GHID DE PREDARE A MATEMATICII
CU AJUTORUL METODELOR DIGITALE
Clasa a VI a - Semestrul I
Realizat de Cristina Mihaela Pop, Ciprian Ittu, Szilard Szasz, Carmen Buta și Nicoleta Duma, profesori de matematică, coordonat de Adina Roșca, expert Educațional Digitaliada Revizuit de Cristian Petru Pop, Inspector de Matematică ISJ Cluj
Textul și ilustrațiile din acest material sunt licențiate de Fundația Orange conform termenilor și condițiilor licenței AttributionNonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) care poate fi consultată pe pagina web https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/ . Ilustrațiile din acest material reprezintă capturi din aplicațiile recomandate pentru utilizare. Coperta, ilustrațiile, mărcile înregistrate, logo-urile Fundația Orange, Digitaliada și orice alte elemente de marcă incluse pe copertă sunt protejate prin drepturi de proprietate intelectuală exclusive și nu pot fi utilizate fără consimțământul anterior expres al titularilor de drepturi.
1
Cuprins Introducere................................................................................................................................................... 2
Avantaje ale utilizării aplicațiilor digitale și resurselor educaționale digitale în procesul instructiv –
educativ ........................................................................................................................................................ 3
ALGEBRĂ ................................................................................................................................................... 4
Mulțimi: descriere, notații, reprezentări. Mulțimi numerice și nenumerice. Relația dintre element
și mulțime ................................................................................................................................................. 5
Relații între mulțimi. Mulțimi finite și mulțimi infinite ....................................................................... 8
Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență ........................................................................ 11
Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime ................................... 15
Determinarea c.m.m.d.c. și a c.m.m.m.c. ............................................................................................. 18
Numere prime între ele ......................................................................................................................... 21
Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale .......................................................... 23
GEOMETRIE ............................................................................................................................................ 25
Unghiuri opuse la vârf .......................................................................................................................... 26
Unghiuri formate în jurul unui punct ................................................................................................. 29
Unghiuri complementare și unghiuri suplementare........................................................................... 32
Unghiuri adiacente ................................................................................................................................ 35
Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei unui unghi ............................................................. 38
Unghiuri formate de două drepte cu o secantă ................................................................................... 42
Drepte paralele. Axioma paralelelor.................................................................................................... 44
Criterii de paralelism (unghiuri formate de două drepte paralele cu o secantă) ............................ 48
Drepte perpendiculare în plan. Oblice ................................................................................................ 51
Distanța de la un punct la o dreaptă .................................................................................................... 55
Mediatoarea unui segment. Construcția mediatoarei unui segment ................................................ 58
Simetria față de o dreaptă .................................................................................................................... 62
Cercul ..................................................................................................................................................... 65
Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc ................................................................................. 71
Pozițiile relative a două cercuri ............................................................................................................ 76
2
Introducere
Digitaliada este un program de educație digitală ce încurajeaza folosirea la clasă a metodelor de
lucru interactive și a conținutului digital educativ, pentru a crește performanțele școlare ale
elevilor. Programul are două componente:
la nivel național - platforma www.digitaliada.ro, care conține materiale digitale educative
validate de experți în educație
la nivel rural - proiectul Digitaliada în școli gimnaziale de la sate
Lansată în septembrie 2016, platforma www.digitaliada.ro încurajează crearea și partajarea de
conținut educațional liber ce poate fi folosit de orice persoană din România. Pe platformă,
Digitaliada pune la dispoziția publicului larg o serie de materiale digitale educaționale, realizate
în cadrul proiectului de profesorii și autorii parteneri #Digitaliada și de cadrele didactice sau alte
persoane interesate de acest domeniu. Aceste resurse pot fi folosite, la alegerea profesorului, în
procesul de predare la ciclul gimnazial.
În cadrul acestui Ghid veți regăsi recomandări bazate pe experiența acumulată în cadrul
programului Digitaliada și a implementării acestuia în 50 de școli din mediul rural în perioada
2016-2021.
3
Avantaje ale utilizării aplicațiilor digitale și resurselor educaționale
digitale în procesul instructiv – educativ
oferă elevilor un instrument modern și atractiv de exersare a noțiunilor teoretice și de
formare a competențelor specifice;
elevii pot colabora, pot învăța împreună sau pot concura unii cu alții;
fiecare elev poate lucra în ritm propriu, fiind esențial progresul fiecăruia raportat la
nivelul inițial;
crește interesul elevilor pentru studiul prin integrarea educației digitale în demersal
didactic;
elevii se pot autoevalua, putând vizualiza la final soluția corectă pentru fiecare întrebare
la care au răspuns eronat;
îmbină metodele didactice tradiționale cu cele moderne;
stimularea capacității de învățare;
creșterea motivației elevilor;
instalarea climatului de autodepășire, competitivitate;
întreține un nivel ridicat al atenției;
stimularea gândirii logice și a imaginației;
asigură un feed-back rapid;
stabilirea unor măsuri de remediere bazate pe feed-back-ul primit;
utilizare aplicaților de către elevi se poate face utilizând diferite dispozitive IT (tabletă,
telefon mobil, PC).
4
ALGEBRĂ
5
0 2 4
6 8
Mulțimi: descriere, notații, reprezentări. Mulțimi
numerice și nenumerice. Relația dintre element și
mulțime
Aplicații recomandate: Sets, LearningApps
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe.
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
CS. 1.1. Identificarea unor noţiuni specifice mulţimilor și relației de divizibilitate în ℕ
CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS 2.1. Evidenţierea în exemple a relaţiilor de apartenenţă, de incluziune, de egalitate și a criteriilor de
divizibilitate cu 2, 5, , 3 și 9 în ℕ
Exemplu: mulțimea peștilor din acvariu
Într-o mulțime un element este scris o singură dată!
O mulțime numerică este o mulțime ale cărei elemente sunt numere.
Mulțimea care conține toate numerele naturale se notează ℕ.
Mulțimea este o colecție de obiecte bine
determinate și distincte numite elementele
mulțimii.
Mulțimile se notează cu litere mari:
A, B, C, ...
iar elementele mulțimii se notează
între acolade cu litere mici: a, b, c, ...
Dacă A este o mulțime și x un element al său, atunci vom scrie 𝒙 ∈ 𝑨.
Dacă y nu este element al mulțimii A, vom scrie 𝒚 ∉ 𝑨.
O mulțime poate fi
reprezentată în mai multe
moduri:
explicit – prin enumerarea elementelor între acolade
Exemplu: 𝑀 = * ,2,4,6,8+. Citim: mulțimea M este formată din elementele 0, 2, 4, 6, 8.
implicit – enunțând o proprietate comună a elementelor mulțimii
Exemplu: 𝑀 = *𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟ă 𝑝𝑎𝑟ă+
cu ajutorul diagramei Venn-Euler – prin enumerarea
elementelor în interiorul unei linii curbe închise
Între un element și
mulțime vorbim
de:
relația de apartenență
relația de
nonapartenență
mulțimea jucăriilor
M
O mulțime nenumerică este o mulțime care nu este mulțime numerică.
Mulțimea care nu are niciun element se notează cu simbolul ∅ și se
numește mulțimea vidă.
6
Nivel 1
1. Elementele mulțimii = * ∈ | + sunt ... .
2. Scrie următoarea mulțime cu ajutorul unei proprietăți caracteristice a elementelor:
= * , , , , +.
3. Scrieți mulțimea literelor din care este format cuvântul „matematică”.
Nivel 2
1. Elementele mulțimii = * ∈ ∈ + sunt ... .
2. Care sunt elemetele mulțimii = * ∈ | = = +?
3. Se consideră mulțimea = * ă | +. Determinați mulțimea:
= * | = , ∈ +.
Nivel 3
1. Care sunt elementele mulțimii = * ∈ | ă +?
2. Mulțimea = * | ∈ | + va avea elementele ... .
3. Determinați elementele mulțimii = { , , | = ( ) }.
7
Aplicația: Sets
Se accesează aplicaţia Sets şi se selectează:
„MEMBERSHIP” = Apartenență
Aplicația: LearningApps
Mulțimi descriere, notații, reprezentări
Link: https://learningapps.org/21077840
Mulțimi descriere, notații, reprezentări. Mulțimi numerice, mulțimi nenumerice.
