aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie...
Transcript of aI dPrincipiul c ieiInnduucttiei MMaattemmattiiccee · Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie...
Clasa a X-a Algebra - 1
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Principiul IInndduuccttiieeii MMaatteemmaattiiccee :
- Propozitia nP este adevarata pentru orice numar natural n daca sunt verificate
urmatoarele doua conditii :
1). Propozitia nP este adevarata pentru 0n ;
2). Din presupunerea ca nP este adevarata pentru kn , ( Nk ) rezulta ca
este adevarata si pentru 1 kn .
Metoda IInndduuccttiieeii MMaatteemmaattiiccee :
- Fie nP o propozitie care depinde de un numar natural mn , m fiind un numar
natural fixat ;
- Demonstratia prin metoda inductiei matematica a propozitiei nP , consta din doua etape :
1). Etapa de verificare : se verifica mai intai ca mP este adevarata .
2). Etapa de demonstratie : se presupune ca kP este adevarata si se demonstreaza ca
1kP este adevarata , k fiind un numar natural m ( adica 1 kPkP , mk )
Daca ambele etape ale demonstratiei sunt verificate , atunci propozitia :
nP este adevarata pentru orice numar natural mn .
Clasa a X-a Algebra - 2
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 1 :
Folosind metoda inductiei matematice , sa se demonstreze ca pt. orice numar natural n ,
sunt adevarate egalitatile :
a).
2
1 .....321
nnn ; b).
6
121 ......321
2222
nnnn ;
c). 3
14 12.....531
22222
n
nn ; d).
3
12124 24.....62
222
nnnn ;
e).
2
1 ......321
2
3333 nnn ; f). 12 12.....531
223333 nnn ;
g).
3
21 1.....3221
nnnnn ;
h).
4
321 21.....432321
nnnnnnn ;
i). 1 13.....10372412
nnnn ;
j).
2
1 1.....4321
1212222 nn
nnnn
.
Exercitiul nr. 2 :
Sa se demonstreze ca :
a). 13
1323
1.....
107
1
74
1
41
1
n
n
nn ;
b). 14
1434
1.....
139
1
95
1
51
1
n
n
nn ;
c).
212
1
1212.....
75
3
53
2
31
12222
n
nn
nn
n ;
d).
32122
1
321212.....
753
2
531
1
nn
nn
nnn
n .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se demonstreze ca :
a).
1 17
1
1767
7.....
2215
7
158
7
81
7
nnn ;
Clasa a X-a Algebra - 3
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
b). 16
1
116
1
444
1.....
1612
1
128
1
84
1
nnn .
Exercitiul nr. 4 :
Sa se demonstreze ca :
a). nn n 2 2 atunci , 5 daca ; b). nn n 3 2 atunci , 10 daca .
Exercitiul nr. 5 :
Sa se demonstreze inegalitatile urmatoare:
a). 2 pentru , 24
13
2
1.....
2
1
1
1
n
nnn ;
b). 1 naturalnumar oricepentru , 1 13
1.....
2
1
1
1
n
nnn ;
c). 1 oricepentru , 12
1
2
12.....
4
3
2
1
n
nn
n .
Exercitiul nr. 6 :
Sa se demonstreze ca pt. orice numar natural n avem :
a) 6cu divizibil este 113 nn ; b). 6cu divizibil este 17 n ;
c). 7cu divizibil este 1612 n ; d). 27cu divizibil este 281810 nn ;
e). 16cu divizibil este 9891 nn ; f). 48cu divizibil este 17
2 n .
Exercitiul nr. 7 :
Sa se calculeze sumele urmatoare :
1). 12...531 nS ; 2). nS 2...642 ;
3). 12...5312222 nS ; 4). nS 2...642
2222 ;
5). 12...5313333 nS . 6). 14...951 nS ;
7). 13...852 nS ; 8). 24...1062 nS ;
9). 14...9512222 nS ; 10). 13...852
2222 nS ;
11). 24...10622222 nS ; 12). 14...951
3333 nS .
