Matematica 3˘ · 2020. 5. 4. · ,iile trigonometrice cu init,iala mare,˘ Arcsin,Arccosetc. Dar...
90
Matematic˘ a3 Notit , e de seminar A M Curs: Luminit , a Costache 4 mai 2020
Transcript of Matematica 3˘ · 2020. 5. 4. · ,iile trigonometrice cu init,iala mare,˘ Arcsin,Arccosetc. Dar...
Matematica 3Notit,e de seminar
Adrian ManeaCurs: Luminit, a Costache
4 mai 2020
Cuprins
1 Numere s, i funct, ii complexe — recapitulare 31.1 Numere complexe – Not, iuni de baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Funct, ii complexe elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Funct, ii olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Integrale complexe 92.1 Teorema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Teorema reziduurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Aplicat, ii ale teoremei reziduurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Serii Laurent s, i reziduuri 193.1 Serii de puteri. Serii Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Singularitat, i s, i reziduuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Transformata Laplace s, i transformata Z 274.1 Transformata Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1 De�nit, ii s, i proprietat, i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.2 Tabel de transformate Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1.4 Aplicat, ii ale transformatei Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.5 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.6 Formula de inversare Mellin-Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Transformata Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Transformarea Fourier 435.1 Elemente teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Aplicat, ii la ecuat, ii integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Spat, ii de probabilitate 486.1 Not, iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.1 Calcul ”clasic“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.2 Probabilitat, i geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7 Scheme clasice de probabilitate 567.1 Schema lui Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2 Schema lui Bernoulli (binomiala) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.3 Schema multinomiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.4 Schema geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.5 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8 Variabile aleatoare 608.1 Cazul discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.2 Exemple de repartit, ii discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.2.1 Repartit, ia binomiala (Bernoulli) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.2.2 Repartit, ia geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.2.3 Repartit, ia binomial negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2.4 Repartit, ia hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2.5 Repartit, ia Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.3 Cazul continuu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.4 Repartit, ii absolut continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.4.1 Repartit, ia normala (gaussiana) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.4.2 Repartit, ia uniforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.4.3 Repartit, ia exponent, iala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.4.4 Repartit, ia Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.4.5 Repartit, ia Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.5 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9 Vectori aleatori bidimensionali 759.1 Repartit, ii condit, ionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.2 Variabile aleatoare independente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.3 Caracteristici numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10 S, iruri de variabile aleatoare 8310.1 Exercit, ii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.2 Exercit, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1
Index 88
2
SEMINAR 1
NUMERE S, I FUNCT, II COMPLEXE — RECAPITULARE
1.1 Numere complexe – Not, iuni de bazaIncepem cu cıteva not, iuni esent, iale s, i recapitulative privitoare la mult, imea numerelor complexe.Amintim de�nit, ia:
ℂ = {a + bi ∣ a, b ∈ ℝ, i2 = −1},precum s, i faptul ca avem, ın general, s, irul de incluziuni:
ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ.
Dat un numar complex z = a + bi, se numes, te partea reala, notata Re(z), numarul real a, iarpartea imaginara, notata Im(z), numarul real b.
De asemenea, conjugatul numarului complex z de mai sus este z = z∗ = a − bi, iar modululnumarului complex z este |z| =
√a2 + b2.
Exista mai multe forme de reprezentare a numerelor complexe:
• forma algebrica, data mai sus, z = a + bi, a, b ∈ ℝ;
• forma trigonometrica, z = r(cos � + i sin �), unde r = |z|, iar � = Arg(z) se numes, te argu-mentul principal;
• forma polara, z = rei� = r exp(i�), unde r s, i � au ınt, elesul din forma trigonometrica;
• forma geometrica, ın care z = a+bi reprezinta a�xul punctului din planA(a, b). Pentru acestcaz, ment, ionam ca |z| =
√a2 + b2 reprezinta lungimea vectorului de pozit, ie al punctului A,
iar � reprezinta unghiul pe care ıl face acest vector de pozit, ie cu axa OX , masurat ın senstrigonometric.
3
Operat, iile cu numere complexe se fac ın modul uzual, t, inınd seama de proprietatea i2 = −1.Mai amintim formula lui Moivre, utila ın special atunci cınd numarul complex a fost scris subforma trigonometrica. Fie, as, adar, numerele complexe:
z1 = r1(cos �1 + i sin �1), z2 = r2(cos �2 + i sin �2).
Atunci ınmult, irea acestora se face cu formula:
z1 ⋅ z2 = r1r2 (cos(�1 + �2) + i sin(�1 + �2)) ,
formula care se generalizeaza us, or ın forma:
zn = rn(cos(n�) + i sin(n�)), ∀n.
Tot folosind numere complexe, putem reprezenta s, i curbe:
• Cercul centrat ın punctul de a�x z0 s, i de raza R are ecuat, ia:
|z − z0| = r ;
• Elipsa cu focarele ın punctele de a�xe z0 s, i w0, iar axa mare are lungimea d are ecuat, ia:
|z − z0| + |z − w0| = d.
Amintim s, i formele canonice ale ecuat, iilor acestor conice:
• Cercul centrat ın (x0, y0) s, i de raza R are ecuat, ia:
(x − x0)2 + (y − y0)2 = R2;
• Elipsa de semiaxe a, b are ecuat, ia:x2a2 +
y2b2 = 1.
Tot din punct de vedere geometric, mai amintim s, i ca distant, a ıntre doua puncte A(z) s, i B(w)este AB = |z − w |.
1.2 Funct, ii complexe elementareCea mai simpla funct, ie complexa este funct, ia exponent, iala, de�nita prin:
exp ∶ ℂ → ℂ, exp z = ez = ∑n≥0
znn! .
Se observa imediat ca au loc proprietat, ile as, teptate:
4
• exp(0) = 1;
• exp(z1 + z2) = exp(z1) ⋅ exp(z2), ∀z1,2 ∈ ℂ;
• exp(iy) = cos y + i sin y, ∀y ∈ ℝ (formula lui Euler).
Mai departe, putem calcula simplu logaritmul complex, daca numarul complex a fost adus ınforma polara. Fie, as, adar, z = rei� . Rezulta:
ln z = ln r + i�.
In general, cum argumentul unui numar complex nu este unic (� de mai sus reprezinta argu-mentul principal, dar � + 2k� este argumentul general), spunem ca funct, ia logaritm este multi-forma, deoarece valoarea ei generala este:
Lnz = {ln |z| + i(Argz + 2k� ) ∣ k ∈ ℤ},
iar ln z se numes, te valoarea principala a logaritmului.Funct, ia putere se de�nes, te acum simplu pornind de la formula:
ab = exp (b ln a) .
Rezulta:zm = exp (m ln z) = exp (m(ln |z| + iArgz)) ,
folosind valoarea principala.Similar se de�nes, te s, i puterea rat, ionala, adica funct, ia radical:
n√z = z 1n = exp(
1n ln z) .
Folosind funct, iile exponent, iale s, i identitatea lui Euler, putem de�ni s, i funct, ii trigonometricecomplexe:
cos z = exp(iz) + exp(−iz)2sin z = exp(iz) − exp(−iz)2itan z = −i exp(iz) − exp(−iz)exp(iz) + exp(−iz)
5
Mai avem nevoie s, i de funct, iile trigonometrice hiperbolice:
sinh z = exp(z) − exp(−z)2cosh z = exp(z) + exp(−z)2tanh z = sinh z
cosh zs, i au loc legaturile:
sinh z = −i sin(iz), cosh z = cos(iz).Funct, iile trigonometrice inverse se pot obt, ine din rezolvarea unor ecuat, ii trigonometrice1:
w = arcsinz⇒ z = sinw ⇒ z = exp(iw) − exp(−iw)2i ⇔ exp(2iw) − 2iz exp(iw) − 1 = 0,
care se rezolva (pentru w) ca o ecuat, ie de gradul al doilea s, i se obt, ine:
w = arcsinz = −i ln(iz ±√1 − z2)
s, i se procedeaza similar pentru arccos s, i arctan.
1.3 Funct, ii olomorfeFie o funct, ie complexa oarecare f ∶ A → ℂ, cu A ⊆ ℂ. Pentru orice z ∈ A ⊆ ℂ, deoarece z areo parte reala s, i o parte imaginara, s, i imaginea sa prin f se poate separa. Deci, ın general, oricefunct, ie complexa f ca mai sus poate � scrisa sub forma
f = P + iQ, P, Q ∶ ℝ2 → ℝ.
Rezulta ca not, iunile de limita, continuitate, derivabilitate pot � puse pe componente.
De�nitie 1.1: O funct, ie complexa f ∶ ℂ → ℂ se numes, te olomorfa daca este derivabila ın oricepunct din domeniul de de�nit, ie.
Nu intram ın detalii, deoarece nu vom rezolva exercit, ii cu derivate complexe.Vor � foarte importante, ınsa, rezultatele:
Teorema 1.1: Funct, ie f ∶ ℂ → ℂ, f = P+iQ este olomorfa daca P, Q ∶ ℝ2 → ℝ sunt diferent, iabile,iar derivatele lor part, iale veri�ca condit, iile Cauchy-Riemann, adica:
)P)x = )Q
)y ,)Q)x = −)P)y .
1Pentru corectitudine, ar trebui sa notam funct, iile trigonometrice cu init, iala mare, Arcsin,Arccos etc. Dar vomfolosi de �ecare data doar valoarea principala, astfel ca, prin abuz de notat, ie, folosim scrierea din cazul real. Insatrebuie ret, inut ca majoritatea funct, iilor complexe sınt multiforme, i.e. pot avea mai multe valori!
6
Observatie 1.1: Pentru simplitate, vom mai nota derivatele part, iale cu indici, adica, de exemplu:
)f)x
not.== fx
s, i similar fy , fxx , fxy , fyx etc.
Corola 1.1: Daca funct, ia complexa f = P + iQ este olomorfa, atunci P s, i Q sınt armonice, adica:
ΔP = Pxx + Pyy = ΔQ = Qxx + Qyy = 0.
Atent, ie, ınsa, la formularea rezultatului: condit, ia de olomor�e este necesara, ın niciun cazsu�cienta! Negarea corolarului de mai sus este:
Corola 1.2: Daca una dintre funct, iile P sau Q nu este armonica, atunci funct, ie f = P + iQ nu poate� olomorfa.
1.4 Exercit, ii1. Veri�cat, i daca funct, ia de mai jos este olomorfa:
f ∶ ℂ → ℂ, f (z) = z2 + exp(iz).
Indicat, ie: Se separa partea reala s, i partea imaginara a funct, iei s, i se veri�ca condit, iile Cauchy-Riemann s, i faptul ca cele doua componente sınt armonice.
2. Fie P (x, y) = e3x cos 2y + y2 − x2. Determinat, i funct, ia olomorfa f = P + iQ astfel ıncıtf (0) = 1.
Indicat, ie: Veri�cam dacaΔP = 0 (condit, ie necesara!). Apoi, prin integrarea condit, iilor Cauchy-Riemann, se obt, ine componenta Q. In �nal, f (z) = e2z − z2 + ki, k ∈ ℂ s, i folosind condit, ia dinenunt, , obt, inem k = 0.
3. Rezolvat, i ecuat, iile:
(a) expw = −2i;
(b) z3 + 2 − 2i = 0;
(c) sin z = 2.
4. Calculat, i:
(a) sin(1 + i);
(b) sinh(1 − i);
7
(c) ln i;(d) ln(1 − i);(e) (1 + i)20;(f) 5√1 − i;(g) arcsin(i√3);(h) arccos(i√3);(i) tan(1 − i).
5. Determinat, i funct, ia olomorfa f (z) = P (x, y) + iQ(x, y), pentru:(a) P (x, y) = x2 − y2 − 2y, s, tiind ca f (0) = 1;(b) P (x, y) = x4 − 6x2y2 + y4, s, tiind ca f (1) = 1;(c) P (x, y) = (x cos y − y sin y)ex .
6. Scriet, i sub forma trigonometrica s, i polara numerele complexe:(a) z = 3 − i;(b) z = 3 + i;(c) z = i;(d) z = 1;(e) z = 1 + 2i;(f) z = 2 + i.
7. Gasit, i forma canonica s, i ecuat, ia complexa pentru:(a) Cercul centrat ın (0, 1) s, i cu raza 2;(b) Cercul centrat ın (1, 0) s, i cu raza 1;(c) Cercul centrat ın (1, 2) s, i cu raza 1;(d) Elipsa cu focarele ın (−1, 0) s, i (3, 0) s, i cu axa mare de lungime 6;
(e) Elipsa cu focarele ın (0, 1) s, i (0, −2) s, i cu axa mare de lungime 5.Reprezentat, i gra�c �ecare dintre cazurile de mai sus.
8. Fie punctele A(1 + 2i) s, i B(−1), iar M , mijlocul segmentului [AB]. Calculat, i distant, a de lapunctul M la punctul N , de a�x −2 + 3i. Reprezentare gra�ca.
8
SEMINAR 2
INTEGRALE COMPLEXE
2.1 Teorema lui CauchyIn multe situat, ii, putem calcula integralele complexe direct, ıntr-o maniera asemanatoare cu
integralele curbilinii. Un exemplu simplu:
I1 = ∫|z|=1
z|dz|.
Folosind forma polara, z = eit , deoarece integrala se face pe |z| = 1, iar t ∈ [0, 2�]. Rezultadz = ieitdt , deci |dz| = dt . Atunci:
I1 = ∫2�
0eitdt = 1i e
it |||2�
0= 0.
Un alt exemplu:I2 = ∫
Sz|dz|,
unde S este segmentul care unes, te pe 0 s, i i. Putem parametriza acest segment: S ∶ z = ti, t ∈ [0, 1],deci dz = idt s, i din nou |dz| = dt . Rezulta:
I2 = ∫1
0tidt = 12 .
Dar ın unele situat, ii, putem calcula chiar mai us, or:
Teorema 2.1 (Cauchy): Fie D ⊆ ℂ un domeniu simplu conex s, i f ∶ D → ℂ o funct, ie olomorfa peD, cu P = Ref s, i Q = Imf , funct, ii de clasa C1(D).
9
Fie ∶ [a, b] → D o curba ınchisa s, i jordaniana (fara autointersect, ii) de clasa C1 pe port, iuni,astfel ıncıt Int sa veri�ce condit, iile formulei Green-Riemann.
Atunci ∫ f (z)dz = 0.
Acesta este un caz simplu ın care calculul se termina imediat cu rezultat nul.In exercit, ii, vom folosi adesea urmatoarea:
Teorema 2.2 (Formula integrala Cauchy): Fie D ⊆ ℂ un domeniu s, i f ∶ D → ℂ o funct, ie olomorfape D. Fie Δ ⊆ D, unde Δ este un domeniu simplu conex, marginit, cu frontiera , care este o curbaınchisa, jordaniana, de clasa C1 pe port, iuni, orientata pozitiv.
Atunci pentru orice a ∈ Δ �xat are loc:
f (a) = 12�i ∫
f (z)z − adz.
Principala aplicat, ie a acestei teoreme este sa ne ajute sa calculam integrale pe domenii ıninteriorul carora funct, ia pe care o integram are probleme. Un exemplu:
∫|z−2i|=1
1z2 + 4dz.
Observam ca z = 2i este un punct cu probleme pentru funct, ia considerata s, i aplicam formulaintegrala Cauchy.
Putem rescrie integrala astfel, izolınd punctul cu probleme:
∫|z−2i|=1
1z2 + 4dz = ∫
|z−2i|=1
1z+2iz − 2i dz =
f (z)z − 2i dz,
unde am introdus exact funct, ia cu probleme, adica f (z) = 1z + 2i .
Aplicam formula integrala Cauchy s, i obt, inem:
f (2i) = 12�i ∫|z−2i|=1
f (z)z − 2i dz ⇒ ∫
|z−2i|=1
f (z)z − 2i dz = 2�if (2i) =
�2 .
Vor exista situat, ii cınd punctul izolat nu poate � eliminat atıt de us, or (sau chiar deloc), cazuriın care vom aplica un rezultat fundamental, teorema reziduurilor.
2.2 Exercit, ii
1. Calculat, i integrala ∫Γz2dz, unde:
10
(a) Γ = [−1, i] ∪ [i, 1];(b) Γ = {z(t) = 2 + it2 ∣ 0 ≤ t ≤ 1};
(c) Γ = {z(t) = t + i cos �t2 ∣ −1 ≤ t ≤ 1};
(d) Γ = OA, cu O(0, 0) s, i A(2, 1).Indicat, ii: Se parametrizeaza drumurile s, i se calculeaza ca ın exemplele de mai sus.
2. Folosind teorema Cauchy sau formula integrala Cauchy, calculat, i:
(a) ∫|z−1|=3
z4dz;
(b) ∫|z|=4
cos zz2 − 6z + 5dz;
(c) ∫|z|=1
sin zz(z − 2)dz;
(d) ∫Γ
exp(z2)z2 − 6z dz, unde Γ ∶ |z − 2| = r , r ∈ {1, 3, 5};
(e) ∫|z|=1
exp(3z)z4 dz;
(f) ∫|z−i|=1
1(z2 + 1)2dz;
(g) ∫|z|=1
sin zz2(z − 2)dz.
Indicat, ii: Ideea de baza este sa identi�cam punctele cu probleme ale funct, iilor de integrat ıninteriorul domeniilor pe care integram, apoi sa descompunem integrandul cu o funct, ie careia i sepoate aplica teorema Cauchy.
(a) funct, ia z4 este olomorfa, deci integrala este nula;
(b) avem cos z(z − 1)(z − 5) , dar singurul punct cu probleme din interiorul domeniului este z1 = 1.
De�nim f (z) = cos zz − 5 , iar integrala devine ∫|z|=4
f (z)z − 1dz, care se calculeaza cu formula Cauchy.
(c) pentru r = 1, funct, ia este olomorfa, deci integrala este nula. Pentru r = 3, z = 0 este punct cu
probleme, deci de�nim f (z) = exp(z2)
z − 6 .
11
2.3 Teorema reziduurilorSimilar cu orice funct, ie reala, s, i funct, iile complexe pot � dezvoltate ın serii de puteri. In cazulcomplex, seriile se numesc serii Laurent s, i pot cont, ine s, i puteri negative.
Informal, punctele cu probleme care ne intereseaza se numesc poli sau puncte singulare. Ordi-nul unui pol z = a este multiplicitatea algebrica a radacinii z = a ın dezvoltarea ın serie Laurenta funct, iei f . In particular, avem poli simpli, dubli etc.
De�nitie 2.1: Fie f ∶ ℂ → ℂ o funct, ie complexa s, i dezvoltarea sa ın serie Laurent ın jurul unuipunct z0 ∈ ℂ:
f (z) = ∑n∈ℤ
an(z − z0)n, an ∈ ℝ.
Se numes, te reziduul funct, iei f ın punctul singular z0 coe�cientul a−1 din dezvoltarea de maisus, notat Rez(f , z0).
Urmatoarea teorema ne da metode de calcul al reziduurilor, ın funct, ie de multiplicitatea lor:
Teorema 2.3 (Calculul reziduurilor): (1) Rez(f , a) = c−1, unde c−1 este coe�cientul lui1
z − a ındezvoltarea ın serie Laurent a funct, iei f ın vecinatatea singularitat, ii z = a.
(2) Daca z = a este pol de ordinul p ≥ 2 pentru f , atunci:
Rez(f , a) = 1(p − 1)! limz→a [(z − a)
pf (z)](p−1)
;
(3) Daca z = a este pol simplu pentru f , atunci, particularizınd formula de mai sus, avem:
Rez(f , a) = limz→a
(z − a)f (z);
(4) Daca f se poate scrie ca un cıt de funct, ii, f =AB , olomorfe ın jurul lui a s, i daca z = a este pol
simplu pentru f , adica B(a) = 0, atunci:
Rez(f , a) = limz→a
A(z)B′(z) .
