aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie...

20
Clasa a X-a Algebra - 1 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Principiul Inductiei Matematice : - Propozitia n P este adevarata pentru orice numar natural n daca sunt verificate urmatoarele doua conditii : 1). Propozitia n P este adevarata pentru 0 n ; 2). Din presupunerea ca n P este adevarata pentru k n , ( N k ) rezulta ca este adevarata si pentru 1 k n . Metoda Inductiei Matematice : - Fie n P o propozitie care depinde de un numar natural m n , m fiind un numar natural fixat ; - Demonstratia prin metoda inductiei matematica a propozitiei n P , consta din doua etape : 1). Etapa de verificare : se verifica mai intai ca m P este adevarata . 2). Etapa de demonstratie : se presupune ca k P este adevarata si se demonstreaza ca 1 k P este adevarata , k fiind un numar natural m ( adica 1 k P k P , m k ) Daca ambele etape ale demonstratiei sunt verificate , atunci propozitia : n P este adevarata pentru orice numar natural m n .

Transcript of aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie...

Page 1: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 1

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Principiul IInndduuccttiieeii MMaatteemmaattiiccee :

- Propozitia nP este adevarata pentru orice numar natural n daca sunt verificate

urmatoarele doua conditii :

1). Propozitia nP este adevarata pentru 0n ;

2). Din presupunerea ca nP este adevarata pentru kn , ( Nk ) rezulta ca

este adevarata si pentru 1 kn .

Metoda IInndduuccttiieeii MMaatteemmaattiiccee :

- Fie nP o propozitie care depinde de un numar natural mn , m fiind un numar

natural fixat ;

- Demonstratia prin metoda inductiei matematica a propozitiei nP , consta din doua etape :

1). Etapa de verificare : se verifica mai intai ca mP este adevarata .

2). Etapa de demonstratie : se presupune ca kP este adevarata si se demonstreaza ca

1kP este adevarata , k fiind un numar natural m ( adica 1 kPkP , mk )

Daca ambele etape ale demonstratiei sunt verificate , atunci propozitia :

nP este adevarata pentru orice numar natural mn .

Page 2: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 2

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Exercitiul nr. 1 :

Folosind metoda inductiei matematice , sa se demonstreze ca pt. orice numar natural n ,

sunt adevarate egalitatile :

a).

2

1 .....321

nnn ; b).

6

121 ......321

2222

nnnn ;

c). 3

14 12.....531

22222

n

nn ; d).

3

12124 24.....62

222

nnnn ;

e).

2

1 ......321

2

3333 nnn ; f). 12 12.....531

223333 nnn ;

g).

3

21 1.....3221

nnnnn ;

h).

4

321 21.....432321

nnnnnnn ;

i). 1 13.....10372412

nnnn ;

j).

2

1 1.....4321

1212222 nn

nnnn

.

Exercitiul nr. 2 :

Sa se demonstreze ca :

a). 13

1323

1.....

107

1

74

1

41

1

n

n

nn ;

b). 14

1434

1.....

139

1

95

1

51

1

n

n

nn ;

c).

212

1

1212.....

75

3

53

2

31

12222

n

nn

nn

n ;

d).

32122

1

321212.....

753

2

531

1

nn

nn

nnn

n .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se demonstreze ca :

a).

1 17

1

1767

7.....

2215

7

158

7

81

7

nnn ;

Page 3: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 3

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

b). 16

1

116

1

444

1.....

1612

1

128

1

84

1

nnn .

Exercitiul nr. 4 :

Sa se demonstreze ca :

a). nn n 2 2 atunci , 5 daca ; b). nn n 3 2 atunci , 10 daca .

Exercitiul nr. 5 :

Sa se demonstreze inegalitatile urmatoare:

a). 2 pentru , 24

13

2

1.....

2

1

1

1

n

nnn ;

b). 1 naturalnumar oricepentru , 1 13

1.....

2

1

1

1

n

nnn ;

c). 1 oricepentru , 12

1

2

12.....

4

3

2

1

n

nn

n .

Exercitiul nr. 6 :

Sa se demonstreze ca pt. orice numar natural n avem :

a) 6cu divizibil este 113 nn ; b). 6cu divizibil este 17 n ;

c). 7cu divizibil este 1612 n ; d). 27cu divizibil este 281810 nn ;

e). 16cu divizibil este 9891 nn ; f). 48cu divizibil este 17

2 n .