Clasa a X-a Algebra - 4
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 8 : Sa se calculeze urmatoarele sume :
1). 13...8523333 nS ;
2). 24...10623333 nS ;
3). 1...3221 nnS ;
4). 2...4231 nnS ;
5). 3...5241 nnS ;
6). nS ...321...321211 ;
7). nnS ...21...32132121 ;
8). nnS 1...3423122222 ;
9). 1...121222 nnnS ;
10). 21...432321 nnnS ;
11). 321...54324321 nnnnS ;
12). 4321...6543254321 nnnnnS .
Exercitiul nr. 9 :
Sa se calculeze urmatoarele sume :
1). 1
1...
32
1
21
1
nnS ;
2). 1212
1...
53
1
31
1
nnS ;
3). 1323
1...
74
1
41
1
nnS ;
4). 21
1...
432
1
321
1
nnnS ;
5). 321212
1...
753
1
531
1
nnnS ;
6). 321
1...
5432
1
4321
1
nnnnS ;
7). 4321
1...
65432
1
54321
1
nnnnnS .
Clasa a X-a Algebra - 5
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 10 :
Sa se calculeze urmatoarele sume :
1). ?22
...21
n
n
n ;
2). ?34
14
12
2
n
k kk
kkn ;
3). ?...21
...21222
n
n ;
4). ?...21
...21333
222
n
n ;
5).
?2
12
1
12...531
n
n
n ;
6). ?1
...21
222
n
n
nn ;
7).
?1434
1...
95
1
51
1
nn .
Clasa a X-a Algebra - 6
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Definitie PPeerrmmuuttaarree :
- Fie aaaA n,.....,, 21 o multime , finita , cu n elemente ;
- Aceasta multime se poate ordona in mai multe moduri ;
- Se obtin , astfel , multimi ordonate diferite , care se deosebesc intre ele numai prin ordinea
elementelor ;
- Fiecare din multimile ordonate care se formeaza cu cele n elemente ale multimii A , se
numeste permutare a acestei multimi .
- Se mai spune ca este o permutare a elementelor sale sau , inca , o permutare de n elemente.
- Numarul permutarilor de n elemente se noteaza cu Pn si se citeste “ permutari de n
elemente “ .
Teorema :
- Oricare ar fi 1n , numar natural , !nPn .
- Avem : nn ......4321 ! .
Proprietati :
1). 1!0 ;
2). nnn ! 1! .
Clasa a X-a Algebra - 7
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Definitie AArraannjjaammeennttee :
- Fie aaaA n,.....,, 21 o multime , finita , cu n elemente ;
- Fie 11 k ;
- Se numeste aranjament de n elemente luate cate k orice combinatie alcatuita din k
elemente ale multimii A ;
- Se poate exprima sub forma :
!
!
n-k
nA
k
n , nkNkn 1 , , .
Proprietati :
1). 10An ;
2). PnA n
n
n ! .
Clasa a X-a Algebra - 8
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Definitie CCoommbbiinnaarrii :
- Fie aaaA n,.....,, 21 o multime , finita , cu n elemente ;
- Fie 10 k ;
- Se numesc combinari de n elemente luate cate k submultimile lui A avand fiecare cate
k elemente ;
- Se pot exprima sub forma :
! !
!
n-kk
nC
k
n , nkNkn 0 , , .
Proprietati :
1). 10Cn ;
2). 1Cn
n ;
3). P
AC
k
k
nk
n ;
4). Formula combinarilor complementare :
CCkn
n
k
n
, daca nkNkn 0 , , ;
5). O formula de recurenta pentru Ck
n :
CCCk
n
k
n
k
n
1
11
, daca nkNkn 0 , , ;
6). Pentru orice numar natural n are loc egalitatea :
2.....10 nn
nnn CCC ;
7). Suma combinarilor de rang impar = suma combinarilor de grad par = :
2..........1420531
n
nnnnnn CCCCCC .
Clasa a X-a Algebra - 9
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 1 :
Sa se simplifice expresiile :
a). !99
!100 ; b).
!17
!19 ; c).
!42
!40 ; d).
!
!1
n
n ; e).
!
