1 124
,X X
X Xρ
σ σ= = = .
***
Problema 15. Vectorul aleator 1 2 TX X⎡ ⎤= ⎣ ⎦X are media [ ]3 4 T=Xμ şi matricea de
covarianţă 2 11 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
XC . Vectorul aleator X se transformă în vectorul aleator
1 2 TY Y⎡ ⎤= ⎣ ⎦Y , conform regulii: 1 1 2 1 2; Y YX X X+= = . Determinaţi Yμ , YC şi
1 2Y ,Yρ .
Rezolvare
Avem: 1 1
2 2
1 01 1
Y XY X⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
sau =Y GX .
{ } { }
{ }1 2
Y
Y
1 22 2 3
1 0 3 3 3;
1 1 4 7 7
1 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 3 =
1 1 1 2 0 1 3 3 0 1 3 6
2 6 cov ,
TX
Y X
Y Y Y Y
E E
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
= =
Y A X μ
C GGC
σ σ
Rezultă deci: { }1 2
1 2
,1 2
2 23 3 0,866.
22 6cov ,
Y YY Y
Y Y= = = ≅
⋅ρ
σ σ
***
14
Problema 16. Vectorul 1 2, TX X⎡ ⎤= ⎣ ⎦X are matricea de covarianţă
4 11 4⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
XC .
Determinaţi matricea de transformare G care conduce la decorelarea componentelor vectorului =Y GX .
Rezolvare
Se determină vectorii proprii ai matricei XC .
( ) ( )2
1 1
4 1det 4 1 0
1 4sau 4 1 5 3
λλ λ
λλ λ λ
−− = = − − =
−
− = ± = =
X uC I
Apoi:
1 1
2 21111 12 11 12
12
v1 1 0 v v si v v 1
v1 1 0
− =⎡ ⎤⎣ ⎦− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⇒ = + =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
X uC I v 0λ
.
Rezultă
12
12
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=1v .
Apoi:
2 221 22
212 2
22
21 22 21 22
uv1 1 0
v1 1 0
1 1v v si v +v =1 v v 2 2
λ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤− = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⇒ = − = = −
XC I v 0.
Matricea modală este:
15
X
1 2
1 11 112 2
1 1 1 122 2
1 111 12
1 1 4 1 1 11 11 1 1 4 1 12 2
5 5 1 11 3 3 1 12
10 0 5 01 0 6 0 32
T
T
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
V V V
V
V C V
Considerăm matricea:
1 111 12
T ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
=G V
Ea defineşte transformarea care conduce la decorelarea componentelor 1Y şi 2Y :
1 2 1 2
X
2 2,
5 0;
0 3
05 3 Y Y Y Y
⎡ ⎤= = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
== =
YC VC V
σ σ ρ
***
Problema 17. Determinaţi constanta c , astfel încât ( ) ( )1 5 , 5g x c x x= − < şi zero în rest, să fie o densitate de probabilitate.
Rezolvare Trebuie ca 0p ≥ , condiţie ce este îndeplinită pentru 0c > , iar aria de sub curbă trebuie să fie unitară. Funcţia ( )g x este reprezentată în figura 17.1, pentru 0c > . Aria aria de sub curbă este 5c . Impunem 5 1c = şi rezultă 1 5c = .
16
Figura 17.1
***
Problema 18. Dacă X este o v.a. cu repartiţie gaussiană, de medie nulă şi dispersie
2 1Xσ = determinaţi { }3P X > . Dacă Y este o v.a. cu distribuţie laplaciană şi dispersie
unitară, 2 1Yσ = , determinaţi { }3P Y > .
Rezolvare
{ } ( )
{ }
3
32 2
3 3
3 2 3
3 3 1,35 10
1 13 222
1 7,18 102
x x
P X Q
P Y e dx e d x
e
−
∞ ∞− −
∞
− −
> = ≅ ⋅
> = =
= = ⋅
∫ ∫
Se vede că { } { }3 3P Y P X> > > “coada” distribuţiei Laplace fiind mai accentuată ca a distribuţiei normale.
***
Problema 19. Fie ( )2, X μ σ∼ N . Arătaţi că { } b aP a X b Q Qμ μσσ
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ≤ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠.
Rezolvare
17
{ }( )2
2
2
2
2
12
2
1 2
1 2
1 1
b
a
xb
a
xb
a
P a X b e dx
xe d
b ae du
b aQ Q
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
−
−
∗ ∗
−−
−−
−
≤ ≤ =
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫
∫μ
σ
μσ
μσ
μσ
μ
πσ
μσπ
μ μφ φσ σ
μ μσ σ
a bQ Q− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
μ μσ σ
***
Problema 20. Dacă v.a. X este repartizată exponenţial, cu parametrul λ ,
( ) , 00, 0
x
Xe xp x
x
λλ −⎧ ≥⎪= ⎨<⎪⎩
, determinaţi ( )Yp y , dacă 4 1Y X= + .
Rezolvare Transformarea este dată de ( ) 4, 1y g x y x= = + .
Funcţia inversă este ( ) ( )1 41 1x g y y−= = − cu derivata: ( ) ( )1 3
21 14
0.dg yy
dy
−−= − ≥
Avem:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 34 4
14
34
11
11 14
1
, 1 0 0, 1 0
, 1 4 1
0, 0
Y X
y y
y
Y
dg yp y p g y
dy
e y xy x
e yp y y
y
−
−−
− − ⋅ −
− −
=
⎧⎪ ≥ ≥= ⎨⎪ < <⎩⎧
>⎪⎪= ⎨ −⎪
≤⎪⎩
λ
λ
λ
λ
***
18
Problema 21. Determinaţi transformarea g, astfel încât ( ) [ ], 0,1X g U U= ∼ U , să aibă densitatea de probabilitate din figură:
Figura 21.1
Rezolvare
( ) ( ) ( )
( )
2 20 0 0
0
2 1 2 2xx x
X Xu
U
F x p t dt t dt t t x x
F u dt u
= = − = − = −
= =
∫ ∫
∫
( ) { } ( ) { } { } { }2 2 2
1,2
2 - - 2 0 11X UF x P X x F u P U u P X x P U u
x x u x x u x u
= ≤ = ≤ ≤ = ≤
= + = −= ±
Dar ( )0,1x∈ şi deci ( )21 1 , 0,1x u u= − − ∈ . Prin urmare, 21 1X U= − − . Dacă se generează un număr aleator uniform distribuit între 0 şi 1, cu relaţia stabilită se generează X cu densitatea de probabilitate, ( ) ,Xp x din figură.