Exercitiul nr. 7 :

Sa se calculeze sumele urmatoare :

1). 12...531 nS ; 2). nS 2...642 ;

3). 12...5312222 nS ; 4). nS 2...642

2222 ;

5). 12...5313333 nS . 6). 14...951 nS ;

7). 13...852 nS ; 8). 24...1062 nS ;

9). 14...9512222 nS ; 10). 13...852

2222 nS ;

11). 24...10622222 nS ; 12). 14...951

3333 nS .

Page 4: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 4

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Exercitiul nr. 8 : Sa se calculeze urmatoarele sume :

1). 13...8523333 nS ;

2). 24...10623333 nS ;

3). 1...3221 nnS ;

4). 2...4231 nnS ;

5). 3...5241 nnS ;

6). nS ...321...321211 ;

7). nnS ...21...32132121 ;

8). nnS 1...3423122222 ;

9). 1...121222 nnnS ;

10). 21...432321 nnnS ;

11). 321...54324321 nnnnS ;

12). 4321...6543254321 nnnnnS .

Exercitiul nr. 9 :

Sa se calculeze urmatoarele sume :

1). 1

1...

32

1

21

1

nnS ;

2). 1212

1...

53

1

31

1

nnS ;

3). 1323

1...

74

1

41

1

nnS ;

4). 21

1...

432

1

321

1

nnnS ;

5). 321212

1...

753

1

531

1

nnnS ;

6). 321

1...

5432

1

4321

1

nnnnS ;

7). 4321

1...

65432

1

54321

1

nnnnnS .

Page 5: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 5

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Exercitiul nr. 10 :

Sa se calculeze urmatoarele sume :

1). ?22

...21

n

n

n ;

2). ?34

14

12

2

n

k kk

kkn ;

3). ?...21

...21222

n

n ;

4). ?...21

...21333

222

n

n ;

5).

?2

12

1

12...531

n

n

n ;

6). ?1

...21

222

n

n

nn ;

7).

?1434

1...

95

1

51

1

nn .

Page 6: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 6

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Definitie PPeerrmmuuttaarree :

- Fie aaaA n,.....,, 21 o multime , finita , cu n elemente ;

- Aceasta multime se poate ordona in mai multe moduri ;

- Se obtin , astfel , multimi ordonate diferite , care se deosebesc intre ele numai prin ordinea

elementelor ;

- Fiecare din multimile ordonate care se formeaza cu cele n elemente ale multimii A , se

numeste permutare a acestei multimi .

- Se mai spune ca este o permutare a elementelor sale sau , inca , o permutare de n elemente.

- Numarul permutarilor de n elemente se noteaza cu Pn si se citeste “ permutari de n

elemente “ .

Teorema :

- Oricare ar fi 1n , numar natural , !nPn .

- Avem : nn ......4321 ! .

Proprietati :

1). 1!0 ;

2). nnn ! 1! .

Page 7: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 7

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Definitie AArraannjjaammeennttee :

- Fie aaaA n,.....,, 21 o multime , finita , cu n elemente ;

- Fie 11 k ;

- Se numeste aranjament de n elemente luate cate k orice combinatie alcatuita din k

elemente ale multimii A ;

- Se poate exprima sub forma :

!

!

n-k

nA

k

n , nkNkn 1 , , .

Proprietati :

1). 10An ;

2). PnA n

n

n ! .

Page 8: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 8

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Definitie CCoommbbiinnaarrii :

- Fie aaaA n,.....,, 21 o multime , finita , cu n elemente ;

- Fie 10 k ;

- Se numesc combinari de n elemente luate cate k submultimile lui A avand fiecare cate

k elemente ;

- Se pot exprima sub forma :

! !

!

n-kk

nC

k

n , nkNkn 0 , , .

Proprietati :

1). 10Cn ;

2). 1Cn

n ;

3). P

AC

k

k

nk

n ;

4). Formula combinarilor complementare :

CCkn

n

k

n

, daca nkNkn 0 , , ;

5). O formula de recurenta pentru Ck

n :

CCCk

n

k

n

k

n

1

11

, daca nkNkn 0 , , ;

6). Pentru orice numar natural n are loc egalitatea :

2.....10 nn

nnn CCC ;

7). Suma combinarilor de rang impar = suma combinarilor de grad par = :

2..........1420531

n

nnnnnn CCCCCC .

