Clasa a VI a - Semestrul I

GHID DE PREDARE A MATEMATICII

CU AJUTORUL METODELOR DIGITALE

Clasa a VI a - Semestrul I

Realizat de Cristina Mihaela Pop, Ciprian Ittu, Szilard Szasz, Carmen Buta și Nicoleta Duma, profesori de matematică, coordonat de Adina Roșca, expert Educațional Digitaliada Revizuit de Cristian Petru Pop, Inspector de Matematică ISJ Cluj

Textul și ilustrațiile din acest material sunt licențiate de Fundația Orange conform termenilor și condițiilor licenței AttributionNonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) care poate fi consultată pe pagina web https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/ . Ilustrațiile din acest material reprezintă capturi din aplicațiile recomandate pentru utilizare. Coperta, ilustrațiile, mărcile înregistrate, logo-urile Fundația Orange, Digitaliada și orice alte elemente de marcă incluse pe copertă sunt protejate prin drepturi de proprietate intelectuală exclusive și nu pot fi utilizate fără consimțământul anterior expres al titularilor de drepturi.

https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/

1

Cuprins Introducere................................................................................................................................................... 2

Avantaje ale utilizării aplicațiilor digitale și resurselor educaționale digitale în procesul instructiv –

educativ ........................................................................................................................................................ 3

ALGEBRĂ ................................................................................................................................................... 4

Mulțimi: descriere, notații, reprezentări. Mulțimi numerice și nenumerice. Relația dintre element

și mulțime ................................................................................................................................................. 5

Relații între mulțimi. Mulțimi finite și mulțimi infinite ....................................................................... 8

Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență ........................................................................ 11

Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime ................................... 15

Determinarea c.m.m.d.c. și a c.m.m.m.c. ............................................................................................. 18

Numere prime între ele ......................................................................................................................... 21

Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale .......................................................... 23

GEOMETRIE ............................................................................................................................................ 25

Unghiuri opuse la vârf .......................................................................................................................... 26

Unghiuri formate în jurul unui punct ................................................................................................. 29

Unghiuri complementare și unghiuri suplementare........................................................................... 32

Unghiuri adiacente ................................................................................................................................ 35

Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei unui unghi ............................................................. 38

Unghiuri formate de două drepte cu o secantă ................................................................................... 42

Drepte paralele. Axioma paralelelor.................................................................................................... 44

Criterii de paralelism (unghiuri formate de două drepte paralele cu o secantă) ............................ 48

Drepte perpendiculare în plan. Oblice ................................................................................................ 51

Distanța de la un punct la o dreaptă .................................................................................................... 55

Mediatoarea unui segment. Construcția mediatoarei unui segment ................................................ 58

Simetria față de o dreaptă .................................................................................................................... 62

Cercul ..................................................................................................................................................... 65

Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc ................................................................................. 71

Pozițiile relative a două cercuri ............................................................................................................ 76

2

Introducere

Digitaliada este un program de educație digitală ce încurajeaza folosirea la clasă a metodelor de

lucru interactive și a conținutului digital educativ, pentru a crește performanțele școlare ale

elevilor. Programul are două componente:

la nivel național - platforma www.digitaliada.ro, care conține materiale digitale educative

validate de experți în educație

la nivel rural - proiectul Digitaliada în școli gimnaziale de la sate

Lansată în septembrie 2016, platforma www.digitaliada.ro încurajează crearea și partajarea de

conținut educațional liber ce poate fi folosit de orice persoană din România. Pe platformă,

Digitaliada pune la dispoziția publicului larg o serie de materiale digitale educaționale, realizate

în cadrul proiectului de profesorii și autorii parteneri #Digitaliada și de cadrele didactice sau alte

persoane interesate de acest domeniu. Aceste resurse pot fi folosite, la alegerea profesorului, în

procesul de predare la ciclul gimnazial.

În cadrul acestui Ghid veți regăsi recomandări bazate pe experiența acumulată în cadrul

programului Digitaliada și a implementării acestuia în 50 de școli din mediul rural în perioada

2016-2021.

https://www.digitaliada.ro/

https://www.digitaliada.ro/

3

Avantaje ale utilizării aplicațiilor digitale și resurselor educaționale

digitale în procesul instructiv – educativ

oferă elevilor un instrument modern și atractiv de exersare a noțiunilor teoretice și de

formare a competențelor specifice;

elevii pot colabora, pot învăța împreună sau pot concura unii cu alții;

fiecare elev poate lucra în ritm propriu, fiind esențial progresul fiecăruia raportat la

nivelul inițial;

crește interesul elevilor pentru studiul prin integrarea educației digitale în demersal

didactic;

elevii se pot autoevalua, putând vizualiza la final soluția corectă pentru fiecare întrebare

la care au răspuns eronat;

îmbină metodele didactice tradiționale cu cele moderne;

stimularea capacității de învățare;

creșterea motivației elevilor;

instalarea climatului de autodepășire, competitivitate;

întreține un nivel ridicat al atenției;

stimularea gândirii logice și a imaginației;

asigură un feed-back rapid;

stabilirea unor măsuri de remediere bazate pe feed-back-ul primit;

utilizare aplicaților de către elevi se poate face utilizând diferite dispozitive IT (tabletă,

telefon mobil, PC).

4

ALGEBRĂ

5

0 2 4

6 8

Mulțimi: descriere, notații, reprezentări. Mulțimi

numerice și nenumerice. Relația dintre element și

mulțime

Aplicații recomandate: Sets, LearningApps

Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe.

Competențe generale și specifice:

CG. 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar

CS. 1.1. Identificarea unor noţiuni specifice mulţimilor și relației de divizibilitate în ℕ

CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse

informaționale

CS 2.1. Evidenţierea în exemple a relaţiilor de apartenenţă, de incluziune, de egalitate și a criteriilor de

divizibilitate cu 2, 5, , 3 și 9 în ℕ

Exemplu: mulțimea peștilor din acvariu

Într-o mulțime un element este scris o singură dată!

O mulțime numerică este o mulțime ale cărei elemente sunt numere.

Mulțimea care conține toate numerele naturale se notează ℕ.

Mulțimea este o colecție de obiecte bine

determinate și distincte numite elementele

mulțimii.

Mulțimile se notează cu litere mari:

A, B, C, ...

iar elementele mulțimii se notează

între acolade cu litere mici: a, b, c, ...

Dacă A este o mulțime și x un element al său, atunci vom scrie 𝒙 ∈ 𝑨.

Dacă y nu este element al mulțimii A, vom scrie 𝒚 ∉ 𝑨.

O mulțime poate fi

reprezentată în mai multe

moduri:

explicit – prin enumerarea elementelor între acolade

Exemplu: 𝑀 = * ,2,4,6,8+. Citim: mulțimea M este formată din elementele 0, 2, 4, 6, 8.

implicit – enunțând o proprietate comună a elementelor mulțimii

Exemplu: 𝑀 = *𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟ă 𝑝𝑎𝑟ă+

cu ajutorul diagramei Venn-Euler – prin enumerarea

elementelor în interiorul unei linii curbe închise

Între un element și

mulțime vorbim

de:

relația de apartenență

relația de

nonapartenență

mulțimea jucăriilor

M

O mulțime nenumerică este o mulțime care nu este mulțime numerică.

Mulțimea care nu are niciun element se notează cu simbolul ∅ și se

numește mulțimea vidă.

6

Nivel 1

1. Elementele mulțimii = * ∈ | + sunt ... .

2. Scrie următoarea mulțime cu ajutorul unei proprietăți caracteristice a elementelor:

= * , , , , +.