Rezultatul esent, ial al acestei sect, iuni ne arata ca, daca integram o funct, ie cu probleme, valoa-rea integralei este data ın mod esent, ial de reziduurile sale:
Teorema 2.4 (Teorema reziduurilor): Fie D ⊆ ℂ un domeniu s, i f ∶ D − {�1,… , �k}→ ℂ o funct, ieolomorfa pentru care �i sınt poli.
Fie K ⊆ D un compact cu frontiera Γ = )K , o curba de clasa C1, jordaniana, orientata pozitiv s, icare cont, ine toate �i ın interior. Atunci:
∫Γf (z)dz = 2�i
k∑j=1Rez(f , �j).
12
De exemplu, sa calculam integrala:
I = ∫|z|=r
ez(z − i)(z − 2)dz, r > 0, r ≠ 1, 2.
Solut, ie: Daca 0 < r < 1, putem aplica teorema lui Cauchy (2.1) s, i gasim I = 0.Daca 1 < r < 2, aplicam formula integrala a lui Cauchy (2.2) s, i gasim:
∫|z|=r
ez(z − i)(z − 2)dz = ∫
|z|=r
ezz−2z − i dz = ∫
|z|=r
f (z)z − i dz,
unde f (z) = ezz − 2 . Rezulta:
∫|z|=r
f (z)z − i dz = 2�if (i) = 2�i
eii − 2 .
Daca r > 2, aplicam teorema reziduurilor, cu i s, i 2 poli simpli. Avem:
Rez(f , i) = limz→i
(z − i) ez(z − i)(z − 2) =
eii − 2
Rez(f , 2) = limz→2
ez(z − i)(z − 2) =
e22 − i .
Rezulta, din teorema reziduurilor:
∫|z|=r
ez(z − i)(z − 2)dz = 2�i(
eii − 2 +
e22 − i).
2.4 Exercit, ii1. Calculat, i reziduurile funct, iilor ın punctele a indicate:
(a) f (z) =exp (z2)z − 1 , a = 1;
(b) f (z) =exp (z2)(z − 1)2 , a = 1;
(c) f (z) = z + 2z2 − 2z , a = 0;
(d) f (z) = 1 + ez
z4 , a = 0;
13
(e) f (z) = sin z4z2 , a = 0;
(f) f (z) = z1 − cos z , a = 0.
Indicat, ie: Veri�cam multiplicitatea polului z = a s, i aplicam formula corespunzatoare dinteorema 2.3.
2. Sa se calculeze urmatoarele integrale:
(a) I = ∫|z|=2
dzz2 − 1 ;
(b) I = ∫
dzz4 + 1 , ∶ x
2 + y2 − 2x = 0;
(c) I = ∫|z|=3
z2 + 1(z − 1)2(z + 2)dz.
Solut, ie: (a) Punctele z = ±1 sınt poli de ordinul 1 pentru funct, ia f (z) =1
z2 − 1 . Ele sınt situateın interiorul discului pe care integram, cu |z| = 2, deci putem aplica teorema reziduurilor:
I = 2�i ⋅ (Rez(f , z1) + Rez(f , z2)).
Calculam separat reziduurile:
Rez(f , z1) = limz→1(z − 1) ⋅ 1
z2 − 1 =12
Rez(f , z2) = limz→−1
(z + 1) ⋅ 1z2 − 1 = −
12 .
Rezulta:I = ∫
|z|=2
dzz2 − 1 = 2�i ⋅ (
12 −
12) = 0.
(b) Curba este un cerc centrat ın (1, 0) s, i cu raza 1. Cautam polii funct, iei f (z) = 1z4 + 1 care
se a�a ın interiorul lui .Avem succesiv:
z4 + 1 = 0⇒ z4 = −1 = cos � + i sin � ⇒z = 4√cos � + i sin � ⇒
zk = cos� + 2k�
4 + i sin � + 2k�4 , k = 0, 1, 2, 3.
14
Doar punctele z0, z3 se a�a ın interiorul discului delimitat de s, i calculam reziduurile ın acestepuncte.
Putem aplica formula din Teorema 2.3 (4) s, i avem:
Rez(f , z0) =A(z)B′(z)
|||z0 =14z3
|||z0 = −14e
�i4
Rez(f , z3) =A(z)B′(z)
|||z3 =14z3
|||z3 = −14e
7�i4 .
Rezulta:I = ∫
dzz4 + 1 = 2�i( −
14e
�i4 − 14e
7�i4 ) = −
�√2i2 .
(c) Avem doi poli, z = 1, z = −2 ın interiorul conturului. Se vede ca z1 = 1 este pol de ordinul2, iar z2 = −2 este pol de ordinul 1. Calculam reziduurile:
Rez(f , z1) =12! limz→1 [(z − 1)
2 z2 + 1(z − 1)2(z + 2)]
= 12! limz→1
z2 + 4z − 1(z + 2)2
= 29Rez(f , z2) = lim
z→−2(z + 2) z2 + 1
(z − 1)2(z + 2) =59 .
Rezulta:I = ∫
|z|=3
z2 + 1(z − 1)2(z + 2)dz =
149 �i.
3. Sa se calculeze integralele:
(a) ∫|z|=1
dzsin z ;
(b) ∫|z|=1
ezz2dz;
(c) ∫|z|=5
ze 3z dz;
15
(d) ∫|z−1|=1
dz(z + 1)(z − 1)3 ;
(e) ∫|z|=1
sin zz4 dz.
Indicat, ii: (a) z = 0 este singurul pol din interiorul domeniului;(b), (c): Dezvoltam ın serie Laurent s, i identi�cam reziduurile folosind de�nit, ia.(d) Avem z = 1 pol de ordin 3 s, i z = −1 pol simplu. Doar z = 1 se a�a ın interiorul domeniului
s, i dezvoltam ın serie Laurent dupa puterile lui z − 1:1
z + 1 =1
2 − (−(z − 1))= 12
11 − ( − z−1
2 )
= 12∑n≥0(−1)n (z − 1)
n
2n
= ∑n≥0(−1)n (z − 1)
n
2n+1 ,
pentru |z − 1| < 2.Rezulta:
1(z + 1)(z − 1)3 = ∑
n≥0(−1)n (z − 1)
n−3
2n+1 = 12(z − 1)3 −
14(z − 1)2 +
18(z − 1) −
116 + … ,
deci Rez(f , 1) = 18 .
2.5 Aplicat, ii ale teoremei reziduurilorPutem folosi teorema reziduurilor pentru a calcula integrale trigonometrice de forma:
I = ∫2�
0R(cos �, sin �)d�,
unde R este o funct, ie rat, ionala.Facem schimbarea de variabila z = ei� s, i atunci, pentru � ∈ [0, 2�], z descrie cercul |z| = 1, o
data, ın sens direct.Folosim formulele lui Euler:
cos � = ei� + e−i�2 = 12(z +
1z)
sin � = ei� − e−i�2i = 1
2i(z −1z).
16
Atunci, daca z = ei� , rezulta dz = iei� d� = izd� , iar integrala devine:1
I = ∫2�
0R(cos �, sin �)d� = ∮
|z|=1R1(z)dz,
unde:R1(z) =
1iz R(
z2 + 12z , z
2 − 12iz ).
Aceasta funct, ie poate avea poli s, i deci putem folosi teorema reziduurilor. Daca a1,… , an sıntpolii din interiorul cercului unitate, avem:
I1 = 2�i∑k≥1
Rez(R1, ak).
Sa vedem cıteva exemple:
(a) ∫2 �
0
d�2 + cos � ;
(b) ∫2 �
0
d�1 + 3 cos2 � ;
(c) ∫2�
0
sin �1 + i sin � d� ;
(d) ∫2�
0
d�1 + a sin � , |a| < 1, a ∈ ℝ.
Solut, ie:(a) Notam z = ei� , cu � ∈ [0, 2�]. Atunci avem succesiv:
dz = iei�d� = izdz ⇒ d� = dziz
cos � = ei� + e−i�2 = 12(z +
1z)
12 + cos � =
2zz2 + 4z + 1
∫2�
0
d�2 + cos � = ∮
|z|=1
2zz2 + 4z + 1
dziz
= −2i∮|z|=1
dzz2 + 4z + 1 .
1∮ marcheaza o integrala pe un contur ınchis
17
Acum folosim teorema reziduurilor. Singularitat, ile funct, iei f (z) = 1z2 + 4z + 1 sınt z = −2±√3 ,
care sınt poli simpli. Numai z = −2 + √3 se a�a ın interiorul cercului |z| = 1 s, i calculam reziduulfolosind Teorema 2.3(2).
18
SEMINAR 3
SERII LAURENT S, I REZIDUURI
3.1 Serii de puteri. Serii LaurentNot, iunile privitoare la scrierea funct, iilor cu ajutorul seriilor de puteri, ıntılnite ın cazul real prinserii Taylor, se pot generaliza s, i ın cazul complex. Situat, ia este ceva mai problematica ın acestcaz, deoarece argumentele sınt obiecte bidimensionale. In orice caz, multe dintre not, iunile dincazul real pot � preluate aproape fara modi�care s, i ın cazul complex.
De�nitie 3.1: O serie de forma ∑n≥0
an(z − z0)n, cu z ∈ ℂ oarecare, z0 ∈ ℂ �xat s, i an ∈ ℂ coe�cient, i,
pentru orice n ∈ ℕ, se numes, te serie de puteri centrata ın z0.
Ca ın cazul real, se poate calcula raza de convergent, a a seriilor de puteri cu una dintre formu-lele:
R = 1limn→∞
n√|an|
= limn→∞
||||anan+1
||||.
Atunci, deoarece lucram ın planul complex, se de�nes, te discul de convergent, a al seriei prin:
B(z0, R) = {z ∈ ℂ ∣ |z − z0| < R}.
S, tim, de asemenea, ca:
• seria este absolut convergenta pe |z − z0| < R;
• seria este divergenta pe |z − z0| > R;
• seria este uniform convergenta pe |z − z0| ≤ �, pentru orice � < R,
19
iar pe frontiera discului trebuie testat separat.In interiorul discului de convergent, a, suma seriei este o funct, ie olomorfa S(z) s, i au sens re-
zultate de forma derivarii sau integrarii termen cu termen.
De�nitie 3.2: O funct, ie f ∶ A → ℂ se numes, te analitica daca poate � dezvoltata ıntr-o serie deputeri complexa cu discul de convergent, a inclus ın A.
Daca acesta este cazul, avem formula cunoscuta:
f (z) = ∑n≥0
f (n)(z0)n! (z − z0)n.
Are loc rezultatul important:
Teorema 3.1 (Weierstrass-Riemann-Cauchy): O funct, ie complexa de�nita pe o mult, ime deschisaeste analitica daca s, i numai daca este olomorfa.
Deducem de aici ca, daca domeniul de de�nit, ie A al funct, iei complexe studiate, f ∶ A → ℂ,este o mult, ime deschisa, atunci olomor�a (pe care o veri�cam cu condit, iile Cauchy-Riemann,de exemplu) este echivalenta cu analiticitatea, veri�cata cu ajutorul seriilor de puteri. Rezultaimplicit ca orice funct, ie olomorfa de�nita pe un deschis poate � dezvoltata ın serie de puteri.
Dar pentru cazul complex, avem s, i serii ceva mai complicate:
De�nitie 3.3: O serie de puteri de forma ∑n∈ℤ
an(z − z0)n, cu an, z, z0 ∈ ℂ se numes, te serie Laurent
centrata ın punctul z0 ∈ ℂ.
O serie Laurent este convergenta daca s, i numai daca atıt partea pozitiva an > 0, cıt s, i parteanegativa, an ≤ 0 sınt simultan convergente.
Partea pozitiva se numes, te partea Taylor, iar partea negativa se numes, te partea principala.Pentru cazul Taylor, seriile uzuale pentru funct, iile elementare, ımpreuna cu domeniile de
20
convergent, a, sınt date mai jos. In toate cazurile, x ∈ ℝ se poate ınlocui cu z ∈ ℂ.
ex = ∑n≥0
1n!x
n, x ∈ ℝ
11 − x = ∑
n≥0xn, |x | < 1
11 + x = ∑
n≥0(−1)nxn, |x | < 1
cos x = ∑n≥0
(−1)n(2n)! x
2n, x ∈ ℝ
sin x = ∑n≥0
(−1)n(2n + 1)!x
2n+1, x ∈ ℝ
(1 + x)� = ∑n≥0
�(� − 1)(� − 2)⋯ (� − n + 1)n! xn, |x | < 1, � ∈ ℝ
arctan x = ∑n≥0
(−1)n2n + 1x
2n+1, |x | ≤ 1.
Seriile pentru alte funct, ii se pot obt, ine �e prin calcul direct, �e prin substitut, ii, �e prin derivaresau integrare termen cu termen a seriilor de mai sus.
3.2 Singularitat, i s, i reziduuriIn cazul funct, iilor reale, domeniul de de�nit, ie trebuie ales atent astfel ıncıt sa evitam ”punctelecu probleme“. Exemplele tipice sınt cele ın care se anuleaza numitorul unei fract, ii, cınd aparlogaritmi sau radicali etc. Pentru funct, ii reale, cel mult putem calcula asimptote verticale ın acele
”puncte cu probleme“. Dar ın cazul complex, distinct, ia se face mult mai �n.
De�nitie 3.4: Fie A ⊆ ℂ o mult, ime deschisa nevida s, i f ∶ A → ℂ o funct, ie complexa, olomorfape A. Fie un punct z0 ∈ ℂ.
Punctul z0 se numes, te punct singular izolat (singularitate izolata) pentru f daca exista un disccentrat ın z0, de forma B(z0, r), cu r ≠ 0, astfel ıncıt, daca eliminam centrul discului, funct, ia esteolomorfa pe B(z0, r) ⧵ {z0}.
Amintim ca, daca funct, ia este olomorfa pe discul punctat (i.e. discul B(z0, r), din care am scoscentrul), atunci ea are o dezvoltare ın serie Laurent, conform teoremei Weierstrass-Riemann-Cauchy.
De�nitie 3.5: In condit, iile s, i cu notat, iile din de�nit, ia anterioara, punctul z0 ∈ ℂ se numes, te punctsingular izolat (singularitate izolata) daca seria Laurent asociata funct, iei f are partea principalanula, adica este o serie Taylor.
21
De�nitie 3.6: In condit, iile s, i cu notat, iile din de�nit, ia anterioara, punctul z0 ∈ ℂ se numes, tepol daca ın seria Laurent asociata funct, iei f exista un numar �nit de termeni nenuli ın parteaprincipala. Indicele ultimului termen nenul m (ın sensul ca |m| este cel mai mare, iar m < 0) senumes, te ordinul polului.
De�nitie 3.7: In condit, iile s, i cu notat, iile din de�nit, ia anterioara, punctul z0 ∈ ℂ se numes, tepunct singular esent, ial (singularitate esent, iala) daca ın partea principala a seriei Laurent asociatafunct, iei f exista o in�nitate de termeni nenuli.
Idee intuitiva: Singularitat, ile, ın general, sınt ”puncte cu probleme“. Chiar s, i ın cazul realexista aceasta not, iune, ıntılnita ın analiza. De exemplu, un punct unghiular sau de ıntoarcere alunei funct, ii reale se numes, te singularitate. Alt exemplu la ındemına: gaurile negre sınt inter-pretate ın cosmologie (ramura �zicii teoretice care utilizeaza geometria pentru studiul ”formei“Universului) ca singularitat, i ale spat, iu-timpului. Dar, din fericire, ın majoritatea cazurilor, sin-gularitat, ile �e pot � ”ignorate“ sau ”eliminate“ i.e. se poate extrage informat, ia de baza s, i dindomeniul din care ele au fost scoase. Amintit, i-va, de exemplu, ca ın analiza de liceu exista o teo-rema care a�rma ca daca se scoate un numar numarabil de puncte din gra�cul unei funct, ii, integralasa de�nita nu se schimba.
Similar este s, i cazul singularitat, ilor din analiza complexa: toate, cu except, ia celor esent, iale,pot � ”eliminate“, adica se poate extrage informat, ie foarte importanta despre comportamentulfunct, iilor s, i ın lipsa lor (sau, uneori, chiar numai din ele, ca ın cazul reziduurilor, precum vomvedea).
Polii vor � elementul central de studiu mai departe. Pentru ei, mai avem o caracterizare utila:
Propozitie 3.1: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, punctul z0 ∈ ℂ este pol pentru funct, ia f dacas, i numai daca lim
z→z0f (z) = ∞.
Exemplu: Putem vedea foarte simplu acest lucru pentru funct, ia f (z) =z
z − 1 . Atunci z = 1este pol simplu, deoarece lim
z→1f (z) = ∞ s, i mai mult, putem scrie dezvoltarea ın serie Laurent a
funct, iei f ın jurul lui z = 1, sub forma:
f (z) = 1 + z − 1z − 1 = 1z − 1 + 1,
care are partea principala 1z − 1 , cu un singur termen (care da ordinul polului).
Propozitie 3.2: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, punctul z0 ∈ ℂ este singularitate esent, ialadaca s, i numai daca nu exista lim
z→z0f (z).
Ajungem la o alta not, iune esent, iala:
22
De�nitie 3.8: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, �e z0 o singularitate izolata a funct, iei f .Coe�cientul a−1 din seria Laurent a funct, iei f ın coroana B(z0; 0, r) se numes, te reziduul funct, ieiın z0 s, i se noteaza Rez(f , z0).
Observatie 3.1: In multe situat, ii, reziduurile se pot calcula simplu cu teorema 2.3, dar uneorisıntem obligat, i sa folosim de�nit, ia, pentru ca limitele complexe se calculeaza mult mai di�cildecıt ın cazul real.
Un exemplu este urmatorul: consideram funct, ia f (z) =1
z sin z2 . Vrem sa calculam Rez(f , 0).Evident, acest punct este pol, deoarece lim
z→0f (z) = ∞, dar orice formula am folosi din teorema 2.3,
nedeterminarea nu este eliminata. Astfel ca sıntem obligat, i sa folosim de�nit, ia, cu ajutorul serieiLaurent.
Ca ın cazul seriei Taylor pentru funct, ia sinus, avem:
sin z = z1! −
z33! +
z55! − …
⇒ z sin z2 = z ⋅(z21! −
z63! +
z105! − …)
= z3(1 −z43! +
z85! − …) .
Atunci, inversınd, obt, inem funct, ia scrisa sub forma:
f (z) = z−3 ⋅(1 −z43! +
z85! − …)
−1.
Vrem sa inversam seria din paranteza (admitem fara demonstrat, ie ca acest lucru este posibil),pentru ca ın �nal, sa putem scrie toata funct, ia ca o serie de puteri (ın forma actuala nu este as, aceva!). As, adar, cautam o serie de forma ∑ anzn, cu n ∈ ℕ, astfel ıncıt:
(1 −z43! +
z85! − …) ⋅ (a0 + a1z + a2z2 + … ) = 1.
Prin identi�carea coe�cient, ilor, rezulta a0 = 1, a2 = 0. Facınd acum ınmult, irea, avem:
f (z) = 1z3 ∑n≥0
anzn =a0z3 +
a1z2 +
a2z + a3 + … .
Partea principala a seriei are 3 termeni nenuli, deci z = 0 este pol triplu (intuitiv, simplu pentru zs, i dublu pentru sin z2), deci rezulta Rez(f , 0) = a2 = 0.