***
Problema 22. Dacă [ ]0,1X ∼ U determinaţi ( )Yp y pentru 3Y X= .
Rezolvare
( ) ( ) [ ] [ ]( )
13 1 3
1 23
0,1 0,1
13
y g x x y y x y
d yy
dy
x gg −
−
−
= = = ∈ ⇒ ∈
=
=
19
( ) ( )( ) ( ) ( )1 2
1 323
1 11 0,13
3Y X
d yp y p g y y y
dyy
g− −−= = ⋅ ⋅ = ∈
***
Problema 23. Un detector permite trecerea componentei continue şi a valorilor pozitive. Dacă la intrarea sa se aplică o tensiune ( )2, X μ σ∼ N , care este puterea medie a
semnalului de ieşire?
Figura 23.1
Rezolvare
{ } ( )
( )
{ } { }
2 20
22
0
2 2
2
12
Y
X
E Y y p y dy
x p x dx
E Y E X
σ
∞
∞
=
= =
=
∫
∫
***
Problema 24. O densitate de probabilitate de tipul mixtură între o distribuţie Dirac, ( ) ,xδ şi o distribuţie gaussiană pentru 0x > este:
( ) ( ) ( ) ( )222 1, 01 1 ;
0, 02 2
x
Xx
p x x e x xx
u uσδπσ
− >⎧= + = ⎨ <⎩
Determinaţi puterea medie a v.a. X şi daţi o interpretare fizică pentru X.
Rezolvare
20
{ } ( )22
22
0 0
2 2
212 2
0 2 2 2
xxE X x dx e dxσδ
πσσ σ
∞ ∞ −= +
= + =
∫ ∫
Densitatea de repartiţie este corespunzătoare detectorului, ( )12
xδ fiind componenta
continuă (mai precis repartiţia ei).
***
Problema 25. Pentru mixtura gaussiană X, cu ( )( ) ( )1 12 2
2 21 1 1 12 22 2
x x
Xp x e e− +− −
= +π π
,
determinaţi media şi dispersia. Schiţaţi ( )Xp x .
Rezolvare
( ) ( )1 2 1 21 1 1, 1 si 1, 12 2
X X X X X= −+ ∼ ∼N N
Figura 25.1
( ) { } { }
( )( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
1 2
1 12 2 2 2
1 12 22 2
1 1 1 1
1 1 1 1 02 2 2 2
1 12 2 2 2
1 1 1 1 2 22 2
1 1 2 2 22 2
x x
x x
E X E X E X
E X x e e dx
x e dx x e dx
σ μ σ μ
π π
π π
− +∞ − −
−∞
− +∞ ∞− −
−∞ −∞
+ = + + = +
= + = − =
⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= +
= ⋅ + ⋅ =
∫
∫ ∫
***
21
Problema 26. Dacă [ ],X a a−∼ U determinaţi { }, 0P X γ γ> > . Determinaţi o limită
superioară pentru { }P X γ> folosind inegalitatea lui Cebîşev. Pentru 2a = trasaţi
{ }P X γ> şi limita.
Rezolvare { } { } { } a P X P X P X≤ < = < − + >γ γ γ γ
Figura 26.1
{ }2 3 2
2
0
2 6 3
Xa
a
ax x aE X dxaa a−
=
= = =−∫
μ
Se vede că:
{ } ( ) 1 2 1 , 02
P X a aa a
> = − ⋅ ⋅ = − < ≤γγ γ γ
Cum { } 0 daca X a P X aγ γ≤ ⇒ > = >
{ } 1 , 0
0,
aP X a
a
⎧ − < ≤⎪> = ⎨⎪ >⎩
γ γγ
γ
Conform inegalităţii lui Cebîşev, cu 2 2 / 3X aσ = avem:
{ }2 2
2 23XP X aσ
γγ γ
> ≤ =
22
Figura 26.2
După cum se vede, limita dată de inegalitatea lui Cebîşev este mult acoperitoare.
***
Problema 27. Dacă v.a. X şi Y au repartiţia mutuală ( )2 2
,
1 , 1,
0, in restX Y
x yp x y π
⎧ + ≤⎪= ⎨⎪⎩
schiţaţi ( ), ,X Yp x y şi determinaţi 12
P X⎧ ⎫≤⎨ ⎬⎩ ⎭
.
Rezolvare
Figura 27.1
23
Figura 27.2
( )
2
2 2
2 2
21/2 1 1/2
0 0 01/2
01/2
0
1 1 44 12
11 1 arcsin din tabelele de integrare2 2
1/ 2 1/ 211 1 arcsin0 02 2
1 1 1 1 3 1 arcsin4 4 2 2 8 12
1 4 3 42 8
xP X dx dy x dx
xx dx x x
xx dx x x
P X
−⎧ ⎫≤ = ⋅ = −⎨ ⎬⎩ ⎭
− = − +
− = − +
= − + = +
⎧ ⎫≤ = ⋅ +⎨ ⎬⎩ ⎭
∫ ∫ ∫
∫
∫
π π
π
π1 3 0,61
12 3 2⋅ = + ≅π
π π
***
Problema 28. Determinaţi repartiţiile marginale pentru vectorul aleator [ ] ,TX Y ale
cărui componente au o repartiţie mutuală normală cu media [ ]1 2 T şi matricea de
covarianţă 3 00 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
C .
24
Rezolvare
[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2
1 2 1 22 3 2 3 2 3 2 3
,
1 0 1 1 21 1 1 2 131 2 ;212 2 3 2 2 3 20
2 6
1 1 12 6 2 3 2 2
X Y
x y x y
p x p y
X Y
x x yx yx yy
p e e e− − − −
− − − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ − − −⎡ ⎤ − −⎡ ⎤− − − = − = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦=
= = ⋅
C
π π π
Repartiţiile marginale sunt ( ) ( )21,3 si 2,2X ∼N N . Se vede că X şi Y sunt necorelate şi statistic independente.