Page 9: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 9

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Exercitiul nr. 1 :

Sa se simplifice expresiile :

a). !99

!100 ; b).

!17

!19 ; c).

!42

!40 ; d).

!

!1

n

n ; e).

!

!2

n

n ; f).

!3

!1

n

n ; g).

!3

!

n

n ;

h). !1

!1

n

n ; i).

!2

1

!

1

nn .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se rezolve ecuatiile cu necunoscuta n :

a).

30!

!2

n

n ; b).

!1

!12

!120

!22

n

n

n

n ; c). 11!

2 nn ;

d). !2

!12

!4

!

n

n

n

n ; e).

!2!1

1

!

1 2

n

n

nn ; f).

72

!

!2

n

n .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se rezolve inecuatiile :

a).

72!3

!1

n

n ; b).

100021

!2

nn

n .

Exercitiul nr. 4 :

Sa se calculeze :

a). ?35 A ; b). ?2

7 A ; c). ?38 A ; d). ?

49

59

510

610

AA

AA ;

e). ?1

P

PA

n

knkn

f). ?3

45

A

AA

n

nn g). ?

12

A

AAk

kn

kkn

kkn

.

Exercitiul nr. 5 :

Sa se rezolve in N ecuatiile :

a). 562 An ; b). 422

44

P

PA

n

nn ; c). AA nn

42

5 18 ; d). 895

57

A

AA

n

nn ;

Page 10: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 10

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

e). AnAnA nnn346 311 ; f). pnA

pn ; g). 100

8

810

A

AA

n

nn ; h).

132!

!2

knA

nkn

;

Exercitiul nr. 6 :

Sa se rezolve ecuatia cu necunoscuta x :

a). AAAnx

nx

nx

11 213 .

Exercitiul nr. 7 :

Sa se resolve sistemele de ecuatii :

a).

AAy

AAyx

yx

yx

yx

23

23

528

8 b). AyAyA

yx

yx

yx

111

11 61

Exercitiul nr. 8 :

Sa se calculeze :

a). ?810 C b). ?13

16 C c). ?11 C

kn

d). ?99100

0100 CC e). ?1

Ck

kn f). ?810

210 CC .

Exercitiul nr. 9 :

Rezolvati urmatoarele ecuatii cu necunoscuta n N :

a). 452 Cn ; b). 621 CC nn ; c). CC nn23 2 ; d). 211

1 C

nn ;

e). 13 Cn ; f) AC nnn

32

4212 4 ; g). 192

42

32

2 CCC nnn ;

h). CCC nnn2

23

31

16

13 ; i). CC nn

75 .

Exercitiul nr. 10 :

Sa se afle n , daca :

a). 6

354

nnCn ; b). 243 nnCC nn ; c).

AC nn

n3

7414

94 5 .

Exercitiul nr. 11 :

Sa se determine x N astfel ca : a). CCx

xx 9

122

4

2

; b). 378107

2

C x

x .

Page 11: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 11

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Exercitiul nr. 12 :

Sa se rezolve inecuatiile in n :

a). CC nn53 ; b). CC

nn

nn

65 ; c). CCnn10

110 ; d). CC

nn10

110 2 .

Exercitiul nr. 13 :

Sa se rezolve sistemele de ecuatii :

a).

CC

Cyx

yx

x

2

2

153 ; b).

CC

AAyx

yx

yx

yx

1

1

32

9 ;

c).

CC

AAxy

xy

xy

xy

132

32

132

32

89

8 ; d).

CC

AAyx

yx

yx

yx

1

1

56

7 .

Exercitiul nr. 14 :

Sa se deduca egalitatile :

a). ; 2 22

122 CCCC

kn

kn

kn

kn

b). ; 33 33

23

133 CCCCC

kn

kn

kn

kn

kn

c). . ...... 1021

920

911

910

99 CCCCC

Page 12: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 12

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Scopul acestui paragraf este de a prezenta formula pentru :

ban

, unde Cba , si Nn*

precum si proprietati pentru coeficientii termenilor din dezvoltarea acestui binom .