23
3.3 Exercit, ii1. Sa se determine discul de convergent, a pentru seriile:
(a) ∑n≥0
(2n)!(n!)2 (z − 3i)
n;
(b) ∑n≥0
an2zn, |a| < 1;
(c) ∑n≥0
cos in2n zn;
(d) ∑n≥1
exp(in)n2 (z − 1)n.
Indicat, ie: Se foloses, te formula pentru raza de convergent, a.
2. Determinat, i dezvoltarea ın serie Taylor sau Laurent pentru funct, iile urmatoare, ın jurulpunctelor indicate z0:
(a) f (z) = cos2 z, z0 = 0;
(b) f (z) = z + 3z2 − 8z + 15 , z0 = 4;
(c) f (z) = sin 11 − z , z0 = 1;
(d) f (z) = 2z2 + 9z + 5z3 + z2 − 8z − 12 , z0 = 1;
(e) f (z) = z − 1z − 2 , z0 = i;
(f) f (z) = 1z2 − 3z + 2 , pe domeniile |z| < 1, 1 < |z| < 2 s, i |z| > 2.
Indicat, ie: Se pot folosi seriile uzuale, cu anumite substitut, ii, dar atent, ie la domeniile de convergent, a,precum s, i la eventualii poli ai funct, iilor. A se vedea exemplul rezolvat de mai jos.
3. Determinat, i punctele singulare s, i precizat, i natura lor pentru funct, iile:
(a) f (z) = z5(z2 + 1)2 ;
(b) f (z) = z3 exp(−3z);
24
(c) f (z) = sin 1z ;
(d) f (z) = tan z;
(e) f (z) = sin 2zz6 ;
(f) f (z) = 6z + 1z − 3 ;
(g) f (z) = 1z2 sin z ;
Indicat, ie: Dupa identi�carea ”punctelor cu probleme“, se cerceteaza existent, a limitei catrepunctele respective s, i/sau se utilizeaza dezvoltarea ın serie Taylor/Laurent.
4. Calculat, i:
(a) ∫|z|=1
z2 + exp(z)z3 dz;
(b) ∫ z2 exp(
2zz + 1) dz, unde ∶ x2 + y2 + 2x = 0;
(c) ∫|z−1|=3
iz + 1z2 − iz + 2dz.
Indicat, ie: Se foloses, te teorema reziduurilor.
Exemplu rezolvat pentru seria Laurent: Sa se dezvolte funct, ia
f (z) = 2z2 + 3z − 1z3 + z2 − z − 1
ın jurul originii s, i ın jurul punctelor z = ±i.Solut, ie: Numitorul se descompune sub forma (z − 1)(z + 1)2, deci avem un pol simplu z = 1 s, i
un pol dublu z = −1.Putem descompune funct, ia ın fract, ii simple, sub forma:
f (z) = 1z − 1 +
1z + 1 +
1(z + 1)2 .
Primii doi termeni sınt sume de serii geometrice, iar al treilea poate � obt, inut prin derivareaseriei geometrice:
1z + 1 = ∑(−1)nzn ⇒ − 1
(z + 1)2 = ∑(−1)n+1(n + 1)zn,
25
dupa ce am facut trecerea n ↦ n + 1, ıntrucıt seria derivatelor ar � pornit de la n = 1, dat �indtermenul zn−1.
Pe cazuri acum:Pentru |z| < 1: funct, ia este olomorfa, deoarece nu avem niciun pol ın acest disc deschis.
Atunci putem scrie direct seria ca suma a celor trei serii corespunzatoare:
f (z) = −∑n≥0
zn +∑n≥0(−1)nzn +∑
n≥0(−1)n(n + 1)zn = ∑
n≥0zn (−1 + (−1)n + (−1)n(n + 1)) .
In jurul punctului z = −1, unde avem pol, trebuie sa rescriem funct, ia sub forma:
f (z) = 1(z + 1)2 +
1z + 1 −
12 ⋅
11 − z+1
2,
astfel punınd ın evident, a puteri (negative!) ale lui z+1. Primii doi termeni nu necesita prelucrare,iar pentru al treilea, ıntrucıt ne a�am ın domeniul de convergent, a a seriei geometrice, adica |z+1| <2 putem scrie:
11 − z+1
2= ∑
n≥0(z + 12 )
n.
In jurul punctului z = 1, unde avem din nou pol, rescriem funct, ia sub forma:
f (z) = 1z − 1 +
12 ⋅
11 + z−1
2+ 14 ⋅
1(1 + z−1
2 )2 .
Primul termen nu necesita prelucrare, iar pentru al doilea, remarcam ca ne a�am ın interioruldomeniului sau de convergent, a, caci |z − 1| < 2 s, i atunci avem direct suma seriei geometrice:
11 + z−1
2= ∑
n≥0(−1)n (
z − 12 )
n.
Al treilea termen se obt, ine prin derivarea termen cu termen a seriei de mai sus (ca ın cazul dela ınceput) s, i avem:
1(1 + z−1
2 )2 = ∑
n≥0(−1)n (n + 1)(z − 1)
n
2n
s, i ın �ne, funct, ia se obt, ine ca suma a acestor trei serii, adica, dupa calcule:
f (z) = 1z − 1 +∑
n≥0
n + 32n+2 (z − 1)
n.
26
SEMINAR 4
TRANSFORMATA LAPLACE S, I TRANSFORMATA Z
4.1 Transformata Laplace
4.1.1 De�nit, ii s, i proprietat, iTransformata Laplace este o transformare integrala, care se poate aplica unor funct, ii speciale,numite funct, ii original.
De�nitie 4.1: O funct, ie f ∶ ℝ → ℂ se numes, te original daca:
(a) f (t) = 0 pentru orice t < 0;
(b) f este continua (eventual pe port, iuni) pe intervalul [0,∞);
(c) Este marginita de o exponent, iala, adica exista M > 0 s, i s0 ≥ 0 astfel ıncıt:
|f (t)| ≤ Mes0t , ∀t ≥ 0.
Numarul s0 se mai numes, te indicele de cres, tere al funct, iei f .Vom nota cu O mult, imea funct, iilor original.
Pornind cu o funct, ie original, de�nit, ia transformatei Laplace este:
De�nitie 4.2: Pastrınd contextul s, i notat, iile de mai sus, �e f ∈ O s, i mult, imea:
S(s0) = {s ∈ ℂ ∣ Re(s) > s0}.
Funct, ia:F ∶ S(s0)→ ℂ, F (s) = ∫
∞
0f (t)e−stdt
27
se numes, te transformata Laplace a lui f sau imaginea Laplace a originalului f .Vom mai folosi notat, ia F = Lf sau, explicit, Lf (t) = F (s).
Proprietat, ile esent, iale ale transformatei Laplace sınt date mai jos. Fiecare dintre ele va �folosita pentru a calcula o transformata Laplace pentru o funct, ie care nu se regases, te direct ıntr-un tabel de valori.
• Liniaritate: L(�f + �g) = �Lf + �Lg, pentru orice �, � ∈ ℂ, iar f , g funct, ii original;
• Teorema asemanarii:Lf (�t) = 1
� F(s� );
• Teorema deplasarii:L(f (t)es0t) = F (s − s0);
• Teorema ıntırzierii: De�nim ıntırziata cu � a funct, iei f ∈ O prin:
f� (t) ={0, t < �f (t − � ), t ≥ � .
Atunci, daca f (t) = F (s), f� (t) = e−stF (s);
• Teorema derivarii imaginii:
(tnf (t)) = (−1)nF (n)(s);
• Teorema integrarii originalului: Fie f ∈ O,f (t) = F (s) s, i g(t) = ∫t
0f (� )d� . Atunci:
g(t) = 1s F (s);
• Teorema integrarii imaginii: Fief (t) = F (s) s, iG o primitiva a lui F ın S(s0), cuG(∞) = 0.Atunci:
f (t)t = −G(s).
28
4.1.2 Tabel de transformate LaplaceIn tabelul de mai jos, vom considera funct, iile f (t) ca �ind funct, ii original, adica nule pentru
argument negativ. Echivalent, putem gındi f (t) ca �ind, de fapt, ınmult, ite cu funct, ia lui Heaviside:
u(t) ={1, t ≥ 00, t < 0 .
f (t) = −1(F (s)) F (s) = (f (t))u(t) 1
su(t − � ) 1
s e−�s
t 1s2
tn n!sn+1
tne−�t n!(s + �)n+1
e−�t 1s + �
sin(!t) !s2 + !2
cos(!t) ss2 + !2
sinh(�t) �s2 − �2
cosh(�t) ss2 − �2
e−�t sin(!t) !(s + �)2 + !2
e−�t cos(!t) s + �(s + �2) + !2
ln t −1s ( ln s + 1)
1Constanta Euler-Mascheroni, ≃ 0, 577⋯ ∈ ℝ − ℚ
29
4.1.3 Exercit, ii1. Calculat, i transformatele Laplace pentru funct, iile (presupuse original):
(a) f (t) = 1, t ≥ 0;
(b) f (t) = t, t ≥ 0;
(c) f (t) = tn, n ∈ ℕ;
(d) f (t) = eat , t ≥ 0, a ∈ ℝ;
(e) f (t) = sin(at), t ≥ 0, a ∈ ℝ.
Solut, ie: (a) Avem direct din de�nit, ie:
F (s) = ∫∞
0e−stdt = lim
n→∞ ∫n
0e−stdt = 1s , s > 0.
(b) Integram prin part, i s, i obt, inem F (s) = 1s2 .
(c) Facem substitut, ia st = � s, i gasim:
F (s) = ∫∞
0e−st tndt = 1
sn+1 ∫∞
0e−�� nd� = n!
sn+1 ,
pentru s > 0, folosind funct, ia Gamma a lui Euler:
Γ(a) = ∫∞
0xa−1e−xdx, a > 0, Γ(n + 1) = n!, n ∈ ℕ.
(d) F (s) = ∫∞
0eat e−stdt = ∫
∞
0e−(s−a)tdt = 1
s − a , s > a.(e) Integram prin part, i s, i ajungem la:
F (s) = 1a −
s2a2 F (s)⇒ F (s) = a
s2 + a2 , s > 0.
2. Folosind tabelul de valori s, i proprietat, ile, sa se determine transformatele Laplace pentrufunct, iile (presupuse original):
(a) f (t) = 5;
(b) f (t) = 3t + 6t2;
(c) f (t) = e−3t ;
30
(d) f (t) = 5e−3t ;
(e) f (t) = cos(5t);
(f) f (t) = sin(3t);
(g) f (t) = 3(t − 1) + e−t−1;
(h) f (t) = 3t3(t − 1) + e−5t ;
(i) f (t) = 5e−3t cos(5t);
(j) f (t) = e2t sin(3t);
(k) f (t) = te−t cos(4t);
(l) f (t) = t2 sin(3t);
(m) f (t) = t3 cos t .Indicat, ii: In majoritatea cazurilor, se foloses, te tabelul s, i proprietatea de liniaritate. In plus:(i, j) Folosim (eatf (t)) = F (s − a);(k) Folosim (tf (t)) = − dds(f (t));
(l) Folosim (tnf (t)) = (−1)n dnF (s)dsn ;
3. Folosind teorema derivarii imaginii, sa se determine transformatele Laplace pentru funct, iile(presupuse original):
(a) f (t) = t ;
(b) f (t) = t2;
(c) f (t) = t sin t ;
(d) f (t) = tet .Indicat, ie: Conform proprietat, ii de derivare a imaginii, avem:
(tf (t)) = − dds(f (t)).
4. Folosind teorema integrarii originalului, sa se determine transformatele Laplace pentrufunct, iile (presupuse original):
31
(a) f (t) = ∫t
0cos(2� )d� ;
(b) f (t) = ∫t
0e3� cos(2� )d� ;
(c) f (t) = ∫t
0�e−3�d� .
Indicat, ie: Conform proprietat, ii de integrare a originalului, avem:
∫t
0f (� )d� = F (s)
s .
4.1.4 Aplicat, ii ale transformatei LaplacePrincipala aplicat, ie a transformatei Laplace este pentru rezolvarea ecuat, iilor s, i sistemelor diferent, ialede ordinul ıntıi sau superior.
Aceste aplicat, ii se bazeaza pe calculele care se pot obt, ine imediat din de�nit, ia transformateiLaplace s, i a proprietat, ilor sale:
f ′ = sf − f (0)f ′′ = s2f − sf (0) − f ′(0).
De fapt, ın general, avem:
f (n) = snf − sn−1f (0) − sn−2f ′(0) −⋯ − f (n−1)(0).
De asemenea, pentru integrale, s, tim deja teorema integrarii originalului:
∫t
0f (� )d� = 1s F (s), F (s) = f (t).
Rezulta, folosind transformarea inversa:
∫t
0f (� )d� = −1
(1s F (s)).
De exemplu, pentru a rezolva ecuat, ia diferent, iala:
y′′ + ay′ + by = r(t), y(0) = K0, y′(0) = K1,
aplicam transformata Laplace s, i folosim proprietat, ile de mai sus. Fie Y = y(t)Se obt, ine ecuat, ia algebrica:
(s2Y − sy(0) − y′(0)) + a(sY − y(0)) + bY = R(s),
32
unde R(s) = r . Forma echivalenta este:
(s2 + as + b)Y = (s + a)y(0) + y′(0) + R(s).
Impart, im prin s2 + as + b s, i folosim formula:
Q(s) = 1s2 + as + b =
1(s + 1
2a)2 + b − 14a2
,
de unde rezulta:Y (s) = ((s + a)y(0) + y′(0))Q(s) + R(s)Q(s).
In forma aceasta, descompunem Y (s) ın fract, ii simple, daca este nevoie s, i folosim tabelul detransformate Laplace, pentru a a�a y = −1(Y ).
De exemplu:y′′ − y = t, y(0) = 1, y′(0) = 1.
Solut, ie: Aplicam transformata Laplace s, i ajungem la ecuat, ia:
s2Y − sy(0) − y′(0) − Y = 1s2
(s2 − 1)Y = s + 1 + 1s2 .
Rezulta Q = 1s2 − 1 s, i ecuat, ia devine:
Y = (s + 1)Q + 1s2Q
= s + 1s2 − 1 +
1s2(s2 − 1)
= 1s − 1 + (
1s2 − 1 −
1s2)
Folosind tabelul s, i proprietat, ile transformatei Laplace, obt, inem solut, ia:
y(t) = −1Y
= −1(1s−1) +
−1(
1s2 − 1) −
−1(1s2)
= et + sinh t − t.
33
4.1.5 Exercit, ii1. Sa se rezolve urmatoarele probleme Cauchy, folosind transformata Laplace:
(a) y′(t) + 2y(t) = 4t, y(0) = 1 ;
(b) y′(t) + y(t) = sin 4t, y(0) = 0;
(c) y′′(t) + 2y′(t) + 5y(t) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0;
(d) 2y′′(t) − 6y′(t) + 4y(t) = 3e3t , y(0) = 1, y′(0) = −1;
(e) y′′(t) − 2y(t) + y(t) = et , y(0) = −2, y′(0) = −3;
(f) y′′(t) + 4y(t) = 3 cos2(t), y(0) = 1, y′(0) = 2.
2. Sa se rezolve urmatoarele sisteme diferent, iale:
(a)
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x ′ + x + 4y = 10x − y′ − y = 0x(0) = 4, y(0) = 3
(b)
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x ′ + x − y = ety′ + y − x = etx(0) = 1, y(0) = 1
(c)
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x ′ + 2y′ + x − y = 5 sin t2x ′ + 3y′ + x − y = etx(0) = 2, y(0) = 1
Indicat, ie: Aplicam transformata Laplace �ecarei ecuat, ii s, i notam x(t) = X (s) s, i y(t) =Y (s). Apoi rezolvam sistemul algebric obt, inut cu necunoscutele X s, i Y , carora la �nal le aplicamtransformata Laplace inversa.
4.1.6 Formula de inversare Mellin-FourierIn cazul simplu, daca se da o imagine Laplace s, i vrem sa recuperam funct, ia original, putem pur s, isimplu sa citim tabelul de transformate de la stınga la dreapta, eventual dupa prelucrarea imaginiiLaplace, precum am vazut ın exemplele de mai sus. Dar avem nevoie s, i de o metoda care safunct, ioneze pe cazul general. Mai precis, avem nevoie de o metoda de a inversa transformateleLaplace. Aceasta metoda este data de formula de inversare Mellin-Fourier, pe care o prezentammai jos ıntr-o varianta simpli�cata, mai potrivita pentru aplicat, ii.
34
Teorema 4.1 (Mellin-Fourier): Fie f o funct, ie original, F = f .Atunci are loc egalitatea:
f (t) =n∑k=1
Rez (F (p)ept , pk) .
Deoarece avem mai multe moduri particulare de a calcula reziduurile, distingem s, i aici douacalcule speciale:
• Daca p1, p2,… , pr sınt poli de ordin n1, n2,… , nr , atunci formula de inversare se mai scrie:
f (t) =r
∑k=1
1(nk − 1)!
⋅ limp→pk
dnk−1dpnk−1 [F (p)(p − pk)
nkept] ;
• Daca imaginea Laplace se poate scrie F (p) = A(p)B(p) , undeA s, i B sınt polinoame cu coe�cient, i
reali, astfel ıncıt grad(A) < gradB, atunci formula de inversare devine:
f (t) = ∑kRez(
A(p)B(p) e
pt , pk) +∑k2Re(Rez(
A(p)B(p) e
pt , pk)) ,
unde prima suma se calculeaza pentru polii reali, iar cea de-a doua, pentru polii complecs, icu partea imaginara pozitiva.
Exemplu: Determinat, i funct, ia original corespunzatoare imaginii Laplace:
F (p) = 3p − 4p2 − p − 6 .
Solut, ie: Observam ca avem p1 = 3, p2 = −2 poli simpli. Atunci rezulta:
f (t) = Rez(3p − 4
p2 − p − 6ept , 3) + Rez(
3p − 4p2 − p − 6e
pt , −2) .
Cum ambii sınt poli simpli, reziduurile se calculeaza folosind formula din teorma 2.3(3) s, i seobt, ine ın �nal f (t) = e3t + 2e−2t .
Observatie 4.1: Aceasta problema, ca s, i altele, pot � rezolvate s, i fara formula de inversare. Tre-buie doar atent, ie s, i su�cient exercit, iu astfel ıncıt, ın afara de citirea ”invers“ a tabelului de trans-formate Laplace, sa putem folosi s, i teoreme de tip ıntırziere, derivarea originalului etc. De exem-plu, exercit, iul de mai sus putea ıncepe cu descompunerea ın fract, ii simple:
3p − 4p2 − p − 6 =
Ap − 3 +
Bp + 2 .
Se determina A s, i B, apoi se foloses, te tabelul de transformate.
35
4.2 Transformata ZAceasta transformata se de�nes, te pe un caz discret, pornind de la:
De�nitie 4.3: Se numes, te semnal discret o funct, ie x ∶ ℤ → ℂ data de n ↦ xn sau, echivalent,x(n) ori x[n].
Mult, imea semnalelor discrete se va nota cu Sd , iar cele cu suport pozitiv (nule pentru n < 0se va nota S+d .
Un semnal particular este impulsul unitar discret la momentul k, de�nit prin:
�k(n) ={1, n = k0 n ≠ k ,
de�nit pentru k ∈ ℤ �xat.Pentru k = 0, vom nota �0 = � .
De�nitie 4.4: Fie x ∈ Sd s, i k ∈ ℤ �xat. Semnalul y = (xn−k) se numes, te ıntırziatul lui x cu kmomente.