3. Scrieți mulțimea literelor din care este format cuvântul „matematică”.

Nivel 2

1. Elementele mulțimii = * ∈ ∈ + sunt ... .

2. Care sunt elemetele mulțimii = * ∈ | = = +?

3. Se consideră mulțimea = * ă | +. Determinați mulțimea:

= * | = , ∈ +.

Nivel 3

1. Care sunt elementele mulțimii = * ∈ | ă +?

2. Mulțimea = * | ∈ | + va avea elementele ... .

3. Determinați elementele mulțimii = { , , | = ( ) }.

7

Aplicația: Sets

Se accesează aplicaţia Sets şi se selectează:

„MEMBERSHIP” = Apartenență

Aplicația: LearningApps

Mulțimi descriere, notații, reprezentări

Link: https://learningapps.org/21077840

Mulțimi descriere, notații, reprezentări. Mulțimi numerice, mulțimi nenumerice.


https://learningapps.org/21077840


8

Exemple:

a) 𝐶 = 𝐷, unde 𝐶 = * , 2, 4,8+ și 𝐷 = *20, 21, 22, 23+

b) 𝐺 𝐻, unde 𝐺 = *𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐷3+ și 𝐻 = *𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐷5+

Exemple:

a) 𝑀 ⊂ 𝑁, unde 𝑀 = * , 2, 5+ și 𝑁 = * , , 2, 5, 7+

b) 𝑋 ⊃ 𝑌, unde 𝑋 = *𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟ă+ și 𝑌 = *𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟ă 𝑝𝑎𝑟ă+

c) 𝑃 ⊄ 𝑄, unde 𝑃 = * , 2+ și 𝑄 = *2, 3, 5+

Relații între mulțimi. Mulțimi finite și mulțimi infinite

Aplicații recomandate: Sets, LearningApps

Recomandare: Însușire de noi cunoștințe





informaționale

CS 2.1. Evidenţierea în exemple a relaţiilor de apartenenţă, de incluziune, de egalitate și a criteriilor de


Două mulțimi A și B se numesc egale dacă au aceleași elemente.

Notăm: 𝑨 = 𝑩. Dacă mulțimile A și B nu sunt egale, notăm 𝑨 𝑩.

Fie A și B două mulțimi.

A este inclusă în B dacă orice element al mulțimii A este și element al mulțimii B. Se

scrie 𝑨 ⊂ 𝑩. Se mai spune că B include pe A și se scrie 𝑩 ⊃ 𝑨. În acest caz se spune

despre A că este o submulțime a lui B.

Dacă A nu este inclusă în B, adică A nu este submulțime a lui B, notăm 𝑨 ⊄ 𝑩 (citim „A

nu este inclus în B”) sau 𝑩 ⊅ 𝑨 (citim „B nu include pe A”).

O mulțime finită este o mulțime care are un număr finit de elemente. Numărul de elemente al unei mulțimi finite A se numește

cardinalul mulțimii A și se notează card A. Exemplu: 𝑫𝒏 – mulțimea divizorilor numărului natural n.

O mulțime infinită este o mulțime care are un număr infinit de elemente. Exemplu: 𝑴𝒏 – mulțimea multiplilor numărului natural n.

= * , , 2, 3, … + - mulțimea numerelor naturale *= * , 2, 3, 4, … + - mulțimea numerelor naturale nenule

Reținem că:

∅ este submulțime a oricărei mulțimi.

Orice mulțime este inclusă în ea

însăși.

Dacă 𝐴 ⊆ 𝐵 și 𝐵 ⊆ 𝐴, atunci 𝐴 = 𝐵.

9

Nivel 1

1. Fie mulțimea = * , , ,… , +. Cardinalul mulțimii M este egal cu ... .

2. Numărul de submulțimi al mulțimii * , , + este egal cu ... .

3. Determinați elementele x și y pentru care = , unde = * , , 4+ și = * , 3, +.

Nivel 2

1. Care este cardinalul mulțimii: = * ∈ | +?

2. Fie mulțimea = * ∈ | , ∈ +. Determinați a, număr natural, astfel

încât card M = 1.

3. Suma elementelor mulțimii * ∈ | + este ... .

Nivel 3

1. Se dă mulțimea = * , , , , … , +. Care este numărul submulțimilor

formate din două elemente cu suma egală cu 2015?

2. Se consideră mulțimile:

= * , , + și = * , , +.

Determinați numărul natural x, 2, pentru care = .

3. Determinați cardinalul mulțimii = * | = , , , +

10

Aplicația: Sets


„SUBSETS” = Submulţimi




11

Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență

Aplicații recomandate: Sets, LearningApps, Quizizz, Kahoot!

Recomandare: Lecție de consolidare a cunoștințelor


CG. 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice

CS. 3.1. Utilizarea unor modalităţi adecvate de reprezentare a mulţimilor și de determinare a c.m.m.d.c. şi a

c.m.m.m.c.

CG. 6. Modelarea matematică a unei situaţii date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii

CS. 6.1. Transpunerea, în limbaj matematic, a unor situaţii date utilizând mulţimi, operații cu mulțimi și

divizibilitatea în ℕ

𝐴 ∩ 𝐵 = *𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝒊 𝑥 ∈ 𝐵+

𝐴 = *𝑎, 𝑏, 𝑐+

𝐵 = *𝑎, 𝑐,𝑑,𝑓+

𝐴 ∩ 𝐵 = *𝑎, 𝑐+

Intersecția mulțimilor A și B este

mulțimea notată 𝐴 ∩ 𝐵, care conține

elementele comune mulțimilor A și

B.

Exemplu:

𝐴 \ 𝐵 = *𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑖 𝑥 ∉ 𝐵+

𝐵 \ 𝐴 = *𝑥|𝑥 ∈ 𝐵 𝑖 𝑥 ∉ 𝐴+

𝐵 \ 𝐴 = *𝑑,𝑓+

Diferența mulțimilor A și B este

mulțimea notată 𝐴 \ 𝐵, care conține

acele elemente care aparțin mulțimii

A și care nu aparțin mulțimii B.

Exemplu:

𝐴 = *𝑎, 𝑏, 𝑐+ și 𝐵 = *𝑎, 𝑐,𝑑,𝑓+

𝐴 \ 𝐵 = *𝑏+

𝐴 ∪ 𝐵 = *𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝒔𝒂𝒖 x ∈ B+

𝐴 = *𝑎, 𝑏, 𝑐+

𝐵 = *𝑎, 𝑐,𝑑,𝑓+

𝐴 ∪ 𝐵 = *𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑,𝑓+

Reuniunea a două mulțimi A și B este

mulțimea notată 𝐴 ∪ 𝐵, care conține

acele elemente ce aparțin cel puțin

uneia dintre mulțimile A și B.

Exemplu:

𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐴) 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐵) 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐴 ∩ 𝐵)

Principiul includerii și al excluderii:

12

Nivel 1

1. Fie mulțimile = * , , , + și = * , , +. Calculând ∪ , obținem ... .

2. Fie mulțimile = * , , + și = * , , +. Calculând ∩ , obținem ... .

3. Se dau mulțimile = * , , + și = * , , +. Rezultatul calculului \ este ...

Nivel 2

1. Mulțimea A care satisface simultam condițiile următoare este:

a) ∪ = * , , , +; b) ∩ = * , +; c) = * +

2. Într-o clasă sunt 26 de elevi. 17 participă la cercul de matematică și 15 elevi la cercul de

lectură. Fiecare elev participă la cel puțin una dintre aceste activități.