Link: https://learningapps.org/21077909
8
Exemple:
a) 𝐶 = 𝐷, unde 𝐶 = * , 2, 4,8+ și 𝐷 = *20, 21, 22, 23+
b) 𝐺 𝐻, unde 𝐺 = *𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐷3+ și 𝐻 = *𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐷5+
Exemple:
a) 𝑀 ⊂ 𝑁, unde 𝑀 = * , 2, 5+ și 𝑁 = * , , 2, 5, 7+
b) 𝑋 ⊃ 𝑌, unde 𝑋 = *𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟ă+ și 𝑌 = *𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟ă 𝑝𝑎𝑟ă+
c) 𝑃 ⊄ 𝑄, unde 𝑃 = * , 2+ și 𝑄 = *2, 3, 5+
Relații între mulțimi. Mulțimi finite și mulțimi infinite
Aplicații recomandate: Sets, LearningApps
Recomandare: Însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
CS. 1.1. Identificarea unor noţiuni specifice mulţimilor și relației de divizibilitate în ℕ
CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS 2.1. Evidenţierea în exemple a relaţiilor de apartenenţă, de incluziune, de egalitate și a criteriilor de
divizibilitate cu 2, 5, , 3 și 9 în ℕ
Două mulțimi A și B se numesc egale dacă au aceleași elemente.
Notăm: 𝑨 = 𝑩. Dacă mulțimile A și B nu sunt egale, notăm 𝑨 𝑩.
Fie A și B două mulțimi.
A este inclusă în B dacă orice element al mulțimii A este și element al mulțimii B. Se
scrie 𝑨 ⊂ 𝑩. Se mai spune că B include pe A și se scrie 𝑩 ⊃ 𝑨. În acest caz se spune
despre A că este o submulțime a lui B.
Dacă A nu este inclusă în B, adică A nu este submulțime a lui B, notăm 𝑨 ⊄ 𝑩 (citim „A
nu este inclus în B”) sau 𝑩 ⊅ 𝑨 (citim „B nu include pe A”).
O mulțime finită este o mulțime care are un număr finit de elemente. Numărul de elemente al unei mulțimi finite A se numește
cardinalul mulțimii A și se notează card A. Exemplu: 𝑫𝒏 – mulțimea divizorilor numărului natural n.
O mulțime infinită este o mulțime care are un număr infinit de elemente. Exemplu: 𝑴𝒏 – mulțimea multiplilor numărului natural n.
= * , , 2, 3, … + - mulțimea numerelor naturale *= * , 2, 3, 4, … + - mulțimea numerelor naturale nenule
Reținem că:
∅ este submulțime a oricărei mulțimi.
Orice mulțime este inclusă în ea
însăși.
Dacă 𝐴 ⊆ 𝐵 și 𝐵 ⊆ 𝐴, atunci 𝐴 = 𝐵.
9
Nivel 1
1. Fie mulțimea = * , , ,… , +. Cardinalul mulțimii M este egal cu ... .
2. Numărul de submulțimi al mulțimii * , , + este egal cu ... .
3. Determinați elementele x și y pentru care = , unde = * , , 4+ și = * , 3, +.
Nivel 2
1. Care este cardinalul mulțimii: = * ∈ | +?
2. Fie mulțimea = * ∈ | , ∈ +. Determinați a, număr natural, astfel
încât card M = 1.
3. Suma elementelor mulțimii * ∈ | + este ... .
Nivel 3
1. Se dă mulțimea = * , , , , … , +. Care este numărul submulțimilor
formate din două elemente cu suma egală cu 2015?
2. Se consideră mulțimile:
= * , , + și = * , , +.
Determinați numărul natural x, 2, pentru care = .
3. Determinați cardinalul mulțimii = * | = , , , +
10
Aplicația: Sets
Se accesează aplicaţia Sets şi se selectează:
„SUBSETS” = Submulţimi
Aplicația: LearningApps
Link: https://learningapps.org/21078109
11
Operații cu mulțimi: reuniune, intersecție, diferență
Aplicații recomandate: Sets, LearningApps, Quizizz, Kahoot!
Recomandare: Lecție de consolidare a cunoștințelor
Competențe generale și specifice:
CG. 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
CS. 3.1. Utilizarea unor modalităţi adecvate de reprezentare a mulţimilor și de determinare a c.m.m.d.c. şi a
c.m.m.m.c.
CG. 6. Modelarea matematică a unei situaţii date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii
CS. 6.1. Transpunerea, în limbaj matematic, a unor situaţii date utilizând mulţimi, operații cu mulțimi și
divizibilitatea în ℕ
𝐴 ∩ 𝐵 = *𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝒊 𝑥 ∈ 𝐵+
𝐴 = *𝑎, 𝑏, 𝑐+
𝐵 = *𝑎, 𝑐,𝑑,𝑓+
𝐴 ∩ 𝐵 = *𝑎, 𝑐+
Intersecția mulțimilor A și B este
mulțimea notată 𝐴 ∩ 𝐵, care conține
elementele comune mulțimilor A și
B.
Exemplu:
𝐴 \ 𝐵 = *𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑖 𝑥 ∉ 𝐵+
𝐵 \ 𝐴 = *𝑥|𝑥 ∈ 𝐵 𝑖 𝑥 ∉ 𝐴+
𝐵 \ 𝐴 = *𝑑,𝑓+
Diferența mulțimilor A și B este
mulțimea notată 𝐴 \ 𝐵, care conține
acele elemente care aparțin mulțimii
A și care nu aparțin mulțimii B.
Exemplu:
𝐴 = *𝑎, 𝑏, 𝑐+ și 𝐵 = *𝑎, 𝑐,𝑑,𝑓+
𝐴 \ 𝐵 = *𝑏+
𝐴 ∪ 𝐵 = *𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝒔𝒂𝒖 x ∈ B+
𝐴 = *𝑎, 𝑏, 𝑐+
𝐵 = *𝑎, 𝑐,𝑑,𝑓+
𝐴 ∪ 𝐵 = *𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑,𝑓+
Reuniunea a două mulțimi A și B este
mulțimea notată 𝐴 ∪ 𝐵, care conține
acele elemente ce aparțin cel puțin
uneia dintre mulțimile A și B.
Exemplu:
𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐴) 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐵) 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐴 ∩ 𝐵)
Principiul includerii și al excluderii:
12
Nivel 1
1. Fie mulțimile = * , , , + și = * , , +. Calculând ∪ , obținem ... .
2. Fie mulțimile = * , , + și = * , , +. Calculând ∩ , obținem ... .
3. Se dau mulțimile = * , , + și = * , , +. Rezultatul calculului \ este ...
Nivel 2
1. Mulțimea A care satisface simultam condițiile următoare este:
a) ∪ = * , , , +; b) ∩ = * , +; c) = * +
2. Într-o clasă sunt 26 de elevi. 17 participă la cercul de matematică și 15 elevi la cercul de
lectură. Fiecare elev participă la cel puțin una dintre aceste activități.
Numărul elevilor ce participă la ambele activități este de ... .
3. Cardinalul mulțimii = * ∈ | + este ... .
Nivel 3
1. Se consideră mulțimile:
= * | = , ∈ + și = * | = , ∈ +.
Efectuați ∩ .
2. Fie A și B două mulțimi. Dacă B este o submulțime a lui A, atunci ∩ este egală cu ... .
3. Se consideră mulțimea = * , , , … , +. Pentru o submulțime nevidă B a lui A
notăm cu ( ) suma resturilor obținute prin înpărțirea elementelor lui B la 3. Valoarea
maximă a lui ( ) atunci când B este alcătuită din 4 numere consecutive este ... .
13
Aplicația: Sets
Operații cu mulțimi: reuniune
Se accesează aplicaţia Sets şi se selectează:
„UNION” = Reuniune
Operații cu mulțimi: intersecţie
Se accesează aplicaţia Sets şi se selectează:
„INTERSECTION” = Intersecție
14
Operații cu mulțimi: diferență
Se accesează aplicaţia Sets şi se selectează:
„DIFFERENCE” = Diferență
Aplicația: LearningApps
Link: https://learningapps.org/21078946
Aplicația: Quizizz
Link: https://quizizz.com/admin/quiz/5b77fabbedf708001a595e58/multimi
Aplicația: Kahoot!