O operat, ie foarte importanta, pe care se vor baza unele proprietat, i esent, iale ale transformateiZ este convolut, ia:
De�nitie 4.5: Fie x, y ∈ Sd . Daca seria ∑k∈ℤ
xn−kyk este convergenta pentru orice n ∈ ℤ s, i are suma
zn, atunci semnalul z = (zn) se numes, te convolut, ia semnalelor x s, i y s, i se noteaza z = x ∗ y .
Trei proprietat, i imediate sınt:
• x ∗ y = y ∗ x ;
• x ∗ � = x ;
• (x ∗ �k)(n) = xn−k .
Ajungem acum la de�nit, ia principala:
De�nitie 4.6: Fie s ∈ Sd , cu s = (an)n. Se numes, te transformata Z sau transformata Laplacediscreta a acestui semnal funct, ia de�nita prin:
Ls(z) = Zs(z) = ∑n∈ℤ
anz−n,
care se de�nes, te ın domeniul de convergent, a al seriei Laurent din de�nit, ie.
Principalele proprietat, i pe care le vom folosi ın calcule sınt:
36
(1) Inversarea transformarii Z : Fie s ∈ S+d , cu s = (an). Presupunem ca Zs(z) este olomorfa ındomeniul |z| ∈ (r , R). Atunci putem recupera semnalul an prin formula:
an =12�i ∫
zn−1Zs(z)dz, n ∈ ℤ,
unde este discul de raza � ∈ (r , R).
(2) Teorema de convolut, ie: Fie s, t ∈ S+d . Atunci s ∗ t = S+d s, i are loc Ls∗t = Ls ⋅ Lt . In particular:
Ls∗�k (z) = z−kLs(z), k ∈ ℤ;
(3) Prima teorema de ıntırziere: Pentru n ∈ ℕ∗:
Ls(zt−n) = z−nLs(f );
(4) A doua teorema de ıntırziere (teorema de deplasare):
Ls(zt+n) = zn ⋅ (Ls(z) −n−1∑t=0
ztz−t), n ∈ ℕ∗.
Cıteva transformate uzuale sınt:
s Ls{ℎn = 0, n < 0ℎn = 1, n ≥ 0
zz − 1
�k , k ∈ ℤ 1zk
s = (n)n∈ℕz
(z − 1)2
s = (n2)n∈ℕz(z + 1)(z − 1)3
s = (an)n∈ℕ, a ∈ ℂ zz − a
s = (ean)n∈ℕ, a ∈ ℝ zz − ea
s = (sin(!n))n∈ℕ, ! ∈ ℝ z sin!z2 − 2z cos! + 1
s = (cos(!n))n∈ℕ, ! ∈ ℝ z(z − cos!)z2 − 2z cos! + 1
37
4.2.1 Exercit, ii1. Sa se determine semnalul x ∈ S+d , a carui transformata Z este data de:
(a) s(z) =z
(z − 3)2 ;
(b) s(z) =z
(z − 1)(z2 + 1) ;
(c) s(z) =z
(z − 1)2(z2 + z − 6) ;
(d) s(z) =z
z2 + 2az + 2a2 , a > 0 parametru.
Solut, ie:(a) Avem:
xn =12�i ∫|z|=�
zn−1s(z)dz
= Rez(zn−1s(z), 3)
= Rez(zn
(z − 3)2 , 3)
= limz→3((z − 3)
2 ⋅ zn(z − 3)2)
′
= limz→3
nzn−1
= n3n−1.
(b)
xn =12�i ∫|z|=�
zn−1s(z)dz
= Rez(zn−1s(z), 1) + Rez(zn−1s(z), i) + Rez(zn−1s(z), −i)
Rez(zn−1s(z), 1) = limz→1zn−1 z
(z − 1)(z2 + 1) ⋅ (z − 1) =12
Rez(zn−1s(z), i) =in
2i ⋅ (i − 1)Rez(zn−1s(z), −i) =
(−1)nin2i(i + 1) .
Remarcam ca pentru n = 4k s, i n = 4k + 1, avem xn = 0, iar ın celelalte doua cazuri, xn = 1.
38
(c)
Rez(zn−1s(z), 1) = limz→1 [zn−1 ⋅ (z − 1)2 ⋅ z2
(z − 1)2 ⋅ (z2 + z − 6)]′
= −4n + 316 .
Rez(zn−1s(z), 2) =2n5
Rez(zn−1s(z), −3) = −(−3)n80 .
Obt, inem xn = −4n + 316 + 2
n
5 − (−3)n
80 .
(d) z1,2 = a(−1 ± i) sınt poli simpli. Avem:
xn = Rez(zn
(z2 + 2a + 2a2) , z1) + Rez(zn
(z2 + 2a + 2a2) , z2)
= an(−1 + i)n2z1 + 2a
+ an(−1 − i)n2z1 + 2a
= − i2a (z
n1 − zn2 ).
Putem scrie trigonometric numerele z1 s, i z2:
z1 = a(−1 + i) = a√2( cos
3�4 + i sin 3�4 )
z2 = a(−1 − i) = a√2( cos
3�4 − i sin 3�4 ).
Deci: xn = 2n2 an−1 sin 3n�4 .
2. Fie x = (xn) ∈ S+d s, i y = (yn), unde yn = x0 +⋯ + xn. Sa se arate ca Y (z) = zz − 1X (z).
Solut, ie:
Avem Y (z) =∞∑n=0
ynz−n. Dar:
X (z) =∞∑n=0
xnz−n s, i∞∑n=0
xn−1zn =1zX (z),
deoarece x−1 = 0. Putem continua s, i obt, inem∞∑n=0
xn−kz−n =1zkX (z). As, adar:
Y (z) = X (z) ⋅ (1 +1z +
1z2 + …) = X (z) ⋅
zz − 1 .
39
3. Cu ajutorul transformarii Z , sa se determine s, irurile (xn) de�nite prin urmatoarele relat, ii:
(a) x0 = 0, x1 = 1, xn+2 = xn+1 + xn, n ∈ ℕ (s, irul lui Fibonacci);
(b) x0 = 0, x1 = 1, xn+2 = xn+1 − xn, n ∈ ℕ;
(c) x0 = x1 = 0, x2 = −1, x3 = 0, xn+4 + 2xn+3 + 3xn+2 + 2xn+1 + xn = 0, n ∈ ℕ;
(d) x0 = 2, xn+1 + 3xn = 1, n ∈ ℤ;
(e) x0 = 0, x1 = 1, xn+2 − 4xn+1 + 3xn = (n + 1)4n, n ∈ ℕ.
Solut, ie:Abordarea generala este sa consideram s, irul (xn) ca �ind restrict, ia unui semnal x ∈ S+d la ℕ s, i
rescriem relat, iile de recurent, a sub forma unor ecuat, ii de convolut, ie a ∗ x = y, pe care le rezolvamın S+d .
(a) Fie x ∈ S+d , astfel ıncıt restrict, ia lui la ℕ sa �e s, irul cautat. Deoarece avem:
xn+2 − xn+1 − xn = yn, n ∈ ℤ,cu yn = 0 pentru n ≠ −1 s, i y−1 = 1, avem ecuat, ia de convolut, ie:
a ∗ x = y, unde a = �−2 + �−1 + �, y = �−1.Aplicam transformata Z s, i rezulta:
sx(z)(z2 − z − 1) = z ⟹ xn =1√5[(
1 +√52 )
n− (
1 −√52 )
n
].
(b) Ca ın cazul anterior, avem a ∗ x = y , cu a = �−2−�−1+� , unde y = �−1. Aplicınd transformataZ , obt, inem:
sx(z)(z2 − z + 1) = z ⟹ sx(z) =z
z2 − z + 1 .Obt, inem:
xn = Rez(zn−1 z
z2 − z + 1 ,1 + i√3
2 ) + Rez(zn−1 z
z2 − z + 1 ,1 − i√3
2 ).
Calculam reziduurile, cu notat, ia " =1 + i√3
2 s, i " =1 − i√3
2 :
Rez(zn
z2 − z + 1 , ") = limz→"zn
z2 − z + 1(z − ")
= "ni√3
= cos2n�3 + i sin 2n�
3i√3 .
40
Similar:Rez(
znz2 − z + 1 , ") =
cos 2n�3 − i sin 2n�3
−i√3 .
Rezulta:xn =
2√3 sin2n�3 , n ∈ ℕ.
(c) Ecuat, ia a ∗ x = y este valabila pentru:
a = �−4 + 2�−3 + 3�−2 + 2�−1 + �, y = −�−2 − 2�−1.
Aplicam transformata Z s, i obt, inem: sx(z) = −z(z + 2)
(z2 + z + 1)2 . Descompunem ın fract, ii simple,calculam reziduurile s, i t, inem cont de faptul ca radacinile numitorului, "1, "2 sınt poli de ordinul2, obt, inem:
xn =(2n − 4)("n1 − "n2 ) − (n + 1)("n−11 + "n−21 − "n−12 − "n−22 )
("2 − "1)3= 2(n − 1)√3 sin 2n�3 , n ∈ ℕ.
(d) Ecuat, ia corespunzatoare este a ∗ x = y, cu a = �−1+3� s, i yn = 1, ∀n ≥ 1, iar y−1 = x0+3x−1 =2, cu yn = 0, ∀n ≤ −2, adica y = 1 + 2�−1.
As, adar:�−1 ∗ x + 3� ∗ x = 1 + 2�−1.
Aplicam transformata Z s, i obt, inem:
zsx(z) + 3sx(z) =z
z − 1 + 2z
= 2z2 + 3zz − 1
⟹ sx(z) =2z2 + 3z
(z − 1)(z + 3)
⟹ xn = Rez(zn−1 ⋅2z2 + 3z
(z − 1)(z + 3) , 1) + Rez(zn−1 ⋅ 2z2 + 3z
(z − 1)(z + 3) , −3)
Rez(zn−1 ⋅ 2z2 + 3z(z − 1)(z + 3) , 1) = limz→1
(z − 1) ⋅ zn−1 ⋅ 2z2 + 3z(z − 1)(z + 3) =
54
Rez(zn−1 ⋅ 2z2 + 3z(z − 1)(z + 3) , −3) = lim
z→−3(z + 3)zn−1 ⋅ 2z2 + 3z
(z − 1)(z + 3)= (−3)n−1 ⋅ 12−4 = −3 ⋅ (−3)
n−1.
Rezulta: xn =54 − 3 ⋅ (−3)
n−1.
41
(e) Avem ecuat, ia: a ∗ x = y , unde a = �−2 − 4�−1 + 3� , cu yn = 0, ∀n ≤ −2, y−1 = 1 s, iyn = (n + 1)4n, ∀n ∈ ℕ.
Fie s1 = (n4n)n, s2 = (4n)n. Atunci:
ss1(z) = −zss′2(z) = −z(z
z − 4)′ = 4z
(z − 4)2
⟹ sx(z)(z2 − 4z + 3) =4z
(z − 4)2 +z
z − 4 + z
= z2(z − 4)2 + z
⟹ sx(z) =z(z2 − 7z + 16)
(z − 4)2(z − 1)(z − 3) .
Descompunem ın fract, ii simple s, i obt, inem, ın �ne:
xn =19[18 ⋅ 3
n + (3n − 13)4n − 5], n ∈ ℕ.
OBSERVAT, IE: Toate exercit, iile cu recurent, e se mai pot rezolva ın alte doua moduri:(1) Se poate aplica teorema de convolut, ie relat, iei de recurent, a. De exemplu, din recurent, a:
xn+2 − 2xn+1 + xn = 2
putem obt, ine:Z (xn+2) − 2Z (xn+1) + Z (xn) = 2Z (1),
iar Z (xn+2) = Z (xn ∗ �−2) = Z (xn) ⋅ Z (�−2) etc.(2) Se poate aplica teorema de deplasare. In aceeas, i recurent, a de mai sus, de exemplu, avem:
Z (xn+2) = zn(Z (xn) − x0 − x1z−1)
s, i la fel pentru celelalte.
42
SEMINAR 5
TRANSFORMAREA FOURIER
Transformarea Fourier, cu diversele sale variante (discreta, rapida etc.) este foarte utila pentrustudiul undelor sinusoidale. Daca o serie Fourier dezvolta o funct, ie ıntr-o serie ın care termeniisınt sinusuri s, i cosinusuri, transformata Fourier este o transformare integrala, ın care aspecteleperiodice corespunzatoare funct, iilor trigonometrice se pastreaza.
De aceea, vet, i ıntılni foarte des transformatele Fourier ın cazul analizelor semnalelor sonore,�e pentru digitalizare sau pentru diverse descompuneri. Un exemplu concret este ın inteligent, aarti�ciala s, i ınvat, area automata, unde se lucreaza la programe care sa faca recunoas, tere vocala,transcrieri s, i traduceri. In toate aceste aplicat, ii, o analiza a semnalului audio cu ajutorul trans-formatei Fourier este indispensabil.
5.1 Elemente teoreticeFoarte pe scurt, vom da de�nit, iile s, i principalele proprietat, i care vor � de folos ın exercit, ii.
Avem nevoie de urmatoarea not, iune:
De�nitie 5.1: Fie f ∶ ℝ → ℝ o funct, ie reala. Spunem ca ea este L1 (formal, apart, ine mult, imiiL1(ℝ)), daca are proprietatea:
∫∞
−∞|f (t)|dt < ∞.
Intuitiv, mutınd tot gra�cul funct, iei deasupra axeiOx (prin oglindire pe intervalele negative), ariade sun gra�c este �nita. Deci funct, ia nu are nicio zona ın care ”explodeaza“ spre ±∞ asimptotic.
Acestea sınt funct, iile carora le vom de�ni transformarile Fourier. Deci, daca nu se precizeazaaltfel, toate funct, iile care se transforma vor � presupuse L1.
De�nit, ia principala urmeaza.
43
De�nitie 5.2: Fie f o funct, ie L1. Se de�nes, te transformata Fourier a lui f , notata F (alternativ,F[f ] sau, s, i mai explicit, F[f (t)](!))1funct, ia complexa de�nita prin:
F[f ] ∶ ℝ → ℂ, F[f ](!) = ∫∞
−∞f (t)ei!tdt.
Se vede aici important, a faptului ca f este L1.Folosind formula lui Euler pentru exponent, iala complexa care apare ın integrala, precum s, i
paritatea funct, iilor trigonometrice, facem urmatoarele observat, ii imediate:
• Daca f este funct, ie para, atunci transformata Fourier are partea imaginara nula (integralasinsului pe un interval simetric fat, a de origine — ın acest caz special, (−∞,∞) — este nula,iar integrala funct, iei pare cosinus este dublul integralei calculate pe jumatate din interval)s, i ramınem cu:
F[f ](!) = 2 ∫∞
0f (t) cos(!t)dt ;
• Daca f este funct, ie impara, folosind argumentul din cazul anterior, transformarea Fourierare partea reala nula s, i ramınem cu:
F[f ](!) = −2i ∫∞
0f (t) sin(!t)dt.
Cele doua cazuri speciale se numesc, respectiv, transformarea (Fourier) prin sinus s, i transfor-marea (Fourier) prin cosinus ale funct, iei f .
Transformarea Fourier se poate inversa relativ simplu:
Teorema 5.1 (Transformarea Fourier inversa): Fie f o funct, ie L1 s, i F[f ] transformata sa Fourier.Presupunem ca s, i F[f ] este funct, ie L1 s, i atunci se poate recupera funct, ia f prin formula:
f (t) = 12� ∫
∞
−∞F[f ]ei!td!.
Daca funct, ia f care se transforma are ”puncte cu probleme“ (care sigur apart, in domeniului deintegrare, deoarece acesta este ıntreg ℝ), atunci transformarea Fourier se calculeaza cu ajutorulreziduurilor. Fie, as, adar, p1,… , pn poli ai funct, iei f s, i presupunem ca lim
|z|→∞f (z) = 0. Atunci:
• Daca Impk > 0, atunci:
F[f ](!) = 2�in∑k=1
Rez (f (z)e−i!zpk) , pentru ! < 0;1Pentru a nu ıncarca inutil notat, ia, vom folosi aceasta varianta explicita doar aici. Regula care se va pastra ın
continuare este urmatoarea: argumentul funct, iei f care se transforma este t , iar argumentul transformatei F[f ] este!. De asemenea, argumentul t al funct, iei f se mai numes, te timp, iar argumentul ! al transformatei se mai numes, tefrecvent, a.
44
• Daca Impk < 0, atunci:
F[f ](!) = −2�in∑k=1
Rez (f (z)e−i!zpk) , pentru ! > 0;
In exercit, ii, ne vor mai � de folos s, i urmatoarele proprietat, i ale transformatei Fourier:(1) Liniaritatea: F[�f + �g] = �F[f ] + �F[g], pentru orice f , g funct, ii L1 s, i �, � ∈ ℂ scalari;
(2) Simetria: F [F[f ](!)] = 2�f (−!);(3) Rescalarea: Fie � ∈ ℂ. Atunci:
F [f (�t)] (!) = 1|� |F[f ](
!� ) .
(4) Translat, ia dupa t:F[f (t − t0)] = F[f (t)] ⋅ e−i!t0 , ∀t0 ∈ ℝ;
(5) Translat, ia dupa !:F [ei!0tf (t)] = F[f (t)](! − !0), ∀!0 ∈ ℝ;
(6) Derivarea dupa t:F[f (n)(t)] = (i!)nF[f ](!),
ın ipoteza ca f este de n ori derivabila, pentru un anume n;
(7) Derivarea dupa !:F [(−it)nf (t)] = F(n)[f ](!),
ın ipoteza ca derivatele de pına la n ori au sens;
(8) Transformata conjugatei complexe: Notam f ∗(t) funct, ia conjugata complexa asociata luif (t). Atunci:
F[f ∗(t)] = (F[f (t)])∗ (−!).Altfel spus, se transforma funct, ia init, iala, apoi se ia conjugatul rezultatului s, i se schimbasemnul argumentului;
(9) Convolut, ia ın timp: De�nim:
ℎ(t) = (f ∗ g)(t) = ∫∞
−∞f (� )g(t − � )d�
produsul de convolut, ie al funct, iilor f s, i g. Atunci:F[f ∗ g] = F[f ] ⋅ F[g];
(10) Convolut, ia ın frecvent, a:
F [f (t) ⋅ g(t)] = 12� ∫
∞
−∞F[f ](y) ⋅ F[g](! − y)dy.
45
5.2 Aplicat, ii la ecuat, ii integraleFolosind formula de transformare Fourier, precum s, i inversarea acesteia, putem rezolva ecuat, iiintegrale. Vom prezenta acest lucru pe un exemplu.
Exemplu: Rezolvam ecuat, ia integrala:
∫∞
0y(t) cos txdt = 1
x2 + 1 .
Solut, ie: Pentru a face legatura cu transformarile Fourier, avem nevoie sa prelungim funct, iay (astfel ıncıt integrala sa �e pe (−∞,∞)). Deoarece integrandul este par, acest lucru conduce ladublarea rezultatului. Deci avem:
∫∞
−∞y(t) cos txdt = 2
x2 + 1 , ∫∞
−∞y(t) sin txdt = 0.
Acest lucru conduce la:12� ∫
∞
−∞y(t)eitxdt = 1
� (x2 + 1) .
Recunoas, tem ın membrul stıng formula de trasnformare Fourier, deci rezulta:
F[y(t)](x) = 1� (x2 + 1) .
Folosim acum formula de inversare s, i rezulta:
y(t) = 1� ∫
∞
−∞
1x2 + 1e
−itxdx.
