Inegalitatea mediilor și inegalitatea lui Cauchy – Buniakovski - Schwarz

Elevii: Eduard Mihai și Ionuț Radu, clasa a IX-aProfesor îndrumător: Marcela V. Mihai, prof. Drd. Grd. I

Colegiul Tehnic “ Gheorghe Asachi “

Vestita Inegalitate a mediilor, care aparține matematicianului francez Augustin Cauchy a fost publicată în anul 1821. Din acele timpuri ea se consideră tradițional una dintre cele mai dificile inegalități numerice. În matematică Inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski-Schwarz este o inegalitate utilă, întalnită în mai multe situații. În algebra liniară ea se poate aplica vectorilor, în analiză se poate aplica seriilor infinite sau integrării produselor, iar în teoria probabilitaților se poate aplica varianțelor si covarianțelor. Cazul finit-dimensional al acestei inegalități pentru vectori reali a fost demonstrată de Cauchy în anul 1821. Și în 1859, elevul lui Cauchy, V.Ia.Buniakovski a observat că se poate obține o formă integrală a inegalitații lui Cauchy. Rezultatul general a fost obținut de K.H.A.Schwarz în 1885. Lucrarea noastră este structurată în trei părți astfel: în prima parte este prezentată inegalitatea mediilor, în cea de-a doua parte inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski-Schwarz și în partea a treia avem câteva aplicații ale celor doua inegalități.

1. INEGALITATEA MEDIILOR

Definiție 1.1 Fie , ,…, fixați. Punem A( , ,…, ) = ,

G( , ,…, ) = , dacă 0, ( ) i = ,

și H( , ,…, ) = , dacă ( ) i = . Numerele astfel definite se

numesc media aritmetică, media geometrică, respectiv, media armonică a numerelor ,

,…, .

Propoziția 1.2 Fie nu toți egali cu 1 a.î. =1. Atunci n

Demonstrație:

Prin inducție relativ la n. Fie cu sau diferite de 1 și = 1. Atunci

deci = + 4 și deci P(2) este

adevărată.

Fie ... nu toți egali cu 1 a.î. =1. Renumerotînd putem presupune

1 și 1, deci -1) ( -1) 0 ⟺ 1 + .

Cum ( ) … și P(n) este adevărată, rezultă + +…+ n, deci ) + +…+ (1 + ) + + …+ 1 + n.

și deci P(n+1) este adevărată.

Prin urmare P(n) este adevărată, ( ) n 1.

Propoziția1.3 (Inegalitatea mediilor). ( ) … avem inegalitățile

,

cu egalitate ⟺ .

Demonstrație:

Fie = (i = ).Cum 0,( ) i = și

= ) = 1

rezultă (folosind Prop.1.2) că n, deci n G( ).

A doua inegalitate se obține astfel:

H ) = = G ( )

Dacă = atunci = n, deci = n și deci

= 1, ( ) i = ⟺ = G ( ), ( ) i = .

2. INEGALITATEA LUI CAUCHY – BUNIAKOVSKI – SCHWARZ

, unde .

Demonstrație: Fie ecuația care

are soluții reale numai dacă toți termenii sumei sunt simultan nuli, adică

. În rest ecuația nu are soluții reale ceea ce înseamnă că

discriminantul ei este strict negativ, dar după ridicarea pătratelor ecuația devine:

a = , b = 2 , c =

și discriminantul 𝜟 = ⟹ 𝜟 = = - 4 ⟹ - 4 ⟹ ⟹ .3. APLICAȚII

1. Fie a, b, c și a + b + c atunci: 2(a + b + c) + ( .

Rezolvare: utilizăm ineglitatea mediilor pentru a și ; b și ; c și ⟹ a + ,

b + , c + și adunăm cele trei inegalități ⟹ a + b + c + ,

la această inegalitate adunăm acum inegalitatea din condiția problemei ⟹ 2(a +

b + c) + ( .

2.Pentru a demonstrați că:

1 + .

Rezolvare: din inegalitatea mediilor obținem .

Însumând cele n+1 inegalități obținem: .

3. Dacă a, b, c și atunci .

Rezolvare: din inegalitatea mediilor și ⟹ 1 ⟹

Aplicând inegalitatea lui Cauchy – Buniakovski – Schwarz obținem pentru și

(1, 1, 1) ⟹ .

4.Dacă abc = 1 și a, b, c atunci .

Rezolvare: Aplicând inegalitatea lui Cauchy – Buniakovski – Schwarz obținem

pentru și (1, 1, 1) ⟹ ⟹,dar abc = 1⟹ ⟹ . Aplicând

inegalitatea lui Cauchy – Buniakovski – Schwarz obținem

, unde ultima relație rezultă din:

ab + bc +ac = 3. Concluzia rezultă ușor.

5. Pentru a, b, c > 0 și abc = 1 demonstraţi că:

(1) + +

(2) + +

(3) + + +

Rezolvare:(1) este o aplicaţie directă a inegalităţii C-B-S(2) Utilizăm următoarele inegalităţi:

(3) Utilizăm următoarele inegalităţi:

care rezultă din inegalitatea mediilor

BIBLIOGRAFIE

[1] Gh. Sirețchi, Calculul diferențial și integral, Vol.1, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1985.[2] Moldovan Dorin, Inegalități, Baia Mare, 2008 ( articol găsit pe net)

[3] Carol Neuman, Edmond Nicolau, Anghel Schor,Teoria sumară a dezvoltării Ştiinţei, Editura politică, Bucureşti, 1983.