Link: https://play.kahoot.it/#/k/b70964e1-c31a-425e-8ea2-d068b78548c6
15
Pentru descompunerea în produs de puteri
de numere prime a unui număr natural care
se termină în „0”, utilizăm descompunerile:
𝟏𝟎𝒏 = 𝟐𝒏 𝟓𝒏
Numărul divizorilor naturali ai unui număr natural compus este egal cu
produsul succesorilor exponenților puterilor ce apar în descompunerea în
produs de puteri de numere prime. Dacă 𝒏 = 𝒑𝟏𝜶𝟏 𝒑𝟐
𝜶𝟐 … 𝒑𝒌𝜶𝒌
atunci, numărul divizorilor naturali ai numărului natural n este
(𝜶𝟏 𝟏) (𝜶𝟐 𝟏) … (𝜶𝒌 𝟏)
Descompunerea numerelor naturale în produs de
puteri de numere prime
Aplicații recomandate: Primes and Divisibility, LearningApps
Recomandare: Lecție de fixare și consolidare a cunoștințelor
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
CS. 1.1. Identificarea unor noţiuni specifice mulţimilor și relației de divizibilitate în ℕ
CG. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS. 2.1. Evidenţierea în exemple a relaţiilor de apartenenţă, de incluziune, de egalitate și a criteriilor de
divizibilitate cu 2, 5, , 3 și 9 în ℕ
Orice număr natural a diferit de 1 are cel puțin divizorii 1 și a.
Un număr natural mai mare decât 1, care are exact doi divizori
(pe 1 și pe el însuși), se numește număr prim.
Dacă mai are și alți divizori se numește număr compus.
Exemple: 56 = 23 7
45 = 2 32 52
42 = 23 3 52 7
56 2 28 2 4 2 7 7
42 22 52 42 2 2 3 7 7
45 2 5 45 3 5 3 5 5
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
Orice număr natural compus poate
fi scris ca un produs de puteri de
numere naturale prime. Această
scriere este unică și se numește
descompunerea în factori primi
a numărului compus respectiv.
16
Nivel 1
1. Descompunerea în factori primi a numărului 1260 este ... .
2. Descompunerea în factori primi a câtului x : y, unde x = 288 și y = 18 este ... .
3. Câți divizori are numărul 98?
Nivel 2
1. Produsul a trei numere naturale consecutive este egal cu 15.600. Cel mai mare dintre
numere este ... .
2. Fără a efectua înmulțirea, aflați în câte zerouri se termină numărul ?
3. Care este cel mai mic număr de trei cifre care are exact trei divizori?
Nivel 3
1. Determinați cel mai mic număr natural a cărui descompunere în factori este de forma:
, unde .
2. Determinați numărul natural , , , cu proprietatea că:
= .
3. Dacă este un număr prim, calculați numărul divizorilor numărului natural .
17
Aplicația: Primes and Divisibility
Se accesează aplicaţia Primes and Divisibility şi se selectează:
„Prime Factorization” = Descompunere în factori primi
Aplicația: LearningApps
1. Divizori proprii, divizori improprii
Link: https://learningapps.org/21079009
2. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime
Link: https://learningapps.org/21079353
18
Determinarea c.m.m.d.c. și a c.m.m.m.c.
Aplicații recomandate: Primes and Divisibility, LearningApps, Quizizz
Recomandare: Fixarea și consolidarea cunoștințelor
Competențe generale și specifice:
CG. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS. 2.1. Evidenţierea în exemple a relaţiilor de apartenenţă, de incluziune, de egalitate și a criteriilor de
divizibilitate cu 2, 5, , 3 și 9 în ℕ
CG. 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
CS. 3.1. Utilizarea unor modalităţi adecvate de reprezentare a mulţimilor și de determinare a c.m.m.d.c. şi a
c.m.m.m.c.
Ce relație există între c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două numere naturale?
( , ) , , - =
Exemplu: Fie = = și = =
( 5 ,98) = 2
, 5 ,98- = 2 3 52 72 = 735
24 = 23 3
36 = 22 32
(24, 36) = 22 3 = 2
Definiție: Cel mai mare divizor comun
(c.m.m.d.c.) a două numere naturale a și b,
notat (a,b), este cel mai mare număr
natural care divide numerele date.
Cum aflăm c.m.m.d.c.?
se descompun numerele în produs
de puteri de numere prime;
se iau toți factorii primi comuni, o
singură dată, la puterea cea mai
mică și se înmulțesc între ei.
Exemplu:
2 = 22 5 6 = 24
, 6,2 - = 24 5 = 8
Definiție: Cel mai mic multiplu comun
(c.m.m.m.c.) a două numere naturale a și b,
notat [a,b], este cel mai mic număr natural
diferit de zero, care este divizibil cu a și b.
Cum aflăm c.m.m.m.c.?
se descompun numerele în produs
de puteri de numere prime;
se iau factorii primi comuni și
necomuni, o singură dată, la puterea
cea mai mare și se înmulțesc între
ei.
Exemplu:
Avem: 5 98 = 47 = 2 735
Deci: 5 98 = ( 5 ,98) , 5 ,98-
19
Nivel 1
1. Cel mai mare divizor comun al numerelor 36 și 54 este ... .
2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 24 și 36 este ... .
3. Cifra nenulă x pentru care ( , ) = este ... .
Nivel 2
1. Trei autobuze pleacă în același timp dintr-o stație. Primul revine în stație din 2 în 2 ore, al
doilea din 3 în 3 ore, iar al treilea din 8 în 8 ore. Cele trei autobuze se vor întâlni în stație
după ... .
2. Fiind date două numere naturale nenule a și b, știind că = și ( , ) = ,
atunci , , - = ... .
3. Câte numere naturale de forma , îndeplinesc condiția: , , - = ?
Nivel 3
1. Aflați cel mai mare număr natural n cu proprietatea că numerele 453, 565 și 731 împărțite
la n dau resturile 33, 5, respectiv 31.
2. Determinați cel mai mic număr natural n care împărțit la 14, 21 și 28 dă resturile 9, 16,
respectiv 23.
3. Se dă numărul = , ∈ . Aflați c.m.m.m.c. al
numerelor obținute pentru n = 0 și n = 1.
20
Aplicația: Primes and Divisibility
Cel mai mare divizor comun
Se accesează aplicaţia Primes and Divisibility şi se selectează:
„Greatest Common Divisor I” = Cel mai mare divizor comun
Cel mai mic multiplu comun
Se accesează aplicaţia Primes and Divisibility şi se selectează:
„Least Common Multiple I” = Cel mai mic multiplu comun
Aplicația: LearningApps
Link c.m.m.d.c.: https://learningapps.org/21082988
Link c.m.m.m.c.: https://learningapps.org/21083081
Link determinarea c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.: https://learningapps.org/21082854
Aplicația: Quizizz
Link: https://quizizz.com/admin/quiz/5c459f6517a592001a8cd0c9
21
Numere prime între ele
Aplicația recomandată: LearningApps
Recomandare: Fixarea și consolidarea cunoștințelor
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar CS. 1.1. Identificarea unor noțiuni specifice mulțimilor și relației de divizibilitate în ℕ
CG. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS. 2.1. Evidenţierea în exemple a relaţiilor de apartenenţă, de incluziune, de egalitate și a criteriilor de
divizibilitate cu 2, 5, , 3 și 9 în ℕ
CG. 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
CS. 3.1. Utilizarea unor modalităţi adecvate de reprezentare a mulţimilor și de determinare a c.m.m.d.c. şi a
c.m.m.m.c.
Definiție: Două numere naturale a și b se numesc prime între ele dacă cel mai mare
divizor comun al lor este egal cu 1.
Două numere prime între ele se mai numesc și relativ prime sau coprime.
Observații: 1. Două numere prime diferite sunt prime între ele.
Exemplu: (11, 29) = 1
2. Două numere prime între ele nu sunt neapărat numere prime.
Exemplu: 8 = 2 32 și 35 = 5 7
=> ( 8, 35) =
Fie 𝑎, 𝑏 ∈ . Dacă 𝑎 | 𝑏 𝑐 și (𝑎, 𝑏) = , atunci 𝒂 | 𝒄.
Dacă 𝑎 | 𝑐, 𝑏 | 𝑐 și (𝑎, 𝑏) = , atunci 𝒂 𝒃 | 𝒄.
Fie 𝑎, 𝑏 ∈ . Dacă (𝑎, 𝑏) = 𝑑, atunci există 𝑎1,𝑏1 ∈ , astfel încât
𝒂 = 𝒂𝟏 𝒅, 𝒃 = 𝒃𝟏 𝒅 și (𝒂𝟏,𝒃𝟏) = 𝟏.
Reținem!
22
Nivel 1
1. Câte perechi de numere naturale prime între ele se pot forma cu numerele naturale 14, 20,
25 și 27?
2. Determinați cifra x astfel încât ( , ) = .
3. Sunt numere prime între ele următoarele numere:
?