Acest calcul se poate face cu teorema reziduurilor, deoarece integrandul are doi poli, p1,2 = ±i,ambii simpli. Obt, inem:
• Pentru t < 0 s, i polul p1 = i:
y(t) = 1� ⋅ 2�iRez(
1x2 + 1e
−itx , i)= 2i ⋅ lim
z→i(z − i) 1
z2 + 1e−itx
= 2i ⋅ et ;
• Pentru t > 0 s, i polul p2 = −i:
y(t) = 1pi ⋅ −2�iRez(
1x2 + 1e
−itx , −i)
= −2i ⋅ limz→−i
(z + i) 1z2 + 1e
−itz
= 2ie−t .
46
Concluzia este ca solut, ia arata astfel:
y(t) ={exp(t), t < 0exp(−t), t < 0 = exp (|t |) .
5.3 Exercit, ii1. Rezolvat, i ecuat, iile integrale:
(a) ∫∞
0f (t) sin txdt = e−x , x > 0;
(b) ∫∞
0f (t) cos txdt = 1
(1 + x2)2 ;
2. Calculat, i transformatele Fourier pentru funct, iile:
(a) f (t) ={1 − |t |, t ∈ [−1, 1]0, ın rest
;
(b) f (t) = tt2 + a2 , a > 0;
(c) f (t) = 1(t2 + 1)2 ;
(d) f (t) ={exp(2t), t ≤ 00, t > 0 ;
(e) f (t) ={t2 − t, 0 < t < 10, ın rest
;
(f) f (t) ={t, |t | < 10, |t | > 1 .
3. Calculat, i transformatele Fourier pentru funct, iile de mai jos, folosind teorema reziduurilor:
(a) f (t) = 2t2 + 9 ;
(b) f (t) = t(t2 + 9)(t2 + 1) ;
(c) f (t) = 1(t2 + 4)2 .
47
SEMINAR 6
SPAT, II DE PROBABILITATE
6.1 Not, iuni teoreticeTrecem acum la studiul probabilitat, ilor ıntr-un context mai abstract decıt ın liceu, unde se
de�neau s, i studiau evenimentele aleatoare concret.
De�nitie 6.1: Se numes, te spat, iu (cımp) discret de probabilitate o mult, ime �nita sau numarabilaΩ = (!n)n, ımpreuna cu un s, ir (pn)n, cu 0 ≤ pn ≤ 1, care satisface condit, ia ∑
npn = 1.
Orice submult, ime A ⊆ Ω este un eveniment, caruia i se atas, eaza o probabilitate
P (A) = ∑!n∈A
pn.
Intuitiv, putem privi elementele mult, imii Ω drept experient, e, pe care le putem colecta ın eve-nimente, iar pn este probabilitatea ca o experient, a sa se realizeze.
Alte de�nit, ii elementare sınt urmatoarele:
De�nitie 6.2: Evenimentul sigur este un eveniment care se realizeaza cu certitudine la �ecarerepetare a experient, ei.
Evenimentul imposibil nu se produce la nicio efectuare a experient, ei.Dat un eveniment A ⊆ Ω, lui i se asociaza evenimentul contrar, notat A, CA sau Ac , care consta
ın nerealizarea lui A.Doua evenimente A, B ⊆ Ω se numesc compatibile daca se pot produce simultan s, i incompati-
bile ın caz contrar.
Pentru evenimente incompatibile, avem o de�nit, ie alternativa, calculatorie:
48
De�nitie 6.3: Daca A s, i B sınt evenimente incompatibile, atunci:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Mai general, pentru orice s, ir (An) de evenimente doua cıte doua incompatibile, avem:
P( ⋃n∈ℕ
An) = ∑n∈ℕ
P (An).
De�nit, ia abstracta a contextului ın care vom studia teoria probabilitat, ilor urmeaza.
De�nitie 6.4: Se numes, te spat, iu de probabilitate un triplet (Ω,K, P ), unde Ω este o mult, ime deevenimente elementare (individuale), K este o submult, ime a P(Ω), iar P ∶ K → [0, 1] este ofunct, ie de probabilitate, care satisface:
• P (Ω) = 1;
• P(⋃n≥0
An) = ∑n≥0
P (An), pentru orice s, ir (An) de evenimente doua cıte doua incompatibile.
Pornind de la aceasta de�nit, ie generala, putem obt, ine cazuri particulare cunoscute:De�nit, ia clasica a probabilitat, ii: Daca Ω este o mult, ime cu N elemente, putem de�ni un
spat, iu discret de probabilitate, de�nind pn = 1N , pentru orice n ∈ {1,… , N}. In acest caz, pro-
babilitat, ile sınt egale pentru toate evenimentele, deci spunem ca evenimentele sınt echiprobabile.Pentru orice eveniment A ⊆ Ω, avem:
P (A) = card(A)card(Ω) ,
care coincide cu de�nit, ia clasica a raportului dintre numarul cazurilor favorabile unui eveniments, i numarul cazurilor posibile.
Probabilitat, i geometrice: Daca luam Ω ⊆ ℝn o submult, ime oarecare, pe care considerammasura Lebesgue (cea cu ajutorul careia calculam integralele), atunci obt, inem un spat, iu de pro-babilitate de�nind pentru orice eveniment A probabilitatea prin:
P (A) = �(A)�(Ω) ,
unde � este masura Lebesgue din ℝn (ın particular, e vorba de lungimea dl pe ℝ, aria dA = dxdydin ℝ2 etc.).
Urmatoarele sınt proprietat, i elementare ale probabilitat, ilor:Fie (Ω,K, P ) un spat, iu de probabilitate.
(1) Daca A, B ∈ K s, i A ⊆ B, atunci P (B − A) = P (B) − P (A);
49
(2) Poincare: Fie n evenimente arbitrare A1,… , An ∈ K. Atunci are loc:
P(n⋃i=1
Ai) =n∑i=1
P (Ai) −∑i≠j
P (Ai ∩ Aj) +⋯ + (−1)n−1P (A1,… , An).
(3) Pentru orice s, ir crescator de evenimente A0 ⊆ A1 ⊆ … ⊆ An ⊆ … , avem:
P(⋃n≥0
) = limn→∞
P (An).
De�nitie 6.5: Evenimentele A s, i B se numesc independente daca P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B).In general, evenimentele A1,… , An se numesc independente ın ansamblu daca pentru orice
m ≥ n s, i 1 ≤ j1 ≤ ⋯ ≤ jm ≤ n, avem:
P (Aj1 ∩⋯ ∩ Ajm ) = P (Aj1)⋯ P (Ajm ).
Observatie 6.1: Daca avem n evenimente independente doua cıte doua (cf. primei part, i a de�nit, ieide mai sus), nu rezulta neaparat ca sınt evenimente ın ansamblul lor (cf. part, ii a doua a de�nit, iei).
Un contraexemplu, datorat lui S. N. Bernstein este urmatorul. Consideram un tetraedru omo-gen cu fet, ele colorate alb, negru, ros, u, iar a patra, cu toate cele trei culori. Aruncam acest corp s, inotam cu Ai probabilitatea ca tetraedrul sa se as, eze (cu baza) pe fat, a cu numarul i ∈ {1, 2, 3, 4}.Aceste evenimente sınt elementare s, i P (Ai) =
14 , ∀i. Acum �eA = A1∪A2, B = A1∪A3 s, iC = A1∪A4.
Atunci P (A) = P (B) = P (C) = 12 , deoarece pentru �ecare culoare sınt 4 cazuri posibile s, i 2 favora-bile (fat, a cu culoarea respectiva s, i fat, a cu toate culorile).
In plus, avem:P (A ∩ B) = P (B ∩ C) = P (C ∩ A) = 14 ,
deci evenimentele sınt independente doua cıte doua.In plus, avem:
P (A ∩ B ∩ C) = P (A1) =14
P (A)P (B)P (C) = 18 ,
deci evenimentele nu sınt independente ın ansamblul lor.
Mai avem nevoie de urmatorul concept:
De�nitie 6.6: Fie A s, i B doua evenimente, cu P (B) ≠ 0.Probabilitatea lui A condit, ionata de B, notata P (A/B) sau PB(A) se de�nes, te prin:
P (A/B) = P (A ∩ B)P (B) .
50
De asemenea, ın calcule, vom mai folosi:Formula de ınmult, ire a probabilitat, ilor: Fie A1,…An evenimente. Atunci are loc:
P (A1 ∩⋯ ∩ An) = P (A1) ⋅ P (A2/A1) ⋅ P (A3/A1 ∩ A2)⋯ P (An/A1 ∩⋯ ∩ An−1).
Formula probabilitat, ii totale: Daca avem descompunerea evenimentului sigur Ω ın reu-niunea de n evenimente incompatibile H1,…Hn, atunci pentru orice eveniment A ∈ K, are loc:
P (A) =n∑i=1
P (A/Hi) ⋅ P (Hi).
Formula lui Bayes: In contextul s, i cu notat, iile de mai sus:
P (Hj/A) =P (A/Hj) ⋅ P (Hj)
∑ni=1 P (A/Hi) ⋅ P (Hi)
.
In particular, pentru doua evenimente A, B, avem:
P (A) = P (A/B) ⋅ P (B) + P (A/Bc) ⋅ P (Bc)
P (B/A) = P (A/B) ⋅ P (B)P (A/B) ⋅ P (B) + P (A/Bc) ⋅ P (Bc) .
6.2 Exercit, ii
6.2.1 Calcul ”clasic“1. Intr-un spat, iu de probabilitate se consideram evenimentele A, B, cu:
P (A) = 13 , P (B) =14 , P (A ∩ B) =
16 .
Determinat, i P (Ac), P (Ac ∪ B), P (A ∪ Bc), P (Ac ∪ Bc), P (Ac ∩ Bc).2. Care dintre urmatoarele evenimente rezultate ın urma aruncarii cu zarul este mai probabil:
(a) obt, inerea numarului 6 ın cel put, in una din 4 aruncari;
(b) obt, inerea cel put, in a unei duble de 6 ın 24 aruncari cu 2 zaruri?
3. O urna cont, ine 12 bile numerotate de la 1 la 12. Sa se determine probabilitatea ca bilelenumerotate cu 5, 7, 11 sa iasa la extragerile cu numarul de ordine 5, 7, 11.
Solut, ie: Cazurile posibile sınt 12! la numar.
51
Cazurile favorabile sınt 9!, deoarece daca �xam de �ecare data bilele cu numerele 5, 7, 11,ramın 9! libere.
Rezulta P = 9!12! =
11320 .
4. O urna cont, ine 50 bile, dintre care 10 sınt negre, iar restul albe. Se scot la ıntımplare 5 bile.Care e probabilitatea ca ıntre cele 5 bile sa �e bile negre?
Indicat, ie: Se calculeaza mai us, or probabilitatea evenimentului complementar.
5. Coe�cient, ii ıntregi ai ecuat, iei ax2 + bx + c = 0 sınt obt, inut, i prin aruncarea unui zar de 3ori. Sa se determine probabilitatea ca radacinile ecuat, iei sa �e reale.
Indicat, ie: Calculam clasic probabilitatea ca b24 ≥ ac, unde a, b, c ∈ {1, 2,… , 6}.
6. Intr-o camera ıntunecoasa se gasesc 5 perechi de panto�. Se aleg la ıntımplare 5 panto�.
(a) Care este probabilitatea ca ıntre cei 5 panto� ales, i sa �e cel put, in o pereche, ın ipoteza ca cele5 perechi sınt identice (deci este su�cient sa avem un pantof stıng s, i unul drept)?
(b) Care e probabilitatea ca ıntre cei 5 panto� ales, i sa �e cel put, in o pereche, daca toate cele 5perechi sınt distincte (culoare, numar)?
7. Problema aniversarii: Intr-o camera sınt k persoane. Care este probabilitatea ca cel put, indoua din aceste persoane sa aiba aceeas, i zi de nas, tere, adica aceeas, i zi s, i luna a anului?
8. Se arunca 3 zaruri. Calculat, i probabilitatea ca suma punctelor obt, inute sa �e:
(a) mai mica decıt 8;
(b) mai mare decıt 7;
(c) egala cu 12.
9. Un scafandru are 2 sisteme de oxigen independente. Presupunem ca probabilitatea caprimul sistem sa funct, ioneze este 0,9, iar probabilitatea ca al doilea sistem sa funct, ioneze este 0,8.
(a) Gasit, i probabilitatea ca niciun sistem sa nu se defecteze;
(b) Gasit, i probabilitatea ca cel put, in unul din sisteme sa funct, ioneze.
Solut, ie: Fie S1,2 evenimentul ca sistemul 1, 2 sa funct, ioneze. (a) Cum evenimentele sınt inde-pendente, avem:
P (S1 ∩ S2) = P (S1) ⋅ P (S2) = 0, 72.(b)
P (S1 ∪ S2) = P (S1) + P (S2) − P (S1 ∩ S2) = 0, 98.
52
6.2.2 Probabilitat, i geometrice10. Care este probabilitatea ca suma a 3 numere din intervalul [0, a] alese la ıntımplare sa �e maimare decıt a?
Solut, ie: Spat, iul de probabilitate este Ω = [0, a]3. Evenimentul cerut este dat de punctelemult, imii:
E = {(x, y, z) ∈ Ω ∣ x + y + z ≥ a}.Alegem un sistem ortogonal de axe s, i Ω devine un cub de latura a situat ın primul octant. In
acest caz, E este una din regiunile lui Ω separate de planul x + y + z = a. Rezulta:
P (E) = a3 − a32
a3 = 12 .
11. Pe un plan orizontal consideram un sistem de axe XOY s, i mult, imea E a punctelor cucoordonate ıntregi. O moneda cu diametrul 12 este aruncata la ıntımplare pe acest plan. Care eprobabilitatea ca moneda sa acopere un punct din E?
Solut, ie: Fie C(x0, y0) cel mai apropiat punct din E de centrul M al monedei, deci coordonatelelui M sınt de forma:
(x0 + x, y0 + y), −12 < x, y <12 .
Spat, iul de probabilitate este:
Ω ={(x, y) ∈ ℝ2 ∣ −12 < x, y <
12}.
Mult, imea evenimentelor favorabile este data de:
A ={(x, y) ∈ Ω ∣ (x − x0)2 + (y − y0)2 <
116
},
deoarece raza monedei este 14 .Rezulta:
p = aria(A)aria(Ω) =
�16 .
12. Se alege aleatoriu un numar real x ın intervalul [0, 3]. Care este probabilitatea ca x sa �emai apropiat de 0 decıt de 1?
Solut, ie: Interpretınd problema geometric, ne putem gındi la x ca �ind un punct pe axa reala.Atunci cazurile favorabile se a�a ın segmentul [0; 0, 5), iar cazurile posibile sınt pe tot segmentul.
Probabilitatea, calculata cu formula geometrica, este data de raportul lungimilor celor douasegmente:
P = 0, 53 = 16 ≃ 17%.
53
13. Se trage cu o sageata la o t, inta circulara de raza r . Care este probabilitatea ca sageata saajunga mai aproape de centru decıt de margine?
Solut, ie: Aria cercului, care ne da s, i ”cazurile posibile“, este �r2.Cazurile favorabile se a�a ın cercul concentric de raza < r
2 , care are aria �r24 . Atunci:
P = 14 .
14. Problema autobuzului (cu as, teptare): Sa presupunem ca ajunget, i ın stat, ia de autobuzla o ora aleatorie din intervalul 12 s, i 1. As, teptat, i 20 minute ın stat, ie, iar daca autobuzul nu vine,plecat, i. Acelas, i ”program“ ıl are s, i autobuzul, dar cu condit, ia ca as, teapta 5 minute ın stat, ie, apoipleaca.
Care este probabilitatea sa prindet, i autobuzul?1
Solut, ie: Avem doua variabile independente: momentul ın care ajunget, i ın stat, ie s, i momentulın care autobuzul ajunge. Deci putem modela problema bidimensional. Mai precis, sa luam unpatrat cu latura de 60 de unitat, i (1/minut) s, i-i notam laturile cu c s, i a (”calator“ s, i ”autobuz“).
Remarcam ca avem cazurile (cf. Figura 6.1):
• Pentru a prinde autobuzul la �x, ar trebui sa ne situam pe segmentul a = c;
• Cum autobuzul as, teapta 5 minute, de fapt putem sa ne situam ın zona c ≤ a + 5, net, inındseama de faptul ca s, i calatorul as, teapta (deocamdata)!;
• Cum calatorul as, teapta 20 minute, ne situam ın zona c ≥ a − 20 (net, inınd seama ca s, iautobuzul as, teapta!);
• Luınd toate restrict, iile ın considerare, ne intereseaza, de fapt, zona dintre cele doua puncteanterioare, deci sub segmentul c = a + 5 s, i deasupra lui c = a − 20.
Acum trebuie doar sa calculam aria zonei corespunzatoare s, i sa o ımpart, im la aria patratului:
P = 602 − 552
2 − 4022
602 ≃ 36%.
15. Trei persoane aleg la ıntımplare un numar real ıntre 0 s, i 1. Care este probabilitatea casuma patratelor numerelor alese de ei sa nu depas, easca 1?
Solut, ie: Pentru a modela problema geometric, e clar ca o putem gındi ca pe alegerea unuipunct din cubul unitate, (x, y, z) ∈ [0, 1]3. Cazurile posibile sınt, atunci, date de volumul cubului,care este 1.
1Mai multe exemple s, i explicat, ii putet, i gasi, de exemplu, aici.
54
(a) c = a (b) c ≤ a + 5 (c) c ≤ a − 20 (d) Solut, ia
Figura 6.1: Problema autobuzului (cu as, teptare)
Pentru cazurile favorabile, avem nevoie de x2 + y2 + z2 ≤ 1, care este sfera unitate. Dar, cumne intereseaza doar alegerile de numere pozitive, i.e. partea din sfera care se gases, te ın interiorulcubului, adica 18 din ea.
Avem, deci:
P =18 ⋅ 4� ⋅1
3
31 ≃ 52%.
Mult mai multe exemple so�sticate de probabilitat, i geometrice se pot gasi la Wolfram Ma-thWorld.
55
SEMINAR 7
SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE
Schemele clasice de probabilitate sınt modele matematice care ne permit calculul probabilitat, iide realizare a unui eveniment ın cazul unor distribut, ii anume.
7.1 Schema lui PoissonSchema lui Poisson se formuleaza astfel. Presupunem ca avem n urne Ui , 1 ≤ i ≤ n, care cont, in
bile albe s, i bile negre ın proport, ii cunoscute. Fie pi probabilitatea de extragere a unei bile albedin urna Ui , respectiv qi , probabilitatea de extragere a unei bile negre din urna Ui .
Extragem cıte o bila din �ecare urna. Probabilitatea de a obt, ine k bile albe este coe�cientullui X k din polinomul:
n∏i=1(piX + qi) = (p1X + q1)(p2X + q2)⋯ (pnX + qn).
Observat, ie: In cazul schemei lui Poisson, extragerea se face fara revenire. O bila, dupa ce afost extrasa, nu este repusa ın urna, astfel ca, dupa �ecare extragere, numarul de bile din urnascade.
Exemplu: Avem 3 sisteme de sigurant, a, primul funct, ioneaza cu probabilitatea de 80%, aldoilea, de 70%, iar al treilea, ın 90% din cazuri. Sa se determine probabilitatea ca oricare douadintre sisteme sa funct, ioneze simultan.
