CERCUL 

Uneori m-am gandit ca la nasterea mea ursitoarele au vrut sa-mi daruiasca un cerc. Dar pe drum au pierdut o bucata din el si ajungand langa leaganul meu n-au mai avut ce face. Si-au zis, probabil, "sa se descurce cum va putea, si daca va fi intelept se va preface ca n-a observat"..... Prin spartura cercului meu, singuratatea m-a pus mereu la incercare.

Autor: Octavian Paler |  Tema:cerc

Definiţie. Fie O un punct în plan şi r un număr real pozitiv,

mulţimea punctelor din plan, situate la distanţa r faţă de O se

numeşte cerc de centru O şi rază r (punctul O centrul cercului).

Notaţie: C(o,r)

Elemente:

o Raza cercului este distanţa de la O la un punct de pe cerc – [OP].

o Segmentul determinat de două puncte ale unui cerc se numeşte coarda – [AB].

o Coarda care conţine centrul cercului se numeşte diametru – [CD].

o Capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse – C şi D.

o Cercurile care au raze egale se numesc cercuri congruente.

o Fiind dat C(O,r) mulţimea punctelor P din plan pentru care

OP<r se numeşte interiorul cercului. Int C(O,r) ={P/OP<r}

o Fiind dat C(O,r) mulţimea punctelor Q din plan pentru care

OQ>r se numeşte exteriorul cercului cercului. Ext C(O,r)

={Q/OQ>r}

Portiunea dintr-un cerc

determinata de doua puncte

distincte ale cercului se numeste

arc de cerc.

Se numeste disc de centru O si raza r

multimea punctelor cerculuiC (O,r)

reunita cu interiorul cercului.

Not:D (O,r)=C (O,r)∩IntC (O,r)

Un unghi care are varful in centrul

cercului se numeste unghi la

centru.

Multimea punctelor de pe cerc situate in interiorul unghiuluiAOB

reunite cu A si B se numeste arc mic si se noteaza AB

Mulţimea punctelor de pe cerc situate în exteriorul unghiului

AOB, reunite cu A si B se numeste arc mare si noteaza ACB, unde

C IntAOB .

Punctele A si B se numesc capetele arcelor.

Daca A si B sunt capetele unui diametru, arcele se numesc

semicercuri.

Masura arcului mic este egala cu a° ; masura arcului mare este

egala cu 360° − a° ; masura unui semicerc este 180° .

Doua arce sunt congruente daca au aceeasi masura.TEOREMA 1

La arce congruente corespund coarde

congruente(in acelasi cerc sau in cercuri

congruente).

Reciproca.

La coarde congruente corespund arce mici

congruente( in acelasi cerc sau in cercuri

congruente)

TEOREMA 2

Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui cerc, atunci

diametrul perpendicular pe coarda AB imparte coarda si arcele in

doua parti congruente.

TEOREMA 3

Daca doua coarde ale unui cerc sunt

congruente, atunci distantele de la centru la

coarde sunt egale.TEOREMA 4

Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui

cerc si punctul M apartine arcului determinat de

ele, atunci masura arcului AB este egala cu

masura arcului AM

plus masura arcului MBTEOREMA 5

Daca [AB] si [CD] sunt doua coarde paralele

ale unui cerc, iar punctele A si C sunt situate

de aceeasi parte a diametrului perpendicular

pe coarde atunci: arcele mici AC si BD sunt

congruente ; coardele AC si BD sunt

congruente.

DEFINITIE

Unghiul BAC se numeste unghi inscris in cercul C(o,r) daca A,B si C

apartin cercului C(o,r).

Unghiurile BAC, MPQ si STV sunt unghiuri inscrise in cerc.

Arcele mici BC, MQ, respectiv SV sunt arce cuprinse intre laturile

unghiurilor inscrise.

DEFINITIE

Spunem ca triunghiul ABC este inscris in cerc daca varfurile sale

apartin cercului.

TEOREMA 1

Masura unui unghi inscris in cerc este jumatate din masura

arcului cuprins intre laturile sale.

TEOREMA 2

Masura unui unghi cu varful pe cerc, avand una din laturi

secanta,

iar cealalta latura tangenta cercului, este jumatate din masura

arcului de cerc inclus in interiorul unghiului.UNGHI CU VARFUL IN INTERIORUL

CERCULUI

Unghiul cu varful in interiorul cercului ATC ( care

este congruent cu DTB fiind unghiuri opuse la

varf) are ca

masura jumatate din suma masurilor

arcelor cuprinse intre laturile sale.

UNGHI CU VARFUL IN EXTERIORUL

CERCULUI

Unghiul cu varful in exteriorul cercului, unghiul

APB are ca masura jumatate din diferenta

arcelor cuprinse intre laturile sale.POZITIILE RELATIVE ALE UNEI DREPTE FATA DE UN CERC.

1) Dreapta secanta fata de un cerc este dreapta care are doua

puncte comune cu cercul: A si B.

2) Dreapta tangenta la cerc este dreapta care are un singur

punct comun cu cercul: T. Dreapta tangenta la cerc este

perpendiculara pe raza in punctul de intersectie al ei cu cercul.

3) Dreapta exterioara cercului este dreapta care nu are puncte

comune cu cercul.

DEFINITIE

Un poligon convex cu toate laturile si toate

unghiurile congruente se numeste poligon

regulat.

(Exemple cunoscute patratul, triunghiul

echilateral.)

TEOREMA

Orice poligon regulat se poate inscrie intr-un cerc

DEFINITIE

Segmentul dus din centrul cercului circumscris unui poligon

regulat, perpendicular pe latura poligonului, se numeste

apotema

CALCULUL ELEMENTELOR IN POLIGOANE REGULATE

Vom calcula latura l si apotema a in functie de raza R a

cercului

circumscris.

LUNGIMEA CERCULUI. LUNGIMEA ARCULUI DE CERC.

Valoarea raportului dintre lungimea unui cerc si lungimea

diametrului sau se noteaza cu π . Acesta este un numar irational

pe care il aproximam cu 3,14.

Lungimea cercului este deci: L = 2πR

ARIA DISCULUI. ARIA SECTORULUI DE CERC

Aria unui cerc de raza r se calculeaza cu formula: A =πR²

APLICATII

1. Un cerc are raza R= 6cm. Atunci latura patratului este…..

2. Apotema unui triunghi echilateral are 4cm. Aria hexagonului

regulat este

3. Un patrat are diagonala 12 cm. Raza cercului inscris in acest

patrat este :

4. Masura unghiului unui pentagon regulat este…….

5.O coarda a unui cerc cu raza de 20 cm are lungimea de 32 cm.

Calcuati distanta de la centrul cercului la coarda.

6.In figura apare un sfert de disc in care este inscris patratul ODCE.

Daca raza discului este R=16cm, calculati aria portiunii hasurate

 7. Patrulaterul ABCD este inscris intr-un cerc de centru O si raza R. Daca masurile arcelor AB, BC si CD sunt de 1200, 1000 si respectiv 800, sa se afle : a) masurile unghiurilor patrulaterului ; b) masurile unghiurilor formate de laturi cu diagonalele patrulaterului 

o Algebră-geometrie clasa a VII-a, Artur Bălăucă, Ed.Taida, Iaşi

2006

o Algebră-geometrie- clasa a VII-a, Dan Brânzei, Anton Negrilă,

Maria

o Negrilă, Ed.Paralela 45, Bucureşti 2005

o www.didactic.ro

o http://mate.info.ro/

Bibliografie