Are loc urmatoarea formula :

Formula bbiinnoommuulluuii lluuii NNEEWWTTOONN :

)( ban

C n

0a

n + C n

1a

n 1b

1 + ….. + C

m

n amn

bm

+ ….. + Cn

n bn

unde : membrul drept al egalitatii se numeste dezvoltarea binomului la putere !

Observatii de baza :

1). Coeficientii C n

0 , C n

1 , C n

2 , … , C

n

n din formula lui NEWTON se numesc coeficienti

binomiali si sunt in numar de 1n , cu unul mai mult decat exponentul n al puterii ;

2). A se face distinctie intre un coeficient binomial al unui termen si coeficientul numeric al

acelui termen :

Exemplu : fie termenul xCT 21

42

- acesta are : - coeficientul binomial C1

4 ;

- coeficientul numeric al lui 21

4C .

3). In dezvoltarea )( ban

, dupa formula lui NEWTON , sunt 1n termeni ( nr.

termenilor fiind egal cu numarul coeficientilor binomiali C n

0 , Cn

1 , Cn2 , ….. , C

nn ) .

4). In formula lui NEWTON exponentii puterilor lui a descresc de la n la 0 , iar

exponentii puterilor lui b cresc de la 0 la n .

Suma exponentilor puterilor lui a si b in orice termen al dezvoltarii este egala cu n ,

adica este egala cu exponentul puterii binomului .

5). Coeficientii binomiali din dezvoltare egal departati de termenii extremi ai dezvoltarii sunt

egali intre ei , deoarece Cmn C

mnn ( fiind combinari complementare ) .

6). Daca exponentul puterii este un numar par ( adica kn 2 ) , atunci coeficientul

binomial al termenului din mijloc al dezvoltarii ( adica Ckn ) este cel mai mare .

Page 13: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 13

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Daca n este impar ( adica 12 kn ) , atunci coeficientii binomiali ai celor doi termeni

de la mijloc sunt egali intre ei ( adica Ckn C

kn

1 ) si sunt cei mai mari .

7). Un rol important in rezolvarea problemelor legate de binomul lui Newton il joaca

termenul general de rang 1k , adica al ( 1k ) - lea termen din egalitate , se numeste termenul

de rang 1k si se noteaza cu T k 1 avand urmatoarea formula :

baCTkknk

nk

1 , nk 0 .

8). Formula de recurenta : intre doi termeni consecutivi TT kk 21 , din dezvoltarea

binomului are loc relatia

Ta

b

k

knT kk 12

1

Page 14: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 14

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Exercitiul nr. 1 :

Sa se dezvolte :

a). ?22 5x ; b). ?

7

yx ; c). ?1

3

4

xx ; d). ?21

8

;

e). ?134x ; f). ?sin

5 xx .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se determine :

a). termenul al optulea al dezvoltarii :

xx

12

11

;

b). termenul al cincilea al dezvoltarii : aba27 ;

c). termenul al zecelea al dezvoltarii :

31

14

xx

;

d). termenul al cincilea al dezvoltarii : 310

xx ;

e). termenul al treilea al dezvoltarii : a112

;

f). termenul din mijloc al dezvoltarii : yx6

;

g). cei doi termini din mijloc ai dezvoltarii : 39

ba ;

h). termenul din mijloc al dezvoltarii : 148

x ;

i). termenii din mijloc ai dezvoltarii :

xx 3

4 3 19

;

j). termenul din mijloc al dezvoltarii : yx23

10

.

Exercitiul nr. 3 :

Sa se determine :

a). termenul din dezvoltarea 114

x care il contine pe x6 ;

b). termenul din dezvoltarea

xx

12

20

care il contine pe x16 ;

c). termenul din dezvoltarea yx9

care il contine pe x3 ;

d). termenul din dezvoltarea

3

13

3

3 a

a care il contine pe a4 ;

Page 15: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 15

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

e). termenul in care nu apare x din dezvoltarea

xx

15

21

;

f). termenul din dezvoltarea 5 83 212

xx care il contine pe x 3

22

;

g). termenul din dezvoltarea

4

322

a

b

b

a care il contine pe

a2

1 ;

h). termenul din dezvoltarea

7 2

3 110

xx

x care il contine pe x ;

i). termenul liber din dezvoltarea

xx

13

15

.

