UNGHIURI ADIACENTE

- au v¼rful comun- au o latur¬ comun¬- celelalte dou¬ laturi sunt situate de o

parte §i de alta fa@¬ de latura comun¬

m(ˆAOB) = m(ˆAOC) / m(ˆCOB)

O

C

B

A

BISECTOAREA UNUI UNGHI

Este semidreapta cu urm¬toarele propriet¬@i:- are originea ”n v¼rful unghiului- este situat¬ ”n interiorul unghiului- formeaz¬ unghiuri congruente cu laturile unghiului

ˆAOC Á ˆ COB

Un punct din interiorul unui unghi propriu apar@inebisectoarei unghiului « distan@ele de la punct la laturileunghiului sunt egale

ˆAOC Á ˆ COB « [MN] Á [MP]

A

O B

C

A

O B

CM

N

P

UNGHIURI SUPLEMENTARE

Sunt dou¬ unghiuri proprii pentru care sumam¬surilor este egal¬ cu 180o

m(ˆAOB) / m(ˆMNP) = 180o

Unghiul MNP este suplementul unghiului AOB.Unghiul AOB este suplementul unghiului MNP.

Dac¬ laturile necomune a dou¬ unghiuriadiacente sunt semidrepte opuse, atunciunghiurile sunt suplementare.

m(ˆAOB) / m(ˆBOC) = 180o

Dac¬ dou¬ unghiuri sunt congruente, atunci §isuplementele lor sunt congruente.

A O

B

M

N P

A O

B

C

UNGHI DREPT

Este unghiul congruent cu suplementul s¬u.

m(ˆAOB) = 90o

Orice dou¬ unghiuri drepte sunt congruente.

DREPTE PERPENDICULARE

Dreptele a §i b sunt perpendiculare dac¬ formeaz¬ ununghi drept.

a ^ b « m(ˆO) = 90o

A

O BC

a

b

O

UNGHIURI OPUSE LA VŠRF

Dou¬ unghiuri proprii se numescopuse la v¼rf dac¬ au laturile ”n prelungire.

Unghiurile opuse la v¼rf sunt congruente.

ˆAOB Á ˆ COD ˆBOC Á ˆAOD

Dac¬ punctele A, O, C sunt coliniare §i ˆAOB Á ˆ COD,

atunci §i punctele B, O, D sunt coliniare.

¤ .A,O,B

∠ AOB ≡ ∠ CODC,O,D

A

B

C

D

O

UNGHIURI COMPLEMENTARE

Sunt dou¬ unghiuri proprii pentru care sumam¬surilor este egal¬ cu 90o.

Unghiul MNP este complementul unghiului AOB.Unghiul AOB este complementul unghiului MNP.Dac¬ laturile necomune a dou¬ unghiuri adiacentesunt perpendiculare, atunci unghiurile suntcomplementare.

m(ˆAOB) / m(ˆBOC) = 90o

Dac¬ dou¬ unghiuri sunt congruente, atunci §isuplementele lor sunt congruente.

AO

BM

N

P

A O

B C

M¬sura unghiului format de bisectoarele a dou¬unghiuri adiacente este egal¬ cu semisuma m¬suriloraccestora.

.m(∠ MON)=m(∠ AOB)+m(∠ BOC)

2

Bisectoarele a dou¬ unghiuri adiacente §i suplementaresunt perpendiculare.

Perpendiculara dus¬ pe bisectoarea unui unghi estebisectoarea unghiului adiacent §i suplementar acestuia.

A

O

B

C

M

N

A O B

C

M

N

UNGHIURI ™N JURUL UNUI PUNCT

- au v¼rful comun- nu au puncte interioare comune- reuniunea lor §i a interioarelor

acoper¬ ”ntreg planul

Suma m¬surilor unghiurilor ”njurul unui punct este egal¬ cu 360o.

m(ˆAOB) / m(ˆBOC) / m(ˆCOD) // m(ˆDOE) / m(ˆEOF) / m(ˆFOA) = 360o

A

B C

D

A'

EF

OPERA`II CU UNGHIURI

Dac¬ unghiurile AOC §i BOC sunt adiacente,atunci:

m(ˆAOB) = m(ˆAOC) /m(ˆBOC).