Nivel 2
1. Determinați numerele prime a, b, c care verifică relația: = .
2. Cel mai mare număr prim de forma ( ) cu proprietatea că ( , ) = este ... .
3. Determinați numerele a și b știind că îndeplinesc simultan condițiile:
( , ) = și = .
Nivel 3
1. Cel mai mare divizor comun al numerelor este ... .
2. Aflați ∈ astfel încât numerele a și b să fie numere naturale prime între ele, unde
= și = .
3. Determinați câte perechi de numere naturale x și y care îndeplinesc condițiile:
( , ) = și , , - = sunt?
Aplicația: LearningApps
Link: https://learningapps.org/21363547
23
Proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor
naturale
Aplicația recomandată: LearningApps
Recomandare: Fixarea și consolidarea cunoștințelor
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
CS. 1.1. Identificarea unor noțiuni specifice mulțimilor și relației de divizibilitate în ℕ
CG. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS. 2.1. Evidenţierea în exemple a relaţiilor de apartenenţă, de incluziune, de egalitate și a criteriilor de
divizibilitate cu 2, 5, , 3 și 9 în ℕ
CG. 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
CS. 3.1. Utilizarea unor modalităţi adecvate de reprezentare a mulţimilor și de determinare a c.m.m.d.c. şi a
c.m.m.m.c
Proprietatea 2. (reflexivitatea)
𝑎 | 𝑎, oricare ar fi numărul natural a
Exemplu: 495 | 495; 97 | 97
Proprietatea 3. (antisimetria)
𝑎 | 𝑏 și 𝑏 | 𝑎 => 𝑎 = 𝑏, unde 𝑎, 𝑏 ∈
Exemplu: Dacă 𝑛 | 2 și 2 | 𝑛 => 𝑛 = 2, 𝑛 ∈
Proprietatea 4. (tranzitivitatea)
𝑎 | 𝑏 și 𝑏 | 𝑐 => 𝑎 | 𝑐, unde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈
Exemplu: 3 | 5 și 5 | 45, atunci 3 | 45
Proprietatea 1.
| 𝑎, oricare ar fi numărul natural a
Exemplu: | 3 5; | 97; | 8
Proprietatea 5.
𝑑 | 𝑏 și 𝑑 | 𝑐 => 𝑑 | (𝑏 ± 𝑐), unde 𝑑, 𝑏, 𝑐 ∈
Exemplu: 4 | 48 și 4 | 6, atunci 4 | 64 sau 4 | 32
Proprietatea 6.
𝑎 | 𝑏𝑐 și (𝑎, 𝑏) = => 𝑎 | 𝑐, unde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈
Exemplu: 7 | 4 5 și (7, 5) = => 7 | 4
24
Nivel 1
1. Câte numere naturale de forma cu proprietatea că | și | , unde a și b sunt
două cifre nenule există?
2. Determinați cel mai mic număr natural x de patru cifre distincte cu proprietatea că:
| ( ).
3. Aflați numerele naturale n pentru care
∈ .
Nivel 2
1. Dacă a și b sunt numere naturale prime, atunci = ( , ) = ... .
2. Numerele naturale prime x și y îndeplinesc condiția = . Atunci = ... .
3. Cardinalul mulțimii = * ∈ | | | + este ... .
Nivel 3
1. Determinați cea mai mare valoarea a lui ∈ astfel încât | , unde = 2 … 26.
2. Determinați ∈ astfel încât ( ) | ( ).
3. Determinați câte perechi de numere naturale (x, y) există, știind că x și y verifică
egalitatea = .
Aplicația: LearningApps
Link: https://learningapps.org/21368672
25
GEOMETRIE
26
Unghiuri opuse la vârf
Aplicații recomandate: GeoGebra, WordWall
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost
definite
CS. 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date
CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente,
complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte
unghiuri opuse la vârf
Definiție: Două unghiuri proprii se numesc unghiuri opuse
la vârf dacă laturile lor formează perechi de semidrepte
opuse.
Teorema unghiurilor opuse la vârf:
Unghiurile opuse la vârf sunt
congruente.
Exemplu: 𝐴𝑂𝐵 ≡ 𝐶𝑂𝐷 și 𝐴𝑂𝐶 ≡ 𝐵𝑂𝐷
Observație: Două drepte AD și BC, concurente în O, formează
două perechi de unghiuri opuse la vârf.
Exemplu: [OA și [OD semidrepte opuse
[OB și [OC semidrepte opuse
𝑨𝑶𝑩 și 𝑪𝑶𝑫 opuse la vârf
𝑨𝑶𝑪 și 𝑩𝑶𝑫 opuse la vârf
𝐴𝑂𝐷 = 𝐴𝑂𝐵 𝐵𝑂𝐷
𝐵𝑂𝐶 = 𝐶𝑂𝐷 𝐵𝑂𝐷
Demonstrație:
Dar, 𝐴𝑂𝐷 = 𝐵𝑂𝐶 = 8 :
=> 𝐴𝑂𝐵 ≡ 𝐶𝑂𝐷
27
Nivel 1
Punctele A, O, B și repectiv, C, O, D sunt coliniare. Dacă = , atunci are
măsura de ... .
Nivel 2
Fie trei drepte AB, CD și EF concurente într-un punct O astfel încât măsura unghiului
să fie egală cu 100o și măsura unghiului să fie egală cu 50
o. Măsura unghiului
este de ... .
Nivel 3
În figura de mai jos punctele A, O, B și respectiv, C, O, D sunt coliniare. Măsura
unghiului obtuz este de ... .
28
Aplicația: GeoGebra
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Dreaptă prin două puncte
Se construiesc două drepte.
2.
Intersecție două obiecte
Determinăm punctul de intersecție a celor două drepte.
3.
Unghi
Determinăm măsurile unghiurilor și observăm că unghiurile opuse
la vârf sunt congruente.
4.
Salvare construcție
Aplicația: WordWall
Link: https://wordwall.net/ro/resource/20841728
29
Unghiuri formate în jurul unui punct
Aplicații recomandate: GeoGebra, Liveworksheets
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost
definite
CS. 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date
CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente,
complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte
unghiuri în jurul unui punct
Definiție: Trei sau mai multe unghiuri care
îndeplinesc condițiile:
au un vârf comun;
au interioarele disjuncte, două câte două;
orice punct al planului se află pe o latură sau în
interiorul unui unghi,
se numesc unghiuri în jurul unui punct.
sunt unghiuri în jurul punctului O
𝐴𝑂𝐵 𝐵𝑂𝐶 𝐶𝑂𝐷 𝐷𝑂𝐴 = 36
Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu 𝟑𝟔𝟎 .
30
Nivel 1
În jurul unui punct se consideră trei unghiuri în jurul unui punct: unghiul cu măsura
de 110o, unghiul cu măsura de 150
o. Atunci, unghiul are măsura de ...
.
Nivel 2
Fie 1, 2, 3 și 4 patru unghiuri în jurul punctului O. Aflați măsura unghiului 4 dacă
= , = , = , = .
Nivel 3
Fie patru unghiuri în jurul unui punct O: = , = și = . Atunci = .
31
Aplicația: GeoGebra
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Punct
Construim un punct.
2.
Semidreaptă
Se construiește un număr de semidrepte din punct.
3.
Unghi
Determinăm măsurile unghiurilor și observăm că suma măsurilor
este de 36 .
4.
Salvare construcție
Aplicația: Liveworksheets
Link: https://www.liveworksheets.com/oz2365416cc
32
Unghiuri complementare și unghiuri suplementare
Aplicații recomandate: GeoGebra, LearningApps
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost
definite
CS. 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date
CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente,
complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte
UNGHIURI COMPLEMENTARE
Definiție: Dacă suma măsurilor a două unghiuri
este egală cu 90⁰, atunci cele două unghiuri se
numesc unghiuri complementare.
Observații:
Oricare dintre cele două unghiuri reprezintă
complementul celuilalt.
Dacă două unghiuri ascuțite sunt congruente, atunci
și complementele lor sunt congruente.
UNGHIURI SUPLEMENTARE
Definiție: Dacă suma măsurilor a două unghiuri este
egală cu 180⁰, atunci cele două unghiuri se
numesc unghiuri suplementare.
Observații:
Oricare dintre cele două unghiuri reprezintă suplementul
celuilalt.
Dacă două unghiuri sunt congruente, atunci și
suplementele lor sunt congruente.