Solut, ie: Ne a�am ın cazul schemei lui Poisson, ”bilele“ �ind sistemele de sigurant, a, iar ”extra-gerea“ ınseamna funct, ionarea lor. As, adar, cautam coe�cientul lui X 2 din polinomul:
� = (0, 8 ⋅ X + 0, 2)(0, 7 ⋅ X + 0, 3)(0, 9 ⋅ X + 0, 1),
coe�cient care este p = 0, 398.
56
7.2 Schema lui Bernoulli (binomiala)Situat, ia este similara cu cea din cazul Poisson, doar ca acum extragerile se fac cu repunere.
Adica, dupa ce �ecare bila este extrasa s, i se ınregistreaza culoarea sa, este repusa ın urna, pentrua putea � extrasa din nou, eventual.
As, adar, schema lui Bernoulli se formuleaza astfel. Avem o urna cu a bile albe s, i b bile negre.Extragem cu repunere n bile. Probabilitatea sa extragem k bile albe, cu 0 ≤ k ≤ n este data de:
p(n, k) = Cknpkqn−k , unde p = a
a + b , q =b
a + b .
De remarcat ca ın acest caz, p corespunde evenimentului favorabil, iar q = 1 − p.
Exemplu: Se arunca doua zaruri de 10 ori. Care este probabilitatea sa se obt, ina de exact 4ori suma 7?
Solut, ie: Ne a�am ın cazul schemei lui Bernoulli, unde ”bilele“ sınt sumele de pe zaruri, iar
”extragerea“ este aruncarea zarului. Evident, modelul potrivit este acela al extragerii cu revenire,deoarece orice suma poate � obt, inuta la �ecare aruncare.
In acest caz, avem p = 16 , deoarece suma 7 poate � obt, inuta ın 6 moduri din punctele de pe
doua zaruri, iar cazurile posibile sınt 36. Rezulta q = 56 .In plus, avem n = 10, k = 4, deci:
p(10, 4) = C410164 ⋅
5666 .
7.3 Schema multinomialaSchema lui Bernoulli se mai numes, te schema binomiala, deoarece p(n, k) este, de fapt, coe�-
cientul lui X k din dezvoltarea binomului (pX + q)n.O generalizare a acestei situat, ii este schema multinomiala, ın care presupunem ca avem o urna
cu bile de s ∈ ℕ culori s, i se extrag cu repunere n bile. Probabilitatea de a extrage ki bile de culoarei, cu 1 ≤ i ≤ s este data de formula:
p(n; k1,… , ks) =n!
k1!k2!⋯ ks!⋅ pk11 ⋅ pk22 ⋯ pkss ,
unde n = k1 +⋯ + ks s, i p1 +⋯ + ps = 1, iar pi este probabilitatea de a extrage o bila de culoare i.Exemplu: Se arunca cu un zar de 10 ori. Care este probabilitatea ca exact de 2 ori sa apara
fat, a cu 1 punct s, i de 3 ori sa apara fat, a cu 2 puncte?Solut, ie: Evident, sıntem ın cazul schemei multinomiale. ”Culorile“ sınt punctele de pe zaruri
s, i vrem sa ”extragem 2 bile de culoarea 1 s, i 3 bile de culoarea 2“.
57
Atunci n = 10, deoarece facem 10 ”extrageri“, k1 = 2 s, i k2 = 3. In plus, avem p1 = p2 =16 ,
deoarece orice numar de pe zar are aceeas, i probabilitate de a aparea. Rezulta, de asemenea, caavem nevoie s, i de k3 = n − k1 − k2 = 5 s, i p3 = 1 − p1 − p2 = 2
3 .Probabilitatea ceruta este:
p(10; 2, 3, 5) = 10!2! ⋅ 3! ⋅ 5! ⋅
162 ⋅
163 ⋅
2535 .
7.4 Schema geometricaDintr-o urna cu a bile albe s, i b bile negre, extragem fara repunere n bile, cu n ≤ a + b.
Probabilitatea de a obt, ine k ≤ a bile albe, fara repunere, este data de:
pk,n−ka,b = Cka ⋅ Cn−k
bCna+b
.
Mai general, daca avem ai bile de culoarea i, 1 ≤ i ≤ s s, i extragem n bile fara repunere, atunciprobabilitatea de a extrage ki , cu k1 +⋯ + ks = n bile de culoarea i este data de formula:
pk1,…,ksa1,…,as =Ck1a1 ⋯CksasCnk1+⋯+ks
.
Exemplu: Avem un lot de 100 articole, dintre care 80 sınt corespunzatoare, 15 sınt cu defect, iuniremediabile s, i 5 rebuturi. Alegem 6 articole. Care este probabilitatea ca dintre acestea, 3 sa �ebune, 2 cu defect, iuni remediabile s, i un rebut?
Solut, ie: Presupunem ca extragerile se fac cu repunere. Atunci sıntem ın cazul schemei multi-nomiale, deci:
p(6; 3, 2, 1) = 6!3! ⋅ 2! ⋅ 1!(
80100)
3⋅ (
15100)
2⋅ (
5100)
1.
Daca extragerile se fac fara repunere, ne a�am ın cazul schemei geometrice s, i avem:
p3,2,180,15,5 =C380 ⋅ C2
15 ⋅ C15
C6100
.
7.5 Exercit, ii1. Un lot de 50 de procesoare cont, ine 3 defecte. Alegem la ıntımplare 10, simultan, s, i le
veri�cam. Care este probabilitatea ca 2 sa �e defecte?Indicat, ie: Schema geometrica (fara repunere).
2. (a) Un semnal este transmis pe 3 canale diferite, iar probabilitat, ile de recept, ionare corectasınt 0,9; 0,8 s, i 0,7. Care este probabilitatea sa se recept, ioneze corect un semnal?
58
(b) Dar daca semnalul este transmis pe un canal ales la ıntımplare s, i presupunem ca oricecanal poate � ales cu aceeas, i probabilitate?
Indicat, ie: (a) Schema lui Poisson.(b) Formula probabilitat, ii totale: 13 ⋅ (0, 9 + 0, 8 + 0, 7).
3. O urna cont, ine 2 bile albe s, i 3 bile negre. Alegem la ıntımplare 2 bile, fara repunere. Careeste probabilitatea ca acestea sa �e ambele negre?
Dar daca extragerea se face cu repunere?
4. Se testeaza 5 dispozitive care funct, ioneaza ın condit, ii identice, independent s, i cu randamentde 0,9 �ecare. Care este probabilitatea ca exact doua sa funct, ioneze?
Indicat, ie: Schema Bernoulli.
5. Se considera 3 urne: U1, care cont, ine 5 bile albe s, i 5 negre, U2, care cont, ine 4 bile albe s, i 6negre s, i U3, care cont, ine 4 bile albe s, i 5 negre. Din �ecare urna se extrag cu repunere cıte 5 bile.
Care este probabilitatea ca din 2 urne sa obt, inem cıte 2 bile albe s, i 3 negre, iar din a treia urnasa obt, inem o alta combinat, ie?
Indicat, ie: Schema Poisson sau Bernoulli, dupa cazuri (cu/fara repunere).
6. Se considera urnele din problema precedenta. Din �ecare urna se extrage cıte o bila. Dacase repeta experient, a de 5 ori, care este probabilitatea ca de 3 ori sa se obt, ina o bila alba s, i 2 negre?
Indicat, ie: Schema Poisson.
7. Fie 8 canale de transmisie a informat, iei care funct, ioneaza independent. Presupunem ca uncanal este activ cu probabilitatea 1/3.
Sa se calculeze probabilitatea ca la un moment dat sa �e mai mult de 6 canale active.Indicat, ie: Schema Bernoulli.
8. S, ase vınatori au zarit o vulpe s, i au tras simultan. Presupunem ca de la distant, a de la care autras, �ecare vınator nimeres, te ın mod obis, nuit vulpea cu o probabilitate de 13 . A�at, i probabilitateaca vulpea sa �e nimerita.
9. Se arunca o moneda de 8 ori. A�at, i probabilitatea ca stema sa apara de 6 ori. A�at, i proba-bilitatea ca stema sa apara de cel put, in 6 ori.
10. Un muncitor produce piese astfel ıncıt 99% sınt bune, 7% au defecte remediabile s, i 3% sıntrebuturi.
Se aleg aleatoriu 3 piese produse de muncitor. Care este probabilitatea ca dintre aceste 3 piese,cel put, in una sa �e buna s, i cel put, in una sa �e rebut?
59
SEMINAR 8
VARIABILE ALEATOARE
8.1 Cazul discretVariabilele aleatoare sınt moduri de reprezentare a informat, iei ın calculul probabilitat, ilor,
precum matricele ne pot ajuta sa ”codi�cam“ informat, ii geometrice sau algebrice. De obicei, elese reprezinta asemenea permutarilor, anume ca tablouri bidimensionale.
Incepem cu de�nit, iile fundamentale.
De�nitie 8.1: O variabile a carei valoare se determina de un eveniment rezultat ın urma uneiexperient, e se numes, te variabila aleatoare.
De�nitie 8.2: Fie X o variabila aleatoare care poate lua valorile x1,… , xn, cu probabilitat, ile f (x1),… , f (xn). Mult, imea de perechi ordonate {(xi , f (xi))}i de�nes, te repartit, ia variabilei aleatoare.
Mai general, daca X este o variabila aleatoare reala (adica Imf ⊆ ℝ), atunci funct, ia F ∶ ℝ → ℝde�nita prin:
FX (x) = P (X < x), ∀x ∈ ℝse numes, te funct, ia de repartit, ie a variabilei aleatoare X .
Putem interpreta funct, ia de repartit, ie ın sensul urmator: calculata ın x , ea ne da probabilitateaca valorile variabilei aleatoare sa �e pına ın x .
Se poate vedea din de�nit, ie ca au loc urmatoarele proprietat, i:
(1) limx→−∞
FX (x) = 0, iar limx→∞
FX (x) = 1;
(2) FX este crescatoare (deoarece acumuleaza) s, i este continua la dreapta ın orice punct x ∈ ℝ;
(3) P (X = x) = F (x) − F (x − 0), unde F (x − 0) noteaza limita la stınga
limx0↗x
F (x0).
60
(4) P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a).Ne vor interesa doua cazuri, anume acelea ale variabilelor aleatoare continue s, i discrete, pe
care le de�nim mai jos.
De�nitie 8.3: Variabila aleatoare X se numes, te discreta daca mult, imea valorilor ei este o mult, imecel mult numarabile de numere reale sau complexe (ın biject, ie cu o submult, ime [nestricta] a luiℕ), {an}n.
In acest caz, daca P (X = an) = pn, atunci condit, ia de normare este ∑ pn = 1, iar funct, ia derepartit, ie FX este o funct, ie ın scara, cu:
FX (x) = ∑an<x
pn.
In acest caz, putem reprezenta variabila aleatoare ıntr-o forma matriceala:
X ∼ (a0 a1 … an …p0 p1 … pn …) ,
matrice care se numes, te matricea de repartit, ie a lui X sau distribut, ia sa.Cazul continuu este de�nit mai jos.
De�nitie 8.4: Daca P (X = x) = 0, pentru orice x ∈ ℝ, atunci variabila aleatoare X se numes, tecontinua. Echivalent, funct, ia ei de repartit, ie este o funct, ie reala continua (v. proprietatea (3)).
In multe situat, ii, vom lucra cu variabile aleatoare discrete, reprezentate matriceal. Va � utilsa de�nim cıteva operat, ii elementare ıntre aceste obiecte.
Fie, as, adar, doua variabile aleatoare discrete:
X ∶ (xipi) , Y ∶ (
yjqj)
De�nim pij = P (X = xi , Y = yj), ∀i, j. Atunci au loc formulele de calcul:
pi = ∑jpij
qj = ∑ipij
1 = ∑i,jpij .
Variabilele X s, i Y se numesc independente daca pij = pi ⋅ qj .Suma variabilelor are repartit, ia:
X + Y ∶ (xi + yjpij ) .
61
Daca � ∈ ℝ este o constanta reala, atunci variabila X + � are repartit, ia:
X + � ∶ (xi + �pi ) .
Produsul variabilelor X s, i Y are repartit, ia:
XY ∶ (xiyjpij )
Produsul �X , pentru � ∈ ℝ are repartit, ia:
�X ∶ (�xipi ) .
Sa vedem un exemplu de calcul:Exemplu: Se dau variabilele independente:
X ∶ (0 1 20, 2 0, 4 0, 4) , Y ∶ (
1 20, 6 0, 4) .
Determinat, i repartit, iile variabilelor X + Y , XY , 2 + X, X 2, 3Y .Solut, ie: Vom prezenta repartit, iile punınd valorile pentru evenimente ın ordine crescatoare.
De exemplu, X + Y poate lua valorile 1, 2, 3, 4, iar X 2 poate lua valorile 0, 1, 4.Folosim independent, a s, i formulele de calcul pentru probabilitat, i s, i obt, inem, de exemplu:
P (X + Y = 1) = P (X = 0 ∧ Y = 1)= P (X = 0) ⋅ P (Y = 1)= 0, 12
P (X + Y = 2) = P((X = 0 ∧ Y = 2) ∨ (X = 1 ∧ Y = 1))= P (X = 0 ∧ Y = 2) + P (X = 1 ∧ Y = 1)= 0, 32
62
Similar se calculeaza s, i celelalte valori s, i, folosind de�nit, iile operat, iilor, obt, inem:
X + Y ∶ (1 2 3 4
0, 12 0, 32 0, 4 0, 16)
XY ∶ (0 1 2 3 40, 2 0, 24 0, 4 0, 6 )
2 + X ∶ (2 3 40, 2 0, 4 0, 4)
X 2 ∶ (0 1 40, 2 0, 4 0, 4)
3Y ∶ (3 60, 6 0, 4)
Pentru studiul variabilelor aleatoare se folosesc mai multe marimi, pe care le introducem, perınd.
De�nitie 8.5: Fie X o variabila aleatoare discreta.
(1) Daca seria ∑n≥0
xnpn este absolut convergenta, atunci spunem ca X admite medie, iar numarul:
E(X ) = ∑n≥0
xnpn
se numes, te media lui X ;
(2) Pentru n ≠ 0, media E(X n) a variabilei X n se numes, te momentul de ordinul n al lui X ;
(3) Media variabilei (X −E(X ))2 se numes, te variant, a sau dispersia lui X , notata Var(X ) sau D2(X ).
Funct, ia de medie are urmatoarele proprietat, i esent, iale:
(a) Liniaritatea: E(�X + �Y ) = �E(X ) + �E(Y ), pentru orice �, � ∈ ℂ;
(b) Monotonia: Daca X ≤ Y , atunci E(X ) ≤ E(Y );
(c) Daca X este o constanta c, atunci E(X ) = c;
(d) Daca X s, i Y sınt variabile aleatoare independente, adica descriu evenimente independente,atunci E(XY ) = E(X ) ⋅ E(Y ).
Funct, ia de dispersie are proprietat, ile:
(a) D2(X ) = E(X 2) − (E(X ))2;
63
(b) D2(X ) ≥ 0;
(c) D2(X ) = 0 ⇔ P (X = E(X )) = 1, adica X este o constanta cu probabilitatea 1 (X descrie doarevenimentul sigur);
(d) Cebıs, ev: Pentru orice " > 0, are loc:
P (|X − E(X )| ≥ ") < D2(X )"2 .
Echivalent, se mai poate scrie:
P (|X − E(X )| < ") ≥ 1 − D2(X )"2 .
(e) D2(�X ) = �2D2(X ), pentru orice � ∈ ℂ;
(f) Daca X s, i Y sınt independente, atunci:
D2(X + Y ) = D2(X ) + D2(Y ).
Mai de�nim doua marimi care se asociaza variabilelor aleatorii.
De�nitie 8.6: Fie X s, i Y doua variabile aleatoare. Numim covariant, a a variabilelor X s, i Y , notatacov(X, Y ) numarul:
cov(X, Y ) = E((X − E(X ))(Y − E(Y ))) = E(XY ) − E(X )E(Y ).
Proprietat, ile esent, iale ale covariant, ei sınt date de:
(a) Daca X s, i Y sınt variabile aleatoare independente, atunci cov(X, Y ) = 0;
(b) Daca X1,… , Xn sınt variabile aleatoare cu dispersiileD2i s, i covariant, ele cov(Xi , Xj), i ≠ j, atunci
are loc:D2
(n∑i=1
Xi) =n∑i=1
D2i + 2∑
i<jcov(Xi , Xj).
De�nitie 8.7: Daca X s, i Y sınt variabile aleatoare, se numes, te coe�cient de corelat, ie al lor, notat�(X, Y ), numarul calculat prin:
�(X, Y ) = cov(X, Y )√D2(X ) ⋅ D2(Y )
64
Se poate vedea din de�nit, ie ca, atıt covariant, a, cıt s, i corelat, ia arata ”gradul de independent, a“ avariabilelor aleatoare X s, i Y . Intr-adevar, daca X s, i Y sınt independente, atunci avem �(X, Y ) = 0.A�rmat, ia reciproca este, ınsa, falsa!
Sa luam un exemplu: Fie A = {a1, a2, a3, a4}, cu P (ai) =14 .
Presupunem ca variabila aleatoare X realizeaza corespondent, a:
X (a1) = 1, X (a2) = −1, X (a3) = 2, X (a4) = −2.
Atunci, ea are matricea de repartit, ie:
X ∼ (−2 −1 1 214
14
14
14)
.
Presupunem ca o alta variabila aleatoare Y realizeaza corespondent, a:
Y (a1) = 1, Y (a2) = 1, Y (a3) = −1, Y (a4) = −1.
Atunci matricea ei se poate reduce la:
Y ∼ (−1 112
12)
.
Produsul celor doua variabile aleatoare are matricea de repartit, ie:
XY ∶ (−2 −1 1 214
14
14
14)
.
Rezulta ca E(X ) = E(Y ) = E(XY ), deci cov(X, Y ) = 0. Insa putem observa ca X s, i Y nu sıntindependente. Intr-adevar, avem:
P (X = 1 ∧ Y = 1) = P (a1) =14 ≠ P (X = 1) ⋅ P (Y = 1) = 14 ⋅
12 .
In �ne, o alta not, iune de care avem nevoie este funct, ia generatoare.
De�nitie 8.8: Fie X o variabila aleatoare discreta care ia valori naturale.Funct, ia GX (t), de�nita prin:
GX (t) = E(tX ) = ∑n≥0
pntn,
cu t ≤ 1 s, i pn = P (X = n) se numes, te funct, ia generatoare a variabilei aleatoare X .
Funct, ia generatoare codi�ca, de fapt, ın coe�cient, ii unei serii formale, repartit, ia unei variabilealeatoare. Ea are urmatoarele proprietat, i:
65
(a) Daca avem variabilele aleatoare independente X1,… , Xn, iar X = X1 +⋯ + Xn, atunci:
GX (t) = GX1(t)⋯GXn (t);
(b) E(X ) = G′X (1);
(c) D2(X ) = G′′X (1) + G′
X (1) − [G′X (1)]2;
(d) Doua variabile aleatoare cu aceeas, i funct, ie generatoare au aceeas, i repartit, ie.
8.2 Exemple de repartit, ii discreteVom regasi acum, ın contextul teoriei variabilelor aleatoare, scheme clasice de probabilitate.
8.2.1 Repartit, ia binomiala (Bernoulli)Presupunem ca se fac n experient, e independente, ın �ecare din experient, e, probabilitatea de
realizare a unui eveniment A �ind constanta s, i egala cu p (rezulta ca probabilitatea ca A sa nu serealizeze este q = 1 − p).
Numarul de realizari ale evenimentului A ın cele n experient, e se constituie ca o variabilaaleatoare X , ale carei valori posibile sınt k = 0, 1,… , n, ın funct, ie de cıte din experient, e realizeazaA. As, adar, avem P (X = k) = pk .