Dac¬ unghiurile MON §i MOP:- au v¼rful comun;- o latur¬ comun¬- laturile necomune se afl¬ de aceea§i parte a

laturii comune

atunci: m(ˆNOP) == m(ˆMOP) – m(ˆMON)

O

C

B

A

O

N

P

M

TRIUNGHIURI CONGRUENTE

† ABC Á †MNP «

[AB] ≡ [MN][BC] ≡ [NP][CA] ≡ [PM]∠ A ≡ ∠ M∠ B ≡ ∠ N∠ C ≡ ∠ P

A

B C

M

N P

CAZURILE DE CONGRUEN`®

I. L.U.L.

† ABC Á † MNP «

[AB] ≡ [MN][BC] ≡ [NP]∠ B ≡ ∠ N

II. U.L.U.

† ABC Á † MNP «

[BC] ≡ [NP]∠ B ≡ ∠ N∠ C ≡ ∠ P

III. L.L.L.

† ABC Á † MNP «

[AB] ≡ [MN][BC] ≡ [NP][CA] ≡ [PM]

A

B C

M

N P

A

B C

M

N P

A

B C

M

N P

CAZURILE DE CONGRUEN`® ALE TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE

C.C. C.U † ABC Á † MNP « † ABC Á † MNP «

[AB] ≡ [MN][AC] ≡ [MP]

[AC] ≡ [MP]∠ C ≡ ∠ P

I.U. I.C. † ABC Á † MNP « † ABC Á † MNP «

[BC] ≡ [NP]∠ C ≡ ∠ P

[BC] ≡ [NP][AC] ≡ [MP]

C

N

M P

B

C

N

M PA

B

C

N

M PA

B

C

N

M PA

B

MEDIATOAREA UNUI SEGMENT

Este dreapta perpendicular¬ pe segment ”n mijlocul s¬u.

Un punct apar@ine mediatoarei unui segment « este egaldep¬rtat de extremit¬@ile segmentului.

A BM

d

A BM

N

CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR

Dup¬ unghiuri-ascu@itunghice (toate unghiurile ascu@ite)-dreptunghice (un unghi drept)-obtuzunghice (un unghi obtuz)

Dup¬ laturi- oarecare (scalene)- isoscele (dou¬ laturi congruente)- echilaterale (toate laturile congruente)

A B

C M

N P

D

E F

A B

C

N P

M D

E F

LINII IMPORTANTE ™N TRIUNGHI

-™n¬l@imea AD ^ BC ( perpendiculara din v¼rf pe latura opus¬ - Bisectoarea ˆ BAA' Á ˆ AA'C

(intersec@ia dintre bisectoarea unghiului §i interiorul triunghiului) - Mediana [BM] Á [MC]

(segmentul ce une§te v¼rful cu mijlocul laturii opuse) - Mediatoarea [BM] Á [MC], d ^ BC(perpendiculara dus¬ prin mijlocul laturii)

A

B D A' M C

d

BISECTOARELE UNUI TRIUNGHI

™ntr-un triunghi cele trei bisectoare sunt concurente.

¤ AQ ÇBS ÇCQ = {I}

∠ BAQ ≡ ∠ QAC∠ BCP ≡ ∠ PCA∠ ABS ≡ ∠ SBC

Punctul de intersec@ie al bisectoarelor este centrulcercului ”nscris ”n triunghi.

[IE] Á [IE] Á [IG], IE ^ AC, IF ^ AB, IG ^ BC

A

B C

I

G

EP

Q

S

F

Punctul de intersec@ie al bisectoarelorexterioare a dou¬ unghiuri din triunghi se afl¬pe bisectoarea interioar¬ a celui de-al treileaunghi.

Punctul lor de intersec@ie este centrulcercului ex”nscris.

A

B C

I

DE

F

MEDIATOARELE UNUI TRIUNGHI

Mediatoarele laturilor unui triunghi suntconcurente.

Punctul de intersec@ie al mediatorelor laturilor unuitriunghi este centrul cercului circumscristriunghiului.

Centrul cercului circumscris unui triunghidreptunghic este mijlocul ipotenuzei.