𝐴𝐵𝐶 și 𝐸𝐹𝐺 sunt unghiuri
complementare
𝐴𝐵𝐶 = 69
𝐸𝐹𝐺 = 2
𝐴𝐵𝐶 𝐸𝐹𝐺 = 9
Exemplu:
𝑀𝑁𝑃 și 𝑄𝑅𝑆 sunt
unghiuri suplementare
𝑀𝑁𝑃 = 2
𝑄𝑅𝑆 = 68
𝑀𝑁𝑃 𝑄𝑅𝑆 = 8
Exemplu:
33
Nivel 1
Măsura suplementului unui unghi de 24o este de ...
o
Nivel 2
Măsura complementului unui unghi de 47o este de ...
Nivel 3
Se consideră unghiul cu măsura de 80o. Diferența dintre suplementul și
complementul său este de ...o.
34
Aplicația: GeoGebra
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Dreaptă prin două puncte
Se construiește o dreptă.
2.
Punct
Construim un punct pe dreapta.
3.
Semidreaptă
Se construiește o semidreaptă din punct.
4.
Unghi
Determinăm măsurile unghiurilor și observăm că suma măsurilor
este de 8 .
5.
Salvare construcție
Aplicația: LearningApps
Link: https://learningapps.org/view21077919
35
Definiție: Două unghiuri proprii care au vârful comun, o laturã comună şi
celelalte laturi situate de o parte şi de alta a laturii comune se numesc unghiuri
adiacente.
Exemplu:
Unghiuri adiacente
Aplicații recomandate: GeoGebra, Liveworksheets
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost
definite
CS. 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date
CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente,
complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte
CG. 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
CS. 3.5. Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor
construcții geometrice
𝐴𝑂𝐵 și 𝐵𝑂𝐶 sunt unghiuri adiacente pentru că:
O – vârf comun
OB – latura comună
OA și OC situate de o parte și de alta a laturii
OB
Atenție! Următoarele unghiuri nu sunt adiacente:
𝐴𝑂𝐵 𝐵𝑂𝐶 = 9
Unghiuri adiacente complementare
𝐸𝐻𝐹 𝐹𝐻𝐺 = 8
Unghiuri adiacente
suplementare
36
Nivel 1
Fie un unghi alungit și unghiurile , , adiacente. Dacă = și
unghiul este drept, atunci are ...
Nivel 2
Fie și două unghiuri adiacente. Aflați măsura unghiului știind că
= și = .
Nivel 3
Unghiurile și sunt adiacente. Semidreapta OB este în interiorul unghiului
în cazul în care suma măsurilor lor este de 290⁰?
37
Aplicația: GeoGebra
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Unghi
Construim unghiul .
2.
Semidreaptă
Construim semidreapta cu originea în punctul , care trece prin
punctul . Construim semidreapta cu originea în punctul , care trece prin
punctul .
3.
Punct
Construim punctul , interior unghiului .
4.
Semidreaptă
Construim semidreapta cu originea în punctul , care trece prin
punctul .
5.
Unghi
Determinăm măsurile unghiurilor , și observăm că suma
măsurilor este egală cu măsura unghiului .
6.
Salvare construcție
Aplicația: Liveworksheets
Link: https://www.liveworksheets.com/nn2269369up
38
Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei unui
unghi
Aplicații recomandate: GeoGebra, Liveworksheets
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost
definite
CS. 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date
CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente,
complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte
CG. 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
CS. 3.5. Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor
construcții geometrice
Cum construim bisectoarea unui unghi?
1. Construcția bisectoarei cu rigla și raportorul
X
2. Construcția bisectoarei cu rigla negradată și compasul
Y
M Se măsoară unghiul și se constată că 𝑋𝑂𝑌 =8 .
Se împarte la 2 măsura unghiului (8 : 2 = 4 ).
Se construiește semidreapta OM interioară unghiului
care formează cu laturile unghiului două unghiuri
adiacente congruente, fiecare cu măsura de 40⁰.
Cu acul compasului în B, se trasează un
arc care taie laturile unghiului în D și E.
Cu acul compasului în D, trasăm
un arc în interiorul unghiului. Cu acul compasului în E (şi aceeaşi deschidere
a compasului), tăiem ultimul arc, în F.
Unim B cu F şi am obţinut
bisectoarea unghiului 𝐴𝐵𝐶 .
Bisectoarea unui unghi este semidreapta interioară unghiului, cu originea în vârful unghiului, care formează
cu laturile unghiului două unghiuri congruente.
Exemplu: Semidreapta OM este bisectoarea unghiului 𝐴𝑂𝐵 => 𝑨𝑶𝑴 ≡ 𝑩𝑶𝑴
Se desenează unghiul propriu 𝐴𝐵𝐶 .
39
Nivel 1
Unghiul are măsura de 74⁰. Se construiește OD, bisectoarea unghiului . Măsura
unghiului va fi egală cu … .
Nivel 2
Fie și două unghiuri adiacente. Dacă = 4 = , unghiul
format de bisectoarele lor are măsura de ... .
Nivel 3
Se consideră unghiurile adiacente , , , astfel încât OB este bisectoarea
unghiului , OC este bisectoarea unghiului , OD este bisectoarea unghiului
= 2 . Măsura unghiului este de ... .
40
Aplicația: GeoGebra
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Unghi
Construim unghiul AOB.
2.
Semidreaptă
Construim semidreapta cu originea în punctul O, care trece prin punctul
A.
Construim semidreapta cu originea în punctul O, care trece prin punctul
B.
3.
Bisectoare unghiulară
Construim bisectoarea unghiului AOB.
4.
Punct
Construim pe bisectoare punctul C.
5.
Unghi
Determinăm măsurile unghiurilor AOC, COB și observăm că sunt
congruente.
6.
Salvare construcție
Construcția bisectoarei
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
41
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Unghi
Construim unghiul .
2.
Semidreaptă
Construim semidreapta cu originea în punctul , care trece prin punctul . Construim semidreapta cu originea în punctul , care trece prin punctul .
3.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
4.
Intersecție două obiecte
Determinăm punctul de intersecție , al cercului cu semidreapta .
5.
Compas
Construim cercul cu centrul în şi de rază . Construim cercul cu centrul în şi de rază .
6.
Intersecție două obiecte
Determinăm punctul de intersecție , al cercurilor cu centrul în , respectiv
în .
7.
Semidreaptă
Construim semidreapta .
8.
Unghi
Determinăm măsurile unghiurilor , și observăm că sunt
congruente.
9.
Salvare construcție
Aplicația: Liveworksheets
Link: https://www.liveworksheets.com/yr2296823mf
Link: https://www.liveworksheets.com/cu2365100fb
42
Unghiuri formate de două drepte cu o secantă
Aplicația recomandată:
Recomandare:
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost
definite
CS. 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date
CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente,
complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte
CG. 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
CS. 3.5. Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor
construcții geometrice
Definiție: Dreapta d se numește secantă
dreptelor a și b, dacă intersectează cele două
drepte în două puncte distincte.
Dreapta e nu este secantă dreptelor m și n,
deoarece intersectează cele două drepte în
același punct.
Cele trei drepte formează opt unghiuri care grupate în anumite moduri
poartă denumiri diferite, legate de poziția lor față de cele trei drepte.
Avem:
unghiuri alterne interne: 𝟑 𝟓𝟒 𝟔
unghiuri alterne externe: 𝟏 𝟕𝟐 𝟖
unghiuri interne de aceeași parte a secantei: 𝟑 𝟔𝟒 𝟓
unghiuri externe de aceeași parte a secantei: 𝟏 𝟖𝟐 𝟕
unghiuri corespondente:
𝟏 𝟓𝟐 𝟔𝟑 𝟕𝟒 𝟖
43
Nivel 1
În figura de mai jos, dreptele AB și CD sunt tăiate de secanta EF în punctele M și
respectiv, N. Se știe că = 2 și = 83 . Măsura unghiului corespondent unghiului
este de … .
Nivel 2
Fie dreptele a și b și secanta lor c. Dacă unghiul și unghiul 2 sunt două unghiuri externe
de aceeași parte a secantei, atunci unghiurile opuse la vârf cu acestea sunt unghiuri interne de
aceeași parte a secantei.
Nivel 3
Se dau dreptele AC și DE. ∈ și ∈ , A și D fiind în același semiplan determinat
de secanta BF. Fie ∈ și ∈ în ordinea , , , . Indicați perechile de unghiuri
alterne externe.
Aplicația: LearningApps
Link: https://learningapps.org/21373896
44
Drepte paralele. Axioma paralelelor
Aplicația recomandată: GeoGebra
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost
definite
CS. 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date
CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente,
complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte
CG. 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
CS. 3.5. Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor
construcții geometrice
Consecințe:
Definiție: Două drepte coplanare care nu au niciun punct
comun se numesc drepte paralele.