***
Problema 29. Dacă în vectorul XY⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, X şi Y au densitatea de repartiţie mutuală
1 2 12 1 2
XY
−⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
∼ N , determinaţi densitatea de repartiţie mutuală pentru WZ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
,
unde 1 12 3
W XZ Y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦G
.
Rezolvare Avem:
{ }{ }
1 1 1 32 3 2 8
E WE Z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
şi:
W,Z X,Y
1 1 2 1 1 22 3 1 2 1 3
1 1 1 2 2 51 4 1 3 5 14
T=
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
= =
C GC G
***
25
Problema 30. Dacă 1 2 11 1 2
XY
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠∼ N , determinaţi media şi dispersia pentru
Z X Y= + .
Rezolvare { } { } { }{ } { } { } { }
, 1 1 2
2cov , 2 2 2 1 6X Y X YE X Y E X E Y
Disp X Y Disp X Disp Y X Y
+ = + = + =
+ = + + = + + ⋅ =
***
Problema 31. Vectorul XY⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
are matricea de covarianţă X,Y2 11 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
C . Găsiţi matricea
G astfel încât GX să aibă componentele decorelate.
Rezolvare
( ) ( )2
1 2
2 12 1 0
1 2 1 3
Detλ
λ λλ
λ λ
−− = = − − =
−
= =
uC I
11 11 2 21 11 12
12 12
v v1 1 0 v v 1
v v1 1 0λ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = = + =⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦uC I
Avem:
11 12 11 12
21 21 2 2u2 21 22
22 22
11 1 1v v v v sau 12 2 2
v v1 1 0 v v 1
v v1 1 0
⎡ ⎤= − ⇒ = = − = ⎢ ⎥−⎣ ⎦
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = = + =⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1v
C Iλ
şi:
21 22 21 22 2
2
11 1v v v v sau 12 2
1 11 1 12
⎡ ⎤= ⇒ = = = ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎡ ⎤
= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦1
v
V v v
unde V este matricea modală. Se ia: 1 111 12
T −⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦=G V
Ca verificare:
26
1 1 2 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 2 1 1 3 3 1 12 2
2 0 1 01 0 6 0 32
T − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= =
=
GCG
Noua matrice de covarianţă arată că vectorul GX , cu matricea de covarianţă de mai sus, are componentele necorelate.
***
Problema 32. Dacă 0 2 0
,0 0 2
XY
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠∼ N determinaţi { }2P X Y+ > .
Rezolvare
{ } { } { }
[ ]
[ ] [ ]Z X,Y
0
1 1
2 0 1 11 1 2 2 4
0 2 1 1T
E X Y E X E Y
X XZ X Y
Y Y
+ = + =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
G
C GC G
Cum matricea se reduce la un scalar, rezultă că 2 4Zσ = . Prin urmare ( )0, 4Z ∼ N . Avem deci:
{ } ( )2 02 1 0,1592
P Z Q Q−⎛ ⎞> = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
***
Problema 33. Pentru a genera două v.a. gaussiene standard (de medie nulă şi dispersie unitară) folosind calculatorul, se pot utiliza transformările Box-Mueller, definite prin:
( )( )
[ ]2ln cos 2
, 0, 12 ln sin 2
W X YX Y
Z X Y
π
π
= −
= −∼ U
X şi Y fiind statistic independente şi uniform distribuite în [ ]0, 1 . Arătaţi că afirmaţia este corectă.
Rezolvare
Punem:
27
2 22 2
2 ln cos 2 ; Z= 2ln sin 2
ZZ = 2ln sau =exp2
W X Y X Y
WW X X
π π= − −
⎧ ⎫++ − −⎨ ⎬
⎩ ⎭
.
Avem:
2 2
2w z
x e+−
= şi 2z tgw
π= , adică 12
zy arctgwπ
= .
şi apoi:
( )( ) 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1,1 1,
2 21 1
w z w zwe ze
zx yw ww zz zw w
π π
+ +− −⎡ ⎤− −⎢ ⎥
⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥−=⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
valoareaabsoluta
determinant
2 2 2 2
2
2 22 2
1
1 1, ,
, 1 1 1det, 2 2
1 1
,, ,
,
w z w z
w z X Y
zx y we ew z z z
w w
x yp p g w z h w z
w z
π π
+ +− −
=
− −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥= − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎣ ⎦
=
Dar: [ ] [ ]0, 1 si 0, 1X Y∼ ∼U U aşa că ( ), , 1X Yp ⋅ ⋅ = . Rezultă că:
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2 2,
1 1 1,2 2 2
w z w z
W Z W Zp w z e e e p w p zπ π π
+− − −⋅ == =
Cele două v.a. W şi Z sunt statistic independente şi repartizate normal, standard
( ), 0, 1W Z ∼ N . ***
Problema 34. Repartiţia mutuală a două v.a. X şi Y este:
( )( )
,2 , 0 si 0, 0, in rest
x y
X Ye x y xp x y− +⎧⎪ ≥ ≤ ≤= ⎨
⎪⎩
Determinaţi ( )/Y Xp y x .
28
Rezolvare
( ) ( )( )
,/
,X YY X
X
p x yp y x
p x=
Dar:
( ) ( )
( ) ( ),0 0
0, 2 2
2 1
y yx xX X Y
x xX
x xp x p x y dy e e dy e e
x
p x e e
− −− −
− −
= = =
= −
∫ ∫
Rezultă:
( ) ( )/2 , 0 si 0
12 1
y yx
xY X x xe e ep y x x x y
ee e
− −−
−− −= = ≥ ≥ ≥−−
***
Problema 35. Dacă repartiţia mutuală a v.a. X şi Y este ( ) ( ),
2 , , 0,1 ,
0, in restX Yx x y
p x y⎧ ∈
= ⎨⎩
determinaţi { }1 2 0P Y X> = . Rezolvare
( )1/2
/1 0 02 Y XP Y X p y dy
∞⎧ ⎫> = =⎨ ⎬
⎩ ⎭ ∫
Dar:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
,,
1
0
/,
; ,
2 2
X YX X Y
X
X
Y Xp x y
p Y X p x p x y dyp x
p x xdy x
∞
−∞= =
= =
∫
∫
şi deci:
( )/2 1 , 0,12Y X
xp x yx= ∈=
Rezultă că: 1
1/2
1 10 12 2
P Y X dy⎧ ⎫> = = ⋅ =⎨ ⎬
⎩ ⎭∫
*** Problema 36. Dacă [ ]0,1X ∼ U şi ( ) [ ]0,Y X x x= ∼ U determinaţi repartiţia mutuală a
celor două v.a. , ( ), , X YP x y precum şi repartiţia marginală ( )YP y .