Cınd consideram �ecare k, cu probabilitatea sa de realizare, mult, imea perechilor (k, pk), k ∈{0, 1,… , n} se numes, te repartit, ie binomiala sau repartit, ie Bernoulli.
Pentru acestea, valorile principalilor parametri sınt:
• P (X = k) = Cknpkqn−k , k ∈ {0, 1,… , n};
• E(X ) = np;
• D2(X ) = npq;
• GX (t) = (pt + q)n.
Observat, ie: Pentru n → ∞, p → 0, astfel ıncıt np = �, probabilitat, ile P (X = k) pot �aproximate prin valorile repartit, iei Poisson (vezi mai jos).
8.2.2 Repartit, ia geometricaFie X numarul de experimente de tip Bernoulli, cu probabilitatea p de succes, care trebuie
repetate pına la aparit, ia primului succes. Atunci:
• P (X = k) = p(1 − p)k−1, k ∈ ℕ∗;
66
• E(X ) = 1p ;
• D2(X ) = 1 − pp2 ;
• GX (t) =pt
1 − qt .
8.2.3 Repartit, ia binomial negativaFie X numarul de experimente de tip Bernoulli cu probabilitatea de succes p care trebuie
efectuate pentru a obt, ine m succese. Atunci:
• P (X = n) = Cm−1n−1 pmqn−m (pentru m = 1, gasim repartit, ia geometrica);
• E(X ) = mp ;
• D2(X ) = mqp2 ;
• GX (t) =pmtm
(1 − qt)m .
8.2.4 Repartit, ia hipergeometricaFie X o variabila aleatoare care reprezinta numarul de bile albe obt, inute dupa n extrageri fara
repunere dintr-o urna ce cont, ine a bile albe s, i b bile negre. Atunci avem:
• P (X = x) = CxaCn−x
bCna+b
, 0 ≤ x ≤ n;
• E(X ) = np;
• D2(X ) = xpq ⋅ a + b − xa + b − 1 , unde p = aa + b , iar q = 1 − p = b
a + b .
8.2.5 Repartit, ia PoissonRepartit, ia Poisson se caracterizeaza printr-un parametru � > 0 (v. repartit, ia binomiala [Ber-
noulli] mai sus). Avem:
• P (X = n) = �nn! ⋅ e
−�, n ∈ ℕ;
• E(X ) = �;
67
• D2(X ) = �;
• GX (t) = e�(t−1).
8.3 Cazul continuuDe�nitie 8.9: Variabila aleatoare X se numes, te absolut continua daca exista o funct, ie integrabilaf ∶ ℝ → ℝ+ astfel ıncıt funct, ia de repartit, ie F (x) a lui X sa �e data de:
F (x) = ∫x
−∞f (t)dt.
In acest caz, f se numes, te densitatea de probabilitate a lui X .
Ca ın cazul discret, avem urmatoarele proprietat, i esent, iale:
(a) Funct, ia f este pozitiva s, i are loc condit, ia de normare
∫∞
−∞f (x)dx = 1.
(b) In orice punct de continuitate a lui f , avem F ′(x) = f (x);
(c) P (a ≤ X ≤ b) = ∫b
af (x)dx ;
(d) E(X ) = ∫∞
−∞xf (x)dx ;
(e) Daca X are densitatea X , iar Y = aX + b este o alta variabila aleatoare, cu a, b ∈ ℝ, a ≠ 0,atunci Y are densitatea:
fY (x) =1|a| f(
x − ba ).
De�nitie 8.10: Pentru orice variabila aleatoare X , funct, ia:
'X (t) = E(eitX )
se numes, te funct, ia caracteristica a lui X .
Funct, ia caracteristica joaca un rol similar funct, iei generatoare din cazul discret. Astfel, ea areurmatoarele proprietat, i:
(a) Daca X1,… , Xn sınt variabile aleatoare independente, iar X = X1 +⋯ + Xn, atunci:
'X (t) =n
∏k=1
'Xk (t);
68
(b) Daca X admite moment de ordinul n, atunci:
E(X k) = '(k)X (0)ik , 1 ≤ k ≤ n;
(c) Doua variabile aleatoare cu aceeas, i funct, ie caracteristica au aceeas, i repartit, ie;
(d) Daca X este discreta, atunci obt, inem:
'X (t) = ∑neitanpn;
(e) Daca X are densitatea de repartit, ie f (x), atunci:
'X (t) = ∫∞
−∞eitxf (x)dx,
iar ın punctele de continuitate ale lui f , are loc relat, ia:
f (x) = 12� ∫
∞
−∞e−itx'X (t)dt.
In continuare, prezentam cele mai cunoscute repartit, ii absolut continue.
8.4 Repartit, ii absolut continue
8.4.1 Repartit, ia normala (gaussiana)Data media m s, i abaterea patratica � , repartit, ia variabilei aleatoare X are densitatea:
f (x) = 1�√2� ⋅ e− (x−m)
22�2 .
In acest caz, se mai noteaza X ∼ N (m, � ).Pentru cazul particular m = 0 s, i � = 1, X se numes, te variabila aleatoare standard.Funct, ia caracteristica este data de 'X (t) = eimt−
�2t22 .
Pentru cazul variabilelor normale standard, funct, ia de repartit, ie are o forma particulara s, i senumes, te funct, ia lui Laplace:
Φ(x) = 1√2� ∫x
−∞e− t
22 dt.
Observat, ie: Valorile funct, iei Laplace sınt tabelate s, i, de obicei, se dau ın probleme.
69
In general, daca avem o variabila aleatoare normala de tipN (m, � ), atunci funct, ia ei de repartit, ieF se poate obt, ine din funct, ia lui Laplace ın forma:
F (x) = Φ(x −m� ).
As, adar, avem:P (a ≤ X ≤ b) = Φ(
b −m� ) − Φ(
a −m� ), (8.1)
de unde putem obt, ine mai departe:
P (|X −m| < "� ) = Φ(") − Φ(−") = 2Φ(") − 1.
8.4.2 Repartit, ia uniformaPentru un interval [a, b], densitatea de repartit, ie este:
f (x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1b − a , a ≤ x ≤ b0, ın rest
.
In acest caz, avem media E(X ) = a + b2 s, i D2(X ) = (b − a)
2
12 .
8.4.3 Repartit, ia exponent, ialaDat un parametru � > 0, repartit, ia exponent, iala are densitatea:
f (x) ={�e−�x , x > 00, x ≤ 0 .
Pentru aceasta, avem:
• E(X ) = 1� ;
• D2(X ) = 1�2 ;
• 'X (t) = (1 −it� )
−1.
70
8.4.4 Repartit, ia GammaDat, i parametrii �, p > 0, densitatea variabilei aleatoare de repartit, ie Gamma este:
f (x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
�pΓ(p)x
p−1e−�x , x > 00, x ≤ 0
,
unde Γ este funct, ia lui Euler. In acest caz, avem:
• E(X ) = p� ;
• D2(X ) = p�2 ;
• 'X (t) = (1 −it� )
−p.
Din repartit, ia Gamma, putem obt, ine alte cıteva cazuri particulare:
• pentru p = 1, se obt, ine repartit, ia exponent, iala;
• pentru � = 12 , p =
n2 , se obt, ine repartit, ia numita hi patrat, cu n grade de libertate, notata
� 2(n).
8.4.5 Repartit, ia Cauchy
Aceasta are densitatea f (x) = 1� (1 + x2) .
In acest caz, X nu admite valoare medie.
8.5 Exercit, ii1. Doi parteneri egal cotat, i boxeaza 12 runde. Probabilitatea ca oricare dintre ei sa cıs, tige o
runda este 50%. Sa se calculeze valoarea medie, dispersia s, i abaterea medie patratica a variabileialeatoare care reprezinta numarul de runde cıs, tigate de unul din parteneri.
Solut, ie: Variabila aleatoare are o distribut, ie binomiala. Astfel, avem:
• P (X = k) = Ck1212k ⋅
1212−k ;
• E(X ) = np = 12 ⋅ 12 ;
71
• D2(X ) = npq = 12 ⋅ 12 ⋅12 = 3;
• D(X ) =√D2(X ) = √3.
2. La o agent, ie de turism s-a constatat ca 5% dintre persoanele care au facut rezervari renunt, a.Se presupune ca s-au facut 100 de rezervari pentru un hotel cu 95 locuri. Care este probabilitateaca toate persoanele ce se prezinta la hotel sa aiba loc?
Solut, ie: Fie X variabila aleatoare corespunzatoare numarului de persoane care se prezinta lahotel. X urmeaza o repartit, ie binomiala, cu n = 100 s, i p = 0, 95. Atunci avem:
P (X ≤ 95) = 1 − P (X > 95) = 1 −100∑k=96
Ck100(0, 05)100−k ⋅ (0, 95)k .
3. La examenul de matematica, probabilitatea ca o teza sa �e notata cu nota de trecere este75%. Se aleg la ıntımplare 10 lucrari. Fie X variabila aleatoare ce reprezinta numarul tezelor cevor � notate cu nota de trecere. Calculat, i:
(a) repartit, ia lui X ;
(b) E(X ), D2(X );
(c) P (X ≥ 5), P (7 ≤ X ≤ 10/X ≥ 8), P (X = 10);
(d) funct, ia caracteristica a lui X .
Solut, ie: (a) Avem o variabila aleatoare cu repartit, ie binomiala s, i n = 10, p = 0, 75. Atunci X iavalorile x ∈ {0, 1,… , 10} cu probabilitat, ile corespunzatoare distribut, iei binomiale, deci:
p(x) = Cx10(0, 75)x ⋅ (0, 25)10−x .
(b) Conform formulelor de calcul, avem:
E(X ) = np = 10 ⋅ 0, 75 = 7, 5D2(X ) = npq = 10 ⋅ 0, 75 ⋅ 0, 25 = 1, 875.
(c)
P (X ≥ 5) =10∑x=5
Cx10(0, 75)x ⋅ (0, 25)10−x
Pentru P (7 ≤ X ≤ 10/X ≥ 8) avem un eveniment condit, ionat. Daca A s, i B sınt doua eve-nimente, amintim ca probabilitatea P (A/B), adica probabilitatea evenimentului A condit, ionat deevenimentul prealabil B este:
P (A/B) = P (A ∩ B)P (B) .
72
Atunci, obt, inem:
P (7 ≤ X ≤ 10/X ≥ 8) = P (8 ≤ X ≤ 10)P (X ≥ 8)
= ∑10x=8 Cx
10(0, 75)x (0, 25)10−x∑10
x=8 Cx10(0, 75)x (0, 25)10−x
= 1
In �ne:P (X = 10) = C10
10 (0, 75)x (0, 25)0.(d) Calculam succesiv:
'X (t) = E(eitX )
=10∑x=0
eitxCx10(0, 75)x (0, 25)10−x
= (0, 75 ⋅ eit + 0, 25)10.
4. Presupunem ca la 100 de convorbiri telefonice au loc 1000 de bruiaje. Care este probabili-tatea de a avea o convorbire fara bruiaje? Dar una cu cel put, in 2 bruiaje?
Variabila aleatoare ce reprezinta numarul de bruiaje se considera a � repartizata Poisson, cu� = E(X ).
Solut, ie: Avem E(X ) = 1000100 = 10 = �, care este s, i parametrul distribut, iei Poisson. Atunci:
P (X = 0) = e−10 ⋅ 100
0! = e−10
P (X ≥ 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1)= 1 − e−10 − 10 ⋅ e−10.
5. Intr-o mina au loc ın medie 2 accidente pe saptamına, distribuite dupa legea Poisson. Sa secalculeze probabilitatea de a avea cel mult 2 accidente:
(a) ıntr-o saptamına;
(b) ın 2 saptamıni;
(c) ın �ecare saptamına dintr-un interval de 2 saptamıni.
73
Solut, ie: (a) Fie X variabila aleatoare ce desemneaza numarul de accidente dintr-o saptamına.Distribut, ia este de tip Poisson, cu � = E(X ) = 2. Atunci:
P (X ≤ 2) = e−2(1 +21! +
42!) = 5e
−2.
(b) Fie Y variabila aleatoare ce desemneaza numarul de accidente ın 2 saptamıni. Distribut, iaeste de asemenea de tip Poisson, cu � = 2 + 2 = 4. Atunci:
P (Y ≤ 2) = e−5(1 +41! +
162! ) = 13e
−4.
(c) Probabilitatea ceruta este:
P (X ≤ 2) ⋅ P (X ≤ 2) = 25e−4.
6. La un anumit cıntar erorile de masurare sınt normal distribuite cu m = 0 s, i � = 0, 1g. Dacase cıntares, te un obiect la acest aparat, care este probabilitatea ca eroarea de masurare sa �e maimica decıt 15g?
Solut, ie: Fie X variabila aleatoare care reprezinta eroarea de masurare data cınd un obiect estecıntarit. Aceasta variabila este continua s, i distribuita normal cu parametrii dat, i. Notam acestlucru cu X ∼ N (0; 0, 1). Vrem sa calculam probabilitatea P (−0, 15 ≤ X ≤ 0, 15).
Avem succesiv (cf. (8.1)):
P (−0, 15 ≤ X ≤ 0, 15) = P(−0, 15 − 00, 1 ≤ X ≤ −0, 15 + 0
0, 1 )= P (−1, 5 ≤ X ≤ 1, 5)= Φ(1, 5) − Φ(−1, 5)= Φ(1, 5) − 1 + Φ(1, 5)= 0, 8664.
Observat, ie: Cum exercit, iile din acest seminar sınt rezolvate integral, pentru tema, putet, ialege exercit, ii nerezolvate �e din notit, ele doamnei profesoare Costache (paginile 102–105) saudin cartea de la Universitatea din Ias, i (paginile 82–87). Chiar daca exercit, iile au raspunsuri, ca s, ipına acum, solut, iile trebuie ınsot, ite de un videoclip care sa le explice.
74
SEMINAR 9
VECTORI ALEATORI BIDIMENSIONALI
Putem gındi vectorii aleatori bidimensionali ca pe nis, te matrice aleatoare. Insa not, iunea estechiar ceva mai generala. Astfel, daca X s, i Y sınt doua variabile aleatoare, atunci pur s, i simpluformam perechea (X, Y ), care se numes, te vector aleator bidimensional. In majoritatea cazurilor,vom lucra cu X s, i Y de�nite pe acelas, i spat, iu de evenimente, deci daca card(X ) = card(Y ) = n,atunci perechea lor devine o matrice aleatoare 2 × n.
Repartit, ia unei astfel de matrice aleatoare se calculeaza intuitiv folosind repartit, iile individu-ale. Avem, deci:
P (X = xi , Y = yj) = pij ,unde se pot considera 1 ≤ i ≤ n s, i 1 ≤ j ≤ m. Mai notam probabilitat, ile individuale cu pi , respectivqj , adica pi = P (X = xi) s, i qj = P (Y = yj). Aceste marimi se mai numesc probabilitat, i marginale.
Evident, daca �xam oricare dintre cele doua variabile, obt, inem, de exemplu, pentru X �xat:
∪j(X = xi , Y = yj) = ∑jP (X = xi , Y = yj) = ∑
jpij = pi ,
deoarece ambele variabile aleatoare X s, i Y sınt, individual, normate. Adica ∑i pi = ∑i P (X =xi) = ∑j qj = ∑j P (Y = yj) = 1.
Analog, desigur, ∑i pij = qj .Luate ımpreuna, obt, inem automat condit, ia de normare pentru perechea de variabile aleatoare,
adica ∑i,j pij = 1, ın ipoteza ca ambele componente ale perechii sınt normate.Notam cu F(X,Y )(x, y) = P (X < x, Y < y) funct, ia de repartit, ie a perechii de variabile aleatoare
(vectorului aleator bidimensional) (X, Y ). Separat, FX (x) s, i FY (y) se numesc funct, ii de repartit, iemarginale ale vectorului aleator (X, Y ).
Pentru cazul continuu, ıntılnim not, iunea cunoscuta din cazul vectorilor aleatori 1-dimensionali.Mai precis, avem:
F(X,Y )(x, y) = ∫x
−∞∫−∞y
f (u, v)dudv,
75
unde f este densitatea de probabilitate s, i este o funct, ie cu valori pozitive, dublu-normata, adica:
∫∞
−∞∫
∞
−∞f (u, v)dudv = 1.
Totodata, putem recupera din aceasta ecuat, ie s, i densitatea de probabilitate s, tiind funct, ia derepartit, ie, prin:
f (x, y) = )2F(X,Y )(x, y))x)y ,
evident, pentru punctele (x, y) unde egalitatea are sens.
9.1 Repartit, ii condit, ionatePornim cu un vector aleator bidimensional (X, Y ), discret. Ne punem problema din cazul proba-bilitat, ilor condit, ionate, i.e. vom nota cu P (xi/yj) probabilitatea sa aiba loc evenimentul X = xi ,s, tiind ca a avut loc (i.e. condit, ionat de) evenimentul Y = yj .
Aceasta se poate calcula simplu, ca ın cazul probabilitat, ilor condit, ionate:
P (xi/yj) =P (X = xi , Y = yj)
P (Y = yj)= pijqj.
Invers, obt, inem desigur P (yj/xi) =pijpi
.Daca �xam un eveniment Y = y, putem de�ni o funct, ie de repartit, ie condit, ionata, F (x/y) =
P (X < x/Y = y), asociata vectorului X (deoarece Y este �xat). Aceasta se calculeaza generalizındformulele de mai sus pe cazul continuu, anume:
F (x/y) = 1fY (y)
⋅ ∫x
−∞f (u, v)du.
Prin derivare ın raport cu x , obt, inem densitatea de probabilitate a lui X , ın ipoteza ca Y = y:
fX (x/y) =f (x, y)fY (y)
.
9.2 Variabile aleatoare independenteS, tim deja ca doua variabile aleatoare X s, i Y sınt independente daca evenimentele X = xi s, i Y = yjsınt independente, adica daca are loc:
P (X = xi , Y = yj) = P (X = xi) ⋅ P (Y = yj).
76
Egalitatea poate � formulata s, i cun funct, iile de repartit, ie:
F(X,Y )(x, y) = FX (x) ⋅ FY (y).
Mai mult decıt atıt, rezultatul de mai jos ne arata ca egalitatea are loc s, i pentru densitat, ile deprobabilitate:
Teorema 9.1: Fie X, Y variabile aleatoare cu densitat, ile de probabilitate fX , respectiv fY . Atunci Xs, i Y sınt independente daca s, i numai daca are loc:
f (x, y) = fX (x) ⋅ fY (y),
unde f (x, y) este densitatea de probabilitate a vectorului (X, Y ), format de cele doua variabile alea-toare.
Atent, ie: Daca lucram cu alte variabile aleatoare U , V , obt, inute din X s, i Y prin transformarifunct, ionale de forma generala:
U = '(X, Y ), V = (X, Y ),
atunci calculele care folosesc densitat, ile de probabilitate s, i funct, iile de repartit, ie se fac folosindschimbari de variabile de forma:
u = '(x, y), v = (x, y)⇔ x = '1(u, v), y = 1(u, v),
dupa care noua densitate de probabilitate se schimba cu ajutorul jacobianului transformarilor demai sus:
f(U ,V )(u, v) =||||D(x, Y )D(u, v)
||||⋅ f(X,Y )('1(u, v), 1(u, v)),
unde:||||D(x, y)D(u, v)
||||= det(
xu xvyu yv) ,
determinantul matricei jacobiene a transformarii (xu =)x)u etc.).