!2
n
n ; f).
!3
!1
n
n ; g).
!3
!
n
n ;
h). !1
!1
n
n ; i).
!2
1
!
1
nn .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se rezolve ecuatiile cu necunoscuta n :
a).
30!
!2
n
n ; b).
!1
!12
!120
!22
n
n
n
n ; c). 11!
2 nn ;
d). !2
!12
!4
!
n
n
n
n ; e).
!2!1
1
!
1 2
n
n
nn ; f).
72
!
!2
n
n .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se rezolve inecuatiile :
a).
72!3
!1
n
n ; b).
100021
!2
nn
n .
Exercitiul nr. 4 :
Sa se calculeze :
a). ?35 A ; b). ?2
7 A ; c). ?38 A ; d). ?
49
59
510
610
AA
AA ;
e). ?1
P
PA
n
knkn
f). ?3
45
A
AA
n
nn g). ?
12
A
AAk
kn
kkn
kkn
.
Exercitiul nr. 5 :
Sa se rezolve in N ecuatiile :
a). 562 An ; b). 422
44
P
PA
n
nn ; c). AA nn
42
5 18 ; d). 895
57
A
AA
n
nn ;
Clasa a X-a Algebra - 10
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
e). AnAnA nnn346 311 ; f). pnA
pn ; g). 100
8
810
A
AA
n
nn ; h).
132!
!2
knA
nkn
;
Exercitiul nr. 6 :
Sa se rezolve ecuatia cu necunoscuta x :
a). AAAnx
nx
nx
11 213 .
Exercitiul nr. 7 :
Sa se resolve sistemele de ecuatii :
a).
AAy
AAyx
yx
yx
yx
23
23
528
8 b). AyAyA
yx
yx
yx
111
11 61
Exercitiul nr. 8 :
Sa se calculeze :
a). ?810 C b). ?13
16 C c). ?11 C
kn
d). ?99100
0100 CC e). ?1
Ck
kn f). ?810
210 CC .
Exercitiul nr. 9 :
Rezolvati urmatoarele ecuatii cu necunoscuta n N :
a). 452 Cn ; b). 621 CC nn ; c). CC nn23 2 ; d). 211
1 C
nn ;
e). 13 Cn ; f) AC nnn
32
4212 4 ; g). 192
42
32
2 CCC nnn ;
h). CCC nnn2
23
31
16
13 ; i). CC nn
75 .
Exercitiul nr. 10 :
Sa se afle n , daca :
a). 6
354
nnCn ; b). 243 nnCC nn ; c).
AC nn
n3
7414
94 5 .
Exercitiul nr. 11 :
Sa se determine x N astfel ca : a). CCx
xx 9
122
4
2
; b). 378107
2
C x
x .
Clasa a X-a Algebra - 11
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 12 :
Sa se rezolve inecuatiile in n :
a). CC nn53 ; b). CC
nn
nn
65 ; c). CCnn10
110 ; d). CC
nn10
110 2 .
Exercitiul nr. 13 :
Sa se rezolve sistemele de ecuatii :
a).
CC
Cyx
yx
x
2
2
153 ; b).
CC
AAyx
yx
yx
yx
1
1
32
9 ;
c).
CC
AAxy
xy
xy
xy
132
32
132
32
89
8 ; d).
CC
AAyx
yx
yx
yx
1
1
56
7 .
Exercitiul nr. 14 :
Sa se deduca egalitatile :
a). ; 2 22
122 CCCC
kn
kn
kn
kn
b). ; 33 33
23
133 CCCCC
kn
kn
kn
kn
kn
c). . ...... 1021
920
911
910
99 CCCCC
Clasa a X-a Algebra - 12
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Scopul acestui paragraf este de a prezenta formula pentru :
ban
, unde Cba , si Nn*
precum si proprietati pentru coeficientii termenilor din dezvoltarea acestui binom .
Are loc urmatoarea formula :
Formula bbiinnoommuulluuii lluuii NNEEWWTTOONN :
)( ban
C n
0a
n + C n
1a
n 1b
1 + ….. + C
m
n amn
bm
+ ….. + Cn
n bn
unde : membrul drept al egalitatii se numeste dezvoltarea binomului la putere !