Notație: 𝑎 𝑏, 𝑎 ∩ 𝑏 = ∅
șinele de tren
formează drepte
paralele
Axioma paralelelor (Axioma lui Euclid): Printr-un punct
exterior unei drepte se poate construi cel mult o dreaptă care
să fie paralelă cu dreapta inițială.
a) Două drepte distincte, paralele cu o a treia
(𝒇 𝒉 , 𝒈 𝒉), sunt paralele între ele (𝒇 𝒈)
(tranzitivitatea relației de paralelism).
45
Nivel 1
Se consideră o dreaptă d și un punct M exterior dreptei d. Prin punctul M se pot construi
… paralele la dreapta d.
Nivel 2
Segmentele AB și CD sunt concurente în mijlocul lor. Dreptele AC și BD vor fi paralele?
Nivel 3
În figura alăturată dreptele a și b sunt paralele. Ele sunt intersectate de secanta m în
punctele B și C. Sunt bisectoarele unghiurilor și două semidrepte paralele?
b) Dacă două drepte sunt paralele (𝒇 𝒈), atunci
orice dreaptă care o intersectează pe una (𝒇 ∩ 𝒋 ∅)
o intersectează și pe cealaltă (𝒈 ∩ 𝒋 ∅). (Dreapta j
este secanta la două drepte paralele).
46
Aplicația: GeoGebra
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Dreaptă prin două puncte
Construim dreapta .
2.
Punct
Construim punctul , care nu aparține dreptei .
3.
Compas
Construim cercul cu centrul în şi de rază . Construim cercul cu centrul în şi de rază .
4.
Intersecție două obiecte
47
Determinăm punctele și , de intersecție a celor două cercuri.
5.
Dreaptă prin două puncte
Construim dreapta (sau ).
6.
Salvare construcție
Construcția dreptelor paralele
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Dreaptă prin două puncte
Construim dreapta .
2.
Punct
Construim punctul , exterior dreptei.
3.
Paralelă
Construim prin punctul o dreaptă paralelă cu dreapta .
4.
Salvare construcție
48
Criterii de paralelism (unghiuri formate de două
drepte paralele cu o secantă)
Aplicația recomandată: GeoGebra
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost
definite
CS. 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date
CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente,
complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte
CG. 4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a demersurilor de
rezolvare pentru o situaţie dată
CS. 4.5. Exprimarea, prin reprezentări geometrice sau în limbaj specific matematic, a noţiunilor legate de
dreaptă, unghi şi cerc
Dacă două drepte determină cu o
secantă o pereche de unghiuri
corespondente congruente,
atunci dreptele sunt paralele.
Exemplu: ≡ 6 => 𝑎||𝑏
Reciproc, 𝑎||𝑏 => ≡ 6
Dacă două drepte determină cu
o secantă o pereche de unghiuri
alterne interne congruente,
atunci dreptele sunt paralele, și
reciproc.
Exemplu: ≡ 8 => 𝑎||𝑏
Reciproc, 𝑎||𝑏 => ≡ 8
Dacă două drepte determină cu o
secantă o pereche de unghiuri
alterne externe congruente,
atunci dreptele sunt paralele, și
reciproc.
Exemplu: 3 ≡ 6 => 𝑎||𝑏
Reciproc, 𝑎||𝑏 => 3 ≡ 6
49
Nivel 1
Dacă și s secantă, iar măsura unghiului α este de 80o, atunci măsura unghiului
marcat este de ... o.
Nivel 2
Fie dreptele 2 intersectate de secantele s1 și s2 ce formează unghiurile a de 110o și
b cu măsura de 60o. Măsura unghiului roșu este de ..., iar măsura unghiului albastru este de ...
.
Dacă două drepte determină cu o
secantă o pereche de unghiuri
interne de aceeași parte a secantei
suplementare, atunci dreptele sunt
paralele, și reciproc.
Exemplu: 5 = 8 => 𝑎||𝑏
Reciproc, 𝑎||𝑏 => 5 = 8
Dacă două drepte determină cu o
secantă o pereche de unghiuri
interne de aceeași parte a secantei
suplementare, atunci dreptele sunt
paralele, și reciproc.
Exemplu: 2 6 = 8 => 𝑎||𝑏
Reciproc, 𝑎||𝑏 => 2 6 = 8
50
Nivel 3
Unghiurile și au laturile paralele, adică .
Dacă = , atunci măsura unghiului este egală cu ... .
Aplicația: GeoGebra
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Dreaptă prin două puncte
Construim o dreaptă.
2.
Punct
51
Construim un punct, exterior dreptei.
3.
Paralelă
Construim prin punct o dreaptă paralelă cu dreapta inițială.
4.
Dreaptă prin două puncte
Construim o dreaptă secantă a dreptelor.
5.
Intersecție
Determinăm punctele de intersecție a dreptelor cu secanta.
6.
Punct
Construim puncte pe drepte și secantă, astfel încât să ne ajute să
măsurăm unghiurile formate de două drepte paralele cu secantă.
7.
Unghi
Determinăm măsurile unghiurilor formate de două drepte paralele
cu secantă și observăm că avem unghiuri care sunt congruente, si
unghiuri care sunt suplementare.
8. Salvare construcție
Drepte perpendiculare în plan. Oblice
Aplicația recomandată: GeoGebra
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost
definite
CS. 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date
CG 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente,
complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte
CG. 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
CS. 3.5. Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor
construcții geometrice
Dacă la intersecţia a două drepte
concurente a şi b unul dintre
unghiurile ce se formează în jurul
punctului lor de intersecţie este un
unghi drept, atunci cele două drepte
concurente se numesc drepte
perpendiculare sau drepte
ortogonale.
Două drepte concurente care
nu sunt perpendiculare se
numesc oblice.
52
1. Dintr-un punct exterior unei drepte putem construi o singură
perpendiculară pe acea dreaptă și o infinitate de oblice.
2. Două drepte perpendiculare pe o a treia dreaptă sunt paralele.
Nivel 1
Fie un unghi cu măsura de 70o. Se consideră un punct P astfel încât .
Măsura unghiului este ... .
Nivel 2
Se consideră un unghi cu măsura de 150o. Se construiesc , ∈ ( )
și , ∈ ( ). Măsura unghiului este de ... .
Observație: Două drepte
perpendiculare formează patru
unghiuri drepte.
Notaţie: 𝑎 𝑏
Citim: „a perpendicular pe b” sau
„dreptele a şi b sunt perpendiculare”
e și f sunt oblice
Observație: Două drepte oblice formează două
unghiuri ascuțite și două unghiuri obtuze.
53
Nivel 3
Se dă unghiul cu măsura de 30⁰. Opusa semidreptei OA este semidreapta OE. De
aceeași parte a semidreptei OA cu semidreapta OB avem semidreapta și semidreapta
. Măsura unghiului este de …, unde semidreapta OF este bisectoarea unghiului
.
Aplicația: GeoGebra
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Dreaptă prin două puncte
54
Construim dreapta .
2.
Punct
Construim punctul , exterior dreptei.
3.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în și care trece prin punctul .
4.
Intersecție două obiecte
Determinăm punctele și , de intersecție a dreptei cu
cercul.
5.
Punct
Construim punctul pe dreapta, astfel încât > .
6.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în D și care trece prin punctul F.
7.
Compas
Construim cercul cu centrul în E şi de rază DF.
8.
Intersecție două obiecte
Determinăm punctul de intersecție al celor două cercuri, punctele
G şi H.
9.
Dreaptă prin două puncte
Construim dreapta GH.
10.
Unghi
Evidenţiem unghiul drept.
11. Salvare construcție
Drepte perpendiculare în plan oblice
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
55
Pași:
1.
Dreaptă prin două puncte
Construim o dreaptă.
2.
Punct
Construim un punct, exterior dreptei.
3.
Perpendiculară
Construim perpendiculara din punctul exterior pe dreapta.
4.
Intersecție două obiecte
Determinăm punctul de intersecţie al celor două drepte.
5.
Unghi
Evidenţiem unghiul drept.
6. Salvare construcție
Distanța de la un punct la o dreaptă
Aplicația recomandată: GeoGebra
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale CS. 2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi configurații geometrice
CG 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
CS. 3.5. Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor
construcții geometrice
Piciorul perpendicularei dintr-un punct pe o dreaptă sau într-un punct pe
o dreaptă este punctul de intersecție al perpendicularei cu dreapta.
perpendiculara din
punctul M pe dreapta d
piciorul
perpendicularei
perpendiculara în
punctul P pe dreapta d
piciorul
perpendicularei
56
Citim: „distanța de la punctul P la dreapta d
este nulă deoarece punctul P aparține dreptei d”
Nivel 1
Distanța (în cm) dintre un punct și o dreaptă ce conține acel punct este … .