Numărul elevilor ce participă la ambele activități este de ... .

3. Cardinalul mulțimii = * ∈ | + este ... .

Nivel 3

1. Se consideră mulțimile:

= * | = , ∈ + și = * | = , ∈ +.

Efectuați ∩ .

2. Fie A și B două mulțimi. Dacă B este o submulțime a lui A, atunci ∩ este egală cu ... .

3. Se consideră mulțimea = * , , , … , +. Pentru o submulțime nevidă B a lui A

notăm cu ( ) suma resturilor obținute prin înpărțirea elementelor lui B la 3. Valoarea

maximă a lui ( ) atunci când B este alcătuită din 4 numere consecutive este ... .

13

Aplicația: Sets

Operații cu mulțimi: reuniune


„UNION” = Reuniune

Operații cu mulțimi: intersecţie


„INTERSECTION” = Intersecție

14

Operații cu mulțimi: diferență


„DIFFERENCE” = Diferență



Aplicația: Quizizz

Link: https://quizizz.com/admin/quiz/5b77fabbedf708001a595e58/multimi

Aplicația: Kahoot!

Link: https://play.kahoot.it/#/k/b70964e1-c31a-425e-8ea2-d068b78548c6


https://quizizz.com/admin/quiz/5b77fabbedf708001a595e58/multimi

https://play.kahoot.it/#/k/b70964e1-c31a-425e-8ea2-d068b78548c6

15

Pentru descompunerea în produs de puteri

de numere prime a unui număr natural care

se termină în „0”, utilizăm descompunerile:

𝟏𝟎𝒏 = 𝟐𝒏 𝟓𝒏

Numărul divizorilor naturali ai unui număr natural compus este egal cu

produsul succesorilor exponenților puterilor ce apar în descompunerea în

produs de puteri de numere prime. Dacă 𝒏 = 𝒑𝟏𝜶𝟏 𝒑𝟐

𝜶𝟐 … 𝒑𝒌𝜶𝒌

atunci, numărul divizorilor naturali ai numărului natural n este

(𝜶𝟏 𝟏) (𝜶𝟐 𝟏) … (𝜶𝒌 𝟏)

Descompunerea numerelor naturale în produs de

puteri de numere prime

Aplicații recomandate: Primes and Divisibility, LearningApps

Recomandare: Lecție de fixare și consolidare a cunoștințelor




CG. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse

informaționale

CS. 2.1. Evidenţierea în exemple a relaţiilor de apartenenţă, de incluziune, de egalitate și a criteriilor de


Orice număr natural a diferit de 1 are cel puțin divizorii 1 și a.

Un număr natural mai mare decât 1, care are exact doi divizori

(pe 1 și pe el însuși), se numește număr prim.

Dacă mai are și alți divizori se numește număr compus.

Exemple: 56 = 23 7

45 = 2 32 52

42 = 23 3 52 7

56 2 28 2 4 2 7 7

42 22 52 42 2 2 3 7 7

45 2 5 45 3 5 3 5 5

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

Orice număr natural compus poate

fi scris ca un produs de puteri de

numere naturale prime. Această

scriere este unică și se numește

descompunerea în factori primi

a numărului compus respectiv.

16

Nivel 1

1. Descompunerea în factori primi a numărului 1260 este ... .

2. Descompunerea în factori primi a câtului x : y, unde x = 288 și y = 18 este ... .

3. Câți divizori are numărul 98?

Nivel 2

1. Produsul a trei numere naturale consecutive este egal cu 15.600. Cel mai mare dintre

numere este ... .

2. Fără a efectua înmulțirea, aflați în câte zerouri se termină numărul ?

3. Care este cel mai mic număr de trei cifre care are exact trei divizori?

Nivel 3

1. Determinați cel mai mic număr natural a cărui descompunere în factori este de forma:

, unde .

2. Determinați numărul natural , , , cu proprietatea că:

= .

3. Dacă este un număr prim, calculați numărul divizorilor numărului natural .

17

Aplicația: Primes and Divisibility

Se accesează aplicaţia Primes and Divisibility şi se selectează:

„Prime Factorization” = Descompunere în factori primi


1. Divizori proprii, divizori improprii


2. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime




18

Determinarea c.m.m.d.c. și a c.m.m.m.c.

Aplicații recomandate: Primes and Divisibility, LearningApps, Quizizz

Recomandare: Fixarea și consolidarea cunoștințelor



informaționale





c.m.m.m.c.

Ce relație există între c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două numere naturale?

( , ) , , - =

Exemplu: Fie = = și = =

( 5 ,98) = 2

, 5 ,98- = 2 3 52 72 = 735

24 = 23 3

36 = 22 32

(24, 36) = 22 3 = 2

Definiție: Cel mai mare divizor comun

(c.m.m.d.c.) a două numere naturale a și b,

notat (a,b), este cel mai mare număr

natural care divide numerele date.

Cum aflăm c.m.m.d.c.?

se descompun numerele în produs

de puteri de numere prime;

se iau toți factorii primi comuni, o

singură dată, la puterea cea mai

mică și se înmulțesc între ei.

Exemplu:

2 = 22 5 6 = 24

, 6,2 - = 24 5 = 8

Definiție: Cel mai mic multiplu comun

(c.m.m.m.c.) a două numere naturale a și b,

notat [a,b], este cel mai mic număr natural

diferit de zero, care este divizibil cu a și b.

Cum aflăm c.m.m.m.c.?

se descompun numerele în produs

de puteri de numere prime;

se iau factorii primi comuni și

necomuni, o singură dată, la puterea

cea mai mare și se înmulțesc între

ei.

Exemplu:

Avem: 5 98 = 47 = 2 735

Deci: 5 98 = ( 5 ,98) , 5 ,98-

19

Nivel 1

1. Cel mai mare divizor comun al numerelor 36 și 54 este ... .

2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 24 și 36 este ... .

3. Cifra nenulă x pentru care ( , ) = este ... .

Nivel 2

1. Trei autobuze pleacă în același timp dintr-o stație. Primul revine în stație din 2 în 2 ore, al

doilea din 3 în 3 ore, iar al treilea din 8 în 8 ore. Cele trei autobuze se vor întâlni în stație

după ... .

2. Fiind date două numere naturale nenule a și b, știind că = și ( , ) = ,

atunci , , - = ... .

3. Câte numere naturale de forma , îndeplinesc condiția: , , - = ?

Nivel 3

1. Aflați cel mai mare număr natural n cu proprietatea că numerele 453, 565 și 731 împărțite

la n dau resturile 33, 5, respectiv 31.

2. Determinați cel mai mic număr natural n care împărțit la 14, 21 și 28 dă resturile 9, 16,

respectiv 23.

3. Se dă numărul = , ∈ . Aflați c.m.m.m.c. al

numerelor obținute pentru n = 0 și n = 1.

20

Aplicația: Primes and Divisibility

Cel mai mare divizor comun


„Greatest Common Divisor I” = Cel mai mare divizor comun

Cel mai mic multiplu comun


„Least Common Multiple I” = Cel mai mic multiplu comun


Link c.m.m.d.c.: https://learningapps.org/21082988

Link c.m.m.m.c.: https://learningapps.org/21083081

Link determinarea c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.: https://learningapps.org/21082854

Aplicația: Quizizz

Link: https://quizizz.com/admin/quiz/5c459f6517a592001a8cd0c9




https://quizizz.com/admin/quiz/5c459f6517a592001a8cd0c9

21

Numere prime între ele

Aplicația recomandată: LearningApps



CG. 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.1. Identificarea unor noțiuni specifice mulțimilor și relației de divizibilitate în ℕ


informaționale





c.m.m.m.c.