Observatii de baza :
1). Coeficientii C n
0 , C n
1 , C n
2 , … , C
n
n din formula lui NEWTON se numesc coeficienti
binomiali si sunt in numar de 1n , cu unul mai mult decat exponentul n al puterii ;
2). A se face distinctie intre un coeficient binomial al unui termen si coeficientul numeric al
acelui termen :
Exemplu : fie termenul xCT 21
42
- acesta are : - coeficientul binomial C1
4 ;
- coeficientul numeric al lui 21
4C .
3). In dezvoltarea )( ban
, dupa formula lui NEWTON , sunt 1n termeni ( nr.
termenilor fiind egal cu numarul coeficientilor binomiali C n
0 , Cn
1 , Cn2 , ….. , C
nn ) .
4). In formula lui NEWTON exponentii puterilor lui a descresc de la n la 0 , iar
exponentii puterilor lui b cresc de la 0 la n .
Suma exponentilor puterilor lui a si b in orice termen al dezvoltarii este egala cu n ,
adica este egala cu exponentul puterii binomului .
5). Coeficientii binomiali din dezvoltare egal departati de termenii extremi ai dezvoltarii sunt
egali intre ei , deoarece Cmn C
mnn ( fiind combinari complementare ) .
6). Daca exponentul puterii este un numar par ( adica kn 2 ) , atunci coeficientul
binomial al termenului din mijloc al dezvoltarii ( adica Ckn ) este cel mai mare .
Clasa a X-a Algebra - 13
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Daca n este impar ( adica 12 kn ) , atunci coeficientii binomiali ai celor doi termeni
de la mijloc sunt egali intre ei ( adica Ckn C
kn
1 ) si sunt cei mai mari .
7). Un rol important in rezolvarea problemelor legate de binomul lui Newton il joaca
termenul general de rang 1k , adica al ( 1k ) - lea termen din egalitate , se numeste termenul
de rang 1k si se noteaza cu T k 1 avand urmatoarea formula :
baCTkknk
nk
1 , nk 0 .
8). Formula de recurenta : intre doi termeni consecutivi TT kk 21 , din dezvoltarea
binomului are loc relatia
Ta
b
k
knT kk 12
1
Clasa a X-a Algebra - 14
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 1 :
Sa se dezvolte :
a). ?22 5x ; b). ?
7
yx ; c). ?1
3
4
xx ; d). ?21
8
;
e). ?134x ; f). ?sin
5 xx .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se determine :
a). termenul al optulea al dezvoltarii :
xx
12
11
;
b). termenul al cincilea al dezvoltarii : aba27 ;
c). termenul al zecelea al dezvoltarii :
31
14
xx
;
d). termenul al cincilea al dezvoltarii : 310
xx ;
e). termenul al treilea al dezvoltarii : a112
;
f). termenul din mijloc al dezvoltarii : yx6
;
g). cei doi termini din mijloc ai dezvoltarii : 39
ba ;
h). termenul din mijloc al dezvoltarii : 148
x ;
i). termenii din mijloc ai dezvoltarii :
xx 3
4 3 19
;
j). termenul din mijloc al dezvoltarii : yx23
10
.
Exercitiul nr. 3 :
Sa se determine :
a). termenul din dezvoltarea 114
x care il contine pe x6 ;
b). termenul din dezvoltarea
xx
12
20
care il contine pe x16 ;
c). termenul din dezvoltarea yx9
care il contine pe x3 ;
d). termenul din dezvoltarea
3
13
3
3 a
a care il contine pe a4 ;
Clasa a X-a Algebra - 15
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
e). termenul in care nu apare x din dezvoltarea
xx
15
21
;
f). termenul din dezvoltarea 5 83 212
xx care il contine pe x 3
22
;
g). termenul din dezvoltarea
4
322
a
b
b
a care il contine pe
a2
1 ;
h). termenul din dezvoltarea
7 2
3 110
xx
x care il contine pe x ;
i). termenul liber din dezvoltarea
xx
13
15
.