29
Rezolvare Avem:
( ) ( ) ( )
( )
,
1
/0 11 1, 1 ; 0 1
11 1ln 0 ln ln
X Y X
Y
Y X
y
xp x y p y x p x
yx x
p y dx x yyx y
< <= = ⋅ =
< <
= = = − =∫
***
Problema 37. Pentru v.a. 1 2 3Y X X X= + + , determinaţi: { }a) si b) Disp YYμ , ştiind că pentru vectorul aleator X avem:
( )
[ ]
1 2 3 , cu
1 112 4
1 11 2 3 si 1 2 21 1 14 2
T
T
X X X= ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
X μ C
μ C
∼ N
. Rezolvare
{ } { } { } { }1 2 3 1 2 3 6E Y E X E X E X= + + = + + =
{ } { }{ }{ }
21 2 3
3 3
1 13 3
1 1
)
cov ,
1 1 1 1 1 1 1 1 12 4 2 2 4 2
11 ,2
i ji j
i ji j
a Disp Y E Y E X X X
E X X
X X
= =
= =
⎧ ⎫⎪ ⎪= = + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
=
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
∑∑
∑∑
suma tuturor elementelor din matricea de covarianţă, C .
30
[ ]
[ ]
1
2
3
) Y= 1 1 1
1 112 4 1
1 1 1 1 1 1 12 2
11 1 14 2
17 7 7 7 11 2 1 24 4 4 4 2
1
TY
Xb X
X
⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
G
GX
C GCG
şi cum este un singur element, el este dispersia v.a. Y.
***
Problema 38. Dacă ( )1 2
2,
XN
X⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
u0 I∼ σ , determinaţi { }2 2 21 2P X X R+ > .
Rezolvare Din forma matricei de covarianţă, 2σ uI , se deduce necorelarea v.a. 1 2 si X X . Avem:
( )2 2
2
2 21 1 2
1 2 22
2, 2
1 010 1 2
1,2
x y
X Y
x x xx x
x
p x y e+−
⎡ ⎤⎡ ⎤=⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
+
σ
σ
πσ
31
{ }( ){ }
{ }( )
2 2
2 22
2 2 21 2 1 2
1 2
22
0,2
22
2 2 2 21 2 2
, :
2 2 21 2
2 2 2 21 2 2
2 220
12
cos ; sin ; ;
12
2
r R
x y
x x x x R
r
r
R
P X X R e dxdy
x r x r x x r dxdy rdrd
P X X R e rdrd
d e rdr
⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
>∈
+−
+ >
−
−∞
+ > =
= = + = =
+ > = =
=
∫∫
∫∫
∫
πθ
σ
σ
π σ
πσ
θ θ θ
θπσ
θπσ
22222
22
2
2 12 2
2
rRe e
R
−−
∞
= =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
σσπ
πσσ
***
Problema 39. Dacă ( ) { }2 2 2
1 2 3 1 1 1, , unde ,,Y X X X diag σ σ σ= =+ + X 0 C C∼ N ,
determinaţi densitatea de repartiţie pentru Y . Rezolvare Cum 1 2 3 , ,X X X sunt gaussiene şi statistic independente (C are o formă diagonală) iar Y depinde liniar de iX , rezultă că şi Y este repartizată gaussian. Este suficient să-i determinăm media şi matricea de covarianţă. Avem:
{ } { } { }
[ ]
[ ]
1 2 3
1
2
321
22
23
2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3
0
1 1 1
0 0 11 1 1 0 0 1
10 0
1 1
1
Y
TY
E X E X E X
xY x
x
= + + =
⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
GX
C GCG
μ
σ
σ
σ
σ σ σ σ σ σ
adică
32
( )2 2 2 2
1 2 32 2 21 2 30,
Y
Y
σ σ σ σ
σ σ σ
= + +
+ +∼ N .
***
Problema 40. Determinaţi media şi dispersia v.a. Y, ( )12
1
1 ; 0,12i i
iY U U
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
−∑ ∼ U ,
termenii iU fiind identic distribuiţi şi independenţi statistic (IID).
Rezolvare
( ) { }
( ) ( )
{ }
1 20
12 12
1 112 12 12
1 1 1
1 1 1 1 1 2 4 3 4 12
1 1 1 02 2 2
1 1 12 12
i i
ii i
i ii i i
E U Disp U x dx
E Y E U
Disp Y Disp U DispU
= =
= = =
= = − = − =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧ ⎫= − = = =⎨ ⎬⎩ ⎭
∫
∑ ∑
∑ ∑ ∑
***
Problema 41. Procesul IID, [ ]X n , are repartiţia ( ) ( )x
Xp x e u x−= . Determinaţi
[ ] [ ] [ ]{ }0 1, 1 1, 2 1P X X X> > > .
Rezolvare Cum eşantioanele [ ] [ ] [ ]0 , 1 , 2X X X sunt statistic independente:
[ ] [ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }0 1, 1 1, 2 1 0 1 1 1 2 1P X X X P X P X P X> > > = > > >
Cum sunt şi identic distribuite:
[ ] [ ] [ ]{ } { }( )
( )3
31
0 1, 1 1, 2 1 1
1 0,05 x
P X X X P X
e dxe
∞ −
> > > = >
= ≅= ∫
***
Problema 42. Un proces aleator IID, [ ]X n , se transformă în procesul aleator
[ ] [ ]2Y n X n= . Este şi [ ]Y n un proces IID ?
33
Rezolvare
Dacă [ ] [ ] [ ]X 0 , X 1 , X 2 ,....sunt statistic independente, atunci sunt statistic independente şi
[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )X 0 , X 1 , X 2g g g . Dacă eşantioanele din X au aceeaşi repartiţie, iar ( )g ⋅ este aceeaşi pentru toate eşantioanele, atunci şi repartiţiile eşantioanelor din Y sunt identice (vezi relaţia de transformare). Răspunsul este, deci, DA !