Dintre toate caracteristicile numerice asociate variabilelor aleatoare (medie, dispersie, coe�-cient de corelat, ie, covariant, a), pentru cazul bidimensional avem ın plus media condit, ionata. Ast-fel, �e X, Y variabile aleatoare discrete. Atunci putem calcula mediile condit, ionate prin:
• E(X /Y = yj) = ∑i xi ⋅ P (xi/yj);
• E(Y /X = xi) = ∑j yjP (yj/xi).Pentru cazul continuu, sumele devin integrale, iar probabilitat, ile devin densitat, i:
• E(X /Y = y) = ∫ ∞−∞ x ⋅ fX (x/y)dx ;
• E(Y /X = x) = ∫ ∞−∞ y ⋅ fY (y/x)dy.
77
9.3 Caracteristici numericeMedia s, i dispersia unei variabile aleatoare au fost discutate anterior. De asemenea, atunci cındlucram cu doua sau mai multe variabile aleatoare, devin relevante s, i alte marimi, precum covariant, as, i coe�cientul de corelat, ie. Le redam mai jos, ımpreuna cu proprietat, i importante ale lor s, i ale me-diei s, i dispersiei.
Funct, ia de medie are urmatoarele proprietat, i esent, iale:
(a) Liniaritatea: E(�X + �Y ) = �E(X ) + �E(Y ), pentru orice �, � ∈ ℂ;
(b) Monotonia: Daca X ≤ Y , atunci E(X ) ≤ E(Y );
(c) Daca X este o constanta c, atunci E(X ) = c;
(d) Daca X s, i Y sınt variabile aleatoare independente, adica descriu evenimente independente,atunci E(XY ) = E(X ) ⋅ E(Y ).Funct, ia de dispersie are proprietat, ile:
(a) D2(X ) = E(X 2) − (E(X ))2;
(b) D2(X ) ≥ 0;
(c) D2(X ) = 0 ⇔ P (X = E(X )) = 1, adica X este o constanta cu probabilitatea 1 (X descrie doarevenimentul sigur);
(d) Cebıs, ev: Pentru orice " > 0, are loc:
P (|X − E(X )| ≥ ") < D2(X )"2 .
Echivalent, se mai poate scrie:
P (|X − E(X )| < ") ≥ 1 − D2(X )"2 .
(e) D2(�X ) = �2D2(X ), pentru orice � ∈ ℂ;
(f) Daca X s, i Y sınt independente, atunci:
D2(X + Y ) = D2(X ) + D2(Y ).
Mai de�nim doua marimi care se asociaza variabilelor aleatorii.
De�nitie 9.1: Fie X s, i Y doua variabile aleatoare. Numim covariant, a a variabilelor X s, i Y , notatacov(X, Y ) numarul:
cov(X, Y ) = E((X − E(X ))(Y − E(Y ))) = E(XY ) − E(X )E(Y ).
78
Proprietat, ile esent, iale ale covariant, ei sınt date de:(a) Daca X s, i Y sınt variabile aleatoare independente, atunci cov(X, Y ) = 0;(b) Daca X1,… , Xn sınt variabile aleatoare cu dispersiileD2
i s, i covariant, ele cov(Xi , Xj), i ≠ j, atunciare loc:
D2(
n∑i=1
Xi) =n∑i=1
D2i + 2∑
i<jcov(Xi , Xj).
De�nitie 9.2: Daca X s, i Y sınt variabile aleatoare, se numes, te coe�cient de corelat, ie al lor, notat�(X, Y ), numarul calculat prin:
�(X, Y ) = cov(X, Y )√D2(X ) ⋅ D2(Y )
Se poate vedea din de�nit, ie ca, atıt covariant, a, cıt s, i corelat, ia arata ”gradul de independent, a“ avariabilelor aleatoare X s, i Y . Intr-adevar, daca X s, i Y sınt independente, atunci avem �(X, Y ) = 0.A�rmat, ia reciproca este, ınsa, falsa!
Sa luam un exemplu: Fie A = {a1, a2, a3, a4}, cu P (ai) =14 .
Presupunem ca variabila aleatoare X realizeaza corespondent, a:
X (a1) = 1, X (a2) = −1, X (a3) = 2, X (a4) = −2.Atunci, ea are matricea de repartit, ie:
X ∼ (−2 −1 1 214
14
14
14)
.
Presupunem ca o alta variabila aleatoare Y realizeaza corespondent, a:
Y (a1) = 1, Y (a2) = 1, Y (a3) = −1, Y (a4) = −1.Atunci matricea ei se poate reduce la:
Y ∼ (−1 112
12)
.
Produsul celor doua variabile aleatoare are matricea de repartit, ie:
XY ∶ (−2 −1 1 214
14
14
14)
.
Rezulta ca E(X ) = E(Y ) = E(XY ), deci cov(X, Y ) = 0. Insa putem observa ca X s, i Y nu sıntindependente. Intr-adevar, avem:
P (X = 1 ∧ Y = 1) = P (a1) =14 ≠ P (X = 1) ⋅ P (Y = 1) = 14 ⋅
12 .
In �ne, o alta not, iune de care avem nevoie este funct, ia generatoare.
79
De�nitie 9.3: Fie X o variabila aleatoare discreta care ia valori naturale.Funct, ia GX (t), de�nita prin:
GX (t) = E(tX ) = ∑n≥0
pntn,
cu t ≤ 1 s, i pn = P (X = n) se numes, te funct, ia generatoare a variabilei aleatoare X .
Funct, ia generatoare codi�ca, de fapt, ın coe�cient, ii unei serii formale, repartit, ia unei variabilealeatoare. Ea are urmatoarele proprietat, i:
(a) Daca avem variabilele aleatoare independente X1,… , Xn, iar X = X1 +⋯ + Xn, atunci:
GX (t) = GX1(t)⋯GXn (t);
(b) E(X ) = G′X (1);
(c) D2(X ) = G′′X (1) + G′
X (1) − [G′X (1)]2;
(d) Doua variabile aleatoare cu aceeas, i funct, ie generatoare au aceeas, i repartit, ie.
9.4 Exercit, ii1. Fie variabilele aleatoare:
X = (−1 20.5 0.5) , Y = (
−2 0 10.3 0.3 0.4) .
(a) Calculat, i E(X /Y = 1);
(b) Calculat, i D2(X ) s, i D2(Y );
(c) Calculat, i XY s, i apoi E(XY );
(d) Determinat, i coe�cientul de corelat, ia �(X, Y ).
2. Fie vectorul aleator (X, Y ), cu densitatea de repartit, ie:
f (x, y) ={e−y , 0 < x < y0, ın rest
.
Determinat, i:
(a) Densitat, ile marginale fX (x) s, i fY (y);
80
(b) Densitatea variabilei aleatoare Y condit, ionata de X ;
(c) Probabilitatea ca (x, y) ∈ (X, Y ) sa apart, ina patratului unitate [0, 1] × [0, 1].
3. Fie vectorul aleator (X, Y ), cu densitatea de repartit, ie:
f (x, y) ={k, 0 < y ≤ x < 10, ın rest
,
unde k ∈ ℝ este o constanta �xata.
(a) Determinat, i k, astfel ıncıt funct, ia de mai sus sa �e corect de�nita, ca densitate de repartit, ie;
(b) Determinat, i densitat, ile de repartit, ie marginale fX (x), fY (y);
(c) Calculat, i P (0 < X < 0.5, 0 < Y < 0.5);
(d) Determinat, i densitat, ile condit, ionate f (y/x) s, i f (x/y).
4. Fie funct, ia:
f (x, y) ={x2 + xyc , x ∈ (0, 1), y ∈ (0, 2)0, ın rest
.
(a) Determinat, i c ∈ ℝ astfel ıncıt f (x, y) sa �e o densitate de repartit, ie;
(b) Determinat, i funct, ia de repartit, ie F(X,Y )(x, y) a vectorului aleator bidimensional (X, Y ) care aredensitatea de repartit, ie calculata mai sus;
(c) Determinat, i densitat, ile marginale fX (x), fY (y) s, i funct, iile de repartit, ie FX (x), FY (y);
(d) Calculat, i P (X > 0.5) s, i P (Y < 0.5/X < 0.5);
(e) Calculat, i densitatea de repartit, ie condit, ionata F (Y |X = x).
5. Vectorul aleator (X, Y ) se da prin tabloul de repartit, ie comuna:
X ∣ Y y1 = −2 y2 = −1 y3 = 4 y4 = 5x1 = 1 p11 = 0.1 p12 = 0.2 p13 = 0 p14 = 0.3x2 = 2 p21 = 0.2 p22 = 0.1 p23 = 0.1 p24 = 0
.
(a) Determinat, i repartit, iile marginale pX s, i pY ale celor doua variabile aleatoare X s, i Y ;
(b) A�at, i daca variabilele aleatoare sınt independente;
81
(c) Calculat, i E(X ) s, i E(Y );
(d) Calculat, i cov(X, Y ) si determinat, i daca variabilele aleatoare sınt corelate sau nu;
(e) Calculat, i �(X, Y ).
6. Vectorul aleator (X, Y ) se da prin tabloul de repartit, ie comuna:
X ∣ Y y1 = 0 y2 = 1x1 = −1 p11 = � p12 = 3/20x2 = 0 p21 = 3/20 p22 = 1/4x3 = 1 p31 = 1/4 p32 = 3/20
.
(a) Determinat, i parametrul �;
(b) Determinat, i D2(X ) s, i D2(Y );
(c) Veri�cat, i daca cele doua variabile aleatoare sınt independente.
7. Vectorul aleator (X, Y ) se da prin tabloul de repartit, ie comuna:
X ∣ Y y1 = 0 y2 = 1 y3 = 2x1 = 2 p11 = 0.2 p12 = 0.3 p13 = 0.1x2 = 3 p21 = 0.1 p22 = 0.1 p23 = �
.
(a) Determinat, i parametrul �;
(b) Determinat, i repartit, iile marginale ale vectorului aleator (X, Y );
(c) Calculat, i E(Y /X = 2) s, i E(X /Y = 2).
Observat, ie: Exercit, iile din seminar valoreaza �ecare cıte 2 puncte.
82
SEMINAR 10
S, IRURI DE VARIABILE ALEATOARE
Pentru aspectele teoretice privitoare la aceste not, iuni, putet, i consulta Lect, ii de matematici speci-ale, L. Costache.
In continuare, vom insista pe exercit, ii.
10.1 Exercit, ii rezolvate1. Fie variabila aleatoare:
X = (0.2 0.3 0.4 0.50.1 0.2 0.3 0.4) .
Estimat, i probabilitatea P ({|X −m| < 0.2}), unde m = M[X ] = E[X ] este media lui X .Solut, ie: Se foloses, te inegalitatea lui Cebıs, ev, sub forma:
P ({|X −m| < "}) ≥ 1 − �2
"2 ,
unde � este dispersia, iar " = 0.2 ın acest caz (alegem).Avem succesiv: M[X ] = 0.4, deci (M[X ])2 = 0.16, iar variabila la patrat este:
X 2 = (0.04 0.09 0.16 0.250.1 0.2 0.3 0.4 ) .
Rezulta M[X 2] = 0.17, de unde obt, inem � 2 = D2[X ] = M[X 2] − (M[X ])2 = 0.01.Din egalitatea lui Cebıs, ev, rezulta ın �ne:
P ({|X −m| < 0.02}) ≥ 0.9975.
83
2. Se arunca 2 monede, simultan, de 800 de ori. Determinat, i probabilitatea de aparit, ie a stemeipe ambele monede de un numar de ori cuprins ıntre 150 s, i 250.
Solut, ie: Fie evenimentul A, care arata ca apare stema pe ambele monede. Pentru o singuraaruncare, avem p = P (A) = 14 .
Fie acum o variabila aleatoare cu repartit, ie binomiala (potrivita pentru studiul aruncarii mo-nedelor), deci de forma:
X = (k
Cknpkqn−k)
,
unde n = 800, 1 ≤ k ≤ 800 s, i p =14 .
Media variabilei (folosim direct formulele cunoscute din seminariile anterioare) este M[X ] =np = 800 ⋅ 14 = 200, iar dispersia se calculeaza cu:
� 2 = np(1 − p) = 150.
Acum, din egalitatea lui Cebıs, ev:
P ({|X −m| < "}) ≥ 1 − �2
"2 ,
unde m = M[X ], trebuie sa determinam " convenabil.Evenimentul cautat |X −m| < " poate � scris ın mod echivalent:
m − " < X < " +m ⇒ 200 − " < X < " + 200.
Dar ın ipoteza, avem cerint, a 150 < X < 250, deci se ajunge la sistemul:{200 − " = 150200 + " = 250 ,
sistem care are solut, ia " = 50. Acum revenim ın inegalitatea lui Cebıs, ev s, i obt, inem:
P (150 < X < 250) ≥ 1 − 150502 ⇒ P (150 < X < 250) ≥ 0.94.
3. Un zar se arunca de 1200 de ori. Sa se determine probabilitatea minima ca numarul deaparit, ii ale fet, ei cu i puncte, pentru un i �xat, sa �e ıntre 150 s, i 250.
Solut, ie: Fie evenimentul A care arata ca apare fat, a cu i puncte, pentru un i �xat, la o anumearuncare. Consideram n = 1200 variabile aleatoare identic repartizate, cu forma Bernoulli (potri-vita pentru aruncarea zarului), deci:
Xk = (1 0p q) ,
84
unde p + q = 1 s, i P (Xk = 1) = P (A) = p =16 .
Media unei asemenea variabile (din formula corespunzatoare cazului Bernoulli) este M[Xk] =p, pentru orice k.
Vom folosi legea slaba a numerelor mari, ın forma generala, unde frecvent, a relativa de aparit, iea evenimentului A este f1200 =
k1200 . Rezulta:
P (||||k
1200 −16||||< ") > 1 − �,
unde avem n = 14�"2 , care conduce la � = 1
4 ⋅ 1200 ⋅ "2 .Pentru a determina valoarea lui ", calculam:
||||k
1200 −16||||< " ⇔ 1
6 − " <k
1200 <16 + ",
de unde, ın �ne: 200 − 1200" < k < 200 + 1200". Deoarece cerint, a problemei este 150 < k < 250,se ajunge la sistemul: {
200 − 1200" = 150200 + 1200" = 250 ⇒ " = 1
24 .
Pentru aceasta valoare, avem � = 0.12, deci 1 − � = 0.88. Concluzia este ca probabilitateaceruta este de 80%.
4. Folosind teorema Moivre-Laplace, estimat, i probabilitatea ca din 100 de aruncari ale uneimonede, sa apara banul de un numar de ori cuprins ıntre 40 s, i 60.
Solut, ie: Fie n = 100 variabile aleatoare repartizate identic, binomial (model potrivit pentruaruncarea monedelor). Putem considera simplu:
Xk = (1 0p q) ,
unde P (Xk = 1) = p = 0.5. Media �ecareia dintre aceste variabile este M[Xk] = p. Avem decalculat probabilitatea:
P (a <n∑k=1
Xk < b) , a = 40, b = 60.
Aplicam teorema Moivre-Laplace:
� = limn→∞
P (a <n∑k=1
Xk < b) = �(b − np√npq ) − �(
a − np√npq ) .
85
Rezulta � = �(2) −�(−2) = �(2) − (1 −�(2)). Acum, cu valorile din tabel pentru funct, ia lui Laplace,avem rezultatul cerut ca �ind 0.9544.
5. Fie s, irul de variabile aleatoare, independente (Xn)n∈ℕ, cu repartit, ia:
Xn =⎛⎜⎜⎜⎝
−n 0 n
12n2 1 − 1
n212n2
⎞⎟⎟⎟⎠
.
Aratat, i ca acest s, ir de variabile aleatoare ındeplines, te condit, iile legii numerelor mari ın formaCebıs, ev.
Solut, ie: Avem de aratat ca dispersiile s, irului de variabile aleatoare sınt �nite s, i uniform marginite,adica exista c ∈ ℝ constanta, astfel ıncıt � 2(Xk) ≤ c, pentru tot, i k.
Dar calcule imediate arata:
M[Xn] = −n2n2 +
n2n2 = 0
M[X 2n ] =
n22n2 +
n22n2 = 1
� 2 = M[X 2n ] −M2[Xn] = 1 − 0 = 1,
care adeveresc condit, ia.
10.2 Exercit, ii propuse1. Timpul mediu de raspuns al unui calculator este de 15 secunde pentru o anumita operat, ie,
cu abaterea standard de 3 secunde.Estimat, i probabilitatea ca timpul de raspuns sa se abata cu mai put, in de 5 secunde fat, a de
medie.Indicat, ie: Folosit, i inegalitatea Cebıs, ev.
2. Aratat, i ca s, irul de variabile aleatore (Xn)n, independente, cu repartit, ia:
Xn = (−√ln n
√ln n
0.5 0.5 )
urmeaza legea slaba a numerelor mari.Indicat, ie: Veri�cat, i mai ıntıi daca variabilele din s, ir au dispersii �nite, iar ın caz negativ,
veri�cat, i formularea Markov.
3. Intr-o s, coala se a�a 100 de unitat, i electrice care funct, ioneaza independent. Probabilitateadeconectarii uneia dintre ele ıntr-un interval de timp dat este de 5%. Determinat, i probabilitateaca ın acest interval anume sa �e deconectate:
86
(a) nu mai put, in de 5 unitat, i;
(b) nu mai mult de 5 unitat, i;
(c) ıntre 5 s, i 10 unitat, i.
Indicat, ie: Teorema Moivre-Laplace, pentru variabile repartizate Bernoulli.
4. Se s, tie ca 5% dintre produsele unui anumit lot sınt defecte. Care este probabilitatea cadintr-o select, ie de 200 de produse, cel put, in 10% sa �e defecte?
Indicat, ie: Teorema Moivre-Laplace, pentru variabile repartizate Bernoulli.
5. O fabrica foloses, te 2 tipuri de aparate, A s, i B. Dupa un timp, tipul A se strica s, i trebuiereparate cu probabilitatea de 20%, iar tipul B, cu probabilitatea de 40%.
Numarul total de aparate din tip A disponibile ın fabrica este de 1000, iar cele de tip B sınt ınnumar de 1500.
(a) Care este probabilitatea ca la un moment dat, numarul de aparate care trebuie reparate (deoricare dintre tipuri) sa �e ıntre 750 s, i 850?
(b) Determinat, i, cu o probabilitate de 0.99, numarul maxim de aparate care ar trebui reparate laun moment dat.
Indicat, ie: Teorema Moivre-Laplace, pentru variabile repartizate Bernoulli (considerat, i douas, iruri, corespunzatoare celor doua tipuri de aparate).
87
INDEX
convolut, ie, 36
formulaCauchy, 10
funct, ieL1, 43analitica, 20complexa
reziduu, 12original, 27
integralacomplexa, 9trigonometrica, 18
semnaldiscret, 36intırziat, 36unitar, 36
serie
de puteri complexa, 19Laurent, 20
singularitateaparenta, 21esent, iala, 22izolata, 21pol, 22reziduu, 23
teoremacalculul reziduurilor, 12Cauchy, 9Mellin-Fourier, 35reziduurilor, 12
transformataFourier, 44
inversa, 44Laplace, 27Z, 36
88
![Zona protejat` nr - urbanism.pmb.rourbanism.pmb.ro/Informaţii publice/Zone protejate construite/Zone... · cazul) arhitectura ini]iala a fa]adelor. - arhitectura noilor cl`diri va](https://static.fdocumente.com/doc/165x107/5e12781e40d88214781b554a/zona-protejat-nr-ii-publicezone-protejate-construitezone-cazul-arhitectura.jpg)