A

B CM

NP

A

B CO

MEDIANELE UNUI TRIUNGHI

Medianele unui triunghi sunt concurente.

Punctul de concuren@¬ al medianelor se nume§tecentrul de greutate al triunghiului.

Centrul de greutate al triunghiului se afl¬ pe fiecare median¬, la o treime de baz¬§i dou¬ treimi de v¼rf

Triunghiul MNP se nume§te triunghi median sau complementar.

A

B C

M

N

P

G

™N®L`IMILE UNUI TRIUNGHI

™n¬l@imile unui triunghi sunt concurente.Punctul de concuren@¬ al ”n¬l@imilor se nume§te ortocentru.

-Triunghiul format din ortocentru §i dou¬ v¼rfuri are dreptortocentru cel de-al treilea v¼rf al s¬u.

- A este ortocentru ”n † HBC - B este ortocentru ”n † HAC

- C este ortocentru ”n † HAB

A

B CD

E

FH

- Ortocentrul unui triunghiobtuzunghic se afl¬ ”nexteriorul triunghiului.

- Ortocentrul unui triunghi dreptunghic se afl¬ ”n v¼rful s¬u drept.

Triunghiul av¼nd drept v¼rfuri picioarele ”n¬l@imilor senume§te triunghi ortic.

™n¬l@imile triunghiului sunt bisectoarele triunghiuluiortic.

A

B CD

E

F

H

BA

DC A

B C

H

B'

A'

C'

DREPTE PARALELE

Dou¬ drepte sunt paralele dac¬:- sunt coplanare;- nu au nici un punct comun.

a ½½ b

Axioma paralelelor (postulatul lui Euclid)Printr-un punct exterior unei drepte date, trece o singur¬ paralel¬ la dreapta dat¬.

Dou¬ drepte distincte paralele cu a treia dreapt¬ suntparalele ”ntre ele.

a ½½b, b ½½ c ¤ a ½½ c

a

b

×A

a

b

c

DREPTE PARALELE T®IATE DE O SECANT®(ˆ3, ˆ5); (ˆ4, ˆ6) - unghiuri alterne interne(ˆ1, ˆ7); (ˆ2, ˆ8) - unghiuri alterne externe(ˆ1, ˆ5); (ˆ4, ˆ8) - unghiuri corespondente(ˆ2, ˆ6); (ˆ3, ˆ7) - unghiuri corespondente(ˆ4, ˆ5); (ˆ3, ˆ6) - unghiuri interne

(de aceea§i parte a secantei)(ˆ1, ˆ8); (ˆ2, ˆ7) - unghiuri externe

(de aceea§i parte a secantei)Dreptele a §i b sunt paralele « a) unghiurile alterne interne sunt congruente

b) unghiurile alterne exerne sunt congruente c) unghiurile corespondente sunt congruente d) unghiurile interne sunt suplementare e) unghiurile exerne sunt suplementare

a ½½ b « a) ˆ3 Á ˆ 5 (a.i.), ˆ 4 Á ˆ 6 (a.i.); b) ˆ1 Á ˆ 7 (a.i.), ˆ 2 Á ˆ 8 (a.e.) c) ˆ2 Á ˆ 6 (coresp), ˆ 3 Á ˆ 7 (coresp.);

d) m(ˆ4) / m(ˆ5) = 180o(i.), m(ˆ3) / m(ˆ6) = 180o(i.), e) m(ˆ1) / m(ˆ8) = 180o(e.), m(ˆ2) / m(ˆ7) = 180o(e.).

1 2

34

5 6

78a

b

PERPENDICULARITATE ¦I PARALELISM

Dou¬ perpendiculare pe aceea§i dreapt¬ sunt paralele

¤ a ½½ ba ⊥ cb ⊥ c

O perpendicular¬ pe o dreapt¬ este perpendicular¬ pe oriceparalel¬ la dreapt¬.

c ^ a, a ½½ b ¤ c ^ b

c

a b

a

b

c

PARALELE INTERSECTATE DE PARALELE

Dou¬ drepte paralele sunt t¬iate de alte dou¬ drepteparalele dup¬ segmente congruente.

a ½½b, c ½½d ¤ [AB] Á [CD], [AD] Á [BC]a

b

c d

A B

D C

LINIA MIJLOCIE ™NTR-UN TRIUNGHI

Este segmentul care une§te mijloacele a dou¬laturi din triunghi.