***
Problema 43. Arătaţi că procesul [ ] [ ], 0 1nX n a n aU= < < , unde [ ]nU este un
zgomot alb, gaussian, de medie nulă şi dispersie 2Uσ , nu este staţionar.
Rezolvare
[ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } 0n nX n E X n E a n a E nU Uμ = = = = ,
deci este o constantă ; staţionaritatea mediei este asigurată.
{ }{ }
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
21 2
,
n nX
n n
n nU
C n n E X n X n E a U n a U n
a E U n U n
a n n
+
+
⎡ ⎤= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= −⎡ ⎤⎣ ⎦σ δ
Se observă că 1 2 1 2,X XC n n C n n≠ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ şi deci procesul nu este staţionar.
***
Problema 44. Fie procesul de mediere alunecătoare [ ] [ ]1
0
1 N
iX n U n i
N
−
== −∑ , unde [ ]U n
este un proces de tip zgomot alb, gaussian, de medie nulă şi dispersie 2Uσ . Determinaţi
coeficientul de corelaţie, 0 , 1X X⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ρ . Care este comportamentul său asimptotic, adică
atunci când ?N →∞
Rezolvare
34
[ ]{ } [ ]{ }
[ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }
[ ] [ ]
[ ] [ ]{ }1 1
0 02
1
0
1 1
0 0
2
1
1 0
cov 0 , 1 0 , 1
1 1 1
1 1
N N
i jU
N
i
N N
i j
j i
E X n E U n iN
X X E X X
E U i U jN N
E U i U jN
σ δ
− −
= =⎡ ⎤⎣ ⎦
−
=
− −
= =
− +
= − =
=
⎧ ⎫⎪ ⎪= − −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
= − −
∑
∑ ∑
∑∑
[ ]1 1
2
0 0
2
2
21
20, 1 1, 2 2, 3 2, 1
2
1 1
1 1 1 ... 1
1
N N
Ui j
U
U
j i
i j i j i j i N j N
j iN
N
NN
σ δ
σ
σ
− −
= =− +
= = = = = = = − = −
= − +
⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠−
=
∑∑
[ ]{ } [ ]{ }
[ ] [ ]{ }[ ]{ } [ ]{ }
21 12
2 20 0
0 , 1
22
2
2
1 1
cov 0 , 1
0 1
11
N NU
Un n
X X
U
U
Disp X n Disp U n iNN N
X X
Disp X Disp X
NNN
NN
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −
= == − = =
=
−−
= =
∑ ∑ σσ
ρ
σ
σ
Atunci când N →∞ , 0 , 1 1X Xρ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
→ , arătând că cele două eşantioane sunt tot mai
puternic corelate.
***
Problema 45. Un proces aleator [ ]Y n este o sumă dintre un proces alb, gaussian, de
medie nulă şi dispersie 2Uσ , [ ]X n , şi o sinusoidă deterministă:
[ ] [ ] ( )0 01sin 2 0,2
Y n X n f n fπ ⎛ ⎞= + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Determinaţi media şi covarianţa pentru procesul [ ]Y n .
Rezolvare
35
[ ]{ } [ ]{ } { }( )( ){ }{ }
0 0
1 2 1 0 1 2 0 2
1 22
2 1
sin 2 sin 2
, sin 2 sin 2
Y
X
E Y n E X n E f n f n
C n n E Y n f n Y n f n
E X n X n
n n
π π
π π
σ δ
= + =
= − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= −⎡ ⎤⎣ ⎦
***
Problema 46. Un proces aleator [ ] [ ] [ ]0 1 1X n a U n a U n= + − este definit pentru
n−∞ < < ∞ , 0a şi 1a fiind constante, iar [ ]U n este un proces aleator IID, de medie nulă
şi dispersie 2Uσ . Este [ ]X n un proces aleator în sens larg (WSS) ? Dacă da, determinaţi
pentru el media şi secvenţa de autocorelaţie.
Rezolvare [ ]U n şi [ ]1U n − au aceeaşi distribuţie, deoarece [ ]U n este un proces IID. În consecinţă,
cu 0a şi 1a constante, [ ]X n va fi un proces cu distribuţia identică a eşantioanelor şi deci şi staţionar. Avem:
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }[ ] [ ]{ } [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ){ }
[ ] [ ] [ ] [ ]{ }[ ] [ ] [ ] [ ]{ }
0 1
0 1 0 1
20 0 1
20 1 1
1 0
1 1
1
1 1 1
E X n a E U n a E U n
E X n X n k E a U n a U n a U n k a U n k
E a U n U n k a a U n U n k
E a a U n U n k a U n U n k
= + − =
+ = + − + + + −
= + + − +
+ + − + − + −
= [ ] [ ] [ ]( ) [ ][ ]{ } ( )
2 2 2 2 20 0 1 1
2 2 20 1
1 1U U U
U
a k a a k k a k
Disp X n a a
σ σ σ
σ
δ δ δ δ+ + + − +
= +
***
Problema 47. Un proces sinusoidal are forma [ ] ( )0 0cos2 , 0, 0.5X n A f n fπ= ∈ iar A
este o v.a. cu repartiţia normală, ( )0,1A ∼ N (amplitudinea odata fixată, procesul se
derulează cu amplitudine constantă; în altă experienţă ea se schimbă însă). Este [ ]X n un proces aleator staţionar în sens larg (WSS)? Dacă da, determinaţi media şi secvenţa de autocorelaţie a procesului.
Rezolvare
36
[ ]{ } { }
{ } { }( ) ( )
02
1 2 0 1 0 2
0 2 1 0 2 1
cos 2 0
cos 2 cos 2
1 cos 2 cos 22
E X n E A f n
E X n X n E A f n f n
f n n f n n
π
π π
π π
= =
=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦
Cum secvenţa de autocorelaţie a procesului nu este o funcţie numai de ( )2 1n n k− = ,
procesul [ ]X n nu este WSS (staţionar în sens larg). Oricum, media şi autocorelaţia sunt determinate.
