ROMÂNIAMinisterulEducaţieişiCercetăriiŞtiinţificeLiceulTeoretic„Iulia Zamfirescu” Mioveni

___________________________________________________________________________

Concursul Judeţean de Matematică-Informatică„In memoriam Ion Cojocaru” – secţiunea Matematică

clasa a VI-a7 mai 2016

Varianta 1

Partea I: 50 puncte (pe foaia de concurs se trec numai răspunsurile)

1.Numǎrul fracțiilor subunitare de forma x 63 y , unde numǎrul x6 este pǎtrat perfect și 3 y

este numǎr prim, este egal cu:A) 4 B) 6 C) 3 D) 12. Raportul dintre mǎsura suplementului complementului unui unghi și mǎsura

complementului jumǎtǎții aceluiași unghi este egal cu 43 . Mǎsura unghiului este egalǎ cu:

A) 900 B) 180 C) 240 D) 360

3. Cȃte numere naturale n au proprietatea cǎnumǎrul3 n+6n−2 este natural ?

A) 10 B) 8 C) 12 D) 64. Se știe cǎ numerele ȋntregi x și y sunt soluții ale ecuației xy−3 y+2 x=17 . Valoarea absolutǎ a sumei x + y este egalǎ cu:A) 11 sau 12 B) 12 sau 14 C) 13 D) 11 sau 13 5. Prețul unui obiect s-a redus cu 10%, apoi s-a majorat cu 20%. Dacǎ prețul s-a modificat cu 36 lei, fațǎ de cel inițial, atunci prețul obiectului dupǎ reducere a fost:A) 405 lei B) 450 lei C) 324 lei D) 360 lei6.Fie punctele A, B, C, D, coliniare în această ordine. Se știe că AC = 299 + 449 şi că două treimi din lungimea segmentului [BD] sunt egale cu 450 – 299. Dacǎ M, N sunt mijloacele segmentelor [AD] , respectiv [BC], atunci distanța dintre punctele M și N este egalǎ cu:A) 1 B) 2 C) 0 D)249

7. Se considerǎ cel mai mare numǎr rațional pozitiv de forma2x 133 xy cu proprietatea cǎ

3∨2 x 13 și 4∨3 xy . Suma cifrelor x și y este egalǎ cu:A) 11 B) 9 C) 15 D) 13 8. Ȋntr-un triunghi ∆ ABC ,semidreptele¿ sunt bisectoarele unghiurilor ∢BAC, respectiv ∢ ACB. Dacǎ m (∢ AIC )=1100, atunci m (∢ ABC ) este egalǎ cu:A) 550 B) 400 C) 1400 D) 700

9. Numǎrul rațional x pentru care numǎrul99−97+95−93+91−89+…+7−5+3−1

3 x+2 este

egal cu 1 este:

A) 232 B)

973 C)

983 D) 16

10.Dacǎab=21950−21949

21949+21949 , atunci numǎrul rațional x din proporția 3(x+1)

5=230 ∙ a

414 ∙ b este egal

cu:

A) 93 B)

73 C)

133 D)

23

SUCCES!

Partea a II-a: 40 puncte ( pe foaia de concurs se trec rezolvările complete)

1. (20p) a) Sǎ se determine numǎrul natural scris ȋn baza zece, de formaxyz știind cǎ

x+3 y4

= y+z2

=3 z+x3

b) Dacǎ14 a−33 b2+63 c=0 , unde a ,b , c∈N ¿, sǎ se arate cǎ 77 | b(a - c) .

2. (20p) Fie ∢ AOB,∢BOC ,∢COA trei unghiuri ȋn jurul unui punct O, cu mǎsurile direct

proporționale cu primele trei numere naturale prime impare.

Fie punctele E , F∈∫ (∢BOC ) astfel ȋncȃt unghiurile ∢BOE,∢EOF ,∢FOC sǎ

aibǎ interioarele disjuncte douǎ cȃte douǎ și m(∢BOE) ,m(∢EOF ) ,m(∢FOC) sǎ fie direct

proporționale cu trei numere naturale pare consecutive nenule. Dacǎ m(∢BOE)m(∢FOC )

=0 ,(6) , sǎ

se calculeze mǎsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ∢ AOB și ∢FOC .