Definiție: Două numere naturale a și b se numesc prime între ele dacă cel mai mare

divizor comun al lor este egal cu 1.

Două numere prime între ele se mai numesc și relativ prime sau coprime.

Observații: 1. Două numere prime diferite sunt prime între ele.

Exemplu: (11, 29) = 1

2. Două numere prime între ele nu sunt neapărat numere prime.

Exemplu: 8 = 2 32 și 35 = 5 7

=> ( 8, 35) =

Fie 𝑎, 𝑏 ∈ . Dacă 𝑎 | 𝑏 𝑐 și (𝑎, 𝑏) = , atunci 𝒂 | 𝒄.

Dacă 𝑎 | 𝑐, 𝑏 | 𝑐 și (𝑎, 𝑏) = , atunci 𝒂 𝒃 | 𝒄.

Fie 𝑎, 𝑏 ∈ . Dacă (𝑎, 𝑏) = 𝑑, atunci există 𝑎1,𝑏1 ∈ , astfel încât

𝒂 = 𝒂𝟏 𝒅, 𝒃 = 𝒃𝟏 𝒅 și (𝒂𝟏,𝒃𝟏) = 𝟏.

Reținem!

22

Nivel 1

1. Câte perechi de numere naturale prime între ele se pot forma cu numerele naturale 14, 20,

25 și 27?

2. Determinați cifra x astfel încât ( , ) = .

3. Sunt numere prime între ele următoarele numere:

?

Nivel 2

1. Determinați numerele prime a, b, c care verifică relația: = .

2. Cel mai mare număr prim de forma ( ) cu proprietatea că ( , ) = este ... .

3. Determinați numerele a și b știind că îndeplinesc simultan condițiile:

( , ) = și = .

Nivel 3

1. Cel mai mare divizor comun al numerelor este ... .

2. Aflați ∈ astfel încât numerele a și b să fie numere naturale prime între ele, unde

= și = .

3. Determinați câte perechi de numere naturale x și y care îndeplinesc condițiile:

( , ) = și , , - = sunt?



24

Nivel 1

1. Câte numere naturale de forma cu proprietatea că | și | , unde a și b sunt

două cifre nenule există?

2. Determinați cel mai mic număr natural x de patru cifre distincte cu proprietatea că:

| ( ).

3. Aflați numerele naturale n pentru care

∈ .

Nivel 2

1. Dacă a și b sunt numere naturale prime, atunci = ( , ) = ... .

2. Numerele naturale prime x și y îndeplinesc condiția = . Atunci = ... .

3. Cardinalul mulțimii = * ∈ | | | + este ... .

Nivel 3

1. Determinați cea mai mare valoarea a lui ∈ astfel încât | , unde = 2 … 26.

2. Determinați ∈ astfel încât ( ) | ( ).

3. Determinați câte perechi de numere naturale (x, y) există, știind că x și y verifică

egalitatea = .



25

GEOMETRIE

26

Unghiuri opuse la vârf

Aplicații recomandate: GeoGebra, WordWall

Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe


CG. 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost

definite

CS. 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date


informaționale

CS 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente,

complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte

unghiuri opuse la vârf

Definiție: Două unghiuri proprii se numesc unghiuri opuse

la vârf dacă laturile lor formează perechi de semidrepte

opuse.

Teorema unghiurilor opuse la vârf:

Unghiurile opuse la vârf sunt

congruente.

Exemplu: 𝐴𝑂𝐵 ≡ 𝐶𝑂𝐷 și 𝐴𝑂𝐶 ≡ 𝐵𝑂𝐷

Observație: Două drepte AD și BC, concurente în O, formează

două perechi de unghiuri opuse la vârf.

Exemplu: [OA și [OD semidrepte opuse

[OB și [OC semidrepte opuse

𝑨𝑶𝑩 și 𝑪𝑶𝑫 opuse la vârf

𝑨𝑶𝑪 și 𝑩𝑶𝑫 opuse la vârf

𝐴𝑂𝐷 = 𝐴𝑂𝐵 𝐵𝑂𝐷

𝐵𝑂𝐶 = 𝐶𝑂𝐷 𝐵𝑂𝐷

Demonstrație:

Dar, 𝐴𝑂𝐷 = 𝐵𝑂𝐶 = 8 :

=> 𝐴𝑂𝐵 ≡ 𝐶𝑂𝐷

27

Nivel 1

Punctele A, O, B și repectiv, C, O, D sunt coliniare. Dacă = , atunci are

măsura de ... .

Nivel 2

Fie trei drepte AB, CD și EF concurente într-un punct O astfel încât măsura unghiului

să fie egală cu 100o și măsura unghiului să fie egală cu 50

o. Măsura unghiului

este de ... .

Nivel 3

În figura de mai jos punctele A, O, B și respectiv, C, O, D sunt coliniare. Măsura

unghiului obtuz este de ... .

28

Aplicația: GeoGebra

Pregătiri:

Deschideți un nou fișier GeoGebra;

Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.

Figură:

Pași:

1.

Dreaptă prin două puncte

Se construiesc două drepte.

2.

Intersecție două obiecte

Determinăm punctul de intersecție a celor două drepte.

3.

Unghi

Determinăm măsurile unghiurilor și observăm că unghiurile opuse

la vârf sunt congruente.

4.

Salvare construcție

Aplicația: WordWall

Link: https://wordwall.net/ro/resource/20841728

https://wordwall.net/ro/resource/20841728

29

Unghiuri formate în jurul unui punct

Aplicații recomandate: GeoGebra, Liveworksheets




definite



informaționale



unghiuri în jurul unui punct

Definiție: Trei sau mai multe unghiuri care

îndeplinesc condițiile:

au un vârf comun;

au interioarele disjuncte, două câte două;

orice punct al planului se află pe o latură sau în

interiorul unui unghi,

se numesc unghiuri în jurul unui punct.

sunt unghiuri în jurul punctului O

𝐴𝑂𝐵 𝐵𝑂𝐶 𝐶𝑂𝐷 𝐷𝑂𝐴 = 36

Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu 𝟑𝟔𝟎 .

https://matepedia.ro/unghiuri-jurul-unui-punct/unghiuri-in-jurul-unui-punct/

30

Nivel 1

În jurul unui punct se consideră trei unghiuri în jurul unui punct: unghiul cu măsura

de 110o, unghiul cu măsura de 150

o. Atunci, unghiul are măsura de ...

.

Nivel 2

Fie 1, 2, 3 și 4 patru unghiuri în jurul punctului O. Aflați măsura unghiului 4 dacă

= , = , = , = .

Nivel 3

Fie patru unghiuri în jurul unui punct O: = , = și = . Atunci = .

31


Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.

Punct

Construim un punct.

2.

Semidreaptă

Se construiește un număr de semidrepte din punct.

3.

Unghi

Determinăm măsurile unghiurilor și observăm că suma măsurilor

este de 36 .

4.


Aplicația: Liveworksheets

Link: https://www.liveworksheets.com/oz2365416cc

https://www.liveworksheets.com/oz2365416cc

32

Unghiuri complementare și unghiuri suplementare

Aplicații recomandate: GeoGebra, LearningApps




definite



informaționale



UNGHIURI COMPLEMENTARE

Definiție: Dacă suma măsurilor a două unghiuri

este egală cu 90⁰, atunci cele două unghiuri se

numesc unghiuri complementare.