***
Problema 48. Un proces aleator staţionar în sens larg, [ ]X n , are [ ]{ }0 1E X = şi
secvenţa de covarianţă 1 2 2 1, 2Xc n n n nδ= −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Determinaţi secvenţa de autocorelaţie a
procesului. Desenaţi secvenţa [ ]Xr k .
Rezolvare Cum procesul este staţionar în sens larg, e necesar să avem [ ] .E X n cst⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ceea ce conduce la:
[ ] [ ]0 1X E X n E Xμ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Secvenţa de autocorelaţie se poate determina cunoscând covarianţa: [ ] [ ] [ ]2 12X X Xr k c k kμ δ= + +=
Figura 48.1
***
Problema 49. Procesul aleator [ ]X n constă din două v.a. statistic independente:
37
[ ] ( )( )
0,1 ; par0,1 ; impar
nX n
n⎧⎨⎩
∼NU
Este procesul staţionar în sens larg (WSS) ? Este procesul strict staţionar? Rezolvare
[ ]( )
( ) [ ]
( ){ } ( )( ){ }
2
0,1 0, par, 0 .
3, 3 0, impar
2 33, 3 1; 0,1 1
12
X
E nE X n n const
E n
Disp Disp
μ⎧ =⎡ ⎤⎣ ⎦⎪ = =⎡ ⎤ ⎨⎣ ⎦ ⎡ ⎤− =⎪ ⎣ ⎦⎩
− = = =
∼N
U
U N
Cum eşantioanele sunt necorelate [ ] [ ]Xr k kδ= şi deci procesul [ ]X n este staţionar în
sens larg. Cum 0 1X Xp p⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
≠ , spre exemplu, [ ]X n nu este strict staţionar.
***
Problema 50. Procesele [ ]X n şi [ ]Y n sunt, fiecare, staţionare în sens larg (WSS).
Fiecare eşantion din [ ]X n este independent de fiecare eşantion din [ ]Y n . Este
[ ] [ ] [ ]Z n X n Y n= + un proces WSS ?
Rezolvare
[ ]{ } [ ]{ } ( )
[ ] [ ]{ } [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ){ }[ ] [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }[ ] [ ] [ ] [ ]{ }
. . procesele sunt WSS
.
2
Z
X Y
Z X Y
X Y
X Y
E X n cst E Y n cst
cst
r E Z n Z n k E X n Y n X n k Y n k
r k r k E X n Y n k E Y n X n k
r k r k E X n Y n
μ μ
μ μ μ
= = = =
= + =
= + = + + +
= + + + + +
= + +
[ ] [ ] X Yr k r k= +
Cum Zr este funcţie numai de k şi media este constantă, adică [ ]Z n este un proces WSS.
***
Problema 51. Un proces aleator este definit prin [ ] [ ]X n AU n= unde A este o v.a.
normală, ( )20, AA σ∼ N , iar [ ]U n este un zgomot alb, de medie nulă şi dispersie 2Uσ .
38
Variabila aleatoare A este independentă de toate eşantioanele [ ]U n . Determinaţi
densitatea spectrală de putere (PSD) a procesului [ ]X n .
Rezolvare
[ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ }[ ] [ ] [ ]{ }
[ ] [ ]{ }{ } [ ] [ ]{ }
[ ]
2
2 2
0
X
UA
E X n E AU n E A E U n
r k E X n X n k
E AU n AU n k
E A E U n U n k
kσ σ δ
= = =
= +
= +
= +
=
Dar [ ] ( )1n f↔δF
aşa că [ ] ( ) 2 2 .X X UAr k S f cstσ σ↔ = =F
Procesul este deci un „zgomot alb”, având densitatea spectrală de putere, PSD, constantă cu frecvenţa.
***
Problema 52. Determinaţi densitatea spectrală de putere pentru procesul aleator
[ ] [ ] [ ]1 , , 2
n
X n n n nU U⎛ ⎞= −∞ < < ∞⎜ ⎟⎝ ⎠
fiind un zgomot alb, de medie nulă şi
dispersia 2Uσ .
Rezolvare
[ ]{ } [ ]{ }
[ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ]2
2
1 02
1 1 1 = k 2 2 2
n
n n k n k
U
E X n E n
E X n X n k E n n k
U
U U σ δ+ +
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
şi nu depinde numai de k. Procesul nu este staţionar şi deci noţiunea de densitate spectrală de putere nu are sens. Ea există (PSD) numai dacă procesul este WSS.
***
Problema 53. Determinaţi densitatea spectrală de putere a procesului aleator [ ] [ ] [ ]0 1 0 11 unde si X n a U n a U n a a= + − sunt constante, iar [ ]U n este un
zgomot alb, de medie nulă şi dispersie 2Uσ .
Rezolvare
39
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }[ ] [ ]{ } [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ){ }
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 1
0 1 0 12 2 2 2 20 0 1 0 1 1
1 0
1 1
1 1U U U
E X n a E U n a E U n
E X n X n k E a U n a U n a U n k a U n k
a k a a k a a k a kσ δ σ δ σ δ δ
= + − =
+ = + − + + + −
= + + + − +
adică:
[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]2 2 2 2 20 1 0 1 0 11 1X U U Ur k a a k a a k a a kσ σ σδ δ δ= + + + −+
Se cunosc perechile Fourier:
[ ] ( )
[ ] ( )
[ ]
2
2
1
1 0.5, 0.5
1
j f
j f
k f
k e f
k e
π
π
δ
δ
δ −
+ ∈ −
−
↔
↔
↔
F
F
F
Densitatea spectrală de putere este transformata Fourier a procesului staţionar în sens larg (WSS). Se ţine seama de perechile Fourier de mai sus şi rezultă:
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 22 2 2 20 1 0 1
2 2 2 20 1 0 1 2 cos2 , 0.5, 0.5
j f j fX U U
U U
S f a a a a e e
a a f a a f
π πσ σ
σ π σ
−= +
= + ∈ −
+ +
+
***
Problema 54. Un proces [ ]X n este definit prin [ ] [ ] , -X n U n n= + ∞ < < ∞μ , unde
[ ]U n este un zgomot alb, de medie nulă şi dispersie 2Uσ . Determinaţi secvenţa de
autocorelaţie şi densitatea spectrală de putere. Reprezentaţi şi grafic autocorelaţia şi PSD.