NOTĂ:Toate subiectele sunt obligatorii.Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.

Se acordǎ 10 puncte din oficiu.

ROMÂNIAMinisterulEducaţieişiCercetăriiŞtiinţificeLiceulTeoretic„Iulia Zamfirescu” Mioveni

___________________________________________________________________________

Concursul Judeţean de Matematică-Informatică„In memoriam Ion Cojocaru” – secţiunea Matematică

clasa a VI-a7 mai 2016

BAREM (Varianta 1)Partea I (Fiecare răspuns corect valorează 5 puncte. Răspunsul greşit are 0 puncte)

1. C; 2. B; 3. D; 4. D; 5. A; 6. C; 7. A; 8. B; 9. D; 10. B

Partea a II-a1. (20p)a) Folosește proprietatea fundamentalǎ a unei proporții ( pentru cele douǎ proporții din șir) și obține 2x+ 6y= 4y + 4z și 3y + 3z = 6z + 2x ............................................................... 2p

Din cele douǎ egalitǎți gǎsește x=3 z5 ................................................................. 2p

Pune condiția x=3 z5∈N , de unde z ⋮ 5, și, cum z este cifrǎ, deduce z ∈ {0 ,5 }........... 2p

Studiazǎ cazul z = 0, de unde x + y = 0 și x = y = 0, ceea ce nu convine (x≠ 0) ............ 2pȊn cazul z = 5, ȋnlocuiește și obține x = 3 și y = 7, numǎrul cerut fiind 375 ...................... 2pb) Scrie 33 b2=7 (2a+9 c ) .............................................................................................2pDe aici 33b2 ⋮ 7⟹b2 ⋮ 7⟹b ⋮ 7 (altfel, numǎrul b poate avea una dintre formele 7k+1, 7k+2, ..., 7k+6 și pǎtratele lor nu sunt divizibile cu 7) ⟹b=7 p , p∈N ¿ ........................ 3pScrie egalitatea datǎ ȋn forma 14a−33b2−14c+77 c=0 , de unde 14 (a−c )=11( 3b2−7 c ) .................................................................................................. 2pCum numerele 14 și 11 sunt prime ȋntre ele și 14 (a−c ) ⋮ 11⟹ (a−c ) ⋮ 11⟹a−c=11mm∈N ¿ ................................................................................................................................... 2pObține concluzia astfel: b(a - c) = 7p∙11m = 77pm⋮ 77 ..........................................................1p2. (20p)

Scrie m(∢AOB)3

=m(∢BOC )5

=m(∢COA )7

..................................................................................... 1pCalculeazǎ și obține m (∢ AOB )=720 ,m (∢BOC )=1200 ,m (∢COA )=1680 ............... 3p

Scrie m(∢EOB)a

=m(∢EOF )a+2

=m(∢COF )a+4

, a∈N¿

....................................................................... 2pAplicǎpropietatea șirului de rapoarte egale

m(∢EOB)a

=m(∢EOF )

a+2=

m(∢COF )a+4

=m (∢EOB )+m (∢EOF )+m(∢COF )

a+a+2+a+4= 1200

3 (a+2) =

400

a+2 ................... 3p

Obține m (∢BOE )=40 aa+2

,m (∢EOF )=400 ,m (∢FOC )=40(a+4)a+2

.................... 2p

Din ipoteza m(∢BOE)m(∢FOC )

=0 ,(6) obține proporția a

a+4=2

3 , de unde a = 8 .............. 2p

Determinǎm (∢BOE )=320 , m (∢FOC )=480 ............................................. 1p

Fie [OM bisectoarea unghiului ∢ AOB⟹m (∢AOM )=m (∢MOB )=m (∢AOB )2

=360 ...2p

[ON bisectoarea unghiului ∢FOC⟹m (∢FON )=m (∢NOC )=m (∢FOC )2

=240 ......... 2p

m (∢MON )=m (∢BOM )+m (∢BOE )+m (∢FOE )+m (∢FON )=1320 .................. 2p