Exercitiul nr. 4 :

Sa se determine rangul termenului din dezvoltarea :

33

21

x

y

y

x , in care x si y au puteri egale .

Exercitiul nr. 5 :

Sa se determine n , daca in dezvoltarea xn

1 coeficientii lui x5 si x12 sunt egali .

Exercitiul nr. 6 :

Sa se determine n N* minim astfel incat in dezvoltarea

xx

n

12 sa existe termeni care

nu depind de x .

Exercitiul nr. 7 :

In dezvoltarea

x

x

n1

raportul dintre coeficientii binomiali ai celui de-al patrulea si

celui de-al saselea termen este egal cu 18

5 . Are dezvoltarea termen liber ?

Exercitiul nr. 8 :

Fie dezvoltarea

12lg1

1

xx x

n

. Stiind ca suma coeficientilor binomiali de rang impar este

32 si ca al patrulea termen al dezvoltarii este 200 , sa se afle numarul real x .

Page 16: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 16

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Exercitiul nr. 9 :

Se considera dezvoltarea

xx

n

12 .

a). Sa se determine n N* stiind ca suma primilor trei coeficienti ai dezvoltarii este 46 .

b). Pentru n determinat la punctul a). aflati al treilea termen .

Exercitiul nr. 10 :

Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii : yx 6732

9

Exercitiul nr. 11 :

Cati termeni rationali contine dezvoltarea : 4100

32 .

Exercitiul nr. 12 :

Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii :

a). 4 53200

; b). 53 2750

.

Exercitiul nr. 13 :

Sa se gaseasca rangul celui mai mare termen din dezvoltarea :

a).

3

1

3

2100

; b).

4

3

4

1200

; c).

2

1

2

1100

.

Exercitiul nr. 14 :

Se considera dezvoltarea :

xx

n

3

39 , Rx , 0x , Nn , 3n .

a). Sa se determine Nn*

, a.i. coeficientul binomial al termenului al treilea sa fie 105 .

b). Pt. 15n , verificati daca exista un termen al dezvoltarii care contine pe x5 .

Justificati raspunsul .

Page 17: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 17

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Exercitiul nr. 15 :

Se considera dezvoltarea :

xx

n

3

1

2

3

5 , Rx , 0x , Nn*

.

a). Sa se determine Nn*

, a.i. coeficientul binomial al termenului al treilea sa fie 55 .

b). Pt. 11n , verificati daca exista un termen al dezvoltarii care nu contine pe x .

Justificati raspunsul .

Exercitiul nr. 16 :

Coeficientul al 3-lea de la sfarsitul dezvoltarii binomului 33 1aa

n

este egal cu 45 . Sa se

afle termenul acestei dezvoltari care contine pe a2 .

Exercitiul nr. 17 :

In dezvoltarea

aaa

m

13 , sa se afle termenul care contine pe a6 , stiind ca diferenta

dintre coeficientii termenilor al treilea si al doilea este 35 .

Exercitiul nr. 18 :

Se considera dezvoltarea aaan

13 , Ra , 0a , Nn*

.

a). Sa se determine n a.i. raportul dintre coeficientul binomial al termenului al patrulea si al

treilea sa fie 4 .

b). Pt. 14n , verificati daca exista un termen care nu contine pe a .

Exercitiul nr. 19 :

Se considera dezvoltarea :

xxx

n

4

1 , Rx , 0x , Nn

* , 2n .

a). Sa se determine n a.i. : 4412 CC nn .

b). Pt. 11n , verificati daca exista un termen al dezvoltarii care nu contine pe x .

Justificati raspunsul .

Exercitiul nr. 20 :

In dezvoltarea binomului

3 2

1

xx

n

, 0x , raportul dintre coeficientul termenului al

cincilea si coeficientul termenului al treilea este 3,5 . Sa se afle termenul binomului care contine pe x

1.

Page 18: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 18

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Exercitiul nr. 21 :

Se considera dezvoltarea :

xx

n

12 , Nn

* , 0x .

a). Sa se determine Nn*

a.i. suma coeficientilor primilor trei termeni ai dezvoltarii sa fie 97

b). Pt. 8n , verificati daca exista un termen care contine pe x4

. Justificati raspunsul .