Rezolvare
[ ]{ } [ ]{ }E X n E U n μ μ= + =
[ ] [ ] [ ]{ } [ ]( ) [ ]( ){ }[ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }[ ]
2
2 2
X
U
r k E X n X n k E U n U n k
E U n U n k E U n E U n k
k
μ μ
μ μ μ
σ μδ
= + = + + +
= + + + + +
= +
( )
[ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( )2 2 2 2
1
1 , 0.5, 0.5
X U U
f
k f f
r k k f
δ
δ
μ δ μ δσ σ↔ ∈ −
= ↔+ +
↔F
F
40
Figura 54.1
***
Problema 55. Un proces aleator are densitatea spectrală de putere ( ) 1 cos 2XS f fπ= + .
Determinaţi [ ]Xr k şi ( )XS f . Reprezentaţi grafic [ ]Xr k şi ( )XS f .
Rezolvare
( )2 2
1 cos 2 12
j f j f
Xe eS f f
π ππ
−+= + = +
Transformata Fourier inversă este funcţia de corelaţie:
[ ] [ ] [ ] [ ]1 11 12 2Xr k k k kδ δ δ= + + + −
41
Figura 55.1
***
Problema 56. Un proces aleator are densitatea spectrală de putere
( )2
2 4112
j f j fXS f e eπ π− −= + + . Determinaţi secvenţa de autocorelaţie a procesului şi
reprezentaţi-o grafic.
Rezolvare Ştim că 2z z z∗= ⋅ . În consecinţă:
( ) 2 4 2 4
2 2 4 4 2 2
4 2 2 4
1 11 12 2
9 1 1 1 1 4 2 2 2 29 1 3 3 1 4 2 2 2 2
j f j f j f j fX
j f j f j f j f j f j f
j f j f j f j f
S f e e e e
e e e e e e
e e e e
π π π π
π π π π π π
π π π π
− −
− − −
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + + + + + +
= + + + +
Luând transformarea Fourier inversă în timp discret, obţinem:
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )9 1 3 2 2 1 14 2 2Xr k n n n n nδ δ δ δ δ= + + − + + −
42
Figura 56.1
***
Problema 57. O sinusoidă definită în timp continuu are ca fază iniţială o v.a. ( ) ( ) ( ) ( )0,2 , cos 2 , ,X t ft fπ πΘ = + Θ ∈ −∞ ∞∼ U (se măsoară în Hz). Determinaţi
funcţiile mediei şi autocorelaţiei procesului ( )X t .
Rezolvare Avem:
( ) ( )1 , 0, 22
pθ θ θ ππ
= ∈
( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )
( )
2
02
02 2
0 0
21 1cos 2 sin 202 2
1cos 2 cos 22
1 1 1 cos2 cos 2 2 2 cos24 4 2
0X
X
t E X t ft d ft
R E X t X t ft f t d
f d f t d f
= = + = +
= + = + + +⎡ ⎤⎣ ⎦
= + + + =⎡ ⎤⎣ ⎦
=∫
∫
∫ ∫
π
π
π π
πμ π θ θ π θ
π π
τ τ π θ π τ θ θπ
π τ θ π τ θ θ π τπ π
***
Problema 58. Un proces aleator continuu are densitatea spectrală de putere
( ) ( ), unde ,f
XS f e f−
= ∈ −∞ ∞ şi se măsoară în Hz. Determinaţi puterea medie a semnalului, în banda 10 Hz 100 Hz÷ .
43
Rezolvare
( )100
10 100 5
10
102
1002 2 9,08 10 90,8f f
medP e d f e e e W W− − − − −== = − ⋅ =∫ μ
***
Problema 59. Un SLIT având funcţia de transfer ( ) 1 21z z z− −= − −H filtrează un
zgomot alb în timp discret, cu media nulă şi dispersia 2Uσ . Determinaţi secvenţa de
autocorelaţie şi densitatea spectrală de putere pentru semnalul discret de la ieşirea sistemului. Reprezentaţi grafic [ ]Xr k şi ( )XS f .
Rezolvare
Figura 59.1
[ ]U n fiind zgomot alb, are autocorelaţia [ ] [ ]2
U Ur k kσ δ= şi PSD ( ) 2U US f σ= .
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )( ) ( )
22 2 4 2
2 4 2 4 2
4 4 2
2
1
1 1
3
3 2cos4 , 0.5, 0.5
j f j fX U U
j f j f j f j fX U
j f j fU
U
S f f S f e e
S f e e e e
e e
f f
π π
π π π π
π π
σ
σ
σ
π σ
− −
− −
−
= = − −
= − − − −
= − −
= − ∈ −
H
Transformata Fourier inversă a PSD este secvenţa de autocorelaţie:
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) 23 2 2X Ur k k k kδ δ δ σ= − + − −
44
Figura 59.2 si 59.3
***
Problema 60. Sinusoida [ ] ( ) [ ]cos 2 0,25 , 0,2X n nπ π= ⋅ ⋅ + Θ Θ ∼ U , se aplică la
intrarea sistemului ( ) 1 21 21z b z b z− −= − −H . Determinaţi 1 2, b b astfel încât sinusoida să
fie rejectată de la ieşirea sistemului.
Rezolvare La 0,25f = (frecvenţă digitală) este necesar să avem ( )2 0,25 0je π ⋅ =H . Deoarece
2je j
π= , impunem condiţia 1 2 1 22
1 11 0 1 0 b b b j bj j
− − = ⇒ + + = şi rezultă 1 0b = , şi
2 1. b = − Sistemul ( ) 21z z−= +H va bloca (rejecta) sinusoida de frecvenţă (digitală) 0,25.
***
45
Problema 61. Un proces aleator [ ]X n , staţionar în sens larg, este definit de ecuaţia cu
diferenţe finite [ ] [ ] [ ] [ ]0.5 1 0.5 1X n X n U n U n= − + − − , [ ]U n fiind un zgomot alb de
medie nulă şi dispersie 2Uσ . Determinaţi secvenţa de autocorelaţie şi densitatea spectrală
de putere a procesului [ ]X n .
