Data: 23. 10. 2010

Profesor: Ioana Galan – Colegiul Național Iași

Tema 2: PARTE ÎNTREAGĂ. PARTE FRACȚIONARĂ

1. Să se demonstreze că 2 (n 1) n (4n 1)1 2 3 ... n 1

6

, unde

*n .

2. Fie a,b . Să se demonstreze echivalența afirmațiilor:

i) a

ii) [2na b] [b] este un număr par, pentru orice n .

3. Să se determine cel mai mic număr natural a, pentru care 0,6 a 0,(6) .

4. Să se rezolve în ecuația 2[x 4x 2] [x 3] .

5. Să se rezolve în ecuația 2 x 3[x m]

2

, unde m este un parametru real.

6. Să se rezolve în ecuația x 1 x 8

3 2 74 3

.

7. Să se calculeze suma m 2 m (n 1) m

S ...n n n

, unde *m,n sunt prime între

ele.

8. Să se rezolve în sistemul: x [y] [x] y z

x y [x] [y] [z]

.

9. Se consideră șirul n n

nx , unde n și 2 3 .

a) Să se arate că există a,b , astfel încât n 2 n 1 nx a x b x pentru orice n .

b) Să se arate că n n1 , pentru orice n .

10. Fie *a,b,c,d . Să se arate că:

2 2 2 2 2 2 2 2a b b c c d d a 2a b c d

2cd 1 2da 1 2ab 1 2bc 1 2abcd 1

11. Să se rezolve în ecuația x 1 x 1

2 3

.

12. Să se rezolve în ecuația 2008 2008 2008{x} [x] x 0 .

13. Arătați că 2 2 2n n 1 n n 1 4n 3

, pentru orice *n .

14. Să se găsească numerele naturale n pentru care n 3 n 1

.

15. Să se arate că numărul n

2 2

este impar.

16. Să se afle restul împărțirii la 48 a numărului 1994

7 5

.

17. Fie șirul de numere reale n(x ) cu 1 2x x 1 și n 1 n n 1x n x x , pentru orice n 2 . Să

se arate că n[x ] n 2, n 3 .

18. Fie şirul de numere reale n(y ) , definit prin: 2

1 n 1 2 n

1x , x x x , n 1,2,...

2 .Să se

calculeze partea întreagă a sumelor: 1 2 100

1 1 1...

x 1 x 1 x 1

și

1 2 100

1 1 1...

x x x .