Exercitiul nr. 22 :

Se considera dezvoltarea :

42

1

yy

n

, Ry , 0y , Nn*

.

a). Sa se determine n pntru care coeficientii termenilor 1 , 2 , respectiv 3 ai dezvoltarii

formeaza o progresie aritmetica .

b). Pentru 8n , sa se gaseasca termenii dezvoltarii a.i. puterea lui y sa fie un numar

natural .

Exercitiul nr. 23 :

Se considera dezvoltarea :

2

32

8

216

16 x

xn

, Nn*

, Rx .

a). Determinati n a.i. C n

0 ; Cn

1

2

1 ; Cn

2

4

1 sa fie termeni succesivi ai unei progresii aritmetice .

b). Pt. 8n , verificati daca exista valori ale lui x a.i. diferenta dintre termenii al saselea si

al patrulea ai dezvoltarii sa fie 56 .

Exercitiul nr. 24 :

Pentru ce valoare a lui m , coeficientii al 2-lea , al 3-lea si al 4-lea ai dezvoltarii binomului

am

1 formeaza o progresie aritmetica ?

Exercitiul nr. 25 :

Sa se gaseasca rangurile a trei termeni consecutivi ai dezvoltarii binomului ba23

ai caror

coeficienti formeaza o progresie aritmetica .

Exercitiul nr. 26 :

Sa se gaseasca trei coeficienti binomiali consecutivi , formand o progresie aritmetica .

Exercitiul nr. 27 :

Se considera dezvoltarea :

aaa

n

14 , 0a , Nn*

. Stiind ca suma coeficientilor

binomiali de rang par este 128 , sa se determine termenul care contine pe a3 .

Page 19: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 19

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Exercitiul nr. 28 :

Sa se afle acel termen al dezvoltarii binomului

3

1

xxx

n

care , dupa efectuarea

simplificariloe , contine pe x5 , stiind ca suma coeficientilor binomiali este egala cu 128 .

Exercitiul nr. 29 :

Stiind ca suma coeficientilor binomiali ai dezvoltarii xxnn

111 , Nn , este 1536 , sa

se determine coeficientul lui x6

.

Exercitiul nr. 30 :

In dezvoltarea binomului yxn

, Zyx , , Nn*

, termenul al doilea este egal cu 240 ,al

treilea cu 720 si al patrulea cu 1080 . Sa se determine x , y si n .

Exercitiul nr. 31 :

In dezvoltarea binomului

3

1

xx

n

suma coeficientilor este mai mica cu 240 decat suma

coeficientilor din dezvoltarea binomului ban

2

. Sa se gaseasca termenul al 3-lea al primei

dezvoltari .

Exercitiul nr. 32 :

Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii binomului : 4 2115

.

Exercitiul nr. 33 :

Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii binomului : 7310

.

Exercitiul nr. 34 :

Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii binomului : 75 3224

.

Exercitiul nr. 35 :

Sa se determine numarul termenilor rationali ai dezvoltarii : 724400

.

Exercitiul nr. 36 :

Sa se determine numarul termenilor rationali ai dezvoltarii : 354200

.

Page 20: aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica Inductie Matematica . Combinatorica Exercitiul nr. 1 :

Clasa a X-a Algebra - 20

Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Inductie Matematica . Combinatorica

Exercitiul nr. 37 :

Gasiti termenii rationali ai dezvoltarii : 3 2416

xx .

Exercitiul nr. 38 :

Sa se gaseasca termenii irationali ai dezvoltarii binomului : 75 2324

.

Exercitiul nr. 39 :

Exponentul puterii unui binom este mai mare cu 3 decat a altui binom . Sa se determine acesti

exponenti daca suma coeficientilor din ambele dezvoltari este egala cu 144 .

Exercitiul nr. 40 :

Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii : yx 8934

19

.

Exercitiul nr. 41 :

Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii : yx 6832

8

.

Exercitiul nr. 42 :

Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii : yxn

675 .

Exercitiul nr. 43 :

Sa se gaseasca rangul tremenului cel mai mare din dezvoltarile : yx 8934

19

.