Exercitiul nr. 4 :
Sa se determine rangul termenului din dezvoltarea :
33
21
x
y
y
x , in care x si y au puteri egale .
Exercitiul nr. 5 :
Sa se determine n , daca in dezvoltarea xn
1 coeficientii lui x5 si x12 sunt egali .
Exercitiul nr. 6 :
Sa se determine n N* minim astfel incat in dezvoltarea
xx
n
12 sa existe termeni care
nu depind de x .
Exercitiul nr. 7 :
In dezvoltarea
x
x
n1
raportul dintre coeficientii binomiali ai celui de-al patrulea si
celui de-al saselea termen este egal cu 18
5 . Are dezvoltarea termen liber ?
Exercitiul nr. 8 :
Fie dezvoltarea
12lg1
1
xx x
n
. Stiind ca suma coeficientilor binomiali de rang impar este
32 si ca al patrulea termen al dezvoltarii este 200 , sa se afle numarul real x .
Clasa a X-a Algebra - 16
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 9 :
Se considera dezvoltarea
xx
n
12 .
a). Sa se determine n N* stiind ca suma primilor trei coeficienti ai dezvoltarii este 46 .
b). Pentru n determinat la punctul a). aflati al treilea termen .
Exercitiul nr. 10 :
Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii : yx 6732
9
Exercitiul nr. 11 :
Cati termeni rationali contine dezvoltarea : 4100
32 .
Exercitiul nr. 12 :
Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii :
a). 4 53200
; b). 53 2750
.
Exercitiul nr. 13 :
Sa se gaseasca rangul celui mai mare termen din dezvoltarea :
a).
3
1
3
2100
; b).
4
3
4
1200
; c).
2
1
2
1100
.
Exercitiul nr. 14 :
Se considera dezvoltarea :
xx
n
3
39 , Rx , 0x , Nn , 3n .
a). Sa se determine Nn*
, a.i. coeficientul binomial al termenului al treilea sa fie 105 .
b). Pt. 15n , verificati daca exista un termen al dezvoltarii care contine pe x5 .
Justificati raspunsul .
Clasa a X-a Algebra - 17
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 15 :
Se considera dezvoltarea :
xx
n
3
1
2
3
5 , Rx , 0x , Nn*
.
a). Sa se determine Nn*
, a.i. coeficientul binomial al termenului al treilea sa fie 55 .
b). Pt. 11n , verificati daca exista un termen al dezvoltarii care nu contine pe x .
Justificati raspunsul .
Exercitiul nr. 16 :
Coeficientul al 3-lea de la sfarsitul dezvoltarii binomului 33 1aa
n
este egal cu 45 . Sa se
afle termenul acestei dezvoltari care contine pe a2 .
Exercitiul nr. 17 :
In dezvoltarea
aaa
m
13 , sa se afle termenul care contine pe a6 , stiind ca diferenta
dintre coeficientii termenilor al treilea si al doilea este 35 .
Exercitiul nr. 18 :
Se considera dezvoltarea aaan
13 , Ra , 0a , Nn*
.
a). Sa se determine n a.i. raportul dintre coeficientul binomial al termenului al patrulea si al
treilea sa fie 4 .
b). Pt. 14n , verificati daca exista un termen care nu contine pe a .
Exercitiul nr. 19 :
Se considera dezvoltarea :
xxx
n
4
1 , Rx , 0x , Nn
* , 2n .
a). Sa se determine n a.i. : 4412 CC nn .
b). Pt. 11n , verificati daca exista un termen al dezvoltarii care nu contine pe x .
Justificati raspunsul .
Exercitiul nr. 20 :
In dezvoltarea binomului
3 2
1
xx
n
, 0x , raportul dintre coeficientul termenului al
cincilea si coeficientul termenului al treilea este 3,5 . Sa se afle termenul binomului care contine pe x
1.
Clasa a X-a Algebra - 18
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 21 :
Se considera dezvoltarea :
xx
n
12 , Nn
* , 0x .
a). Sa se determine Nn*
a.i. suma coeficientilor primilor trei termeni ai dezvoltarii sa fie 97
b). Pt. 8n , verificati daca exista un termen care contine pe x4
. Justificati raspunsul .