Observații:

Oricare dintre cele două unghiuri reprezintă

complementul celuilalt.

Dacă două unghiuri ascuțite sunt congruente, atunci

și complementele lor sunt congruente.

UNGHIURI SUPLEMENTARE

Definiție: Dacă suma măsurilor a două unghiuri este

egală cu 180⁰, atunci cele două unghiuri se

numesc unghiuri suplementare.

Observații:

Oricare dintre cele două unghiuri reprezintă suplementul

celuilalt.

Dacă două unghiuri sunt congruente, atunci și

suplementele lor sunt congruente.

𝐴𝐵𝐶 și 𝐸𝐹𝐺 sunt unghiuri

complementare

𝐴𝐵𝐶 = 69

𝐸𝐹𝐺 = 2

𝐴𝐵𝐶 𝐸𝐹𝐺 = 9

Exemplu:

𝑀𝑁𝑃 și 𝑄𝑅𝑆 sunt

unghiuri suplementare

𝑀𝑁𝑃 = 2

𝑄𝑅𝑆 = 68

𝑀𝑁𝑃 𝑄𝑅𝑆 = 8

Exemplu:

33

Nivel 1

Măsura suplementului unui unghi de 24o este de ...

o

Nivel 2

Măsura complementului unui unghi de 47o este de ...

Nivel 3

Se consideră unghiul cu măsura de 80o. Diferența dintre suplementul și

complementul său este de ...o.

34


Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.


Se construiește o dreptă.

2.

Punct

Construim un punct pe dreapta.

3.

Semidreaptă

Se construiește o semidreaptă din punct.

4.

Unghi

Determinăm măsurile unghiurilor și observăm că suma măsurilor

este de 8 .

5.



Link: https://learningapps.org/view21077919

https://learningapps.org/view21077919

35

Definiție: Două unghiuri proprii care au vârful comun, o laturã comună şi

celelalte laturi situate de o parte şi de alta a laturii comune se numesc unghiuri

adiacente.

Exemplu:

Unghiuri adiacente





definite



informaționale




CS. 3.5. Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor

construcții geometrice

𝐴𝑂𝐵 și 𝐵𝑂𝐶 sunt unghiuri adiacente pentru că:

O – vârf comun

OB – latura comună

OA și OC situate de o parte și de alta a laturii

OB

Atenție! Următoarele unghiuri nu sunt adiacente:

𝐴𝑂𝐵 𝐵𝑂𝐶 = 9

Unghiuri adiacente complementare

𝐸𝐻𝐹 𝐹𝐻𝐺 = 8

Unghiuri adiacente

suplementare

36

Nivel 1

Fie un unghi alungit și unghiurile , , adiacente. Dacă = și

unghiul este drept, atunci are ...

Nivel 2

Fie și două unghiuri adiacente. Aflați măsura unghiului știind că

= și = .

Nivel 3

Unghiurile și sunt adiacente. Semidreapta OB este în interiorul unghiului

în cazul în care suma măsurilor lor este de 290⁰?

37


Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.

Unghi

Construim unghiul .

2.

Semidreaptă

Construim semidreapta cu originea în punctul , care trece prin

punctul . Construim semidreapta cu originea în punctul , care trece prin

punctul .

3.

Punct

Construim punctul , interior unghiului .

4.

Semidreaptă

Construim semidreapta cu originea în punctul , care trece prin

punctul .

5.

Unghi

Determinăm măsurile unghiurilor , și observăm că suma

măsurilor este egală cu măsura unghiului .

6.



Link: https://www.liveworksheets.com/nn2269369up

https://www.liveworksheets.com/nn2269369up

38

Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei unui

unghi





definite



informaționale






Cum construim bisectoarea unui unghi?

1. Construcția bisectoarei cu rigla și raportorul

X

2. Construcția bisectoarei cu rigla negradată și compasul

Y

M Se măsoară unghiul și se constată că 𝑋𝑂𝑌 =8 .

Se împarte la 2 măsura unghiului (8 : 2 = 4 ).

Se construiește semidreapta OM interioară unghiului

care formează cu laturile unghiului două unghiuri

adiacente congruente, fiecare cu măsura de 40⁰.

Cu acul compasului în B, se trasează un

arc care taie laturile unghiului în D și E.

Cu acul compasului în D, trasăm

un arc în interiorul unghiului. Cu acul compasului în E (şi aceeaşi deschidere

a compasului), tăiem ultimul arc, în F.

Unim B cu F şi am obţinut

bisectoarea unghiului 𝐴𝐵𝐶 .

Bisectoarea unui unghi este semidreapta interioară unghiului, cu originea în vârful unghiului, care formează

cu laturile unghiului două unghiuri congruente.

Exemplu: Semidreapta OM este bisectoarea unghiului 𝐴𝑂𝐵 => 𝑨𝑶𝑴 ≡ 𝑩𝑶𝑴

Se desenează unghiul propriu 𝐴𝐵𝐶 .

39

Nivel 1

Unghiul are măsura de 74⁰. Se construiește OD, bisectoarea unghiului . Măsura

unghiului va fi egală cu … .

Nivel 2

Fie și două unghiuri adiacente. Dacă = 4 = , unghiul

format de bisectoarele lor are măsura de ... .

Nivel 3

Se consideră unghiurile adiacente , , , astfel încât OB este bisectoarea

unghiului , OC este bisectoarea unghiului , OD este bisectoarea unghiului

= 2 . Măsura unghiului este de ... .

40


Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.

Unghi

Construim unghiul AOB.

2.

Semidreaptă

Construim semidreapta cu originea în punctul O, care trece prin punctul

A.

Construim semidreapta cu originea în punctul O, care trece prin punctul

B.

3.

Bisectoare unghiulară

Construim bisectoarea unghiului AOB.

4.

Punct

Construim pe bisectoare punctul C.

5.

Unghi

Determinăm măsurile unghiurilor AOC, COB și observăm că sunt

congruente.

6.


Construcția bisectoarei

Pregătiri:


41


Figură:

Pași:

1.

Unghi

Construim unghiul .

2.

Semidreaptă

Construim semidreapta cu originea în punctul , care trece prin punctul . Construim semidreapta cu originea în punctul , care trece prin punctul .

3.

Cerc cu centrul prin punct

Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .

4.


Determinăm punctul de intersecție , al cercului cu semidreapta .

5.

Compas

Construim cercul cu centrul în şi de rază . Construim cercul cu centrul în şi de rază .

6.


Determinăm punctul de intersecție , al cercurilor cu centrul în , respectiv

în .

7.

Semidreaptă

Construim semidreapta .

8.

Unghi

Determinăm măsurile unghiurilor , și observăm că sunt

congruente.

9.



Link: https://www.liveworksheets.com/yr2296823mf

Link: https://www.liveworksheets.com/cu2365100fb

https://www.liveworksheets.com/yr2296823mf

https://www.liveworksheets.com/cu2365100fb

42

Unghiuri formate de două drepte cu o secantă

Aplicația recomandată:

Recomandare:



definite



informaționale






Definiție: Dreapta d se numește secantă

dreptelor a și b, dacă intersectează cele două

drepte în două puncte distincte.

Dreapta e nu este secantă dreptelor m și n,

deoarece intersectează cele două drepte în

același punct.

Cele trei drepte formează opt unghiuri care grupate în anumite moduri

poartă denumiri diferite, legate de poziția lor față de cele trei drepte.