Linia mijlocie este paralel¬ cu a treia latur¬ §i arelungimea egal¬ cu jum¬tate din lungimea acesteia.

Paralela dus¬ prin mijlocul unei laturi a unui triunghi la alt¬ latur¬ atriunghiului trece prin mijlocul celei de-a treia laturi a triunghiului.

[AM] Á [MB], [AN] Á [NC] ¤ MN ½½ BC, MN = · BC12

[AM] Á [MB], MN ½½ BC ¤[AN] Á [NC]

A

B C

M N

SUMA M®SURILOR UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI

Suma m¬surilor unghiurilor unui triunghi este egal¬ cu 180o.† ABC ¤ m(ˆA) / m(ˆB) / m(ˆC) = 180o

Un triunghi are cel mult un unghi de m¬sur¬ mai mare sau egal¬ cu 90o.Unghiurile ascu@ite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare..

Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt ascu@ite.Unghiurile de la baza unui triunghi dreptunghic isoscel au m¬sura de 45o.Unghiurile unui triunghi echilateral au m¬sura de 60o.

A

B C

1 3

UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI

Este unghiul format de o latur¬ a triunghiului cuprelungirea altei laturi a triunghiului.

M¬sura unghiului exterior unui triunghi este egal¬ cusuma m¬surilor celor dou¬ unghiuri ale triunghiuluineadiacente cu el .

m(ˆACB') = m(ˆA) / m(ˆB)

A

B C B'

TRIUNGHIUL ISOSCELEste triunghiul cu dou¬ laturi conguente.

† ABC iso. « [AB] Á [AC]Propriet¬@i Un triunghi este isoscel «

- are dou¬ unghiuri congruente; - liniile importante corespunz¬toare bazei coincid; - liniile importante corespunz¬toare laturilor congruente sunt congruente.

† ABC iso. ([AB] Á [AC]) « -ˆB Á ˆ C ; - AM ^ BC, [BM] Á [MC], ˆA1Á A2;

- [BB'] Á [CC'] , [BD] Á [CE], [BP] Á [CN].

A

B C

A

B CM

1 2

A

B C

N P

M

B'C'

DE

G

I

H

TRIUNGHIUL ECHILATERALEste triunghiul cu toate laturile conguente.

† ABC echi. « [AB] Á [BC] Á [CA]Propriet¬@i Un triunghi este echilateral «

- are toate unghiurile congruente; - liniile importante corespunz¬toare fiec¬rei

laturi coincid; - liniile importante corespunz¬toare fiec¬rei laturi sunt congruente.

† ABC echi. ([AB] Á [BC] Á [CA]) « -ˆ A Á ˆB Á ˆ C;

- AM ^ BC, [BM] Á [MC], ˆA1Á ˆA2; BN ^ AC, [AN] Á [NC], ˆB1Á ˆ B2;

CP ^ AB, [AP] Á [PB], ˆC1Á ˆ C2 - [AM] Á [BN] Á [CP].

A

B C

A

B C

A

B CM

NP

O

UNGHIURI CU LATURILE PARALELE

Unghiurile cu laturile paralele suntcongruente sau suplementare.

OA ½½O'A' , OB ½½O'B' ¤ ˆAOB Á ˆ A'O'B'

sau m(ˆAOB) / m(ˆA'O'B') = 180o

A

O B

O' B'

O"

C

D

A

O B

O' B'

A'

O"

D

C

A'

UNGHIURI CU LATURILE PERPENDICULARE

Unghiurile cu laturile perpendicularesunt congruente sau suplementare.

OA ^O'A' , OB ^ O'B' ¤ ˆAOB Á ˆ A'O'B'

sau m(ˆAOB) / m(ˆA'O'B') = 180o

Dou¬ unghiuri congruente cu dou¬ laturi perpendiculare au §i celalte dou¬laturi perpendiculare.

O

A'B'

A

B

A

B

A'

B'

O

OB

O'

A'B'

AA B

OO'

B

A'