Exercitiul nr. 22 :
Se considera dezvoltarea :
42
1
yy
n
, Ry , 0y , Nn*
.
a). Sa se determine n pntru care coeficientii termenilor 1 , 2 , respectiv 3 ai dezvoltarii
formeaza o progresie aritmetica .
b). Pentru 8n , sa se gaseasca termenii dezvoltarii a.i. puterea lui y sa fie un numar
natural .
Exercitiul nr. 23 :
Se considera dezvoltarea :
2
32
8
216
16 x
xn
, Nn*
, Rx .
a). Determinati n a.i. C n
0 ; Cn
1
2
1 ; Cn
2
4
1 sa fie termeni succesivi ai unei progresii aritmetice .
b). Pt. 8n , verificati daca exista valori ale lui x a.i. diferenta dintre termenii al saselea si
al patrulea ai dezvoltarii sa fie 56 .
Exercitiul nr. 24 :
Pentru ce valoare a lui m , coeficientii al 2-lea , al 3-lea si al 4-lea ai dezvoltarii binomului
am
1 formeaza o progresie aritmetica ?
Exercitiul nr. 25 :
Sa se gaseasca rangurile a trei termeni consecutivi ai dezvoltarii binomului ba23
ai caror
coeficienti formeaza o progresie aritmetica .
Exercitiul nr. 26 :
Sa se gaseasca trei coeficienti binomiali consecutivi , formand o progresie aritmetica .
Exercitiul nr. 27 :
Se considera dezvoltarea :
aaa
n
14 , 0a , Nn*
. Stiind ca suma coeficientilor
binomiali de rang par este 128 , sa se determine termenul care contine pe a3 .
Clasa a X-a Algebra - 19
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 28 :
Sa se afle acel termen al dezvoltarii binomului
3
1
xxx
n
care , dupa efectuarea
simplificariloe , contine pe x5 , stiind ca suma coeficientilor binomiali este egala cu 128 .
Exercitiul nr. 29 :
Stiind ca suma coeficientilor binomiali ai dezvoltarii xxnn
111 , Nn , este 1536 , sa
se determine coeficientul lui x6
.
Exercitiul nr. 30 :
In dezvoltarea binomului yxn
, Zyx , , Nn*
, termenul al doilea este egal cu 240 ,al
treilea cu 720 si al patrulea cu 1080 . Sa se determine x , y si n .
Exercitiul nr. 31 :
In dezvoltarea binomului
3
1
xx
n
suma coeficientilor este mai mica cu 240 decat suma
coeficientilor din dezvoltarea binomului ban
2
. Sa se gaseasca termenul al 3-lea al primei
dezvoltari .
Exercitiul nr. 32 :
Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii binomului : 4 2115
.
Exercitiul nr. 33 :
Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii binomului : 7310
.
Exercitiul nr. 34 :
Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii binomului : 75 3224
.
Exercitiul nr. 35 :
Sa se determine numarul termenilor rationali ai dezvoltarii : 724400
.
Exercitiul nr. 36 :
Sa se determine numarul termenilor rationali ai dezvoltarii : 354200
.
Clasa a X-a Algebra - 20
Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 37 :
Gasiti termenii rationali ai dezvoltarii : 3 2416
xx .
Exercitiul nr. 38 :
Sa se gaseasca termenii irationali ai dezvoltarii binomului : 75 2324
.
Exercitiul nr. 39 :
Exponentul puterii unui binom este mai mare cu 3 decat a altui binom . Sa se determine acesti
exponenti daca suma coeficientilor din ambele dezvoltari este egala cu 144 .
Exercitiul nr. 40 :
Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii : yx 8934
19
.
Exercitiul nr. 41 :
Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii : yx 6832
8
.
Exercitiul nr. 42 :
Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii : yxn
675 .
Exercitiul nr. 43 :
Sa se gaseasca rangul tremenului cel mai mare din dezvoltarile : yx 8934
19
.