Avem:

unghiuri alterne interne: 𝟑 𝟓𝟒 𝟔

unghiuri alterne externe: 𝟏 𝟕𝟐 𝟖

unghiuri interne de aceeași parte a secantei: 𝟑 𝟔𝟒 𝟓

unghiuri externe de aceeași parte a secantei: 𝟏 𝟖𝟐 𝟕

unghiuri corespondente:

𝟏 𝟓𝟐 𝟔𝟑 𝟕𝟒 𝟖

43

Nivel 1

În figura de mai jos, dreptele AB și CD sunt tăiate de secanta EF în punctele M și

respectiv, N. Se știe că = 2 și = 83 . Măsura unghiului corespondent unghiului

este de … .

Nivel 2

Fie dreptele a și b și secanta lor c. Dacă unghiul și unghiul 2 sunt două unghiuri externe

de aceeași parte a secantei, atunci unghiurile opuse la vârf cu acestea sunt unghiuri interne de

aceeași parte a secantei.

Nivel 3

Se dau dreptele AC și DE. ∈ și ∈ , A și D fiind în același semiplan determinat

de secanta BF. Fie ∈ și ∈ în ordinea , , , . Indicați perechile de unghiuri

alterne externe.




44

Drepte paralele. Axioma paralelelor

Aplicația recomandată: GeoGebra




definite



informaționale






Consecințe:

Definiție: Două drepte coplanare care nu au niciun punct

comun se numesc drepte paralele.

Notație: 𝑎 𝑏, 𝑎 ∩ 𝑏 = ∅

șinele de tren

formează drepte

paralele

Axioma paralelelor (Axioma lui Euclid): Printr-un punct

exterior unei drepte se poate construi cel mult o dreaptă care

să fie paralelă cu dreapta inițială.

a) Două drepte distincte, paralele cu o a treia

(𝒇 𝒉 , 𝒈 𝒉), sunt paralele între ele (𝒇 𝒈)

(tranzitivitatea relației de paralelism).

45

Nivel 1

Se consideră o dreaptă d și un punct M exterior dreptei d. Prin punctul M se pot construi

… paralele la dreapta d.

Nivel 2

Segmentele AB și CD sunt concurente în mijlocul lor. Dreptele AC și BD vor fi paralele?

Nivel 3

În figura alăturată dreptele a și b sunt paralele. Ele sunt intersectate de secanta m în

punctele B și C. Sunt bisectoarele unghiurilor și două semidrepte paralele?

b) Dacă două drepte sunt paralele (𝒇 𝒈), atunci

orice dreaptă care o intersectează pe una (𝒇 ∩ 𝒋 ∅)

o intersectează și pe cealaltă (𝒈 ∩ 𝒋 ∅). (Dreapta j

este secanta la două drepte paralele).

46


Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.


Construim dreapta .

2.

Punct

Construim punctul , care nu aparține dreptei .

3.

Compas

Construim cercul cu centrul în şi de rază . Construim cercul cu centrul în şi de rază .

4.


47

Determinăm punctele și , de intersecție a celor două cercuri.

5.


Construim dreapta (sau ).

6.


Construcția dreptelor paralele

Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.


Construim dreapta .

2.

Punct

Construim punctul , exterior dreptei.

3.

Paralelă

Construim prin punctul o dreaptă paralelă cu dreapta .

4.


48

Criterii de paralelism (unghiuri formate de două

drepte paralele cu o secantă)





definite



informaționale



CG. 4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a demersurilor de

rezolvare pentru o situaţie dată

CS. 4.5. Exprimarea, prin reprezentări geometrice sau în limbaj specific matematic, a noţiunilor legate de

dreaptă, unghi şi cerc

Dacă două drepte determină cu o

secantă o pereche de unghiuri

corespondente congruente,

atunci dreptele sunt paralele.

Exemplu: ≡ 6 => 𝑎||𝑏

Reciproc, 𝑎||𝑏 => ≡ 6

Dacă două drepte determină cu

o secantă o pereche de unghiuri

alterne interne congruente,

atunci dreptele sunt paralele, și

reciproc.

Exemplu: ≡ 8 => 𝑎||𝑏

Reciproc, 𝑎||𝑏 => ≡ 8



alterne externe congruente,

atunci dreptele sunt paralele, și

reciproc.

Exemplu: 3 ≡ 6 => 𝑎||𝑏

Reciproc, 𝑎||𝑏 => 3 ≡ 6

49

Nivel 1

Dacă și s secantă, iar măsura unghiului α este de 80o, atunci măsura unghiului

marcat este de ... o.

Nivel 2

Fie dreptele 2 intersectate de secantele s1 și s2 ce formează unghiurile a de 110o și

b cu măsura de 60o. Măsura unghiului roșu este de ..., iar măsura unghiului albastru este de ...

.



interne de aceeași parte a secantei

suplementare, atunci dreptele sunt

paralele, și reciproc.

Exemplu: 5 = 8 => 𝑎||𝑏

Reciproc, 𝑎||𝑏 => 5 = 8



interne de aceeași parte a secantei

suplementare, atunci dreptele sunt

paralele, și reciproc.

Exemplu: 2 6 = 8 => 𝑎||𝑏

Reciproc, 𝑎||𝑏 => 2 6 = 8

50

Nivel 3

Unghiurile și au laturile paralele, adică .

Dacă = , atunci măsura unghiului este egală cu ... .


Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.


Construim o dreaptă.

2.

Punct

51

Construim un punct, exterior dreptei.

3.

Paralelă

Construim prin punct o dreaptă paralelă cu dreapta inițială.

4.


Construim o dreaptă secantă a dreptelor.

5.

Intersecție

Determinăm punctele de intersecție a dreptelor cu secanta.

6.

Punct

Construim puncte pe drepte și secantă, astfel încât să ne ajute să

măsurăm unghiurile formate de două drepte paralele cu secantă.

7.

Unghi

Determinăm măsurile unghiurilor formate de două drepte paralele

cu secantă și observăm că avem unghiuri care sunt congruente, si

unghiuri care sunt suplementare.

8. Salvare construcție

Drepte perpendiculare în plan. Oblice





definite



informaționale






Dacă la intersecţia a două drepte

concurente a şi b unul dintre

unghiurile ce se formează în jurul

punctului lor de intersecţie este un

unghi drept, atunci cele două drepte

concurente se numesc drepte

perpendiculare sau drepte

ortogonale.

Două drepte concurente care

nu sunt perpendiculare se

numesc oblice.

52

1. Dintr-un punct exterior unei drepte putem construi o singură

perpendiculară pe acea dreaptă și o infinitate de oblice.

2. Două drepte perpendiculare pe o a treia dreaptă sunt paralele.

Nivel 1

Fie un unghi cu măsura de 70o. Se consideră un punct P astfel încât .

Măsura unghiului este ... .

Nivel 2

Se consideră un unghi cu măsura de 150o. Se construiesc , ∈ ( )

și , ∈ ( ). Măsura unghiului este de ... .

Observație: Două drepte

perpendiculare formează patru

unghiuri drepte.

Notaţie: 𝑎 𝑏

Citim: „a perpendicular pe b” sau

„dreptele a şi b sunt perpendiculare”

e și f sunt oblice

Observație: Două drepte oblice formează două

unghiuri ascuțite și două unghiuri obtuze.

53

Nivel 3

Se dă unghiul cu măsura de 30⁰. Opusa semidreptei OA este semidreapta OE. De

aceeași parte a semidreptei OA cu semidreapta OB avem semidreapta și semidreapta

. Măsura unghiului este de …, unde semidreapta OF este bisectoarea unghiului

.


Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.


54

Construim dreapta .

2.

Punct


3.


Construim cercul cu centrul în și care trece prin punctul .

4.


Determinăm punctele și , de intersecție a dreptei cu

cercul.

5.

Punct

Construim punctul pe dreapta, astfel încât > .

6.


Construim cercul cu centrul în D și care trece prin punctul F.

7.

Compas

Construim cercul cu centrul în E şi de rază DF.

8.


Determinăm punctul de intersecție al celor două cercuri, punctele

G şi H.

9.


Construim dreapta GH.

10.

Unghi

Evidenţiem unghiul drept.


Drepte perpendiculare în plan oblice

Pregătiri:



Figură:

55

Pași:

1.



2.

Punct

Construim un punct, exterior dreptei.

3.

Perpendiculară

Construim perpendiculara din punctul exterior pe dreapta.

4.


Determinăm punctul de intersecţie al celor două drepte.

5.

Unghi



Distanța de la un punct la o dreaptă





informaționale CS. 2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi configurații geometrice

CG 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice



Piciorul perpendicularei dintr-un punct pe o dreaptă sau într-un punct pe

o dreaptă este punctul de intersecție al perpendicularei cu dreapta.

perpendiculara din

punctul M pe dreapta d

piciorul

perpendicularei

perpendiculara în

punctul P pe dreapta d

piciorul

perpendicularei

56

Citim: „distanța de la punctul P la dreapta d

este nulă deoarece punctul P aparține dreptei d”

Nivel 1

Distanța (în cm) dintre un punct și o dreaptă ce conține acel punct este … .

Nivel 2

Fie X,O,Y trei puncte aparținând dreptei d în această ordine. De aceeași parte a dreptei d

se consideră punctele A și B astfel încât = 4 și = 5 . Distanța de la A la dreapta

determinată de punctele O și B este dată de lungimea segmentului … .

Distanţa de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului determinat

de acel punct şi piciorul perpendicularei din acel punct pe acea dreaptă.

Notație:

d(M, d) = MN d(P, d) = 0

Citim: „distanța de la punctul M

la dreapta d este segmentul MN”

57

Nivel 3

Fie MNPQ un dreptunghi cu lungimea MN = 25 cm și lățimea NP = 13 cm. Distanța de la

punctul M la dreapta determinată de punctele N și Q este de … .


Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.



2.

Punct


58

3.

Punct

Construim puncte pe dreaptă.

4.

Segment între două puncte

Construim segment între punctul și punctele dreptei.

5.

Distantă sau lungime

Măsurăm distanța între punctul și punctele dreptei (măsurăm segmentele

construite).

6.

Perpendiculară

Construim perpendiculara din punctul pe dreapta.

7.


Determinăm punctul (piciorul perpendicularei), intersecţia celor două drepte.

8.

Distantă sau lungime

Măsurăm distanța între punctele și și observăm că această distanță este cea

mai mică.


Mediatoarea unui segment. Construcția mediatoarei

unui segment





informaționale

CS. 2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi configurații geometrice




Definiție: Mediatoarea unui segment este dreapta care trece

prin mijlocul segmentului și este perpendiculară pe acesta.

Exemplu: Fie M mijlocul segmentului AB.

𝑀 ∈ 𝐴𝐵 și 𝑑 𝐴𝐵 => 𝑑 – mediatoarea segmentului AB.

59

Cum construim mediatoarea unui segment?

Nivel 1

Fie DM mediatoarea segmentului AB, ∈ . Dacă = 3 , atunci măsura

unghiului este … .

Nivel 2

În figura alăturată se știe că = 9 , CD este bisectoarea unghiului și .

Punctul D se află pe mediatoarea segmentului AE?

Construcția cu rigla negradată și compasul

Proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment

Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat

de capetele segmentului.

Exemplu:

d – mediatoarea lui AB

𝑃 ∈ 𝑑 => 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵

Construcția cu rigla și echerul

60

Nivel 3

Se consideră dreptele 1 și 2 concurente în O și perpendiculare. Fie punctele ∈ 1,

∈ 2 și ∈ 2, ordinea fiind D,O,B. Semidreapta OC este bisectoarea unghiului , iar

semidreapta OE bisectoarea unghiului . Pe dreapta EO se consideră punctul F în așa fel încât

EO = OF, în ordinea E,O,F. Stabiliți mediatoarea segmentului EF.


Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.


Construim segmentul .

2.



61


3.


Determinăm punctele și , de intersecţie a celor două cercuri.

4.



5.

Unghi



Mediatoarea unui segment; construcţie

Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.



2.

Mediatoare

Construim mediatoarea segmentului .

3.


Determinăm punctul de intersecţie a celor două drepte.

4.

Unghi



sau

62

1.



2.

Mijloc sau centru

Determinăm mijlocul segmentului .

3.

Perpendiculară

Construim perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului.

4.

Unghi



Simetria față de o dreaptă





informaționale

CS. 2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi configurații geometrice




Exemple:

Două puncte sunt simetrice în raport cu o dreaptă, numită axă de simetrie,

dacă dreapta este mediatoarea segmentului determinat de cele două puncte.

Două figuri geometrice sunt simetrice în raport cu o dreaptă, dacă

simetricul fiecărui punct al unei figuri aparține celeilalte.

63

A’ este simetricul lui A față de dreapta d

Nivel 1

Câte axe de simetrie are un pătrat?

Nivel 2

Fie segmentul AB = 4 cm și O mijlocul segmentului AB. Construiți perpendiculara în O pe

AB și luați pe perpendiculară un punct C astfel încât CO = 1,5 cm. Notați cu D simetricul

punctului C față dreapta determinată de punctele A și B. Lungimea segmentului CD este de ... cm.

M’ este simetricul lui M față de dreapta d

N’ este simetricul lui N față de dreapta d

P’ este simetricul lui P față de dreapta d

=> ∆𝑀′𝑁′𝑃′ simetricul ∆𝑀𝑁𝑃

axă de simetrie

Proprietățile simetriei față de o dreaptă

1. conservă coliniaritatea (dacă trei puncte sunt coliniare, atunci simetricele lor față de dreaptă sunt coliniare);

2. conservă lungimile (dacă două segmente sunt simetrice față de o dreaptă, atunci lungimile lor sunt egale);

3. conservă măsurile unghiurilor (dacă două unghiuri sunt simetrice față de o dreaptă, atunci măsurile lor sunt egale).

axă de simetrie

64

Nivel 3

Dreapta d este mediatoarea segmentului OC cu mijlocul în M, iar seemidreapta MC este

bisectoarea unghiului . ∈ astfel încât măsura unghiului este de 45⁰, iar E este

simetricul lui A față de dreapta MB. Indicați mediatoarea segmentului AE.


Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.



2.

Punct

Construim punctul exterior dreptei.

3.

Reflectare după un punct

Determinăm punctul , simetricul punctului față de dreaptă.


65

Simetria unui segment față de o dreaptă

Figură:

Pași:

1.



2.



3.




4.


Construim segmentul , simetricul segmentului față de dreaptă.


Cercul





informaționale

C.S. 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente,



C.S. 3.5. Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor


Definiție: Fiind date un punct O și un număr pozitiv r, se numește cerc cu centrul în punctul O

și raza r mulțimea punctelor din plan aflate la distanța r față de punctul O.