Nivel 2
Fie X,O,Y trei puncte aparținând dreptei d în această ordine. De aceeași parte a dreptei d
se consideră punctele A și B astfel încât = 4 și = 5 . Distanța de la A la dreapta
determinată de punctele O și B este dată de lungimea segmentului … .
Distanţa de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului determinat
de acel punct şi piciorul perpendicularei din acel punct pe acea dreaptă.
Notație:
d(M, d) = MN d(P, d) = 0
Citim: „distanța de la punctul M
la dreapta d este segmentul MN”
57
Nivel 3
Fie MNPQ un dreptunghi cu lungimea MN = 25 cm și lățimea NP = 13 cm. Distanța de la
punctul M la dreapta determinată de punctele N și Q este de … .
Aplicația: GeoGebra
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Dreaptă prin două puncte
Construim o dreaptă.
2.
Punct
Construim punctul , exterior dreptei.
58
3.
Punct
Construim puncte pe dreaptă.
4.
Segment între două puncte
Construim segment între punctul și punctele dreptei.
5.
Distantă sau lungime
Măsurăm distanța între punctul și punctele dreptei (măsurăm segmentele
construite).
6.
Perpendiculară
Construim perpendiculara din punctul pe dreapta.
7.
Intersecție două obiecte
Determinăm punctul (piciorul perpendicularei), intersecţia celor două drepte.
8.
Distantă sau lungime
Măsurăm distanța între punctele și și observăm că această distanță este cea
mai mică.
9. Salvare construcție
Mediatoarea unui segment. Construcția mediatoarei
unui segment
Aplicația recomandată: GeoGebra
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS. 2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi configurații geometrice
CG 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
CS. 3.5. Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor
construcții geometrice
Definiție: Mediatoarea unui segment este dreapta care trece
prin mijlocul segmentului și este perpendiculară pe acesta.
Exemplu: Fie M mijlocul segmentului AB.
𝑀 ∈ 𝐴𝐵 și 𝑑 𝐴𝐵 => 𝑑 – mediatoarea segmentului AB.
59
Cum construim mediatoarea unui segment?
Nivel 1
Fie DM mediatoarea segmentului AB, ∈ . Dacă = 3 , atunci măsura
unghiului este … .
Nivel 2
În figura alăturată se știe că = 9 , CD este bisectoarea unghiului și .
Punctul D se află pe mediatoarea segmentului AE?
Construcția cu rigla negradată și compasul
Proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment
Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat
de capetele segmentului.
Exemplu:
d – mediatoarea lui AB
𝑃 ∈ 𝑑 => 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵
Construcția cu rigla și echerul
60
Nivel 3
Se consideră dreptele 1 și 2 concurente în O și perpendiculare. Fie punctele ∈ 1,
∈ 2 și ∈ 2, ordinea fiind D,O,B. Semidreapta OC este bisectoarea unghiului , iar
semidreapta OE bisectoarea unghiului . Pe dreapta EO se consideră punctul F în așa fel încât
EO = OF, în ordinea E,O,F. Stabiliți mediatoarea segmentului EF.
Aplicația: GeoGebra
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Segment între două puncte
Construim segmentul .
2.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în și care trece prin punctul .
61
Construim cercul cu centrul în și care trece prin punctul .
3.
Intersecție două obiecte
Determinăm punctele și , de intersecţie a celor două cercuri.
4.
Segment între două puncte
Construim segmentul .
5.
Unghi
Evidenţiem unghiul drept.
6. Salvare construcție
Mediatoarea unui segment; construcţie
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Segment între două puncte
Construim segmentul .
2.
Mediatoare
Construim mediatoarea segmentului .
3.
Intersecție două obiecte
Determinăm punctul de intersecţie a celor două drepte.
4.
Unghi
Evidenţiem unghiul drept.
5. Salvare construcție
sau
62
1.
Segment între două puncte
Construim segmentul .
2.
Mijloc sau centru
Determinăm mijlocul segmentului .
3.
Perpendiculară
Construim perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului.
4.
Unghi
Evidenţiem unghiul drept.
5. Salvare construcție
Simetria față de o dreaptă
Aplicația recomandată: GeoGebra
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
CS. 2.3. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a măsura sau pentru a construi configurații geometrice
CG 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
CS. 3.5. Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor
construcții geometrice
Exemple:
Două puncte sunt simetrice în raport cu o dreaptă, numită axă de simetrie,
dacă dreapta este mediatoarea segmentului determinat de cele două puncte.
Două figuri geometrice sunt simetrice în raport cu o dreaptă, dacă
simetricul fiecărui punct al unei figuri aparține celeilalte.
63
A’ este simetricul lui A față de dreapta d
Nivel 1
Câte axe de simetrie are un pătrat?
Nivel 2
Fie segmentul AB = 4 cm și O mijlocul segmentului AB. Construiți perpendiculara în O pe
AB și luați pe perpendiculară un punct C astfel încât CO = 1,5 cm. Notați cu D simetricul
punctului C față dreapta determinată de punctele A și B. Lungimea segmentului CD este de ... cm.
M’ este simetricul lui M față de dreapta d
N’ este simetricul lui N față de dreapta d
P’ este simetricul lui P față de dreapta d
=> ∆𝑀′𝑁′𝑃′ simetricul ∆𝑀𝑁𝑃
axă de simetrie
Proprietățile simetriei față de o dreaptă
1. conservă coliniaritatea (dacă trei puncte sunt coliniare, atunci simetricele lor față de dreaptă sunt coliniare);
2. conservă lungimile (dacă două segmente sunt simetrice față de o dreaptă, atunci lungimile lor sunt egale);
3. conservă măsurile unghiurilor (dacă două unghiuri sunt simetrice față de o dreaptă, atunci măsurile lor sunt egale).
axă de simetrie
64
Nivel 3
Dreapta d este mediatoarea segmentului OC cu mijlocul în M, iar seemidreapta MC este
bisectoarea unghiului . ∈ astfel încât măsura unghiului este de 45⁰, iar E este
simetricul lui A față de dreapta MB. Indicați mediatoarea segmentului AE.
Aplicația: GeoGebra
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Dreaptă prin două puncte
Construim o dreaptă.
2.
Punct
Construim punctul exterior dreptei.
3.
Reflectare după un punct
Determinăm punctul , simetricul punctului față de dreaptă.
4. Salvare construcție
65
Simetria unui segment față de o dreaptă
Figură:
Pași:
1.
Dreaptă prin două puncte
Construim o dreaptă.
2.
Segment între două puncte
Construim segmentul .
3.
Reflectare după un punct
Determinăm punctul , simetricul punctului față de dreaptă.
Determinăm punctul , simetricul punctului față de dreaptă.
4.
Segment între două puncte
Construim segmentul , simetricul segmentului față de dreaptă.
5. Salvare construcție
Cercul
Aplicația recomandată: GeoGebra
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse
informaționale
C.S. 2.5. Recunoașterea coliniarităţii unor puncte, a faptului că două unghiuri sunt opuse la vârf, adiacente,
complementare sau suplementare şi a paralelismului sau perpendicularității a două drepte
CG. 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice
C.S. 3.5. Utilizarea unor proprietăţi referitoare la distanţe, drepte, unghiuri, cerc pentru realizarea unor
construcții geometrice
Definiție: Fiind date un punct O și un număr pozitiv r, se numește cerc cu centrul în punctul O
și raza r mulțimea punctelor din plan aflate la distanța r față de punctul O.
Notație: C(O,r)
Elementele unui cerc:
centrul cercului: O - punctul aflat la aceeași distanță de toate punctele
cercului;
raza cercului: OA – segmentul determinat de centrul cercului și de un
punct oarecare al cercului;
coardă: BC – segmentul determinat de două puncte ale cercului;
diametru: DE – coardă care conține centrul cercului și care este dublul
66
Nivel 1
Diametrul unui cerc cu raza de 4 cm are lungimea egală cu … .
Nivel 2
Măsura unui cerc este de 360⁰, iar măsura unui semicerc este de 180⁰.