Rezolvare Dacă se aplică transformarea Z ecuaţiei cu diferenţe finite obţinem:
( ) ( ) ( ) ( )1 10.5 0.5X z X z z z z zU U− −= ⋅ − ⋅+ ,
de unde:
( ) ( )( ) [ ] [ ]
( ) ( )
1
1
2 2
1 0.5 1; 1 0.5
1 si deci , un zgomot alb.X U
X z zz X n U nU z z
f S f
−
−−
= = = =−
= = σ
H
H
Prin transformare Fourier inversă obţinem autocorelaţia procesului:
[ ] [ ]2X Ur k kσ δ= .
***
Problema 62. La ieşirea unui SLIT se generează procesul [ ] [ ] [ ]1X n U n U n= − − .
Procesul [ ]U n are densitatea spectrală de putere ( ) ( )1 cos 2 , 0.5,0.5US f f fπ= − ∈ − .
Determinaţi secvenţa de autocorelaţie şi densitatea spectrală de putere a procesului [ ]X n . Rezolvare
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
1 1
22 2 2
22 2 2
2
2
1
1 cos2 1 1
2 2 2cos2
2 1 cos2 1 cos2 2 1 cos2
1 cos42 1 2cos2 cos 2 2 1 cos22
3 4cos2 c
j f j f j fU
j f j f j f
X
X
X
X zX z U z z U z z z
U z
S f f e e e
e e e f
S f f f f
fS f f f f
S f f
− −
−
−
= − = = −
= − = − −
= − + = −
= − − = −
+⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
= − +
π π π
π π π
π
π
π π π
ππ π π
π
H
H
H
os4 fπ
Dar, PSD se poate pune sub forma:
46
( ) [ ]cos 2X Xk
S f r k fkπ∞
=−∞= ∑
şi, prin identificare, obţinem:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]4 10 3; 1 1 2; 2 22 2X X X X Xr r r r r= = − = − = − = − =
restul valorilor fiind nule. Se poate deci scrie:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 12 2 1 3 2 1 22 2Xr k n n n n nδ δ δ δ δ= + − + + − − + −
***
Problema 63. Un proces aleator care are densitatea spectrală de putere
( ) 22
1
1 0.5X j f
S fe−
=− π
, trebuie filtrat cu un SLIT, pentru a produce un proces aleator
[ ]Y n de tip zgomot alb, cu dispersia 2 4Yσ = . Determinaţi ecuaţia cu diferenţe finite pentru filtrul cerut.
Rezolvare
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
22 2
2222
2 22 2
2 2 2 2
2 2 2
1
1 0.5
1 0.5
1 0.5 1 0.5
1 0.5
4
4
4
4
2 2
j fY X Y
j fj f
j f j f
j f j f j f j f
j f j f j f
S f e S f
ee
e e
e e e e
e e e
−
−
− −
− −
= =
=−
= −
= − −
= − = −
=π
ππ
π π
π π π π
π π π
σH
H
H
H H
H
Rezultă că funcţia de transfer ( )zH a sistemului este:
( ) ( )( )
12 Y zz z
X z−= − =H
se determină acum ecuaţia cu diferenţe finite:
( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]
1
1 1
22
Y z X z z X z
Y n X n z X n
−
−
= −
= − −
***
47
Problema 64. Un SLIT în timp continuu are funcţia pondere ( ) , 00, 0e
h−⎧ ≥
= ⎨<⎩
τ ττ
τ. La
intrarea sistemului se aplică un zgomot alb, de medie nulă şi având dispersia 0 2N . Determinaţi densitatea spectrală de putere de la ieşirea sistemului, ( )YS f . Schiţaţi
( )YS f .
Rezolvare
Zgomot de la intrare fiind alb, funcţia sa de autocorelaţie este ( ) ( )02X
Nr τ δ τ= , şi deci:
( ) ( ) ( )0 02 2X X
N Nr S f= =↔τ δ τ
F
Exponenţiala cauzală are spectrul:
( )
( ) ( )
1, 00, 0
1 , , masurata în Hz.1 2
u
e u fj f
−
≥⎧= ⎨ <⎩
∈ −∞ ∞+
↔τ
ττ
τ
τπ
F
aşa că:
( )( )
( ) ( ) ( )( )
02 2
2 21 2;
1 2 1 2Y X
N
H f S f H f S fj f f
= = =+ +π π
Figura 64.1
***
48
Problema 65. Un SLIT în timp continuu are răspunsul la impuls ( )1, 00, in rest
t Th t
< <⎧= ⎨⎩
.
La intrarea sa se aplică un zgomot alb cu dispersia 0 2N . Determinaţi şi schiţaţi densitatea spectrală de putere a procesului de ieşire ( )Y t . Rezolvare
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
2 2
22 2
222 0
2 2
sin 2 sin22 ; 2
sin
sin adica 2
X X
Tj f j fT
Y X Y
N Nr S f
Tf fTh t u t u t T e T e ff fT
fTH f TfT
N T fTS f H f S f S ffT
− −
= =
= − − ↔ = ∈
=
= =
↔
π π
τ δ τ
π ππ π
ππ
ππ
F
F
Figura 65.1
***
Problema 66. Un circuit RC trece jos, are răspunsul în frecvenţă:
( )1
; 1 2
RCH f fj f
RCπ
= ∈+
49
şi filtrează un zgomot alb având funcţia de autocorelaţie ( ) ( )02X
Nr τ δ τ= . Determinaţi
puterea totală a procesului Y , de la ieşirea filtrului.
Rezolvare Densitatea spectrală de putere a zgomotului alb de la intrarea sistemului este:
( ) 0 2XS f N=
Răspunsul în frecvenţă al sistemului fiind:
( ) ( )00
0 0
2 1 1; , ,2 2 1 2
fH f f f
f j f j f f RCπ
π π π= = = ∈ −∞ ∞
+ +
se determină densitatea spectrală de putere a procesului de la ieşirea filtrului:
( )( )
02
0
121
YN
S ff f
=+
Puterea totală a procesului de la ieşire rezultă integrând PSD:
( )0 0 0 0 0
2 20
0 0 0 0 0 0 0
1 1 v arctgv2 2 21 v1
2
2 2 2 2 4 4
YN N f N f
P df df f
N f N f N f NRC
π ππ π
∞ ∞
−∞ −∞
∞= = =
−∞++
⎛ ⎞= + = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
***