Notație: C(O,r)

Elementele unui cerc:

centrul cercului: O - punctul aflat la aceeași distanță de toate punctele

cercului;

raza cercului: OA – segmentul determinat de centrul cercului și de un

punct oarecare al cercului;

coardă: BC – segmentul determinat de două puncte ale cercului;

diametru: DE – coardă care conține centrul cercului și care este dublul

66

Nivel 1

Diametrul unui cerc cu raza de 4 cm are lungimea egală cu … .

Nivel 2

Măsura unui cerc este de 360⁰, iar măsura unui semicerc este de 180⁰.

Măsura unui arc mic este egală cu măsura unghiului la centru, care îl subîntinde. 𝑀�� = 𝑀𝑂𝑁

𝑀𝑃𝑁 = 36 𝑀��

Exemplu:

67

Pe un cerc de centru O se consideră punctele X și Y. Dacă măsura unghiului este de

42⁰, atunci măsura arcului mare dintre punctele X și Y este de … .

Nivel 3

Pe cercul de centru O și rază 5 cm se consideră punctele A,B și C în această ordine astfel

încât = 45 și = 35 . Calculați măsura unghiului .


Construcția cercului cu centrul prin punct

Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.



68


Raza unui cerc

Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.



2.


Construim segmentul (raza cercului).


Construcția cercului cu centru și rază

Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.

Cerc cu centru și rază

Construim cercul cu centrul în și de rază dată.

69


Coarda unui cerc

Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.



2.

Punct

Construim punctul aparţinând cercului.

3.


Construim segmentul (coarda cercului).


Diametrul unui cerc

Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.



70

2.


Determinăm simetricul punctului faţă de punctul .

3.


Construim segmentul (diametrul cercului).


Unghi la centru

Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.



2.

Punct


3.


Construim segmentele şi .

4.

Unghi

Evidenţiem unghiul la centru .


Unghi la centru cu măsura dată

Pregătiri:



Figură:

71

Pași:

1.


Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B.

2.

Unghi de mărime dată

Construim unghiul cu măsura dată.

3.

Segment

Construim segmentele AB şi AB’.


Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc

Aplicația recomandată: GeoGebra, Pythagorea






rezolvare pentru o situaţie data



Un punct oarecare al planului poate avea următoarea poziție:

interior unui cerc – dacă distanța de la centrul cercului la

punct este mai mică decât raza (exemplu: A);

aparține cercului – dacă distanța de la centrul cercului la

punct este egală cu raza (exemplu: B);

exterior cercului – dacă distanța de la centrul cercului la

punct este mai mare decât raza (exemplu: C).

72

Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc:

Nivel 1

Un cerc are raza de 6 cm. Centrul său este punctul A. Punctele B,C,D,E sunt astfel încât

AB = 9 cm, AC = 6 cm, AD = 1 cm, AE = 12 cm. Punctele ce aparțin interiorului cercului sunt …

Nivel 2

Dreapta tangentă cercului este

dreapta care are un punct comun cu

cercul.

Proprietate: distanța de la centrul

cercului la dreapta tangentă cercului

este egală cu raza. (𝑂𝐵 = 𝑟).

Dreapta secantă cercului este

dreapta care are două puncte

comune cu cercul.


cercului la dreapta secantă cercului

este mai mică decât raza (𝑂𝐶 𝑟).

Dreapta exterioară cercului este

dreapta care nu are puncte comune

cu cercul.


cercului la dreapta exterioară

cercului este mai mare decât raza

(𝑂𝐴 > 𝑟).

73

Se consideră un cerc de centru O și rază 5 cm. Stabiliți poziția dreptei d față de cerc dacă

distanța de la centrul cercului la dreaptă este de 3 cm.

Nivel 3

Fie un cerc de centru O și fie B un punct ce aparține cercului. Construim tangenta AB la

cerc și diametrul CD paralel cu tangenta. Măsura arcului este de ... .


Pozițiile unui punct față de un cerc

Pregătiri:



Figură:

74

Pași:

1.



2.

Punct

Construim punctul C care nu aparţine cercului. (punct

interior/exterior).


Pozițiile unei drepte față de un cerc

Pregătiri:



Figură:

Pași:

1.



2.


Construim dreapta CD, exterioară cercului.


Figură:

75

Pași:

1.



2.

Punct


3.


Construim dreapta , secantă cercului.


Figură:

Pași:

1.



2.

Punct

Construim punctul , exterior cercului.

3.

Tangente

Construim tangentele la cerc din punctul .

4.


Determinăm punctele și , intersecţia cercului cu cele două

tangente.


76

Aplicația: Pythagorea

Pozițiile unei drepte față de un cerc

Reguli:

Se accesează aplicaţia Pythagorea şi se selectează:

„ Tangents” = Tangentă

Pozițiile relative a două cercuri







rezolvare pentru o situaţie data



77

Nivel 1

Stabiliți poziția cercurile 1( 1, 1) și 2( 2, 2) în situația în care 1 = 2 cm, 2 = 5 cm

și 1 2 = 5 cm.

Definiție: Cercurile 𝑐1 și 𝑐2 se numesc exterioare sau interioare dacă nu au niciun punct în comun.

𝑂1𝑂2 > 𝑟1 𝑟2

Cercurile exterioare au

distanța dintre centre

mai mare decât suma

razelor, adică

𝑂1𝑂2 𝑟1 𝑟2

Cercurile interioare au

distanța dintre centre

mai mică decât

diferența razelor, adică

𝑂1𝑂2 = 𝑟1 𝑟2

Cercurile tangente

exterioare au distanța

dintre centre egală cu

suma razelor, adică

𝑂1𝑂2 = 𝑟1 𝑟2

Cercurile tangente

interioare au distanța

dintre centre egală cu

diferența razelor, adică

𝑟1 𝑟2 𝑂1𝑂2 𝑟1 𝑟2

Cercurile secante au distanța

dintre centre mai mare decât

diferența razelor și mai mică decât

suma razelor, adică

𝑂1𝑂2 =

Cercurile concentrice au

distanța dintre centre egală

cu zero, adică

Definiție: Cercurile 𝑐1 și 𝑐2 se numesc tangente exterioare sau tangente interioare dacă au un singur punct comun.

Definiție: Cercurile 𝑐1 și 𝑐2 se numesc secante dacă au

două puncte comune.

Definiție: Cercurile 𝑐1 și 𝑐2 se numesc concentrice dacă

au același centru.

78

Nivel 2

Două cercuri au același centru O, iar razele lor au lungimile de 3 cm și respectiv 5 cm.

Semidreapta OX intersectează cercurile în A și respectiv B. Aflați lungimea segmentului AB.

Nivel 3

Fie cercurile 1( 1, 1) și 2( 2, 2) tangente interioare în punctul T. Construim dreptele

AB și EF concurente în punctul T, unde , ∈ 2 și , ∈ 1. Sunt dreptele AE și BF paralele?


Pozițiile relative a două cercuri

Pregătiri:



Figură: Cercuri exterioare

79

Pași:

1.




Astfel încât .


Figură: Cercuri tangente exterioare

Pași:

1.




Astfel încât = .


Figură: Cercuri secante

80

Pași:

1.




Astfel încât > > | |.

2.


Determinăm punctele și , intersecţia celor două cercuri.


Figură: Cercuri tangente interioare

Pași:

1.




Astfel încât – = .


Figură: Cercuri interioare

81

Pași:

1.



Construim cercul cu centrul în , care trece prin punct .

el încât – > .


Figură: Cercuri concentrice

Pași:

1.



Construim cercul cu centrul în , care trece prin .


Clasa a VI a - Semestrul I

Documents

Transcript of Clasa a VI a - Semestrul I