Măsura unui arc mic este egală cu măsura unghiului la centru, care îl subîntinde. 𝑀�� = 𝑀𝑂𝑁
𝑀𝑃𝑁 = 36 𝑀��
Exemplu:
67
Pe un cerc de centru O se consideră punctele X și Y. Dacă măsura unghiului este de
42⁰, atunci măsura arcului mare dintre punctele X și Y este de … .
Nivel 3
Pe cercul de centru O și rază 5 cm se consideră punctele A,B și C în această ordine astfel
încât = 45 și = 35 . Calculați măsura unghiului .
Aplicația: GeoGebra
Construcția cercului cu centrul prin punct
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
68
2. Salvare construcție
Raza unui cerc
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
2.
Segment între două puncte
Construim segmentul (raza cercului).
3. Salvare construcție
Construcția cercului cu centru și rază
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Cerc cu centru și rază
Construim cercul cu centrul în și de rază dată.
69
2. Salvare construcție
Coarda unui cerc
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
2.
Punct
Construim punctul aparţinând cercului.
3.
Segment între două puncte
Construim segmentul (coarda cercului).
4. Salvare construcție
Diametrul unui cerc
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Cerc cu centru și rază
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
70
2.
Reflectare după un punct
Determinăm simetricul punctului faţă de punctul .
3.
Segment între două puncte
Construim segmentul (diametrul cercului).
4. Salvare construcție
Unghi la centru
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Cerc cu centru și rază
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
2.
Punct
Construim punctul aparţinând cercului.
3.
Segment între două puncte
Construim segmentele şi .
4.
Unghi
Evidenţiem unghiul la centru .
5. Salvare construcție
Unghi la centru cu măsura dată
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
71
Pași:
1.
Cerc cu centru și rază
Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B.
2.
Unghi de mărime dată
Construim unghiul cu măsura dată.
3.
Segment
Construim segmentele AB şi AB’.
4. Salvare construcție
Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc
Aplicația recomandată: GeoGebra, Pythagorea
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
CS. 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date
CG. 4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a demersurilor de
rezolvare pentru o situaţie data
CS. 4.5. Exprimarea, prin reprezentări geometrice sau în limbaj specific matematic, a noţiunilor legate de
dreaptă, unghi şi cerc
Un punct oarecare al planului poate avea următoarea poziție:
interior unui cerc – dacă distanța de la centrul cercului la
punct este mai mică decât raza (exemplu: A);
aparține cercului – dacă distanța de la centrul cercului la
punct este egală cu raza (exemplu: B);
exterior cercului – dacă distanța de la centrul cercului la
punct este mai mare decât raza (exemplu: C).
72
Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc:
Nivel 1
Un cerc are raza de 6 cm. Centrul său este punctul A. Punctele B,C,D,E sunt astfel încât
AB = 9 cm, AC = 6 cm, AD = 1 cm, AE = 12 cm. Punctele ce aparțin interiorului cercului sunt …
Nivel 2
Dreapta tangentă cercului este
dreapta care are un punct comun cu
cercul.
Proprietate: distanța de la centrul
cercului la dreapta tangentă cercului
este egală cu raza. (𝑂𝐵 = 𝑟).
Dreapta secantă cercului este
dreapta care are două puncte
comune cu cercul.
Proprietate: distanța de la centrul
cercului la dreapta secantă cercului
este mai mică decât raza (𝑂𝐶 𝑟).
Dreapta exterioară cercului este
dreapta care nu are puncte comune
cu cercul.
Proprietate: distanța de la centrul
cercului la dreapta exterioară
cercului este mai mare decât raza
(𝑂𝐴 > 𝑟).
73
Se consideră un cerc de centru O și rază 5 cm. Stabiliți poziția dreptei d față de cerc dacă
distanța de la centrul cercului la dreaptă este de 3 cm.
Nivel 3
Fie un cerc de centru O și fie B un punct ce aparține cercului. Construim tangenta AB la
cerc și diametrul CD paralel cu tangenta. Măsura arcului este de ... .
Aplicația: GeoGebra
Pozițiile unui punct față de un cerc
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
74
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B.
2.
Punct
Construim punctul C care nu aparţine cercului. (punct
interior/exterior).
3. Salvare construcție
Pozițiile unei drepte față de un cerc
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură:
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în A, care trece prin punctul B.
2.
Dreaptă prin două puncte
Construim dreapta CD, exterioară cercului.
3. Salvare construcție
Figură:
75
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
2.
Punct
Construim punctul aparţinând cercului.
3.
Dreaptă prin două puncte
Construim dreapta , secantă cercului.
4. Salvare construcție
Figură:
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
2.
Punct
Construim punctul , exterior cercului.
3.
Tangente
Construim tangentele la cerc din punctul .
4.
Intersecție două obiecte
Determinăm punctele și , intersecţia cercului cu cele două
tangente.
5. Salvare construcție
76
Aplicația: Pythagorea
Pozițiile unei drepte față de un cerc
Reguli:
Se accesează aplicaţia Pythagorea şi se selectează:
„ Tangents” = Tangentă
Pozițiile relative a două cercuri
Aplicația recomandată: GeoGebra
Recomandare: Lecție de însușire de noi cunoștințe
Competențe generale și specifice:
CG. 1. Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar
CS. 1.5. Recunoaşterea unor figuri geometrice plane (drepte, unghiuri, cercuri, arce de cerc) în configuraţii date
CG. 4. Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, a concluziilor și a demersurilor de
rezolvare pentru o situaţie data
CS. 4.5. Exprimarea, prin reprezentări geometrice sau în limbaj specific matematic, a noţiunilor legate de
dreaptă, unghi şi cerc
77
Nivel 1
Stabiliți poziția cercurile 1( 1, 1) și 2( 2, 2) în situația în care 1 = 2 cm, 2 = 5 cm
și 1 2 = 5 cm.
Definiție: Cercurile 𝑐1 și 𝑐2 se numesc exterioare sau interioare dacă nu au niciun punct în comun.
𝑂1𝑂2 > 𝑟1 𝑟2
Cercurile exterioare au
distanța dintre centre
mai mare decât suma
razelor, adică
𝑂1𝑂2 𝑟1 𝑟2
Cercurile interioare au
distanța dintre centre
mai mică decât
diferența razelor, adică
𝑂1𝑂2 = 𝑟1 𝑟2
Cercurile tangente
exterioare au distanța
dintre centre egală cu
suma razelor, adică
𝑂1𝑂2 = 𝑟1 𝑟2
Cercurile tangente
interioare au distanța
dintre centre egală cu
diferența razelor, adică
𝑟1 𝑟2 𝑂1𝑂2 𝑟1 𝑟2
Cercurile secante au distanța
dintre centre mai mare decât
diferența razelor și mai mică decât
suma razelor, adică
𝑂1𝑂2 =
Cercurile concentrice au
distanța dintre centre egală
cu zero, adică
Definiție: Cercurile 𝑐1 și 𝑐2 se numesc tangente exterioare sau tangente interioare dacă au un singur punct comun.
Definiție: Cercurile 𝑐1 și 𝑐2 se numesc secante dacă au
două puncte comune.
Definiție: Cercurile 𝑐1 și 𝑐2 se numesc concentrice dacă
au același centru.
78
Nivel 2
Două cercuri au același centru O, iar razele lor au lungimile de 3 cm și respectiv 5 cm.
Semidreapta OX intersectează cercurile în A și respectiv B. Aflați lungimea segmentului AB.
Nivel 3
Fie cercurile 1( 1, 1) și 2( 2, 2) tangente interioare în punctul T. Construim dreptele
AB și EF concurente în punctul T, unde , ∈ 2 și , ∈ 1. Sunt dreptele AE și BF paralele?
Aplicația: GeoGebra
Pozițiile relative a două cercuri
Pregătiri:
Deschideți un nou fișier GeoGebra;
Deschidem Meniul, selectăm Vizualizare, apoi Bloc Desen.
Figură: Cercuri exterioare
79
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
Astfel încât .
2. Salvare construcție
Figură: Cercuri tangente exterioare
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
Astfel încât = .
2. Salvare construcție
Figură: Cercuri secante
80
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
Astfel încât > > | |.
2.
Intersecție două obiecte
Determinăm punctele și , intersecţia celor două cercuri.
3. Salvare construcție
Figură: Cercuri tangente interioare
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
Astfel încât – = .
2. Salvare construcție
Figură: Cercuri interioare
81
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punct .
el încât – > .
2. Salvare construcție
Figură: Cercuri concentrice
Pași:
1.
Cerc cu centrul prin punct
Construim cercul cu centrul în , care trece prin punctul .
Construim cercul cu centrul în , care trece prin .
2. Salvare construcție
Top Related